Sistemas Difusos Tema 3
Tema 3.- Variables Lingüísticas,
Variables Difusas y Reglas Difusas.
Razonamiento Aproximado.
1. Variables lingüísticas.
1. Definición.
2. Modificadores lingüísticos.
3. Consideraciones generales.
2. Variables difusas.
3. Reglas difusas. Operadores de implicación.
Interpretación.
4. Razonamiento en lógica clásica. Reglas de
inferencia básicas.
5. Principios básicos de razonamiento en
lógica difusa.
1. Modus ponens generalizado.
2. Regla Composicional de inferencia.
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Sistemas Difusos Tema 3
Objetivos:
- Comprender el concepto de variable lingüística,
modificadores lingüísticos, variable difusa y su uso
para manejar conceptos expresados
lingüísticamente.
- Conocer el concepto de regla difusa, distintas
interpretaciones de la misma, junto con sus
propiedades y fórmulas de cálculo.
- Repasar las reglas de inferencia básicas y
comprender su generalización a proposiciones
difusas.
- Entender la reglas composicional de inferencia y su
aplicación.
- Determinar las funciones de pertenencia resultantes
de diferentes reglas de implicación y tipos habituales
de premisas
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1.- Variables lingüísticas.
1.1. Definición.
Son variables cuyos valores se representan mediante
términos lingüísticos. El significado de estos términos
lingüísticos se determina mediante conjuntos difusos.
MB B M A MA
Edad
MB B M A MA
- Proporcionan una transición gradual de estados.
- Tienen capacidad para expresar y trabajar con
observaciones y medidas de incertidumbre.
- Por capturar medidas de incertidumbre son más
ajustadas a la realidad que las variables nítidas.
Albert Einstein (1921): “Tan cerca como se refieran las
leyes matemáticas a la realidad no son ciertas, y tan lejos
como sean ciertas no se refieren a la realidad”.
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1.1. Definición.
Una variable lingüística se caracteriza mediante
(v, T, X, g, m)
- v es el nombre de la variable.
- T es el conjunto de términos lingüísticos de v.
- X es el universo de discurso de la variable v.
- g es una regla sintáctica para generar términos
lingüísticos, y
- m es una regla semántica que asigna a cada término
lingüístico t su significado m(t), que es un conjunto
difuso en X.
Ejemplo:
Rendimiento Variable lingüística
Lingüísticos
Términos
Muy bajo Bajo Medio A lto Muy alto
Regla
semántica
Restricciones
Difusas
v Variable Base
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1.2. Modificadores lingüísticos.
Son operadores unarios que se aplican a conjuntos
difusos.
Un modificador lingüístico es un operación unaria
h: [0,1] → [0,1]
Ejemplos: “Muy”, “más o menos”, “bastante”,
“extremadamente”, etc.
• No son aplicables a conjuntos nítidos.
Definiciones comunes de algunos modificadores
lingüísticos:
• “Muy”: h(a) = a , a ∈ [0,1]
2
• “Más o menos”: h ( a) = a , a ∈ [ 0,1]
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1.2. Modificadores lingüísticos.
• Si h(a) < a, el modificador h se denomina modificador
fuerte.
• Si h(a) > a, el modificador h se denomina modificador
débil.
• hα (a ) = a α , α ∈ ℜ+ , a ∈ [0,1]
o Si α< 1, el modificador es débil.
o Si α> 1, el modificador es fuerte.
Propiedades de los modificadores:
1. h(0) = 0 y h(1) = 1.
2. h es una función continua.
3. Si h es fuerte, h-1 es débil.
4. Dado otro modificador g, cualquier composición de h
con g y viceversa, es un modificador.
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1.3.- Consideraciones generales.
• Con el uso de modificadores lingüísticos se debe
evitar la ambigüedad.
• Los modificadores lingüísticos y los conectivos
permiten obtener un amplio conjunto de términos
compuestos que amplían la potencia descriptiva de
la variable lingüística.
• Si el nº de términos de una variable aumenta
indefinidamente se llegará a la indistinguibilidad
semántica de alguno de ellos.
• Granularidad (Zadeh): Nivel de distinción entre los
distintos niveles de incertidumbre contenida en las
variables lingüísticas de forma que se pueda
representar correctamente la distinción que desea el
usuario.
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2.- Variables difusas.
• Concepto análogo al de variable lingüística.
• Toman como valores conjuntos difusos aunque éstos
no tienen asociada una descripción lingüística.
• Útiles en situaciones en las que sea más importante
la precisión que la descripción lingüística.
• Se caracterizan mediante (U, X, R(U,x)):
o U es el nombre de la variable.
o X es el universo de discurso.
o x es un nombre genérico para los elementos de
X.
o R(U, x) es un conjunto difuso en X que
representa una restricción en los valores de X
impuesta por x.
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3.- Reglas difusas. Operadores de implicación.
Interpretación.
El conocimiento humano se expresa en términos de
reglas difusas SI_ENTONCES
SI <proposición difusa>
ENTONCES <proposición difusa>
Tipos de proposiciones difusas:
• Atómicas: x es A, donde x es una variable
lingüística y A es un valor lingüístico.
• Compuestas: Composición de proposiciones difusas
atómicas con las conectivas “y”, “o” o “no”,
representando intersección, unión y complemento
difuso, respectivamente.
Ejemplos:
El error es Negativo-Grande
⇒ La interpretación o significado de una proposición
difusa atómica se define mediante la función de
pertenencia del conjunto difuso Negativo-Grande.
⇒ El grado de pertenencia de un error concreto al
conjunto difuso Negativo-Grande determinará el
grado con que se verifica la proposición difusa.
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3.- Reglas difusas. Operadores de implicación.
Interpretación.
Ejemplos de proposiciones difusas compuestas:
X es A o X no es B
X es A y X es B
X no es A y X no es B
(X es A y X no es B) o X es C
X es A y Y es D
• En una proposición difusa compuesta pueden estar
implicadas variables distintas.
• Las proposiciones difusas compuestas se pueden
considerar relaciones difusas.
• ¿Cómo determinamos la interpretación de estas
relaciones difusas? ¿Cómo determinamos la función
de pertenencia?
o Para las conectivas “y”, se deben utilizar
intersecciones difusas:
X es A y Y es B, µ A∩B ( x, y) = T [ µ A ( x), µB ( y )]
o Para las conectivas “o”, se deben utilizar uniones
difusas:
X es A o Y es B, µ A∪ B ( x , y ) = S [ µ A ( x), µ B ( y )]
o Para las conectivas “no”, se deben utilizar
complementos difusos.
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Proposiciones difusas condicionales.
(Reglas Difusas)
Ejemplo:
SI el error es Negativo-Grande
ENTONCES U es Negativo-Pequeño
• El significado se representa mediante una relación
difusa entre el error y la variable de salida U.
• La función de pertenencia de esta relación difusa se
determina mediante un operador de implicación
difuso
Algunos operadores de implicación difusos:
• Larsen, µ R ( x, y ) = µ A ( x) ⋅ µ B ( y )
• Mamdani, µ R ( x, y) = min{µ A ( x), µ B ( y)}
• Dienes-Rescher, µ R ( x, y ) = max{ − µ A ( x), µ B ( y)}
1
• Lukasiewicz, µ R ( x, y) = min{ , 1 − µ A (x) + µ B ( y)}
1
• Zadeh,
µ R ( x, y) = max{min{µ A ( x), µ B ( y)}, 1 − µ A ( x)}
 1, si µ A ( x ) ≤ µ B ( y )
µ (x, y) = 
• Gödel, R
 µ B ( y ), e.o.c.
¡Error!
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4.- Razonamiento en lógica clásica. Reglas de
inferencia básicas.
Las reglas de inferencia permiten obtener valores de
verdad a partir de valores de verdad probados.
• Modus ponens:
SI p ENTONCES q SI x es A ENTONCES y es B
p ; x es A
q y es B
• Modus tollens:
No q y no es B
SI p ENTONCES q ; SI x es A ENTONCES y es B
No p x no es A
• Silogismo hipotético:
SI p ENTONCES q SI x es A ENTONCES y es B
SI q ENTONCES z ; SI y es B ENTONCES z es C
SI p ENTONCES z SI x es A ENTONCES z es C
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5.- Principios básicos de razonamiento en
lógica difusa.
Razonamiento aproximado: Obtención de conclusiones
difusas a partir de proposiciones difusas utilizando la
teoría de conjuntos difusos como principal herramienta.
5.1.- Modus ponens generalizado.
• Modus ponens generalizado:
SI x es A ENTONCES y es B
x es A’
y es B’
Se pueden seguir diversos criterios:
x es A’ y es B’
Criterio 1 x es A y es B
Criterio 2 x es muy A y es muy B
Criterio 3 x es muy A y es B
Criterio 4 x es más o menos A y es más o menos B
Criterio 5 x es más o menos A y es B
Criterio 6 x no es A y es desconocido
Criterio 7 x no es A y no es B
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5.2.- Regla composicional de inferencia.
¿Cómo obtener el conjunto difuso B’?
• Regla Composicional de Inferencia:
Permite traducir el “modus ponens” de la lógica clásica a
la lógica difusa:
SI x es pequeño ENTONCES y es grande
x es muy pequeño
El significado de la primera proposición se podría definir
como una relación difusa R:
B ' = A' R ⇒ µ B ' ( y ) = max[ T ( µ A ' ( x ), µ R ( x, y))]
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