• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
5 gdz m_i
 

5 gdz m_i

on

  • 171,226 views

 

Statistics

Views

Total Views
171,226
Views on SlideShare
9,054
Embed Views
162,172

Actions

Likes
1
Downloads
0
Comments
0

16 Embeds 162,172

http://4book.org 158897
http://www.google.com.ua 1289
http://91.200.42.139 500
https://www.google.com.ua 470
http://bookgdz.ru 458
http://webcache.googleusercontent.com 285
http://mail.4book.org 122
http://translate.googleusercontent.com 68
http://www.google.com 43
https://www.google.com 16
http://vk.com 10
http://grrg633lfzxxezy.cmle.ru 6
http://youdz.at.ua 3
http://hghltd.yandex.net 2
http://grrg633lfzxxezy.dd34.ru 2
http://www.google.by 1
More...

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    5 gdz m_i 5 gdz m_i Document Transcript

    • і I ■ rg Розв’язання вправ та завдань д о підручника .o «МАТЕМАТИКА» w w w .4 bo ok о . С. Істера
    • П О В Т О Р Е Н Н Я В И В Ч Е Н О Г О В 1- 4 К Л А С А Х rg Д л я лічби предм етів використовую ть н а т у р а л ь н і ч и с л а . Будья к е нату р ал ьн е число м о ж н а зап и сати за допомогою десяти циф р: О, 1, 2, З, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9. Ц иф ри у запи сі натурального числа розбиваю ть н а групи справа наліво по три ц и ф ри — к л а ­ си: кл ас одиниць, кл ас ти сяч, кл ас м ільйонів, кл ас м іл ьяр д ів і т. д. К ож ен кл ас має три розряди; розряд одиниць, розряд д есятків, розряд сотень. В ідсутність якогось розряду позн ачається цифрою 0. Н а п р и ­ к л ад , число 375 207 924 м ає три класи: кл ас одини ць, кл ас тисяч і кл ас м ільйонів. Ц иф ри в його запи сі означаю ть (сп ра­ ва наліво) 4 од и н и ц і, 2 д есятки , 9 сотень, 7 одини ць ти сяч, д есятків ти сяч нем ає (0), 2 сотні ти сяч , 5 одиниць м ільйонів, 7 д есятків м ільйонів і З сотні м ільйонів. Н айм енш е н атуральне число — 1. К ож н е наступне натуральне число на одиницю більш е за попереднє. І w .4 bo ok .o 1 . 1 ) сім тисяч двісті вісімдесят три; 2) чотирнадцять тисяч тринадцять; 3) чотириста сімнадцять тисяч дев’ять; 4) три тисячі один; 5) сто одинадцять; 6) двісті тисяч сім; 7) тринадцять тисяч; 8) сто двадцять сім тисяч триста дев’яносто сім. 2. 1) 5 275; 2) 12 437; 3) 40 600; 4) 50 029; 5) 701 890; 6 ) 401 403. 3. 1) 37 813; 2) 500 959. 4 . 1) 9; 2) 4; 3) 3; 4) 2; 5) 5; 6) 7. 5. Двадцять три, триста сім, дві тисячівісімдесят один. 6 . 1) 7 546; 2) 23 059; 3) 478 6^ ; 4) 759 348 265. 7 . 1) 5393; 2) 72 380; 3) 100 ООО; 4) 4999. w w Д одавання н ату р ал ьн и х чисел здійсню ється порозрядно: оди­ ниці додаю ть до одиниць, сотні — до сотень і т. д. П а м ’ятай ! Д есять одиниць розряду утворю ю ть одну одиницю старш ого (наступного) розряду. 11 1 21 3) 3 259 1 11 8. 1) + 2 356 2 )^ 3 2 568 4 587 1 481 + 4 592 + 113513 6 943 34 049 7 392 10 892 15 243 126 981 4) 2 576 9. 1 )_ 8 9 5 2 )_ 1 2 327 3 )_ 1 3 2 315 4 )_ 1 0 0 002 178 5 839 112 231 98 794 717 6 488 20 084 1208 198 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш
    • 1111 1 1 10. l ) + 2 5 7 2 2 )_ 1 1 2 383 3 ) _ 5 382 4 )_ 1 0 5 713 87 617 3 591 9 217 З 897 or g 6 469 200 ООО 17 91 6 496 1 1 .1 ) a) 1754; 6) 382 497 і 542 918; в) такого числа немає; г) 43 429; 2) а) 542 918 < 923 415, о скіл ьк и к іл ьк іс ть р озрядів в обох ч и с ­ л ах однакова, а най старш и й р озряд сотень тисяч м істи ть менш е одиниць (5) у перш ого чи сл а, н іж у другого (9); б) аналогічно: 43 429 > 17 543. 1 2 . 42 379 (Ф ), 37 291 (Р ), 37 219 (А), 36 981 (Н ), 37 979 (К), 36 831 (О). В ідп овідь: Ф РА Н КО . 12. 17 342 (М), 17 432 (Е), 18 179 (X ), 18 181 (І), 18 81 8 (К), 18 881 (О). В ідп овідь: МЕХІКО. 14. Р о зв ’я за н н я . I сп осіб ( з а д ія м и ). ok . 1) 27 - 2 = 25 (уч.) — у 5-Б кл асі; 2) 27 + 25 = 52 (уч.) — усього. I I сп осіб (ч и сл о ви й в и р а з ). 27 + (27 - 2) = 52 (уч.). В ідп овідь: 52 учні у двох кл асах. w w .4 bo Знаходим о невідом і ком поненти дій: 1 ) доданок 1 + доданок 2 = сума; доданок 1 = сум а - доданок 2 ; 2 ) зм енш уване - в ід ’єм н и к = р ізн и ц я ; в ід ’єм ни к = зм енш уване - р ізн и ц я ; зм енш уване = р ізн и ц я + в ід ’єм ни к; 3) м н ож н и к 1 ■м н о ж н и к 2 = добуток; м н ож н и к 1 = добуток : м н о ж н и к 2 ; 4) ділене : д іль н и к = ч астка; ділене = ч астка • д іл ьн и к ; д ільн и к = ділене ; частка. w 15. 1) х + 2971 = 5317; л: = 5317 - 2971; л: = 2346; 5317 2971 2) 12 492 - X = 7543; = 12 492 - 7543; X = 4949; І2 4 9 2 X 4949 2346 3) X - 72 581 = 2143; л: = 2143 + 72 581; X = 74 724; 1 + 72581 2143 74724 6543 4) X X 12 371 + X = 19 002; = 19 002 - 12 371; = 6631; 19002 12371 6631 М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер ш 199
    • 16. 1) 35 492 - x = 9871; 2) д: + 2387 = 4005; д: = 4005 - 2387; л: = 1618; _4бб5 x = 35 492 - 9871; x = 25 621; 35492 9871 2387 25621 1618 3 ) x - 4589 = 987; л: = 987 + 4589; x = 5 576; 4) 13 892 + л: = 79 159; д: = 79 159 - 13 892; д: = 65267. 7 9 І5 9 111 + 4589 13892 987 65267 X 2) 254 X 29 288 1728 2) 57 306 ^ 4530 3 )1 8 7 6 306 27846 7 2015 205127 4 )1 1 6 3 8 115 14 23 506 47 138 42 138 56 О 56 w 2754 4674 403 3627 ^302 91 410 X 1510 w .4 574 X 4) 509 bo 82 302 78 19312 X X 15 2032 64 18. 1) 3) ok . 32 1 7 .1 ) or g 5576 w 1 9 . Р о зв’я за н н я . I спосіб. 1) 321 : З = 107 (н.) — у П етра; 2) 321 - 107 = 214 (н.) — р ізн и ц я. I I спосіб. 321 - 321 : З = 321 - 107 = 214 (н.). Відповідь: на 214 н аклей ок. П ор ядо к дій п ри обчисленнях: 1 ) м нож ення і д ілен н я (в п оряд ку слідування); 2 ) додавання і від н ім ан н я (в порядку слідування). П ри наявності д у ж ок спочатку виконую ть д ії в д у ж к а х у по­ р ядк у, вказан ом у вищ е. 200 ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 1) (18 + 12 • 27) : (327 - 156) = 2; 20. + 2) 324 ^ 18 156 84 X 12 27 1) 342 171 3) 327 4) 3 4 2 : 1 7 1 = 2; 24 324 2 )(3 0 0 25 + 15) • (491 - 189) = 8154; 1 )3 0 0 25 2) 12 + 15 = 27; 25 3 )4 9 1 ; 4) 27 302 50 2114 ^604 rg 50 8154 О 105 2) 42840 408 37329 840 5511 bo 420 ok X .o 2 1 . 1) 105 • 408 - 37 329 = 5511; 1) 302 189 12 42840 2) (1350 : 45 - 16) (47 + 78) = 1750; w .4 1) 1350 45 ; 2) ЗО - 16 = 14; 3) 47 + 78 = 125; 4) 14 ЗО w w 135 1) д: • 24 = 15 048; х = 15 048 : 24; л: = 627; 15048 24 22. ^ 500 125 1750 2) X : 427 = 25; я: = 427 • 25; X = 10 675; 427 X 144 125 X 627 25 3) 29 008 : л: = 37; л: = 29 008 ; 37; л: = 784. 29008 37 259 64 ^2135 310 48 854 296 168 10675 784 168 О 148 148 О
    • 1) 6426 : X = 42; д: = 6426 : 42; X = 153; 6426 42 23. 42 2) X : 38 = 529; х = 5 2 9 - 38; х = 20 102 ; 529 X 38 153 4232 222 в 1587 210 “20102 126 448 867 375 336 392 ~392 126 ■Ж»? 3) 56 • X = 48 552; л: = 48 552 : 56; л: = 867. 48552 56 б О П ідставим о зам ість букв а і Ь їх н і числові зн ач ен н я . Я к щ о а = 18 186, Ь = З 879, маємо: З 879 + 18 186 : 7 - 1 599 = 4 878. 2) 3879 3 ) 6 4 7 7 1 ) 18186 7 14 2598 2598 6477 41 ^68 ~63 56 4878 w .4 56 1599 bo o ’ 35 k. or g 24. О А налогічно до № 24. Я к щ о л: = 12 389, у = 463, маємо: 12 389 - 15 • 463 + 17 987 = 23 431. 5444 1) 463 2 ) 12389 3) X 6945 ^17987 15 w w 25. 2315 5444 23431 463 6945 С піввіднош ення м іж одини цям и вим ір ю ван н я: 1 к г = 1 ООО г 1 см = 10 мм 1 ц = 100 кг 1 дм = 10 см 1 т = 1 ООО к г = 10 ц = 1 ООО ООО г 1 м = 100 см = = 10 дм = 1000 мм 1 год = 60 хв 1 хв = 60 с 1 км = 1 0 0 0 м 202 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш
    • 1) 1 к г - 23 г = 1000 г - 23 г = 977 г; 2 )3 т + 2 ц = 30ц + 2 ц = 32ц; 2 6. 4) 5 км 042 м • 7 = = 5042 м • 7 = 35 294 м = = 35 км 294 м; 5042 3) 12 м 87 см : 9 = = 1287 см : 9 = 143 см; 1287 9 9 143 •ШФ X Ш 7 38 ш 35294 36 ш _27 27 О X .o 24 rg 6 ) 5 год 12 хв • 5 = = 312 хв • 5 = 1560 хв. 312 5) 25 ц 5 к г : 3 = = 2505 к г : 3 = 835 кг; 2505 5 835 1560 5 год 12 хв = = 5 • 60 хв + 12 хв = = 300 хв + 12 хв = 312 хв. ok 10 9 bo З Ї5 ~15 w .4 О 27. П лощ а п р я м о ку тн и ка дорівню є добутку його д овж ин и і ш и ­ рини: = а ■ Ь, pfi а — д овж и н а, Ь — ш ирин а. Тоді 4 • Ь = 24, звід ки Ь = 24 : 4, Ь = 6. О тж е, ш и ри н а п р я м о к у т­ н и к а дорівню є 6 см. w w S Збільш ити (зменш ити) число а на число Ь означає додати до чис­ л а а число Ь (відняти від числа а число Ь). І 28. 1) Н айм енш е п ’яти циф рове число — 10 ООО. Тоді найм енш е ш укане число на 115 менш е: 10 ООО - 115 9885. О тж е, будь-яке чотирициф рове число від 9885 до 9999 при збільш енн і н а 115 перетворю ється на п ’ятициф рове. 2) Н айбільш е трициф рове число — 999. Тоді найбільш е з ш у ­ к ан и х чисел дорівню є 999 -Ь 208 = 1207. О тж е, будь-яке число від 1000 до 1207 при зм енш енні н а 208 перетворю ється н а т р и ­ цифрове. 3) А налогічно, 9999 - 1217 = 8782. Відповідь: будь-яке число від 1000 до 8782. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 203
    • 29. I спосіб ( за допомогою с х е м и ). Три мож ливості П ерша цифра Д руга цифра 5 8 І Третя цифра 8 5 1 I I 8 8 1 . , 1 5 Дві мож ливості 5 1 Одна мож ливість В ідп овідь: 6 чисел. I I спосіб. ok .o rg П ерш ою цифрою числа м ож е бути б удь-яка з трьох д ан и х циф р, другою — будь-яка з двох ін ш и х , а третьою — одна, щ о л и ш и ­ л ася. Усього з д ан и х циф р м ож н а скласти З ■ 2 • 1 = 6 трициф рових чисел. В ідп овідь: 6 чисел. ЗО 55 77 57 75 31. 1) 14, 25, 36, 47, 58, 69; 2) 31, 62, 93. 32. 1) 18, 29; 2) 41 , 82. 33. а) У селі В иш невом у м еш кає 2542 ж и тел і, а у Веселому — на 498 ж и тел ів більш е. С к ільк и м еш кан ц ів прож иває в обох селах разом? Р о з в ’я за н н я . bo 1) 2542 -і- 498 = 3040 (м .) — у Веселому; 2542 w .4 498 3040 2) 2542 -Ь 3040 = 5582 (м.) в обох селах. 2542 ^3040 5582 В ідп овідь: 5582 м еш кан ц і. w w б) П ерш ий підприєм ець отрим ав за тиж д ень н а 597 грн. п р и ­ бутку м енш е, н іж другий. С к ільк и грош ей вони отрим али р а ­ зом , якщ о прибуток другого під п р и єм ц я становить 7 382 грн.? Р о з в ’я за н н я . 1) 2) 7382 - 597 = 6785 (грн.) — прибуток перш ого; 597 7382 -Ь 6785 = 14 167 (грн.) — разом . 7382 "^6785 В ідп овідь: 14 167 грн. отрим али разом. 3 4. 1) 5772 2) 78381 3618 6 3729 9390 204 7382 14652 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 14167 6785
    • 3 5. 1) 2) 960 ^8 120 л 1 16 Е 2 1058 23 92 Н 0 6 138 О О ~60 К Я 4 138 16 3 )7 0 6 8 46 12 4) 589 щ ^2268 У т ш 23652 324 73 106 96 ~972 О rg 108 108 Л 2 Е 3 С 4 Я 6 5 У К 7 Р 8 А 9 ї 0 6 8 Н К А ok 1 .o О В ідп овідь: Л еся У к р аїн к а. 3 6. Р о з в ’я за н н я . w .4 bo 1) 5 ■26 = 130 (кг) — розм істили в п ’яти кіл о гр ам о ви х я щ и к а х ; 2) 600 - 130 = 470 (кг) — р о зм істи л и в д ес я т и к іл о гр ам о в и х ящ иках; 3) 470 : 10 = 47 (я щ .) — к іл ьк іс ть десяти кілограм ови х я щ и к ів . В ідп овідь: 47 я щ и к ів . 37. Р о зв ’я за н н я . w w 1) С кільки всього тістечок п р и к р аси л а перш а п рац івн и ц я? 21 ■ 7 = 147 (тіст.) 2) С кільки тістечок п р и кр аси л а друга п р ац івн и ц я? 261 - 147 = 114 (тіст.) 3) С кільки тістечок щ огодини п р и к р а ш ал а друга п рац івн и ц я? 114 : 6 = 19 (тіст.) В ідп овідь: 19 тістечок. Ф орм ула р у х у . S = V ■ t, де V (км /го д ) — ш ви д кість, t ] (год) — час. 38. 1) 240 : З = 80 (км /го д ) — ш видкість автомобіля; 2) 80 - 5 = 75 (к м /го д ) — ш ви д кість м отоцикліста; 3) 75 • 2 = 150 (км ) — проїде м отоцикліст за дві години. В ідп овідь: 150 км . 39. Р о зв ’я за н н я . 1) З якою ш видкістю м отоцикліст їх ав перш і З години? 201 : З = 67 (км /го д ) М А ТЕМ АТИ КА , о. С . Істер ш 205
    • 2) Я к у відстань йому залиш илось проїхати? 339 - 201 = 138 (км) 3) Я к а ш видкість м о тоцикліста після збільш енн я? 67 + 2 = 69 (км /го д ) 4) З а я к и й час м отоцикліст подолає реш ту ш ляху? 138 ; 69 = 2 (год) Відповідь: за 2 години. І Ц — — звичайни й дріб. п — знам енн ик, вказу є, на с к іл ь к и частин поділили; т — чисельн и к, в казу є, с к іл ь к и т а к и х частин у зя л и . rg 40. 7800 грн — “ ж ін оче і чоловіче bo 41 ok .o 1) 7800 : З = 2600 (грн.) — отрим али за м оркву; 2) 7800 - 2600 = 5200 (грн.) — отрим али за буряки; 3) 5200 - 2600 = 2600 (грн.) — р ізн и ц я . Відповідь: на 2600 грн. 24 00 пар 1 Знайдем о спочатку — частин у взуття: 2400 : 8 = 300 (пар). Д алі w .4 8 g знайдем о 8 300 • З = 900 (пар) — д итяче взуття. w w К іл ькість ж іночого взуття: 900 - 150 = 750 (пар). Тоді к іл ь к ість чоловічого взу ття дорівнює 2400 - (900 + 750) = 2400 - 1650 = 750 (пар). В ідп овідь: 750 пар. 42. 1) С к ільк и кілом етрів п роїхали автотуристи до зупи нки? 1045 - 358 = 687 (км) 2) Я к а відстань від К иєва до Я лти? 687 + 358 = 1045 (км) 3) Схема а ) — до другої зад ач і, схем а б ) — до перш ої. 43. П родуктивність — це к іл ь к іс ть деталей, я к і виготовляє робіт­ н и к за одну годину. 1) 6 - 4 = 2 (год) — на стіл ьк и довш е працю вав другий робітник; 2) 28 : 2 = 14 (дет.) — виготовляє робітник за одну годину (про­ дуктивність праці); 3) 14 • 4 = 56 (дет.) — виготовив п ерш ий робітник; 4) 56 + 28 = 84 (дет.) — виготовив другий робітник. В ідп овідь: 56 деталей і 84 деталі. 206 ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • Р О З Д І Л 1. Н А Т У Р А Л Ь Н І Ч И С Л А І Д І Ї З Н И М И . ГЕ О М ЕТР И Ч Н І Ф ІГУР И І В ЕЛ И Ч И Н И § 1. Н атур альні ч и с ла . Ч и с л о нуль. Ц и ф р и . Д е с я т к о в и й з а пи с н а тур а ль н и х ч и с е л Клас Р озряд bo ok .o rg Б у д ь -я к е н а т у р а л ь н е ч и с л о м о ж н а зап и сати за допомогою д есяти цифр: О, 1, 2, З, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9. Тому т а к и й запис н а ­ зиваю ть д е с я т к о в и м . П ослідовність усіх натуральних чисел називаю ть н а т у р а л ь н и м | р я д о м чисел: 1, 2, З, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9, 10, 11, ... В ласти вості н атурального ряду: 1 ) най м ен ш е натуральне число — 1 ; 2 ) ко ж н е наступне число більш е за попереднє н а 1 ; 3) нату р ал ьн и й р яд н ескінчен ний , найбільш ого ч и сл а в нього | немає. З вер н іть увагу! Н у л ь не є натуральним числом . Щ об ч и тати нату р ал ьн і числа, їх розбиваю ть на групи по три ци ф ри справа наліво: кл аси одиниць, ти сяч, м ільйонів і т. д. К ож ен кл ас має три розряди: одиниць, д еся тк ів, сотень. Я кщ о в числі відсутній розряд, то в запису числа на його місці стоїть 0 . М ільярдів X н о о а 05 о 0 1 3 9 4 3 w w 2 S У к ^ 1 S « к S о щ tc ч: о X Н о о .4 tt сг S S ! я 1 tt о М ільйонів 0 0 0 0 0 О диниць Т исяч X S X о g 05 V ф 2 1 0 1 И Г s X s tt о аз Бо о 5 4 8 0 S X Е и їй О о 6 2 1 Hf s s fcC о 0 9 4 4. Відповідь: 3). 4 5. 1) Один мільйон двісті п ’ятдесят сім тисяч триста дев’ятнадцять; 2 ) три д ц ять два м ільйони п ’ятсот сім н ад ц ять; w 3) один м іл ьяр д двісті три н ад ц ять м ільйонів п ’ятсот д ев ’яносто дві тисячі сімсот тридцять один; 4) сто два мільйони п ’ятн адц ять ти сяч сім. 4 6. 1) П ’ятдесят два м ільйони три ти ся ч і триста сорок два; 2 ) три м іл ьяр ди сімсот сорок два м ільйони п ’ятсот тисяч; 3) сто десять м ільйонів ш істсот дві ти сячі триста д вад ц ять сім; 4) сім м ільйонів сто один. 4 7. 1) 12 541 ЗОЇ; 2) 105 013 005; 3) 5 ООО 007 ООО; 4) З 012 018; 5) 11 110 005 042. 48. 1) 2 012 501; 2) 100 ООО 005. Щ об простіш е зап и сати або прочитати ч исло, скори стайтесь таблицею кл асів і розрядів. 1 М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 207
    • 4 9 . 5 555 555 — п ’я т ь м ільйонів п ’ятсот п ’я тд есят п ’ять ти сяч п ’ятсот п ’ятд есят п ’ять. 50. 999 999 — найбільш е ш естицифрове число. Н аступне за ним — 1 ООО ООО. 51. 1 ООО ООО, 999 999. П ерш е число більш е від другого н а од и­ ницю . 53. 27 272 727 — д вад ц ять сім м ільйонів двісті сім десят дві т и с я ­ чі сімсот двадцять сім. Ц е число має 27 м ільйонів, 272 ти ся ч і і 727 одиниць. rg Ч исло 3256 м істить три одини ці ти сяч , дві сотні, п ’я ть д есят­ ків і ш ість одиниць. Ц е м ож н а запи сати так: 3256 = З • 1000 -Ь 2 ■ 100 + 5 • 10 + 6 ■ 1 або 3256 = 3000 + 200 -Ь 50 -Ь 6 . Т аки й запис називаю ть с у м о ю р о з р я д н и х д о д а н к ів, а ч и сл а 1, 10, 100, 1000, 10 ООО і т. д. — р о з р я д н и м и о д и н и ц я м и . .o 54. 1) 12 312 473 = 1 • 10 ООО ООО + 2 • 1 ООО ООО -Ь З • 100 ООО + w w w .4 bo ok + 1 ■ 10 ООО -Ь 2 • 1000 -f- 4 • 100 -Ь 7■ 10 -hЗ • 1 = 10 О О ООО -Ь О + 2 ООО ООО + 300 ООО -h 10 ООО + 2000 + 400 + 70 + 3; 2) 5 010 980 = 5 • 1 ООО ООО + О ■100 О О + 1 • 10 ООО + О • 1000 + О + 9 • 100 + 8 ■ 10 + О • 1 = 5 ООО ООО + 10 ООО + 900 + 80. 55. 1) 7 321 548 = 7 • 1 ООО ООО + 3 • 100 ООО + 2 ■ 10 ООО + + 1 • 1000 + 5 • 100 + 4 • 10 + 8 • 1 = 7 О О О О + 300 ОО + 20 О О + О О О О + 1000 + 500 + 40 + 8 ; 2) 12 008 307 = 1 • 10 О О ООО + 2 ■ ООО 000 + 0 100 ООО + О 1 + О • 10 ООО + 8 ■ 1000 + 3 100 + О 10 + 7 • 1 = 10 ООО О О + • О + 2 ООО ООО + 8000 + 300 + 7. 56. 1) 7 • 1 ООО ООО + 3 • 100 ООО + 5 • 10 ООО + 1 • 1000 + 3 • 100 + + 2 ■10 + 7 = 7 ООО О О + 300 ООО + 50 ООО + 1000 + 300 + 20 + О + 7 = 7 351 327; 2) 4 • 1 ООО ООО + 6 10 О О + 7 ■ 10 + 9 = 4 ООО ООО + 60 ООО + О + 70 + 9 = 4 060 079; 3) 5 • 10 ООО ООО + 8 • 1000 + 3 = 50 ООО ООО + 8000 + 3 = = 50 800 003. 57. 370 157 - 7 = 370 150 — триста сім десят тисяч сто п ’ятдесят; 320 150 - 50 = 370 100 — триста сім десят ти сяч сто; 370 100 - 100 = 370 ООО — триста сім десят тисяч; 370 ООО - 70 ООО = 300 О О — триста тисяч. О 58. 1) Н айм енш е чотирициф рове число — 1000. 1000 - 5 = 995. В ідп овідь: 995. 2) Н айбільш е трициф рове число — 999. 999 + З = 1002. В ідп овідь: 1002. 59. В ідп овідь: 317. 6 0. В ідп овідь: 20, 11. 208 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • Р и м ські ч и сл а 1 _ І 2 — II 5 — V 9 — IX 500 — D 6 — VI 10 — X 1000 — М 3 — ПІ 7 — VII 50 — L 4 _ IV 8 —V III 100 — С Я кщ о м енш а ц и ф ра стоїть п ісл я більш ої, то їх н і зн ач ен н я до­ даю ться; якш;о м енш а ци ф ра стоїть перед більш ою , то зн ач ен ­ н ям є їх н я р ізн и ц я . rg 6 1. 1) 15 = 10 + 5. В ідп овідь: XV. 2) 17 = 10 + 7. В ідп овідь: XVII. 3 ) 2 3 = 10 + 1 0 - н 3 . В ідп овідь: X X III. 4) 48 = 50 - 2. В ідп овідь: IIL. 5) 52 = 50 + 2. В ідп овідь: LII. 62. 1) XVI = X + V + I = 1 0 - h 5 + l = 16; .o 2) X IX = X + X - І = 10 + 10 - 1 = 19; 3) XX V II = X + X + V + II = 1 0 -l-1 0 + 5 + 2 = 27; 4) XLIV = L - X -b lV = 50 - 10 + 4 = 44. ok 63. Я кщ о до числа 275 приписати справа О, отримаємо число 2750. 1) 2750 - 275 = 2475. В ідп овідь: на 2475. 2) 2750 : 275 = 10. В ідп овідь: у 10 разів. bo 64. 111, 210, 201, 102, 120. 65. О скільки число 27 сьоме, рахую чи я к з одного, так і з інш ого w .4 боку, то попереду та позаду від нього знаход иться по 6 чисел. Т аким чином , чисел виписано 6 + 1 4- 6 = 13. Н айм енш е з них дорівню є 27 - 6 = 21, найбільш е — 27 + 6 = 33. 6 6 . П еред улю бленою тополею С аш ка росте 4 дерева, з інш ого боку — 5. Усього дерев 4 -Ь 1 -Н 5 = 10. w w В ідп овідь: 10 дерев. 67. 1) П ом ічаєм о, щ о 1257 = 1253 + 4, 1261 = 1257 + 4, 1265 = = 1261 4. Законом ірність полягає в тому, щ о кож н е наступне число послідовності на 4 більш е від попереднього. Три наступні чи сл а ряду: 1273, 1277, 1281. 2) 3276 = 3273 -Н З, 3275 = 3276 - 1, 3278 = 3275 + З, 3277 = = 3278 - 1. П ом ічаєм о закон ом ірність: друге число ряду отри­ м али, додавш и до попереднього число З, наступне — від нявш и від попереднього число 1, д ал і ці д ії чергую ться. Три наступні чи сл а ряду: 328 0 , 3279, 3282. 6 8 . Р о зв’я за н н я аналогічне до № 67. 1) 1761 = 1763 - 2, 1759 = 1761 - 2, 1757 = 1759 - 2. К ож не наступне число отрим уєм о з попереднього зм енш енням н а число 2 . В ідп овідь: 1753, 1751, 1749. М АТЕМ А ТИ КА . О . С . Істер Ш 209
    • 2) 9835 = 9837 - 2, 9836 = 9835 + 1, 9834 = 9836 - 2, 9835 = 9834 + 1. Н аступне число р яду одерж уєм о з попереднього, поперем інно віднім аю чи 2 або додаю чи 1 . Відповідь: 9833, 9834, 9832. 6 9. Н у м ер ац ія сторінок м істи ть 9 одноциф рових чи сел, 90 дво­ циф рових (від 10 до 99) і 10 трици ф рови х (від 100 до 109). З а ­ гал ьн а к іл ьк іс ть цифр: 9 - Ь 2 - 9 0 + 3 1 0 = 9 + 180 -Ь ЗО = 219. Відповідь: 219 цифр. 70. П ерш і 9 сторінок пронум еровані 9 ци ф рам и. Р еш та 63 - 9 = 54 ци ф ри використані д ля нум ерації сторінок двоциф ровим и ч и с­ лам и . їх 54 ; 2 = 27 (с.). Т аки м чином , у зош иті 9 + 27 = 36 (с.). Відповідь: 36 сторінок. ok .o rg 71. w w w .4 bo або В прави д л я повторенн я Р о зв’я за н н я . 1) 27 - 9 = 18 (см) — друга сторона; 2) 18 + 6 = 24 (см) — тр етя сторона; 72. Р =а + Ъ 3) Р = 27 + 18 + 24 = 69 (см). Відповідь: 69 см. 73. Від 9 вересня 1769 року до 9 вересня 1838 року пройш ло 1838 - - 1769 = 69 років. Від 9 вересня до 9 листопада пройш ло 2 м ісяці. Відповідь: 69 р оків 2 м ісяц і 1 день. 74. 333 210 З -Ь З : З = 999 -Ь 1 = 1000. й*;! М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • § 2 . Порівняння на тур а ль н и х ч и с е л .o rg Р езул ьтат по р івн ян н я двох чисел записую ть у ви гл я д і н е р ів ­ н ост і, застосовую чи зн а к и < (менш е) і > (більш е). Ч исло З більш е, н іж 1, і м енш е, н іж 4. Ц е записую ть у ви гл я д і п о д вій н о ї нер івн о ст і: 1 < З < 4. Б агатоциф рові н ату р ал ьн і чи сл а порівню ю ть так: Ч исло 1007 більш е, н іж 929, тому щ о 1007 — ч оти ризначне число, а 929 — тризначне. 1007 > 929. О тж е, із двох чисел з різною к іл ьк істю ци ф р більш е те, у я к о ­ го циф р більш е. Ч и сл а 3221 і 1723 ч оти рици ф рові, але 3221 > 1723, о ск іл ьк и в перш ом у числі ти сяч більш е, н іж у другому, у чоти ри зн ач н и х чисел 7505 і 7287 ти сяч порівну, але сотень у перш ом у ч ислі більш е, тому 7505 > 7287. О тж е, якш;о к іл ь к ість циф р у двох чисел однакова, їх порівн ю ­ ють порозрядно, починаю чи зі старш их р озрядів. 2) 82 371 > 9 999; 3) 452 > 373; 4) 542 982 > 542 928; 5) 5 725 001 = 5 725 001; 6 ) 42 370 < 42 371. 7 6. 1) 673 < 701; 2) 9857 > 9854; 3) 20 002 > 19997; 4) 308 753 > 307 753; 5) 9999 < 10 001; 6 ) 1 ООО 009 < 1 001 ООО. 7 7. 1) К іл ь к іс т ь ци ф р у чисел 8237 і 8198 о д н акова, о тж е, п о ­ рівню ємо їх порозрядно. У р озряді ти сяч в обох ч и сл ах стоїть ци ф ра 8 . У р озряді сотень стоять ци ф ри 2 і 1. О скіл ьк и 2 > 1, то 8237 > 8198. 2) У числа 7352 чотири ц и ф ри , а у ч и сл а 72 111 — п ’я ть . Тому 72 111 > 7352. 3) Ч и сла 107 511 і 107 521 обидва ш естициф рові. П орівню ємо їх порозрядно зл ів а направо. П ерш і чотири ци ф ри однакові, а д алі 1 < 2, тому 107 521 > 107 511. 4) Ч и сла 52 372 і 52 370 маю ть однакову к іл ь к іс т ь циф р і від­ різн яю ться останньою цифрою : 2 > 0. Тому 52 372 > 52 370. 78. А налогічно до X» 77. 1) 937 < 973; 2) 7257 < 72 573; 3) 63 543 < 67 002; 4) 111 002 < 111 100. w w w .4 bo ok 7 5 . 1) 3753 < 37 531; П ри використанні зн ак ів «<» та «>» м енш е число м ає зн ахо­ дитись з гострого (м аленького) к ін ц я зн ак у , а більш е — з ш и ­ рокого (великого) к ін ц я зн аку. І П ерш н іж порівню вати величини , потрібно звести їх до одна­ кових одиниць вим ірю вання. 1) 5 км = 5000 м; 5000 м < 5001 м; 5 км < 5001 м; 2) 5 дм = 50 см; 50 см < 51 см; 5 дм < 51 см; 7 9. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 211
    • rg 3) 4 т 2 ц = 42 ц; 41 ц < 42 ц; 41 ц < 4 т 2 ц; 4) 7 к г 300 г = 7300 г; 7199 г < 7300 г; 7199 г < 7 к г 300 г. 8 0. А налогічно до № 79. 1 ) 2 дм = 20 дм; 21 дм > 20 дм; 21 дм > 2 м; 2) 3 к г = 3000 г; 3000 г > 2900 г; 3 к г > 2900 г; 3) 7 км 3 м = 7003 м; 7003 м > 6999 м; 7 к м 3 м > 6999 м; 4) 5 ц 51 к г = 551 кг; 592 к г > 551 кг; 592 к г > 5 ц 51 кг. 8 1. 543, 547, 692, 742, 751. p i 8 2. 8832, 8732, 7931, 7832, 987. 8 3. 1) Ч исло а більш е за 12, але м енш е від 37; І-ШЙ число а більш е за 192, але менш е від 207; 3) число а більш е за 9272, але менш е від 12 152. 8 4. 1) 275* > 2753, якш;о * > З, тобто зам ість зіроч ки м ож н а по­ ставити ци ф ри 4, 5, б, 7, 8 або 9; 2) 7292 > 729*, якш,о 2 > *, * = О або 1; 3) 12*3 > 1227, якш;о * > 2; * = З, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9; 4) 4*73 < 4874, якш;о * < 8 , тоді * = О, 1, 2, З, 4, 5, 6 , 7. .o І ok Щ об порівняти значення двох виразів, потрібно обчислити і по­ р ів н я ти їх зн а ч е н н я . Б іл ь ш и м є той в и р а з, зн а ч е н н я якого більш е. 85. 1) 25 • З + 36 = 75 -Ь 36 = 111, w w w .4 bo (12 + 35) • З = 47 • З = 141, 141 > 111, 25 • З + 36 < (12 -Ь 35) • 3; 2) 205 : 5 - 23 = 41 - 23 = 18, (278 - 125) : 9 = 153 : 9 = 17, 18 > 17, 205 : 5 - 23 > (278 - 125) : 9. 8 6 . 1) 234 : 9 + 12 = 26 + 12 = 38, (49 - 25) ■2 = 24 ■2 = 48, 38 < 48, 234 : 9 -Н 12 < (49 - 25) • 2; 2) (27 + 37) : 4 = 64 : 4 = 16, 38 - 91 : 7 = 38 - 13 = 25, 16 < 15, (27 4- 37) : 4 < 38 - 91 : 7. 87. 2543, 2544, 2545, 2546, 2547, 2548, 2549. В ідп овідь: 9 чисел. 8 8 . 1) 4 < Ь < 17; 2) 8 < d < 32; 3) 7 < с < 13; 4) 10 < X < 12. 89. 1) 10 < 12 < 20; 2) 10 < а < 15. 90. 1) 22, 23, 24, 25, 26; 2) 498, 499, 500, 501; 3) 5296, 5297, 5298, 5299, 5300. 91. В ідп овідь: 218. 92і 1) 3897 < 389*, якш;о * = 8 , 9; 2) 5382 > 538*, я к щ о * = О, 1; 3) 1279 < 12*8, я к щ о * = 8 , 9; 4) 1*45 < 1541, я к щ о * = О, 1, 2, З, 4. 212 Ш МАТЕМАТИКА. О. с . істер
    • 93. 1) Ч и сл а 37*** і 32*** м аю ть однакову к іл ь к ість циф р, тому w w w .4 bo ok .o rg порівню єм о їх порозрядно. У р озряді д есятків тисяч в обох ч и с­ л а х стоїть ц и ф р а З, а в р о зр я д і од и н и ц ь т и с я ч 7 > 2, том у 37*** > 32***. 2 ) **1 ** > 9 ***, о скіл ьк и перш е число п ’яти циф рове, а друге — чотирициф рове. 3) Ч и сл а 4*8** і 499** обидва п ’яти ц и ф р о ві, порівню ємо порозрядно. У най стар ш и х р о зр ядах ци ф ри однакові. П рип усти м о, що в р озряді д есятків тисяч перш ого чи сл а стоїть ц и ф ра 9, тоді, п орівн явш и наступний розряд, маєм о 8 < 9 і 4*8** < 4999**. Б у д ь-я к а ін ш а ц и ф ра в р озряді д есятків тисяч ч и сл а 4*8** менш а від 9, отж е, 4*8** < 499**. ''''''''' 4) 91*** > *02**, о скіл ьк и навіть якш;о зам ість перш ої зіроч ки у другом у ч ислі поставити 9, воно все одно буде менш е від пер­ ш ого, бо в наступном у р озряді 1 > 0 . 94. А налогічно до № 93. 1 ) 49 *** > 38***; 2) *999 < 1*2*3; 3) 589* < 7***; 4) 98** > *765. 95. 1) Щ об число було най більш им з усіх м о ж л и ви х чисел, зап и ­ саних д есятьм а ци ф рам и, потрібно, пдоб ко ж ен розряд м істив найбільш у з м о ж л и ви х циф р. О скільки ци ф ри не повторю ю ть­ ся, то в найстарш ом у р озряді має бути 9, у наступном у — н ай ­ більш а з циф р, щ о л и ш и л и ся , — 8 , д ал і — 7 і т. д. В ідп овідь: 9 876 543 210. 2) Щ об число було най м ен ш и м з усіх м о ж л и ви х чисел, за п и ­ саних д есятьм а ци ф рам и, потрібно, щоб ко ж ен розряд містив най м ен ш у з м о ж л и ви х циф р. О не м ож е стояти на перш ом у м іс­ ц і, тому в найстарш ом у р озряді має бути 1, у наступном у — О, д алі 2 і т. д. В ідп овідь: 1 023 456 789. 96. А налогічно до 95. 75 320 — най більш е, 20 357 — найм енш е. 97. 1) Ч исло 9 231 найбільш е, бо у старш ом у р озряді стоїть н а й ­ більш а ц и ф ра 9. 2) Ч исло 5231 най м енш е, бо 5 — най м ен ш а з м ож л и ви х циф р у старш ом у розряді. 98. Д л я зручності назвемо в ан таж і «куб» і « куля». 1) К уля в а ж ч а за куб на 4 -І- З = 7, або к у л я = куб + 7. 2) К уля = 2 -І- 1 = З (од.) — за другим м алю нком . Я кщ о на перш ом у м алю н ку з ліво ї ч аш і терезів зн я ти кулю , а на правій вагу зм енш ити н а З одиниці, одерж им о, щ о три куба в аж ать 6 одини ць, а один куб — 2 одиниці. О тж е, к у л я важ ч а за куб н а 1 одиницю . 99. 1) 12 к г 415 г • 15 -І- 7 к г 17 г = 12 415 г • 15 -t- 7017 г = = 186 225 г + 7017 г = 193 242 г = 193 к г 242 г; М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 213
    • X 12415 15 62075 + 186225 7017 193242 12415 186225 13 т 6 ц : 17 - 607 к г 115 г = 136 ц : 17 - 607 к г 115 г = = 8 ц - 607 к г 115 г = 800 к г - 607 к г 115 г = 192 к г 885 г; 800 к г ООО г ~ 6 0 7 к г 115 г 192 к г 885 г Відповідь: 193 к г 242 г > 192 к г 885 г. 2) 17 м 12 см • 25 - 5 дм 3 см = = 1712 см • 25 - 53 см = = 42 800 см - 53 см - 42 747 см = = 427 м 47 см; 42880 25 53 rg 1712 42747 .o 8560 ok 3424 w w w .4 bo 3 км 6 м : 9 + 94 м 5 дм = = 3006 м : 9 + 94 м 5 дм = = 334 м + 94 м 5 дм = = 428 м 5 дм = 428 м 50 см. Відповідь: 427 м 47 см < 428 м 50 см. 42800 334 3006 '2 7 334 94 “4 ^ 30 "2 7 36 36 О 1) (2 + 2 + 2) : 2 < 4; 2) 2 ■(2 + 2 + 2) > 9. 1 0 1 . 1) С початку обчислимо зн ачення обох виразів. 55 + (1324 : 4 - 1) : 10 = 88 ; 2) 331 - 1 = 330; 3) 330 : 10 = 33; 4) 55 + 33 = 88 ; 1) 1324 100. 12 331 12 12 4 4 ~0 214 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • (764 + 2832 : 12) : 8 - 35 = 90; 1 ) 2 8 3 2 12 2) 764 3 ) 1 0 0 0 236 4) 125 - 35 = 90. 20 ^ 43 8 8 1000 24 125 16 "36 ш 72 72 40 ~0 1890 540 707 ’7 101 101 2106 ~Ч 1890 ~0 ok 135 .o 14 rg О М іж числам и 88 і 90 знаходиться число 89. Відповідь: 88 < 89 < 90. 2) (2597 - 14 • 1 3 5 ): 7 + 2005 = 2106; 2005 2597 135 707 bo (3400 : 25 + 417) • 5 - 661 = 2104; 2765 136 553 3400 25 X 661 417 5 ~25 136 90 553 2104 w .4 ~75 150 2765 w w 150 О М іж числам и 2104 і 2106 знаходиться число 2105. Відповідь: 2104 < 2105 < 2106. 102. 247, 274, 427, 472, 724, 742. 103. 17 < 48 - 12 - 18 < 24, бо 48 - 12 - 18 = 18; 17 < 48 : 12 + 18 < 24, бо 48 : 12 + 18 = 22. В прави д л я п о вторенн я 104. 1 ) - доби = З год = 180 хв. ^ 1 2) У добі 24 години. — доби дорівню є 24 : 12 = 2 (год). — доби — 2 • 5 = 10 (год). 12 В 1 годині 60 х ви л и н . 10 годин — це 10 • 60 = 600 (хв). к О тж е, — доби = 10 год = 600 хв. 12 I Z М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 215
    • 105. 1 )— хв = 60 : 12 ■ 7 = 5 •7 = 35 (с); X2 7 — хв + 13 с = 35 с + 13 с = 48 с; 12 2 ) — хв = 60 : 15 • 8 = 4 ■8 = 32 (с); 106. 1 ) - хв дорівню є 60 с : 3 = 20 с, - хв = 20 с • 2 = 40 с; 3 3 2 40 с = 40 с, тобто — хв = 40 с. 3 750 кг, rg 2 ) - т = 1000 к г : 4 = 250 к г, - т = 250 к г ■3 4 4 о bo ok .o 750 к г < 800 кг, — т < 800 кг. 4 107. В и зн ачи м о , с к іл ь к и сторінок н аб и р ал и три оператори за один день: 399 : 7 = 57 (стор.) П родуктивність прац і (кіл ьк ість сторінок, я к і набирає один опе­ ратор за один день): 57 : З = 19 (стор.). Тоді 57 : 19 = З (дні) — час, за я к и й один оператор набере 57 сторінок. Відповідь: З дні. w .4 щш ^ ^ 8 41 с - — хв = 41 с - 32 с = 9 с. - 15 § 3 . Д о д а в а н н я н а тур а ль них ч и с е л . В л а с ти в о с т і д о д а в а н н я Ч исла, я к і додаю ть, називаю ть д о д а н к а м и , а число, я к е отри­ мують у резу л ьтаті, — с у м о ю . w w Ш доданок а доданок + Ъ сума = с сума В ластивості д о даван н я 1. П ереставна: а + Ь = Ь + а. Від перестановки доданків сума не зм іню ється. 2. Сполучна: (а + Ь) + с = а -Н (Ь -І- с). Щ об до суми двох доданків додати третє число, можна до пер­ шого числа додати суму другого і третього чисел. Із переставної та сполучної властивостей вип ли ває, що в сумі к іл ьк о х чисел доданки м ож н а м ін я ти м ісц ям и та об’єднувати в д у ж ки б у дь-яки м способом. Властивості н у л я при додаванні: а -ь О = а, 0 + 0 = 0 , 0 + Ь = Ь. 216 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . О. Істер
    • 1) 152 + 343 = 495; 492 + 108 + 17 = (492 + 108) + 17 = 600 + 17 = 617; 513 + 85 + 87 = (513 + 87) + 85 = 600 + 85 = 685; 120 + 546 + 880 = (120 + 880) + 546 = 1000 + 546 = 1546; 32 + 14 + 18 + 16 = (32 + 18) + (14 + 16) = 50 + ЗО = 80; 76 + 21 + 79 + 4 = (76 + 4) + (21 + 79) = 80 + 100 = 180. 109. Д одавання «у стовпчик» виконуєм о порозрядно: одини ці до­ даємо до одиниць, д есятки — до д есятків і т. д. 1) 88 639 2) 7 006 489 365 3) 148 495 4) 5 078 075 009 108. 2) 3) 4) 5) 6) ^ 7 5 089 ^ 1) ^ ^ 3 2 753 .%v.y 49 875 477 84 708 907 5 137 532 082 rg 133 302 5 757 706 980 80 ООО 1) 469 572 + 1 217 311 + 569 = 1 687 452; 469 572 1 686 883 1 2 1 7 311 569 1 686 883 1 687 452 ok + 5 156 752 397 4) 5 097 656 605 .o 111. 400 ООО 3) 47 247 2) 5 672 998 073 75 935 "^57 367 ■ 78 677 388 251505 8 005 489 834 163 728 110. 999 ООО 469 bo 2) 12 382 790 + З 215 891 Н 5001 = 15 603 682; 12 382 790 15 598 681 3 215 891 5 001 15 598 681 15 603 682 579 755 + 873 + 339 686 = 920 314; 579 755 580 628 w .4 112. 339 686 873 w w 9 2 0 3 Е Н 0 Д 580 628 920 314 75 982 + 14 582 + З 005 018 = З 095 582; 75 982 З 005 018 14 582 90 564 1 л 4 І 90 564 З 095 582 3 К 0 у 9 В 5 К 5 К 8 Ч 1 л 9 Е 3 О 2 Н 4 І 0 Д 2 А 5 К 3 Р 2 А 9 В Д одаван н ям р о зв’язу ю ться зад ач і, в я к и х потрібно: 1 ) знай ти загал ьн у к іл ьк іс ть предметів; 2 ) збільш ити число на...; 3) знай ти число, більш е за дане на... 8 Ч 0 У 5 К І
    • 113. 59 789 311 + 812 = 59 790 123. 59 789 311 114. 59 790 123 7 819 ООО + (5932 + 6897) = 7 831 829. 5932 812 ^6897 ^ 113. 1) 1 259 893 + 5399 = 1 265 292; 12829 1 2 5 9 893 7 819 ООО 12 829 7 831 829 5 399 1 265 292 2) (2 593 498 + 3 492 003) + 52 792 = 6 138 293; 2 593 498 6 085 501 ^ 52 792 6 085 501 6 138 293 I спосіб. 37 + (37 + 12) = 37 + 49 = 86 (банок). I I спосіб. 1 ) 3 7 + 12 = 49 (банок) — н а обід; 2) 37 + 49 = 86 (банок) — усього. Відповідь: 86 банок. 117. 92 + 137 + 52 = 281. 92 229 Відповідь: 281 к н и ж к а . ^ 1 3 7 ^ 52 bo ok .o 116. rg ^ 3 492 003 w .4 229 281 1 1 8 . Знайди число, я к е н а 28 489 більш е, н іж число 71 518. 28 489 ^71518 w w 100 007 Відповідь: 100 007. 1 1 9 . 1) 458 + 1757 + 3042 = (458 + 3042) + 1757 = 3500 + 1757 = = 5257; 2) (625 + 527) + 375 = (625 + 375) + 527 = 1000 + 527 = 1527; 3) 9081 + (10 200 + 919) = (9081 + 919) + 10 200 = = 10 ООО + 10 200 = 20 200; 4) 273 + 591 + 727 + 209 = (273 + 727) + (591 + 209) = = 1000 + 80 = 1800. 120. 1) 402 + 7982 + 1598 = 7982 + (402 + 1598) = 7982 + 2000 = = 9982; 2) (2414 + 197) + 47 586 = 47 586 = 197 + (2414 + 47 586) = 2 414 = 197 + 50 ООО = 50 197; 50 ООО 3) 27 + 311 + 73 + 819 = (27 + 73) + (311 + 819) = 100 + И ЗО = 1230; 218 Ш МАТЕМАТИКА . О. С. Істер
    • 4) 33 + 34 + 35 + 36 + 37 = (33 + 37) = (70 + 70) + 35 = 140 + 35 = 175. 121. 1) 8 3 9 1 5 9 2 9 592 347 7 453 372 6 252 617 15 844 964 (34 + 36) + 35 = 15 844 964 8 391 592 + 7 453 372 = 9 592 + 6 252 617; 2) 3 592 731 З 493 573 5 492 114 765 10 111 + З 608 338 Я ш з 608 334 З 608 334 < З 608 338; З 592 731 + 5492 + 10 111 < З 493 573 1) Я кщ о л: = З 892 316, то 5 792 397 + З 892 316 = = 9 684 713. 114 765. 5 792 397 rg 122. ^ 3 892 316 .o 9 684 713 312 492 -f 1 319 542 314 089 1 633 631 w .4 bo ok 2) Я к щ о а = 1597, + « = 1 319 542, то ) 1597 1597 + 312 492 + 1 319 542 = 314 089 = 1 633 631. 123. І день — 13 223 к г -------II день — ? на 123 к г б іл ьш е— -? кг III день — ? н а 727 к г б іл ьш е1) 13 223 — зібрали другого дня; ^ 1231 2) 14 4 5 4 (кг) 14 454 — зіб рали третього дня; w w 727 3) 15 1 8 1 (кг) — зіб рали за три дні. 13 223 + 14 454 15 181 42 858 (кг) Відповідь: 42 8 58 к г або 42 т 858 кг. 1 2 4 . О лівець — 73 коп . — Р у ч к а — на 52 коп . більш е -JJ Зош ит — на 1 грн. 24 коп. більш е-І1) 73 коп. + 52 коп. = 125 коп. — вартість ручки; 2) 73 коп. + 125 коп. = 198 коп. = 1 грн. 98 коп. — вартість олівц я і руч ки разом ; М АТЕМ АТИ КА, о. С . Істер Ш 219
    • 3) 1 грн. 98 коп. + 1 грн. 24 коп. = 2 грн. 122 коп. = = 3 грн. 22 коп. — вартість зош ита; 4) 1 грн. 98 коп. + 3 грн. 22 коп. = 4 грн. 120 коп. = 5 грн. 20 коп. Відповідь: 5 грн. 20 коп. 125. 1) 5 7 3 5 7 1 2) 787595 "^426429 ^147834 1000000 935429 Щ об сум а двох чисел була най більш ою , необхідно, ш;об доданки були наіібільш и м и. Д ва най біл ьш и х р ізн и х ш естиц иф рових числ а — 999 999 і 999 998. Відповідь: 1 999 997. 999 999 126. 1805 + 1815 + 1825 + 1835 + 1845 = = (1805 + 1845) + (1815 + 1835) + 1825 = = 3650 + 3650 + 1825 = 9125. Відповідь: 9125. _________ 1 999 997 3650 + 3650 or g 127. ^999 998 1825 9125 П ерш е число дорівню є 58 506, щ о на 17 480 менш е, н іж друге, а друге число н а 12 981 м енш е, н іж третє. Зн ай д и третє число. 1) 58 506 2) 75 986 "^17 480 bo ok . 128. "^12 981 w .4 75 986 88 967 Відповідь: 88 967. І w Б у к в е н и м нази ваєть ся вираз, я к и й скл ад аєть ся з чисел, букв, зн ак ів ариф м ети чни х дій та д у ж ок. Спрощ ую чи так и й вираз, мож ем о виконувати дії тіл ь ки з числам и. З + а = За — неправильно! 1) (72 + а) + 29 = (72 + 29) + а = 101 + а; 2) 43 + (96 + Ь) = (43 + 96) + Ь = 139 + Ь; 3) m + 1001 + 9999 = (1001 + 9999) + m = 11 ООО + /п; 4) 1273 + n + 2127 = (1273 + 2127) + n = 3400 + п. 130. 1) (39 + X ) + 171 = (39 + 171) + л: = 210 + л:; 2) 212 + у + 3598 = (272 + 3598) + і/ = 3870 + у. 131. (32 + у ) + 128 = (32 + 128) + г/ = 160 + г/. Я кщ о у = 320, то 160 + 320 = 480. Відповідь: 480. w 129. 132. 1) 18 492 — другий доданок; 793 19 285 220 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 2) 18 492 — сум а двох доданків. "^19 285 37 777 Відповідь: 37 777. 133. 25 мм V I на 5 мм більше w w w .4 bo ok .o rg 1) 25 мм + 5 мм = ЗО мм — відрізок ВС; 2) ЗО мм + 7 мм = 37 мм — відрізок CD; 3) 25 мм + ЗО мм + 37 м м = 92 мм — відрізок A D . Відповідь: 92 мм. 1 3 4 . 1) Сума зб іл ьш и ться на 10; 2 ) сума зм енш иться на 6 ; 3) сума збільш и ться на 5 + 7 = 12; 4) сума зм енш иться н а З + 9 = 12; 5) сума збільш и ться на З - 1 = 2; 6 ) сума зм енш иться на 7 - 5 = 2. 1 3 5 . 1) Сума зб іл ьш и ться на 13; 2) сум а не зм ін и ться. 1 3 6 . Відомо, ш;о 10 одиниць р озряду натурального чи сл а стан ов­ л я т ь 1 одиницю наступного, більш старш ого розряду. О скіл ьки сум а д ан и х двох п ’яти ц и ф р о в и х чисел теж п ’яти ц и ф р о в а, то сума перш их циф р доданків не перевищ ує 9. П ерш а ц и ф ра п ер­ ш ого доданка — 8 , тоді перш а ци ф ра другого — 1. Сума чисел починається з ци ф ри 9. 1 3 7 . Н і, не м ож е. Я кби м енш ий із доданків був більш им за 251, тоді більш ий із доданків був би більш им п ри найм ні за 252. А ле 251 + 252 = 503. Тобто сума таки х доданків була б більшою за 500. 1 3 8 . І пол. — X кн . ^ ' II пол. — ЗО кн . ” -? III пол. — на 5 кн . більш е-І Р о зв’я за н н я . Н а перш ій і д ругій п о л и ц я х разом {х + ЗО) к н и ж о к , тоді н а тр е­ тій полиці л: + 30 + 5 = д: + 35 к н и ж о к . Разом на трьох п ол и ц ях: л: + ЗО + л: + 35 = 2 ■X + 65. Я кщ о д: = 24, то 2 • 24 + 65 = 48 -(- 65 = 113 (кн .). Відповідь: 2 ■х + 65; 113 к н и ж о к . 139. 22 __ 27 26 29 25 21 24 23 М аємо заповн ений други й сто вп ч и к, за я к и м зн ай дем о сум у чи сел у к о ж н о м у р я д к у , стовпчику і діагон алі. 27 -Ь 25 + 23 = (27 + 23) -Ь 25 = = 50 + 25 = 75. 28 М АТЕМ АТИ КА , о. С. Істер Ш 221 л
    • w w w .4 bo ok .o rg Тоді в останній клітин ці першого рядка стоїть число 75 - (22 + 27) = = 75 - 49 = 26. Тепер м ож ем о знай ти число в останній к л іт и н ц і перш ого стовпчика: 75 - (26 + 25) = 75 - 51 = 24. А налогічно: 75 - (22 + 24) = 75 - 46 = 29; 75 - (29 + 25) = 75 - 54 = 21; 75 - (24 + 23) = 75 - 47 = 28. 140. Л егко пом ітити, щ о сум а циф р у кож ном у р озряді дорівню є •ЩЩ: 18, і 10 одиниць розряду перетворю ю ться в одиницю наступного розряду. В ідп овідь: 9999 + 9999 = 19 998. •ШШ: 1 4 1 . Задачу р о зв’язан о в підручнику. П о я с н е н н я (див. схему). Коли з перш ого складу вивезли 200 к г, к іл ь к іс ть ф руктів на скл ад ах зр івн ял ась. Д ал і з перш ого склад у продовж или вивозити ф рукти, доки їх не стало на 300 к г менш е, н іж на другом у скл ад і, тобто вивезли ш;е 300 кг. Усього 200 к г + 300 к г = 500 кг. В ідп овідь: 500 кг. 142. 345 + 354 + 543 + 534 + 435 + 453 = 780 = (345 + 435) + (543 + 354) + (534 + 453) = +897 = 780 + 897 + 987 = 2664. В ідп овідь: 2664. 143. І яш;. — 17 кг 2664 II я щ . — на 17 к г більш е III я щ . — на 8 к г більш е У перш ом у я щ и к у н а у к г кар то п л і м енш е, н іж у другом у, тобто в другому — на г/ к г більш е, н іж у перш ом у, а саме (17 + у) кг. У двох я щ и к а х разом : 17 + (17 + і/) = (17 + 17) + і/ = 34 + г/ (кг). У м іш ку: 34 + і/ + 8 = (34 + 8 ) + г/ = 42 + г/ (кг). Усього у двох я щ и к а х і м іш ку: (34 + у) + (42 + у) = (34 + 42) + (і/ + (/) = 76 + 2у. Я кщ о і/ = З, то 76 + 2 ■З = 76 + 6 = 82 (кг). Відповідь: 76 + 2у, 82 кг. В прави д л я повторенн я І Щ об визн ачи ти , у с к іл ь к и разів число а більш е від чи сл а Ь, потрібно а поділити на Ь. 1) 2 год = 2 ■60 хв = 120 хв, 120 хв : 40 хв = 3. Відповідь: дві години більш е у З рази. 2) 2 т = 20 ц; 20 ц : 5 ц = 4. Відповідь: дві тонни більш е, н іж 5 центнерів, у 4 рази . 144. 1 ) і т = 1 0 ц : 5 = 2ц; - т = 4- 2 ц = 8 ц ; 8 ц > 7 ц ; - т > 7 ц ; 5 5 5 145. 2 ) — ц = 100 к г : 10 = 10 кг; — ц = З • 10 к г = ЗО кг; 'іО 10 ЗО кг > 29 к г; ^ 222 Ш Ц > 29 кг; М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 3 ) ^ т = 1 0 ц :1 0 = 1ц; ^ т = 9 1 ц = 9 ц ;1 ц < 9 ц ; 4 ) i т = 1000 кг : 5 = 200 кг; — т = 200 к г • 3 = 600 кг; 5 5 О 6 ц 12 КГ = 612 к г ; 600 к г < 612 к г ; — т < 6 ц 12 к г ; 5 5) 8 ц 50 к = 850 кг; — т = 1000 к г : 20 • 17 = 80 17 = 50 • 17 = 850 кг; 8 ц 50 к г = — т; 20 4Q 4Q 6 ) — т = 1000 к г : 50 ■49 = 980 кг; — т = 980 кг. 50 50 850 2а+ Ь а а а а а = = = = = 5, 6 = 7 , то 2 - 5 + 7 = 1 7 — КО. rg Я кщ о Я кщ о Я кщ о Я кщ о Я кщ о 8 , Ь = 2, то 2 ■8 + 2 = 18 — Ш ЕВ. 7, Ь = 5, то 2 • 7 + 5 = 19 — ТА. 8 , 6 = 4, то 2 • 8 + 4 = 20 — Ч Е Н . 6 , Ь = 3, то 2 • 6 + 3 = 15 — РАС. 17 КО bo ok 19 15 18 20 ТА РАС Ш ЕВ Ч ЕН Відповідь: Т арас Ш евченко. .o 146. 50 § 4 . Віднімання на тур а ль н и х ч и с е л w .4 Д ія, за допомогою я к о ї за відомою сумою та одним із д оданків | знаходять другий доданок, н ази вається від н ім а н н я м . Н ап р и кл ад, я к щ о Ъ + с = а, то різниця а - зменш уване Ь = від’єм н ик с різн и ця w w Д одавання і від н ім ан н я — взаєм но обернені дії, тому їх м о ж н а | використовувати д л я перевірки. 7 350 002 6 742 621 ^ 27 569 607 381 607 381 353 495 381 064 6 742 621 7 350 002 705 963 618 584 500 013 97 321 87 379 ^ 87 379 ^ 402 692 402 692 618 584 705 963 97 321 500 013 149. 150. 1) 381 064 353 495 27 569 148. 1) 2) 2) 1 ) 1 0 412 342 2) 3 503 765 284 3) 1 ООО ООО ООО 5 312 473 1 370 495 397 382 049 547 5 099 869 2 133 269 887 617 950 453 МАТЕМАТИКА, о. с. (стер Ш 223
    • 4) 5 132 472 319 4 997 998 999 134 473 320 151. 1) 5 321 492 2) 5 006 444 311 3) 10 417 001 1 275 384 ш ш ш Ш й 2 227 535 422 5 342 552 4 046 108 2 778 908 889 5 074 409 4) 7 ООО ООО ООО 456 678 891 6 543 321 109 342 512 4 391 5792 115 379 153. .o 457 891 ~3983 ok 1) 12 372 2) ~ 7 981 152. rg ■ Щ об визн ачи ти , на с к іл ьк и одне число більш е (або менш е) від 1 другого, потрібно від більш ого чи сл а від н яти м енш е. 1809 I мот. — 129 м ---II мот. — на 27 м м енш е J h? 1) 129 - 27 = 102 (м) — ниток у другому м отку; 2) 129 + 102 = 231 (м) — ниток у двох м отках. Відповідь: 231 м. w .4 bo 154. Б азіл іо — 12 оч. •*- .9 А ліса — на 3 04. м е н ш е -1_Г ' 1) 12 - 3 = 9 (оч.) — набрала А ліса; 2) 12 + 9 = 21 (оч.) — набрали разом . Відповідь: 21 очко. w w 155. 1) Я кщ о а = 8397, то 8397 - 57 92 = 2605. 8397 156. 2) Я к щ о Ь = 9001, то 35 492 - 9001 = 26 491. 35 492 5792 9 001 2605 26 491 Я кщ о а = 10 ООО, то 10 ООО - 5792 = 4208. 10 000 Я к щ о Ь = 5993, то 35 492 - 5993 = 29 499. 35 492 5 792 4 208 224 5 993 29 499 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 157. Т О М -1 5 9 Г Р Н .І Гек - ? I 1) 327 - 159 = 168 (грн.) — виграв Г ек; 2) 168 > 159, 168 - 159 = 9 (грн.). Відповідь: Г екльберрі виграв більш е на 9 гривень. 1 5 8 . 1) 1380 - 657 = 723 (т) — зібрали ж и та; 2) 723 > 657, 723 - 657 = 66 (т). В ідповідь: ж и та зібрали більш е на 66 тон. 1380 Ш ІІ ^ _____ 723 Ш Щ 1 5 9 . 1) 23 - 18 = 5; 2) 18 + 5 = 23. Відповідь: п рави ла виконую ться. 1) 4006 - 2197 + 875 = 2684; 4006 1809 rg 160. ~ 2 1 9 7 ^ 875 2) 2684 .o 1809 80 205 - 12 336 - 17 884 = 49 985; 17 884 67 869 49 985 3) ok 67 869 bo 80 205 ~ 12 336 5 342 542 + (З 735 507 - 2 013 973) = 7 064 076; 5 342 542 w .4 3 735 507 2 013 973 "^1 721 534 1 721 534 7 064 076 18 473 982 - (10 547 311 - 8 142 891) = 16 069 562; 4) 18 473 982 8 142 891 2 404 420 2 404 420 16 069 562 w w 10 547 311 161. 1) 47 105 + 29 895 - 57 937 = 19 063; 47 105 77 000 "^29 895 ~ 5 7 937 77 ООО 2) 19 063 115 397 - 96 588 - 2389 = 16 420; 115 397 18 809 96 588 2 389 18 809 16 420 Е Ш і Ш І Ш І Ш Ш Ш Ш Ш Ш МАТЕМАТИКА, 8 У сіГД Р, 5 к л . о. С. Істер Ш 225
    • 3) 705 312 999 - (472 382 515 + 43 180 397) = 189 750 087; 472 382 515 705 312 999 ^ 43 180 397 ” 515 562 912 515 562 912 4) 189 750 087 472 515 392 + (13 839 572 - 8 457 342) = 477 897 622; 13 839 572 472 515 392 8 457 342 5 382 230 5 382 230 477 897 622 ok .o rg В ласти вості в ід н ім ан н я 1. Віднімання суми від числа. Щоб відняти суму від числа, можна від нього відняти один із доданків, а потім від резуль­ тату відняти другий доданок; а — (Ь + с) = (а - Ь) — с або а - (Ь + с) = (а - с) — Ь. 2. Віднімання числа від суми. Щоб відняти число від суми, можна відняти його від одного з доданків і до результату до­ дати другий доданок: (а + Ь) — с = (а - с) + Ь (якщо а > с або а = с), або (а + Ь) — с = (Ь — с) + а (якщо Ь > с або Ь = с). 1) 78 - (45 -Ь 18) = (78 - 18) - 45 = 60 - 45 = 15; 547 - (20 + 47) = (547 - 47) - 20 = 500 - 20 = 480; 98 - 13 - 28 = (98 - 28) - 13 = 70 - 13 = 57; (400 + 735) - 200 = (400 - 200) -Н 735 = 200 -Ь 735 = 935; (547 + 329) - 247 = (547 - 247) + 329 = 300 -Н 329 = 629; 593 - 90 = (590 + 3) - 90 = (590 - 90) -Ь З = 500 -Ь З = 503. 163. 1527 - 381 = 1146; 1527 162. w .4 bo 2) 3) 4) 5) 6) 381 w w 1146 1) Збільш им о зм енш уване н а 15 і обчислимо різницю : _ 1 542 (1527 -Н 15) - 381 = 1542 - 381 = 1161; 381 1161 > 1146; 1161 - 1146 = 15. -уГ бІ Р ізн и ц я збільш и лась н а 15. 2) Зм енш им о зм ен ш у в ан е н а 73, обчислим о нову різницю та порівняєм о з даною. ^ (1527 - 73) - 381 = 1073; 73 381 1146 > 1073; 1146 - 1073 = 73. 1454 1073 Р ізн и ц я зм енш илась на 73. 3) Збільш им о в ід ’єм н и к н а 24, обчислимо нову різни цю та по­ рівняєм о з даною. 1527 - (381 -Ь 24) = 1527 - 405 = 1122; 1122 < 1146, 1146 - 1122 = 24. Р ізн и ц я зм ен ш и лася на 24. 226 ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 1527 4) А налогічно: 1527 - (381 - 83) = 1527 - 298 = 1229; 1229 > 1146, 1229 - 1146 = 83. Р ізн и ц я зб іл ьш и лася на 83. 164. 298 1229 Р ізн и ц я 1 961 968 257 381 417 591 В ід ’єм н и к 2 311 549 240 476 3 517 219 Зм енш уване 4 273 517 497 857 3 934 810 4 273 517 497 857 3 517 219 2 311549 257 381 417 591 1 961 968 240 476 З 934 810 rg Ш видкість за течією = власна ш ви д кість + ш вид кість течії. Ш видкість проти течії = власна ш ви д кість - ш видкість течії. 1) 27 - З = 24 (км/год) — швидкість проти течії; 2) 42 - 2 = 40 (км /год) — власна швидкість; 40 - 2 = 38 (км /год) — швидкість проти течії. І спосіб. ok 166. І .o 165. I I спосіб. bo Швидкість катера за течією складається з його власної швидко­ сті та швидкості течії. Тоді швидкість течії дорівнює 25 - 21 = 4 (км/год). 21 - 4 = 17 (км /год) — швидкість проти течії; 25 - 17 = 8 (км /год) — різниця. w w w .4 25 - 21 = 4 (км /год) — швидкість течії. Оскільки різниця м іж швидкістю за течією та проти течії — це подвоєна швидкість течії, маємо: 4 - 2 = 8 (км /год) — різниця. В ідп овідь: на 8 км /год. 167. 1) 989 759 344 8 1 5 169. Й 2 157 2) 757 232 168. 597 342 232 527 І част. — З м 13 см ч ---------------- 2 ) 429 357 238 092 382 711 1 )5 2 6 2 5 9 143 548 191 265 II част. — на 2 м 23 см м ен ш еJ ^5 м 16 см III част. — ? Р о зв’я за н н я . 1) З м 13 см - 2 м 23 см = 2 м 113 см - 2 м 23 см = 90 см — друга частина; 2) 5 м 16 см - (З м 13 см + 90 см) = 5 м 16 см - З м 103 см = = 5 м 16 см - 4 м З см = 1 м 13 см — тр етя частина. Відповідь: д овж и н а третьої частин и м отузки 1 м 13 см. М АТЕМ А ТИ КА . О . С . Істер 8* Ш 227
    • 170. Альбом — ? -1 1 гр н . 40 коп . Зош ит — •*Ручка — 2 грн. 70 коп ., на 90 коп. б іл ь ш е- Р о зв’я за н н я . 1) 2 грн. 70 коп. - 90 коп. = 1 грн. 80 коп. — кош тує зош ит; 2) 2 грн. 70 коп. + 1 грн. 80 коп. = 4 грн. 50 коп. — кош тую ть зош ит і р у ч ка разом; 3) 11 грн. 40 коп. - 4 грн. 50 коп. = 10 грн. 140 коп . - 4 грн. 50 коп. = 6 грн. 90 коп. — вартість альбому. В ідповідь: альбом кош тує 6 грн. 90 коп. И5 л 171. 67 л rg 72 л .o 1) 115 - 72 = 43 (л) — ви качав третій насос; 2) 115 - 67 = 48 (л) — ви качав другий насос; 3) 72 - 48 = 24 (л) — ви к ачав перш ий насос. Відповідь: 24 л , 48 л і 43 л. ok ^ У2 III п bo більш е 118 км w .4 Р озв’я за н н я . 1) 118 - 79 = 39 (кн .) — на третій полиці; 2) 39 - 2 = 37 (кн .) — на д ругій полиці; 3) 79 - 37 = 42 (кн .) — на перш ій полиці. В ідповідь: 42 к н и ги на перш ій п о л и ц і, 37 кн и г 39 кн иг — на третій. 1) 437 125 - л: = 237 425. Щ об в и зн а ч и т и н ев ід о м и й в ід ’єм н и к , від зм енш уваного потрібно в ід н я ­ ти різницю . 437 125 X = 437 125 - 237 425; 237 425 X = 199 700; 199 700 3) 202 233 - 105 127 = г; 2 = 97 106; w w 173. н а д ругій . 2) 237 425 - 35 192 = у; у = 202 233; 237 425 35 192 202 233 4) 199 700 + 202 233 + + 97 106 = 499 039. 202 233 199 700 401 933 105127 "^202 233 97 106 401 933 499 039 97 106 Відповідь: 499 039. 228 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 1 7 4 . m - (60 + b) Я к щ о m = 223, Ъ = 83, то 223 - (60 + 83) = (223 = 140 - 60 = 80 (кг). Відповідь: т - (60 + b); 80 кг. 1 7 5 . Н ехай у баскетбольній секц ії було х учнів. із с е к ц ії піш л о 7 у ч н ів , а п р и й ш л о 12, у ч н ів X - 7 + 12 = д: + 12 - 7 = х + 5. Тобто к іл ь к іс ть л а с я на 5. Відповідь: зб іл ьш и лася на 5. - 83) - 60 = П ісл я того, я к у с е к ц ії стало учнів зб іл ьш и ­ П ри розв’язан н і вправ 1 7 6 -1 8 4 використай властивості в ід н і-■ м ан н я числа від суми та суми від числа. Н 1) (7982 + 2001) - 4982 = (7982 - 4982) + 2001 = = 3000 + 2001 = 5001; 2) (319 + 795) - 695 = (795 - 695) + 319 = 100 + 319 = 419; 3) 9372 - (1372 + 999) = (9372 - 1372) - 999 = 8000 - 999 = 7001; 4) 597 - (150 + 297) = (597 - 297) - 150 = 300 - 150 = 150. 177. 1) (8957 + 5392) - 5957 = (8957 - 5957) + 5392 = = 3000 + 5392 = 8392; 2) 14 582 - (5582 + 3500) = (14 582 + 5582) - 3500 = 9000 - 3500 = 5500; 3) (18 397 + 13 152) - 8152 = (13 152 - 8152) + 18 397 = = 5000 + 18 397 = 23 397; 4) 13 700 - (342 + 6700) = 13 700 - 6700 - 342 = 700 - 342 = 6658. 178. 1) (93 + х) - 15 = (93 - 15) + х = 78 + х ; 2) {у + 327) - 100 = І/ + (327 - 100) = у + 227; 3) 59 - ( т + 27) = (59 - 27) - m = 32 - от; 4) 429 - (311 + fe) = (429 - 311) - k = 118 - k. 179. 1) (37 + а) - 12 = (37 - 12) + а = 25 + а; 2) ф + 415) - 300 = Ы - (415 - 300) = Ь + 115; 3) 42 - (X + 13) = (42 - 13) - X = 29 - х; 4) 517 - (412 + у) = (517 - 412) - у = 105 - у. 180. 1) а - а = О за властивістю н ул я при віднім анні: о скіл ьк и а + О = а , то а - а = 0. 2) (о + 5) - а = (а - а) + 5 = 5. 181. 1) а - ( Ь - с) = (а - Ь) + с . Я к щ о а = 72, 6 = 33, с = 12, то 72 - (33 - 12) = 72 - 21 = 51; (72 - 33) + 12 = 39 + 12 = 51; 51 = 51. Відповідь: рівність прави льн а. w w w .4 bo ok . or g 176. П а м ’ятай ! а — (Ь — с) = (а — Ь) + с 1 8 2 . 1) 589 - (189 - ЗО) = (589 - 189) + ЗО = 4 00 + ЗО = 430; 2) 7391 - (5291 - 42) = (7391 - 5291) + 42 = 2100 + 42 = 2142. 1 8 3 . а + ф - с ) = ( а - с ) + Ь. Я кщ о а = 48, Ь = 37, с = 11, то 48 + (37 - 11) = 48 + 26 = 74; (48 - 11) + 37 = 37 + 37 = 74; 74 = 74. Відповідь: рівність п рави льн а. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 229
    • П а м ’ятай ! а + (b - с) = (а — с) + Ь w w w .4 bo ok .o rg 1 8 4 . 1) 431 + (527 - 331) = (431 - 331) + 527 = 100 + 527 = 627; 2) 1278 + (352 - 178) = (1278 - 178) + 352 = 1100 + 352 = 1452. 1 8 5 . 1) Розглянем о різни цю а - Ь. Я к щ о зм енш уване зб іл ьш и ти на 5, то маємо (а + 5) - Ь = (а - Ь) + 5, тобто р ізн и ц я зб іл ьш и ­ лась на 5. 2) Якш;о зм енш уване зм енш ити на 7, то маємо (а - 7) - Ь = (а - 6) - 7, тобто р ізн и ц я зм енш илась на 7. 3) Я кщ о в ід ’єм ни к зб ільш и ти н а 2, то маєм о а - (Ь + 2 ) = (а - 6) - 2 , тобто р ізн и ц я зм енш илась на 2 . 4) Я кщ о від ’єм н и к зм енш ити на 4, то маємо а - (Ь - 4) = (а - Ь) + 4, тобто р ізн и ц я зб ільш и лась н а 4. 1 8 6 . Н ехай а — число ін д и к ів , Ь — число ку р о к , тоді а - Ь = 297. 1) Я кщ о ку п и л и 15 ін д и к ів , то маєм о (а + 15) - Ь = (а - Ь) + 15, тобто р ізн и ц я зб іл ьш и лася на 5 і стала 297 + 15 = 312. 2) Я кщ о продали 18 ін д и к ів, то маємо (а - 18) - Ь = (а - Ь) - 18, тобто р ізн и ц я зм ен ш и лася н а 18 і стала 297 - 18 = 279. 3) Я кщ о ку п и л и 23 к у р к и , то маєм о а - {Ь + 23) = {а - Ь) - 23, тобто р ізн и ц я зм ен ш и лася н а 23 і стала 297 - 23 = 274. 4) Я кщ о продали 17 к у р о к , то маємо а - (Ь - П ) = (а - Ь) + П , тобто р ізн и ц я зб іл ьш и лася на 17 і стала 297 + 17 = 314. 5) Якщ о купили 18 індиків і 18 курок, то маємо (а + 18) - (6 + 18) = = (а + 18 - 18) — Ь = а — Ь, тобто р ізн и ц я не зм іни лася. 6 ) Якщ о продали 17 індиків і 12 курок, то маємо (а - 17) - (6 - 12) = = (а - Ь) - (17 - 12) = (а - Ь) - 5, тобто р ізн и ц я зм ен ш и л ася на 5 і стала 297 - 7 = 292. 1 8 7 . Н ехай у вагоні їх ал о х п асаж и р ів. П ісл я перш ої зу п и н к и їх стало х - 1 5 + 23 = х + (23 - 15) = х + 8 . П ісл я другої зу ­ п и нки — X + 8 - 17 + 12 = X + (8 + 12 - 17) = X + 3. З а умовою X + З = 68 , звід ки X = 68 - З, X = 65. Відповідь: 65 п асаж и рів. 1 8 8 . 1) 120 + 50 + 7 + ЗО - 100 = 170; 2) 150 - ЗО - 20 + 60 + 10 = 170. 1 8 9 . 54 + (32 - 17) - (43 - 11) = 37. 1 9 0 . Розглянем о різни цю а - Ь. 1) Я кщ о зм енш уване зб іл ьш и ти н а 7, а в ід ’єм н и к зб іл ьш и ти на 2, то (а + 7) - (Ь + 2) = ((а + 7) - 2) - Ь = (а + (7 - 2)) - & = = (а + 5) - Ь = (а - Ь) + 5. О тже, р ізн и ц я зб іл ьш и лася на 5. 2) Я кщ о зм ен ш у ван е зб іл ьш и ти на З, а в ід ’єм н и к зм ен ш и ти на 1, то (а + 3) - (Ь - 1) = ((а + 3) + 1) - b = (а + (З + 1)) - Ь = = {а + 4) - Ь = (а - Ь) + 4. О тж е, р ізн и ц я зб іл ьш и лася на 4. 3) Я кщ о зм енш уване зм енш ити на 5, а від ’єм ни к зм енш ити на 2, то (а - 5) - (6 - 2) = ((а - 5) + 2) - 6 = (а - (5 - 2)) - & = = (а - 3) - Ь = (а - Ь) - 3. О тж е, р ізн и ц я зм ен ш и л ася н а 3. 4) Р о зв’я за н н я у підручн ику. 230 ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • В прави д л я повторенн я 1 9 1 . 1) 217 + 5 = 222 (км ) — проїхав други й автобус до зустрічі; 2) 480 - (217 + 222) = 480 - 439 = 41 (км ) — відстань м іж а в ­ тобусами. Відповідь: 41 км . 192. У часники зм агань В ираз О чки М ісце 9а - 7 47 2 95 - 10а 35 5 О лександр 8а + 1 49 1 П етро 5а + 15 45 3 В італій 88 - 8 а 40 4 В асиль rg М ихайло 1) + III II V IX © - X II X IX w .4 2) X IX bo © X II X ★ ok 193. .o Я к щ о а = 6 , то 95 - 10 • 6 = 95 - 60 = 35; 8 ■6 + 1 = 48 + 1 = 49; 5 • 6 + 15 = ЗО + 15 = 45; 88 - 8 • 6 = 88 - 48 = 40. V 0) III X XVI XI ★ Ф w w XIV 3) X IV VI (З) XLVII VIII X X X II ф > Зн ач ен н я чисел: II — 2 IV — 6 III — 31 V III — 8 IV — 4 IX — 9 X -- 10 V — 5 X I — 11 X III XI © LXVI © XLIV X II — 12 X III — 13 XIV — 14 XVI — 16 X X X II — 32 XLIV — 44 XLVIII — 48 LXVI — 66 Ш Ш Ш Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер Ш 231
    • Д о м аш н я сам остій на робота № 1 1 . 7 012 004. Відповідь: В. 2 .4 1 3 2 > 4123. Відповідь: А. 3. 37 142 Відповідь: В. ^ 9 2 539 129 681 4 .3 7 3 8 < 3739. Відповідь: А. Р Щ 5 .4 5 6 + 3012 + 2044 = (456 + 2044) + 3012 = 2500 + 3012 = 5512. Відповідь: Б. 6 . I цист. — 52 л-«---------II цист. — на 18 л м ен ш е- к? Р о з в ’я за н н я . 10. / спосіб. bo ok .o rg 1) 52 - 18 = 34 (л) — у д ругій цистерні; 2) 52 + 34 = 86 (л) — у двох цистернах. В ідп овідь: Г. 7 . Н айм енш е п ’ятициф рове число 10 ООО. 10 ООО - 4 = 9996. В ідп овідь: Б. 8 - а = 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427. В ідп овідь: Б. 9 .5 7 8 1 - 319 = 5462; 5781 - (319 + 18) = 5781 - 337 = 5444; 5462 - 5444 = 18. Р ізн и ц я зм енш илася на 18. В ідп овідь: А. w .4 36 - 4 = 32 — найм енш е число; 36 + 4 = 40 — найбільш е число; 40 - 32 = 8 — р ізн и ц я. I I спосіб. w w З одного і з інш ого боку від ч и сл а 36 по 4 чи сл а, тобто всього запи сан о 9 чисел. О скіл ьк и два послідовні н ату р ал ьн і ч и сл а від різн яю ться на 1 , то р ізн и ц я м іж перш им та останнім ч и с­ лом — 8 . В ідп овідь: В. 1 1 . Н айбільш е число 541, найм енш е — 145. 541 + 145 = 686 . В ідп овідь: А . 1 2 . М енш ий з двох доданків має бути м енш им від половини суми, тобто м енш им від 315. В ідп овідь: Г. З ав д а н н я д л я перевір ки зн ан ь §§ 1— 4 1 . 1 ) 431 002 > 429 798; 2) 12 311 015 < 12 311 019. 7 382 954 2. 3. 13 152 973 8 947 527 9 189 858 16 330 481 3 963 115 232 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 4 . 1) 8000 г = 8 кг; 2) 7 км = 7000 м > 6993 м. 5 .1 ) (473 + 152) + 527 = (473 + 527) + 152 = 1000 + 152 = 1152; 2) 538 + 263 + 212 + 37 = (538 + 212) + (263 + 37) = 750 + 300 = = 1050. 6 . I я щ . — 5 7 к г ----------.? II я щ . — н а 12 к г м е н ш е J J Р о зв ’я за н н я . 1) 57 - 12 = 45 (кг) — у другом у ящ и к у ; 2) 57 + 45 = 102 (кг) — у двох я щ и к а х разом . В ідп овідь: 102 кг. 7. Н айстарш и й розряд ш у кан и х чисел — це одини ці ти сяч. У н ай ­ ok .o rg більш ом у числі у цьом у р озряді має стояти н ай біл ьш а з дан их циф р, тобто 7. Серед чисел виду 7*** н ай більш им є те, щ о м іс­ ти ть у р озряді сотень най більш у циф ру з ти х , щ о за л и ш и л и ­ ся, — 5. А налогічно розм ірковую чи, отрим аєм о найбільш е ч и с­ ло 7530. Відповідно, найм енш им буде число, в я ко м у ци ф ри розм іщ ені в зворотному п о р яд ку , але число не м ож е поч и н ати ся з 0. Тому найм енш е число — 3057. В ідп о відь: 7530 і 3057. bo 8 .1 ) (4897 + 7321) - 2897 = (4897 - 2897) + 7321 = 2000 -(- 7321 = = 9321; 2) 9795 - (3002 + 4795) = (9795 - 4795) - 3002 = 5000 - 3002 = = 1998. w w w .4 9 .1 ) 43*** < 47***, о скільки числа мають однакову кіл ьк ість цифр, най старш і розряди однакові, а в наступном у р озряді З < 7. 2) «*99 < 11***, о скіл ьк и перш е число чотирициф рове, а дру­ ге — п ’ятициф рове. 3) 94** < *398, о ск іл ьк и , навіть я к щ о перш ою цифрою другого чи сл а є ци ф ра 9, в наступном у ро зр яді 4 > 3. 10. 1) 3262 = 3259 -Н 3; 3265 = 3262 -Ь 3; 3268 = 3265 -г 3. Законом ірність: ко ж н е число ряду, починаю чи з другого, дорів­ ню є попередньому, збільш еном у на 3. Н аступні числа: 3274, 3277, 3280. 2) 4212 = 4215 - 3; 4214 = 4212 -Ь 2; 4211 = 4214 - 3; 4213 = 4211 -Н 2. Законом ірність: ко ж ен член ряду, починаю чи з другого, отри­ муємо з попереднього, поперемінно віднім аю чи З або додаю чи 2. Н аступні три числа: 4213 - З = 4210, 4210 + 2 = 4212, 4212 - З = 4208. 11 . 115 + 25 -Ь 35 -Н 45 - 70 = 150. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 233
    • § 5 . Множення н а тур а ль ни х ч и с е л Суму однакови х д одан ків м о ж н а зап и сати коротш е за допо­ могою м нож ення. Н ап р и кл ад: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 - 5 = 15. добуток а ■ Ь = МНОЖНИК м н о ж н и к с добуток П ерш ий м н о ж н и к показує, я к і доданки додаю ть, а другий — с к іл ьк и т а к и х доданків: а Ь = а + а + а + ... + а . Ь доданків І Особливі вип адки; а ■ 1 = а, а ■О = 0. 1) 407 + 407 + 407 + 407 = 407 •4; 2) 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 = 23 • 8 ; 194. 5. 500 182 + 182 + ... + 182 = 182 14 = 2548; І w .4 14 доданків bo 3) ok 4 2 )3 9 + 39 + 39 + 39 + 39 + 39 + + 39 + 39 = 39 • 8 = 312; 39 .o 1 )1 2 5 + 125 + 125 + 1 2 5 = = 125 ■4 = 500; 125 195. X rg 3 )а + а + а + а + а + а = а - 6 ; 4) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 X 8 312 182 728 182 2548 w w П а м ’ятай ! Р езу л ьтат м н ож ен н я на другу циф ру необхідно за ­ писувати під другою цифрою р езультату перш ого м нож ен ня. 4) 705 + 705 + ... + 705 = 705 ■^ 201 = 141 705; V --------------- ^ 201 доданок 705 201 705 1410 141705 І П а м ’я тай ! Я к щ о други й м н о ж н и к м істи ть нуль посередині, то результат м н ож ен н я на нуль не п и ш еться (бо а • О = 0), а р е­ зультат м н о ж ен н я н а третю ци ф ру зап и сується під третьою цифрою р езультату перш ого м нож ен ня. 234 Ш МАТЕМАТИКА. О. с . істер
    • 1) 4 7 2 - 3 = 472 + 472 + 472; 2) 5432 2= 5432 + 5432; b ) b - l = b + b + b + b + b + b + b. 197. 18 + 18 + 18 + ... + 18 + 18 =1 8 - 2 7 = 486; 196. ' ----------------------- ' 27 доданків X 18 27 Ш X4* V **V + 36 486 429 + 429 + 429 + ... + 429 + 429 = 429 - 50 = 21 450. 2) 429 50 доданків 50 21450 ok . or g А лгоритм м н ож ен н я чисел, щ о закін ч у ю ться нулям и: 1. З ап и сати дію м н о ж ен н я в с то вп ч и к, не звертаю чи уваги на нулі. 2. В иконати м н о ж ен н я, не звертаю чи уваги на нулі. 3. П рип исати до отриманого добутку с тільк и н улів, с к іл ь к и їх в обох м н о ж н и к ах разом . 2) 4) 6) 1 ) 4 0 - 5 = 200; 137 - 1 = 137; 27 - (37 - 37) = 27 • О = 0; 199. 1) 142 2) 1001 198. 18 73 3003 w .4 1136 142 1) 7007 2556 8696 73073 12154 2) w 2 00 . ' 824 3) ^ 48616 w 34784 + 1 09 38 6 69568 24308 X 96 145848 6077 504 24308 30385 3062808 3573276 7165504 24308 X 294 + 17392 4) 25 - 2 = 50; 14 - (15 - 13) = 14 - 2 = 28; (2013 + 2012) - 0 = 0. bo 3) 5) 5) X 11760 714 4704 218772 + 1176 2333568 8232 8396640 6) X 14000 270 98 28 3780000
    • 1) 201. X 2) 12154 36492 5056 X 91 24308 182 36492 h 60770 10112 328428 24308 Ш 3) X 252 +40448 5056 3320772 3062808 4) X 920192 27509 5) X 98 + 42590 2900 6) 892 220072 4200 8518 247581 2695882 58 + 38331 34072 116 rg 12180000 37990280 25 • 20 = 500 (місць). Відповідь: 500 місць. 2 0 3 . С користаємось формулою ш л я х у s = v t, д е S V — ш видкість, t — час руху. 1) 65 • 2 = 130 (км) — проїхав за 2год; 2) 70 • З = 210 (км) — проїхав за Згод; 3) 130 + 210 = 340 (км ) — довж ин а всього ш ляху. Відповідь: 340 км . 204. 1) 590 2) 590 3) 590 — відстань, X bo ok .o 2 02. X X 5 7 w .4 З 1 7 7 0 (км) 2 9 5 0 (км) 4 1 3 0 (км) Добуток X ■ у дорівню є нулю , якш;о хоча б один із м н о ж н и ­ ків дорівню є нулю: X = О, або і/ = О, або х = у = 0. 206. а ■8 = 8а. Якш;о а = 20, то 20 • 8 = 160. Я кщ о а = 23, то 23 • 8 = 184. w w 2 05. Я кщ о х = 17, то 25 • 17 + 36 = 461. 25 425 2 07. X 17 + 461 X ^ 36 175 Я к щ о у = 38, то 808 - 12 • 38 = 352. 12 808 38 L 456 96 352 25 36 425 456 25х + 36 = 4 6 1 В ідповідь: Л еонід К аденю к. 236 Ш Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 808 - 12 г/ = 3 5 2
    • 1) 457 2 08 . (168 • 256 - 42 973) + 203 • 37 = 23 506; 168 43008 ^256 ~42973 1008 457 35 203 15995 ^ 37 ^ 7511 1421 ^35 23506 2285 + 840 1371 609 336 15995 7511 43008 (27 • 3183 - 29 • 2089) • 310 = 7 861 600. 3183 2089 85941 29 60581 22281 18801 25360 6366 4178 ^ + 27 ^ 25360 ^ + 310 2536 7608 rg 2) 85941 60581 7861600 1) (30 573 - 235 • 125) • 309 + 115 298 = 485 480; 30573 ~29375 1175 1198 ^ 370182 10782 3594 485480 bo + 470 235 370182 29375 (65 371 - (632 • 13 + 256 • 208)) • 213 = 832 191. 632 ^ 13 208 53248 65371 3907 ^256 8216 ” 61464 ^ 213 1248 61464 3907 11721 w w 1896 w .4 2) 1198 ^ 309 ^ 1 1 5 2 9 8 ok 235 ^125 .o 2 09. 632 8216 +1040 + 3907 416 7814 53248 832191 2 10. 1) Т ак, будь-яке натуральне число м ож н а запи сати у вигляді добутку двох нату р ал ьн и х м н о ж н и к ів, один з я к и х — одини ця, а другий — дане число. 2) Н і, не м о ж н а будь-яке натуральне число зап и сати у в и г л я ­ ді добутку двох н ату р ал ьн и х чисел, ко ж ен із я к и х більш ий за одиницю . Н ап р и кл ад , 3 = 3 1 , 17 = 1 7 1 . Ін ак ш е ц і чи сл а по­ д ати у в и гл я д і добутку нем ож ливо. 2 11. 1) 378 ■ 12 < 378 ■ 13, о скіл ьк и 378 12 — це сум а 12 до­ д ан ків, ко ж ен із я к и х дорівню є 378, а 378 • 13 — сум а 13 т а к и х доданків, тобто 378 • 12 + 378. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 237
    • 2) 407 • 52 > 405 • 52. 3) 2573 • 15 < 2575 • 18, о скіл ьк и 2573 15 — це сум а 15 додан­ к ів , ко ж ен із я к и х дорівню є 2573, а 2575 18 — це сум а 18 до­ д ан ків, ко ж ен із я к и х дорівню є 2575. О тж е, у другому ви п адк у і к іл ь к іс ть доданків більш а, і сам і доданки б ільш і. 4) 8597 • 10 > 8507 - 9 + 1, о скіл ьк и 9597 • 10 = 8597 • 9 + 8597. 2 12. Д ивись № 211. 1) 573 • 293 > 573 ■290; 2) 4072 • 115 < 4101 • 115. 21 3 . 1 доба = 24 год = 24 ■60 хв = 1440 хв = 1440 • 60 с = 8640 е. X 24 X 1440 60 60 1440 8640 В ідповідь: доба має 8 640 с. X ЗО 720 60 ok 720 43200 Відповідь: 43 200 хвилин. .o X 24 rg 1 міс. = ЗО днів = 30 -2 4 год = ЗО • 24 • 60 хв = 43 200 хв. 214. * , >< w w 2. w .4 1. S bo З а д а ч і н а рух — відстань, v — швидкість, t — час руху. Т ипи зад ач Рух в одному н ап р ям ку . У Якщо два об’єкти рухаються одночасно з одно^ го місця в одному напрямку, то w = ~ — у? ^ швидкість віддалення ( v^ > v^), v ■ t — відстань м іж ними через t год. Рух н азустріч. S = V ■t , де --------- * , fh • V 2 V I Якш;о два об’єкти рухаються одночасно назустріч одне одному, то V = — швидкість зближ ення. V ■ t — відстань між пунктами А і В . 3. Рух у п р о ти л еж н и х н а п р ям к а х . > Якщо два об’єкти рухаються одночасно з одного місця в р із­ них напрямках, то v = V + -^ — швидкість віддалення, а v ■ t — відстань м іж об’єктами через час t. 215. і 89 км/год ; 238 Ш 15 км/год Час р уху 6 год М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • Р о зв ’я за н н я . I спосіб. 1) 80 ■6 = 480 (км ) — п р о їх ал а перш а м аш и н а за 6 год; 2) 89 • 6 = 534 (км ) — проїх ал а друга м аш и н а за 6 год; 3) 534 - 480 = 54 (км ) — відстань м іж м аш и нам и. х 6 I I спосіб. ЩЩ 1) Н а с к іл ь к и кілом етрів друге авто випередить перш е за 1 год? 89 - 80 = 9 (км ) (ш видкість віддалення) 2) Я к а відстань буде м іж м аш и нам и через 6 год? йШ*: 9 • 6 = 54 (км ). ^ В ідп овідь: 54 км . 2 16. 15 к м /год ^ 17 к м /год ^ .o rg Час руху З км Р о з в ’я за н н я . I спосіб. I I спосіб. bo ok 1) 15 ■З = 45 (км ) — проїхав до зустрічі Ч ебураш ка; 2) 17 ■З = 51 (км ) — проїхав до зустрічі Гена; 3) 45 + 51 = 96 (км ) — відстань м іж м істам и. 1 ) 1 5 + 17 = 32 (к м /го д ) — ш вид кість зб лиж енн я; 2) 32 • З = 96 (км ) — відстань м іж м істам и. В ідп овідь: 96 км . 1 18 км/год 64 км/год .4 2 Час р уху 4 км w w Р о з в ’я за н н я . I спосіб. 1) 18 ■4 = 72 (км ) — проїхав велосипедист до 4 год; w 2) 64 ■4 = 256 (км ) — проїхав м отоцикліст за 4 год; 3) 72 + 256 = 328 (км ) — відстань м іж ним и. I I спосіб. 1) 18 + 64 = 82 (км /год ) — ш ви д кість віддалення; 2) 82 • 4 = 328 (км ) — відстань м іж ним и. В ідп овідь: 328 км . 218. Зош ит — в 6 р азів б іл ь ш е Олівець — 80 коп. Р у ч к а — в 12 разів б іл ь ш е - Р о з в ’я за н н я . 1) 80 • 6 = 480 (коп .) — кош тує зош ит; 2) 80 • 12 = 960 (коп.) — кош тує ручка; 3) 80 + 480 + 960 = 1520 (коп.) = 15 грн. 20 коп. — кош тує вся покуп ка. В ідп овідь: 15 грн. 20 коп. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер ш 239
    • Б ан ан и — на 448 к г м ен ш е— ] А пельсини — 620 к г <------------М андарини — в 2 рази більш е — Р о зв’я за н н я . 1) 620 - 448 = 172 (кг) — банани; 2) 620 • 2 = 1240 (кг) — м андарини; 3) 172 + 620 + 1240 = 2032 (кг) — всі ф рукти. В ідповідь: 2032 кг. 2 2 0 . 1) д: ■9 = 9, я к щ о х = 1; 2) л: • 11 = О, Я К Ш .0 X = 0; 3) 1 ■X = 1, я к щ о X = 1. 2 2 1 . 1 ) а • 1 = а, як щ о а — будь-яке число; 2) О • = а, як щ о а а = 0; 3) а ■ = а, як щ о а = 1 або а = 0; а 4) а ■а = 25, я к щ о а = 5; 5) а ■ = а, як щ о 7 а = 0; 6) О ■ = О,як щ о а — будь-яке число. а 147 2 2 2 . 1) 573 2) 216 3) 84 4) 2 19 . .o rg Шй X 21 + 10^ 864 17 501 ok 573 1146 45 84 73647 bo 12033 9720 1428 Т ак. Н ап р и кл ад, О ■5 = О, О < 5. 223. w .4 В прави д л я повторенн я 224. 1 ) 5 к м 2 1 3 м - 2 к м 3 7 2 м = = 5213 м - 2372 м = 2841 м = = 2 км 841 м; 147 735 2) 2 год 15 хв + 5 год 49 хв = = 7 год 64 хв = 8 год 4 хв; 5213 w w ~2372 2841 3) 5 ц 2 к г • 25 = 502 к г ■25 = = 12 550 к г = 125 ц 50 кг; 502 X 25 4) 4 км 5 м : 9 = = 4005 м : 9 = 445 м. 4005 ’ 36 445 40 36 2510 1004 45 12550 754 Д ив. № 95. Відповідь: 862. 2 25 . ^108 862 240 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер О
    • § 6 . В л а с ти в о с т і множення В ластивості м н ож ен н я 1. П ер еставн а: від перестановки множників добуток не зм і­ нюється. а ■Ъ = Ь ■а 2. Сполучна: щоб добуток двох чисел помножити на третє чис­ ло, можна перше число помножити на добуток другого і тре- _ тього чисел. Н ..j,,.. Ш { а ■ Ъ) ■ с = а ■ {Ь ■ с) {а + Ъ) с = а Аналогічно, с____________________ 1) 572 ■ 10 = 5720; 2) 100 •7982 = 798 200; 1000 • 52 = 52 • 1000 = 52 ООО; 8 • 7 ■ 5 = (8 • 5) • 7 = 40 ■ 7 = 280; 7 • 20 ■5 = 7 • (20 • 5) = 7 ■ 100 = 700; 4 •8 • 25 = (4 ■25) • 8 = 8 • 100 = 800; 43 ■ 10 • 2 = (43 • 2) • 10 = 86 • 10 = 860; 5 •9 ■ 2 •7 = (9 • 7) ■(5 • 2) = 63 • 10 =630; 10 • 2 • 7 • 50 = (7 ■ 10) ■(2 ■50) = 70 • 100 = 7000. bo 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) с-Ь w .4 2 26. с = а с + Ъ с ok _____________________ { а - Ь ) .o rg З переставної і сполучної властивостей випливає, що при множ енні кількох чисел множники можна групувати як завгодно. 3. П р ав и л о м н о ж ен н я на р озрядн у одиницю : щоб помнож и­ ти натуральне число на розрядну одиницю (10, 100, 1000, ...), треба приписати справа до цього числа стільки нулів, скільки їх є в розрядній одиниці. 4. Р о зп о діл ьн а вл асти в ість м нож ен ня: щоб помножити суму на число, можна помножити це число на кожен доданок і ці добутки додати. w w П а м ’ятай ! І 2 ■5 = 10 5 20 = 100 2 • 50 = 100 8 • 125 = 1000 4 • 25 = 100 4 ■250 = 1000 5 • 200 = 1000 1) 4 • 89 • 25 = 89 • (4 ■25) = 89 • 100 = 8900; 2) 2 • 472 • 5 = 472 • (2 • 5) = 472 • 10 = 4720; 3) 5 • 72 • 4 = 72 ■(5 • 4) = 72 • 20 = 1440; 4) 50 • 15 ■2 = 15 • (50 • 2) = 15 • 100 = 1500; 5) 125 • 14 • 8 = 14 • (125 • 8 ) = 14 • 1000 = 14 ООО; 6 ) 8 • 37 • 25 = 37 • (В ■25) = 37 • 200 = 7400. 2 25. 1) 25 • 17 • 4 = 17 • (25 ■4) = 17 ■ 100 = 1700; 2) 5 ■ 137 • 20 = 137 • (5 • 20) = 137 • 100 = 13 700; 3) 6 ■5 39 = (6 • 5) 39 = ЗО • 39 = 1170; 4) 500 • 19 • 2 = (500 ■2) • 19 = 19 • 1000 = 19 ООО; 5) 8 115 • 125 = 115 ■(8 • 125) = 115 • 1000 = 115 ООО; 6 ) 80 • 113 ■5 = 113 (80 • 5) = 113 • 400 = 45 200. 2 27. М АТЕМ АТИ КА , о. с. Істер Ш 241
    • Д ля спрощ ення виразів використовуємо переставну та сполучну властивості м нож ен ня. Я кщ о добуток м істить числові і буквені м н ож н и к и , потрібно перем нож ити всі числові м н о ж н и к и і р е­ зультат запи сати н а перш ом у м ісці. П отім до нього потрібно при писати буквені м н о ж н и к и , причом у зн а к м н о ж ен н я м іж ним и м ож н а не ставити. Н апри клад: 2 а - З Ь с = (2 - 3 ) а Ь с = баЬс. 1) 6 • 7 • Ь = (6 • 7) • Ь = 42Ь; 2) 8 • 9а = (8 • 9) ■а = 72о; 3) З ■а ■4 ■Ь = (З ■4) ■а ■Ь = 12аЬ; 4) 5 х ■ 7у = (5 ■ 7) ■х у = 35ху; 5) З • от ■2а • 7 • і = (З • 2 • 7) • a m t = 42am t; 6) 2а ■3z ■4 п = (2 ■З ■4) ■а ■z ■п = 2 4 а гп . 2 3 0 . 1) 8 • 7 • X = (8 • 7) • л: = 56х; 2) 17х • 2 = (17 • 2) • X = 34х; 3) 5 ■X • 9 ■7 = (5 • 9) • X ■ от = 45отх; П 4) 9а • l i b = (9 • 11) • аЬ = 99аЬ; 5) 5 • X • 9 • 8 • а • от = (5 • 9 • 8 ) ■а т х = ЗбОаотх; 6) ІОЬ ■20с • 17р = (10 ■ 2 0 ■ П ) ■ Ьср = 3 4 0 0 Ь с р . .o rg 2 29. І bo ok Д л я обчислення або спрощ ення виразів типу № 2 3 1 -2 3 4 в и ­ кори стовую ть р о зп од іл ьн у вл асти в ість м н о ж ен н я , зап и сан у в таком у вигляді: а с + Ь с = (а + Ь ) - с або а ■с - Ъ ■с - (а - Ь) ■с. 1) 387 • 73 + 387 • 27 = 387 ■(73 + 27) = 387 • 100 = 38 700; 2) 842 • 39 + 158 • 39 = (842 -Ь 158) • 39 = 1000 • 39 = 39 ООО; 3) 18 • 918 - 18 • 818 = 18 • (918 - 818) = 18 • 100 = 1800; 4) 7292 ■27 - 7292 ■26 = (27 - 26) • 7292 = 7292. 2 32. 1) 452 • 499 -f 452 • 501 = 452 • (499 + 501) = 452 • 1000 = = 452 ООО; 2) 83 • 47 + 917 • 47 = (83 + 917) • 47 = 1000 • 47 = 47 ООО; 3) 192 2005 - 192 • 1005 = 192 ■ (2005 - 1005) = 192 • 1000 = = 192 ООО; 4) 4592 • 217 - 4592 216 = 4592 • (217 - 216) = 4592 • 1 = 4592. 233. 1) 4от + 5m = (4 4- 5) • m = 9от; 2) 9х - 5х = (9 - 5) ■X = 4х; 3) Юс - 2с = (10 - 2) • с = 8 с; 4) 7а + 8 а - 5а = (7 + 8 - 5) • а = 10а. 234. 1) 9а + 2а = (9 -Ь 2) • а = 11а; 2) 15Ь - ЗЬ = (15 - 3) • & = 12Ь; 3) 4х + 2х - Зх = (4 -Н 2 - 3) • X = Зх; 4) Ш - 2t - Ы = { 10 - 2 - Ъ) ■t = 3t. w .4 231. w w Щ Щ I Щ об розкри ти д уж ки , потрібно застосувати розподільну вл ас­ тивість м н о ж ен н я, запи сан у у таком у вигляді: (а + Ъ) - с = а с + Ъ с або ( а - Ь ) с = а с - Ь - с.______ 242 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • ok .o rg 2 3 5 . 1) 5 • (X + 2) = 5 • л: + 5 • 2 = 5x + 10; 2) (7 - а) • 9 = 7 • 9 - а • 9 = 63 - 9а; 3) 2 • (З Ы - 8 с) = 2 • ЗЬ + 2 • 8 с = 6 Ь + 16с; 4) (5а - 6 ft) • 2 = 5а ■2 - 6 /г • 2 = (5 • 2) • а - (6 ■2) • fe = 10а - 12/г. 2 3 6 . 1) 7 • (а - 3) = 7 • а - 7 • 3 = 7а - 21; 2) (Ь + 7) • 11 = • 11 + 7 • 11 = l i f t + 77; 3) 15 • ( 2х + Зг/) = 15 • 2х + 15 • 3t/ = (15 • 2) ■ X+ (15 •3) = ЗОх + 45у; Щ 4) (7от - 2/г) • 20 = 7/п • 20 - 2п • 20 = (7 ■ 20) ■m - (2 • 20) • rt = : ^ = 140m - 4 0 я. 2 3 7 . 5х • 20 = (5 • 20) • X = ЮОх. Щ Я кщ о X = 37, то 100 • 37 = 3700. 126 2 3 8 . 7а ■ 18Ь = (7 • 18) • аЬ = 126ab. х . _____ Я кщ о а = 5, Ь = 100, то 126 • 5 • 100 = = (126 • 5) • 100 = 63 ООО. 630 2 3 9 . 1) 125х • 4 = (125 ■4) • х = 500х. Я кщ о X = 27, то 500 - 2 7 = 13 500. х 2) 4р ■25k = (4 ■25) • p k = lOOpk. 500 Я кщ о р = 20, k = 113, ]^35 QQ то 100 • 20 ■ 113 = 100 • 2260 = 226 ООО. bo Ін к о л и д л я того щ об обчислити добуток зр у ч н и м способом, потрібно д е я к і м н о ж н и к и подати у в и гл я д і добутку к іл ь к о х «зручних» м н о ж н и к ів. Н апри клад: 36 • 5 • 8 • 25 = 18 • (2 • 5) ■2 ■(4 ■25) = 18 • 10 • 2 • 100 = = (18 • 2) • (10 • 100) = 36 • 1000 = 36 ООО. 1) 24 • 25 = 6 • (4 • 25) = 6 • 100 = 600; 2) 28 ■ 125 = 4 • 7 • 25 • 5 = (7 •5) ■(4 • 25) = 35 • 100 = 3500; 3) 15 120 = З • 5 • 2 • 6 • 10 = (З • 6 ) • (5 • 2) • 10 = 18 • 10 10 = 180 4) 32 17 -125 = 4 - 8 - 17 - 125 = (4 - 1 7 ) ( 8 -125) = 68 - 1000 = 68 ООО. 2 4 1 . 1) 48 • 125 = 6 ■8 • 125 = 6 ■(8 ■ 125) = 6 ■ 1000 = 6000; 2) 400 ■25 = 4 • 100 • 25 = 100 • (4 • 25) = 100 • 100 = 10 ООО; 3) 140 • 35 = 7 • 20 ■ 7 • 5 = (7 •7) ■(20 • 5) = 49 • 100 = 4900; 4) 50 • 32 • 5 = 50 ■2 ■8 • 2 • 5 = (50 • 2) • 8 •(2 • 5) = 100 • 8 ■10 = 8000. w w w .4 2 40. П ри порівн ян ні добутків (№ 242) нам агаєм ося звести вирази до вигляду, ко л и в обох добутках перш і м н о ж н и к и однакові. Тоді достатньо п о р івн яти другі м н о ж н и к и . Б іл ьш и м буде той добуток, у яко м у други й м н о ж н и к більш ий. І 1) 8 • 23 • 182 = (8 • 182) ■23, 8 • 22 • 182 = (8 • Тоді (8 ■ 182) ■ 23 > (8 • 182) • 22. 2) 42 • 72 < 6 ■8 • 7 • 10, о скіл ьк и 6 • 8 • 7 • 10 = (6 ■7) • (8 ■10) = = 42 • 80. 3) ЗО • 92 = 5 ■92 ■6 , о скіл ьк и 5 • 92 ■6 = (5 ■6 ) ■ 92 = ЗО • 92. 4) 28 • 2 ■9 = 28 • 18, 4 ■ 14 • 9 = 2 • 2 ■ 14 • 9 = (2 ■ = 28 • 18. О тж е, 28 • 2 • 9 = 4 • 14 ■9. 242. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 243
    • .4 bo ok .o rg 2 4 3 . Д л я спрощ ення виразів скористаєм ось р озп одільн ою влас­ тивістю м нож ен ня. 1) 17а + 2 5а - 3 2 а = (1 7 + 25 - 32) ■а = 10а. Я кщ о а = 12, то 10 • 12 = 120. 1) 376 + Ь - 8Ь = (3 7 + 1 - 8) • Ь = ЗОЬ. Я кщ о Ь = 1 0 0 1 , то ЗО 1001 = ЗО 0 3 0 . 3) 20л: -(- 7л: - л: - 21JC = (2 0 + 7 - 1 - 21) • X = 5 х . 14 2 Я кщ о л: = 2 1 4 , то 5 • 2 14 = 5 • 2 • 1 0 7 = 107 • 10 = 1 0 7 0 . х 4) 4 т + 2т - З т + 9 = (4 + 2 - 3 ) т + 9 = Зт + 9 . __ Я кщ о т = 14 2 , то З ■ 142 + 9 = 4 2 6 + 9 = 4 3 5 . 426 2 4 4 . 1) 29пг + 3 1 т - 4 0 т = (2 9 + 31 - 40) ■ m = 2 0 т . Я кщ о т = 2 1 1 , то 20 • 211 = 4 2 2 0 . 2) 15а - а + 10 а = (15 - 1 + 10) • а = 2 4 а . Я кщ о а = 4 0 , то 24 • 4 0 = 9 6 0 . 3) 30л: + 31л: + 32л: - 90л: = (ЗО + 31 + 32 - 9 0 ) • л: = Зх. Я кщ о л: = 14 0 , то З • 140 = (З ■ 14) • 10 = 4 2 0 . 4) 10 + 5а + 6 а - а = 10 + (5 + 6 - 1) ■а = 10 + 10 а . Я кщ о а = 11, то 10 + 10 • 11 = 10 + 1 1 0 = 1 2 0 . 2 4 5 . 1) 4 9 7 2 • 17 + 28 • 4 9 7 2 - 35 ■4 9 7 2 = 4 9 7 2 ■(1 7 + 2 8 - 35) = = 4 9 7 2 • 10 = 4 9 720; 2) 14 592 + 14 5 92 ■ 2 + 14 59 2 • З + 14 5 9 2 • 4 = = 14 5 92 • (1 + 2 + З + 4) = 14 592 ■ 10 = 145 920; 3) 5 9 8 3 14 + 5 9 8 3 • 11 - 4 9 8 3 ■25 = 5 9 8 3 ■(1 4 + 11) - 4 9 8 3 • 25 = = 5 9 8 3 ■25 - 4 9 8 3 ■25 = (5 9 8 3 - 4 9 8 3 ) • 25 = 1 0 0 0 • 25 = 25 ООО; 4 ) 7182 • 164 - (6 1 8 2 • 1 2 7 + 6 1 8 2 • 37 ) = = 7 182 164 - 6 1 8 2 • (1 2 7 + 37 ) = 7 1 8 2 ■ 164 - 6 1 8 2 • 164 = = (7 1 8 2 - 6 1 8 2 ) • 164 = 1 0 0 0 164 = 164 ООО. I w w У № 2 4 6 -2 4 7 необхідно множник, близький до «круглого» чис­ ла або розрядної одиниці, подати у вигляді суми або різниці «круглого» числа і натурального, потім розкрити дуж ки , ско­ риставшись розподільною властивістю множення. 1) 102 ■13 = (1 0 0 + 2) ■13 = 100 • 13 -Ь 2 13 = 1 3 0 0 + 26 = 1326; 2) 99 7 • 15 = (1 0 0 - 3) • 15 = 1 0 0 0 • 15 - З • 15 = 15 ООО - 4 5 = 1455; 3) 71 • 8 0 = (7 0 + 1) • 8 0 = 70 • 8 0 + 8 0 = 5 6 0 0 + 8 0 = 5 6 8 0 ; 4) 88 ■600 = (80 -Ь 8) • 60 0 = 8 0 6 00 + 8 ■600 = 48 ООО + 4 8 0 0 = 52 800. 2 4 7 . 1) 99 • 17 = (1 0 0 - 1) • 17 = 100 • 17 - 1 • 17 = 1 7 0 0 - 17 = 1683 2) 1002 • 21 = (1 0 0 0 + 2) ■21 = 1000 • 21 4- 2 • 21 = 21 ООО -f- 42 = 21 042 3) 82 • 6 0 = (8 0 + 2) • 6 0 = 8 0 • 6 0 + 2 • 6 0 = 4 8 0 0 + 1 2 0 = 4 9 2 0 4 ) 59 • 700 = (6 0 - 1) • 7 0 0 = 6 0 ■ 7 0 0 - 1 ■ 700 = 4 2 ООО - 7 0 0 = = 41 300. 2 4 8 . 25 ■у — кількість сорочок у ряді; 2 5 х у — кількість сорочок на складі. Якщо х = 2 6 , у = 4 0 , то 25 • 26 ■4 0 = 25 • 26 • 4 ■ 10 = = (25 ■4) • (26 • 10) = 100 • 2 6 0 = 26 ООО. Відповідь: 2 5 х у ; 26 ООО сорочок. w 246. 244 їй-;? М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • ok Вправи для повторення .o rg 2 4 9 . 4 a — загальна кількість учнів; 4аЬ — кількість п ідр учн ик ів. Я кщ о а = 2 5 , Ь = 1 7 , то 4 • 25 • 17 = 100 • 17 = 1 7 0 0 . Відповідь: 4аЬ; 1 7 0 0 п ідруч н ик ів. 2 5 0 . Р озгл ян ем о добуток а ■ Ь. 1) П ісля збільш ення м нож ника в З рази маємо: (За) • Ь = ЗаЬ = 3(аЬ). О тж е, добуток збільш иться у З рази. 2) Вправу р озв ’язано в п ідр уч н и к у. Щ ;*; 2 5 1 . 1) У др угом у виразі подам о число 10 як (11 - 1) і застосуємо р озп одільн у властивість. . ф;:;:; 11 ■ 752 + 10 ■9 7 9 = 11 • 752 + (11 - 1) ■9 7 9 = Ш = 11 ■ 752 + 11 • 9 7 9 - 9 7 9 = 11 • (752 + 9 7 9 ) - 9 7 9 . Оскільки 11 • (752 + 9 7 9 ) > 11 ■(7 5 2 + 9 7 9 ) - 9 7 9 , то 11 • (7 5 2 + 9 7 9 ) > 11 • 752 + 10 • 9 7 9 . 2) А н алогічн о, 7372 • 4 - 5 99 ■ 5 = 7372 • (5 - 1) - 5 9 9 • 5 = = 737 2 ■ 5 - 7 3 7 2 • 1 - 599 • 5 = (7 3 7 2 • 5 - 599 • 5) - 7 3 7 2 = = (7 3 7 2 - 599) • 5 - 7 3 7 2 . Оскільки (7 3 7 2 - 599) • 5 > (7 3 7 2 - 599) ■ 5 - 7 3 7 2 , то (7 3 7 2 - 599) ■ 5 > 7 3 7 2 • 4 - 5 99 ■ 5. w .4 bo 2 5 2 . (Л) 32 7 4 2 9 , (И) 3 2 7 4 2 5 , (Б) 32 5 52 9 , (І) 3 25 2 5 9 , (Д) 3 2 5 15 9 , (Ь) 3 25 0 9 9 . 2 5 3 . Р о з в ’я за н н я . 1) Скільки картоплі продав фермер за два дні? 1 т 2 50 кг + 1 т 15 0 кг = 2 т 4 0 0 кг = 2 4 0 0 кг 2) За якою ціною ф ермер продавав картоплю ? 6 7 2 0 грн. = 6 7 2 ООО коп. 6720Ъ Я 24Ъ0, 48 w w 192 280 192 О 2 8 0 коп. = 2 грн. 8 0 коп. Відповідь: 2 грн. 8 0 коп. П означи м о ш ук ан у ц и ф р у *. П р и п усти м о, щ о * — це одна з циф р О, 1, 2, З, 4. Тоді два н ай м ен ш и х числа: *57 і *75. А ле *57 + *75 не м ож е дорівню вати 1 1 6 5 . Н ехай * = 6, тоді м аєм о н ай м ен ш і трициф рові числа 5 67 і 5 7 6 . Р озглянем о випадок, коли * = 8, тоді: 578 567 ^576 ____ 1143 254. Відповідь: 8 . ^ 587 1165 М АТЕМ А ТИ КА , о. С . Істер Ш 245
    • § 7 . С те п ін ь н а ту р а ль н о го ч и с л а з н а ту р а ль н и м показником Д обуток к іл ьк ох одн ак ови х м н ож н и к ів у м атем ати ц і н ази в а­ ють с т е п е н е м . 3 ■З З З = 3^ 4 МНОЖНИКИ S'* — степінь, «три у четвертом у степ ен і», 3 — основа степ еня, 4 — п оказник степеня. Д р уги іі степінь — квадрат ч и сл а, третій степінь — куб ч и сл а. 255. 2) т- т- т- т = т*; 1) 7 ■ 7 = 7^; 4) с ■с ■... ■с = 3 ) 4 - 4 - . . . - 4 = 4^; 15 множ ників 9 множ ників 3) 1) 15 • 15 • 15 = 15^; 2) р ■р ■р ■р ■р = р^; 2 - 2 - . . . - 2 = 2^^ 4)d d - . . . d rg 256. 20 множ ників 12 множ ників 2)b^ = b■ - Ь; Ь 1) 2013=* = 2 0 1 3 • 2013; 4) 7 1 0 = 7 .7 . 7 • 7 •7 • 7 •7 • 7 • 7 • 7. 3) = а ■а ■а ■а ■а; 2) 4 3 = 4 .4 . 4; 2 5 8 . l ) t ^ = t ■ t; А) d ‘ = d ■ ■d ■d ■ d ■ ^ d d. 3) 7'' = 7 • 7 ■ 7 • 7; 2 5 9 . 1) 4*^, 4 — основа, 13 — показник; 2) а**, а — основа, 8 — показник; 3) р^, р — основа, 2 — показник; 4) 7 4 7 — основа, 1 — показник; 5) d — основа, З — показник; 6) 181^ 18 — основа, 17 — пок азн и к . 2) 4 3 = 4 • 4 4 = 64; 2 6 0 . 1) 3 2 = 3 3 = 9; 4) 0" = 0; 3) 17^ = 17; 6) 2^ = 2 ■2 ■;2 • 2 ■2 = 32. 5) 1^ = 1 • 1 • 1 1 = 1 ; 2) 14' = 14; 2 6 1 . 1 ) 7 2 = 7 • 7 = 49; 1 4) 1= = 1 • 1 • : 1 ■ 1 = 1 ; 3) 2^ = 2 • 2 • 2 = 8 ; w w w .4 bo ok .o 257. 5 )0 ® = 0 0 -. .. 0 ; = 6) 3^ = 3 ■3 •:3 3 = 81. 9 множ ників 262. 11 Число Квадрат 121 20 19 16 17 18 14 15 12 13 144 169 196 225 256 289 324 361 400 121 27 2 6 3 . 1) 272 = 2 7 - 2 7 = 729; < 2) 100^ = 100 ■ 1 00 = 10 ООО; 27 11 3 )1 1 ^ = 1 1 • 11 • 11 = 1331; 121 Ї8 9 4) 13^ = 13 • 13 • 13 = 2197; 5) 80^ = 8 0 • 8 0 = 6400; 121 54 6) 20^ = 20 ■ 20 • 20 = 8 0 0 0 . ~ f^ 1331 2 6 4 . 1) 5 * + 1 = 25 + 1 = 26; = 2) 7^ - 10 = 7 • 7 • 7 - 10 = 3 43 - 10 = 333; 3) 20 - 3 2 = 20 - 9 = 11. 246 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 169 X 13 507 169 2197
    • 42 36 225 169 1764 1 )3 6 ^ = 36 36 = 1296; X X X X + 2) 15^ = 15" ■ 15 = 3375; 17 13 42 36 15 3) 70" = 70 • 70 = 49 0 0 ; 507 84 2 16 1125 1781 4) 13^ - 1 = + + + = 13 • 13 ■ 13 - 1 = 168 108 225 169 = 169 • 13 - 1 = 2196; 1764 1296 3375 2197 5) 42" + 17 = = 42 • 42 + 17 = 1781; 6) 37 - 6" = 3 7 - 6 • 6 = 37 - 36 = 1. 265. 1) 1 6 " = 1 6 • 16 = 256; 37" = 3 7 • 37 = 1369; 266. 2) 2) 14 37 16 29 14 37 16 X X X X 1) 14" = 14 • 14 = 196; 29" = 29 • 29 = 8 4 1 . 267. 29 rg 261 111 14 1369 Т эб 58 841 .o 16 1) 5 * = 5 • 5 ■ 5 = (5 • 5) • 5 = 25 • 5 = 125; = 2) 12" = 12 ■ 12 • 12 = (12 • 12) • 12 = 144 • 12 = 117 2 8 . 728 bo ok 268. 1) 6® = 6 • 6 6 = (6 ■ 6) • 6 = = 36 • 6 = 216; 2) 15^ = 15 • 15 ■ 15 = (15 • 15) • 15 = = 2 25 • 15 = 3 3 7 5 . w .4 269. 36 ^ 6 ____ 216 1) х" - 8. Я кщ о л: = 3, т о З " - 8 = 9 - 8 = 1; якщ о л: = 9, то 9" - 8 = 81 - 8 = 73; як щ о X = 2 1 , то 21" - 8 = 441 - 8 = 4 3 3 . 12 288 + 144 225 X 1428 15 + 1125 21 X 225 21 3375 + 21 42 w w 270. 144 X ~44І 2) Ъу^ + 1. Я кщ о г/ = 2, то 5 ■2= + 1 = 5 • 8 + 1 = 4 0 + 1 = 41; * якщ о г/ = 3, то 5 • 3= + 1 = 5 • 27 + 1 = 135 + 1 = 136; * якщ о г/ = 7, то 5 • 7^ + 1 = 5 • 3 4 3 + 1 = 1 71 5. 49 343 7 7" = 4 9 , 5 X 3 43 1715 1) 2а" - 3. Я кщ о а = 5, то 2 - 5 " - 3 = 2 - 2 5 - 3 = 50 - 3 = 47; як щ о а = 10, то 2 ■ 10"- 3 = 2 • 100 - 3 = 2 0 0 - 3 = 197; як щ о а = 15, то 2 • 15"- 3 = 2 ■ 225 - 3 = 4 5 0 - 3 = 4 4 7 . 271. М АТЕМ АТИ КА , о . с. Істер Ш 247
    • 2) + 12 . 144 Ш 272. 1728 1) 182 : 9 4- 12^ 144 324 "27 36 12 54 48 84 ~~24 ^24 О 4 = 151; + 254 З = 3 44 : 9 + 1 44 : З = 84; 36 48 889 127 16129 rg 273. 127 127 .o = 400 2) (1 5 3) (9^ 4) (7^ З = 20 : 5 - З : 5 - 27 = 8 0 - 27 = 53; - 3 Y = (15 - 9)" = 6^ = 36 6 = 216; - 5=*) : (9 - 5) = (7 2 9 - 125) : 4 = 604 - 6^)2 = (3 4 3 - 216)2 = 127^ = 16 129. X 1) 20^ : 5 - З" = 20 О bo 2) (72 - 62) : (1 7 - 42) = (49 - 36) : (1 7 - 16) = 13 : 1 = 13; 3) 4 * : 8 + 23 = 64 : 8 + 8 = 8 + 8 = 16; = 4) (152 - 122) . (1 5 _ 12) = (225 - 144) : З = 81 ; З = 27. 2 7 4 . 1) « 2 = 121, л = 11; 2) 225 = «2, „ = 15; = 12 5 , п = 5; 4) 3 4 3 = п п 7. 2 7 5 . 1) m2 = 1 9 6 , т = 14; 2) 2 16 = т т = 6. 276. (7 + 9)2 = 162 _ 2 56 — квадрат суми; 7 2 + 9 2 = 49 + 81 = 1 30 — сум а квадратів. 2 56 - 130 = 2 1 6 . Відповідь: на 126. 2 7 7 . (4 + 5)3 = 9^ = 81 • 9 = 729 — куб суми; 4 3 + 5 3 = 64 + 125 = 189 — сум а кубів. 7 29 - 189 = 54 0 . Відповідь: на 54 0 . 2 7 8 . 1) 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102. рівність правильна. 2) 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 2 5 , 7 2 = 4 9 , 25 Ф 4 9 . Р івність неправильна 3) 9 2 + 22 + и62 = 81 + 4 + o J — 121 — ± 1 . IT івність правильна. 36 = = Ц .2. Р JLijnit. rt> т — 4) 2^ + 3 3 = 8 4 - 27 = 3 5 , 4 3 = 6 4 , 35 Ф 6 4 . Р івність неправильна. 2 7 9 . 1) 4 2 + 5 2 = 16 + 25 = 4 1 , 7 2 = 4 9 , 41 ті 4 9 . Р івність неправильна. 2) 82 + 1 5 2 = 6 4 + 2 2 5 = 2 89 = І 7 2 . Рівність правильна. 3) 22 + 3 2 + 62 = 4 + 9 + 36 = 4 9 = 7 2 . Рівність правильна. 4) 4 3 + 3 3 = 64 + 2 7 = 9 1 , 5 3 = 125, 91 125. Рівність неправильна. Ю. 2 8 0 . 1) З = З'; 2) 9 = 32; 3) 81 = З'*; 4) 2 43 = 3^ w .4 3) w w ш 1740 144 ok ш якщ о b = 12, то 12^ + 12 = = 144 • 12 + 12 = 1 7 4 0 . 12 288 1000 + 12 = 1 0 1 2 ; = 1728 12 Я кщ о ft = 7, то 7^ + 12 = = 49 • 7 + 12 = 3 43 + 12 = 355; якщ о b = 10, то 10^ + 12 = 248 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 281. 282. 1) 2 = 2 ‘; 2) 8 = 2"; 3) 16 = 2^; 4) 64 = 2«. 1) 2005^ закінч ується циф рою 5, оскільки 5^ = 25; 2) 1 0 92 004^ зак ін чується циф рою 4 , оскільки 4® = 64; 3) 879^ - 200^ закінч ується циф рою 1, бо 9^ = 8 1 , 0^ = О, 81 - О = 81; 4) 4091^ + 8022^ закінчується циф рою 9, бо 1^ = 1, 2^ = 8 , 1 + 8 = 9. В прави дл я повторення 2 8 3 . Я кщ о а = 13, то 5 13 + 15 = 65 + 15 = 8 0 , 13 + 59 = 72. О тж е, 5а + 15 > а + 59. 2 8 4 . (3 2 а + 48Ь) : 2. Я кщ о а = 16, 6 = 12, то (32 • 16 + 4 8 • 12) : 2 = 544 (кг). 32 48 1088 2 12 16 + 512 576 10 96 1088 X 192 + 32 48 5 12 576 544 .o rg X 8 8 bo ok О Відповідь: (3 2 а + 48ft) : 2; 5 44 кг. § 8 . Д іл е н н я н а тур а ль н и х чи се л Д ія , за допом огою я к ої за добутком та одним із м н ож н и к ів зн а ­ ходять ін ш и й м н ож н и к , називається д і л е н н я м . частка : .4 а ділене Ь дільник = с частка І w w Ч исло а ділять на натуральне число Ь тоді, коли хочуть зм ен ­ ш ити а в Ь разів. Ч астка п ок азує, у скільки разів діл ен е б іл ь ­ ш е за дільник. П равильність діл ен н я перевіряться м н ож енням ; а = Ьс. Н а нуль діл и ти не м ож на! 1) 7 : 7 = 1; 2) О : 9 = 0; 3) О ; О — нем ож ливо виконати д ію , бо на нуль діл и ти не м ож на; 4) 5 45 : 1 = 545; 5) 911 : 911 = 1; 6) 4 0 : 1 = 40; 7) 13 : О — виконати нем ож ливо; 8) 1 : 1 = 1; 9) О ; 1 = 0. 2 8 6 . 4 0 3 2 : 126 = 32; 4 0 3 2 : 32 = 1 26. w 285. 287. 1) 4 23 X 13 ^1269 423 5499 Відповідь: правильно. 2) 265 X 25 1325 530 6625 В ідповідь: неправильно. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 249
    • 288. 1) X 2) 335 X 568 28 37 2680 ^ 39 76 227 2 6 70 26696 Відповідь: правильно. 9380 Відповідь: неправильно. 289. 2832 12 1) 24 2) 37 7 58 5 ~74 236 84 297 205 43 185 36 185 or g 4 20 3 36 ~72 ~336 О 125 375 5 1 9 6 8 256 5) 512 37 4122 ~4122 0 11130 42 0 2) 7 2 8 0 35 w .4 84 ~70 265 208 280 252 '2 8 0 w 273 w 210 192 554 ~480 _748 6 72 768 О 28 768 О 5) 5 1 7 4 4 168 ~504 308 13 44 ’ і8 7 2 13 44 Ш 2 4 7 4 8 8 96 О 1872 250 3) 210 6552 234 О 1006 768 О ~468 691122 687 ~687 203 768 8 75 4) 6) bo 8 75 1) ok . О 4 )4 6 2 5 1354 ^252 4 53 О _72 290. 1 1 3 7 3 6 84 3) О М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 6) 1 3 8 4 1 5 589 1178 2061 1767 2945 2945 О 235 2578
    • Щ об п оділ и ти натуральне число, щ о зак ін ч ується н ул я м и , на р озрядну одиницю , треба відкинути справа у цьом у числі стіл ь­ ки н улів, скільки їх є в р озр ядн ій одиниці: 38 ООО : 10 = 3 8 0 0 , 38 ООО : 1 00 = 38 0 . 1) 4 7 0 : 10 = 47; 3) 57 2 5 0 : 10 = 5725; 5) 3 7 ООО : 100 = 370; 7) 2 38 ООО : 1 0 0 0 = 238; 9) 1 0 4 0 ООО : 1 0 0 0 = 1 0 4 0 . 2 9 2 . 1) 4 9 5 0 : 10 = 495; 3) 2 96 5 00 : 100 = 2965; 5) 3 78 ООО : 1 0 0 0 = 378; 291. 722 : 38 = 19 (т /г а ). 2) 4) 6) 32 700 : 10 = 32 7 0 ; 1 0 2 5 ООО : 1 0 0 = 10 250; 5 9 0 0 ООО : 10 ООО = 5 9 0 . 294. 722 38 ” 38 9 2 5 : 25 = 3 7 (стор.). 925 25 75 І9 342 rg 293. 2) 2 9 0 0 : 10 = 290; 4) 5 2 0 0 : 100 = 52; 6) 20 7 3 0 0 : 100 = 20 7 3 ; 8) 3 ООО ООО : 10 ООО = 300; I 37 .o 175 342 0 В ідповідь: 19 т з гектара. ok " і7 5 0 В ідповідь: 37 сторінок. bo = V ■ t, зв ідк и t = s : V. 1) 6 км 6 0 0 м = 6 6 0 0 м; 534 6 2) 6 6 0 0 : 3 3 0 = 20 (с). ~48 В ідповідь: ч ерез 20 сек ун д. 89 2 9 6 . 1) 534 : 6 = 89 (к м /го д ) — ш видкість автомобіля; 54 2) 89 • 8 = 712 (км) — ш укан а відстань. 54 Відповідь: 712 км. 0 w w w .4 295. s = V ■ t, зв ідки V = s : t. 1) 84 • 5 = 4 2 0 ( k m ) — відстань м іж містами; 2) 4 2 0 : 4 = 105 (к м /го д ) — м ож лива ш видкість. Відповідь: 105 к м /го д . 2 9 8 . 1) 12 • 12 = 12^ = 1 44 (грн.) — кош тую ть у сі лим они; 2) 3 06 - 144 = 162 (грн .) — кош тую ть у сі апельсини; 3) 162 : 18 = 9 (грн.) — кош тує 1 кг апельсинів. Відповідь: 9 грн. 32 X 2 9 9 . 1) 32 • 16 = 51 2 (кг) — кількість пом ідорів у япон­ 16 к ах по 32 кг; 2) 1112 - 512 = 6 0 0 (кг) — кількість пом ідорів у ящ и ­ к ах по 40 кг; 32 3) 6 0 0 : 4 0 = 15 (я щ .) — кількість ящ и к ів по 4 0 кг. ~ЬЇ2 Відповідь: 15 ящ ик ів. 297. ш т т
    • 1) 32 + 38 = 70 (м .) загальна кількість міш ків; 2) 3 5 0 0 : 70 = 50 (кг) — вага одного міш ка; 3) 50 • 32 = 50 • 16 ■ 2 = (5 0 • 2) • 16 = 100 • 16 = 1 6 0 0 (кг) — на перш ом у автомобілі; 4 ) 50 • 38 = 50 ■ 17 • 2 = (5 0 • 2) ■ 17 = 1 00 • 17 = 1 7 0 0 (кг) — на другом у автом обілі. Відповідь: 1600 кг і 1 7 0 0 кг. 3 0 1 . 1) 55 - 4 5 = 10 (ящ .) — на стільки більш е зібрав 5-Б клас; 2) 2 60 : 10 = 26 (кг) — кількість яблук в одном у яш;ику; 3) 26 • 45 = 2 • 13 • 5 • 9 = (2 • 5) • (13 • 9) = 10 • 117 = 1 1 7 0 (кг) — зібрав 5-А клас; 4) 26 • 55 = 2 • 13 • 5 ■11 = (2 • 5) • (13 11) = 10 • 143 = 1 4 3 0 (кг) — зібрав 5-Б клас. Відповідь: 1 1 7 0 кг і 1430 кг. 3 0 2 . 1) Р озгл ян ем о частку ЗО : 5 = 6. Збільш им о д іл ен е в 5 разів (ЗО • 5) : 5 = 150 : 5 = ЗО. ЗО > 6, ЗО : 6 = 5. О тж е, частка т еж збільш илася у 5 разів. 2) Р озгл ян ем о частку 36 : 4 = 9. Зм ен ш и м о дільник у 2 рази , тоді 36 : (4 : 2) = 36 : 2 = 18, 18 > 9, 18 : 9 = 2. О тж е, частка збільш илася у 2 рази. 3) Р озглян ем о ч астку 12 : 3 = 4. Збільш им о діл ен е і діл ьни к у 5 разів, тоді (12 • 5 ) : (З • 5) = 60 : 15 = 4. О тж е, частка не зм іниться. 4) Р озгл ян ем о частку 12 : З = 4. Збільш им о діл ен е у 8 р азів , а дільник — у 2 рази . Тоді м аєм о (12 • 8) : (З • 2) = 9 6 ; 6 = 16, 1 6 > 4 , 1 6 : 4 = 4. О тж е, частка збільш илася в 4 рази . 5) Р озгл ян ем о ч астк у 12 : 4 = 3. З більш и м о д іл ен е в З р а зи , а дільник зм ен ш и м о в 2 рази , тоді (12 • 3) : (4 : 2) = 36 : 2 = 1 8 , 18 > З, 18 : З = 6. О тж е, частка збільш илася у 6 разів. w .4 bo ok .o rg 300. О держ ані висновки корисно зап ам ’ятати! 303. км/год w w Суми ^ ? км/год і = 8 год Ужгород Р о з в ’я за н н я . ^ 1) 72 • 8 = 5 76 (км) — проїхав п ерш ий автомобіль до зустрічі; 2) 1168 - 5 76 = 5 92 (км) — проїхав другий автомобіль до зустрічі; 3) 592 : 8 = 74 (к м /го д ) — ш видкість другого автом обіля. Відповідь: 74 к м /го д . 24 км Л 304. t = З год ІЗ 72 км/год Р о з в ’я за н н я . І спосіб. За З год до зустрічі перш ий поїзд подолав відстань 72 • З = 2 1 6 (км). З а цей час др угий п оїзд проїхав на 24 км менш е: 2 1 6 - 24 = 1 92 (км ). Тоді його ш видкість: 192 : З = 64 (к м /го д ). 252 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • I I спосіб. Н а п очатку р уху відстань м іж п оїздам и була 24 км . З а З год п о їзд , щ о їхав п озаду, наздогнав др уги й , тобто 24 ; З = 8 (к м / год) — ш видкість збл и ж ен н я. Ц е р ізн и ц я м іж ш видкостям и п ер ­ ш ого і другого п оїздів . Тоді 72 - 8 = 64 (к м /го д ) — ш видкість другого автом обіля. В ідповідь: 64 к м /го д . Ш видкість за теч ією дорівню є сум і власної ш видкості та ш видк о сті т е ч ії, а ш ви дк ість п роти т е ч ії — їх р ізн и ц і. Р ізн и ц я м іж ш видкостям и за течією та проти т еч ії дорівню є п одвоєн ій ш видкості теч ії. Н ■ Н Н 3 0 5 . Р о з в ’я з а н н я . w w w .4 bo ok .o rg 1) 2 6 4 : 11 = 24 (к м /го д ) — ш видкість за течією ; 2) 24 - 2 • 1 = 22 (к м /го д ) — ш видк ість проти течії; 3) 2 6 4 : 22 = 12 (год) — час для р у х у проти теч ії. В ідповідь: за 12 годин. 3 0 6 . Р о з в ’я за н н я . 1 ) 6 3 : 3 = 21 (га) — зорали 7 тракторів за 1 год; 2) 21 : 7 = 3 (га) — один трактор за 1 год; 3) З • 5 = 15 (га) — 5 тракторів за 1 год; 4) 15 • 2 = ЗО (га) — 5 тракторів за 2 год. В ідповідь: ЗО га. 3 0 7 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 156 :З = 52 (п р.) — розм альовує перш а х у д о ж н и ц я за день; 2) 156 :4 = 3 9 (п р.) — розм альовує друга х у д о ж н и ц я за день; 3) 52 + 39 = 91 (пр.) — розм алю ю ть дві х у д о ж н и ц і за день, п ра­ цю ю чи разом; 4) 3 6 4 : 91 = 4 (дн і) — час сп іль н ої роботи. В ідповідь: за 4 дн і. 3 0 8 . Р о зв'я за н н я . 1) 2 4 0 :8 = ЗО (л) — продуктивність перш ого насосу; 2) 2 52 :6 = 42 (л) — продуктивність другого насосу; 3) ЗО + 42 = 72 (л) — викачую ть обидва насоси за 1 хвилину; 4) 4 3 2 : 72 = 6 (хв) — час сум існ ої праці. Відповідь: за 6 хвилин. 3 0 9 . 1, З — р озв ’я зан і в п ідр уч н и к у. 2) (3 2 0 • 720) : 9 0 = 3 2 0 • (7 2 0 : 90) = 3 2 0 • 8 = 2560; 4) (35 • 45 ) : 25 = (35 • 45) : 5 : 5 = (35 : 5) • (4 5 : 5) = 7 • 9 = 6 3. Висновки. К орисн о за п а м ’ятати! Щ об добуток поділити на число, м ож н а один із м нож ників п о д і­ лити на це ч исло, а результат пом н ож и ти на др уги й м н ож н и к . Щ об добуток п оділ и ти на добуток , м ож н а перш и й м н ож н и к перш ого добутку поділити на один із м нож н и к ів другого, потім другий м нож ник перш ого добутку поділити на другий м нож ник другого добутку, а одер ж ан і результати п ер ем н ож и ти . М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 253 Щ:*:
    • В прави для повторення 3 1 0 . Р о з в ’я за н н я . 1) 20 • З = 60 (км) — ш л ях по озеру; 2) 2 0 + 2 = 22 (к м /го д ) — ш видкість за течією ; 3) 22 • 2 = 4 4 (км) — ш лях річкою ; 4) 6 0 + 44 = 104 (км) — весь ш лях. Відповідь: 104 км. 7246867500 1456789 311. 884787 1456723872 2341576 5790143628 Відповідь: М ихайло Груш евський. І J rg y завданн і № 3 1 2 ф актично потрібно п ер ев ір и ти , чи м о ж н а число 113 подати у ви гляді сум и добутків чисел 1 6 , 17 і ЗО на І .o натуральні числа.________________________________________________ 3 1 2 . 16 • 2 + 17 • З + ЗО = 32 + 51 + ЗО = 113 (кг). Відповідь: так. § 9 . Д і л е 5 н я13 о с10 ч е2 (ост. 3) — діл ен н я з остачею . н з : та = ю 13 — 2 — неповна частка, З — остача. a = b q + r, г < Ь q — неповна частка, г — остача. ok 10 1) 7 : 2 = З (ост. 1); 2) 10 : З =З(ост. 1); 15 : 4 = З (ост. 3); 4) 19 : З =6 (ост. 1); 21 : 2 = 10 (ост. 1); 6) 27 : 6 =4 (ост. 3). 3 1 4 . Оскільки остача зав ж ди має бути м енш ою за діл ь н и к , то при діл ен н і на З остача м ож е бути 1, 2; на 4 — 1, 2 , 3; на 5 — 1, 2, З, 4; на 12 — 1, 2, З, 4 , 5, 6, 7, 8 , 9, 1 0, 11. bo 313. 315. w .4 3) 5) 1) 100 17 10 0 : 17 = 5(ост. 15); w w ” 85 ~ 5 15 2 ) 2935 6 24 489 53 55 54 1 2935 : 6 = = 4 8 9 (ост. 1); Ш 2 9 5 9 2 26 ~26 35 1138 26 99 ~48 254 3) 78 212 ~208 4 29 5 92 : 26 = = 1 1 3 8 (ост. 4); М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 4) 2 5 6 9 8 53 212 484 449 424 258 ~212 46 25 6 9 8 : 53 = = 4 8 4 (ост. 4 6 ).
    • 316. 13 1 )2 0 0 ~13 2 )4 7 9 2 45 15 70 31 9 29 65 15 15 142 135 2 0 0 : 13 = 15 (ост. 5); 7 4 7 9 2 : 15 = 3 1 9 (ост. 7); 3) 2 3 4 7 36 216 4) 1 2 4 5 6 113 113 65 115 180 113 rg 1 87 11 Н еповна частка 2 31 10 23 2) 12 • 31 + 7 = 3 7 2 + 7 = 379; 1 )4 7 2 2 w .4 46 Д ільник 23 12 56 ok Д іл ен е 4 72 379 571 bo 317. .o 26 12 4 5 6 : 113 = 11 (ост. 26). 7 2 3 4 7 : 36 = 65 (ост. 7); 12 w w 12 X 31 + 3) 571 = Ь • 10 + 11; Ь • 10 = 571 - 11; Ь • 10 = 560; Ь = 5 60 : 10; Ь = 56. Остача 12 7 11 І2 36 372 С користалися ф орм улою а = Ь ■q + г. 318. Д іл ен е 253 283 99 1 )2 5 3 17 83 68 15 17 14 Д ільник 17 21 13 Н еповна частка 14 13 7 Остача 15 10 8 2) 21 • 13 + 10 = 2 7 3 + 10 = 283; 3) 9 9 = Ь • 7 + 8; Ь • 7 = 9 9 - 8; Ь • 7 = 91; Ь = 91 : 7; Ь = 13. М А ТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 255
    • С користаємось ф орм улою а = Ъ ■q + г. Оскільки за переставною властивістю м н ож ен н я Ь ■q = q ■Ь, то 25 • 13 = 13 • 25. Я кщ о 3 33 = 25 • 13 + 8, то неповна частка дорівню є 1 3, остача 8 . Я кщ о 3 33 = 1 3 - 2 5 + 8, то неповна частка 25 , остача 8. 319. 321. 242 : 5 = 48 (ост. 2). 320. 118 : 12 = 9 (ост. 10). 118 12 _242 20 108 48 “ 42 ІО В ідповідь: 9 ди ск ів. ~40 rg Відповідь: 48 п ідковдр, зал и ­ ш иться 2 м полотна. 1) 11 • 7 = 77 (кг) — м аса бронзи; 2) 77 : 4 = 19 (ост. 1) — кількість барельєфів. Відповідь: 19 барельєфів. 3 2 3 . 22 : З = 7 (ост. 1). Тобто 7 вантаж івок будуть повним и, і на одн ій буде п еревезено 1 тонну. Відповідь: 8 вантаж івок. 324. 1) 92 7 7 92= 7 13 + 1; 2) 127 12 ~12 w .4 13 bo ok .o 322. 22 ЇО 7 ~21 w w 1 325. 1) 115 8 8 115 = 8 1 4 + 3; Ті 2) 3 89 23 3 8 9 = 23 • 13 + 21. ~23 Тб 159 "32 138 З П Таке число задається виразом 7 ■ q + 2, де q — натуральне число, наприклад, 7 • 2 + 2 = 16, 7 • 5 + 2 = 3 7. 3 2 7 . Р озв ’я зан н я подано в п ідр уч н ик у. 326. Вправи дл я п овторення 3 2 8 . 150 : а. Я кщ о а = 6 , то 1 50 : 6 = 25. Відповідь: 150 : а; 25. 256 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 3 2 9 . П означим о м асу н ев ідом ої гирі х. 1) З кг = 3 0 0 0 г; 1 кг = 1 0 0 0 г 3 0 0 0 = X + 750 + 750 + 1000; 3 0 0 0 = л: + 2500 ; х = 3 0 0 0 - 2 5 0 0 ; X = 50 0 . В ідповідь: 5 00 г. 2) 4 кг = 4 0 0 0 г; 1 кг = 1 0 0 0 г. 4 0 0 0 = л: + X + 5 00 + 1000 + 1000; 4 0 0 0 = 2 х + 25 0 0 ; 2 х = 4 0 0 0 - 2500; 2 х = 1500; х = 1 5 0 0 : 2; х = 750. В ідповідь: 750 г. Д ом аш н я сам остій н а р обота № 2 1. 2 73 Відповідь: Г. X 45 1 3 65 2 . 1 4 • 14 ■ 14 = 14^ Відп овідь: Б. 3 . 19 5 1 9 : 5 = 3 (ост. 4). Відповідь: Г. 15 З 1856 1 23 Відповідь: А . bo 184 80 7 161 ok 6. .o rg 1092 12 2 8 5 4 . 2 0 • 117 • 5 = (20 • 5) ■ 117 = 1 00 ■ 117 = 11 700. В ідповідь: Б. 5 . 2в = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 ■ 2 = 64. В ідповідь: В. w w w .4 161 О 7 . 1 спосіб. 1) 72 - 65 = 7 (к м /го д ) — ш видкість віддалення; 2) 7 • 5 = 35 (км) — відстань м іж м отоциклістам и. I I спосіб. 1) 72 • 5 = 3 6 0 (км) — проїхав один мотоцикліст; 2) 65 • 5 = 3 25 (км) — проїхав др уги й мотоцикліст; 3) 3 6 0 - 32 5 = 35 (км) — відстань через 5 годин. В ідповідь: 35 км , В. 8 .х^ + 13. Я кщ о X = 10, то 10^ + 13 = 1 0 0 0 + 13 = 1 0 1 3 . В ідповідь: Б. Q. Р о з в ’я за н н я . 1) 23 • 9 = 2 07 (грн .) — копітує все печиво; 2) 6 3 9 - 2 0 7 = 4 3 2 (грн.) — кош тую ть усі цукерки; 3) 4 3 2 : 12 = 36 (грн .) — кош тує 1 кг ц ук ерок . В ідповідь: А . 1 0 . Р озгл ян ем о добуток а • Ь. З б іл ь ш и м о один м н о ж н и к у 8 р а зів , а др у ги й — зм ен ш и м о у 2 рази. Тоді 8 а ■(Ь : 2) = (8а ■ Ь) : 2 = Sab : 2 = АаЪ. Тобто д о ­ буток збільш иться у 4 рази. В ідповідь: В. М АТЕМ АТИ КА , 9 Усі ГДР, 5 кл. о. С . Істер Ш 257
    • 1 1 . 2^ = 8, от ж е, число 1002^ зак ін ч ується циф рою 8. Відповідь: Г. 1 2 . Р о з в ’я за н н я . 1) 1 8 0 : 12 = 15 (п л.) — розливає перш ий автомат за 1 хв; 2) 221 : 13 = 17 (п л.) — розливає др уги й автомат за 1 хв; 3) 15 + 17 = 32 (п л.) — розливаю ть два автомати разом за 1 хв; 4) 2 2 4 : 32 = 7 (хв) — час сп ільн ої роботи. Відповідь: Б. З а в да н н я для перевірки зн ан ь № 2 ( § § 5 - 9 ) 5135 2) 2 . 1 ) 17< = 17 • 17 • 17 • 17 = = (17 ■ 17) • (1 7 • 17) = 8 3 5 2 1 . 24300 X X 26 30810 410 17 10270 972 133510 9963000 289 17 243 289 rg 1 .1 ) 119 +2312 .o 17 2601 578 289 17 5 17 : 5 = 3 (ост. 2); 2 )1 9 ” і8 3 4 .1 ) 3021 53 ~ 265 bo ” і5 57 2) 7 9 3 0 26 78 6 305 371 130 371 130 З 19 : З = 6 (ост. 1). w .4 3 .1 ) ok 83521 О О w w 5 . 1 ) 2а + 7а = (2 + 7) • а = 9а; 2) З х + 7х - 6л: = (З + 7 - 6) ■л: = 4 х . 6 . 1 ) 25 • 4 7 • 4 = (25 • 4) ■4 7 = 100 • 4 7 = 47 0 0 ; 2) 39 • 41 + 59 39 = 39 • (41 + 59) = 3 9 • 1 0 0 = 3 9 0 0 . 7 . 1 ) 162 : 8 + 2 * ■5 = 16 ■ 16 : 8 + 2 • 2 • 2 ^ • = (16 : 8) • 16 + 5 = 2 • 16 + 4 0 = 32 + 4 0 = 72; 2) (8^ - 72) : (42 - 1) = (64 - 49 ) : (16 - 1) = 15 : 15 = 1. 8. Р о з в ’я за н н я . 1) 720 : 9 = 8 0 (к м /го д ) — ш видкість автомобіля; 2) 80 + 10 = 90 (к м /го д ) — ш видкість автом обіля після збільш ення; 3) 720 : 9 0 = 8 (год) — час для подолання відстан і після збільш ення ш видкості. Відповідь: 8 год. 258 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 9 . Р озгл ян ем о добуток а ■Ь. З більш и м о п ерш ий м н ож н и к у 4 рази , а другий м н ож н и к зм ен ш им о у 2 рази. Тоді 4 а ■(Ь : 2) = 4 ■а ■Ь : 2 = 4 : 2 ■аЬ = 2аЬ. Відповідь: добуток збільш иться у 2 рази. 1 0 . Див. № 3 0 2 . Р озгл ян ем о частку а : Ь. Збільш и м о д іл ен е в 6 разів, а дільник збільш им о в 2 рази, тоді маємо: . .. .. 6а : 2Ь = 6 а : 2 : Ь = (6а : 2) : Ь = За : Ь = 3(а : Ь). Відповідь: частка збільш иться у З рази . Щ:-:; 1 1 . Остання циф ра перш ого додан к у — 5, оск ільк и 5^ = 2 5 , остання циф ра другого д одан к у — 1, оскільки 1® = 1. Тоді остання циф ра сум и 5 + 1 = 6 . Відповідь: на ц иф ру 6. § 1 0 . Ч и с л о в і в и р а з и . Б у к в е ні в и р а з и т а ї х з н а ч е н н я . Ф о р м у л и В и рази 1 , 4 — числові; 2, 6 — бук в ен і. З, 5 — ф орм ули. w .4 330. bo ok .o rg В и рази, я к і складаю ться з чи сел, зн ак ів д ій та д у ж о к , н ази ва­ ють ч и с л о в и м и в и р а з а м и : 48 - 23 • 15; (3 4 + 97 ) ■ 5. В иконавш и всі д ії, отрим аєм о з н а ч е н н я ч и с л о в о г о в и р а з у . В ираз, як и й м істить букви, циф ри, знак и д ій та д у ж к и , н а зи ­ вають б у к в е н и м в и р а з о м : З + а; (8 8 8 + с) ■Ь. Ф о р м у л а — це запис деяк ого правила за допом огою букв, що встановлю є в заєм озв ’язок м іж величинам и. Ф орм ули, я к і треба зап ам ’ятати: S = аЬ — площ а прям окутника; Р = (а + Ь) ■ 2 — перим етр прям окутника; S = V ■ t — ф орм ула ш ляху. а + 15. 3 3 2 . а = 21 5 . 3 3 3 . ЗО • л:. 3 12 + а. Я кщ о а = 12, то 3 12 + 12 = 324; якщ о а = 2 8 9 , то 3 1 2 + 2 8 9 = 6 0 1 . 3 3 5 . т + (п - 8). Я кщ о т = 10, п = 12, то 10 + (12 - 8) = 10 + 4 = 14. 336. 1 ) х + 3117. Я кщ о х = 2 1 7 3 , то 2 1 7 3 + 3 1 1 7 = 5290; як щ о х = 9 8 9 , то 989 + 3117 = 4106. 2 ) 4 1 1 7 : у. 331. w w 334. Я кщ о у = 2 3 , то 4 1 1 7 : 23 = 179; якщог/ = 1 7 9 ,т о 4 1 1 7 : 179 = 23. 4117 23 4 1 1 7 179 23 181 179 358 161 207 207 О 23 53 7 53 7 О М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 9* Ш 259
    • 3) m - п. Я кщ о т = 12 17 9 , п = 8 3 9 7 , то 12 179 - 8 3 9 7 = 3 7 8 2 . 12 1 7 9 4) (а + Ь) ■с. Я кщ о а = 1 13, Ь = 2 2 7 , с = 1 3, то (1 1 3 + 2 2 7 ) • 13 = = 3 4 0 • 13 = 4 4 2 0 . 8397 340 X 13 34 3782 337. 4420 т п т + п т - п 3 27 159 48 6 168 8 2 321 3327 85 648 78 99 4 1213 9 87 2200 226 5221 0 5221 5221 Р = 4а, ц,е а — сторона квадрата. Я кщ о а = 7 см , то Р = 4 • 7 = 28 (см). Я кщ о а = 8 дм , то Р = 4 • 8 = 32 (дм). 3 3 9 . у = 8 х + 7. Я кщ о х = 0, т ог/ = 8 0 + 7 = 7; як щ о х = 1 , т о і / = 8 1 + 7 = 15; якщ о X = 2 5 , то і/ = 8 ■ 25 + 7 = 2 0 0 + 7 = 207; якщ о X = 10 0 , то і/ = 8 • 100 + 7 = 8 0 0 + 7 = 8 0 7 . ok .o rg 338. І bo З а допом огою ф орм ул м ож н а обчислити зн ачен ня о д н іє ї з ве­ личин за відом им и значенням и реш ти величин. Н априклад, з ф орм ули щ л я ху s = v ■t за правилом зн а х о д ж е н ­ ня невідом ого м н ож н и к а v = s : t, t = s : v. 1) t = s : и = 3 12 : 78 = 4 (год); 2) V = s : t = 27 2 : 4 = 68 (к м /го д ). 3 4 1 . s = v t, s = 102 • 5 = 510 (км). Відповідь: 5 1 0 км. 342. 1) n = a + b + с; 2) с = n - a - b; 3) a + с = n - b; 4) n ~ a = b + c. 343. 1) X = a + b; 2) x = m - p. 42 344. 42 • 25 -H 54 ■ = 2 7 7 8 . 32 w w w .4 340. 54 X X Відповідь: 42 • 25 + 54 • 32; 2 7 7 8 кг. 32 25 (- 210 -1- 108 162 84 60 : 5 - 15 : З =12 - 5 = 7 (км). 10 50 1728 Відповідь: 6 0 : 5 - 15 ; 3; 7 км. 167 3 4 6 . 1) (3 2 5 + 733) - 8 1 2 = 1 0 5 8 - 8 1 2 = 246; ' 16 2) (215 - 199) ■(95 + 72) = 16 • 167 = 2 6 7 2 . 345. 1 ) т - ( а + Ь); 3) с + d : п 347. 2) {р - к) ■ U 4) ( f + q) • и>. . 1006 -и' 167 2672 260 ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер + 1728 1050 2778
    • 70а + 80Ь. Я кщ о а = 3, t> = 4 , то 70 • 3 + 80 4 = 2 1 0 + 3 2 0 = 5 3 0 (км ). В ідповідь: 70а + ВОЬ; 5 30 км. 3 4 9 . I день — 1 3 0 0 зош итів -----к"? II день — на X зош и тів м енш е J Р о з в ’я за н н я . 1 3 0 0 + (1 3 0 0 - X ) . Якш,о д: = 2 1 1 , то 1 3 0 0 + (1 3 0 0 - 211) = 1300 + 1 08 9 = 2 3 8 9 (зош .). Відповідь: 1 3 0 0 + (1 3 0 0 - х); 2 3 8 9 зош итів. 3 5 0 . (л: + у) : 2. Якшіо X = 9, і/ = 13, то (9 + 13) : 2 = 22 : 2 = 11. Відповідь: (х + у) : 2; 11 цукерок. 3 5 1 . Р = (а + & • 2. ) Я кщ о а = 12 см , Ь = З дм = ЗО см , то Р = (12 + ЗО) ■ 2 = 42 • 2 = 84 (см). Відповідь: 84 см. 3 5 2 . Р = а + 2Ь. Я кщ о а = 8, & = 7, т о Р = 8 + 2 - 7 = 8 + 14 = 22 (см ). Відповідь: Р = а + 2Ь; 22 см. t 252 км 70 юм 10 км/год 63 км/год 7 год 4 год 238 м 34 м/с 7с 3 км 10 м /с 5 хв ok S V 300 м 9 км/год 2 хв 60 О О км О 15 км/год 4 год bo 353. .o rg 348. S = V ■ t, V = S : t, t = S : V w .4 s = 10 • 7 = 70 (км); у = 252 : 4 = 63 (к м /год); t = 2 38 : 34 = 7 (с); t = 3 0 0 0 : 10 = 3 0 0 (с) = 5 (хв); 9 к м /го д = 9 0 0 0 м : 60 хв = 150 м /х в , s = 150 ■ 2 = 3 0 0 (м); і = 60 км : 15 к м /г о д = 4 год. w w 1) 2) 3) 4) 5) 6) 354. 15 ООО м 4 3 2 км 1800 м 3 к м /го д 15 м /х в 4 8 к м /го д 5 год 2 год t 9 год 1) у = S : f = 4 3 2 : 9 = 4 8 (к м /год); 2) 2 год = 2 • 6 0 хв = 1 20 хв; s = v ■t = 15 ■ 120 = 1 8 0 0 (м); 3) у = s : f = 15 ООО м : 5 год = 15 км : 5 год = 3 (к м /го д 355. т + п ■р . Я кщ о т = 17 3 , п = 1 2 , р = ?., то 173 + 12 • 3 = 173 + 36 = 2 0 9 . а : Ъ + с. Я кщ о а = 9 0 0 , 6 = 25, с = 72, то 9 0 0 : 25 + 72 = 36 + 72 = 1 08. ( с 1- к) ■ t. Я кщ о d = 37, fe = 9, f = 4 , то (37 - 9) ■4 = 28 • 4 = 1 1 2 . Відповідь: най біл ьш у відстань п роїхала легкова автівка. S V М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 261
    • 1) m + n — мають Буратіно і А рл ек ін о разом; 2) п —k — на стільки сольдо більш е має А рл екіно, н іж М альвіна; 3) т + п + k — сум а, як у мають Б уратін о, А р л ек ін о і М альві­ на разом; 4) ( т + п) “ ft — на стільки більш е сольдо у Б ур атін о і А р л ек ін о разом , н іж у М альвіни; 5) т - (п + k) — на скільки більш е сольдо у Б ур атін о, н іж у А р ­ лек ін о і М альвіни разом; 6) т : k — у скільки разів більш е сольдо у Б ур атін о, н іж у М аль­ віни. 3 5 7 . 1 грн. ЗО кой. = 1 30 к оп ., 18 грн. = 1 8 0 0 коп. Витрачено на зош и ти ІЗОх грн. Залиш илось: 1 8 0 0 - ІЗОх. Я кщ о X = 9 , то 1 8 0 0 - 130 • 9 = 1 8 0 0 - 1 1 7 0 = 6 3 0 (к о н .) = = 6 грн. з о коп. В ідповідь: 1 8 0 0 - ІЗОх; 6 грн. ЗО коп. rg 356. {t - 15) : 3. Я кщ о t = 3 3 , то (33 - 15) : З = 18 : З = 6 (хв). Відповідь: (f - 15) : 3; 6 хв. 3 5 9 . І п. — 20 зош . ----II п. — на X зош . м енш е-І. III н. — у 2 рази б іл ь ш е----Р о з в ’я за н н я . 2 0 4- (20 - X ) + (20 - X ) ■ 2 = 20 (20 - х ) • 3. Я кщ о X = 2, то 20 + (20 - 2) • З = 20 + 18 • З = 20 + 54 = 74 (зо ш .). Відповідь: 20 -Ь (2 0 - х ) • 3; 74 зош ити. 361. 1) а -Н 1; 2) а - 1. 1) Ь + 2, Ь + З, Ь = 3; 2) Ь; Ь - 1. w .4 360. bo ok .o 358. Вправи дл я повторення Я D в . ---------------------------------------------------. -----------------------• w w 362. 7 см В им іряй і зап и ш и довж и н и відрізк ів A D і B D . Має виконуватись рівність A D -І- B D = 7 см. 3 6 3 . 1) 3 0 0 0 г = З кг; 2) 15 ООО г = 15 кг; 3) З т = 3 0 0 0 кг; 4) З т 2 10 кг = 3 2 1 0 кг; 5) 9 ц = 9 0 0 кг; 6) 9 ц 5 кг = 9 0 5 кг. 3 6 4 . 1) Н а п од ар ун к и п ер ш ок л асн и к ам п ри дбал и 2 0 альбом ів по З грн. і 15 к н и ж ок по 7 грн. Скільки грош ей витратили на п о­ купку? Р о з в ’я за н н я . 1) 20 • З = 6 0 (грн .) — кош тую ть альбоми; 2) 15 • 7 = 105 (грн .) — кош тую ть к ниж ки; 3) 6 0 -І- 105 = 165 (грн .) — вартість покупки. Відповідь: 165 грн. 262 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 2) Н а п одар ун к и п ер ш ок л асн и к ам п ри дбал и д ек іл ь к а ал ь бо­ мів по 4 гри. і 27 к н и ж ок по 5 грн. За всю п ок уп к у заплатили 2 6 3 грн. Скільки придбали альбомів? Р о з в ’я з а н н я . 1) 5 • 27 = 135 (грн .) — заплатили за к н и ж к и ; 2) 2 6 3 - 135 = 128 (грн .) — заплатили за альбоми; 3) 128 : 4 = 32 (альб.) — кількість альбом ів. ;Щ;;; Відповідь: 32 альбоми. 3) П ридбали 145 олівців по 20 коп. і 185 ручок. За все зап л ати ­ ли 103 грн. Скільки к ош тує ручка? Р о зв 'я за н н я . 1) 145 • 20 = 2 9 0 0 (к оп .) — кош тую ть олівці; 2) 10 3 0 0 - 2 9 0 0 = 7 4 0 0 (к оп .) — кош тую ть ручки; 3) 7400 : 185 = ’4 0 (к оп .) — вартість ручки. 7 4 0 0 185 740 or g В ідповідь: 4 0 коп. О ok . § 1 1 . Р ів н ян н я 40 w .4 bo Рівність, щ о м істить невідом е число, називається р і в н я н н я м . Значення невідом ого, при яком у рівняння перетворю ється на правильну числову рівність, називається к о р е н е м р і в н я н н я . Р о з в ’я з а т и р і в н я н н я озн ачає знайти всі його к орен і або п о­ к азати, ш,о їх нем ає. Щ об перевірити, чи є число коренем даного рівн янн я, потрібно підставити це число в рівняння зам ість н евідом ого. Я кщ о р ів ­ н яння перетвориться на правильну числову рівність, то дан е число є коренем р івняння. 1) 17 - 12 = 5 ^ 8. Н і. 2) 12 + 21 = 3 3 . Так. 3) 12 - 10 = 2 7. Н і. 4) 24 - 12 = 12. Так. w 365. 1) Я кщ о л: = 2, то 2 • 2 -Ь 17 = 4 -Ь 17 = 21 1 7. Н і. Я кщ о X =5, то 2 • 5 -1 7 = 10 -(- 17 = 2 7 . Так. Я кщ о X =7, то 2 • 7 -Ь 17 = 14 -Ь 17 = 31 2 7 . Н і. 2) Я кщ о X = 2, то (1 3 - 2) -І- 4 2 = 11 -І- 42 = 53 ті 4 8 . Н і. Я кщ о X = 5, то (1 3 - 5) + 42 = В-Ь 4 2 = 5 0 4 8 . Н і. Я кщ о X = 7, то (1 3 - 7) -Ь 4 2 = 6 -І- 42 = 4 8 . Так. w 366. 1) Я кщ о X = З, то 63 : З - 2 = 21 - 2 = 19 7. Н і. Я кщ о X =7, то 6 3 : 7 - 2 = 9 - 2 = 7. Так. Я кщ о х = 9, т о 6 3 : 9 - 2 = 7 - 2 = 5 ? і 7 . Н і. 2) Я кщ о X = З, то 15 - (З -Ь 3) = 15 - 6 = 9 . Так. Я кщ о X = 7, то 15 - (7 -Ь 3) = 15 - 10 = 5. Н і. Я кщ о X = 9, то 15 - (9 Ч 3) = 15 - 12 = З 7. Н і. - 367. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 263
    • Щ об знайти н евідом ий додан ок , треба від сум и в ідн яти в ідо­ мий доданок: 5 + X = 7; X = 7 - 5; X ^ 2. Щ об зн ай ти н ев ід ом е зм ен ш у в а н е, треба до р ізн и ц і д од ати в ід ’єм ник: х - 2 = 4 ; х = 7 + 2 ; х = 9. Щ об знайти невідом ий в ід ’єм н и к , треба від зм ен ш уван ого в ід ­ няти різницю : 7 - X = 2; X = 7 - 2; X ^ 5. 3 6 8 . 1 )2 5 7 1 + X = 4 5 9 7 ; л: = 4 5 9 7 - 2571; х = 2026; 2) І/ -h 17 3 92 = 21 456; у = 21 45 6 - 17 3 9 2 ; г/ = 4 0 6 4 ; 4597 2571 21456 2571 Перевірка: 2026 1 7 3 9 2 Перевірка: 2026 4597 rg 3) г - 52 142 = 37 897; 2 = 37 8 9 7 -Ь 52 142; г = 9 0 039; 4064 4064 17392 21456 90039 51 1 4 2 Перевірка; 52 1 4 2 90039 42562 37897 ok 37897 .o 4) 4 2 562 - m = 3 7 985; m = 42 562 - 37 985; m = 4577. 42562 3 7 9 8 5 Перевірка: 37985 bo 4577 4577 w .4 3 6 9 . 1) X 4- 12 6 0 5 = 17 700; X = 17 700 - 12 605; X = 5095; 177 0 0 1 2 6 0 5 П еревірка: 5095 5095 46002 31409 12605 3 1 4 0 9 П еревірка: 15593 17 7 0 0 15593 47002 3 ) k - 15 391 = 45 497; fe = 45 4 9 7 -Ь 15 321; k = 60 888; w w 2) 31 4 0 9 + у = 4 7 002; і/ = 4 7 0 02 - 31 409; (/ = 15 593; 4) 12 3 9 8 - р = 4 5 9 7 ; р = 12 3 98 - 4 5 9 7 ; р = 7801; 45497 60888 15321 Перевірка: 15391 4 5 9 7 П еревірка: 7801 60888 45497 7801 4597 3 7 0 . 1) m + 27 311 = 38 111; m = 38 111 - 27 311; m = 10 800; 12398 2) fe - 25 3 72 = 9 9 191; fe = 9 9 191 -Ь 25 372; k = 124 56 3 . 38111 99191 27311 ^25372 1 0800 264 124563 Щ М АТЕМ АТИ КА. О . С. Істер 12398
    • 2) ft - 12 3 72 = 105 394; b = 105 3 9 4 + 1 2 372; b= 117 766. 1) 32 115 + a = 4 3 342; a = 43 342 - 32 115; a = 11 227; 371. 43342 105394 32115 12372 1 12 2 7 117766 Я кщ о a + b = с, TO правильні рівності: b + a = с с - a = b с - b = a 2563 + 6782 = 9345. x + 6 7 8 2 = 93 4 5 ; x = 2563; 9 3 4 5 - m = 2563; m = 6782; 372. 1) 3) ] •••a;.;.; 2) 4) у + 2563 = 9345; у = 6782; 9345 - k = 6782; k = 2563. Я кщ о a - b = с, TO правильні рівності: a = b + с a = с + b a - с = b 6938 - 2475 = 4463. X - 4 4 6 3 = 2475; x = 69 3 8 ; 2) 6 9 3 8 - y = 247 5 ; у = 4 4 6 3 . .o 1) ] rg 373. w .4 bo ok Щ об знайти невідом ий м н ож н и к , треба добуток п оділ и ти на ві­ дом ий множ ник: 5 • X = 3 5 , X = 35 : 5, X = 7. Щ об знайти невідом е діл ен е, треба частку п ом н ож и ти на д іл ь ­ ник: X : 8 = З, X = З • 8, X = 24. Щ об знайти невідом и й діл ьн и к , треба діл ен е п оділ и ти на ч аст­ ку: 24 : X = З, X = 24 : З, X = 8. 1) 12 х = 432; х = 4 3 2 : 12; х = 36; 374. w w 4 3 2 12 36 _72 т 72 О 4) X X X : 27 = 38; = 38 ■ 27; = 1026; 38 2) X X 22 • X = 8008; = 8 0 0 8 : 22; = 364; 3) • 16 = 0; X X = 0; _ 8 0 0 8 22 “ бб 140 364 132 88 6) 9 1 2 : X = 24; х = 9 1 2 : 24; х = 38. 88 О 9 12 24 5 ) х : 192 = 0 ; х = 0; X 72 38 27 2 66 192 76 О 1026 М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 265
    • 2) X • 36 = 1692; X = 1692 : 36; X = 47; 1 ) 1 6x = 560; X = 5 60 : 16; x = 35; 375. 560 16 1692 36 48 144 35 47 80 252 ~80 252 0 0 3) X 4) 7 9 3 6 : X = = 7936 : 31 X : 12 = 182; = 182 • 12; X = 2184; X 182 7936 31 X 12 ” б2 rg 2 56 364 173 182 .o 155 21 84 186 ok 186 bo 0 680 19 0 0 417 382 12 13 839 1 382 39 0 0 417 1 w .4 Д ільник 432 136 3 80 Д ілене Ч астка 20 5 П означим о н евідом е число х , складем о і р озв ’я ж ем о отрим ані рівняння. w w 1) 380 : 19 = = 3 80 : 19; X х = 20; х; 2) 6 8 0 : X = 5; X = 6 8 0 : 5; X = 136; 380 19 38 20 6 80 5 X 36 12 136 18 О 3) X : 12 = 36; X = 36 ■ 12; X = 432; + ”72 36 15 432 ЗО О 4) 6) 266 О : 13 = х ; X = 0; 4 17 ; 1 = х ; X = 417; ш 5) 7) М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер : 8 3 9 = 0; 38 2 ; X = 1; X X X = 0; = 3 8 2 : 1; х = 3 8 2 .
    • у більш ск л адн и х р ів н я н н я х сп очатку треба виконати сп р о ­ щ ення. Д ля цього використовую ть властивості дій: переставну, сп ол уч н у, р озподільну. 3 7 7 . 1) 2 х + 5 х = 49; (2 + 5) ■х = 49; 7д: = 49; д; = 4 9 : 7; X = 7; 2) 10а + 2 а - 8 а = 1544; (1 0 + 2 - 8) • а = 1544; 4 а = 1544; а = 154 4 : 4; а = 386; 3) 15і/ - 2і/ - 2і/ = 385; (15 - 2 - 2) • і/ = 385; Н і/ = 385; 1/ = 3 8 5 : 11; У = 35; 4) X + л: + 2 х + 6 х = 17 120; Ю х = 17 120; X = 17 120 : 10; X = 1 712. 34 33 24 55 О .o ok У = 25. ” 32 bo 36 54 80 ~80 w .4 54 0 Я кщ о а ■Ь = с,, то правильні рівності: Ь ■а = с. с : а = Ь, І : Ь = а. с 1) 4 4 8 0 : 128 = 35; 3) 3 5 х = 44 8 0 ; X = 128; 5) а : 128 = 35; а = 4480; 7) 4 4 8 0 : к = 35; k = 128; w w 379. Ж 32 385 11 4 00 16 324 9 0 386 2) 1 1 у + 1у - 2 у = 400; (11 + 7 - 2) • і/ = 400; 378. 27 12 І rg 1) 1 2 х - Зх = 324; (12 - 3) ■X = 324; 9 х = 324; X = 3 2 4 : 9; X = 36 ; 1544 2) 4) 6) 8) 4 4 8 0 : 35 = 128; 128і/ = 44 8 0 ; у = 35; m : 35 = 128; т = 4 4 8 0 ; 4 4 8 0 : р = 128; р = 3 5 . Я кщ о а : Ь = с,, то правильні рівності: с а : с = Ь, Ь ■с = а, І ■Ь = а. І І 2) 26 • 245 = 637 0; 1) 6 3 7 0 : 2 4 5 = 26; 4) у -. 26 = 245; у = 6 3 7 0 ; 3) X : 2 45 = 26; X = 6370; 5) 6 3 7 0 : t = 245; t = 26; 6) 6 3 7 0 : т = 26; т = 245; 7) 2 6 р = 63 7 0 ; р = 245; 8) 2 4 5 • а = 63 7 0 ; а = 2 6. 3 8 1 . 1) Н ехай у к ор зи н і було х грибів. П ісля того, як до н еї п о ­ клали 25 грибів, їх стало х + 2 5 , що за ум овою дорівню є 72. М аємо рівняння х + 25 = 72. З в ідк и х = 72 - 2 5 , х = 4 7 . Відповідь: 47 грибів. 380. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 267
    • w .4 bo ok .o rg 2) На блю ді X тістечок. П ісля того, як узя л и 8 тістеч ок , їх стало X - 8, що за ум овою дорівн ю є 11. М аємо рівняння: X - 8 = 11; X = 11 + 8; X = 18. Відповідь: 18 тістечок. 3) У таборі 198 учнів, у п охід піш ли х учнів, зал и ш и лось (1 9 8 - х) учнів. За ум овою залиш илось 169 учнів. М аємо рівняння: 198 - X = 1 6 9 , X = 198 - 16 9 , х = 29. Відповідь: 29 учнів. 3 8 2 . 1) Зараз Сергію х років, через 7 років йом у виповниться (х + + 7) років. За умовою — 18. Рівняння: х + 7 = 18, х = 18 - 7, х = 11. Відповідь: 11 років. 2) Н ехай для дитячого садочка відвантаж или х кг ф рук тів. Тоді у м агазині зали ш и лося (2 9 0 - х) кг ф руктів, або 212 кг. Р ів н я н ­ ня: 2 90 - X = 212; х = 2 9 0 - 212; х = 78. Відповідь: 78 кг. 3 8 3 . М а н д р ів н и к п одол ав ч а ст и н у ш л я х у п о їз д о м , а р еш т у 8 5 км — автобусом . С кільки к іл ом етр ів м ан дрівн и к п р оїхав поїздом , якпдо д ов ж и н а м арш руту становить 190 км? Р о з в ’я за н н я . Н ехай м андрівник проїхав п оїздом х км. Тоді всього він подолав (х + 85) км , щ о за умовою становить 190 км. Рівняння: X + 85 = 190; X = 190 - 85; х = 105. Відповідь: 105 км. 3867 3 8 4 . 1) 4 5 9 2 - X = 725; х = 4 5 9 2 - 725; х = 3867; 5107 у + 2 4 9 2 = 7599; у = 7599 - 2492; у = 5107; X + і/ = 3 8 6 7 + 5 1 0 7 = 8 9 7 4 . 8974 Відповідь: 8 9 7 4 . w w 2) у - 7523 = 2131; у = 2131 + 7523; у = 9654; 3 2 7 5 + X = 5924; X = 5924 - 3275; х = 2649; X + і/ = 2 6 4 9 + 9 6 5 4 = 12 30 3 . Відповідь: 12 30 3 . 2131 5924 2649 "^7523 3275 ^9654 9654 2649 12303 1) 5 7 3 7 + X = 10 382; = 10 3 82 - 5737; х = 4645; 5 7 3 7 - у = 1382; у = 5737 - 1382; у = 4355; х - у = 4 6 4 5 - 4 3 5 5 = 29 0 . Відповідь: 29 0 . 103 8 2 5737 4645 57 37 ~1382 4355 4645 4355 290 2) 7382 7382 12629 X 5247 5247 2135 12 6 2 9 2135 10 4 9 4 385. X X - 5 2 4 7 = 7382; = 7382 + 5247; х = 12 629; у + 5 2 4 7 = 7382; у = 7 3 8 2 - 5247; у = 2135; X - у = 12 6 2 9 - 2 1 3 5 = 10 49 4 . Відповідь: 10 4 9 4 . 268 Ш М АТЕМ АТИ КА. О. С. Істер Ш - Ш
    • Р озгл ян ем о на п рик ладах р озв ’язан н я ск л адн іш и х рівнянь. 1) 45 : л: + 10 = 15. В изн ачи м о в лівій частині останню дію . Ц е додавання. Н евідом е входить до ск л аду перш ого дод а н к у 4 5 : д:. Зн ай дем о перш ий доданок: 4 5 : л: = 15 - 10; 45 : д: = 5. Тепер невідом е — діл ьни к . х = 4 5 : 5, х = 9. 2) 16 - (д: + 3) = 6. В изн ачаєм о останню дію ліворуч. Ц е в ід н і­ м ання. Н евідом е входить до складу в ід ’єм ни к а. Знай дем о його: д: + З = 16 - 6; л: + З = 10. Тепер невідом е — це доданок: л: = 10 - 3; л- = 7. 1145 rg 297 792 1095 492 16 3 7 ( X - 792) + 2 9 7 = 1392; - 792 = 1 39 2 - 297; X - 792 = 1095; X = 1095 + 792; х = 1887; 1392 1095 1887 ok "^798 2) X .o 3 8 6 . 1) (X + 4 9 2 ) - 79 8 = 839; X + 4 9 2 = 8 3 9 + 798; д: + 4 9 2 = 1637; д: = 1 6 3 7 - 492; х = 1145; 839 1637 4) 9 7 3 - (3 4 3 + X ) = 297; 3 43 + X = 9 7 3 - 297; 3 43 + X = 576; X = 5 76 - 343; X = 333; 973 576 "^4132 13291 5342 297 343 18633 576 333 1952 - ( X - 732) = 1713; - 732 = 1952 - 1713; - 732 = 239; = 2 39 + 732; = 971; 1 9 52 239 w w 5) w .4 bo 3 ) ( X - 53 4 2 ) - 4 1 3 2 = 9159; X - 5 3 4 2 = 9 1 5 9 - 41 3 2 ; X - 5 3 4 2 = 13 291; X = 13 291 + 5342; X = 18 633; 9159 13291 X X X X 6) 2 3 7 2 1795 - X 1795 - X X = 1795 X = 475. 2372 = = - ~1052 1320 1320 4 75 ~1713 ^732 239 387. X + X + X = X = 971 1) ( X + 4537 = 4537 = 6045 1508; 4 5 3 7 ) + 5 2 9 7 = 11 342; 11 3 4 2 - 5297; 6045; 4537; (1 7 9 5 - X ) = 1052; 2 3 7 2 - 1052; 1320; 1320; 1795 11342 6045 5297 4537 6045 1508 М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 269
    • 2) (л: + 4 7 9 2 ) - 5 3 9 = 6397; X + 4 7 9 2 = 6 3 9 7 + 539; X + 4 7 9 2 = 6936; X = 6 9 3 6 - 4792; X = 2144; 6397 4792 rg 600 5372 .o ok 73 9 2 ) + 4 5 9 7 = 16 292; 16 2 92 - 4597; 11 695; - 7392; w w 1) 59 59 35 94 (у - 59 792) + 12 3 9 7 = 4 7 594; 792 =4 7 5 94 - 12 397; 792 = 3 5 197; 197 + 59 792; 989; 2) а а а = а = 12 137 - (а - 15 142) = 8372; 15 142 = 12 137 - 8372; 15 142 = 37 6 5 ; 3 7 6 5 + 15 142; 18 90 7 . Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Щ Щ Ш Ш 4399 973 1/ ^ І/ = г/ = 270 5392 600 2) 5 2 9 7 + (7 5 9 2 - х) = 8915; 7 5 92 - X = 8 9 1 5 - 5297; 7 5 92 - X = 3618; X = 7592 - 3618; X = 3974. 389. 15561 9797 bo 1) (у + 7392 = 7392 = 11 69 5 4303; 7164 8397 10397 w .4 + + = = + 7164 6) 8 3 7 4 - (5 9 7 3 - х) = 4392; 5 9 7 3 - X = 8 3 7 4 - 4392; 5 9 7 3 - X = 3982; X = 5973 - 3982; X = 1 991. у у г/ у 1792 5372 X 388. 2144 + 4) 9 7 9 7 + (5 3 9 2 - х) = 10 397; 5 3 92 - X = 10 3 9 7 - 9797; 5 3 9 2 - X = 600; х = 5 3 9 2 - 600; X = 4792; 5) 5372 - (X + 4 1 2 7 ) = 973; + 4 1 2 7 = 5 3 7 2 - 973; X + 4 1 2 7 = 4399; X = 4 3 9 9 - 4127; X = 272; 4792 6936 3 ) (х - 8 3 9 7 ) - 5 3 7 2 = 1792; X - 8 3 9 7 = 1792 + 5372; X - 8 3 9 7 = 7164; X = 7164 + 8397; X = 15 561; 6936 ^ 539 4127 4399 272 8374 5973 4392 3982 3982 1991 16292 11695 4597 7392 11695 4303 8915 7592 ~5297 ~3618 3618 3974 47594 + 35197 12397 59792 35197 94989 12137 8272 3765 + 3765 15142 18907
    • 1) 1 5 x + 1 2 x + 7 = 169; (15 + 12)- x + 7 = 169; 2 7 x + 7 = 169; 2 7 x = 169 - 7; 2 7 x = 162; x = 1 62 : 27; x = 6; 2) 1 5 y + у - l Oy - 13 = 131; (1 5 + 1 - 10) ■ i/ - 13 = 131; 6i/ - 13 = 131; 6 y = 131 + 13; 6 y = 144; у = 144 : 6; у = 2 4. 390. 1) ( X + 26) • 12 = 3 6 0 . 263 1841 Спочатку зн ай дем о невідом и й м нож ник: 15 14 2 63 ( X + 26): X + 26 = 3 60 : 12; х + 26 = ЗО. Тепер невідом ий доданок: ~J t 8 44 X = ЗО - 26; X = 4. 42 2) 7(х - 15) = 1841; X - 15 = 1841 : 7; X - 15 = 263; 21 X = 2 6 3 + 15; X = 278; 3) (1 3 2 - X ) : 4 = 23; 132 - X = 4 ■ 23; 9 1 0 35 132 - X = 92; X = 132 - 92; х = 40; 70 26 4) 9 1 0 : ( X + 11) = 35; X + 11 = 9 1 0 : 35; X + 11 = 26; X = 26 - 11; X = 15; 5) 5 (2 х + 27) = 4 0 5 . 210 З н ай дем о невідом и й м н ож н и к 2 х + 27 = 4 0 5 : 5; 2 х + 27 = 81. ~ 0 Тепер невідом ий доданок 2 х , зн ай дем о його: 2 х = 81 - 27; 2 х = 54. Н ареш ті, знайдем о невідом и й м н ож н и к х: х = 54 : 2; х = 2 7. bo ok .o rg 391. w .4 Інколи для р озв ’язан ня рівн янн я, перш н іж застосовувати п ра­ вила зн а х о д ж ен н я н ев ідом ого д од ан к а, м н ож н и к а , д іл ен о го тош,о, потрібно рівняння спростити. Д ля цього використовують відом і властивості дій . І w w 6) (5 х + 2х) : 2 = 2 5 2 . Використовую чи р озп одільн у властивість м н ож ен н я , маємо: 5 х + 2 х = (5 + 2) • X = 7х. О тж е, 7х : 2 = 252; 7 х = 2 52 • 2; 7х = 504; х = 5 04 : 7; х = 72. 1) 8 х - 4 х + 5 = 25; (8 - 4) ■X + 5 = 25; 4 х + 5 = 25; 4 х = 25 - 5; 4 х = 20; х = 20 : 4; х = 5; 2) ((/ - 12) • 36 = 1260; і/ - 12 = 1 2 6 0 : 36; і/ - 12 = 35; і/ = 35 + 12; і/ = 47; 3) 851 : (13 + х ) = 37; 13 + X = 8 51 : 37; 13 + х = 23; X = 23 - 13; X = 10; 4) ( X - 12) : 13 = 82; X - 12 = 82 • 13; х - 12 = 1066; X = 1066 + 12; X = 1 0 7 8 . 392. 82 X 13 82 1066 1) П означим о задум ан е число х , тоді х + 72 - 4 8 = 179; + (72 - 48) = 179; х + 24 = 179; х = 179 - 24; х = 1 5 5 . Відповідь: 155. 393. X 271
    • 2) Н ехай у бензобаку спочатку було х л бен зи н у. Тоді л: - 42 + 37 = 40; ix - 42 ) + 37 = 40; X - 42 = 4 0 - 37; X - 42 = 3; x = 3 + 42; х = 45. Відповідь: 45 л. 3 9 4 . Н ехай на плаття піш ло х м тканини. Тоді на плаття і костюми витратили (х + 24 ) м. М аємо рівняння: (х + 24) + 3 6 = 80; X + (24 + 36) = 80; X + 60 = 80; х = 80 - 60; х = 20. v.% v.vw Відповідь: 20 м. 395. 1) 9 • 1 2 х = 648; (9 ■ 12) х = 648; 1 0 8 х = 648; х = 6 4 8 : 108; X = 6; w w w .4 bo ok .o rg 2) 7 • 2 х • 13 = 910; (7 • 2 • 13) ■х = 910; 1 8 2 х = 910; X = 9 1 0 : 182; х = 5; 3) (З ■ 2х) : 7 = 42; 6 х ; 7 = 42; 6 х = 42 : 7; 6 х = 294; X = 2 94 : 6; X = 49; 4) 70 ООО : (25 • 8 х • 7) = 50; 70 ООО : 1 4 0 0 х = 50; (70 ООО : 1400) : х = 50; 50 : х = 50; х = 50 : 50; х - 1. 3 9 6 . 1) X ■ З • 12 - 180; х • (З ■ 12) = 1804; х • 36 = 180; X = 180 : 36; х = 5; 2) 205 : X + 3 7 = 78; 2 05 : х = 78 - 37; 2 05 : х = 41; X = 2 05 : 41; х = 5. 3 9 7 . 1) 8 • ІЗ х = 312; (8 • 13) • х = 312; 104х = 312; х = 312 : 104; х = 3; 2) (4 х • 3) : 5 = 72; 1 2 х : 5 = 72; 1 2х = 7 2 - 5 ; 1 2 х = 360; X = 3 60 : 12; х = ЗО; 3) 42 - X • 5 = 12; 42 - 5 х = 12; 5х = 42 - 12; 5 х = ЗО; X = ЗО : 5; X = 6; 4) X : 5 - 23 = 42; X : 5 = 42 + 23; X : 5 = 65; X = 65 • 5; X = 3 2 5 . 3 9 8 . 1) 2х + 2 = 7 + 9; 2 х + 2 = 16; 2х = 16 - 2; 2х = 14; X = 14 : 2; X = 7; 2) Зх + 4 = 7 + 7 + 8; З х + 4 = 22; Зх = 22 - 4; Зх = 18; X = 18 : 3; X = 6. 3 9 9 . 1) ( X + а ) - 12 = 25. Я кщ о X = 3 7 , то (3 7 + а ) - 12 = 25; 37 + а = 25 + 12; 37 + а = 37; а = 3 7 - 37; а = 0. Відповідь: 0. 2) (а - х) + 4 2 = 83. Я кщ о X = 53, то (а - 53) + 42 = 83; а - 53 = 83 - 42; а - 53 = 41; а = 41 + 53; а = 94. Відповідь: 94. 4 0 0 . (х - а) + 3 7 = 52. Я кщ о X = 2 7 , то (2 7 - а ) + 37 = 52; 27 - а = 52 - 37; 27 - а = 15; а = 27 - 15; а = 12. Відповідь: 12. 272 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 401. 1) X - 4 5 7 = 2942; л: = 2 9 4 2 + 457; х = 339 9 ; у + 3 1 8 9 = 7213; у = 7 2 1 3 - 3189; у = 4024 ; 4 5 6 7 - г = 2966; г = 4 5 6 7 - 29 6 6 ; г = 1 6 0 1 . 2942 7213 4567 3399 457 ” 3189 2966 ^1601 3399 4024 1601 5000 В ідповідь: х + z = 5 0 0 0 . 2) 2 4 4 7 + л; = 26 1 9 ; х = 2 6 1 9 - 25 4 7 ; х = 72; 2 - 3 79 = 492; z = 4 9 2 + 379; 2 = 871; 5 4 1 2 - г/ = 48 9 3 ; у = 5 4 1 2 - 48 9 3 ; у = 51 9 . 4 92 5412 ” 2547 "^369 4893 72 871 519 rg 2619 Н ехай за др угий день Оля прочитала х сторін ок , тоді за п ер ­ ш ий день вона прочитала 2 х стор інок , а за два д н і — (х + 2х) сторінок, що за ум овою становить 90 сторінок. М аємо рівняння: х + 2 х = 90; (1 + 2) • х = 90; Зх = 90; X = 9 0 : 3; X = ЗО; 2 ■ ЗО = 6 0 (стор.). Відповідь: 60 сторінок і ЗО сторінок. ok .o 402. X — задум ане число. Виконавш и вк азан і в ум ові д ії, отри ­ м аєм о рівняння: X : 5 - 27 = 13; X : 5 = 13 + 27; X : 5 = 40; X = 4 0 • 5; X = 20 0 . Відповідь: 200. w .4 bo 403. 1) У спортивній сек ц ії займ ається на 15 учнів більш е, н іж співає у хор і. Скільки учнів у х о р і, якш;о разом у х о р і і сек ц ії 117 учнів? Р о з в ’я за н н я . Н ехай у хор і співає х учнів. Тоді в спортивній се к ц ії їх (х + 15). М аємо рівняння: х + ( х + 1 5 ) = 117; (х + х ) + 15 = 117; 2 х + 15 = 117; 2 х = 117 - 15; 2 х = 102; х = 51. Відповідь: 51 учень. w w 404. 2) П етрик прочитав к н и ж к у , як а м істить 2 8 2 стор ін к и , за два д н і. За перш ий день він прочитав у 5 разів м енш е сторін ок , н іж за другий. С кільки сторінок прочитав П етрик за перш и й день? Р о з в ’я за н н я . І д е н ь — X стор. І 3 2 П день — 5 х стор. X + 5х = 282; (1 + 5) ■х = 282; 6 х = 282; х = 282 : 6; х = 4 7. Відповідь: 4 7 сторінок. М АТЕМ А ТИ КА , о. С . Істер Ш 273
    • В прави д л я повторення Р о з в ’я за н н я . I спосіб. 1) 4 5 0 :2 = 2 25 (к м /го д ) — ш видкість гелікоптера; 2) 2 2 5 •2 = 4 5 0 (к м /го д ) — ш видкість літака; 3) 2 25 ■ 4 = 9 0 0 (км) — пролетить гелікоптер; 4) 4 5 0 ■ = 750 (км) — пролетить літак; З 5) 1 3 50 - 9 0 0 = 4 5 0 (км) — р ізн и ц я . 405. rg I I спосіб. Із того, ш,о ш видкість літак а у 2 рази більш а за ш видкість ге л і­ коптера, випливає, щ о літак за 1 год пролітає таку ж відстань, щ о гелікоптер за 2 год, тобто ш видкість літак а — 4 5 0 км . За З год літак пролетить 4 5 0 • З = 1 3 5 0 км. Гелікоптер за 4 год п ро­ летить вдвічі більш е, н іж за 2 год: 4 5 0 ■ 2 = 9 0 0 (км ). Ш укана різниця: 1350 - 9 0 0 = 4 5 0 (км). Відповідь: 4 5 0 км. Н айбільш е число, я ке м ож н а скласти з циф р 7, 5, 9 , 2 , — 975; найм енш е — 2 5 7 . П означ им о третє число х. Т оді м аєм о рівняння: X + 9 7 5 + 2 57 = 7592; 975 7592 X -І- 1232 = 7592; ^ 2 5 7 1232 _____________ X = 7592 - 1232; X = 6360. 1232 6360 Відповідь: 7592 = 9 7 5 -І- 2 5 7 -Ь 6 3 6 0 . 1) КОКА 3930 w .4 407. bo ok .o 406. "^КОЛА ^ 3 9 8 0 w w ВО ДА 7910 М ір к у в а н н я : А -Н А = А тільки тоді, коли А = 0. О — очевидно, це вж е не нуль, бо О = А . А значить, це циф ра, яка в сум і з собою дає число, більш е за 10 (щ об був перенос р о з­ рядної оди н и ц і). К І Л також даю ть перенос оди н и ц і. Тоді О — це 9 , оскільки 9 + 9 4 - 1 = 19. К — о ч ев и д н о , не біл ь ш е в ід 4 , ін а к ш е р езу л ь т а т був би п ’ятициф ровим . А ле К не дорівню є 4 , бо тоді в р озр я д і тисяч матимемо 4 - t - 4 = 8 i l — перенос із сотень, В = 9 , але 9 у ж е п о­ значено інш ою буквою. К також не м ож е дорівнювати 2, оскільки нам потрібен перенос у десятк ах. Буква Л — найбільш а, м ож е бути 8 , б о 2 + 8 = 10, але О зай н яти й і не м ож е бути Д . О тж е, Л = 8, К = 3, В = 7. 2) СОМ^ = ОГОГО; 264^ = 69 69 6 . 274 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Іствц !
    • § 12. Текстові задачі В иди тек стов и х задач 1. Задач і на р ух. Ф орм ула руху: s = v ■ t, д е s — пройдений ш л я х, V — ш ви дк ість р у х у , t — час р у х у . З ц іє ї ф орм ули випливає: V = S : t , t = S : V. .o rg 2. З а дач і, пов’я зан і з вартістю товару. Ф орм ула вартості: С = а ■ п, де С — вартість товару, а — його ц ін а, п — кількість товару | у вибраних оди н и ц ях. З ф орм ули вартості: а = С : п, п = С • а. . 3. З адач і на роботу. Ф орм ула роботи: А = N ■ t, д е А — вся робота, N — продук ти вність, t — час роботи. З ф орм ули роботи: N = A t , t = А : N. bo ok 4 0 8 . 1) П ід час р у х у за теч ією ш ви дк ість човна дорівн ю є су м і власної ш ви дкості і ш ви дк ості т еч ії, а п ід час р у х у проти т е­ ч ії — їх р ізн и ц і. Том у ш видкість за течією більш а за ш видкість проти теч ії, а значить, один і той ж е ш лях човен подолає ш ви д­ ш е за теч ією , н іж проти теч ії. 2) В ід А до В. 4 1 0 . С = а ■ п. 1. w .4 а = 35 грн. — стала цін а 2 К ількість (п), ш т. Вартість (С), грн. 70 5 175 7 245 12 420 2 160 3 24 0 4 320 6 480 С = а - п. w w п = 8 0 ш т. — стала кількість Ц ін а (а), грн. 1 80 Вартість (С), грн. 2. 3 105 С = а ■ п, п = С : а С = 3 6 0 0 грн. — стала вартість 15 18 10 12 Ц ін а (а), грн. 200 3 00 24 0 К ількість (л), ш т. 3 60 3 6 0 0 : 10 = 360; 3 6 0 0 : 12 = 300; 3 6 0 0 : 15 = 240; 3 6 0 0 : 19 = 200; 3 6 0 0 : 20 = 18 0 . 3 . С = а ■ п. п = С ■а а = 2 грн. — стала ціна Вартість (С), грн. 50 К ількість (л), ш т. 25 70 35 98 49 90 45 М АТЕМ А ТИ КА , о. С . Істер Ш 20 180 106 53 275
    • 414. С = a ■ n, a = С : n п = 20 грн. — стала кількість 600 Вартість (С), грн. ЗО Ц ін а (а), грн. 415. 80 0 40 100 0 50 1200 60 15 2 ЗО 1 С = a ■ n, a = С : n С = ЗО грн. — стала кількість грош ей 6 К ількість (п), шт. 5 6 5 Ц ін а (а), грн. 416. A = N ■t N = 7 сторінок за хв и л и н у - - стала продуктивність 8 3 5 2 Ч ас (t), хв 56 14 21 35 Р обота (А), стор. rg A = N -t t = 2 год — сталий час П родуктивність (N), за д а ч /г о д Робота (А), задач .o 417. 10 70 5 10 7 14 8 16 3 16 4 12 6 8 8 6 = 12 д е т ./г о д — стала продуктивність 72 48 60 Робота (А), дет. 36 4 5 6 3 Ч ас (і), год 120 10 A = N ■ t, t = A : N w .4 A = N ■ t, N = A : t t = 2 год — сталий час Робота (А), дет. П родуктивність (Л^), д е т ./г о д 421. 2 24 A = N ■ t, t = A : N w w 420. bo А = 48 сторінок — стала робота П родуктивність (N), сторінок Час (t), днів 419. 4 8 ok 418. 3 6 12 6 14 7 18 9 24 12 26 13 4 ЗО 5 24 8 15 10 12 A = N ■ t, N = A ■ t . А = 120 сторінок — стала робота Ч ас (f), год П родуктивність прац і ( N), стор ./г о д 4 2 2 . 1) s = и • f 72 • 5 = 3 60 ( k m ) — п роїхав перш ий автомобіль; 85 • 4 = 3 40 (км) — п роїхав др угий автомобіль; 3 6 0 > 34 0 , 3 6 0 - 3 4 0 = 2 0 (км ). Відповідь: перш ий п роїхав більш е на 20 км. 276 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 2) V = s : t 56 : 4 = 14 (к м /го д ) — ш видкість перш ого велосипедиста; 45 : З = 15 (к м /го д ) — ш видкість другого велосипедиста; 15 > 14, 15 - 14 = 1 (к м /го д ). Відповідь: ш видкість другого велосипедиста більш а на 1 к м /го д . S) t = S : V 3 0 0 : 75 = 4 (год) — час р уху перш ого поїзда; 2 0 4 : 38 = З (год) — час р уху другого поїзда; 4 > З, 4 - З = 1 (год). Відповідь: другий п оїзд витратив на дорогу на 1 год часу м енш е. 1) Товарний п оїзд подолав відстань м іж м істам и за 6 год, рухаю чись зі ш видкістю 42 к м /г о д . З якою ш ви дк істю пови ­ нен рухати ся пасаж и рськи й п оїзд , щ об проїхати ту ж відстань за 4 год? Р о з в ’я за н н я . 42 • 6 = 2 42 (км) — відстань м іж м істам и; 2 5 2 : 4 = 63 (к м /го д ) — ш видкість п асаж и рського п оїзда. Відповідь: 63 к м /го д . 2) А втом обіль, рухаю чись зі ш видкістю 8 0 к м /го д , подолав в ід ­ стань за 4 год. За скільки годин подолає цю ж відстань м ото­ цикл, щ о р ухається зі ш видкістю 64 к м /го д ? Р о з в ’я за н н я . 80 ■4 = 3 2 0 (км) — відстань; 3 2 0 : 64 = 5 (год) — час. Відповідь: 5 год. bo ok .o rg 423. 1) З якою ш видкістю має їхат и автом обіль, щ об п роїхати 2 9 6 км за той ж е час, за яки й велосипедист долає 6 0 км, р у х а ­ ючись зі ш видкістю 15 к м /год? Р о з в ’я за н н я . 6 0 : 15 = 4 (год) — час руху; 2 9 6 : 4 = 74 (к м /го д ) — ш видкість автом обіля. Відповідь: 74 к м /го д . 2) Олень подолав 36 км зі ш видкістю 12 к м /го д . Я к у відстань подолає кінь за той ж е час, якщ о рухати м еться зі ш видкістю 15 к м /год? Р о з в ’я за н н я . 36 : 12 = 3 (год) — час р уху оленя; 15 • З = 45 (км) — відстань, я к у подолав кінь. Відповідь: 45 км. w w w .4 424. З а д а ч і на р ух по воді Ш видкість, з якою човен пливе за т еч ією , складається з його | власної ш видкості та ш видкості теч ії. Ш видкість, з якою човен пливе проти т еч ії, отрим уєм о ВІДНІ- І м анням ш видкості теч ії від власної ш ви дк ості човна. м а т е м а т и к а , о . С. Істер Ш 277
    • 1) 14 + 2 = 16 (к м /го д ) — ш видкість катера за течією ; 2) 14 - 2 = 12 (к м /го д ) — ш видкість катера проти течії; 3) 16 • 2 = 32 (км) — ш лях за 2 год за течією ; 4) 12 ■З = 36 (км) — ш лях за Згод проти теч ії. 425. З а д а ч і з двом а уч асн и к ам и руху 1. Р у х з одного пунк ту з відставанням. В ідстань, на я к у віддаляю ться о б ’єк ти за один иц ю часу, називається ш в и д к іс т ю в і д д а л е н н я (f,i^): ~ ^ «від = • * = (‘’і 2. Р у х з одного пун кту в п р оти л еж н и х напрям ах. Vвщ = V, + V„, S . В V . ■t = ' І + v 2't . . (v, j 1 2’ = В ІД ІД 3. Р у х двох о б ’єктів н азустріч один одном у. В ідстань, на як у зближ аю ться о б ’єк ти за оди н иц ю часу, н а зи ­ вається ш в и д к іс т ю зб л и ж ен н я rg Ш Ш - * 2 ) • Kзуст ^ .. P y x назустр іч . Відповідь: Б. Р у х навздогін. Відповідь: А . Р у х навздогін. Відповідь: А. Р у х у п р оти л еж н и х нап рям ах. В ідповідь: Г. Р у х у п роти леж н и х н ап рям ах. В ідповідь: Г. Р у х із відставанням . Відповідь: В. bo 2) 3) 4) 5) 6) w .4 426. > '^ ); S = ‘’збл ■Ky.r = 2 ok = « 1 - f’2 ^ .o S= ■Kyor = ('^1 + ‘’2 ) • Ky..4. P y x в одном у напрям і н авздогін. 1) O = 12 к м /г о д , и, = 14 к м /го д . j Р у х з одного п унк ту в п роти леж н и х напрям ах, ‘^ ід = в = 12 + 14 = 26 (к м /го д ), і = 1 год, S = 26 ■ 1 = 26 (км); t = 2 год, s = 26 ■ 2 = 52 (км); t = 5 год, s = 26 • 5 = 130 (км). w w 427. 2) = 5 к м /г о д , ^ 2 “ ^ к м /го д . Р у х в одном у напрям і навздогін. ^ зб = v ^ - v ^ = 5 - 3 = 2 (к м /го д ), ^л f = 1 год, s = 2 • 1 = 2 (км); t = 2 год, s = 2 • 2 = 4 (км); t = 5 год, s =2 • 5 = 10 (км). 1) Р у х з одного п ун к ту з відставанням. = 8 0 к м /г о д , ^ 2 = 70 к м /го д . У = Uj від і >2 = 8 0 “ = 10 (к м /го д ). t = 1 год, s =10 ■ 1= 10 (км); t = 2 год, s =10 • 2 = 2 0 (км); t = 7 год, s = 10 • 7 = 70 (км). 428. 278 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 2) У зб^ t = t = t = Р у х н азустріч, = 11 к м /г о д , = L + >1 1^2 = 11 + 13 = 1 год, s = 24 • 1 = 24 2 год, s = 24 • 2 = 4 8 4 год, s = 24 ■ 4 = 96 = 13 к м /го д . 24 (к м /го д ). (км); (км); (км). 4 2 9 . 1) 25 + 23 = 4 8 (к м /го д ) — ш видкість збл и ж ен н я ; 2) 144 : 48 = З (год) — час до зустр іч і. Відповідь: З год. •:§ 4 3 0 . О скільки катери р ухаю ться в п р от и л еж н и х н а п р я м ах, то вони віддаляю ться один від одного. 1) о ВІД = 28 + 23 = 51 (к м /год); 2) 153 : 51 = З (год). В ідповідь: через З год. Ц ін а (а), грн. 14 62 120 К ількість (л), ш т. 12 5 17 .o Вартість (С), грн. 168 31 0 2040 ok 431. rg С = а ■ п, зв ідк и а = С : п і п = С : а bo С = 14 ■ 12 = 168; а = 3 1 0 : 5 = 62; л = 2 0 4 0 : 120 = 17. 1) 1 гри. 60 коп. • 8 = 160 коп. ■8 = 1280 коп. = 12 гри. 8 0 коп. — заплатили за зош ити; 2) 2 грн. 20 коп. ■З = 2 20 коп. ■З = 6 6 0 коп. = 6 грн. 6 0 коп. — заплатили за ручки; 3) 12 грн. 8 0 коп. + 6 грн. 60 коп. = 19 грн. 4 0 коп. — кош тує вся покупка; 4 ) 20 грн. - 19 грн. 4 0 коп. = 6 0 коп. — здача. Відповідь: 6 0 коп. w w w .4 432. І спосіб. 1) З грн. 9 0 коп. • 5 = 15 грн. 4 5 0 коп. = 19 грн. 50 коп. — к о ­ ш тую ть 5 блокнотів; 2) 19 грн. 50 коп. - З грн. = 16 грн. 50 коп. — кош тую ть 5 ручок; 3) 16 грн. 50 коп. : 5 = 1 6 5 0 коп. : 5 = 3 3 0 коп. = З грн. ЗО к оп . — цін а ручки. I I спосіб. 1) З грн. : 5 = 3 0 0 к оп . : 5 = 6 0 коп. — на стільк и блокнот д о ­ р ож чи й від ручки; 2) З грн. 9 0 коп. - 6 0 коп. = З грн. ЗО коп. — ц ін а ручки. Відповідь: З грн. ЗО коп. 433. А = N ■ t, N = А : t, t N робота; N — продуктивність праці; t — час. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 1 279
    • 1) 12 ; 2 = 6 (р ів н ./го д ) — продуктивність перш ого учня; 2) 15 : З = 5 (р ів н ./го д ) — продуктивність другого учня; 3 ) 6 > 5 , 6 - 5 = 1 (р ів н ./го д ). Відповідь: продуктивність перш ого учня більш а на 1 рівняння за годину. 434. 1) 18 + 2 = 20 (к м /го д ) — ш видкість за течією; 2) 18 - 2 = 16 (к м /го д ) — ш видкість проти течії; 3) 20 ■ 2 = 40 (км) — ш л ях за течією; 4) 16 • З = 48 (км) — ш лях проти течії; 5) 40 + 4 8 = 88 (км) — вся відстань. В ідповідь: 88 км. 435. 1) 22 + 2 = 24 (к м /го д ) — ш видкість за течію; 2) 22 - 2 = 20 (к м /год) — ш видкість проти течії; 3) 120 : 24 = 5 (год) — час р у х у за течією ; 4) 120 : 20 = 6 (год) — час р у х у проти течії. Відповідь: а) 5 год; б) 6 год. rg 436. 1) 21 + З = 24 (к м /го д ) — ш видкість за течією ; 2 ) 2 1 - 3 = 18 (к м /го д ) — ш видкість проти течії; 3) 72 : 24 = З (год) — час р у х у за течією; 4) 72 : 18 = 4 (год) — час р уху проти течії; 5) З + 4 = 7 (год) — час р у х у загальний. Відповідь: 7 год. bo ok .o 437. Відстань м іж двом а м істам и 3 6 9 км. П ерш і дві години ав­ томобіль їхав 2 год зі ш видкістю 72 к м /г о д , а реш ту ш л я х у зі ш видкістю 75 к м /го д . Скільки часу автомобіль їх а в зі ш ви дк іс­ тю 75 к м /год? Р о зв 'я за н н я . 1) 72 ■ 2 = 144 (км) — проїхав за 2 год; 2) 3 6 9 - 144 = 225 (км) — реш та ш ляху; 3) 225 : 75 = З (год) — час р у х у зі ш видкістю 75 к м /го д . Відповідь: З год. w w w .4 438. 1) З м іста А до м іста С виїхав велосипедист. П ерш і 84 км до зуп и н к и він їхав зі ш видкістю 28 к м /г о д , а реш ту ш л я х у — зі ш видкістю 22 к м /го д . Скільки кілом етрів проїхав велосипедист після зуп и н к и , якщ о на весь ш лях він витратив 8 год? Р о з в ’я за н н я . 1) 84 : 28 = З (год) — час р уху до зупинки; 2) 8 - З = 5 (год) — час р уху п ісля зупинки; 3) 22 • 5 = 110 (км) — відстань від зуп и н к и до С. Відповідь: 110 км. 2) В елосипедист проїхав відстань м іж м істам и А і С із зу п и н ­ кою в м істі В. П ерш і 130 км він їхав зі ш видкістю 26 к м /го д , а реш ту 168 км — зі ш видкістю 28 к м /го д . Скільки часу вело­ сипедист витратив на весь ш лях? 439. 280 ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • Р о зв 'я за н н я . 1) 130 : 26 = 5 (год) — ш лях на відстань АВ; 2) 168 : 28 = 6 (год) — ш лях на відстань ВС 3) 5 + 6 = 11 (год) — час подолання всього ш л я ху. Відповідь: 11 год. 3) Відстань м іж м істам и А і С 3 56 км. П оїзд виїхав з м іста С до м іста А і п ер ш і З год їхав зі ш ви дк істю 72 к м /г о д , а р еш ту ш л я х у — 70 к м /го д . Скільки часу п оїзд р ухався зі ш видкістю 70 к м /год? Р о з в ’я за н н я . 1) 72 • З = 2 16 (км) — дов ж и н а п ер ш ої частини ш ляху; 2) 3 5 6 - 2 16 = 1 40 (км) — дов ж и н а д р угої частини ш ляху; 3) 140 : 70 = 2 (год) — час на др угу частину ш л я ху. Відповідь: 2 год. bo ok .o rg 4) Відстань м іж м істам и А і В 4 2 6 км. А втом обіль виїхав з м іс­ та А і, п роїхавш и 5 год, зробив зуп и н к у у сели щ і С, реш ту він подолав за 4 год зі ш видкістю 54 к м /г о д . З якою ш ви дк істю р ухався автомобіль на в ідр ізк у АС? Р о зв 'я за н н я . 1) 54 • 4 = 2 16 (км) — відстань ВС; 2) 4 2 6 - 2 1 6 = 2 1 0 (км) — відстань АВ; 3) 2 1 0 : 5 = 42 (к м /го д ) — ш видкість р у х у на А В. В ідповідь: 42 к м /го д . Р о зв'я за н н я . 1) 12 • З = 36 (км) — проїхав другий велосипедист до зустр іч і; 2) 78 - 36 = 42 (км) — проїхав перш ий велосипедист до зустрічі; 3) 4 2 ; З = 14 (к м /го д ) — ш видкість перш ого велосипедиста. В ідповідь: 14 к м /го д . w .4 440. 4 4 1 . Р о зв'я за н н я . w w З а 2 хв до того, як вийде П ’єро, Б уратіно встиг пройти 80 ■2 = = 160 (м). П ’єро н аздож ен е Буратіно, коли за рахунок р ізн и ц і у ш ви дкостях подолає цю відстань. Ш видкість збл и ж ен н я дорівню є р ізн и ц і ш видкостей П ’єро і Б у ­ ратіно: 100 - 8 0 = 20 (к м /го д ). Т оді П ’єро н аздож ен е Буратіно через 1 60 : 2 0 = 8 (хв). Відповідь: 8 хв. 14 j ^ I 4км/год 442. і А 232 км В І— ^ Р 4 год Р о з в ’я за н н я . 1) 14 • 4 = 56 (км) — проїхав велосипедист за 4 год; 2) 2 3 2 + 56 = 2 8 8 (км) — проїхав м отоцикліст до зустрічі за 4 год; 3) 2 8 8 : 4 = 72 (к м /го д ) — ш видкість м отоцикліста. Відповідь: 72 к м /го д . М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 281
    • Г = 2 • /71 + 15 Я кщ о т = 15, то Т = 2 • 15 + 15 = ЗО + 15 = 4 5 (грн .). В ідповідь: Т = 2 т + 15; 45 грн. 4 4 4 . 2а + ЗЬ. Я кщ о а = 2 1 4 , Ь = 2 1 0 , то 2 • 2 14 + 3 • 21 0 = 4 2 8 + 6 3 0 = 1 0 5 8 (вир.). Відповідь: 2а + ЗЬ; 1 0 5 8 виробів. 4 4 5 . I спосіб. 1) 6 0 : 4 = 15 (дет.) — продуктивність роботи майстра; 2) 18 : 2 = 9 (дет.) — продуктивність роботи учня; 3) 15 + 2 ■ 9 = 15 + 18 = 33 (дет.) — спільна продуктивність; 4) 9 9 : 33 = З (год) — час на виконання роботи. Відповідь: на З год. 4 4 6 . Р о з в ’я за н н я . 1) 72 : З = 24 (к м /го д ) — ш видкість за течією ; 2) 24 - 21 = З (к м /го д ) — ш видкість течії; 3 ) 2 1 - 3 = 18 (к м /го д ) — ш видкість проти течії; 4) 72 : 18 = 4 (год) — час р уху проти течії. Відповідь: за 4 год. 4 4 7 . Задачу р озв ’я зан о в п ідр уч н ик у. 4 4 8 . А в том обіл і рухаю ться в одн ом у н ап р я м і. Т оді ш ви дк ість віддалення ~ ~ ^2’ ’ ум овою = 24 : З = 8 (к м /го д ). I в ип адок: = 85 к м /го д . Тоді = v^~ = - & = 77 (к м /го д ). I I випадок: = 85 к м /год. Тоді v^ = v^ + = 85 + 8 = 93 (к м /год). bo ok .o rg 443. Відповідь: 77 к м /го д або 93 к м /го д . Р о з в ’я за н н я . 1) 85 - 8 0 = 5 (к м /го д ) — ш видкість віддалення; 2) 15 : 5 = 3 (год) — час р у х у другого автомобіля; 3) 85 • З = 2 55 (км) — відстань м іж м істам и. Відповідь: 2 55 км. w .4 449. w w В прави д л я п овторення 1) 37 ; 5 = 7 (ост. 2); 3) 115 : 14 = 8 (ост. 3); 2) 51 4) 76 450. 1 в 2 Е 3 Л 4 0 5 С 451. 6 И 1 = 5 (ост. 1); 12 = 6 (ост. 4). 7 П 2 Е 8 д X + 62 = 115; л: = 115 - 62; д: = 53; І/ - 42 = 97; і/ = 9 7 + 42; г/ = 139. Я кщ о .г = 5 3 , у = 13 9 , то З ■ 53 - 1 39 = 1 59 - 139 = 20. Відповідь: 20. 4 5 2 . 1) 3 14 66 + 3 14 • 34 = 3 1 4 (66 + 34) = 3 14 • 100 = 31 400; 2) 9 42 • 175 - 174 ■94 2 = 9 4 2 • (1 7 5 - 174) = 9 4 2 ■ 1 = 942; 3) 43 59 + 6 9 • 4 3 - 28 • 43 = 43 ■(5 9 + 6 9 - 28) = 4 3 • 1 0 0 = 43 0 0 ; 4) 114 • 1 97 - 1 14 • 96 - 114 = 114 • (1 9 7 - 9 6 - 1) = 114 • 100 = = 11 40 0 . 282 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • § 1 3 . Р о з в ’я з а н н я т е к с т о в и х з а д а ч за д о п о м о г о ю р ів н я н ь Я кщ о в задачі н евідом і значення як и хось величин, але в ід о ­ ма зал еж н ість м іж н им и , то задачу м ож н а р озв ’я зати за д о п о ­ могою р івняння. Д л я цього н еобхідн о ввести зм ін н у і скласти рівняння. Найчастіш е в задачах зустрічаю ться два види залеж ностей: одна величина на деяк е число або в дек ілька разів більш а (м енш а) за ін ш у. У перш ом у ви падку все одно, як у з величин п о зн а ­ чити буквою (д: або ін ш ою ), у др угом у випадку кращ е зм ін н ою позначити м енш у величину. Р о зв'я за н н я . Н ехай за перш ий день Сергій прочитав х сторінок, тоді за другий день він прочитав удв іч і більш е, тобто 2х. О скільки за два дн і було прочитано 78 сторінок , то отрим аєм о рівн янн я х + 2 х = 78. 1 • X + 2 • д: = 78; (1 + 2) • л: = 78; Зл; = 78; X = 78 : 3; л: = 2 6 . Відповідь: 26 сторінок. k. or g 453. Р о з в ’я за н н я . П означим о перш е число х , тоді друге число дорівн ю є 4 х . М аємо рівняння: X + Ах = 195. 1 • X + 4 • X = 195; (1 + 4) • X = 195; 5 х = 195; х = 1 9 5 : 5; х = 3 9. О тж е, перш е число дорівню є 3 9 , тоді друге — 3 9 • 4 = 1 5 6 . Відповідь: 39 і 156. bo o 454. Р о з в ’я за н н я . Н ехай в автопарку х легкових автом обілів, разів більш е, тобто 5 х . Оскільки за умовою білів на 52 більш е, н іж легк ов и х, то 5 х - х 5 • X - 1 ■X = 52; (5 - 1) • X = 52; 4 х = 52; X Відповідь: 13 л егк ови х автом обілів. w .4 455. тоді ван таж н и х у 5 ван таж н и х автом о­ = 5 2 . М аємо: = 52 : 4; X = 13. Н ехай у Степана було х к оп ., тоді у М иколи 4 х коп. З а у м о ­ вою 4 х - X = 4 гри. 71 коп. Оскільки 4 грн. 71 коп. = 4 7 1 к оп ., маємо рівняння: 4 х - X = 471; (4 - 1) • X = 471; З х = 471; х = 471 : 3; х = 1 57. О тж е, у Степана було 157 коп. = 1 грн. 5 7 коп. Відповідь: 1 грн. 57 коп. w w 456. 1) X + ( X -Ь 5) = 47; ( X -Ь X ) + 5 = 47; 2 х -Ь 5 = 47; 2 х = 4 7 - 5; 2 х = 42; X = 42 : 2; X = 21; 2) X -Ь ( X - 11) = 35; ( X -І- X ) 11 = 35; 2 х - 11 = 35; 2 х = 35 + 11; 2 х = 46; х = 46: 2; х = 13; 3) X -Ь 7х = 64; 1 • X + 7 • X = 64; (1 + 7) ■ X = 64; 8 х = 64; X = 64 : 8; X = 8. 457. Ч ахлик зібрав х м ухом орів. Баба Я га — на З біл ьш е, або (х + 3) мухомори. Разом вони зібрали х -І- (х -І- 3) м ухом ори, або 75. X + ( X + 3) = 75; ( X + X ) + З = 75; 2 х + З = 75; 2 х = 75 - 3; 2 х = 72; X = 72 : 2; X = 3 6 . 458. М АТЕМ АТИ КА , о. С. Істер Ш 283
    • О тж е, Ч ахли к зібрав 36 м ухом орів, а Баба Я га 36 + З = 39 м у ­ хом орів. Відповідь: 36 і 39 м ухом орів. 4 5 9 . У перш ом у б ід он і х л м олока, у др угом у — на 7 л м ен ш е, тобто (.г - 7) л. Рівняння: л: + (л: - 7) = 53; (X + X) - 7 = 53; 2л: - 7 = 53; 2 х = 53 + 7; 2 х = 60; л: = 60 : 2; л: = ЗО. У перш ом у бідон і ЗО л м олока, у другом у — ЗО - 7 = 23 (л). Відповідь: ЗО л і 23 л. 460. І к ух. — X вар. I I к ух. — (х + 6) вар. 2 33 вар. I I I к ух. — (х + 11) вар. w w w .4 bo ok .o rg X + (X + 6) + (X + 11) = 233; (х + X + х ) + 6 + 11 = 233; Зх + 17 = 233; З х = 23 3 - 17; З х = 216; х = 2 1 6 : 3; х = 72. П ерш а кухарка зл іп и л а 72 вареники, друга — 72 + 6 = 78 (вар.), третя — 72 + 11 = 8 3 (вар.). Відповідь: 72 вареники, 78 вареників, 83 вареники. 4 6 1 . Р о з в ’я за н н я . Н ехай за перш ий день зібрали х кг картоплі. Тоді за другий день зібрали вдвічі більш е, тобто 2 х кг, а за третій — (х + 2 2 0 ) кг. За три дн і зібрали X + 2 х + (х + 2 2 0 ), або 1 4 2 0 кг картоплі. Спростимо вираз: х + 2 х + х + 2 20 = 1 х + 2 х + 1 х + 2 2 0 = = (1 + 2 + 1) • X + 2 2 0 = 4 х + 220. М аємо рівняння: 4 х + 2 20 = 1420; 4 х = 1 4 2 0 - 220; 4 х = 1200; X = 1 200 : 4; X = 30 0 . Отже, за перш ий день зібрали 3 00 кг, за другий — 2 ■300 = 600 (кг) і за третій — 3 0 0 + 2 2 0 = 52 0 (кг) картоплі. Відповідь: 3 0 0 кг; 6 0 0 кг; 5 20 кг. 4 6 2 . Р о з в ’я з а н н я . Н ехай зош ит кош тує х коп., ручка утричі дорож ча, тобто Зх коп., а блокнот — на 75 коп. дор ож ч и й за зош и т, тобто (х + 75) коп. Р азом зош и т, ручка і блокнот кош тую ть х + З х + (х + 75), або 8 грн. 25 коп. = 8 2 5 коп. X + Зх + X + 75 = 825; 1 х + З х + 1 х + 7 5 = 825; (1 + З + 1) • X + 75 = 825; 5 х + 75 = 825; 5 х = 8 2 5 - 75; 5х = 750; X = 7 50 : 5; X = 150. О тж е, зош ит кош тує 150 коп. = 1 грн. 50 к о п ., ручка кош тує 150 коп. ■ З = 4 5 0 коп. = 4 грн. 4 0 к оп ., блокнот кош тує 150 коп. + 75 коп. = 225 коп. =2 грн. 25 коп. Відп овідь: зош и т — 1 грн. 50 к о п ., ручк а — 4 грн. 50 к о п ., блокнот — 2 грн. 25 коп. Вправи дл я повторення 4 6 3 . 1) 152 • 7 < 152 • 8; 3) 212 • 32 > 211 • ЗО; 284 Ш 2) 471 ■ 11 < 4 7 3 • 11; 4) 3 29 ■ 12 = 12 • 32 9 . М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 1) ї х ■ 20г/ = (7 ■ 20) • х у = ЫОх у . Я кщ о X = 5, г/ = 17, то 140 • 5 • 17 = 7 00 17 = 11 9 0 0 . 2) 1 2 5а ■ 8Ь ■ 7с = (1 2 5 ■8 ■ 7) ■аЬс = ЮООаЬс. Я кщ о а = 2, 6 = З, с = 1, то 7 0 0 0 • 2 • З • 1 = 7 0 0 0 ■ 6 = 42 ООО. 4 6 5 . 1) 2г/ + Зу - 7 = 38; (2 + 3)г/ - 7 = 33; 5(/ - 7 = 33; 5г/ = 33 + 7; 5(/ = 40; г/ = 4 0 ; 5; г/ = 8; 2) 7х - х + 4 = 40; (7 - 1)х + 4 = 40; 6 х + 4 = 40; 6 х = 4 0 - 4; 6 х = 36; X = 36 : 6; д: = 6. 464. 972 27 "81 Тб2 162 О 4170 5 1 3 7 "^2735 6905 w .4 4170 bo 9307 ok .o rg Д ом аш н я сам остій н а р обота № З 1 .2 0 - а. В ідповідь: В. 2 . 7 - 8 = 5 6 . В ідповідь: Б. 3 . 2 0 + 2 = 22 (к м /го д ). В ідповідь: В. 4 . і/ = 5 • 7 - З = 35 - З = 3 2 . В ідповідь: А . 5 .9 7 2 : X = 27; х = 9 7 2 : 27; х = 3 6 . В ідповідь: Г. 6 . 1 ) 12 + 15 = 27 (к м /го д ) — ш видкість збл иж енн я; 2) 108 : 27 = 4 (год) — час до зустр іч і. Відповідь: Б. 7 . 12а кг — вага в сіх ц ук ер ок , ІОЬ кг — вага печива. 12а - 10& — на стільки більш е ц ук ер ок , н іж печива. Відповідь: В. 8 . ( х - 2 7 3 5 ) + 5 1 3 7 = 93 0 7 ; ( х - 2 7 3 5 ) = 9 3 0 7 - 5137; X - 2 7 3 5 = 41 7 0 ; х = 4 1 7 0 + 2735; х = 6 9 0 5 . w w Відповідь: А . 9 .1 ) 51 : З = 17 (дет .) — виготовляє м айстер за 1 год; 2) 48 : 4 = 12 (д ет .) — виготовляє учень за 1 год; 3) 17 + 12 = 29 (дет.) — виготовляють разом за 1 год; 4) 145 : 29 = 5 (год) — час виконання роботи. Відповідь: Г. 1 0 . ІОх + а = 3 7 5 . Я кщ о х = 2 5 , то 10 • 25 + а = 375; 2 5 0 + а = 375; а = 3 75 - 250; х = 125. Відповідь: Б. 1 1 . 140 : (З + 7) = 1 40 : 10 = 14 (дет.). Відповідь: В. 1 2 . І кош . — X абр. II кош . — 2х абр. ^53 абр. III кош . — (х + 5) абр. х + 2 х + х + 5 = 53; (1 + 2 + 1)х + 5 = 53; 4 х + 5 = 53; 4 х = 53 ~ 5; 4 х = 48; X = 4 8 : 4; X = 12. 12 + 5 = 17 (абр.) — у третьом у к ош ику. Відповідь: А . 285 ■
    • З а в д а н н я д л я п ер евір ки зн ан ь № З (§§ 1 0 —13) Л.В ідп о від ь: (а + 20) кг. 2 .( 1 2 - х ) + 14 = 17; 12 - X = 17 - 14; 12 - л; = 3; X = 12 - 3; J = 9. C В ідповідь: 9. 3 . 56 : 8 = 7 (стор.) Відповідь: 7 сторінок. 4 . 1 ) х • 140 = 3920; X = 3 9 2 0 : 140; х = 8; 2) X : 2 07 = 253; X = 2 53 • 207; X = 52 37 1 . 3 9 2 0 140 280 28 X 207 253 621 1120 + 1035 1120 414 О bo ok .o rg 52371 5 .5 а + 4а = 81; (5 + 4)а = 81; 9а = 81; а = 81 : 9; а = 9. 6 . 1 ) 50 • 11 = 55 0 (км) — відстань, як у долає п о їзд за 11 год; 2) 50 + 5 = 55 (к м /го д ) — збільш ена ш видкість; 3) 5 50 : 55 = 10 (год) — час р уху зі збільш еною ш ви дк істю . Відповідь: 10 год. 7459 12057 7 .( 2 9 7 5 + X ) - 4 5 9 8 = 7459; 2 9 7 5 + X = 7 4 5 9 + 4598; 4598 2975 2 9 7 5 + X = 12 057; 9082 12057 X = 12 0 5 7 - 2975; X = 9082. 8. І число — X w w w .4 740 II число — 3xJ З • X = 740; (1 + 3)х = 740; 4 х = 740; X + Зх = 740; 1 x 4 X = 740 : 4; X = 18 5 . П ерш е число 18 5 , друге — 185 • З = 555. Відповідь: 185 і 55 5 . 9 . 6 а + 8 9 . Я кщ о а = 9 5 , то 6 95 + 89 = 6 5 9 (кон .) 95 + 6 57 0 89 570 6 59 В ідповідь: 6а + 89; 6 5 0 кон. = 6 грн. 59 коп. 1 0 . (4 9 7 9 - t ) + 5921 = (4 9 7 9 + 5 9 2 1 ) - ґ = 10 9 0 0 - t. Я кщ о t = 3 5 9 7 , то 10 9 0 0 - 3 5 9 7 = 7 3 0 3 . Відповідь: 7 3 0 3 . А 100 км в 1) 75 - 50 = 25 (к м /го д ) — ш видкість збл и ж ен н я пасаж ирського і товарного поїздів; 286 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 2) 100 : 25 = 4 (год) — час, коли пасаж ирськи й п о їзд н а зд о ж е­ не товарний; 3) 75 • 4 = 3 00 (км) — відстань від п ун к ту А до м ісц я зустр іч і; 4) 3 0 0 ; 100 = З (год) — час, за як ий ш видкий п о їзд п одолає в ід ­ стань від пункту А до м ісця зустрічі; 5) 8 + З = 11 (год) — час відправлення ш видкого п оїзда. В ідповідь: об 11 години. § 1 4 . К о м б ін а т о р н і з а д а ч і К о м б і н а т о р и к а — р озділ м атем атики, яки й вивчає к о м б ін а ­ ц ії і перестановки п редм етів, розміш;ення елем ентів, ш;о мають певні властивості. О О □ □ □ О о □ □ о □ о о □ о □ о □ о о □ о or g □ □ 466. 6 2 8 w .4 7 1 bo ok . Щ об заповнити «м агічний» квадрат, потрібно сп очатк у знайти сум у у повном у р я д к у, стовпчику або діагон ал і. А п отім , зн а ­ ючи сум у і два в ідом и х додан к и , знайти третій додан ок у р е­ ш ті стовпчиків і рядків. 467. І 468. 16 11 І 18 5 3 17 15 13 9 4 12 19 14 w 8 - Ь 5 - І - 2 = 15 — сум а. 16 -Н 15 -І- 14 = 4 5 — сум а. w У загалі ком бінаторні задачі м ож н а р озв ’язувати як граф ічно (за допом огою дерева м ож л и в и х варіантів), так і за допом огою правил і ф орм ул. Д ерево м ож ливих варіантів зручно використовувати у задач ах, у я к и х потрібно ви зн ач ити, ск ільки м ож н а скласти варіантів з п предм етів одного ви ду і т предм етів ін ш ого. Тоді будуєм о дерево; з точки проводим о п гілочок, а з к ож н о ї гілочки — по т гілочок і т. д. Загальн а кількість най м ен ш и х гіл оч ок дає відповідь. Також при розв’язан н і цього типу задач використовують прави ­ ло добутку: якщ о елем ент А м ож на обрати т способам и, а після кож ного такого вибору інш и й елем ент В м ож н а обрати п сп о ­ собам и, то пару елем ентів А і В м ож н а обрати т ■п способам и. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 287
    • 4 6 9 . I спосіб. Д ерево м ож л и в и х варіантів: rg I I спосіб. Б л узк у м ож н а вибрати одним із 5 способів. Д о к о ж н о ї бл узк и сп ідни цю м ож н а вибрати 4 способам и. Тоді загальна кількість варіантів вибору: 5 • 4 = 20. Відповідь: 20 костю м ів. .o 4 7 0 . Оберемо ю нака. У пару до нього м ож н а вибрати будь -як у з 9 дівчат. Том у є 9 пар з к ож н и м із 7 ю наків: 7 • 9 = 6 3 . Відповідь: 63 способи вибору пари. bo ok 4 7 1 . Р учк у м ож н а вибрати одним із 7 способів. У ком плект до ручки зош ит м ож н а вибрати одним із 5 способів. З а правилом добутку ком плект з ручки і зош ита м ож н а вибрати 7 • 5 = 35 способами. Відповідь: 35 способів. w .4 4 7 2 . У слові «стеж ка» 4 приголосні і 2 голосні букви. За прави­ лом добутку кількість р ізн и х способів утворити пару з одного голосного і одного приголосної букви дорівню є 4 - 2 = 8. Відповідь: 8. w w 4 7 3 . З м іста А до м іста В пош тар П єчкін м ож е дістати ся трьома ш ляхам и , п ісля чого продовж ити свій ш лях від м іста В до м іс­ та С він м ож е двом а дорогам и. За правилом добутк у м ож ли ва кількість м арш рутів від м іста А до С становить 3 - 2 = 6. Відповідь: 6. 4 7 4 . П ерш у к літи н к у таблиці м ож на розфарбувати одним із двох кольорів. П ісл я цього для кож н ого з варіантів розф арбування другу клітинку (будь-яку з реш ти) м ож н а теж розфарбувати дво­ ма способами — в зелен ий або червоний колір. Тоді за правилом добутку способів розфарбувати двома кольорам и дві к літинки існ ує 2 - 2 = 4. Д ля кож ного з ц и х способів третю к літи н к у м ож н а р озф ар бу­ вати двома способам и, а потім і четверту розф арбувати двома сп особам и. Т аким чи н ом , кіл ьк ість в аріантів розф ар був ан н я таблиці: 2 - 2 - 2 - 2 = 16. Відповідь: 16 варіантів. 288 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • Інколи потрібно обчислити кількість способів, я к и м и м ож н а розм істити в ряд кілька предм етів. Такі розм іщ ен н я називаю ть п е р е с т а н о в к а м и і позначаю ть буквою Р. Н априклад, з ’я суєм о, скільки існ ує способів р озм іщ ен н я трьох книг на полиці. На перш е м ісц е м ож ем о поставити одну з трьох к н и г. П ісля цього на друге м ісц е м ож н а поставити вж е одн у з двох кн и г, що залиш и лися, а на третє м ісце — одну останню книгу. Таким чином , за правилом добутк у книги м ож н а розставити ш істьм а способами: Рз = З • 2 • 1 = 6. w w w .4 bo ok .o rg 4 7 5 . М аємо 4 р ізн і кульки. П отрібно обчислити кількість п ер е­ становок з чотирьох елем ентів: = 4 • З ■2 ■ 1 = 2 4 . В ідповідь: 24. 476. = 5 ■4 ■З ■ 2 ■ 1 = (5 • 4) • (З • 2) = 20 ■ 6 = 120. В ідповідь: 120. 4 7 7 . Р^ = 4 ■ З ■ 2 1 = 24. Відповідь: 24. 4 7 8 . У р озряді десятків м ож е стояти 1, 2, З, 4 — 4 ц и ф ри , у р о з­ ряді одиниць 8, 9 — 2 циф ри. Тоді за правилом добутку кількість таких чисел дорівню є 4 - 2 = 8. Відповідь: 8 чисел. 4 7 9 . У р озряді десятк ів м ож уть бути циф ри 7,. 8 , 9 — всього три, в р озряді оди ни ц ь — О, 1, 2 — т еж три. О тж е, за правилом д о ­ бутку 3 - 3 = 9 — кількість таких чисел. Відповідь: 9. 4 8 0 . Якби всі три циф ри були р ізн и м и , то кількість чисел дорівнювгича б чи сл у перестановок із трьох елем ентів: Р^ = З • 2 • 1 = 6. 1) Оскільки дві циф ри однакові (5 і 5), то кількість п ер естан о­ вок буде вдвічі менш ою: 6 : 2 = 3. П оясним о це. П означим о однакові цифри 5j і 5^. Тоді м ати м е­ мо, наприклад, серед перестановок два числа 25^5^ і 25^5^, я к і насправді є одн им числом 25 5 . І Інакш е к аж уч и , оск ільки дві циф ри трициф рового числа одн а ­ кові, то число буде зм іню ватись тільки зал еж н о від п ол ож ен н я цифри 2, а таки х п олож ен ь м ож ливо 3. Відповідь: 3. 2) І спосіб. Ц иф ра О не м ож е стояти на перш ом у м ісц і, том у два варіанти відк и даєм о (0 1 8 і 081): 6 - 2 = 4. I I спосіб. П ерш у ц иф ру числа м ож н а обрати з двох (1 і 8 ), д р у ­ гу — двома способам и з дв ох, щ о зал и ш и л и ся, а третю ц и ф ру — одним способом . Тоді кількість чисел за правилом добутк у д о ­ рівню є 2 - 2 1 = 4. Відповідь: 4. М АТЕМ АТИ КА , 10 Усі ГДР, 5 кл. о. С. Істер Ш 289
    • П ерш ою циф рою м о ж е бути одна з трьох цифр 2 , 2 або 5. На др угом у м ісц і — одна з трьох циф р, щ о л и ш и ли ся , на третьом у і четвертому м ісц ях відповідно одна з двох цифр і остання цифра. За правилом добутку кількість цифр дорівню є З ■ З • 2 ■ 1 = 18. О скільки дві цифри в за п и сі числа однакові, то в п осл ідовн ості утворених чисел по два одн ак ових. О тж е, з цифр О, 2 , 2, 5 м ож н а утворити 18 : 2 = 9 р ізн и х ч оти ­ рициф рових чисел. Відповідь: 9. 4 8 2 . 90 ООО і 10 0 0 8 . 4 8 3 . 8 0 0 0 і 1007. 4 8 4 . 1) 2 + 8 = 10, 5 + 5 = 10. Учень м ож е купити дві к н и ж к и по 5 гр н ., або к н и ж к у за 2 грн. і к н и ж к у за 8 грн. 2) 1 + 2 + 7 = 1 + 1 + 8 = 10. О тж е, учень м ож е купити к н и ж к и за 1 гр и ., за 2 грн. і за 7 гр н ., або дві к н и ж к и по 1 грн. і к н и ж к у за 8 грн. 4 8 5 . Число 12 м ож на подати у вигляді суми двох різн и х чисел так: 12 = 7 4 - 5 = 8 + 4 = 9 + 3 = 1 0 + 2 = 11 + 1. О тж е, м ож ливі варіанти: 8 9 10 bo Дівчата Х лопц і ok . or g 481. 11 Задачу розв’язано в підр учн ик у. При к ож н ом у п ідк и дан н і грального куби к а м о ж е випасти одна з 6 граней. О тж е, всього при трьох п ідк и дан н я х м о ж е ви­ пасти 6 • 6 • 6 = 2 1 6 чисел. Відповідь: 21 6 . 4 8 8 . П ерш у циф ру числа м ож н а вибрати двома способами із цифр 1 і 2, другу і третю циф ру — також . Том у всього чисел м ож н а скласти 2 • 2 ■ 2 = 2^ = 8. Відповідь: 8. 4 8 9 . Н епарні циф ри: 1, З, 5, 7, 9 . О тж е, нам треба з ’я сувати , скільки чотирициф рових чисел м ож н а скласти з ц и х циф р. П ер­ ш у циф ру м ож на вибрати одним із 5 способів. Оскільки циф ри в числах м ож уть повторю ватися, то і д р угу, і третю , і четверту цифри м ож н а вибрати одним із 5 способів. За правилом до б у т­ к у м ож на скласти 5 • 5 ■ 5 • 5 = S'* = 62 5 чисел. Відповідь: 62 5 . 4 9 0 . 1) П ерш у циф ру м ож н а вибрати з п ’яти дан и х ч и сел , д р у ­ гу — теж з п ’яти чисел. М аємо: 5 - 5 = 5^ = 2 5. Відповідь: 25. 2) П ерш у циф ру обираєм о з 5 д ан и х, а др угу — з 4 , пдо л и ш и ­ ли ся, бо цифри в числі не повторюю ться. 5 • 4 = 20. Відповідь: 20. w w w .4 486. 487. 290 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • Задач у розв’я зан о у підр уч н и к у. Р о з в ’я за н н я . Старостою м ож е бути будь-хто з 28 учнів класу. П ісл я вибору старости ііого заступ н и к а м ож н а обрати з 27 уч н ів, щ о за л и ш и ­ лися. За правилом добутк у існ ує 28 • 27 = 756 варіантів вибору. Відповідь: 756. 4 9 3 . Р о з в ’я за н н я . К олір перш ої см у ж к и м ож н а вибрати з 8, а др угої — з 7 видів м атеріалу, щ о зал и ш и ли сь. 8 • 7 = 56 — кількість варіантів. Відповідь: 56. 4 9 4 . У слові «сокіл» 5 р ізн и х букв. Виберем о три з н и х . П ерш у букву м ож на вибрати п ’ятьма способами. Д ля вибору другої букви існ ує 4 способи, третю букву м ож н а вибрати з З бук в, щ о л и ш и ­ лися. За правилом добутку 5 • 4 • З = 6 0 — кількість трій ок букв. Відповідь: 60. 4 9 5 . Р о з в ’я з а н н я . У сього в м іш к у 24 рукави ч к и . В и тя гн ув ш и з м іш ка 12 рукавичок, ми м ож ем о у найгірш ом у ви п адк у отри ­ мати 6 рукавичок з о д н ієї руки одного кольору і 6 рукавичок 3 одн ієї руки другого кольору. А л е у ж е тринадцята витягнута рукавичка складе пару для о д н ієї з 12 рукавичок. Відповідь: 13 рукавичок. 4 9 6 . Р о з в ’я з а н н я . Я к щ о нам пощ астить, то ми одр азу дістан ем о 4 кульки одного кольору. А ле м ож е статися, щ о ми візьм ем о спочатку по З кульк и к ож н ого к ольору, тобто 3 - 8 = 9 , але ч о­ тирьох так і не дістан ем о. Тоді десята кулька обов’язк ово буде четвертою для якогось кольору. Відповідь: 10 кульок. 4 9 7 . 100 = 42 -Н 58 = 3 6 + 15 + 19 = 54 -Н 27 + 19 = 52 -І- 2 7 -f 21 = = 3 + 4 5 + 52. 4 9 8 . Сума чисел у перш ом у стовпчику дорівнює 1 + 7 + 4 + 9 = 21, а у другом у — 8 + 3 + 2 + 6 = 19. О тж е, треба п ом ін яти м ісц я ­ ми такі числа, щ об сум а в перш ом у стовпчику зм ен ш и л ася , а в другом у — збільш и.чася на 1, тобто «перенести» оди н и ц ю з п ер ­ ш ого стовпчика у др уги й . Д л я цього м ож н а пом ін яти м ісц ям и прям окутники з числам и 7 і 6, 4 і З або 9 і 8. Відповідь: 7 і 6, 4 і З, 9 і 8. 4 9 9 . 1) 1 0 0 0 , 1 0 0 1 , 1 0 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 0 0 , 1 1 0 1 , 1 0 1 0 , 1110; 2) 1 1 1 1 , 1 1 1 2 , 1 1 2 1 , 1 2 1 1 , 2 1 1 1 , 1 2 1 2 , 1 2 2 1 , 1 1 2 2 , 2 2 1 1 , 2 1 2 1 , 2 1 1 2 , 2 2 2 1 , 2 2 1 2 , 2 1 2 2 ,1 2 2 2 , 2 2 2 2 . 5 0 0 . 1) 8 0 0 , 8 8 0 , 8 0 8 , 888; 2) 2 2 2 , 2 2 9 , 2 9 2 , 9 2 2 , 2 9 9 , 9 2 9 , 9 9 2 , 9 9 9 . 5 0 1 . Р о з в ’я з а н н я . Т аки х ч и сел, щ о починаю ться на 1, існ у є 8, на 2 — 7, на З — 6, на 4 — 5, на 5 — 4, на 6 — З , на 7 — 2, на 8 — 1. Маємо: 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36. Відповідь: 36 чисел. w w w .4 bo o k. or g 491. 492. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 10* Ш 291
    • 502. 1) (10 + 5) ■ 7 2) (10 + 5 7) - З 3) 10 + 5 ■(7 - 3) 4) 10 + (5 • 7 - 3) 503. 504. = = = З = 15 • 7 - З = 105 (1 0 + 35) - З = 45 10 + 5 • 4 = 10 + 20 10 + (35 - 3) = 10 + - З = 102; З = 42; = ЗО; 32 = 4 2. Р о з в ’я з а н н я . Д л я к ож ного з 11 матчів результат гри м ож н а встановити о д ­ ним із трьох способів: виграла перш а ком анда, виграла друга ком анда, нічия. Тоді за правилом добутку число м о ж л и в и х ва­ or g ріантів дорівню є З ■З ■ ■ З = 3 “ = 1 7 7 147. 11 разів В і д п о в ід ь : 177 147. 5 0 5 . Р о з в ’я з а н н я . Оскільки число не м ож е починатися з О, то для Р о з в ’я з а н н я . w 508. w .4 bo ok . вибору перш ої циф ри існ у є 4 м ож ливості. Д р угу ц иф ру м ож н а вибрати теж 4 способам и, третю — трьома. За правилом д о б у т ­ ку чисел м ож н а скласти 4 ■4 ■ З = 4 8 . В ід п о в ід ь : 48 чисел. 5 0 6 . П арні цифри: О, 2, 4 , 6, 8 . Р о зв ’язан н я ди в. у № 5 0 5 . 5 0 7 . 1) Я кщ о циф ри повторю ю ться, то для вибору к о ж н о ї з ч о­ тирьох цифр існ ує 10 м ож ли востей . За правилом добутк у ш иф ­ рів м ож н а скласти 10 10 • 10 10 = 10 ООО. В ід п о в ід ь : 10 ООО. 2) Я кщ о циф ри не повторю ю ться, то перш у ц иф ру м ож н а ви­ брати 10 сп особам и , д р у гу — 9 -м а сп особам и , третю — 8-м а і четверту — 7-ма. М аємо: 10 • 9 • 8 • 7 = 5 0 4 0 . В ід п о в ід ь : 5 0 4 0 . w П ерш ий п редм ет у р о зк л а д і м ож н а вибрати 9-м а сп особам и . П ісля цього для вибору другого предм ету існ ує 8 сп особів, для вибору третього — 7, четвертого — 6, п ’ятого — 5. З а правилом добутку кількість м ож л и в и х розкладів дорівню є 9 • 8 ■7 • 6 ■5 = = (5 • 8) • (9 • 7 ■ 6) = 4 0 • 3 7 8 = 15 1 20. В ід п о в ід ь : 15 12 0 варіантів. 5 0 9 . Задачу р озв ’я зано в підр учн ик у. 510. Р о з в ’я з а н н я . Р укостисканням обм іню ю ться два чоловіки. П ерш им є будь-хто з 8 чоловіків, други м — будь-хто з реш ти 7. М аємо В • 7 = 5 6 . А ле рукостискання чоловіка А з чоловіком В і рукостискання чоловіка В з чоловіком А — це одне й те сам е р укостискання. Тому кількість рукостискань 56 : 2 = 28. В ід п о в ід ь : 28 рукостискань. 292 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 5 1 1 . А налогічно до № 51 0 . 12 • 11 : 2 = 132 : 2 = 66 (партій). Відповідь: 66 партій. 512. Задач у р озв ’язано в п ідр уч н ик у. Р о з в ’я за н н я . П ерш у м арку м ож на обрати 9 способам и , а др угу п ісля цього — 8 способам и. А ле оскільки п орядок вибору не м ає зн ач ен н я , то 2 м арки з 9 м ож н а обрати (9 • 8) : 2 = 36 р ізн и м и способам и. А н алогічн о, 2 конверти з 7 м ож н а обрати (7 • 6) : 2 = 21 способам и. За правилом добутку м аєм о 36 • 21 = 756 способів. ;:;:5 Відповідь: 756 способів. Щ 513. М ож ливі варіанти: 6 + 6 + 1 ; 5 + 5 + 3 ; 4 + 4 + 5 ; 3 + 3 + 7; 2 + 2 + 9. 514. Р о з в ’я за н н я . Ч исло З м ож н а подати у ви гляді сум и так: 3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = = 3 + 0. О тж е, ш укан і чотири ци ф рові числа м ож уть бути з а ­ пи сан і циф рам и 1, 1, 1, О, або 2, 1, О, О, або З, О, О, 0. М аємо: 1110, 1101, 1011, 2100, 2010, 2001, 1200, 1020, 1002, 3000. Відповідь: 10 чисел. k. or g 515. Р о з в ’я за н н я . 2 = 2 + 0 = 1 + 1. О тж е, в зап и су числа м ож е бути використана або одна циф ра 2, або дві оди н и ц і. Р еш та циф р — н улі. 2 ООО ООО, 1 10 0 ООО, 1 0 1 0 ООО, 1 001 ООО, 1 ООО 1 0 0 , 1 ООО 0 1 0 , 1 ООО 0 0 1 . Відповідь: 7 чисел. bo o 516. w w w .4 К ількість чисел м ож на підр ахув ати , розм ірковую чи так. Ц и ф ­ рою 2 і нулям и м ож н а записати ли ш е одне число, бо двій к а має стояти на перш ом у м ісц і. П ерш ою циф рою сем ициф рового ч исла, записаного двом а о д и ­ н и ц ям и і н ул я м и , м ож е бути тільки о ди н и ц я . Тоді чи сл а в ід ­ р ізн я тим уться тільки п ол ож ен н ям др угої о д и н и ц і. Вона м ож е зай н яти м ісц е в одн ом у з 6 ін ш и х р озрядів. О тж е, всього ч и ­ сел 6. 1+6=7. 1) ПО, ПТ, ОП, ОТ, ТП , ТО; П П , 0 0 , ТТ; 2) ПОТ, ПТО, ТОП, ТПО, ОПТ, ОТП; П П П , ППО, П П Т, ПОП, ПТП, ОПП, ТП П , ПОО, ОПО, ООП, ТОО, OOT, ОТО, ООО, т т п , ТП Т, ПТТ, ТТО, ТОТ, ОТТ, т т т . 517. П еревірм о! 1) Д ля перш ої літери існ ує З способи вибору. Оскільки букви в слові м ож уть повторю ватися, то др угу літеру т еж м ож н а ви­ брати З способам и: 3 - 3 = 9. 2) А н алогічно, для к о ж н о ї з тр етіх букв слова існ у є три спосо-1 би вибору: З • З ■ З = 27. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 293
    • Вправи дл я повторення 5 1 8 . 1) 211 + 173 + 7 89 = (21 1 + 789) + 173 = 1 0 0 0 + 173 = 1173; 2) 5 1 7 + 321 + 179 + 2 8 3 = (5 1 7 + 2 8 3 ) + (321 + 1 7 9 ) = = 8 0 0 + 5 00 = 1300; 3) 50 17 • 2 = (50 • 2) • 17 = 1 00 • 17 = 1700; 4) 25 • 11 • 4 ■ 7 = (25 • 4) • (11 • 7) = 10 0 • 77 = 77 0 0 . 1) 4 + 5 = 9 (дн .) — загальна кількість днів; 4 0 5 : 9 = 4 5 (дет.) — продуктивність праці; 45 • 4 = 180 (дет.) — перш ий за 4 дні; 45 • 5 = 2 25 (дет.) — другий за 5 днів. 2) 2 3 8 : 7 = 34 (дет.) — продуктивність праці; 34 • 8 = 272 (дет.) — виробив др уги й робітник; 2 3 8 + 27 2 = 5 10 (дет.) — виконана робота. 3) 120 : 5 = 24 (дет.) — продуктивність праці; 2 8 8 - 120 = 168 (дет.) — виробив перш ий робітник; 168 : 24 = 7 (дн .) — час роботи перш ого робітника. or g 519. Р о з в ’я за н н я . 1) 8 7 • З = 261 (к оп.) — витратив на олівці; 2) 12 грн. = 1 2 0 0 к оп ., 2 грн. 19 коп. = 2 1 9 коп.; 1 2 0 0 - 2 19 = 981 (к оп.) — вартість у с іє ї покупки; 3) 981 - 261 = 720 (к оп .) — кош тую ть ручки; 4) 720 : 2 = 3 6 0 (к оп .) — вартість ручки. 3 6 0 коп. = 3 грн. 6 0 коп. Відповідь: 3 грн. 60 коп. bo ok . 520. 1) 1 5 25 8 9 6 : 6 = 2 5 4 31 6; 521. w .4 1525896 12 254316 32 1228476 23 115 53 4 1 2 78 69 w 30 _25 2) 1 2 2 8 4 7 6 : 2 3 = 53 4 1 2 . ^94 "24 18 92 w ш 18 9 27 23 6 ^46 36 46 36 О 2 0 5 Н 4 I 3 Р 1 К 6 ь Відповідь: КОРІН Ь. 294 Ш М АТЕМ АТИКА. О. С. Істер 5 О 3 С 4 Л 1 ч Відповідь: ЧИСЛО. 2 И
    • § 1 5 . П р и к л а д и т а з а д а ч і на всі дГГз н а т у р а л ь н и м и ч и с л а м и 5 2 2 . 1) 42 + 38 - 7 = (4 2 + 38 ) - 7 = 8 0 - 7 = 73; 2) 3) 4) 5) 6) 24 • 10 : 2 = (24 : 2) • 10 = 12 •10 = 120; 27 - ЗО : 5 = 2 7 - 6 = 21; 42 : 6 + 35 : 7 = 7 + 5 = 12; 8 • (2 3 - 19) = 8 • 4 = 32; (12 + 18) : (12 - 7) = ЗО : 5 = 6. 1) 4 2 6 • 20 5 - 57 8 1 6 : 72 = = 86 527; 523. 578 1 6 72 4 26 576 8 03 4 10 8 20 87330 ~216 8009 504 504 bo + 448504 86527 216 '4 4 8 86309 8 03 О 0 .4 1230 87330 2) (3 6 2 195 + 8 6 3 0 9 ) : 56 = 8009; 4 4 8 5 0 4 56 362195 ok . 205 or g П орядок д ій 1. Я кщ о є д у ж к и , сп оч атк у обчислю ю ться зн ач ен н я ви разів] у дуж ках. 2. У виразах без д у ж о к спочатку виконую ться п ідн есен н я до степ ен я , потім у п ор я дк у зап и су м н ож ен н я і д іл ен н я , а п о­ тім — додавання і відн ім анн я. 3 ) 2 0 0 1 : 69 + 58 8 8 4 : 8 4 = 730; 58884 84 w w 2001 69 ^138 ~588 84 621 29 730 84 w 621 701 701 О О 4) 42 2 75 : (7 0 0 5 - 6 9 1 0 ) = 44 5 . 4 2 2 7 5 95 7005 ’ б910 ’ 380 445 427 ” 380 475 ~475 О М АТЕМ А ТИ КА , о. С. Істер Ш 295
    • 1 )5 3 5 2 0 7 - 3 2 8 3 2 : 7 6 = = 432; 524. X 207 535 1088 68 32 8 3 2 76 ’ 304 1035 68 43 2 5 7 4 4 2 77 539 16 746 4 08 462 О 152 “ Г10745 16 308 228 1035 746 354 4 08 243 621 + 2) 1 0 8 8 ; 6 8 + 57 4 4 2 : 77 = 762; 152 ~462 О О 15 89 9 2 ^ 38894 197886 4) 249 747 : (4 90 5 - 1896) = 83. 1 9 7886 39 4905 195 1896 5074 3009 288 249747 3009 rg (158 992 + 38 8 9 4 ): 39 = 5074; 24072 83 9027 .o 3) 273 9027 bo 156 О О ok 156 Р о з в ’я за н н я . 1) 175 : 5 = 35 (к м /го д ) — ш видкість теплохода; 2) 3 1 5 : 3 = 105 (к м /го д ) — ш видкість поїзда; 3) 105 : 35 = 3. Відповідь: у З рази. w .4 525. 1) 2 80 : 5 = 56 (к м /го д ) — ш видкість товарного потягу; 2) 2 5 5 : З = 8 5 (к м /го д ) — ш видкість ш видкого потягу; 3) 85 - 56 = 29 (к м /го д ). Відповідь: на 29 к м /го д . w w 526. 2) а : 3 6 + а : 3 9. Я кщ о а = 4 6 8 , то 4 6 8 : 36 + 4 6 8 : 39 = 25. 1) 78 • л; + 3 2 1 7 . Я кщ о X = 52, то 78 • 52 + 3 2 1 7 = 7 273. 527. X 78 + 4056 4 68 36 52 3217 ’ 36 156 7273 4 6 8 39 І08 3 90 ІЗ 39 108 4056 О 13 + 12 = 25 296 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер Щ 78 12
    • 3) л: ■ 3 7 - г/ : 25. Я кщ о X = 15, у = 2 5 2 5 , то 15 ■ 37 - 2 5 2 5 : 25 = 4 5 4 . 15 2 5 2 5 25 555 37 25 101 101 Г05 454 25 45 25 5 55 ш О 1) 17 3 92 + 15 3 0 0 : а. Я кщ о а = 2 5 , то 17 3 9 2 + 15 3 0 0 : 25 = 18 00 4 . 528. 150 173 92 612 6 12 18004 30 1 5 3 0 0 36 144 17392 425 425 .o rg 1 5 3 0 0 25 Я кщ о а = 3 6 , то 17 3 92 + 15 3 0 0 : 36 = 17 8 1 7 . 17817 90 72 ~25 180 50 О ~180 bo ok 50 О .4 113 2635 17 22 2486 1 08 5 2) от • 155 - ^ ■ 133. Я к щ о т = П , t = 2 2 , то 17 • 155 - 22 ■ 113 = 149. 226 149 X 155 155 X 2 26 2635 2486 1) 2 грн. 50 коп. = 2 5 0 коп. 2 5 0 • 5 = 1 2 5 0 (к оп .) — кош тую ть ручки; 2) 16 грн. 70 коп. = 1 6 7 0 коп. 1 6 7 0 - 1 2 5 0 = 4 2 0 (к оп .) — кош тую ть зош ити; 3) 4 2 0 : З = 140 (к оп .), 140 коп. = 1 грн. 4 0 коп. — цін а зош ита. Відповідь: 1 грн. 4 0 коп. 5 3 0 . Р о з в ’я за н н я . 1) 24 • 2 = 4 8 (кг) — важать у сі банани; 2) 144 - 4 8 = 9 6 (кг) — важать у сі яблука; 3) 9 6 : З = 32 (кг) — важ ить ящ ик яблук. Відповідь: 32 кг. 5 3 1 . Р о з в ’я за н н я . 1) 12 + 9 = 21 (к .) — кількість кош иків; 2) 105 : 21 = 5 (кг) — вага одного кош ика; 3) 5 ■ 12 = 60 (кг) — зібрав старш ий брат; 4) 5 ■ 9 = 45 (кг) — зібрав м олодш ий брат. Відповідь: 6 0 кг; 4 5 кг. w w w 529. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 297 ш ш ш
    • Р о з в ’я за н н я . 1) 27 + 25 = 52 (п .) — к іл ьк ість пачок зош итів; 2) 2 6 0 0 : 52 = 50 (з.) — кількість зош итів у пачці; 3) 50 • 27 = 1350 (з.) — зош ити в клітинку; 4) 50 • 25 = 1250 (з.) — зош и ти в л ін ій к у. В ідповідь: 1350 зош итів; 1 2 5 0 зош итів. 5 3 3 . Р о з в ’я за н н я . 1) 12 + З = 15 (дет.) — продуктивність другого верстата; 2) 12 + 15 = 27 (дет.) — виробляю ть два верстати за хвилину; 3) 9 4 5 : 27 = 35 (хв). Відповідь: 35 хвилин. 5 3 4 . (830 -- а ) : ЗО. Я кщ о а = 110, то (830 - 1 1 0 ): ЗО = 720 : ЗО = 24. Відповідь: (8 3 0 - а) : ЗО; 24 кг. 5 3 5 . 1) 742 + 39 + 58 = (7 4 2 + 58) + 39 = 8 0 0 + 39 = 839; 2) 9 73 + 115 - 273 = (9 7 3 - 2 7 3 ) + 115 = 700 + 115 = 815; 3) 8 3 2 - 15 - 32 = (8 3 2 - 32) - 15 = 8 0 0 - 15 = 785; 4) 2 ■ 115 • 50 = (2 50) ■ 115 = 100 ■ 115 = 11 500; 5) 29 ■ 19 + 71 • 19 = (29 + 71) ■ 19 = 100 ■ 19 = 1900; 6) 192 • 37 - 92 ■37 = (1 9 2 - 92) • 3 7 = 100 ■ 37 = 3 7 0 0 . 5 3 6 . Р о з в ’я за н н я . 1) 180 : 12 = 15 (тел.) — планована продуктивність; 2) 15 + З = 18 (тел.) — ф актична продуктивність; 3) 180 : 18 = 10 (дн .) — час виконання завдання. Відповідь: 10 днів. 5 3 7 . Р о з в ’я за н н я . 1) 189 ; 9 = 21 (стор.) — планував читати за день; 2) 21 + 6 = 27 (стор.) — читав за день фактично; 3) 189 : 27 = 7 (дн .) — за стільки днів прочитав к н и ж к у . Відповідь: за 7 днів. 5 3 8 . 1) (21 ООО - 3 08 • 29) : 4 + 14 14 7 : 47 = 3318; 308 21000 14 1 4 7 47 3017 12 0 6 8 4 + X 29 8932 141 ЗОЇ 12 301 3017 6 2772 12 0 6 8 3318 47 4 616 47 28 8 9 32 28 О 2) 5 48 • 3 07 - 8 9 0 4 : (3 3 • 5 0 7 - 16 6 4 7 ) = 168 130; 3 07 507 16731 8 9 0 4 84 168236 w w w .4 bo ok .o rg 532. X 548 2456 - 1228 1535 16 8236 298 X 33 16 6 4 7 1521 1521 16731 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер '8 4 106 504 504 О 106 168130
    • 3) (5 6 2 + 1 8 3 3 : 47 ) - 5 6 - 4 6 601 1833 47 562 X + 56 141 39 3 0 5 = 19 626; 33656 305 X ” 14030 46 ^ 3606 12 20 33656 19626 ^ 1830 3005 601 423 1 40 3 0 423 0 4 ) 1 7 8 9 • (1 6 7 7 : 43 - 8 8 8 : 24) ■5 00 = 1 7 8 9 • 2 ■ 5 0 0 = 1 6 7 7 43 88 8 24 39 - 37 = 2 129 72 39 37 168 3 87 168 О О or g 3 87 1) (42 + 9 0 9 5 : 85 ) • (7 3 4 4 : 3 6 - 154) = 149 • 50 = 7450; 204 149 7344 36 9 0 9 5 85 107 539. 42 107 "ТІ9 595 50 7 45 0 144 О bo О 6 3 7 • 4 0 8 - 54 0 3 6 : (44 ■ 2 0 9 - 9 1 1 7 ) = 2 5 9 212; 259896 408 5 4 0 3 6 79 2 09 9196 X w .4 X '6 3 7 44 836 "474 9117 28 56 79 + 1224 8 36 3 16 259896 w 3 16 (830 - 17 4 6 6 : 82 ) О 65 + 57 • 8 04 = 8 5 933; 830 213 213 “ё г т 106 804 40105 57 45828 5628 85933 617 X X 164 259212 ^632 9196 17466 82 65 3085 3702 4020 40105 82 684 68 4 663 w 2448 3) 154 204 144 595 2) '7 2 ok . '8 5 45828 ~246 О 299
    • 4) 197 • (588 : 49 + 728 : 56) ■40 = 197 • 25 ■40 = 197 • 1000 = 197 ООО. 588 49 49 12 728 56 ~56 12 + 13 = 25 13 98 168 98 168 О О Р о зв 'я за н н я . 1) 152 + 183 + 211 = 546 (кг) — продано; 2) 1 5 06 - 546 = 9 6 0 (кг) — залиш илось у трьох м агазинах; 3) 9 6 0 : 3 = 3 20 (кг) — залиш илось у к ож н ом у м агазині; 4) 3 2 0 + 152 =4 72 (кг) —було вперш ом у м агазині; 5) 3 2 0 + 183 =50 3 (кг) —було вдр угом у м агазині; 6) 3 2 0 + 211 =531 (кг) —було втретьом у м агазині. Відповідь: 47 2 кг; 503 кг; 531 кг. 5 4 1 . Р о зе 'я з а н н я . 1) 15 - 3 = 12 (к м /го д ) — ш видкість другого велосипедиста; 2) 15 • 4 = 6 0 (км) — проїхав п ерш ий за 4 год; 3) 12 ■4 = 4 8 (км) — проїхав другий за 4 год; 4) 60 + 4 8 = 108 (км) — проїхали разом за 4 год. Оскільки 108 км < 110 км, то велосипедисти не зустр ін уться. Відповідь: ні. 5 4 2 . Р о з в ’я за н н я . 1) Скільки годин працював Іван? 16 ■4 = 64 (год) 2) Скільки годин працював Василь? 18 ■ З = 54 (год) 3) Скільки всього годин хл оп ц і працю вали? 64 + 54 = 118 (год) 4) Я ка була погодинна оплата? 9 4 4 : 118 = 8 (гри.) 5) Скільки заробив Іван? 64 • 8 = 512 (грн.) 6) Скільки заробив Василь? 54 ■8 = 4 3 2 (грн.) 5 4 3 . Р о з в ’я за н н я . 1) 12 • 8 = 96 (год) — працював перш ий робітник; 2) 7 • 8 = 56 (год) — працював др угий робітник; 3) 96 + 56 = 152 (год) — загальний час роботи; 4) 1368 : 152 = 9 (д е т ./г о д ) — продуктивність праці; 5) 96 ■ 9 = 8 6 4 (дет.) — виготовив перш и й робітник; 6) 56 • 9 = 5 04 (дет.) — виготовив др уги й робітник. Відповідь: 9 деталей за годину; 8 6 4 деталі; 504 деталі. 5 4 4 . До м агази н у завезли 8 64 кг картоплі. Перш ого дн я продали 2 37 кг, другого дня — у З рази м енш е, а третього — у 4 рази біль­ ш е, н іж другого дня. Скільки картоплі залиш илось у м агазині? w w w .4 bo ok .o rg 540. 300 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С. Істер
    • Р о з в ’я з а н н я . 1) 2 37 : З = 79 (кг) — продали другого дня; 2 ) 7 9 - 4 = 3 1 6 (кг) — продали третього дня; 3) 2 3 7 + 79 + 3 16 = 6 3 2 (кг) — продали за З дні; 4) 8 6 4 - 6 3 2 = 232 (кг) — залиш илось. В ідповідь: 2 32 кг. 5 4 5 . ) X - X = X ■Х-, X = 0 2) т : т = т ■ т; т = 1. 5 4 6 . 1) X : 8 = X ■ 4; X = 0; 2) у : 9 = г / : 11; г /= 0. Н айм енш е число, записане циф ­ рами 7, отрим ане в р езультаті м н о­ ж ен н я числа 2 5 9 2 5 9 на якесь н ату­ ральне число, є ш естизначним . Тоді 547. 548. •Ш: ■т». Д ив. № 5 4 7 . 333333 37037 333333 О Відп овідь: 9. or g 777777 259259 "777777 О В ідповідь: 3. w .4 bo ok . Вправи для повторення 5 4 9 . 1) 4 х - 2х + 7 = 19; (4 - 2)х + 7 = 19; 2х + 7 = 19; 2х = 19 - 7; 2х = 12; X = 12 : 2; X = 6; 2) 8х + Зх - 5 = 39; (8 + 3)х - 5 = 39; 11х - 5 = 39; 11х = 39 + 5; 1ІХ = 44; X = 44 : 11; х = 4. 5 5 0 . (За + 26) : 4. Якщо а = 4 0 , Ь = 32, то (З • 40 + 2 • 32) : 4 = (120 + 64) : 4 = = 184 : 4 = 46 (км/год). В ідповідь: (За + 2Ь) : 4; 46 к м /год. § 1 6 . В ід р і з о к т а й о г о д о в ж и н а w w А В — в ідр ізок . Точки А і В — к ін ц і в ід ­ р ізк а. Д л я в и м ір ю в а н н я д о в ж и н и в ід р із к а його порівню ю ть з обраною о д и н и ц ею дов ж и н и . 1 см = 10 м м , 1 дм = 10 см = 1 00 мм, 1 м = 10 дм = 1 00 см , 1 км = 1 0 0 0 м. Будь-які дві точки м ож н а сполучити ли ш е одн и м в ідр ізк ом . Д ва в ідр ізк и рів н і, якщ о рівні їх н і дов ж и н и . Точка К належить відрізку M N . М К > K N , оскільки дов ж и н а в ідр ізк а М К більш а від д ов ж и н и в ідр ізк а K N . Точка К діл и ть в ідр ізок M N на два в ід ­ р ізк и М К і K N . Д о в ж и н а в ід р ізк а M N дорівню є сум і дов ж и н відр ізк ів М К і K N : M N = М К + K N , зв ідки М К = M N - K N , K N = M N - М К . 301
    • в 552. А • 553. А D С В ідр ізк и А В , ВС, АС . ^ 554. Т М = ТА + A M . I При вим ірю ванні треба бути ув аж н и м . Я кщ о рівність не в и к о­ н ується, то вимірю вання виконано неправильно. w w w .4 bo ok .o rg 5 5 5 . PQ = 24 мм, FL = 17 мм. 5 5 8 . 1) Н а рис. 23: А К , К Т , Т Р , А Р , А Т , К Р . Н а рис. 24: BQ , ВС, QC, BF, FD, B D . 2) А В = 33 мм, CD = 19 м м , E F = 4 8 мм. В ідрізок E F — найдовш ий, CD — найкоротш ий. 5 5 9 . Н а рис. 26: А Т , Т В , А В , T N . На рис. 27: М Р , M L , М К , K L . 5 6 0 . ВС = В Р + PC, звідси РС = ВС - В Р , PC = 9 см 3 мм - 5 см 7 мм = 8 см 13 мм - 5 см 7 мм = 3 см 6 мм. 5 6 2 . А В = 33 мм = 3 см 3 мм. 5 6 4 . А В = АС + ВС, А В = 42 см + 27 см = 6 9 см. 5 6 5 . N M = N P + Р М , звідси N P = N M - Р М , N P = 30 см - 13 см = 17 см. 5 6 6 . D L = D K + K L , K L = D L - D K . D K = D L : 4 = 56 : 4 = 14 (см ), K L = 56 - 14 = 42 ( c m ) . Відповідь: 42 см. 5 6 7 . А К = A C + CD + D K , C D = A C : 2 = 16 : 2 = 8 ( c m ) , D K = CD = 8 c m . А й Г = 1 8 + 8 + 8 = 32 ( c m ) . Відповідь: 32 см. 5 6 8 . A D = A C + CD, A C = A D - CD = 42 - 20 = 22 ( c m ) ; CB = CD + D B = 20 + 21 = 41 ( c m ) . В ідповідь: A C = 22 c m , CB = 41 c m . 5 6 9 . P N ^ P Q + QN, PQ = P N - Q N = 4 0 - 23 = 17 ( c m ) . M Q = M P + PQ , M P = M Q - PQ = 3 8 - n = 21 ( c m ) . M N = M Q + Q N = 38 + 23 = 61 ( c m ) . Відповідь: PQ = 1 7 c m , M P = 21 c m , M N = 61 c m . 5 7 0 . A B = A D + D B , D B = A B - A D = 50 - 35 = 15 ( c m ) . A B = A C + BC, A C = A B - B C = 50 - 29 = 21 ( c m ) . A B = A C + CD + D B , A B = (AC + D B ) + C D , C D = A B - (AC + D B ) = = 50 - (21 + 15) = 50 - 36 = 14 ( c m ) . Відповідь: CD = 14 c m . 5 7 1 . Задачу р озв ’я зано в п ідр уч н ик у. 302 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . с . істер
    • Р о з в ’я за н н я . П означим о д ов ж и н у в ідр ізк а ВС за х см . О скільки до в ж и н а в ід ­ р ізк а А В у 4 рази більш а, то А В = Ах (см ). А В = А С + ВС , зв ідк и АС - А В - ВС. За ум овою А С = 27 см . М аємо рівняння: 27 = 4 х - х; 27 = (4 - 1)х; 27 - Зд:; д- = 27 : 3; л: = 9. О тж е, ВС = 9 см , А В = 4 • 9 = 36 (см). Відповідь: ВС = 9 см , А В = 36 см. 5 7 3 . П озн ач и м о сер е д и н у в ід р ізк а Л М точкою К , а середи н у відрізк а M B — точкою Р. А В = А К + К М + М Р + РВ; МР) ; А В = 2 • К М 4- 2 • МР-, А В = 2 ( К М К М + М Р = А В : 2 ; К М + М Р = 16 : 2 = 8 (см ). К Р = 8 см . Відповідь: 8 см . 5 7 4 . Н ехай К М = N L = х км. Оскільки M N вдвічі більш а за К М , то M N = 2 х км. K L = К М + M N + N L . За умовою K L = 20 км. М аємо рівняння; 20 = X + 2 х + х; 20 = (1 + 2 + l) x ; 20 = 4х; х = 20 : 4; х = 5. О тж е, К М = N L = 5 км , M N = 2 ■ 5 = 10 (км). K N = К М + M N = M N + ЛГІ = M L = 5 + 10 = 15 (км). В ідповідь: К М = 5 км , N L = 5 км , M N = 10 см , K N = 15 км, M L = 15 км. 5 7 5 . А В = СЕ = 2 • 5 см = 10 см. A D = B E = З • 5 см = 15 см. bo ok .o rg 572. w w w .4 Вправи для п овторення 5 7 6 . Р = (а + 6) • 2; 2 дм = 20 см. Р = (2 0 + 13) • 2 = 33 • 2 = 66 (см). В ідповідь: 66 см . 5 7 7 . Р о з в ’я за н н я . Я кщ о з 10 кг верш ків одерж ую ть 2 кг м асла, то для отрим ання 1 кг масла потрібно взяти в 2 рази менш е верш ків: 10 : 2 = 5 (кг). Тоді з 40 кг верш ків одер ж им о 4 0 : 5 = 8 (кг) масла. В ідповідь: 8 кг. Знай дем о — від 52 256: 8 52256 578. ~48 42 6532 З З н ай дем о — від 15 239: 7 2177 15239 14 2177 12 40 25 24 16 16 О 6531 7 53 6532 > 6531 ~49 49 49 О М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 303
    • § 1 7 . П р о м ін ь , п р я м а , п л о щ и н а м к П ром інь А В , А — початок п ром е­ ня, В — дея к а точка на пром ен і. К М і K N — доповняльні пром ені. N П рям а А В , або прям а а. Точки А і В належ ать ц ій п рям ій . Ч ер ез будь-які дв і точки м о ж н а провести прям у, і до того ж тільки одну. шш 5 7 9 . А К і A T — доповняльні пром ені (рис. 4 3 ). Н а рис. 44 п ро­ м ен і В М , В Р і В Т . 5 8 0 . П ром ені К А , К В , К С , K D . П ари доповняльних променів: К А і К В ; К С і K D . bo ok .o rg 5 8 3 . П ряма DT; промені А В , A M , К М , ВС, K D , К Т ; відр ізк и А В і А К . 5 8 4 . В ід р ізк и K L , L M і К М ; п р я м і К М , K L , L M ; пром ені L K і L M . w .4 5 8 9 . 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) так; 5) ні; 6) так. 5 9 0 . Точки Р , М , N і К належ ать прям ій а; точки Т i F ш и є н а­ леж ать. w w 5 9 2 . 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) так; 5) ні; 6) так. 5 9 3 . Н а 4 частини. 597. 594. На З частини. 596. В 1) На дві частини. 598. Р А к в А Р = А К = 4 см 5 мм. Р К = А Р + А К = 2А Р = 2 - 4 с м 5 мм = 9 см. Відповідь: 9 см. 304 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • N 601. Можливі два випадки. л в~ С Точка В лежить на відрізку АС. АС = А В + ВС = 37 + 42 = 79 (см). В А С .o rg Точка А лежить на відрізку В С . Тоді В С = А В + АС, звідки АС = БС - АВ = 42 - 37 = 5 см. В і д п о в і д ь : 79 см або 5 см. Можливі два випадки. 1)Село N лежить між селами М і К . Тоді М К = M N + N K , звідси N K = М К - M N = 1 3 - 7 = 6 (км). 2)Село М лежить м іж селами N і К . Тоді N M + М К = N K , звідси N K = 1 + і г = 2Q (км). В і д п о в і д ь : 6 км або 20 км. М ok 602. К М bo N К 603. w .4 Вправи для повторення w w 1107 1107 (а + а : 9) - Ь. Якщо а = 1107, Ь = 978, то (1107 + 1107 : 9) - 978 = 252. 9 123 20 1230 123 978 1230 252 18 ~27 О 6 0 4 . 1) 12 хв 37 с + 35 хв 42 с = 47 хв 79 с = 48 хв 19 с; 2) 7 хв 13 с - 5 хв 19 с = 6 хв 73 с - 5 хв 19 с = 1 хв 54 с; 3) 15 год 42 хв + 12 год 17 хв = 27 год 59 хв; 4) 4 год 15 хв - 59 хв = З год 75 хв - 59 хв = З год 16 хв. 6 0 5 . У перш их п ’яти десятках цифра 5 зустрічається 5 разів, у числах від 50 до 60 — 11 разів. Маємо 5 + 11 = 16. В і д п о в і д ь : 16 разів. М АТЕМ АТИ КА , о . С. Істер Щ 305
    • § 1 8 . К о о р д и н а т н и й п р о м ін ь І О І І І ^ Промінь О Х , на п о ч ат ок в ід л ік у 1 яком у вибрано (точку відліку та о д и н О) ється к о о р д и н а т н и м п р о м е н е м . Щоб зобразити на промені число 2, треба відкласти від початку відліку 2 одиничних відрізки, число З — три одиничних від­ різки і т. д. Таким чином, кожному натуральному числу від­ повідає одна певна точка променя О Х . Це число називається к о о р д и н а т н о ю т о ч к и і позначається А(3). К о о р д и н а т а т о ч к и — це її «адреса» на координатному про­ мені, а к о о р д и н а т н и й п р о м і н ь — це «місто», в якому живуть числа, і будь-яке число можна відшукати за «адресою». Координатний промінь нескінченний. Початок відліку має координату 0: 0 (0 ). Довжина одиничного відрізка може бути якою завгодно. rg відрізок 1 см 0 608. 1 2 см f 0 ok ] -----1-----1----- 1-----1----- 1---- і — з 5 6 1 -------- 1 -----------------1 ----------------- 1 ----------------- 1 --------3 4 6 bo 607. .o 6 0 6 . Рис. 58 підручника: -D(O); А(2); В(4); С(5). Рис. 59 підручника: В(1); А(3); D ( 6 ) ; С(8). 1 На рис. 60 підручника: Щ 10), N { 5 0 ) , Q(IOO), М (130). Па рис. 61 підручника: Я (20), К ( 6 0 ) , М (90), Q(130). 6 1 0 . Па рис. 62 підручника: М (3), К ( 5 ) , Ц 9 ) , Р(12). На рис. 63 підручника: А (20), Q(50), Б(60), Г(100), D (140). w .4 609. С 0 А 612. В Т І--- 1---- 1------ 1---- 1------ 1----1---- 1-------1----- 1----1----- - - 1 М І----- ^ 0 1 2 3 w w 611. ^ ^ ^ ^ 7 10 К L Р -------- 1 ------- ^ ^ ----------- 1 ------- ^-------5 6 9 На рис. 64 підручника: 12 °С, на рис. 65 — 24 °С, на рис. 66 — 8 °С, на рис. 67 — 31 °С. 613. С 614. D А В 2 4 5 8 І----- 1 --------1 ----------1 --------1 ----------1 ------- 1 -------1 -----------1 ---------1 ------- 1 --------- 0 1 Точка А відповідає числу 5, точка В — 8 , точка С — 2 і точка D — 4. 615. І А — 550, В — 200, С — 350, D — 500. Прикладом частини координатного променя є лінійка з поділ­ ками. На лінійку нанесено ш к а л у . Відстань м іж найменшими поділками шкали називають ц і н о ю п о д іл к и . 306 Ш МАТЕМАТИКА. О. с. істер
    • Термометр, спідометр, годинник, механічні терези. В і д п о в і д ь : 1 хвилина. 618. 1) 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107; 2) 999, 1000, 1001, 1002. 616. 671. За допомогою координатного променя можна порівнювати на­ туральні числа. З двох натуральних чисел більшому відповідає точка, яка ле­ жить праворуч, а меншому — ліворуч. 230 623. 624. 625. rg 622. .o ки, 621. 0 2)1 2 3 4 5 6 7 ^------1-------------1------^------1------н і 626. 1 ok яка 620. І Точка, яка відповідає числу 108, розміпїена зліва від точки, Щ відповідає числу 119. Точка, яка відповідає числу 992, розміщ ена справа від точ­ яка відповідає числу 987. 1) 11, 20, 48, 112; 2) 9, 8 , 7, 6 . М — ЗО к м /год, N — 80 к м /год, К — 200 к м /го д , L — к м /год, Р — 290 км/год. (60 - 40) : 4 = 20 : 4 = 5. В і д п о в і д ь : 5. (1000 - 500) : 5 = 100. В і д п о в і д ь : 100. 1)1- 1)І 0 bo 619. 1----- ^----- 1----- 1----- 1-----1-----1----- 1-----1----- 1----- 1 2 3 4 5 0 w .4 2)1---- 1----- 1---- 1----- 1--------1--і ------ 1----- 1----- 1----- 1----- 1 4 5 6 1) 16°; 2) 17°; 3) 23°; 4) 24°. Між точками М (37) і N ( 4 0 ) — три одиничних відрізки: 40 - 37 = 3. 4 см • З = 12 см. В і д п о в і д ь : 12 см. 6 2 9 . Між точками А (42) і В (56) — 14 одиничних відрізків: 56 - 42 = 14. 7 см : 14 = 70 мм : 14 = 5 мм. В і д п о в і д ь : 5 мм. 627. w w 628. А . 630. І — 0 ^ — І — 1 2 В ідп о від ь: ^ — І — І — 5 В І — І — І — 8 І — І — В (8), С(2). 6 3 1 . а > 6 , а < 10, Ь > 6 , Ь > 10. 632. а > 8 , Ь < 8 , а > Ь. 633. 15 + З = 18; 27 - 2 = 25. В і д п о в і д ь : 18; 25. 634 І І І *— І— І — — — — І • *— І— І І І *— І І І *-Н— І Н-*— І — — — — — — — — — О з 6 7 10 12 15 18 19 23 24 М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 307
    • Вправи для повторення 6 3 5 . 1) 68 - 14 = 54; 68 - 17 = 51; 51 • З = 153; 17 ■ 13 = 221. 636. 1) 2) 3) 2) 7 • 5 = 35; 77 - 35 = 42; 210 : 42 = 5; 77 - 38 = 39. Р о з в ’я з а н н я . bo ok .o rg 65 + 5 = 70 (км/год) — швидкість другого мотоцикліста; 65 + 70 = 135 (км/год) — швидкість віддалення; 135 • 4 = 540 (км) — відстань через 4 год. В і д п о в і д ь : 540 км. 6 3 7 . Р о з в ’я з а н н я . Плош;а прямокутника дорівнює 9 • 12 = 108 (см^). Карлсон за­ фарбував 108 : З = 36 (см^). 108 - 36 = 72 (см^) — площа, яка залишилася незафарбованою. В і д п о в і д ь : 72 см^. w .4 Домашня самостійна робота № 4 1 .2 4 + 32 : 8 = 24 + 4 = 28. В і д п о в і д ь : Б. 2 . А В і А К . В і д п о в і д ь : В. 3 . Числу 4. В і д п о в і д ь : Г. А . Р о з в ’я з а н н я . w w Одне тістечко можна вибрати 4 способами. Для кожного тістеч­ ка вибрати напій можна одним із трьох способів. За правилом добутку 4 • З = 12 (способів). В і д п о в і д ь : Б. 5 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 16 • 2 = 32 (кг) — важать усі яблука; 2) 92 - 32 = 60 (кг) — важать усі сливи; 3) 60 : 5 = 12 (кг) — важить один яш;ик слив. В і д п о в і д ь : А. 6 . Р о з в ’я з а н н я . Оскільки точка К належить відрізку А В , то виконується рів­ ність А В = А Х + К В . Маємо: 52 = 17 + К В , звідки К В = 52 - 17 = 35 (см). В і д п о в і д ь : В. 7 . Р о з в ’я з а н н я . Оскільки цифри в числі можуть повторюватися, то кожну з них можна вибрати з двох цифр 8 і 9 двома способами. За правилом добутку таких чисел 2 - 2 - 2 - 2 = 2‘ = 16. ‘ В і д п о в і д ь : Г. 308 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • Р о зв’язання. 1 ) 60 : 6 = 10 (з.) — учень планував розв’язувати за день; 2) 10 + 2 = 12 (з.) — учень розв’язував за день фактично; 3) 60 : 12 = 5 (дн.) — за стільки днів учень розв’язав усі задачі. Відповідь: А . 9 . Р озв’язання. АВ = A M + В М , звідси A M = А В - В М , A M = 40 - 32 = 8 (ом). A N = AJS/I + M N , звідси M N = A N - A M , M N = 1 9 - 8 = 1 1 (см). Відповідь: Б. 10 . Р о зв’язання. Кожен із 8 ш ахістів зіграв партію з кожним із 7 решти ш ахіс­ тів. Але оскільки в партіях беруть участь одразу двоє гравців, то кількість партій дорівнює (8 ■ 7) ; 2 = 28. Відповідь: В. 1 1 . Р о зв’язання. Оскільки точка К належить відрізку А В , то виконується рів­ ність АВ = А К + К В . Нехай А К = X см. За умовою А К втричі менший від К В , тоді К В = Зх см. Маємо рівняння: X + г х = 28; (1 + 3)х = 28; 4х = 28; а: = 28 : 4; л; = 7. Отже, К В = З • 7 = 21 (см). Відповідь: Г. 12 . Р озв’язання. Першу білу троянду можна вибрати 10 способами, а другу — 9 способами. Оскільки порядок вибору неважливий, то насправді дві білі троянди можна вибрати (10 • 9 ): 2 = 45 способами. Після цього одну рожеву троянду можна вибрати одним із 8 способів. Отже, 45 • 8 = 360 — число можливих комбінацій. Відповідь: Г. w .4 bo ok .o rg 3. Завдання для перевірки знань № 4 (§ § 1 4 — 18) 1- 2. w w ^ L к М Відрізки А К , К В і АВ. АВ = 7 см і мм, А К = ..., К В = ... . Замість ... у завданні 2 постав свої результати вимірювання. Пам’ятай, ш;о АВ = АЙГ + К В . І 3. — І 10 ^ 4 . Р о з в ’я з а н н я . У слові «вчитель» 5 приголосних і 2 голосні звуки. За правилом добутку кількість пар становить 5 • 2 = 10. В і д п о в і д ь : 10. М АТЕМ АТИ КА, о . С . Істер Ш 309
    • 5 .9 9 7 , 998, 999, 1000, 1001. 6 . A B = A C + C D + B D = (A C + B D ) + C D , звідси C D = A B - ( A C + B D ) , C D = 4 0 - (12 + 18) = 40 - 30 = 10 ( c m ) . В і д п о в і д ь : 10 см. ^ 7 .(1 102 200 - 870 796) : 68 + 512 • 309 = 161 611. 1102200 870796 231404 231404 68 309 158208 204 274 512 3403 618 161611 3403 274 204 309 1545 204 0 158208 rg 8 . Р о з в ’я з а н н я . .o Першу цифру можна вибрати з 4 цифр, другу — з З, що лиш и­ лися, третю — з решти двох. За правилом добутку 4 • З • 2 = 24. В і д п о в і д ь : 24 числа. 9 . Р о з в ’я з а н н я . bo 1 0 . Р о з в ’я з а н н я . ok Альбом можна вибрати одним із 4 способів. Після цього першу марку можна вибрати 9 способами, другу — 8 і третю — 7 спо­ собами. За правилом добутку маємо 4 • 9 • 8 • 7 = 2016. В і д п о в і д ь : 2016 способів. = A M -Ь M B . Нехай A M = х см. За умовою A M на 2 см більше за M B , тоді M B = (х - 2) см. Маємо рівняння: х + ( х - 2) = 24. (л: + л:) - 2 = 24; 2л: - 2 = 24; 2 х = 24 + 2; 2д: = 26; л: = 26 : 2; л; = 13. Отже, A M = 13 CM, тоді M B = 13 - 2 = 11 (см). В і д п о в і д ь : 13 см; 11 см. w w w .4 АВ § 1 9 . Кут. В и д и кутів 638. 639. — це геометрична фігура, утворена дво­ ма променями, ш;о виходять з однієї точки. Цю точку називають в е р ш и н о ю кута, а про­ мені — с т о р о н а м и кута. О — вершина кута, О А і О В — його сторони. Позначення: / Л О В , або Z B O A , або Z O . Буква, ш;о позначає вершину кута, завжди пишеться посередині. К ут Z M , Z K M L - , Z B , Z A B C -, Z E , Z D E F ; Z N , Z H N P ; Z 0 , Z G O R . ZA, Z M A N . А — вершина, A M і A N — сторони. Z T , Z K T L . Т — вершина, Т К і T L — сторони. Z B , Z Q B C . В — вершина, B Q і В С — сторони. Z K , Z P K T . К — вершина, К Р і К Т — сторони. 310 Ш М АТЕМ АТИ КА, о . С . Істер
    • 640. Z K , Z P K M . 642. 641. 1) Z A B K , Z A B C , Z K B C ; 2) Z M O N , Z M O P , Z M O S , ZNOP, ZN O S, ZPOS. Види кутів с и В А І В С ~~ доповняльні промені Гострий, менш ий від прям ого Т упий, більш и й від п р ям ого але менш ий від р озгор н утого Z A O K — розгорнутий, Z P M L — гострий, Z B T C — прямий, Z Q D F — тупий. 6 4 4 . 1) Z A B C — тупий, Z C B D — гострий, Z A B D — розгорнутий. 2) Z K M P = Z P M T — прямі, Z K M T — розгорнутий. w .4 643. N П рям ий, вдвічі менш ий від р озгор н утого bo Р озгорнути й , ok к .o м і ZTOK. rg ZM OT w w Спосіб побудови прямого кута за допомогою косинця дивись на рис. 85 на с. 141 підручника. 647. ZABK І і Z K B C — гострі. Сторони кута А О В перетинають промені Р Т , L N . ZM PK, ZM PL, ZKPL, ZKPN, ZLPN . М АТЕМ АТИ КА, о . С. Істер Ш 311
    • м 649. к F Н L .o rg ш т ш ШИ У внутрішній області: Р І К . Поза кутом: N і Т . Н а стороні М і Q. На стороні О В : L і F . в. А, 654. ^ ok 653. w .4 bo ОА: w w Z A O B і Z P K R . Верш ина К кута P K R лежить на стороні О В кута А О В . 657. Z A D B , ZAD C, Z B D C , Z D E F , ZCEF, ZD EC. В і д п о в і д ь : 6 кутів. 6 5 8 . 1) Розгорнутий; 2) гострий; 3) прямий; 4) тупий; 5) розгор­ нутий; 6) тупий. 6 5 9 . 1) Z F K G — розгорнутий; 2) Z A B C , Z B A D , Z F K N , Z N K G — прямі; 3) Z A D C , Z F K E — гострі; 4) Z B C D , Z E K G — тупі. 6 6 0 . 1) За З години; 2) 15 хвилин; 3) 15 секунд. 6 6 1 . 1) За 6 годин; 2) ЗО хвилин; 3) ЗО секунд. 662. ZBAF ZCAF ZCAD В 312 А F Ш МАТЕМ АТИКА. О. С. Істер — розгорнутий; — прямий; або Z D A F — гострий.
    • 663. 664. ZAKM ZBKM ZCKM 1) — тупий, — прямий, — гострий. К 2) А М 665. Р о з в ’я з а н н я . rg ok Вправи для повторення — гострий. .o ZAMK в — прямий; ZAM K 126 - 90 = 36 (грн.) — коштують 6 кг яблук; 36 ; б = 6 (грн.) — вартість 1 кг яблук; 90 : 6 = 15 (кг) — продали до обіду; 126 : 6 = 21 (кг) — продали після обіду. В і д п о в і д ь : 15 кг і 21 кг. w .4 bo 1) 2) 3) 4) 6 6 6 . 1) Крокодил Гена зібрав Ь грибів, що на 5 грибів більше, ніж зібрав Чебурашка. Скільки грибів зібрали разом Гена і Че­ бурашка? w w Р о з в ’я з а н н я . Ь + { Ь - 5). Якщо 6 = 12, то 12 + (12 - 5) = 12 + 7 = 19 (грибів). В і д п о в і д ь : 19 грибів. 2) Готуючись до контрольної роботи, Іванко розв’язав а за ­ дач, а Сергійко — на с задач більше. Скільки задач хлопчики розв’язали разом? Р о з в ’я з а н н я , а + ( а + с ). Якщо а = 15, с = 9, то 15 -Ь (15 + 9) = 15 -Ь 24 = 39 (задач). В і д п о в і д ь : 39 задач. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 313
    • § 2 0 . В е л и ч и н а к у т а . В и м ір ю в а н н я і п о б у д о в а к у тів Якщо прямий кут поділити на 90 рівних частин, то одерж имо одиницю вимірювання кутів — градус (1 °). Градусна міра прямого кута дорівнює 90°, а розгорнутого — відповідно 180°. Зрозуміло, що градусна міра гострого кута менша за 90°, а гра­ дусна міра тупого — більша за 90°, але менша від 180°. Для вимірювання кутів використовують транспортир (див. рис. ■ 1 0 4 - 1 0 5 підручника). w .4 bo ok .o rg 6 6 7 . 1, 4, 6 — правильні; 2, З, 5 — хибні. 6 6 8 . 1) Z A = 17° — гострий, оскільки 17° < 90°; 2) ZB = 117° — тупий, оскільки 90° < 117° < 180°; 3) ZC = 90° — прямий; 4) Z.D = 1 ° — гострий, бо 1° < 90°; 5) Z E = 180° — розгорнутий; 6) Z F = 179° — тупий, бо 90° < 179° < 180°; 7) Z G = 89° — гострий, бо 89° < 90°; 8) Z H = 94° — тупий, бо 90° < 94° < 180°. 6 6 9 . 1) ZM = 42° — гострий, бо 42° < 90°; 2) Z N = 90° — прямий; 3) Z O = 113° — тупий, бо 90° < 113° < 180°; 4) Z P = 7° — гострий, бо 7° < 9 0 ° ; 5) Z B = 97° — тупий, бо 90° < 97° < 180°; 6) Z S = 81° — гострий, бо 81° < 90°; 7) Z T = 180° — розгорнутий; 8) Z Q = 178'’ — тупий, бо 90° < 178° < 180°. 6 7 0 . 1) Z A O K = 30°; Z A O L = 70°; Z A O M = 120°; Z A O N = 140°; 2) Z B O N = 40°; Z B O M = 60°; Z B O L = 110°; Z B O K = 150°. w w Алгоритм вимірювання кутів 1. Сумістимо вершину кута з центром транспортира (рискою). 2. Розмістимо транспортир так, щоб сторона кута проходила че­ рез початок відліку на шкалі транспортира; О — початок відліку. 3. Знаходимо поділку на шкалі, через яку проходить друга сторона кута; використовуємо ту шкалу, де розміщено О, через який про­ ходить перша сторона (на транспортирі часто буває дві шкали!). 4. Визначаємо шкалою, скільки градусів відповідає знайденій поділці. Рівність двох кутів можна перевірити на­ кладанням. Якщо це неможливо, треба ви­ міряти їх . Рівні кути мають однакові гра­ дусні міри. З двох кутів більший той, міра якого більша. Промінь, який виходить із вершини кута і розбиває його на два рівні кути, називається б і с е к т р и с о ю кута. О С — бісектриса кута А О В . 314 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • На першому рисунку промінь O P проходить м іж сторонами кута А О В , і Z A O P = Z P O B , отж е, О Р — бісектриса кута А О В . На другому рисунку Z A O P = Z B O P , але промінь О Р не прохо­ дить м іж сторонами кута ЛОВ, хоча і виходить із його вершини. Отже, О Р не є бісектрисою кута А О В . 6 7 2 . На рис. 115 і 117. На рис. 116 промінь О Р ділить ку т А О В на два різні кути. 6 7 3 . Z A O B = 5 5 ° , Z C K D = A O ° , Z M O P = 120°, Z F T G = 9 0 ° , Z H Q W = 1 1 8 ^ . 6 7 4 . ZABC= 120°, Z K L M = 2 0 ° , Z N Q P = 9 0 ° , Z D O F = 150°, Z E G H = 75°. 6 7 5 . Z K O N = 47°, Z K O M = 1 1 7 ° , Z N O M = 70°. Z K O N + Z N O M = 47° -b 70° = 117°. Отже, Z K O M = Z K O N + Z N O M . 671. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які його розбиває промінь, ш;о виходить із вершини кута і проходить між його сторонами. Висновок; Z A O B = 47°; Z B O C = 70°; Z A O C = 117°. Z A O B + Z B O C = 47° -f- 70° = 117°. Висновок: ZAO C = Z A O B + ZB O C . I .o rg 676. w .4 bo ok Побудуємо Z B A C = 50°. 1. Відмітимо довільну точку і позначимо її буквою А . 2. Накреслимо промінь із початком у точці А , на ньому позна­ чимо довільну точку В . Отримали промінь А В . 3. Накладемо транспортир так, щоб його центр сумістився з точ­ кою А , а промінь А В пройшов через початок відліку на шкалі. 4. На цій же шкалі транспортира знайдемо поділку, яка відпові­ дає 50°. Відмітимо на кресленні точку С навпроти цієї поділки. 5. Проведемо промінь А В . Z A B C = 50° — ш уканий. При виконанні № 6 7 8 -6 7 9 скористайтеся цим алгоритмом і не забувайте перевіряти, чи відповідає градусна міра побудованого кута його виду (тупий чи гострий тощо).________________________ Z M N P -1 Z P N K = Z M N K , Z M N K = 180° як розгорнутий. Тоді Z M N P = Z M N K - Z P N K , Z M N P = 180° - 62° = 118°. В і д п о в і д ь : 118°. 6 8 1 . ZAOB = 180° як розгорнутий. Z A O B = Z A O D + Z D O C + Z C O B , Z A O B = ( Z A O D + Z C O B ) -НZ D O C , звідси Z D O C = Z A O B - ( Z A O D + Z C O B ) , Z D O C = 180° - (60° + 55°) = 180° - 115° = 65°. В і д п о в і д ь : 65°. 6 8 2 . 1) Z A O C = 180° — розгорнутий. Z A O C = Z A O B + Z B O C , звідси Z A O B = Z A O C - Z B O C = 180° - 125° = 55°. В і д п о в і д ь : 55°. 2) Z C O D — розгорнутий. Оскільки Z A O C — прямий, то і Z A O D — прямий, бо Z C O D = Z A O C + Z A O D . Z A O D = Z A O B -І- Z B O D ; 90° = Z A O B + 50°; Z A O B = 90° - 50°; Z A O B = 40°. В і д п о в і д ь : 40°. w w 680. М АТЕМ АТИ КА , о . С. Істер Ш 315
    • 683. Z A O C = 90° — прямий. Z A O B + Z B O C = Z A O C ; Z A O B + 30° = 90°; Z A O B = 90° - 30°; Z A O B = 60°. В і д п о в і д ь : 60°. 6 8 4 . Р о з в ’я з а н н я . Оскільки промінь O K д і л р і т ь кут А О В на два кути А О К то виконується рівність: Z A O B = Z A O K + Z K O B . Тоді Z A O B = 52° + 43° = 95°. В і д п о в і д ь : 95°. 6 8 5 . Р о з в ’я з а н н я . Оскільки промінь O N ділить кут А О В на два кути A O N то виконується рівність: Z A O B = Z A O N + Z N O B . Тоді Z A O B = 37° + 59° = 96°. В і д п о в і д ь : 96°. or g У завданнях 6 8 6 -6 8 7 потрібно спочатку за допомогою транспор­ тира побудувати сам кут, а потім, пам’ятаючи, що бісектриса ділить кут навпіл, від сторони цього кута відкласти кут, гра­ дусна міра якого дорівнює половині даного кута. 690. І і NOB, 1) 16° : 2 = 8°; 2) 38° : 2 = 19°; 3) 102° : 2 = 51°. ok . І і КОВ, Кут м іж бісектрисою і стороною даного кута дорівнює його половині. І bo 6 9 1 . 1) 1 год — 30°; 2) 2 год — 60°; 3) З год — 90°; 4) 5 год 150°; 5) 8 год — 120°; 6) 10 год — 60°. I о 6-й годині стрілки годинника утворюють розгорнутий кут, w w w .4 його градусна міра 180°. М іж сторонами цього кута 6 великих поділок, отже, ціна однієї поділки: 180° : 6 = 30°. У першому випадку Z B O C = 90°, у другому — 150°. 6 9 3 . 1) а) Точка D ; б) точка F; в) точка В . 2) Від 0° до 30° три поділки, отже, ціна поділки 10°. а) 60°; б) 60°; в) 120°; г) 150°. 6 9 4 . Р о з в ’я з а н н я . Z A O C = 130°, Z A O K = 90° за умовою. Оскільки Z A O C = Z A O K -IЧ Z K O C , то 130° = 90° -f Z K O C , звідки Z K O C = 130° - 90° = 40°. Z A O M = 180° як розгорнутий. Z A O M = Z A O C + Z C O M , тоді 180° = 130° + Z C O M , Z C O M = 180° - 130° = 50°. В і д п о в і д ь : 40°; 50°. 316 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 695. ok .o rg Р о з в ’я з а н н я . Z N O K = 40°. Z .L O N — розгорнутий, тоді Z L O N = Z L O M + Z M O N . Але Z L O M — прямий, тоді Z M O N — теж прямий, Z M O N = 90°. Z M O K = Z M O N + Z N O K = 90° + 40° = 130°. Аналогічно, Z L O N = Z L O K + Z N O K , 180° = Z L O K + 40°, Z L O K = 180° - 40° = 140°. В і д п о в і д ь : 130°, 140°. 6 9 6 . Р о з в ’я з а н н я . Z A O B = 90°, як прямий кут. Z A O B = Z A O K + Z K O B , 90° = 63° + Z K O B ; Z K O B = 90° - 63° = 27°. Z M O B = Z M O K + Z K O B - , 56° = Z M O K + 27°; Z M O K = 56° - 27° = 29°. В і д п о в і д ь : Z M O K = 29°. 6 9 7 . Р о з в ’я з а н н я . Z C O D = 180°, як розгорнутий. Z C O D = Z C O K + Z K O D , 180° = 110° + Z K O D - , Z K O D = 180° - 110° = 70°. Z N O D = Z N O K + Z K O D ; 130° = Z N O K + 70°; Z N O K = 130° - 70° = 60°. В і д п о в і д ь : 60°. bo Бісектриса ділить даний кут на два рівні кути. Тобто кут між бісектрисою і стороною кута дорівнює його половині. 1) 17° • 2 = 34° — гострий кут; 2) 45° ■2 = 90° — прямий кут; 3) 79° • 2 = 158° — тупий кут. 700. 699 w .4 698. І w w Р о з в ’я з а н н я . M B — бісектриса Z A M C , тому Z A M C = 2 ■Z B M C = 2 • 35° = 70°. М С — бісектриса Z A M D , тому Z A M D = 2 ■Z A M C = 2 • 70° = 140°. В і д п о в і д ь : 140°. 7 0 1 . Р о з в ’я з а н н я . М С — бісектриса Z A M D , тому Z A M C = Z A M D : 2 = 136° : 2 = 68°. M B — бісектриса Z A M C , тому Z A M B = Z A M C : 2 = 68° : 2 = 34°. В і д п о в і д ь : 34°. 702. Z D B M бісектриси кутів, на які поділяє розгорнутий кут промінь, що виходить з його вершини, утворюють прямий кут. Висновок: = 90°. 317 ш шй ш
    • 703. .o rg Р о з в ’я з а н н я . Z A P B = 180“ — розгорнутий. Z A P B = Z A P K + Z B P K , Z A P K = Z A P B - Z B P K = 180° - 124° = 56°. P K — бісектриса Z A P C , тому Z A P C = 2 • Z A P K = 2 • 56° = 112°. В і д п о в і д ь : 112°. 7 0 4 . Р о з в ’я з а н н я . P K — бісектриса Z A P C , тому Z K P C = Z A P C : 2 = 118° : 2 = 59°. Z A P B = 180° — розгорнутий, Z A P B = Z A P C + Z C P B , Z C P B = 180° - 118° = 62°. Z K P B = Z K P C + Z C P B = 59° + 62° = 121°. В і д п о в і д ь : 121°. 7 0 5 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай Z M O K = X, тоді Z K O N = Зх. Оскільки Z M O N = Z M O K + Z K O N , маємо рівняння: X + Зх = 140; 4 х = 140: х = 140 : 4; х = 35. Отже, Z M O K = 35°, Z K O N = 35° ■З = 105°. В і д п о в і д ь : Z M O K = 35°, Z K O N = 105°. 7 0 6 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай ZAOB = X, тоді Z B O C = 2х. Z A O C = Z A O B + Z B O C . Р о з в ’я з а н н я . w .4 bo 707. 120 : 3;х = 40. ok Маємо рівняння: х + 2х = 120; Зх = 120; х = Отже, Z A O B = 40°, Z B O C = 40° ■ 2 = 80°. В і д п о в і д ь : Z A O B = 40°, Z B O C = 80°. - 12 0° = 60°. = ZCOB - ZDOB = = 60° - 35° = 25°. В і д п о в і д ь : Z C O B = 60°, Z C O D = 25°. w w = 180° ZCOD ZCOB = ZAOB - ZAOC = = 180° - 12 0 ° = 60°. ZCOD = ZCOB + ZDOB = = 60° + 35° = 95°. В і д п о в і д ь : Z C O B = 60°, Z C O D = 95°. 708. Р о з в ’я з а н н я . Z A O B = 90° — прямий. Промінь ОС ділить Z A O B на дві частини. Нехай Z C O B = X , тоді Z A O C = х + 10. Z A O B = Z A O C + Z C O B , тоді маємо рівняння: X + (х + 10) = 90; (х + х) + 10 = 90; 2х + 10 = 90; 2х = 90 - 10; 2х = 80; X = 80 : 2; X = 40. Отже, Z C O B = 40°, Z A O C = 40° + 10° = 50°. В і д п о в і д ь : 40°, 50°. 318 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 709. Р о з в ’я з а н н я . ZD Q B = ZDQC + ZCQB. Оскільки Q B — бісектриса Z A Q C , то Z C Q B = Z A Q B . Оскільки Q D — бісектриса Z C Q E , t o Z D Q C = Z D Q E . Тоді Z A Q B + Z D Q E = Z D Q C + Z C Q B . Z A Q E = Z A Q B + Z C Q B + Z D Q C + Z D Q E = 2 • (Z D Q C + Z C Q B ) = = 2 ■ Z D Q B = 2 ■68° = 136°. В і д п о в і д ь : 136°. Вправи для повторення I w w w .4 bo ok .o rg Підставимо кожне число в рівняння замість змінної х . Якщо рівняння перетворюється на правильну числову рівність, то число є коренем рівняння. 7 1 0 . 1) 5(х - 2) + 4 = 24. Якщо X = 5, то 5 • (5 - 2) + 5 = 5 • + 4 = 15 + 4 = З 19. Число 5 не є коренем даного рівняння. Якщо X = 6 , то 5 • (6 - 2) + 4 = 5 • + 4 = 20 + 4 = 4 24. Число 6 є коренем даного рівняння. Якщо х = 7, то 5 (7 - 2) + 4 = 5 - + 4 = 25 + 4 =29. 5 Число 7 не є коренем даного рівняння. Якщо X = 8 , то 5 • (8 - 2) + 4 = 5 ■6 + 4 = ЗО + 4 = 34. Число 8 не є коренем даного рівняння. 2) 12 - 3(х - 5) = 6 . Якщо X = 5, то 12 - З • (5 - 5) = 12 - З • О = 12. Число 5 не є коренем даного рівняння. Якщо X = 6 , то 12 - З • ( 6 - 5) = 12 - З • 1 = 9. Число 6 не є коренем даного рівняння. Якщо X = 7, то 12 - З • (7 - 5) = 12 - З • 2 = 12 - 6 = 6 . Число 7 є коренем даного рівняння. Якщо X = 8 , то 12 - З • (8 - 5) = 12 - З ■З = 12 - 9 = 3. Число 8 не є коренем даного рівняння. 3) 12 + 3(х + 7) = 57. Якщо X = 5, то 12 + З • (5 + 7) = 12 + З • 12 =12 + 36 = 48. Число 5 не є коренем даного рівняння. Ятсщо X = 6 , то 12 + З ■(6 + 7) = 12 + З ■ 13 =12 + 39 = 51. Число 6 не є коренем даного рівняння. Якщо X = 7, то 12 + З • (7 + 7) = 12 + З • 14 =12 4- 42 = 54. Число 7 не є коренем даного рівняння. Якщо X = 8 , то 12 + З • (8 + 7) = 12 + З ■ 15 = 12 + 45 =57. Число 8 є коренем даного рівняння. 4) 9(х + 3) - 12 = 60. Якщо X = 5, то 9 • (5 + 3) - 12 = 9 • 8 - 12 = 72 - 12 = 60. Число 5 є коренем даного рівняння. Якщо X = 6 , то 9 • (6 + 3) - 12 = 9 ■9 - 12 = 81 - 12 = 69. Число 6 не є коренем даного рівняння. Якщо X = 7, то 9 • (7 + 3) - 12 = 9 ■ 10 - 12 = 90 - 12 = 78. Число 7 не є коренем даного рівняння. М АТЕМ АТИ КА , о. С. Істер Ш 319
    • Якщо л = 8 , то 9 • (8 + 3) - 12 = 9 • 11 - 12 = 99 - 12 = 87. Число 8 не є коренем даного рівняння. 7 1 1 . І сп о с іб . 2317 2317 5372 3029 _ 9 0 1 2 "^5372 ^ 712 В ід п о від ь: I I сп о сіб . 611 "^5983 7689 7689 3029 5983 9012 сума збільшиться на 1323. 1323 w .4 bo ok .o rg Відомо, що якщо один із доданків збільшити на дея712 ке число, то і сума збільшиться на це число. Очевид^ 611 но, що якщо збільшити обидва доданки відповідно _____ на числа а і Ь, то сума збільшиться на число а + Ь. 1323 В і д п о в і д ь : збільшиться на 1323. 7 1 2 . 1) 2 хв ■25 = З хв • (4 • 25) = З хв • 10 = 300 хв = 5 год; 5 год + 7 год = 12 год; 2) 16 діб : 2 = 8 діб; 8 діб - 17 год = 8 - 2 4 год - 17 год = 192 год - 17 год = 175 год; 3) 16 с ■ 150 = 2400 с = 40 хв; 40 хв + 13 хв = 53 хв; 4) 15 хв : 90 = (15 • 60) с : 90 = 900 с : 90 = 10 с; 10 с + 5 с = 15 с. 7 1 3 . 1) При множенні на 8 добуток закінчується нулем, якщо дру­ гий множник закінчується на О або на 5. Отже, остання цифра першого множника — це О або 5. Його перша цифра — це 1, бо при множенні на 8 тризначного числа ми отримали тризначне число. При множенні на другу цифру отримали чотиризначне число, це можливо, тільки якщо ця цифра — 9. Тоді друга цифра пер­ шого множника — це 1 або 2 . Маємо: 115 120 X X 98 920 w w ^ 1035 98 ^ 960 1080 11270 11760 2) У розряді одиниць дільника стоїть 4, бо 4 • 7 = 28. Тоді діль­ ник — це 14 або 24, а перша цифра частки — 2 або 1 відповідно. Перевіркою з ’ясовуємо, що дільник дорівнює 24, частка — 17, ділене — • 17 = 408. 408 24 24 17 168 168 0 320 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • § 2 1 . М ногокутни к та його п е р и м е тр . Тр и кутн и к . В и д и трикутників Ламану, кінець якої збігається з її початком,.| називають з а м к н е н о ю . Замкнену ламану, ланки якої не перетинають-1 ся, називають м н о г о к у т н и к о м , як і частину | площини, обмежену цією ламаною. A B C D E — многокутник (п’ятикутник), відрізки АВ, ВС, C D , D E , І А Е — його сторони; точки А , В , С , D , Е — вершини многокут­ ника. Кути ABC, B C D , C D E , D E A , E A B — кути многокутника. 1) .o 715. rg 1 ok 714. w .4 bo Види трикутників За сторонами: різн осторонн ій рівнобедрений w w За кутами; гострокутн и й прям окутни й туп окутн ий Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають б і ч н и м и с т о р о н а м и , а третю сторону — о с н о в о ю . Суму довжин усіх сторін многокутника називають його п е р и ­ мет ром . Властивості трикутників 1. Сума будь-яких двох сторін трикутника більша за третю] сторону. 2. Сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 11 УсіГДР.бї Ш 321 •Ш
    • Рис. 146 підручника — гострокутний різносторонній. Рис. 147 — прямокутний різносторонній. Рис. 148 — гострокутний рівносторонній. Рис. 149 — гострокутний рівнобедрений. Рис. 150 — прямокутний рівнобедрений. Рис. 151 — тупокутний рівнобедрений. 7 1 7 . 1) ДАВС. А В = 1 7 мм, А С = 14 мм, В С = 19 мм. Р AABL = А В + А С + В С = 17 мм + 14 мм + 19 мм = 50 мм = 5 см. , Z A B C = 45°, Z B C A = 60°, Z C A B = 75°. 45° + 60° + 75° = 180°. 2) ^ К М Ь . К М = 14 мм, K L = 26 мм, L M = 18 мм. = К М + K L + L M = 14 мм + 26 мм + 18 мм = 58 мм. Z M K L = 40°, / L K L M = 30°, Z K M L = 110°. 40“ -і- 30° + 110° = 180°. 716. 7 1 8 - 7 2 1 . Дивись № 717. Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається р і в н о - с т о р о н н ім . bo 722. ok .o rg У завданні 719 спочатку треба побудувати довільний кут із вершиною А . На сторонах кута від його вершини відкласти відрізки А В = 4 см і А С = 5 см. З ’єднати точки В і С . Отрима­ ємо трикутник A B C . У завданні 720 спочатку будуємо кут 105°, його вершину по­ значимо буквою Р , на сторонах візьмемо довільні точки L I T . З ’єднавши їх , отримаємо трикутник F L P . І w .4 Р = 5 + 5 + 5 = 3 - 5 = 15 (см). В і д п о в і д ь : 15 см. Периметр рівностороннього трикутника: Р = За, де а — сторона трикутника. - Р = За, а = Р : З, а = 36 : З = 12 (см). 12 см. 7 2 4 . Периметр восьмикутника дорівнює сумі всіх його сторін. Р = З см • 2 -Ь 4 см • 2 = 6 см -1 24 см = ЗО см. В і д п о в і д ь : ЗО см. 7 2 5 . Р = 5 см ■З -Ь 6 см ■З = (5 см + 6 см) • З = 11 см • З = 33 см. В і д п о в і д ь : 33 см. 7 2 6 . І с т .— 25 с м -------------723. w w В ід п о від ь: II ст. — в 2 рази більша III ст. — на 10 см менша — 1-Р = ? Р о з в ’я з а н н я . 1) 25 • 2 = 50 (см) — друга сторона; 2) 50 - 10 = 40 (см) — третя сторона; 3) Р = 25 -Ь 50 -І- 40 = 115 (см). В і д п о в і д ь : 115 см. 322 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 727. I с т .— 18 см II ст. — 24 см -Р = ? III ст. — на 5 см менша — Р о з в ’я з а н н я . w w w .4 bo ok .o rg 1 ) 2 4 - 5 = 1 9 (см) — третя сторона; 2) Р = 18 + 24 + 19 = 61 (см). Щ В і д п о в і д ь : 61 см. 7 2 8 . Р о з в ’я з а н н я . Позначимо невідому сторону за х . Оскільки периметр трикутннка дорівнює сумі всіх його сторін, маємо рівняння: ІЦ Ій 1200 = 380 + 570 + х 1200 = 950 + х; д: = 1200 - 950; х = 250. Отже, третя сторона дорівнює 250 м. В і д п о в і д ь : 250 м. 7 2 9 . Див. М- 728. 25 = 9 + 9 + х; 25 = 18 + х; X = 25 - 18; X = 7. Третя сторона дорівнює 7 см. В і д п о в і д ь : 7 см; трикутник рівнобедрениіі. 7 3 0 . а + Ь + 48. Якщо а = 42 дм, Ь = 5 7 дм, то 42 + 57 + 48 = (42 + 48) + 57 = = 90 + 57 = 147 (дм). В і д п о в і д ь : а + Ь + 48; 147 дм. 7 3 1 . Сума кутів трикутника дорівнює 180°, тому третій кут; 180° - (60° 4 40°) = 80°. В і д п о в і д ь : 80°. 7 3 2 . 180° - 40° = 140° — сума двох кутів. В і д п о в і д ь : 140°. 7 3 3 . 1) Р о з в ’я з а н н я . 50° + 10° = 60° — другий кут; 180° - (50° + 60°) = 180° - 110° = 70° — третій кут. В і д п о в і д ь : 70°. 2) Р о з в ’я з а н н я . У прямокутному трикутнику прямий кут дорівнює 90°. Маємо: 180° - (90° + 15°) = 180° - 105° = 75°. В і д п о в і д ь : 75°. 734. 5) М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 11« Ш 323
    • 735. Р о зв'я за н н я . w w w .4 bo ok .o rg 1 ) Р = 10 + 2 ■8 = 10 + 16 = 26 (дм). В і д п о в і д ь : 26 дм. 2) 40 - 18 = 22 (см) — сума двох бічних сторін; 22 : 2 = 11 (см) — бічна сторона. В і д п о в і д ь : 11 см. 7 3 6 . Р о з в ’я з а н н я . :§Ш* 1) 15 • 2 = ЗО (см) — сума двох бічних сторін; 2) 42 - ЗО = 12 (см) — основа. В і д п о в і д ь : 12 см. ІІЩ:; 7 3 7 . Р о з в ’я з а н н я . ЗО - 2 а . Якщо а = 11, то ЗО - 2 • 11 = ЗО - 22 = 8 (см). В і д п о в і д ь : ЗО - 2а; 8 см. 7 3 8 . (Р - 1 6 ): 2. Якщо Р = 40 см, то (40 - 16) : 2 = 24 : 2 = 12 (см). В і д п о в і д ь : (Р - 16) : 2; 12 см. 7 3 9 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 5 - 1 = 4 (см) — друга сторона; 2) 5 ■2 = 10 (см) — третя сторона; 3) 10 - 4 = 6 (см) — четверта сторона; 4 ) Р = 5 + 4 + 10 + 6 = 25 (см). В і д п о в і д ь : 25 см. 7 4 0 . Р о з в ’я з а н н я . Р = 10 + (10 - 1) + (10 - 2) + (10 - 3) + (10 - 4) = = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 40 (см). В і д п о в і д ь : 40 см. 7 4 1 . Порядок побудови: 1. Будуємо за допомогою транспортира кут 80°. Його вершину позначаємо А . Від точки А на одній стороні кута відкладає­ мо З см і ставимо точку В , на другій стороні відкладаємо 4 см і ставимо точку С. З ’єднаємо відрізком точки В і С. А А В С — шуканий. 2. Будуємо відрізок А В = 6 см. Прикладаємо транспортир так, щоб його се­ редина збігалася з точкою А , а відрізок А В проходив через О на ш калі транспортира. Ставимо позначку 50° і з точки А через цю позначку проводимо промінь. Аналогічно, з точки В будуємо кут 70°. Сторони кутів перетнуться у третій вершині трикутника С. А А В С — шуканий. 7 4 2 . Див. № 741. 7 4 3 . Р о з в ’я з а н н я . Позначимо першу сторону х см. Оскільки вона на 2 см менша від другої, то друга сторона дорівнює (х + 2) см. Перша сторона 324 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • на З см менша від третьої, тоді третя сторона — (х + 3) см. П е­ риметр, тобто сума всіх сторін, дорівнює 35 см. Маємо рівняння: X + ( х + 2 ) + ( х + 3 ) = 35; (х + х + х) + 2 + З = 35; Зх + 5 = 35; Зх = 35 - 5; Зх = ЗО; X = ЗО : 3; X = 10. Отже, перша сторона дорівнює 10 см, друга — 10 + 2 = 12 (см), третя — 10 + З = 13 (см). В і д п о в і д ь : 10 см, 12 см, 13 см. 744. Р о з в ’я з а н н я . Перша сторона — х см, друга сторона — 2х см, третя сторо­ на — (х + 8) см. X + 2х + (х + 8) = 48; X + 2х + X + 8 = 48; (1 + 2 + 1)х + 8 = 48; 4х + 8 = 48; 4х = 48 - 8 ; 4х = 40; х = 40 : 4; х = 10. Отже, перша сторона дорівнює 10 см, друга — 2 ■ 10 = 20 (см), а третя — 10 + 8 = 18 (см). В і д п о в і д ь : 10 см, 20 см, 18 см. Р о з в ’я з а н н я . rg 745. 746. Р о з в ’я з а н н я . ok .o Нехай основа дорівнює х дм. За умовою основа в 2 рази коротша від бічної сторони, тому бічна сторона дорівнює 2х дм. Р = X + 2х + 2х, що за умовою становить 45 дм. Маємо рівняння: X + 2х + 2х = 45; (1 + 2 + 2)х = 45; 5х = 45; х = 45 : 5; х = 9. Основа дорівнює 9 дм, бічна сторона — 9 • 2 = 18 (дм). В і д п о в і д ь : 9 дм, 18 дм, 18 дм. w .4 bo Нехай сторона рівностороннього трикутника дорівнює х см. Тоді Р = З х см. Тоді Зх - X = 42; (З - 1)х = 42; 2х = 42; х = 42 : 2; х = 21. Отже, сторона трикутника дорівнює 21 см. В і д п о в і д ь : 21 см. w w Трикутник існує, якщо сума будь-яких двох його сторін біль-1 ша від третьої сторони. Щоб з ’ясувати, чи існує трикутник з даними сторонами, до­ статньо перевірити, що сума двох менших сторін більша від більшої сторони. 1) 5 см -Н 7 см = 12 см. Сума двох сторін дорівнює третій стороні. Трикутник не існує. 2) 12 дм + 9 дм = 21 дм; 21 дм > 15 дм. Трикутник існує. 3) З см + 8 см = 11 см; 11 см < 13 см. Трикутник не існує. 7 4 8 . 1) 5 дм -І- 7 дм = 13 дм. Трикутник не існує. 2 ) 2 м + 3 м = 5 м . Трикутник не існує. 3) 4 см -t- 5 см = 9 см, 9 см > 8 см. Трикутник існує. 7 4 9 . На рис. 154: ДАБЛ, ДВОС, ^ P R C , A N E M , A A E N , А В Е М , A N M D . В і д п о в і д ь : 7 трикутників. На рис. 155: A A O D , А В О С , А А О В , D O K , А А В С , A A D C , A A B D , 747. ABDC, AAOL, ABOL, AD O K, АСОК. В і д п о в і д ь : 12 трикутників. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 325
    • Вправи для повторення 750. 1 )1 5 а -а = (1 5 -1 )а = 1 4 а . Якщо а = 97, то 14 • 97 = 1358. Якщо а = 28, то 14 • 28 = 392. 97 28 'і4 2) 19п + 16п = (19 + 16)п = 35п. Якщо п = 100, то 35 • 100 = 3500. Якщо я = 1 5 , то 3 5- 15 = 525. 35 X 14 388 + 15 112 175 97 28 35 1358 392 525 Р о зв’язання. 1) 260 - 12 = 140 (стор.) — набрав другий оператор; 2) 140 ~ 120 = 20 (стор.) — на стільки другий оператор набрав сторінок більше, ніж перший; 3) 300 ; 20 = 15 (грн.) — вартість набору 1 сторінки; 4) 15 • 120 = 1800 (грн.) — отримав перший; 5) 15 ■ 140 = 2100 (грн.) — отримав другі^й. Відповідь: 1800 грн.; 2100 грн. 7 5 2 . 1) Три пляшки олії та дві гирі на 1 кг та 2 кг важать стіль­ ки ж , скільки З гирі по З кг. Скільки важать 4 пляшки олії? Р озв’язання. Нехай,пляш ка важить х кг. Зх + 2 + 1 = З + З f 3; Зх + З = 9; З.Т = 9 - 3; Зх = 6 ; X = 6 : 3; л: = 2. 2 - 4 = 8 (кг). _ Відповідь: 8 кг. 2) Дві пляшки олії та гиря 1 кг важить 5 кг. Скільки важать 9 пляшок олії? Р о зв’язання. Нехай пляшка важить х кг. Тоді 2х + 1 = 5; 2х = 5 - 1; 2х = 4; X = 4 ; 2; X = 2. 2 • 9 = 18 (кг) — вага 9 пляшок. Відповідь: 18 кг. w w w .4 bo ok .o rg 751. § 2 2 . Прям окутник. К в адра т є п р я м о к у т н и к о м , тобто чотирикут­ ником, у якого всі кути прямі. ABCD J г 1.., Г А В = DC, A D = ВС. Р = 2а -Ь 2Ь = 2(а + Ь). Прямокутник, у якого всі сторони рівні, називається квадрат ом . Р = 326 Ш 4а. М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер D
    • 753. a = 26 мм, b = 1 1 мм. P = 2(a + b), + 11) = 2 • 37 = 74 ( m m ) , 74 мм = 7 см 4 мм. 7 см 4 мм. 7 5 4 . Р = 4а = 4 • 5 см = 20 см. В і д п о в і д ь : 20 см. 7 5 5 . Р = 4а = 4 • 6 см = 24 см. В і д п о в і д ь : 24 см. 7 5 6 . Р = 2(а + й) = 2 • (4 + 3) = 2 ■ 7 = 14 (см). В і д п о в і д ь : 14 см. 7 5 7 . Р о з в ’я з а н н я . 1 ) 8 + 2 = 10 (см) — друга сторона; 2) Р = 2 ■(8 + 10) = 2 ■ 18 = 36 (см). В і д п о в і д ь : 36 см. P = 2 ■ (26 В ід п о від ь: а Ь Р 8 дм 6 дм 28 дм 20 см 18 см 76 см 5 м 2 м 14 м rg 758. .o 1 ) Р = 2 (20 + 18) = 2 • 38 = 76 (см); 26; 28 = 2 • 8 + 2Ь; 28 = 16 + 2Ь; 2Ь = 2 8 - 16; 2Ь = 12; 2 ) Р = 2а - 4; 2а = 10; а = 5. (100 - 2Ь) ; 2. 2 = 56 : 2 = 28 (м). bo ok Ь = 6. 3 ) Р = 2 а + 2 Ь ; Ы = 2 а + 2 - 2; 14 = 2а + 4; 2а = 14 7 5 9 . Р = 2 а + 2Ь, 2 а = Р - 2Ь, а = ( Р - 2Ь) : 2 = Якщо Ь = 2 2 ш , то (100 - 2 • 2 2 ); 2 = (100 - 4 4 ): В і д п о в і д ь : (100 - 2Ь) : 2; 28 м. 7 6 0 . Р о з в ’я з а н н я . ■ 22 = 44 (дм). 44 : 4 = 11 (дм) — сторона w w w .4 Р = 2 ■ (8 + 14) = 2 квадрата. В і д п о в і д ь : 11 дм. 7 6 1 . Р о з в ’я з а н н я . Р = 2 • (8 + 12) = 2 1) 40 : 4 = 10 (см) В і д п о в і д ь : так. 2) Р, = 2 • (7 + 14) = В і д п о в і д ь : ні. 762. 20 = 40 (см) — довжина дроту, сторона квадрата. 2 • 21 = 42 (см), 42 40. Р о з в ’я з а н н я . 1) Перша сторона — х см, друга — (х + 3) см. (л: + (X + 3)) • 2 = 42; ( 2 х + 3 ) ■ 2 = 42; 2д: + 3 = 42 : 2; 2х + 3 = 21; 2д: = 21 - 3; 2л: = 18; х = 18 : 2; х = 9. Перша сторона — 9 см, друга — 9 + 3 = 12 (см). В і д п о в і д ь : 9 см, 12 см. 2) Перша сторона — х см, друга — 2х см. (х + 2х) • 2 = 42; Зх • 2 = 42; 6х = 42; х = 42 6 ; X = 7. Перша сторона 7 см, друга — 2 • 7 = 14 (см). В і д п о в і д ь : 7 см, 14 см. 763. Р о з в ’я з а н н я . Перяіа сторона — х дм, друга — (х - 2) дм. М АТЕМ А ТИ КА , о . с . Істер Ш 327
    • 40; (2x - 2) • 2 = 40; 2x - 2 = 40 : 2; 2x - 2 = 2 0; 2x = 20 + 2 ; 2x = 2 2 ; x = 22 : 2 ; x = 1 1 . Перша сторона — 11 дм, друга — 1 1 - 2 = 9 (дм). В і д п о в і д ь : 11 дм і 9 дм. 7 6 4 . Ні, не можна. Наприклад, периметр 40 см має квадрат зі сто­ роною 10 см, прямокутники зі сторонами 8 см і 12 см, 5 см і 15 см. ( x + ( x - 2)) ■ 2 = 765. Р о з в ’я з а н н я . Периметр квадрата дорівню є 4а, де а — сторона квадрата. За умовою 4а - а = 12; (4 - 1)а = 12; За = 12; а = 12 : 3; а = 4. В і д п о в і д ь : 4 см. Вправи для повторення + 47 26 9541 9541 125 4586 52 bo 130 (5273 - 4318) • 27 = 25 785; 955 4318 27 955 w .4 5273 + 6685 О 539682 37 37 14586 169 25785 'і4 8 w w 1910 4) 4711 125 65 256856 812 3) 3250 26 247315 ok 1421 2 )4 7 1 1 - 3250 : 26 = 4586; .o 203 203 = rg 1) 247 315 + 47 = 256 856; 766. (125 368 + 414 314) : 37 = 14 586. 125368 ^ 414314 539682 216 185 318 ~296 _222 222 Р о з в ’я з а н н я . ^ 1) 14 • З = 42 (км/год) — швидкість мотоцикліста; 2) 42 + 14 = 56 (км/год) — швидкість зближення; 3) 168 : 56 = З (год) — час до зустрічі. В і д п о в і д ь : через З год. 767. 328 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • § 2 3 . Рівні ф іг у р и .o А = D = F , в = Е , с = G. C D = 28 мм. Z A B C = 40°. ok 768. 770. 771. rg Дві фігури, які суміщаються при накладанні одна на одну, на­ зиваються р і в н и м и . В ідр ізк и , що мають однакові довж ини, рівні. Кути, що мають однакові градусні міри, рівні м іж собою. Два трикутники рівні, якщо їхн і відповід­ ні сторони і кути рівні. Наприклад, якщо ZA = Z P , Z B = Z Q , Z C = Z R , А В = P Q , В С = = Q R , С А = R P , то А А В С = A P Q R . І навпаки, якщо два трикутники рівні, то їхн і відповідні сторони і кути рівні. Прямокутники, що мають рівні сум іж н і сторони, рівні м іж собою. Рівні многокутники мають рівні периметри. bo 774. w w w .4 775. ZA = Z D , ZB = ZE, ZC = ZF. PQ = KL, QR = LM , PR = K M . 778. 1)A B = D E, BC = FE, AC = D E ,Z A = Z D , Z B = ZF, Z C = Z E . Отже, ААБС = AZ>f£. 2) K L = R S , L M = S Q . Отже, K L M N = R S Q P . ІИАГЕМ АТИКА. O . C . Істер Ш 329
    • З см З см bo ok З см 782. .o rg 779. ^ABC = A K L M . У рівних трикутників відповідні кути і сторони рівні. Z C = Z M = 40°. В С = L M = 5 см, A C = K M = 4 см. В і д п о в і д ь : В С = 5 см, А С = 4 см, ZM = 40°. 7 8 0 . A M N L = ААВС. У рівних трикутників відповідні кути і сторони рівні. M L = А С = 8 см; Z L = Z M = 50°; Z B = Z N = 20°. В і д п о в і д ь : M L = 8 см, ZA = 50°, Z B = 20°. 7 8 1 . Р о з в ’я з а н н я . Оскільки прямокутники A B C D і K L M N рівні, то їх відповідні сторони теж рівні. А В = K L = 8 см. Нехай В С = х см, тоді 2(х + 8 ) = 40; X + 8 = 40 : 2; X + 8 = 20; jc = 20 - 8 ; X = 12. В С = 1 2 см, C D = А В = 8 см, AD = В С = 1 2 см. В і д п о в і д ь : 8 см і 12 см. З см w w w .4 Так, існує. Це прямокутник зі сторонами З см і 6 см. Його м ож ­ на поділити на два квадрати зі стороною З см. їх периметри: Р = 4 ■З = 12 (см). В і д п о в і д ь : так, існують; 12 см. 18 X Вправи для повторення 37 7 8 3 . 1) (473 + X ) : 37 = 18; 666 473 + X = 18 ■37; 473 + X = 66 6; 54 '4 7 3 X - 666 - 473; “ б66 ”193 X = 193; 1015 35 2) ( X - 37) • 35 = 1015; X - 37 = 1015 : 35; '70 X - 37 = 29; 315 X = 29 + 37; X = 66. 315 О 7 8 4 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 252 : 4 = 63 (в.) — зліпили три кухарки за 1 год; 2) 63 ; З = 21 (в.) — продуктивність праці кухарки; 3) 21 ■2 = 42 (в.) — ліплять дві кухарки за годину; 4) 294 : 42 = 7 (год) — час на виконання роботи. В і д п о в і д ь : 7 годин. 330 Ш МАТЕМАТИКА. О. с. істер
    • § 2 4 . П л о щ а п р я м о к у тн и к а і к в а д р а та Одиниці площі; 1 мм", 1 см", 1 м", ... 1 га = 10 О О м" О 1 см" = 100 мм" 1 га = 100 а 1 дм" = 1 0 0 см" 1 км" = 1 О О ООО м2 О 1 м" = 100 дм" = 10 О О см" О 1 км" = 100 га 1 а = 100 м" Площа квадрата: Площа прямокутника: S = а" S = ab R X X ш X ё о С 1) 28 см2; 2) 20 см^; 3) 28 см^. 1) S = 25 • 20 = 500 (см^); 2) З м = ЗО дм, S = ЗО ■25 = 750 (дм=^). Відповідь: 1) 50 см^; 2) 750 дм^. 7 8 7 . 1) S = 14 • 8 = 112 (дм"); 2) 5 см = 50 мм, S = 50 • 34 = 1700 (мм^) = 17 см^ Відповідь: 1) 112 дм^; 2) 17 см". 788. 1) S = 8" = 64 (мм"); 2 ) 8 = 14^ = 196 (см");3)S = 5" = 25 (дм^). 789. 1) S = 12" = 144 (см"); 2) S = 15" = 225 (см"). 7 9 0 . Р озв’язання. 1 ) 1 2 + 2 = 14 (см) — друга сторона прямокутника; 2) S = 12 • 14 = 168 (см"). Відповідь: 168 см". 7 9 1 . Р озв’язання. 1) 15 - З = 12 (см) — друга сторона; S = 15 • 12 = 180 (см"). Відповідь: 180 см". 2) 8 • 5 = 40 (дм) — друга сторона; S = 8 • 40 = 320 (дм"). Відповідь: 320 дм". 792. w .4 bo ok .o rg 785. 768. 1 мм^ 1 1 см^ 1 00 1 1 дм^ — 1 00 1 1 а р ------------ > 1г а ------------- > 1 км 1 2 100 разів. 1) а = 14 мм, Ь = 2 8 мм. Р = 2(а + Ь) = 2 • (14 + 28) = 2 ■42 = 84 (мм); S’ = 14 • 28 = 392 (мм"). 2) а = 14 мм. Р = 4а = 14 • 4 = 56 (мм); S = а" = 14" = 196 (мм"). 3) а = 14 мм, Ь = 19 мм. Р = 2 • (14 + 19) = 2 • 33 = 66 (мм); S = 14 ■ 19 = 266 (мм"). 7 9 4 . Потрібно накреслити квадрат, а потім, як у № 793, виміряти його сторону й обчислити його периметр і площу за формулами Р = 4а і S = а". w w В ід п о в ід ь: у 793. 795. Р о з в ’я з а н н я . 4а, де а — сторона квадрата. 4а = 20 м, а = 5 м, S = а" = 5" = 25 (м"). В і д п о в і д ь : 25 м". Р = 796. Р о з в ’я з а н н я . S = а ■ Ь, звідси Ь = S : а , а = S : Ь. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 331
    • 13 см 25 дм 15 см 36 дм 24 см 20 см 900 дм2 360 см2 260 см2 S S = 15 • 24 = 360 (см^); Ь = 260 : 13 = 20 (см); а = 900: 36 = 25 (дм). 7 9 7 . Р о з в ’я з а н н я . 840 35 840 : 35 = 24 (см). 70 24 В і д п о в і д ь : 24 см. «««<• 7 9 8 . Р о з в ’я з а н н я . 140 1) 4 • 4 = 16 (м^) — площа першої кімнати; 140 2) 4 ■6 = 24 (м^) — площа другої кімнати; 3) 16 + 24 = 40 (м^) — кількість паркету. В і д п о в і д ь : 40 м^. 7 9 9 . Р о з в ’я з а н н я . S = 11^ = 121 (дм"). Квадратна пластина площею 1 дм^ — це і є одиниця вимірю­ вання 1 дм^. а rg Ь І w w w .4 bo ok .o В і д п о в і д ь : 121 пластина. 8 0 0 . 1) 17 дм^ = 1700 см2; 5 = 50 О О см^; 1200 мм^ = 12 см^; О 2) 7 га = 70 ОО м"; 15 а = 1500 м^; З а 27 м^ = 327 м^; О 3) 12 га = 1200 а; З га 4 а = 304 а; 2400 м^ = 24 а; 4) 370 О О = 37 га; 42 О О а = 420 га; З км^ = З О О О О м^ = 300 га. О О О О 8 0 1 . 1) 17 га = 170 ООО м^; 8 а = 800 м^; З га 2 а = ЗО 200 м^; 4200 дм2 = 42 м2; 2) 12 дм^ = 1200 см2; 3 = ЗО О О см^; 27 ООО мм^ = 270 см^; О 3) 2700 м2 = 27 а; 14 га = 1400 а; 4) 340 О О м2 = 340 га; 5200 а = 52 га; 5 км2 = 5 О О О О м2 = 500 га. О О О 8 0 2 . 1) 4 дм^ = 4 1 дм2 = 4 • 100 см2 _ 4QQ = 8 • 100 дм2 = 800 дм2; 2) 8 м2 = 8 ■ 1 3) 12 см2 = 8 ■ ;^оО мм2 = 800 мм2; 4) 8 а = 8 • 100 м2 = 800 м2; 5) 18 га = (18 • 10 ООО) м2 = 180 О О м2; О 6) 5 км2 = (5 ■ 1 ООО ООО) м2 = 5 О О ООО м^; О 7) 2 м2 = (2 ■ 100 • 100) см2 ^ 20 О О см2; О 8) 7 дм2 = (7 • 100 • 100) мм2 = 70 О О мм2. О 8 0 3 . Р о з в ’я з а н н я . 720 1) 720 - 80 = 640 (м) — ширина ділянки; 640 2) S = 720 м • 640 м = 460 800 м2 = 4608 а. 288 В і д п о в і д ь : 4608 а. 8 0 4 . Р о з в ’я з а н н я . 432 1) 600 - 350 = 250 (м) — ширина ділянки; 460800 2) S = 600 м • 250 м = 150 О О м2 = 150 га. О В і д п о в і д ь : 15 га. 8 0 5 . Р о з в ’я з а н н я . S = a b , b = 9 0 0 ^ , a = S : b . 54 га = 540 О Ом2; а = 540 ООО: 900 = 600 (м). О В і д п о в і д ь : 600 м. 332 ш М АТЕМ АТИ КА . О . С. Істер
    • 806. Р о з в ’я з а н н я . S = af), а = ЗО м, &= S : а; 12 а = 1200 м^; Ъ = 1200 : ЗО = 40 (м). В і д п о в і д ь : 40 м. 807. Р о з в ’я з а н н я . 1) 120 • 50 = 6000 см^ — площа однієї плити, 6000 см^ = 60 дм^; 2) 96 • З = 288 (м^) — площа доріж ки, 288 = 28 800 дм^; 3) 28 800 : 60 = 480 (плит). Отже, для покриття доріж ки потрібно 480 плит. В і д п о в і д ь : 480 плит. 808. Р о з в ’я з а н н я . Периметр прямокутника дорівнює сумі всіх його сторін. Тоді сума двох сум іж них сторін (довжини і ширини) дорівнює по­ ловині периметра. шш. І .o rg 1) 116 : 2 = 58 (см) — довжина двох сум іж них сторін; 2) 58 - 38 = 20 (см) — друга сторона; 3) S = 38 • 20 = 760 (см^) — площа прямокутника. В і д п о в і д ь : 760 см^. 809. Р о з в ’я з а н н я . Р о з в ’я з а н н я . bo ok 1) 56 : 7 = 8 (см) — одна зі сторін; 2) 56 : 2 - 8 = 20 (см) — друга сторона; 3) S = 8 • 20 = 160 (см^) — площа прямокутника. В і д п о в і д ь : 160 см^. 810. w w w .4 1) 16 • З = 48 (см) — периметр трикутника і квадрата; 2) 48 : 4 = 12 (см) — сторона квадрата; 3) S = 122 ^ 144 В і д п о в і д ь : 144 см^. 8 1 1 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 6 дм = 60 см; 2 • (32 + 60) = 2 • 92 = 184 (см) — периметр пря­ мокутника і квадрата; 2) 184 : 4 = 46 (см) — сторона квадрата; 3) S = 462 = 2116 (см2). В і д п о в і д ь : 2116 см^. 812. 1) 19 мм 1) Sj = 21 • 24 = 504 (мм2); 2) Sj = 19 • 15 = 285 (см2); 3) S = 504 -Ь 285 = 789 (мм^). В і д п о в і д ь : 789 мм^. 21 X 24 мм Розділимо фігуру на два прямокутники. Оскільки площа фігура дорівнює сумі площ її частин, то площа нашої фігури дорівнює сумі площ цих двох прямокутників. 24 X 19 15 “84 І 42 ш ш 19 333
    • 1) = 2 V = 441 (MM^); 2) S , = 7" = 49 (MM^); 3) S = 441 + 49 = 490 (mm^. В і д п о в і д ь : 490 мм“. 21 мм I Площа заштрихованої фігури дорівнює різниці площ великого і маленького квадратів. 813. в 1) І с п о с і б , С 5 Розділимо фігуру на два прямокутни­ ки. 0 —0 4 -9 ‘-АВСК ‘■ C F ^F D .= А В А К = 6 ■ 8 = 4 8 (cm"); C D = ВІЗ -- БС = 12 ~ 8 = 4 (см); S^cuE = CD • = 4 ■ 12 48 (см^); S = 48 + 48 = 96 (см2). 6 см 12 C M К rg 8 см .o /1 J F ( 12 CM w .4 F bo 6 см 8 CM Добудуємо фігуру до квадрата ABCZ). Тоді S = = 12^ = 144 (см^); А Е = А В - B E = 1 2 - 6 = 6 (см); = A E ■ E F = 6 ■ 8 = 4 8 (cm"); S = 144 - 48 = 96 (cm"). В і д п о в і д ь : 96 см". ok I I сп о сіб . в 12 см w w 2)Добудуємо фігуру до прямокутни­ 10 ка ABCD. Тоді площа фігури дорів­ нює різниці прямокутника A B C D і квадрата зі стороною З см. ВС = 10 -Ь З -Ь 5 = 18 (см); ^лвсп = 10 ■ 18 = 180 (см"). S = З" = 9 (см"); S"= 180 - 9 = 171 (см"). В і д п о в і д ь : 171 см". ' 2) 90 О О см" = 9 м~; О 8 1 4 . 1) 17 см" = 1700 мм"; 4) 270 га = 27 ООО а. 3) 1500 м" = 15 а; 2) 18 м" = 180 О О см"; О 8 1 5 . 1) 5 га З а = 503 а; О 3) 213 мм" = 2 см" 13 мм"; 4) 20 О О м" = 200 а. 816. Р о з в ’я з а н н я . 1) 20 • 5 = 100 (м") — площа однієї теплиці; 100 м" = 1 а. 2) 2 га = 200 а; 200 а : 1 а = 200. В і д п о в і д ь : 200 теплиць. 334 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 817. Р о з в ’я з а н н я . 1) 2) 3) 4) 90 ■ 120 = 10 800 (м^) — площа ділянки; 10 800 = 108 а; 108 : З = 36 (а) — площа меншої ділянки; 36 • 2 = 72 (а) — площа більшої ділянки. В і д п о в і д ь : 36 а; 72 а. 818. Р о з в ’я з а н н я . 1) 1200 • 650 = 780 ООО (м-) = 78 га — площа поля; 2) 125 • 78 = 9750 (кг). В і д п о в і д ь : 9750 кг. 8 1 9 . 1) 5 дм; 2) 6 см; 3) 10 мм. 820. ^ Р о з в ’я з а н н я . 822. .o rg 1) 2 • 8 = 16 (см^) — площа прямокутника і квадрата; 2) 4 CM — сторона квадрата, оскільки 4^ = 4 ■4 = 16; 3 ) Р = 4 - 4 = 16 (см) — периметр квадрата. В і д п о в і д ь : 16 см. 8 2 1 . Ні, не означає. Наприклад, площу 24 см^ мають прямокут­ ники зі сторонами 2 см і 12 см, 4 см і 6 см, З см і 8 см і т. д. Р о з в ’я з а н н я . 16 : 4 = 4 (см) — ширина першого прямокутника; S = 4 ■ 16 = 64 (см“) — площа прямокутника; 64 : 2 = 32 (см) — довжина другого прямокутника; 8 • 8 = 64, тому 8 см — сторона квадрата. В і д п о в і д ь : 32 см; 8 см. Р о з в ’я з а н н я . bo 823. ok 1) 2) 3) 4) w w w .4 Ширина — м; довжина — (л: + 10) м. 25 Р = (л: + (д: + 10)) ■2 = (2х + 10) • 2 = 4 х + 20; х 4х + 20 = 120; А х = 120 - 20; 4л: = 100; _ 4х = 100 ; 4; л: = 25. ^ 127 Отже, ширина прямокутника 25 м, 75 ------його довжина — 25 + 10 = 35 (м). S = 25 • 35 = 875 (м=). 875 В і д п о в і д ь : 875 м^ 8 2 4 . Р о з в ’я з а н н я . Ширина — X дм; довжина — Зх дм. Р = 2(х + Зх) = 2 ■4х = 8х; 8х = 80; х = 80 :8 ; х = 10. Отже, ширина прямокутника 10 дм, довжина —З • 10 = ЗО (дм). S = 10 ЗО = 300 (дм=). В і д п о в і д ь : 300 дм^. 8 2 5 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай ширина прямокутника а см. Тоді його площа = 20а (см^). Після збільшення ширина дорівнює ( а + 2) см. Тоді його площа стане = 20(а + 2) = 20а + 40 (см). Отже, площа збільшиться на 40 см^. В і д п о в і д ь : збільшиться на 40 см^. М АТЕМ А ТИ КА , о. С . Істер Ш 335
    • 826. Р о з в ’я з а н н я . 1) 800 • 3 = 2400 (м) — довжина ділянки; 2) S = 800 • 2400 = 192 О О(м^) — площа ділянки. 192 О О = 192 га; О О 3) 480 т = 4800 ц; 4800 : 192 = 25 (ц) — зібрали з 1 га. В і д п о в і д ь : 25 ц /га. 827. Р о з в ’я з а н н я . Ширина — см, довжина — (х + 9) см. 9)) = 2(2д: + 9) = 4х + 18; 4д: + 18 = 66; 4л: = 66 - 18; 4х = 48; X = 48 : 4; X = 12. Отже, ш ирина прямокутника дорівнює 12 см, а його довж и ­ на — 12 + 9 = 21 (см). S = 12 • 21 = 252 (см^). 252 : 3 = 84 (см^). В і д п о в і д ь : 84 см-. Ж X Р = 2 ( х + {х + 828. Р о з в ’я з а н н я . I I bo ok .o rg Нехай сторона квадрата ABCD дорівнює а . Тоді сторона квадра­ та D K P L дорівнює 2 а . ^ABCD ^DKPL • 4 = 8а = 2 • (4а). Отже, периметр збіль­ шився у 2 рази. ^ABCD ~ ^DKPL ~ (2а)^ = 2 а ■2 а = 4а^. Площа збільшилась у 4 рази. Збільшимо тепер сторону квадрата ABC-D у т разів: т а . Р = 4 ■ т а = т ■ 4 а . Периметр збільшився у т разів. S = ( m a f = т а ■ т а = ( т ■ т ) ■ ( а ■ а ) = т^ ■ а^. Площа збільш и­ лась у т ‘‘ разів. Якщо сторону квадрата збільшити в т разів, то його периметр теж збільшиться в т разів, а площа — в т^ разів. Висновок: 38 см2 і 33 .4 829. w w Треба порахувати спочатку цілі квадратики і половинки. Дві половинки становлять цілий квадратик. 830. Р о з в ’я з а н н я . w З м З м З м З м Сторона квадрата дорівнює З м, оскільки 3 - 3 = 9. З 8 квадратів прямокутник можна скласти двома способами. У першому випадку його довжина дорівнює 3 - 4 = 12 (м), а ш и­ рина — 3 - 2 = 6 (см). Тоді Р = 2 ■ (12 -Ь 6) = 2 - 18 = 36 (см). У другому випадку довжина прямокутника дорівнює 8 - З = 24 (м), а ширина — З м. Р = 2 - (24 -Н 3) = 2 - 27 = 54 (м). В і д п о в і д ь : 36 м або 54 м. 336 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • Р о з в ’я з а н н я . ok .o rg Вправи для повторення 8 3 1 . Р о з в ’я з а н н я . а = 2 • 42 - 72 = 84 - 72 = 12 (см); = (12 + 2 2 ): 2 = 34 : 2 = 17 (см); с = Р - (а + {.) = 42 - (12 + 17) = (42 - 12) - 17 = ЗО - 17 = 13 (см). В і д п о в і д ь : 12 см, 17 см, 13 см. 8 3 2 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 192 : 48 = 4 (год) — час до зустрічі; 2) 52 ■4 = 208 (км) — проїхав другий автобус до зустрічі; 3) 208 + 192 = 400 (км) — відстань м іж містами. В і д п о в і д ь : 208 км, 400 км. а = 329 - 172 = 157; 415 8 3 3 . 1) 6 = 172 + 415 = 587; 172 329 с = 729 + 157 = 886; 729 d = 729 + 415 = 1144. 8 2) а = 714 : 7 = 102; b = 2 9 ■ 7 = 203; 714 d с = 29 • 8 = 232; d = 102 ■8 = 816. 29 8 3 4 . 1) У трьох населених пунктах мешкає 7404 ж ителі. У друго­ му — у 2 рази менше, ніж у першому, і у З рази менше, ніж у тре­ тьому. Скільки людей мешкає в кожному населеному пункті? w w w .4 bo Нехай у другому населеному пункті мешкає х ж ителів, тоді в першому їх 2х, а в третьому — Зх. Маємо рівняння: 2 х + х + З х = 7404; 1234 1234 (2 + 1 + 3) • X = 7404; ^ 2 ^ 3 ______ ______ 6 х = 7404; X = 7404 : 6; X = 1234. 2468 (ж .) 3702 (ж .) В і д п о в і д ь : 1234, 2468 і 3702 жителів. 2) У трьох музичних школах навчається 2356 учнів. У першій школі у З рази менше учнів, ніж у другій, а в другій — у 5 разів менше, ніж у третій. Скільки учнів навчається в кожній школі? Р о з в ’я з а н н я . 2356 19 124 124 Нехай у першій школі 124 15 навчається х учнів, тоді ____ 45 372 (уч.) ^ 620 в другій — Зх учнів, в тре­ тій — 5 • (Зх) = 15х учнів. 'з в 124 Тоді X + Зх + 15х = 2356; 1860 (уч.) (1 -І- З + 5) • X = 2356; 76 19х = 2356; X = 2356 : 19; х = 124. О В і д п о в і д ь : 124 учні, 372 учні, 1860 учнів. 8 3 5 . Кількість коробок буде найменшою, якщо їх вага буде най­ більшою із можливих. 7 - l - 7 - H 7 + 7 - t - 7 - b 7 - H 5 - l - 5 - t - 5 + 5 = 7- 6 - b 5 - 4 = 42 -(-20 = 62. В і д п о в і д ь : 6 коробок по 7 кг і 4 коробки по 5 кг. Ш Ш Ш Ш Ш М А ТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 337
    • § 2 5 . Прямокутний п а р а л е л е п іп е д . Куб. П ірам іда N — прямокутний паралелепіпед. Його поверхня складається з прямокутників, які називаються його г р а н я м и . Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда попарно рівні. Точки А , В , С , D , М , N , Р , К — вершини; відрізки АВ, В С , C D , A D , K M , M N , P N , K P , A K , B M , C N , D P — ребра парале­ лепіпеда. A B C D і M N P K — основи, A K = B M = C N = D P ~ висоти па­ ралелепіпеда. Три ребра, які виходять з однієї вершини прямокутного пара­ лелепіпеда (довжина, ширина, висота), — виміри а, Ъ, с. Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда — це сума площ; усіх його граней. S = 2 (а Ь + Ъс + а с ) Прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні, називаєть­ ся к у б о м . Грані куба — рівні квадрати. Площа поверхні куба: S = 6а^. 836. w .4 bo ok .o rg ABCDM NPK = 6 • 49 = 294 (см^). = 72 = 49 (см=^). S = 6 ■ 49 см^; 294 см^. 1) 2 ■ 12 = 24 (см): 2) 5 • 12 = 60 (дм); 3) 13 • 12 = 156 (мм). В ідп о від ь: w w 837. Куб має 12 рівних ребер. 8 3 8 . Поверхня куба складається з 6 рівних граней; S = 25 • 6 = 150 В і д п о в і д ь : 150 см^. 8 3 9 . Р о з в ’я з а н н я . а = 2 см. Сума довжин ребер: 12 • 2 = 24 (см). 5 = 6 -2^ = 6 - 4 = 24 (см^). В і д п о в і д ь : 24 см; 24 см^. 8 4 0 . 1) D H E A , A E F B , C G F B , D H G C , A B C D , H E F G ; 2) D H , А Е , B F , C G , A D , Е Н , F G , В С , D C , H G , E F , А В ; 3) А, В , С , D , Е , F , G , Н-, 4) А Е , E F , F B , А В ; 5) AD, G F , С В ; 6) A B C D ; 7) D H E A , D H G C , H G F E ; 8) A B C D і A E F B . 338 Ш М АТЕМ АТИКА. О . С . Істер
    • Поверхня п і р а м і д и складається з основи ( A B C , M N K F ) і бічних граней — прямокутників зі спільною вершиною. S , Р — вершини піраміди. Сторони трикутників — ребра піраміди. 1) 7; 2) 12. 1) 5; 2) 8. : = 72 (см2); = 12 • З = 36 (см^); = 6 6 = 18 (см^). ^CGFB - ^ 8 4 4 . Р о з в ’я з а н н я . У прямокутного паралелепіпеда 12 ребер, по 4 однакових, тому сума всіх ребер дорівнює 4 • (З + 6 + 12) = 4 ■21 = 84 (см). Протилежні грані у паралелепіпеда рівні, тому S = 2 ( B F F G + B F ■А В + E F G F ) = 2 {Z Q + г 1 2 + Q 2 ) = = 2 • (18 + 36 + 78) = 2 • 132 = 264 (см^). В і д п о в і д ь : 84 см; 264 см^. 8 4 5 . S = 2 ( a b + а с + b e ). 1) S = 2 • (5 • З + 5 • 2 + З 2) = 2 • (15 + 10 + 6) = 2 • 31 = 62 (см^); 2) S = 2 • (З • 4 + З • 7 + 4 • 7) = 2 • (12 + 21 + 28) = 2 ■61 = = 122 (см2). В і д п о в і д ь : 62 см^; 122 см^. 8 4 6 . (8 + 5 + 3) • 4 = 16 • 4 = 64 (см). В і д п о в і д ь : 64 см. 8 4 7 . Р о з в ’я з а н н я . 1) Sj = З • 1 = З (см2); = 1 . 2 = 2 (см^); «з = 2 • З = 6 (CM-); 2) (З + 2 + 6) • 2 = 11 • 2 = 22 (см2). В і д п о в і д ь : 1) З см^, 2 см^, 6 см^; 2) 22 см^. w w w .4 bo ok . or g 841. 842. 843. У № 849 спочатку потрібно виміри звести до однієї одиниці вимірювання довж ини, а потім скористатися формулою S = 2 (а Ь + а с + Ьс). І 8 4 9 . 1) 1 м = 100 см, 2 дм = 20 см. S = 2 • (100 20 + 100 • 40 + 20 40) = 2 ■(2000 + 4000 + 800) = = 2 • 6800 = 13 600 (см2). 13 600 см2 = 130 д^2 В і д п о в і д ь : 136 дм2. М АТЕМ АТИ КА , о . С. Істер Ш 339
    • 2) 5 CM = 50 мм, 1 дм = 100 мм. S = 2 • (80 • 50 + 80 • 100 + 50 ■100) = 2 • (4000 + 8000 + 5000) = = 2 ■ 17 ОО = 34 О О (мм"). О О 34 ООО мм" = 340 см". В і д п о в і д ь : 340 см". 850. Р о з в ’я з а н н я . 2 • 4 = 8 (см"); 2) 4 • 7 = 28 (см"). В і д п о в і д ь : 1) 8 см"; 2) 28 см". 8 5 1 . У куба всі ребра рівні, їх 12, тому кожне ребро дорівнює 60 дм : 12 = 5 дм. В і д п о в і д ь : 5 дм. 8 5 2 . Н і. Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається з піести попарно рівних прямокутників. 8 5 3 . 8 = 2 - (120 + 70 + 84) = 2 • 274 = 548 (см"). В і д п о в і д ь : 548 см". 8 5 4 . Одна з граней піраміди — основа, решта — бічні грані. Отже, бічних граней 2016. Стільки ж сторін має многокутник основи. В і д п о в і д ь : 2016. 8 5 5 . Кількість бічних граней дорівнює кількості сторін основи. Отже, бічних граней 27, усього граней 28. В і д п о в і д ь : 28. 8 5 6 . Прямокутний паралелепіпед має 12 ребер, по 4 рівних між собою. Маємо 4 трійки ребер, що виходять з однієї вершини. Сума їх довжин дорівнює 36 : 4 = 9 (дм). В і д п о в і д ь : 9 дм. 857. Р о з в ’я з а н н я . bo ok .o rg 1) w w w .4 1) 15 - 5 = 10 (см) — ширина; 2) 15 • 2 = ЗО (см) — довжина; 3) 4 • (15 + 10 + ЗО) = 4 • 55 = 220 (см) — сума довжин усіх ребер; 4) S = 2 • (15 • 10 + 15 ■ЗО + 10 • ЗО) = 2 • (150 + 450 + 300) = = 2 • 900 = 1800 (см"); 1800 см" = 18 дм". В і д п о в і д ь : 220 см; 18 дм". 8 5 8 . У прямокутного паралелепіпеда 4 ребра довжиною а , 4 реб­ ра довжиною Ь і 4 ребра довжиною с; тоді L = 4а + 46 + 4с, L = 4(а + Ь + с ). В і д п о в і д ь : L = 4(а + Ь + с ). 859. Р о з в ’я з а н н я . 1) 2 • (80 • 50 + 80 ■ 40 + 50 • 40) = 2 • (4000 + 3200 + 2000) = = 2 • 9200 = 18 400 (см") — плош;а поверхні бака з кришкою; 2) 80 • 50 = 4000 (см") — площа кришки; 3) 18 400 - 4 0 0 0 = 14 400 (см") — площа поверхні бака без кришки; 4) 14 400 • 2 = 28 800 (см") — площа, яку треба пофарбувати. В і д п о в і д ь : 28 800 см" = 288 дм". 860. Р о з в ’я з а н н я . S = 2 • 20 • 40 + 2 • 50 • 40 = 1606 + 4000 = 5600 (см"). 340 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • Скляними є 4 бічні грані акваріума, дві з вимірами 20 см Н ______________________________ Ц і 40 см, дві — 50 см і 40 см. В і д п о в і д ь : 5600 см^ = 56 дм^. 8 6 1 . 1) Так. Основа — 1000-кутник. 2) Ні. Кількість усіх ребер піраміди вдвічі більша за кількість с т о -И рін многокутника основи, тому число ребер піраміди — парне. Д 1) Ні. 2) Так. В основі лежить 125-кутник. 862. 863. Р о з в ’я з а н н я . 864. rg 1) 12 : 3 = 4 (см) — висота; 2) 12 - З = 9 (см) — ширина; 3) 2 • (12 • 4 + 12 ■9 + 4 • 9) = 2 • (48 + 108 + 36) = 2 • 192 = = 384 (см^) — плош,а поверхні паралелепіпеда і куба; 4) 384 : 6 = 64 (см^) — площа грані куба; 5) 8 • 8 = 64, тому 8 см — ребро куба. В і д п о в і д ь : 8 см. Р о з в ’я з а н н я . 865. Р о з в ’я з а н н я . bo ok .o Нехай X — ребро меншого куба. Тоді його плош;а поверхні дорівнює бд:^. 2 х — ребро більшого куба. Площа його поверхні 6 ■( 2 х У = 6 ■2л: • 2л: = 2 4 х ^ . Отже, площа поверхні більшого куба в 4 рази більша за площу поверхні меншого. В і д п о в і д ь : у 4 рази. w w w .4 S = 2 • (80 • 70 + 80 ■ 50 + 70 • 50) = 2 • (5600 + 4000 + 3500) = = 2 • 13 100 = 26 200 (см2); 26 200 см2 = 262 дм2; 262 • З = 786 (г) — кількість фарби. В і д п о в і д ь : 786 г. 8 6 6 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює х см, тоді його ширина дорівнює 2 х см, а довжина — Зл: см. Маємо рівняння: (х + 2 х + Зх) • 4 = 288; 6х ■4 = 288; 24х = 288; х = 288 ; 24; х = 12. Отже, висота дорівнює 12 см, ширина — 2 • 12 = 24 (см), дов­ жина — З •12 = 36 (см). S = 2 • (12 ■ + 12 • 36 + 24 • 36) = 2 • (288 + 432 -І- 864) = 24 = 2 ■ 1584 = 3168 (см2). 24 36 ^ 12 48 288 Ш Ш 72 72 288 432 Ш 1584 В і д п о в і д ь : 3168 см^. +432^ 144 36 24 Ш 36 ^12 ^24 864 2 з іб 8 1584 864 Ш Ш Ш Ш Ш : М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 341 iSij Щ
    • Вправи для повторення 867. Р о з в ’я з а н н я . 1) 2) 3) 4) 16 • 4 = 64 (ш .) — вичинив за перші 4 години; 106 - 64 = 42 (ш .) — решта; 42 : 14 = З (год) — час, за який вичинив решту; 4 + З = 7 (год) — час на вичинку всіх шкур. В і д п о в і д ь : 7 год. 8 6 8 . 1) Три бригади працювали в саду. Друга бригада зібрала 321 кг яблук, це на 720 кг менше, ніж перша, і у 2 рази мен­ ше, ніж третя. Скільки всього було зібрано яблук? Р о зв'я за н н я . Р о з в ’я з а н н я . ok .o rg І бр. — на 720 кг більше — | І-? II бр. — 321 кг -1--------------1 ^ III бр. — у рази бі.яьше ------1) 321 + 720 = 1041 (кг) — зібрала І бригада; 2) 321 ■2 - 642 (кг) — зібрала II бригада; 3) 1041 + 321 + 642 = 2004 (кг) — зібрано яблук. В і д п о в і д ь : 2004 кг. 2) У Сергійка в колекції на 12 марок менше, ніж у Андрійка, і у З рази менше, ніж у Івана Івановича. Скі.пьки марок у трьох колекціях разом, якщо в Івана Івановича 405 марок? w w w .4 bo Андрійко — ? * ----------------------------------------------* Сергійко — у З рази менш е,— | на 12 м енш е— h? ^ Іван Іванович — 405 марок —' J 1) 405 : З = 135 (м.) — у Сергійка; 2) 135 + 12 = 147 (м.) — у Андрійка; 3) 135 + 147 + 405 = 687 (м.) — у трьох колекціях. В і д п о в і д ь : 687 марок. 8 6 9 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 14 - 12 = 2 (год.) — рухався автобус до виїзду автомобіля; 2) 85 ■2 = 170 (км) — проїхав автобус за 2 год.; 3) 870 - 170 = 700 (км) — відстань, яку проїхали автобус та ав­ томобіль, рухаючись одночасно; 4) 85 -І- 90 = 175 (км/год) — швидкість зближення; 5) 700 : 175 = 4 (год.) — час руху автомобіля до зустрічі; 6) 14 год. + 4 год. = 18 год. — час зустрічі. В і д п о в і д ь : о 18 год. 8 7 0 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай в одному бідоні х л молока, тоді у другому — 2х л моло­ ка, а разом — (х + 2 х ) л, що за умовою дорівнює 48 л молока. Маємо рівняння: X + 2х = 48; (1 + 2) • X = 48; Зх = 48; х = 48 : 3; х = 16. Отже, в першому бідоні 16 л молока, а у другому — 16 • 2 = 32 (л). В і д п о в і д ь : 16 л і 32 л. 342 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 871. Р о з в ’я з а н н я . 40 - а - 15 або 40 - (а + 15) = (49 - 15) - а = 2 5 - а . Якщо а = 8, то 25 - 8 = 17 (см). Якщо а = 5, то 25 - 5 = 20 (см). Сума двох сторін дорівнює третій стороні, трикутник не існує. Якщо а = 21, то 25 = 21 = 4 (см). Тоді 4 4 15 < 21, тобто сума двох сторін менша від третьої сто­ рони. Трикутник не існує. В і д п о в і д ь : 25 - а; якщо а = 5 або а = 21, то трикутник не існує. § 2 6 . О б ’є м п р я м о к у т н о г о п а р а л е л е п і п е д а і к уба or g О д и н и ц я о б ’є м у — об’єм одиничного куба, тобто куба, ребро | якого дорівнює одиниці довжини. Одиниці об’єму: ok . і 1 літр О б ’є м п р я м о к у т н о г о п а р а л е л е п і п е д а дорівнює добутку трьох його вимірів: V=abc Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи S на висоту h: 1) У = а" = 2^ = 8 (см^); 2) F = а * = 5" = 125 (см^); = w 877. F = 2 • 5 • 8 = 80 (см^); 2) У = З • 4 • 2 = 24 (дм**). 4 см^ 2) 4 смЗ; 3) 4 см^; 4) 7 см=; 5) 12 см^ 6 м *; 2) 8 = У = 15 • 20 • ЗО = 900 (см’); 2) У = 2 • 15 • 40 = 1200 (м^*). F = аЬс = 12 • 15 8 = 1440 (см^); afcc = 10 • 17 • 21 = 3570 (дм^. w .4 1) 1) 1) 1) 1) 2) F = 872. 873. 874. 875. 876. bo V=Sh О б ’є м к у б а : V = а ■ а ■ а = а^. w 3) F = а^ = 3 * = 27 (м'О. = 8 7 8 . 1) F = аЗ = 7^ = 329 (мм»); 2) F = F = 8 • 7 ■2 = 112 (м^). В і д п о в і д ь : 112 м^ 879. X 881. Р о з в ’я з а н н я . = 12^ = 1728 (см^). 8 8 9 . Р о з в ’я з а н н я . 1) F = 4® = 64 (см'О; 2) 64 • 9 = 576 (г). В і д п о в і д ь : 576 г. 8 8 2 . Р о з в ’я з а н н я . 1) F = аЬс = 8 • 2 • 1 = 37^ 1) F = S /г = 12 • 4 = 48 (см^); = 16 (дм^); + 2) F = S /г = 28 • 2 = 56 (дм^). 2) 16 ■630 = 10 080 (г). 8 8 3 . F = Sft = ЗО • 4 = 120 (м^). В і д п о в і д ь : 10 кг 80 г. 1008С) В і д п о в і д ь : 120 м^. 8 8 4 . Кожна одиниця об’єму більша за попередню в 1000 разів. 1 мм" = 1 ООО ООО дм"; 1 м^ = 1 ООО ООО см^ М АТЕМ А ТИ КА , о . с . Істер Ш 343
    • 8 8 5 . 1) 13 дм^ = 13 ООО см^; 3 = 3 О О О О см^; 5000 мм>* = 5 см^; О О 2) 12 = 12 ООО дм^; 6000 см® = 6 дм^; 7 л = 7 дм®; 3) 4000 см® = 4 дм® = 4 л; 8 дм® = 8 л; 5 м® = 5000 л. 8 8 6 . 1) 8000 мм® = 8 см®; 15 дм® = 15 ООО см®; 7 м® = 7 ООО ООО см®; 2) 15 л = 15 дм®; 18 О О см® = 18 дм®; 13 м® = 13 ООО дм®; О 3) 27 ОО см® = 27 л; 14 дм® = 14 л; 8 м® = 8000 л. О F = 6® = 216 (см®) — об’єм одного 887. 6 СМ куба; 216 • 8 = 1728 (см®). В і д п о в і д ь : 1728 см®. 6 СМ 6 СМ w .4 bo ok .o rg 8 8 8 . Р о з в ’я з а н н я . 1) У = 10 • 5 • 4 = 200 (м®) — об’єм сараю; 2) 200 : 10 • 6 = 120 (ц) — маса сіна. В і д п о в і д ь : 120 ц. 8 8 9 . Р о з в ’я з а н н я . = 5® = 5 ■ 5 • 5 = 125 (см®); = 2® = 8 (дм®); 8 дм® = 8000 см®; 8000 : 125 = 64. В і д п о в і д ь : у 64 рази. 8 9 0 . Р о з в ’я з а н н я . = 4® = 64 (см®); F^ = 12® = 1728 (см®); : Fj = 1728 : 64 = 27. В і д п о в і д ь : у 27 разів. 8 9 1 . Р о з в ’я з а н н я . V = S k , звідки S = F : /г. S = 90 : З = ЗО (м"). В і д п о в і д ь : ЗО м^. S = V : h w w 1) S = F ; /г = 780 : 12 = 65 (см^); 2) 520 дм® = 520 О О см®; S = F : /г = 520 О О 40 = 13 О О (см2); О О О 13 ООО см2 ^ 130 дм2. В і д п о в і д ь : 1) 65 см^; 2) 130 дм^. 8 9 3 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 25 ■12 = 300 (м^) — площа основи; 2 ) V = S h , h = V - . S = 1200 : 300 = 4 (м). В і д п о в і д ь : 4 м. 8 9 4 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 60 : З = 20 (м^) — площа підлоги; 2) 20 : 5 = 4 (м) — ширина; 3) (З ■4 + З • 5) • 2 = (12 + 15) ■2 = 27 2 = 54 (м^) — площа стін. В і д п о в і д ь : 4 м; 20 м^; 54 м^. 8 9 5 . Р о з в ’я з а н н я . 1) F = 8 ■5 • З = 120 (м®); 2 ) 1 2 0 : : 20 = 6 (м®); 3) S = 5 • 8 = 40 (м^); 4) 40 20 = 2 (м2), Відповідь: на 1 учня припадає 2 м^ площі і 6 м® повітря. м'* 344 Ш М АТЕМ АТИ КА. О. С. Істер
    • 8 9 6 . Р о з в ’я з а н н я . Fj = 8 • 10 • 12 = 960 (cm"); = 2 > = 8 (cm^); 960 : 8 = 120 (куб.). = В і д п о в і д ь : 120 кубиків. 8 9 7 . Р о з в ’я з а н н я . 1) V^ = 5 ^ = 125 (см") — об’єм кубика; 125 • 10 = 1250 (см^). В і д п о в і д ь : 1250 см^. 2) 125 • 14 = 1750 (см"). В і д п о в і д ь : 1750 см. 8 9 8 . Р о з в ’я з а н н я . 64 64 Ш'-:X X F = 4^ = 64 (см") — об’єм одного кубика. 45 14 <*УА*У 1) 5 • 3 • 3 = 45 — кількість кубиків; 64 • 45 = 2880 (см"). 320 В і д п о в і д ь : 2880 см". 64 256 2) 14 — кількість кубиків; 64 ■ 14 = 896 (см"). “8 ^ "^ 0 В і д п о в і д ь : 896 см". 8 9 9 . 1) 8 дм" 115 см" = 8000 см" + 115 см" = 8115 см"; 2) 15 дм" 18 см" = 15 ООО см" + 18 см" = 15 018 см"; 3) 15 см" 8 мм" = 15 ООО мм" + 8 мм" = 15 008 мм"; 4) 17 м" 2 дм" = 17 ООО дм" + 2 дм" = 17 002 дм" = 17 002 л; 5) 5 м" 112 дм" 217 см" = 5 ООО ООО см" + 112 О О см^ + 217 см" = О = 5 112 217 см"; 8) 8 дм" 5 см" 12 мм" = 8 ООО О О мм'* + 5000 мм" + 1 2 мм" = О = 8 005 012 мм". 9 0 0 . 1) 7 см" 129 мм" = 7129 мм"; 2) 17 дм" 8 см" = 17 008 см"; 3) 25 м" 12 дм" = 25 012 л; 4) 8 дм" 115 см" 2 мм" = 8 115 002 мм". 9 0 1 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 1 м 70 см = 17 дм; 4 ) F = 1 7 10 • 8 = 1360 (дм"); 1360 дм" = 1360 л. 2) 1 м = 10 дм; 3) 80 см = 8 дм; В і д п о в і д ь : 1360 л. 9 0 2 . Р о з в ’я з а н н я . F = 2 • 3 • 5 = 30 (м"); 3 м" = 3000 дм" = 3000 л. 3000 • 1 кг = 30 О О кг = 30 т. О В і д п о в і д ь : 30 т. 2) 2 м 50 см = 520 см; 9 0 3 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 2 м 20 см = 220 см; V = 250" = 15 625 ООО (см") = 4 м = 400 см; = 15 625 (дм"); 1 м 50 см = 150 см; 250 62500 Fj = 220 400 • 150 = 250 250 = 1 320 ООО (см") = 13 200 (дм"); 125 3125 88000 220 w w w .4 bo ok .o rg Ш Ж X 400 88000 + 150 440 50 1250 62500 15625000 88 13200000 М АТЕМ АТИ КА , о . с . Істер Ш 345
    • 3) 13 200 дм^ = 13 200 л; 15 625 дм" = 15 625 л; 15 625 л > 13 200 л; В і д п о в і д ь : другий резервуар містить 2425 л. 9 0 4 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 40 см = 4 дм; 60 см = 6 дм. S = 4 • 6 = 24 (дм^) — площа дна акваріума; 2) 12 ■8 = 96 (л) — об’єм води; 3) F = S • /г, звідси Л = F : S , Л = 96 : 24 = 4 (дм). В і д п о в і д ь : 4 дм. 9 0 5 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 70 ■45 ■60 = 189 О О (см^) — об’єм води; О 45 X 15625 13200 2425 (л) 3150 189 ООО см^ = 189 л. X 70 60 w w w .4 bo ok .o rg 3150 189000 2) 189 : 9 = 21 (в.) — кількість відер води. В і д п о в і д ь : 21 відро. 9 0 6 . Р о з в ’я з а н н я . Об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами 9 см, З см і 1 см дорівнює У = 9 ■З • 1 = 27 (см^). Ребро куба з тим самим об’ємом дорівнює З см, оскільки З® = 27. Площа поверхні паралелепіпеда S = 2 • (9 ■З + 9 • 1 + З ■ 1) = 2 ■(27 + 9 + 3) = 2 ■39 = 78 (см^). Площа поверхні куба S = 6 -3^ = 6 - 9 = 54 (см^). 78 см^ > 54 см’, 78 - 54 = 24 (см^). В і д п о в і д ь : З см; площа поверхні паралелепіпеда на 24 см^ біль­ ша за площу поверхні куба. 9 0 7 . Р о з в ’я з а н н я . Площа поверхні куба дорівнює S = 6а^, тобто 6а^ = 150; = 25; а = 5 (см). Тоді F = 5^ = 125 (см^). В і д п о в і д ь : 125 см^. 9 0 8 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай ребро куба дорівнює а, тоді його об’єм дорівнює V = а^. Після збільшення ребро куба дорівнює 2 а , тоді його об’єм Fj = (2а)’ = 2а • 2а • 2а = 8а'’. Об’єм куба збільшився у 8 разів. В і д п о в і д ь : у 8 разів. 9 0 9 . Задачу розв’язано в підручнику. 9 1 0 . Р о з в ’я з а н н я . Об’єм більшого паралелепіпеда: Fj = 50 • 80 • 40 = 160 О О (см^). О Об’єм меншого паралелепіпеда: = 40 ■ЗО • 10 = 12 О О (см^). О Об’єм деталі: 160 О О см^ + 12 О О см^ = 172 ООО см'* = 172 дм^. О О 172 • 5 = 860 (дм^). В і д п о в і д ь : 172 дм^; 860 дм^. 346 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 9 1 1 . Р о з в ’я з а н н я . Добудуємо деталь до паралелепіпеда й обчислимо об’єм як р із­ ницю об’ємів добудованого та вирізаного паралелепіпедів. 12 15 У, = 8 12 15 = 1440 (см^). X < = 10 • 12 • 4 = 480 (см^). 96 8 V = V - V = 1440 - 480 = 960 (см^). 'її) ^6 960 • 8 = 7680 (г) — маса деталі. 135 В і д п о в і д ь : 7689 г. 912. 1440 Р о з в ’я з а н н я . .o rg 1) 8 ■4 • 2 = 64 (см®) — об’єм бруска мила; зменш ені вимі2) 8 : 2 = 4 (ом), 4 : 2 = 2 (см), 2 : 2 = 1 (см) ри бруска; 3) 4 • 2 • 1 = 8 (см^) — об’єм бруска, що залишився; 4) 64 - 8 = 56 (см^) — витратили за 14 днів; 5) 56 : 14 = 4 (см®) — витрачали за 1 день; 6) 8 : 4 = 2 (дні) — на стільки залишилось мила. В і д п о в і д ь : на 2 дні. Вправи для повторення Р о з в ’я з а н н я . ok 913. 914. Р о з в ’я з а н н я . w .4 16 - 8 = 8 (год.) — час руху першого поїзда; 70 ■8 = 560 (км) — проїхав перший поїзд; 8 - З = 5 (год.) — час руху другого поїзда; 65 • 5 = 325 (км) — проїхав другий поїзд; 560 - 325 = 235 (км) — відстань м іж поїздами о 16 год. В і д п о в і д ь : 235 км. 9 1 5 . 1) (4х + 5х) ■ 13 = 1404; 1404 113 4 х + 5 х = 1404 : 13; 13 108 (4 + 5 ) х = 108; 9 х =108; 104 X = 108 : 9; 104 х = 12; w w 1) 2) 3) 4) 5) bo (185 + 3) : 14 = 188 : 14 = 13 (ост. 6). Перевірка: 185 : 13 = 14 (ост. 3). В і д п о в і д ь : на 13. О 2) ( 7 х ~ X ) : 12 = 315; 7х - X = 315 • 2; (7 - 1)х = 3780; 6х = 3780; X = 3780 : 6; X = 630. В і д п о в і д ь : 1) 12; 2) 630. X 315 12 + 3780 '3 6 630 “б ^ 18 315 18 3780 о
    • 9 1 6 . Р о з в ’я з а н н я . 1 ^91 м II част. — (6 jc) m J х + &х = 91; (1 + 6)л: = 91; 7х = 91; х = 19 : 7; х = 13. Отже, перша частина дорівнює 13 м, а друга — 13 • 6 = 78 (м). 78 - 13 = 65 (м) — різниця. В і д п о в і д ь : на 65 м. 9 1 7 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай порожня банка важить х г, тоді цукор важить (6х) г. Р а­ зом вони нажать 3 кг 500 г = 3500 г. X + 6х = 3500; (1 + 6)х = 3500; 7х = 3500; х = 3500 : 7; х = 500. 500 • 6 = 3000 (г) = 3 кг. В і д п о в і д ь : 3 кг. Р о з в ’я з а н н я . Z A O B — розгорнутий, Z A O B = 180°. ZAOB = ZAO M + Z M O N + ZNOB; Z M O N = Z A O B - (Z A O M + Z N O B ) = 5 . Р о з в ’я з а н н я . 180° - (80° + 40°) = bo = 180° - 120° = 60°. В і д п о в і д ь : В. ok А. .o Домаш ня самостійна робота № 5 1 . В і д п о в і д ь : Г. 2 .Р = 4 • 7 = 28 (см). В і д п о в і д ь : Б. 3 .S = 9 • 4 = 36 (см^). В і д п о в і д ь : Б. rg I част, — х м w .4 1) 20 • 2 = 40 (см) — друга сторона; 2) 40 - 8 = 32 (см) — третя сторона; 3) Р = 20 + 40 + 32 = 92 (см). В і д п о в і д ь : А. 6 . Р о з в ’я з а н н я . w w F = 5^ = 125 (см^) — об’єм куба; 125 • 9 = 1125 (г) — маса куба. В і д п о в і д ь : В. 7 . Р о з в ’я з а н н я . Z A O M = 2 • Z K O M = 2 • 29° = 58°; Z A O B = 2 • Z A O M = 58° • 2 = 116°. В і д п о в і д ь : Г. Q. Р о з в ’я з а н н я . Рівні прямокутники мають рівні периметри, отже, P ^ lmn ~ Тоді сума двох сум іж них сторін K L і K N дорівнює половині периметра: K L + K N = А2 : 2 = 2 1 (см). = 21 - 8 = 13 (см). В і д п о в і д ь : В. 9. Р о з в ’я з а н н я . L = 4 (а + Ь + с), а + Ь + с = L : 4 = 6 0 : 4 = 1 5 В і д п о в і д ь : В. 348 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер (см).
    • 1 0 . Р о з в ’я з а н н я . Н ехай довж ина найменш ої сторони х см, тоді друга сторона дорівнює (х + 2) см, а третя — (х + 4) см. Периметр дорівнює л + (х + 2) + (х + 4) = Зх + 6 або ЗО см. : Зх + 6 = ЗО; Зх = ЗО - 6; Зх = 24; х = 24 : 3; х = 8. В і д п о в і д ь : Б. v.% w % 1 1 . Кількість ребер піраміди може бути парним числом. В і д п о в і д ь : А. 1 2 . Р о з в ’я з а н н я . F = 2 • 4 ■8 = 64 (см^). = 64, а = 4, бо 4 • 4 ■4 = 64. В і д п о в і д ь : Б. Завдання для перевірки знань № 5 (§§ 19— 26) Р = 4 ■ 17 = 68 (см); 5 = 17^ = 289 (см^). В і д п о в і д ь : 68 см; 289 см^. 2 . Р о з в ’я з а н н я . ok .o 1) 12 : 2 = 4 (см) — друга сторона; 2) Р = 2 • (12 + 4) = 2 ■ 16 = 32 (см); 3) S = 12 ■4 = 48 (см^). В і д п о в і д ь : 32 см; 48 см^. rg А . Р о з в ’я з а н н я . 3 . Р о з в ’я з а н н я . 4 .Z A O B = 60°, 60° + 10° = 70°. bo S = 6 ■42 = 6 • 16 = 96 (дм^); F = 43 = 64 (дмЗ). В і д п о в і д ь : 96 дм^; 64 дм^ w .4 5 .1 ) 15 дм2 = 1500 см^; 2) 8 дм** = 8000 см^ 6 .F = 8 ■ 5 • 10 = 400 (дм"). 7 . Р о з в ’я з а н н я . w w 1) 7 - 2 = 5 (см) — друга сторона; 2) 7 + 5 = 12 (см) — сума двох сторін; 3) 18 - 12 = 6 (см) — третя сторона. В і д п о в і д ь : 6 см. В. Р о з в ’я з а н н я . / Л О В = 180° — розгорнутий. / Л О В = / А О К + / К О В , / К О В = 180° - 120° = 60°; / Л О В = / Л О М + / М О В , / Л О М = 180° - 135° = 45°; / Л О В = / Л О М + / М О К + / К О В , / М О К = 180° - (60° + 45°) = = 180° - 105° = 75°. В і д п о в і д ь : 75°. 9. Р о з в ’я з а н н я . 1) 90 : (6 • 3) = 90 : 18 = 5 (см) — ширина; 2) L = 4(а + Ь + с) = 4 ■(6 + З + 5) = 4 • 14 = 56 (см). В і д п о в і д ь : 56 см. М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер Ш 349
    • 1 0 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай сторони прямокутника дорівнюють а Ь. Тоді його пло­ ща S = аЬ. Збільшимо сторону а у 8 разів, а сторону Ъ зменшимо в 2 рази. Тоді площа стане = 8а ■ (t> : 2) = S a b : 2 = 4а&. Отже, площа збільшиться в 4 рази. В і д п о в і д ь : збільшиться у 4 рази. 11 ■ Р о з в ’я з а н н я . 1) F = 8 ■4- 2 = 64 (дм^); 2) а® = 64, а = 4 дм — ребро куба; 3 )5 = 2 ( 8 - 4 + 8 - 2 + 4 - 2 ) = 2 (32 + 16 + 8) = 2 - 5 6 = 112(дм=*); 4) б • 4^ = 6 • 16 = 96 (дм^); 5) = 4 • (8 + 4 + 2) = 4 • 14 = 56 (дм); 6) l ” = 12 • 4 = 48 (дм). rg РОЗДІЛ 2 . ДРОБОВІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ § 2 7 . Звичайні д р о б и .o — — звичайний дріб. Ь bo ok Число Ь, записане під рискою дробу, називається з н а м е н н и к о м д р о б у і показує, на скільки частин поділили ціле (одиницю). Число а — ч и с е л ь н и к д р о б у , воно показує, скільки взяли та­ ких частин. 1) — — одна шоста; 6 — знаменник, показує, що ціле поді6 лили на 6 частин; 1 — чисельник, показує, що взяли одну таку частину. w .4 918. w w 2) — — одна восьма; 8 — знаменник, показує, іцо ціле поділи8 ли на 8 частин; 1 — чисельник, показує, що взяли одну таку частину. 2 3) - — дві п ’ятих; 5 — знаменник, показує, що ціле поділили 5 на 5 частин; 2 — чисельник, показує, що взяли 2 таких частини. 13 4) — — тринадцять сімнадцятих; 17 — знаменник, показує, що ціле поділили на 17 частин; 13 — чисельник, показує, що взяли 13 таких частин. 12 5) — — дванадцять п ’ятнадцятих; 15 — знаменник, показує, 15 що ціле поділили на 15 частин; 12 — чисельник, показує, що взяли 12 таких частин. g 6) — — три сьомих; 7 — знаменник, показує, що ціле поділили на 7 частин; З — чисельник, показує, що взяли З таких частини. 350 Ш М АТЕМ АТИ КА . О. С. Істер
    • 9 1 9 . Усе молоко (ціле) розділили на 4 рівні частини. К ожна ди ­ тина одержала 1 таку частину, тобто — всього молока. 4 В ідп о від ь: Рис. 122 - Рис. 223 ~ 4 - . Рис. 224 — 6 8 .o 923. rg 4 9 2 0 . Ділянку поділили на 5 частин, отж е, кожна частина — це 1 З — ш ляху. Більша бригада ремонтувала З ч а сти н и , а мен5 2 ^ т а відповідно 2 частини — —. 5 0 . 2 В ід п о від ь: — 1 — 5 5 1 3_ 5 6 ) 28 9 2 1 . 1) і ; 2) 4) 3) 20 100 115 12’ 7’ 4 3 1 . 9 2 2 . 1) і ; 2) 4) 3) 13’ 8’ ok Рис. 225 — - . Рис. 226 — . Рис. 227 — - . З 10 9 Рис. 228 — 92І. > 5 2 Рис. 229 ~ w .4 924. 2 bo Спочатку треба визначити, на скільки частин поділено коло, записати це число в знаменник дробу. Потім визначити, скіль­ ки таких частин зафарбовано, число записати в чисельник. ' 13 1 24 1 100 - . Рис. 230 — - . Рис. 231 — 8 6 > 317 w w 1 7 І 926. 2) 1) — м = 1 м : 100 = 100 см : 100 = 1 см; 100 1000 3) ^ т = 1 т : 1000 = 1000 кг : 1000 = 1 кг; доби = 1 год.; 4) ^ год. = 1 хв. 927. 1) — гри. =1 коп.; 2) — — кг = 1 г; 3) — хв. = 1 с. 100 1000 60 928. Р о з в ’я з а н н я . 1 ■ Одне дерево становить — усіх дерев, а 13 — 13 . — оО ои В ід п о від ь: ЗО М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 351
    • Знаходж ення дробу від числа Щоб знайти дріб від числа, потрібно спочатку число розділити на знаменник дробу, так ми визначимо одну частину. Потім отримане значення треба помножити на чисельник. 2 Наприклад, знайдемо -- від 15: О Н 15 : З = 5 — значення і ; 5 • 2 = 10. шш ШІнша форма запису: и 929. І . І ..І... — від 10 ом 10 : 2 = 5 (см); 2 5 см І 1 і І І 2 rg І^ .o 2 — від 10 см 10 : 5 = 2 (см), 2 - 2 = 4 (см); 5 4 см , І І 2 І І І - ok о 7 bo — від 10 см 10 : 5 = 2 (см), 2 - 3 = 6 (см); 5, 6 см І з І І І І І g — від 10 см 10 :10 = 1 (см), 930. - І ^ ,7 см, І І І w .4 І ^ І І - ^ І 1 - 7 = 7 (см). 7 І- І 12 см від 12 см 12 : 2 = 6 (см); w w ^ ^ 15 : З • 2 = 10. І 6 см І 1 І І І 2 від 12 см 12 : з = 4 (см), 4 - 2 = 8 (см); ^ ^ . 8 см І ^ І І І 2 Іg — ВІД 12 см 12 : 4 = з (см); 4 З см 1 — ВІД 12 см 12 : 6 = 2 (см), 2 - 5 = 10 (см). ® 352 Ш 10 см М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 931. — зелений ^ „ о — червонии Q 932. 2) 1 C = M 1) 1 мм = — см; 10 4) 1 кг = км; 3) 1 м = 1000 м; 100 100 ц; 5)1ц = ^ т ; 933. 8) 1 к о п .= доби; 1) 1 см = ^ 100 1 2) 1 дм = — м; дм; 4) 1 кг = 6) 1 с = 5) 1 хв = — год; 60 т; 360 год. 1 2 5 7 -----; за 2 год. — - ; за 5 год. — - ; за 7 год. — - . 8 За 1 г о д . 8 bo 935. За 1 год. 1000 ok . 3) 1 г = — — кг; 1000 934. грн. or g 7) 1 год = ^ 1 6 2 ; за 2 г о д . 6 8 8 5 ; за 5 год. — - . 6 На тарілці лежить 6 тістечок, 5 із них — заварні. Яку час­ тину всіх тістечок становлять заварні? 937. w .4 936. Р о з в ’я з а н н я . w 1) 2 м 40 см = 240 см; 2) 240 : 6 = 40 (см) — пішло на плаття. В і д п о в і д ь : 40 см. 938. Р о з в ’я з а н н я . w 1) ЗО : 5 = 6 (уч.) — становить і ; 5 2) 6 • З = 18 (уч.) — дівчата. 18 дівчат. 939. 2 = 40 (м); В ід п о від ь: 1) — від 60 м, 60 : з = 20 (м), 20 З 2) - від 60 м, 60 : 4 = 15 (м), 15 • 3 = 45 (м); 4 3) — від 60 м, 60 : 12 = 5 (м), 5 • 7 = 35 (м); 12 4) — від 60 м, 60 : 15 = 4 (м), 4 • 13 = 52 (м). 15 М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 12 УсіГДР, б к л . Ш 353
    • 9 4 0 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 360 : 9 = 40 (км) — значення — шляху; 9 2 2) 40 ■2 = 80 (км) — значення — шляху; 3) 360 - 80 = 280 (км) — залишилось проїхати. В і д п о в і д ь : 280 км. 9 4 1 . Р о з в ’я з а н н я . 1) З кг 600 г = 3600 г; 2) 3600 : 6 = 600 (г) — відрізали Івану; 3600 : 9 = 400 (г) — відрізали Марії; 4) 3600 - (600 + 400) = 2600 (г) — залишилось. В і д п о в і д ь : 600 г; 400 г; 260 г = 2 кг 600 г. А ' 2 JO j ' 3 ^ ; D , 10 , ' 7 6 ; В Ї0 10 , .o Відрізок від о до 1 поділено на 10 рівних частин. Тоді одна по1 „ . 2 . ділка відповідає числу — , 2 поділки — — і т. д. 1) 90° : 5 = 18°, 18° • З = 54°; 2) 180° : 6 = 30°, 30° • 5 = 150°. 944. w .4 bo 943. ok І ; С rg 942. 1 1) Оскільки 1 м = 10 дм, то 1 дм = ~ w w Оскільки 1 м = 100 см, то 1 см = 5 дм 2 см = 52 см = 100 З м, З дм = — м. м, 52 100 1 З Оскільки 1 м = 1000 мм, то 1 мм = ------- м, З мм= -------- м; 1000 1000 155 1 см 55 мм = 155 мм = 1000 2) Оскільки 1 год. = 60 хв., то 1 хв. = — год., 5 хв. = — хв.; 60 60 7 7 хв. = — год. 60 Оскільки 1 год. = 3600 с, то 1 с = — — год., 15 с = год.. 3600 3600 185 3 хв. 5 с = 185 с = год. 3600 354 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 945. 1) Оскільки 1 т = 1000 кг, то 1 кг = 15 кг = 1000 т, 321 ц = 1000 т, т. 1 4 Оскільки 1 т = 1 0 ц , а 1 т = 1000 кг, то 1 ц = — т, 4 ц = — т, .... 10 10 7 ц = — т, З ц 12 кг = 312 кг = 10 2) 1000 Ш Оскільки 1 год. = 60 хв., то 1 хв. = — год., 7 хв. = — 60 60 312 5 хв. 12 с = 312 с = ------- год. 3600 Р о з в ’я з а н н я . 1) 144 : 8 = 18 (гр.) — становить год., 5 с = год. год., or g Оскільки 1 год. = 3600 с, то 1 с = 946. т. ok . О 2) 18 • 3 = 54 (гр.) — зібрав Сергій; 3) 144 : 16 = 9 (гр.) — становить Р о з в ’я з а н н я . w .4 947. bo 16 4) 5 ■9 = 45 (гр.) — зібрав Іван; 5) 144 - (54 + 45) = 144 - 54 - 45 = 90 - 45 = 45 (гр.) — зібрав Петро. В і д п о в і д ь : 45 грибів. 1) 180 : 18 = 10 (км) — становить — відстані; 18 2) 10 5 = 50 (км) — проїхав автобус за першу годину; w w 3) 180 ; 12 = 15 (км) — становить — відстані; 12 4) 15 • 5 = 75 (км) — проїхав автобус за другу годину; 5) 180 - (50 + 45) = 180 - 125 = 55 (км) — проїхав автобус за третю годину. В і д п о в і д ь : 55 км. 948. Р о з в ’я з а н н я . 1) 800 : 5 = 160 (м^) — площа - двору; 5 2) 160 • 2 = 320 (м^) — дитячий майданчик; 3) 800 - 320 = 480 (м^) — решта п лощі; 4) 480 : 8 = 60 (м^) — площа — решти двору; 8 5) 60 • З = 180 (м^) — площа автостоянки. В і д п о в і д ь : 180 м^. М АТЕМ АТИ КА , 12* о. С . Істер Ш 355
    • 949. Р о з в ’я з а н н я . 1) 240 : 12 = 20 (кг) — становить — всіх цукерок; 12 2) 20 • 5 = 100 (кг) — продали першого дня; 3) 240 - 100 = 140 (кг) — решта цукерок; 4) 140 : 7 = 20 (кг) — становить і решти; 5) 20 • З = 60 (кг) — продали другого дня; 6) 100 + 60 = 160 (кг) — продали за 2 дні. В і д п о в і д ь : 160 кг. 950. Р о з в ’я з а н н я . 36 : 6 = 6 (см) — шоста частина довжини; 6 • 5 = ЗО (см) — ширина; ЗО : З = 10 (см) — третя частина ширини; 10 • 2 = 20 (см) — висота; F = 36 • ЗО • 20 = 21 600 (см^). В і д п о в і д ь : 21 600 см®. or g 1) 2) 3) 4) 5) bo ok . Знаходж ення числа за його дробом Щоб знайти число за його дробом, спочатку треба значення дробу розділити на чисельник, так ми визначимо одну части­ ну. Потім отримане значення треба помножити на знаменник дробу. Так знайдемо все число. w .4 Наприклад: відомо, що — яблука важать 100 г. Скільки ва­ жить яблуко? ® 5 8 _ І Р о з в ’я з а н н я . І I I І І І ___І 100 г w w Оскільки — яблука важать 100 г, то — важить у 5 разів мен8 8 ше: 100 : 5 = 20 (г). Тоді все яблуко важить у 8 разів більше, ніж 20 г: 20 ■8 = 160 (г). Р о з в ’я з а н н я . ^ 1) 36 : З = 12 (с.) — становить — книжки; 951. 2) 12 • 7 = 84 (с.) — кількість сторінок у книзі. 84 сторінки. В ід п о від ь: 952. Р о з в ’я з а н н я . 1) 24 : 2 = 12 (л) — становить — молока; О 2) 12 • 5 = 60 (л) — молока в бідоні. В і д п о в і д ь : 60 л. 356 М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 953. Р о з в ’я з а н н я . 1) 42 : 6 = 7 (накл.) — становить — наклейок Іванки; 2) 7 • 7 = 49 (накл.) — у Олі; 3) 49 > 42, 49 - 42 = 7 (накл.). В і д п о в і д ь : у Олі на 7 наклейок більше. 954. 1) 2) 3) 4) Р о з в ’я з а н н я . :8 =З + 21 = :9 =5 + 21 + В і д п о в і д ь : 65 955. 24 24 45 24 (км), 3 - 7 = 21 (км) — пройшов за другий день; 45 (км) — пройшов за два дні; (км), 5 • 4 = 20 (км) — пройшов за третій день; 20 = 65 (км) — за три дні. км. Р о з в ’я з а н н я . 28 28 : 4 = 7 (см) — становить - довжини; 5 2) 7 ■ 5 = 35 (см) — довжина; 3) Р = 2 • (28 + 35) = 2 • 63 = 126 (см); 4) S = 28 ■35 = 980 (см^). В і д п о в і д ь : 126 см; 980 см“. 35 140 +, 84 ok . 956. X or g 1) Р о з в ’я з а н н я . bo 1) 20 : 2 = 10 (см) — становить - довжини; З 2) 10 ■з = зо (см) — довжина; w w .4 3) 20 : 4 = 5 (см) — становить - висоти; 5 4) 5 • 5 = 25 (см) — висота; 5) S = 2 (20 30 + 20 • 25 + з о 25) = 2 • (600 + 500 + 750) = = 2 • 1850 = 3700 (см^). В і д п о в і д ь : 3700 см^. 957. Р о з в ’я з а н н я . w 1) 115 : 5 = 23 — значення ^ суми; 2) 23 • 7 = 161 — сума; 3) 161 - 115 = 46 — другий доданок. В і д п о в і д ь : 46. 958. Р о з в ’я з а н н я . 2 Знайдемо спочатку — від числа 270. У 1 2 — дорівнює 270 : 9 =ЗО. Тоді - дорівнює ЗО ■ = 60. Отже, 2 9 g 92 60 — це — шуканого числа, його — дорівнює 60 : 5 = 12, тоді 6 6 саме число в 6 разів більше: 12 • 6 = 72. В і д п о в і д ь : 72. М АТЕМ А ТИ КА , о . С. Істер Ш 357
    • Задачу розв’язано в підручнику. 959. Ц іле, про яке іде мова в задачі, приймаємо за одиницю. У цій задачі весь шлях автомобіля — це 1. За першу годину він про2 І їхав - ш ляху, отж е, ш лях поділено на 5 частин. Дві частини 5 g [автомобіль проїхав, залишилось З частини, тобто —. 5 999996 Вправи для повторення 9 6 0 . 1) 1 000 0 0 0 + 1 000 001 + 1 000 002 = 3 000 003; ^ 9 9 9997 2) 999 996 + 999 997 + 999 998 + 999 999 = З 999 990. 999998 999999 3999990 Р о з в ’я з а н н я . or g 961. bo ok . 1) Позначимо для зручності сторону квадрата а . 4а = 48 дм, а = 48 : 4 = 12 (дм), S = = 12^ = 144 (дм^). 2) 4а = 16 см, а = 16 : 4 = 4 (см), S = а^ = 4^ = 16 (см^). Після зменшення на 1 см його сторона З см. Sj = 3^ = 9 (см^); S - S , = 1 6 - 9 = 7 (см“). Отже, площа зменшилась на 7 см^. 4) 4а = 20 м, а = 20 : 4 = 5 (м), S = 5^ = 25 (м^). Після збільшення на 2 м сторона квадрата 7 см. S^ = V = 49 (м2), 49 - 25 = 24 (м^). Плош;а збільшилася на 24 м^. 962. Р о з в ’я з а н н я . 2 0 Ь - т . Якщо Ь = 2 5 т , т w .4 = 150 м^, то 20 • 25 - 150 = 500 - 150 = 350 (м^). В і д п о в і д ь : 2 0 Ь - т ; 350 м^. w § 28. Звичайні др о б и і д іле н н я на тур а льн их чисел w Значення дробу дорівнює частці від ділення чисельника дробу на його знаменник: - = а:Ь. Ь І навпаки, частка від ділення числа а на число Ь дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює діленому, а знаменник — дільнику: а:Ь = ~. Ь За допомогою дробу можна записати результат ділення будьяких двох натургільних чисел. Якщо ділення виконується націло, то частка є натуральним числом: 2 5 : 5 = — = 5; 8 : 1 = - = 8; 4 : 4 = - = 1. 5 1 4 358 Ш ІИАТЕМАГИКА. О . С . Істер
    • 963. 1 2 15 20 1) 1 : 8 = - ; 2) 2 : 5 = - ; 3) 15 : 7 = - ^ ; 4) 20 : 4 = — ; 8 5 Т 4 5) 1 3 : 4 = — ; 6) 7 2 : 1 0 = — . 4 ' 10 1 4 12 43 9 6 4 . 1) 1 : 7 = - ; 2) 4 :1 3 = — ; 3) 12 : 5 = — ; 4) 43 :1 7 = — . 17 13 57 3 384 16 4605 15 9 6 5 . 1) — = 5 7 : 3 = 19; 3 32 24 45 3 І9 307 2) 16 - 384 :1 6 - 24; 27 105 0 Р о з в ’я з а н н я . 64 0 0 k. or g 966. 105 27 — vcQK . 10 —307 3) 4605 _ '1UUO • 1 - ои 1. 15 64 2 кг цукру розділили порівну на 7 днів, тоді кожного дня ви2 користовували — кг цукру. В ід п о від ь: 2 — кг. 7 1) - = 8 :1 = 8; 2) — = 12 : З = 4; 3) — = 36 : 9 = 4. 1 З 9 968. 1) — = 7 0 : 1 0 = 7; 2 ) — = 2 7 : 1 = 27; 3) 4 2 0 = 4 2 0 : 12 = 35. 12 10 bo o 967. w .4 Чисель­ Знамен­ ник ник Ділене Д іль­ ник 4 9 4 9 2 5 2 5 5 : 13 969. 5 13 5 13 26 9 26 9 Частка 4 :9 w w 2 :5 26 : 9 1-------------- Дріб 4 9 2 5 5 ЇЗ 26 Т 1 970. Р о з в ’я з а н н я . Ш в и д к і с т ь — це відстань, яку долає об’єкт за одиницю часу. Значить, щоб знайти швидкість конвеєра, треба З м поділити З на 7 хв.: З м : 7 хв. = — м /хв. 7 0 В і д п о в і д ь : — м /хв. М АТЕМ АТИ КА , о . С . Істер Щ 359
    • 971. Р о з в ’я з а н н я . 9 9 9 ; 14 = — (м). В і д п о в і д ь : — м. 14 14 1) 9 = — ; 2) 9 = — ; 3) 9 = — , бо 9 5 10 15 972. 15 = 135. •й'й;:; ■ Знаменник дробу вказує, на скільки частин поділили ціле, Н о т ж е , знаменник — це дільник. Нам потрібно записати у виВ гляді дробу дію ділення, де дільником є вказане число, а част>'Щ:| И к а дорівнює 9. ШШ: Ш Щоб знайти чисельник дробу, достатньо 9 помножити на знаЙШ* Н менник. Пояснення аналогічне до № 972. 1) , бо 4 ■29 = 116. При розв’язанні рівнянь № 9 7 4 -9 7 5 скористаймося тим, що дріб — це частка, і відомими правилами знаходж ення невідо­ мого дільника та діленого. ok . І 4 = — ; 2) 4 = — ; 3) 4 = — 7 100 29 or g 973. 1) - = 8; л: = 5 • 8; X = 40; 5 974. 2) — = 11; л:= 121 : 11; х = 11; = 9; 4 39 4) -------= 3; у + 3 і/ - 1 = 4 • г/ - 1 = 36; t/ = 36 + 1; і/ = 37; 9; о + З = 39 : 3; о + З = 13; u = 13 - 3; г/ = 10. w .4 3) bo X 1) ^ = 9; і/ = 9 ■ 7; (/ = 63; 975. w 2) — = 3; г/= 15 : 3; £/ = 5; У = 11; w 3) 8 л: + 4 = 8 • 11; л- + 4 = 88; д: = 88 - 4; X = 84; 4) = 7; X - 2 = 42 : 7; X - 2 = 6; дг = 6 + 2; X = 8. - 2 9 7 6 . Чисельник — це ділене. Отже, потрібно знайти дільник — знаменник. 1 ч 1 о 48 48 . ю 48 1) 12 = — ; X = — ; X= 4, отж е, 12 = — ; X 12 4 1 20 2) 12 = оскільки 120 : 12 = 10; X 444 3) 12 = ----- , оскільки 444 : 12 = 37. 37 360 Ш М АТЕМ АТИКА. О . С . Істер .
    • Вправи для повторення 977. Р о з в ’я з а н н я . I діл. — у 2 рази більше II діл. — у З рази більше -| III діл. — дг га ------------- 978. or g Нехай площа третьої ділянки х га, тоді плош,а першої ділянки дорівнює ( 2 х ) га, а другої — (Здг) га. Площ;а всіх трьох ділянок становить X + 2 х + Зд:, що за умовою дорівнює 138 га. Маємо рівняння: X + 2 х + З х = 138; (1 + 2 + 3) • л: = 138; 6 х = 138; х = 138 : 6; л: = 23. Отже, площа третьої ділянки 23 га, площа першої — 23 • 2 = 46 (га), третьої — 23 • З = 69 (га). В і д п о в і д ь : 46 га; 69 га; 23 га. Р о з в ’я з а н н я . ok . Виміри складеного прямокутного паралелепі­ педа дорівнюють З см, З см і З • З = 9 см. S = 2 • (З ■З + З ■9 + З • 9) = 2 • (9 + 27 + 27) = = 2 • 63 = 126 (см2). V = З • З ■9 = 81 (см^). В і д п о в і д ь : 126 см^; 81 см^. З см З см З см З см bo З см w .4 § 2 9 . П о р ів н я н н я з в и ч а й н и х д р о б і в з о д н а к о в и м и знаменниками Порівняймо два дроби з однаковими знаменниками. Наприклад, З 5 — і —. В обох випадках ціле поділили на 8 рівних частин, але 8 8 w першого разу взяли З таких частини, а другого — 5 частин. 3 5 З частини менше, ніж 5 таких самих частин, отж е, g ^ g • той дріб більший, чисельник якого більший, і той дріб менший, чисельник яко­ го менший. w Із д в о х др о б ів з о д н а к о в и м и з н а м е н н и к а м и 7 4 Q " ї^ ’ 980. 1)^<1; 2 ) І 1 < ^ ; 2 > 7 2Q 28 > ї^ ' 3 ) ^ < И . 7 981. 982. 7 . 142 142 15 15 5 4 17 З 7 9 5 — ; 2) — < — ; 3) - < - ; 4) ----- > ------- . 1) 29 29 8 8 142 142 18 18 ..7 9 5 4 З 5 18 11 1) — < — ;2) — > — ; 3) - < - ; 4) — > — ; 12 12 13 13 8 В 39 39 М АТЕМ АТИ КА , о . С. Істер Ш 361
    • 5) 4 5 7 6 < ; 6) > . 137 137 115 115 J_. A . A . _L. A 1 1 ’ 1 1 ’ 1 1 ’ 1 1 ’ 11' 983. 984. 3 ^ 0 і 10 1 11 11 За одиничний відрізок ми взяли 11 клітинок. Тоді одна клітин1 . . 2 . ка — це — , ДВІ клітинки — — і т. д. 11 І 11 11 Більшому дробу на координатному промені відповідає точка, що лежить правіше, а меншому — точка, що лежить лівіше. 4 7 Т_] оскільки — < — ; 13 13 13 ( 5 ^ 2) С оскільки > правіше від D і 113, ^113 113 113 1) А лівіше від в 13 з J . . . 4 987. З ok 1) — < —, тому — лівіше від —; 7 7 7 7 0 5 4 1 5 . . 1 2) — > — , тому — правіше від — . 13 1 3 ’ ^17 13 bo 986. 4 .o З Q Q « rg 985. 4_ 1 12 Візьмемо на координатному промені одиничний відрізок, що до­ рівнює 12 клітинкам. Тоді одна клітинка — це одна дванадця­ w .4 о w w та одинич^ного відрізка, тобто дріб — , а 4 клітинки це 12 12 Розділимо тепер одиничний відрізок на З рівних частини: 12 : З = 4 клітинки. Тоді 4 клітинки — це третя частина оди­ ничного відрізка, тобто дріб —. З г» 4 . 1 Отже, числа - - 1 “ позначаються на координатному промені 12 З 4 1 однією точкою, а це означає, що 12 988. — —і і І І І І І І І +—І — — — — — — — — Пояснення аналогічне ^ ^ до № 987. 9 8 9 . Одиничний відрізок координатного променя дорівнює 8 см. Тоді 1 см — це О восьма частина одиничного відрізка, тоб1 то число —. 8 О 4) 362 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 4 Щоб позначити дріб —, потрібно від нуля відкласти 4 таких 8 частини, 4 см. Розділимо одиничний відрізок на 2 рівні частини: 8 см : 2 = 4 см. Тоді 4 см — це половина одиничного відрізка, тобто дріб 1 .4 -Щ Отже, числа — 1 — на координатному промені позначаються од2 ^ 1 4 Ш $ нією точкою, яка розміщена від О на 4 см. Це означає, що — = —. 2 8 .W .V. 991. 1) А ; А ; і і ; 2) А ; 17 17 17 43 43 43 ^ а . 4 . а 4 Оскільки знаменники у дрооїв у і у однакові, то у “ 7 ’ ^ or g 990. якщо а < 4. Отже, а = 1, 2, 3. 1, 2, 3. ___ ^ X . 7 . X 7 992. Оскільки знаменники у дробів — і — однакові, то — < —, У У у у якщо X < 7. Отже, X = 1, 2, З, 4, 5, 6. В і д п о в і д ь : 1, 2, З, 4, 5, 6. якщо 4 < Ь < 9, Ь = 5, 6, 7, 8. 13 13 -/І 5 6 7 8 В ідп о від ь: — — ; — ; — . 13 13 13 13 994. - 15 bo 13 w .4 993. ok . В ід п о від ь: 15 15 якщо 7 < г/ < 13, і/ = 8, 9, 10, 11, 12. о д я В ід п о в і д ь : w 995. 8 ;» ; — ; — ; — . 10 12 — — 15 15 15 15 15 Задачу розв’язано в підручнику. w Як порівняти два дроби з однаковими чисельниками? Уяви собі, на день народження мама приготувала тобі торт і ти за­ просив двох друзів. Якщо розділити торт на трьох, то кож но­ му дістанеться — — гарний шматочок. Але раптом — дзві3 нок у двері: це про твоє свято згадали семеро однокласників. Тепер торт доведеться ділити на 10 частин, і кожному діста­ неться — — набагато менший шматок. Отже, чим більше ба10 жаючих, тим менше кожному дістанеться. В и с н о в о к : із двох дробів з однаковими чисельниками більшим є той, знаменник якого менший, а менший — той, знаменник якого більший.
    • 996. ! ) - > — ; 2)— < — . 7 13 18 11 Вправи для повторення 9 9 7 . а) 25 368 : 47 = 539 (ост. 35); б) 45 126 : 125 = 361 (ост. 1). 25368 47 45126 125 235 375 539 750 ’' 4 5 8 "_126 423 998. _762 141 126 .o rg 186 361 Р о з в ’я з а н н я . bo ok 1) 3600 : 20 = 180 (дет.) — продуктивність І бригади; 2) 3600 : ЗО = 120 (дет.) — продуктивність II бригади; 3) 3600 : 60 = 60 (дет.) — продуктивність III бригади; 4) 180 -Ь 120 + 60 = 360 (дет.) — виготовлятимуть за 1 год. працюючи разом; 5) 3600 : 360 = 10 (дн.). В і д п о в і д ь : за 10 днів. § 3 0 . Правильні і неправильні др о б и w w w .4 І Дріб, чисельник якого менший від знаменника, називається З 1 24 п р а в и л ь н и м д р о б о м : —; —; ------ . 9 8 543 Правильний дріб менший від 1: З , 1 24 , а , —< 1, —< 1; ----- <1; —< 1, якщо а < Ь. 9 8 543 Ь Дріб, чисельник якого більш ий за знаменник або дорівнює . . 5 9 42 н о т у , я& зи в& ет ъся н е п р а в и л ь н и м дробом: —; —;— 5 7 31 Якщо чисельник і знаменник неправильного дробу рівні між собою, то такий дріб дорівнює 1: 3 5 8 ^ =£ =1 З “ 5 “ 8 21 а Якщо чисельник неправильного дробу більший за знаменник, то цей дріб більший за 1: 8 , 34 , - > 1; — > 1 . 5 19 999. 364 Правильні; Ш 24 1 — ; —. 31 2 М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер . З 7 9 12 Неправильні: —; —; —; — . 2 7 7 11
    • 5 З1 17 4 5 12 1 0 0 0 . 1) — ; 2) — ; — . 12 48 17 3 5 5 1 0 0 1 . 1 ) Дроби менші від 1, якщо чисельник менший від знамен7 З 1 ника: —; —; — . 9 4 18 2) Дроби дорівнюють одиниці, якшіо чисельник дорівнює зна8 9 Ш меннику: —; —. 8 9 3) Дроби більші за 1, якщо чисельник більший за знаменник: 12 8 18 Щ 11’ 7 ’ 7 ■ 1 0 0 2 . Див. № 1001. — Ь і' ok . і- і- Ь >5^ hhh l-'f —. Неправильні: —; 6 3 bo 1 0 0 6 . Правильні: —; 6 1 0 0 7 .1 ) - < 1, бо 8 < 9; У - = 1, бо 8 = 8; 8 с ч 1 5 ^ 1 , 5 , 5) - < - , бо - < 1, а — > 1; '2 4 2 4 5 18 ^ 5 , 18 , Г *‘ і і - ‘' ’ w w ГЯ7 13 « 1 8"її’ 7) 4) 1 > — , бо 7 < 13; 17 « . 4 5 , 4 , 5 , 6) — < —, бо — = 1, а - > 1; ' 4 6 4 6 5 12 ^ 5 , 12 й 'Т ' , І2'*' “ Т ’ * ' 7 2) — <1, бо 7 > 12; 12 1 = Ц , бо 13 = 13; ,= 1 4 І 111 10 1 0 0 8 .1 ) 1 < — , бо 10 > 9; 9 3) —. 2 2) ^ > 1, бо 11 > 7; w .4 3) or g П 1 І3^ ^ 13’ 8 ’ 13’ 7 ’ 110’ 7 ’ 5‘ X. • 2 З 5 „ . 6 8 13 1 0 0 3 . Правильні: —; —; —.Неправильні: —; —; — . 7 7 7 6 6 6 — > 19 З 1 4) ^ 13 , 8<"’ бо — = 1, а 19 16 < 1, бо 5 < 14; 5 У ^5’ - < 1; З 8) — < — , 13 7 , 16 У , 5 , " 5=^= бо — < 1, а — > 1; 13 7 9 ) І ^ Л = і. 15 2 М АТЕМ АТИ КА , о . С . Істер Ш 365
    • 1 0 0 9 . О диничном у в ід р ізк у відповідаю ть 8 поділ ок . Том у ц ін а по1 д іл к и —. відповідаю ть правильним дробам. , с або Б (1 ), D '1 0 ’ , 8 , дробам. 1010. 1011. о 1 9 о і 7 f i l l — відповідаю ть неправильним . 8 , > 9 9 і 5 9 9 З 4 7 7 7 7 1 10 11 9 9 1 8 7 10 7 rg В .o 1 0 1 2 . Д р іб — буде правильним , якщ о х < 7. Тоді х м о ж е дор ів ­ bo ok нювати 1, 2, З, 4, 5, 6. 0 1 0 1 3 . Д р іб — буде неправильним , якщ о а = 6 або а < 6 . Наприа клад, а = 1, 2, З, 4, 5, 6. тт • « 6 6 6 П равильні дроби: —; — ; — . 8 15 83 Д ріб — буде правильним , якщ о а < 6 , тоді а м о ж е дорів6 нювати 1, 2, З, 4, 5. w .4 1 0 1 4 .1 ) Д ріб — буде неправильним , якщ о а = 5 або а < 5. Тоді а м ож е а дорівню вати 1, 2, З, 4 , 5. 11 w w 2) 1015. 'Оі 11 І 1 1 11 11 1 11 ” 13 11 Н ай зр уч н іш и й спосіб позначити дроби на к оординатном у п ро­ м ен і — взяти оди н и чн и й в ід р ізок із такого чи сл а к л іти н ок (сантим етрів), яким є зн ам енник дробу. Візьм ем о за оди ничний відрізок 11 к літи н ок , тоді 1 к літи н к а — .^ 1 це оди надцята частина одиничного в ідр ізк а — дріб — . 1 0 1 6 . 3 а 1 хв. м аш ина м ож е вирити канаву у 8 разів м ен ш у, н іж за 8 хв ., тобто і 5 — 8 г, м;за 7 11 . 25 7 хв. — — за 11 хв. — — м і за 25 хв. — — м; 8 8 8 366 м. Тоді за 5 хв. вона вириє канаву довж и н ою Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер м.
    • 1 0 1 7 . Я кщ о яблук о р озр ізал и на 4 частини, то к о ж н а ч астина — це — яблука. І, t 2, І ; З, 5 ; « 4 4 4 1 0 1 8 . Р о зв ’я зан н я . У . 4 1) 72 ; 6 = 12 (д н .) — значення — часу; 6 2) 12 ■ 7 = 84 (дн .) — час за планом. В ідп овідь: 8 4 дн і. ^0' 9 . Р о зв ’я за н н я . Щ:*: .o rg 1) 18 : 9 = 2 (т) — відп овідає — зібраного; 9 2) 2 ■ 10 = 20 (т) — планував зібрати. В ідп овідь: 20 т. 1 0 2 0 . Р о зв ’я зан н я . 1Q Норма — це ц іл е (оди н и ц я) — — . 19 ok 1) 105 : 21 = 5 (д ет .) — відповідає — ; bo 2) 5 • 19 = 9 5 (дет.) — норма; 3) 105 - 95 = 10 (д ет .) — перевиконання норм и. В ідп овідь: на 10 деталей . 1 0 2 1 .Р о з в ’я зан н я . X Н ерівність у < 1 w w 1 0 2 2 .1 ) w .4 1) 12 : 6 = 2 (км) — відповідає і ; 5 2) 2 • 5 = 10 (км) — пройш ов за другий день; 3) 12 + 10 = 22 (км) — пройш ов за 2 дн і. В ідп овідь: 22 км. тобто 2) X правильна, якщ о дріб — правильний, < 7. О тж е, X м ож е набувати значення 1, 2, З, 4 , 5, 6. 4 4 Н ерівн ість — > 1 правильна, як щ о др іб — н еп р ав и льн и й , X X X причом у л: < 4 . Тоді значенням х м ож е бути число 1, 2 або 3. ■ 1 0 2 3 . Д ріб ^ - буде правильним, якщ о його чисельник м енш ий 16 за знам енник; 4 а + 7 < 16. Очевидно, що 4а має бути м енш е за 9. Тоді а м ож е дорівню вати 1 або 2. В ідп овідь: 1; 2. 1 0 2 4 . Д ріб — — б уде неправильни м , як щ о 15 > 11 + 2Ь або 11 + 2Ь 15 = 11 + 2Ь, тобто Ь = 1 або Ь = 2. В ідп овідь: 1; 2. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 367
    • 1 0 2 5 .1 )^ ; 1 ,, 1 0 2 6 .1 ) I; I; 2) 1 ; 1 3 3 і; 7 3 ) A; 7 I. 1 3 7 4 4 4 5 5 7 5 7 9 7 9 9 I. I. I . Ё. Ё. 1 7 ’4 ’ 5 ’ 4' 2) 4’ 5’7’ 9’ 4’ 5’ bo ok .o rg 1 0 2 7 . 1 ) Дроби — і - будуть одночасно правильним и, коли Ь < 8 8 6 і 5 < Ь, або 5 < Ь < 8, тоді Ь м ож е дорівнювати 6 або 7. В ідп овідь: 6; 7. 12 8 2) Д ріб — неправильниіі, якщ о й < 12 або Ь = 12. Д р іб — праЬ Ь БИЛЬНИЙ, якщ о 8 < Ь . Зап и ш ем о дві нерівності у в и гляді о д н ієї, подвійної: 8 < Ь < 12. Значенням и Ь м ож уть бути числа 9 , 10, 1 1 , 12. В ідп овідь: 9, 10, 11, 12. Ъ 9 3) Обидва дроби — і — будуть неправильним и, як щ о Ъ > 7 або 7 Ь Ь = 7 і Ь < 9 або Ь = 9. О тже, Ь м ож е мати зн ач ен ня 7, 9 і 8 , оскільки нерівність 7 < Ь < 9 задовольняє число 8. В ідп овідь: 7, 8, 9. В прави д л я повторенн я w w w .4 1 0 2 8 . 1 ) 95 9 - (1 5 9 + 273) = (9 5 9 - 159) - 27 3 = 8 0 0 ~ 2 7 3 = 527; 2) (5 84 + 137) - 4 8 4 = (584 - 4 8 4 ) + 1 37 = 100 + 1 3 7 = 237; 3) 781 - (3 2 9 + 2 7 1 ) = 781 - 6 0 0 = 181; 4) (4 9 7 + 3 8 2 ) - 182 = 4 9 7 + (3 8 2 - 182) = 497 + 200 = 5) (541 + 359) - (1 3 7 + 663) = 9 0 0 - 8 0 0 = 100; 6) (342 + 9 7 5 ) - (7 7 5 + 242) = (342 - 2 42 ) + (9 7 5 7 7 5 )= = 100 + 20 0 = 3 0 0 . 1 0 2 9 . 1) а + Ь — кількість осіб у двох вагонах; 2 ) { а + Ь) - с — реш та пасаж ирів у двох вагонах п ісля зупинки; 3) Ь - с — на стільк и більш е п асаж ирів їхал о у др угом у вагоні, н іж у перш ому; 4) а + (Ь - с) — кількість пасаж ирів у двох вагонах після зупинки. Рівність (а + Ь) ~ с = а + (Ь - с) правильна за правилом в ід н і­ мання числа від сум и . Я кщ о а = 3 9 , Ь = 5 2 , с = 24, то (39 + 52) - 24 = 91 - 24 = 67; 39 + (52 - 24) = 3 9 + 28 = 67. 1 0 3 0 .1 ) Вим іри п аралелеп іп еда 1 см , 1 см , 4 см. Sj = 2 ( l l + l - 4 + l - 4 ) = 2 ( l + 4 + 4) = 2 - 9 = 18 (см^). 2) Вим іри п арал ел еп іп еда 2 см , 2 см , 1 см. «з = 2 - ( 2 • 2 + 2 1 + 2 1 ) = 2 - ( 4 + 2 + 2 ) = 2 - 8 = 1 6 (с м " ). В ідп овідь: 1 ) 1 8 с м " ; 2 ) І б с м ^ ; 368 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер > S^.
    • § 3 1 . М іш а н і ч и с л а Будь-як и й неправильний дріб м ож н а подати у вигляді м іш а ного ч и сл а, тобто ч исла, як е м істить ц іл у і др обову ч асти н и . П одання неправильного дробу у вигляді м іш аного чи сл а н ази вається в и д іл е н н я м ц іл о ї т а д р о б о в о ї ч а с т и н и . Щ об із неправильного др обу виділи ти ц іл у ч асти н у, треба: 1) р озділи ти чисельник на зн ам енн и к з остачею; 2) неповну частку записати в ц іл у частину; 3) остачу записати в чисельник; 4) зн ам енник залиш ити той сам ий. ІЗ rg 67 12 — знам енник 67 ^ 7 . — = 5 — , оскільки оО 5 — ціла частина ___ 12 12 7 — чисельник .o 1 0 3 1 . 4 — — «чотири ц іл и х одна третя», 4 — ц іл а частина, — — З З дробова частина; bo ok 5 — — «п ять ц іл и х ВІСІМ дев я т и х » , 5 — ц іл а частина, — — 9 9 дробова частина; 1 2 3 — — «сто двадцять три ц іл и х одна др уга», 123 — ц іл а час2 w .4 тина, і — дробова частина; 2 ,1 7 . . , . 1 — — «одна ціла сім н адц ять двадцять сьом и х», 1 — ц іл а час27 w w тина, — — дробова частина. 27 1 1 Q Q Q Q y i Л 1 0 3 2 . 1 ) 5 + - = 5 І ; 2 ) 7 + - = 7 - ; 3) - + 19 = 1 9 - ; 4) - + 15 = 1 5 - . ^ 6 6 4 4 ' 7 7 9 9 1 0 3 3 . 1 , 9 4 . 9 і ; 2 ) 7 * | = 7 | ; 3 ) І + 4 = 4 і ; 4 , ^ . 23 = 2 3 ^ . .034.1, 7 І - 7 4 , 2 ,3 | = 3 .| ; .4 1 . 1 3 ,, 13 4) 1 4 — = 14 + — . 18 18 1 0 3 5 . 1 ) 1 3 І = 13 + І ; 2) 5 - = 5 + - ; 3) 1 2 — = 12 + — ; ^ 9 9 ^ 7 7 136 136 4) 2 0 1 1 — !— = 2011 + —І - . 2012 2012 М АТЕМ АТИ КА, о . С . Істер Ш 369
    • 12= 43 — п рави льн і дроби. 1 0 3 7 . 5 ; 12; 5 46 — натуральні числа. 1038.1 ) — = 4 І 5 ш о 21 5 бо 3 , f = 12; 2) ^ = 3 -1 1 , 100 100 бо 311 : 100 = З (ост. 11); 20 4 1 125 125 ,^ 6 ^ _ 4) -------= 1 7 - , бо 7 7 7 5) 142 13 = 10 — , бо ~ЇЗ 13 13 1“ 142 12 55 6) ^ = 51 А , 10 10 бо 512 : 10 = 51 (ост. 2); 7) ^ = 233 ® И ’ 11 11 2569 ok бо .o rg 49 "22 8) = 69, бо 552 і8 48 233 72 33 ~72 w .4 bo 36 69 ” зз 1 w w 1 1О — 1039.1) = 3 9 -, 118 З бо 2) 3) 6 4Q Q “ 4 — , бо 49 : 10 = 4 (ост. 9); 116 = 29, бо 116 : 4 = 29; 9 28 4 ) ^ 8 = 3 2 І , бо _ 2 5 7 8 24 "27 17 16 5 ) ^ = 3 - '^ 100 100 6) 370 275 25 Ш бо 3 19 : 1 00 = З (ост. 2); = 11, бо 275 : 25 = 11; М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 32
    • 74 1189 ._ 6 , 1189 7) -------- = 169 —, бо - 8 )ІИ І = 4 5 ^ , 25 25 169 42 1 14 7 25 100 бо 48 45 69 ~63 125 6 1 0 4 0 . 1 ) 10 147 22 і; 3 113 7 2) 113 7 1 25 3) 125 : 1 0 = — = 12, 5 . 10 10’ 43 42 139 5 ,4 15 І6 rg 139 7 5 ’ ~10 1 27 ok 39 .o 4) 1 3 9 : 1 5 = 7 ~35 4 147 = 2 9 -; 5 5 313 ~26 13 24 53 52 29 w w 10 3) 3 1 3 : 1 3 = ^ і^ = 2 4 ^ ; 13 13 w .4 2) 1 4 7 : 5 = ~ bo 97 1 1 0 4 1 .1 ) 2 7 : 2 = — = 1 3 - ; 2 2 47 45 4) 3 1 8 9 :1 0 0 0 = ^ 1000 11 1 0 4 2 .1 ) 3 - = 3 + - > 3 ; 2) 4 - < 5 ; 3) 1 — < 2 - ; 8 8 7 12 8 1 0 4 3 .1 ) 8 - < 9 ; 7 1 0 4 4 .1 5 = 3 -1 « 9 10 0 0 ,7 4) 7 - > 7 - . 9 9 2) 5 — > 5 ; 3) 1 2 - < 1 3 — ; 4) 3 - < 3 — . 14 З 12 9 19 = 1^; і^ = 2 ^ ; ® = 1 І ; Н = М = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2с і 2 1 4 ^ М АТЕМ АТИ КА. О . С. Істер Ш 371
    • 1 0 4 5 . 1 ) 8 км 113 м = 8 км + 113 113 км; 8 км; 1000 - 8 к 3 км 8 м = 3 км н м = 3 1000 км = 2) 3 год 19 хв = 3 год + — год = 3 — год; 60 60 1 1 7 год 1 хв = 7 год + — год = i - - год. 60 60 1 0 4 6 .1 ) 2 < f = 2 i ; 2 ) | = 2 | < 3 . 1 0 4 7 .1 ) — = 5 - < 6 ; 2) 8 < ~ =8^. 2 )1 І^ = 1 3 І-; 13 13 1зА >і2І. 13 8 ^ = 7; І ^ = 9 І ; 1 ^ = 1 0 ^ ; 36 8 8 13 13 ^ = 7^. 5 5 .o 1 0 4 9 .^ = 8 І; З З 1^ ^ = 1 2 І ; 8 8 rg ,04вЛ ,Ц = Д - . в і ; 5 І < е 1 ’ 2 2 3 3 2 3 ok В ідп овідь: 7; 7 - ; 8 - ; 9 ^ ; 10 — . 5 З 8 13 ^ 9 ■ bo 42 42 1 0 5 0 . Виділимо ц іл у частину з неправильного дробу — : g Тоді розв’язк ом нерівн ості д < З — є числа 1, 2, 3. 1 —. Найменш им натуральним значенням т є 7 . 6 w .4 В ідп овідь: 1, 2, 3. 37 1 1 0 5 1 . — = 6 —; m > 6 6 6 В ідп овідь: 7. 37 5 1 0 5 2 . — = 4 —; т < 4 8 8 w w ® 1053. 7 -; 7 -; 5 —, якщ о т = 4. В ідп овідь: 4. 8 7— . 19 З 1 0 5 4 . у = S : t = 19 км : 4 год = — км/год = 4 - км/год. 4 4 g В ідп овідь: 4 —км/год. 4 0 0 5 5 1 0 5 5 . 32 : 9 = — = З - (хв). В ідп овідь: З - хв. 9 9 9 І Якщ о 9 рівнянь учень розв’язав за 32 х в ., то на 1 задач у він витрачав у 9 разів м енш е часу. Якщ о на пош иття 15 костю мів піш ло 32 м ткан и н и , то на один костюм треба витратити у 15 разів менш е; 32 2 32 м ; 15 = — м = 2 — м. 15 15 1056. 372 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • О тж е, двох метрів тканини на пош иття костю ма не вистачить. В ідп овідь: ні. 41 1 1 1 0 5 7 . 4 1 к г : 5 = — кг = 8 — кг. 8 —к г > 8 к г . 5 5 5 В ідп овідь: так. 1 0 5 8 . Р о зв ’я зан н я. У рож айність — це кількість врож аю , зібран а з о д и н и ц і п л ощ і. 9 9 6 00 9 40 9 1) 6 ц : 8 0 = 6 00 кг : 80 кг/м ^ = 7 ~ кг/м^; 80 80 кг/м^ = 6 — кг/м^; 90 90 3) 8 ц : 100 м^ = 8 0 0 кг : 100 = 8 кг/м^. Н айбільш а урож ай ність у третьої бригаді, найм енш а — у др угої. В ідповідь: найбільш а — у третьої, найм енш а — у другої бригади. 1 0 5 9 . Р о з в ’я зан н я . П ри а = 38: При а - 40: П ри а = 42: .o — =& ■ 1 ~ ' .2 „ _4 5 —< 6 < 6 —. 7 7 bo Вправи дл я повторення — = 5 -1 ~ 1’ ^2 _5 „4 5 —< 5 — < 6 —. 7 7 7 40 або а = 42. ok — = 5 -~1 ~ і ' .2 ^3 ^4 5 —< 5 — < 6 —. 7 7 7 В ідп овідь: а = 3 8 , а = rg 2) 6 ц 20 кг : 90 м^ = 6 2 0 кг ; 9 0 м^ = w .4 1 0 6 0 .1 )1 ^ ; 2 )^ ^ . 17 20 7*5 1 0 6 1 . 1 ) Д р іб ---- неправильний, якщ о зам ість зіроч к и стоїть 7, 8 або 9. '^'^5 783 2) Д ріб правильний, якщ о зам ість дірочки стоїть 8 або 9. w w § 3 2 . Д о д а в а н н я і віднімання зви ча йн их д р о б ів з о д н ак ов и м и знаменниками Щ об додати дроби з однаковим и зн ам енн и к ам и, треба додати їх чисельники і записати той сам ий знам енник. а _ а +Ь с с с Щ об відняти дроби з однаковим и зн ам енн и к ам и, треба від ч и ­ сельника зм енш уваного відняти чисельник в ід ’єм ника і за л и ­ ш ити той сам ий знам енн и к . а Ь а -Ь , , ^ = ------- (а > Ь або а = Ь) с с с Оскільки при додаванні та відн ім ан н і дробів д ії виконую ться з чисельникам и, а це — натуральні числа, то виконую ться всі відом і властивості: сполучна, переставна, р озп одільн а та ін . М АТЕМ АТИ КА, о . С . Істер Ш 373
    • 1 0 6 2 .1 ) i + i = l ± i Л ; ^ 7 7 7 7 5 11 5 + 11 _ 16 2) X + A = = 12 12 12 12 5 ^ e ^ 5+6 _ll_^, Ї9^І9~ 19 ” l 9 ’ 7 ^ 9 _ 7 + 9 _ 16 _ i 3 . 7 _ Q . ’ 7’ 47 1 0 6 3 .1 ) X + A = l ± ^ = A ; ’ 15 15 15 15 5 8 _ 5 +8_13_^. 1 3 " ^ 1 3 “ 13 ” 4 3 “ ’ 9 1 _ 9 -1 _ 8. 10 47 31 ok 8) 111 111 m; cm . — (км); 10 2) — км = 8 км ; 10 = 8 0 0 0 м : 10 = 8 0 0 м. 10 В ідп овідь: 8 0 0 м. 1 9 6 6 . Р о зв ’я зан н я. , 4 1 3 1 ) ------------ = — — проїхали другого дня; 17 17 17 04 4 3 7 2) — + — = — — проїхали за два дн і. 17 17 17 7 В ідп овідь: — . 17 1 0 6 7 . Р о зв ’я зан н я . , , 7 1 6 1 ) ------------ = — — засія л и за другии день; 20 20 20 7 6 13 2) — + — = — — засіял и за два дн і. ^ 20 20 20 В ідп овідь: — . 20 374 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 47 47’ = = 43 43 43 43 8 ^ 5 _ 8 +5_13 _ 47 42 2) — M = 2 M : 10 = 20 0 CM : 10 = 20 10 В ідп овідь: 20 см. 1 0 6 5 .1 ) '2 0 5’ 1 . 37’ 30. 55’ 17 ll" ^ ll 11 11 42 4 2 _ 4 2 - 4 2 _ 0 bo 35 35 ” 35 35’ 5 4 5-4 1 7 ) - - - = - r - = -; 7 7 7 7 3 1 2 1 0 6 4 .1 ) — M + — M = — 10 10 10 2) 47 rg 7 5 5 5 5 19 18 1 9 -1 8 37 37 37 10) 12 _ 4 2 - 1 2 55 55 55 39 22 3 9 - 2 2 „ 11’ .o ’ 7 13’ w .4 ШЙ 13 13 “ 13 ' ” 13 7 ^ I_i =lz l= 6 . 8 8 8 8’ 37 _ 3 7 - 3 7 _ 0 49 4 9 ” 49 ” 49 4 2_4-2_2_ w w Щ 11^11 11 11 4 ^4 _ 4 + 4 _ 8 _ ^ 3 . g 47 47 4 2 -3 1 11 111 111
    • 17 9 4 8 4 12 I------- — ---------1 ---------— — 1 0 Є 8 . 1 ) ---------------- " 2) 25 18 _ ' 8 25 25 25 25 7 ' а 8 _ 8 ' 19 vl9^19y 11 11 12 [l2 19 а э 1 4) 11 1 2 j ” l2 1069.1) 2 її"П 11 5 25 7 _ 10 19 ~ 19 7 _ 3 . 19 “ 1 9 ’ JL -A 11 11 ї ї ’ 12 = 9 = w w w .4 bo ok .o rg 13 13 13 13 13 ^ ____1____2 _ 3 - 1 — I? = A = 2) 17 17 17 ” 17 17 J. 1 A A 3) A , 19 19 1 9 ; 19 19 19’ 6 H _ A = 13-12 + 5 A 4) ' 18' 18 Ї8 Ї8 18 1 8 ^ 1 8 ” 18 _ 13-7 1070.1) — + x = — X = X = 30 30 3 0 ’ 30 30 30 7 1 7-1 6 2) !/ + — = У= — - — У= ^ 17 17 17 17 17 17 14 10 4 10 + 4 , 3) 2 - — = 2= + ---- 2 = ■ 25 25’ 25 ’ ^ " 2 5 ’ 2 5 25 15 ^ 1 7 15 17-15 4 )iI -.= t = 40 40 40 4 0 40 40 16-14 ,4 14 16 16 14 1 0 7 1 . 1 ) — + x = — ; x = ------------; x = x = 19’ 19 19 18 19 19 12 9 9 12 9 + 12 2) X = — ; x = — + — ; x = --------: X = 25 25 25 25 25 25' 1 0 7 2 . Я кщ о a = — , A +A = A . 13 13 13 4 4 ^ n а то ----- h 13’ 13 “ 13' 6 6 = H = 1. а = то — + 13’ 13 ~ 13 9 9 16 = i A . ~ а = то ----- ^ 13 13 13 13’ cr A 19 19 8 11 1 0 7 3 . Я кщ о b = — , T O ----------= — . 29 29 29 29 *,13 13 8 5 Я кщ о 0 = — , T O ------------ = — . 29 29 29 29 ^ 9 9 8 1 ^ , 8 8 8 _ Я кщ о 0 = — , TO — : ------- = — . Я кщ о b = — , T O -------------= 0. 29 29 29 29 29 29 29 to 13 М АТЕМ АТИ КА , о. с. Істер Ш 375
    • 1 0 7 4 . 1 ) Я кщ о а = — , Ь = — , с = — , то 29 29 17 + 1 3 - 5 29 29 29 29 29' 29 2) Я кщ о а = — , Ь = — , с = — , то 97 97 97 + J _ _ l i - 42 + 1 - 4 3 _ _2_ _ о ^ 97 97 ~ 97 ~ 97 " 5 62 w .4 26 X 13 13 w w ^ 1 00 713 1 00 100 37. < 29. Зн ачення 6 13+ 2 80 13 2)бА .5:1і±9^ 74 — <— 13 13 7 100 + 13 2 ) 7 ^ = І:А ± ^ 5 5 5 ’ 1 1 - 7 + 4 _ 81 4) 1 1 - = 7 ~ 7. ' 10’ X 13 13 bo 10 10 4) 7 ok 11 11’ 3 - 4 + 1 _ 13 4 4 4 9-10 + 3 93 1 3) 9 .o 2 - 5 + 1 _ 11 1 5 5 ^Т_ 5 - 1 1 + 7 'її rg Щ об записати м іш ане число у в игляді не- ^ 5 3+4 _ 19 правильного д р обу, треба п ом н ож и ти його з 5 5 цілу частину на знам енник дробової частини, V до отриманого добутку додати чисельник дробової частини та запи сати отри м ан у сум у чисельн и ком неправильного др обу, а знам енник залиш ити без зм ін . 13 13 х: 2 7 , 2 8. 9 л: 5— < — 13 13 6— 13’ Значення л:: 75, 76, 77, 78, 79. 13 ^ г^ т 7 -9 + 8 9 9 9 В ідп овідь: 71. 71 9 . 1 0 7 8 . — = 7 - = ------------ = — , тоді т = і1. 1079.1) ■+ X 40 X = 49 2) 13 49 П 17 49 19 13 19 21 и — ; ----- 1 л = ----- 1----- ; - г 49 49 49 49 49 X = 49’ ±_' X+ ■ 17 49’ 17’ ^^17 17 X = 17 376 _ ” 49’ Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С , Істер 17’ ^^17 17’ ^ 17 17’
    • 5 X --------- 1 0 8 0 .1 ) — 19 15 5 х = — + — 19 ^ '' 27 х = — 19 X 39 25 = _ ; 19’ ^ ,1 л: = 1 — 19 19 19 19’ ^ 19 19’ ; 19 1 5 _ П _ ^ _ ^ 3 9 “ ^ ’ 39 ^ " 39 3 9 ’ 39 ^ “ 39 ’ _ ^ _ А . w ” 39 3 9 ’ Ш Ш 39' 1081.1) = 47 ^ 47 47 2 ) І І - А =А; А =ІІ_А ; ^ 12 12 17 17 ~ ’ 17 12 12 12 J L = ^ ; « = 22; 47 47 = і ^ ; а = 12; 12 12 12 1 7 “ і 7 ’ 17 " 17 bo w .4 ХУ Л - А . а-217’ 1 7 ~ 1 7 ’ ’ ’ їз~ Т з” ї з ’ ї з ’ їз ^ їз ’ Т з Т з ’ 1 0 8 2 . Р о зв ’я за н н я . 1, 11 9 2 1 ) ----------- = — — засадж ен о огіркам и; 19 19 19 О 2 Л 1 1 2 ) ----------- = — — засадж ен о морквою; 19 19 19 11 2 1 14 . 3) — + — + — = — — картопля, огірк и JУ . Ш ok . їз^ їз" = 37_15 4 7 47 4 7 or g 2) ; 19 20 Xу ХУ . і морква разом . В ідп овідь: — . 19 w 1 0 8 3 . Р о зв ’я за н н я . I спосіб. w 1) 2 0 0 : 20 = 10 (га) — значення — ділянки; 20 2) 10 •7= 70 (га) — ялини; 3) 10 •1= 10 (га) — сосни; 4) 70 + 10 = 8 0 (га) — ялини і сосни. I I спосіб. , , 7 1 8 1) — + -— = “ — частина поля, засадж ен а ялинкам и і соснами; 4^и 2) 2 0 0 :20 = 10 (га) — зн ачен ня — діл ян ки ; 3) 10 •8 = 8 0 (га) — зайнято ялинкам и і соснам и. В ідп овідь: 8 0 га. М А ТЕМ АТИ КА . О . С . Істер ш 377
    • 13 w .4 bo ok .o rg - 1 0 8 4 . Р о зв ’я зан н я . 6 7 13 1) — н = — — частина м арш руту, як у проїхав велосипедист 2S 26 25 за 2 години; 2) (75 ; 25) • 13 = З • 13 = 3 9 (км ) — проїхав за 2 години. В ідп овідь: 39 км. 1 0 8 5 . Р о зв'я за н н я . 1) (3 6 0 : 9) ■ 5 = 4 0 • 5 = 2 00 (кг) - - яблука; 2) 3 6 0 : 9 = 4 0 (кг) — груш і; 3) 2 0 0 - 40 = 160 (кг). В ідп овідь: на 160 кг. 1 0 8 6 . Р о з в ’я зан н я . 7 2 9 1 ) h — = — — частина, я к у становлять ли стян і дерева; 12 15 15 2) (3 0 0 : 15) • 9 = 2 0 • 9 = 180 (дер .) — листяні; 3) 3 0 0 - 180 = 12 0 (дер .) — хвой н і. В ідп овідь: 180 л и стяни х дерев; 12 0 хвой н и х дерев. 1 0 8 7 . Р о зв ’я зан н я. 5 7 12 „ . 1) — + — = — — частина, я к у подолали за 2 дні; 19 19 19 2) (36 : 12) ■ 19 = З ■ 19 = 57 (км) — увесь ш лях. В ідп овідь: 57 км. 1 0 8 8 . Р о зв ’я зан н я . 4 1) 4 м : 13 = — м — дов ж и н а частини перш ої м отузки; 13 7 2) 7 м : 13 = — м — дов ж и н а частини др угої мотузки; 13 13 w w з В ідп овідь: на — м. 13 8 4 5 6 , 1 0 8 9 . — + --------------------= 1. 13 13 13 13 1 0 9 0 . Р о зв ’я зан н я . П 9 ^ 7 ^ 5 ^ 11 + 9 + 7 + 5 _ 3 2 _ ^ 1 31^31^31^31“ 31 31 Зі’ Ц е означає, що сум а частин більш а, н іж один порт. В ідп овідь: ні. Вправи дл я повторення 1 0 9 1 . Р о зв ’я.ш ння. 1) 4 50 : 9 = 50 (п л.) — за 1 хв.; 2) 50 • 7 = 3 5 0 (п л.) — за 7 хв.; 3) 50 • 6 0 = 3 0 0 0 (п л.) — за 1 год. В ідп овідь: 3 5 0 пляш ок, 3 0 0 0 пляш ок. 378 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • Щ об знайти діл ен е при діл ен н і з остачею , треба п ом н ож и ти н е­ повну частку на дільник і до отриманого добутку додати остачу: а = Ь ■q + г. А ле Ь ■q = q ■Ь. тому якщ о а : Ь = q (ост. г), то а : q = Ь (ост. /■). Тобто остача не зм ін иться. .o rg 1 0 9 2 . Р о з в ’я за н н я . 38 X 1) л: : 38 = 15 (ост. 7); 15 л: = 38 • 15 + 7; 190 X = 577; 2) 5 77 : 15 = 38 (ост. 7). 38 В ідп овідь: діл ен е — 577; остача — 7. — 570 1 0 9 3 . Р о зв ’я зан н я . 1) 48 : 2 = 24 (см) — півперим етр, сум а су м іж н и х сторін; 2) 24 - 8 = 16 (см) — друга сторона; 3) S = 8 • 16 = 128 (см2). В ідп овідь: 16 см; 128 см-. § 3 3 . Д о д а в а н н я і в і д н і м а нн я м і ш а н и х ч и с е л bo ok При додаванні м іш ан и х чисел окрем о додаю ть ц іл і й окрем о дробові частини. Я кщ о дробова частина, я к у отрим али, є н е­ правильним дробом , треба виділити ц іл у частину. w w w .4 2 - + 3 - = 2 + 3-ь--н- = 5 + - = 5 + 1 - = 6 - . 5 5 5 5 5 5 5 При відн ім анні дію ть аналогічно, окрім вип адку, коли дробова частина зм енш уваного м енш а, н іж у в ід ’єм ни ка. Тоді у ц іл ої частини «позичаю ть» один иц ю , додаю ть ЇЇ до дробової частини і подаю ть цю сум у у вигляді неправильного дробу. Ф актично, ц іл у частину зм енш уваного зм енш ую ть на одиницю , а чисельник дробової — збільш ую ть на знам енни к . А налогічно віднім аю ть дріб від ц ілого числа. 8 4 = 1І. 3 ^ - 1 1 = 2 « - і І = (2~1). 5 5 5 5 5 5 1094.1 ) 4 . - З) = 4 --; 2) А + з = з А ; 11 11 6^ .2^ 6І; 9 9 9 1 4 1-9 9 З 5 6) 7 - - ^ 3 - = (7-t-3) + — -І- — = 10 + - = 10-ь1 = И . 8 8 8 8 8 4 4 1095.1) 7 + — = 7 — ; 2) - . 5 = 5 - ; 13 13 5) з | + 4 | = (3 + 4) +
    • 13 13 13 J_ 19 Г4 7 ' = 13 + — = 13 + 1 = 14. 8 ^ + 5 ^ = (8 + 5) + 11 п " П 6) 1 0 9 6 . Р о з в ’я зан н я . = 52-‘| , к г ) . rg 27 — + 2 5 — = (27 + 25) + 20 20 12 В ідп овідь: 5 2 — кг. 20 1 0 9 7 . Р о з в ’я зан н я . 3 1 1 2 - - 3 - = (12-3) + 5 5 5 5 = 9 + - = 9 - ( м ) . В ідп овідь: 9 - м . 5 5 5 1098.1) 5 - - 3 = ( 5 - 3 ) + - = 2 - ; 5 5 5 .o % >vXv <<<< <<* 4) 4 + 5 - = 9 ~ ; 9 9 Ы = 1 2І^ ; 19 19 bo ok . 5 , 5 2) 7 — - 2 — = ( 7 - 2 ) + А _ ± =5н = 5— ; 11 11 11 11 ^ 11 11 13-8 _ 5 Н _ А 3) 1 13 13 13 “ 13 13 w w w .4 4 ) 8 - І - = (7 + 1 ) - А = 7 І І - А = 7 І 1 : 17 17 17 17 17 9 2 = 2І; 9 9 9 19 6) 5 - 4 — = 4 — - 4 — = ( 4 - 4 ) + = 0+^ =^ . 19 19 19 19 19 19 19 1099.1) 7 | - 2 = (7-2) + | = 5 | ; 2) З — - 2 — = ( 3 - 2 ) + А _ 11 ' 11 11 6 11 -=— ; 3) 1 11 11 11 11 5) А 11 илг 1 з , з = 1 + — = 1— ; 11 11 З ,5 З ,2 4) б — = 5 --------- = 5 —; 5 5 5 5 Г7 _ 11 5 - 2 І = 4 ^ - 2 І = (4-2) + 7 7 7 7 7 6) l l - 1 0 - = 1 0 - = 1 0 - - 1 0 - = ( 1 0 - 1 0 ) + f - - - l = 0 + - = - . ’ 5 5 5 5 [5 5) 5 5 1 Ю О . Р о зв ’я зан н я . 1) 2 5 - + 2 - = 25 + 2 + - + - = 27 + - = 27 + 1 = 28 (к м /го д ) — ^ 8 8 8 8 8 ШВ И Д К І С Т Ь за течією;
    • 2 2 2) 2 5 - - 2 - = ( 2 5 - 2 ) + ^ = 23 + “ = 2 3 — (к м /го д ) — ш вид8 8 8 8 U 8 КІСТЬ проти теч ії. 2 В ідп овідь: 28 к м /год ; 2 3 — к м /го д . 8 1 1 0 1 . Р о зв'я за н н я . .4 о і 1 1 6 , , 1) 2 ------ 1 — = 1 — (т) — на др угій м аш ині; 20 20 20 2) 2 — + 1 — = 2 + 1 + — + — = 3 + — = 3 — (т) — на д в о х ма- 20 20 20 20 20 20 ш инах. 13 В ідп овідь: З — т. 20 л : - 4 — = 5 - - ; л: = 5 — + 4 — ; х = 9 — ; 19 19 19 19 19 17 17 17 17 2 ) 9 — - л: = 5 — ; х = 9 — - 5 — ; х = ( 9 - 5 ) + 48 48 48 48 ^48 х = 4; ok 9 — ; х = 9 — - 7 — ; д: = ( 9 - 7 ) + ''А _ А х = 2; 13 13 13 13 13 17 17 , . 1 2 ,.29 = — ; д: = — + 14 — ; л: = 14 — ; л = 14 + 1 : 19 19 19 19 19’ X = 15 — . 19 5 — + — = 5 — = 5 + 1— 17 17 17 17 Гп 8 — + 7 — = (8 + 7) + 19 19 19 19 w .4 1103.1) 2) ' 48 bo 3) х + 7 — = 13 1^2 4) х - 1 4 — 19 .o rg 1102.1 ) = 6— ; 17 w w = 15 + — = 15 + 1 — = 16 — ; 19 19 19 f9_5 , 2 , 2 3) 4 - - 2 - = 3 - - 2 - = ( 3 - 2 ) —1 н = 1 —; — 7 7 7 7 7 7 7 7 18 4) 1 8 — - 1 0 - - = 1 7 — - 1 0 — = 7 , 19 19 19 19 19 5) 1 2 ^ - 1 17 і А = 17 п ^ - 1 17 6) 5 А _ 1 £ = 4 ^ _ 1 3 19 19 19 19 1105.1) 2) А = 1І; 17 17 і 19‘ 8 — + — = 8 + — = 8 + 1— 13 13 13 13 7 — + 8 — = ( 7 + 8) + 29 29 І 29 3 )-5 --3 ^ = 4 + 1+ 8 8 29 = 9— ; 13 48 ,19 ,^19 -------= 15 + 1 — = 16 — ; —15 н 29 29 29 - З І = 4 “ _ З І = 1І; 8 8 8 8 М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 381
    • 4) 1 4 H _ l o H = l з l ^ - l o M . з ^ ; 27 27 27 27 27 5) 1 0 2 - і = 9 М _ і . 9 і ; 9 9 9 9 9 6) 1 3 - - - 1 2 — = 1 2 — - 1 2 — = ( 1 2 - 1 2 ) + 17 17 17 17 17 З 1 1 0 6 . 1 ) 5 — - 2 — + 3 — = ( 5 - 2 + 3) 11 11 її 11 2) 7 — - 1 — - З — = ( 7 - 1 - 3 ) + 13 13 13 13 1 1 0 7 . 1 ) 7 А _ б А + 5 Н = ( 7 _ б + 5) + 13 13 13 4 і - _ 1108.1) 11 4 = 11 11 = 6 + 1^ = 6 1^ ; 11 11 П " ї ї 4 4 = 3 +— = 3— . 13 13 13 8 13 13 13^13 ^ ]Ю = 6 + 1^ = 13 4 А _ 3 ^ = 19 19 ^ 14 ^14 7 +— = 7— . 19 19 7 том у 11 bo 11 17' .o 15І^-4А _3-1 =1 4 ^ 19 19 19 19 2 = = (14-4-3) + 19 19 / 17 ok 2) 4 rg = 6 + 1— = 7 А ; 13 13 =0+ 17 4 11 7 — + — = 1; 11 w .4 , 14 17 14 З 14 З , 2) 1 ------ = ---------- = — , тому — + — = 1; 17 17 17 17 17 17 „^ 5 9 5 4 , 4 5 3) 1 — = ---------= —, том у 1 — = —; 9 9 9 9 9 9 w w 13 , 13 5 8 13 8 , 4 ) ------- 1 = ----------- = —, т о м у = 1. 5 5 5 5 5 5 1 1 0 9 . Р о з в ’я зан н я . 9 13 22 2 ~ ^ др угом у пакеті; 9 2 11 2) 1 — + 2 — = 3^— (кг) — у двох пакетах; ^ 20 20 20 11 20 11 9 3) 6 - 3 — = 5 ----З — = 2 — (кг) — у третьом у п ак еті. 20 20 20 20 9 В ідп овідь: 2 — кг. 20 11 ЛО. Р о зв ’я за н н я . 17 18 42 1Я 24 1) 27 — - 2 — = 2 6 — - 2 — = 2 4 — (га) — друга ділянка; ’ 25 25 25 25 25 2) 27 — + 24 — = 5 1 ^ = 5 2 — (га) — перш а і др уга ділянка; 25 25 25 25 382 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 25 ,1 6 = 79 — ‘ 25 25 .1 ^ '2 5 третя д іл я н к а. 25 га. 25 4 ' - 5 -^ = lA : x + 3 — = 1— + 5 — ; 11 11 11 11 11 11 ^„4 „13 «13 „ 4 „9 х + З — = 6 — ; x = 6 ------- З — ; x = З — : 11 11 11 11 11 х - 1 - + 3 - = 4 -; х - 1 - = 4 - - 3 - ; 9 9 9 9 9 9 , 8 6 18 6 ,14 х - 1 - = - ; х = 1 - + - ; х = 1 — ; х = 29 9 9 9 9 2) Ш ?: ,1 3 х - 1 - = 3— -3 -; 9 9 9 8— -X 19 19 .ЗІ^; 19 8 І - - . =7 А _ 19 19 І Н: 19 з .o 3) 7 rg Інколи при р озв ’я зан н і рівнянь або задач м ож н а не виділяти ц іл у частину з неправильного дробу в п р ом іж н и х резул ьтатах. 8 І - х = З І І ; х = 8 -1 -3 -1 ^ 19 19 19 19 19 19 -7 20 „ 1 7 .3 X = 7 -------- З — ; X = 4 — ; 19 19 19 4 .6 ^10 ,4 4) 5 - + 4 ® . х = 1 0 - ; 4 - + х = 1 0 - - 5 - : 4 - + Х = 9 ------- 5 - ; 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6 +X= 4— , 6 — 4® 7 7 7 7 17 8 ' 123 .8 1112.1) 8 х-5 = 1— ; х - 5 — = | І І _ 1 ^ L 35 35 35 35 ’ 35 35 _ 8 52 23 . 8 „29 «29 _ 8 , , 37 х - 5 — = 7— -1 — ; х - 5 — = 6— ; х = 6— +5— ; х = И 35 35 35 35 35 35 35 35 w w w .4 bo ok 19 = 1235 4 2) 1 0 — 13 X -X -5ІА = 13 з А: 13 .П 4 10 13 X „8 Л І = 3— + 5— ; 13 13 1 0 — - х = 8 — ;1 0 — - х = 9 — ; х = 1 0 — - 9 — ; 13 13 13 13 13 13 ОІ 7 о X 11 X = 9 ------9 — ; б = — . 13 13 13 1113.1) 7 - 2 - Чі . — + 41 0 = 11 2) 1 2 у - 5 - + 3 7 7 11 11; , 18 +4 H = 4 A + 4l^ = 8:^ = 9 ^ ; 11 11 11 11 11 = 1 2 І - 8 Н = і 2 І - 9 ^ = 1 1 ^ - 9 ^ = 2^; 7 7 7 7 7 7 7 MATEM/VTMKA. о. С . Істер Ш 383
    • 3) 8 Н _ 8 І 7 7 5«-3^ 7 7, 4) 4 5) qA _ 5 A 17 І ^ . 13 1 9 А _ 7 і 6^ 19 19 17 ііі_ 6 = і£ ; 7 7 7 - 4 — = 8 - - 4 — = 9 - 4 — = ; І І - 4 А = 4 і ^; 17 17 17 17 4 17 17 4 6) ш т = і 8 і А І =4 - 2 ^ = 13 , 13 8 , з Н _ 13 з Х =А; 13 13 _! і8 ^ -7І^ -7« = [ 8 19 , > 19 = 11— - 8 = 3 — . 19 19 2) 18 7Н ^.ЗІІ 19 19 2 , 4 ' / 8 5 ^ 13 7 — + 4 — — 3 ------1 — = 11 — 11 11 11 , 11 11; -4 ^ ^ = 8 ^ - 4 ^ = 9 - 4 ^ = 8 Н _ 4 ^ = 4 ± ; 11 9 11 11 11 11 11 3- +59 9 П f „ 4 „ 11^ L G ^ 5 ^ f „19 „111 -З 1 0 ------ 2 — — 1 — + 2 — — 9 ------ 2 — 15 15 11 11 11; 15 15; w .4 5) f„13 , 4 2 ------ 1 — 11 11 , bo = Ц І ^ -іА = 10±; 11 11 11 4) = 18— - 1 0 — = 18— - 1 1 — = 7 — ; 19 19 19 19 19 ok . 3) 19 or g к 3 ^ „ 3 ^г,17 к 3 8 - 5 — + 3 — — 7 — ■5 — + 3 — = 2 — + 3 — = 5 — = 6; 17 17 17 17 17 17 , 17 17; 1114.1) з А . 15 w =7А _4 = 15 1 1 1 5 . Р о зв ’я за н н я . w 1) 1 0 - - 6 — = 9 — - 6 - = 3 - (л) — третій бідон; 5 5 t. 5 5 5 3 2 1 2) 10 — 7 — = 3 — (л) — перш ий бідон; 5 5 5 3) 6 - - 3 - = 3 - (л) — другий бідон. 5 5 5 В ідп овідь: З і л; З — л; З — л. 5 5 5 1 А Л 6 .Р о з в ’я за н н я . 1) 240 : 8 ■ З = 9 0 (км) — за перш у годину; 2) 9 0 - 2 - = 8 9 - - 2 - = 8 7 - (км) — за др угу годину; 5 5 5 5 384 Ш М АТЕМ АТИ КА . О , С. Істер
    • 3) 2 4 0 - 90 + 8 7 - ' = 2 3 9 - - 90 - 8 7 - = 6 2 5 5 5 5 (к м ) — за третю годину. В ідп овідь: 6 2 — км. 5 1 1 1 7 . Р о з в ’я зан н я . 12 5 1) 1 2 : 7 = — = 1 — (м) — дов ж и н а о д н ієї частини; K<v 2) 1 у + 1 у + 1 у = 3 ^ = 3 + 2 у = 5 у (м) — периметр трикутника. rg В ідп овідь: 5 - м . 7 1 1 1 8 . Р о зв ’я за н н я . 17 8 1) 1 7 : 9 = — = 1 — (м) — одна частина; .o 2) Р = 1 - + 1 - + 1 - + 1 - = 4 — = 4 + 3 - = 7 - (м). 9 9 9 9 9 9 9 ok В ідп овідь: 7 - м . 9 1 1 1 9 . Задач у р озв ’язано в п ідр уч н ик у. w w w .4 bo В прави д л я п овторення 1 1 2 0 . 1 ) 5 дм2 = 50 0 см2; 2) З м^ = ЗОООО см^; 3) 15 а = 1500 м2; 4) 13 см^ = 13 ООО мм^; 5) 8 дм^ = 8 0 0 0 см^; 6) 37 = 37 ООО ООО см^ 1 1 2 1 . 1 ) На перш ом у ск л аді зберігається 5 1 3 7 кг картоплі, на д р у ­ гом у — на 132 кг більш е, н іж на перш ом у, а на третьом у — на 4 7 9 кг біл ь ш е, н іж на др у го м у . С кільки всього к ар топ л і на трьох ск ладах? Р о з в ’я за н н я . 1) 5 1 3 7 + 132 = 5 2 6 9 (кг) — II склад; 2) 5 2 6 9 + 4 7 9 = 5 7 4 8 (кг) — III склад; 3) 5 1 3 7 + 5 2 6 9 + 5 7 4 8 = 16 154 (кг) — усього. В ідп овідь: 16 154 кг. А налогічно м ож н а скласти задачі на будь-як у тем ати к у, як а] п ідходить за зм істом схем и і числам и. Н априклад: У перш ом у ... 4 5 9 2 ..., ш;о на 13 7 ... більш е, н іж у др угом у, а у третьому ... — на 9 83 ... м енш е, н іж у др угом у. Скільки всьо­ го ... у трьох ...? Р о зв ’я зан н я . 1) 4 5 9 2 - 1 37 = 4 4 5 5 — у II; 2) 4 4 5 5 - 9 8 3 = 3 4 7 2 — у III; 3) 4 5 9 2 + 4 4 5 5 + 3 4 7 2 = 12 51 9 — всього. В ідп овідь: 12 519. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 1 3 У сіГД Р, 5 к л . 385
    • Д ом аш н я сам остій на робота № 6 2 . — > — . В ідп овідь: Б. 11 11 1 . — . В ідп овідь: В. 13 З 3 . — . В ідп овідь: Г. 13 4 . 8 0 : 16 • 9 = 45 (км). В ідп овідь: А . 13 9 13 X = 29— - х = 5— -2 — ; 13’ 13 13 13 9 ^ - х =4І^ -2^; 13 13 13 9А 13 х х =9 І-2 І^ ; 13 13 х =бА. 13 13 13 В ідп овідь: А. 21 = 7. З ам ін им о дріб діл ен н ям і скористаєм ось правилом 10. х -3 зн а х од ж ен н я н евідом ого дільника. 21 : (X - 3) = 7; X - З = 21 : 7; л: - З = 3; X = З + 3; X = 6. В ідп овідь: Г. w .4 bo ok х = 8І1_2І^; = 2І^ ; 13 .o 9. 5 rg 37 2 5 . — = 5 —. В ідп овідь: В. 7 7 19 11 8 ^ -L = ------------ =— . В ідп овідь: Г. б.і^ 23 23 23 23 23 23 7 . 4 0 : 2 • 5 = 100 (кг). В ідп овідь: В. 13 8 . 7 кг 13 кг = 7 кг. В ідп овідь: В. 1000 w w 1 1 . Д роби — і ^ одночасно є неправильним и, якщ о п > 5 і п < 9, 5 п а також п = 5 і п = 8. З а п и ш ем о н ер ів н ості у в и гл я ді п одв ій н ої: 5 < п < 8 . О тж е, п м ож е прийм ати значення 5, 6, 7, 8. В ідп овідь: 4 числа. 1 2 . Р о зв ’я зан н я. З а дв і год и н и в ел о си п ед и с т п одол ав т ак у ч а ст и н у ш л я х у : 5 4 9 1 ----- = — . Ц е становить 27 км . В и зн ач и м о весь ш л я х за 17 17 17 значенням його дробу: 2 7 : 9 1 7 = 3 1 7 = 51 (км). В ідп овідь: В. З авдання для п еревірки зн ан ь № 6 (§§ 2 7 - 3 3 ) 1 . 1 ) і ; 2) — . ^8 11 7 5 2 . 1 ) — > — , бо знам енн и к и однакові, а 7 > 5; 12 12 386 ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 2) 1 = — , бо — = 18 :1 8 = 18 18 .4 4 . . . 5 4 5 4) — < 1 , бо 1 = —, а — 5 5 5 3 . 1 ) 1 ; 2 ; і ; 2) і ; І ; 3 7 8 4 2 4 . Р о зв ’я зан н я . 5 1; 3) — > 1, бо — = 1 — , а 1 — > 1; 31 31 31 31 . З 1) 28 : 7 = 4 (уч .) — зн ачен ня і ; 2) 4 • 6 = 24 (уч .). В ідп овідь: 24 уч н і. О? у 1 90 = 1 2 0 : 4 = 30. 2 ) 9 І + І = 9 І ± І = 9^; ^ 7 7 7 7 3) .o 7 ^ 10 ^ 1 4 - 7 + 10 _ 17_ 27 27 " 27 ” 27 ’ 117 ^ 17 ok 2) — 4 6 1) 14 27 rg 5 . 1 ) — = 1 — ; 37 : ЗО = 1 (ост. 7); ЗО ЗО 17 =А ; 17 bo 4) б А , 2 І - - 4 А = 8 А _ 4 А = 7 ^ - 4 А = з ^ . 23 23 23 23 23 23 23 23 7 .Р о з в ’я зан н я . w .4 1) 120 : 5 = 24 (с.) — значення —; 8 2) 24 • 8 = 192 (с.) — у к н и зі. В ідп овідь: 192 сторінк и. 8 73 м; 8 дм = — м; 7 дм З см = 73 ом = м; 10 100 5 127 7 5 с = — хв; 127 с = --- ■хв = 2 — хв. 60 60 60 4 100 w w 8 . 1 ) 4 см = 2) 9 . Д р іб — є неправильним , якщ о х дорівню є 1, 2, З, 4 , 5 або 6. X т , х +3 . . Д ріб ------- є неправильним , як щ о х дорівню є тільки двом із ц и х 8 чисел: 5 і 6. В ідп овідь: 5; 6. а . 8 а , 8 10. 1 ) --- 1 = — ; — = 1+ — ; 17 17 17 17 1 7 1 7 1 1 7 2 )7 - +- = 8-; - = 8 І - 7 - ; 9 а 9 а 9 9 В ідп овідь: 1) а = 25; 2) а = 7. а . 8 — = 1 — ;— 17 17 а 15 = — - = 1; а = 7. а М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 13* __ ; а = 25; 17 17 Щ 387
    • 1 1 . Р о зв ’я зан н я . Н ехай дов ж и н а м ен ш ої частини х м , тоді дов ж и н а біл ьш ої — З х + 210 м. М аємо рівняння: х + 210 = 10 — ; (х + х) + 2 — = 10 — ; 2 х = 10 — - 2 — : 10 10 10 10 10 2 х = 8 ; х = 4. 4 + 2 — = 6 — (м). 10 10 ^ З В ідп овідь: 4 м; 6 — м. 10 §34. Десятковий дріб. Запи с десяткових дробів 10 bo ok .o rg Д роби зі зн ам енн и к ам и 10, 10 0 , 1000 1 т. д. записую ть у вигляді д есятк ов и х дробів. С початку п и ш уть ц іл у ч а ст и н у (я к щ о др іб правильний, то пиш уть нуль), п о ­ тім ставлять к ом у, а п ісля н еї — чисель­ ник дробової частини, який повинен мати стільки циф р, ск ільк и н улів у зн ам ен ­ нику. Я кщ о циф р не вистачає, то перед чисельником (п ісл я ком и) дописую ть п о­ трібну кількість нулів: = 3,8; 2 ^ = 2,05; 100 ® = 0 ,0 0 3 . 1000 w w w .4 1 1 2 3 . 1 ) 8 сотих; 2) 1 десята; 3) 1 десятитисячна; 4) З тися ч н и х. 1 1 2 4 . 1 ) 0 ,5 — нуль ц іл и х п ’ять десятих; О — оди н и ц і, 5 — десяті; 2) 0 ,0 5 — нуль цілих п ’ять сотих; О — одиниці, О — десяті, 5 — соті; 3) 1 ,7 — одна ц іл а сім десяти х; 1 — оди н и ц і, 7 — десяті; 4) 1 ,0 0 7 — одна ц іл а сім тисячних; одна ціла нуль д еся ти х , нуль соти х, 7 тисячних; 5) 5 ,1 1 3 — п ’ять ц іл и х сто тринадіі;ять тисячних; 5 — оди н и ц і, 1 — десяті, 1 — соті, З — тисячні; 6) 0 ,1 2 5 — нуль ц іл и х сто двадцять п ’ять тисячних; О — о д и ­ н и ц і, 1 — деся ті, 2 — соті, 5 — тисячні; 7) 4 ,0 3 7 — чотири ц іл и х тридцять сім тисячних; 4 — оди н и ц і, О — десяті, З — соті, 7 — тисячні; 8) 5 ,2 7 0 3 — п ’ять ц іл и х дві тисячі сім сот три десяти ти сяч н и х; 5 — один и ц і, 2 — д еся ті, 7 — соті, О — ти ся ч н і, З — десятитисячні. 1 1 2 5 . 1 ) — = 0,3; ' 10 4) ^ 388 = 1.7; 2) 100 = 0 ,0 3 ; 5) 5 ^ ^ = 5,3; Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер = 0 , 003; 1000 47 = 0 ,4 7 ; 6) 3) 100
    • 10) 4Q? ^ ^ 1000 17 1 8 ) 2 - — = 2,17; 9 ) 1 5 — = 15,01; 100 100 1 7Я 1 7 ,0 1 2 ; 1 1 ) 8 = 8,173; 1000 = 0 ,4 9 2 ; 12 17— 1000 = - 7) 12) 152 —^ = 1 5 2 ,0 0 7 . 1000 1 1 2 6 . 1 ) — = 0,7; 10 ^ 2 ) — - = 0 ,1 7 ; 100 3 ) - — = 0 ,0 1 7 ; 1000 4 ) 2 — = 2,3; ' 10 5 ) 8 — = 8,1; 10 6 ) — = 0 ,3 7 ; 100 7). 2 - ^ — = 2 ,0 0 3 ; 8) 1000 1000 9)17— 100 = 1 7 ,0 9 ; 071 1 4 -5 ^ 1000 or g 1 0 10) = 0,541; = 1 4 ,0 1 3 ; 11) 1 1 2 — — =112,371; 1000 ok . 12) 1 —^ = 1 ,0 0 3 . 1 000 1 1 2 7 . 1 ) 2 5 ,8 ; 2) 0,9 ; 3) 9 ,7 2 ; 4) 0 ,8 2 ; 5) 1 1 5 ,0 5 7 ; 6) 0 ,0 0 3 . 1 1 2 8 . 1 ) 3 7 ,1 ; 2) 5 ,8 2 ; 3) 1 1 9 ,0 7 3 ; 4) 0 ,5 ; 5) 0 ,7 8 ; 6) 0 ,0 0 4 . 4) 2 ) — = 0 ,1 7 ; Ш 3)-— = 0 ,0 2 7 ; 1Ш bo 1 1 2 9 . 1 ) — = 0 ,8 ; 10 - ^ = 0,7 ; 10 5) - - ^ = 0 ,0 2 ; 100 6 ) - i ^ = 0 ,0 1 2 . 1000 1130.1) w .4 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм 5дм = ^ м 42 100 w 3) 42 см = w 4) 117 см = = 0,5м; 2) 12 дм = м = 1 ^ м = 1,2 м; м = 0 ,4 2 м; 100 м = 1 100 м = 1,17 м; 5) 5 мм = —- — м = 0 , 0 0 5 м; 1000 25 6) 2 см 5 мм = 25 мм = м = 0 , 02 5 м. 100 1 дм = 10 см = 100 мм 42 см = дм = 4 — дм = 4 , 2 м; 113 см = 100 м = 1 0 — дм = 1 0 ,3 дм; 10 1131.1) 2) М АТЕМ АТИ КА , о. с. Істер Ш 389 Ш
    • 3) 10 2 5 см = 10 g 4) 5 мм = дм = 0 , 0 5 дм; 17 5) 17 мм = дм = 0 , 17 дм; 6) 4 см 7 мм = 47 мм = дм = 0 ,4 7 дм. 59 1 1 3 2 . 1 ) 52 коп. = 2) 4 коп. = 100 грн. = 0 ,5 2 грн; грн. = 0 , 0 4 грн; ^ 130 30 грн. = 1 грн. = 1,3 0 грн. = 1,3 грн.; 100 100 ^ . .o 4) 130 коп. = rg 3) 1 грн. 15 коп. = 1 ^ ^ грн. = 1,15 грн.; грн. = 4 — грн. = 4 ,0 5 грн.; ^ 100 100 ’ ’ 1042 42 6) 104 2 коп. = ------- грн. = 1 0 -------- грн. = 1 0 ,4 2 грн. 100 100 1 1 1 3 3 . 1 ) 152 г = кг = 0 , 152 кг; 1000 bo ok 5) 4 0 5 коп. = 2) 13 г = —— кг = О, 0 1 3 кг; 1000 w .4 3) 5 г = —^ кг = 0 , 0 0 5 кг; 1000 4) 4 0 1 7 г = 1000 кг = 4 - кг = 4 ,0 1 7 кг; 1000 5) 5 кг 48 г = 5 0 4 8 г = кг = 5 кг = 5 ,0 4 8 кг; 1000 1000 1007 7 6) 1 кг 7 г = 1 0 0 7 г = кг = 1 кг = 1 ,0 0 7 кг. 1000 1000 w w |р - : дм = 1 0 2 — дм = 1 0 2 ,5 дм; 10 _________________1 т = 10 ц = 1 0 0 0 кг 1 1 3 4 . 1 ) 341 кг = - ^ т 1000 = 0 ,3 4 1 т ; 2) 18 кг = — ? - т = 0 , 0 1 8 т; 1000 3) 3 кг = —^ т = 0 ,0 0 3 т; 1000 4) 4 5 91 кг = т = 1000 7 5) 7 ц = ~ ц = 0 ,7 т; 10 390 ш 4 -^^^ т = 4 ,5 9 1 т; 1000 6) 7 ц 18 кг = 718 кг = М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 71Я 1000 т = 0 ,7 1 8 т.
    • Щ об за п и с а т и д е с я т к о в и й д р іб у в и г л я д і зв и ч а й н о го дробу або м іш аного числа, треба: 1. Записати ц іл у ч астин у. Я кщ о вона дорівню є н улю , не п и ­ ш ем о нічого. 2. У чи сельни ку зап и сати деся тк ов і зн ак и (н ул і на початку і в к ін ц і опустити). 3. У знам енн ик у зап исати один иц ю і стільки н улів, ск ільк и цифр після коми в зап и су десяткового дробу. 1135.1)2,7 = 2— ; 10’ 7 4) 5 ,0 0 7 = 5 — — ; 2)41,21 = 41 -— ; 1 00 401 5)0,301 = - ^ ; 1000 ’ 6) 0 ,0 9 9 = ^ 100 Q Q 1000 2 2 ) 1 3 , 2 = 13 — ; 10’ 7 3 ) 8 , 0 7 = 8: 100 5) 0 ,0 0 4 = —^ ; ’ 1000’ 6) 0 ,0 5 2 = ’ 1000 .o rg 1Q 1 1 3 6 . 1 ) 4 , 1 3 = 4 — -; 100’ 4) 1000 ’ 3 ) 4 1 3 , 0 3 = 4 13 4 ,0 1 3 = 4 - і ^ ; 1000’ bo ok П означаю чи деся тк ов і др оби, за оди н и ч н и й в ідр ізо к зр уч н о обирати 10 клітин ок . Тоді одна клітинка — це — , або 0 ,1 . І 1 1 3 7 . О диничний в ідр ізок дорівню є 10 п оділ ок , о т ж е, одна п о д іл ­ w w w .4 ка — це 0 ,1 . А (0,4); Б (2 ,2 ); С (0,7); Л (1 ,1); £ ( 1 ,6 ) . 1 1 3 8 . Д есять поділок відповідаю ть числу 0 ,1 . Тоді одна поділка відповідає чи сл у, у 10 разів м енш ом у: 0 ,0 1 . М (0 ,0 2 ); Д О ,04); АГ(0,06); Я (0 ,0 9 ); Р (0 ,1 1 ). 1 1 3 9 .L ( 0 ,3 ) ; С (0,7); Л (1); Р (1,5 ); Щ 1 ,9 ). 1 1 4 0 . М іж двом а су с ід н ім и натуральн им и числам и (5 і 6 або 6 і 7) — 10 п оділ ок. Тоді цін а п оділ к и — 0 ,1 . Буква R стоїть на відстані 0 ,1 лівіш е від числа 5 — це число 4 ,9 . Буква S — на в ідстан і 4 п оділ ок правіш е від чи сл а 5, о т ж е, 5 (5 ,4 ). А н алогічно, і^(6); G (6,5); Н{ 7, 2) . 1 1 4 1 . 1 8 3 4 , 2 — одна тисяча вісім сот тридцять чотири ц іл и х дві десятих; 1 8 3 ,4 2 — сто вісім деся т три ц іл и х сорок дві сотих; 1 8 ,3 4 2 — вісім надцять ц іл и х триста сорок дві сотих; 1 ,8 3 4 2 — одна ціла вісім тисяч триста сорок дві десятитисячних. 0 1 2 1142. 1143. 0,2 0,7 0,9 О 1,2 1,5 1 0,3 0,5 0,8 1,1 1,4 1 ^ 4 4 . В ідп овідь: 1, 2, З, 4. М АТЕМ АТИ КА , о. С. Істер Ш 391
    • 437 7 1 1 4 7 . 1 ) — = 4 3 — = 4 3,7; 10 10 4 , ? 2 1 2 , 2 о І 5 - = 2 0 ,ІЗ ; 100 100 40 027 , 27 6) _ = 4 = 4 ,0 0 2 7 . 10 ООО 10 ООО 3 ) 1 ^ 1 = 1 5 - ^ = 1 5 ,3 7 100 100 5) = 7 І 2 І = 7 ,3 9 1 1000 1000 2) = 3 1 — = 31,1 1148.1) — 10 10 = 204 — = 2 0 4 ,7 ; 10 10 3 ) ™ = 1 7 ^ = 1 7 ,9 8 4) ^ ^ = 3 0 — = 3 0 ,0 5 ; 100 100 100 100 17 152 513 = 1 7 ^ = 17 ,15 2; 6 ) 1 ^ = 7 = 7 ,0 5 1 3 . 5) 1000 1000 10 000 10 ООО 1 7Я Ч 1 1 4 9 . 1 ) 1 7 3 : 1 0 = — = 1 7 — = 17,3; 2) 73 08 : 1 0 0 = 100 10 or g 10 = 73 — = 7 3,0 8; 100 74 7 3 : 1 0 0 = — = 0,73; 4 ) І ^ ? і = 1 - 5 ^ = 1,537; 100 1000 1000 5) 4 5 7 : 1 0 0 0 = 0 ,4 5 7 ; 6) 3 0 0 5 : 10 ООО = 0 ,3 0 0 5 . 1 0f; 1 1 5 0 . 1 ) 1 2 5 : 1 0 = — = 1 2 — = 12,5; ok . 3) 10 10 bo 17 = 0,1 7; 17:100 = 100 2) 4 ) 8 0 0 5 :1 0 0 0 = 1151. Е 1000 = 3 - ^ = 3 ,29 5; 1000 5 =8 = 8 ,0 0 5 . w .4 3) 3 2 9 5 :1 0 0 0 = А 1000 в 1000 w « «і? с(і) w Одна клітинка відп овідає 0 ,1 . З н айдем о і від 10 клітинок: 10 : 2 = 5 (кліт.); і від 10 кліти2 5 нок: 10 : 5 = 2 (к літ.). 1152/ о м,г і =0,25 л. 1 = 0,75 1 Одиничний в ідр ізок дорівню є 20 клітинок. 25 1) 0 ,2 5 = цей др іб означає, щ о одиницю п оділ и ли на 100 р івних частин і взяли 25 таки х частин. Оскільки 100 = 25 - 4 , то 0 ,2 5 = і . 4 392 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 1 75 О скільки 0 , 25 = —, а 75 = 25 • З, то дріб 0 ,7 5 = --- озн ач ає, 4 100 що одиницю п оділ или на 100 частин і взяли 75 таки х частин, g або тричі по 2 5 , або три чверті. О тж е, 0 , 75 = —. 4 1 1 5 3 . 1 ) 3 6,5 °; 2) 37,2 °; 3) 38,3 °; 4) 3 7 ,9 °. 2) 1 1 5 5 .1 % % ^ — червоний 2 см ж овтий 5 см П лощ а прям окутника S = 2 • 5 = 10 (см^). 1000 3) 4 м 2 см 5 мм = 4 о 4) 5 м 2 мм = 5 1000 1000 25 1000 м = 0 , 701 м; .o 7 дм 1 мм = 701 мм = м = 4 ,0 2 5 м; ok 2) 701 rg 1 см^ — це — = 0 ,1 площ і, тоді 0 ,2 — це 2 см^, а 0 ,3 — З см^. 10 538 м = 0 , 5 3 8 м; 1 1 5 6 . 1) 5 дм З см 8 мм = 538 мм = м = 5 ,0 0 2 м. 705 7 ц 5 к г = 705 т = т = 0 ,7 0 5 т; 1000 915 т = 1 9 ,9 1 5 т; 2) 19 т 9 ц 15 кг = 19 т 9 15 кг = 19 1000 13 3) 8 т 13 кг = 8 т = 8 ,0 1 3 т; 1000 218 4) 152 ц 18 кг = 15 т 2 ц 18 кг = 15 т 2 1 8 кг = 1 5 1000 = 1 5 ,2 1 8 т. 1 1 5 8 . 1 ) 1 см^ = 0,01 дм^ 1 дм^ = 100 cм^ тому т = w w w .4 bo 1157.1) 1 см^ = дм^ = 0 ,0 1 дм^; 2) 1 м^ = 100 дм^, том у 1 дм^ = 3) 1 м^ = = 10 ООО CM- , тому 1 см^ = 10 ООО 4) 1 а = 100 м том у 1 м^ = 0,01 м^; м^ = 0 ,0 0 0 1 м^; а = 0 , 01 а; 5) 1 дм^ = 1 0 0 0 см'^ том у 1 см® = 1000 6) 1 м^ = 1 0 0 0 дм^, том у 1 дм® = 1000 дм = о, 001 дм ; м® = 0 ,0 0 1 м®. М АТЕМ АТИ КА, о. С . Істер Ш 393
    • П равильні рівності 2, 4, 6, 8. 1159. 1160.1) 12 см^ = ^ 2) 13 см^ = 3) З дм" = 13 дм^ = О Д 2 дм^; = 0 ,0 0 1 3 м"; 10000 З = 0 ,0 3 27 = -------а = 0 ,2 7 а; 100 4) 27 100 5) 17 см^ = 17 1000 6) 4 3 7 дм® = дм® = 0 ,0 1 7 дм®; 1000 rg [ 1 дм" = 1 0 0 0 см" 1 = 1 0 0 0 дм" 1 дм2 = 100 см== = 10 ООО мм^ 1 м" = 100 дм2 = 10 ООО см2 1 а = 100 ^ 7 см'^ = ^ дм^ = о , 0 7 дм^; 100 1427 2 = 0 ,1 4 2 7 м^; 1 4 2 7 см - = 10000 ok 2) .o 1161.1) 93 дм^ = = 0 ,9 3 м^; 100 2 4) 2 м^ = а = 0 , 02 а; ' 100 w .4 5) 8 23 см® = bo 3) 6) 14 дм® = м® = 0 ,0 1 4 м®. 1000 1 1 6 3 . Задач у розв’я зано в п ідр уч н ик у. w w Вправи дл я повторення 1 1 6 4 . 1) 72 381 : З = 24 127 (кг); 2) 72 9 2 5 : 5 • 4 = 58 3 4 0 (м); "б 12 З 5 22 14 58 5 58340 ~20 29 12 25 42 21 '2 1 О 394 14585 729 2 5 24 1 2 7 72381 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер ~40 25 25 О
    • 3) 14 км 56 м = 14 0 5 6 м, 14 0 5 6 : 7 • 4 = 8 0 3 2 (м); 14056 7 14 4) 8 ц 1 кг = 8 0 1 кг, 801 : 9 • 7 = 62 3 (кг). 801 9 2008 89 X 72 2008 89 7 623 8032 81 56 О О 1 1 6 5 . Р о зв ’я зан н я . w .4 bo ok .o rg Н айбільш е двоцифрове число — 99; най м ен ш е трициф рове ч и с­ ло — 100. 100 + 99 = 199. Н айбільш е трициф рове число — 99 9 . 9 9 9 - 1 99 = 8 0 0 . В ідп овідь: 80 0 . 1 1 6 6 . Р о зв ’я зан н я . 1) 36 : З = 12 (см) — сторона трикутника і квадрата; Р = 12 • 4 = 4 8 (см) — перим етр квадрата. В ідп овідь: 4 8 см. 2) 81 : 3 = 27 (см) — сторона трикутника і квадрата; S = 27^ = 729 (см^) — плош;а квадрата. В ідп овідь: 729 см^. 3) S = а^, = 9, а = 3 м — сторона. р = 3 ■3 = 9 (м) — перим етр трикутника. В ідп овідь: 9 м. § 3 5 . Порівняння д е с я т к о в и х др о б ів w w Щ об порівняти два десятк ові дроби, треба спочатку порівняти їх ц іл і частини. Б ільш им буде др іб, у якого більш а ц іл а ч ас­ тина: 5 ,2 7 > 3 ,2 7 . Я кщ о ц іл і частини р івн і, то порівню ю ть дробові частини порозрядно, починаю чи з десяти х. Якш;о число десятк ови х знаків після коми у порівню ваних дробів відрізняється, тоді п ри п и сує­ мо справа н еобхідн у кількість нулів до дробу, де знаків м енш е. В загалі, якш;о справа до десяткового др обу приписати н ул і або відкинути н ул і, то дістанем о дріб, рівний даном у. 2) 4 ,0 0 0 = 4; 3) 2 0 ,0 1 0 = 2 0 ,0 1 ; 4) 7 ,0 3 0 3 0 = 7 ,0 3 0 3 ; 5) 1 5 ,1 0 0 0 0 = 1 5 ,1 ; 6) 7 ,0 7 0 0 0 0 0 = 7 ,0 7 . 2 ) 5 , 0 0 = 5; 3 )1 7 ,0 1 0 1 0 = 1 7 ,0 1 0 1 ; 1 1 6 9 . 1 ) 3 ,7 0 = 3,7; 4) 9 ,0 0 0 3 0 = 9 ,0 0 0 3 ; 5) 1 7 ,0 2 0 0 = 1 7 ,0 2 ; 6) 3 ,0 0 3 0 0 0 = 3 ,0 0 3 . 2) 1 7 ,2 5 > 1 6 ,2 5 ; 1 1 7 0 . 1 ) 3 0 ,0 7 < 3 0 ,1 1 ; 3) 5 ,7 = 5 ,7 0 0 ; 5 ,6 4 5 < 5 ,7 0 0 ; 5 ,6 4 5 < 5,7; 4) 0 ,1 1 = 0 ,1 1 0 ; 0 ,1 2 4 > 0 ,1 1 0 ; 0 ,1 2 4 > 0 ,1 1 . 1 1 7 1 . 1 ) 8 ,7 2 5 > 8,527;2) 3 2 ,9 9 < 3 3 ,8 7 ; 1 1 6 8 . 1 ) 0 ,6 0 = 0,6; М АТЕІИАТИКА. О . С. Істер Ш 395
    • ok .o rg 3) 4 ,9 = 4 ,9 0 0 ; 4 ,9 0 0 > 4 ,8 8 9 ; 4 ,9 > 4 ,8 8 9 ; 4) 0 ,2 = 0 ,2 0 0 ; 0 ,2 0 0 < 0 ,2 0 1 ; 0 ,2 < 0 ,2 0 1 . 1 1 7 2 . 1 ) 12, К 13,4; 2 ) 1 4 , 5 0 = 14,5 ; 3) 1 7 ,0 1 < 17,1 = 1 7 ,1 0 ; 4) 1 5 ,2 9 < 1 5 ,3 1 ; 5) 16 < 1 6 ,0 5 ; 6) 1 ,5 7 > 1 ,5 = 1,50; 7) 1 7 ,9 8 < 18; 8) 1 2 ,1 3 5 < 1 2 ,1 4 = 1 2 ,1 4 0 ; 9) 42 = 4 2 ,0 0 ; 10) 1 ,0 2 5 6 < 1,1 = 1 ,1 0 0 0 ; 11) 5 2 ,1 7 3 > 5 2 ,1 7 1 ; 12) 1 2 ,0 0 1 = 1 2 ,0 0 1 0 > 1 2 ,0 0 0 1 . 1 1 7 3 . 1) 1 7 ,8 > 13,5; 2) 1 2 ,3 = 1 2 ,3 0 0 ; 3) 1 4 ,0 5 < 1 4 ,5 = 1 4 ,5 0 ; 4) 2 9 ,1 2 > 2 9 ,0 8 ; 5) 1 5 ,0 1 > 15; 6) 1 ,8 = 1 ,8 0 < 1,87; 7) 19 > 18 ,9 2 ; 8) 1 4 ,1 8 2 < 1 4 ,1 9 = 1 4 ,1 9 0 ; 9) 4 ,0 0 0 = 4; 10) 8 ,1 = 8 ,1 0 0 0 > 8 ,0 9 9 9 ; 11) 4 7 ,1 2 7 > 4 7 ,1 2 6 ; 12) 1 4 ,0 9 = 1 4 ,0 9 0 > 1 4 ,0 0 9 . 1 1 7 4 . 1) 2 ,3 4 ; 3 ,7 5 6 ; 2 8 4 , 01; 2) 0 ,1 0 1 ; 0 ,0 0 2 ; 0 ,0 0 0 1 6 . 1 1 7 5 . 1 ) 0 ,1 3 ; 0 ,1 1 1 ; 0 ,0 0 0 9 ; 2) 9 ,3 5 6 ; 2 9 ,0 0 5 ; 1 9 9 ,1 3 . 1 1 7 6 .0 ,0 3 0 3 ; 0 ,3 0 3 ; 0 ,3 3 3 ; 3 ,0 3 ; 3 ,3 0 3 ; 30 3 . 1 1 7 7 .5 ,0 0 1 ; 5 ,0 1 ; 5,1; 6 ,0 0 5 ; 6 ,0 5 ; 8 ,0 5 ; 8 ,3 5 . 1 1 7 8 .2 0 ,2 0 2 ; 2 0 ,0 0 2 ; 2 ,3 3 2 ; 2 ,3 2 3 ; 2 ,3 0 3 ; 2 ,2 2 2 ; 2, 22. 1 1 7 9 . 7 0 7 ; 7 ,7 0 7 ; 7,07; 0 ,7 0 7 ; 0 ,7 0 0 7 ; 0 ,0 7 0 7 . 1 1 8 0 . Н априклад, 4 ,1 8 ; 4 ,5 4 3 ; 5 ,1 . 1 181 .Н ап р и к л ад, 5 ,2 3 4 ; 5,95; 6 ,1 . w .4 bo Д есяткові дроби, як і натуральні числа, м ож н а порівню вати за допом огою координатного пром еня. Точка, щ о в ід п о в ід а є м ен ш ом у д еся тк о в о м у д р о б у , л еж и т ь на координатном у пром ені лівіш е від точки, що зобр аж ує біл ь­ ш ий десятковий дріб. Рівні десяткові дроби зображ ую ться на координатном у промені одн ією і тією сам ою точкою . 1 1 8 2 . 1) 1 ,8 = 1 ,8 0 ; 1 ,8 0 > 1 ,7 9 , тому точка В (1 ,7 9 ) леж и ть лівіш е w w на к оординатном у промені; 2) 0 ,3 5 = 0 ,3 5 0 ; 0 ,3 5 0 < 0 ,3 5 7 , том у точка С (0,3 5 ) л еж и ть л ів і­ ш е, н іж точка £)(0 ,3 5 7 ). 1 1 8 3 . 1 ) 2 ,7 > 2 ,4 том у точка М (2 ,7 ) л еж и ть правіш е від точки Щ2 А ) ; 2) 7 ,4 9 = 7 ,4 9 0 ; 7 ,4 9 0 > 7 ,4 8 5 , том у точка Щ 7 ,4 9 ) леж и ть п ра­ віш е від точки L (7 ,4 8 5 ). 1 1 8 4 . 1) 2,1 = 2 ,1 0 ; 2 ,1 0 > 2 ,0 1 , том у точка В (2 ,0 1 ) леж и ть лівіш е від точки А (2,1); 2) 1 ,1 7 = 1 ,1 7 0 ; 1 ,1 7 0 < 1 ,1 7 1 , том у точка D ( l,1 7 1 ) л еж и ть п ра­ віш е від точки С (1,17). 1185.1)1,2,3,4,5; 2) 15; 16; 17. 1186.1)9,10; 2) 14; 15; 16; 17. 1 1 8 7 . 1 ) 1 ,8 < л: < 3 ,9 9 ; х = 2 або х = 3; 2) 3 9 ,8 < X < 4 3 ,0 0 1 ; х = 4 0 , х = 4 1 , х = 4 2 , х = 4 3. 1 1 8 8 . 1 ) 4,0* > 4 ,0 7 , якщ о * = 8; 9; 396 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • w .4 bo ok .o rg 2) 7,3* > 7 ,3 — на м ісц і * м ож е бути будь-як а ц иф ра, к рім 0; 3) 9 ,7 2 < 9, *3, як щ о зам ість * стоїть 7, 8 або 0; 4) 1 0 ,5 6 7 > 1 0 ,5 * 7 , як щ о на м ісц і * стоїть О, 1, 2, З, 4 , 5; 5) 8 , *7 > 8 ,7 7 , як щ о на м ісц і * стоїть 8 або 9; 6) 0 ,8 * 5 > 0 ,8 4 1 , якщ о на м ісц і * стоїть 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9. 1 1 8 9 . 1 ) З, *9 > 3 ,2 9 при зн ач ен н ях * = З, 4 , 5, 6, 7, 8 , 9; 2) 1 ,4 5 < 1 ,4 * 2 при зн ач ен н ях * = 5, 6, 7, 8 , 9. 1 1 9 0 . 1 ) М іж числам и 8 і 9; 8 < 8 ,4 2 < 9; 2) м іж числами 4 і 5: 4 < 4 ,7 9 < 5; 3) м іж числами 8 і 9: 8 < 8 ,0 0 9 3 < 9. 1 1 9 1 . 1 ) П рипиш ем о справа до к ож н ого десяткового др обу нуль. Т оді число X , як е ми ш укаєм о, має задовольняти п одв ій н у н е ­ рівність 3 ,7 0 < X < 3 ,8 0 . Н априклад, 3 ,7 1 ; 3 ,7 2 ; 3 ,7 3 і т. д. 2) А налогічн о, 8 ,5 1 0 < х < 8 ,5 2 0 ; 8 ,5 1 2 ; 8 ,5 1 4 ; 8 ,5 1 8 . 1 1 9 2 . 1 ) 1 ,1 8 кг = 1 1 8 0 г, 1 1 8 0 г > 1 18 г; 2) 3 ,8 9 2 кг = 3 8 9 2 г, 3 8 9 2 г < 3 8 9 3 ,5 г; 3) 8 ,2 дм = 8 2 см , 8 2 см < 8 2 ,3 см; 4) 9 ,0 4 м = 9 0 4 см , 9 0 3 ,8 см < 9 0 4 см; 5) 0 ,4 2 3 ц = 4 2 ,3 кг, 3 1 ,8 кг < 4 2 ,3 кг; 6) 0 ,9 т = 9 ц; 9 ц > 8 ,1 7 ц. 1 1 9 3 . 1 ) 2 ,3 7 кг = 2 3 7 0 г, 2 3 7 0 г < 2 3 7 5 ,3 г; 2) 2 9 ,4 мм = 2 ,9 4 см , 2 ,9 4 см = 2 ,9 4 см; 3) 5 ,8 ц = 5 8 0 кг, 5 8 0 кг > 5 7 2 ,4 кг; 4 ) 2 9 ,5 км = 29 5 0 0 м, 29 5 00 м < 2 9 5 4 ,8 м. 1 1 9 4 . 80, ^lSl9l9t708 ^ 8 0 ,9 7 0 8 . 1 1 9 5 . К ом у. В прави д л я п овторення 1196.1) X 1423 4 w w 5 692 2) 3) 47130 З 15710 125382 12 20897 17 53 15 48 21 58 21 54 42 42 О ~ 0 1 1 9 7 . Р о зв ’я за н н я . 1) П означим о д ов ж и н у основи х дм . Тоді перим етр три кутника дорівню є X + 2 ■ 23 = X -Ь 46 (дм ). За умовою X + 46 = 80; х = 8 0 - 46; х = 34. О тж е, основа дорівню є 34 см.
    • В ідп овідь: 34 см. 2) П означим о дов ж и н у бічної сторони х см , тоді перим етр три ­ кутни к а дорівню є (2 х + 15) см . За ум овою 2 х + 15 = 47; 2л: = 4 7 - 15; 2 х = 32; л: = 32 : 2; х = 16. О тж е, бічна сторона дорівню є 16 см. В ідп овідь: 16 см. 1 1 9 8 . Р о зв ’я зан н я. Сторона квадрата площ ею 81 см^ дор ів ­ ню є 9 с м , б о 9 • 9 = 8 1 . Тоді одна сторона п рям окутника теж дорівню є 9 см , а др у ­ га — втричі менш а: 9 см : З = З см. Р = 2 • (9 + 3) = 2 ■ 12 = 24 (см). В ідп овідь: 24 см. 9 см з см З см З см rg §36. Округлення натуральних чисел і десяткових дробів bo ok .o Щ об округлити натуральне число до одиниць певного р о зр я ­ д у , потрібно: 1) зам ін ити всі циф ри справа від цього р озр яду нулям и; 2) якщ о перш а наступна за цим розрядом циф ра 5, 6 , 7, 8 , 9, то циф ру р озряду, до якого проводилось ок ругленн я, зб іл ь ш у ­ єм о на одиницю ; 3) як щ о ж перш а наступ н а за цим р озрядом циф ра О, 1, 2, З, 4, то ц иф ру р озряду, до якого проводилося ок ругленн я, не зм іню ємо: 3 ,5 1 |9 8 2 * 3 ,5 2 , але 3 ,5 і|4 8 2 = 3 ,5 1 . w .4 1 1 9 9 . 1) 83|2 = 8 3 0 . Ч исло округлено до десятк ів. w w Н аступна за розрядом десятків циф ра 2, 2 < 5, том у зам ін ю єм о її на О, а ц иф ру десятків не зм іню єм о. 2) 72|6 = 73 0 . Ч исло округлено до десятк ів. Н аступна за розрядом десятків циф ра 6, 6 > 5, том у зам ін ю єм о її на О, а циф ру десятків збільш уєм о на одиницю . 3) 197|5 = 1 9 8 0 . Ч исло округлено до десятк ів. Н аступна за розрядом десятків циф ра 5, том у зам ін ю єм о її на О, а циф ру десятків збільш уєм о на .одиницю. 4) 12 31І4 = 12 3 1 0 . Ч исло округлено до десятк ів. Н аступна за розрядом десятків циф ра 4, 4 < 5, том у зам ін ю єм о її на О, а циф ру десятків не зм ін ю єм о. 1 2 0 0 . 1 ) Так; 2) н і, циф ру розряду сотень треба збільш ити на 1: 13|79 = 1400; 3) так; 4) ні, це число округлено до тисяч, 5lj92 = 5200. 1 2 0 1 . 1) Д о сотих; 2) до одиниць; 3) до десяти х; 4) до тисячних; 5) до десяти х; 6) до соти х. 1 2 0 2 . 1) 76|2 = 760; 59|8 = 600; 184|5 = 1850; 135|0 = 1350; 2) 5|21 = 500; 6j69 « 700; 57j39 = 5700; 12 2|71 = 12 300; 3) 17| 4 5 7 = 17 ООО; 20| 951 = 21 ООО; 4) 25|7 6 4 2 = 2 6 0 ООО. 398 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • ok . or g О к р у г л е н н я д е с я т к о в и х д р о б ів виконується п одібн о до о к р у г­ лення натуральних чисел: 1) п ідк реслю єм о ц иф ру р озряду, до якого округлю єм о; 2) вертикальною рисочкою відділ яєм о циф ри справа від р о з­ ряду, до якого округлю єм о; 3) якщ о праворуч від п ідк р есл ен ої циф ри стоїть О, 1, 2, З або 4, то п ідк р есл ен у циф ру зали ш аєм о без зм ін , а всі циф ри п ісля вертикальної риски відкидаєм о; 4) якщ о праворуч від підк р еслен ої циф ри стоїть 5, 6, 7, 8 або 9 , то п ідк р есл ен у ц и ф ру збільш уєм о на 1, а всі циф ри п ісля вертикальної р иски відкидаєм о. 4 1 ,8 5 |8 = 4 1 ,8 6 ; 0 ,7 |4 8 = 0 ,7 . З а п а м ’ятай! Я кщ о при ок руглен н і деся тк ов ого др обу о стан ­ ня циф ра, що залиш и лась, — це О, то відкидати ц ей нуль не м ож н а, оскільки в цьом у випадку цей нуль у дробовій части н і пок азує, до якого р озря ду округлили число: 5,0І38 = 5 ,0 ; 0 ,8 9 |5 = 0 ,9 0 . Я кщ о десятковий дріб потрібно округлити до р озр я д у, вищ ого від одиниць (десятк ів, сотень і т. д .), то дробова частина в ід ­ кидається, а ц іл а частина округлю ється за правилами о к р у г­ лення натуральних чисел. 1 2 0 3 . 1) 5|93 = 600; 2) і|2 5 7 = 1000; 3) 3|0 792 = ЗО ООО; ІІ62 5 73 = 2 00 ООО. bo 4) 1 2 0 4 . 1) 73|2 = 730; 39j7 = 40 0; 41|1 = 410; w w w .4 2) 3|52 = 400; 4|35 = 400; 8|07 = 800; 3) 5|473 = 5000; 7|897 = 8000; 4) 5|692 = 60 0 0 ; і | 4 2 73 = 10 ООО. 1 2 0 5 . 1) Д о десятків; 2) до сотень; 3) до тисяч; 4) до десятків тисяч. 1 2 0 6 . 1) 884|8 м = 8 8 5 0 м; 2) 88|48 = 88 0 0 ; 3) 8j848 = 9 0 0 0 . 1 2 0 7 . 28|50 км = 2 9 0 0 км; 22|85 км = 2 3 0 0 км; 13|62 км = 1 4 0 0 км; 11І26 км = 1 1 0 0 км. 1 2 0 8 . 1) 7,1|67 = 7,2; 2,8|53 = 2,9; 4,3|41 = 4,3; 6,2 |19 = 6,2; 6 ,3|5 = 6,4; 2) 0,69|2 = 0,69; 1,23|4 = 1,23; 9,07|8 = 9,08; 6,41|7 - 6,42; 0 ,0 ^ 5 = 0,03; 3) 1 2 ,5 6 = 13; 1 3 ,1 1 = 13; 1 7 ,1 8 2 = 17; 2 5 ,5 9 7 = 26; 4) 3 5 |2 ,4 = 350; 20І6,3 = 210; 4 2 |5 ,5 = 4 3 0 . 1 2 0 9 . 1) 6,7|13 = 6,7; 2,3|85 = 2,4; 16,0|51 = 16,1; 0,8|49 = 0,8; 9,2|5 = 9,3; 2)0,52|6 = 0,53; 3,96|4 = 3,96; 7,40|8 = 7,41; 9,66|3 = 9,66; 11,55|5= 11,56; 3) 7 3 ,4 8 = 73; 1 1 2 ,0 9 = 112; 3 1 2 ,5 2 = 313; = 4) 4 1 |7 ,3 = 420; 2 1 |3 ,5 8 = 210; 66!4,3 = 660; 5) 8І01,9 = 800; 12 |67 ,1 = 1300; 2 4 |0 5 ,1 1 3 = 2 4 0 0 . 1 2 1 0 . 1 ) 4 |8 3 6 ,2 7 5 1 8 = 500 0; 2) 4 8 |3 6 ,2 7 5 1 8 = 48 0 0 ; 3) 4 8 3 |6 ,2 7 5 1 8 = 48 40 ; 4) 4 8 3 6 ,2 7 5 1 8 = 4 8 3 6 ; 5) 4 8 3 6 ,2 |7 5 1 8 = 4 8 3 6 ,3 ; 6) 4 8 3 6 ,2 7 |5 1 8 = 4 8 3 6 ,2 8 ; 7) 4 8 3 6 ,2 7 5 |1 8 = 4 8 3 6 ,2 7 5 ; 8) 4 8 3 6 ,2 7 5 1 І8 = 4 8 3 6 ,2 7 5 2 . 1 2 1 1 . 1 ) 8 |4 9 1 ,5 3 7 2 6 = 800 0; 2) 8 4 |9 1 ,5 3 7 2 6 = 8 5 0 0 ; 3) 8 4 9 |1 ,5 3 7 2 6 = 84 9 0 ; 4) 8491,153726 = 84 9 2 ; М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 399
    • w w w .4 bo ok .o rg 5) 8 4 9 1 ,5 |3 7 2 6 = 8 4 9 1 ,5 ; 6) 8 4 9 1 ,5 3 |7 2 6 = 8 4 9 1 ,5 4 ; 7) 8 4 9 1 ,5 3 7 |2 6 = 8 4 9 1 ,5 3 7 ; 8) 8 4 9 1 ,5 3 7 2 |6 = 8 4 9 1 ,5 3 7 3 . 1 2 1 2 . 1 ) 1 ,8 |5 3 1 8 км = 1 ,9 км; 2) 1 ,8 5 |3 1 8 км = 1 ,8 5 км; 3) 1 ,8 5 3 |1 8 км = 1 ,8 5 3 км; 4) 1 ,8 5 3 1 |8 км = 1 ,8 5 3 2 км. 1 2 1 3 . 1 ) 0,9|144 м = 0 ,9 м; 2) 0,91|44 м = 0,91 м; 3) 0,91 4 |4 м = 0 ,9 1 4 м. 1 2 1 4 . 1 ) 720 коп. = 700 коп. = 7 грн.; 18|57 коп. = 1900 коп. = 19 грн.; 2) 1 8 7 3 см = 1 9 0 0 см = 19 м; 21І17 см = 2 1 0 0 см = 21 м; 3) 12| 4 8 2 кг = 12 ООО кг = 12 т; 7|б57 кг = 8 0 0 0 кг = 8 т; 4) 7|352 м = 7 0 0 0 м = 7 км; 18| 911 м = 19 ООО м = 19 км. 1 2 1 5 . 1 ) 19| 572 г = 20 ООО г = 20 кг; 8|321 г = 8 0 0 0 г = 8 кг; 2) 54|92 кг = 5 5 0 0 кг = 55 ц; 70|21 кг = 7 0 0 0 кг = 70 ц; 3) 54|0 см = 5 40 см = 54 дм; 422|8 см = 4 2 3 0 см = 4 2 3 дм . 1 2 1 6 . 1 ) 43* = 4 3 0 . Ч исло округлено до десятк ів. О скільки циф ра д есятків не зм ін ен а, то на м ісц і зірочк и м ож уть бути циф ри О, 1, 2, З або 4. 2) 84* 6 = 8 5 0 0 . Ч исло округлено до сотень. О скільки циф ра со ­ тень збільш ен а на 1, то на м ісц і зіроч к и м ож уть бути циф ри 5, 6 , 7, 8 або 9. 3) 57*9 = 5 7 0 0 . Ч исло округлено до сотень. О скільки ц иф ра со ­ тень збільш ен а на 1, то на м ісц і зіроч к и м ож уть бути циф ри 5, 6 , 7, 8 або 9. 4) *325 = 4 0 0 0 . Ч исло округлено до тисяч . О скільки в н аступ ­ ном у р озряді сотень стоїть цифра З, то циф ра тисяч не зм ін ен а, том у * = 4. 1 2 1 7 . П ояснення аналогічне до № 1 216. 1) 25* = 2 6 0 , зам ість зірочк и м ож н а підставити 5, 6 , 7, 8 або 9; 2) 93*4 = 9 3 0 0 , зам ість зірочки м ож н а підставити О, 1, 2 , З, 4; 3) 4*3 7 = 4 0 0 , зам ість зірочк и м ож н а підставити О, 1, 2 , З, 4; 4) *579 = 9 0 0 0 , зам ість зірочк и м ож н а підставити 8. Л2Лй. Р о зв ’я за н н я . 1 52 6 0 1 5 ,2 6 кг = 15 2 6 0 г; 17 4 3 0 1 7 ,4 3 кг = 17 4 3 0 г; + 7 ,6 6 кг = 7 6 6 0 г; 1 8 ,8 7 5 кг = 18 8 7 5 г. 18 8 7 5 59 2 25 г = 5 9 ,2 |2 5 кг » 5 9 ,2 кг. 5 9 2 2 5 (г) Тепер спочатку округлим о дані. coqq 1 5 ,2 |6 кг = 1 5 ,3 кг = 15 3 0 0 г; 1 7 ,4|3 кг = 1 7 ,4 кг = 17 4 0 0 г; ^17400 7,6|6 кг = 7 ,7 кг = 7 7 0 0 г; 7 70 0 1 8,8 |7 5 кг = 1 8 ,9 кг = 18 9 0 0 г. 18900 59 3 00 г = 5 9 ,3 кг. 5 9 3 0 0 (г) В ідп овідь: результати відрізняю ться. 1 2 1 9 . 1 ) 8 8 4 8 м = 8 ,8 |4 8 км = 8 ,8 км; 7 4 3 9 м = 7 ,4 |3 9 км = 7 ,4 км; 5 1 6 5 м = 5 ,1 |6 5 км = 5 ,2 км; 2061 м = 2,0|61 км = 2 ,1 км; 2) 8 8 4 8 м = 8 ,8 4 |8 кг = 8 ,8 5 км; 7 4 3 9 м = 7,4 3 |9 км = 7 ,4 4 км; 5 1 6 5 м = 5 ,1 6 |5 км = 5 ,1 7 км; 2061 м = 2,06|1 км = 2 ,0 6 км. 400 ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 1 2 2 0 . 1) О, 1, 2, З, 4; 2) 5, 6, 7, 8 , 9; 3) О, 1, 5) 5, 6, 7, 1 2 2 1 . 1 ) О, 1, 5) 5, 6, 7, 1 2 2 2 . Задач у 2, З, 4; 4) 5, 6 , 7, 8 , 9; 8 , 9; 6) 5, 6, 7, 8, 9; 7) 5, 6, 7, 8, 9; 8) 0 . 2, З, 4; 2) 5, 6, 7, 8 , 9; 3) О, 1, 2, З, 4; 4) 5, 6 , 7, 8 , 9; 8, 9; 6) О, 1, 2, З, 4. р озв ’я зан о у п ідр учн ик у. М ож ли ві два випадки. У перш ом у р озряді тисяч числа була циф ра 8, яка п ісля о к р у г­ лен н я збільш илася на оди н и ц ю . Тоді наступною за нею м ож е бути одна з цифр 5, 6, 7, 8 або 9. Н айм енш им буде число 28 500. Я кщ о ж у розряді тисяч спочатку стояла цифра 9 , то це означає, що наступна циф ра О, 1, 2, З або 4. Н аіібільш е число 29 4 9 9 . 2) у : 2 72 = 39; г/ = 39 • 272; і/ = 10 608; 272 5 9 2 2 5 25 .o X 4785 39 "^5297 3) 59 2 2 5 : 2 = 25; 2 = 59 2 2 5 : 25; 2 = 2369; rg л: - 5 2 9 7 = = 4785; X = 4 7 8 5 + 5297; X = 10 082; 1223.1) ~50 ok 2448 92 816 ’ 75 106 0 8 ТТ2 bo 100 8 2 2369 150 10 0 8 2 w .4 225 +10608 X + у + z = = 10 0 8 2 + 10 6 0 8 + 2 3 6 9 = = 23| 0 5 9 = 23 ООО. В ідп овідь: 23 ООО. 225 2369 w w О 23059 1 2 2 4 . 1 ) л: + 27 3 8 2 = 3 8 115; л: = 38 115 - 27 382; х = 10 733; 29 192 - (/ = 3897; у = 29 192 - 3897; у = 25 295; 2 ■ 37 = 46 065; 2 = 46 0 6 5 : 37; 2 = 1245; X + у + Z = 10 733 + 25 2 95 + 1 2 4 5 = 3 7 27ІЗ = 37 2 7 0 . 38115 29192 '2 7 3 8 2 3897 10733 25295 4 6 0 6 5 37 ’ 37 1245 25295 +10733 90 1245 74 372^ Т бб 148 185 185 В ідп овідь: 37 270. О М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 401
    • Вправи д л я повторення 1 2 2 5 . Р о зв ’я зан н я . 1) 17 - 8 = 9 (год) — час, витрачений на дорогу; 2) 9 - 2 = 7 (год) — час р у х у без зупинки; 3) 5 6 0 : 7 = 8 0 (к м /го д ) — ш видкість м аш ини. В ідп овідь: 8 0 к м /го д . 1 2 2 6 . Так. 3 = 2 + 1. 1 2 2 7 . 1) 0 ,х 5 > 0 ,6 х ; д: = 7, 8, 9; 2) 8,5л: < 8 ,х З ; х =6 , 7, 8 , 9; 3) 0 ,х 8 > 0 ,8 х ; х =9; 4) 0 ,х 8 < 0 ,8 х ; х = О, 1, 2, З, 4 , 5, 6, 7. § 3 7 . Д о д а в а н н я і в і д н і м а нн я д е с я т к о в и х д р о б і в 1 2 2 8 . 1 ) 8 + 0 ,7 = 8 ,7 ; 4 ,7 2) 11 ,2 w .4 1229.1 ) 2) 5 + 0 ,3 2 = 4) 0 ,3 + 0 ,2 = 6) 0 ,1 + 0 ,0 1 8) 0 ,2 6 + 0 ,7 bo 3) 0 ,3 9 + 1 = 1,39; 5) 0 ,1 2 + 0 ,3 7 = 0 ,4 9 ; 7) 0 ,0 2 + 0 ,0 0 3 = 0 ,0 2 3 ; 9) 0 ,1 2 + 0 ,0 0 4 = 0 ,1 2 4 . ok .o rg Д одаю чи або відн ім аю чи десятк ов і дроби, їх зап и сую ть так, ш;об ком и в додан к ах зн аходил ись одна п ід одною . Якш,о п іс ­ ля коми в ч ислах кількість цифр р ізн а, м ож н а їх доповнити н улям и. Д ал і виконую ть додавання або в ідн ім ан н я , як з н а­ туральним и числам и, у результаті ком у ставлять п ід ком ою . При додаванні і в ідн ім ан н і десятк ових дробів сп равдж ую ться вивчені раніш е властивості: переставна — а + Ь = Ь + а; сполучна — (а + Ь) + с = а + (Ь + с) та ін ш і. "^0,2 4,9 w w 3) 0 ,8 ~ 0 ,6 = 0 ,2 ; 5) 2 ,3 - 1 ,2 = 1,1; 7) 0 ,1 9 - 0 ,0 7 = 0 ,1 2 ; 9) 4 2 ,4 - 42 = 0 ,4 . 9 ,3 2)_14,2 5, 7 1,7 "^2,8 2) 4) 6) 8) 3) 2 ,1 0 "^1,36 1 3 ,0 ^19,2 8 ,3 9 3 2 ,2 1 3 ,8 9 2 - 10 = 3 ,8 9 2 ; 6 ,7 - 0 ,3 = 6,4; 0 ,0 5 - 0 ,0 2 = 0 ,0 3 ; 0 ,4 7 - 0 ,3 2 = 0 ,1 5 ; 3) 37,8 4)_5,00 4 ,1 2 1 8 ,8 1 0 ,5 2) 4) “ і9,0 3, 7 3 ,6 1232.1) 4 ,5 9 ^ 3 ,8 0 13,1 1 2 3 0 . 1) 4 ,7 2 - 2 = 2 ,7 2 ; 1 2 3 1 . 1) 3) 1,9 5 ,3 2 ; 0,5 ; = 0 ,1 1 ; = 0 ,9 6 ; 0 ,8 8 2 4 ,9 5 4) 9 ,2 5) 2 5 ,6 6) 10, ЗО ^ 4 ,3 0 “ з,4 ” 9 ,0 8 ,1 7 4 ,5 3 ,4 6 2 9 ,2 5 т + 3 ,2 т = 5 ,9 (т). В ідп овідь: 5 ,9 т. 5 ,8 1 6 ,6 2 ,1 3 1233.2,7 402 Ш iVlATEIVIATMKA. О . С . Істер
    • 1234.1) 6,9 2)^9,3 ^2,6 ” 0 ,8 ^ 9 ,5 6) 1,42 3) 15 5) 5 ,0 ^7,2 "^5,29 2 2 ,2 9 ,9 9 8) 1 0 ,9 0 0 0 ,5 9 2 9) 1 ,7 2 3 2 4 ,5 0 0 ,3 0 9 ^ 0 ,8 3 0 ^ 8 ,9 0 0 2 5 ,9 2 1 1 ,2 0 9 1 ,4 2 2 1 0 ,6 2 3 3) 9 2)^5,6 ^0,5 3 ,6 6,1 12,6 5) ^1,6 5 ,7 + 3 ,8 1,9 1235.1) 6) 4 ,7 0 1 3 ,9 10 ,1 7) 4) 8 ,9 + 7 ,2 0 0 ,9 0 6 7) 8) 4) 5 ,7 "^0,741 22,88 1 3 ,7 0 6 4 ,9 8 8 ,4 9 2 1,211 2 ) 6,1 " 4 ,7 1, 9 1,4 7)_7,50 0,42 4 ,8 3 1 6 ,5 8 4 4 ,6 5) 3 ,4 ' 2 1 ,6 ПоГб 9) 9 ,3 7 8 ~ 0 ,0856 ~8,450 0 ,0 3 Й 0 ,9 2 8 3)12,2 2)4,3 4 ,0 13,0 8 ) 0 ,1200 2 ,6 7 7 ,5 4) 3 ,4 w .4 1 2 3 7 . 1) " 8, 7 bo 6)17,00 3)12,1 9 ,1 9 2 ok . 5 ,7 ~3,8 ^0,7 or g ^ 1 2 ,8 0 0 "^1,40 9) 0 ,4 7 0 1 5 ,6 8 1236.1 ) 3 ,5 8 7 ,3 + 4) 3 2 ,7 5) 4 1 ,0 0 " 2 ,7 ~ 9, 6 5 ,0 3 ,5 3 4, 8 0,8 2 ,6 27,7 3 7 ,4 7 7 ,0 0 7)8,310 w 6) “ з, 5 8) О,1 60 0 9)37,819 4 ,5 6 8 0 ,0913 8 ,9 0 0 6 ,3 9 3 ,7 4 2 0 ,0 6 8 7 2 8 ,9 1 9 w 0 ,6 1 1 2 3 8 . 17, 4 км - 8 ,3 км = 9 ,1 км. В ідп овідь: 9 ,1 км. 1239.1 ) 7 ,2 8 3 1 2) 5 ,3 7 2 "^2,4230 4 ,4 7 0 9 ,7 0 6 1 0 ,9 0 2 1 2 4 0 . 1) 7 ,2 + X = 1 0 ,3 1 ; х = 1 0 ,3 1 - 7,2; 1,72 X = 3,11; 2) 5 ,3 - X = 2,4; х = 5 ,3 - 2,4 ; х = 2,9; 3) X - 2 ,8 = 1 ,7 2 ; х = 1 ,7 2 + 2,8; х = 4 ,5 2 ; 4) X + 3 ,7 1 = 10,5 ; х = 1 0 ,5 - 3 ,7 1 ; х = 6 ,7 9 . М АТЕМ АТИ КА , "2, 8 1 0 ,5 0 3 ,7 1 4 ,5 2 о. С. Істер Ш 403
    • 1 2 4 1 . 1 ) X - 4 ,2 = 5,9 ; x = 5 ,9 + 4,2 ; л: = 10,1; 2) 2 ,9 + X = 3,5 ; X = 3 ,5 - 2,9 ; X = 0 ,6 ; 3) 4 ,1 3 X = 0 ,9 3 ; X = 3,2 ; X 3 ,5 4Д З 1 4 ,6 0 ~2,9 = 4 ,1 3 - 3,2 ; 3 ,2 0 5 ,7 2 0 ,6 0 ,9 3 8 ,8 8 4) X + 5 ,7 2 = 14,6; x = 1 4 ,6 - 5 ,72; X = 8,88. 1 2 4 2 . З ручн іш е додати у др угом у випадку, або 4 ,2 + 0 ,8 = 5; 5 + 8 ,9 3 = 1 3 ,9 3 . 1 2 4 3 . 1) 7 + 2 ,8 + 1,2 = 7 + (2 ,8 + 1,2 ) = 7 + 4 = 11; rg 2) 1 2 ,4 + 1 7 ,3 + 0 ,6 = (1 2 ,4 + 0 ,6 ) + 17, 3 = 13 + 1 7 ,3 =3 0 ,3 ; 3) 3 ,4 2 + 4 ,9 + 5,1 = 3 ,4 2 + (4 ,9 + 5 ,1 ) = 3 ,4 2 + 10 = 1 3 ,4 2 ; 4) 1 2 ,1 1 + 7 ,8 9 + 1 3 ,5 = (1 2 ,1 1 + 7 ,8 9 ) + 1 3 ,5 = = 20 + 1 3 ,5 = 3 3 ,5 . 1 2 4 4 . 1 ) 2 0 0 ,0 1 + 0 ,0 5 2 2) 42 + 4 ,0 3 8 + 1 7 ,2 5 = + 1 ,0 5 = 2 0 1 ,1 1 2 ; = 4 6 ,0 3 8 + 1 7 ,2 5 = 6 3 ,2 8 8 ; 4 6 ,0 3 8 0 , 052 "^17,250 .o 200,010 + 1 ,0 5 0 6 3 ,2 8 8 ok 201,112 2 ,5 4 6 3 ,1 4 3 "^0,597 ^ 8 2 ,0 4 0 8 5 ,1 8 3 w .4 3 ,1 4 3 4) 4 8 ,0 8 6 + 1 1 5 ,9 2 + 1 1 1 ,0 3 7 = = 2 7 5 ,0 4 3 . bo 3) 2 ,5 4 6 + 0 ,5 9 7 - 8 2 ,0 4 = = 8 5 ,1 8 3 ; 1 2 4 5 . 1) 82 + 4 ,0 4 2 + 1 7 ,3 7 = = 8 6 ,0 4 2 + 1 7 ,3 7 = 1 0 3 ,4 1 2 ; 4 8 ,0 8 6 1 6 4 ,0 0 6 ^ 1 1 5 ,9 2 0 ^ 1 1 1 ,0 3 7 1 6 4 ,0 0 6 2 7 5 ,0 4 3 2) 4 7 ,8 2 + 0 ,3 8 2 + 17, 3 = = 6 5 ,5 0 2 ; 4 7 ,8 2 0 ^ 1 7 ,3 7 0 ^ 0 ,3 8 2 1 0 3 ,4 1 2 3) 1 5 ,3 9 7 + 9 ,4 2 + 114 = = 1 3 8 ,8 1 7 ; 4 8 ,2 0 2 6 5 ,5 0 2 4) 1 5 2 ,7 3 + 1 3 7 ,8 + 0 ,4 9 5 3 = = 2 9 1 ,0 2 5 3 . w w 8 6 ,0 4 2 1 5 ,3 9 7 2 4 ,8 1 7 1 5 2 ,7 3 ^ 9 ,4 2 0 1 1 4 ,0 0 0 1 3 7 ,8 0 2 4 ,8 1 7 1 3 8 ,8 1 7 ~1,17 2) 6 ,7 5 ^ 3 ,4 2 6 ,7 5 (м) 3 ,3 3 (м). В ідп овідь: 3 ,3 3 м. 404 Ш "^17,3 + 2 9 0 ,5 3 0 0 0 ,4 9 5 3 2 9 1 ,0 2 5 3 1 2 4 7 . Р о з в ’я за н н я . 1 2 4 6 . Р о зв ’я за н н я . 1)_7,92 2 9 0 ,5 3 4 8 ,2 0 2 М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 2 5 ,6 0 1,13 2 4 ,4 7 (кг). В ідп овідь: 2 4 ,4 7 кг.
    • 1 2 4 8 . Р о зв ’я зан н я . 1) ВС = 4 ,7 - 2 ,3 = 2 ,4 (см); 2 ) А В + ВС = 4 ,7 + 2 ,4 = 7,1 (см). В ідп овідь: 7,1 см. 1 2 4 9 . Р о з в ’я зан н я . 1) 1 0 ,7 0 2) 1,2 5 1 0 ,7 0 ^ 9 ,4 5 9 ,4 5 (л) 2 0 ,1 5 (л). В ідп овідь: 2 0 ,1 5 л. 2) 1 3 7 ,5 2 - (1 1 3 ,2 1 + 5 ,4 ) = = 18,91; 1 2 5 0 . 1 ) 1 4 7 ,8 5 - 34 - 5 ,9 8 6 = = 1 0 7 ,8 6 4 ; 3 4 ,0 0 1 1 3 ,2 1 _ 1 3 7 ,5 2 1 1 3 ,8 5 0 5 ,9 8 6 5 ,4 0 1 1 8 ,6 1 1 1 3 ,8 5 1 0 7 ,8 6 4 3) (1 5 7 ,4 2 - 1 1 4 ,3 8 1 ) - 5,9 1 = = 3 7 ,1 2 9 ; .o 3 7 ,1 2 9 1 1 4 2 ,3 0 ok 4 3 ,0 3 9 1 5 7 ,8 0 3 ,7 1 1 5 4 ,0 9 1 5 4 ,0 9 9 8 8 ,2 1 4 3 ,0 3 9 ” 5 ,9 1 0 2) 1 1 4 7 ,5 8 - ( 1 4 2 ,3 7 + 8 ,1 3 ) = = 1 1 4 7 ,5 8 - 1 5 0 ,5 0 = 9 9 7 ,0 8 ; 1 2 5 1 . 1 ) 1 3 7 ,4 2 - 15 - 9 ,1 2 7 = = 1 2 2 ,4 2 - 9 ,1 2 7 = 1 1 3 ,2 9 3 ; w .4 1 2 2 ,4 2 0 1 1 4 7 ,5 8 1 5 0 ,5 0 9 ,1 2 7 1 1 3 ,2 9 3 3) (1 5 9 ,5 2 - 1 4 2 ,7 8 ) + 1 1 ,1 8 9 = = 2 7 ,9 2 9 ; w w 1 8 ,9 1 4) 1 1 4 2 ,3 ~ (1 5 7 ,8 - 3 ,7 1 ) = = 9 8 8 ,2 1 . bo 1 5 7 ,4 2 0 ""114,381 1 1 8 ,6 1 rg _ 1 4 7 ,8 5 9 9 7 ,0 8 4) 4 2 9 7 ,5 2 - (1 1 3 ,4 3 + 12 9 8 ,3 ) = = 2 8 8 5 ,7 9 . 1 5 9 ,5 2 1 6 ,7 4 0 1 1 3 ,4 3 4 2 9 7 ,5 2 1 4 2 ,7 8 11 ,1 8 9 ^ 1 2 9 8 ,3 0 1 4 1 1 ,7 3 . 1 6 ,7 4 2 7 ,9 2 9 1 4 1 1 ,7 3 2 8 8 5 ,7 9 1 2 5 2 . Я кщ о а = 8 ,9 1 ; Ь = 0 ,1 3 то 8 ,9 1 - 5 ,2 - 0 ,1 3 = 3 ,5 8 . _8,91 3,71 ~5,20 ” 0 ,1 3 3 ,7 1 3 ,5 8 1 2 Ъ З . Р о зв ’я зан н я . 1) 17, 2 + 2 , 7 = 1 9 ,9 (к м /го д ) — ш видкість за течією ; 2) 1 7 ,2 - 2 ,7 = 1 4 ,5 (к м /го д ) — ш видкість проти теч ії. В ідп овідь: 1 9 ,9 к м /год; 1 4 ,5 к м /го д . М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 405
    • I Vза . течією V п роти 1254. Власна ш видкість, к м /го д 13,1 17 ,2 1 2 ,3 5 11 ,4 14 ,5 = V в л а сн а + u течи ... ... = V вл а сн а — V т еч и ... течи Ш видкість за течією , к м /го д 14 ,9 18 ,5 1 3 ,8 5 13 ,5 16 ,5 Ш видкість теч ії, к м /го д 1,8 1,3 1 ,5 0 2,1 1,6 5 Ш видкість проти теч ії, к м /го д 1 1 ,3 1 5 ,9 1 0 ,8 5 9 ,3 1 2 ,9 5 17, 2 3)12,35 ’ 1,8 ~17,2 1,3 1 0 ,8 5 1 4 ,9 11.3 1,3 1 5 ,9 1 3 ,5 11 .4 ~ 2,1 ' 2,1 1,6 5 11,4 9 ,3 1 4 ,5 0 1,71 1 2 ,9 5 1 4 ,5 0 +9,37 -0,71 ^ 1,5 0 1 3 ,8 5 1,65 1 6 ,1 5 10,37 -5,382 > 4,988 3)10,370 + 0 ,7 1 = 1,71; + 9 ,3 7 = 1 0 ,3 7 ; 1) 2) 1,5 0 1 2 ,3 5 .o 5) bo 1255.І 2) ok 4) 13,1 rg 1 8 ,5 + 13,1 1,8 1) 5 ,3 8 2 w w w .4 4 ,9 8 8 1 2 5 6 . Р озв'я зан н я . А В = 1,2 см; ВС = 1 ,2 см; CD - 0 ,8 см; A D = 0 ,7 см. Р = А В + ВС + CD + A D = 1 ,2 + 1,2 + 0 ,8 + 0 ,7 = 3 ,9 (см ). В ідп овідь: 3 ,9 см. 1 2 5 8 . Р о зв ’я зан н я . А С = А В + ВС 1) А С = 3 ,2 см + 2 ,1 см = 5 ,3 см; 2) ВС = А С - А В = 1 2 , 7 дм - 8, 3 дм = 4, 4 дм. В ідп овідь: 5, 3 см; 4, 4 дм. 1 2 5 9 . АВ = 1 , 4 см; CD = 0 ,9 см . А В - CD = 1 ,4 см - 0 ,9 см = 0 ,5 см. В ідп овідь: 0 ,5 см. 1 2 6 0 . Р о зв ’я зан н я . 1) 2 ,7 см - 1 ,3 см = 1 ,4 см — друга сторона; 2) Р = 2 • ( 2, 7 + 1 ,4 ) = 2 ■4 ,1 = 4,1 + 4,1 = 8 ,2 (см). В ідп овідь: 8 ,2 см . 1 2 6 1 . Р о зв ’я зан н я . 1) 8 ,2 см - 2 ,1 см = 6 ,1 см — бічна сторона; 2) Р = 8 ,2 см + 6 ,1 см + 6 ,1 см = 2 0 ,4 (см). В ідп овідь: 2 0 ,4 см . 406 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . с. істер
    • 1 2 6 2 . Р о з в ’я зан н я. 1) 1 3 ,6 см - 1 ,3 см = 1 2 ,3 см — друга сторона; 2) 4 3 ,1 см - (1 3 ,6 см + 1 2 ,3 см) = 1 7 ,2 см — третя сторона. 1 3 ,6 43 ,1 ^ 1 2 ,3 2 5 ,9 2 5 ,9 (см) 1 7 , 2 (см) В ідп овідь: 17, 2 см. 1 2 6 3 . 1) 7,2; 7,45; 7,7; 7,95; 8 ,2 . 7 ,2 7,45 7 ,7 0 2) 1 0 ,1 8 ; 9 ,8 4 ; 9 ,5 ; 9 ,1 6 ; 8 ,8 2 . 7,95 1 0 ,1 8 0 ,3 4 "^0,25 ^ 0 , 2 5 ^ 0 ,2 5 "^0,25 7 ,4 5 7 ,7 0 7 ,9 5 8 ,2 0 0 ,3 4 9 ,8 4 9 ,5 0 _9,50 9 ,1 6 0 ,3 4 0 ,3 4 9 ,1 6 8 ,8 2 Р о зв ’я зан н я . 12, 7 - 3 ,9 = 8 ,8 (кг) — у др угом у ящ ику; 1 2 ,7 + 8 ,8 = 2 1 ,5 (кг) — у перш ом у і др угом у разом; 2 1 ,5 - 5 ,1 3 = 1 6 ,3 7 (кг) — у третьом у ящ ику; 2 1 ,5 + 1 6 ,3 7 = 3 7 ,8 7 (кг) — у трьох я щ и к ах. 1 2 ,7 2 1 ,5 0 ^ 8 ,8 5 ,1 3 2 1 ,5 1 6 ,3 7 1 6 ,3 7 3 7 ,8 7 bo 8 ,8 2 1 ,5 0 ok 1 2 ,7 ” 3 ,9 .o rg 1264. 1) 2) 3) 4) 9 ,8 4 В ідп овідь: 3 7 ,8 7 кг. 1 2 6 5 . Р о з в ’я зан н я . 1) 8 ,3 - 1 ,8 = 6 ,5 (км) — пройш ли другого дня; 2) 8 ,3 + 2 ,7 = 11 (км) — пройш ли третього дня; 3) 8 ,3 + 6 ,5 + 11 = 2 5 ,8 (км) — пройш ли за три дн і. В ідп овідь: 2 5 ,8 км. w .4 8 ,3 1 ,8 ~6^ w w 1 2 6 6 . 1) 0 ,571 + (2,87 + 1,429) = (0,571 + 1,429) + 2,87= 2 + 2 ,8 7 = 4,87; 2) 6 ,3 3 5 + 2 ,8 9 6 + 1 ,1 0 4 = 6 ,3 3 5 + (2 ,8 9 6 + 1 ,1 0 4 ) = 6 ,3 3 5 + 4 = = 1 0 ,335; 3) 4 ,5 2 + 3,1 + 1 7 ,4 8 + 1 3 ,9 = (4 ,5 2 + 1 7 ,4 8 ) + (3 ,1 + 1 3 ,9 ) = = 22 + 17 = 39. 1 2 6 7 . 1) 0 ,5 7 1 + (2 ,8 7 + 1 ,4 2 9 ) = (0 ,5 7 1 + 1 ,4 2 9 ) + 2 ,8 7 = 2 + 2 ,8 7 = = 4 ,8 7 ; 2) 7 ,3 3 5 + 3 ,8 9 6 + 1 ,1 0 4 = 7 ,3 3 5 + (3 ,8 9 6 + 1 ,1 0 4 ) = 7 ,3 3 5 + 5 = = 1 2 ,335; 3) 1 5 ,2 + 3 ,7 1 + 7 ,8 + 4 ,2 9 = (1 5 ,2 + 7,8 ) + (3 ,7 1 + 4 ,2 9 ) = = 23 + 8 = 31. 1 2 6 8 . 1 ) 2 ,5 3 4 8 6 2) 4 ,8 5 6 9 3 3) 8 ,3 1 0 0 5 4) 6 ,2 7 0 0 2 "^4,78524 ^ 2 ,6 9 3 1 7 3 ,3 5 6 2 8 3 ,7 9 4 9 2 7 ,3 2 0 1 0 7 ,5 5 0 1 0 4 ,9 5 3 7 7 2,4 7 5 1 0 М АТЕМ А ТИ КА , о. с. Істер Ш 407
    • В ідн овлю вати зап и си п оч и н аєм о з остан н ьої ц и ф ри справа. Р озгл ян ем о, наприклад, завдання 4). Н уль у р ізн и ц і одер ж и м о, як щ о 2 в ідн ім ем о від 2, зн ачить, остання цифра зм енш уваного — 2. В ід О відняти 9 н ем о ж л и ­ во, тому позичаєм о один и ц ю в попередньом у р о зр я д і, але там т еж О, том у позичаєм о 1 у р озряді тисяч у циф ри 7. 1 0 - 9 = 1. У наступном у р озряді зм енш уваного тепер залиш илось 9 (п іс­ ля позичання), 9 - 5 = 4 , о т ж е, в р озр я ді сотень в ід ’єм н и к а стоїть циф ра 4, і т. д. 1269.1) 3 ,2 8 9 4 6 2) 4 ,8 3 6 7 7 5 ,7 9 4 9 6 9 ,0 8 4 4 2 3) 4 ,8 2 9 4 0 (помилка в підруч” 1 ,8 7 5 6 3 ™ к у ) 9 ,0 8 4 9 2 4 ,9 5 3 7 7 9 ,4 8 2 5 6 rg 4) "^4,24815 3 ,6 8 5 9 1 2, 71 + X - 1 ,3 8 = = (2 ,7 1 - 1 ,3 8 ) -Ь X = 1 ,3 3 + х; 3,7 1 2,71 "^2,98 bo 1 ,3 8 1,33 8 ,4 2 + 3 ,1 7 - X = = 1 1 ,5 9 - х; "^3,17 w w 1 1,5 9 w .4 1271.1) 8 ,4 2 2) 3 ,7 1 + с + 2 ,9 8 = = (3 ,7 1 + 2 ,9 8 ) + с = 6 ,6 9 + с. ok 1270.1) .o 5 ,7 9 6 6 5 6 ,6 9 2) 3 ,4 7 + у - 1 ,7 2 = = (3 ,4 7 - 1 ,7 2 ) + г/= 1 ,7 5 + г/. 3 ,4 7 1,72 1,75 1 2 7 2 . 1 ) 2; 2,7; 3,4; 4 ,1 ; 4,8 ; 5 ,5 . К ож не наступне число на 0 ,7 більш е за попереднє: 2 ,7 = 2 + 0 ,7 ; 3 ,4 = 2 ,7 + 0,7 ; 4 ,1 = 3 ,4 + 0,7 ; 4 ,8 = 4 ,1 + 0 ,7 ; 5 ,5 = 4 ,8 + 0, 7. 2) 15; 13,5; 12; 10,5; 9; 7 ,5 . К ож не наступне число на 1,5 менш е за попереднє: 1 5 - 1 , 5 = 13,5; 1 3 ,5 - 1 ,5 = 12; 12 - 1 ,5 = 10,5; 1 0 ,5 - 1,5 = 9; 9 - 1 ,5 = 7 ,5 . 1 2 7 3 .1 ) 13,1 - ( X + 5 ,8 ) = 1,7; х -Ь 5 ,8 = 13 ,1 - 1,7; х + 5 ,8 = 1 1 ,4 ; X = 1 1 ,4 - 5,8; X = 5,6; 2) ( X - 4 ,7 ) - 2 ,8 = 5,9 ; х - 4 ,7 = 5 ,9 + 2,8; х - 4 ,7 = 8 ,7 ; X = 8 ,7 + 4,7 ; х = 13,4; 1 7 ,1 2 3) ( г/ - 4 ,4 2 ) + 7 ,1 8 = 2 4 ,3 ; _ 2 4 ,3 0 і/ - 4 ,4 2 = 2 4 ,3 - 7,18; j 18 4 ,4 2 _ у - 4 ,4 2 = 1 7 ,1 2 ; і / = 1 7 ,2 + 4 ,4 2 ; ^ 21,54 у = 2 1 ,5 4 ; 1 7 ,1 2 408 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 4) 5 ,4 2 - (г/ - 9 ,3 7 ) = 1,18; у - 9 ,3 7 = 5 ,4 2 - 1,18; у - 9 ,3 7 = 4 ,2 4 ; у = 4 ,2 4 + 9 ,3 7 ; у = 1 3 ,6 1 . 1 2 7 4 . 1) (3 ,9 + X ) - 2 ,5 =5,7; 3 ,9 5 ,4 2 1 ,18 ^9,37 4 ,2 4 + л: = 5 ,7 4 ,2 4 1 3 ,6 1 .; 3 ,9 + X = 8 ,2 ; л: = 8 ,2 - 3 ,9 ; д: = 4 ,3 ; 2) 1 4 ,2 - (6 ,7 + х ) = 5,9 ; 6 ,7 + л: =1 4 ,2 - 5 X = 8 ,3 - 6 ,7 ; X = 1,6; 3) (г/ - 8 ,4 2 ) + 3 ,1 4 = 5,9; у - 8 ,4 2 = 5 ,9 - 3,14; у - 8 ,4 2 = 2,76; у = 8 ,4 2 + 2,76; ! /= 11,18; 4) 4 ,4 2 + (у - 1 ,1 7 ) = 5,47; у - 1, 17 = 5 ,4 7 - 4 ,4 2 ; у - 1 ,1 7 = 1,05; у = 1 ,0 5 + 1,17; у = 2 ,2 2 . ,7 + X = 8 ,3 ; 2 ,7 6 3 ,1 4 "^8,42 2 ,7 6 1 1 ,1 8 5 ,4 7 1,0 5 4 ,4 2 1,17 1 ,0 5 2 ,2 2 .o rg 5 ,9 0 ok В ідн ім ання сум и від числа: а - (b + с) = а - b - с. В ідн ім ання числа від суми: (а + b) - с = (а - с) + b = (b - с) + а. I w .4 bo 1 2 7 5 . 1 ) (1 4 ,5 4 8 + 1 2 ,8 3 5 ) - 4 ,5 4 8 = ( 1 4 ,5 4 8 - 4 ,5 4 8 ) + 1 2 ,8 3 5 = = 10 + 1 2 ,8 3 5 = 2 2 ,8 3 5 ; 2) 9 ,3 7 - 2 ,5 9 - 2 ,3 7 = (9 ,3 7 - 2 ,3 7 ) - 2 ,5 9 = 7 - 2 ,5 9 = 4 ,4 1 ; 3) 7 ,1 3 2 - (1 ,1 3 2 + 5 ,1 3 ) = (7 ,1 3 2 - 1 ,1 3 2 ) - 5 ,1 3 = 6 - 5 ,1 3 = 0 ,8 7 ; 4) 1 2 ,7 - 3 ,8 - 6 ,3 = 1 2 ,7 - (3 ,8 f 6 ,2 ) = 1 2 ,7 - 10 = 2 ,7 . w w 1 2 7 6 .1 ) (2 7 ,5 2 7 + 7 ,9 8 3 ) - 7 ,5 2 7 = (2 7 ,5 2 7 = 20 + 7 ,9 8 3 = 2 7 ,9 8 3 ; 2) 1 4 ,4 9 - 3,1 - 5 ,4 9 = (1 4 ,4 9 - 5 ,4 9 ) - 3 ,1 3) 1 4 ,1 - 3 ,5 8 - 4 ,4 2 = 14,1 - (3 ,5 8 + 4 ,4 2 ) 4) 4 ,1 4 2 - (2 ,1 4 2 + 1,9 ) = (4 ,1 4 2 - 2 ,1 4 2 ) - 1 2 7 7 . 1 ) 8 ,7 2 дм 2) 1 5 ,3 дм + 5 см 3) 4 2 7 см + 1 5 ,3 4) 5 м 3 дм 2 см 7 ,5 2 7 ) + 7 ,9 8 3 = = 9 - 3 ,1 = 5 ,9; = 14,1 - 8 = 6 ,1; 1 ,9 = 2 - 1 ,9 = 0 ,1 . 13 см = 8 ,7 2 дм - 1 ,3 дм = 7 ,4 2 дм; + 2 мм = 1 5 ,3 дм + 0 ,5 дм + 0 ,0 2 дм = 1 5 ,8 2 дм; дм = 4 2 ,7 дм + 1 5 ,3 дм = 58 дм; - 4 м 7 дм 2 см = 5 3 ,2 дм - 4 7 ,2 дм = 6 дм . Л 2 7 8 . Р о зв ’я за н н я . П 1 7,1 - (6 ,3 + 6 ,3 ) = 17,1 - 1 2 ,6 = 4 ,5 (см ). 12, о 4 ,5 '1 2 7 9 . Р о зв ’я за н н я . 1) Потяги зближ ую ться, 2) Потяги зближ ую ться, 3) Потяги віддаляються, 4) Потяги віддаляються, = I’, + = 52 ,4 + 6 9 ,5 = 1 2 1 ,9 (км /год). = 6 9 ,5 - 5 2 ,4 = 17,1 (к м /год). =v^ + v^ = 5 2 ,4 + 6 9 ,5 = 1 2 1 ,9 (км /год). - у, = 6 9 ,5 - 5 2 ,4 = 1 7,1 (к м /год). М А ТЕМ А ТИ КА , о. С . Істер й:*: 409 ш
    • P y x в одном у напрям і Р у х у р ізн и х н апрям ах Jh^ ^ 5 _У 2_ II Р у х з відставанням _V _ 3 Р у х у п роти леж н и х напрям ах H к 1 = ЗІ Зустріч н и іі рух .o rg Р у х навздогін bo ok Я кщ о два тіла рухаю ться назустріч одне одном у, то ш видкість збл и ж ен н я дорівню є сум і їх ш видкостей. Я кщ о два тіла рухаю ться в п р оти л еж н и х н ап рям ах, то ш ви д­ кість їх віддалення дорівню є сум і ш видкостей тіл. Я кщ о два тіла рухаю ться в одном у напрям і зі ш видкостям и і (*^2 ^ ™ м ож ливі два випадки. 1. Тіло з більш ою ш видкістю н аздоган яє тіло з м енш ою ш ви д­ кістю . Тоді ш видкість збл и ж ен н я = ^*2 ~ 2. Тіло з більш ою ш видкістю «втікає» від тіла з м енш ою . Тоді w w w .4 1 2 8 0 . Р о зв'я зан н я . 1) В елосипедисти зближ аю ться. зб л . = V - - 1 ' ^■ = 1 8 ,2 + 1 6 ,7 = 3 4 ,9 (к м /го д ). ^i 2) В елосипедисти зближ аю ться. = D - у = 1 8 ,2 - 1 6 ,7 = 1 ,5 (к м /го д ). 3) В елосипедисти віддаляю ться. ь’відд. = + v.^ = 1 8 ,2 + 1 6 ,7 = 3 4 ,9 (к м /го д ). 4) В елосипедисти віддаляю ться. ‘^відд “ *^2 “ 1 8 ,2 - 1 6 ,7 = 1 ,5 (к м /го д ). 1 2 8 1 . 1 ) 1 ,5 9 7 2 - 7 ,8 2 1 9 - 4 ,3 7 1 2 = 5 ,0 4 |7 9 = 5,0 5 ; 2) 2 ,3 9 1 7 - 0 ,4 2 1 4 + 3 ,4 5 1 5 = 5 ,4 2 |1 8 = 5 ,4 2 . 1,5972 9 ,4 1 9 1 2 ,3 9 1 7 1 ,9 7 0 3 7 ,8 2 1 9 *4,3 7 1 2 0 ,4 2 1 4 3 ,4 5 1 5 9 ,4 1 9 1 5 ,0 4 7 9 1 ,9 7 0 3 5 ,4 2 1 8 1 2 8 2 .1 ) 8 ц - 3 1 9 кг = 8 ц - 3 ,1 9 ц = 4 ,8 1 ц; 2) 9 ц 15 кг + 3 1 2 кг = 9 ,1 5 ц -І- 3 ,1 2 ц = 1 2 ,2 7 ц; 3 ) 3 т 2 ц - 2 ц 3 к г = 3 2 ц - 2 ,0 3 ц = 2 9 ,9 7 ц; 4 ) 5 т 2 ц 1 3 к г - ь 7 т 3 ц 7 к г = 5 2 ,1 3 ц -Ь 7 3 ,0 7 ц = 1 2 5 ,2 ц. 410 ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 8 ,0 0 3 2 ,0 0 5 2 ,1 3 3 ,1 9 2 ,0 3 ^ 7 3 ,0 7 4 ,8 1 2 9 ,9 7 1 2 5 ,2 0 1 2 8 3 . 1) 7 ,2 м - 25 дм = 7,2 м - 2 ,5 м = 4 ,7 м; 2) 2 ,7 м + 3 дм 5 см = 2 ,7 м + 0 ,3 5 м = 3 ,0 5 м; к.:.:.;-:3) 4 3 2 дм + 3 м 5 дм + 2 7 см = 4 3 ,2 м + 3 ,5 м + 0 ,2 7 м = 4 6 ,9 7 м; 4) 37 дм - 15 см = 3 ,7 м - 0 ,1 5 м = 3 ,5 5 м. 4 3 ,2 4 6 ,7 0 _3,70 3, 5 0 ,2 7 0 ,1 5 4 6 ,7 4 6 ,9 7 3 ,5 5 ok .o rg 1 2 8 4 . Р о з в ’я зан н я . (1 5 ,4 см - 3 ,4 см) : 2 = 12 см : 2 = 6 см. В ідп овідь: 6 см. 1 2 8 5 . Р о зв ’я за н н я . 1) 3 ,1 см + 3,1 см = 6 ,2 см — сум а довж ин двох однакових сторін; 2) 12, 2 см - 6 , 2 = 6 см — сум а дов ж и н дв ох ін ш и х сторін; 3) 6 см : 2 = З см. В ідп овідь: З см. bo 1 2 8 6 . Р о зв ’я за н н я . 1) 1 0 9 ,6 - 6 9 ,9 = 3 9 ,7 (кг) — у третьом у ящ ику; 1 0 9 ,6 72,1 2) 7 2 ,1 - 3 9 ,7 = 3 2 ,4 (кг) — у др угом у ящ ику; ~ 69 9 39 7 L_ 3) 6 9 ,9 - 3 2 ,4 ~ 3 7 ,5 (кг) — у перш ом у ящ и к у. _________ В ідп овідь: 3 7 ,5 кг; 3 2 ,4 кг; 3 9 ,7 кг. 3 9 ,7 3 2 ,4 1 3 ,2 1 1 3 ,2 1 0 w w _17,92 w .4 1 2 8 7 .1 ) 1 5 ,0 1 + а = 1 7 ,9 2 ; а = 1 7 ,9 2 - 1 5 ,0 1 ; а = 2 ,9 1 ; 2) 1 7 ,9 2 - Ь = 1 2 ,4 3 ; Ь = 1 7 ,9 2 - 1 2 ,4 3 ; Ъ = 5 ,4 9 ; 3) 1 2 ,4 3 + с = 1 3 ,2 1 ; с = 1 3 ,2 1 - 1 2 ,4 3 ; с = 0 ,7 8 ; 4) 1 3 ,2 1 - d = 0 ,0 2 1 ; d = 1 3 ,2 1 - 0 ,0 2 1 ; d = 1 3 ,1 8 9 . 0 ,0 2 1 1 2 ,4 3 1 2 ,4 3 5 ,4 9 0 ,7 8 1 3 ,1 8 9 В ідп овідь: a = 2 ,9 1 ; b = 5 ,4 9 ; с = 0 ,7 8 ; d = 1 3 ,1 8 9 . 1 2 8 8 . l ) b - 3 ,1 8 = 5 ,4 2 ; b = 5 ,4 2 + 3 ,1 8 ; b = 8,6 ; 2) a + 0 ,7 = 8,6 ; a = 8 ,6 - 0 ,7 ; a = 7,9. В ідп овідь: b = 8 ,6 ; a = 7,9. 1 2 8 9 . 1) 8 ,1 - 3 ,7 - 5,1 + 2 ,7 = 2; 2) 4 ,5 - 0 ,1 8 + 1 ,1 8 - 5 ,5 = 0. 1 2 9 0 . Р о зв ’я зан н я . 1) 5 ,2 + 1 ,7 = 6 ,9 (грн.) — стало у Ч іпа; 2) 6 ,9 - 1,2 = 5 ,7 (грн.) — стало у Д ейла; 3) 5 ,7 + 1 ,7 = 7 ,4 (грн.) — було у Д ейла. В ідп овідь: 7 ,4 грн.
    • w w w .4 bo ok .o rg л 29Л .Р о з в ’я за н н я . 5 ,9 2 5 ,9 2 1) 5 ,9 2 - 1 ,3 7 = 4 ,5 5 (км) — друга бригада; ~1,37 +4,55 2) 5 ,9 2 + 4 ,5 5 + 0 ,8 5 = 1 1 ,3 2 (км) — довж ина — !— д іл я н к и . 4 ,5 5 ’ В ідп овідь: 1 1 ,3 2 км. 1 1 ,3 2 1 2 9 2 . Р озгл ян ем о сум у а + b. 1) П ісл я збіл ьш ен н я п ер ш и й додан ок стан е (а + 3 ,7 ), а д р у ­ гий — (Ь + 8 ,2 ). (а + 3 ,7 ) + (Ь + 8 ,2 ) = (а + Ь) + (3 ,7 + 8 ,2 ) = (а + 6) + 1 1 ,9 . В ідп овідь: збільш иться на 1 1 ,9 . Д ал і — аналогічно. 2) (а + 1 8 ,2 ) + (Ь - 3 ,1 ) = (а + {>) + (1 8 ,2 - 3 ,1 ) = (а + Ь) + 1 5 ,1 . В ідп овідь: збільш иться на 1 5 ,1 . 3) (а - 7,4) + ( Ь - 8 ,1 5 ) = {а + Ь ) - 7,4 - 8 ,1 5 = {а + Ь )~ (7 ,4 + 8 ,1 5 ) = = (а + Ь ) - 1 5 ,5 5 . В ідп овідь: зм енш иться на 1 5 ,5 5 . 4) (а + 1 ,2 5 ) + { Ь - 1 ,2 5 ) = (а + Ь) + (1 ,2 5 - 1 ,2 5 ) = а + Ь. В ідп овідь: не зм іниться. 5) (а + 7 ,2 ) + (Ь - 8 ,9 ) = (а + Ь) - (8 ,9 - 7 ,2 ) = (а + Ь) - 1 ,7 . В ідп овідь: зм енш иться на 1, 7. 1 2 9 3 . Р озгл ян ем о різн и ц ю а - Ь. 1) (а - 7,1 ) - Ь = ( а - Ь ) ~ 7 ,1 . 3) а - (6 + 4 ,7 ) = (а - Ь) - 4 ,7 . В ідповідь: зм енш иться на 7 ,1 . В ідповідь: зм енш иться на 4 ,7 . 2) (а + 8 ,3 ) - Ь = { а - Ь ) + 8 ,3 . 4) а - (6 - 4 ,1 9 ) = (а - Ь) + 4 ,1 9 . В ідповідь: збільш иться на 8 ,3 . Відповідь: збільшиться на 4 ,1 9 . 1 2 9 4 . Р о зв ’я за н н я . а - Ь = 8 ,3 2 5 ; (а + 1 3 ,2 ) - (Ь + 5 ,7 ) = (а - Ь) + (1 3 ,2 - 5 ,7 ) = = (а - Ь) + 7 ,5 = 8 ,3 2 5 + 7 ,5 = 1 5 ,8 2 5 . В ідп овідь: 1 5 ,8 2 5 . 1 2 9 5 . Р озгл ян ем о різн и ц ю а - Ь. 1) (а + 0 ,8 ) - { Ь + 0 ,5 ) = ( а - Ь) + (0 ,8 - 0 ,5 ) = (а - Ь) + 0 ,3 . В ідп овідь: збільш иться на 0 ,3 . 2) (а + 1,7 ) - (Ь + 1 ,9 ) = ( а - Ь ) ~ (1 ,9 - 1,7 ) = (а - ft) - 0 ,2 . В ідп овідь: зм енш иться на 0 ,2 . 3) (а + 3 ,1 ) - (Ь - 1 ,9 ) = (а - Ь) + (3 ,1 + 1,9 ) = {а - Ь) + 5. В ідп овідь: збільш иться на 5. 4) (а - 4 ,2 ) - { Ь + 2 ,1 ) = (а - Ь) - 4 ,2 - 2,1 = (а - Ь) - (4 ,2 + 2 ,1 ) = = (а - Ь) - 6 ,3 . В ідп овідь: зм енш иться на 6 ,3 . Вправи дл я повторення 1 2 9 6 . 1 ) 125 + 3 82 < 3 8 2 + 127; 2) 4 7 3 • 29 > 4 7 2 • 29; 3) 592 - 11 > 592 - 37; 4) 9 2 5 : 25 > 9 2 5 ; 3 7. 1 2 9 7 . Р о зв ’я зан н я . П ерш у страву м ож на вибрати двома способам и з двох видів. Д ля кож ного вибору др угу страву м ож н а вибрати одним із трьох сп о­ собів, а третю страву — одним із двох. 412 Ш МАТЕМ/О-ИКА. О . С . Істер
    • За правилом добутку обід м ож на вибрати 2 • З • 2 = 12 способам и. В ідп овідь: 12 способам и. 1 2 9 8 . Р о з в ’я за н н я . Н ехай ш ирина прям окутни к а х дм , тоді його дов ж и н а — (х + 5) дм . П ерим етр прям окутника Р = (х + (х + 5)) ■ 2 = (2 х + 5) ■ 2 = 4 х + 10. За умовою 4 х + 10 = 50, звідки: 4 х = 50 - 10; 4 х = 40; х = 10. О тж е, ш ирина п рям окутника дорівню є 10 дм , його д о в ж и н а — 10 + 5 = 15 (дм). В ідп овідь: 10 дм і 15 дм . 1 2 9 9 . 1 ) 9 ,9 ; 2) 4 ,9 9 . 1 3 0 0 . 1 ) 6 ,1 ; 2) 1 7 ,0 1 . 3 . 4 ,0 8 1 .5 = 5 ,0 0 3 . 1000 В ідп овідь: В. 2 . 5 . 7 < 5 ,7 8 . В ідп овідь: Г. rg Д ом аш н я сам остій н а робота № 7 - 1 ,3 = 2 ,7 8 . 4 ,0 8 .o 1 ,3 0 2 ,7 8 ■ ok В ідп овідь: Б. 701 4.4,0701 = 4 ---. 10000 В ідп овідь: ? 5 .3 .5 4 І5 = 3 ,5 5 . В ідп овідь: Б. 6 . x - 6 ,1 3 = 7,48; X = 7 ,4 8 + 6 ,1 3 ; X = 1 3 ,6 1 . В ідп овідь: А . 7 . 7 дм^ = 0 ,0 7 м^ В ідп овідь: Б. 8 . 7. В ідп овідь: Б. 9 . 2 ,3 * 7 = 2 ,4 , якщ о зам ість з і­ 7 ,4 8 w .4 bo "^6,13 Ж бї рочки стоїть одна з циф р 5, 6, 7, 8, 9. В ідп овідь: А ) 5. 10. 4 а З м2 = 4 ,0 3 а. w w 1 1 . 3 ,7 < 3 ,8 3 < 3 ,9 . В ідп овідь: В. В ідп овідь: Г. 1 2 . Р озгл ян ем о сум у а + Ь + с. (а + 0 ,8 ) + ІЬ + 0 ,5 ) + (с - 0 ,4 ) = (а Ь + с) + (0 ,8 + 0 ,5 - 0 ,4 ) = = (а + Ь + с) + 0 ,9 . В ідп овідь: Б. З ав данн я д л я п еревірк и знань № 7 (§§ 3 4 - 3 7 ) 1 . 1 ) 4 7 ,5 3 9 < 4 7 ,6 ; 2) 0 ,2 9 3 > 0 ,2 9 2 8 . Д есяткові дроби порівню ю ть н орозрядно зл іва направо. Я кщ о кількість д есятк ов и х зн ак ів р ізн а, її м ож н а зр івн яти , доп и сав ­ ши праворуч потрібну кількість нулів. П ісля цього порівню єм о цифри у в ідповідни х р озр я дах, доки не зн ай дем о р ізн і ц иф ри. Більш им буде той др іб, у якого циф ра більш а. Н ап ри к лад, 4 7 ,6 = 4 7 ,6 0 0 0 . 4 7 ,5 3 9 < 4 7 ,6 0 0 , оскільки 5 < 6. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер 413
    • 2 . 1) 7 ,9 7 + 3 6 ,4 6 1 = 4 4 ,4 3 1 ; 7 ,9 7 0 ^ 3 6 ,4 6 1 2) 4 2 + 7 ,0 0 1 = 4 9 ,0 0 1 . 4 2 ,0 0 0 ^ 7 ,0 0 1 4 4 ,4 3 1 3 . 1) 4 6 ,6 3 - 7 ,7 1 8 = 3 8 ,9 1 2 ; 4 6 ,6 3 0 4 9 ,0 0 1 2) 37 - 3 ,0 4 5 = 3 3 ,9 5 5 . 3 7 ,0 0 0 7 ,7 1 8 3 ,0 4 5 3 8 ,9 1 2 3 3 ,9 5 5 w .4 bo ok . or g 4 . 1 ) 4 ,5 |9 7 = 4,6 ; 0 ,8 |3 4 2 = 0,8 ; 2) 1 5 ,7 9 |5 = 1 5 ,8 0 ; 1 4 ,1 3 |4 = 1 4 ,1 3 . 5 . 1 ) 7 км 113 м = 7 ,1 1 3 км; 2) 2 19 м = 0 ,2 1 9 км; 3) 17м = 0 ,0 1 7 км; 4) 3 1 2 9 м = 3 ,1 2 9 км. 6 . Р о зв ’я зан н я . 1) 15, 7 + 1 ,9 = 1 7 ,6 (к м /год) — ш видкість за течією ; 2) 15, 7 - 1 ,9 = 1 3 ,8 (к м /год) — ш видкість проти теч ії. В ідп овідь: 1 7 ,6 к м /год ; 1 3 ,8 к м /го д . 7 .Р о з в ’я зан н я . 1) 7 ,3 т - 2 ,6 т = 4 ,7 т — другого дня. 2) 7 ,3 т + 1 , 7 т = 9 т — третього дня. 3) 7 ,3 т + 4 ,7 т + 9 = 21 т — за три дн і. В ідп овідь: 21 т. 8 . 1 ) (8 ,4 2 + 3 ,9 7 ) + 4 ,5 8 = (8 ,4 2 + 4 ,5 8 ) + 3 ,9 7 = 13 + 3 ,9 7 = 1 6 ,9 7 ; 2) (3 ,4 7 + 2 ,9 3 ) - 1 ,4 7 = (3 ,4 7 - 1 ,4 7 ) + 2 ,9 3 = 2 + 2 ,9 3 = 4 ,9 3 . 9 .5 ,5 8 ; 5 ,6 1 ; 5 ,6 9 9 9 . 1 0 . 1) 3 ,8 1 * 5 = 3 ,8 2 ; якш;о * = 5, 6, 7, 8, 9; 2) 7,4*6 = 7,41; якш,о * = 0. Ц иф ра в р озр я д і, до якого округлю ю ть число, збільш ується на 1, якщ о наступна за нею циф ра 5, 6, 7, 8, 9 . В ін ш и х випадках цифра не зм іню ється. 11. 0 ,7 < д < 4 ,2 ; 2 ,7 < п < 8 ,9 . w І 2,7 w 0,7 4,2 8,9 Об’єдную чи ДВІ нерівності, м аєм о, щ о 2 ,7 < п < 4 ,2 . О тже, /г = 3; 4. § 3 8. Множення десяткових дробів П р ави ла м н ож ен н я деся тк ов и х дробів 1. П ом н ож ити дроби як натуральні ч исла, не звертаю чи ува­ ги на ком и. 2. У добутку відокрем ити ком ою , р ахую чи справа, стільки д е ­ сяткових зн ак ів , скільки їх в обох м н ож н и к ів разом . Важ ливо! Н е м ож н а відкидати н улі в к ін ц і д обутк у, перш н іж поставили в ньом у ком у. 414 Ш М А Г Е М А Т И К А . О . С.
    • 1301.1) 4) 7) 5 ■0 ,7 = 3 ,5 ; 2) 6 ■ 0 ,5 = 3; 3) 4 • 0 ,0 2 = 0 ,0 8 ; 7 • 0 ,0 4 = 0 ,2 8 ; 5) З • 4 ,1 = 12,3; 6) 5 • 1,1 = 5,5; 0 ,3 • 0 ,0 6 = 0 ,0 1 8 ; В) 0 ,7 0 ,0 8 = 0 ,0 5 6 . Я кщ о в добутку не вистачає цифр для відділ ен н я їх к ом ою , то зліва приписую ть потрібн у кількість нулів. І 1 3 0 2 . 1 ) 1 1 0 4 ,5 ; 2) 2 1 1 0 ,4 5 ; 3) 1 1 ,0 4 5 ; 4) 1 1 ,0 4 5 ; 5) 1 ,1 0 4 5 ; 6) 0 ,1 1 0 4 5 . 1 3 0 3 . 1) 1078,8; 2) 107,88; 3) 10,788; 4) 1,0788; 5) 107,88; 6) 0 ,1 0 7 8 8 . 1 3 0 4 . 1) 4 ,7 • 5 = 2 3 ,5 ; 4 ,7 2) 2 ,3 1 • 4 = 9 ,2 4 . 2 ,3 1 X X 5 3) 0 ,4 8 6 9 ,2 4 4) 0 ,1 8 3 ,7 1,5 12 1449 621 + 2430 486 7 ,6 5 9 2 7 ,1 6 7) 0 , 7290 8 ,0 4 Л 18 280 + 35 6 3 ,0 5) 1 3 ,2 4 6) X 36 + 18 8) 2 ,1 6 17,02 3,1 ^16296 15 804 0 ,2 6 1 0 ,5 9 2 X 8510 bo 0 ,8 X rg 2) .o 3 ,5 ok 1305.1) 4 "2375 2 ,0 7 2412 5 432 1702 2 4 ,9 Й 3) 0 ,1 8 5 7,0бТ б 2) 3 ,0 4 4 ,3 2 ,4 27 0 ,7 912 ^40 301 1 2 ,8 5 2 1216 370 86 1 3 ,0 7 2 0 ,4440 1 1,6 1 w .4 5 ,6 35 1306.1) X X ^ w w 168 6) 9 4 ,2 1 7) X X 9 4 ,2 1 8) 2 5 5 ,3 0 4) 0 ,4 3 0 ,1 3 X 5) 1 8 ,3 6 X 9) 2 ,0 3 X 5 ,3 0 ,5 3 0 ,3 8 0 ,0 7 28263 28263 ~Ї04 0 ,1 4 2 1 47105 47105 39 4 9 9 ,3 1 3 4 9 ,9 3 1 3 1 3 0 7 . Р = 8 ,7 • 5 = 4 3 ,5 (см ). ^ 8 ,7 В ідп овідь: 4 3 ,5 см. 0 ,0 4 9 4 5 4 ^ 2 = 1,4; 0 ,0 3 • 2 = 0 ,0 6 ; 1 ,2 • 2 = 2 ,4; 1 ,8 2 = 3,6; 0 ,4 • З = 1,2; 0 ,0 8 • З = 0 ,2 4 ; 0 ,0 0 7 • З = 0 ,0 2 1 ; 1 ,3 • 2 = 3 ,9 . 1 3 0 8 . 1) 0 ,7 2) М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 415
    • 1 6 ,2 5 1309.1) ^ 2) 1 6 ,2 5 3 ^ 4 8 ,7 5 (км) 3)^ 1 6,2 5 4 ^0,8 6 5 ,0 0 (км) ^3, О О (км). О В ідп овідь: 4 8 ,7 5 км; 65 км; 13 км. ЛЪЛО. Р озв'я за н н я . 1) 4 ,8 • 1 ,8 = 8 ,6 4 (км) — піш ки; 2) 1 5 ,4 ■ 1 ,5 = 2 3 ,1 (км) — на велосипеді; 3) 8 ,6 4 + 2 3 ,1 = 3 1 ,7 4 (км) — відстань. 8 ,6 4 + 23Д 4 ,8 ^18 —1 ^ 384 48 1 5 ,4 ^ 15 1 — ^ 770 154 8 ,6 4 2 3 ,1 0 3 1,74 В ідп овідь: 3 1 ,7 4 км. 26 3 ,4 2 0 ,8 ^ 0 ,8 ^ 12 "^40,8 2 0 ,8 ^ 68 2) (1 2 ,3 4 - 3 ,5 6 ) • 14 = 1 2 2 ,9 2 ; or g 1 3 1 1 . 1 ) 0 , 8 - 2 6 + 3 , 4 - 12 = 6 1,6 ; 8 ,7 8 ok . bo 1,27 3 9 ,3 7 3 ,1 0 31 ” і8,07 3 ,2 1 7 9 ,3 1 127 2 1 ,3 0 8 3 ,8 + ( 2 4 - 5 , 7 - 4 , 7 ) = 215,9; w 5) ^ 24 1 3 6 ,8 8 3 ,8 5,7 4 ,7 "^132,1 168 132,1 2 1 5 ,9 w X 35 1 2 87 8 9 ,3 1 1,3 3 w .4 1,33 + 1 ,2 7 • 31 - 1 8 ,0 7 = (9 ,5 + 3 ,8 ) • 7 - 6 ,1 = 3 ,2 1; "^3,8 14 1 2 2 ,9 2 4 0 ,8 9 ,5 8 ,7 8 3 ,5 6 6 1 ,6 34 3) 1 2 ,3 4 120 ^ 381 3 9 ,3 7 6) 12 ■3 ,4 4 ■ 5 + 4 3 ,6 = 2 5 0 . 12 ■ 5 = 60; 3 ,414 4 ^ 2 0 6 ,4 60 ^ 4 3 ,6 2 0 6 ,4 0 2 5 0 ,0 1 3 6 ,8 1,2^ = 1 ,2 • 1 ,2 = 1,44; 2) 3,7^ = 3 ,7 • 3 ,7 = 1 3,6 9; 3) 0,412 = 0 ,4 1 • 0 ,4 1 = 0 ,1 6 8 1 ; 4) 1,2^ = 1,2 • 1 ,2 • 1 ,2 = 1 ,7 2 8 ; 1,2 ■1 ,2 =1,44; 5) 3,1^ = 3 ,1 ■ 3,1 3 ,1 = 2 9 ,7 9 1 ; 6) 0,3* = 0 ,3 0 ,3 0 ,3 • 0 ,3 = (0 ,3 • 0 ,3 ) • (0 ,3 0 ,3 ) = 0 ,0 9 = 0 ,0 0 8 1 . 1312.1 ) 416 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 0 ,0 9 =
    • 3 .7 X X X 1,4 4 0 ,4 1 3 .7 259 + 0 ,4 1 X 1,2 + 164 0 ,1 6 8 1 1 ,7 2 8 1 3 1 3 . 1 ) 8 , 3 2 = 8, 3 X 3,1 ^ 31 144 1 3 ,6 9 X 3.1 288 + 111 9,61 3.1 961 2 883 ^93 2 9 ,7 9 1 9 ,6 1 2) 8 ,3 = 6 8 ,8 9 ; 8 .3 X 1 0 , 7 2 = 1 0 ,7 . 1 0 , 7 = 1 1 4 ,4 9 ; 1 0 .7 1 0 .7 8 .3 749 107 6 8 ,8 9 И 4 ,4 9 3 ) 1 , 5»= 1 ,5 1 ,5 1,5 75 1125 15 X 0 ,4 9 0 ,4 9 225 2 ,2 5 .o 1,5 4) 0,7^ = 0 ,7 ■ 0 ,7 • 0 ,7 • 0 ,7 = = (0 ,7 ■ 0 ,7 ) • (0 ,7 • 0 ,7 ) = = 0 ,4 9 • 0 ,4 9 = 0 ,2 4 0 1 . 1 ,5 = 3 ,3 7 5 ; 2 ,2 5 ok 1,5 rg 664 3 ,3 7 5 441 bo 196 X 0 ,4 0 ,2 4 0 ,4 8 0 ,0 3 0 ,1 8 0 ,0 3 6 w w 1315. w .4 0 ,2 4 0 1 1 3 1 4 . Р о з в ’я за н н я . 1) 0 ,8 • З = 2 ,4 (год) — ж уй к и ; 2) 0 ,4 • 4 = 1 ,6 (год) — барбариски; 3) 2 ,4 + 1 ,6 = 4 (год) — весь час. В ідп овідь: 4 год. 6х 1, 2х 2 ,7 1 ,4 2 8 ,5 2 1 ,7 0 4 1 ,8 1 0 ,8 2 ,1 6 2 ,7 1 6 ,2 3 ,2 4 3 ,1 4 1 1 8 ,8 4 6 3 ,7 6 9 2 3 ,1 4 1 х ' ’« 6 6 6 6 1 0 ,8 8 ,5 2 1 6 ,2 1 8 ,8 4 6 X 1,2 X 1,2 0 ,0 3 0 ,4 8 X 0 ,4 0 ,0 3 6 X 1,2 1,8 + 96 12 2 ,1 6 X X 1,42 X 1,2 284 "142 1,704 1,2 + 54 3 ,1 4 1 1,2 6282 27 3141 3 ,2 4 3 ,7 6 9 2 ШМАТЕМАТИКА. О. С. Істер Ш 1 4 Усі ГДР, 6 кл. 417
    • 2) 8 ,7 6 • 3 ,2 = 2 8 ,0 3 |2 = 2 8 ,0 3 ; 0 ,0 8 • 3 ,4 = 0 ,2 7 |2 = 0 ,2 7 ; 0 ,6 7 ; 0 ,4 2 • 1 ,6 = 0 ,6 7 |2 1 3 1 6 . 1 ) 1,8 6 , 7 = 1 2 ,0 |6 = 12,1; 3 ,6 ■ 0 ,7 = 2,5|2 = 2,5; 0 ,3 ■ 4 ,5 7 = l,3 j7 1 = 1,4; 1 ,8 X 3 ,6 X 4,57 8 ,7 6 3 ,4 3 ,2 0 ,0 8 1 752 0 ,2 7 2 6, 7 0, 7 0 ,3 126 2 ,5 2 1,371 0 ,4 2 X 1 ,6 252 + ^108 2628 42 Т 2 Г0 6 2 8 ,0 3 2 0 ,6 7 2 8 ,3 5 3) 8 ,3 5 0 ,6 = 5 ,0 1 = 5; 0 ,6 4 • 4 ,7 5 = 3 ,0 4 = 3; 0 ,0 9 8 • 4 7 ,5 = 4 ,6 5 5 = 5. 4 ,7 5 X X 0 ,6 47,5 X 0 ,6 4 ^ 1900 ^ 3800 rg “ 010 ^ 0 ,0 9 8 2850 4275 0 ,8 315 5,1 2 45 7 ,6 5 5,47 2 ,8 0 ,3 4 5 ,2 0 ,8 0 ,0 6 1 ,8 1868 4 ,3 7 6 0 ,1 6 8 9 ,3 4 bo 6 ,4 X w .4 4 ,5 1,7 X 2) 0 ,8 • 5 ,4 7 = 4 ,3 7 |6 = 4 ,3 8 ; 0 ,0 6 • 2 ,8 = 0 ,1 6 |8 = 0 ,1 7 ; 0 ,3 4 • 1 ,8 = 0 ,6 1 |2 = 0 ,6 1 ; ok 4 ,5 • 1 ,7 = 7,6j5 = 7,7; 6 ,4 • 0 ,8 = 5,1 |2 = 5,1; 9 ,3 4 • 5 ,2 = 4 8 ,5 |6 8 = 4 8 ,6 ; 1317.1 ) .o “з, 0 4 0 0 4 ,6 5 5 0 + 4670 34 4 8 ,5 6 8 0 ,6 1 2 w w 4 ,2 5 3 ,7 5 0 ,8 0 ,1 6 3 ,6 5 < 1,8 3 ,4 0 0 ^2250 2920 375 365 0 ,6 0 0 0 3) 4 ,2 5 • 0 ,8 = 3 ,4 = 3; 0 ,1 6 • 3 ,7 5 = 0 ,6 = 1; 1 ,8 • 3 ,6 5 = 6 ,5 7 0 = 7. 6 ,5 7 0 1 3 1 8 . Р озв ’язання. 1) = 1 ,8 • 2 ,7 5 = 4 ,9 5 ( cm^); 2) = 2 , 3 2 = 5 ,2 9 (cm^); 3) 4,'‘95 см2 < 5^29 cm^; 5 ,2 9 - 4 ,9 6 = 0 ,3 4 (см^). В ідп овідь: площ а квадрата більш а на 0 ,3 4 см^. 418 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер < 2 ,7 5 < 2 .3 1 ,8 2 .3 2200 ~69 275 46 4 ,9 5 0 5,29
    • 8 ,7 1 3 1 9 . Р о зв ’я зан н я . 1) Р = 8 ,7 дм • 4 = 3 4 ,8 дм; 2) S = 8 ,7 дм • 8 ,7 дм = 7 5 ,6 9 дм^. В ідп овідь: 3 4 ,8 дм; 7 5 ,6 9 дм ^ X 8 .7 8 .7 609 3 4 ,8 696 ТбГбЭ 6 ,8 Р о зв ’я зан н я. 1) 6 ,8 м • 1 ,5 = 1 0 ,2 (м) — др уга сторона; 2) Р = 2 ■ (6 ,8 м + 1 0 ,2 м) = 2 • 17 м = 34 м; 3) S = 6 ,8 м ■ 1 0 ,2 м = 6 9 ,3 6 (м""). В ідповідь: 34 м; 6 9 ,3 6 м^. 1320. 1 3 2 2 . 1 ) 4 ,7 т • 2 = 9 ,4 т; w .4 1 3 2 3 . 1) (8 ,2 3 6 + 0 ,5 8 4 ) • 3 ,2 5 - - 2 ,1 5 = 2 6 ,5 1 5 ; 8 ,8 2 8 ,2 3 6 2 8 ,6 6 5 0 ,5 8 4 3 ,2 5 2 ,1 5 0 8 ,8 2 0 4410 2 6 ,5 1 5 w w X 68 612 1 0 ,2 0 6 9 ,3 6 740 100 + 50 .o 2 96 6,00 3, 7 Ж7 4. 7 4, 7 ^ 4 ,7 2. 7 0 ,5 5 ^ 0 ,7 329 235 3 ,2 9 X 94 235 1 2 ,6 9 2 ,5 8 5 2) 4 7 ,4 ■ 3 0 ,6 - 8 ,6 4 3 0 ,5 = = 1 1 8 6 ,9 2 ; 3 0 ,6 3 0 ,5 1 4 5 0 ,4 4 X X 47,4 1224 8 ,6 4 2 6 3 ,5 2 1220 1 1 8 6 ,9 2 + 1764 + 2142 + 1830 2646 1224 2440 1 4 5 0 ,4 4 2 8 ,6 6 5 0 3) 816 340 ^2,4 bo 2) 4 ,7 т ■2 ,7 = 1 2 ,6 9 т; 3) 4 ,7 т • 0 ,5 5 = 2 ,5 8 5 т; 4) 700 кг = 0 ,7 т; 4 ,7 т • 0 ,7 = 3 ,2 9 т. 2 ,5 6 .8 =1,5 2 ,5 ok Я кщ о X = 1 ,4 8 , то у = 2 ,5 • 1 ,4 8 - 3 ,7 = 0. Я кщ о X = 2 ,4 , то г/ = 2 ,5 • 2 ,4 - 3 ,7 = 2 ,3 . 6 - 3 ,7 = 2,3 10,2 rg 1 ,4 8 1 321. ! / = 2 , 5 х - 3 ,7 . X 2 6 3 ,5 2 0 3 0 0 ,1 - 5 ,0 6 ■(3 4 ,3 + 1 6 ,2 ) = 2 7 4 ,5 4 7 ; 5 ,0 6 3 0 0 ,1 0 0 3 4 ,3 16 ,2 5 0 ,5 5 ,0 5 2 5 ,5 5 3 2530 2 7 4 ,5 4 7 2530 2 5,5530 М АТЕМ А ТИ КА . О . С . Істер 14* Ш 419
    • 66,8 2 8 ,7 4) 2 8 ,7 ■2 6 ,8 + 6 6 ,8 ■4 ,6 = 1 0 7 6 ,4 4 . '26,8 7 6 9 ,1 6 3 0 7 ,2 8 2296 4008 1 0 7 6 ,4 4 2672 + 1722 574 3 0 7 ,2 8 7 6 9 ,1 6 1 3 2 4 . 1 ) 4 0 ,8 4 - 0 ,8 4 • (4 ,2 6 7 2) 5 7 ,6 • 1 9 ,4 + 7 6 ,1 • 8 ,6 = = 177 1 ,9 ; 4 ,2 6 7 4 ,6 1 4 0 ,8 4 0 0 57,6 7 6,1 0 ,3 4 3 0 ,8 4 3 ,8 7 2 4 1 9 ,4 ^ 8 ,6 6 5 4 ,4 6 4 ,6 1 0 1844 3 6 ,9 6 7 6 “ 2304 4566 1 7 7 1 ,9 0 rg X + 5184 3688 576 1 1 1 7 ,4 4 6088 6 5 4 ,4 6 .o 3 ,8 7 2 4 ok 1 1 1 7 ,4 4 3) (34,1 + 16,4) ■5 ,0 4 - 3 ,9 4 7 = = 2 5 0 ,5 7 3 ; 5 0 ,4 1 6 ,4 '5 0 ,4 2020 4 0 ,8 3 ,9 4 7 '47,8 9 ,8 4 3 9 8 ,5 2 2 5 0 ,5 7 3 3264 1620 1 5 5 1 ,7 2 w .4 5 0 ,5 2 5 4 ,5 2 0 bo 34 ,1 4) 4 7 ,8 • 4 0 ,8 - 9 ,8 4 ■4 0 ,5 = = 1 5 5 1 ,7 2 . 2525 + 2856 1632 2 5 4 ,5 2 0 1 9 5 0 ,2 4 w w Ш і 1 3 2 5 . Р о зв ’я за н н я . V = a b c = 1 ,2 ■0 ,8 • 1 ,5 = 1 ,4 4 (дм^). В ідп овідь: 1 ,4 4 дм^. 1 3 2 6 . Р о зв ’я зан н я . 1) X F = 1,2^ = 1 ,2 ■ 1 ,2 ■ 1 ,2 = 1 ,7 2 8 (см^); 1.2 1.2 24 X 1,44 1,2 2 88 12 1,4 4 420 144 1,728 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С. Істер 4 0 ,5 1 9 5 0 ,2 4 + 3240 3645 3 9 8 ,5 2 0 X 1,2 0 ,9 6 0 ,8 оГ^ 480 96 1 ,4 4 0
    • 2) = 1,3 • 0 ,7 ■ 1 ,8 = 1 ,6 3 8 0 ,9 1 3) 1 ,7 2 8 см^ > 1 ,6 3 8 смЗ; 1 ,3 ^1,8 7^ (c m " ); • 0 ,7 = 0 ,9 1 ; _ 1 ,728 1 ,6 3 8 91 = 0 ,0 9 0 (см^) 1 ,6 3 8 В ідп овідь: о б ’єм куба більш ий на 0 ,0 9 см^. При м н ож ен н і десятк ов и х дробів виконую ться відом і в л а с т и - во ст і м нож ення: Переставна: аЬ = Ьа. Сполучна: (аЬ)с = а(Ьс). Р озподільна: (а + Ь)с = ас + Ьс; (а - Ь)с = ас - Ьс. rg 1 3 2 7 . 1) 0 ,2 5 • 0 ,7 • 4 = (0 ,2 5 • 4) • 0 ,7 = 1 • 0 ,7 = 0 ,7 ; .o 2) 1 ,2 5 • 7 • 0 ,8 = (1 ,2 5 • 0 ,8 ) • 7 = 1■ 7 = 7; 3) 0 ,2 • 7,2 • 5 = (0 ,2 ■ 5) • 7 ,2 = 1 • 7 ,2 = 7,2; 4) 2 ,5 • 12 ■ 0 ,4 = (2 ,5 • 0 ,4 ) ■ 12 = 1• 12 = 12. 0 ,4 = (2 ,5 0 ,4 ) • 15 = 1 15 = 15; 2) 0 ,1 2 5 • 1 ,8 7 ■8 = (0 ,1 2 5 • 8) • 1 ,8 7 = 1 • 1 ,8 7 = 1 ,87; 3) 0 ,2 • 7,2 • 5 = (0 ,2 • 5) • 7 ,2 = 1 • 7 ,2 = 7,2; 4 ) 0 ,8 • 5 ■ 1 ,2 5 = (0 ,8 • 1 ,2 5 ) • 5 = 1 • 5 = 5. bo ok 1 3 2 8 . 1) 2 ,5 • 15 1 3 2 9 . 1) 0 ,7 а • 5 = (0 ,7 ■ 5) • о = 3 ,5а; w .4 2) 0 ,8 х • 9,2г/ = (0 ,8 • 9 ,2 ) • х у = 7 ,3 6 х у ; 3) 7 , 1 т • 8 ,3 п = (7 ,1 ■8 ,3 ) • т п = 5 8 ,9 3 т п 4 ) 0 ,9 а • 8 ,3 6 • 5с = (0 ,9 • 8 ,3 • 5) ■аЬс = 3 7 ,3 5 а 6 с . 8 ,3 X 0 ,9 7 ,4 7 8 ,3 2 13 7,47 3 7 ,3 5 7,1 X w w X 5 568 5 8 ,9 3 9,2л: • 5,1 = (9 ,2 • 5 ,1 ) • л: = 46,92.г; 2) 7 ,3 а • Ъ = (7 ,3 ■ Ъ) ■ аЬ = 3 6 ,5аЬ; Ъ 3) 2 ,1 а • 5, ЗЬ = (2 ,1 • 5 ,3 ) • аЬ = 11,13аЬ; 4) 7а • 1 0 ,5Ь • 0 ,6 с = (7 • 1 0 ,5 • 0 ,6 ) • аЬс = 44,1аЬ с. 1330.1) X 9 ,2 2,1 X 5 ,3 X 5,1 + 92 + 63 1 0 ,5 4 ,2 + 2 10 460 105 4 20 46 ,92 11,13 44 ,1 0 М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 421
    • 1 3 3 1 . Р о зв ’я зан н я . 1) 37 + 1 ,5 = 3 8 ,5 (к м /го д ) — ш видкість за течією; 2) 37 - 1 ,5 = 3 5 ,5 (к м /го д ) — ш видкість проти течії; 3) 3 8 ,5 ■ 3 ,5 = 1 3 4 ,7 5 (км) — ш лях за течією; 4) 3 5 ,5 • 2 ,6 = 9 2 ,3 (км) — ш лях проти течії; 5) 1 3 4 ,7 5 + 9 2 ,3 = 2 2 7 ,0 5 (км) — весь ш лях. X 3 8 ,5 X 3 5 ,5 3 ,5 + 2 ,6 19 25 2130 1155 + + 1 3 4 ,7 5 9 2 ,3 2 2 7 ,0 5 710 1 3 4 ,7 5 9 2 ,3 0 В ідп овідь: 2 2 7 ,0 5 км. ok .o rg 1 3 3 2 .1 ) 6 ,7 ■ 8 ,4 + 6 ,7 • 0 ,6 = 6 ,7 ■(8 ,4 + 0 ,6 ) = 6 ,7 ■ 9 = 6 ,7 = 6 0 ,3 ; ^ 9 ____ 2) 1 2 ,3 7 ■ 4 ,1 8 5 - 1 2 .3 7 ■4 ,1 8 4 = = 1 2 ,3 7 • (4 ,1 8 5 - 4 ,1 8 4 ) = 1 2 ,3 7 • 0 ,0 0 1 = 0 ,0 1 2 3 7 ; 6 0 ,3 3) 1 9 ,2 3 ■ 7 ,2 8 - 1 8 ,2 3 • 7 ,2 8 = 7 ,2 8 • (1 9 ,2 3 - 1 8 ,2 3 ) = = 7 ,2 8 • 1 = 7,28; 4) 7 ,8 ■2 ,2 2 + 7,8 • 3 ,1 4 - 7 ,8 • 4 ,3 6 = 7 ,8 • (2 ,2 2 + 3 ,1 4 - 4 ,3 6 ) = = 7 ,8 • (5 ,3 6 - 4 ,3 6 ) = 7 ,8 ■ 1 = 7,8. w .4 bo 1 3 3 3 .1 ) 2 ,7 • 1 ,1 3 + 2 ,7 ■0 ,8 7 = 2 ,7 • (1 ,1 3 + 0 ,8 7 ) = 2 ,7 • 2 = 5 ,4; 2) 3 ,1 4 • 4 ,2 - 4 ,2 ■ 2 ,4 1 = (3 ,4 1 - 2 ,4 1 ) • 4 ,2 = 1 • 4 ,2 = 4 ,2 ; 3) 5 ,5 • 2 ,7 + 5 ,5 ■ 3 ,1 - 5 ,5 • 5 ,8 = 5 ,5 • (2 ,7 + 3 ,1 - 5 .8 ) = 5 ,5 • (5 ,8 - 5,8 ) = 5 ,5 ■О = 0; 4) 7 ,8 ■ 1,3 + 7 ,8 ■ 1 ,5 + 7,2 • 7 ,8 = 7 ,8 • (1 ,3 + 1 ,5 + 7 ,2 ) = 7 ,8 • (2 ,8 + 7,2 ) = 7 ,8 • 10 = 78. 1 3 3 4 .1 ) 1 ,2 а + 2 ,7 а = (1 ,2 + 2 ,7)а = 3 ,9 а . Я кщ о а = 4 ,2 , то 3 ,9 • 4 ,2 = 1 6 ,3 8 . w w 2 ) 7 , 1 х - 2 , 5 х = ( 7 , 1 - 2 , 5 ) х = 4 ,6 х . Якпдо X = 3 ,5 , то 4 ,6 • 3 ,5 = 1 6 ,1 . 3) 0,56 + 0,ЗЬ + 1,2Ь = (0,5 + 0 ,3 + 1,2) ■Ь = 2Ь. Я кщ о Ь = 2 ,9 , то 2 • 2 ,9 = 5 ,8 . 3 ,9 ^4,2 4 ,6 ^3,5 ^ + ^ + 1 6 ,3 8 1 6 ,1 0 4) 1,3і/ - 0,2г/ - 0 ,7 у = (1 ,3 - 0 ,2 - 0 ,7 ) ■у = 0,4г/. Я кщ о у = 1 ,3 , то 0 ,4 • 1 ,3 = 0 ,5 2 . 1 3 3 5 .1 ) 1 ,8 а + 1 ,2 а - 2 ,7 а = (1 ,8 + 1 ,2 - 2 ,7 )а = 0 ,3 а . Я кщ о а = 1 ,1 5 , то 0 ,3 • 1 ,1 5 = 0 ,3 4 5 . 2) 2 ,5 х - 1 , 3 х + 3 ,8 х = (2 ,5 - 1 ,3 + 3,8)лг = 5 х . Я кщ о X = 4 ,7 2 1 , то 4 ,7 2 1 • 5 = 2 3 ,6 0 5 . 1 3 3 6 .1 ) 7 ,8 2 ■0 ,0 7 + 7 ,8 2 ■0 ,3 3 + 0 ,4 ■ 1 ,1 8 = = 7 ,8 2 • (0 ,0 7 + 0 ,3 3 ) + 0 ,4 • 1 ,1 8 = = 7 ,8 2 ■0 ,4 + 1 ,1 8 • 0 ,4 = 0 ,4 • (7 ,8 2 + 1 ,1 8 ) = = 0 ,4 • 9 = 3,6; 422 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 4 ,7 2 1 ^ g _______ 2 3 ,6 0 5
    • 2) 3 ,8 5 • 3 ,2 - 3 ,8 5 1 ,7 + 1 ,5 1 ,8 5 = = 3 ,8 5 ■(3 ,2 - 1 ,7 ) + 1 ,5 • 1 ,8 5 = = 3 ,8 5 ■ 1 ,5 + 1 ,5 • 1 ,8 5 = 1 ,5 • (3 ,8 5 + 1 ,8 5 ) = = 1 , 5 - 5 , 7 = 8 ,5 5 . 1,5 x + 75 1 3 3 7 . Р о зв ’я зан н я . 8 ,5 5 1) 1 3 ,6 • 4 ,5 = 6 1 ,2 (к м /го д ) — ш видкість м отоцикліста; Р у х в одном у нап рям і, одн очасн о, з р ізн и м и ш ви дк остям и — це р ух з відставанням. Ш в и д к іст ь в ід с т а в а н н я дорівн ю є р із­ н и ц і ш видкостей тіл. І 544 47,6 j 2 !_ ^^2 476 6 1 ,2 0 Л З З й . Р о зв ’я за н н я . 1 3 ,6 5 7 ,1 2 4 5 rg 2) 6 1 ,2 - 1 3 ,6 = 4 7 ,6 (к м /го д ) — ш видкість відставання; 3) 4 7 ,6 • 1,2 = 5 7 ,1 2 (км ) — відстань через 1 ,2 год. В ідп овідь: 5 7 ,1 2 км . .o М аємо р ух н азустр іч . Ш в и д к іс т ь зб л и ж ен н я дор ів н ю є су м і ш видкостей п іш оходів . 1 5 ,0 0 ^ 1 6 1 2 ,9 6 ------ ----------^86 2 ,0 4 81 8 ,1 ^ 2 ,5 -------^ 405 162 1 2 ,9 6 2 0 ,2 5 w .4 bo І 8 ,1 ok 1) 4 ,2 - 0 ,3 = 3 ,9 (к м /го д ) — ш видкість другого; 2) 4 ,2 + 3 ,9 = 8 ,1 (к м /го д ) — ш видкість збл и ж ен н я ; 3) 15 - 8 ,1 1 ,6 = 2 ,0 4 (км); 4) 8 ,1 • 2 ,5 = 2 0 ,2 5 (км) — пройдуть два п іш оходи за 2 ,5 год; О держ аний результат озн ачає, щ о п іш оходи зустр іли ся і про­ дов ж и л и свій р у х . Тоді ш видк ість збл и ж ен н я п ісля зу стр іч і перетворилася на ш видкість віддаленн я. І w w 5) 2 0 ,2 5 - 15 = 5 ,2 5 (км) — відстань, на як у п іш оход и в ід д а л и ­ ли ся п ісля зустр іч і. В ідп овідь: 2 ,0 4 км; 5 ,2 5 км. 1 3 3 9 . Р о зв ’я за н н я . 1) 5 6 ,5 ■ 1 ,4 = 79,1 (к м /го д ) — ш видкість легкового автомобіля; 2) 5 6 ,5 + 79 ,1 = 1 3 5 ,6 (к м /го д ) — ш видкість збл и ж ен н я ; 3) 1 3 5 ,6 ■ 2 ,5 = 3 3 9 (км) — відстань м іж селищ ам и. 5 6 ,5 X 1 3 5 ,6 X 1,4 2 ,5 2260 6780 565 79,10 2712 3 3 9 ,0 0 В ідп овідь: 339 км . М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 423
    • 1ЗАО. Р о зв'я зан н я . 1 5 ,6 13,8 X 2 ,6 2 ,8 936 ШМ 312 276 4 0 ,5 6 3 8 ,6 4 1 9 ,1 4 х « ’^ 2, 2 1 8 ,7 2 ”Т 7 4 0 ,4 2 174 rg 1) 2,6 • 15,6 = 4 0 ,5 6 (грн.) — вартість цукерок; 2) 1 3 ,8 ■ 2 ,8 = 3 8 ,6 4 (грн.) — вартість печива; 3) 4 0 ,5 6 > 38 ,6 4 ; 3) 4 0 ,5 6 - 3 8 ,6 4 = 1 ,9 2 (грн.) — різниця; 4) 100 - (4 0 ,5 6 + 3 8 ,6 4 ) = 100 - 79 ,2 = = 2 0 ,8 (грн.). В ідп овідь: печиво деш евш е на 1 ,9 2 грн.; здача дорівню є 2 0 ,8 гри. MA V" Ж : 1 3 4 1 . Р о зв ’я зан н я. 7 ,2 1) 7, 2 • 2 ,6 = 1 8 ,7 2 (гри.) — борош но; X 2) 8 ,7 ■ 2 ,2 = 1 9 ,1 4 (грн.) — цукор; 2 ,6 3) 1 8 ,7 2 грн. < 1 9 ,1 4 грн.; 432 4) 1 9 ,1 4 - 1 8 ,7 2 = = 0 ,4 2 (грн.) — р ізн и ц я. 144 В ідп овідь: цукор дорожчий на 0 ,4 2 грн. 1 8,7 2 1 9 ,1 4 .o 1 3 4 2 . 1) 4 ,5 ■6 ,2 1 2 7 ,9 5 ; 2) 0 ,5 2 • 1 8 ,9 -> 9,8 3; -> 3) 1 2 ,3 • 1 ,8 5 ^ 2 2 ,8 ; 4) 0 ,9 3 • 0 ,8 5 ^ 0 ,8 . І 1 3 4 3 . Р о зв ’я зан н я. < 2 7 ,8 + 2 ,3 = 3 0 ,1 (к м /го д ) — ш видкість за течією ; 2 7 ,8 - 2 ,3 = 2 5 ,5 (к м /го д ) — ш видкість проти течії; 3 0 ,1 ■ 1,5 = 4 5 ,1 5 (км) — пройш ов катер за течією ; 2 5 ,5 • 1,5 = 3 8 ,2 5 (км) — пройш ов катер проти течії; 4 5 ,1 5 - 3 8 ,2 5 = 6 ,9 (км) — відстань до пристані. 3 0 ,1 2 5 ,5 4 5 ,1 5 w .4 1) 2) 3) 4) 5) bo ok М іркуємо так: 1) 4 ,5 = 5; 6 ,2 1 = 6; 5 • 6 = ЗО. О тж е, результат бли зьки йдо ЗО, тобто 2 7 ,9 5 . 4) 0 ,9 3 = 1; 0 ,8 5 = 1; 1 • 1 = 1, м аємо 0 ,8 . 1.5 ’3 8 ,2 5 1505 1275 6 ,9 0 301 255 1 5 ,1 5 3 8 ,2 5 w w ' 1,5 '0 ,2 5 В ідп овідь: 6 ,9 кг. 1 3 4 4 .1 ) а + 2 ,7 = 3,8 ; а = 3 ,8 - 2,7; а = 1,1; 2) с = 3 ,8 ■0 ,2 5 = 0 ,9 5 ; 3) d = 0 ,9 5 - 4 ,5 (пом илка в тексті) 1 3 4 5 . Р о зв ’я зан н я. 1) 0 ,0 5 км = 50 м , 0 ,6 км = 6 0 0 м; S = 50 м • 6 0 0 м = ЗО ООО м^ = З га — площ а поля; 2) 38 • З = 114 (т) — зібрали капусти; 3) 114 т = 114 ООО кг; 114 ООО ■ 0 ,7 = 79 8 00 (кг). В ідп овідь: 79 8 0 0 кг. 424 Ш 3 ,8 М АТЕМ АТИ КА. О . С. Істер + 190 76 0 ,9 5 0 X 114000 0 ,7 7 9 8 0 0 ,0
    • 4,5 5,22 1 3 4 6 . Р озв'я за н н я . 1) 4 ,5 • 5 ,8 = 2 6 ,1 (м^) — площ а підлоги; 2) 2 6 ,1 ■0 ,2 = 5 ,2 2 (кг) — кількість фарби; 3) 5 ,2 2 ■ 12 = 6 2 ,6 4 (грн .) — вартість фарби. В ідп овідь: 6 2 ,6 4 грн. або 62 грн. 64 коп. 225 522 В п рави д л я повторенн я 2 6 ,1 0 6 2 ,6 4 X 12 5 ,8 360 10 4 4 1 3 4 7 . Р о з в ’я зан н я . bo ok .o rg 1) 25 : 5 • 6 = 5 • 6 = ЗО (уч.) — кількість учнів у класі; 2) ЗО - 25 = 5 (уч.) — не було в театрі. В ідп о відь: 5 учнів. 1 3 4 8 . 1) 11 год 45 хв - 7 год ЗО хв = 4 год 15 хв; 4 год 15 хв - ЗО хв = З год 75 хв - ЗО хв = З год 45 хв. В ідп о відь: З год 4 5 хв. 2) З год 4 5 хв + 50 хв = З год 95 хв = 4 год 35 хв; 14 год 40 хв - 4 год 35 хв = 10 год 5 хв. В ідп овідь: 10 год 5 хв. 1 3 4 9 . Р о зв ’я зан н я . Н ехай бічна сторона трикутника дорівн ю є х м , тоді основа д о ­ рівню є (х + 2) м. П ерим етр трикутника Р = х - 2 + {х + 2) = 2 х + х + 2 = З х + 2. З а умовою З х + 2 = 20; З х = 20 - 2; З х = 18; х = 18 : 3; х = 6. О тж е, бічна сторона трикутника дорівню є 6 м , а основа: 6 + 2 = 8 (м). В ідп овідь: 6 см , 6 см , 8 м. w .4 § 3 9 . О кр е м і в и п а д к и м н о ж е н н я д е с я т к о в и х д р о б і в w w Щ об пом нож ити десятковий дріб на р озряду одиницю (1 0 , 100, 1 0 0 0 і т. д .), треба перенести в ньом у ком у вправо на стільки циф р, скільки нулів у розрядн ій оди н и ц і. П ри н еобхідн ості справа м ож н а доп и сати потрібн у кількість нулів: 3 ,7 5 • 10 = 3 7 ,5 ; 3 ,7 5 • 10 0 0 = 3 7 5 0 . Щ об п ом н ож и ти десятк ови й др іб на 0 ,1 ; 0 ,0 1 ; 0 ,0 0 1 і т. д ., потрібно перенести ком у вліво на стільки зн ак ів , скільки їх п ісля коми у другого м нож ника: 4 3 ,8 ■0,1 = 4 ,3 8 ; 4 3 ,8 ■0 ,0 1 = 0 ,4 3 8 . 1 3 5 0 . 1) 2 ,7 • 10 = 27; 3) 5) 5 ,3 8 2 ■ 100 = 53 8 ,2 ; 0 ,0 3 7 • 1 0 0 0 = 37; 1 3 5 1 . 1) 1 3 ,7 2 0 ,1 = 1 ,3 7 2 ; 3) 1 7 ,3 8 2 0 ,0 1 = О, 17382; 5) 7 3 ,8 2 0 ,0 0 1 = 0 ,0 7 3 8 2 ; 1 3 5 2 . 4,74 • 10 = 47 , 4 ; 3) 4 ,7 4 ■ 1 0 0 0 = 4740; 5) 4 ,7 4 • 0 ,0 1 = 0 ,0 4 7 4 ; 2) 4) 6) 2) 4) 6) 2) 4) 6) 3 7 ,2 5 ■ 10 = 3 7 2 ,5 ; 0 ,0 0 5 7 • 1 0 0 = 0 ,5 7 ; 5 ,1 2 1 0 0 0 = 5 1 2 0 . 2 ,3 7 ■0 ,1 = 0 ,2 3 7 ; 0 ,2 5 0 ,0 1 = 0 ,0 0 2 5 ; 8 1 3 • 0 ,0 0 1 = 0 ,8 1 3 . 4 ,7 4 • 100 = 474; 4 ,7 4 ■0 ,1 = 0 ,4 7 4 ; 4 ,7 4 • 0 ,0 0 1 = 0 ,0 0 4 7 4 . М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 425
    • 1 3 5 3 . 1) 5 ,3 9 1 10 = 5 3 ,9 1 ; 2) 5 ,3 9 1 • 100 = 5 3 9 ,1 ; 5 ,3 9 1 •1 0 0 0 = 5391; 4) 5 ,3 9 1 0 ,1 = 0 ,5 3 9 1 ; 5 ,3 9 1 •0 ,0 1 = 0 ,0 5 3 9 1 ; 6) 5 ,3 9 1 • 0 ,0 0 1 = 0 ,0 0 5 3 9 1 . 1 3 5 4 . 1) 6 ,8 • 10 = 68; 2) 4 7 ,1 2 5 • 10 = 4 7 1 ,2 5 ; 2) 3 7 ,1 1 5 100 = 3 7 1 1 ,5 ; 4) 5 ,9 • 1 0 0 0 = 5900; 5) 0 ,1 1 2 • 1 0 0 0 = 112; 6) 0 ,4 5 • 10 ООО = 45 0 0 ; 7) 3 ,7 0 ,1 = 0 ,3 7 ; 8) 59 ■0 ,1 = 5,9; 9) 4 ,7 • 0 ,0 1 = 0 ,0 4 7 ; 10) 1 3 5 ,7 • 0 ,0 1 = 1 ,3 5 7 ; 11) 3 7 4 ,5 • 0 ,0 0 1 = 0 ,3 7 4 5 ; 12) 1 3 ,8 • 0 ,0 0 0 0 1 = 0 ,0 0 0 1 3 8 . 1 3 5 5 . 1) 3 ,7 • 10 = 37; 2) 4 2 ,1 3 ■ 10 = 4 2 1 ,3 ; 3) 2 9 ,1 1 3 • 100 = 2 9 1 1 ,3 ; 4) 6 ,3 ■ 1 0 0 0 = 6300; 5) 1 ,1 9 5 •1000 = 1195; 6) 0 ,0 3 9 • 10 ООО = 390; 7) 5 ,2 ■0 ,1 = 0 ,5 2 ; 8) 152 • 0 ,1 = 15,2; 9) 4 ,5 7 ■0 ,0 1 = 0 ,0 4 5 7 ; 10) 1 4 8 ,5 0 ,0 1 = 1 ,4 8 5 ; 11) 2 4 7 ,3 2 • 0 ,0 0 1 = 0 ,2 4 7 3 2 ; 12) 1 4 5 2 ,9 0 ,0 0 0 1 = 0 ,1 4 5 2 9 . 1 3 5 6 . 2 ,7д: + 3,2д: - 4 ,8 х = (2 ,7 + 3 ,2 - 4,8)л: = 1,1л:. Я кщ о X = 0 ,0 1 , то 1,1 ■ 0 ,0 1 = 0 ,0 1 1 ; якщ о X = 0 ,1 , то 1,1 • 0 ,1 = 0 ,1 1 ; якщ о X = 10, то 1,1 ■ 10 = 11; якщ о X = 10 0 , то 1,1 • 1 00 = 110. 1 3 5 7 . 1 ,2 а + 4 ,9 а - 5 ,8 а = (1 ,2 + 4 ,9 - 5 ,8 )а = 0 ,3 а . Я кщ о а = 10 0 , то 0 ,3 • 1 00 = 30; якщ о а = 10, то 0 ,3 • 10 = 3; якщ о а = 0 ,1 , то 0 ,3 ■ 0 ,1 = 0 ,0 3 ; якщ о а = 0 ,0 1 , то 0 ,3 ■0 ,0 1 = 0 ,0 0 3 . 1 3 5 8 .3 ,2 4 7 км = (3 ,2 4 7 ■ 1 0 0 0 ) м = 3 2 4 7 м; 0 ,4 2 9 км = (0 ,4 2 9 • 10 0 0 ) м = 4 2 9 м; 0 ,0 8 2 км = (0 ,0 8 2 ■ 10 0 0 ) м = 82 м. 1 3 5 9 . 4 ,2 см = (4 ,2 • 10) мм = 42 мм; 0 ,8 см = (0 ,8 • 10) мм = 8 мм; 1 .2 дм = (1 ,2 • 100) мм = 1 20 мм; 0 ,0 3 дм = (0 ,0 3 • 100) мм = 3 мм. 1 3 6 0 . 2 ,7 9 грн. = 27 9 коп.; 0 ,0 5 грн. = 5 коп.; 8 2 ,0 5 грн. = 8 2 0 5 коп. 1 3 6 1 . 0 ,8 кг = (0 ,8 • 10 0 0 ) г = 8 0 0 г; 0 ,0 7 кг = (0 ,0 7 1000) г = 70 г; 1 .0 0 2 кг = (1 ,0 0 2 • 1000) г = 1 0 0 2 г. 1 3 6 2 . 1 ) 0 ,2 а • 50 = (0 ,2 ■ 50)а = (0 ,2 • 10 5)а = 10а. Я кщ о а = 1 ,7 5 , то 10 • 1 ,7 5 = 17,5; якщ о а = 2 ,8 5 9 , то 10 • 2 ,8 5 9 = 2 8 ,5 9 . 2) 0,25jc 0 ,4 і/ = (0 ,2 5 • 0 ,4 )х у = 0 , 1 х у . Я кщ о X = 1,8; у = 2 ,5 , то 0 ,1 • 1 ,8 2 ,5 = 0 ,1 8 • 2 ,5 = 0 ,4 5 . 1 3 6 3 . 1) 0 ,8 2 м = 82 см < 8 3 см; 2) 8 ,3 дм = 83 см > 82 см; 3) 5 ,3 м = 53 дм < 62 дм; 4) 2 ,7 ц = 2 7 0 кг < 281 кг; 5) 0 ,1 2 т = 1 ,2 ц < 1 ,3 ц; 5) 5,1 8 грн. = 518 коп. < 520 коп. 1 3 6 4 . 1 ) 10; 2) 1000; 1 3 6 5 . 1 ) 1000; 2) 10; 1 3 6 6 . 1 ) 1000; 2) 10; 3) 0,1; 4) 0 ,0 0 1 . 3) 0 ,1 ; 4) 0 ,0 1 . 3) 0 ,1 ; 4) 0 ,0 1 . w w w .4 bo ok .o rg 3) 5) 426 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • Вправи для повторення Q 1 3 6 7 . 1) 60 хв : 5 • З = 12 хв •З = 36 хв; 36 хв < 37 хв; - год < 37 хв; 5 2 2) 24 год : З • 2 = 16 год; - доби = 16 год; З 3) 60 с : 12 • 11 = 55 с; 57 с > 55 с; 57 с > хв; JА . 4) 1 год = 60 хв = 60 • 60 с = 3600 с; 3600 с : 60 ■ 7 = 420 с; 420 с > 415 с; — год > 415 с. 60 2 1-1 Л - 3 Л ; 2 )1 . 1 3 6 8 . 1 ) - - --- 9 9 9 7 9 9 9 5 _ 2'1 7 7 rg § 4 0 . Д і л е н ня де ся т ко в ог о д р о б у на н а ту р а л ь не ч ис ло ok .o Ділення десяткового дробу на натуральне число виконують так ж е, як і ділення двох натуральних чисел. Тільки коли закін­ читься ділення цілої частини, в частці ставлять кому. При потребі в діленому справа після коми мож на дописати необхідну кількість нулів, щоб завершити ділення. Якщо ціла частина діленого менша від дільника, то в частці ставимо О цілих. bo 1 3 6 9 . 1) 7; 2) 2; 3) 11; 4) 0; 5) 14; 6) 0. 1 3 7 0 . 1 ) 2,4 : 3 = 0,8; 2) 6,8 : 2 = 3,4; 3) 0,3 : 3 = 0,1; w .4 4) 0,4 8 : 4 = 0,12; 5) 6,42 : 2 = 3,21; 6) 8 ,0 0 8 : 8 = 1 5 7,2 8 56 12 1371.1) 2) 7,15 94,2 2 14 84 102 3) 6 ,7 3 2114,1 27 189 224 78,3 98 42 216 81 40 0 42 0 ~81 0 w w 8 40 4) 9 2 7 ,3 6 48 ~48 447 432 153 144 96 ~96 О 19,3 2 5) 7 24,98 688 86 8 ,4 3 6) 294 75 225 3,92 369 690 "344 "675 258 150 ~258 150 О О
    • 14,7 42 126 7) 190 W,35 40 160 8) 0 ,475 3876 85 340 9) 4 5 ,6 210 300 476 210 280 ~425 200 510 200 0 ~510 0 0,3 6 0 48 160 11) 0 680 0 ,1700 1360 0 ,0 0 7 5 850 1 2 )2 7 2 0 ^ 0 0 ^ 2550 0 ,3 2 3400 1700 240 ’ 3400 1700 0 0 2) 40 ^77 91 68 bo 0 w .4 ~0 4 16,52 78 5) 390 16,54 6) 5,34 " 180 90 312 270 312 270 0 0 272 0 0 ,4 5 4 2,6 117 234 340 272 34 45 1917 265 ” 408 367 8) 320 80 9) 320 0 ,4 0 170 0 428 '2 3 8 98 1124,72 68 170 82,7 98 56 ~ 136 272 '2 8 56 7) 15,3 2811,8 34 37 32 68 444 3) 3 ,2 7 42 37 4) 45,78 14 .o 8 0 ok 4 3 7 ,6 1 3 7 2 .1 ) rg 240 w w i i 10) Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 3744 65 325 494 57,6 ~455 390 390 0
    • 10) 96 0 ,7 2 0 672 11) 760 0 ,1900 1520 0 , 0075 12) 350 1050 0 ,0 00 25 1120 0 ,32 480 3800 700 480 3800 700 О О О Щоб поділити десятковий дріб на 10, 100, 1000, ..., треба пе­ ренести в ньому кому вліво на стільки знаків, скільки нулів у дільнику. 3) 5) 3,125 : 100 = 0,03125; 0,1 2 3 : 100 = 0,00123; 2) 4) 6) 2 1 3,25 : 10 = 21,325; 39 8 ,7 : 100 = 3,987; 6 5 7,82 : 100 = 6,5782. rg 1 3 7 3 . 1 ) 4 7 ,5 : 10 = 4,75; bo 1375. ok 57,3 : 100 = 0,573; 242,4 : 100 = 2,424; 242,4 : 1000 = 0,2424; 41 3 7 ,5 8 : 1000 = 4,13758; 27,13 : 10 ООО = 0 ,0 0 2 7 1 3 . .o 1 3 7 4 . 1 ) 57,3 : 10 = 5,73; 2) 3) 4) 5) 6) I 34 7 ,2 32 8 6 ,8 (км) w .4 27 1376. 19,2 12 12 24 1,6 (год) 72 О 32 В і д п о в ід ь : w w 32 за 1,6 год. ~ 0 В і д п о в ід ь : 1377. 8 6 ,8 к м /год. 10,85 10 2,17 (кг) 1378. 5,72 4 1,43 _8 17 5 (м) ~16 ^35 ” 35 О Відповідь: 2,17 кг. 12 О В ід п о в ід ь : М АТЕМ АТИ КА , 1,43 м. о. С . Істер Ш 429
    • 1 3 7 9 . 1) Якщо X = 10, то 58,3 ; 10 = 5,83; якщо X = 100, 58 : 100 = 0,58; якщо л: = 1000, 58 : 1000 = 0,058. 2) Якщо г/ = 100, 178 : 100 = 1,78; якщо у = 1000, 178 : 1000 = 0,178; якщо у = 1 0 ООО, 178 : 10 О О = 0 ,0 1 7 8 . О 6 ,4 5 1380. 'б 1381. 11,8 10 2,15 ( c m ) 2,36 ( c m ) 4 18 З 15 ЗО 15 ЗО rg 15 ~0 2,15 см. л = 42, 5 : 5; г X = 8,5 42,5 5 40 27,81 27 ” 27 1,03 bo 8,5 2) 27д: = 27,81; х = 27,81 : 27; X = 1,03 25 2,36 см. 3) 36,751 : X = 25; X = 36,75 : 25 X = 1,47 .o 1 3 8 2. 1) о х = 42,5; В ід п о в ід ь : ok В ід п о в ід ь : 36,75 25 25 81 ~100 w .4 0 117 81 ~25 175 0 ~175 0 4) 57,42 : X = 10; д: = 57,42 : 10; X = 5,742. w w 1 38 3 . 1 ) 9 х = 92,25; д: = 92,25 : 9; X = 10,25; 92,25 9 9 10,25 22 2) 8х = 10,032; X = 10,032 : 8; л: = 1,254; 10,032 8 8 20 1,254 16 43 18 40 32 45 32 О 4) 217,1 : л: = 100; л: = 217,1 : 100; л = 2,171. : О 430 ш 1,47 М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 3) 13,52 : X = 13; л = 13,52 : 13; : л = 1,04; г 13,52 13 13 1,04 52 52
    • ~2 2 2 7 ,9 5 2 7 ,9 15 2 7 ,9 20 13 ,9 5 2 7 ,9 1384. 25 5 ,5 8 15 1,86 2 1,395 7 29 129 79 ~6 ^25 ~120 60 19 40 90 190 ” і8 40 ~90 180 0 0 10 100 ш 100 10 .o rg Перетворити звичайний дріб у десятковий можна, поділивши чисельник на знаменник. 1 3 8 5 . 1 ) - = 0,2; = 0.225; = 0,75; О ЗО 4 90 40 10 0,2 28 0,75 80 0 ,2 2 5 ok 10 5 100 ~20 80 bo 20 w .4 0 13 w w 4) I = 0,52; 25 200 ~200 0 = 5 ) ^ ^ = 0,74; 50 6 )^ = 16 130 25 370 50 70 16 125 0,52 350 0,74 64 0 ,4 3 7 5 ~ уо 50 О 200 60 200 48 “т О 112 80 80 О М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер ш 431
    • 2) З - = З + - = 3 + 0 ,6 = 3,6; 1 3 8 6 .1 ) ! - = ! + - = 1 + 0 ,3 7 5 8 8 = 1,375; ЗО 24 ЗО 8 0 ,3 7 5 ЗО 0 ,6 О ^60 56 40 40 16 110 О 96 ?7 140 ” і2 8 .o 120 50 270 ~250 0 ,6 8 7 5 rg 97 3) 5 — = 5 + — = 5 + 0 ,5 4 = 5 5 = 5,54; ” і1 2 0 ,5 4 ok 80 200 80 О bo 200 200 w .4 200 ~0 6) 1 0 ^ = 10 + — = 625 625 = 10 + 0 ,02 72 = 10,0272; 5 ) і 4 ^ = 1 + : ^ = 1 + 0 ,0 6 5 = 1,065; 1300 — = 2 + 0 ,6 8 7 5 16 4) 2 — = 2 16 = 2,6875; 200 1250 0 ,0 2 7 2 w w 625 0 ,0 6 5 1200 1700 1000 4500 1000 4375 1250 О 1250 О 1 3 8 7 .1 ) - = 0,75; 4 28 0,75 2) - ^ = 0,35; 20 20 60 0,35 20 100 20 100 ~ д 432 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер О
    • 3) 4) - = 0,625; 8 50 48 5 — = 5 + — = 5,1875; 16 16 16 ЗО 16 0 ,6 2 5 0,1 875 20 140 16 128 40 120 40 ” і1 2 80 ~0 ~80 20 20 50 200 0 ,4 6 .o ^20 230 0,15 ЗО 5) 7 — = 7 + — = 7 + 0 ,1 5 = 7,15; 20 rg 0 100 0 ok ~ 300 bo 1 3 8 8 . 1 ) З дм = 0 ,3 м; 37,2 дм = (37,2 : 10) м = 3,72 м; 35 см = (35 : 10) м = 0 ,3 5 м; 8,12 см = (8 ,1 2 : 100) м = 0 ,0 8 1 2 м; 315 мм = (315 : 100) м = 0,315 м; 27 мм = (27 : 1000) м = 0 ,0 2 7 м. w .4 2) 3) 4) 5) 6) 300 100 0 6) 1 — = 1 + — = 1 + 0 ,4 6 = 1,46; 50 50 1 3 8 9 . 1) 300 г = (300 : 1000) кг = 0,3 кг; w w 2) 15 г = (15 : 1000) кг = 0,0 1 5 кг; 3) 7 г = (7 : 1000) кг = 0 ,0 0 7 кг; 4) 1 кг 400 г = І 7^ ^ ^ кг = 1,4 кг; 5) 7 кг 13 г = 7 1000 13 1000 6) 25 кг З г = 25 1 39 0. 1) 125 кг = 3) 5 ц 12 кг = 5 кг = 7,013 кг; З кг = 2 5 ,003 кг. 1000 13 ц = 0 ,13 ц; 100 125 ц = 1,25 ц; 100 2) 13 кг = 12 8 4) 9 ц 8 кг = 9 ^ ^ ц = 9 ,0 8 ц; ц = 5,12 ц; М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 433
    • 500 ц = 0 , 05 ц; 100 О О О 13 ц = 0 ,0 0 0 1 3 ц. 6) 13 г = 100 О ОО 1 3 9 1 . Р о з в ’я з а н н я . 115,2 1 2 S = аЬ , звідки а = S : Ь. 108 9 ,6 115,2 : 12 = 9,6 (см). 72 В ід п о в ід ь : 9,6 см. 72 О 1 Z Q 2 . Р о з в ’я з а н н я . 5) 500 г = I Периметр рівнобедреного трикутника Р = 2 а сторона, Ь — основа. — бічна 3 7 ,8 62,4 rg а = (Р-Ь) : 2 = = (62,4 - 24,6) : 2 = В ід п о в ід ь : 18,9 см. Ь, Ц.Є а 18,9 (см). '2 4 ,6 2 1 8 ,9 17 .o 3 7 ,8 ok ~16 18 bo 18 О w .4 1 3 9 3 . Розв’язання. 1) 408 : 48 = 8,5 (г) — маса 1 см^ латуні; 2) 37 ■8,5 = 3 1 4 ,5 (г) — маса 37 см^ латуні. 48 384 8 ,5 X 37 240 ^ 185 240 ^296 б В ід п о в ід ь : 0,9 2 84 106 477 48,76 434 Ш 0 ,2 4 168 780 3 9 ,0 0 3 1 4 ,5 314 ,5 г. 10 ,0 8 42 53 2,5 312 В і д п о в ід ь : 1 3 9 5 .1 ) 53 • 0,92 + 10,08 :42 = 49. X X 8,5 w w 408 1 3 9 4 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 4 6 ,8 : 3 = 15,6 (км /год) — швидкість велосипедиста; 2) 15,6 • 2,5 = 39 (км). 15,6 48,76 0 ,2 4 4 9 ,0 0 168 0 М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 2) (3,2 39 км. 46 + 54,2) : 53 = 3,8. 3,2 147,2 46 ^ 54,2 192 X 201,4 128 147,2 201,4 53 159 3,8 424 424 0
    • 1 3 9 6 .1 ) 373,5 : 45 - 35 • 0,18 = 2. 373,5 45 360 0 ,1 8 8 ,3 135 2) (24,7 : 38 - 0,29) • 67 = 24,12. 0 ,3 6 24,7 38 0 ,6 5 X 67 0 ,2 9 ~228 0 ,6 5 35 + 135 90 54 216 190 24,12 6 ,3 0 0 0 8,3 - 6,3 = 2 1 3 9 7 . Р о з в 'я з а н н я . 1) 9,2 см : 4 = 2,3 см — сторона квадрата; 2) 2,3 ■ 2,3 = 5,29 (см^) — площа квадрата. В і д п о в ід ь : 5,29 см^. 2,3 “ 69 46 rg 2) 58 6,5 = 377 (км). 58 .o X 6,5 6,5 290 ok 270 348 270 377,“0 bo О В і д п о в ід ь : 2,3 5 ,29 1 3 9 8 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 351 : 54 = 6,5 (год); 351 54 324 252 0.36 190 377 км. 762 w .4 1 3 9 9 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 1512 - 750 = 762 (грн.) — коштують стільці; 2) 762 : 2 = 152,4 (грн.); 153,4 грн. = 152 грн. 40 коп. В і д п о в ід ь : 152 грн. 40 коп. w w 1 А О О . Р о з в ’я з а н н я . 1) 7,8 • 2 = 15,6 (грн.) — коштують яблука; 2) 31,8 - 15,6 = 16,2 (грн.) — коштують груші; 3) 16,2 : З = 5,4 (грн.) — вартість 1 кг груш. В ід п о в ід ь : 5,4 грн. = 5 грн. 40 коп. 1 4 0 1 . Р о з в ’я з а н н я . 60,19 : 13 • 8 = 37 ,04 (т). В ід п о в ід ь : 37,0 4 т. 60 ,1 9 13 "52 4 ,6 3 81 X 5 152,4 26 25 12 10 20 4 ,6 3 О 8 3 7 ,0 4 78 39 39 М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер Ш 435
    • ~А0 2 . Розв’язання. 39,52 : 13 •6 = 18,24 Відповідь: 18,24 м^. 39,52 13 *39 3,04 (м^). 18,24 52 52 29,72 5,06 24,66 24 24,60 66 = = 1,82 = 25,2 : 6 ; 1,82 = 4 , 2 ; 4,2 + 1 , 82 ; 6 , 02 ; 1,82 ^ 4,20 w w X X X X О 50,74 ' 27,50 78,24 24 *72 3,26 78,24 62 48 ^44 144 О 2 ) 45 : ( 2,8 + х ) = 12 ; 2.8 + X = 45 : 12 ; 2.8 + X = 3 , 75 ; х = 3 , 7 5 - 2 , 8 ; 3,75 X = 0 , 95 ; 2,80 45 3,75 90 84 0,95 ^60 60 ’ 9,6 90 15 О 0,64 60 60 б 4 ) 7х - 2х - Зх + 2,73 = 4 , 49 ; (7 ~ 2 - 3 )х + 2,73 2х = 4,49 - 2 , 73 ; 2х = 1 , 76 ; х = 1,76 ; 2 ; х = 0 , 88 . 436 12 12 6,02 3) 6х + 9х - 5,8 = 3 , 8 ; (6 + 9 )х - 5,8 = 3 , 8 ; 15х = 3,8 + 5 , 8 ; 15х = 9 , 6 ; X = 9,6 : 15 ; X = 0 , 64 ; 2,055 60 ~60 ok bo w .4 1 4 0 4 . 1) 6 ( X - 1 , 82 ) = 25 , 2 ; 12 60 .o X + 3,2 = 15,2 : 4 ; X + 3,2 = 3 , 8 ; X = 3,8 - 3 , 2 ; X = 0 , 6 ; 2) 9,84 : (X - 1 , 7) = 8 ; X - 1,7 = 9,84 : 8 ; X - 1,7 = 1 , 23 ; X = 1,23 + 1 , 7 ; X = 2 , 93 ; 3 ) 3,4 - 90 х = 1, 6 ; 90 х = 3,4 - 1, 6 ; 90 х = 1 , 8 ; X = 1,8 : 90 ; х = 0 , 02 ; 4 ) 5,06 + 12х = 29 , 72 ; 12х = 29,72 - 5 , 06 ; 12х = 24 , 66 ; X = 24,66 : 12 ; X = 2 , 055 ; 5) 12 (/ + Ы у + 4,2 = 12 ; (12 + 14)г/ + 4,2 = 12 ; 26 г/ + 4,2 = 12; 26 і/ = 12 - 4 , 2 ; 26у = 7, 8 ; г/ = 7,8 ; 26 ; у = 0 , 3 ; 6) 1у + 19 (/ - 2у - 21,Ъ = 50 , 74 ; (7 + 19 - 2)у - 27,5 = 50 , 74 ; 24 г/ - 27,5 = 50,74 - 27 , 5 ; 24 г/ = 50,74 + 27 , 5 ; 2Ау = 78 , 24 ; у = 78,24 : 24 ; І/ = 3 , 26 . rg 1 40 3. 1) (X + 3 , 2 ) •4 = 15 , 2 ; 3,04 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер = 4 , 49 ;
    • 1 4 0 5 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 75,4 ■8 = 603,2 (км) — проїхав перший потяг до зустрічі; 2) 1182,4 - 603,2 = 579,2 (км) — проїхав другий потяг до зустрічі; 3) 579,2 : 8 = 72,4 (км /год) — швидкість другого потяга. В і д п о в ід ь : 72,4 к м /год. 579,2 8 1182,4 75,4 " 60 3 ,2 603,2 579,2 56 72,4 19 16 ’б4 32 1,125 80 64 '^їбО rg 1 4 0 6 . Р о з в ’я з а н н я . ® 1) 64 • З = 192 (км) — проїхав мотоцикліст за З год; 2) 336 - 192 = 144 (км) — проїхав за 2 год; 3) 144 : 2 = 72 (км /год) — швидкість на другому етапі; 4) 72 : 64 = 1,125. В і д п о в ід ь : у 1,125 рази. .o ’ і2 8 320 320 О ok 1 4 0 7 . Р о з в ’я з а н н я . 64 72 32 bo Відстань м іж містами дорівнює сумі відстаней, які проїхали обидва автомобілі. І 78,7 w w w .4 1) 393,5 : 5 = 78,7 (км /год) — швидкість першого; 393,5 2) 78,7 + 2,6 = 8 1 ,3 (км/год) — швидкість '35 другого; 43 3) 81,3 • 5 = 4 0 6 ,5 (км) — проїхав другий; 81,3 4) 393,5 + 4 0 6 ,5 = 800 (км) — відстань ^ g 40 -------між містами. 35 В і д п о в ід ь : 8 0 0 к м . 406 ,5 35 1 A O Q . Р о з в ’я з а н н я . 1) 4 + З = 7 (год) — велосипедист був у дорозі; 130,2 2) 130,2 : 7 = 18,6 (км /год) — швидкість велосипедиста; 7 1 8,6 3) 18,6 • 4 = 74,4 (км) — 60 проїхав першого дня; 4) 18,6 • З = 55,8 (км) — 56 проїхав другого дня. 42 В ід п о в ід ь : 18,6 км/год; 74,4 км; 55,8 км. 42 1 8,6 1 8,6 74,4 5 5,8 “ о М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 437
    • 1409. Р о з в ’я з а н н я . 1) 4,1 • 5,6 = 22,96 (м^) — площа кімнати; підлоги, 4,1 5,6 2 ) V = S h , д е S — площа h — висота кімнати. h = V : S , тоді h = 64,288 м" ; 22,96 246 = 64 288 дм'* ; 2296 дм^ = = 28 дм = 2,8 м. В і д п о в ід ь : 2,8 м. 1410. Задачу розв’язано в підручнику. 1 4 1 1 . Р о з в ’я з а н н я . 1 ) 0 ,1 3 = 205 64288 2296 4592 28 18368 18368 22,96 О 100 13 від 60 грн.: 100 60 : 100 • 13 = 0,6 • 13 = 7,8 (грн.) — витрачено; 3) 60 - 7,8 = 52,2 (грн.) — залишилось. В ід п о в ід ь : 52,2 грн. = 52 грн. 20 коп. 1 4 1 2 . Р о з в ’я з а н н я . .o rg 2) Знайдемо ’ і8 10 2 ,8 11,2 w w ~J2 w .4 bo ok 1 )0 ,9 = ~ ; 13,2 : 10 • 9 = 1,32 ■9 = 11,88 (грн.) — у Петра; 10 1,32 2) 13,2 + 11,88 = 25 ,08 (грн.); 25,0 8 грн. = 25 грн. 8 коп. В і д п о в ід ь : 25 грн. 8 коп. 11,88 1 4 1 3 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 25,2 : 9 • 4 = 11,2 (ц) — продано І дня; 2) 25,2 - 11,2 = 14 (ц) — решта; 3) 14 : 5 • 2 = 5,6: (ц) — продано II дня; 2 ,8 14 2,8 25,2 72 2 ,8 ~40 5,6 40 О О 4) 14 - 5,6 = 8,4 (ц) — залишилось. В ід п о в ід ь : 8,4 ц. 1 4 1 4 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 12,55 : 5 • 2 = 5,02 (м) — відрізали першого разу; 2) 12,55 - 5,02 = 7,53 (м) — залишок; 3) 7,53 : З • 2 = 2,51 • 2 = 5,02 (м) — відрізали другого разу; 4) 5,02 + 5,02 = 10,04 (м) — відрізали за два рази. В ід п о в ід ь : 10,04 м. 438 ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 12,55 10 2,51 25 25 _ _5 О 2,51 5,02
    • X 23,7 9 213,3 25 0 ,0 3 2 1 )0 ,3 = ^ ; ok .o rg 118,5 1 4 1 5 . Р о з в ’я з а н н я . Треба знайти площу ділян­ 10 23,7 ки за значенням її частини. 18 118,5 ; 5 • 9 = 21 3 ,3 (м^) — площа ділянки. 15 В і д п о в ід ь : 213,3 35 1 4 1 6 . Р о з в ’я з а н н я . 6,3 12.6 : 2 • 9 = 56,7 (км). X 35 12.6 : 2 = 6,3; 6 , 3 - 9 = 56,7. 56,7 В ід п о в ід ь : 56,7 км. 1 4 1 7 . Р о з в ’я з а н н я . 0 ,8 0 V = а Ь с , а = 0,5 м , Ь = 0,8 м. ос 75 0 ,2 5 = — ; с = 0,8 : 100 50 25 • 100 = 3,2 (м). 50 0,0 3 2 • 100 = 3,2. F = 0,5 • 0,8 • 3,2 = 0 ,4 • 3,2 = 1,28 (м^). “ о В ід п о в ід ь : 1,28 м^. 1 4 1 8 . Р о з в ’я з а н н я . 7,2 : З ■ 10 = 2,4 • 10 = 24 (см); bo 2) Р = 2 • (7,2 + 24) = 2 ■31,2 = 62,4 (см). В ід п о в ід ь : 62,4 см. 1 4 1 9 . Р о з в 'я з а н н я . ЗО 0,75 w w 28 w .4 1 )^ = 3 : 4 = 0,75; 4 2) 1,82 - — = 1,82 - 0 ,48 = 1,34; 25 120 25 100 0 ,4 8 20 200 20 200 0 0,75 + 0,6 == 1,35; 15 = 0 , 6 : 1 5 : = 0,04; ЗО 5 зо 0 ,6 0 0 ,6 0 15 60 0 ,0 4 0 0 4 ) - ^ - ( 3 ,7 25 25 90 ~28 0 ,3 6 150 150 О X 0 ,3 6 3,2 72 108 1,152 М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Щ . 439
    • л 4 2 Л . Р о з в ’я з а н н я . Позначимо менше з трьох чисел (друге) за х , тоді перше число дорівнює 5х, а трете — (5х + 3,6). Сума трьох чисел дорівнює Ъх + X + ( 5 х + 3,6) = ( 5 х + X + о х ) + 3,6 = (5 + 1 + 5)х + 3,6 = = ІІХ + 3,6. 1ІХ + 3,6 = 16,8; 1ІХ = 16,8 - 3,6; 1ІХ = 13,2; X = 13,2 : 11; X = 1,2. Отже, друге число дорівнює 1,2; перше — 1,2 • 5 = 6; трете — 6 + 3,6 = 9,6. В і д п о в ід ь : 6; 1,2; 9,6. 1 4 1 2 . Р о з в ’я з а н н я . I автом. — X т rg а 0 ,2 т II автом. — (х + 0 ,46) т J І bo 1 4 2 3 . Р о з в ’я з а н н я . ok .o Рівняння: X + X + 0 ,46 = 10,2; 2х + 0,46 = 10,2; 2х = 10,2 - 0,46; 2х = 9,74; х = 9,74 : 2; х = 4 ,8 7 . 4,8 7 + 0 ,4 6 = 5,33 (т). В ід п о в ід ь : 4 ,8 7 м; 5,33 т. Різниця м іж швидкістю за течією і швидкістю проти течії до­ рівнює подвоєній швидкості течії. 151,8 w .4 1) 151,8 : 6 = 25,3 (км /год) — швидкість за течіею; 2) 25,3 - 2 • 1,8 = 25,3 - 3,6 = = 21,7 (км/год) — швидкість проти течії; 3) 21,7 ■2,3 = 49,91 (км). В ід п о в ід ь : 49,91 км. 12 X + w w ЗО 18 18 1 4 2 4 . Р о з в ’я з а н н я . Куб має 12 рівних ребер. ■ 1) 18 : 12 = 1,5 (см) — довжина ребра куба; 18 12 2,25 = 3 ,3 7 5 (см^). 1.5 12 1,5 X < 3,375 см'*. 1.5 1,5 60 “ 75 Т т 2 ) V = 1,5" В ід п о в ід ь : 'б о 15 2,25 440 Ш 225 3,375 М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 2,3 25,3 31 "'“ о 21,7 651 434
    • 14 2 5 . 1,62 45 1 )0 ,4 5 = 100 1,62 : 45 100 = 0 ,0 3 6 ■ 100 = 3,6 — сума; 2) 3,6 - 1,62 = 1,98 — другий доданок. В і д п о в ід ь : 1,98. 1 4 2 6 . Р о з в ’я з а н н я . 45 135 Р о з в ’я з а н н я . 0 ,0 3 6 ~^270 270 О .o rg 1) Знайдемо — від 10,8: 10,8 ; 9 • 8 = 1,2 • 8 = 9,6; З ® 2 ) — числа X дорівнює 9 ,6 , тоді х = 9,6 : З ■5 = 3,2 • 5 = 16. 5 В і д п о в ід ь : 16. 1 4 2 7 . Р о з в ’я з а н н я . 1) Яку частину плану виконав робітник за дві години? 0,2 + 0,15 = 0,35. 24 15 2) Половина плану — це 0 ,5 . Тоді 24 деталі становлять 0,5 - 0 ,3 5 = 0 ,1 5 від денного плану; 15 1,6 3 ) 0 ,1 5 = w .4 bo ok 90 100 90 24 : 15 • 100 = 1,6 • 100 = 160 (дет.). В ід п о в ід ь : 160 деталей. 0 1 4 2 8 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай менше число дорівнює х , тоді задумане число в 10 разів більше, тобто ІОх. Юд: - X = 23,04; 9 х = 23,04; х = 23,04 : 9; х = 2,56; 2,56 • 10 = 25,6. В і д п о в ід ь : 25,6. Вправи для повторення 1 4 2 9 . Р о з в ’я з а н н я . I I с п о с іб . І с п о с іб . w w 1) 60 : 15 • 4 = 16 (км) — за І день; 2) 60 : 15 • 2 = 8 (км) — за II день; 3) 16 4- 8 = 24 (км) — за 2 дні. 1 4 3 0 . Р о з в ’я з а н н я . Зошити — 6 грн. 1 ) і- .А 15 15 " 1 5 ’ 2) 60 : 15 6 = 24 (км). В і д п о в ід ь : 24 км. Книжки — (6 + і/) грн. 6 + (6 + і/) = (6 + 6 ) + (/ = 1 2 + г/. Якщо у = 18, то 12 + 18 = ЗО. В ід п о в ід ь : 12 + у; ЗО грн. 1 4 3 1 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 192 : 16 = 12 (см) — друга сторона прямокутника; 2) Р = 2 • (12 + 16) = 2 • 28 = 56 (см); 3) 56 : 4 = 14 (см) — сторона квадрата; 4) S = 14^ = 196 (см2). В ід п о в ід ь : 196 см^. М АТЕМ А ТИ КА , о. С . Істер Ш 441
    • 1 4 3 2 . Р о з в ’я з а н н я . У ряду натуральних чисел кожне наступне більше за попереднє на одиницю. Якщо позначити число х , то наступні два числа відповідно дорівнюватимуть ( х + 1) та (х + 2). I X + (х + 1) + (л: + 2) = 180; ( х + х + х ) + 1 + 2 = 180; Зх + З = 180; Зх = 180 - 3; Зх = 177; X = 177 : 3; X = 59; 59 + 1 = 60; 60 + 1 = 61. В і д п о в ід ь : 59; 60; 61. rg § 4 1 . Д і ле н ня на д ес ят ко в ий др і б bo ok .o Основна властивість частки Якщо ділене і дільник помножити або поділити на одне й те саме натуральне число, то частка не зміниться. Це правило дає змогу звести ділення на десятковий дріб до ділення на нату­ ральне число. Для цього потрібно ділене і дільник помножити на розрядну одиницю 10, 100, 1000, ..., тобто перенести кому вправо на 1, 2, З, ... знаки. Перенести кому потрібно на стільки знаків, скільки їх стоїть після коми в дільнику. Після цього виконуємо ділення на натуральне число. 2 ) 4 : 0,1 = 40 : 1 = 40; 4) 5 : 0 ,0 5 = 500 : 5 = 100; 6) 56 : 0 ,7 = 560 : 7 = 80; 8) 28 : 0,14 = 2800 : 14 = 200; w w w .4 1 4 3 3 . 1 ) 8 : 0 , 8 = 8 0 : 8 = 10; 3) 7,2 :0 ,8 = 72 : 8 = 9; 5) 2,4 :1,2 = 24 : 12 = 2; 7) 0,8 :0,04 = 80 : 4 = 20; 9) 0,42 : 0,21 = 42 : 21 = 2. Щоб поділити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001; ..., треба перенести в ньому кому вправо на стільки знаків, скільки їх після коми в дільнику: 3 ,5 7 6 : 0 ,0 1 = 3 5 7 ,6 . І 1 4 3 4 . 1 ) 14,2 : 0,1 = 142; 3) 0,09 : 0,1 = 0,9; 5) 0,18 : 0,01 = 18; 7) 0,1 3 7 : 0,001 = 137; 9) 482 : 0,0001 = 4 820 ООО. 1 4 3 5 . 1 ) 17,3 : 0,1 = 173; 3) 0,04 : 0,1 = 0,4; 5) 0,13 : 0,01 = 13; 7) 0,185 : 0,001 = 185; 9) 14,59 : 0,0001 = 145 900. 442 Ш 2) 0 ,7 : 0,1 = 7; 4) 8,3 : 0,01 = 830; 6) 420 : 0,01 = 42 ООО; 8) 4 ,7 : 0,001 = 4700; 2) 0 ,9 : 0,1 = 9; 4) 7,2 : 0,01 = 720; 6) 752 : 0,01 = 75 200; 8) 5,9 : 0,001 = 5900; IVIATEMATMKA. О . С . Істер
    • 2) 304 ,5 : 0,5 = 3045 : 5 = 609; 1 4 3 6 . 1 ) 2622 : 6,9 = = 26 220 ; 69 = 380; 3045 26220 69 207 ~30 380 609 45 552 45 552 О О 3) 16,45 : 4 ,7 = = 164,5 : 47 = 3,5; 4) 6 : 3,75 = 600 : 375 = 1,6; 600 375 164,5 47 375 141 1,6 rg 2250 235 2250 ~235 .o О 128 290 ~576 w .4 576 6) 0,378 : 0,14 = 37,8 : 14 = 2,7; 3 7 ,8 14 28 bo 5) 185,6 : 0 ,6 4 = = 18 560 : 64 = 290; 18560 64 ok О 2,7 98 98 О О w w 7) 1,056 : 0,0 3 2 = = 1056 : 32 = 33; 1056 32 96 8) 0 ,5 1 3 7 6 : 0 ,1 6 9 = = 5 13,76 : 169 = 3,04; 5 13,76 169 507 3 ,0 4 96 676 ~96 ~676 О О 9) 8,7058 : 2,9 = 8 7 ,0 5 8 : 29 = 3 ,002. 8 7 ,0 5 8 29 87 3,0 0 2 58 О Ш Ш Ш ІІШ Ш Ш Ш Ш Ш М А ТЕМ А ТИ КА . О . С . Істер Ш 443 Я
    • 2) 4 9 5 ,6 : 0 ,7 = 4956 : 7 = 708; 2793 : 5,7 = = 27 930 ; 57 = 490; 1437.1) 4956 27930 57 '22 8 49 490 708 56 513 56 513 О 17,02 : 3,7 = 170,2 : 37 = 4,6; 3) 170,2 148 4) 18 ; 1,25 = 1800 : 125 = 14,4; 1800 125 37 ’ l2 5 4,6 550 ~222 550 rg _222 14,4 .o О 550 5) ok О 167,4:0,62 = 16 7 40:62 = 270; 4 0 ,8 17 270 w .4 434 bo 16740 62 124 6) 0,408 : 0,17 = 40,8 : 17 = 2,4; 434 w w О 7) 1,332 : 0,0 3 6 = = 1332 : 36 = 37; 34 2 ,4 ~68 О 8) 0 ,5 7 4 0 9 : 0 ,1 8 7 = = 5 74,09 : 187 = 3,07; 1332 36 5 7 4 ,0 9 187 108 561 37 3 ,0 7 252 1309 252 1309 О 9) 5,0075 : 2,5 = 5 0,075 : 25 = 2,0 0 3 . О 5 0 ,0 75 25 507 ~75 444 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 2,003
    • 1 4 3 9 . Р о з в ’я з а н н я . 163,5 : 2,5 = 1635 25 = = 65,4 (км /год). 1 4 3 8 . Р о з в ’я з а н н я . 120 ; 0 ,7 5 = 12 О О ; 75 О = 160 (кроків). 12000 75 75 1635 ” і5 0 135 160 450 25 6 5 ,4 ~125 100 450 О В і д п о в ід ь : 100 О 160 кроків. В ід п о в ід ь : 45 360 0,88 _ 1 7 0 9 ,5 526 .o 3 9,6 1 4 4 1 . Р о з в ’я з а н н я . 17,095 : 5,26 = 1709,5 526 = = 3,25 (см). rg 1 4 4 0 . Р о з в ’я з а н н я . 3,96 : 4,5 = 39,6 : 45 = 0,88 (г). ~1578 1315 360 1052 2635 В і д п о в ід ь : 0 ,8 8 г. bo О ~2635 О w .4 В і д п о в ід ь : w w 1 4 4 2 . Р о з в ’я з а н н я . 86 ,7 : 3,4 = 867 : 34 = = 25,5 (ц). В і д п о в ід ь : 25,5 ц. 1 А Л З . Р о з в ’я з а н н я . 1) 158,1 : 18,6 = 1581 : 186 = = 8,5 (г) — маса 1 см^; 186 1488 8,5 930 930 О 3,25 ok ” 360 1588 6 5 ,4 км/год. 34 867 ’б8 187 3,25 см. 25,5 170 _170 170 О 2) 25,4 8 ,5 = 215,9 (г). 2 5 ,4 X 8,5 ^ 1270 2032 2 1 5 ,9 0 В і д п о в ід ь : 215,9 г.
    • 1444. Р о з в ’я з а н н я . 1) 46 : 2,5 = 460 : 25 = = 18,4 (км/год) — швидкість; 460 25 _28_ ^ 210 2) X 3,4 • 18,4 = 62,56 (км). 18,4 3,4 18,4 736 552 200 100 62 ,5 6 В і д п о в ід ь : 62,56 км. 100 О 1445. Р о з в ’я з а н н я . 185 _296 2) 5,8 • 2,5 = 14,5 (грн.). 5,8 X 2,5 .o 5 ,8 rg 1) 21,46 : 3,7 = 214,6 : 37 = = 5,8 (грн.) — ціна борошна; 2 14,6 37 ^ ~296 О 116 ok 14,50 В ід п о в ід ь : 15 39 15 w .4 189 bo 1 4 4 6 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 18,9 : 1,5 = 189 : 15 = = 12,6 (см) — сторона друго­ го квадрата; 12,6 w w ~30 90 14,5 грн. 2) Р = 4 • 12,6 = 50,4 (см); 3) S = 12,62 ^ 158,76 (см^). X 12,6 12,6 756 + 252 126 158,76 ~90 В ід п о в ід ь : 50,4 см; 158,76 см^ О 1 4 4 7 . 1) 108,5 : 2,5 = 1085 : 25 = 43,4; 1085 25 100 4 3 ,4 85 ^ 75 100 100 о 446 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 3) 108,5 ; 12,5 = = 1085 ; 125 = 8,68. 2) 108,5 ; 6,25 = 10 850 ; 625 = 17,36; 625 10850 1085 17,36 ~4375 2250 125 1000 625 4600 8,68 850 750 ~1875 3750 1000 Ш ~ 1 000 ~3750 0 0 1 4 4 8 . 1 ) 32,83 : a. .o rg Якщо a = 0 ,1 , TO 32 ,83 : 0,1 = 328,3; якщо a = 0 ,0 1 , TO 3 2,8 3 : 0,01 = 3283; якщо a = 0 ,0 0 1 , TO 32,8 3 ; 0,001 = 32 830. ok 2) b : 0,01. Якщо b = 4 ,5 , TO 4 ,5 : 0,01 = 450; якщо b = 9 ,8 9 3 , TO 9 ,8 9 3 : 0,01 = 989,3; якщо b = 152, TO 152 ; 0,01 = 15 200. 1 4 4 9 . x : 2,5 - (/ : 1,4. bo Якщо X = 9 ,7 5 , у = 3 ,3 6 , то 9,75 : 2,5 25 3 3 ,6 75 3,9 28 3,9 - 2,4 = 1,5. 14 2,4 w .4 97,5 3,36 : 1,4 = 1,5. 56 225 w w О 56 1 45 0 . 1 ) 19,725 : X + у : 3,6. Якщо X = 2,5; у = 8 ,8 2 , то 19,725 : 2,5 + 8,82 : 3,6 = = 197,25 : 25 + 8 8 ,2 : 36 = 7,89 + 2,45 = 10,34. 197,25 175 25 7 ,8 9 88,2 '7 2 222 2 ,4 5 7 ,89 2,45 10,34 І62 200 36 144 225 180 225 180 О О М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер Ш 447
    • 2) (a : 2,8 + b) : 9,7. Якщо a = 12,6; b = 28,4 8 , t o (12,6 : 2,8 4 ,5 0 32 9 ,8 97 126 28 2 8 ,4 8 291 112 4 ,5 Тм 32 ,9 8 _140 28,48) : 9,7 = 3,4. 388 "388 140 О 0 1 4 5 1 . 1 ) 1,7л: = 11,05; x = 1 1 ,0 5 : 1,7; 1 1 0 ,5 : 17; X = 6,5; 17 102 2) у ■ 0 ,2 2 = 1,408; = 1,408 : 0,22; , ,q g (/ = 1 4 0 ,8 : 2 2 ; у 6,5 y = GA; 88 rg 85 ^70 35 2 ,47 140 w .4 164 bo 8 6 ,4 5 245 ^ 245 w w 0 2,4y = 8,856; 8,856 : 2,4; 88,56 : 24; 3,69; 1452.1) у = у = у = 88,56 24 70 165 3 ,6 9 М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 84 1,56 420 504 504 О 2) X • 2 ,56 = 8,96; X = 8 ,9 6 : 2,56; X = 896 : 256; X = 3,5; 896 256 ~768 3,5 1280 216 О Ш 131,04 ~ 84 470 1280 144 216 448 4) 7 х ■ 1,2 = 13,104; (7 • 1 , 2 ) х = 13,104; 8,4д: = 13,104; X = 13,104 : 8,4; л: = 131,04 : 84; X = 1,56. ok 8,645 : X = 3,5; 8,6 4 5 : 3,5; 86,4 5 : 35; 2,47; .o "~0 3) X= x = x = 6,4 132 85 О 22 88 О
    • 4) 8 у ■ 1,7 = 46,24; (8 ■ 1,7)1/ = 46,24; 1 3 , 6 у = 46,24; і/ = 46,24 : 13,6; у = 46 2 ,4 : 136; у = 3,4. 3) зо : г/ = 1,2; У = ЗО ; 1,2; у = 300 : 12; У = 25; 300 24 1,7 4 6 2 ,4 25 136 408 12 3 ,4 13,6 "ЗбО 544 544 ~60 О О 1 4 5 3 . 1) 25,4 + 1,1 = 26,5 (км/год) — bo 1)88,32 : 2,4 = 88 3 ,2 : 24 = 3 6 ,8 (км/год) — швидкість проти течії; 2) 36,8 + 1,7 = 38,5 (км/год) — власна швид­ кість. В ід п о в ід ь : 3 8 ,5 к м /год. 1 4 5 5 . 1 ) 17,255 : 8,5 = 172,55 : 85 = 2,03; 1060 О 883,2 24 72 3 6,8 163 144 w .4 192 192 172,55 85 170 3 ,4 1060 ok 1454. Р о з в ’я з а н н я . 265 795 rg 901 .o швидкість за течією; 2) 90,1 : 26,5 = 901 : 265 = 3,4 (год). В ід п о в ід ь : 3,4 год. О 2 ,0 3 w w 255 255 О 2) 38,64 : 1,05 = 3864 : 105 = 36,8. 3864 105 ’315 3 6 ,8 _714 630 840 840 О М АТЕМ АТИ КА , 15У сіГДР, 5кл. о. С . Істер Ш 449
    • (32,526 : 3,9 + 2,26) • 5,4 = 57,24; 10,6 8 ,3 4 3 25,26 39 X 5,4 312 8 ,3 4 2,26 1456.1) 132 ^ 424 10,6 0 117 156 530 57 ,2 4 156 О 2) (2,4 • 1,23 - 1,937) : 3,5 = 0,29; 2,952 1,937 1,015 10,15 35 70 0 ,2 9 315 246 rg 2,4 ~315 2,952 0 .o + 1,23 492 X 3) 17,39 ; (15 - 14,25) - 6 : 12,5 = 23,02; : ~148 2 3,5 259 0,74 222 370 600 125 500 0 ,4 8 23 ,5 0 ok 1739 74 14,26 1000 0 ,4 8 2 3 ,0 2 bo 15 ,0 0 1000 ______ w w w .4 ~370 ® О 4) 58,78 - 1,38 • (275,4 : 6,8) = 2,89. 40,5 58,78 2754 68 X 1,38 '5 5 ,8 9 ' 212 4 0 ,5 3240 2,89 340 + 1215 340 405 О 5 5 ,890 1 4 5 7 . 1) 6,7 • (35,712 : 4,8 + 3,36) = 72,36; 7 ,44 10,8 357,12 48 X 336 211 192 192 192 О 450 7 ,4 4 3 ,3 6 6,7 1 0 ,8 0 ^ 756 648 72,36 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер ш ш ш
    • 2) (2,6 • 1,34 - 2,2 6 9 ) : 4,5 = 0,27; 1,34 2,6 ~ 2 ,2 6 9 ^ 804 1215 4,5 3 ,4 8 4 1,215 X 90 0 ,2 7 315 268 •К ::;;;* їШ 315 3,48 4 0 3) 20,8 : (12 - 1 1 ,3 6 ) - 8 : 12,5 = 31,86; 32,50 12,00 2080 64 800 125 0 ,6 4 192 11,36 750 0 ,6 4 32,5 160 128 500 320 О .o 320 О 74 2257 '222 X 30,5 3 ,0 5 2,16 ok 71,96 - 2,16 • (2 2 5 ,7 : 7,4) = 6,08. 1830 370 71,96 "б5,88 bo 4) 31,86 500 rg 0 ,6 4 6 ,0 8 + 305 w .4 "370 610 О 6 5 ,8 8 0 1 4 5 8 . 1) 4,5 дм : 0 ,5 = 45 дм : 5 = 9 дм; w w 2) 0,84 м : 0 ,0 2 = 84 м : 2 = 42 м; 3) 0,35 дм2 : 1,4 = 3,5 дм^ : 14 = = 0,25 дм^ 4) 8 смз : 2,5 = 80 см^ : 25 = 3,2 см^ 3,5 ‘ 28 14 80 0,2 5 75 3,2 50 70 50 О 1 4 5 9 .1 )8 ,9 6 кг : 1,6 = 89,6 кг : 16 = 5,6 (кг) — у другому пакеті; 2) 8,96 89 ,6 16 80 96 ^ 5 ,6 0 14,56 (кг) — у двох пакетах. В і& п о в ід ь : ~96 О 14,56 кг. м а т е м а т и к а , о . с . Істер 15* 5,6 Ш 451
    • 1460. Р о з в ’я з а н н я . 1) 24,6 м2 : 1,5 = 246 ща другої кімнати; 2) 24,6 + 16,4 = 41 м2. В ід п о в ід ь : 41 м^. 246 15 15 = 16,4 м^ — пло- 15 16,4 ~90 60 л: = 4,41 : 1,8; д: = 44,1 : 18; л = 2,45. : 1 4 6 2 .0 ,0 9 : X = 0,25; X = 0 ,0 9 : 0,25; X = 9 ; 25; X = 0 ,3 6 . 44,1 18 ’ 36 90 72 0 ,3 6 150 90 .o О 90 ok О 1 4 6 3 . 1) 2,4 • 2,4 = 5,76 (см^) — w .4 bo площа прямокутника; 2) 5,76 : 3,6 = 57,6 : 36 = 1,6 (см) — ширина прямокутника; 3) Р = 2 • (3 ,6 + 1,6) = 2 ■5,2 = 10,4 (см). В ід п о в ід ь : 10,4 см. X 2.4 2.4 5 7,6 36 ’ 36 1,6 ¥ 48 5,76 216 О При р у х о в і н а з у с т р і ч швидкість зближ ення дорівнює сумі швидкостей автомобілів. w w І О 25 75 2,45 60 rg 1 46 1 . 1 , 8 • X = 4,41; 64,5 + 1,6 = 66,1 (км/год) — швидкість другого автомо­ біля; 2) 64,5 + 66,1 = 130,6 (км/год) — швидкість зближення; 3) 326,5 : 130,6 = 3265 : 1306 = 2,5 (год). 1 46 4. 1) 3265 1306 ~2 612 2,5 6530 6530 О В ід п о в ід ь : 452 через 2,5 год. Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 1977,5 : 2,5 = 19775 : 25 = 791 (ц) — зібрали з другої д і­ лянки; 2) 1977,5 : 35 = 56,5 (га) — площа першої ділянки; 3) 791 : 35 = 22,6 (га) - - площа другої ділянки 1465.1) 19775 25 1 9 77,5 35 791 35 175 175 70 791 56,5 2 2,6 227 227 91 225 210 70 25 175 210 "25 175 ~210 0 0 56,5 га; 22,6 га. rg В і д п о в ід ь : 0 1466. Р о з в ’я з а н н я . 6 7 0 3,2 532 532 16 "48 ok .o 1) 53,2 : 1,6 = 532 : 16 = 33 ,2 5 (га) — площа другої ділянки; 1) 6 70,32 : 53,2 = 6703,2 ; 532 = 12,6 (ц) — урожайність; 3) 33,25 ■ 12,6 = 4 1 8 ,9 5 (ц) — зібрали з другої ділянки; 4 18 ,95 ц = 4 1 ,8 9 5 т. 532 12,6 w .4 32 12,6 + 6650 1064 40 3 3 ,2 5 19950 1383 48 X bo 3 3 ,2 5 3192 ~3192 3325 4 1 8 ,9 5 0 (ц) w w О 80 О В ід п о в ід ь : 4 1 ,8 9 5 т. 1467. Р о з в ’я з а н н я . 1) 2,4 ■7,2 = 17,28 (грн.) — коштують яблука; 2) 40,0 8 - 17,28 = 2 2 ,8 (грн.) — ко­ штують абрикоси; 3) 22,8 : 1,5 = 225 : 15 = 15,2 (грн.) — вартість 1 кг абрикосів. В ід п о в ід ь : 15,2 грн. X 7,2 228 15 2,4 15 15,2 ^78 144 17 ,28 75 ЗО ЗО О М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 453
    • 1 4 6 8 .1 ) 37,2 • 1,5 = 55,8 (грн.) — коштує м ’ясо; 2) 93 ,96 - 55,8 = 38,1 6 (грн.) — коштує риба; 3) 38 ,16 : 1,8 = 38 1 ,6 : 18 = 21,2 (грн.) — вартість 1 кг риби. 37,2 9 3 ,9 6 381,6 18 ' 1,5 55,80 36 1860 38,16 21,2 21 372 18 55,80 "Зб О В ід п о в ід ь : 21,2 грн. .o rg 1 4 6 9 . Р о з в ’я з а н н я . 1) Швидкість за течією; 27,6 + 1,8 = 29,4 (км/год). 2) Швидкість проти течії: 27,6 - 1,8 = 2 5 ,8 (км/год). 4) Час руху проти течії: 3) Час руху за течією: 903 2 5 ,8 ok 735 29,4 ~774 3,5 (год) 588 2,5 (год) Т^о bo 1470 1470 О О Час, коли корабель був у дорозі: 2,5 год + 3,5 год = 6 год. 6 год. w .4 5) 1290 В ід п о в ід ь : w w 1 4 7 0 .1 ) Швидкість на першій ділянці: 117 : 1,5 = 1170 : 15 = 78 (км/год); 2) Швидкість на другій ділянці: 105 : 1,4 = 1050 : 14 = 75 (км/год); 3) 78 км /год > 75 км/год; 1170 15 105 78 1050 14 98 75 78 75 75 1,04 120 70 ЗО 120 70 0 0 0 300 300 о Відповідь: швидкість на першій ділянці у 1,04 рази більша. 454 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер
    • 1 4 7 1 . Р о з в ’я з а н н я . 1) Швидкість 2) Швидкість 387,2 : (4,4 + 3) 88 : 70,4 = 3872 44 352 автомобіля: 387 ,2 : 4 ,4 = 3872 : 44 = 88 (км/год); мотоцикла; 1,1) = 38 7 ,2 : 5,5 = 3872 : 55 = 70,4 (км/год); 880 : 704 = 1,25 (раз). 3872 55 385 88 704 880 " 704 7 0 ,4 352 220 1760 352 220 1408 0 0 1,25 3520 3520 О у 1,25 раз. or g В ід п о в ід ь : 1 4 7 2 . Р о з в ’я з а н н я . 1) Скільки важить 1 см^ алюмінію? 35,64 ; 13,2 = 35 6 ,4 ; 132 = 2,7 (г). 2) Скільки важить 1 см^ сталі? 2,7 + 5,2 = 7,9 (г). 3) Яка маса сталевої кульки? 13,2 ok . 264 7,9 104,28 w .4 1188 924 2,7 924 924 О bo X 35 6 ,4 132 (г). В і д п о в ід ь : 104,28 г. - 3,15) 8,5 7 5 8 5 ,7 5 2,45; 3,15; w 1 4 7 3 .1 ) ( X д: - 3,15 л: - 3,15 д: - 3,15 X = 2,45 w = = = + 85,75 35 3,5 = 8,575; : 3,5; : 35; • х = 5,6; 2) 14,4 : ( X + 2,6) = 3,2; + 2,6 = 14,4 3,2; X + 2,6 = 144 : 32; д: + 2,6 = 4,5; д; = 4,5 - 2,6; д; = 1,9; X "2^ 157 144 32 128 70 4,5 160 140 175 175 160 О О М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер Ш 455
    • 3) 1 2 ,5x - 20,5 = 24,5; 12,5л: = 24,5 + 20,5; 12,5д; = 45; X = 45 : 12,5; л: = 450 : 125; х = 3,6; 4) 91,8 : X + 8 6 ,7 = 100,2; 91.8 : X = 100,2 - 86,7; 91.8 : х = 13,5; х = 91 ,8 : 13,5; X = 918 : 135; х = 6,8; 450 125 135 918 ^375 3,6 750 810 6 ,8 1080 5) 9 , 3 х + 1 , 2 х = 25,2; (9,3 + 1 , 2 ) х = 25,2; 1 0 ,5х = 25,2; х = 25,2 10,5; X = 252 : 105; х = 2,4; 252 105 210 2,4 420 1080 О 6) 5,9г/ - 1,2г/ = 9,588; (5,9 - 1 , 2 ) у = 9,588; 4,7(/ = 9,588; у = 9 5 ,8 8 : 47; у = 95 ,8 8 : 47; І/ = 2,04. 95 ,8 8 47 rg 750 О 94 188 .o 2,04 420 О ok 188 О 2) 7.8 7.8 X = X = w .4 bo 1 4 7 4 .1 ) (1,15 + х) • 3,8 = 9,5; 1.15 + X = 9,5 : 3,8; 1.15 + X = 95 : 38; 1.15 + X = 2,5; X = 2,5 - 1,15; X = 1,35; 9 ; (7,8 - х) = 3,6; - X = 9 : 3,6; - X = 90 : 36; 7,8 - х = 2,5; 7,8 - 2,5; 5,3; 38 90 36 >6 2,5 '72 2,5 w w 95 " l90 180 О 3) 27,6 + 14,6х = 64,1 1 4 ,6х = 64,1 - 27,6; 14,6х = 36,5; X = 36,5 X = 365 : 146; X = 2,5; 64,1 365 146 27 ,6 292 2,5 36,5 730 ~730 0 456 180 Ш МАТЕМАТИКА. О 14,6; О 4) 36,5 : X - 8,1 = 6,5; 36.5 : X = 6,5 + 8, 1; 36.5 : X = 14,6; X = 36,5 : 14,6; X = 365 ; 146; х = 2,5; 146 365 292 2,5 730 730 О
    • 5) 7 , 2 y + 4 ,5 i/= 21,06; (7,2 + 4,5)г/ = 21,06; 11,7г/= 21,06; г/= 2 1 ,0 6 : 11,7; г/= 210,6 ; 117; і / = 1,8; 2 1 0 ,6 117 117 6) 3 ,4 х - 3 ,2 х = 15,2; (3,4 - 3 ,2 )х = 15,2; 0,2л: = 15,2; X = 15,2 : 0,2; д: = 152 : 2; л = 76. ; 1,8 936 ~936 О 1 А 7 5 . Р о з в ’я з а н н я . 2) Довжина після зменшення: 9,6 - 3,2 = 6,4 дм; rg 1) Площ а даного прям окут­ ника: 9 .6 X .o 2.7 ^~672 ok 192 25,9 2 (дм^). X Площа після зменшення: 6 ,4 w .4 2.7 448 128 4) 25,92 : 17,28 = = 2592 : 1728 = 1,5. 2592 1728 bo 3) (дм"). w w 17,2 8 В і д п о в ід ь : 1728 1,5 8640 8640 О у 1,5 рази. 1 4 7 6 .1 ) 8,5 : а = 3,4; а = 8,5 : 3,4; а = 2,5; 2) 3,4 + Ь = 4,7; Ь = 4 ,7 - 3,4 Ь = 1,3; 3) 4,2 • с = 17,86; с = 17,86 : 4,7; с = 178,6 : 47; с = 3,8. 85 34 178,6 47 'б8 2,5 141 3,8 Т то 376 170 376 О О М АТЕМ АТИ КА , о. с. Істер Ш 457
    • - : 0 ,0 2 5 = 4 S: 0 ,0 2 5 = 7 5 0 : 25 = 30; = 9 7 , 8 : 5 = 19,56; 750 25 28 0 ,7 5 20 10 2 9 7 ,8 5 75 4 зо 2) 9 , 7 8 ; і = 9 ,7 8 : 0,5 = 10 0 ,5 5 0 0 19,56 47 20 О 45 28 3) - : 0 , 2 = 0 , 625 : 0 ,2 = 6 ,2 5 : 2 = 3,125; 8 50 8 ~30 rg ~48 0 ,6 2 5 20 О .o 16 40 = 1,45 : 0 ,3 1 2 5 = 14 500 ; 3125 = 4 ,6 4 . bo 16 14500 3125 12500 4 ,6 4 50 16 48 0 ,3 1 2 5 ~16 w .4 4) 1,45 ok ~40 О 20000 17650 40 12500 12500 w w ” 32 О 80 80 О 1 4 7 8 .1 ) 9,75 ; - = 9,75 : 0 ,2 5 = 975 : 25 = 39; 4 975 25 10 ’ 8 0,25 20 О 458 25 ’ 75 ’ 225 О Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер
    • 2) - : 0 ,1 4 = 0 ,8 7 5 ; 0 ,1 4 = 8 7 ,5 :1 4 = 6,25; 8 8 7 ,5 14 70 8 84 35 64 0 ,8 7 5 60 6 ,2 5 28 70 56 40 ш ~70 О 40 О 3) 3 ,6 : - = 3 ,6 : 0 ,3 7 5 = 3600 : 375 = 9,6; rg 3375 9Тб ~ 2 4 0 ,3 7 5 60 40 О ok 2250 О 40 .o 2250 56 40 32 80 ~80 О — : 0 ,3 = 0 ,5 6 2 5 : 0 ,3 = 5,6 2 5 : 3 = 1,875. 16 1479. bo 4) 80 0 ,5625 100 3600 375 ЗО 8 16 90 Р о з в ’я з а н н я . 105 w .4 1) Швидкість Дейла: 10,5 : 1,4 = 105 : 14 = 7,5 (км/год). 2) Швидкість зближення: 105 + 7,5 = 18 (км/год). 3) Час до зустрічі: 90 : 18 = 0,5 (год). 14 90 0 ,5 w w 98 7,5 70 90 18 ~ 6 О В ід п о в ід ь : 0,5 год 1480. Р о з в ’я з а н н я . або ЗО хв. 1) Швидкість Вовчика-братика: 4,2 : 1,2 = 42 : 12 = 3,5 (км/год). 2) Швидкість зближення: 4,2 + 3,5 = 7,7 (км/год). 3) Відстань на початку руху: 7,7 • 1,5 = 11,55 (км). 42 12 36 3,5 60 60 0 X 7,7 В і д п о в ід ь : 11,55 км. 1,5 ^ 385 77 11,55 М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 459
    • 1 4 8 1 . Р о зе' я за н н я . 1) Швидкість човна: 1,8 • 2,5 = 4,5 (км/год). 2) Оскільки човен і плавець рухаються в од­ ному напрямку (навздогін), то ш видкість зближення дорівнює різниці їх швидкостей: 4,5 - 1,8 = 2,7 (км /год). 3) Час до зустрічі: 0 ,54 : 2,7 = 5,4 : 27 = 0,2 (год). 0,2 год = ^ В ід п о в ід ь : 1 ,8 '2 ,5 90 ' зе 4,5 0 (км/год). год = 60 хв : 10 • 2 = 12 хв. 0,2 год або 12 хв. 20 16 1,6 125 16 1,25 2.5 < 1.6 750 80 О 4 ,0 0 bo 80 ok 2Ь 32 750 .o 125 200 rg 1 4 8 2 .1 ) 2 : 1,25 = 200 : 125 = 1,6 (дм) — ширина; 2) 2 : 1,6 = 20; 16 = 1,25 (дм); 3) F = 2 • 1,6 ■ 1,25 = 2,5 • 1,6 = 4 (дм=*). О 4 дм^. w .4 В ід п о в ід ь : w w 1 4 8 3 .1 ) 1 , 7 х - 0,5jc - 3,62 = 12,7; (1,7 - 0 ,5 )х - 3,62 = 12,7; 1,2д: - 3,62 = 12,7; 1,2х = 12,7 + 3,62; 1,2х- = 16,32; X = 16,32 : 1,2; х = 163,2 : 12; X = 13,6; 12,70 3,62 16,32 163,2 12 12 13,6 43 36 72 О 2) 2,7 • (0,02у + 1,4) = 4,32; 0 .,0 2 у + 1,4 = 4 ,3 2 : 2,7; 0 , 0 2 у + 1,4 = 1,6; 0,02г/ = 1,6 - 1,4; 0 , 0 2 у = 0,2; (/ = 0,2 : 0,02; г/ = 20 : 2; 43 ,2 27 ’ 27 1,6 162 162 О у = 10. 460 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер ш ш ш ш
    • 1 4 8 4 . ] ) 8 , 3 x + 1,9л; + 13,7 = 39,2; (8,Г. + 1 , 9 ) х + 13,7 = 39,2; 10,2л: + 13,7 = 39,2; 13,7; = 25,5 : 10,2; : = 2,5; X = 255 39,2 102 255 13,7 204 25,5 2) 27,3 : (0,2г/ - 1,8) = 2,6; - 1,8 = 27,3 : 2,6; - 1,8 = 273 : 26; - 1,8 = 10,5; = 10,5 + 1,8; 0,2г/= 12,3; г /= 12,3 : 0,2; г/= 6 1 ,5 . 0 ,2 у 0 ,2 у 0 ,2 у 0 ,2 у 2,5 510 123 2 12 61,5 3 130 510 26 10,5 273 ~26 130 О rg 9 7 ,2 9,72 кг = X дм bo ok .o II к ош и к — 1 ,7 х к г | X + 1 ,7 х = 9,72; (1 + 1,7)х = 9,72; 2 ,7 х = 9,72; X = 9,72 : 2,7; х = 97,2 : 27; х = 3,6. Отже, у меншому кошику 3,6 кг, а в більшому — 9,72 - 3,6 = 6,12 кг. В і д п о в ід ь : 3,6 кг; 6,12 кг. 147 14 8 6 . Р о з в ’я з а н н я . АВ = (1,6х + 11) дм 126 ВС 10 10 О 1485. Р о з в ’я з а н н я . I кошик — л: кг 0 27 81 3 ,6 162 ~162 О 42 1,6 3,5 3,5 •15,8 дм w w w .4 210 . 80 = 1 ,6х дм 48 210 X + 1 ,6 х + 1 ,6 х + 1,1 = 15,8; 5 ,6 0 ~ 0 (1 + 1,6 + 1,6)х + 1,1 = 15,8; 4 ,2 х + 1,1 = 15,8; 4 ,2 х = 15,8 - 1,1; 4 ,2 х = 14,7; х = 14,7 : 4,2; X = 147 : 42; х = 3,5. Отже, В С = 3,5 дм; АС = 1,6 • 3,5 = 5,6 (дм); АВ = 5,6 + 1,1 = 6,7 (дм). В і д п о в ід ь : А В = 6,7 дм; В С = 3,5 дм; А С = 5,6 дм. 1 4 8 7 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай маса другого (меншого) кавуна х кг, тоді маса більшого кавуна — 1 ,4 х кг. 10,8 18 4,5 За умовою 1 ,4 х - х = 1,8. (1,4 - 1)х = 1,8; 0 ,4 х = 1,8; 16 4 ,5 1,6 1,4 X = 1,8 : 0,4; х = 4,5. 648 180 1) 4,5 ■ 1,4 = 6,3 (кг). + Отже, маси кавунів відповідно 45 108 20 4,5 кг і 6,3 кг. 6 ,3 0 17,28 ”~ 0 Разом 4 ,5 кг + 6,3 кг = 10,8 кг. 2) 10,8 • 1,6 = 17,28 (грн.). В і д п о в ід ь : 17,28 грн. АС М А ТЕМ АТИ КА , о . с . Істер Ш 461
    • 891,3 3388 242 6 7 7 ,6 213,7 6 338 ,8 242 14 7 325 5525 О w .4 17 213,7 552,5 (кг). ~968 6 338,8 (ящ.) bo 6 7 7 ,6 ok .o rg 1 4 8 8 .Р о з в 'я з а н н я . Нехай у другому кошику х кг полуниць, тоді в першому — 1 , 6 х кг. За умовою 1,6х - X = 1,44; звідки 0 ,6 х = 1,44; х = 1,44 : 0,6; X = 14,4 : 6 ; х = 2,4. 8 ,4 5 3 ,0 4 6,24 Отже, у другому кошику 2,4 кг X X + полуниць, а в першому — 8,5 2 16 ,8 2.4 + 1,44 = 3,84 (кг). ^ “^ 2 0 16 ,8 6 9 ,8 4 Усього полуниць: 2.4 + 3,84 = 6,24 (кг). 4992 Покупка коштує: 5 3 ,0 4 0 6 ,24 • 8,5 + 2 • 8,4 = 69 .8 4 (грн.). В і д п о в ід ь : 69,84 грн. 1AQQ. Р о зв 'я з а н н я . Якщо з великих яш;иків відібрати 21 3 ,7 кг яблук, то в них ста­ не стільки ж яблук, скільки в маленьких. Тому в маленьких ящ иках яблук; (891,3 - 213,7) : 2 = 33 8 ,8 (кг). Тоді кількість менших ящиків: 338 ,8 : 24,2 = 3388 ; 242 = 14. Кількість яблук у більших ящиках: 33 8 ,8 + 21 3,7 = 552,5. Кількість більших ящиків: 552,5 : 32,5 = 5525 : 325 = 17 (ящ .). '325 ^ їб 16 (ящ.). 2275 2275 w w 16 17 В і д п о в ід ь : О 14 ящиків і 17 ящиків. Вправи для повторення 1 4 9 0 .1 ) — = 3 - ; 13 4 2 )1 ^ = 1®; 7 7 4 4 -^ 2 т: 12 7 3 ) ^ = З І 12 7 ї 1 4 )М = 80; 480 48 80 5 )І^ = 2 5 ^ , 17 17 432 17 34 О ~85 462 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 25 37 12 36 V
    • З _ 12 • 8 + З _ 99 . g ^ 113 _ 7 200 + 113 _ 1513 8 " 8 ” 8 200 200 200 ^ Площу фігури з № 1492 можна обчислити як різницю площ прямокутника зі сторонами а і {Ь + с + d ) та. квадрата зі сто­ роною с. І ok .o rg 1 4 9 2 . S = а(Ъ + с + d ) - с Якщо а = 20 см; Ь = Ъ см; с = 12 см; d = 13 ом, то S = 20 • (5 + 12 + 13) - 12^ = 20 • ЗО - 144 = 600 - 144 = 456 (см^). В і д п о в ід ь : 456 см^. 1 4 9 3 . Р о з в ’я з а н н я . Першу вершину можна позначити одним із 5 способів, другу — одним з 4. Третю вершину мож на позначити однією з трьох букв, що залиш илися, четверту — однією з двох і для останньої вершини залишилась одна остання буква. За правилом добутку кількість способів позначення вершин п ’ятикутника дорівнює: 5 • 4 • З • 2 • 1 = 120. В і д п о в ід ь : 120 способів. Домашня самостійна робота № 8. 1,08 w .4 324 3 ,780 33,2 8 В і д п о в ід ь : Г. 4,15 w w ’ 32 12 2 .7 ,4 ■0,001 = 0,0074. В. В і д п о в ід ь : 3,5 540 3. Б. bo В і д п о в ід ь : 40 ~40 О 5 .4 х = 15,2; х = 15,2 : 4; х = 3,8. 4.8 X = 4,2^ = 17,64 (см2). 4.2 4.2 + 168 17 ,6 4 В і д п о в ід ь : А. 15,2 12 32 3,8 '32 О Відповідь: Б. М АТЕМ А ТИ КА . О . С . Істер Ш 463
    • 6 .1 ) 2) 18,6 : 1,5 = 12,4 (км/год) - швидкість; 12,4 ■2,5 = 31 — відстань. В і д п о в ід ь : Г. 12,4 1 8 ,6 1,5 X 2,5 12,4 'з о 7 .3 ,0 7 • 0,01 = 0 ,0 3 0 7 . В і д п о в ід ь : Г. 248 60 31,00 (км) 60 О 8 .3 9 : (3,7 - х ) = 15; 3 .7 - X = 39 : 15; 3 .7 ~ X = 2,6; X ~ 3 ,7 ~ 2,6; ЗО 4 10 15 2,6 8 ~’ 25 230 0 ,2 5 О А 90 20 ok 90 О В і д п о в ід ь : В. bo В і д п о в ід ь : 10. Р о з в ’я з а н н я . 1 )3 = 4,5" = 20,25 w w w .4 м"; 2) 20',25 • 0,2 = 4,05 (кг) — фарба; 3) 4 ,0 5 • 15 = 60 ,7 5 (грн.) В і д п о в ід ь : Б. 11 . 480 .o 39 9 . 4 ,8 , - = 4 ,8 : 0 ,2 5 = 4 = 480 : 25 = 19,2. rg 15 36 І число — X 4.5 4.5 225 25 19,2 225 50 50 О Б. 2 0 ,2 5 < X 0 ,2 15 4 ,0 5 0 2025 180 405 2 0 ,2 5 60,75 X II число — Ъх 16,7 III число — X + 1,2 X + Зх + X + 1,2 = 16,7; 5х + 1,2 = 16,7; 5х = 16,7 - 1,2; 5х = 15,5; X = 15,5 : 5; х = 3,1. В і д п о в ід ь : А. 2.5 15 1 2 . 1,6х - X = 1,5; X 0 ,6 х = 1,5; 1.6 12 2,5 х = 1,5 : 0,6; ^30 X = 2,5. 2 ,5 • 1,6 = 4 (кг). 25 ЗО В ід п о в ід ь : В. 4 ,0 0 О 464 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С. Істер 4 ,0 5
    • Завдання для перевірки знань № 8 (§ § 3 8 -4 1 ) 2) 4 2,3 ■0,1 = 4,23; 1. 1) 29 ,3 5 • 10 = 293,5; 4) 0 ,00 15 • 6 ,7 = 0,01005; 3) 6,3 1 5 6 ,4 = 40,416; 0 ,0015 6,3 1 5 X X 6,4 6,7 25260 105 І 1 90 37890 0 ,0 1 0 0 5 4 0 ,4 1 6 0 т і 2 . 1 ) 4 2 ,5 : 10 = 4,25; 3 ) 5 1 , 6 : 2 4 = 2,15; 2) 5 6 ,2 8 : 14 = 4,02; ~48 4 ,0 2 28 2,15 36 28 70 28 24 140 140 120 ok . “ ~0 45 0 ,2 5 or g 56 4) 7 : 2 8 = 0,25; 51,6 24 56,28 14 О ’ і2 0 311 8,2 w .4 3 .1 ) д: : 8,2 = 311; X = 311 • 8,2; л: = 2550,2; bo О 5) 14,5 : 0,1 = 145; 6) 17,8 : 0,01 = 1780. ^ 2) 12х = 11,4; д:= 11,4 : 12; X = 0,95; 622 11,4 12 108 0 ,9 5 60 2488 60 2550,2 w О w 4 . 1) 8,46 : 3,6 = 8 4 ,6 : 36 = 2,35; 2) 17 : 0 ,8 5 = 1700 : 85 = 20; 3) 0,1 1 7 0 4 : 0 ,0 5 6 = 117,04 : 56 = 2,09. 72 126 108 36 1700 85 1 17 ,04 56 2,35 84,6 170 112 0 20 2 ,09 504 504 180 180 О 465
    • Б . Р о з в ’я з а н н я . 1) 15,6 • З = 4 6 ,8 (грн.) — коштують цукерки; 2) 9 1 ,6 - 4 6 ,8 = 4 4 ,8 (грн.) — коштує печиво; 3) 4 4,8 : 4 = 11,2 (грн.) — коштує 1 кг печива. В ід п о в ід ь : 11,2 грн. 6. 15,6 ^ ^ _____ 4 6 ,8 13,02 3,1 124 4,2 ______ 62 Р о з в ’я з а н н я . 1) 13,02 ; 3,1 = 130,2 : 31 = 4,2 (м) — довжина; 2) Р = 2 • (3,1 + 4,2 ) = 14,6 (м). В ід п о в ід ь : 14,6 м. ” б2 7. о Р о з в ’я з а н н я . 2 8 - О 12,9 rg 1) 103,2 : 8 = 12.9 (км/год) — швидкість зближ ення. 2) Оскільки автомобіль рухався навздогін мо­ тоцикла, то ш видкість зближ ення дорівню є різниці швидкостей автомобіля і мотоцикла: V Звідси: .o м; от.' = 12,9 + 58,9 = 71,8 (кг/год). В і д п о в ід ь : 71,8 км/год. 8 .1 ) а : 5,1 = 29,2; а = 29,2 • 5,1; а = 148,92; 2) 29,2 • Ь = 0,292; Ь = 0,2 9 2 : 29,2; 6 = 2,92 : 29,2; Ь = 0 ,01 . ok V „ 16 72 '^ w .4 bo Vав = Vзол . + т. . ^ ~ q 29,2 ^ g ^ ___ !_ 292 9 . Р о з в ’я з а н н я . 148,92 w w Гроші, які мав учень, — це 1. 1) 1 - 0,2 = 0 ,8 — частина, яку становлять гроші, що залишилися. 2) Отже, треба знайти число, 0 ,8 якого становить 18. 0 ,8 = ^ ; 18 : 8 • 10 = 22,5 (грн.). В ід п о в ід ь : 22,5 грн. § 4 2 . Ві дсотки. Знах од же нн я відсотків в і д д а н о г о ч ис ла В ід с о т о к ( п р о ц е н т ) — це частина числа: 1% = — 100 = 0 ,0 1 . Отже, знайти 1 % від числа означає знайти одну соту частину цього числа, тобто поділити число на 100. Щоб п е р е т в о р и т и в і д с о т к и в д е с я т к о в и й д р і б , треба поділи­ ти число процентів на 100: 23% = 0,23; 7% = 0,07; 100% = 1. 466 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • Фактично, потрібно кому перенести на 2 знаки вліво. Щоб п е р е т в о р и т и д е с я т к о в и й д р і б у в і д с о т к и , треба його помножити на 100, тобто перенести кому на 2 знаки вправо: 3,28 6 = 328,6% ; 0 ,5 4 7 = 54, 7% . Корисно запам ’ятати! — = 0,1 = 10% 10 - = 0 ,2 5 = 25 % 4 1 = 0 ,5 = 50 % 2 - = 0 ,75 = 75 % 4 1 4 9 4 . 1 ) 7% = 0 ,0 7 ; 2) 13% = 0 ,1 3 ; 3 )9 7 % = 0 ,9 7 ; 4) 132% = 1,32; 5) 145% = 1,45; 6) 217% = 2,17. 1 4 9 5 . 1 ) 1 9 % = 0 ,1 9 ; 2)49% = 0 ,4 9 ; 3)197% = 1 ,9 7 ; 4)359% = 3 ,5 9 . 1 4 9 6 . 1 ) 0 ,4 2 = 42% ; 2) 0 ,0 3 = 3% ; 3) 0,5 = 0 ,5 0 = 50% ; or g 4) 1,18 = 118% ; 5) 0,3 1 8 = 31,8% ; 6) 2,38 7 = 2 3 8,7% . 1 4 9 7 . 1 ) 0 ,3 9 = 39% ; 2) 0 ,07 = 7% ; 3) 0,2 = 0 ,2 0 = 20% ; 4) 1,17 = 117% ; 5) 1,189 = 118,9% ; 6) 7,32 = 732% . 2 ) і = 0,25 = 25 %; 4 2 1 4 ) - = 0 ,8 = 8 0 % ; 5 о 3 ) - = 0,4 = 4 0 % ; 5 19 ok . 1 4 9 8 . 1 ) - = 0 ,5 = 50% ; 5)— = 0,26 = 2 6 % ; 50 130 50 100 6)— = 0,48 = 4 8 % . 25 120 25 bo 0 ,2 6 100 200 300 200 w .4 300 1 4 9 9 . 1 ) - = 0 ,6 = 6 0% ; 5 0 ,4 8 О О 2 ) — = 0 ,3 5 = 35% ; ^20 20 70 ЗО 0 ,6 60 0,3 5 100 w w ЗО О 100 О 90 3 ) — = 0 ,5 2 = 52% ; 25 130 25 125 0 ,5 2 4 ) — = 0 ,5 8 = 5 8 % . 50 290 50 250 0 ,58 50 400 50 400 О О М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 467
    • 1500. Звичайний дріб 1 4 3 4 Десятковий 0,75 дріб Відсоток 75% 1 20 2 10 1 25 1 2 100 0,25 0,05 0,2 0 ,04 1 0,02 25% 5% 20% 4% 100% 2% 100 20 ЗО 28 0 ,75 100 25 100 0 ,0 5 100 0 , 04 б О 20 О ok 1 5 0 1 . Р о з в ’я з а н н я . .o rg Щоб знайти в і д с о т о к в і д ч и с л а , треба: 1) визначити, скільки ... припадає на 1 % і помножити цю кіль­ кість на відповідний відсоток; або 2) виразити відсоток десятковим дробом і помножити дане число на цей дріб. w .4 bo 100 л молока — це 100% , тоді на 1% припадає 100 л : 100 = = 1 л молока, а на 9% — у 9 разів більше, тобто 9 л. В ід п о в ід ь : 9 л. 1 1502. Кількість книжок однакова, бо 1 % = 100 1 5 0 3. 1) 5% від 900 м; 5% = 0,05; 0 ,0 5 • 900 = 45 (м); 2) 27% від 900 м; 27% = 0,27; 0 ,2 7 • 900 = 243 (м); 3) 60% від 900 м; 60% = 0,6; 0,6 • 900 = 540 (м). 1 5 0 4. 1) 1 см = ^ 100 м = 0,01 м = 1%; м = 0,05 м = 5 %; 100 1 3) 1 дм = — м = 0,1 м = 0 ,1 0 м = 10 %; w w 2) 5 см = о 4) з дм = — м = 0,3 м = 0 ,3 0 м = 30% ; 5) 0,32 м = 32% ; 6) 1 м = 100% . 1 50 5. 1) 1 кг = ^ 100 ц = 0,01 ц = 1%; 2) 7 кг = ц = 0 ,0 7 ц = 7%; 100 13 3 ) 1 3 кг = ц = 0 ,1 3 ц = 13% ; 100 468 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 0 ,5 ц = 0 ,5 0 ц = 50% ; 5) 1 ц = 100% ; 1,2 ц = 120% . А5 0 6 . Р о з в ’я з а н н я . , від 7000 кг: 7000 м — це 100% , 1% — це 100 7000 кг : 100 = 70 кг. 18% — у 18 разів більше: 70 кг • 18 = 1260 кг. В і д п о в ід ь : 1260 кг. Цю ж задачу можна розв’язати так: 18% = 0,18; 0 ,1 8 • 7000 кг = 1260 кг. 1 5 0 7 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 25% = 0,25; 400 га • 0 ,2 5 = 100 га — пшениця; 2) 7% = 0,07; 400 га • 0 ,0 7 = 28 га — картопля. В ід п о в ід ь : 100 га; 28 га. 1 5 0 8 . Р о з в ’я з а н н я . I с п о с іб . .o 1) 65% = 0,65; 200 • 0 ,6 5 = 130 (пр.); 2) 200 - 130 = 70 (пр.). rg 4) 6) I I с п о с іб . ok 1) 100% - 65% = 35% ; 2) 35% = 0,35; 200 • 0 ,3 5 = 70 (пр.). В і д п о в ід ь : 70 прикрас. bo 1 5 0 9 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 200 марок — це 100% ; 100% - 42% = 58% — мае Орест; 2) 58% = 0,58; 200 ■0 ,5 8 = 116 (марок). В і д п о в ід ь : 116 марок. w w 1511. w .4 1 5 1 0 .1 ) 1 0 0 % ; 2 ) — = 16% ; 3 ) — = 0 ,0 8 = 8% ; 4 ) 4 ^ = 21% . 100 100 100 — С И Н ІЙ — зелений ] — червоний 1) 10% = 0,1; 120 • 0,1 = 12; 320 • 0,1 = 32; 2) 20% = 0,2; 1 м 20 см = 1,2 м; 1,2 м • 0,2 = 0,24 м = 24 см; 5 ц 30 кг = 530 кг; 530 кг • 0,2 = 106 кг; М АТЕМ АТИ КА, о . с . Істер Ш 469
    • 3) 35% = 0,35; 1020 • 0 ,3 5 = 357; 780 • 0 ,3 5 = 273. 4) 65% = 0,65; 4 грн. • 0 ,65 = 2,6 грн.; 5 кг • 0 ,6 5 = 3,25 кг. 1020 ‘ ^0,35 510 780 ^0,35 390 0 ,6 5 2 ,60 234 3 5 7 ,0 0 0 ,6 5 306 2 7 3 ,0 0 3,25 126 w w + .4 bo ok .o rg 1 5 1 3 .1 ) 5 % = 0,05; 80 0,05 = 4; 195 • 0 ,05 = 9,75; 2) 30% = 0,3; 214 м • 0 ,3 = 64,2 м; 5 кг ■0,3 = 1,5 кг; 3) 45% = 0,45; 520 5 грн. 20 коп. • 0,45 = 520 коп. • 0 ,45 = ^0,45 = 234 коп. = 2 грн. 34 коп.; 4) 90% = 0,9; 113 320 ^ 260 113 0 ,9 = 101,7; 0 ,9 0 ,9 208 320 0,9 = 288. 101,7 2 8 8 ,0 2 3 4 ,0 0 1 5 1 4 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 6% = 0,06; 2) 15 кг ■0 ,0 6 = 0 ,9 (кг). В ід п о в ід ь : 0,9 кг. 1 5 1 6 . Р о з в ’я з а н н я . Л б 'іб . Р о з в 'я з а н н я . 1 )1 7 % = 0 ,1 7 ; 1) 95% = 0,95; 2) 42 кг • 0 ,95 = 2) 180 кг • 0 ,1 7 = 30,6 кг. = 39,9 0 кг = 3 9,9 кг. 180 X 42 0,1 7 18 0 ,9 5 + 3 0 ,6 0 Розв’язок н я . 1) 64% = 0,64; 2) 45 кг • 0 ,6 4 = 28,8 кг. 45 1517. X 39 ,9 0 30,6 кг. w В ід п о в ід ь : 0 ,6 4 ^10 378 В і д п о в ід ь : 39 ,9 кг. 15 h 8 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 80% = 0,8; 75 см • 0,8 = 60 см; 2) S = 75 см ■60 см = 4500 см^. X 75 0 ,8 6 0 ,0 ^ 270 В і д п о в ід ь : 28,80 В ід п о в ід ь : 470 Ш 28,8 кг. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 4500 см^.
    • ЛЪЛ^ . Р о з в ’я з а н н я . 3600 1) 32% + 30% = 62%) — зібрали два класи; 2) 100% - 62% = 38% — зібрав третііі клас; 3) 38% = 0,38; 3600 кг 0,3 8 = 1368 кг. В і д п о в ід ь : 1368 кг. 0 ,3 8 288 108 136 8 ,0 0 1520. Р о з в ’я з а н н я . 1) 35% + 38% = 73% — проїхала за дві години; 2) 100% - 73% = 27% — за третю годину; 3) 27% = 0,27; 240 • 0 ,2 7 = 64,8 (км) — проїхала машина за третю годину. В ід п о в ід ь : 6 4 ,8 км. X 240 0 ,2 7 + 168 48 6 4 ,^ Л 5 2 ' . Р о з в ’я з а н н я . .o rg 1) 40% = 0,4; ЗО • 0 ,4 = 12 (уч.) — хлопці; 2) ЗО - 12 = 18 (уч.) — дівчата; 3) 18 > 12, 18 - 12 = 6. В ід п о в ід ь : дівчат на 6 більше. 1522. Р о з в ’я з а н н я . bo ok 1) 48% = 0,48; 160 • 0,48 = 76,8 (км) — до зупинки; 2) 160 - 76,8 = 8 3 ,2 (км) — після зупинки; 3) 83,2 км > 76,8 км; 83,2 - 76,8 = 6,4 (км). В ід п о в ід ь : відстань після зупинки на 6,4 км більша. 160 “ ^0,48 ^1280 640 0 ,3 6 w w w .4 76,80 1 Ъ 2 3 . Р о з в ’я з а н н я . 25 1) = 52 = 25 (см2); 180 2) 36% = 0,36; 25 • 0 ,3 6 = 9 (см^); В ід п о в ід ь : 9 см^. ~72 9 ,0 0 1 5 2 4 . Р о з в ’я з а н н я . 1) Усі яблука — 100% ; 250 100% - 91% = 9 % — маса суш ених яблук; 2) 9% = 0 ,0 9 ; ^0,09 250 кг • 0 ,0 9 = 22,5 (кг) — сушені яблука. 22,50 120 В ід п о в ід ь : 2 2 ,5 кг. ^0,15 1 5 2 5 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 100% - 85% = 1 5 % — суха картопля; 60” 2) 15% = 0,15; 120 кг • 0 ,15 = 18 кг. 12 В ід п о в ід ь : 18 кг. 18 ,0 0 1 5 2 6 . Р о з в ’я з а н н я . 510100 1) 29% = 0,29; суходіл; 510 100 ■0 ,2 9 = 147 929 (тис. км^) 0,2 9 2) 510 100 - 147 929 = 45909 510100 = 362 171 (тис. км^) — вода. 10202 147929 В ід п о в ід ь : 362 171 тис. км^. 14 7 9 2 9 ,0 0 362171 М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 471 ш
    • 1 5 2 7 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 5% = 0,05; 80 • 0 ,0 5 = 4 (дет.); 2) 80 + 4 = 84 (дет.). В ід п о в ід ь : 84 дет. 319 1) 10% = 0,1; 290 ц • 0,1 = 29 ц — збільшення врожаю; ^ g _____ 2) 290 ц + 29 ц = 319 ц — фактична врожайність; 3) 319 ц 8 = 2552 ц. 2552 В ід п о в ід ь : 2552 ц. ЛЪ29. Р о з в ’я з а н н я . 480 Початкова собівартість — це 100% . Собівартість після зниження: 100% - 5% = 95% . ’ Знайдемо 95% від 480 грн.: 240 95% = 0,95; 480 грн. • 0 ,9 5 = 456 грн. 432 В і д п о в ід ь : 456 грн. Л 5 3 0 . Р о з в ’я з а н н я . 4 5 6 ,0 0 1 )4 0 % = 0 ,4 ; 0 ,75 150 • 0,4 = 6 0 ,0 = 60 (дер.) — яблуні; ^ 60 2) 75% = 0,75% ; 60 • 0,75 = 45 (дер.) — вишні. 4 5 ,0 0 В ід п о в ід ь : 45 вишень. ok .o rg ЛЪ2й. Р о з в ’я з а н н я . ^ 5 2 ^ . Р о з в ’я з а н н я . ^ 0 ,6 4 5 0 ,0 450 ^ 0 ,0 4 w .4 750 bo 1) 60% = 0,6; 750 • 0,6 = 450 (уч.) — відвідують гуртки; 2) 4 % = 0,04% ; 450 • 0,04 = 18 (уч.) — шаховий гурток. В ід п о в ід ь : 18 ,0 0 18 учнів. w w ^ 5 3 2 . Р о з в ’я з а н н я . 1 )3 5 % = 0 ,3 5 ; 80 км • 0 ,3 5 = 28 км — 1-й день; 2) 80 км - 28 км = 52 км — решта шляху; 3 )5 5 % = 0 ,5 5 % ; 52 км • 0 ,5 5 = 28,6 км — 2-й день; 4) 52 км - 28,6 км = 23,4 км — 3-й день. В ід п о в ід ь : 23,4 км. 0 ,3 5 52 80 ""0,55 _______ ____ 2 8 ,0 0 ^ 260 260 ’ 1 5 3 3 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 40% = 0,4; 5000 ■0 ,4 = 2000 (осіб) — працюють у райцентрі; 2) 5000 - 2000 = 3000 (осіб) — решта; 3)2 0 % = і ; 5 3000 : 5 = 600 (осіб) — працюють у селищ і. В ід п о в ід ь : 600 осіб. 472 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 1,18 1) 100% + 18% = 118% — кількість ^ 5000 грошей через рік; -------------2) 118% = 1 ,1 8 ; 5 9 0 0 ,0 0 5000 • 1,18 = 5900 (грн.) — через рік; 3) 5900 ■ 1,18 = 6962 (грн.) — через 2 роки. В і д п о в ід ь : 5900 грн.; 6962 грн. Л Ъ З Л . Р о з в ’я з а н н я . 5900 ^ 1,18 --------472 + 59 6 9 6 2 ,0 0 1) 15 ■ 20 • 10 = 3000 (дм^) —об’єм бака; 2) 80% = 0,8; 3000 • 0,8 = 2400 (дм")= 2400 л — об’єм води. В і д п о в ід ь : 2400 літрів. Л Ъ ЗЪ . Р о з в ’я з а н н я . 180 1 )5 5 % = 0 ,5 5 ; ><0 55 180° • 0 ,5 5 = 99°; _ J ____ 2) 180° - 99° = 81°. 90 В і д п о в ід ь : 99°; 81°. ^ 90 1 5 3 7 . Р о з в ’я з а н н я . QQ Л Л 1) 80% = 0,8; 450 м • 0 ,8 = 360 м — ширина; ’ 2) 450 м ■360 м = 162 ООО м^ = 16,2 га — площа ділянки; 3) 16,2 ■40 = 648 ц. 450 ^360 3 6 0 ,0 270 135 16,2 ^ 40 6 4 8 ,0 bo 450 ^ 0 ,8 ok .o rg Л Ъ З Ъ .Р о з в ’я з а н н я . w w w .4 162000 В і д п о в ід ь : 648 ц. 1 5 3 8 . Р о з в ’я з а н н я . Початкове значення числа — це 100% , після збільшення: 100% + 100% = 200% . 200% : 100 : = 2. В і д п о в ід ь : у 2 рази. Вправи для повторення 1 5 3 9 .1 ) 5,18 + X = 10; д: = 10 - 5,18; л: = 4,82; 2 ) х + 32,17 = 59,16; х = 59,16 - 32,47; х = 25,69. 1 0 ,0 0 59,16 5,18 32 ,4 7 4 ,8 2 26 ,6 9 1 5 4 0 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 4,2 дм + 1,5 дм = 5,7 дм; 2 ) Р = (4,2 + 5,7) • 2 = 9 ,9 • 2 = 19,8 (дм). В ід п о в ід ь : 19,8 дм. М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 473
    • 1 5 4 1 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 325 кг + 487 кг + 392 кг = 1204 кг = 1200 кг; 2) 325 кг = 330 кг; 487 кг = 490 кг; 392 кг = 390 кг; 330 кг + 490 кг + 390 кг = 1210 (кг). 325 812 "^487 392 812 1204 Щ В ід п о в ід ь : + 330 490 820 1200 кг + 820 390 1210 1210 кг. § 4 3 . Зн аход ження ч ис ла за його відсотком Щоб знайти ч и с л о з а й о г о в і д с о т к о м , потрібно це число роз­ ділити на відсотки, переведені в десятковий дріб. Можна також знайти, скільки припадає на 1 %, а потім цю кількість помножити на 100. .o rg I 1 5 4 2 . 1) 8 • 100 = 800; 2 ) 4 • 50 = 200; 350 • 10 = 3500; 4) 80 • 5 = 400. 1 5 4 3 . 1 ) 24% = 0,24; 48 : 0 ,2 4 = 4800 : 24 = 200; 2) 42% = 0,42; 63 : 0 ,42 = 6300 : 42 = 150; 3) 3,8% = 0,038; 2 8 ,5 : 0 ,0 3 8 = 28 500 : 38 = 750; 4) 100,2% = 1,002; 370,74 : 1,002 = 370 740 : 1002 = 370; 5) 12,5% = 0,125; 7,5 : 0 ,1 2 5 = 7500 : 125 = 60; 6) 0,3% = 0,003; 0 ,2 7 : 0 ,0 0 3 = 270 : 0і = 90. bo ok 3) 6300 42 28500 38 370740 1002 42 266 3006 750 .4 150 190 60 0 w w 0 750 7014 0 210 7014 190 210 370 7500 125 0 w 1 5 4 4 .1 )2 5 % = - ; 50 4 = 200; 4 2) 38% = 0,38; 95 : 0 ,38 = 9500 ; 38 = 250; 3) 4,2% = 0,042; 3 1 ,5 : 0,04 2 = 31 500 : 42 = 750; 4) 107,4% = 1,074; 375 ,9 : 1,074 = 375 900 : 1074 = 350; 5)24,5% = 0,245; 14,7 • 0 ,2 4 5 = 14 700 : 245 = 60; 6) 0,2% = 0,002; 0 ,0 8 : 0 ,0 0 2 = 40. 9500 38 76 294 375900 1074 31500 42 250 750 ~3222 190 5370 190 474 210 210 5370 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 350 14700 245 1470 0 60
    • .o 25 % = - , отж е, 27,5 • 4 = 110 (км). 4 В і д п о в ід ь : 110 км. rg 1 5 4 5 .9 • 100 = 900 (гл.). В і д п о в ід ь : 900 глядачів. 1 5 4 6 .4 ,8 • 100 = 480 (км). В і д п о в ід ь : 480 км. 1 5 4 7 .8 % = 0,08; 16,8 га : 0 ,0 8 = 1680 га : 8 = 210 (га). В і д п о в ід ь : 210 га. 1 5 4 8 . Р о з в ’я з а н н я . 80% = 0,8; 400 : 0 ,8 = 4000 : 8 = 500 (кг). Щ В і д п о в ід ь : 500 кг. 1 Р о з в ’я з а н н я . 14% = 0 ,1 4 ; 9100 14 91 : 0 ,1 4 = 9100 : 14 = 650 (кг). 84 650 В ід п о в ід ь : 650 кг. Л5 5 0 . Р о з в ’я з а н н я . 70 30% = 0,3; 25,8 : 0,3 = 258 : 3 = 86 (т). 70 ____ В ід п о в ід ь : 86 т. 1 5 5 1 . Р о з в ’я з а н н я . О w w w .4 bo ok 1 5 52 . Р о з в ’я з а н н я . 4% = 0 ,0 4 ; 1 т 250 кг = 1,25 т; 1,25 : 0,04 = 125 : 4 = 31 ,2 5 (кг). В ід п о в ід ь : 3125 кг. 1 5 5 3 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 80% = 0,8; 9 ,6 : 0 ,8 = 96 : 8 = 12 (см) — друга сторона; 2) 60% = 0,6; 9,6 : 0 ,6 = 96 : 6 = 16 (см) — третя сторона; 3) Р = 9,6 + 12 + 16 = 37,6 (см). В і д п о в ід ь : 3 7 ,6 см. 1 5 5 4 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 40 % = 0,4; 68 : 0,4 = 680 : 4 = 170 (км) — відстань м іж містами; 2) 170 - 68 = 102 (км) — залишилось проїхати. В і д п о в ід ь : 102 км. 1 5 5 5 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 60% = 0,6; 180 : 0,6 = 1800 : 6 = 300 (с.) — кількість сторі­ нок у книжці; 2) 300 - 180 = 120 (с.) — залишилось прочитати. В ід п о в ід ь : 120 сторінок. 1 5 5 6 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 110% = 1,1; 55 : 1,1 = 550 : 11 = 50 (дет.) — за планом; 2) 55 - 50 = 5 (дет.). Ю ,5 В ід п о в ід ь : 50 деталей; на 5 деталей. ^ 84 ^ 5 5 7 . Р о з в ’я з а н н я . ’ 1) 80% = 0,8; 8,4 : 0 ,8 =84 : 8 =10,5 (см) — ширина; 420 2) Р = (8,4 + 10,5) • 2 = 18,9 • 2 = 3 7 ,8 (см); + 3) S = 8,4 • 10,5 = 8 8 ,2 (см^). Відповідь: 37,8 см; 88,2 см^. 88 ,20 М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер Ш 475
    • 1 5 5 8 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 80% = 0,8; 16 : 0,8 = 160 ; 8 = 20 (дм) — ширина; 2) 16 ■2 = 32 (дм) — довжина; 3) F = 16 • 20 • 32 = 320 • 32 = 10 240 (дм"). В ід п о в ід ь : 10 240 дм^. X 320 32 + 64 96 10240 1559. Задачу розв’язано в підручнику. 1560. Р о з в ' я з а н н я . Свіжі яблука — це 100% . Якщо при суш інні яблука втрачають 82% маси, то залишається 100% - 82% = 18% . 18% = 0,18; 90 кг : 0 ,1 8 = 9000 кг : 18 = 500 кг. В ід п о в ід ь : 500 кг. 1561 . Р о з в ’я з а н н я . 3640 65 ok .o rg Спочатку у баку було 100% бензину. Після того, як 35 % витратили, залишилось 100% - 35% = 6 5 %, або 36,4 л бензину. 1) 65% = 0,65% ; 36,4 ; 0,65 = 3640 : 65 = 56 (л) — було спочатку; 2) 56 л - 36,4 л = 19,6 л — витратили. В ід п о в ід ь : 56 л; 19,6 л. 390 ” 390 О 63000 84 588 750 420 ~420 О w w w .4 bo 1 5 6 2 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 100% - 16% = 84% — кількість фарби, що залишилась, у процентах; 2) 84% = 0,84; 630 : 0,84 = 63 ООО : 84 = 750 (кг) — було на складі; 3) 750 - 630 = 120 (кг) — видали маляру. В ід п о в ід ь : 750 кг; 120 кг. 1 5 6 3 . Р о з в ’я з а н н я . 100% — усі робітники; 100% - 75% = 25% — жінки; 325 25% = - ; 105 • 4 = 432 (робітників); 4 432 - 108 = 324 — чоловіки; 324 - 108 = 216 — різниця. В ід п о в ід ь : на 216. 1 5 6 4 . Р о з в ’я з а н н я . Завезені огірки — це 100% . 100% - (35% + 38% ) = 1 0 0 % - 73% = = 27% — продали третього дня; 27% = 0,27; 151,2 : 0 ,2 7 = 15 120 : 27 = = 560 (кг) — було завезено. В ід п о в ід ь : 560 кг. 476 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 15120 27 135 560 162 162 О
    • 1 5 6 5 . Р о з в ’я з а н н я . Увесь ш лях — це 100% . 100% - (30% + 32% ) = = 100% - 62% = 38% — за третю годину; 38% = 0,38; 91,2 км : 0 ,3 8 = 9120 км : 38 = 240 км. В і д п о в ід ь : 240 км. 9120 38 76 240 152 152 1 5 6 6 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 49 кг : 14 = 3,5 кг — припадає на 1 %; 2) 3,5 кг • 100 = 350 кг — вага морозива; 3) 350 кг : 100 г = 350 О О г : 100 г = О = 3500 (порцій). В і д п о в ід ь : 3500 порцій. О 49 14 42 3,5 70 О ok .o rg 1 5 6 7 . Р о з в ’я з а н н я . Усі учні в школі — це 100% , тоді 100% - 53% = 47% — становлять хлопці. Різниця 53% - 47% = 6 % — становить 51. 6% = 0 ,0 6 ; 51 : 0,0 6 = 5100 : 6 = 850 — учнів у школі. В і д п о в ід ь : 850 учнів. w w w .4 bo 1 5 6 8 . Р о з в ’я з а н н я . Усі завезені фрукти становлять 100% . 100% - 28% = 72% — яблука. Яблук більше, ніж слив, на 72% - 28% = 44% , ш;о за умовою дорівнює 88 кг. Тоді одному проценту відповідає 88 : 44 = 2 (кг), а 100% ста­ новлять 2 • 100 = 200 (кг). Яблук було завезено 2 кг ■ 72 = 144 кг, а слив — 2 кг • 28 = 56 кг. В ід п о в ід ь : 144 кг; 56 кг. 1 5 6 9 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 60% = 0,6; 1188 : 0,6 = 11 880 : 6 = 1980 — високоякісні шоколадки; 2) 99% = 0,99; 1980 : 0 ,9 9 = 198 ООО : 99 = 2000 — усі шоколадки. В і д п о в ід ь : 2000 шоколадок. 1 5 7 0 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 65% = 0,65; 140 • 0 ,6 5 = 91 (мар.) — у Василя; 2) 70% = 0,7; 91 : 0 ,7 = 910 : 7 = = 130 (мар.) — у Сергія; 3) 140 + 91 + 130 = 361 (мар.) — всього. В і д п о в ід ь : 361 марка. 140 ^0,65 + М АТЕМ А ТИ КА . О . С . Істер Ш 70 84 91,00 477
    • Вправи для повторення 1 5 7 1 .1 ) 2 ,7 : 2 = 13,5; 2) 4,71 2,7 ~2 13,5 ”з 17 7 6 17,7 То 15 21 10 ~21 О З : 1,2 = ЗО : 12 = 2,5; 3) 0,3 = 47,1 : З = 15,7; 47,1 О 0,4 = 35 : 4 = 8,75; 4) 3,5 12 35 24 2,5 32 8,75 ЗО rg зо 60 ~28 20 .o "бО 20 О 6) 16,92 : 4,23 = 1692 : 423 = 4. ok 0 5) 0 ,1 9 : 0,095 = 190 : 95 = 2; w .4 bo 15 7 2 . Р о з в ’я з а н н я . 1) 37,6 + 1,8 = 39,4 (км/год) — швидкість за течією; 2) 37,6 - 1,8 = 35,8 (км/год) — швидкість проти течії, В ід п о в ід ь : 1) 39,4 км/год; 35,8 км /год. 9|25 = 900; 3|8 = 40; 900 • 40 = 36 ООО; 925 1573.1) X 2) 2579 = 3000; 610 = 600; 3000 ■600 = 1 800 ООО; 2579 X w w 38 7400 ^ 610 2579 2775 15474 35150 1573190 3) 13 152 « 10 ООО; 27 » ЗО; 10 О • ЗО = 300 ООО; ОО 13152 X 27 92064 26304 355104 478 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер : 4) 21 519 = 20 ООО; 397 = 400; 20 ООО • 400 = 8 ООО ООО. 21519 X 397 150633 + 193671 64557 8543043
    • § 4 4 . С е р е д н є а р и фме ти чн е. С е р е д н є значення в е л и ч ини Щоб знайти середнє арифметичне кількох чисел, треба суму цих чисел поділити на їх кількість. Середня швидкість руху дорівнює частці від ділення всього пройденого ш ляху на весь затрачений час. 1 5 7 4 .1 ) (8 + 10) : 2 = 18 : 2 = 9; 2) (12 + 20) : 2 = 32 : 2 = 16; 3) (З + 4 + 5) : З = 12 : З = 4; 4) (100 + 100 + 7 0 0 ): З = 900 : З = 300; 5) (З + 4 + 6 + 7) : 4 = 20 : 4 = 5; 6) (1,5 + 2,7) : 2 = 4 ,2 : 2 = 2,1. І 1 5 7 6 . Р о з в ’я з а н н я . 182 : 2 = 91 (км /год). В і д п о в ід ь : 91 к м /год. 1575. Р о з в ’я з а н н я . rg 22 км : 5 = 4,4 (км). В і д п о в ід ь : 4,4 км. 1 5 7 8 . Р о з в ’я з а н н я . 1596 : 6 = 266 (л). В і д п о в ід ь : 266 л. 1577. Р о з в ’я з а н н я . : 4 = 8 5 ,6 (кг). В і д п о в ід ь : 8 5 ,6 кг. .o 34 2,4 w w w .4 bo ok -------------'~ ~ 7 ~ о"""!” " Висновок: на числовому промені середнє арифметичне двох чи­ сел лежить посередині м іж цими числами. 1580 . (2 3 , 7 + 24,1 + 2 4 ,9 + 25,2 + 26,1) : 5 = 124 = ((23,7 + 24,1 + 25,2) + (24,9 + 26,1)) : 5 = 10 24,8 = (73 + 51) ; 5 = 124 : 5 = 24,8. _24 В і д п о в ід ь : 24,8. 1 5 8 1 . 1 ) (11 + 14) : 2 = 25 : 2 = 12,5; 20 2) (21 + 27 + ЗО) : З = 78 : З = 26; 40 3) (29,2 + 3 1 ,5 + 4 2 ,3 + 41,8) : 4 = 40 = ((29,2 + 4 1 ,8 ) + (31,5 + 42,3)) : 4 = О = (71 + 73,8) : 4 = 144,8 : 4 = 36,2; 4 ) ( 1 + 1 + 2 + 2 + 3 ) : 5 = 9 : 5 = 1,8. 1 5 8 2 . Р о з в ’я з а н н я . (27,5 + 32,6 + 28,4 + 29,7) : 4 = = 118,2 : 4 = 29 ,5 5 (кг). 118,2 2 7 ,5 3 2 ,6 57,2 8 29,55 38 29,7 2 8 ,4 61 1 57 9 . ( 1 + 7) : 2 = 8 : 2 = 4. 57 ,2 В і д п о в ід ь : 6 1 ,0 36 22 118,2 29 ,5 5 кг. 20 20 ~20 О М А ТЕМ АТИ КА , о. С . Істер ш 479
    • 1 5 8 3 . Р озв’язання. (1,9 + 1,87 + 2,91 + 2 + 1,89 1,85) : 6 = 11,52 : 6 = 1,92 (м). 11,52 6 1,87 2,01 3 ,9 0 "^1,85 ^ 1,89 + 3,72 3 ,9 0 3 ,9 0 55 11,52 54 + 1,9 2 3,72 3,9 6 1,92 12 12 О 1584. (43,497 + 4 5 ,311+ 44,115 + 4 2 ,5 41):4= 175,464:4= 43,8|66 = 43,9. 44,115 8 8 ,8 0 8 175,464 45,311 42,541 8 6 ,6 5 6 16 8 8 ,8 0 8 8 6 ,6 5 6 175,464 rg 4 3 ,4 9 7 4 3 ,8 6 6 .o 15 ok 12 ~32 w .4 bo 26 ~24 24 24 О 1 5 8 5 .(2 ,5 6 9 + 3,562 + 0,964) : З = 7,095 : 2 = 2,36|5 = 2,37. 7 ,0 9 5 w w 2,569 + 3,562 6 0 ,9 6 4 10 7,0 95 2,365 ’ 9 19 18 15 15 О 1 ЪЪЪ. Р о з в ’я з а н н я . (93 + 91 + 89 + 92) : 4 = 365 : 4 = 91,2 5 . В ід п о в ід ь : 91,2 5 . 480 Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 1587 . Р о з в ’я з а н н я . (0,52 + 0,65 + 0,6 + 0,62 + 0,55) : 5 = 2,94 : 5 = 0,588 (кг). 1,77 2 ,94 0 ,5 2 + 0,6 5 -0 .6 2 25 0 ,6 0 0 ,5 5 ^44 1,77 2,94 40 0 ,5 8 8 ІШ 40 40 о В і д п о в ід ь : 0 ,5 8 8 1 5 8 8 . Р о з в ’я з а н н я . 3,71 кг. 36 9,275 11 rg 102 : 5 = 20,4. 20,4. В і д п о в ід ь : 8 1 5 8 9 . Р о з в ’я з а н н я . 37,1 : 4 = 9,275 В і д п о в ід ь : 9,2 7 5 . .o J30 28 2 54 38 X 2 52 54 76 26 w .4 18 bo ok 20 1 5 9 0 . Р о з в ’я з а н н я . 20 (4,7 + 4 ,9 + 4,2 ) : З = 13,8 : З = 4 ,6 (км/год). В ід п о в ід ь : 4,6 км/год. О 1 5 9 1 . Р о з в ’я з а н н я . (З • 18 + 2 • 26 + 2 38) : (З + 2 + 2) = 182 : 7 = 26 (p.). + 52 76 182 w w В і д п о в ід ь : 26 років. 1 5 9 2 . Р о з в ’я з а н н я . (З • 25 + 2 • 24 + З • 19) = 180 : 8 = 22,5 (кг). В і д п о в ід ь : 22,5 кг. (З + 2 + 3) = (75 + 48 + 57) : 8 311,1 ЗО '[593. Р о з в ’я з а н н я . (11 + 13 + 9 + 15 + 0) : 5 = 48 5 = 9,6 = 10. В ід п о в ід ь : 10. 1 5 9 4 . Р о з в ’я з а н н я . (450 + 290) : (6 + 4) = 740 10 = 74 (км/год). В ід п о в ід ь : 74 км /год. 1 5 9 5 . Р о з в ’я з а н н я . (120,5 + 190,6) : (2 + 3) = = 311,1 : 5 = 62 ,2 2 (км). В ід п о в ід ь : 62 ,2 2 км. М АТЕМ АТИ КА , 16Ус1ГДР,5кл, о. с. 62,22 11 10 ~10 То ~10 о Істер Ш 481
    • ok .o rg 1 5 9 6 . Р о з в ’я з а н н я . t> = s : t ; s = 5 - 3 + 4 - 2 = 15 + 8 = 23 (км); f = З + 2 = 5 (год); у = 23 : 5 = 4,6 (км/год) — середня швидкість. В і д п о в ід ь : 4,6 км/год. 1 5 9 7 . Р о з в ’я з а н н я . S = 80 • 4 + 90 • 6 = 320 + 540 = 860 (км); ^ = 4 + 6 = 10 (год); V = 860 : 10 = 86 (км/год). В і д п о в ід ь : 86 км/год. 1 5 9 8 . Р о з в ’я з а н н я . S = 12 + 10 = 22 (км); t = 1 2 : 4 + 1 0 : 5 = 3 + 2 = 5 (год); у = 22 : 5 = 4,4 (км/год). В і д п о в ід ь : 4,4 км/год. 1 5 9 9 . Р о з в ’я з а н н я . ( х + 5,8) : 2 = 7,2; х + 5,8 = 7,2 • 2; л + 5,8 = 14,4; : X = 14,4 - 5,8; х = 8,6. В ід п о в ід ь : 8,6. 1 6 0 0 . Р о з в ’я з а н н я . (7,8 + у ) : 2 = 6,2; 7,8 + г/ = 6,2 • 2; 7,8 + (/ = 12,4; і / = 12,4 - 7,8; і / = 4,6. В і д п о в ід ь : 4,6. Щоб знайти с е р е д н ю в р о ж а й н і с т ь , треба врожай з усієї площі поділити на всю площу полів.________________________________ 9970 83 1 6 0 1 . Р о з в ’я з а н н я . + (9970 + 14 030) : (83 + 117) = 24 О О : 200 = О 14030 117 = 120 (ц/га). “2 ІМ 6 В і д п о в ід ь : 120 ц/га. 1 Q 0 2 . Р о з в ’я з а н н я . 1) Урожайність на кожному полі: 3610 ц : 100 = 36,1 ц; 3780 ц : 100 = 3 7 ,8 ц; 3545 ц : 100 = 35,45 ц; 3565 ц : 100 = 35 ,6 5 ц. 2) Середня урожайність: (36,1 + 37,8 + 35,45 + 35,65) : 4 = = (73,9 + 71,1) : 4 = 145 : 4 = 36,25 (ц/га). 246,2 В ід п о в ід ь : 36 ,2 5 ц/га. w w w .4 bo І 1603. Р о з в ’я з а н н я . S ^ = 52,3 + 47,4 • 2 + 49,6 • 2 = 246,2 (км); 4 7 ,4 4 9 ,6 52,3 2 ^ 2 + 9 4 ,8 9 9,2 246,3 t = 1 h 2 + 2 = 5 (год); V = S t = 245,2 5 = 49 ,2 4 (км/год). В ід п о в ід ь : 49 ,2 4 км/год. 9 4,8 482 Ш 99,2 М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер 20 46 49,24 45 12 10 20 20 О
    • 1 6 0 4 . Р о з в ’я з а н н я . s = 18,7 + 17,5 - 2 + 18 18,7 17,5 18 З = 107,7 (км); + 35 3 5 ,0 36 107,7 6 47 17,95 42 _57 54 107,7 і = 1 + 2 + 3 = 6 (год); V = S : t = 10 7 ,7 : 6 = 17,95 (км/год). В і д п о в ід ь : 17,95 к м /год. ~54 ЗО ЗО О w w w .4 bo ok .o rg 1 6 0 5 . Р о з в ’я з а н н я . Третє число — X. (45,3 + 39,7 + х) : З = 42,7; 4 5 ,3 42,7 (85 + д:) : З = 42,7; 3 9 ,7 ^ З 85 + л: = 4 2 ,7 • 3; 85 + л: = 128,1; л = 128,1 - 85; л: = 4 3 ,1 . : 8 5 ,0 Ї2 8 Д В ід п о в ід ь : 43,1. 1 6 0 6 . Р о з в ’я з а н н я . 1) Середнє арифметичне двох чисел: (17,5 + 20,3) : 2 = 3 7 ,8 : 2 = 18,9; 2) (17,5 + 20,3 + 18,9) ; З = (37,8 -(- 18,9) : З = 56,7 З = 18,9. В і д п о в ід ь : 18,9. 1 6 0 7 . Р о з в ’я з а н н я . На рисунку 10 витків дроту мають товщину 15 мм, тоді один виток має товщину 15 мм : 10 = 1,5 мм. 1 6 0 8 . Р о з в ’я з а н н я . 1) А В = 6,5 - 5,9 = 1,4; 2) В С = А В = 0,6; 3) 6,5 + 0 ,6 = 7,1 — координата точки С; 4) (5,9 + 7,1) : 2 = 13 : 2 = 6,5. Висновок: на числовому промені середнє арифметичне двох чи­ сел лежить посередині м іж цими числами. 1 6 0 9 . Задачу розв’язано в підручнику. 1 6 1 0 . Р о з в 'я з а н н я . Оскільки середня ціна печива 17,07 грн., то за 2 + 4 = 6 кг пе­ чива заплатили 17,07 • 6 = 102,42 грн. За печиво другого виду заплатили 16,2 ■4 = 6 4 ,8 грн. Тоді за печиво першого виду за­ платили 102,42 - 6 4 ,8 = 37 ,6 2 грн., 1 кг печива першого виду коштує 37,62 : 2 = 18,81 грн. В ід п о в ід ь : 18,81 грн. 1611 . Р о з в ’я з а н н я . Потяг був у дор озі 2 + 3 = 5 год. Його середня ш видкість 61.2 км/год. Тоді довжина всього ш ляху дорівнює 61.2 • 5 = 306 км. Довжина перш ої ділянки: 72 • 2 = 144 (км). 16*
    • Середня врожайність на всій плош,і дорівнює частці від ділен­ ня всього врожаю на всю площу. 3 0 ,8 1344 504 X bo X 2) 16,5 • 42,7- = 704,55 (ц) — зібрали з другого поля; 42,7 ok 1) 16,8 ■ 3 0 ,8 = 517,44 (ц) — зібрали з першого поля; 16,8 .o І rg Довжина другої ділянки: 306 - 144 = 162 (км). Швидкість на другий ділянці: 162 : З = 54 (км/год). В і д п о в ід ь : 54 км/год. 1 6 1 2 . Розв’язання. Нехай менше число х , тоді більше число Зх. Середнє арифме­ тичне (л: + Зл:) : 2 = 4д: : 2 = 2 х . За умовою 2 х = 56, звідки л: = 56 : 2 = 28. 28 ■З = 84 — друге число. В і д п о в ід ь : 28 і 84. 1 6 1 3 . Р о з в ’я з а н н я . Нехай менше число дорівнює х , тоді більше — (дг + 4,2). їх се­ реднє арифметичне дорівнює (х + х + 4,2 ) : 2 = (2х + 4,2) : 2. За умовою (2х + 4,2 ) : 2 = 8,6; 2х + 4,2 = 17,2; 2х = 17,2 - 4,2; 2х = 13; X = 6,5; 6,5 + 4,2 = 10,7. В і д п о в ід ь : 6,5 і 10,7. 1 6 1 4 . Розв’язання. 16,5 2135 w .4 + 2562 5 17,4 4 w w 3) 17,6 ■ 42 = 739,2 (ц) — з і­ брали з третього поля; 17,6 X 42 352 ^704 427 704,55 4) 5 17,44 + 704,55 + 739,2 = = 1961,19 (ц) — весь врожай; 5 1 7 ,4 4 + 704,55 739,2 1961,19 739,2 5) 30,8 + 4 2 ,7 -Н 42 = = 115,5 (га) — загальна площа; 30,8 + 42,7 42 115,5 484 Ш М АТЕМ АТИ КА . О . С . Істер 6) 1961,19 : 115,5 = = 16,98 (ц /га) — середня врожайність. В і д п о в ід ь : 16,98 ц /га.
    • Л ^ Л Ъ .Р о з в * я з а н н я , сума чисел = ------- ^ --------------------- . кількість доданків Звідси сума чисел = середнє арифметичне • кількість доданків. ^ ^ С ереднє ари ф м ет и чн е Сума трьох чисел: 2,7 ■З = 8,1. Сума двох чисел: 3,8 • 2 = 7,6. Сума п’яти чисел: 8,1 t- 7,6 = 15,7. Середнє арифметичне: 15,7 : 5 = 3 ,1 4 . 15,7 “ _____ 7 І 3,14 В ід п о в ід ь : Z ,1 A . ----- 1 6 1 6 . Р о з в 'я з а н н я . 1) Спільний вік шести людей: 13 ■6 = 78. 2) Спільний вік п ’яти людей: 14 ■ 5 = 70. 3) Вік дівчинки: 78 - 70 = 8. В і д п о в ід ь : 8 років. rg ok ^ .o Вправи для повторення 12 см 20 ^ w .4 bo Довжина відрізка 12 см. Його — частина: 12 : 6 = 2 см. Відпо2 ® відно — відрізка: 12 : З ■2 = 8 (см). З 1 6 1 8 .1 ) а) л: = 1, 2, З, 4, 5, 6; б) х = 1, 2, 3; в) jc = 1, 2, З, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; г) л: = 1. 2) а) (/ = 1, 2, 3 ; б ) у = 1, 2, З, 4, 5, 6; в) у = 1, 2; г) у = 1, 2, З, 4. 1 6 1 9 . Р о з в ’я з а н н я . За правилом добутку: ЗО • 29 = 870. В і д п о в ід ь : 870 способів. w w § 4 5 . Задачі та п р и к л а д и на всі дм з н а тур а л ь ними ч ис л а ми і де ся т ко в ими д р о б а м и 1 6 2 0 .1 ) 1,8 + 3,1 = 4,9; 2) 0 ,0 5 + 0 ,1 8 = 0,23; 3) 4 ,2 - 1,2 = 3; 4) 100 ■0 ,1 5 = 15; 5) 57 • 0,1 = 5,7; 6) 0 ,7 3 : 0,1 = 7,3. 1 6 2 1 .1 ) 7,8 + 4 ,9 = 12,7; 2) 3,7 + 2,51 = 6,21; 3) 1 - 0 ,6 = 0,4; 4) 2 - 0 ,1 7 = 1,83; 5) 0,001 29 = 0,029; 6) 4,2 : 0 ,7 = 42 : 7 = 6. 1 6 2 2 .1 ) 0 ,5 7 + 1,43 = 2; 2) 4 ,2 7 - 2 ,0 7 = 2,2; 3) 4,1 - 2,01 = 2,09; 4) 8 ■ 1,5 = 12; 5) 60 : 0 ,2 = 300; 6) 739 : 100 = 7,39. 1 6 2 3 .1 ) 8,32 • 10 = 83,2; 2) 117,3 • 100 = 11 730; 3) 1,85 • 1000 = 1850; 4) 3,71 • 0,1 = 0,371; 5) 4,92 ' 0,01 = 0,0492; 6) 125,3 ■0,001 = 0 ,125 3. 1 6 2 4 .1 ) 32,7 : 10 = 3,27; 2) 45 ,1 3 : 100 = 0,4513; 3) 2792 : 1000 = 2,792; 4) 8,3 : 0,1 = 83; 5) 37,3 : 0,01 = 3730; 6) 13,24 : 0,001 = 13 240. М АТЕМ АТИ КА , о. С . Істер Ш 485
    • 1 6 2 5 . 1) 5,18 2) 0 ,8 0 5 3) 5,970 ^ 2 5 ,3 7 "^7,105 "^0,032 30 ,5 5 7 ,9 1 0 6 ,0 0 2 4) 8 ,9 1 0 5) 71,50 1,328 16,0 7 7,18 7,582 55 ,4 3 3 4 ,8 2 4 ,2 7 2) "^37,42 0 ,9 1 3 4,13 3) ^ 8 ,3 9 "^0,9027 41,69 9,3 0 3 4 ,1 7 0 5) 4) 4 2 ,0 0 42 ,7 0 5 ,0 3 2 7 6) 78 ,0 0 ~ 1 7 ,0 8 14,53 4 ,0 4 3 25,62 6 3 ,4 7 4 - 126 42 2,5 5 6 4 0 ,0 0 180 20 ~20 О 7200 225 6 ) 1 5 , 3 17 675 0, 9 153 W О 450 450 О 4 ,8 3) 4 ,0 7 3,5 900 240 н ~28 9 ,0 0 w w 38 2) 0 ,2 5 3 6 6 3 ,0 0 4) 18,3 18 9,15 3 76 144 2 9,50 16,80 То 10 “ о 486 3,75 30 72 5) 72 : 2,25 = 7200 ; 225 = 32; 1 62 8 . 1 ) 12 800 w .4 5,46 4)15 ok 0,13 3 ,6 3) 7 ,0 5 bo 42 2) 1627.1) .o 0,1 2 7 rg 1) 6) Ш М АТЕМ АТИ КА. О . С . Істер
    • 5355 5) 53,55 : 4 ,2 5 = 5355 : 425 = 12,6; 425 6) 4 0 6 ,6 19 38 26 425 1105 21,4 ~ 850 2550 ~2550 100 4) 1 137 10000 ~76 0 1629.1) 5 — 19 76 0 = 17,005; = 5,17; 2) 4 — = 4,3; 3) 1 7 —^ 10 1000 = 1,0137. 3) 0 ,2 3 = 4) 1 0 ,073 = 10 23 100^ k. or g 1 63 0. 1) 2,3 = 2 ^ ; 2) 4 ,0 7 = 4 ^ ^ : 74 1000 1 6 3 1 . 1 ) 4 ,8 9 7 > 4,879; 2) 7,520 = 7,52; 3) 42,57 < 42,572; 4) 9 ,7 5 9 > 9,7 5 8 . 1 6 3 2 . 1) 7,896 > 7,869; 2) 8,01 < 8,1; bo o 3) 47 ,5 3 = 47,530; 4) 4,571 < 4 ,578. 2) Якщо X = 3 ,4 , 1 6 3 3 . 2 ,5д: + 0,37. то 2,5 • 3,4 + 0 ,3 7 = 8 ,8 7 . 1) Якщо X = 1,6, то 2,5 • 1,6 + 0 ,3 7 = 4,37; 2,5 8,5 < 2,5 4 + 0 ,3 7 = 4 ,3 7 . 3,4 *^0,37 J A + 150 w .4 X Too 75 25 4 ,0 0 w 1 6 3 4 . 1 ) (0,573 + 1,96 + w + 35,24) : З = 12,591; 3 7,773 3 0,573 + 1,96 8 ,8 7 8,50 2) (4,82 + 8 9 ,5 9 + 0,462 + + 9,368) : 4 = 26,06. 12,591 35,24 7 37,773 ~6 17 0 ,4 6 2 94,41 89,59 9,368 ^ 9 ,8 3 94,41 "з + 9 ,8 3 0 104,24 4,82 + 104,24 4 8 24 ~15 27 26 ,0 6 24 27 3 24 О 24 О М АТЕМ АТИ КА , о. с. Істер Ш 487
    • 1 6 3 5 . ( 2 0 , 7 6 + 80 ,4 3 + 90,2 4) ; З = 6 3,81. 191,43 20,76 18 + 8 0 ,4 3 63,81 11 9 0,2 4 9 24 191,43 1636. Р о зв’я за н н я . 1) 195 : 2,5 = 1950 : 25 = = 78 (км/год) — швидкість потягу; 2) 78 • 3,6 = 28 0 ,8 (км) — проїде за 3,6 год. 1950 25 — ___ 175 78 24 78 X 3,6 + 468 .o rg 200 234 ~200 .4 bo ok 2 8 0 ,8 0 Відповідь: 28 0 ,8 км. 1637. Р о зв’я за н н я . 8 5 t км Якщо t = 0 ,5 , то 85 • 0,5 = 42,5; якщо t = 0 ,8 , то 85 0 ,8 = 68; якщо t = 1,4 то 85 • 1,4 = 119; якщо ( = З, то 85 ■З = 255. 1638. 27, 3 - а : Ь 1) Якщо а = 33,5; Ь = 2,5, то 27,3 - 3 3,5 : 2,5 = 13,9. 2) Якщо а = 32,16; Ь = 13,4, то 27,3 - 32,1 6 : 13,4 = 24,9. 33,5 2,5 25 13,4 w w 2 7 ,3 ~ 1 3 ,4 13,9 85 w 75 321,6 134 268 2,4 536 27 ,3 ’ 2,4 24 ,9 ~536 100 0 100 0 1 6 3 9 . 1) 12,5 + л: = 37,4; х = 37,4 - 12,5; д: = 24,9; 2 ) у + 13,72 = 18,1; у = 18,1 - 13,72; у = 4,38; 3 ) у - 137,8 = 27,41; у = 27,41 + 137,8; у = 165,21; 4) 17 - J = 12,42; д: = 17 - 12,42; у = 4,5 8. C 18,10 12,42 4,3 8 488 1 7 ,0 0 13,72 4 ,5 8 МАТЕМАТИКА. О. С. Істер
    • 1 6 4 0 . 1) 13,7 + a = 18,4; a = 18,4 - 13,7; a = 4,7; 2) X + 13,42 = 18,9; д: = 18,9 - 13,42; л = 5,48; : 3 ) b - 142,3 = 15,73; b = 15,73 + 142,3; b = 158,03; 4) 14 - г/ = 12,142; у = Ы - 12,142; у = 1,858. 18 ,9 0 1 4 ,000 13,42 12,142 5 ,4 8 1,858 1 6 4 1 .1 ) 0,4 м = 4 дм; 2) 0,2 дм = 2 см < 20 см; 3) 0 ,0 7 м = 7 см; 4) 0 ,0 3 км = 30 м < 300 м. 1 6 4 2 . 1 ) 0,2 т = 0,2 • 10 ц = 2 ц; .o rg 2) 0,3 ц = 0,3 • 100 кг = 30 кг; 30 кг < 31 кг; 3) 0 ,8 т = 0 ,8 • 1000 кг = 800 кг; 8 0 0 кг > 785 кг; 4) 0,0 8 кг = 0 ,0 8 • 1000 г = 80 г. 1643. Р о зв’яза н н я . 2) Швидкість проти течії: 1) Швидкість за течією: 2 5 ,4 - 1,8 = 23,6 (км/год); 25,4 + 1,8 = 27,2 (км/год); 2 3 ,6 2 7 ,2 X X 2,4 ok 1,5 944 1360 472 bo 272 w .4 4 0 ,8 0 (км). Відповідь: 4 0 ,8 км. 5 6 ,6 4 (км). Відповідь: 56,64 км. Р у х о зер о м — це рух у стоячій воді, тому швидкість руху озе­ ром дорівнює власній швидкості катера. 1 6 4 4 . Р о зв'яза н н я. 25 ,5 1) 25,5 • 1,6 = 4 0 ,8 (км) — відстань озером. 2) Швидкість проти течії: 25,5 - 1,7 = 23,8 (км /год). 3) Ш лях річкою: 23.8 ■0 ,8 = 19,04 (км) 4) Весь шлях: 40 .8 + 19,04 = 59,84 (км). Відповідь: 59,84 км. w w І 2 3 ,8 1,6 0 ,8 1530 19,04 255 4 0 ,8 0 6 ,9 2,7 2) (5,7 - 2,3) : 4 = 3 ,4 : 4 = 0,85; 4 ,2 ' 15 3) (5,47 - 4,25) ■ 10 = 1,22 ■ 10 = 12,2; 345 4) (4,47 + 2,7) : 10 = 7,17 : 10 = 0,717; 5) (13,42 - 4,15) ■(1 2 ,3 - 0 ,3 ) = 69 = 9 ,2 7 ■ 12 = 111,24; 6) (2,17 + 4,45) : (12,6 - 12,5) = 6,62 : 0,1 = 66,2. 103,5 1 6 4 5 . 1 ) 15 • (2 ,7 + 4,2 ) = 103,5; с 9 ,2 7 1,2 1854 927 111,24 МАТЕМАТИКА, о . С. Істер Ш 489
    • 1 6 4 6 .1 ) 2) (2,43 + 4,15) ■ 1,7 = 11,186; (12,49 - 3,57) : 0,4 = 8 ,9 2 : 0,4 = 89,2 : 4 = 22,3; 2 ,4 3 6,58 12,49 4,15 1,7 3 ,5 7 6,58 ^ 4606 8 ,9 2 8 9 ,2 22,3 658 11,186 12 12 О 10,1 15,7 ” з ,8 0 8,1 ^ 1 4 ,9 306 17 2,91 " 1,21 0 ,3 7 2 30 ,6 1,7 17 І8 .o 4,17 rg 3) ( 4 , 1 7 - 3,8) ■(10,1 - 8,,1) = 0 ,3 7 ■2 = 0,74; 4) (15,7 + 14,9) : (2,91 - 1,21) = 30 ,6 ; 1,7 = 306 : 17 = 18. 136 ok 136 bo 0 1 6 4 7 . 1 ) 12,:5х = 45 ; X = 45 : 12,5; х =: 450 : 125; х = 3,6; 2) г/ • 4,8 = 60,6; у = 60,6 : 4,8; у = 606 : 48; у = 12,625; = 3) X : 4,7 : 12,3; X = 12,3 • 4,7; х = 57,81; = 4) 12,7 ; у = 0,01 ; у = 12, 7 : 0,01; у = 1270. 450 125 48 w .4 606 375 3,6 '4 8 12,625 750 w w 750 О 96 X 12,3 4,7 861 492 “ ,“ l W ^ 300 288 120 96 240 240 О 1 6 4 8 . 1) 3,7.у = 7,77; у = 7,77 : 3,7: у = 77,7 ; 37; г/ = 2,1; 2) X ■3,48 = 8,7; х = 8 ,7 : 3,48; х = 870 : 348; х = 2,5; 3) у : 5,4 = 13,5; у = 13,5 • 5,4; у = 72,9; 4) 52,54 : х = 3,7; х = 52 ,5 4 : 3,7; х = 525,4 : 37; х = 14,2. 490 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер
    • 37 77,7 74 348 870 696 2,1 52 5,4 37 13,5 X 5,4 2,5 37 1740 37 0 540 1740 0 37 + 14,2 155 675 ~148 72,90 в 74 74 ~0 Я 1649. (a + 42,3) - (15,7 - b). or g Якщо a = 3,7; b = 2,3, t o (3,7 + 42,3) - (15,7 - 2,3) = 46 - 13,4 = 32,6. 1 6 5 0 .Р о зв ’я за н н я . 40% від 360 40% = 0,4; 360 • 0 ,4 = 144 (учні). Відповідь: 144 учні. 1 6 5 1 . 1 ) (120,21 - 37,59) : 34 + 5,43 19 = 105,6; 5 ,4 3 2 ,43 120,21 82 ,62 34 X 3 7 ,5 9 68 8 2 ,6 2 146 136 102 ok . 4887 1 05,60 543 103,17 bo 102 0 103,17 19 2 ,43 w .4 2) (8,57 + 9,5 8 5 : 4,5) • І 3,8 - 42,7 : 4 = 29,985; ~90 45 8 ,5 7 10,7 2,13 95,85 2,13 3 ,8 10,675 T 9 ,9 8 5 24 ЗО 4 0 ,6 6 28 20 w 135 1 0,6 75 27 "^321 w 45 4 856 10,70 58 4 0 ,6 6 0 42,7 ’ і3 5 20 О О 18 = 32,785; 1 6 5 2 . 1) (5,02 - 3,89) ■29 + 0 ,2 7 5,02 'з , 89 1,13 1,13 < 29 18 0 ,2 7 18 32,770 0 ,0 1 5 1017 90 226 0 ,0 1 5 90 32,7 7 32,785 О МАТЕМАТИКА, о . С. Істер Ш 491
    • 2) (32,526 : 3,9 + 2,26) • 5,4 - 4 7 ,2 ■0,5 = 33,64; 325,26 39 8,34 312 132 2,26 8 ,3 4 10,6 23,6 2 3 ,6 0 424 117 156 57 ,24 ^ 0,5 1 0 ,6 0 4 7 ,2 33,64 530 57 ,2 4 ' і 56 О 1 9 ,4 0 2) 1 65 3. 1) 19,4 0 3 )_ 2 4 ,1 2 "^4,72 ~ 4,72 ~ 1 4 ,6 8 24,12 14,68 9 ,44 rg В ідп овідь: на 9,44. 1 6 55 . Р озв'я за н н я . 32 4 ,7 5 (кг) 2) 3 3 ,6 32 32 1,05 (кг) 3) 4,75 "^1,05 ok 152 128 1) .o 1 6 5 4 .2 5 ,3 дм + 13,7 см + 15 мм = 253 см + 13,7 см 1,5 см = = 268,2 см. 160 224 5 ,8 0 (кг) 160 160 160 bo _240 О w .4 О В ідп овідь: 5,8 кг. 1 6 5 6 . Р о зв ’я за н н я . w w 1) 1785 т : 420 га = 4,25 т/га = = 42,5 ц /га — фактична врожайність; 2) 42,5 ц - 35 ц = 7,5 ц — різниця. В ідп овідь: на 7,5 ц. 1657. Р о зв ’я за н н я . 1785 420 1680 4,25 1050 840 2100 2100 О ^ П о в е р х н я куба складається з 6 квадратів зі стороною 1,5 см. S = 6 • 1,52 = б • 2,25 = 13,5 (см2). 4.7 < 4.7 В ідп овідь: 13,5 см^. 1658. Р о зв ’я за н н я . 1) S = 4,72 = 22 ,0 9 (дм2); 2) Р = 4 • 4 ,6 = 18,8 (дм). В ідп овідь: 22,0 9 дм^; 18,8 дм. 492 ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер + 188 2 2 ,0 9
    • 1 6 5 9 .0 ,5 1 ; 0,431; 0,423; 0,372; 0,307; 0,279; 0,2 7. 1 6 6 0 .4 ,2 2 2 ; 4,23; 4,232; 4,32; 4,323; 4 3 ,2 . 1661 .Р о зв 'я за н н я . rg 1) 15,3 : З = 5,1 (м) — довжина першої частини; 2) 5,1 - 1,8 = 3,3 (м) — довжина другої частини; 3) 15,3 - (5,1 + 3,3) = (15,3 - 3,3) - 5,1 = 12 - 5,1 = 6 ,9 (м) — довжина третьої частини. В ідп овідь: 5,1 м; 3,3 м; 6,9 м. 23 4,9 26,1 1662. Р о з в ’я зан н я . 1) 2 3 4 ,9 : 9 • 4 = 104,4 (км) — 18 26,1 за перший день; 104,4 2) 104,4 - 8,3 = 96,1 (км) — за другий день; 54 3) 234 ,9 - (104,4 + 96,1) = = 23 4,9 - 200,5 = 34,4 (км) — третього дня. 9 В ідп овідь: 104,4 км; 96,1 км; 3 4 ,4 км. “ о ok 205 : 82 = 2,5 (год) — час руху на першій частині ш ляху; 471 - 205 = 266 (км) — довжина другої частини: 266 : 76 = 3,5 (год) — час руху на другій частині ш ляху; 2,5 + 3,5 = 6 (год) — час руху. 266 76 205 82 164 2,5 ~228 bo 1) 2) 3) 4) .o 16 6 3 . Р о з в ’я зан н я . 3 ,5 380 410 w w w .4 ~410 380 0 0 В ідповідь: 6 год. 1664. Р о зв’я за н н я . 1) 15,4 - 5,3 • 2 = 15,4 - 10,6 = 4 ,8 (см). Відповідь: 4 ,8 см. 1665. Р о зв’я за н н я . 1) 4,2 • 1,5 = 6,3 (дм) — бічна сторона; 2 ) Р = 4 ,2 + 6,3 ■2 = 4 ,2 + 12,6 = 16,8 (дм). Відповідь: 16,8 дм. 1 6 6 6 . 1) (8 8 ,5 7 + 66,87) : 29 - 0 ,2 7 18 = 0 ,5 . 88,57 ^ 6 6 ,8 7 155,44 1 5 5,44 29 145 104 87 174 5,36 0 ,2 7 5 ,36 ^ 18 4 ,8 6 216 0 ,5 0 h 27 4,86 174 О МАТЕМАТИКА, о . С. Істер Ш 493
    • 2) 2 0 ,8 : (12 - 11,36) - 8 : 12,5 + 4 ,7 ■5,2 = 56,3. 12,00 4,7 800 125 32,50 2080 64 11,36 750 0 ,6 4 '5 ,2 0 ,6 4 192 32,5 0 ,6 4 94 О 160 31,86 ^ 2 4 ,4 4 31,86 56,30 235 128 24,4 4 320 320 О 1 6 6 7 . 1) (1,37 + 4,86) • 17 - 556,89 X 6 ,23 17 ’ 38 29,31 176 623 171 105,91 ~ 29,31 76,60 .o ^ 4 ^ 6,23 105,91 5 5 6,89 19 rg 1,37 4,8 6 19 = 76,6. ok _58 57 bo 19 w .4 19 2) (3,81 59,427 594,27 93 ~558 9,3) • 7,6 - 10,2 ■4,7 = 0,6 24 . 6 ,3 9 X 7,6 6 ,39 3834 w w 362 10,2 48 ,564 4 ,7 4 7 ,9 4 0 714 < 0 ,624 279 4473 408 _837 4 8 ,5 6 4 4 7 ,9 4 ~837 О 72 81 '72 1,125 90 72 1 6 6 8 . 1 ) 8,1 + 7,2 = 15,3; 2) 8,1 : 7,2 = 1,125; 3 ) 1 5 ,3 0 0 1,125 4,175 Відповідь: на 4 ,175. 494 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер 'і4 4 360 ~360 О
    • 2) 2,5 - b. Якщо a = 3,6; b = 1,117, T O 3 ,6 • 2,5 - 1,117 = 7,883. 3 ,6 9, О О О 1 67 0 . 1 3 ,7 - 2,5 = 1,2; 1669.1) 3,7 3) 9 ,2 5 2,5 1,2 І8 5 8 ,0 5 X 2,5 ~ 1 ,1 1 7 74 180 7 ,8 8 3 9 ,2 5 72 В ідп овідь: на 8 ,0 5 . 9 ,0 0 1 6 7 1 . 1 ) 4 і 5; 2) 6 і 7; 3) 1 і 2; 4) 101 і 102. 1 6 7 2 . 1) 25 ,1 7 = 25; 37 ,8 9 = 38; 1 2) 37,8|93 = 37,9; 4 2 ,0 jl2 = 42,0; ^ А 0,7 О 0,2 1675. , 'О К 0,6 1 м 0,3 С 16 7 6 . Р о з в ’я зан н я . В Е 1,3 1,9 ok ' N 1 Р L 1,4 1,8 2 bo 1 67 4 . , .o 3) 108,11|2 = 108,11; 213,99|5 = 2 14,00. 1 6 7 3 . 1) 25,372 = 25; 37,51 = 38; 2) 13,1І85 = 13,2; 14,0|02 = 14,0; 3) 15,89|4 = 15,89; 17,37|7 = 17,38. rg Зверніть увагу! Нуль у розряді, до якого округляємо, не відкидаємо! 3 ,4 X 2,7 w .4 40% = 0,4; 720 кг • 0,4 = 288 (кг). В ідп овідь: 288 кг. 1677.2,7л: - 0 ,0 5 х + 0,75л: = (2 ,7 - 0 ,0 5 + 0,75)л: = 3,4л:. Якщо X = 2,7, то 3,4 ■ 2,7 = 9,18. 68 1678. Р о зв ’я зан н я . 9,18 w w 1) 10,8 см : 4 • З = 2,7 см • З = 8,1 см — бічна сторона; 2 ) Р = 10,8 + 2 • 8,1 = 10,8 + 16,2 = 27 (см). В ідп овідь: 27 см. 5.4 1 6 7 9 . 1) 2,7а ■2 = (2 ,7 ■ 2)а = 5,4а. < Якщо а = 3 ,5 , то 5,4 • 3,5 = 18,9. 3.5 2) 3,2л: • 5у = (3,2 • 5 )ху = І& ху. Якщо л: = 0,1; у = 1,7, то 16 • 0,1 ■ 1,7 = 2,72. 162 Під час сп р о щ е н н я в и р а з ів використовують | такі властивості множення: 18,90 переставну аЬ = Ьа; сполучну {аЬ)с = (аЬ)с; розподільну (а + Ь)с = аЬ + ас. 1 6 8 0 .1 ) F = 1,2 - 5 1,8 = 10,8 (см^); 1,2 • 5 = 6; 1,8 • 6 = 10,8; 2) 1,2 дм = 12 см; 23 мм = 2,3 см; F = 12 • З • 2,3 = 36 • 2,3 = 8 ,2 8 (см^). МАТЕМАТИКА. О. С. Істер Ш 1,6 ' і,7 112 16 2,72 36 X 2,3 + 108 72 8 2 ,8 495
    • 1 6 8 1 . 1 ) 7314 кг = 7,314 т; 2) 2 т 511 кг = 2,511 т; 3) 3 ц 12 кг = 312 кг = 0,3 1 2 т; 4) 18 кг = 0,0 1 8 т. 1 6 8 2 . 1 ) 527 см = 5,27 м; 2) 12 дм = 1,2 м; 3) 3 м 5 дм = 3,5 м; 4) 5 м 4 см = 5,04 м. 1 6 8 3 . 1 ) 110 : 57 = 1,9298... = 2; 2) 18 : 7 = 2,571... = 2,6; 3) 15,2 ; 0 ,7 = 152 : 7 = 21,714... = 21,72; 4) 14 : 5,1 = 140 : 51 = 2,7450... = 2,7 4 5 . 57 7 110 18 152 57 530 1,19298... 35 50 513 7 7 51 2 ,7 4 5 0 ... w .4 357 230 49 10 bo ’ Ю2 380 rg 49 10 204 260 w w ~255 50 1 6 8 4 . 1) 120 : 37 = 3,24... = 3,2; 2) 5,2 : 0 ,1 7 = 520 : 7 = = 30,588... = 30,5 9 . 2 1 ,714... 7 50 7 30 ok 114 560 140 14 12 2 ,5 7 1 ... .o 513 170 14 40 28 17 520 120 37 111 3 ,2 4 ... 51 3 0 ,5 8 8 ... 100 85 150 90 ’ 74 136 140 Т бо 148 ~136 4 120 1685. Р озв’я за н н я . 1) 45,4 • 15 = 681 (т) — всі добрива; 2) 681 : 25 = 27 ,2 4 (т). Відповідь: 27 ,2 4 т. 4 5 ,4 681 25 15 < 50 181 27,24 2270 454 681 ,0 ~ 175 60 ~50 100 100 О 496 Щ МАТЕМАТИКА. О. С. Істер
    • Головний ключ до розв’язання задач на проценти: один про­ цент — це одна сота частина якогось числа. Якого числа? Того, про яке йде мова в завданні. Якщо говориться про відстань, то 1 % — це одна сота відстані, якщо про площу — то одна сота площ і. Зрозуміло, що саме число завжди становить 100% . Основні задачі 1. Процент від числа. 2. Число за його процентом. Знайдемо З % від 65. Знайдем о число, 15% якого Перший крок: становить 45. 3% = 0 ,0 3 . Перший крок: Другий крок: 15% = 0 ,1 5 . 65 • 0,03 = 1,95. Другий крок; 45 : 0 ,1 5 = 4500 : 15 = 300. .o rg 1 6 8 6 . Р о зв’я за н н я . 1) 80% = 0,8; 15 ■0,8 = 12 (см) — третя сторона; 2) Р = 15 см + 12 см = 27 см. Відповідь: 27 см. ok Л 68 7. Р о зв’я за н н я . ^ 1 4 ,4 -------432 + 432 Ю8 155,52 w .4 bo 1)75% = - ; ^ 14,4 : 4 • З = 3,6 ■ = 10,8 (см) — друга сторона; З 2) Р = 2 • (14,4 + 10,8) = 2 • 25,2 = 50,4 (см); 3) S = 14,4 • 10,8 = 155,52 (см^). Відповідь: 155,52 см^; 50,4 см. 1 0,8 1688. Р о зв ’я за н н я . w w 1) 36 : 9 • 2 = 8 (см) — перша сторона; 2) 40% = 0,4; 36 • 0,4 = 14,4 (см) — друга сторона; 3) 36 - (8 + 14,4) = 36 - 22,4 = 13,6 (см) — третя сторона. В ідп овідь: 8 см; 14,4 см; 13,6 см. А6 8 9 . Р о зв ’я за н н я . х 1) 16 : 8 • З = 6 (дм) — ширина; 2) 70% = 0,7; 6 • 0 ,7 = 4,2 (дм) — висота; 3) F = 16 • 6 ■4,2 = 96 ■4,2 = 403 ,2 (дм^). В ідп овідь: 4 0 3 ,2 дм'*. 4 ,2 + ^^4 403,2 1 6 9 0 . Р о зв’я за н н я . 4 ,2 7 + 4 ,2 7 ■ 10 + 4,27 • 100 = 4 ,2 7 + 4 2 ,7 + 427 = 473,97. 4,2 7 "^42,7 4 6 ,9 7 "^427 4 6 ,9 7 4 7 3 ,9 7 В ідповідь: 4 7 3 ,9 7 . МАТЕМАТИКА, о . С. Істер Ш 497
    • 1691 .Р о з в ’я зан н я . 1) 16 : 2 • З = 2) 40% = 0,4; ширина; 3) F = 16 ■24 В ідп овідь: 15 X 24 ( c m ) — довжина; 16 : 0,4 = 160 : 4 = 40 (см) — + 24 64 X 1) 60% = 0,6; 8,5 • 0,6 = 5,1 (см) — друга сторона; 2) Р = 2 • (8,5 + 5,1) =2 ■ 13,6 = 27,2 (см); 3) S = 8,5 • 5,1 = 43 ,3 5 (см"). В ідп овідь: 27,2 см; 4 3 ,3 5 см". 8,5 8,5 0 ,6 5,1 85 ~5Д0 425 4 3 ,3 5 450 25 119 34 25 102 3,5 18 rg Р о з в ’я за н н я . З Ї7 0 200 ^ 170 .o 1) 96 : 6 = 16 (дет.) — виготовляє 1-й робітник за годину; 2) 45 : 2,5 = 18 (дет.) — виготовляє 2-й робітник за годину; 3) 16 + 18 = 34 (дет.) — виготовляють за годину робітники, працюючи разом; 4) 119 : 34 = 3,5 (год). В ідп овідь: 3,5 год. 13,8 3 1 6 9 4 . 1 ) 56,25 5 12 О _ 9 ,4 8 4 ,6 (грн.) bo 11,25 (грн.) 6 О ok 5 18 ~ 10 25 14 0 4 ,7 (грн.) 14 18 w .4 5 12 40 15360 32 384 • 40 = 15 360 (см=*). 360 см^ 1GQ2. Р о з в ’я зан н я . 1 384 16 “ ~0 25 О w w І Залежно від фасування 1 кг продукту має різну ціну. Вигідні­ ше купити ту упаковку, для якої ціна за 1 кг менша. 4,6 грн. — найменша ціна. Відповідь: З кг. 2) 32,8 4 ~32 8 ,2 (грн.) 2 5,5 3 24 8 ,5 (грн.) 2,5 21,5 ~200 8 ,6 (грн.) 8 15 150 8 15 150 0 0 8,2 грн. — найменша ціна. Відповідь: 4 кг. 498 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер 0
    • 28 ,7 5 : 0 ,5 = 28 7 ,5 : 5 = 57,5 грн.; 287,5 15 : 0 ,2 5 = 1500 : 25 = 60 (грн.); “ з5 57,5 12.5 ; 0,2 = 125 : 2 = 62,5 (грн.); _____ 6.5 : 0,1 = 65 (грн.). 37 57.5 грн. — найменша ціна. 35 Відповідь: 0,5 кг. 25 Щ 2) 11,2 : 1 = 11,2 (грн.); _25 9 ,2 8 : 0 ,8 = 9 2 ,8 : 8 = 11,6 (грн.); 25 150 60 -----^ ^ 9 : 0 ,7 5 = 900 ; 75 = 12 (грн.); 6.2 : 0,5 = 12,4 (грн.). 11.2 грн. — найменша ціна. В ідп овідь: 1 л. 1 6 9 6 .1 ) Туристи за два дні пройшли 24,5 км. Першого дня вони 2 пройшли — усього ш ляху. Скільки кілометрів проходили ту5 ристи кожного дня? rg 1695.1) .o Р о зв ’я зан н я . ok 1) 24,5 : 5 • 2 = 4 ,9 • 2 = 9,8 (км) — першого дня; 2) 24,5 - 9,8 = 14,7 (км) — другого дня. В ідп овідь: 9 ,8 км; 14,7 км. 2) Купили зош ити і ручки. За ручки заплатили 4 ,8 грн., що Р о зв ’я зан н я . bo становить — від усієї покупки. Скільки заплатили за зошити 8 і за всю покупку? w .4 1) 4,8 : З • 8 = 1,6 ■8 = 12,8 (грн.) — вся покупка; 2) 12,8 ~ 4,8 = 8 (грн.) — зошити. В ідп овідь: 8 грн.; 12,8 грн. w w 3) Для подарунків купили 12,5 кг печива і цукерки. Цукерок 2 купили — від усієї покупки. Скільки важать цукерки і вся по4 купка? Р о зв ’я за н н я . 4 Уся покупка — це одиниця, або —. Тоді печиво становить 3 1 ^ 1 — = —. Вага всієї покупки: 12,5 • 4 = 50 (кг). 4 4 Вага цукерок: 50 - 12,5 = 37,5 (кг). В ідп овідь: 50 кг; 3 7 ,5 кг. 1 6 9 7 .1 ) За три дні кіоск продав 111,6 кг полуниці. Першого дня 1 4 продали — полуниці, другого д н я , решту продали третьо9 9 го дня. Скільки кілограмів полуниці продавали кожного дня? 499
    • Р озв’я за н н я . 1) 111,6 : 9 = 12,4 (кг) — 1-го дня; 2) 12,4 ■4 = 4 9 ,6 (кг) — 2-го дня; 3) 111,6 - (12,4 + 49,6) = 111,6 - 62 = 4 9 ,6 (кг) — третього дня. Відповідь: 12,4 кг; 49,6 кг; 4 9 ,6 кг. 2) Дві бригади ремонтували ділянку дороги. Перша бригада від2 ремонтувала — ділянки, а друга — решту 7,47 км. Яка довжина 5 ділянки? Скільки кілометрів відремонтувала перша бригада? Р о зв’я за н н я . 2 5 2 3 частина, відремонтована другою бригадою; 1)1 — = ------- = 5 5 5 5 2) 7,47 : З• 5 = 12,45 (км) — довжина ділянки; 6 14 rg 2,49 7,4 7 2,49 .o 12,45 12 _27 ok 27 О 12,45 - 7,47 = 4 ,9 8 (км) — перша бригада. bo 3) < w .4 Відповідь: 12,45 км; 4 ,9 8 км. 1698. Р о зв’я за н н я . 1) Fj = 2,5" = 15,625 (см^); 6 ,2 5 2.5 4 ,9 8 2) F„ = 3,5=* = 4 2 ,8 7 5 (см^); 12,25 3.5 < X 3,5 3.5 X 2,5 w w 2.5 ТТ5 3125 50 3675 12,25 42,875 Відповідь: на 27,2 5 см^. 1 6 9 9 . 1 ) (2 ,7 2 -І-3 ,8 2 ) - І ^ . І І З 2,72 3,82 З = 3,54; 1 - - н і і = 2 - = 3; 6,54 - 3 = 3 ,5 4 . 3 3 3 6,54 500 6125 105 1250 6 ,2 5 1 5 ,625 3) 4 2,875 - 15,625 = 27,25 (см=>). -ь 12,45 ~ 7 ,4 7 Ш МАТЕМАТИКА. О. с . істер
    • 2) (18,93 - 9,83) 10 = 9,1 ■ 10 = 91. 1700. Р о зв’я за н н я . X 1) Першим до селища В прибув другий велосипедист, оскільки його швидкість більша. За 3,5 год він проїхав: 18,4 • 3,5 = 64,4 (км). Отже, відстань м іж селищами 64,4 км. 15,6 2) За цей час перший велосипедист проїхав: X 15,6 • 3,5 = 54,6 (км). 3) 64,4 - 54,6 = 9,8 (км) — залишилось. Відповідь: 9,8 км. 18,4 3,5 552 6 4 ,4 0 Ш 3,5 > .< У ^ 780 468 54 ,6 0 156 2,5 rg 390 ’ 312 7600 95 760 80 .o О 780 780 О ok Л70Л .Р о зв ’я за н н я . 1) 95% = 0,95; 76 ; 0,95 = 80 (км) — швидкість другого; 2) 76 + 80 = 156 (км/год) — швидкість віддалення; 3) 390 : 156 = 2,5 (год). Відповідь: через 2,5 год. bo Для спрощ ення рівняння використовуємо розподільну вла­ стивість множення: (а + Ь)с = ас + Ьс. w .4 1 7 0 2 . 1) 1,1 7 х + 0 ,3 2 х = 3,725; w w (1,17 + 0 ,3 2 )х = 3,725; 1,49х = 3,725; х = 3,725 : 1,49; X = 372,5 : 149; X = 2,5; 298 745 2,5 4 3 ,4 35 35 _84 745 О 2) 4 ,7 х - 1 ,2 х = 4,34; (4,7 - 1,2)х = 4,34; 3,5 х = 4,34; X = 4,34 : 3,5; X = 43,4 : 35; X = 1,24; 3) 2,47х - 1 ,3 2 х + 1,3 = 4,221; (2,47 - 1,3 2 )х + 1,3 = 4,221; 1,15х + 1,3 = 4,221; 1,15х = 4,221 - 1,3; 1,15х = 2,921; X = 2,921 : 1,15; X = 292,1 ; 115; х = 2,54; І 372,5 149 1,24 70 140 104 О 4,221 1,300 2,921 292,1 115 '2 3 0 2,54 _621 575 _460 460 О
    • 104,55 41 4) l ,4 x + 2,7л: - 8,1 1 3 = 2,342; (1,4 + 2,7)x - 8 ,1 1 3 = 2,342; 4 ,ї х = 2,342 + 8,113; 4 ,l x = 10,455; X = 10,455 : 4,1; x = 1 0 4 ,5 5 : 41; x = 2,55. 2,55 _^25 205 205 205 0 4 ,1 3 x - 0 ,1 7 x = 9,9; (4,13 - 0 ,1 7 )x = 9,9; 3 ,9 6 x = 9,9; X = 9,9 : 3,96; x = 990 : 396; x = 2,5; 2) 5 ,3 x + 4 ,8 x - 5,13 = 43,35; (5,3 + 4 ,8 )x - 5,13 = 43,35; 1 0 ,Ix - 5,13 = 43,35; 1 0 ,I x = 43 ,3 5 + 5,13; 1 0 ,lx = 48,48; X = 48 ,48 : 10,1; x = 4 8 4 ,8 : 101; x = 4,8. 1703.1) 404 4 ,8 808 808 0 1704. Р о зв ’я зан н я . rg 792 2,5 1980 1980 0 4 8 4 ,8 101 .o + 43 ,3 5 5,13 4 8 ,4 8 396 ok 990 Градусна міра розгорнутого кута — 180°. w .4 bo 1) 180° : 9 • 4 = 80° — перший кут; 2) 80° : 5 • З = 48° — другий кут; 3) 180° - (80° + 48°) = 52° — третій кут. В ідп овідь: 80°; 48°; 52°. 1 70 5. 1) Сума двох чисел дорівнює 13,7. Перше число становить 32% від суми. Знайди ці числа. Р о зв ’я зан н я. 13,7 13,700 0 ,32 4 ,3 8 4 274 9,316 w w 1) 32% = 0,32; 411 13,7 • 0,32 = 4 ,3 8 4 — перше число; 2) 13,7 - 4 ,3 8 4 = 9,3 16 — друге число. ’ В ідп овідь: 4,384; 9,316. 2) За зошити заплатили 11,4 грн., ш;о становить 25% від усієї покупки. Скільки коштує покупка, яка складається із зошитів та олівців, і скільки коштують олівці? Р о зв'я зан н я . 1)25 % = і ; 11,4 • 4 = 45,6: (гри.) — коштує вся покупка; 4 2) 45,6 - 11,4 = 34,2 (грн.) — коштують олівці. В ідповідь: 4 5 ,6 грн.; 34,2 грн. 3) Учасник святкового марафону пробіг за першу годину 15,75 км, а за другу — 37% дистанції. Яка довжина дистанції, скільки кілометрів пробіг марафонець за другу годину? 502 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер
    • 3,5 + 840 315 135 135 .o 81 rg Р о зв’я за н н я . 1575 63 1) 100% - 37% = 63% — частина, яку спортсмен 126 25 пробіг за першу годину; 2) 63% = 0,63; 15,75 ■0 ,6 3 = 1575 : 63 = 25 (км); 315 3) 25 - 15,75 = 9 ,2 5 (км). 315 Відповідь: 25 км; 9 ,2 5 км. 1706. Див. № 1705. О 2) (4,7 + X ) : 3,8 = 10,5; 1 7 0 7 . 1 ) 2 ,7 (х - 4,7 ) = 9,45; 4 ,7 + X = 10,5 • 3,8; X - 4 ,7 = 9,45 : 2,7; X + 4 ,7 = 39,9; X - 4 ,7 = 94,5 X = 39,9 - 4,7; X - 4,7 = 3,5; X = 35,2. X = 3,5 + 4,7; X = 8,2; 10,5 X _ 9 4 ,5 27 3 ,8 39 ,9 0 w .4 bo ok О 3) 2,4 - (X : З - 5) = 0,8; X : З- 5 = 2,4 - 0,8; X : З- 5 = 1,6; X : З= 1,6 + 5; 6 ,6 X : 3 = 6,6; X = 6,6 • 3; 1 9,8 X = 19,8; 4) 2,45 : (2х - 1,4) = 3,5; 2х - 1,4 = 2,45 : 3,5; 2х - 1,4 = 24,5 : 35; 2х - 1,4 = 0,7; 2х = 0 ,7 + 1,4; 2 4,5 35 2х = 2,1; 245 0 ,7 X = 2,1 ; 2; О X = 1,05. w w 25 210 1 7 0 8 .1 ) 21 : (4х + 1,6) = 2,5; 4х + 1,6 = 21 : 2,5; 200 8 ,4 4х + 1,6 = 8,4; 100 4х = 8,4 - 1,6; 4х = 6,8; 100 X = 6,8 : 4; о X = 1,4; 2) 3,7 - ( X : 2 + 1,5) = 0,8; х : 2 + 1,5 = 3,7 - 0,8; X : 2 + 1,5 = 2,9; х : 2 = 2,9 - 1,5; х ; 2 = 1,4; х = 1,4 ■ X = 2,8. 1 7 0 9 . Р о зв'я зан н я . 1) 1,2 • 2,5 = З (кг) — маса міді; 2) 2,5 ■8 = 20 (м) — довжина латунного дроту; 3) 20 ■0,2 = 4 (кг) — маса латуні; 4) З + 4 = 7 (кг) — маса сплаву; 5) 7 - 6,4 = 0 ,6 (кг) — залишилось. В ідп овідь: 0 ,6 кг. 6 ,8 4 1,7 28 28 О 2; МАТЕМАТИКА. О. С. Істер Ш < h 2,5 1,2 25 " з^ 503
    • 171 о . Розв’язання. 1) 13,6 ■ = 34 (грн.) — коштує печиво; 2,5 1) 13,6 ■ = 20,4 (грн.) — ціна цукерок 1,5 3) 20,4 •1,6 = 32 ,6 4 (грн.) — коштують цукерки; 4) 34 + 32,64 = 6 6 ,6 4 (грн.) — коштує вся покупка; і ш X 13,6 2,5 680 272 X 13,6 X 1,5 2 0 ,4 1,6 1224 ^ 680 204 146 1711. 1) 3,5 4 2 7 7 2) 15 ,3 8 0 5 1712. 1) 7 ,5433 11,3782 2) 2 3 ,9 4 1 9 .o 2,33254 rg 3 4 ,0 0 2 0 ,4 0 32 ,6 4 Відповідь: 33,36 грн. 13,4562 5 ,2089 w w w .4 bo ok 8 ,2 4 7 3 5,87531 7 ,8 3 7 2 35,3201 1 7 1 3 . Розв’язання. (2,1 + 3,2 + л:) : З = 5,2; (5,3 + х ) : З = 5,2; 5,3 + х = 5,2 • 3; 5,3 + л: = 15,6; л: = 15,6 - 5,3; д; = 10,3. Відповідь: 10,3. 1 7 1 4 . Р озв’я за н н я . (3 ,6 + (3,6 + 0,2 ) + (3,6 + 0,4) + (3,6 + 0,6)) : 4 = = (3,6 + 3,8 + 4 + 4,2 ) : 4 = (7,6 + 8) : 4 = 15,6 : 4 3,9. Відповідь: 3,9. 115 46 1 7 1 5 . Р озв’я за н н я . ~ 92 2,5 1) Швидкість віддалення; 72,4 - 6 7 ,8 = 4 ,6 (км/год); 230 2) 11,5 : 4,6 = 115 : 46 = 2,5 (год). 230 Відповідь: 2,5 год. 1 7 1 6 . Р озв’я за н н я . 0 Ціна товару 120 грн. — це 100% . Тоді на 1% припадає: 120 грн. : 100 = 1,2 грн. 1) 1,2 грн. • 15 = 18 грн. - 15% ; 120 + 18 = 138 (грн.). Відповідь: 138 грн. 2) 1,2 ■ 10 = 12 (грн.); 120 - 12 = 108 (грн.). Відповідь: 108 грн. 3) 1,2 - 5 = 6 (грн.) — збільшення ціни; 120 + 6 = 126 (грн.) — нова ціна. Тепер за 100% беремо 126 грн. 20 % = - ; 126 : 5 = 25,2 (грн.) — 20% від нової ціни. 5 126 грн. - 25,2 грн. = 100,8 грн. Відповідь: 100,8 грн. 504 ш МАТЕМАТИКА. О. с . істер
    • д: 3,4 = 9,18; x = 9 ,18 : 3,4; л: = 9 1 ,8 : 34; х = 2,7; 2) 9 ,1 8 + т = 11,74; т = 11,74 - 9,18; т = 2,56; 3) 11,74 : у = 2-,у = 11,74 : 2; у = 5,87; 4) 2 ,7 - р = 2; р = 2,7 - 2 = 0,7. 1717.1) Щоб знайти середню ш ви д к іс т ь , треба всю про­ йдену відстань поділити на час руху. 1 7 1 8 . Р о зв’яза н н я . 1) 170,4 ■0 ,4 5 = 2) 170,4 + 76,68 3) U = 2 47,08 : Відповідь: 82 ,3 6 918 34 ’б8 2,7 238 238 О І 0 ,4 5 ^ 8520 76,68 (км) — за третю годину; = 2 4 7,0 8 (км) — весь шлях; З = 8 2 ,3 6 (км /год). км /год. 1 7 1 9 . Р о зв’я за н н я . 1) 210,5 • 0,6 = 126,3 (км) — за 2 години; 2) 210,5 + 126,3 = 33 6 ,8 (км) — весь шлях; 3) З + 2 = 5 (год) — весь час; 4) = 33 6 ,8 : 5 = 6 7 ,3 6 (км /год). Відповідь: 67 ,3 6 км/год. 6816 76,680 210,5 3 3 6 ,8 k. or g X 17 0 ,4 X 126,30 w .4 2 7,4 3 : 4 = 20,55; 82,2 w 2 7 ,4 w 8 15 82,2 22 X 8 .4 8 .4 ЗО 336 О 672 70,56 2) 3,17 X 20 ,5 5 3 ,17 6 6 : 5 = 3 ,804. 19,02 15 19 ,02 3 ,8 0 4 40 40 20 20 36 18 1) Периметр трикутника і квадрата: Р = 1 1 ,2 ■З = 3 3 ,6 (см). 2) Сторона квадрата: 3 3 ,6 : 4 = 8 ,4 (см). 3) S = 8,42 = 70,56 (см^). Відповідь: 8,4 см; 70,56 см^. 1721.1) 6 7 ,3 6 35 bo o 1720. Р о зв’я за н н я . ЗО 0 ,6 “ 20 20 20 “ о О 3 7 ,6 1722. Р озв’я за н н я . 1) 37,6 : 4 • З = 9,4 • З = 2 8 ,2 — друге число; 2) (37,6 + 28,2) : 2 = 3 2,9 — третє число; 3) 37,6 + 28,2 + 3 2 ,9 = 9 8,7 . Відповідь: 9 8 ,7 . МАТЕМАТИКА, о . С. Істер Ш -2 8 ,2 3 2,9 98 ,7 505
    • 41,3 165,2 8,5 22,75 31,25 X 83,7 330 502,2 bo 82,5 ok .o rg 231 1 7 2 3 . Р о зв’яза н н я . 1) 231 : 6 = 38,5 (км/год) — швидкість 18 38,5 проти течії; 2) 38,5 + 1,4 = 3 9 ,9 (км/год) — власна швидкість човна; 48 3) 3 9 ,9 + 1,4 = 4 1 ,3 (км/год) — швид— кість за течією; 4) 41,3 ■ 4 = 165,2 (км) — ш лях за те­ ЗО чією. ~ О Відповідь: 165,2 км. 1 7 2 4 . Р о зв’я за н н я . 9,1 X 1) 4,2 : 6 • 7 = 4 ,9 (км /год) — швидкість 2,5 другого пішохода; ^55 2) 4,2 + 4 ,9 = 9,1 (к м /год) — швидкість віддалення; 182 3) 8,5 + 9 , 1 - 2 , 5 = 8,5 + 22 ,7 5 = 22,75 = 31,25 (км) — відстань м іж пішоходами. Відповідь: 31,25 км. 1 7 2 5 . Р о зв’я за н н я . 1) 82,5 • 4 + 8 3 ,7 • 6 = 83 2 ,2 (км) — весь шлях; w w w .4 3 3 0 ,0 502,2 832,2 2) 4 + 6 = 10 (год) — час руху; 3) 832,2 : 10 = 83,2 2 (км /год) — середня швидкість. Відповідь: 83,22 км/год. 1 7 2 6 . Р о зв’я за н н я . Нехай Малюк з ’їв х кг варення, тоді Карлсон з ’їв у З рази біль­ ше, тобто Зл: кг. Разом вони з ’їли х + Зл: = 4л: кг варення, що за умовою дорівнює 3,6 кг. Розв’яжемо рівняння: 4 х = 3,6; х = 3,6 : 4; х = 0,9. Отже, Малюк з ’їв 0 ,9 кг варення, а Карлсон 0 ,9 ■З = 2,7 кг. Відповідь: 0 ,9 кг; 2,7 кг. 1 7 2 7 . Р о зв’я за н н я . I авто — ( 0 ,6 + д:) т ) 4 ,8 т II авто — X т + 0,6 + х = 4,8; 2 х + 0,6 = 4,8; 2 х = 4 ,8 - 0,6; 2 х = 4,2; х = 4,2 : 2; х = 2,1. Отже, на другий автомобіль навантажили 2,1 т, а на перший 2,1 т + 0,6 т = 2,7 т. Відповідь: 2,1 т; 2,7 т. 1 7 2 8 . Р озв’я за н н я . 1) 1001 : 11 • З = 273 (дет.) — виготовив перший; 2) 1001 : 13 • 5 = 77 • 5 = 385 (дет.) — виготовив другий; X 506 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер
    • w .4 bo ok .o rg 3) 1001 - (273 + 385) = 1001 - 658 = 343 (дет.) — виготовив третій; 4) 343 : 7 = 49 (дет.) — виготовляв третій робітник за годину. Відповідь: 49 деталей. 1 7 2 9 . Р озв’я за н н я . Позначимо число х . 10% = 0 ,1 , тому 10% цього числа дорів­ нює О ,їх. Маємо рівняння: х - О ,їх = 48,6; (1 - 0 ,1 )х = 48,6; 0 ,9 х = 48,6; X = 4 8 ,6 : 0,9; х = 486 : 9; х = 54. Відповідь: 54. 1 7 3 0 . Р озв’я за н н я . Позначимо дане число х. 20% = 0 ,2 , тому 20% 744 12 числа дорівнюють 0 ,2 х . >2 Маємо рівняння: 62 X + 0 ,2 х = 74,4; (1 + 0 ,2 )х = 74,4; 1,2 х = 74,4; х = 74,4 : 1,2; ~24 X = 744 ; 12; х = 62. Відповідь: 62. 0 1731 .Р озв ’язання. Оскільки сума двох чисел дорівнює 4 ,7 , то якщо перше число X , тоді друге дорівнює 4 ,7 - х. За умовою різниця х - (4,7 - х) дорівнює 3,1: X - (4 ,7 - х) = 3,1; X - 4 ,7 + X = 3,1; 2х - 4 ,7 = 3,1; 2х = 3,1 + 4,7; 2х = 7,8; х = 7,8 : 2; х = 3,9. 4.7 - 3,9 = 0,8. Відповідь: 3,9; 0,8. 2 7,2 6 ,8 1 7 3 2 . Р о зв'яза ння. X I ч и с л о -X ) 24 З 6,8 II число — 3xJ 2 0 ,4 + Зх = 27,2; (1 + 3)х = 27,2; 4 х = 27,2; ” 32 X = 27,2 : 4; X = 6,8. 6.8 • З = 20,4. О Відповідь: 6,8; 20,4. 17 3 3 . Р о зв’я за н н я . Оскільки третя частина мотузки на 0,4 м біль­ 10,2 ша за першу і за другу частину, то перша і дру­ 9 3,4 га частини рівні. Позначимо довжину кожної з них X , тоді третя частина — (х + 0,4) м. ~ Ї2 Маємо рівняння: х -t- х + (х + 0,4 ) = 10,6; 12 Зх -Ь 0,4 = 10,6; Зх = 10,6 - 0,4; Зх = 10,2; X = 10,2 : 3; X = 3,4. 3,4 + 0,4 = 3,8 (м). О Відповідь: 3,4 м; 3,4 м; 3,8 м. 1 7 3 4 . Р озв’я за н н я . Нехай швидкість течії х к м /год, тоді власна швидкість катера ІЗ х км/год, швидкість за течією дорівнює ІЗ х 4- X = (13 + 1)х = 14х км/год. w w X МАТЕМАТИКА. О. С. Істер Ш 507
    • Рівняння: 14л: • 2,5 = 63; 35л: = 63; л: = 63 : 35; х = ІД 1,8 • 13 = 23,4 (км/год). 14 63 2,5 ~35 70 28 35 X 280 ~280 1,8 13 1,8 + 54 18 2 3,4 3 5 ,0 0 Отже, власна швидкість катера 23,4 к м /год, швидкість течії — 1,8 км/год. Відповідь: 23,4 км/год; 1,8 к м /год. bo ok .o rg 1 7 3 5 . Р о зв’я за н н я . Ш видкість одного потяга х к м /г о д , ш видкість другого — 1 ,2 х км/год. Тоді швидкість зближення х + 1,2л: = 2,2л: км /год. За 2,5 год потяги зблизяться на 2,2л: • 2,5 км = 5 ,5х км. Маємо рівняння: 3850 55 1,2 5,5л: = 385; х = 385 : 5,5; < л: = 3800 : 55; '3 8 5 70 70 X = 70; 8 4 ,0 О 70 ■ 1,2 = 84 (км/год). Відповідь: 70 км/год; 84 км/год. w w w .4 1 7 3 6 . Р о зв’я за н н я . Нехай довжина прямокутника х см. 60% = 0 ,6 , тому ширина дорівнює 0,6л см. Рівняння: л: + 0,6л = 9,6; (1 + 0,6)л: = 9,6; 1,6л: = 9,6; л: = 9,6: 0,6: л: = 6. Довжина прямокутника 6 см, його ширина — 0 ,6 • 6 = 3,6 см. Р = 2 • (6 + 3,6) = 2 • 9,6 = 19,2 (см); S = 6 ■3,6 = 21,6 (см^). Відповідь: 21,6 см^; 19,2 см. 1 7 3 7 . Р озв’я за н н я . 1) Яку частину периметра становлять дві сторони? 2 3^5 7"^7“ 7 ’ 2) Яку частину периметра становить третя сторона? 1_5^7 5 ^ 2 7 7 7 7' 3) Яка довжина відповідає у периметра? 10,4 см : 2 = 5,2 см. 4) Яка довжина другої сторони? 5,2 см • З = 15,6 см. Перша і третя сторони рівні, їх довжина 10,4 см. Відповідь: 10,4 см; 15,6 см. 508 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер
    • 1,3 162 0 ,9 27 17,1 9 9 1,90 1,9 8 ,5 4 81 0 10 ,4 4 ok 16,2 18 11,7 9 9 .o rg 1 7 3 8 . Р о зв’я за н н я . Нехай у книзі х сторінок. Тоді учень прочитав спочатку 0 ,2 5 х сторінок і йому залишилося прочитати х - 0 ,2 5 х = (1 - 0 ,2 5 )х = = 0,75л: сторінок. 0,7 5 Другого разу учень прочитав 0,4 від 0 ,7 5 х , % ,4 тобто 0 ,4 • 0 ,7 5 х = 0 ,3 х . _____ Усього учень прочитав 0 ,2 5 х + 0 ,3 х = 0,55л; сторінок. 0 ,3 0 0 Залишилось прочитати х - 0 ,5 5 х = (1 - 0 ,5 5 )х = 0 ,45х. Різниця м іж прочитаним і тим, що залишилось прочитати, до­ рівнює 0 ,5 5 х - 0 ,4 5 х = О ,їх. За умовою О ,їх = ЗО, звідки х = ЗО : 0,1 = 300 сторінок. Відповідь: 300 сторінок. 1 7 3 9 .1 ) пг • 0 ,9 = 1,17; т = 1,17 : 0,9; т = 11,7 : 9; т = 1,3; 2) h + т = 2,13; h = 2,3 - т h = 2,13 - 1,3; h = 0,83; г) g - h = 0,79; g - 0 ,8 3 = 0,79; g = 0 ,8 3 + 0,79; g = 1,62; 4 ) g - . n = 1,8; 1,62 : n = 1,8; n = 1,62 : 1,8; n = 16,2 : 18; n = 0,9; 5 ) n k = 1,71; 0, 9 k = 1,71; h = 1,71 : 0,9; k - 17,1 : 9; = 1,9; 6 ) k + l = 10,44; 1,9 + г = 10,44; I = 10,44 - 1,9; I = 8,54. 81 bo 27 II w .4 0 0 Відповідь: m = 1,3; h = 0,83; g = 1,62; n = 0,9; k = 1,9; I = 8,54. 1 7 4 0 . Р о зв’я за н н я . I я щ и к — l , 4 x КГ 628,8 48 •62,88 кг ящ ик — X кг III ящ ик — (x + 1 ,4x) 48 13,1 кг w w 148 l ,4 x + X + (x + l,4 x ) = 62,88; 144 (1,4 + 1 + 1 + l,4 ) x = 62,88; 48 4 ,8 x = 62,88; 48 X = 62,88 : 4,8; X = 628,8 : 48; О X = 13,1. Отже, у д р у г о м у я щ и к у 13,1 к г . 13.1 • 1,4 = 18,34 ( к г ) — у п е р ш о м у я щ и к у . 13.1 + 18,34 = 31 ,4 4 ( к г ) — у т р е т ь о м у я щ и к у . Відповідь: 13,1 к г ; 18,34 к г ; 31 ,4 4 к г . 1741.1) 3452317 3452317 7352419 10804736 1,4 (131 18,34 (кг) 8311152 8904636 13,1 3452317 ^ 545 2 3 1 9 х 11763469 МАТЕМАТИКА. О. С. Істер Ш 509
    • 2 )1 0 3 1 1 1 5 3 7452318 9352421 ~ 1452317 1452317 1452317 8858836 6000001 7900104 1 7 4 2 .1 ) X 4211 X 6002 5317 273 12633 X 273 15951 273 18006 +29477 + 32219 + 42014 8422 10634 12004 1401541 1638546 2 )_ 7 6 0 7 2 37 ~74 58386 37 " 37 2056 48359 37 1578 213 185 185 37 1307 113 111 bo ok 207 .o rg 1149603 288 0 259 259 ~222 ~256 296 0 296 1149603 6) 1638546 w w 3) a) .4 0 1578 2056 1148025 1636490 1401541 ^ 1307 1402848 1 402 848 < 1 638 546. w 1 148 025 < 1 636 490 1 7 4 3 .У : F = 3 2 • 2 = 12 ( c m ^). M: У = 3 ■4 • 4 = 48 (см^). И: F = 2 ■ 10 • 4 = 80 (см"). Л: У = З ■5 ■ 10 = 150 (см"). Д: F = 5 • 4 • 1,5 = 30 (см"). В : У = 2 - 2 - 2 = 8 (см"). Я: У = 2 А: V = 8 Й: О: Р: С; F = 3 F = 9 F = 8 F =4 3 ■ 12 = 72 (см"). 4 ■2 = 64 (см"). • 3 • = 18 (см"). 3 • 10 = 270 (см"). 2,5 • 3 = 60 (см"). • 2 • 2,5 = 20 (см"). 72 270 20 150 64 8 48 12 30 60 80 8 Я 510 60 Р 0 С Л А В М У д р И Й Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер
    • 1 7 4 4 .1 ) Sj = 2 см • 1,5 см = З см- — площа даного прямокутника; 2) 30% = 0,3; S^ = З : 0 ,3 = 10 см^ Отже, площу прямокутника треба збільшити на 7 см^, наприклад, доповнити до прямокут­ ника зі сторонами 2 см і 5 см. 2 см Домаш ня самостійна робота № 9 I .0 ,7 = 70% . Відповідь: В. 2 .(1 ,8 -Ь 2,6) : 2 = 4,4 : 2 = 2 ,2 . Відповідь: Г. rg 3 . 13 — = 1 3 ,0 3 . Відповідь: Г. 100 4 .3 0 % = 0,3; 18 т ■0,3 = 5,4 т. Відповідь: Б. 5 .9 % = 0,09; 36 : 0 ,0 9 = 3600 ; 9 = 400. Відповідь: А. 6 .(1 9 • + 21 • 2 -Ь 26) : (2 -Ь 2 + 1) = (38 -Ь 42 f 26) : 5 = 106 : 5 = = 2 1 ,2 . w w w .4 bo ok .o Відповідь: В. 7 . Р о зв’я за н н я . 1) 100% - 89% = 11% — залипіок сухих грибів; 2) 11% = 0,11; 60 кг • 0,11 = 6,6 кг. Відповідь: Б. 8 .1 ) 100% - 30% = 70% — частина, яку залишилось прочитати; 2) 70% = 0,7; 105 с. : 0 ,7 = 1050 с. : 7 = 150 с. Відповідь: В. Q. Р о зв’я за н н я . 1) 45 : 6 = 7,5 (с.) — набирає перший за годину; 2) 26 : 4 = 6,5 (с.) — набирає другий за годину; 3) 7,5 + 6,5 = 14 (с.) — набирають удвох за годину; 4) 35 : 14 = 2,5 (год) — час виконання роботи. Відповідь: Б. 1 0 . Р о зв’яза н н я . 1) 100% - 30% = 70% — частина, яку становлять чорні кульки; 2) 70% - 30% = 40% — становлять 32 кульки; 3) 40% = 0,4; 32 ; 0 ,4 = 320 : 4 = 80 (кульок). Відповідь: А. I I . Р о зв’я за н н я . Менше число — х; більше число — Ах. (д: + 4л:) : 2 = 6; 5л: = 6 • 2; 5д: = 12; л: = 12 : 5; X = 2,4. Відповідь: Б. 12 . Р озв’я за н н я . Ціна товару 150 грн. — це 100% . Тоді на 1% припадає 150 : 100 = 1,5 (грн.). 10% — 1,5 • 10 = 15 (грн.). Тоді після збільшення ціни товар коштує 150 грн. -І- 15 грн. = 165 грн. Тепер цю ціну беремо за 100% . МАТЕМАТИКА. О. С. істер Ш 511
    • Після зменшення на 15% отримали ціну 100% - 15% = 85% від 165 грн.; 85% = 0,85; 165 • 0 ,8 5 = 140,25 (грн.). Відповідь: Г. X 165 0 ,8 5 825 1320 Завдання для перевірки знань № 9 (§ § 4 2 — 45) 2 .1 ) 2) 1 . 1 ) 15% = 0,15; 2) 3% = 0,03. 3 . 1 ) 3 , 7 + 13,42 = 17,12; 2) 15,8 - 13,12 = 15,80 - 13,12 = 2,68; 3 ) 4 , 2 - 2 , 0 5 = 8,61; 4) 8,64 : 2,4 = 86,4 : 24 = 3,6. 72 410 0 ,6 5 60 -Н 72 7 8 0 ,0 0 rg 144 8 ,6 1 0 0 195,7 4 .o ok bo w .4 89 3,6 144 820 Ь. Р о зв’я за н н я . 40% = 0,4; 8 грн. : 0,4 = = 80 грн. : 4 = 20 грн. Відповідь: 20 грн. 6 .(4 8 ,5 + 58,2 + 4 6 ,8 + 42,2) : 4 = 48,925. 48,5 4 6 ,8 106,7 42,2 8 6 ,4 24 2 ,0 5 ^ 42 1200 ^ .Р о з в ’я за н н я . 65% = 0,65; 1200 • 0 ,6 5 = 780 (учнів). Відповідь: 780 учнів. 58,2 140,25 0,45 = 45% ; 1,37 = 137% . ’ і6 35 4 8 ,9 2 5 32 37 36 10 8 20 w w 106.7 8 9 ,0 195,7 20 Відповідь: 4 8 ,9 2 5 . О 7. Р озв’я за н н я . 1) 35% = 0,35; 320 • 0 ,3 5 = 1 1 2 (дет.) — за пер­ 320 шу годину; ^0,35 2) 40% = 0,4; 320 • 0,4 = 128 (дет.) — за дру­ 160 гу годину; + 2) 320 - (112 + 128) = 320 - 240 = 80 (дет.) — 96 за третю годину. 112,00 Відповідь: 80 деталей. 8 . Р озв’яза н н я . 1) 66,7 • 2 + 72,8 • З = 35 1 ,8 (км) — весь шлях; 351,8 66.7 72,8 133,4 ’ 35 70,36 X X -I18 2 З 2 1 8 ,4 ~15 133,4 2 1 8 ,4 351,8 ЗО 2) 2 + З = 5 (год) — час руху; 3) 351,8 : 5 = 70,36 (км/год). Відповідь: 70,36 км/год. 512 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер ЗО О
    • 9. Р о зв’я за н н я . 168 1) 30% = 0,3; 16 21 за першии день; 56 • 0,3 = 16,8 (км) 2) 80% = 0,8; 8 16,8 : 0,8 = 168 : 8 = 21 (км) — за другий день; 3) 56 - (16,8 + 21) = 18,2 (км) — за третій день. Відповідь: 18,2 км. 1 0 . Р о зв’я за н н я . 1) 8,5 см : 2,5 = 85 см : 25 = 3,4 см — ширина; 85 25 2) 8,5 см - 5,1 см = 3,4 см — висота; 3 ,4 3) F = 8,5 • 3,4 • 3,4 = 98 ,2 6 (см^). 2 8 ,9 8,5 100 < 3,4 3,4 100 ІІ5 6 255 867 О rg “340 ok .o 28,90 98 ,2 6 Відповідь: 98 ,2 6 см^. 11 . Р озв’я за н н я . Сума чисел дорівнює добутку середнього арифметичного і кіль­ кості доданків. I bo = 24,8 — сума двох чисел; = 85,6: — сума восьми чисел; 8 5 ,6 ) : (2 + 8) = 110,4 : 10 = 11,04. 11,04. w .4 1) 12,4 ■2 2) 10,7 ■8 3) (24,8 + Відповідь: Д л я тих, хто л ю б и т ь математику w w Л. Р о зв’яза н н я . Сергій і Петро їхали в різних вагонах, оскільки один з них сів у другий від по­ чатку поїзда, а другий — від кінця. Олена і Марія обов'язково їхатимуть в одному ва­ гоні, бо і від початку, і від кінця поїзда тре­ тій вагон — це той самий, середній, вагон. 3 .1 ) Помічаємо, що 1 -Ь 100 = 2 -Н 99 = З 98 = ... = 101. Таких пар 50. Тоді сума всіх чисел дорівнює 101 50 = 5050. Відповідь: 5050. 2) Аналогічно, 5 + 100 = 10 -І- 95 = 15 -Н 90 = = 105, таких пар 20. Сума; 105 • 20 = 2100. Відповідь: 2100. 4. Очевидно, що доданки — це двозначне і тризначне число, при цьому тризначне число можна отримати, дописавши до двознач­ ного цифру 2. Тоді якщо позначити менше число за х , то більше можна подати у вигляді 10л: + 2, наприклад, 482 = 48 • 10 + 2. МАТЕМАТИКА. О. С. Істер Ш І Т У сі ГДР, 5кл. 513
    • + lO x + 2 = 541; И х + 2 = 541; П х = 541 - 2; 11л: = 539; л: = 539 ; 11; X = 49. 49 • 10 + 2 = 492. Відповідь: 49 і 492. Ъ. Р о зв’я за н н я . Н ехай частка від ділення тризначного числа на 17 дорівнює X , тоді шукане число дорівнює 17л: + 3. Розділимо найбільше тризначне число 999 на 17 з остачею: 999 = 17 ■58 + 13. Остача дорівнює 13, а нам потрібно З, тому шукане число на 10 менше від 999, тобто 989. Відповідь: 989. X 6.0 = 2 + 2 - 2 2 - = 2 + 2-(2 + 2 ); 1 = 2 • 2 : (2 + 2 ); = = = = 8 = 2 + 2 + 2 + 2; or g 2 3 4 5 (2 + 2) : 2; 2 + 2 : 2; 2 2 + 2-2; 2 • 2 + 2 ; 2; 9 = 22 : 2 - 2 = (2 + 2 : 2У; 10 = 2 • 2 • 2 + 2. ok . 7 .Р о зв ’я за н н я . 6 = 2 • 2 ■ 2 - 2; 7 = не можна; 2) Ш 9. X 12345679 9 111111111 w w 8 .1 ) w .4 bo 8 • 5 = 40, тобто сума п ’яти доданків, кожний з яких дорівнює 8, дорівнює 40. 40 < 42, тому хоча б один із доданків має бути більшим за 8. Або інакше. Припустимо, що всі 5 доданків не більші від 8, тоді найбільше можливе значення кожного доданка — 8, а найбільше значення сум — 5 • 8 = 40. Але це суперечить умові задачі; сума має бути 42. Отже, наше припущення неправильне, і серед до­ данків обов’язково має бути хоча б один доданок, більший за В. 1 0 . Р озв’я за н н я . Кожна з 8 точок з ’єднується прямою з кожною з решти 7 точок. Оскільки в парі прядок точок не важливий, то за правилом до­ бутку кількість прямих: 8 - 7 : 2 = 28. Відповідь: 28 прямих. 1 1 . Р озв’я за н н я . Для нумерації сторінок записали 7 одноцифрових чисел. (1 і 2 сторінки не нумеровані), 90 двоцифрових чисел — 90 • 2 = 180 цифр, і 181 трицифрове число — 181 • З = 543 цифри. Усього використали 7 + 180 + 543 = 730 цифр.
    • ok .o rg При цьому цифра 1 в одноцифрових номерах не зустрічається, у двоцифрових записана 19 разів, у трицифрових — 137, усьо­ го — 156 разів. Цифра 2 зустрічається 138 разів, цифри З, 4, 5, 6, 7 — по 58 кожна, цифра В і 9 — по 49 і О — 48 разів. В ідповідь: 730 цифр. 1 2 . Р о зв’я за н н я . Спочатку розглянемо букву А. За умовою цифра А, помножена на З, закінчується на А. Таку властивість мають лише цифри О і 5. Оскільки К не нуль, то Н > З, отж е, нам треба перебрати зна­ чення Я від З до 9. При цьому в розряді тисяч сума трьох Н і, можливо, одиниці попереднього розряду має дорівнювати О або 5. К може дорівнювати тільки 1, 2 або З, оскільки ЗК не може бути більшим за 9, бо і доданки, і сума — п ’ятицифрові числа. Оскільки ЗГ закінчується цифрою К , тобто 1, 2 або З, то Г — це 1, 4 або 7. Далі підстановкою визначаємо, що К = 2, Н = 4, А = 5. Задача тепер має вигляд 28 И Г 5 х З = 58У25. Єдиним варіантом для Г залишається 7, звідки И — це З, У = 1. Відповідь: 2 8 3 7 5 . + 28375 28375 w .4 bo 85125 1 3 . Р о зв’я за н н я . Розв’яжемо задачу за допомогою таблиці. Сергій Тарас Олексій Іваненко - + - - Петренко - - - + Марченко + - - - Карпенко - - + - w w Анатолій З першої умови випливає, що Іваненко не Олексій і не Анато­ лій. Позначаємо знаком « -» . З другої умови — Сергій не Марченко, а Марченко не Тарас. З третьої — Карпенко не Сергій і не Олексій. Із четвертої — Анатолій не Петренко і не Карпенко. Відповідь: Сергій Іваненко, Олексій Петренко, Анатолій Мар­ ченко, Тарас Карпенко. 1 4 . Р озв’я за н н я . Половина молока важить 36 - 18,75 = 17,25 (кг), усе молоко — 17,25 • 2 = 3 4 ,5 (кг). Тоді бідон важить 36 - 34,5 = 1,5 (кг). Відповідь: 1,5 кг. 1 5 . 12 трикутників і 6 чотирикутників. 17*
    • В 10 км ok А 5 км .o rg 1 6 . Р о зв’яза н н я . це рік, Лютий має 29 днів у високосному році. Високосний число якого ділиться на 4, тобто кожний четвертий. Відповідь: 2036, 2896. 1 7 . Р озв’я за н н я . ^ ---Об’єм куба: F = 4 • 4 • 4 = 64 (см). Отже, куб складається з 64 кубиків. ' А,, 1) Три зелені грані мають кубики, що знаходяться у верш инах куба с с (А), їх 8. / 2) Дві зелені грані мають два куби­ с с X ки, що знаходяться в середині кож ­ ного ребра (Б) — їх 2 • 12 = 24. 3) Одну зелену грань мають 4 куби­ ки на кожній грані (С): 4 ■6 = 24. 4) Отже, всього кубиків, що мають хоча б одну зелену грань, 8 + 24 -Н 24 = 56. Тоді нефарбованих — 64 - 56 = 8. Відповідь: 1) 8; 2) 24; 3) 24; 4) 8. 1 8 . Р озв’я за н н я . 50 км 60 км w w w .4 bo Так, зможуть. Перший починає ш лях піш ки, а другий і третій — на мотоциклі. Через 1 год перший юнак пройде 5 км і опиниться в точці А , а другий висадить третього у точці С на відстані 10 км від пункту призначення, до якого третій юнак і дійде пішки за 2 години. Другий юнак повертається за першим. Він може повернутися в точку А , де його чекає перший (45 км) і разом доїхати до пункту призначення (55 км). На подолання 45 км -Н 55 км = 100 км йому вистачить 2 год, що залишились. Або другий може дочекатися першого в точці В , до якої перший дістанеться за другу годину. За третю годину вони доїдуть до пункту призначення 50 км, що залишились. Відповідь: зможуть. 1 9 . Р озв’яза н н я . Нехай д; — дане число. Після додавання 10% = 0 ,1 це число до­ рівнює X + О ,їх. 10% або 0,1 від цієї суми дорівнює 0,1(х -Ь 0,1)х. За умовою X + О ,їх - 0 ,1 (х + О ,їх) = 1980. Розв’яжемо це рівняння: X -Ь О ,їх - 0 ,1 х - 0,1 • 0 ,1 х = 1980; х - 0 ,0 1 х = 1980; 0 ,9 9 х = 1980; х = 1980 : 0,99; х = 198000 : 99; х = 2000. Відповідь: 2000. 2 0 . Р озв’яза н н я . Позначимо поточний вік доньки х років. Син н а 1 5 - 1 2 = 3 роки старший, його вік (х + 3) роки. А вік батька х -Ь (37 - 12) = х -І- 25 років. 516 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер
    • 1) X = (x + 25) - (x + 3); X = x + 25 - X - 3; X = 25 - 3; X = 22; 22 - 12 = 10 . Відповідь: через 10 років. 2) (x + 25) + 2 = X + X + 3; X + 27 = 2x + 3; 2x + З - X = 27; X = 27 - 3; X = 24; 24 - 12 = 12. Відповідь: через 12 років. 2Л. Р о зв’я за н н я . Із двох дробів з однаковими чисельниками більшим є той, у яко- Л;#; ШШ 1 1 го знаменник менший. Отже, ------- > бо 2012 < 2013. 2012 2013 Виходячи з цього, а також із того, щ о 2011 2012 , =1 1 2012 2012 , 1 2011 2012 = 1 ---------- , можна стверджувати, що --------< -----2013 2013 2012 2013 2011 . оскільки доповненням числа до одиниці є більше число, доповнення дробу 2011 2012 ----------- . 2013 2012 Відповідь: ------- < --------- . 2012 2013 bo 22. 1) 17,82 + 2,5 = 20,32; ok ^ Н ІЖ .o rg а w w w .4 2) 27 - 2,5 = 24,5; 3) 3,71 + 35 = 38,71; 4) 3,92 - 2,92 = 1. 23. 7,5229 ■ 13,492 = а; 1) 75,229 • 1,3492 = (7 ,5 2 2 9 • 10) • (1,3492 • 0,1) = = 7,5229 • 1,3492 • (10 • 0,1 ) = а • 1 = а; 2) 752,29 • 134,92 = 7,5229 ■100 ■13,492 ■ = а • 1000 = 1000а; 10 3) 0 ,07 5 2 2 9 • 13492 = 7,5229 • 0,01 • 13,492 • 1000 = = (7,5229 • 13,492) ■(0,01 • 1000) = а 10 = 10а; 4) 0,75229 • 0,1 3 4 9 2 = 7,5229 • 0,1 ■ 13,492 ■0,01 = = (7,5229 • 13,492) ■(0,1 0,01) = а ■0,001 = 0,001а. 24. Р озв’я за н н я . Площа квадрата зі стороною а дорівнює Sj = а^. Збільшимо сторону квадрата на 10% : 10% = 0,1; 0,1 від а до­ рівнює 0 ,1 а , а 4- 0,1а = 1,1а. Площа такого квадрата = (,1 а У = 1,21а-. 1,21 = 121 %, отже, площа збільшилася на 21 %. Відповідь: на 21 %. 25. Р о зв'яза ння. Поділимо кульки на З рівних купки по З кульки. Дві купки кладемо на терези і звансуємо. Якщо вага різна, то найважча кулька знаходиться в трійці, що має більшу вагу. МАТЕМАТИКА. О. С. Істер Ш 517
    • w w w .4 bo ok .o rg Беремо з цієї купки 2 кульки і зважуємо. Якщо їх вага різна, то потрібна кулька — важча. Якщо вага однакова, найважчою є третя кулька. Якщо ж при першому зважуванні терези покажуть однакову вагу, то друге зважування виконуємо з кульками з третьої купки. 26. Р озв’я за н н я . Набрати 4 л води можна так: 1) наповнити 3-літрову банку; 2) перелити її вміст у 5-літрову банку; 3) наповнити 3-літрову банку; 4) долити воду до 5-літрової банки, тоді в З-літровій залишить­ ся 1 л; 5) спорожнити 5-літрову банку; 6) вилити 1 л води з 3-літрової у 5-літрову банку; 7) наповнити 3-літрову банку; 8) вилити її вміст у 5-літрову банку. Тепер у 5-літровій банці 4 л води. 27. Р о зв’я за н н я . Оскільки годинник поспішає за добу на 2 хвилини, то точний час він покаже, коли поспішатиме на 12 годин. 12 год = 12 • 60 хв = 720 хв; 720 : 2 = 360. Отже, годинник покаже знову точний час через 360 діб. Відповідь: 360 діб. 28. Р озв’я за н н я . Оскільки в тиж ні 7 днів (непарна кількість), то неділі по черзі припадають на парні і непарні дні. Отже, найменше в такому місяці має бути 5 неділь. Причому перша неділя припадає на парне число: на друге. Тоді неділями будуть 2-е, 9-е, 16-е, 23-е числа. Значить, 24-те число — понеділок. Відповідь: понеділок. 518 Ш МАТЕМАТИКА. О. С. Істер