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Analyse combinatoire
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Analyse combinatoire

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  • 1. I. Arrangement ........................................................................................................................................ 2 I.1. Arrangement avec répétition ........................................................................................................ 2 I.2. Arrangement sans répétition ........................................................................................................ 2II. Permutation ...................................................................................................................................... 2 II.1. Permutation sans répétition : ....................................................................................................... 2 II.2. Permutation avec répétition : ....................................................................................................... 3III. Combinaison ..................................................................................................................................... 3 III.1. Combinaison sans répétition : ................................................................................................... 4 III.2. Combinaison avec répétition ..................................................................................................... 4IV. PROBABILITES ............................................................................................................................... 6 IV.1. Définition d’une probabilité discrète : ....................................................................................... 6 IV.2. Propriétés de probabilité ........................................................................................................... 6 IV.3. PROBABILITE CONDITIONNELLE....................................................................................... 7V. Exercices ......................................................................................................................................... 101
  • 2. Analyse combinatoire / probabilitéAnalyse combinatoireDénombrement : ensemble de techniques permettant de déterminer le nombre de toutes lesréalisations possibles d’une expérience.Ex : combiens de combinaisons possibles peut on avoir avec 0 et 1 sur 8 bits ?28 = 256 combinaisons possibles I. ARRANGEMENTL’ordre compte : 110 est différent de 011 I.1. ARRANGEMENT AVEC REPETITIONLe nombre d’arrangements avec répétition de n objets distincts pris p à p est np.Ex : combien de mots de 4 lettres peut-on former à partir des lettres D, E et G ?n=3 objets(N, E, G)p=4 emplacements  34 = 81 mots possibles I.2. ARRANGEMENT SANS REPETITIONLe nombre d’arrangements de p objets distincts pris parmi n objets distincts est noté : Apn Apn = n(n-1)(n-2)…(n-p+1)Ex : combien de mots de 3 lettres peut-on former à partir des lettres TECHNIPLUS sansrépétition des lettres ? A310 = 10.9.8 = 720 mots différents II. PERMUTATIONDef : Arrangement de n objets parmi n objets II.1. PERMUTATION SANS REPETITION :Le nombre de permutations de n objets distincts est noté : n ! (factoriel n) n ! = n.(n-1).(n-2).(n-3)…2.1Arrangement de n objets distincts parmi n objets distincts :2
  • 3. n=p  Apn = Ann  Ann = n.(n-1).(n-2).(n-3)…2.1Ex : combien de mots de 3 lettres peut-on former à partir de 3 lettres D, E et G sansrépétition ?  Permutation sans répétition de 3 objets distincts {D, E, G}  3 ! = 3.2.1 = 6 mots différents ( DEG, DGE, EDG, EGD, GED, GDE) II.2. PERMUTATION AVEC REPETITION :Parmi les n objets, on peut avoir des objets identiques :Ex : combien de mots possibles peut-on former à partir des lettres du mot « ALLE » ?n=4 objets { A, L, L, E}  4 ! Permutations possibles.  A=1  1!  L=2  2!  E=1  1!Le nombre de permutations = = 12 mots12 mots possibles (ALLE, ALEL, AELL, EALL, ELAL, ELLA, LLAE, LLEA, LALE, LAEL,LEAL, LELA)D’une manière générale, le nombre de permutations avec répétition de n objets donné par laformule :n : nombre total d’objetsri : nombre d’objets identiques à l’objet i n=Ex : combien de mots différents peut-on former à partir des lettres du mot« PARALLELEMENT » ?n = 13 lettresA  2 = r1E  3 = r2L  3 = r3M  1 = r4N  1 = r5P  1 = r6R  1 = r7T  1 = r8Le nombre de mots différents est : = 86486400 mots possiblesRemarques : si i ri =1  tous les objets sont distincts 2 à 2 Permutations sans répétition III. COMBINAISONL’ordre ne compte, RVB, BVR ont le même sens3
  • 4. III.1. COMBINAISON SANS REPETITION :Soient n objets distincts 2 à 2 :  Le nombre d’arrangements de p objets distincts parmi n objets distincts est : Apn = n.(n-1)…(n-p+1)  L’ordre ne compte pas dans l’arrangement des p objets : p objets = p ! Permutations possibles (cas identiques)Le nombre de combinaison de p objets pris parmi n objets distincts est noté : Cpn = Apn /p !Ex : combien de mots possibles de 3 lettres différentes peut on former à partir de 4 lettres A,B, C et D sachant que l’ordre ne compte pas dans le classement des lettres ?C34 = A34 /3 ! = (4.3.2)/6 = 4 mots possibles (ABC, ABD, ACD, BCD) ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 6 permutations identiques. III.2. COMBINAISON AVEC REPETITIONSoient k objets distincts 2 à 2 chaque objet peut figurer en plusieurs exemplaires :ri = nombre d’objets identiques à l’objet i  n= iCombien peut on former de combinaisons de p objets avec possibilité de répétition d’un ou deplusieurs objets ?  une p-combinaison avec répétition est un sous ensemble de p objets extraits de l’ensemble des objets.Posons xi = nombre de fois où figure l’objet de type i dans la p-combinaison avec répétition.Former une p-combinaison avec répétition consiste à trouver une solution (x1, x2, …., xk) telque x1+x2+…+xk=p (*)le nombre de solutions de l’équation (*) est donné par : Ck-1p+k-1 = Cpp+k-1Ex : 1- Dans une maison d’édition, il y a 2 livres différents {l1, l2} et dont chacun figure en assez grande quantité. Combien peut-on former de 3-combinaisons avec répétition ?  trouver les solutions (x1, x2) lN2 tel que x1 + x2 = 3  les solutions possibles sont : (l1, l1, l1)  x1 = 3, x2 = 0 (l1, l1, l2)  x1 = 2, x2 = 1 4 solutions (l1, l2, l2)  x1 = 1, x2 = 2 (l2, l2, l2)  x1 = 0, x2 = 3  le nombre de 3-combinaisons avec répétition :4
  • 5. Cp-1p+k-1 = C33+2-1 = C34 = = =4 2- on a cette fois-ci {l1, l2, l3}  trouver les solutions (x1, x2, x3) lN3 tel que x1 + x2 + x3 = 3  les solutions possibles sont : (l1, l1, l1)  x1 = 3, x2 = 0, x3 = 0 (l1, l1, l2)  x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0 (l1, l1, l3)  x1 = 2, x2 = 0, x3 = 1 (l1, l2, l2)  x1 = 1, x2 = 2, x3 = 0 (l1, l2, l3)  x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1 10 possibilités (l1, l3, l3)  x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2 (l2, l2, l2)  x1 = 0, x2 = 3, x3 = 0 (l2, l2, l3)  x1 = 0, x2 = 2, x3 = 1 (l2, l3, l3)  x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 (l3, l3, l3)  x1 = 0, x2 = 0, x3 = 3  le nombre de 3-combinaisons avec répétition C33+3-1 = C35 = = 10 possibilités5
  • 6. IV. PROBABILITESDéfinition : c’est le pourcentage de chance pour obtenir la réalisation d’un événement d’uneexpérience aléatoire.Ex : lance d’un dé.Soit un dé de symétrique dont les faces est numérotées de 1 à 6 l’ensemble de tous lesrésultats possibles, appelé aussi. Ensemble fondamental, univers, Evénement certain :Ω = {F1, F2, F3, F4, F5, F6}Dé symétrique : toutes les faces ont la même chance : elles ont la même probabilité ou lemême pourcentage de chance d’être réalisées. IV.1. DEFINITION D’UNE PROBABILITE DISCRETE :Soit une expérience aléatoire (càd le résultat ne peut pas être prédit exactement). Soit Ωl’ensemble fondamentale associé à cette expérience.Supposons que Ω est fini et démontrable, une probabilité p sur Ω est une application :P: P(Ω) → [0, 1] A → P(A)Tel que :Ω événement certain → P(Ω) = 1 événement impossible → P() = 0A événement quelconque → 0 ≤ P(A) ≤ 1 tel que A, B P(a) tel que A∩B =  P(A B) = P(A) + P(B)Ex : lance de déToutes les faces ont la même probabilité∟ P(F1) = P(F2) = P(F3) = P(F4) = P(F5) = P(F6)P(Ω) = (F1) + P(F2) + P(F3) + P(F4) + P(F5) + P(F6) = 6P(Fi), i=1, 2, 3, 4, 5, 6→ P(Fi) = = i = 1, 2, 3, 4, 5 et 6 Equiprobabilité : P définit sur Ω une probabilité uniformeD’une manière générale, la probabilité de réalisation d’un événement A peut être calculée dela manière suivante : P(A) = IV.2. PROPRIETES DE PROBABILITE a- Si A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) b- P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) c- P(Ā) = 1 – P(A) , Ā = CAΩDémonstration6
  • 7. a- A ⊂ B B A→ B = A∪(B-A)→ P(B) = P(A) + P(B-A)→ P(B) – P(A) = P(B-A) ≥ 0→ P(B) – P(A) ≥ 0→ P(B) ≥ P(A) A B b- P(A∪B) A ∩ B→ A∪B = A∪(B-A∩B)B = (A∩B)∪(B-A∩B)↳ P(A∪B) = P(A) + P(B - A∩B) P(B) = P(A∩B) + P(B - A∩B)→ P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)→ Si A et B sont incompatibles (A∩B = )→ P(A∪B) = P(A) + P(B) c- Ω = A∪Ā → P(Ω) = 1 = P(A) + P(Ā) → P(Ā) = 1 - P(A)Ex: lance de déEn lançant un dé, qu’elle est la probabilité d’avoir un résultat ≥ 5 ?  L’événement A = {5, 6} = {5} {6} P(A) = P({5} {6}) = P({5}) + P({6}) = + =Ou encore P(A) = 33,33 % IV.3. PROBABILITE CONDITIONNELLECas 1 : deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas laprobabilité de réalisation de l’autre. P(A∩B) = P(A) X P(B)Ex : lancé d’une pièce de monnaieA  le 1er lancé amène faceB  le 2ème lancé amène face7
  • 8. A∩B  les 2 lancés amènent faceA et B sont indépendants : P(A∩B) = P(A) X P(B) = * = 0,25 = 25% de chances pour obtenir DeuxfacesCas 2 : Deux événements sont dépendants si la réalisation de l’un modifie la probabilité de réalisationde l’autre.Définition d’une probabilité conditionnelle :Soit Ω l’ensemble fondamental associé à une expérience aléatoire et P une probabilité définie sur Ω,soit B un événement tel que P(B) > 0. On appelle probabilité conditionnelle à B l’application :P(A/B) : P(Ω) [0, 1] P(A/B) : probabilité de A sachant B A P(A/B) = P(A∩B) = P(B).P(A/B) = P(A).P(B/A)Si A et B sont indépendants → P(A/B) = P(A) et P(B/A) = P(B)Soient A1, A2, A3… An P(Ω)P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1∩A2)…P(An/A1∩A2∩…∩An-1)Ex: lance de 2 désSoient : A → faire un double B → faire 2 impairs A∩B → faire un double impairsCalculer les probabilités P(A/B) et P(B/A) ?A : Faire un double → il y a 6 possibilitésB : faire 2 impairs → il y a 9 possibilités (32)A∩B : faire un double impair → il y 3 possibilitésFaire un couple quelconque → 36 possibilités (62)P(A) = =P(B) = =P(A∩B) = =P(A/B) ⇒ faire un double sachant qu’un couple impair a été réalisé. ⇒ la probabilité d’avoir undouble impair est : P(A/B) = =Formules de probabilités : a- Formule des probabilités totales :8
  • 9. → B = (A∩B) ∪ (Ā∩B) A∩B Ā∩B A BA∩B et Ā∩B étant 2 parties disjointes ↳ P(B) = P(A∩B) + P(Ā∩B) → P(B) = P(A).P(B/A) + P(Ā).P(B/Ā) formule des probabilités totales b- Formule de BayesCondition retournée → calculer P(A/B) grâce à P(A/B) :P(A∩B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)↳ P(A/B) =→ P(A/B) = c- Loi Binomiale Epreuve de Bernoulli: expérience à 2 issues (succès, échec) → si l’on répète n fois une même épreuve de Bernoulli, la probabilité d’obtenir k succés est : P(k succès) = Cknpk(1-p)n-k , 0≤k≤n k : nombre de succès → n-k : nombre d’échec p : probabilité de succès → 1-p : probabilité de l’échec → Binôme de Newton : (a+b)n = Cknan-kbk ↳ Ckn pk (1-p)n-k = (p + 1 – p) =1 ↳ Distribution binomiale ou loi binomiale9
  • 10. V. EXERCICESExercice1 : Dans une course de 15 chevaux concurrents, combien peut-on avoir de tiercés gagnants ?Exercice2 : une carte bancaire possède un code secret de 4 chiffres, combien y a-t-il de codes secrets différents ?Exercice3 : i on met à votre disposition 4 boules (rouge, verte, blanche et noire) et on vous demande de s’en servirpour bloquer 3 trous numérotés (trou1, trou2, trou3). Combien de réalisations seront-elles possibles ?Exercice4 : soit une urne contenant 5 boules de couleurs différents, si on tire 3 boules de cette urne, combien y a-t-il de réalisations possibles ?Exercice5 : soit une urne contenant 6 boules numérotées de 1 à 6 on tire en premier temps et on la remet, puis ontire une deuxième pour former un couple (i, j). Quel sera le nombre de réalisations possibles pour cetteexpérience ?Exercice6 : soit une urne contenant 2 boules rouges, 3 boules vertes, 5 bleues et 1 noire, on demande de les placerdans des trous numérotés et cous procédez par tirage sans remise ? Combien peut-on avoir de combinaisonspossibles ?ArrangementsExercice7 : A l’occasion d’une compétition sportive groupant 18 athlètes, on attribue une médaille d’or, uned’argent, une de bronze.Combien y-a-t-il de distributions possibles (avant la compétition, bien sûr…) ?Exercice8 : Un groupe délèves de terminale constitue le bureau de lassociation " Bal des Terms : le succès ". Cebureau est composé dun président, dun secrétaire et dun trésorier. Combien y a-t-il de bureaux possibles ? (il ya 24 élèves dans la classe )Exercice9 : Six personnes choisissent mentalement un nombre entier compris entre 1 et 6.1) Combien de résultats peut-on obtenir ?2) Combien de résultats ne comportant pas deux fois le même nombre peut-on obtenir ?Exercice10: Soit A lensemble des nombres de quatre chiffres, le premier étant non nul.1) Calculer le nombre déléments de A.2) Dénombrer les éléments de A :a) composés de quatre chiffres distinctsb) composés dau moins deux chiffres identiquesc) composés de quatre chiffres distincts autres que 5 et 7Exercice11: Un clavier de 9 touches permet de composer le code d’entrée d’un immeuble, à l’aide d’une lettresuivie d’un nombre de 3 chiffres distincts ou non.1) Combien de codes différents peut-on former ? 1 2 32) Combien y a-t-il de codes sans le chiffre 1 ? 4 5 63) Combien y a-t-il de codes comportant au moins une fois le chiffre 1 ?4) Combien y a-t-il de codes comportant des chiffres distincts ? ABC5) Combien y a-t-il de codes comportant au moins deux chiffres identiques ?PermutationsExercice 12 : Le groupe des élèves de Terminale doit sinscrire au concours par Minitel. Il faut établir une liste depassage. Combien y a-t-il de manières de constituer cette liste ? (il y a 24 élèves dans la classe)Exercice13 : Les nombres 5, -1 et 3 constituent la solution d’un système de trois équations à trois inconnues.Donner tous les triplets différents qui peuvent être la solution de ce systèmeCombinaisonsExercice n°20. Un groupe de 3 élèves de Terminale doit aller chercher des livres au CDI. De combien de manièrespeut-on former ce groupe ? (il y a 24 élèves dans la classe )Exercice n°21. Un tournoi sportif compte 8 équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autresune seule fois. Combien doit-on organiser de matchs ?Exercice n°22. Au loto, il y a 49 numéros. Une grille de loto est composée de 6 de ces numéros. Quel est le nombrede grilles différentes ?10
  • 11. Exercice n°23. De combien de façons peut-on choisir 3 femmes et 2 hommes parmi 10 femmes et 5 hommes ?Exercice n°24. Dans une classe de 32 élèves, on compte 19 garçons et 13 filles. On doit élire deux délégués1) Quel est le nombre de choix possibles ?2) Quel est le nombre de choix si l’on impose un garçon et fille3) Quel est le nombre de choix si l’on impose 2 garçons ?Exercice n°25. Christian et Claude font partie d’un club de 18 personnes. On doit former un groupe constitué decinq d’entre elles pour représenter le club à un spectacle.1) Combien de groupes de 5 personnes peut-on constituer ?2) Dans combien de ces groupes peut figurer Christian ?3) Christian et Claude ne pouvant se supporter, combien de groupes de 5 personnes peut-on constituer de tellefaçon que Christian et Claude ne se retrouvent pas ensemble ?Exercice n°26. Au service du personnel, on compte 12 célibataires parmi les 30 employés. On désire faire unsondage : pour cela on choisit un échantillon de quatre personnes dans ce service.1) Quel est le nombre d’échantillons différents possibles ?2) Quel est le nombre d’échantillons ne contenant aucun célibataire ?3) Quel est le nombre d’échantillons contenant au moins un célibataire ?Exercice n°27. On constitue un groupe de 6 personnes choisies parmi 25 femmes et 32 hommes1) De combien de façons peut-on constituer ce groupe de 6 personnes ?2) Dans chacun des cas suivants, de combien de façons peut-on constituer ce groupe avec :a) uniquement des hommes ;b) des personnes de même sexe ;c) au moins une femme et au moins un hommeExercice n°28. On extrait simultanément 5 cartes dun jeu de 32. Cet ensemble de 5 cartes est appelé une "main"1) Combien y a-t-il de mains différentes possibles ?2) Dénombrer les mains de 5 cartes contenant :a) un carréb) deux paires distinctesc) un full (trois cartes de même valeur, et deux autres de même valeurs. Exemple : 3 rois et 2 as)d) un brelan (trois cartes de même valeur, sans full ni carrée) une quinte (5 cartes de même couleur, se suivant dans lordre croissant)Combinaisons et arrangementsExercice n°29. Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).1) On tire successivement et au hasard 3 jetons du sac, sans remettre le jeton tiré. Calculer les probabilités :a) De ne tirer que 3 jetons verts ;b) De ne tirer aucun jeton vertc) De tirer au plus 2 jetons verts ;d) De tirer exactement 1 jeton vert.2) On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac. Reprendre alors les questions a), b), c) et d).Dénombrements diversExercice n°30. Un portemanteau comporte 5 patères alignées. Combien a-t-on de dispositions distinctes (sansmettre deux manteaux l’un sur l’autre) :a) pour 3 manteaux sur ces 5 patères ?b) pour 5 manteaux ?c) pour 6 manteaux ?Exercice n°31. Quatre garçons et deux filles s’assoient sur un banc.1) Quel est le nombre de dispositions possibles ?2) Même question si les garçons sont d’un côté et les filles de l’autre.3) Même question si chaque fille est intercalée entre deux garçons.4) Même question si les filles veulent rester l’une à côté de l’autre11