Dinamica del movimiento rotacional
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No puedo determinar cuál llegará primero con certeza con la información dada. Aunque todos tienen la misma masa y radio, otros factores como la forma, superficie de contacto, centro de masa, etc. también afectarán la velocidad con que ruedan y lleguen abajo. Se necesitaría más detalles sobre la forma y características de cada objeto para predecir cuál será el más rápido.
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- 1. Dinámica del movimiento rotacional 1 Marcos Guerrero
- 2. Marcos Guerrero 2 Energia cinética rotacional Dejando a energia cinética de traslación de la i-ésima partícula como energía cinética de rotación de la i-ésima partícula, tenemos 1 2 mivi 2 = 1 2 mi (riω)2 Ahora todas las partículas tienen la misma rapidez angular ω, por los tanto, la energía cinética de rotación total del cuerpo es la suma de las energías cinéticas de rotación de todas sus partículas: KR = 1 2 m1r1 2 ω2 + 1 2 m2r2 2 ω2 +... = 1 2 miri 2 ω2 i=1 i=n ∑
- 3. Marcos Guerrero 3 Sumando el factor común de esta expresión tenemos I= Momento de inercia KR = 1 2 ( miri 2 )ω2 i=1 i=n ∑ KR = 1 2 Iω2 I = miri 2 i=1 i=n ∑ Momento de inercia Energia cinética rotacional El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
- 4. Marcos Guerrero 4 Explique ¿cómo se modifica la ley de conservación de la energía cuando se estudia cuerpos rígidos y que tienen solamente energía cinética de rotación?
- 5. Marcos Guerrero 5 Momento de inercia o inercia rotacional La suma de las masas de las partículas por el cuadrado de su distancia al eje de rotación, se llama momento de inercia o inercia rotacional que se denota como I. La inercia rotacional es una medida que indica la resistencia de los cuerpos a cambiar su estado de movimiento rotacional.
- 6. Marcos Guerrero 6 I = m1r1 2 + m1r1 2 +... = miri 2 i ∑
- 9. Marcos Guerrero 9 Cálculos de momento de inercia
- 10. Marcos Guerrero 10 Imaginemos que dividimos a un cuerpo en pequeños elementos de masa dm, de modo que todos los puntos de un elemento estén prácticamente a la misma distancia perpendicular del eje de rotación. ∫= dmrI 2 La densidad de masa por unidad de volumen, p=dm/dV, así que: ∫= dVrI ρ2 Si la densidad de un cuerpo es uniforme ∫= dVrI 2 ρ N O T A : S i e m p r e debemos escoger dV de modo que todos los puntos estén casi a la misma distancia del eje de rotación.
- 13. Marcos Guerrero 13 Teorema de los ejes paralelos Relación simple entre el momento de inercia de un cuerpo de masa M alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y el momento de inercia alrededor de cualquier otro eje paralelo al original pero desplazado una distancia d. cmI pI 2 MdII cmp +=
- 14. Marcos Guerrero 14 Escribiendo una expresión para el momento de inercia de la tajada alrededor del eje que pasa por el centro de masa en O es: cmI ∑ += i iiicm yxmI )( 22 ])()[( 22 ∑ −+−= i iiip byaxmI ∑∑ ∑∑ ++−−+= i i i i ii i iiiiip mbaymbxmayxmI ])(22)[( 2222 El momento de inercia de la tajada alrededor del eje que pasa por P es: Expandiendo los cuadrados y reagrupando: cmI proporcionales a las coordenadas de centro de masa por lo tanto son ceros 2 d Queda demostrado que: 2 MdII cmp +=
- 21. Marcos Guerrero 21 Momento de torsión o torque Medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo τ = rFSenφ →→→ = Fxrτ Unidad en el SI: Nm
- 22. Marcos Guerrero 22 Dirección del Torque .
- 27. Marcos Guerrero 27 Torque neto o resultante . τ∑ = τ1 −τ2 = F1d1 − F2d2
- 29. Marcos Guerrero 29 Condiciones de equilibrio mecánico Primera condición: equilibrio de traslación Para un cuerpo extendido, el centro de masa del cuerpo tiene cero aceleración si la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es cero. 0=∑ → F 0=∑ → x F 0=∑ → y F 0=∑ → z F Donde la sumatoria incluye solo las fuerzas externas
- 30. Marcos Guerrero 30 Segunda condición: equilibrio de rotación Un cuerpo rígido en equilibrio no debe tener tendencia a comenzar a girar alrededor de ningún punto, así que la suma de momentos de torsión externos alrededor de cualquier punto debe ser cero. 0=∑ → τ
- 31. Marcos Guerrero 31 Situaciones donde existe equilibrio mecánico . ! τ∑ = ! 0 ! F∑ = ! 0 Si sobre un cuerpo actúan 3 fuerzas complanares y el cuerpo está en equilibrio mecánico, entonces las líneas de acción de los 3 fuerzas se interseptan en un punto.
- 32. Marcos Guerrero 32 0 Si un cuerpo está en equilibrio mecánico con respecto a un punto O, entonces está en equilibrio mecánico con respecto a cualquier otro punto O´ 0 0
- 33. Marcos Guerrero 33 Centro de gravedad Punto donde toda la fuerza gravitacional de un sistema se concentra Definición xcg = w1x1 + w2 x2 + w3x3 +... w1 + w2 + w3 +... = wi xi i ∑ wi i ∑ ycg = w1y1 + w2 y2 + w3y3 +... w1 + w2 + w3 +... = wi yi i ∑ wi i ∑ zcg = w1z1 + w2z2 + w3z3 +... w1 + w2 + w3 +... = wizi i ∑ wi i ∑
- 34. Marcos Guerrero 34 Momento de torsión gravitacional →→→→→ ×=×= gmrwr iiiiiτ ...2211 +×+×== →→→→→→ ∑ gmrgmr i ττ El momento de torsión total debido a las fuerzas gravitacionales que actúan sobre todas las partículas es: →→→ ×++= grmrm ...)( 2211 →→ ×= ∑ grm i ii )( Ahora multiplicamos y dividimos para la masa total del sistema:
- 35. Marcos Guerrero 35 …Obtenemos → → → →→ → ×=× ++ ++ = ∑ ∑ gM m rm gM mm rmrm i i i ii ... ... 21 2211 τ Si g tiene el mismo valor en todos los puntos de un cuerpo, el centro de gravedad coincide con el centro de masa. →→→→→ ×=×= wrgMr cmcmτ
- 36. Marcos Guerrero 36 Localización y uso del centro de gravedad • Podemos usar consideraciones de simetría para encontrar el centro de gravedad, en caso de cuerpos homogéneos. • Para cuerpos irregulares , es posible encontrar el centro de gravedad dividiendo el cuerpo en piezas simétricas.
- 37. Marcos Guerrero 37 El centro de gravedad puede estar fuera del cuerpo
- 38. Marcos Guerrero 38 Determinando el centro de gravedad experimentalmente en un cuerpo plano irregular
- 39. Marcos Guerrero 39 Estabilidad e inestabilidad La estabilidad tiene que ver con la altura a la que se encentra el centro de gravedad con respecto a la base de apoyo y el ancho de la base de apoyo
- 46. Marcos Guerrero 46 Resolución de problemas de equilibrio de cuerpos rígidos Recordar 0=∑ → x F 0=∑ → y F 0=∑ → zτ (Primera condición de equilibrio, fuerzas en el plano xy) (Segunda condición de equilibrio, fuerzas en el plano xy) • Una vez que se escoge un punto, se deberá usar el mismo punto para calcular todos los momentos de torsión que actúan sobre el cuerpo. • Es conveniente escoger un punto que simplifique los cálculos lo más posible.
- 56. Marcos Guerrero 56 Momento de torsión y aceleración angular de un cuerpo rígido La Segunda Ley de Newton para la componente tangencial de una partícula es: tan,11tan,1 amF = Podemos expresar esta relación en términos de la aceleración angular: zrmrF α2 111tan,1 = La ecuación anterior no es mas que el momento de torsión de la fuerza neta respecto al eje de rotación: zzz rmI αατ 2 1111 == Escribiendo una ecuación para todas las partículas, tenemos: zzz Irm αατ == ∑∑ )( 2 111
- 60. Marcos Guerrero 60 Trabajo y potencia en movimiento rotacional El trabajo dW efectuado por mientas un punto del borde se mueve una distancia ds es: θRdds = → tanF es el momento de torsión debido a la fuerza , así que: RF → tan → tanF θτ ddW z= El trabajo total W efectuado por el momento de torsión durante un desplazamiento angular Y es: 1θ 2θ ∫= 2 1 θ θ θτ dW z
- 61. Marcos Guerrero 61 Si el momento de torsion es constante y el cambio de Angulo es finito, es decir: 12 θθθ −=Δ El trabajo efectuado por un momento de torsion constante es: θτθθτ Δ=−= zzW )( 12
- 62. Marcos Guerrero 62 Transformamos el integrando de la ecuación antes mencionada, en una integral sobre así:zω zzzzz dId dt d Id dt dW IdId ωωω θ θθαθτ ==== )( Dado que es el momento de torsion neto. Integrando la ecuación anterior tenemos, el trabajo total efectuado: 2 1 2 2 2 1 2 12 1 ωωωω ω ω IIdIW zztot −== ∫ θτ ddW z=Si dividimos ambos términos de esta ecuación entre el intervalo dt: dt d dt dW z θ τ= Obtenemos la rapidez con la que se efectúa trabajo o POTENCIA: zτ zzP ωτ=
- 67. Marcos Guerrero 67 Explique ¿cómo se modifica la ley de conservación de la energía cuando se estudia cuerpos rígidos que tienen energía cinética de rotación y energía potencial gravitacional?
- 69. Marcos Guerrero 69 MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN Consideremos una partícula representativa de masa su velocidad relativa a un marco inercial es: im vi → →→→ += 'icmi vvv La energia cinética de esta partícula la podemos expresar de la siguiente manera: )').('( 2 1 →→→→ ++= icmicmii vvvvmK )'.''.2.( 2 1 →→→→→→ ++= iiicmcmcmii vvvvvvmK )''2( 2 1 22 iicmcmii vvvvmK ++= →→
- 70. Marcos Guerrero 70 La energía cinética total es la suma de todas las energías cinéticas para todas las partículas del cuerpo. Si expresamos los tres términos de la ecuación como sumas individuales, tenemos: K = Ki∑ = ( 1 2 mivcm 2 ∑ )+ (mi∑ vcm → .v i ' → )+ ( 1 2 mi∑ vi '2 ) K = Ki∑ = 1 2 ( mi∑ )v2 cm + vcm → . (mi∑ v i ' → )+ ( 1 2 mi∑ vi '2 ) K = Ki∑ = 1 2 ( mi∑ )v2 cm + vcm → . (mi∑ v i ' → )+ 1 2 ( mi∑ ri 2 )ω2
- 71. Marcos Guerrero 71 22 2 1 2 1 ωcmcm IMvK += “Cuerpo rígido con traslación y rotación”
- 73. Marcos Guerrero 73 vcm = Rω vt = 2vcm acm = Rα at = 2acm Σ ! F = m ! acm Σ ! τ = Icm ! α ¿Qué tipo de fricción actúa en rodadura?
- 74. Marcos Guerrero 74 Explique ¿cómo se modifica la ley de conservación de la energía cuando se estudia cuerpos rígidos que tienen energía cinética de rotación y traslación y energía potencial gravitacional?
- 77. Marcos Guerrero 77 Todos tienen la misma masa y radio y se sueltan de la misma posición, ¿cuál llega primero?
- 78. Marcos Guerrero 78 Movimiento angular (L) El análogo del momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula el es movimiento angular. →→→→→ ×=×= vmrprL smkg /. 2 Unidades: Derivando la ecuación anterior respecto al tiempo usando la regla de la derivada de un producto: )()()()( →→→→ → →→ →→ ×+×=×+×= amrvmv dt vd mrvm dt rd dt Ld La rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular de una partícula es igual al momento de torsión de la fuerza neta que actúa sobre ella. →→→ → =×= τFr dt Ld
- 79. Marcos Guerrero 79 Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría →→ = ωIL Si la cantidad de movimiento angular total del sistema es L y la suma de momentos externos es, entonces:∑ → τ dt Ld → → =∑τ Por ultimo si el sistema de partículas es un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría (el eje z). Por lo tanto: zIατ =∑ →
- 80. Marcos Guerrero 80 Conservación de la cantidad de movimiento Si el momento de torsión externo neto que actúa sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento angular total del sistema es constante (se conserva) zz II 2211 ωω = Considere dos cuerpos A y B que interactúan entre si. dt Ld B AsobreB → → =τ dt Ld A BsobreA → → =τ Por tercera ley de newton: AsobreBBsobreA FF →→ −= AsobreBBsobreA →→ −= ττ
- 81. Marcos Guerrero 81 Por lo tanto, si sumamos las ecuaciones anteriores tenemos: 0=+ →→ dt Ld dt Ld BA Dado que es la cantidad de movimiento angular total del sistema BA LL →→ + → L 0= → dt Ld “Momento de torsión externo neto cero”