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Teorema del Valor Medio
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Teorema del Valor Medio

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  • 1. Universidad Técnica Particular de Loja Explicación y Aplicación del Teorema del Valor Medio CÁLCULO
  • 2. Teorema del Valor Medio
    • Es uno de los Teoremas más importantes dentro del Calculo Diferencial.
    • En el lenguaje geométrico el teorema del Valor Medio es fácil de establecer y de comprender. Dice que si la gráfica de una función continua tiene una tangente no vertical en todo punto comprendido entre A y B, entonces hay por lo menos un punto C en la gráfica comprendida entre A y B en el que la tangente es paralela a la recta secante AB
    A B C
  • 3. Demostración del Teorema
    • Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en su interior (a, b), entonces existe al menos un número c en cada (a, b).
    • Observación: El teorema de Rolle es similar, se diferencian porque aqui no se exige f (a) = f (b). Si esto se diera se reduce al teorema de Rolle.
  • 4. Demostración
    • La expresión es la pendiente de la recta
    • Secante que une los puntos (a, f (a)) y (b f (b)). Queremos probar que un punto x = c en la recta tangente tiene esa misma pendiente, o sea, es paralela a esa recta secante.
    a c b x y y=f(x) m=f’(c)
  • 5.
    • En primer lugar la recta secante que une a (a, f (a)) y (b f (b)) tiene pendiente .
    • La ecuación de la recta es por lo tanto,
    • Definimos la función inclinada g como la diferencia entre los valores de f y la secante.
    • Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), también g lo es. Además
  • 6.
    • Y porque
    • Al ser g (a) = g (b), el teorema de Rolle existe un c en (a, b) tal que g’(c) = 0. Derivamos
    • Luego despejamos f’(c) y llegamos al resultado antes mencionado:
  • 7.
    • Mediante el siguiente ejemplo, vamos a demostrar más detalladamente, en que consiste este teorema:
    • Hallar el valor c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para
    • En el intervalo [0, 2]
  • 8.
    • Para hallar el número c haremos:
    • Despejando
    • Aplicando la formula general resolvemos:
    Myriam Sarango Karla Espinosa