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  • 1. TEMA 10 10.1 – DETERMINACIÓN DE UNA RECTA Para determinar una recta necesitamos conocer una de estas dos condiciones: 1. Un punto A(x1, y1) y un vector = (v1, v2) que llamaremos vector director. 2. Dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) que pertenezcan a la recta y el vector que determinan. Las coordenadas de dicho vector se obtienen restando las coordenadas del extremo de las del origen Vamos a empezar explicando las ecuaciones de la recta para el caso de que conozcamos el punto A y el vector director 1. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO. 10.2 – ECUACIÓN VECTORIAL Considerando que los puntos de la recta están dados en forma de coordenadas (x, y), la ecuación vectorial se escribe: (x, y) =(x1, y1) + k (v1, v2) con k∈ R Ejemplo:Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial. k∈ R 10.3 – ECUACIONES PARAMÉTRICAS Realizando las operaciones indicadas se obtiene: Igualando las primeras coordenadas y las segundas coordenadas de cada miembro
  • 2. llegamos al siguiente sistema: ∈ k R Ejemplo:Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas. 10.4 – ECUACIÓN CONTINUA Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k. Y si igualamos ambos resultados puesto que son la misma k, queda: Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua. 10.5 – ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE Partiendo de la ecuación continua de la recta Y quitando denominadores:
  • 3. Pasamos v1 dividiendo: Llamando m al coeficiente que multiplica al paréntesis (Es la pendiente de la recta) Se obtiene: Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente. 10.6 – ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA Partiendo de la ecuación continua de la recta Multiplicando en cruz se obtiene: Efectuando los productos: Pasando todo al primer miembro: Cambiamos de nombre los coeficientes que acompañan a “x” , a “y” y el término independiente:
  • 4. Reescribimos la ecuación anterior: Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta. Nota importante: Cuando se nos proporciona una ecuación general de la recta, el coeficiente A y el coeficiente B son los componentes del vector director de la recta: A partir de éste podemos determinar la pendiente de la recta: Ejemplo1: Halla la ecuación general de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1). Ejemplo2: Halla la ecuación general de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2. 10.7 – ECUACIÓN EXPLÍCITA Si en la ecuación general de la recta: despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:
  • 5. El coeficiente de la x es la pendiente, m. Ejemplo: Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2. Solución: Escribimos la ecuación punto pendiente 2. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es: cuyas componentes son: . Como vemos las hemos obtenido restando las coordenadas de B de las de A. Consideramos ahora que estamos en una situación idéntica a la estudiada en el primer punto del tema: Conocemos una recta que pasa por A y que tiene por vector director v. A partir de este instante aplicamos lo aprendido y calculamos cuantas ecuaciones nos pidan. Por ejemplo sustituyendo en la forma continua:
  • 6. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5) Solución: Calculamos el vector v ( 2-1, -5-3). Ahora construimos la ecuación continua de una recta que pasa por A (1,3) y que tiene por vector director v ( 2-1, -5-3) EJERCICIO RESUELTO: 1) Obtén todas las ecuaciones de la recta que pasa por A (3, 4) con vector director v(-1, 3) Vectorial : con t un número real. Paramétricas: Operando obtenemos Contínua: Despejando t de las dos paramétricas e igualando obtenemos Punto-pendiente: la pendiente será y la ecuación quedará Ecuación general o implícita: Se obtiene llegando a la forma desde la forma contínua o desde la punto-pendiente. Así pues: y de ahí Ecuación explícita: basta despejar la y de la continua, la general o la punto-pendiente EJERCICIOS:

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