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     distribucion-de-weibull distribucion-de-weibull Document Transcript

    • LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL EN LOS ENSAYOS DE FIABILIDAD0. INDICE1. ¿Por qué usamos Weibull? 12. ¿Qué obtenemos al aplicar el modelo de Weibull? 23. Descripción del modelo 24. Representación gráfica 45. Métodos de estimación de los parámetros 56. Cálculos y análisis de fiabilidad a partir del Weibull 127. Observaciones respecto la aplicación de la función de Weibull. 161. ¿POR QUÉ USAMOS WEIBULL? El uso de la función de distribución de Weibull en los estudios defiabilidad de componentes se debe principalmente a la gran diversidad deformas que este modelo puede tomar, dependiendo de los valores de losparámetros característicos. Esto nos permite usar un mismo modelo,independientemente de en que forma varíe la tasa de fallos del componenteestudiado, simplificando en gran medida la tarea de análisis de los resultados. Si no usáramos este modelo, cualquier análisis de los resultadosobtenidos durante el ensayo de los componentes implicaría necesariamente unestudió previo de los datos, para determinar cual de los diferentes modelosexistentes se asemeja más a los datos obtenidos. Esto conllevaría un mayor 1
    • tiempo de análisis y una mayor probabilidad de error, debido a que una malaelección del modelo implicaría dar un resultado erróneo. Al aplicar Weibull, elestudió previo de los datos se reduce únicamente a una inspección visual enbusca de posibles datos anómalos que distorsionen los resultados.2. ¿QUÉ OBTENEMOS AL APLICAR EL MODELO DE WEIBULL? Al aplicar Weibull se obtiene la distribución de fallos del conjunto dedonde proviene la muestra, únicamente ajustando los parámetros del modelo alconjunto de componentes ensayados. Los parámetros característicos de lafunción de Weibull se pueden extraer directamente de la muestra, usando paraeste fin diferentes métodos que se explicarán más adelante. Esto permiteconseguir un modelo estadístico que representa con mayor o menor exactitudla distribución de los fallos del conjunto o lote de donde provienen loscomponentes ensayados. Al conocer la distribución de los fallos, se puede responder a preguntasdel tipo: ¿ Cuantos componentes fallarán durante el primer año?, ¿ Cuantotiempo de garantía tendrá que tener el componente para que únicamente fallenel 1% durante ese periodo?. etc. A parte de las preguntas anteriores, elmodelo obtenido también permite responder a una pregunta tan importantepara nuestro departamento como: ¿El 5% de los componentes del lote fallaránpor encima o por debajo del target? que es el criterio usado par decidir si unlote es OK o NG.3.DESCRIPCIÓN DEL MODELO La función de distribución de Wiebull es un modelo estadístico querepresenta la probabilidad de fallo después de un tiempo t (R(t)) en función deltiempo transcurrido o de una variable análoga. O dicho de otra manera, R(t) es 2
    • la probabilidad de que los componentes de un conjunto sobrevivan hasta elmomento t. Esta función de probabilidad de fallo o función de fiabilidad R(t), vienedada por:   t − γ β  R (t ) = exp −    (3.1)   α    Donde γ , α y β son parámetros que definen la función:- α es el parámetro de escala o vida característica. Este parámetro representa el tiempo ( o el valor de la variable análoga usada ) para el cual la probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. Por tanto cuando mayor sea α, mayor será el intervalo de tiempo en que se producirán los fallos.- γ es el parámetro de translación, y se usa cuando inicialmente, durante un periodo de tiempo T, no se producen fallos y a partir de ese instante la fiabilidad del producto se puede aproximar por la distribución de Weibull (caso γ > 0); o cuando hay fallos antes de empezar los ensayos (caso γ <0).- β es el parámetro de forma o perfil y determina la forma de la distribución. En la representación gráfica del modelo, este parámetro coincide con la pendiente de la recta y da una idea de la dispersión de la muestra. A partir de R(t) se puede definir la probabilidad de que un componentefalle antes del momento t, que se indica como F(t). Esta función es muy útil enel estudio de fiabilidad de componentes y se puede representar como: F(t) = 1-R(t) (3.2) 3
    • A parte de la función de distribución F(t), también se puede definir lafunción de densidad de probabilidad f(t), que muestra la probabilidad que tieneun componente genérico de fallar en un tiempo dado. Esta función coincide conla derivada temporal de F(t) y su expresión es: ∂F (t ) β   t β  f (t ) = = β t β −1 exp −    (3.3) ∂t α  α    4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Una forma simple de ver la distribución de los fallos y de esta formapoder analizar y decidir sobre los resultados, es representar gráficamente lafunción de Weibull. Esta gráfica muestra como varia F(t) respecto al tiempo ( oen nuestro caso, el numero de ciclos ). Para representar gráficamente esta función se deben seguir lossiguientes pasos: 1- Clasificar el tiempo o ciclos de cada muestra (ti) de menor a mayor. 2- Determinar los valores de probabilidad acumulada de fallo ( Fi ). Estos valores se determinan usando la siguiente formula: i − 0,5 Fi = (4.1) n Aunque otros autores dan la formula: i − 0,3 Fi = (4.2) n + 0,4 Donde: i es el número de orden de fallo y n el tamaño de la muestra. 3- Conocidos ti y Fi, se representan el en gráfico. 4
    • Una vez se ha hecho el gráfico, puede pasar que salga directamente unalínea recta (en cuyo caso γ = 0) o que salga una curva ( γ ≠ 0 ). En estesegundo caso existe un periodo de tiempo entre t = 0 y t = γ en que ningúncomponente falla ( si γ es positivo) o parte de las muestras fallan antes deensayarlas (caso de γ negativo). El parametro γ es aquel valor que se letiene que restar a todos los ti para que los puntos representados sigan unarecta.5. METODOS DE ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS Para estimar los parámetros de la función de Weibull se puede recurrir adiferentes metodos, tanto análiticos como gráficos. Estos metodos se puedenusar para calcular los parámetros de forma manual, sobre todo los gráficos,peró normalmente se usan como base para desarollar programas oaplicaciones informaticas. De los diferentes tipos de métodos que se presentarán en este apartado,los métodos analiticos son los que dan una mejor aproximación de losparámetros. Aunque antes de usar un método analitico siempre esrecomendable aplicar un método grafico, con el objetivo de encontrar unaprimera aproximación de los parámetros y para comprobar que estos sepueden aproximar con la función de Weibull.5.1 Métodos gráficos Los métodos gráficos se basan en obtener los parámetros directamentecon el gráfico, relacionando estos con características facilmente medibles en elgráfico. Estos métodos son los más ampliamente usados en los diferentesprogramas o aplicaciones informáticas que se usan para determinar ladistribución de Weibull a partir de un conjunto de muestras. 5
    • Su facilidad de implementación radica en el hecho de que únicamente esnecesario disponer de un programa capaz de efectuar regresiones. Estacualidad, que inicialmente parece una gran virtud, también es el principal desus problemas; ja que dependiendo del tipo de regresión usada, se obtiene unresultado u otro. Esta diferencia de resultados se ve incrementada al disminuirel número de muestras ensayadas.Grafico de (ti-γ ,Fi). Este método parte del gráfico que se obtiene por el procedimiento quese muestra en el punto 4. Para poder aplicar este metodo de una forma rápidaes conveniente usar el papel probabilistico que se muestra en la siguientepagina. En este papel probabilistico se representa Fi en función de ti-γ , y porregresión se obtiene una recta que representa la función de fallos de nuestroconjunto de componentes. A continuación se muestran los pasos para determinar los diferentesparametros característicos:- Para estimar el parámetro β se tiene que trazar una recta paralela que pase por el centro del arco representado en el papel y que corte a este. El punto de corte de la recta paralela que hemos dibujado y el arco nos dará el valor del parámetro.- El parámetro α se estima usando el hecho de que este representa el tiempo para el cual la probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. De este modo basta con ver para que valor de ti la probabilidad de fallo es de 63,2%, y este será el valor del parámetro.Gráfico logarítmico 6
    • Este método consiste en encontrar una relación lineal entre F(t) y t; paraello se modifica la formula 3.1 (con γ =0) tomando logaritmos dos veces enambos lados de tal forma que se consigue una ecuación del tipo: y = ax+b.Esto permite conseguir los parámetros característicos de una forma simple yrápida mediante una representación gráfica de la ecuación. El camino a seguirpara llegar a la ecuación lineal es él que se muestra a continuación:   t β  R (t ) = exp −    (5.1)  α    Si se toman logaritmos en ambos lados obtenemos: β t  LnR (t ) = −  (5.2) α Canbiando el signo ( LnR(t)<0, devido a que R(t)<1), y volviendo a tomarlogaritmos : Ln ( −LnR (t )) = β × Ln (t ) − β × Ln (α) (5.3) Como se puede comprobar, a partir de esta ecuación y de su gráfica,fácilmente se pueden extraer los diferentes parámetros característicos de ladistribución de Weibull. Para mayor comodidad a la hora de dibujar la ecuación,esta se modifica de la siguiente manera: Ln ( −Ln (1 − F (t )) = β × Ln (t ) − β × Ln (α) (5.4)Donde F(t) se calcula con las formulas 4.1 o 4.2 dependiendo de que métodose quiera seguir. En el caso de que la gráfica presente un periodo inicial donde no seproduzcan fallos (en el caso de γ >0), o que parte de las muestras fallen antesde empezar el ensayo (caso de γ <0), antes de representar gráficamente la 7
    • ecuación se debe encontrar el parámetro γ . Para encontrar este parámetro sedeben seguir los siguientes pasos:- Dibujar la recta (ti, Fi) tal como se indica en el apartado 4.- Trazar tres rectas horizontales de manera que la primera pase por el tiempo de fallada más pequeño, la segunda por el tiempo de fallada más grande y la tercera pase por el medio de las dos anteriores.- Encontrar los tiempos de fallo correspondientes a los puntos de corte de estas tres líneas con la gráfica. Llamaremos a estos tiempos Tm (él correspondiente a la recta menor), TI (recta intermedia) y TM (recta mayor).- Calcular γ con la siguiente formula: (TM −TI )(TI −Tm ) γ = TI − (5.5) (TM −TI ) − (TI −Tm )- Volver a representar el gráfico sustituyendo ti por ti-γ , y seguir los pasos mostrados al principio de este apartado.5.2 Métodos analíticos Los métodos que se presentan a continuación permiten obtener unaaproximación del valor de los parámetros de la distribución de Weibull, lacalidad esta aproximación dependerà del método usado. Debido al hecho deque estos métodos no contemplan el caso en que γ ≠ 0 , inicialmente esconveniente dibujar alguno de los gráficos anteriores para determinar el valorde γ y para comprobar que la distribución de Weibull ajusta de una formaaceptable en el comportamiento de las muestras. 8
    • Método de la máxima versemblanza. Este método, que es el que da una mejor aproximación de losparámetros, consiste en la resolución de un sistema de ecuaciones quecontiene los parámetros α y β de forma implicita. Para obtener este sistemade ecuaciones se parte de la hipótesis de que la muestra (aleatoria simple)proviene de una distribución de Weibull de parámetros α y β , por tanto sufunción de densidad de probabilidad corresponte a f(t). Por tanto, si aplicamosla función de versemblanza a esta densidad de probabilidad, obtenemos: n L(α , β ) = ∏ f (ti ) (5.6) i =1Sustituyendo en la ecuación anterior la equación 3.3 obtenemos: βn n  −β n β  L(α , β ) = nβ ∏ ti β −1 exp− α ∑ ti  (5.7) α i =1  i =1 Ahora, si tomanos logaritmos en ambos lados de la equación y buscamos losparámetros α y β como los valores que maximizan la función deversemblanza, obtenemos: n ∑ti β Ln (ti ) 1 1 n i =1 n − β − ∑Ln (ti ) = 0 n i =1 ∑ti β i =1 (5.8) 1 1 n β α =  ∑ti β   n i =1  Debido a que este sistema de ecuaciones no tiene solución explicita,para su resolución se debe usar algun algoritmo de calculo o algun programainformático que sea capaz de resolver este sistema (p.e Microsoft Excel 3.0 o 9
    • 4.0). Como estos algoritmos piden un valor inicial de calculo, es convenienteobtener una primera aproximación de los parámetros a traves de algún métodográfico. Para resolver este sistema es conveniente comenzar por la resoluciónde la primera equación de tal forma que se obtenga el parámetro β paradespués calcular α con la segunda equación. Con este método de calculo se obtienen unos valores de α y β que alhaber sido calculados a partir de una muestra aleatoria, tienen una ciertavariabilidad. En concreto estos parámetros se distribuyen siguiendo unadistribución normal, y por tanto sus intervalos de confianza para un nivel deconfianza δ se pueden calcular como: α − zδ / 2 V (α) ≤ α ≤ α + zδ / 2 V (α) (3.9) β − zδ / 2 V ( β ) ≤ β ≤ β + zδ / 2 V ( β ) (3.10)Donde :- Zδ /2 es el percentil de la normal estándar correspondiente a δ /2 (Ver tabla en cuaquier libro de estadística). 2  α  1,1087- V (α) ≈   β   n 0,2570- V ( β) ≈α nMétodo implicito. Este método calcula los valores de los parámetros a partir de la media yde la varianza de la muestra. Este método permite calcular α y β de unaforma más simple que el método anterior, peró da una aproximación peor delos valores. 10
    • Las ecuaciones de calculo son las siguientes:  0,5772  α = exp  x +    β   π β= S 6Donde: n ∑ Ln (ti ) x= i =1 n 1 n s2 = ∑ ( Ln (ti ) − x) 2 n −1 i =1 Este método, igual que el anterior, da unos valores de los parámetrosque se distribuyen siguiendo una normal. Esto implica que se puede calcular suintervalo de confianza para un nivel de confianza δ como: β  1,049 z(1+δ )  ≤ β ≤ β exp  2    1,049 z(1+δ )   n  exp  2      n    α  1,081z(1+δ )  ≤ α ≤ α exp  β n 2    1,081z(1+δ )    exp  β n 2         Estos límites de confianza son validos cuando la muestra es superior a100 unidades. 11
    • 6. CALCULOS Y ANALISIS DE FIABILIDAD A PARTIR DEL WEIBULL. Para calcular valores de fiabilidad o percentiles de fallo se recurre a laformula de la distribución de Weibull, sustituyendo en esta los valores de losparámetros calculados como se muestra en el apartado 5. De esta forma, paracalcular los valores de fiabilidad utilizaremos la expresión:   t − γ β  R (t ) = exp −      α    Que en caso de querer calcular percentiles de fallos pasa a ser:   t − γ β  F (t ) = 1 − R (t ) = 1 − exp −    (5.1)   α     En el caso de querer saber en que momento (o numero de ciclos) sehabrá producido el fallo de un percentil p de las muestras, lo unico que se debehacer es despejar de la formula anterior la variable de tiempo t. Haciendo esto,la expresión queda como: 1 tp = α [ − Ln(1 − p ) ] β (5.2)Donde tp es el momento (o el numero de ciclos) donde falla p*n componentes. Llegados a este punto se debe destacar que la formula 5.2 es la utilizadapara determinar si un lote ensayado es OK o NG, para ello se calcula el tp paraun percentil del 5% (p=0,05). Si el valor de tp es superior al target el lote es OK,en caso contrario el lote es NG. A parte de los valores de fiabilidad y percentiles calculadosanteriormente, el analisis de la función de distribución de Weibull nos permiteconocer datos importantes de nuestro proceso. En concreto, el valor del 12
    • parámetro β es el que nos da más información respecto de donde seencuentra el error (en el caso de que no se supere el target). A tituloorientativo, se puede decir:- Si β > 3, la variabilidad del proceso de fabricación es correcta, y el problema se encuentra en el diseño. Se tiene que rediseñar el componente.- Si 1,5 -2<β <3, el proceso tiene demasiada variabilidad y el problema puede venir de este. No se puede descartar problemas de diseño. Se tiene que mejorar el proceso productivo y posteriormente volver a efectuar ensayos.- Si β <1,5 - 2 , posibles problemas en la toma de datos o en el estudio posterior de los resultados.Ejemplo: Tenemos un conjunto de componentes que fallan en el siguiente numerode horas: 0.22; 0.5; 0.88; 1; 1.32; 1.33; 1.54; 1.76; 2.5 y 3. A partir de estosvalores se nos pide calcular los siguientes apartados:- % de fallos a las 3 horas.- tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes. Para resolver este problema, primero vamos a dibujar el gráfico (ti,Fi),para ello calculamos los valores de Fi. Como se puede ver en la siguiente tablatambién se adjuntan los valores de Ln(ti), en previsión de que losnecesitaremos para calcular los parámetros con el método analítico implícito. i ti Ln(ti) Fi 1 0,22 -1,51412773 0,06730769 13
    • 2 0,5 -0,69314718 0,16346154 3 0,88 -0,12783337 0,25961538 4 1 0 0,35576923 5 1,32 0,27763174 0,45192308 6 1,33 0,28517894 0,54807692 7 1,54 0,43178242 0,64423077 8 1,76 0,56531381 0,74038462 9 2,5 0,91629073 0,83653846 10 3 1,09861229 0,93269231A continuación se muestra el gráfico de los resultados con la recta de regresiónque aproxima los puntos: percentil de fallos 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 1 2 3 4 h ra o s Si aplicamos las formulas del método implícito para el calculo de losparámetros, se obtiene: n ∑ Ln (ti ) =0.1236 x= i =1 n 1 n s2 = ∑ ( Ln (ti ) − x) 2 =0.589 n −1 i =1 14
    • π β= =1.67 S 6  0,5772  α = exp  x +   =1.59  β   γ =0 Si se aplican los métodos gráficos sobre la recta obtenida por regresióna partir de los datos, se puede ver que los valores obtenidos para αy β coinciden practicamente con los obtenidos analiticamente. A continuación, para contenstar a las preguntas del ejemplo, se van aaplicar las formulas 3.1 y 5.2. β  t −γ   % de fallos a las 3 horas = F (t ) = 1 − R(t ) = 1 − exp −    = 0,96   α    Tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes: 1 t0,05 = α [ − Ln(1 − 0,05) ] β = 0,268 horas En caso de tener un target (definido al F(t)5%), se tendría que compararel valor obtenido con el valor del target. Si el target es menor que 0,268 horas,significa que en el target habrá menos del 5% de fallos, y por tanto el lote esOK. Por el contrario, si el target es superior a 0,268 horas, significa que en eltarget habrá más del 5% de fallos, y por tanto el lote es NG.7. OBSERVACIONES RESPECTO LA APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL. 15
    • Hasta este momento se ha explicado que es la distribución de Weibull ylas ventajas que implica su aplicación en los estudios de fiabilidad, pero en lapráctica, la aplicación de este método conlleva un conjunto de problemas quese van a tratar a lo largo de este apartado. Durante la aplicación de la distribución de Weibull podemos encontrarproblemas de dos tipologías diferentes: los originados por la variabilidad de losresultados, debido a que estamos trabajando con datos estadísticos, y los queson producto de las diferencias en el método de calculo usado.Problemas de variabilidad. Los problemas que tienen su origen en la variabilidad de los resultadosnuméricos se deben principalmente al hecho de que estamos trabajando conresultados estadísticos, y por tanto su nivel de confianza dependerá en granmedida del numero de muestras ensayadas. En nuestro caso, usualmente setrabaja con los resultados de tres o cuatro muestras, y si se tiene en cuentaque la mayoría de libros de estadística recomiendan tamaños entre 10 y 13muestras para conseguir resultados fiables, es fácil darse cuenta que losresultados obtenidos no siempre se correspondan con la realidad. Estaproblemática de pone de manifiesto en el siguiente ejemplo:Ejemplo: Se tiene un conjunto de componentes que han roto a los siguientesciclos: 115000, 88360 y 338130 (caso real con target de 85000). Si aplicamosel Weibull (en este caso se ha usado el paquete estadístico Minitab) obtenemosel siguiente resultado: 16
    • Weibull Probability Plot for C1 99 95 Shape: 1.74707 90 Scale: 204656 80 70 60 50 40 30Percent 20 10 5 3 2 1 1000 10000 50000 100000 500000 1000000 Data Shape: 1.74707 Scale: 204656 Percentile Estimates 95% CI 95% CI Approximate ApproximateP Percentile Lower Limit Upper Limit 0.01 14706 1083 199768 0.02 21931 2258 212972 0.03 27741 3473 221568 0.04 32804 4716 228177 0.05 37384 5981 233663 0.06 41621 7265 238425 0.07 45598 8567 242680 0.08 49370 9886 246561 0.09 52976 11219 250156 0.10 56444 12567 253526 0.20 86729 26765 281033 0.30 113436 42196 304955 0.40 139330 58866 329782 0.50 165927 76844 358279 0.60 194668 96248 393726 0.70 227598 117307 441586 0.80 268734 140612 513597 0.90 329877 168298 646587 0.91 338434 171562 667617 0.92 347813 174988 691326 0.93 358222 178614 718439 0.94 369964 182494 750018 17
    • 0.95 383503 186711 787714 0.96 399602 191397 834298 0.97 419669 196788 894983 0.98 446794 203384 981516 0.99 490521 212634 1131572 Como se puede ver en los resultados que da el Minitab, el valor de losciclos al 5% (0,05) es de 37384 y por tanto el lote sería NG. Pero si miramoslos valores que da el programa como extremos del intervalo de confianzadonde se encuentra F(t),5% con un nivel de confianza del 95%, estos son:5981 y 233663. Por lo tanto, teniendo en cuenta que el target es de 85000ciclos, no podemos asegurar que el lote sea NG, ni tampoco que sea OK.Problemas de calculo. A parte del problema de la variabilidad de los resultados, nosencontramos con un problema a la hora de obtener estos resultados. Como seha visto en el apartado 5 existen diferentes métodos para estimar losparámetros característicos de la función de Weibull, e incluso dentro de unmismo método hay diferencias dependiendo del algoritmo de calculo que seuse (métodos analíticos) o del tipo de regresión (métodos gráficos). Estoimplica que para un mismo conjunto de valores se pueden obtener diversosresultados diferentes; esta diferencia puede hacer que un mismo lote salga OKo NG dependiendo de quien lo calcule. Aunque estas diferencias entre métodos se dan en todos los cálculosefectuados, estas se van incrementando a medida que aumenta la dispersiónde la muestra y cuando aparecen valores que difieren del resto (sin seranomalías). También es conveniente destacar que este problema se veincrementado por el hecho de disponer de pocas muestras, ja que en el límitetodos los métodos llevan a un mismo resultado. Estas diferencias y latendencia que tienen al aparecer valores que distan del resto se puedecomprobar con el siguiente ejemplo:Ejemplo: 18
    • A continuación se van a efectuar los cálculos para determinar si un lotees OK o NG con dos conjuntos de muestras diferentes:- Muestra: 350000, 325000, 300000 y 100000 con target de 100000Para calcular el número de ciclos que produce un 5% de fallos y el parámetroβ (pendiente) se utilizan dos programas:- Programa 1: hoja de Excel basada en el método implícito.- Programa 2: MinitabLos resultados obtenidos se pueden ver en la siguiente tabla: F(t),5% β OK/NG Excel 79261 2,16 NG Minitab 123257 3,3 OK Como se puede comprobar, los resultados obtenidos por los diferentesmétodos tienen grandes diferencias. Estas diferencias son tan importantes, queen el caso de tratarse de un ensayo real, el resultado del informe variaría:dando por bueno un lote malo o al revés. Una cosa que cabría destacar del ejemplo anterior, es que la diferenciade resultados se ha visto aumentada por el hecho de haber un valor que difieremucho del resto, y que los valores “normales” están muy juntos. Si repetimoslos cálculos con un conjunto de valores reales sin grandes anomalías, podemosver que el error cometido es bastante menor (ver siguiente ejemplo):Ejemplo: 19
    • Queremos hacer lo mismo que en el ejemplo anterior pero con lasiguiente muestra: 343000, 502000 y 381000. Los resultados se muestran lasiguiente tabla: F(t),5% β Excel 279134 6,5 Minitab 276000 6,4Como puede verse el error cometido es menor y los resultados de ambos soncompletamente comparables. Para resolver este problema de la variación de resultados con respectoal programa o método de cálculo usado, sería conveniente definir un únicoprograma para todos. Esto permitiría extraer unos resultados validos paratodos y comparables entre sí. Dentro de los diferentes programas existentes, el Minitab pasa por seruno de los que da una solución más coherente con el tipo de lotes que aquí seensayan. Este programa utiliza un método de regresión lineal que otorga unaimportancia relativa a cada punto dependiendo de su posición respecto algrupo, y por lo tanto este método es más insensible a valores anómalos. Estedetalle cobra importancia en nuestro caso por el hecho de que trabajamos conpocas muestras, esto implica que si una de ellas (por el motivo que sea) falla aunos ciclos muy diferentes que el resto, esta toma mucho peso y puede darlugar a un resultado que, al menos desde un punto de vista lógico, no escoherente con los datos del ensayo. Estas diferencias a la hora de efectuar la regresión, se pueden ver en lossiguientes gráficos. Estos gráficos representan las funciones (ti,Fi)correspondientes a las muestras del primer ejemplo de este apartado(350000,325000, 300000, 100000) encontrada con el Excel y con el Minitab. Enellas se puede apreciar lo dicho respecto la forma que tiene el Minitab deefectuar las regresiones y la diferencia en el resultado. 20
    • - Gráfico del Excel: 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 100000 200000 300000 400000- Gráfico del Minitab: Weibull Probability Plot for C2 99 95 Shape: 3.33783 90 Scale: 300105 80 70 60 50 40 30 Percent 20 10 5 3 2 1 20000 40000 60000 80000100000 200000 400000 600000 800000 Data 21