Este documento presenta una introducción a la teoría de juegos. Explica los conceptos y elementos clave de los juegos, incluyendo jugadores, estrategias, pagos y equilibrios. También describe las formas de representar juegos, como la forma normal y extensiva, y tipos de juegos según estrategias, comunicación y condiciones de equilibrio como el equilibrio de Nash.

1. DIRECCIÓN Y GESTIÓN DE EMPRESAS curso 2006/2007 TEMA 7 TOMA DE DECISIONES: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS Alfonso J. Gil López

11. 7.2. Representación de juegos Forma-Interdependencia Tipos de juegos Forma normal Forma extensiva Simultáneo Sucesivo Simultáneo Sucesivo

15. EMPRESA B COMPATIBLE NO COMPATIBLE EMPRESA A NO COMPATIBLE COMPATIBLE (2, 2) (3, 3) 7.2. Representación de los juegos. Forma normal. Juego simultáneo (4, 1) (1, 4)

16. EMPRESA B SIEMPRE C LO CONTRARIO LO MISMO SIEMPRE N.C EMPRESA A NO COMPATIBLE COMPATIBLE (4, 1) (1, 4) 7.2. Representación de los juegos. Forma normal. Juego secuencial (2, 2) (2, 2) (1, 4) (3, 3) (4, 1) (3, 3)

17. 7.2. Representación de los juegos. Forma extensiva. Juego secuencial A Compatible No Compatible B Compatible No Compatible B Compatible No Compatible ( 2 ,2) ( 4 ,1) ( 1 ,4) ( 3 ,3)

19. 7.2. Representación de los juegos. Forma extensiva. Juego simultáneo A Compatible No Compatible ( 2 ,2) ( 4 ,1) ( 1 ,4) ( 3 ,3) B Compatible No Compatible B Compatible No Compatible

20. 7.3. Tipos de juegos 1. Estrategias 2. Comunicación Acuerdos Discretas Continuas Correlacionadas Puras Mixtas Juegos Cooperativos Juegos Competitivos Autovinculantes Obligados

25. 7.4. Condiciones de equilibrio Estrategias dominantes Equilibrio de Nash Juegos con soluciones múltiples Juegos sin equilibrios en estrategias puras Estrategias dominadas Equilibrios en subjuegos Solución “ hacia atrás” SOLUCIONES

26. 7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de Estrategias Dominantes Estrategia dominante s i * es estrategia dominante si es la mejor respuesta que el jugador i puede ofrecer a cualquier estrategia elegida por los demás. Equilibrio en estrategias dominantes Combinación de estrategias S = (s 1 * , s 2 * ,..., s n * ) formada por la estrategia dominante de cada jugador.

28. TCHAIVKOSKY NO CONFESAR CONFESAR DIRECTOR DE ORQUESTA CONFESAR NO CONFESAR (2, 3) (10, 10) (10,10) 7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Equilibrio de Estrategias Dominantes. El dilema del prisionero (25, 1) (1, 25)

30. 7.4. Condiciones de equilibrio. (1) Estrategias dominantes. Ejemplo. La estrategia “Medio” para la empresa 1 es dominante, es decir para cada posible estrategia de la empresa 2, la empresa 1 estará siempre mejor si selecciona la estrategia “Medio”. Por otra parte la estrategia “Regular” es una estrategia dominante para la empresa 2 ya que, se cual fuere la estrategia de la empresa 1, si pago es siempre mayor si selecciona regular. 2,0 1,2 2,1 Bajo 3,1 2,2 4,0 Medio 2,3 0,4 3,3 Alto Malo Regular Bueno E1 / E2

31. 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash La mayoría de juegos no tiene un equilibrio en estrategias dominantes. Equilibrio de Nash : Una combinación de estrategias S = (s 1 * , s 2 * ,..., s n * ) es un equilibrio de Nash si ningún jugador tiene incentivos para desviarse de su estrategia mientras los demás tampoco lo hagan. Un conjunto de estrategias representa un equilibrio de Nash si la estrategia elegida por cada jugador es su mejor respuesta a su creencia de lo que serán las estrategias seguidas por sus rivales y esta creencia es correcta, es decir, la estrategia verdaderamente seguida por los rivales es la que se creía iban a seleccionar. Un equilibrio de Nash de un juego es un acuerdo en que ninguna de la partes puede romper a discreción sin perder. Ejemplo: 6,3 6,4 No Anunciar 5,4 7,5 Anunciar No Anunciar Anunciar A / B

32. 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. Ejemplo. Se representa un juego simultáneo en el que participan las empresas 1 y 2, cada una con tres alternativas, A, M y B para la empresa 1; e, i y d para la empresa 2. En este juego, el único equilibrio de Nash es (M, d). Un aspecto fundamental es que este equilibrio se alcanza cuando cada empresa ha seleccionado la estrategia que es óptima para ella dada la estrategia seleccionada por los rivales. 4,3 1,3 3,4 B 4,2 3,1 3,0 M 3,4 0,4 4,3 A d m i E1 / E2

34. 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (6, 10) (10, 6) (0, 0) (4, 4) (10,6) (6,10)

35. MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (6, 10) (10, 12) 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos (0, 0) (4, 4) (10,12) (6,10)

36. MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (12, 10) (10, 6) 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos (0, 0) (4, 4) (12,10) (10,6)

37. MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (12, 10) (10, 6) (12,10) 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos (11, 0) (4, 4)

38. MUJER FÚTBOL TEATRO HOMBRE TEATRO FUTBOL (12, 10) (10, 6) (10,6) 7.4. Condiciones de equilibrio. (2) Equilibrio de Nash. La batalla de los sexos (0, 11) (4, 4)

40. 7.4. Condiciones de equilibrio. Equilibrio de Nash TODOS LOS EQUILIBRIOS EN ESTRATEGIAS DOMINANTES SON, A SU VEZ, EQUILIBRIOS DE NASH PERO, NO TODOS LOS EQUILIBRIOS DE NASH SON EQUILIBRIOS EN ESTRATEGIAS DOMINANTES Un equilibrio de Nash nunca incluirá estrategias dominadas ya que éstas nunca pueden ser por definición mejor respuestas a nada que haga el otro jugador 16,6 10,15 S 35,5 20,10 P S P A / B 24,3 8,10 S 18,0 12,6 P S P A / B

41. 7.4. Condiciones de equilibrio. Equilibrio de Nash 6,6 3,5 3,5 B 5,3 0,4 4,0 M 5,3 4,0 0,4 A D C I E1 / E2

42. En caso de que un juego presente como solución más de un equilibrio nos interesará poder determinar una solución única para cada juego. PUNTO FOCAL (Schelling) aquel equilibrio que, por razones psicológicas, es particularmente más importante. ¿Cómo/ por qué una combinación de estrategias es punto focal?  SOLUCIÓN DE LOS JUEGOS MEDIANTE ESTRATEGIAS DOMINADAS 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples.

43. Estrategia dominada (dominancia estricta o fuerte) Una estrategia s i ** es una estrategia dominada si existe otra respuesta mejor que el jugador i puede ofrecer a cualquier estrategia elegida por los demás. Los resultados que el jugador obtiene con s i ** nunca son mejores que los que obtendrían con cualquier otra s i ´ y son peores en algún caso. Los jugadores que se comportan racionalmente no van a usar nunca una estrategia dominada , por tanto, se puede eliminar la estrategia dominada de su conjunto de estrategias. De esta manera se puede reducir el juego. Ejemplo : 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Estrategias dominadas 8,3 2,6 3,5 Z 6,1 7,2 4,4 Y 0,3 1,0 2,2 X C B A 1/2

44. Estrategia débilmente dominada, en la que no se requiere un pago estrictamente mayor. A diferencia de lo que ocurre con las estrategias fuertemente dominadas, las que son débilmente dominadas puede formar parte de un equilibrio de Nash. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Estrategias dominadas 0,2 0,0 B 0,1 1,0 A b a 1/2

45. Ejemplo Jugadores: I y II Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa jugada A I =  a 1 I , a 2 I  A II =  a 1 II , i a 2 II  Conjunto de estrategias S H =  s 1 I , s 2 I  S M =  s 1 II , i s 2 II  Información : Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace el otro jugador. Pagos:  I (S 1 I ,S 1 II )=4;  I (S 2 I ,S 1 II )=0;  I (S 1 I ,S 2 II )=4;  I (S 2 I ,S 2 II )=6;  II (S 1 I ,S 1 II )=4;  II (S 2 I ,S 1 II )=1;  II (S 1 I ,S 2 II )=4;  I (S 2 I ,S 2 II )=3; 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Solución de juegos mediante la eliminación de estrategias dominadas

46. JUGADOR II s 1 II s 2 II JUGADOR I s 2 I s 1 I (4, 4) (4, 4) (0, 1) (6, 3) 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Solución de juegos mediante estrategias dominadas (6,3) (4,4) (6,3) (4, 4)

47. La estrategia 1 para el jugador 2 es débilmente dominada Con la estrategia 2 el jugador 2 o gana 4 o gana 3. Con la estrategia 1 el jugador 2 o gana 4 o gana 1. Si el jugador 2 se comporta racionalmente elegirá la estrategia 2. Si el jugador 1 considera que el jugador 2 se va a comportar racionalmente y el se comporta racionalmente entre ganar 4 o ganar 6 elegirá ganar 6. 7.4. Concepto de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Solución de juegos mediante la eliminación de estrategias dominadas

48. En este caso, el jugador 1 no posee una estrategia dominante ya que la estrategia “Alto” es mejor para el si el jugador 2 juega “Izquierda”, mientras que la estrategia “Medio” será mejor si el jugador 2 juega la estrategia “Derecha”. Sin embargo, el jugador 1 si posee una estrategia dominada, que corresponde con la estrategia “Bajo”, dado que esta no será nunca la estrategia jugada por él. Después, resulta que la estrategia “Izquierda” es dominada por la estrategia “Derecha” para el jugador 2, por lo que éste no la seleccionará. En el último juego el único jugador que puede elegir la estrategia es el 1, por lo que elegirá “Medio” que corresponde a la estrategia que maximiza su bienestar. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Solución de juegos por eliminación de estrategias dominadas -3,2 -3,5 Bajo 2,2 -2,1 Medio -2,1 2,-1 Alto Derecha Izquierda E1/E2

49. 1 2 Un subjuego es cualquier parte de un juego que puede construir un juego independiente (tiene un nudo inicial en que están presentes todos los conjuntos de información para jugar el subjuego). Ningún juego en el cual los jugadores actúan simultáneamente y sólo tiene una vez tiene más juegos que el mismo . 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos 1 2 Entrar Quedarse Fuera Aplastar Acomodarse (0,0) (2,2) (1,5) (0,0) Entrar Quedarse Fuera Aplastar Aplastar Acomodarse Acomodarse (2,2) (1,5) (1,5) Todo juego con información perfecta tiene subjuegos (parte de un juego que queda por jugar en un momento dado del juego).

50. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos

51. El jugar primero permite a este jugador incorporar la información de lo que hará el segundo jugador, y puede generar que en algunos casos que el resultado del juego se modifique a su favor. Amenazas: (1) no creíble, si es un equilibrio de Nash, sino es una mejor respuesta y nunca la usará el jugador como castigo, (2) creíble, sólo si se puede hacer cumplir. Como ejemplo de amenaza que no resulta creíble , consideremos el siguiente juego de dos tiradas. Primero, el jugador 1 escoge entre dar 1.000 € al jugador 2 o no darle nada. El segundo lugar el jugador 2 amenaza con estallar una granada a no ser que el jugador 1 le pague 1.000 €. Si el jugador 1 cree que puede cumplir la amenaza, su mejor respuesta será pagar 1.000 €. Pero, el jugador 1 no debería creerse semejante amenza: si al jugador 2 se le diera la oportunidad de ejecutar dicha amenaza, escogería no hacerlo. Por tanto, el jugador 1 no debería pagar nada al jugador 2. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Amenazas creíbles

52. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios perfectos en subjuegos. Ejemplo. El sábado por la tarde el jugador I (el niño mal criado) quiere ir al cine. Sin embargo, el jugador II (sus padres) han decidido que deben ir a visitar a su tía. El jugador I (el niño) inicia el juego, puede optar por ir a casa de su tía (opción 1) o puede negarse a hacerlo (opción 2). Si el jugador I decide la opción 1 (ir a casa de su tía), el juego termina ahí y cada jugador obtiene un pago de 1. Si el jugador I (el niños) decide la opción 2, el juego continúa y queda en manos del jugador II (los padres). El jugador II pueden decidir entre castigar al jugador 1 y dejarlo en casa (opción 1) o ir al cine (opción 2). Si elige la opción 1 ambos jugadores obtienen un pago de -1; y si eligen la opción 2 el jugador I obtiene un pago de 2 y el jugador II uno de 0.

53. Ejemplo Jugadores: I y II Conjunto de acciones: Solo hay una jugada, por lo que sólo se plantean acciones para esa jugada A I =  ir, negarse  A II =  castigo, i cine  Conjunto de estrategias S H =  ir I , negarse  S M =  castigo, i cine  Información : Se trata de un juego secuencial donde el jugado II conoce lo que decide el otro jugador Pagos:  I (S 1 I ,S 1 II )=1;  I (S 2 I ,S 1 II )=-1;  I (S 1 I ,S 2 II )=1;  I (S 2 I ,S 2 II )=2;  II (S 1 I ,S 1 II )=1;  II (S 2 I ,S 1 II )=-1;  II (S 1 I ,S 2 II )=1;  I (S 2 I ,S 2 II )=0; 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios perfectos en subjuegos

54. (1, 1) (1, 1) (-1, -1) (2, 0) JUGADOR II PADRES s 1 II s 2 II JUGADOR I NIÑO s 2 I s 1 I 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos (2,0) (1,1)

55. ( 1 ,1) (- 1 ,-1) ( 2 ,0) (2,0) El equilibrio obtenido es un equilibrio perfecto en los subjuegos debido a que las acciones establecidas por esta estrategia en cualquier subjuego, constituyen un equilibrio de Nash en dicho subjuego. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Equilibrios en subjuegos Padres Castigo Cine Niño Ir Negarse

56. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Inducción hacia atrás. Ejemplo J 1 (1) J 2 (2) J 2 (3) J 1 (4) J 1 (5) ( 3 ,3) ( 7 ,1) ( 5 ,0) ( 4 ,4) ( 2 ,1) ( 4 ,4)

57. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Juegos secuenciales con información completa Considérese una empresa establecida (I) que debe elegir si expandir o no su actividad; el entrante (E), una vez que ha observado la capacidad del establecido, debe decidir si entra o no en el mercado, y el establecido, una vez que ha observado la decisión del entrante, y por supuesto la capacidad producida por él, debe analizar si “acomodarse” o “pelear”. Es un juego dinámico de información completa que consta de las siguiente tres etapas: Etapa 1 . El establecido debe decidir si expandir o no su capacidad. Etapa 2 . Una vez que ha observado si el establecido expandió o no su capacidad, el entrante debe decidir si entra o no en el mercado. Etapa 3 . Habiendo decidido acerca de su expansión de capacidad y observando si el entrante entró o no, el establecido debe decidir si ser agresivo o no, donde una mayor agresividad puede estar asociada, por ejemplo, a menores precios, mayor publicidad, a una mayor capacidad.

58. 7.4. Condiciones de equilibrio. (3) Juegos con soluciones múltiples. Juegos secuenciales con información completa I 1 E 1 E 1 I 2 I 2 expandir no expandir entra no entra 0,8 entra no entra 0,10 3,4 -2,5 2,6 -1,2 se acomoda se acomoda pelea pelea

59. En algunos juegos (de rara ocurrencia), no existe un equilibrio de Nash. Ejemplo: 7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras Aunque este juego no tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras, si tiene un equilibrio de Nash en “estrategias mixtas”, que consisten en elegir como acciones a un subconjunto de estrategias disponibles con cierta probabilidad (considerando que la suma de probabilidades se igual a 1). TEOREMA DE NASH -1,3 1,0 Bajo 0,-1 0,0 Alto Derecha Izquierda E1/E2

60. No todos los juegos presentan equilibrios de Nash en estrategias puras, lo que no quiere decir que no existan. Ejemplo Jugadores: I y II Conjunto de acciones: Hay dos jugadas. En la primera, uno de los jugadores elige apostar a que ambos centavos saldrán por la misma cara y el otro se quedará con la opción de caras diferentes A I (t 1 )=  a 1 I =iguales, a 2 I = diferentes  A II =  a 1 II =iguales, a 2 II = diferentes  A I (t 2 )=  a 1 I =cara, a 2 I = cruz  A II =  a 1 II =cara, a 2 II = cruz  Conjunto de estrategias (sólo consideramos la segunda etapa del juego) S H =  s 1 I =cara, s 2 I =cruz  S M =  s 1 II =cara, s 2 II =cruz  Información : Imperfecta se trata de un juego simultáneo, donde se desconoce lo que hace el otro jugador. Pagos:  I (S 1 I ,S 1 II )=1;  I (S 2 I ,S 1 II )=-1;  I (S 1 I ,S 2 II )=-1;  I (S 2 I ,S 2 II )=1;  II (S 1 I ,S 1 II )=-1;  II (S 2 I ,S 1 II )=1;  II (S 1 I ,S 2 II )=1;  I (S 2 I ,S 2 II )=-1; 7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras

61. (1,- 1) (-1, 1) (-1, 1) (1, -1) JUGADOR II s 1 II :cara s 2 II :cruz JUGADOR I s 2 I :cruz s 1 I :cara 7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras

62. 7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras Hay una forma de encontrar solución  ESTRATEGIA MIXTA ESTRATEGIA CONTINUA Ahora la definición de estrategia va a recoger no la elección de la acción sino la probabilidad con la que se va a elegir la acción.// El conjunto de estrategias disponibles para cada individuo es un continuo que va desde elegir una acción con probabilidad 0 a elegirla con probabilidad 1. En nuestro juego S I = { s 1 I :P(cara)=0; s 2 I : P(cara)=0,01; ...; s  I : P(cara)= 1} S II = { s 1 II :P(cara)=0; s 2 II : P(cara)=0,01;...; s  II : P(cara)= 1}

63. 7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras En nuestro juego S I = { s 1 I :P(cara)=0; s 2 I : P(cara)=0,01; ...; s  I : P(cara)= 1} S II = { s 1 II :P(cara)=0; s 2 II : P(cara)=0,01;...; s  II : P(cara)= 1} E[  I ] = 1  P I (cara)  P II (cara) + 1  P I (cruz)  P II (cruz) – 1  P I (cara)  P II (cruz) – 1  P I (cruz)  P II (cara) = 1  P I (cara)  P II (cara) + 1  [1 – P I (cara) ]  [1- P II (cara)] – 1  P I (cara)  [1-P II (cara)] – 1  [1-P I (cara)]  P II (cara) = como el problema es simétrico, ambos elegirán la misma estrategia, P I (cara)=P II (cara)=P(cara) = 1  P(cara)  P(cara) + 1  [1-P(cara)]  [1-P(cara)] – 1  P(cara)  [1-P(cara)] – 1  [1-P(cara)]  P(cara) =1 + 4  [P(cara)] 2 – 4  P(cara) = E[  II ]

64. 7.4. Condiciones de equilibrio. (4) Juegos sin equilibrios en estrategias puras Resultado: La estrategia mi x ta que desarrollará ambos jugadores será jugar cara con probabilidad 1/2. La combinación de estrategias S = { sI: P(cara)=1/2 ; sII: P(cara)=1/2 } es un equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Además es el único equilibrio de Nash. Los pagos que obtendrán estos jugadores serán E[  I] = E[  II] =0.

65. 7.5. Juegos Repetidos Horizontes Finitos Horizontes Infinitos

66. 7.5. Juegos Repetidos Aquel en el que un grupo de jugadores participa repetidamente en el mismo juego . JUEGOS REPETIDOS Con horizontes finitos JUEGOS REPETIDOS Con horizontes infinitos

67. 7.5. Juegos repetidos Una complicación adicional de la teoría de juegos surge cuando tenemos la posibilidad de repetir el juego una y otra vez. Las empresas pueden cambiar de estrategia en futuras decisiones, a la vista de lo que han hecho sus competidoras. Ejemplo de guerra de precios entre empresas 1) Juego repetido indefinidamente : estabilidad en precios altos 2) Juego repetido un determinado número de veces A) Estrategia “ojo por ojo”: los precios se mantendrán siempre bajos B) Estrategia “racionalidad limitada”: estabilidad en los primeros periodos 50,50 -50,100 Precio alto 100,-50 10,10 Precio bajo Precio alto Precio bajo A / B