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# Parabola

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• 1. MatematicaLA PARABOLA
• 2. Parabola................................................................................................................................................3 Definizione.......................................................................................................................................3 Parabola con vertice nell’ origine e asse coincidente con l’ asse y..................................................3 Concavità della parabola..................................................................................................................4 Equazione della parabola con asse parallelo asse y..........................................................................5 Vertice, Fuoco e direttrice della parabola.........................................................................................6 Parabola con asse di simmetria parallelo all’ asse x.........................................................................8 Concavità parabola con asse parallelo asse x.................................................................................10 Casi particolari................................................................................................................................10 Posizioni di una retta rispetto ad una parabola...............................................................................10 Tabella riassuntiva..........................................................................................................................11 Rette tangenti alla parabola............................................................................................................12 1. Il punto è esterno alla parabola...............................................................................................12 2. Il punto appartiene alla parabola............................................................................................12 3. Il punto è interno alla parabola...............................................................................................12 Condizioni generali per determinare l’equazione di una parabola.................................................13 Segmento parabolico......................................................................................................................13 Generalizzazione............................................................................................................................14 Dimostrazioni.................................................................................................................................14 Formulario......................................................................................................................................15 Antonella Greco Rosangela Mapelli
• 3. ParabolaÈ stato osservato che i corpi lanciati, ovverossia i proiettili, descrivono una linea curva di un qualche tipo;però, che essa sia una parabola, nessuno lha mostrato. Che sia così, lo dimostrerò insieme ad altre non pochecose, né meno degne di essere conosciute…..(Galileo Galilei)Il percorso che compie un pallone lanciato dal calciatore, l’acqua che zampilla dalla fontana, ilproiettile sparato dal cannone, la pallina che rimbalza, ha la stessa forma in tutti i casi, sitratta di una curva particolare che in m viene chiamata parabola che vuol dire "mettereaccanto" Consideriamo un punto A nel piano cartesiano equidistante da un punto F e da una retta d, parallela all asse x. Supponiamo che il punto A disti 12 sia da F (-3, 4) che da d di equazione y=-4, cioè la distanza di A da E sia 12. Spostiamo il punto E lungo la retta d e osserviamo il luogo che disegna il punto A Come puoi osservare dalle immagini riprodotte, il punto A disegna una curva Tale curva è un luogo geometrico ed è chiamato parabolaDefinizioneSi definisce Parabola il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto Fuoco eda una retta d detta direttrice.Parabola con vertice nell’ origine e asse coincidente con l’ asse y.Consideriamo il punto generico appartenente all’asse y F(0, p) e la retta d: y=-p.Indichiamo con A (x; y) un punto generico delpiano cartesiano. Il punto A deveessere equidistante da F e dalla retta d.Calcoliamo AH =| y + p | , otteniamo x 2 + ( y − p ) 2 =| y + p |eleviamo al quadrato entrambi i membri x 2 + ( y − p)2 = ( y + p)2 x 2 + y 2 − 2 py + p 2 = y 2 + 2 py + p 2 x 2 = 4 py x2Ricavando y otteniamo y = 4p
• 4. 1Poniamo a = l’ equazione diventa 4py = ax 2 equazione della parabola con vertice nell’ origine 1Dalla relazione a = ricaviamo p in funzione di a e determiniamo le coordinate del fuoco 4p  1  1  4 p  e d: y = − 4 p .e l’ equazione della direttrice , F  0,   La parabola ammette asse di simmetria, in questo caso coincidente con l’ asse y, passante peril vertice e per il fuoco.Concavità della parabolaOsserva le parabole nella figura 1.Possiamo dedurre che:•Hanno tutte la concavità verso l’alto•Il coefficiente a è positivo•Al crescere del valore di a l’aperturadella parabola diminuisce Figura 1
• 5. Osserva le parabole nella figura 2.Possiamo dedurre che:•Hanno tutte la concavità verso il basso•Il coefficiente a è negativo•Al decrescere del valore di a l’ aperturadella parabola diminuisceGeneralizzazioneSe a>0 la parabola ha la concavità rivoltaverso l’alto, e al crescere di a la aperturadiminuisce.Se a<0 la parabola ha la concavità rivoltaverso il basso, e al decrescere di a l’apertura Figura 2Equazione della parabola conasse parallelo asse yConsideriamo la parabola con vertice nell’origine di equazione y = ax . 2Prendiamo un punto nel piano V1 ( xv ; yv )Applichiamo una traslazione di vettore OV1 ,otteniamo un nuovo sistema di assicartesiani XV1Y .In tale sistema l’equazione della parabolatraslata P , congruente a quella data, è 1Y = aX 2Le equazioni della traslazione sono:  X = x − xv  Y = y − yvDimostrazioneSostituiamo nell’equazione della parabola P e troviamo la sua equazione rispetto al sistema 1xOy.y − yv = a ( x − xv ) 2 2y − yv = ax 2 − 2axv x + axv 2y = ax 2 − 2axv x + axv − yvPoniamob = −2axv otteniamo y = ax + bx + c 2 2c = axv − yv
• 6. Equazione della parabola con asse parallelo all’ asse y.Vertice, Fuoco e direttrice della parabola b = −2axv Dalle equazioni  determiniamo le coordinate del vertice. c = axv 2 − yv   −b  −b  −bb = −2axv  xv = 2a   xv = 2a   xv = 2a  ⇒ ⇒ ⇒  y = b − 4ac 2c = axv − yv  yv = a ( − b ) 2 − c 2 y = a b − c 2   2a  v  4a 2  v  4a  b ∆Le coordinate del vertice sono V  −  ;−   2a 4 a  bL’ asse di simmetria ha equazione x = − 2a  b 1− ∆ Il fuoco ha coordinate F  − ;   2a 4a  1+ ∆La direttrice ha equazione y = − 4aCasi particolariOsserva la figura al lato.La parabola passa perl’origine degli assicartesiani. Le coordinatedi O devono soddisfare l’equazione della parabolay = ax 2 + bx + cSostituiamo e otteniamo:c = 0.L’ equazione dellaparabola diventay = ax 2 + bx
• 7. Osserva la figura allato.La parabola ha ilvertice sull’asse y,conseguentementel’ ascissa del verticeè nulla, quindi: b− =0⇒b=0 2aLe coordinate delvertice sono V (0; c)e l’equazione dellaparabola diventay = ax 2 + cOsserva la figura allato.La parabola ha ilvertice nell’ origine.La parabola è passanteper l’ origine e ha ilvertice sull’ asse ycontemporaneamente,quindi valgono le duecondizioni b = 0 ∧ c = 0.L’ equazione dellaparabola èy = ax 2
• 8. Tabella RiassuntivaParabola Generica nel pianoy = ax 2 + bx + c  b ∆V − ;−   2a 4 a Vertice    b 1− ∆ F− ;  Fuoco  2a 4a  1+ ∆y=− direttrice; 4a bx=− asse di simmetria 2aParabola con il vertice sull’ asse yy = ax 2 + cV (0; c) VerticeParabola passante per l’ originey = ax 2 + bxParabola con il vertice nell’ originey = ax 2Parabola con asse di simmetria parallelo all’ asse xConsideriamo la parabola diequazione y = ax + bx + c e la 2bisettrice del I e III quadrante diequazione y = x .Determiniamo la parabolasimmetrica a quella data, rispetto atale retta.Le equazioni della simmetria sonox = yy = xDimostrazioneApplichiamole alla parabola eotteniamox = ay 2 + by + cLe coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni dell’ asse di simmetria e della direttrice si determinano applicandola medesima simmetria alle corrispondenti formule relative alla parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y,secondo la corrispondenza che segue:  b ∆  ∆ b V  − ; −  il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è V  − ;−   2a 4 a  4a 2a      b 1− ∆  1− ∆ b F− ;  il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è F  ;−   2a 4a   4a 2a  1+ ∆ 1+ ∆y=− il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è x = − 4a 4a
• 9. b bx=− il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è y = − 2a 2a
• 10. Concavità parabola con asse parallelo asse xAlla parabola con asse parallelo all’asse y e concavità verso l’alto corrisponde, nella simmetriarispetto alla bisettrice del I e III quadrante, una parabola con asse parallelo all’ asse x econcavità rivolta verso destra.Generalizzazionese a>0 la concavità della parabola è verso destrase a<0 la concavità della parabola è verso sinistraCasi particolariPer la parabola con asse parallelo all’asse x valgono le medesime proprietà viste per laparabola con asse parallelo all’asse y.Tabella RiassuntivaParabola Generica nel pianox = ay 2 + by + c  ∆ b V  − ;−  Vertice  4a 2a   1− ∆ b F ;−  Fuoco  4a 2a  1+ ∆x=− direttrice; 4a by=− asse di simmetria 2aParabola con il vertice sull’asse xx = ay 2 + cV (c;0) VerticeParabola passante per l’originex = ay 2 + byParabola con il vertice nell’originex = ay 2Posizioni di una retta rispetto ad una parabolaUna retta rispetto ad una parabola può essere:•Secante, se retta e parabola si incontrano in due punti•Tangente, se retta e parabola si incontrano in un punto•Esterna, se retta e parabola non si incontrano in alcun puntoPer determinare la posizione della retta di equazione y = mx + q rispetto alla parabola diequazione y = ax + bx + c bisogna svolgere il sistema tra l’equazione della retta e quella della 2parabola y = mx + q y = ax + bx + c 2risolvendo si ottiene un’equazione di secondo grado, per la quale si può verificare uno dei casiseguenti:
• 11. 1. ∆ > 0 , l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte. La retta incontra la parabola in due punti, quindi è secante. 2. ∆ = 0 , l’equazione ammette due soluzioni coincidenti. La retta incontra la parabola in un punto, quindi è tangente. 3. ∆ < 0 , l’equazione non ammette soluzioni reali. La retta non incontra la parabola in nessun punto, quindi è esterna.Tabella riassuntivaSecanteLa retta incontrala parabola indue puntidistinti. y = mx + q y = ax + bx + c 2∆>0TangenteLa retta incontrala parabola in unpunto y = mx + q y = ax + bx + c 2∆=0
• 12. EsternaLa retta nonincontra laparabola y = mx + q y = ax + bx + c 2∆<0Rette tangenti alla parabola1. Il punto è esterno alla parabolaData l equazione di una parabola y = ax + bx + c 2e un punto A( x1 , y1 ) esterno alla parabola, determinare le equazioni delle rette tangenti allaparabola passanti per A.Per risolvere questo problema dobbiamo procedere nel seguente modo:•determinare il fascio di rette di centro Ay − y1 = m( x − x1 )•mettere in sistema l equazione della parabola con il fascio proprio y − y1 = m( x − x1 ) y = ax + bx + c 2•si ottiene un equazione di II grado.Ricordando che una retta è tangente ad una parabola quando il discriminante dell equazione diII grado è nullo, poniamo la condizione ∆ = 0•otteniamo un’ equazione di II grado in m.Si risolve e si determinano i due valori di m che, sostituiti nell’ equazione del fascio daranno ledue rette tangenti.2. Il punto appartiene alla parabolaDeterminare l equazione della retta tangente allaparabola di equazione y = ax + bx + c in un suo 2punto A( x1 , y1 )Determiniamo l equazione del fascio di centro Ay − y1 = m( x − x1 )il coefficiente angolare della retta tangente si trovacon l’equazione m = b + 2ax1oppure si utilizza la regola dello sdoppiamentoEquazione retta tangente in un punto appartenentealla parabola y + y1 x + x1 = ax1 x + b +c 2 23. Il punto è interno alla parabolaSe il punto è interno alla parabola non esistono rette tangenti alla parabola, ma solo secanti.
• 13. Condizioni generali per determinare l’equazione di una parabolaLequazione di una parabola, sia quella con asse parallelo all’asse delle y, y = ax + bx + c sia 2quella con asse parallelo all’asse delle x, x = ay + by + c dipende dai tre parametri a,b,c quindi 2per ricavare lequazione dobbiamo avere tre relazioni indipendenti fra loro che ci permettano dideterminare i parametri.Alcuni casi che possono presentarsi più frequentemente:1.Passaggio per tre punti2.Conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco3.Conoscenza delle coordinate del vertice e passaggio per un punto4.Conoscenza delle coordinate del vertice e dell’equazione della direttrice5.Passaggio per due punti e tangenza ad una data retta6.Conoscenza dell’equazione dell’asse e della direttrice, e passaggio per un punto.Segmento parabolicoTeorema di Archimede (area delsegmento parabolico)Consideriamo la parabola con verticenell’origine O (0,0) e che ha come asse quellodelle ordinate y = ax 2 (a > 0);consideriamo una retta r parallele all’assedelle ascisse che interseca la parabola neipunti A e B.DefinizioneLa regione finita S del piano delimitatadall’arco AVB di parabola e dal segmentoAB viene detta segmento parabolico.Vogliamo trovare l’area del segmentoparabolico. Questa area S risulta uguale alladifferenza tra l’area del rettangolo AA’BB’equella della regione delimitata dall’arco A’VB’ edai segmenti AA’, BB’ e A’B’, che per simmetria rispetto all’asse delle y risulta doppia dellaregione T delimitata dall’arco AV e dai segmenti AA’ e VA’.I punti hanno coordinate: A( − h; ah ) , B( h; ah ) , A ( − h;0) , B ( h;0) avremo: 2 2AS = A( AA BB ) − 2 ATDoveA( AA BB ) = BB ⋅ A B = 2h ⋅ ah 2 = 2ah3Per calcolare l’area della regione T si può utilizzare o un metodo di approssimazione o un 1 3metodo mediante l’integrale definito di funzione, che dà come risultato AT = ah . 3 1  4 3 2Troviamo perciò AS = A( AA BB ) − 2 AT = 2ah − 2 ah  = 3 3 ah che non è altro che i dell’area 3  3 3del rettangolo AA’BB’
• 14. Generalizzazione 2L’area del segmento parabolico AVB è uguale ai 3dell’area del rettangolo AA’BB’ (teorema diArchimede).Questo risultato vale anche quando la retta cheinterseca la parabola non è perpendicolare al suoasse.Consideriamo una parabola di equazioney = ax + bx + c e una generica retta r y = mx + q che 2interseca la parabola nei punti A e B. Tracciamo laretta t tangente alla parabola e parallela alla retta r;tracciamo le proiezioni di A e B sulla retta tangente, 2l’area del segmento parabolico ABV è uguale a 3dell’area del rettangolo AA’BB’DimostrazioniDimostrazione: Regola dello sdoppiamento"Determinare l equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = ax + bx + c in 2un suo punto P ( x1 , y1 ) "Determiniamo l equazione del fascio di centro P: y − y1 = m( x − x1 ) e svolgiamo il sistema conlequazione della parabola y − y1 = m( x − x1 ) ⇒ ax 2 + bx + c = mx − mx1 + y1 y = ax + bx + c 2ax 2 + bx + c = mx − mx1 + y1 ⇔ ax 2 + (b − m) x + c + mx1 − y1 = 0Il punto P appartiene alla parabola, quindi l equazione di II grado ammette due soluzionicoincidenti con x1 = x2 .Per la relazione esistente tra le soluzioni di un equazione di II grado e i suoi coefficientisappiamo che: b b−mx1 + x2 = − ⇒− = 2x1 ricaviamo m e otteniamo m = b + 2ax1 sostituiamo nellequazione a adel fascio di rette 2y − y1 = (b + 2ax1 )( x − x1 ) ⇒ y − y1 = 2axx1 − 2ax1 + bx − bx1 2Consideriamo la condizione di appartenenza di P alla parabola y1 = ax1 + bx1 + c 2moltiplichiamo entrambi i membri per 2 e otteniamo 2 y1 = 2ax1 + 2bx1 + 2c 2 2Sommiamo membro a membro y − y1 = 2axx1 − 2ax1 + bx − bx e 2 y1 = 2ax1 + 2bx1 + 2cotteniamo y − y1 = 2axx1 + bx − bx1 + 2c raccogliamo b e dividiamo per 2y − y1 x − x1 = ax1 x + b +c 2 2che è l’equazione per determinare la retta tangente in un punto appartenente alla parabola
• 15. FormularioPARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE ORDINATE Equazione della parabola y = ax 2 + bx + c Coordinate del vertice  b ∆ V − ;−   2a 4 a   Equazione asse di simmetria b x=− 2a Equazione della direttrice 1+ ∆ y=− 4a Coordinate del fuoco  b 1− ∆  F− ;   2a 4a  Equazione parabola con vertice y = ax 2 nell’origine degli assi V (0;0) Equazione parabola che passa per y = ax 2 + bx origine degli assi Equazione parabola con asse di y = ax 2 + c simmetria asse delle ordinate, vertice V (0; c) Equazione retta tangente in un punto y + y1 x + x1 appartenente alla parabola = ax1 x + b +c 2 2 Coefficiente angolare della retta m = b + ax1 tangentePARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE ASCISSE Equazione della parabola x = ay 2 + by + c Coordinate del vertice  ∆ b  V−  4a ;− 2a    Equazione asse di simmetria b y=− 2a Equazione della direttrice 1+ ∆ x=− 4a Coordinate del fuoco 1− ∆ b  F ;−   4a 2a  Equazione parabola con vertice x = ay 2 nell’origine degli assi V (0;0) Equazione parabola che passa per x = ay 2 + by origine degli assi Equazione parabola con asse di x = ay 2 + c simmetria asse delle ordinate, vertice V (0; c) Equazione retta tangente in un punto x + x1 y + y1 appartenente alla parabola = ax1 x + b +c 2 2