Your SlideShare is downloading. ×
Materi Determinan (STIS)
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Materi Determinan (STIS)

5,442
views

Published on

semoga bermanfaat :)

semoga bermanfaat :)

Published in: Education

1 Comment
3 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
5,442
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
214
Comments
1
Likes
3
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. DETERMINANMENGHITUNG DETERMINANSIFAT-SIFAT DETERMINAN
  • 2. MenghitungDeterminan  Perkalian Elementer  Ekspansi Kofaktor  Reduksi Baris Matriks Segitiga
  • 3. •Menghitung Determinan Dengan Perkalian Elementer
  • 4. PERMUTASIDefinisi: Suatu permutasi bilangan bulat {1,2,…,n} adalah suatu susunan bilangan-bilangan bulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulanganContoh: 6 permutasi berbeda dari bilangan bulat {1,2,3} adalah: {1,2,3} {2,1,3} {3,1,2} {1,3,2} {2,3,1} {3,2,1}
  • 5. PERMUTASI Dalam permutasi dikatakan terjadi sebuah inversi/ pembalikan bilamana suatu bilangan bulat yg lebih besar mendahului yang lebih kecil.Contoh:Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut:(a) (6,5,3,1,4,2) (b) (2,4,1,3) c (1,2,3,4)Penyelesaian Jumlah iversi/pembalikan: 5+4+2+0+1=12 Jumlah iversi/Pembalikan: 1+2+0=3 Tidak ada inversi/pembalikan dalam permutasi ini
  • 6. PERMUTASIDefinisi: Suatu permutasi disebut genap jika total jumlah inversi merupakan suatu bilangan bulat genap dan disebut ganjil jika total jumlah inversi merupakan suatu bilangan bulat ganjil
  • 7. PERMUTASIContoh. Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau ganjil Permutasi Jumlah Inversi Klasifikasi (1,2,3) 0 genap (1,3,2) 1 Ganjil (2,1,3) 1 Ganjil (2,3,1) 2 Genap (3,1,2) 2 Genap (3,2,1) 3 Ganjil
  • 8. DETERMINAN A adalah matriks bujursangkar. Determinan matriks A yang disimbolkan det(A) dapat didefinisikan sebgai jumlah semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.Contoh: Daftarkan semua hasil kali bertanda dari matriks-matriks berikut ini a11 a12 a13  a11 a12  a a a  a. a a 22  b.  21 22 23   21  a31 a32 a33   
  • 9. DETERMINANPenyelesaian: Hasil Kali Permutasi Klasifikasi Hasil Kali Dasar Terkait Dasar Bertanda a11a22 (1,2) genap a11a22 a12a21 (2,1) Ganjil -a12a21
  • 10. DETERMINANPenyelesaian: Hasil Kali Permutasi Klasifikasi Hasil Kali Dasar Terkait Dasar Bertanda a11a22a33 (1,2,3) genap a11a22a33 a11a23a32 (1,3,2) Ganjil -a11a23a32 a12a21a33 (2,1,3) Ganjil -a12a21a33 a12a23a31 (2,3,1) Genap a12a23a31 a13a21a32 (3,1,2) Genap a13a21a32 a13a22a31 (3,2,1) Ganjil -a13a22a31
  • 11. DETERMINANSehingga diperoleh: a11 a12 a. det   = a11a22 - a12a21 a 21 a 22  a11 a12 a13  a a a   21 22 23 b. det a a a  = a11a22a33 +a12a23a31  31 32 33  +a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33 -a13a22a31
  • 12. DETERMINANDengan menggunakan jembatan keledai (mnemonic) dapat dihitung: + - + + + - - - a11 a12  a11 a12 a13  a11 a12 a a  a a a  a a  21 22   21 22 23  21 22 a31 a32 a33  a31 a32  
  • 13. Contoh : 1 2 3   4 8 12  0 1 4  1 2 3A = 0 1 4  , A1 =  0 1 4  , A2 = 1 2 3  , A3 =  −2 −3 −2          1 2 1    1 2 1    1 2 1    1 2 1  Diperoleh :det (A) = -2, det( A1) = -8, det( A2) = 2,det(A3) = -2
  • 14. MENGHITUNG DETERMINANDENGAN EKSPANSI KOFAKTOR
  • 15. Ekspansi kofaktor Definisi: Bila A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka minor elemen aij (disimbolkan dengan Mij) didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang ada setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Nilai (-1)i+j Mij ditulis sebagai Cij dan dinamakan sebagai kofaktor elemen aij. Jadi, Cij = (-1)i+jMij
  • 16. Ekspansi kofaktorContoh: 1 2 1 − 1 3 − 3Diketahui A =   2 − 2  1 1 2 1  1 1 − 1 3 − 3Maka M32 = det   = det − 1 − 3   2 − 2  1  = (1)(-3) – (1)(-1) =-3+1 = -2 Jadi, C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)(-2) = 2
  • 17. Ekspansi kofaktorTeorema: Apabila diberikan matriks A yang berukuran nxn, maka determinan matriks A dapat dihitung dengan menggunakan: Expansi kofaktor sepanjang kolom j: det(A) = a1jC1j + a2jC2j +...+ anjCnj Expansi kofaktor sepanjang baris i: det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+...+ ainCin
  • 18. Ekspansi kofaktorContoh: 1 2 1 − 1 3 − 3Hitung Determinan matriks A =   2 − 2  1  Penghitungan det. ekspansi kofaktor baris 1: det (A) = 1 3 − 3 -2 − 1 − 3 +1 − 1 3 −2 1 2 1 2 −2 Penghitungan det. ekspansi kofaktor kolom 2 ?
  • 19. Matriks KofaktorJika A adalah sembarang matriks nxn dan Cik adalah kofaktor dari aij, maka matriks kofaktor dari A adalah: C11 C12 ... C1n  C C ... C   21 22 2n  .    .  Cn1 Cn 2 ... Cnn   Matriks Adjoint A yg disimbolkan Adj (A) adalah Transpose dari matriks kofaktor A
  • 20. REDUKSI BARISDeterminan sebuah matriks dapat dihitung denganmereduksi matriks menggunakan operasi bariselementer sehingga matriks berada pada bentukeselon baris.Teorema 2.1.Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yangmengandung sebaris bilangan nol, makadet(A) = 0
  • 21. Teorema:Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama.Teorema: Misalkan A adalah sebarang matriks n x n.(e) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det (A’) = k det (A)(f) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila 2 baris A dipertukarkan, maka det(A’)=-det(A)(g) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan 1 baris A ditambahkan pada baris lain, maka det (A’) = det (A)
  • 22. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkandari operasi baris elementer tertentu. Operasi det ( A ) det ( A’ ) (i) |A| k|A| ( ii ) |A| -|A| ( iii ) |A| |A|
  • 23.  det(kA) = kndet(A) n : jumlah baris ka11 ka12 ka13 a11 a12 a13 ka21 ka22 ka23 = k 3 a21 a22 a23 ka31 ka32 ka33 a31 a32 a33 det(A+B) ≠ det(A) + det(B) det(AB) = det(A).det(B) det(A) = det(AT) implikasi : berlaku operasi kolom
  • 24.  Teorema Anggap A, B, dan C adalah matriks nxn yang berbeda hanya pada salah satu barisnya, katakanlah beris ke –r, dan anggap baris ke-r dari C bisa diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota yang berpadanan pada baris ke-r dari A dan B. Maka: Det ( C ) = det (A) + det ( B ) Hasil yg sama berlaku untuk kolom
  • 25.  Contoh: 1 7 5 1 7 5 1 7 5 2 0 3 =2 0 3+ 2 0 3 1+ 0 4 + 1 7 + 1 1 4 7 0 1 1

×