Teorema del Valor Medio

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Teorema del Valor Medio

  1. 1. Universidad Técnica Particular de Loja Explicación y Aplicación del Teorema del Valor Medio CÁLCULO
  2. 2. Teorema del Valor Medio <ul><li>Es uno de los Teoremas más importantes dentro del Calculo Diferencial. </li></ul><ul><li>En el lenguaje geométrico el teorema del Valor Medio es fácil de establecer y de comprender. Dice que si la gráfica de una función continua tiene una tangente no vertical en todo punto comprendido entre A y B, entonces hay por lo menos un punto C en la gráfica comprendida entre A y B en el que la tangente es paralela a la recta secante AB </li></ul>A B C
  3. 3. Demostración del Teorema <ul><li>Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en su interior (a, b), entonces existe al menos un número c en cada (a, b). </li></ul><ul><li>Observación: El teorema de Rolle es similar, se diferencian porque aqui no se exige f (a) = f (b). Si esto se diera se reduce al teorema de Rolle. </li></ul>
  4. 4. Demostración <ul><li>La expresión es la pendiente de la recta </li></ul><ul><li>Secante que une los puntos (a, f (a)) y (b f (b)). Queremos probar que un punto x = c en la recta tangente tiene esa misma pendiente, o sea, es paralela a esa recta secante. </li></ul>a c b x y y=f(x) m=f’(c)
  5. 5. <ul><li>En primer lugar la recta secante que une a (a, f (a)) y (b f (b)) tiene pendiente . </li></ul><ul><li>La ecuación de la recta es por lo tanto, </li></ul><ul><li>Definimos la función inclinada g como la diferencia entre los valores de f y la secante. </li></ul><ul><li>Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), también g lo es. Además </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Y porque </li></ul><ul><li>Al ser g (a) = g (b), el teorema de Rolle existe un c en (a, b) tal que g’(c) = 0. Derivamos </li></ul><ul><li>Luego despejamos f’(c) y llegamos al resultado antes mencionado: </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Mediante el siguiente ejemplo, vamos a demostrar más detalladamente, en que consiste este teorema: </li></ul><ul><li>Hallar el valor c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para </li></ul><ul><li>En el intervalo [0, 2] </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Para hallar el número c haremos: </li></ul><ul><li>Despejando </li></ul><ul><li>Aplicando la formula general resolvemos: </li></ul>Myriam Sarango Karla Espinosa

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