Teorema del Valor Medio
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    Teorema del Valor Medio Teorema del Valor Medio Presentation Transcript

    • Universidad Técnica Particular de Loja Explicación y Aplicación del Teorema del Valor Medio CÁLCULO
    • Teorema del Valor Medio
      • Es uno de los Teoremas más importantes dentro del Calculo Diferencial.
      • En el lenguaje geométrico el teorema del Valor Medio es fácil de establecer y de comprender. Dice que si la gráfica de una función continua tiene una tangente no vertical en todo punto comprendido entre A y B, entonces hay por lo menos un punto C en la gráfica comprendida entre A y B en el que la tangente es paralela a la recta secante AB
      A B C
    • Demostración del Teorema
      • Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en su interior (a, b), entonces existe al menos un número c en cada (a, b).
      • Observación: El teorema de Rolle es similar, se diferencian porque aqui no se exige f (a) = f (b). Si esto se diera se reduce al teorema de Rolle.
    • Demostración
      • La expresión es la pendiente de la recta
      • Secante que une los puntos (a, f (a)) y (b f (b)). Queremos probar que un punto x = c en la recta tangente tiene esa misma pendiente, o sea, es paralela a esa recta secante.
      a c b x y y=f(x) m=f’(c)
      • En primer lugar la recta secante que une a (a, f (a)) y (b f (b)) tiene pendiente .
      • La ecuación de la recta es por lo tanto,
      • Definimos la función inclinada g como la diferencia entre los valores de f y la secante.
      • Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), también g lo es. Además
      • Y porque
      • Al ser g (a) = g (b), el teorema de Rolle existe un c en (a, b) tal que g’(c) = 0. Derivamos
      • Luego despejamos f’(c) y llegamos al resultado antes mencionado:
      • Mediante el siguiente ejemplo, vamos a demostrar más detalladamente, en que consiste este teorema:
      • Hallar el valor c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para
      • En el intervalo [0, 2]
      • Para hallar el número c haremos:
      • Despejando
      • Aplicando la formula general resolvemos:
      Myriam Sarango Karla Espinosa