UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Leyes de Conservaci´on
Matematica Aplicada
Profesor: Ing. Paul Tocto
Integrantes
Tapia ...
´Indice general
1. Introducci´on 2
2. Modelos Matem´aticos 4
2.1. Proceso de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
Cap´ıtulo 1
Introducci´on
Muchas ecuaciones fundamentales en las ciencias f´ısicas y naturales se ob-
tienen de las leyes ...
poblaci´on animal dado en una regi´on determinada debe ser igual a la tasa de
natalidad, menos el ´ındice de mortalidad, m...
Cap´ıtulo 2
Modelos Matem´aticos
Un modelo matem´atico es la descripci´on matem´atica de un sistema o fen´omeno
de la vida...
Identificaci´on de un problema: o situaci´on compleja que necesita ser simula-
da, optimizada o controlada y por tanto requ...
mecanismo con que se desarrolla un modelo matem´atico repercute en el desarro-
llo de otras t´ecnicas de conocimientos enf...
Cap´ıtulo 3
Modelo aplicando las leyes de
conservaci´on
3.1. Un modelo b´asico de ley de conservaci´on
escalar
Consideremo...
Suponemos ahora que hay un movimiento de las part´ıculas en el tubo y que
denotamos por f=f(x, t) el flujo de u en x y en e...
Por ser A constante se puede simplificar la relaci´on anterior:
∂
∂x
b
a
u(x, t)dx = f(a, t) − f(b, t) +
b
a
g(x, t)dx (2,7...
3.2. La ecuacin del transporte
La ecuaci´on del transporte lineal es un modelo en el cual el flujo es propor-
cional a la d...
obtener su punto de corte con el eje t=0. La solucin en (x, t) se corresponde con
el valor de la condici´on inicial en el ...
w(x∗
, t∗
) = w(X∗
(0), 0) = w0(X∗
(0)) = w0(x∗
− λt) (2,25)
Por lo tanto, la funci´on w0 se traslada a lo largo del tiemp...
Que se conoce como relacin de dispersin. Esta relaci´on indica que si la fase
permanece constante (wt-kx=cte) la velocidad...
3.3. Un modelo de propagaci´on de ondas ac´usti-
cas
Se ha visto que en la ecuaci´on del transporte las curvas caracter´ıs...
Figura 3.1: Notaci´on asint´otica
A continuaci´on se mostrar´a cmo se puede reducir a este modelo un sistema
que a primera...
Si a la relacin anterior le sumamos (2.37) se tiene:
∂
∂t
(u − p
ρ0C0
) − C0
∂
∂x
(u − p
ρ0C0
) = 0
Si las restamos se lle...
Cap´ıtulo 4
Conclusiones
Del trabajo acerca de las leyes de conservaci´on podemos concluir que ´estas
tienen una gran util...
Bibliograf´ıa
[1] David Logan, Introducci´on al m´etodo de vol´umenes finitos.
[2] www.imal.santafe-conicet.gov.ar: Matemat...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Leyes de Conservación

213 views
96 views

Published on

Leyes de Conservación
Matemática Aplicada

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
213
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Leyes de Conservación

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Leyes de Conservaci´on Matematica Aplicada Profesor: Ing. Paul Tocto Integrantes Tapia Coronado Alfredo Larico Barzola Michel Chamaya Galjuf Angelo 4 de octubre de 2013
  2. 2. ´Indice general 1. Introducci´on 2 2. Modelos Matem´aticos 4 2.1. Proceso de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Condiciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3. M´etodos para resolver o analizar ecuaciones diferenciales . . . . . 6 3. Modelo aplicando las leyes de conservaci´on 7 3.1. Un modelo b´asico de ley de conservaci´on escalar . . . . . . . . . . 7 3.2. La ecuacin del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3. Un modelo de propagaci´on de ondas ac´usticas . . . . . . . . . . . 14 4. Conclusiones 17 Bibliograf´ıa 17 1
  3. 3. Cap´ıtulo 1 Introducci´on Muchas ecuaciones fundamentales en las ciencias f´ısicas y naturales se ob- tienen de las leyes de conservaci´on. Las leyes de conservaci´on son las leyes de equilibrio, o ecuaciones que expresan el hecho de que alguna cantidad se equi- libra todo un proceso. En termodin´amica, por ejemplo, la primera ley dice que el cambio en la energ´ıa interna de un sistema dado es igual o se equilibran con la cantidad total de calor aadido al sistema, m´as el trabajo realizado sobre el sistema. As´ı, la primera ley de la termodin´amica es una ley de equilibrio de la energ´ıa, o la ley de conservaci´on. Como otro ejemplo, considere un fluido que fluye en alguna regi´on del espacio que se compone de especies qu´ımicas se so- meten a reacci´on qu´ımica. Para una especie qu´ımica dada, la tasa de tiempo de cambio de la cantidad total de ese producto qu´ımico en la regi´on debe ser igual a la velocidad a la que el producto qu´ımico fluye en la regi´on, menos la velocidad a la que fluye hacia fuera, adem´as de la velocidad a la que la especie se crea, o se consume, por las reacciones qu´ımicas. Esta es una declaraci´on verbal de una ley de conservaci´on de la cantidad de las especies qu´ımicas que se indican. Equilibrios parecidos o leyes de conservaci´on se producen en todas las ramas de la ciencia. En ecolog´ıa de la poblaci´on, por ejemplo, la tasa de cambio de una 2
  4. 4. poblaci´on animal dado en una regi´on determinada debe ser igual a la tasa de natalidad, menos el ´ındice de mortalidad, m´as la tasa de migraci´on al interior o fuera de la regi´on. 3
  5. 5. Cap´ıtulo 2 Modelos Matem´aticos Un modelo matem´atico es la descripci´on matem´atica de un sistema o fen´omeno de la vida real. La formulaci´on de un modelo matem´atico implica: Identificar las variables causantes del cambio de un sistema. Establecer un conjunto de hip´otesis razonables acerca del sistema (leyes emp´ıricas aplicables). Las hip´otesis de un sistema implican con frecuencia la raz´on o tasa de cambio de una o m´as variables que intervienen. El enunciado matem´atico de esas hip´otesis es una o ms ecuaciones donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferen- ciales. 2.1. Proceso de modelado En muchos casos la construcci´on o creaci´on de modelos matem´aticos ´utiles sigue una serie de fases o proceso bien determinados: 4
  6. 6. Identificaci´on de un problema: o situaci´on compleja que necesita ser simula- da, optimizada o controlada y por tanto requerir´ıa un modelo matem´atico predictivo. Elecci´on del tipo de modelo: esto requiere precisar qu´e tipo de respuesta u output pretende obtenerse, cuales son los datos de entrada o factores relevantes, y para qu´e pretende usarse el modelo. Esta elecci´on debe ser suficientemente simple como para permitir un tratamiento matem´atico ase- quible con los recursos disponibles. Esta fase requiere adem´as identificar el mayor n´umero de datos fidedignos, rotular y clasificar las inc´ognitas (va- riables independientes y dependientes) y establecer consideraciones, f´ısicas, qu´ımicas, geom´etricas, etc. que representen adecuadamente el fen´omeno en estudio. Formalizaci´on del modelo: en la que se detallar´an qu´e forma tienen los datos de entrada, qu tipo de herramienta matem´atica se usar´a, como se adaptan a la informaci´on previa existente. Tambi´en podr´ıa incluir la confecci´on de algoritmos, ensamblaje de archivos inform´aticos, etc, etc. En esta fase posiblemente se introduzcan tambi´en simplificaciones suficientes para que el problema matem´atico de modelizaci´on sea tratable computacionalmente. Comparaci´on de resultados: los resultados obtenidos como predicciones ne- cesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el modelo est´a prediciendo bien. Si los resultados no se ajustan bien, frecuentemente se vuelve a la fase 1. Es importante mencionar que la inmensa mayor´ıa de modelos matem´aticos no son exactos y tienen un alto grado de idealizaci´on y simplificaci´on, ya que una modelizaci´on muy exacta puede ser m´as complicada de tratar de una sim- plificaci´on conveniente y por tanto menos ´util. Es importante recordar que el 5
  7. 7. mecanismo con que se desarrolla un modelo matem´atico repercute en el desarro- llo de otras t´ecnicas de conocimientos enfocadas al ´area sociocultural. 2.2. Condiciones adicionales En el proceso de modelado, con bastante frecuencia, aparecen condiciones adicionales que se deben a˜nadir al problema que se plantea. En el caso de las reacciones del ejemplo anterior, las concentraciones iniciales de los elementos son datos del problema que se consideran en la formulaci´on de ´este. 2.3. M´etodos para resolver o analizar ecuacio- nes diferenciales Una vez que tenemos formulado el modelo matem´atico, el problema est´a en resolverlo, que en la mayor´ıa de las ocasiones no es f´acil. Los m´etodos de estudio de modelos los podemos resumir en: M´etodo anal´ıtico: m´etodo de bsqueda de soluciones a las ecuaciones dife- renciales. An´alisis cualitativo: se utiliza la ecuaci´on diferencial como fuente de infor- maci´on de las propiedades de las posibles soluciones. An´alisis num´erico: aproximaci´on a los valores de la soluci´on. 6
  8. 8. Cap´ıtulo 3 Modelo aplicando las leyes de conservaci´on 3.1. Un modelo b´asico de ley de conservaci´on escalar Consideremos una cantidad u(x, t) que puede representar la densidad de una determinada magnitud. Para simplificar supondremos que se distribuye de for- ma uniforme en cada seccin de un tubo de seccin transversal constante A. Las dimensiones de u son: [U] = magnitud/volumen. Si consideramos un segmento arbitrario del tubo VI, siendo I = [a, b], la can- tidad total de u en VI es VI u(x, t)dxdydz = b a u(x, t)Adx = A b a u(x, t)dx 7
  9. 9. Suponemos ahora que hay un movimiento de las part´ıculas en el tubo y que denotamos por f=f(x, t) el flujo de u en x y en el instante t, es decir, f mide la cantidad de u que cruza la secci´on x en el instante t por unidad de volumen y tiempo. Por lo tanto las dimensiones de f ser´an: f = magnitud.longitud volumen.tiempo = densidad.velocidad Suponemos que el flujo es positivo si es hacia la derecha y negativo si es hacia la izquierda. Entonces, en el instante t, la cantidad total de y que entra enVI, es la cantidad total que entra en x=a, menos la que sale en x=b. Esto es, Flujo total de cantidad de u enVI en el instante t = Af(a, t) − Af(b, t) (2,3) Supongamos finalmente que u puede ser creada o destruida en la secci´on x en el instante t, y que esta creaci´on o destrucci´on viene dada por una funci´on g = g(x, t). Las dimensiones de la fuente o sumidero g son: g = magnitud volmen.tiempo (2,4) Dada g podemos calculas la creacin/disminucin de u en VI por integracin: tasa de creaci´on/disminuci´on de u en VI = b a g(x, t)Adx (2,5) Con todos los c´alculos y razonamientos realizados, la ley de conservaci´on para u se puede formular para cualquier intervalo espacial I como: tasa de cambio de u en I = flujo total de cantidad de u en I + tasa de creaci´on/disminuci´on de u en I Por lo tanto: ∂ ∂x b a u(x, t)Adx = Af(a, t) − Af(b, t) + b a g(x, t)Adx (2,6) 8
  10. 10. Por ser A constante se puede simplificar la relaci´on anterior: ∂ ∂x b a u(x, t)dx = f(a, t) − f(b, t) + b a g(x, t)dx (2,7) Esta relacin es una ley de conservaci´on integral, v´alida tambi´en para funciones poco regulares. Si las funciones u, f y g son m´as regulares, por ejemplo si verifican: i) b a fx(x, t)dx = f(a, t) − f(b, t) (2,8) ii) ∂ ∂t b a u(x, t)dx = b a ut(x, t)dx (2,9) Entonces la ley de conservaci´on se puede escribir como: b a [ut(x, t) + fx(x, t) − g(x, t)]dx = 0, ∀I = [a, b] (2,10) Al cumplirse para todo intervalo [a, b], el integrando debe anularse, por tanto ut(x, t) + fx(x, t) − g(x, t) = 0, ∀x , t > 0 (2,11) Se trata de una ley de conservaci´on diferencial. Observaciones Se considera que f y g son funciones de x y t, pero tambi´on se pudo haber supuesto que dependen expl´ıcitamente de u, la variable conservativa. Esta hip´otesis conduce a modelos no lineales.. Se tienen dos inc´ognitas u y f, y una sola ecuaci´on. Por lo tanto, se precisa otra ecuaci´on, que se conoce como ecuaci´on de estado, que relaci´on u y f. Si despejamos para el segundo miembro el t´ermino g, ut(x, t) + fx(x, t) = g(x, t), ∀x , t > 0 (2,12) El t´ermino de ley de conservaci´on se usa normalmente cuando g=0, por lo tanto se suele precisar cuando este t´ermino es no nulo: ley de conservaci´on gene- ralizada o con t´ermino fuente o con segundo miembro g. 9
  11. 11. 3.2. La ecuacin del transporte La ecuaci´on del transporte lineal es un modelo en el cual el flujo es propor- cional a la densidad: f(w) = λw, (2,13)) Siendo λ una constante que se puede interpretar como una velocidad de pro- pagaci´on. Haciendo un an´alisis adimensional: [f] = magnitud × longitud volumen×tiempo , (2,14) [λw] = [λ][w] = [λ]magnitud volumen , (2,15) Por lo tanto: [λ] = longitud tiempo (2,16) La ley de conservaci´on correspondiente es: ∂w ∂t (x, t) + λ∂w ∂x (x, t) = 0 (2,17) Y dada la condici´on inicial w(x, 0) = w0(x), −∞ < x < ∞ (2,18) La soluci´on de esta ecuaci´on viene dada por w(x, t) = w0(x − λt), −∞ < x < ∞, t [0, +∞ > (2,19) Esta soluci´on se puede obtener f´acilmente mediante las curvas caracter´ısticas y comprobando que la soluci´on es constante a lo largo de las mismas. Por lo tanto, para conocer el valor de la soluci´on es un punto x y en un instante t, es suficiente calculas la caracter´ıstica que pasa por dicho punto del plano xt y 10
  12. 12. obtener su punto de corte con el eje t=0. La solucin en (x, t) se corresponde con el valor de la condici´on inicial en el punto de corte calculado. El procedimiento formal para obtener la soluci´on es el siguiente: i) Introduciendo las curvas caracter´ısticas: t → X(t), dX dt (t) = λ (2,20) ii) Comprobaci´on de que la soluci´on es constante a lo largo de las caracter´ısti- cas: dw dt (X(t), t) = ∂w ∂t (X(t), t)dX dt (t) + ∂w ∂t (X(t), t) = ∂w ∂x (X(t), t)λ + ∂w ∂t (X(t), t) = 0 (2,21) Donde la segunda igualdad se tiene como consecuencia de la ecuacin que verifican las curvas caracter´ısticas (2.20) y la tercera del hecho de que w sea soluci´on de la ecuaci´on del transporte (2.17). iii) Calculando la soluci´on en un punto arbitrario (x*, t*) del plano xt. Se denota por X*(t) la caracter´ıstica que pasa por dicho punto que satisface el problema de valor inicial: Siendo su expresi´on: X∗ (t) = X∗ (t∗ ) + λ(t − t∗ ), (2,23) Y por tanto su punto de corte con el plano t=0 (ver Fig. 2.1) es X∗ (0) = x∗ − λt∗ , (2,24) iv) Calculamos la soluci´on teniendo en cuenta (2.21) y el valor de la condicin inicial (2.24) 11
  13. 13. w(x∗ , t∗ ) = w(X∗ (0), 0) = w0(X∗ (0)) = w0(x∗ − λt) (2,25) Por lo tanto, la funci´on w0 se traslada a lo largo del tiempo a la velocidad sin deformarse. Si ahora consideramos una condici´on inicial w0 discontinua w0(x) =    wl si x ≤ 0 wr si x > 0 (2,26) La soluci´on de la ley de conservaci´on lo es en el sentido de las distribuciones. La discontinuidad inicial en x=0 se propaga a una distancia d=λt en el tiempo t. La curva caracterstica X(t)=t separa aquellas curvas caracter´ısticas que est´an a su izquierda y sobre las cuales la soluci´on vale wl, de las que est´an a su derecha y sobre las que vale wr. El problema de valor inicial asociado a estas condiciones se conoce como Problema de Riemann y en este caso su soluci´on es simplemente: w(x, t) = w0(x − λt) =    wl si x < 0 wr si x > 0 (2,27) Relacin de dispersi´on, coeficiente de amplificaci´on Las relaciones que se ver a continuaci´on las verifican las ondas arm´onicas que son soluci´on de la ecuaci´on del transporte y son importantes al estudiar las propiedades de los m´etodos num´ericos que se utilicen para su resoluci´on. Se considera una onda arm´onica de la forma w(x, t) = ei(wt−kx) (2,28) Es inmediato comprobar que dicha onda verifica la ecuacin del transporte si se tiene la relaci´on w − kλ = 0 (2,29) 12
  14. 14. Que se conoce como relacin de dispersin. Esta relaci´on indica que si la fase permanece constante (wt-kx=cte) la velocidad de fase Vp es precisamente la velocidad de propagaci´on : Vp = dx dt = w k = λ (2,30) Y es por lo tanto independiente del nmero de onda k. Adem´as, la velocidad de grupo VG tambi´en coincide con VG = dw dk = x t = λ (2,31) y de nuevo es independiente del n´umero de onda El an´alisis de la fase en el esquema num´erico va a estar relacionado con la dis- persi´on del esquema. Para obtener el factor de amplificaci´on del esquema consi- deremos la condici´on inicial: w0(x) = eikx (2,32) La soluci´on w(x, t) dada por (2.27) es igual a w(x, t) = w0(x − λt) = eik(x−λt) = eikx e−ikλt = w0(x)e−ikλt = w0(x)G(k, t) (2,33) Donde G(k, t) = e−ikλt es el coeficiente o factor de amplificaci´on y tiene m´odulo exactamente 1. Es decir, se produce un desfase igual a Kλt pero no se introduce ninguna amortiguaci´on. El an´alisis del factor de amplificaci´on del esquema num´erico va a estar relacionado con una caracter´ıstica del esquema que se conoce como disipaci´on, que representa un decrecimiento de las oscilaciones de altas frecuencias y supone una p´erdida de precisi´on a la hora de aproximar las discontinuidades. Los errores en la amplitud o en el factor de amplificaci´on van a estar relacionados con la difusi´on del esquema num´erico. 13
  15. 15. 3.3. Un modelo de propagaci´on de ondas ac´usti- cas Se ha visto que en la ecuaci´on del transporte las curvas caracter´ısticas juegan un papel muy importante al definir las soluciones de las mismas. En esta parte se considera un ejemplo ms complejo propuesto y desarrollado por S.K. Godunov, para un sistema: ∂w1 ∂t (x, t) + λ1 ∂w1 ∂x (x, t) = 0 (2,34) ∂w2 ∂t (x, t) + λ2 ∂w2 ∂x (x, t) = 0 (2,35) Formado por dos soluciones independientes, con expresiones de la forma: w1(x, t) = w0 1(x − λ1t), w2(x, t) = w0 2(x − λ2t) (2,36) Si ambas condiciones iniciales w10 y w20 est´an definidas en un intervalo [a,b], entonces tiene sentido hablar de la soluci´on del sistema en el tri´angulo ABC( ver fig 2.2) siendo C el punto de corte en el plano xt de las caracter´ısticas: x-1t=cte que pasa por B, y x-2t=cte que pasa por A. Solamente dentro de dicho tri´angulo la solucin es ´unica. ∂ ∂t ( p ρ0C0 ) + C0 ∂u ∂x = 0 14
  16. 16. Figura 3.1: Notaci´on asint´otica A continuaci´on se mostrar´a cmo se puede reducir a este modelo un sistema que a primera vista puede parecer m´as complicado y que corresponde con un problema f´ısico: Este sistema describe la propagaci´on de ondas ac´usticas planas ( de pequeas perturbaciones) en un medio en reposo: beginitemize U velocidad del medio perturbado. P presi´on del medio perturbado, 0 densidad del medio en reposo, C0 compresibilidad del medio en reposo. enditemize Veremos que estas ecuaciones se pueden transformar en un modelo sencillo como el presentado anteriormente. Para ello multiplicamos la segunda ecuaci´on por 1/ 0 C0: ∂ ∂t (u + p ρ0C0 ) + C0 ∂ ∂x (u + p ρ0C0 ) = 0 15
  17. 17. Si a la relacin anterior le sumamos (2.37) se tiene: ∂ ∂t (u − p ρ0C0 ) − C0 ∂ ∂x (u − p ρ0C0 ) = 0 Si las restamos se llega a una relacin an´aloga: v1 = u + p ρ0C0 , v2 = u − p ρ0C0 (2,39) Definimos unas nuevas variables v1 y v2 mediante las expresiones v1(x, t) = v0 1(x−c0t)+v0 2(x+c0t) 2 (2,41) p = ρ0C0 v0 1(x−c0t)+v0 2(x+c0t) 2 (2,42) Entonces v1 y v2 verifican un sistema lineal donde λ1 = c, λ1 = −c y la soluci´on general tiene la forma u − p ρ0C0 = v0 2(x + c0t) Que constituyen la soluci´on general de las ecuaciones de propagaci´on del sonido. Supongamos que son conocidas las distribuciones de la presin p y la velocidad u en el momento inicial en alg´un intervalo [x1, x2]. Dichas distribuciones determinarn de manera nica la solucin en el tringulo caracterstico de base [x1, x2] y que est´a definido por las desigualdades t > 0, x − c0t > x1, x + c0t > x2 Las magnitudes up/0c0 se llaman invariantes de Riemann y permanecen constantes a lo largo de las curvas caracter´ısticas. Adem´as la frmula u + p ρ0C0 = v0 1(x − c0t) Muestra que la distribucin de este invariante de Riemann se desplaza a la derecha con velocidad c0, sin distorsionar su forma. Esta es la motivacin de que c0 se conozco como velocidad de propagaci´on de las ondas ac´usticas o velocidad del sonido. An´alogamente, la f´ormula Muestra que la distribuci´on del otro invariante de Riemann se desplaza a la izquierda, nuevamente a velocidad c0. 16
  18. 18. Cap´ıtulo 4 Conclusiones Del trabajo acerca de las leyes de conservaci´on podemos concluir que ´estas tienen una gran utilidad en diversas ´areas como por ejemplo en la f´ısica, ecolog´ıa, econom´ıa, etc. Las leyes de conservaci´on pueden ser aplicadas a diferentes modelos ma- tem´aticos. El modelo de propagaci´on de las ondas ac´usticas pareciera ser complicado, pero hemos observado que su soluci´on es sencilla, al utilizar la ecuaci´on diferencial de la ley de conservaci´on. En particular en este modelo, se llega a conocer a como la velocidad de propagaci´on de las ondas ac´usticas o velocidad del sonido. Con una buena investigaci´on se realizan modelos matem´aticos ´optimos que nos ayudan a resolver problemas, aplicando diferentes herramientas ma- tem´aticas, como en nuestro caso las ”leyes de conservaci´on” 17
  19. 19. Bibliograf´ıa [1] David Logan, Introducci´on al m´etodo de vol´umenes finitos. [2] www.imal.santafe-conicet.gov.ar: Matematica Aplicada [3] www2.uca.es: Modelo de crecimiento exponencial. 18

×