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Global and Local Histogram Equalization Using R

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In Statistics, a histogram is a graphical representation of the frequency distribution of mass measurements, usually a vertical bar graph. The histogram is a graph composed of rectangles juxtaposed in …

In Statistics, a histogram is a graphical representation of the frequency distribution of mass measurements, usually a vertical bar graph. The histogram is a graph composed of rectangles juxtaposed in which the base of each class corresponds to the range of their height and their incidence ...

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  • 1. T´ecnicas de Equaliza¸c˜ao Global e Local de Histogramas. Michel A. dos Santos ∗ Setembro de 2010 ∗Bacharelando em Ciˆencia da Computa¸c˜ao, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL), Bolsista do Laborat´orio de Modelagem Geom´etrica e Vis˜ao Computacional do Centro de Pesquisa em Matem´atica Computacio- nal(CPMAT), Brasil - Macei´o/AL, Tel: 8805-0582 E-mail: michel.mas@gmail.com, michelalvessantos@hotmail.com 1
  • 2. Sum´ario Lista de Figuras 2 1 Introdu¸c˜ao 2 2 Histograma de Uma Imagem 3 3 Processamento Baseado em Histograma: Equaliza¸c˜ao 4 4 A Equaliza¸c˜ao em Si 4 4.1 Realce Global ou Equaliza¸c˜ao Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2 Realce Local ou Equaliza¸c˜ao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.3 Equaliza¸c˜ao Regional com Janelas de Larguras Diferentes . . . . . . . . . . . . . . 5 4.4 Tratamento das Bordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.5 Equaliza¸c˜ao RGB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 Resultados 6 Referˆencias Bibliogr´aficas 12 Lista de Figuras 1 Histograma de uma imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Imagens com histogramas equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Imagem Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 Imagem Equalizada - Realce Global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 Imagem Equalizada - Realce Local - Janela de 50x50. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6 Compara¸c˜ao de Histogramas - Imagem Original vs. Realce GLocal. . . . . . . . . . 9 7 Imagem Equalizada - Imagem Original vs. Realce Local. . . . . . . . . . . . . . . . 10 8 Imagem Equalizada - Realce Global vs. Realce Local . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 Introdu¸c˜ao Na Estat´ıstica, um histograma ´e uma representa¸c˜ao gr´afica da distribui¸c˜ao de frequˆencias de uma massa de medi¸c˜oes, normalmente um gr´afico de barras verticais. O histograma ´e um gr´afico com- posto por retˆangulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde ao intervalo de classe e a sua altura `a respectiva freq¨uˆencia. Quando o n´umero de dados aumenta indefinidamente e o intervalo de classe tende a zero, a distribui¸c˜ao de freq¨uˆencia passa para uma distribui¸c˜ao de densidade de probabilidades. A constru¸c˜ao de histogramas tem car´ater preliminar em qualquer estudo e ´e um importante indicador da distribui¸c˜ao de dados. Podem indicar se uma distribui- ¸c˜ao aproxima-se de uma fun¸c˜ao normal, como podem indicar mistura de popula¸c˜oes quando se apresentam bimodais. Para o processamento digital de imagens, um histograma ´e um diagrama que representa a frequˆencia de ocorrˆencia dos brilhos de uma imagem. Observando a figura 1, ´e not´orio concluir que o limite esquerdo do gr´afico corresponda a cor preta e o lado direito a cor branca. Facilmente conclu´ımos por este histograma, mesmo n˜ao sabendo qual foi o objeto de onde ele foi retirado, que a imagem possui uma grande concentra¸c˜ao de preto. Na equaliza¸c˜ao do histograma, pretende-se que o histograma final da imagem seja o mais cons- tante poss´ıvel, distribuindo concentra¸c˜oes de brilhos. Deve-se notar que a opera¸c˜ao de equaliza¸c˜ao 2
  • 3. Figura 1: Histograma de uma imagem. de histograma s´o conduziria a histogramas efetivamente constantes se a gama de brilhos fosse con- t´ınua e fosse infinito o n´umero de pontos na imagem. No caso das imagens digitais, a discretiza¸c˜ao do espa¸co e dos brilhos n˜ao permite que esse resultado seja conseguido, como podemos ver pelos dois histogramas, o inicial e o obtido ap´os uma opera¸c˜ao de equaliza¸c˜ao. Contudo, essa opera¸c˜ao ´e muito usada com o objetivo de efetuar uma normaliza¸c˜ao da escala de brilhos, obtendo resultados muito satisfat´orios. 2 Histograma de Uma Imagem Conforme SILVA (2001), em processamento de imagens, trabalha-se sempre com os tons de cinza (digital numbers ou DNs) atribu´ıdos aos pixels de uma imagem. O histograma ´e uma das formas mais comuns de se representar a distribui¸c˜ao dos DNs de uma imagem, e possivelmente a mais ´util em processamento digital de imagens. Ele fornece a informa¸c˜ao sobre quantos pixels na imagem possuem cada valor poss´ıvel de DN (que, no caso das imagens de 8 bits, variam de 0 a 255) ou, de forma equivalente, qual a propor¸c˜ao da imagem que corresponde a cada valor de DN. Os histogramas s˜ao tamb´em conhecidos como distribui¸c˜ao de intensidades e Fun¸c˜ao de Den- sidade de Probabilidade (PDF). Esse ´ultimo termo adv´em do fato de que, estatisticamente, o histograma representa, neste caso, a probabilidade de se achar um DN de um dado valor dentro de uma imagem. Outro ponto importante com rela¸c˜ao a histogramas ´e que eles representam dados digitais, tamb´em chamados de discretos. Assim sendo, a distribui¸c˜ao de intensidades ´e representada por colunas discretas, que n˜ao podem ser divididas ou ”quebradas”, correspondentes a n´umeros inteiros (em contraposi¸c˜ao a n´umeros fracion´arios). Esse conceito assume importˆancia ao se tratar de realce de contraste em imagens. Ao se observar o histograma de uma imagem, tem-se uma no¸c˜ao instantˆanea sobre as carac- ter´ısticas da mesma. A forma do histograma fornece informa¸c˜oes de grande importˆancia (como por exemplo, o caso de imagens de sensoriamento remoto), tais como intensidade m´edia e espa- lhamento dos valores de DN; este ´ultimo, por sua vez, d´a a medida do contraste de uma imagem: quanto maior o espalhamento ao longo do eixo dos DNs, maior o contraste da imagem. O histograma de uma imagem, com n´ıvel de cinza na faixa de [0, L − 1], ´e uma fun¸c˜ao discreta h(rk) que indica o n´umero de pixels que apresentam um determinado n´ıvel de cinza. Conforme abaixo: h(rk) = nk (1) onde rk ´e o k-´esimo n´ıvel de cinza e nk ´e o n´umero de pixels na imagem com n´ıvel de cinza rk. O histograma n˜ao preserva a informa¸c˜ao espacial da distribui¸c˜ao dos pixels, pois este cont´em apenas a quantidade de pixels com um determinado n´ıvel de cinza mas n˜ao a sua posi¸c˜ao na imagem. A ´area do histograma ´e equivalente a ´area da imagem sendo que imagens distintas podem 3
  • 4. apresentar histogramas idˆenticos. Os histogramas podem ser utilizados para fins de reconhecimento Figura 2: Imagens com histogramas equivalentes. de padr˜oes. Entre as t´ecnicas que fazem uso da manipula¸c˜ao do histograma de uma imagem podemos citar o Stretch, a Equaliza¸c˜ao e o Matching. Nesse relat´orio iremos abordar apenas duas t´ecnicas de Equaliza¸c˜ao: a global e a local. 3 Processamento Baseado em Histograma: Equaliza¸c˜ao Atrav´es da visualiza¸c˜ao do histograma de uma imagem obtemos uma indica¸c˜ao de sua qualidade quanto ao n´ıvel de contraste e quanto ao seu brilho m´edio (se a imagem ´e predominantemente clara ou escura). A equaliza¸c˜ao (ou lineariza¸c˜ao) de histogramas consiste em fazer com que as probabilidades de ocorrˆencia das intensidades sejam distribu´ıdas de modo uniforme. O objetivo ´e encontrar uma fun¸c˜ao de transforma¸c˜ao de tons de cinza que aplicada a uma imagem de entrada produza uma imagem na sa´ıda cujo histograma seja uniforme, melhorando assim o contraste. Se usarmos como fun¸c˜ao de transforma¸c˜ao o histograma cumulativo, o resultado ser´a uma distribui¸c˜ao mais uniforme (equalizada). A equaliza¸c˜ao do histograma re-distribui os n´ıveis de cinza de acordo com a fun¸c˜ao de distri- bui¸c˜ao acumulada (cdf - cumulative distribution function) da distribui¸c˜ao de probabilidades da imagem original. Portanto, nesse processo a principal limita¸c˜ao est´a no fato de n˜ao ser poss´ıvel especificar nenhum parˆametro. 4 A Equaliza¸c˜ao em Si A Equaliza¸c˜ao tem como objetivo obter a m´axima variˆancia do histograma de uma imagem, fornecendo assim uma imagem com o melhor contraste, sendo o contraste, uma medida qualitativa e que est´a relacionada com a distribui¸c˜ao dos tons de cinza em uma imagem. A opera¸c˜ao de equaliza¸c˜ao aproxima o histograma da imagem original para um histograma uniforme, calculando o seu histograma acumulado e utilizando este como fun¸c˜ao de intensidade. A op¸c˜ao de equaliza¸c˜ao parte do princ´ıpio que o contraste de uma imagem seria otimizado se todos os 256 poss´ıveis n´ıveis de intensidade fossem igualmente utilizados ou, em outras palavras, todas as barras verticais que comp˜oem o histograma fossem da mesma altura. Obviamente isso n˜ao ´e poss´ıvel devido `a natureza discreta dos dados digitais de uma imagem. Contudo, uma aproxima¸c˜ao ´e conseguida ao se espalhar os picos do histograma da imagem, deixando intocadas as partes mais ”chatas”do mesmo. Esse processo ´e obtido atrav´es de uma fun¸c˜ao de transferˆencia que tenha uma alta inclina¸c˜ao toda vez que o histograma original apresentar um pico, e uma baixa inclina¸c˜ao no restante do histograma.(Camara G., 1996) Para equaliza¸c˜ao do histograma, trabalhamos com trˆes t´ecnicas distintas: equaliza¸c˜ao global, equaliza¸c˜ao regional por blocos e equaliza¸c˜ao regional pontual. Na equaliza¸c˜ao global o processo ´e aplicado levando-se em considera¸c˜ao todos os tons de cinza presentes na imagem. Nas equaliza¸c˜oes regional por blocos e pontual, utiliza-se uma janela de tamanho definido pelo usu´ario para varrer 4
  • 5. a imagem e, para cada posi¸c˜ao da janela na imagem, analisa-se apenas os tons de cinza dentro da janela. A diferen¸ca entre as duas t´ecnicas de equaliza¸c˜ao regional ´e que na equalizac˜ao por blocos, todos os pontos do bloco s˜ao equalizados enquanto que na equaliza¸c˜ao pontual apenas o ponto central da janela ´e equalizado. Para tal, o deslocamento da janela na equaliza¸c˜ao regional pontual ´e feito ponto a ponto, ao contr´ario do deslocamento de equaliza¸c˜ao regional por blocos que ´e feito bloco a bloco. Observando os resultados de cada uma das equaliza¸c˜oes utilizadas, notamos que a t´ecnica de equaliza¸c˜ao global preserva as caracter´ısticas globais da imagem maximizando o contraste e as t´ecnicas de equaliza¸c˜ao regional distorcem a imagem real¸cando os detalhes que n˜ao haviam sido percebidos com a utiliza¸c˜ao da equaliza¸c˜ao global. Na pr´atica, a obten¸c˜ao de um histograma perfeitamente uniforme n˜ao ´e poss´ıvel devido `a natureza das imagens digitais, cujos pixels podem assumir somente valores discretos. Existem t´ecnicas para melhorar este problema, mas pode acontecer de ´areas homogˆeneas na imagem original aparecerem ”pipocadas”, por que tons de cinza iguais s˜ao mapeados para n´ıveis de cinza diferentes. O processo de equaliza¸c˜ao pode levar a falsos contornos na imagem, pois o n´umero de n´ıveis de cinza pode ser reduzido. A equaliza¸c˜ao pode ter um efeito de realce not´avel da imagem, mas o contraste pode ser muito forte e, por isto a equaliza¸c˜ao de histograma deve ser usada com muito cuidado. 4.1 Realce Global ou Equaliza¸c˜ao Global Atrav´es dessa t´ecnica, a imagem equalizada apresenta um melhor contraste, isso deve-se `a equali- za¸c˜ao do histograma que faz com que ocorra um espalhamento do histograma ao longo de toda a gama de valores (0 a 255), ficando este mais uniforme. 4.2 Realce Local ou Equaliza¸c˜ao Local Equaliza¸c˜ao ou especifica¸c˜ao de histogramas podem ser aplicadas em pequenas regi˜oes de uma imagem, centradas em cada pixel, como em um filtro NxN. `As vezes deseja-se real¸car detalhes em ´areas pequenas da imagem. O n´umero de pixels destas ´areas tem influˆencia desprez´ıvel no c´alculo da transforma¸c˜ao global. Nestes casos conv´em usar Realce Local, que pode ser descrito da seguinte forma: ”Define-se uma vizinhan¸ca, cujo centro se move de pixel a pixel na imagem. Para cada posi¸c˜ao equaliza-se o histograma para aquela vizinhan¸ca e obt´em-se uma fun¸c˜ao de transforma¸c˜ao. Esta fun¸c˜ao ´e aplicada sobre a intensidade do pixel central. O centro da vizinhan¸ca move-se para o primeiro pixel adjacente, e o procedimento se repete.” 4.3 Equaliza¸c˜ao Regional com Janelas de Larguras Diferentes A varia¸c˜ao do tamanho da janela influencia os resultados visuais obtidos no processo de equaliza¸c˜ao regional pontual. Aumentando o tamanho da janela, o resultado da equaliza¸c˜ao regional pontual se aproxima do resultado da equaliza¸c˜ao global, enquanto que diminuindo o tamanho da janela, mais detalhes ser˜ao destacados. 4.4 Tratamento das Bordas Um problema que ocorre com a equaliza¸c˜ao regional pontual ´e que o ponto da imagem a ser alterado, que corresponde ao centro da janela definida, depende dos valores dos pontos anteriores e posteriores a este. Se o ponto central da janela estiver nas extremidades da imagem, dependendo do tamanho da janela, os pontos anteriores e posteriores podem n˜ao pertencer `a imagem. Isto faz com que estes pontos centrais da janela sejam desprezados criando-se uma borda na imagem. Algumas solu¸c˜oes tˆem sido propostas para a resolu¸c˜ao deste problema. Dentre elas destacamos a utilizac˜ao da equaliza¸c˜ao global nas bordas, a equaliza¸c˜ao das bordas com uma janela de tamanho m´ınimo (3x3) e a utilizac˜ao de janelas adaptativas (tamanho variado). 5
  • 6. 4.5 Equaliza¸c˜ao RGB Para efetuar a equaliza¸c˜ao RGB, devemos executar a separa¸c˜ao das componentes vermelho, verde e azul e consequentemente combin´a-las, ap´os a equaliza¸c˜ao em separado, em um novo objeto do tipo imagem. 5 Resultados A seguir ser˜ao apresentados alguns resultados adquiridos atrav´es da plataforma R. Figura 3: Imagem Original 6
  • 7. Figura 4: Imagem Equalizada - Realce Global. 7
  • 8. Figura 5: Imagem Equalizada - Realce Local - Janela de 50x50. 8
  • 9. Imagem Original Histograma − Imagem Original x Frequency 0 20 40 60 80 120 01000025000 Imagem Equalizada Globalmente Histograma − Equalização Global x Frequency 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0200040006000 Figura 6: Compara¸c˜ao de Histogramas - Imagem Original vs. Realce GLocal. 9
  • 10. Imagem Original Histograma − Imagem Original x Frequency 0 20 40 60 80 120 01000025000 Imagem Equalizada Localmente Histograma − Equalização Local x Frequency 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0500015000 Figura 7: Imagem Equalizada - Imagem Original vs. Realce Local. 10
  • 11. Imagem Original Histograma − Imagem Original x Frequency 0 20 40 60 80 120 01000025000 Imagem Equalizada Globalmente Imagem Equalizada Localmente Figura 8: Imagem Equalizada - Realce Global vs. Realce Local 11
  • 12. Referˆencias Camara G., Souza R., F. U. G. J. (1996), ‘Spring: Integrating remote sensing and gis by object- oriented data modelling’, Computers & Graphics 20(3), 395–403. Gonzalez, R. & Woods, R. (1992), Digital Image Processing, Addison-Wesley Publishing Company. Jain, A. (1986), Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice-Hall. Marion, A. (1991), An Introduction to Image Processing, Chapman and Hall. Ogˆe Marques Filho, H. V. N. (1999), Processamento Digital de Imagens, number 85-7452-009-8, Brasport. R Development Core Team (2009), R: A Language and Environment for Statistical Computing, R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL http://www.R-project.org, ISBN 3-900051-07-0. SILVA, A. M. e. (2001), Curso Processamento digital de imagens de sat´elite, Centro de Eventos da PUCRS - de 07 a 12 de outubro de 2001, Porto Alegre - RS. URL www.cartografia.org.br. Woods, R. C. G. . R. E. (1992), Digital Image Processing, number 0-201-50803-6, Addison Wesley. 12