SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES
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Variable Lingüística y Reglas Difusas If-Then

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  • 1. 3.1.1 De Variables Numéricas a Variables Lingüísticas. 3.1.2 Hedges Lingüístico. Unidad 3 SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES 3.1 Variable Lingüística y Reglas Difusas If-Then
  • 2. 3.1.1 De variables numéricas a variables lingüísticas
    • Generalmente en la vida cotidiana, las palabras frecuentemente son utilizadas para describir variables.
    • Por ejemplo: “Hoy hace calor”, o equivalentemente “la temperatura es alta hoy”, se utiliza la palabra “alta” para describir la variables “temperatura hoy”.
    • Esto es, la variable “temperatura hoy” toma la palabra “alta” como su valor.
  • 3.
    • También, la variable “temperatura hoy” puede tomar números como sus valores: 25  C, 19  C, etc.
    • Cuando una variable toma palabras en lenguaje natural como sus valores, es llamada “variable lingüística” .
  • 4. Definición 3.1:
    • Si una variable puede tomar palabras en lenguaje natural como sus valores, se denomina una variable lingüística , donde las palabras son caracterizadas por conjuntos difusos definidos en el universo de discurso en el cual la variable es definida.
  • 5. Ejemplo 3.1
    • La velocidad de un carro es una variable x que toma valores en el intervalo [0, V max ], donde V max es la máxima velocidad del carro. Se definirán tres conjuntos difusos: “baja”, “media”, y “r á pida” en [0, V max ] como se muestra en la figura 3.1. Si x es una variable lingüística, entonces se puede tomar “baja”, “media” y “r á pida” como sus valores.
  • 6.
    • Por lo que, se puede decir que “ x es pequeña”, “ x es mediana”, y “ x es r á pida”. Por su puesto, x también puede tomar números en el intervalo [0, V max ] como sus valores, por ejemplo, x = 50 mph, 35 mph, etc.
  • 7.
    • La definición 3.1 da una simple e intuitiva definición para variables lingüísticas. En la literatura de la teoría difusa, una definición más formal de una variable lingüística es la propuesta y empleada por Zadeh.
    1 0 35 55 75 V max baja media rápida Velocidad del carro (mph) Figura 3.1 La velocidad de un carro como una variable lingüística que puede tomar conjuntos difusos “baja” y “rapida” como sus valores.
  • 8. Definición 3.2:
    • Una variable lingüística es caracterizada por (X, T, U, M) donde:
        • X es el nombre de la variable lingüística; en el ejemplo 3.1, X es la velocidad del carro.
        • T es el conjunto de valores lingüísticos que X puede tomar; en el ejemplo 3.1, T = {baja, media, rápida}.
        • U es el dominio físico actual en el cual la variable lingüística X toma sus valores cuantitativos (crisp); en el ejemplo 3.1, U = [0, V max ].
        • M es una regla semántica que relaciona cada valor lingüístico en T con un conjunto difuso en U; en el ejemplo 3.1, M relaciona “baja”, “media”, “rapida” con las funciones de membresía mostradas en la Fig. 3.1.
  • 9.
    • De las dos definiciones anteriores se puede ver que las variables lingüísticas son extensiones de variables numéricas en el sentido de que pueden tomar los conjuntos difusos como sus valores, como se muestra en la Fig. 3.2.
  • 10.
    • Figura 3.2 De variables numéricas a variables lingüísticas
    U U Variable numérica Variable lingüística
  • 11. ¿Porqué es importante el concepto de variable lingüística?
    • Por que las variables lingüísticas son los elementos más fundamentales en la representación del conocimiento humano.
    • Por ejemplo, cuando se utiliza una pistola radar para medir la velocidad de los carros ésta entrega números como, 39mph, 42mph, etc.; cuando se le pregunta a una persona que diga cual es la velocidad de un carro, el/ella con frecuencia dice en palabras algo como “es rápida”, “es baja”, etc.
    • Por lo tanto, al introducir el concepto de variable lingüística, se pueden formular descriptores vagos en lenguaje natural en términos matemáticos precisos.
  • 12. Variables Lingüísticas Y Otras Terminologías Relacionadas
    • La Variable Lingüística (VL) juega un papel importante en muchas aplicaciones, especialmente en:
      • Sistemas Expertos Difusos, y
      • Control Lógico Difuso.
    • Básicamente, una VL es una variable cuyos valores son palabras u oraciones en un lenguaje natural o artificial.
  • 13. Variable Difusa
    • Una Variable Difusa esta caracterizada por tres partes ( X, U, R(X) ), donde:
    • X es el nombre de la variable,
    • U es el universo de discurso, y
    • R(X) es un subconjunto difuso de U, el cual representa una restricción difusa impuesta a X .
  • 14. Ejemplo 3.2:
    • X = “Viejo” con U = {10, 20,...,80}, y
    • R(X) = 0.1/20+0.2/30+0.3/40+0.4/50+
    • 0.8/60+1.0/70+1.0/80,
    • es una restricción difusa de Viejo.
  • 15. Variable Lingüística
    • La VL es una variable de orden mayor que una variable difusa, y toma variables difusas como sus valores.
    • Una VL se caracteriza por una quíntupla ( x, T(x), U, G, M ), donde:
  • 16. Variable Lingüística
    • x es el nombre de la variable;
    • T(x) es el conjunto termino de x , esto es el conjunto de nombres de valores lingüísticos de x donde cada valor es una variables difusa definida sobre U ;
  • 17. Variable Lingüística
    • G es una regla sintáctica que genera los nombres de los valores de x ;
    • y M es una regla semántica para asociar cada valor de x con sus significados.
  • 18. Ejemplo 3.3:
    • Si velocidad se interpreta como una VL con U =[0,100], o sea, x=“velocidad”, Entonces su conjunto termino T(velocidad) puede ser:
    • T(velocidad) = {Muy Lento, Lento, Moderado, Rápido, ...}.
  • 19. ...
    • La regla sintáctica G para generar los nombres (o las etiquetas) de los elementos en T(velocidad) es completamente intuitiva.
    • La regla semántica M puede ser definida como:
  • 20. ...
    • M(Lento) = el conjunto difuso para “una velocidad abajo cercana a 40 mph” con una función de membresía  Lento .
    • M(Moderado) = el conjunto difuso para “una velocidad cercana a 55 mph” con una función de membresía  Moderado .
  • 21. ...
    • M(Rápido) = el conjunto difuso para “una velocidad arriba de 70 mph” con una función de membresía  Rápido .
    • Estos términos pueden ser caracterizados por los conjuntos difusos cuyas funciones de membresía son mostradas en la siguiente figura:
  • 22. Términos De La VL Velocidad Figura 3.3 Representación de la variable lingüística del ejemplo 3.3
  • 23. Variable Lingüística
    • En el anterior ejemplo, el conjunto termino solamente contiene un numero pequeño de términos, y así es en la practica la lista de términos de los elementos de T(x), la cual realiza una asociación directa entre cada elemento y su significado M .
  • 24. Variable Lingüística
    • Una VL x se dice que es estructurada si su conjunto termino T(x) y su regla semántica M se pueden caracterizar vía un algoritmo, de tal forma que pueden ser vistas como un procedimiento para generar los elementos T(x) y calcular el significado de cada termino T(x) .
  • 25. 3.1.2 Hedges Lingüísticos
    • Con el concepto de variable lingüística, se puede tomar palabras como valores de variables (lingüísticas). En la vida diaria, frecuentemente se utiliza más de una palabra para describir una variable. Por ejemplo: si se tiene la velocidad de un carro como una variable lingüística, entonces sus valores deberían ser “no lenta”, “muy lenta”, escasamente rápida”, más o menos media”, etc.
  • 26.
    • En general, el valor de una variable lingüística es un término compuesto x = x 1 x 2 ...x n lo cual es un a concatenación de un término atómico x 1 , x 2 , ..., x n . Este término atómico puede ser clasificado en tres grupos:
        • Términos Primarios, los cuales son etiquetas de conjuntos difusos, en el ejemplo 3.1 eran “baja”, “media” y “rápida”.
        • Complemento “no” y las conectivas “y” y “o”.
        • Hedges, tales como “very”, “slightly”, “more or less”, etc.
  • 27. Modificadores Lingüísticos ( hL)
    • Por lo tanto, hL es un operador para modificar el significado de un conjunto difuso A para crear un nuevo conjunto difuso h(A) .
    • Ejemplo:
    • “ Muy Joven”, “Muy” es un hL .
  • 28. Operaciones en Conjuntos Difusos
    • Las siguientes operaciones en conjuntos difusos son utilizadas en la definición de un hL : Concentración: CON(A); si A es un conjunto difuso en U, entonces very A se define como un conjunto difuso en U con la función de membresía:
  • 29. Operaciones en Conjuntos Difusos
    • Y “more or less A” es un conjunto difuso en U con la función de membresía:
    • Dilatación: DIL(A)
  • 30. Ejemplo 3.4
    • Si U = {1, 2, ..., 5} y el conjunto difuso “pequeño” se define como:
        • Pequeño =1/1 +0.8/2 + 0.6/3 +0.4/4 + 0.2/5
    • Entonces utilizando las Ecs. (3.1) y (3.2) se tiene que:
        • Muy pequeña = 1/1 +0.64/2 + 0.36/3 + 0.16/4 + 0.04/5
        • Muy muy pequeña = 1/1 + 0.4096/2 + 0.1296/3 + 0.0256/4 + 0.0016/5
        • Más o menos pequeña = 1/1 + 0.8944/2 + 0.7746/3 + 0.6325/4 + 0.4472/5
  • 31. Operaciones en Conjuntos Difusos
    • Otras operaciones son:
        • Intensificación: INT(A)
  • 32. Algunos hL
    • VERY(A) = CON(A) = A 2 ,
    • HIGHLY(A) = A 3 ,
    • FAIRLY (MORE OR LESS) = DIL(A) = A 1/2 ,
    • ROUGHLY(A) = DIL[DIL(A)],
    • PLUS(A) = A 1.25 ,
    • MINUS(A) = A 0.75 ,
  • 33. Algunos hL
    • RATHER(A) = INT[CON(A)] AND NOT[CON(A)],
    • SLIGHTLY(A) = INT[PLUS(A) AND NOT VERY(A)],
    • SORT OF(A) = INT[DIL(A)] AND INT[DIL(NOT(A))],
    • PRETTY(A) = INT(A) AND NOT[INT(CON(A))],
  • 34.
    • Los conjuntos difusos resultantes deberían ser normalizados si el modificador ( hL ) no es igual a 1.
  • 35. Figura 3.4 Efectos de los modificadores sobre el conjunto difuso “TALL”
  • 36. Modificadores Lingüísticos
    • Con la ayuda de los hL , se puede definir un conjunto término de una VL, por ejemplo:
    • T(edad) = {Viejo, MUY Viejo, MUY MUY Viejo,...},
    • En el cual a “Viejo” se le conoce como Término Primario
  • 37.
    • Y la regla sintáctica correspondiente G , la cual puede generar recursivamente el conjunto término T(edad) , puede ser el siguiente algoritmo recursivo:
    • T i+1 = {Viejo}  {MUY T i }, i=0, 1, 2,...,
    • Donde T 0 =  , Por ejemplo, for i= 0,1,2,3 se tienen:
    • T 0 =  ,
    • T 1 = {Viejo},
    • T 2 = {Viejo, MUY Viejo},
    • T 3 = {Viejo, MUY Viejo, MUY MUY Viejo}.
  • 38.
    • Además, la regla semántica M que puede asociar a cada T i un significado puede ser el siguiente algoritmo recursivo:
    • M(T i+1 ) = M(T i )  Viejo i +1 , i=1,2,3,...
    • Considerando las dos expresiones anteriores, “Edad” se considera una variable lingüística estructurada .
  • 39. Ejemplo : Variables Lingüísticas Y Valores Lingüísticos.
    • Si edad es interpretada como una variable lingüística, entonces su conjunto término T(edad) puede ser:
  • 40.
    • Donde cada termino en T(edad) se caracteriza por un conjunto difuso de un universo de discurso X = [0, 100], como se muestra en la siguiente Fig.
  • 41.
    • Del ejemplo anterior, se observa que el conjunto termino consiste de varios términos primarios (joven, viejo) modificados por la negación ("no") y/o los adverbios (muy, mas o menos, completamente, extremadamente, etc.), y entonces ligados por conectivas tales como “ y” , “ o” , y “ni” .
  • 42. Universo De Discurso Establecimiento Del Universo De Discurso Para Las Variables Lingüísticas
  • 43.
    • Se especifica el universo de discurso para una variable de entrada y/o salida, cómo el rango de valores posibles que puede tomar la variable en cuestión para la aplicación actual.
  • 44.
    • Dado que el universo de discurso para cada variable debe ser trasladado a variables lingüísticas (conjuntos difusos (CD) ), se ha tratado de normalizar que el número de conjuntos difusos definido para cada variable sea un número impar, recomendando que se inicie especificando 7 conjuntos para cada variable.
  • 45.
    • La determinación final del número de conjuntos difusos definidos para cada variable se determina heurísticamente, pues aún cuando se conocen los efectos de tener pocos o muchos conjuntos definidos en el universo, finalmente se establecen los conjuntos definitivos observando un funcionamiento satisfactorio del sistema .
  • 46.
    • Se recomienda especificar una cantidad de conjuntos difusos más densa en aquellas zonas donde se requieran cambios grandes en los parámetros de salida del sistema a cambios pequeños de sus parámetros de entrada.
  • 47.
    • Una de las cualidades que caracterizan a los sistemas difusos es el manejo de información ambigua, esta característica la adquieren debido a la forma en que se especifican los conjuntos difusos cubriendo el universo de discurso de las variables de entrada y/o salida, por lo que la ambigüedad que puede ser admitida por el sistema depende del grado de traslape entre los conjuntos definidos.
  • 48.
    • Respecto del grado de traslape que deben tener dos conjuntos contiguos , se recomienda en 25% del área total al inicio del desarrollo (conjuntos simétricos) , aún cuando se sabe que el funcionamiento del sistema no es muy bueno con estos conjuntos, también se recuerda que esto no es una generalización, pues su adecuación depende del grado de precisión deseado en la respuesta del sistema.
  • 49. Consideraciones para la especificación de los CD´s :
    • 1) Cada punto en el universo de discurso debe pertenecer al dominio de al menos una función de membresía; al mismo tiempo, debe pertenecer al dominio de no más de dos funciones de membresía.
    • 2) Ningún par de funciones de membresía deben tener el mismo punto de máxima membresía.
  • 50. C consideraciones para la especificación de los CD´s :
    • 3) Cuando dos funciones de membresía se traslapan, la suma de los grados de membresía para cualquier punto en el traslape debe ser menor o igual a uno.
    • 4) Cuando dos funciones de membresía se traslapan, el traslape no debe cruzar el punto de máxima membresía de cualquier función de membresía.
  • 51.
    • Durante la especificación de los conjuntos difusos que cubren los extremos inferior (función Z) y superior (función S) del universo de discurso considerado, es de gran importancia que se hagan de una manera adecuada, ya que estas funciones son muy importantes para la estabilidad del funcionamiento del sistema, pues evalúan las situaciones extremas consideradas para el establecimiento del universo de discurso .
  • 52. 3.1. 3 Fundamentos de Reglas Difusas. 3.1. 4 Dos Tipos de Reglas Difusas. 3.1 Variable Lingüística y Reglas Difusas If-Then Unidad 3 SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES
  • 53. 3.1. 3 Fundamentos de Reglas Difusas.
    • Una regla difusa if-then es un esquema de representación de conocimiento para capturar el conocimiento (generalmente conocimiento humano) que es impreciso e inexacto por naturaleza.
    • Esto se logra al utilizar las variables lingüísticas para describir condiciones elásticas (condiciones que pueden ser satisfechas por un grado) en la parte “if” de la regla difusa.
  • 54.
    • La característica principal de la inferencia difusa basada en reglas es su capacidad para ejecutar inferencia bajo una combinación (matching) parcial.
    • Esto es, se calcula el grado del dato de entrada al combinar las condiciones de una regla. La Fig. 3.5 ilustra una forma de calcular el grado de combinación entre una entrada difusa A’ y una condición difusa A :
  • 55.
    • Figura 3.5 Proyectando una entrada difusa A’ con una condición difusa A
    µ x A’ A
  • 56.
    • El grado de combinación (matching degree) es combinado con el consecuente (la parte “then”) de una regla para formar una conclusión inferida por la regla difusa.
    • A mayor grado de combinación, más cercana la conclusión inferida al consecuente de la regla.
    • Las palabras juegan un papel importante en los sistemas basados en regla. La condición elástica y el consecuente de una regla difusa frecuentemente son descritas con palabras (etiquetas lingüísticas) cuyos significados son imprecisos.
  • 57.
    • Dichas palabras facilitan la extracción y la documentación del conocimiento humano en una forma fácil y explicita, especialmente los que son imprecisos por naturaleza.
    • Las “palabras” en las reglas difusas difieren de los símbolos en las reglas clásicas de la inteligencia artificial (AI) –el significado de los simbolos para una variable numérica frecuentemente es descrito utilizando intervalos, mientras que el significado de las palabras en una regla difusa es caracterizado mediante funciones de membresía que suavisan las fronteras estrictas de los intervalos.
  • 58. 3.1.4 Dos Tipos de Reglas Difusas
    • Existen dos tipos de reglas difusas: 1) reglas de proyección difusa , y 2) reglas de implicación difusa .
    • Una regla de proyección difusa describe una relación de proyección funcional entre las entradas y una salida utilizando términos lingüísticos, mientras una regla de implicación difusa describe una relación de implicación lógica generalizada entre dos formulas lógicas que involucran variables lingüísticas y términos lingüísticos imprecisos.
  • 59.
    • El fundamento de una regla de proyección difusa es una grafica difusa, mientras que la base de una regla de implicación difusa es en el sentido limitado de la lógica difusa (no general; referido a una generalización de los sistemas lógicos clásicos de dos-valores).
    • Los dos tipos de reglas difusas también están relacionados a diferentes disciplinas.
  • 60.
    • Las reglas de proyección difusa son relacionadas a otras técnicas de aproximación de funciones en sistemas de identificación y redes neuronales artificiales, mientras que las reglas de implicación difusa son relacionadas a la lógica clásica de dos-valores y a la lógica multivaluada.
  • 61. Material Anexo a 3.1. 3 Fundamentos de Reglas Difusas. Unidad 3 SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES Lógica Difusa Y Razonamiento Aproximado
  • 62. 3.1.4.1 Reglas de Proyección Difusa
    • En muchos problemas del mundo real, se busca la relación funcional entre un conjunto de parámetros observables y uno o varios parámetros cuyos valores se desconocen.
    • Los controladores lógicos difusos utilizan reglas que aproximan una proyección (típicamente no lineal) desde el estado observado a una acción de control deseada. De hecho, la mayoría de las aplicaciones industriales de lógica difusa utilizan reglas de proyección difusa .
  • 63.
    • Cuando se quiere aproximar una función, una regla difusa puede aproximar un segmento pequeño de la función, la función entera es aproximada por un conjunto de reglas de proyección difusas . A la colección de reglas de proyección difusa se le conoce como modelo basado en reglas difusas o simplemente modelo difuso .
  • 64.
    • La diferencia principal entre las reglas difusas y las reglas no difusas para la aproximación de una función cae en sus capacidades de “razonamiento interpolativo”, el cual permite que la salida de una regla difusa multiple sea unificada para una entrada dada. El concepto de razonamiento interpolativo se puede ver como un tipo de modelado basado en particiones en sistemas de identificación.
  • 65.
    • Las técnicas para la aproximación de una función puede ser clasificadas en tres categorías: técnicas globales, técnicas de super-imposición, y técnicas basadas en partición.
    • La aproximación de una función basada en reglas difusas es una técnica basada en partición. Generaliza la partición clásica al permitir una subregión de traslape parcial con las subregiones vecinas. Se referirá a ésta como una partición difusa . En la región donde se traslapan las subregiones parcialmente la una con la otra, la función es aproximada utilizando un tipo de técnica de interpolación .
  • 66. 3.1.4.2 Reglas de Implicación Difusas
    • Las reglas de implicación difusas son una generalización de la “implicación” en lógica de dos valores.
    • La inferencia de las implicaciones difusas generaliza dos tipos de inferencia lógica utilizando las implicaciones en lógica clásica: modus ponens y modus tollens . A continuación se ilustrará brevemente estas inferencias lógicas utilizando la siguiente implicación:
  • 67.
        • IF el IQ de una persona es alto THEN la persona es inteligente.
    • Dada la implicación y el hecho de que “El IQ de Juan es alto”, el modus ponens posibilita el poder inferir que “Juan es inteligente”.
    • Por otro lado, si se tiene la implicación y el hecho de que “Juan no es inteligente”, el modus tollens posibilita el poder inferir que “El IQ de Juan no es alto”.
  • 68. Limitaciones en la Lógica Clásica
    • Si bien, en la lógica clásica se pueden ejecutar los dos tipos de inferencia mencionados, ellos están limitados en dos formas. Primero , dichas inferencias insisten en combinaciones perfectas . Si el IQ de Juan es mas o menos alto, por ejemplo, no se puede llevar a cabo la inferencia con el modus ponens de la implicación planteada debido a que “mas o menos inteligente” no es identico a “inteligente”. Sin embargo, nuestro sentido “comun de razonamiento” generalmente sugiere que se puede inferir que “Juan es mas o menos inteligente”.
  • 69.
    • Segundo , dichas inferencias no pueden manejar la incertidumbre . Por ejemplo, si Juan dice que su IQ es alto pero no puede presentar algún documento que avale su afirmación, se tendría algo de incertidumbre acerca de su afirmación. Sin embargo, bajo tales circunstancias, la lógica no puede razonar a cerca de la incertidumbre.
  • 70. Esquema de Razonamiento de L. A. Zadeh:
    • Las limitaciones que presenta la lógica clásica motivaron a L. A. Zadeh a desarrollar un esquema de razonamiento que generaliza la lógica clásica, tal que:
    • (1) se pueda dirigir o manejar el razonamiento de “sentido-común” bajo un ajuste parcial, y (2) se pueda razonar acerca del grado de certidumbre de una declaración.
  • 71.
    • En particular, las implicaciones lógicas son generalizadas para permitir un ajuste o combinación parcial. En el ejemplo, esto significa que se puede inferir que “Juan es algo inteligente” de “el IQ de Juan es algo alto” y la implicación difusa “IF el IQ de Juan es alto, THEN Juan es inteligente” , como se muestra a continuación:
  • 72.
    • Dado: El IQ de Juan es alto -> Juan es inteligente .
    • El IQ de Juan es algo alto .
    • Inferencia : Juan es algo inteligente .
    • La segunda limitación de la lógica clásica (la no habilidad de tratar con la incertidumbre) ha motivado otra extensión de la lógica clásica: la lógica multivaluada.
  • 73.
    • La lógica difusa difiere de la lógica multivaluada en que también maneja la primera limitación de la lógica clásica (la restricción a un ajuste perfecto).
    • La razón de que una implicación difusa pueda manejar el primer problema es que utiliza las variables lingüísticas en sus antecedentes (parte IF).
  • 74.
    • Consecuentemente, la declaración en el antecedente describe una condición elástica que puede ser satisfecha parcialmente.
    • En el ejemplo, “El IQ de una persona” es una variable lingüística en el antecedente, y “el IQ de una persona es alto” describe una condición elastica acerca del IQ de una persona.
  • 75.
    • Lo anterior posibilita a una persona con un IQ algo alto a ajustar parcialmente la condición. Obviamente, el grado para el cual la condición en una implicación difusa es ajustada influye en la inferencia que puede ser hecha de la implicación difusa.
  • 76.
    • Las distinciones entre las reglas de implicación difusa y las reglas de proyección difusas son sutiles, más sin embargo importante.
  • 77.
    • El Prof. Zadeh menciona que la lógica difusa tiene cuatro facetas principales:
    • (1) la faceta lógica, (2) la faceta de teoría de conjuntos, (3) la faceta relacional, (4) la faceta epistémico.
    • Las reglas de implicación difusa están primariamente en la faceta lógica, mientras que las reglas de proyección difusa están en la faceta relacional por que la proyección funcional es un tipo de relación.
    • Se resumen algunas de las principales diferencias entre estos dos tipos de reglas difusas en la tabla 3.1.
  • 78. Tabla 3.1 Comparación de dos Tipos de reglas Difusas. Dominios continuos no-lineales Dominios con variables continuas y discretas Campos de Problemas Apropiados Diseñado como un conjunto de reglas Individualmente diseñado Diseño típico aproximado Sistemas ID, interpolación lineal, redes neuronales Lógica clásica, lógica multivaluada, (otros sistemas lógicos ampliados) Disciplinas Relacionadas Control, modelado de sistemas y procesamiento de señales Diagnósticos, realización de decisiones de alto nivel Aplicación Únicamente directa Generalización del modus ponens y modus tollens Inferencia Deseada Aproximar proyecciones funcionales Generalización de Implicaciones para el manejo de imprecisión Propósito Reglas de Proyección Difusa Reglas de Implicación Difusa
  • 79. Material Anexo a: 3.1.4.2 Reglas de implicación difusa. Unidad 3 SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES Implicaciones difusas y el razonamiento aproximado
  • 80. Modelos Basados en Reglas–Difusas para Aproximar una Función
    • Por conveniencia se referirá a un modelo que describa una relación de proyección funcional utilizando un conjunto de reglas de proyección difusas como un modelo difuso basado-en reglas , o simplemente modelo difuso .
    • Un modelo difuso describe una proyección (función) de un conjunto de variables de entrada a un conjunto de variables de salida.
  • 81. ¿Qué es un modelo difuso?
    • Un modelo difuso es un modelo que se obtiene por la fusión de múltiples modelos locales que son asociados con sub-espacios difusos del espacio de entada dado.
    • Un sub-espacio difuso es una región cuya frontera permite una transición gradual desde “dentro de la región” hacia “fuera de la región”.
  • 82.
    • Por lo tanto, generalmente un sub-espacio difuso está parcialmente traslapado con sus vecinos sub-espacios difusos.
    • Un modelo difuso contiene un conjunto de sub-espacios difusos que forman una descomposición difusa (también llamada partición difusa ) del espacio de entrada.
  • 83.
    • El resultado de la fusión de múltiples modelos difusos generalmente es una conclusión difusa, la cual es convertida a una salida crisp final a través de un proceso de defusificación.
    • Por todo lo anterior, los cuatro conceptos principales en los modelos difusos basados en reglas son: (1) Partición difusa, (2) proyección de sub-regiones difusas a modelos locales, (3) fusión de múltiples modelos locales, (4) defusificación.
  • 84. Material Anexo a: Modelos Basados en Reglas–Difusas para Aproximar una Función Unidad 3 SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES ESTRUCTURA BÁSICA Y OPERACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL LÓGICOS DIFUSOS
  • 85. (1) Partición Difusa
    • Una partición clásica de un espacio es una colección de sub-espacios separados cuya unión es el espacio entero.
    Figura 3.6 Ejemplo de Partición Clásica X 2 X 1 I 1 I 3 I 2 I 4 J 1 J 2 J 3 A 11 A 12 A 21 A 31 A 22 A 32 A 42 A 41 A 13 A 23 A 33 A 43
  • 86.
    • En la Fig. 3.6 se ejemplifica la partición clásica para un espacio de entrada, el cual toma en cuanta dos variables X 1 y X 2 .
    • La partición se construye al dividir primeramente el eje X 1 en cuatro intervalos, y después el rango X 2 en tres intervalos. En cada par de intervalos I k y J l se especifica un sub-espacio A kl que puede ser descrito como: X 1 ε I k y X 2 ε J l .
  • 87.
    • Una partición difusa generaliza la partición clásica de tal forma que la transición entre un sub-espacio y otro vecino es suave.
    • Como se vera después, esta generalización posibilita lo que se conoce como: el razonamiento interpolativo en los modelos difusos.
  • 88.
    • La Fig. 3.7 muestra una partición difusa para un sistema que controla el contraste de una TV basada en dos entradas: (1) la distancia entre la persona y la TV, y (2) la iluminación en el cuarto.
    • La distancia entre la persona y la TV se denota por d , y es clasificada por tres conjuntos difusos: cerca, medio , y lejos .
    • La brillantes en el cuarto se denota por b , y es clasificada por dos conjunto difusos: claro y oscuro .
  • 89.
    • La partición difusa del espacio de entrada completo está formado por seis sub-regiones difusas especificadas por parejas de conjuntos difusos, (una para cada variable). La Fig. 3.7 muestra dos de las seis sub-regiones difusas:
        • d es medio y b es oscuro.
        • d es lejos y b es oscuro.
  • 90.
    • Figura 3.7 Ejemplo de Partición difusa
    Cerca Medio Lejos Claro Oscuro Membresía Iluminación o Brillantes del cuarto (b) Distancia entre la persona y la TV (d)
  • 91.
    • Una partición difusa de un espacio es una colección de sub-espacios difusos cuyas fronteras están parcialmente traslapadas y cuya unión es el espacio entero.
    • Aun que existen diferentes operadores para escoger y realizar la operación de unión en conjuntos difusos, el que es más factible para definir la partición difusa es el operador de adición.
    • Así es que, se puede formalmente definir la partición difusa de espacios S como una colección de sub-espacios difusos A i de S que satisface la siguiente condición:
  • 92.
    • Esto es, para cualquier elemento de un espacio, su grado de membresía en todo el sub-espacio siempre tendera a 1.
    • Asumiendo que se utiliza el operador aditivo para calcular la unión, es fácil mostrar que la condición de la Ec. (3.5) es equivalente a:
  • 93.
    • Aun que muchos sistemas difusos desarrollados en el mundo real satisfacen la Ec. (3.5), no todos los investigadores en la comunidad de la lógica difusa adoptan dicha definición para la partición difusa.
    • Una definición más simple de la partición difusa es la que reemplaza la condición suma-a-uno de la Ec. (3.5), con la condición de que el grado de membresía en todo el subespacio sumará un número más grande que 0, pero no que 1.
  • 94.
    • Se llamará una colección de subconjuntos difusos A i de S a una colección difusa débil de S si y solo si satisface la siguiente condición:
    • La condición “más grande que 0” requiere que cada elemento en el espacio S sea cubierto por al menos un subespacio difuso en lo particular.
  • 95.
    • Intuitivamente, esto significa que una partición difusa no deja ningún “hueco” .
    • La condición “suma a 1” de una partición difusa puede ser relajada a la condición “suma menor o igual a 1” debido a que el razonamiento interpolativo de un modelo difuso incluye un paso de normalización.
    • Es obvio que una partición difusa siempre es una partición difusa débil, pero no viceversa.
  • 96. NOTA:
    • Al generalizar la capacidad de razonamiento interpolativo en la lógica difusa se utiliza tanto la “distancia” como el “grado de membresía” (en vez de utilizar solo “el grado de membresía”), los investigadores en lógica difusa han generalizado la notación de la “partición difusa” al quitar la condición “más grande que 0”, por ejemplo:
  • 97.
    • Esto es porque aun si un elemento x no es cubierto por cualquier subespacio difuso, el razonamiento interpolativo basado en distancia todavía puede ser ejecutado en x al utilizar subespacios en la partición difusa que sean cercanos a x .
    • Sin embargo, el término “partición difusa”, puede no ser apropiado para describir tales conjunto de un subespacio difuso porque su analogía con la notación convencional de “partición” es muy debil.
    • Un término más apropiado puede ser “casos difusos” o “parches difusos”.
  • 98.
    • Es importante enfatizar que “partición difusa” y “razonamiento interpolativo” son como las dos caras de una moneda.
    • Al extender una generalmente se extiende la otra. Las dos juntas hacen posible para la lógica difusa aprovechar el compromiso entre el costo y la precisión.
  • 99. (2) Proyección de un Subespacio Difuso a un Modelo Local
    • Un modelo local para un subespacio del espacio de entrada total describe la relación de proyección entre las entrada y las salidas del sistema en el subespacio pequeño.
    • Un modelo global para un espacio de entrada describe la relación entrada-salida del sistema para el espacio de entrada total.
  • 100.
    • Ya que la amplitud del modelo local es menor que el de un modelo global, generalmente es más fácil desarrollar un modelo local. En particular, un modelo global no-lineal (cuya función de proyección entrada-salida no es lineal) frecuentemente puede ser aproximado por un conjunto de modelos locales lineales.
  • 101.
    • Esto puede ser entendido al recordar la técnica de aproximación llamada “aproximación lineal piecewise”, la cual aproxima una función no-lineal arbitraria utilizando segmentos de lineas.
    • Un ejemplo de tal técnica de aproximación es mostrado en la Fig. 3.8, donde la línea punteada indica la función que es aproximada.
  • 102.
    • Figura 3.8 Ejemplo de la aproximación lineal Piecewise
    x y
  • 103.
    • La aproximación lineal Piecewise tiene dos componentes principales:
        • 1.- Particionando el espacio de entrada a las regiones crisp,
        • 2.- Proyectando cada región particionada a un modelo local lineal.
    • La diferencia principal entre el modelado difuso y la aproximación lineal piecewise es que la transición de una subregión local a un vecindario es gradual más que abrupta.
  • 104.
    • Generalmente, la proyección de un subespacio difuso a un modelo lineal es representado como una regla difusa if-then en la forma de
        • denotan el vector de variables de entrada y una variable de salida respectivamente,
        • FS i y LM i denotan el ith subespacio difuso y el modelo local correspondiente, respectivamente.
        • En general, el modelo local está en función de las variables de entrada, aun que pueden ser constantes.
  • 105.
    • Ya que las reglas de proyección difusas describen una relación funcional entre entrada y salida, dos reglas que asocian la misma subregión difusa a dos modelos locales diferentes se dice que son inconsistentes .
    • Por ejemplo, las dos reglas siguientes son inconsistentes debido a que ellas asocian a dos modelos locales diferentes a un subespacio difuso (ejemplo: x es pequeño).
        • IF x es Pequeña THEN y es Grande
        • IF x es Pequeña THEN y es Pequeño.
  • 106.
    • El modelo local asociado con cada subespacio difuso puede ser de cuatro tipos diferentes (1) una constante crisp, (2) una constante difusa, (3) un modelo lineal, o (4) un modelo no-lineal.
    • La que se utiliza con más frecuencia entre las aplicaciones de la lógica difusa es el segundo tipo: la constante difusa.
  • 107.
    • 1.- Constante Crisp: Este tipo de modelo local simplemente es una constante crisp (ejemplo: 4.5):
        • IF x 2 es pequeña THEN y = 4.5
    • 2.- Constante Difusa: el modelo local que es una constante difusa (ejemplo: PEQUEÑA) pertenece a este tipo. Por ejemplo:
        • IF x es Pequeña THEN y es Medio.
  • 108.
    • 3.- Modelo Lineal: Este tipo de modelo local describe la salida como una función lineal de las variables de entrada, tal como en la siguiente regla:
        • IF x es pequeña AND x 2 es grande THEN
        • y = 2x 1 + 5x 2 + 3.
    • 4.- Modelo no lineal: Teóricamente hablando, un modelo local puede ser más complejo que un modelo lineal. Sin embargo, en la práctica rara vez existe esto. Un modelo difuso que fusiona modelos locales de los tres primeros tipos con frecuencia es suficiente para aproximar un sistema complejo desconocido. Los modelos locales no lineales han sido introducidos en un sistema híbrido neuro-difuso que utiliza redes-neuronales para representar modelos locales no lineales asociados con reglas.
  • 109. (3) Fusión de Modelos Locales a través del Razonamiento Interpolativo
    • Los modelos difusos usan razonamiento interpolativo para fusionar varios modelos locales en un modelo global. La idea básica atrás de un razonamiento interpolativo es análoga a la obtención de una conclusión de un panel de expertos, donde cada uno es un especialista en una sub-área del problema entero.
  • 110.
    • Cada opinión de los experto es asociada con una ponderación, la cual refleja el grado para el cual la situación tratada en ese momento está en la subárea de especialización del experto.
    • Esas opiniones ponderadas entonces son combinadas para formar una opinión completa.
  • 111.
    • En ésta analogía, un experto corresponde a una regla difusa if-then, la subárea de especialización del experto corresponde al sub-espacio difuso asociado con la parte-if de la regla.
    • La ponderación de la opinión del experto es determinada por el grado para el cual la situación tratada en ese momento pertenece al sub-espacio.
  • 112. (4) Defusificación
    • Se puede interpretar una distribución de posibilidad a través de una aproximación lingüística , o a través de la defusificación .
    • La primera opción entrega una interpretación cualitativa, mientras la segunda entrega un resumen cuantitativo y más comúnmente utilizada en control lógico difuso y muchas otras aplicaciones industriales.
  • 113.
    • Dada una distribución de posibilidad de la salida de un modelo difuso, la defusificación tiende a seleccionar un valor representativo que capture el significado esencial de la distribución dada.
    • Existe dos técnicas de defusificación comunes: el promedio de los máximos (MOM) y el centro de área (COA).
  • 114. MOM:
    • Donde P es el conjunto de calores de salida y con el grado de posibilidad más alto en A,
    • Si P es un intervalo, el resultado de la defusificación MOM es obviamente el punto medio en dicho intervalo.
  • 115. COA:
    • Si x es discreto, el resultado de la defusificación de A es:
  • 116. El Método de Height
    • Este método se puede visualizar en dos pasos. Primero, se convierte la función de membresía del consecuente C i en consecuentes crisp y = c i donde C i es el centro de gravedad de C i . La defusificación por centroide entonces es aplicada a las reglas con consecuente crisp, lo cual dad la siguiente formula:
  • 117.
    • Donde w i es el grado para el cual la ith regla ajusta mejor a los datos de entrada.
    • El beneficio principal del método de height es su simplicidad.
    • El calculo de C i puede ser ejecutado durante la compilación. Consecuentemente, el único calculo que se requiere durante el tiempo de corrida es una suma de ponderaciones normalizada. Lo anterior no solo reduce el costo computacional requerido por las dos técnicas de defusificación anteriores sino que también facilita la aplicación de aprendizaje de redes neuronales a sistemas difusos.
  • 118.
    • Por lo tanto, muchos modelos neuro-difusos bien conocidos utilizan este tipo de método de defusificación.
    • La principal desventaja de este método es que no esta bien justificado y frecuentemente es considerado una aproximación de la defusificación por centroide.
  • 119. 3.1.5 Fundamentos Teóricos de Reglas de Proyección Difusa Unidad 3 SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES
  • 120. 3.1.5.1 Representación Matemática de las reglas de proyección difusas
    • Una regla de proyección difusa impone una restricción elástica en las asociaciones posibles entre las variables de entrada y salida.
    • La restricción es elástica debido a que una reglas difusa puede describir asociaciones entrada-salida que son algo posibles (el área gris entre la posibilidad total y la imposibilidad total)
  • 121.
    • El grado de posibilidad de una asociación entrada-salida impuesta por una regla R puede ser expresada como una distribución de posibilidad, denotada por Π R .
    • Debido a que una relación difusa es una forma general de describir una distribución de posibilidad, es natural utilizarla para representar la distribución de posibilidad impuesta por una regla difusa.
  • 122.
    • Aun que esta idea parece buena, se debería responder a la siguiente pregunta: ¿ Como se construye la relación difusa que representa a las reglas de proyección difusa? La respuesta es: Utilizando el concepto de producto Cartesiano.
    • Una regla de proyección difusa es representada matemáticamente como una relación difusa formada por el producto Cartesiano de las variables referidas a la parte if de la regla y a la parte then de la regla.
  • 123.
    • Por ejemplo, la regla de proyección:
        • IF x es A, THEN y es B
    • Se refiere matemáticamente como una relación difusa R definida como
    • Si se utiliza el operador min para el producto Cartesiano, la relación difusa R se convierte en:
  • 124.
    • La función de membresía bi-dimencional de una relación difusa construida de esta manera se muestra en la Fig. 3.9
    Figura 3.9 Relación Difusa Formada por una regla de Proyección Difusa
  • 125. Ejemplo 3.1
    • Si se considera la siguiente regla de proyección difusa de X a Y donde X={2,3,4,5,6,7,8,9} y Y={1,2,3,4,5,6}:
        • IF x es Mediano , THEN y es Pequeña
    • Donde Mediano y Pequeño son subconjuntos difusos de X y Y caracterizados por las siguientes funciones de membresía:
    • Mediano  0.1/2+0.3/3+0.7/4+1/5+1/6+0.7/7+0.5/8+0.2/9
    • Pequeño  1/1+1/2+0.9/3+0.6/4+0.3/5+0.1/6
  • 126.
    • La relación difusa R que representa a la regla es el producto Cartesiano de Mediano y pequeño.
    • Si se utiliza el operador min para construir el producto Cartesiano, se tiene:
    • El resultado de la relación difusa que representa a la regla es:
  • 127.  
  • 128. 3.1.5.2 El Fundamento de los Modelos Difusos Basados en Reglas: La Gráfica Difusa
    • El fundamento teórico de las reglas de proyección difusa es una grafica difusa y una regla composicional de inferencia, las cuales fueron introducidas en la unidad 2.
    • Una gráfica difusa puede ser descrita convenientemente por una regla difusa en la forma de
        • IF x es A THEN y es B.
  • 129.
    • Tal declaración (o regla), como lo puntualizó Zadeh, generaliza la relación de dependencia entre las variables en una lookup table tal que:
    • IF x es 5 THEN y es 10
    • IF x es 10 THEN y es 14.
    • Un conjunto de tales dependencias forma una proyección funcional de x a y . Generalizando estas proyecciones punto-a-punto a una proyección de conjuntos difusos a conjuntos difusos, se introducen dos beneficios: (1) se pueden reducir el número total de reglas punto-a-punto requeridas para aproximar una función. (2) Utilizando palabras en las reglas difusas se hace más fácil la captura, el entendimiento y comunicar el conocimiento humano fundamental.
  • 130.
    • Si f* es una gráfica difusa descrita por un conjunto de reglas de proyección difusa de la forma:
    • IF x es A i then y es B i .
    • La gráfica difusa puede ser expresada matemáticamente como:
  • 131.
    • La inferencia (ejemplo, razonamiento interpolativo) de tal modelo difuso basado en reglas está basado en la regla composicional de inferencia , la cual fue introducida en la unidad 2.
    • El efecto neto es una distribución de posibilidad sobre el dominio de la definición de la variable de salida.
  • 132.
    • En particular,
        • B’ = A’ ◦ f* (3.15)
    • Donde f* representa la gráfica difusa de un modelo difuso dado , A’ es una entrada la cual puede ser difusa o crisp, y B’ es el valor de salida inferido antes de la defusificación.
    • Utilizando la definición de una regla composicional de inferencia, se puede expresar esto como:
  • 133. Donde X y Y son los universos de discurso de x y y, respectivamente, y Ā’ denota la extension cylindrical de A’ a XxY .
  • 134. Ejemplo 3.5
    • Se tiene la siguiente regla:
    • IF x es Mediano THEN y es Pequeño
    • y el dato de entrada
    • x es Pequeño
    • donde Pequeño para x es definido como
    • Pequeño  1/1+0.9/2+0.6/3+0.3/4+0.1/5
  • 135.
    • Para encontrar los valores posibles de y , se realiza la composición de los valores posibles de x con la relación difusa R en la Ec. (3.13) utilizando la composición sup-min:
    • Por lo tanto, el resultado de la inferencia es:
    • y = 0.6/2+0.6/3+0.6/4+0.6/5+0.3/6+0.1/7
  • 136.
    • En el ejemplo 3.5, se consideró solamente una regla. Sin embargo, un modelo difuso para aproximar una función generalmente está formado por un conjunto de reglas de proyección difusas. En tal caso, la relación difusa de todo el modelo (denotado FM, fuzzy model) es construida al formar una unión de relaciones difusas de reglas individuales: 1
    1 Ya que estas reglas de proyección difusas tienen las mismas variables antecedentes y las mismas variables consecuentes, sus relaciones difusas R 1 , R 2 ,…, R n son definidas en el mismo espacio.
  • 137.
    • Entonces se aplica la regla composicional de inferencia a la entrada del modelo y la relación difusa que representa el modelo para obtener la salida del modelo.
    • Existen diferentes tipos de modelos difusos, los cuales varían por los operadores de la composición seleccionados y por los operadores de disyunción (unión) difusa utilizados al combinar múltiples reglas.
  • 138. 3.1.6 Tipos de Modelos Difusos Basados en Reglas Unidad 3 SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES
  • 139. 3.1.6 Tipos de Modelos Difusos Basados en Reglas
    • Existen tres tipos de modelos difusos basados en reglas para aproximar una función: (1) el modelos de Mamdani, (2) El modelo de Takagi-Sugeno-Kang (TSK), y (3) el modelo aditivo de Kosko (SAM).
    • El esquema (proyecto) de inferencia de SAM es similar al modelo TSK. Ambos utilizan una inferencia semejante a la suma ponderada para agregar la conclusión de múltiples reglas en una conclusión final. Por lo anterior, se referirá a estos modelos de reglas como modelos de reglas aditivas .
  • 140.
    • Por lo contrario, el modelo de Mamdani combina los resultados de la inferencia de reglas utilizando super-imposición, no adición. Por consiguiente, es un modelo no-aditivo. La Fig. 3.10 muestra la clasificación de estos modelos difusos basados en reglas:
  • 141.
    • Figura 3.10 Clasificación de Modelos Difusos Basado en Regla para Aproximar una Función
    Modelos de Reglas No-Aditivas Modelos de Reglas Aditivos Modelos Difusos Basados en Reglas Modelo de Mamdani Modelo TSK SAM
  • 142.
    • El primer modelo desarrollado fue el modelo de Mamdani (E. H. Mamdani), quien desarrollo el primer controlador lógico difuso utilizando el modelo. La mayoría de los sistemas de control desarrollados en los 80’s utilizan el modelo de Mamdani.
  • 143.
    • El modelo Takagi-Sugeno-Kang (TSK) fue presentado por primera vez por T. Takagi y Prof. M. Sugeno en 1985. Otro estudiante de Sugeno, K. T. Kang continuo trabajando en las aplicaciones e identificación del modelo. El modelo TSK fue más utilizado en los 90’s por la comunidad de investigadores y la industria. Una de las principales ventajas del modelo TSK es que puede aproximar una función utilizando pocas reglas.
  • 144.
    • El modelo de Mamdani y el SAM utilizan reglas en las que la parte del consecuente es un conjunto difuso:
        • R i : If x 1 es A i1 y x 2 es A i2 y … y x s es A is
        • Then y es C i , i=1, 2, 3, …, M (3.19)
    donde M es el número de reglas difusas, x j  U j (j=1, 2, 3, …,s) son las variables de entrada. y  V es la variable de salida, y A ij y C i son los conjuntos difusos caracterizados por funciones de membresía  Aij (x j ) y  Ci (y), respectivamente.
  • 145.
    • Estos dos modelos difusos basados en reglas difieren en sus esquemas de inferencia. El modelo TSK utiliza una regla cuya parte THEN es un modelo lineal:
        • R i : If x 1 es A i1 y x 2 es A i2 y … y x s es A is
        • Then y es f i (x 1 , x 2 , …, x s ), i=1, 2,…, M
    • donde f i es una función lineal.
  • 146. 3.1.7 Modelo Mamdani
    • Este modelo consiste de la siguiente regla lingüística que describe una proyección de U 1 x U 2 x …x U r a W .
    • R i : IF x 1 es A i1 y … y x r es A ir THEN y es C i
    • donde x j (j=1,2, …,r) son las variables de entrada, y es la variable de salida, y A ij y C i son conjuntos difusos para x j y y respectivamente.
  • 147.
    • Las entradas son de la forma:
    • x 1 es A’ 1 , x 2 es A’ 2 ,…, x r es A’ r
    • donde A’ 1 , A’ 2 ,…, A’ r son subconjuntos difusos de U 1 , U 2 ,U r (ejemplo, números difusos), la contribución de la regla R i a una salida del modelo de Mamdani es un conjunto difuso cuya función de membresía es calculada por:
  • 148.
    • donde α i es el grado de matching (combinación o ser igual a) (ejemplo, fuerza de disparo) de la regla R i , y donde α ij es el grado de igualdad entre x j y la condición R i acerca de x j .
  • 149.
    • y  denota el operador “min”. Esto es el “método de inferencia por recorte” (unidad 2).
    • La salida final del modelo es la agregación de las salidas de todas las reglas, esto se realiza utilizando un operador “max”:
  • 150.
    • Nótese que la salida C es un conjunto difuso. Esta salida difusa puede ser defusificada en una salida crisp utilizando uno de las técnicas de defusificación (ver anexos de esta unidad).
  • 151. 3.1.8 Modelo TSK
    • El modelo TSK se presento por Takagi y por Sugeno en 1998 una década después del modelo de Mamdani. Después Sugeno y Kang también trabajaron en la identificación de este tipo de modelos difusos.
    • La principal motivación para desarrollar este modelo es reducir al número de reglas requeridas por el modelo de Mamdani, especialmente para problemas complejos y alta dimensionalidad.
  • 152.
    • Para lograr esta meta, el modelo TSK remplazó los conjuntos difusos en el consecuente (parte THEN) de la regla de Mamdani con una ecuación lineal de las variables de entrada. Por ejemplo un modelo TSK de dos-entradas una-salida consiste de reglas en la forma de:
    • IF x es A i y y es B j
    • THEN z=ax+by+c
    • donde a, b, c son constantes numéricas. En general, las reglas en un modelo TSK tienen la forma:
    • IF x 1 es A i1 y …y x r es A ir
    • THEN y= f i (x 1 , x 2 , …,x r )= b i0 +b i1 x 1 +…+b ir x r
  • 153.
    • donde f i es el modelo lineal, y b ij (j=0, 1,…, r) son los parámetros reales evaluados.
    • La inferencia ejecutada por el modelo TSK es una interpolación de todos los modelos lineales pertinentes. El grado de pertinencia de un modelo lineal es determinado por el grado para el cual el dato de entrada pertenece al subespacio difuso asociado con el modelo lineal. Estos grados de pertinencia llegan hacer el peso o ponderación en el proceso de interpolación.
  • 154.
    • La salida total del modelo está dada por la Ec (3.23) donde α i es el grado de matching de la regla R i , el cual es análogo al grado de matching calculado por la Ec. (3.20) del modelo de Mamdani.
  • 155.
    • Las entradas para un modelo TSK son números crisp (no-difusos). Por lo anterior, el grado de la entrada que iguala (matches) la ith regla típicamente es calculado utilizando el operador min:
    • Sin embargo, el operador producto también puede ser utilizado:
  • 156. 3.1.9 Modelo Estándar Aditivo (SAM)
    • El SAM fue presentado por B. Kosko en 1993. La estructura de las reglas difusas en SAM es idéntica al modelo de Mamdani. No obstante, existe cuatro diferencias entre los esquemas de inferencia de estos dos modelos:
      • (1) SAM asume que las entradas son crisp, mientras que el modelo de Mamdani maneja tanto entradas crisp como difusas.
      • (2) SAM utiliza el método de inferencia por escalamiento (ver unidad 2), mientras que Mamdani utiliza el método de recorte. Como ya se ha mencionado esta diferencia es debido a los operadores de composición que son elegidos y utilizados por los dos modelos.
  • 157.
      • (3) SAM utiliza la adición para combinar las conclusiones de las reglas difusas, mientras Mamdani utiliza el max.
      • (4) SAM incluye la técnica de defusificación por centroide, mientras que el modelo de Mamdani no insiste en un método de defusificación específica.
  • 158.
    • Si se tiene un modelo de dos-entradas una-salida, la generalización para un modelo con entradas arbitrarias es directa. Si se considera un modelo estándar aditivo consistente de reglas de la forma:
        • IF x es A i y y es B i THEN z es C i . (3.26)
  • 159.
    • Dadas las entradas crisp x = x o , y=y o , la salida del modelo 2 es:
    • donde centroid es la función que ejecuta la defusificación por centroide. La Ec. (3.27) puede ser transformada en una forma más sencilla de calcular.
    2 La forma más general del modelo SAM permite que cada regla sea asociado con una ponderación o peso.
  • 160. Sumario
    • Existen dos diferentes tipos de reglas if-then difusas: reglas de implicación difusa y reglas de proyección difusa. Las primeras son para describir una relación lógica entre dos sentencias lógicas, mientras las segundas son para describir una relación de proyección funcional entre las entradas y las salidas de un modelo.
  • 161.
    • El fundamento de una regla de proyección difusa es una gráfica difusa y una regla composicional de inferencia.
    • Un conjunto de reglas de proyección difusa forman un modelo difuso basado en reglas.
  • 162.
    • Los conceptos principal de los modelos difusos basados en reglas son: (1) partición difusa del espacio de entrada, (2) proyección de cada subregión difusa a un modelo local utilizando una regla de proyección difusa, (3) fusión de la salida de múltiples reglas a través del razonamiento interpolativo, y (4) defusificación.
  • 163.
    • Existen tres tipos principales de modelos difusos: Mamdani, TSK, y SAM. Las dos últimas son aditivas, mientras el primero no es aditiva.
    • La diferencia fundamental entre el modelo de Mamdani y el de SAM tiene que ver con los operadores de composición, conjunción, y disyunción seleccionados en sus razonamientos.
  • 164.
    • La diferencia entre el modelo TSK y el de SAM es la estructura de sus modelos locales (ejemplo, las partes THEN de las reglas). El modelo TSK utiliza un modelo local lineal, mientras que SAM utiliza una constante difusa como su modelo local de regla.
  • 165. 3.2 Lógica Difusa, Implicaciones Difusas y Razonamiento Aproximado. Unidad 3 SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES
  • 166. 3.2 Lógica Difusa, Implicaciones Difusas y Razonamiento Aproximado. Unidad 3 SISTEMA DIFUSO Y SUS PROPIEDADES
  • 167. Introducción
    • Aunque se ha utilizado el término “Lógica Difusa” con frecuencia en los temas anteriores de este capítulo, se utilizó en un sentido general (refiriéndose a una colección de técnicas basadas en conjuntos difusos). En el presente tema se mostrarán algunos tópicos relacionados a “Lógica Difusa” en un sentido particular (refiriéndose a una generalización de los sistemas lógicos clásicos de dos-valores).
  • 168.
    • La lógica clásica ofrece una manera de ver formalmente el razonamiento. Un sistema lógico tiene dos componentes principales: (1) un lenguaje formal para estructurar las declaraciones acerca del mundo, y (2) un conjunto de mecanismos de inferencia para inferir declaraciones adicionales acerca del mundo partiendo de declaraciones ya dadas.
  • 169.
    • Dos de los sistemas lógicos más comúnmente utilizados (desde un punto de vista binario) son: (1) lógica proposicional, y (2) lógica de predicado de primer orden.
    • Se introducirá la lógica difusa con un énfasis en implicaciones difusas y su razonamiento. Se presentarán las implicaciones difusas por dos razones.
    • Primero, es el esquema de razonamiento más comúnmente utilizado en aplicaciones
  • 170.
    • de la lógica difusa (desde un sentido particular). Una importante aplicación de la implicación difusa son: los sistemas expertos.
    • Una segunda razón para trabajar con implicaciones difusas es que en si son complicadas, por el hecho de que no existe una única definición de implicación difusa. De hecho, existen tres formas principales de definir una implicación difusa, lo cual nos conduce a tres familias de implicaciones difusas.
  • 171. Lógica Proposicional
    • En lógica proposicional, una declaración acerca del mundo se construye por: (1) representando oraciones simples como unidades base llamadas proposiones , y (2) conectando proposiciones con los siguientes conectores para formar oraciones complejas: ¬ (not),  (and),  (or),  (implies).
  • 172.
    • Por ejemplo, la siguiente declaración
      • If hoy es un día de la semana y la hora del día es una hora pico, then el tráfico está congestionado.
    • se puede representar al definir primeramente la siguientes tres proposiciones:
  • 173.
    • P : hoy es un día de la semana
    • Q : la hora actual es una hora pico
    • R : el tráfico está congestionado
    • entonces al conectarlos utilizando “and” e “implication” se tiene:
    • (P  Q)  R (3.28)
  • 174.
    • Una declaración lógica clásica puede tener dos posibles valores de verdad: falso o verdadero. Debido a que una conectiva lógica es aplicada a una sub formula o a un par de subformula, su significado se puede definir al listar el valor de verdad de la formula resultante (compuesta) para todos los posibles valores de verdad combinados de las subformula.
  • 175.
    • La tabla de verdad de las conectivas mencionadas anteriormente se ilustra en la tabla 3.1.
    • Tabla 3.1 Tabla de Verdad de las Conectivas Lógicas.
    Verdadero Verdadero Verdadero Falso Verdadero Verdadero Falso Verdadero Falso Falso Falso Verdadero Verdadero Verdadero Falso Verdadero Verdadero Falso Verdadero Falso Falso Verdadero Falso Falso    ¬   
  • 176.
    • La conectiva de “implicación” es especialmente importante, debido a que es base de las reglas de implicación difusas.
    • Una implicación tiene dos partes: una premisa (la “parte if” precede a la conectiva de implicación) y una conclusión (la “parte then” que sigue a la conectiva de implicación). En la Ec. 3.28, por ejemplo, P  Q es la premisa y R es la conclusión.
  • 177.
    • Una implicación α  es lógicamente equivalente a ¬ α  . Esto es, una implicación es verdadera si su premisa es falsa o su conclusión es verdadera. El racionamiento de esta definición es que la implicación no debería decir nada respecto a si  es verdadera cuando la premisa es falsa (ver tabla 3.1).
  • 178.
    • Para encontrar el valor de verdad de  cuando α es falsa y α  es verdadera, se identifican las filas de la tabla de verdad que tienen el valor de verdad correcto asignado bajo las columnas de α y α  (primera y segunda fila). Los valores de verdad de  en esas dos filas son “Falso” y “verdadero”, respectivamente. Por lo tanto, nada se puede inferir acerca del valor de verdad de  (ejemplo, es desconocido).
  • 179.
    • Uno de los esquemas de inferencia más importantes en la lógica proposicional es el modus ponens. Dado que una implicación y su premisa son verdaderas, el modus ponens posibilita deducir que el consecuente es verdadero.
  • 180. Por ejemplo, si hoy es un día de la semana (martes) y es una hora pico, se puede deducir que el tráfico está congestionado utilizando la implicación de la Ec. 3.28
  • 181. Otro esquema de inferencia que involucra una implicación es el modus tolens. De una implicación y la negación de su conclusión, se puede deducir la negación de su premisa: Una de las principales limitaciones de la lógica proposicional es que no puede fácilmente describir el conocimiento que se aplica a una clase de objeto. Para hacer esto, se necesita de “el cálculo del predicado de primer –orden”.
  • 182. Predicado de Primer-Orden
    • El Cálculo del Predicado de Primer-Orden (FOPC) ofrece un lenguaje formal que es más sólido que la lógica proposicional.
    • Específicamente, el FOPC permite la utilización de variables en una declaración lógica. Una variable en FOPC se asocia con uno de los dos siguientes cuantificadores: el cuantificador universal  (“para todo”) y el cuantificador existencial  (“ahí existen”). El primero es utilizado para describir una declaración que es verdadera para TODOS los objetos posibles, mientras el segundo se utiliza para describir una declaración que es verdadera para AL MENOS UN objeto.
  • 183.
    • El FOPC utiliza predicados para describir oraciones simples. Un predicado representa un conjunto de objetos o una relación. Un predicado tiene un número de argumentos, los cuales pueden ser variables o constantes. Algunos ejemplos de predicados con argumentos constantes son:
    • Nativo del lugar(Juan) Juan es un Nativo,
  • 184.
    • Hora pico(5 pm): A las 5 de la tarde es hora pico.
    • Amistad(Pedro, Andrés): Pedro y Andrés son amigos.
    • El FOPC combina expresiones lógicas simples en una compleja, utilizando conectivas lógicas. Por ejemplo, una declaración como: “todos los nativos del lugar como todas las tradiciones nativas” pueden ser descritos en un sistema lógico llamado lógica de predicado de primer-orden como sigue:
  • 185.
        •  x, y Nativo del lugar(x)  Tradiciones del lugar(y)  Como(x,y) (3.29)
    • donde x y y son variables; Nativo del lugar, Tradiciones del lugar, y Como son predicados.
    • Todas las reglas de inferencia en la lógica proposicional se pueden extender hacia el FOPC al encontrar las sustituciones propias de las variables utilizando un algoritmo de unificación. Por ejemplo, dados los siguientes hechos:
    • Nativo del lugar (Juan)
    • Tradiciones del lugar (Fogata).
  • 186.
    • Modus ponens se puede aplica a la Ec. (3.29) al sustituir las variables x y y con Juan y Fogata respectivamente, denotada como {Juan/x, Fogata/y}.
      •  x,y Nativo del lugar(x)  Tradiciones del lugar(y)  Como(x,y)
      • Nativo del lugar(Juan)
      • Tradición del lugar(Fogata) .
      • Como(Juan, Fogata)  = {Juan/x, Fogata/y}
  • 187.
    • donde  denota una variable de sustitución. Las variables de sustitución son llamadas UNIFICADORES. Los algoritmos para encontrar estas variables de sustitución son llamados algoritmos de unificación.
    • Una de las principales limitaciones de la lógica clásica es que no puede representar y razonar fácilmente el conocimiento que es incierto. La lógica difusa ayuda a generalizar la lógica clásica para razonar bajo incertidumbre.
  • 188. LÓGICA DIFUSA
    • Una importante meta de la lógica difusa es que puede realizar una inferencia razonable aun cuando la condición de una regla de implicación se cumpla parcialmente.
    • La capacidad anterior se conoce como razonamiento aproximado .
    • El razonamiento aproximado en la lógica difusa se realiza por medio de dos técnicas que están relacionadas: (1) representando el significado de una regla de implicación difusa utilizando una relación difusa, y (2) obteniendo una conclusión inferida al aplicar la regla composicional de inferencia a la relación de implicación difusa.
  • 189. Implicación difusa
    • Sea mencionado que una regla de proyección difusa se puede representar mediante una relación difusa entre las variables del antecedente y las variables del consecuente. Similarmente, se puede representar una regla de implicación difusa utilizando una relación difusa.
  • 190.
    • Sin embargo, el contenido de las relaciones difusas para estos dos tipos de reglas son muy diferentes debido a la diferencia en sus semánticas. Una regla de proyección difusa describe una asociación; por lo tanto, su relación difusa se construye mediante el producto Cartesiano de su condición difusa antecedente y de su conclusión difusa consecuente.
  • 191.
    • Sin embargo, una regla de implicación difusa, describe una implicación lógica generalizada; por lo tanto, su relación difusa necesita ser construida de la semántica de una generalización a la implicación en la lógica de dos-valores.
  • 192.
    • La diferencia entre las semánticas de las reglas de proyección difusa y las reglas de implicación difusa se pueden ver desde las diferencias en sus comportamientos de inferencia.
    • Aun que estos dos tipos de reglas se comportan igual cuando sus antecedentes se cumplen, se comportan diferente cuando sus antecedentes no se cumplen.
  • 193.
    • Por ejemplo, suponga que x y y son dos variables enteras que toman los valores del intervalo [0, 10]. Suponga que si x está entre 1 y 3, entonces y es 7 o 8. Este conocimiento puede ser representado en al menos dos formas: (1) como una implicación lógica, y (2) una declaración condicional en el procedimiento de un lenguaje de programación (ejemplo, Visual Basic, C, etc.). Sin embargo, las dos representaciones son diferentes.
  • 194.
    • Si se asume que también se conoce el valor de x es 5, la representación lógica incluirá que y es desconocida (ejemplo: y puede ser cualquier entero en el intervalo [0, 10]), pero la representación procesal no hará ninguna conclusión acerca del valor de y , ya que el componente “ else ” de la declaración if-then-else se desconoce.
  • 195.
    • Por facilidad de comparación, se resumirán estos dos resultados diferentes como:
    • Regla de Implicación (Representación Lógica)
    • Dado: x  [1,3]  y  [7, 8]
    • x = 5 .
    • Infer: y es desconocido ( y  [0, 10])
  • 196.
    • Regla de Proyección (Representación Procesal)
    • Declaración: IF x  [1,3] THEN y  [7,8]
    • Valor de la Variable: x = 5 .
    • Resultado de la Ejecución: no acción
  • 197.
    • Las dos representaciones corresponden a los dos tipos de reglas difusas: la representación lógica es la base de las reglas de implicación difusa , mientras que la representación procesal es la esencia de las reglas de proyección difusa.
    • Para establecer el fundamento de la representación de una implicación difusa utilizando una relación difusa, se mostrará primero como una implicación que involucra conjuntos clásicos puede ser representada como una relación de posibilidad binaria.
  • 198.
    • Para ver esto, primero se considerará el siguiente ejemplo:
        • x  {b,c,d}  y  {s,t} (3.30)
    • donde los universos de discurso de x y y son U = {a,b,c,d,e,f} y V = {r,s,t,u,v}, respectivamente.
    • Así una implicación de conjunto-a-conjunto en realidad especifica, un conjunto de implicaciones posibles tal como:
    • x=b ->y=s
    • x=b ->y=t
    • x=c ->y=s
  • 199.
    • Y un conjunto de implicaciones imposibles tal como:
    • x=b ->y=r
    • x=b ->y=r
    • x=b ->y=v
    • Además, si se conoce que el antecedente es falso, la implicación es verdad a pesar del valor de y .
  • 200.
    • Por lo tanto, todas las siguientes implicaciones son posibles:
    • x=a ->y=r
    • x=a ->y=s
    • .
    • x=e ->y=r
    • .
    • x=f ->y=u
    • x=f ->y=v
  • 201.
    • Por lo tanto, se puede representar el significado de la implicación conjunto-a-conjunto utilizando la siguiente relación de posibilidad:
  • 202.
    • donde una entrada en la relación R(x i , y j ) representa si:
        • (x = x i ) -> (y = y j ) (3.32)
    • es posible.
    • Se denominará a tal relación de posibilidad una relación de implicación . Como cualquier otra distribución de posibilidad, “1” significa posible, y “0” significa imposible.
  • 203.
    • Por ejemplo, R(a,r) es 1 debido a que el antecedente a  [b,c,d] es falso.
    • Se puede ahora puntualizar la diferencia entre la relación de posibilidad de una regla de proyección y de una regla de implicación. La diferencia se ilustra en la Fig. 3.11, para la regla “If x es A then y es B ”.
  • 204.
    • Figura 3.11 Vista gráfica de la relación de Posibilidad para (a) una Regla de implicación, y (b) una regla de proyección correspondiente.
    A y B x A y B x (a) (b)
  • 205.
    • Los puntos en el área sombreada son posibles (posibilidad es 1) mientras que en el área blanca no son posibles (posibilidad es 0).
    • Las áreas sombreadas corresponden a las entradas “1” en la relación de implicación de la Ec. (3.31).
  • 206.
    • La Fig. 3.11 hace eco a un punto que se especificó anteriormente –las reglas de implicación y las reglas de proyección difieren en como tratan la situación en la cual falla el cumplimiento de la condición-if.
    • En la Fig. 3.11 estas situaciones están en las dos regiones fuera del área rectangular correspondiente a “ x es A ”.
  • 207.
    • Después de discutir el significado de una implicación binaria conjunto-a-conjunto, se puede ahora considerar una implicación involucrando conjuntos difusos (ejemplo, implicación difusa).
    • (x es A) -> (y es B) (3.34)
    • donde A y B son subconjuntos difusos de U y V , respectivamente. Como en el ejemplo anterior, esta implicación también especifica la posibilidad de varias implicaciones punto-a-punto. La diferencia principal aquí es que las posibilidades no son más binarias.
  • 208.
    • Por lo tanto, el significado de la implicación difusa se puede representar por una relación de implicación R definida como:
    • donde  I denota la distribusión de posibilidad impuesta por la implicación.
  • 209.
    • En lógica difusa, esta distribución de posibilidad es construida de los valores de verdad de las implicaciones ejemplificadas obtenidas al reemplazar las variables en la implicación con los pares de sus valores posibles:
    • Donde t denota el valor de verdad de una proposición.
    • La Ec. 3.36 establece una relación importante entre implicación difusa y lógica multivaluada.
  • 210.
    • El valor de verdad de la implicación “ x i es A ->y j es B ” es definido en términos del valor de verdad de la proposición “ x i es A ” y el valor de verdad de la proposición “ y j es B ”. Por conveniencia, se referirá a estos valores de verdad como  i y  j , respectivamente, por ejemplo:
    • t(x i es A) =  i
    • t(y j es B) =  j
  • 211.
    • El valor de verdad de la implicación ( x i es A -> y j es B ) es así una función I de  i y  j . t(x i A -> Y j es B) = I(  i ,  j )
    • Se denominará a la función I una “función implicación”.
    • No existe una definición única para la función implicación.
  • 212.
    • Diferentes funciones de implicación conllevan diferentes relaciones de implicación difusa. Sin embargo, todas las funciones de implicación deberían, al menos, ser consistentes con la tabla de verdad de implicación en lógica proposicional:
    • I (0,  j ) = 1
    • I (  i , 1) = 1
  • 213.
    • Varias definición de las funciones de implicación han sido desarrollados desde ambos comunidades de investigación tanto de lógica difusa como de lógica multivaluada. Sin embargo, antes de introducir dichas definiciones, se describirán varios criterios intuitivos de resultados de inferencias deseadas de implicaciones difusas. Estos criterios formarán la base para evaluar y calcular diferentes funciones de implicación difusa.
  • 214. Razonamiento Aproximado
    • Dada una distribución de posibilidad de la variable X y la posibilidad de implicación de X a Y, se infiere la distribución de posibilidad de Y. A continuación, se mostrará como se obtiene tal esquema de inferencia.
    • Dado: x = x i es posible AND
    • x = x i  y = y j es posible
    • ______________________________
    • Infer: Y = y j es posible
  • 215.
    • Mas generalmente, se tiene:
    • Dado: Π (X = x i ) = a AND
    • Π (X = x i  Y = y j ) = b
    • ____________________________
    • Infer: Π (Y = y j ) = a  b
    • donde  es un operador de conjunción difuso.
  • 216.
    • Cuando diferentes valores de X implican un valor idéntico de Y por ejemplo y j con grados de posibilidad variables, estas posibilidades inferidas acerca de Y = y j necesitan ser combinadas utilizando una disyunción difusa. Por lo tanto, la ecuación completa para calcular la distribución de posibilidad inferida de Y es:
    • la Ec. (3.37) es la regla composicional de inferencia.
  • 217.
    • Independientemente de que las reglas de implicación difusa como las de proyección difusa utilizan la regla composicional de inferencia para calcular sus inferencias resultantes, sus usos difieren en dos formas. Primero, la regla composicional de inferencia es aplicada a reglas de implicación individuales, mientras que la composición es aplicada a un conjunto de reglas de proyección difusas que aproximan una proyección funcional.
  • 218.
    • Segundo, la relación difusa de una regla de proyección difusa es un producto Cartesiano de los antecedentes de la regla y su parte consecuente. Sin embargo, una entrada en la relación de implicación difusa es la posibilidad de que un valor de entrada particular implique un valor de salida particular.
  • 219. Criterios de Implicaciones Difusas
    • Los criterios de inferencias deseadas que involucran los resultados de la implicación difusa pueden ser agrupados en seis grupos:
    • (1) El criterio Básico del Modus Ponens,
    • (2) El criterio generalizado del Modus Ponen que involucra hedges,
    • (3) El criterio mismatch,
    • (4) El criterio básico de Modus Tolens,
  • 220.
    • (5) El criterio generalizado de Modus Tolen que involucra hedges,
    • (6) El criterio de la Cadena de implicaciones.
    • Todos excluyendo el último criterio fueron introducidos por Fukami, Mizumoto y Tanaks (*). El último criterio fue presentado por Zadeh (**).
    (*) S. Fukuma, M. Mizumoto, and K Tamaka. “Somo considerations on fuzzy conditional inference”, Fuzzy Set and Systems, Vol. 4, pp243-273, 1980. (**) L. A. Zadeh. “On the analysis of large scale systems”. In Systems Approaches and Environment Problems, Vandenhoeck and Ruprecht, pp 233-37, 1994.
  • 221. Criterios Intuitivos para involucrar la implicación Difusa x es A  y es B y es B x es more or less A III-2 y es more or less B x es more or less A III-1 y es B x es A’ and A’  A II-2* yY es B x es very A II-2 y es very B x es very A II-1 y es B x es A I Inferencia Dado Criterios
  • 222. x es A  z es C y es B  z es C IX x es U (desconocida) y es B VIII x es nor (more or less A) y es not (more or less B) VII x es not (very A) y es not (very B) VI x es not A y es not B V y es V (desconocida) x es not A IV Inferencia Dado Criterios
  • 223.  
  • 224.  
  • 225.  
  • 226.  
  • 227.  
  • 228.  
  • 229.  
  • 230. Lógica Difusa Y Razonamiento Aproximado Material Anexo a 3.1. 3 Fundamentos de Reglas Difusas.
  • 231. Lógica Difusa
    • La Lógica es una base para el razonamiento . La lógica bivalente clásica trata con proposiciones las cuales pueden ser verdaderas (valor lógica 1) o falsas (valor lógico 0), lo que se conoce como valor de verdad de la proposición.
  • 232.
    • En general, las proposiciones son oraciones expresadas en algún lenguaje y pueden ser representadas en una forma canónica :
    • x es P,
    • x es el sujeto y P designa el predicado el cual caracteriza una propiedad del sujeto.
  • 233. Operaciones Lógicas
    • Las operaciones lógicas son funciones (lógicas) de dos proposiciones y son definidas vía Tablas de Verdad .
    • Si se tienen dos proposiciones A y B , las cuales pueden ser verdaderas o falsas. Entonces se pueden tener cuatro operaciones lógicas básicas que son:
  • 234.
    • La conjunción (  ), “ A y B ”.
    • La disyunción (  ), “ A o B ”.
    • La implicación (o condicional) (  ), “si A entonces B ”.
    • La equivalencia (o bidireccional) (  ), “ A si y solo si B ”.
  • 235. Razonamiento Lógico
    • El procedimiento de razonamiento es realizado a través de algunas reglas de inferencia. Algunas reglas de inferencia importantes son:
        • ( A  ( A  B ))  B (modus ponens)
        • (  B  ( A  B ))  A (modus tollens)
        • (( A  B )  ( B  C ))  ( A  C ) (silogismo
        • hipotético)
  • 236.
    • El resultado de las proposiciones anteriores siempre es cierto no importando cuales sean los valores de verdad de las proposiciones A y B .
    • El modus ponens se utiliza para el control difuso; y el modus tollens se utiliza en sistemas expertos.
  • 237. Generalidades de un sistema experto difuso
    • Un sistema experto consiste de una base de conocimiento y de una maquina de inferencia. La base de conocimiento puede ser descompuesta en una base de datos y una base de reglas.
  • 238.
    • La importancia de los sistemas llamados "sistemas expertos difusos" , radica en sus habilidades de poder representar y razonar con imprecisión, lo cual es inherente a los sistemas expertos.
  • 239. Base de conocimiento en la Lógica Difusa.
    • Un hecho general en una base de conocimiento , especifica el valor de algún atributo para algún objeto que tenga la forma : X es A , donde X denota una variable que toma sus valores dentro de algún universo U, y A representa un conjunto difuso en U.
  • 240.
    • Un hecho general X es A , es transformado en una ecuación de asignación R (X) = A , lo que significa que el conjunto difuso A es considerado como una restricción difusa " R (X) ", sobre los valores que la variable X pueda tomar.
  • 241.
    • En el marco de la teoría de la posibilidad un hecho de la forma X es A , es traducido en una ecuación de asignación de posibilidad :
    • es la posibilidad de que X tome el valor u, dada la información de X es A
  • 242.
    • Una de las ventajas de los sistemas expertos difusos es que no es necesario un ajuste perfecto entre los antecedentes de las reglas y la información dada acerca de una de sus variables.
  • 243.
    • Por ejemplo, un hecho podría ser de la forma X es A’ , donde A’ es un subconjunto difuso de U y A’  A .
    • Entonces, las dos piezas de información dentro de la base de conocimiento , “X es A ” y “ Si X es A entonces Y es B ”, podrían ser ligadas por medio de una conectiva adecuada, para poder obtener información acerca de Y .
  • 244.
    • Es así, que a partir de esta información se pueden inferir las restricciones sobre Y , mediante su proyección en B . Esto conlleva, a los modus ponens generalizados (MPG) .
  • 245. Modus Ponens Generalizado
    • Los modelos matemáticos en los que se basa la inferencia difusa, provienen de la lógica proposicional, la cual es una área de la lógica tradicional que trata con las condiciones de variables lógicas que representan proposiciones y que se extienden hacia la lógica difusa, a través del uso de proposiciones que se expresan mediante un lenguaje sintético.
  • 246.
    • Uno de los principales objetivos de la lógica proposicional es el estudio de las reglas mediante las cuales se pueden producir nuevas variables lógicas en función de otras variables lógicas dadas.
  • 247.
    • Existe una regla básica de implicación difusa, comúnmente utilizada en el razonamiento aproximado, llamada modus ponens generalizados ( MPG ).
  • 248.
    • El modus ponens establece que, dadas dos proposiciones a y a  b llamadas premisas , donde “  “ representa a alguna función de implicación o relación difusa, el valor de verdad de la proposición b o conclusión puede ser inferido.
  • 249.
    • Para entender el significado del MPG, considérese una base de hechos y una base de reglas que contengan información imprecisa. Los hechos pueden ser representados de la forma “ X es A ” (donde X , representa a una variable o sujeto y A es un conjunto difuso o predicado difuso).
  • 250.
    • Respecto a las reglas que se utilizan más comúnmente en los sistemas de control difusos, generalmente éstas se proponen bajo el siguiente esquema:
        • SÍ < condición/ones >, ENTONCES <acción/es> (A.1)
    • En un lenguaje natural se tiene:
        • Si X es A, entonces Y es B (A.2)
    • donde:
        • A y B son conjuntos difusos definidos en los universos U y V (ent/sal) respectivamente.
  • 251.
    • La regla de la ecuación (A.1) es vista también como una proposición condicional canónica , la cual induce una distribución de posibilidad condicional de Y dada X , denotada por:
  • 252.
    • En la lógica difusa el modus ponens se formula mediante la llamada regla composicional de inferencia , la cual permite calcular la distribución de posibilidad de “ Y es B ”, dadas la distribución condicional de “ Sí X es A, entonces Y es B ” y la de “ X es A ”.
  • 253.
    • Esta regla equivale a la operación de composición realizada mediante:
    • La formulación más general de reglas se simboliza mediante el esquema de Modus ponens .
  • 254. Lógica Difusa Y Razonamiento Aproximado Material Anexo a 3.1. 3 Fundamentos de Reglas Difusas.
  • 255. Lógica Difusa y Razonamiento Aproximado: Proposiciones Difusas Material Anexo a 3.1.4.2 Reglas de Implicación Difusa.
  • 256. Proposiciones Difusas
    • Para proveer la capacidad del razonamiento aproximado, la lógica difusa permite la utilización de predicados difusos, modificadores de predicados difusos, cuantificadores difusos, y calificadores difusos en las proposiciones.
  • 257. Predicados Difusos
    • En la LD, el predicado puede ser difuso, por ejemplo: Alto, Joven, Pronto, Amigo de ,
    • Por lo tanto, se puede tener una proposición como “María es Joven.”
    • La mayoría de los predicados en lenguaje natural son Difusos.
  • 258. Modificadores De Predicados Difusos
    • En lógica clásica el único modificador es la negación, NO.
    • En la LD además existe: VERY, RATHER, MORE OR LESS, SLIGHTLY, A LITTLE, EXTREMELY.
    • Tales modificadores se utilizan para generar los valores de una variable lingüística.
    • This house is EXTREMELY Expensive”
  • 259. Cuantificadores Difusos (CD)
    • En LD un CD se interpreta como un número difuso o una proporción difusa que provee una caracterización imprecisa de la cardinalidad de uno o mas conjuntos difusos o no-difusos.
    • Los CD deben ser utilizados para representar el significado de la probabilidad contenida en las proposiciones.
  • 260.
    • La LD permite el uso de cuantificadores difusos, como por ejemplo: Most, Many, Several, Few, Much of, Frequently, Occasionally, About Five.
    • Proposición difusa:
    • “ Many students are happy”
  • 261. Calificadores Difusos (CalD)
    • En la LD se tienen cuatro tipos de calificadores:
    • Calificación verdadera difusa (  ),
    • Calificación de probabilidad difusa,(  )
    • Calificación de posibilidad difusa, (  )
    • Calificación de usualidad difusa. “Usually (p)=Usually(Xes F)”
  • 262. Lógica Difusa y Razonamiento Aproximado: Razonamiento Aproximado
  • 263. Razonamiento Aproximado
    • Como en cualquier lógica, las reglas de inferencia en la LD gobiernan la deducción de una proposición q desde un conjunto de premisas.
    • En la LD tanto las premisas como las conclusiones son proposiciones difusas.
  • 264.
    • Existen cuatro modos principales de razonamiento difuso (o razonamiento aproximado) en la LD:
    • Razonamiento Categórico,
    • Razonamiento Cualitativo,
    • Razonamiento silogístico,
    • Razonamiento disposicional.
  • 265. Razonamiento Categórico
    • Las premisas están en forma canónica “ X es A ” o en forma canonica condicional “SI X es A , Entonces Y es B ”, donde A y B son predicados difusos.
    • Notación:
      • X , Y , Z ,...  variables (difusas) que toman valores en los universos U , V , W ,...
      • A , B , C ,...  Predicados difusos.
  • 266.
    • Las principales reglas de inferencia del razonamiento categórico en LD son:
    • Regla de proyección de inferencia,
    • Conjunción o regla de producto cartesiano de inferencia,
    • Disyunción o Regla de particularización de inferencia,
    • Regla de Negación,
    • Regla de vinculación de inferencia,
    • Regla composicional de inferencia,
    • Modus ponens generalizado,
    • Principio de extensión.
  • 267. Razonamiento Cualitativo
    • En LD, el razonamiento cualitativo se refiere a un modo de razonamiento en el cual la relación entrada-salida de un sistema se expresa como una colección de reglas difusas IF-THEN en la cual las pre-condiciones y consecuentes involucran variables difusas o lingüísticas.
  • 268.
    • Por ejemplo, si X y Y son variables de entrada y Z es la variable de salida, la relación entre, X , Y , y Z se puede expresar de la siguiente forma:
      • IF X es A 1 AND Y es B 1 , THEN Z es C 1
      • IF X es A 2 AND Y es B 2 , THEN Z es C 2
      • ... ... ...
      • IF X es A n AND Y es B n , THEN Z es C n
  • 269.
    • Donde: A i , B i , y C i , i=1,...,n, son subconjuntos difusos de sus respectivos universos de discurso.
    • Dado que Z depende de X y Y en las reglas anteriores, se puede emplear la regla composicional de inferencia para calcular el valor de Z dado los valores de X y Y .
  • 270. Razonamiento Silogístico
    • Al contrario del razonamiento Categórico, éste está relacionado con inferencias de premisas que contienen cuantificadores difusos.
    • En su forma genérica, un silogismo difuso se puede expresar como:
  • 271.
    • p = Q 1 A´s son B´s
    • q = Q 2 C´s son D´s
    • r = Q 3 E´s son F´s
    • Donde:
    • A, B, C, D, E, y F son predicados difusos ínter-relacionados; Q 1 , Q 2 , son cuantificadores difusos dados; y
    • Q 3 es el cuantificador a ser decidido.
  • 272.
    • Los seis silogismos difusos mas importantes son:
    • Intersección o silogismo producto,
    • Silogismo por encadenamiento,
    • Silogismo conjunción consecuente,
    • Silogismo disyunción consecuente,
    • Silogismo conjunción precondición,
    • Silogismo disyunción precondición.
  • 273. Razonamiento Disposicional
    • En éste, las premisas son disposiciones que deben contener, explícitamente o implícitamente, el cuantificador difuso “habitualmente” (“Usually”); o sea que, las proposiciones ( preponderantemente pero no necesariamente ) siempre son verdaderas.
  • 274.
    • Algunas reglas de inferencia de razonamiento disposicional son:
    • Regla de proyección disposicional de inferencia.
    • Regla de implicación disposicional de inferencia,
    • Modus ponens disposicional,
    • Hipersilogismo de encadenamiento disposicional,
    • Silogismo de conjunción consecuente disposicional.
  • 275. Lógica Difusa y Razonamiento Aproximado: Modelo de Inferencia Difusa
  • 276. Múltiples Reglas con Múltiples Antecedentes.
  • 277. Reglas con n antecedentes y m consecuentes
    • La interpretación de múltiples reglas generalmente se interpreta como la unión de las relaciones difusas correspondientes a las reglas difusas. Por lo tanto, para un problema de modus ponen generalizado del siguiente tipo:
  • 278.
    • premisa 1 (hecho) x es A' y y es B',
    • premisa 2 (regla 1) Si x es A 1 y y es B 1
    • entonces z es C 1 ,
    • premisa 2 (regla 2) Si x es A 2 y y es B 2
    • entonces z es C 2 ,
    • __________________________________
    • Consecuente (conclusión): z es C'
  • 279.
    • Se puede emplear el razonamiento difuso mostrado en la Fig. A.1 como un procedimiento de inferencia para derivar la resultante salida el conjunto difuso C' .
    • Para verificar este procedimiento de inferencia, se tomara a R 1 = A 1 x B 1  C 1 y R 2 = A 2 x B 2  C 2 .
  • 280.
    • Debido a que el operador de composición max-min (  ) es distributivo, se puede usar el operador  para obtener la siguiente expresión:
  • 281.
    • Donde C' 1 y C' 2 son los conjuntos difusos inferidos por las reglas 1 y 2, respectivamente.
    • La Fig. A.1 muestra gráficamente la operación del razonamiento difuso para múltiples reglas con múltiples antecedentes.
  • 282.
    • Figura A.1 Razonamiento Difuso para múltiples reglas con múltiples antecedentes.
  • 283.
    • Cuando una regla difusa dada asume la forma &quot; Si x es A o y es B entonces z es C ,&quot; entonces la fuerza del disparo esta dado como el máximo grado de apareamiento sobre la parte del antecedente para una condición dada.
    • Esta regla difusa es equivalente a la unión de las dos reglas difusas &quot; si x es A entonces z es C &quot; y &quot; si y es B entonces z es C &quot;.
  • 284. Definición De Los Planos De Inferencia. Inferencia en sistemas con múltiples reglas: (min, max, min)
  • 285. Planos De Inferencia
    • Se ha visto que para encontrar una conclusión difusa, en el caso de una sola regla, es necesario utilizar solamente operadores de conjunción difusa, llámese implicación difusa o conectiva &quot; y &quot;, por el hecho de representar alguna norma-t.
  • 286. Planos De Inferencia
    • Cuando se consideran sistemas con múltiples reglas, se introducen los operadores de unión difusa para ligar las acciones resultantes de cada regla y así, obtener una respuesta global difusa. Estos operadores pueden ser cualesquier conorma-t.
  • 287. Planos De Inferencia
    • Cada operador distinto dentro del proceso de inferencia difusa, va definiendo un plano de inferencia, comparándose esto con los circuitos combinatorios simples de la lógica booleana, del tipo suma de productos, donde se ubican solamente dos planos de operadores distintos: el plano &quot;Y&quot; y el plano &quot;O&quot;.
  • 288. Planos De Inferencia
    • Como se vio anteriormente, se requiere de la conectiva &quot; y &quot; ( min max min) cuando es necesario combinar varios antecedentes antes de llegar a una conclusión; el uso de esta conectiva se refiere al primer plano de inferencia ( al menos ).
  • 289. Planos De Inferencia
    • Cuando una sola regla apunta a un consecuente, ésta se aplica directamente sobre él mismo, a través del uso de una función de implicación (min max min ).
  • 290. Planos De Inferencia
    • Sin embargo, en todos los sistemas de la lógica difusa es común encontrar más de una regla que apunten a un mismo consecuente.
  • 291.
    • Para poder elegir a la regla que deba trascender al consecuente ( la regla con mayor peso o fuerza ), es necesario considerar a algún operador conorma-t que represente a la conectiva &quot;o&quot; (min max min), de manera que sirva como operador de liga entre reglas.
    Planos De Inferencia
  • 292. Planos De Inferencia
    • La aplicación de esta conectiva se refiere al segundo plano de inferencia ( a lo más ).
  • 293. Planos De Inferencia
    • De este último resultado, se concluye la inferencia al aplicar esta fuerza mediante una función de implicación al conjunto difuso elegido en el consecuente (min max min ), esta última operación se denota como el tercer plano de inferencia ( entonces ).
  • 294. Planos de Inferencia en una Unidad de Inferencia Difusa
  • 295.  
  • 296. Lógica Difusa y Razonamiento Aproximado: Proposiciones Difusas Material Anexo a 3.1.4.2 Reglas de Implicación Difusa.
  • 297. ESTRUCTURA BÁSICA Y OPERACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL LÓGICOS DIFUSOS Material Anexo a: Modelos Basados en Reglas–Difusas para Aproximar una Función
  • 298. Introducción
    • En 1973 a raíz de un reciente articulo de Zadeh llamado &quot;Analysis of complex systems and decision processes&quot; , el profesor Ebrahim Mamdani de la universidad de Londres y su alumno Sedrak Assilian construyeron el primer sistema de control automático basado en reglas difusas.
  • 299.
    • Dicho sistema fue diseñado para mantener la presión de una caldera y la velocidad del pistón constante en una maquina de vapor; el sistema aprendía por sí mismo.
  • 300.
    • El sistema usaba información de tres tipos, para lo cual se crearon tres escalas movibles; dos sobre el estado de la caldera (entrada), y otro un comando (salida), estas escalas son:
    • 1.- Error de presión (FP): ¿Qué tan lejos está la presión deseada?.
  • 301.
    • 2.- Cambio en el error de presión (CEP): ¿Qué tan rápido la presión se acerca o se aleja de la deseada?.
    • 3.- Cambio en calor (CC): ¿Cuál es la respuesta correcta? (Comando de salida).
    • Después establecieron siete propiedades lingüísticas para cada escala:
  • 302.
    • PB - Positivo Grande.
    • PM - Positivo Media.
    • PS - Positivo pequeño.
    • ZE - Cero.
    • NS - Negativo pequeño.
    • NM - Negativo media.
    • NB - Negativo grande.
  • 303.
    • Todos estos conjuntos difusos sobrepuestos son del mismo tamaño y forma (triangular), y fueron espaciados uniformemente a lo largo de cada línea.
    • Después se construyo la red de reglas usando estos conjuntos. Con esto no solo describieron el trabajo del sistema en términos simples. Si no que capturaron la experiencia de operadores expertos.
  • 304.
    • El sistema de control completo es representado por la figura 6.1, en la cual los cuadros en blanco no son necesarios debido a que en la practica el sistema nunca estará en ellos. Cada cuadro es una regla; por ejemplo:
      • Regla 1: IF EP es PS AND CEP es ZE THEN CC es NS
      • Regla 2: IF EP es ZE AND CEP es ZE THEN CC es ZE
      • Regla 3: IF EP es PS AND CEP es NS THEN CC es NS
  • 305. Tablero de Inferencia
  • 306. Representación gráfica de las reglas 1, 2 y 3.
  • 307. Espacios de Entrada/Salida . Tablero de Inferencia.
  • 308. Espacios de Entrada/Salida
    • Un tablero de inferencia es una representación geométrica de los conjuntos difusos y se emplea para especificar esquemáticamente la combinación deseada de entradas/salidas.
  • 309.
    • Los tableros de inferencia tienen la forma de una matriz de acciones, la cual utiliza N conjuntos difusos ( variable lingüística ), definidos en una variable de entrada de un sistema de control como el número de renglones y, los M conjuntos difusos definidos para una segunda variable de entrada, como el número de columnas
  • 310.
    • Cada celda en el arreglo es llenada con el nombre de uno de los P conjuntos difusos definidos para alguna variable de salida.
    • De esta forma es posible crear el algoritmo de control para el sistema, plasmando en reglas de control la relación de combinaciones entradas/salidas.
  • 311. Tablero De Inferencia
    • La creación de un tablero debe considerar en primer lugar la especificación de las áreas que son intuitivamente más obvias, y sí el sistema que esta siendo modelado es complejo, se describen enseguida las reglas que son vagas, aunque intuitivamente correctas.
  • 312.
    • Es conveniente que los cambios entre celdas adyacentes sean lo más graduales posibles, dado que si existen cambios bruscos estos se verán reflejado como áreas con variaciones abruptas, ésto durante el análisis del funcionamiento del sistema, que a su vez produce cambios a la salida del sistema poco graduales
  • 313.
    • Si se cuenta con &quot;n&quot; variables de entrada, y &quot;m&quot; conjuntos difusos definidos en cada una se tiene que, para una sola salida el número de reglas que se pueden definir esta dado por la siguiente expresión:
    ¿Cuántas Reglas Definir?
  • 314.
    • Si se tiene que: m = 7 y n = 2; por lo tanto el número de reglas que se pueden definir para este sistema sería:
    Lo cual solamente representa las combinaciones posibles que se pueden realizar en relación con las variables y conjuntos definidos en los antecedentes.
  • 315.
    • Si se considera que tales combinaciones pueden apuntar a &quot;M&quot; conjuntos definidos en el consecuente, entonces el número total de reglas distintas que se pueden definir esta dado por la siguiente expresión:
    • Así se tiene que el sistema acepta 7(49) = 343 reglas distintas.
  • 316. Componentes De Un CLD
    • Una etapa de Fusificación, una etapa de evaluación de reglas, una etapa de defusificación y una base de conocimiento . La base de conocimiento, está compuesta a la vez, por los conjuntos difusos definidos para las entradas y salidas del sistema y el conjunto de reglas difusas.
  • 317. Etapa De Fusificación
    • La Fusificación es el proceso de asignar o calcular un valor que represente un grado de membresía (o valor subjetivo) para todos los conjuntos difusos definidos sobre alguna variable de entrada, dado que el estado actual de dicha variable se toma como una cantidad no difusa.
  • 318. Etapa De Evaluación De Reglas
    • Esta etapa, realiza la evaluación de las reglas difusas que están contenidas en la base de las reglas, en espera de lograr una meta determinada. La combinación de operadores que se utilice en la implementación de los planos de inferencia determina el método de inferencia utilizado.
  • 319. Dictado De Reglas Difusas
    • Dentro de una matriz se coloca sobre su eje x una entrada y sobre el eje y la otra entrada con sus etiquetas correspondientes, y en cada una de sus coordenadas se establece la salida deseada .
  • 320.
    • El primer paso a realizar es llenar las áreas en donde las acciones son intuitivamente más obvias. Se inicia por los casos extremos como las orillas .
    • Después de ello se procede a llenar los campos menos obvios, con lo cual se obtiene la matriz completamente llena
  • 321.
    • La matriz se pasa a la forma de reglas de inferencia difusa las cuales son de la forma “ if..then..”
  • 322. La Estructura Básica De Un CLD
    • Una base de reglas , la cual contiene una selección de reglas difusas;
    • Una base de datos (o diccionario), la cual define las funciones de membresía usadas en las reglas difusas;
    • Y un mecanismo de razonamiento , el cual ejecuta el procedimiento de inferencia sobre las reglas y los hechos dados para derivar una salida razonable o conclusión.
  • 323. La Estructura Básica De Un CLD
    • Diagrama a bloques para un sistema de inferencia difusa.
  • 324. Etapa De Defusificación
    • Defusificar significa trazar una &quot;línea recta&quot; en algún punto del universo de discurso de la variable de salida, el objetivo de todas las funciones de defusificación es el proceso de encontrar el mejor lugar a lo largo del universo de discurso para trazar esta línea.
  • 325.
    • La etapa de defusificación parte de un conjunto de funciones de membresía definidas sobre alguna variable de salida de un CLD, y están truncadas en altura por él ultimo plano de inferencia, como resultado de haber evaluado a todas las reglas correspondientes a cada conjunto difuso de salida
  • 326. Métodos De Defusificación
    • En general, existen CINCO métodos para defusificar un conjunto difuso A de un universo de discurso Z , donde el conjunto difuso A generalmente se representa por una función de membresía de salida agregada.
  • 327. Métodos De Defusificación
    • Varios esquemas de defusificación para obtener una salida exacta
  • 328. Métodos De Defusificación
    • 1.  Centro de Área z COA :
  • 329. Métodos De Defusificación
    • 2. Bisectriz de Área z BOA : z BOA satisface
    Donde Esto es, la línea vertical divide la región entre en dos regiones con la misma área.
  • 330. Métodos De Defusificación
    • 3.  La media del máximo z MOM : z MOM es el promedio del rango máximo de z en el cual la MF alcanza un máximo de grado de pertenencia  * . Expresada por:
  • 331. Métodos De Defusificación
    • 4. El máximo más pequeño z SOM : z SOM es el mínimo (en términos de magnitud) del máximo de z .
    • 5. El máximo más grande z LOM : z LOM es el máximo (en términos de magnitud) del máximo de z .
    • Debido a sus obvios resultados, z SOM , y z LOM no son usados tan frecuentemente como los otros tres métodos de defusificación.
  • 332. ESTRUCTURA BÁSICA Y OPERACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL LÓGICOS DIFUSOS Material Anexo a: Modelos Basados en Reglas–Difusas para Aproximar una Función