Relaciones Difusas, Graficas Difusas y Aritmética Difusa

UNIDAD 2 CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE LÓGICA DIFUSA.

2.3 Relaciones Difusas, Graficas Difusas y Aritmética Difusa (principio de extensión) 2.3.1 Relaciones Difusas. 2.3.2 Composición de relaciones difusas.

Producto Cartesiano En Los Conjuntos Difusos
El producto cartesiano es un concepto muy importante , que se extiende hacia la lógica difusa. Todos los sistemas de la lógica difusa tratan con más de un universo de discurso , por lo cual sus subconjuntos difusos se deberán relacionar mediante el producto cartesiano .

El producto cartesiano equivale a obtener la intersección de n conjuntos difusos, pero entre conjuntos de diferentes universos.
Si A 1 ,....., .. A n , son conjuntos difusos de U 1 , ... , .. U n respectivamente, con

sus correspondiente funciones de membresía, entonces, el producto cartesiano de A 1 ,....., A n , se define como U 1 x...x U n , cuya función de membresía se expresa por la n-tupla.

2.3.1 Introducción a Relaciones Difusas
Una relación difusa generaliza la notación de una relación clásica (blanco-negro) en una que permite una membresía parcial.
Por ejemplo, una relación binaria “amistad” clasificará el parentesco entre personas en dos clases: ser amigos o no ser amigos.
Por otro lado una relación difusa “Amistad”, puede describir el grado de parentesco entre dos personas.

La notación clásica de relación describe la relación que se tiene entre dos o mas objetos. Una relación entre dos objetos se representa por una relación binaria , la cual es una relación entre dos argumentos.
Por ejemplo: El parentesco entre un padre y su hijo puede ser representado como una relación binaria.
Mas general, se puede utilizar una relación n-aria, una relación con n argumentos, para describir una relación entre n objetos .

Por Ejemplo: se puede utilizar una relación n-aria para describir que el estudiante X tomo un curso Y durante un semestre Z en el año W .
Esta relación tiene cuatro argumentos tal que: tomo_curso (estudiante, curso, semestre, año).

Una relación n-aria puede ser formalmente definida como un conjunto de orden lista de n objetos . Cada lista describe un caso en el cual se tiene una relación.
Una relación binaria sobre variables x y y , que se encuentran en los dominios X y Y respectivamente, pueden ser definidas como un conjunto de pares ordenados en X x Y .

Por ejemplo, la relación binaria “menor que” entre dos numeros reales puede ser formalmente definida como:
R = {(x, y) | x < y, x, y  R}
La relación anterior es un subconjunto de X x Y .
En general, una relación n-aria en x 1 , x 2 , …x n cuyo dominio está en X 1 , X 2 , …,X n es un subconjunto de X 1 x X 2 x … x X n .

Debido a que una relación puede ser vista como un conjunto, se puede fácilmente generalizar la notación clásica de una relación usando conjuntos difusos.
Para generalizar una relación binaria: Se puede representar una relación binaria R en x, y con dominios X, Y como una función que proyecta un par ordenado (x, y) en XxY para 0 (la relación no tiene valores entre x y y) ó 1 (la relación si tiene valores entre x y y), por ejemplo: R = XxY -> {0, 1}.

Una relación difusa generaliza la notación clásica de relación a una materia de grado.
La relación difusa Amigo (anteriormente mencionada) describe el grado de parentesco entre dos personas. Similarmente, una relación difusa Petite entre la altura y el peso de una persona describe el grado para el cual una persona con una altura y peso específico se considera petite.
Formalmente, una relación difusa R entre variables x y y , cuyos dominios están en X y Y , respectivamente, se define por una función que proyecta pares ordenado XxY a su grado en la relación, la cual es un número entre 0 y 1, por ejemplo, R:XxY -> [0, 1].

De una forma más general, una relación difusa n-aria R en x 1 , x 2 , …x n , cuyos dominios son X 1 , X 2 , …,X n respectivamente, es definida por una función que proyecta una n-tupla < x 1 , x 2 , …,x n > en X 1 x X 2 x … x X n para un número en el intervalo, por ejemplo,
R: X 1 x X 2 x … x X n -> [0, 1].
Solo una relación clásica puede ser vista como un conjunto. Una relación difusa puede ser vista como un subconjunto difuso. Desde este punto de vista la proyección anterior es equivalente a la función de membresía de un conjunto difuso multidimencional.

Si los valores posibles de x y y son discretos, se puede expresar una relación difusa en forma de matriz.
Por ejemplo: suponiendo que se desea expresar una relación difusa Petite en términos de la altura y el peso de una mujer. Y suponiendo el rango de la altura y el peso a ser {5’, 5’1’’, 5’2’’, 5’3’’, 5’4’’, 5’5’’, 5’6’’}, denotada por h , y {90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125} (en lb.), denotado por w , respectivamente.

Se puede expresar la relación difusa mediante una matriz, como se muestra:

Cada entrada en la matriz indica el grado para el cual una mujer con la correspondiente altura (encabezado de las filas) y peso (encabezado de las columnas) se considerará de talla petite.
Por ejemplo, la entrada correspondiente a una altura de 5’3’’ y el peso de 115 lb. Tiene un valor de 0.3, el cual es el grado para el cual dicha mujer será considerada una persona petite ; Petite(5’3’’, 115 lb) = 0.3

Una vez que se ha definido una relación difusa Petite, se puede responder a las siguientes dos preguntas:
1.- ¿Cuál es el grado para el que una mujer con una altura especifica y un peso específico se considera de talla petite?.
2.- ¿Cuál es la posibilidad de que una persona petite tenga un par de medidas especificas de altura y peso?
En respuesta a la primera pregunta, la relación difusa es equivalente a la función de membresía de un conjunto difuso multidimencional.
En respuesta al segundo caso, la relación difusa se convierte en una distribución de posibilidad asignada a una persona petite cuya altura y peso actual son desconocidos.

2.3.2 Composición de Relaciones Difusas
Se ha mostrado que una vez que se tiene una relación difusa, se puede directamente responder a dos tipos de preguntas interesantes.
Y se puede ver a esta capacidad de preguntar-responder como una inferencia (por ejemplo: inferir la posible combinación peso-altura para saber si una persona es petite).

Un tipo de inferencia más útil es la siguiente:
Dado una relación difusa de dos-dimensiones y los valores posibles de una variable, inferir los valores posibles de la otra variable.
Por ejemplo, si se desea conocer el posible peso de una mujer petite llamada Michelle, quien tiene más u menos (about) 5’4’’ de alto donde “más u menos” indica impresición. La respuesta a esta pregunta se puede obtener a través de la composición de relaciones difusas , la cual también es referida como “La Regla Composicional de inferencia” .

Para encontrar la respuesta, se considerara si es posible para tal persona tener un peso de 90 lb, 95lb, …, 120lb. Debido a que el interes es el de encontrar todos los pesos posibles de la persona, es posible que se obtengan multiples respuestas positivas. Por lo tanto, la respuesta debería indicar el grado de posibilidad para cada peso.

Continuación…..
Al tratar de responder a la siguiente pregunta:
¿Cuál es la posibilidad de que una persona tenga un determinado peso (110lb) ó una determinada altura (5’2’’) para que se pueda considerar de talla petite?
Se realiza todo un procedimiento lógico utilizando todas las opciones disponibles (de altura y peso), lo cual se puede representar mediante una lógica de predicados.

Lógica de Predicado
La lógica de predicado es un sistema lógico que utiliza “predicado”, como bloques de construcción para formular una lógica constructiva. Un predicado es como una función que (map) proyecta sus argumentos como verdaderos o falsos.
Los argumentos de un predicado generalmente son variables o constantes.

Los Predicados son frecuentemente conectados en una formula lógica utilizando conectivas como por ejemplo: y (denotada por:  ), o (denotada por  ), e implicación (denotada por  ). Una implicación bidireccional se denota por  . Las variables son cuantificadas por el cuantificador “para todo” (  ) ó el cuantificador “ahí existe” (  ).

Notación de Predicados lógicos Para realizar el proceso de razonamiento lógico para responde a la pregunta: And Or For all There exists If and only if Imply       Significado Símbolos

¿Cuál es la posibilidad de que una persona tenga un determinado peso (110lb) ó una determinada altura (5’2’’) para que se pueda considerar de talla petite?.
Se utilizaran tres predicados:
Posible – Altura ( h i ): El predicado es verdadero si h i es una posible altura de una persona.
Posible – peso ( w j ): El predicado es verdadero si w j es un posible peso de la persona.
Petite ( h i , w j ): El predicado es verdadero si una persona con altura h i y peso w j es petite.

Los primeros dos predicados representan restricciones crisp (no difusas) en las posibles alturas y pesos. Mientras el último predicado representa una relación binaria crisp.
Por lo tanto, dichos predicados no pueden representar verdaderamente la distribución de posibilidad de about 5’4’’, o la relación difusa Petite.

No obstante lo anterior, se utilizarán estos predicados para mostrar como el procedimiento de inferencia anterior puede ser expresado en lógica clásica.
Entonces se generalizarán tales expresiones lógicas para obtener la regla composicional de inferencia en la lógica difusa.

Primero se obtiene la representación del procedimiento de inferencia lógico:
[(Posible-Altura(5’)  Petite(5’, 90)) 
(Posible-Altura(5’2’’)  Petite(5’2’’, 90)) 
.
.
(Posible-Altura(6’)  Petite(6’, 90)) ]  Posible- peso(90)
Ya que el mismo procedimiento se puede utilizar para determinar si es posible para una persona pesar 95, 100, 105, …, 125 lbs, se puede utilizar una expresión más general en términos lógicos:

 w j [(Posible-Altura(5’)  Petite(5’, w j )) 
(Posible-Altura(5’2’’)  Petite(5’2’’, w j )) 
.
.
(Posible-Altura(6’)  Petite(6’, w j ))]  Posible- peso(w j )
Lo cual se puede escribir de una forma más compacta:
La Ec. (1) es un caso especial (caso binario) de la composición de una relación difusa.

En lógica difusa, la posibilidad y la relación se convierten en una materia de grado. Si otra vez se observa la pregunta:
¿Cuáles son los posibles pesos de una mujer de talla petite llamada Michelle quien es más u menos (about) 5’ 4’’ alta?.
Si en la lamina anterior el significado de petite se expresa por la relación difusa Petite, se introducirá la siguiente notación para representar la distribución de posibilidad relacionada:

 altura(x) (h i ): El grado de posibilidad para la altura de una persona es h i .
 petite (h i , w j ): El grado de posibilidad para una persona petite que tiene una altura de h i , y un peso de w j .
Además, la conjunción y disyunción en la Ec. (1) en lógica binaria serán generalizadas a los operadores de conjunción difusa (  ) y disyunción difusa (  ).

Por lo tanto, se puede inferir el posible peso de Michelle de su posible altura y también el hecho de que ella es petite utilizando una versión generalizada de la Ec. (1), la cual está dada por:
Este es un ejemplo de la regla composicional de inferencia para un determinado ejemplo.

Definición
Una definición formal de la regla composicional de inferencia es:
Si X y Y son los universos de discurso de las variables x y y , respectivamente, y x i y y j son elementos de X y Y . Se utilizará a R como una relación difusa que proyecta X x Y a [0, 1]. Y la distribución de posibilidad de X se sabe que es Π x (x i ). La regla composicional de inferencia infiere la distribución de posibilidad de Y como sigue:

Los pasos para calcular la regla composicional de inferencia son similares a de la multiplicación de matrices. Las operaciones de conjunción y disyunción difusas de la Ec. (3) corresponden a la multiplicación y suma de la multiplicación de matrices, respectivamente.
La regla composicional de inferencia no es única. Al escoger diferentes operadores de conjunción y disyunción difusa, se obtienen diferentes reglas de composicionales de inferencia.

Ejemplo de Reglas composicionales
Las dos más comunes son:

Regresando al ejemplo, se asumirá que About-5’4’’ se define como:
About-5’4’’ = {0/5’, 0/5’1’’, 0.4/5’2’’, 0.8/5’3’’, 1/5’4’’, 0.8/5’5’, 0.4/5’6’’} (6)
Utilizando la regla composicional de inferencia max-min, se puede calcular la distribución de posibilidad para peso de una persona petite con altura de about-5’4’’:

Similarmente, se puede calcular el grado de posibilidad para otros pesos.
About-5’4’’ = {0/5’, 0/5’1’’, 0.4/5’2’’, 0.8/5’3’’, 1/5’4’’, 0.8/5’5’, 0.4/5’6’’}
El resultado final es:

Matemáticamente, la composición de relaciones difusas puede ser definida utilizando tres operaciones básicas: la proyección, la extensión cilíndrica, y la intersección.
Se introducirá los primeros dos conceptos y después se dará una definición formal de la COMPOSICIÓN DE RELACIONES DIFUSAS.

2.3.2.1 Extensión Cilíndrica
La extensión cilíndrica y la proyección son operaciones duales. La primera, extiende la dimensión de una relación difusa mientras que la segunda reduce la dimensión de una relación difusa.
Típicamente, se aplica la extensión cilíndrica a dos relaciones difusas tal que ellas tengan la misma dimensionalidad en orden a aplicar las operaciones de conjuntos ( intersección y unión) a ellas. Por ejemplo, se puede aplicar la extensión cilíndrica al conjunto difuso about-5’4’’ a HxW . (altura x peso).

El resultado se presenta en la Ec (8):
En la Fig. 1 se muestra gráficamente el efecto de aplicar la extensión cilíndrica a un subconjunto difusa A de U a la dimensión extendida UxV .

Como se muestra en la Fig. 1, la función de membresía del conjunto difuso extendido tiene una forma cilíndrica desde la cual la operación obtiene su nombre.
Figura 1. Ejemplo de Extensión Cilíndrica A Ā U V 1

Definición:
Si R es un subconjunto difuso de U i1 x U i2 x U i3 x… x U ik , donde (i 1 , i 2 , … i k ) es un subsecuencia de (1, 2, …., n). La extensión cilíndrica de R en U 1 x U 2 x …x U n es un subconjunto difuso de U 1 x U 2 x …x U n , denotado como , cuya función de membresía se define por:

2.3.2.2 Proyección
La operación de proyección como su nombre lo indica, proyecta una relación difusa a un subconjunto de dimensiones seleccionadas. Esta operación frecuentemente es utilizada para extraer la distribución de posibilidad de algunas variables seleccionadas de una relación difusa dada. Por ejemplo, la proyección de la relación difusa Petite al universo de peso da una distribución de posibilidad de un peso de una persona mujer petite.

La proyección de una relación difusa es análoga al cálculo de la probabilidad marginal en una distribución de probabilidad conjunta ( se manejan dos variables o más ).
En vez de agregar la probabilidad a través de una fila o una columna en una distribución de probabilidad conjunta, se ejecuta una disyunción difusa a través de una fila o una columna de una relación difusa.
Por lo tanto, el resultado de proyectar la relación Petite para peso es:

Definición:
Similarmente, se puede calcular la proyección de la relación para altura. (como ejercicio)
Formalmente, se define la proyección como:
Si R es una relación difusa en U 1 x U 2 x… x U n , y (i 1 , i 2 , … i k ) es un subsecuencia de (1, 2,...,n). La proyección de R en U i1 x U i2 x…x U ik , denotada como Proj R , es definida como:

Donde: ( j 1 , j 2 ,…, j l ) es la secuencia complementaria a ( i 1 , i 2 ,…, i l ), [ p. ejem., if R es una relación difusa que involucra seis variables, (1, 2, 4) es complementaria a (3, 5, 6) ], u i denota la variable cuyo universo de discurso es U i , y U j1 x U j2 x …x U jl  denota la aplicación de la disyunción difusa para cada punto en U j1 x …x U jl .

Definición Formal de la Composición de Relación Difusa
Una composición de dos relaciones difusas es el resultado de tres operaciones: (1) extendiendo cilíndricamente cada relación de tal forma que sus dimensiones sean idénticas, (2) intersectando las dos relaciones extendidas, y (3) proyectando la intersección a las dimensiones no compartidas (shared) por las dos relaciones originales.
Esto es formalmente establecido a continuación por la composición de relaciones difusas binarias.

Definición:
Si R y S son dos relaciones difusas binarias en U 1 x U 2 y U 2 x U 3 respectivamente. La composición de las dos relaciones, denotada como R °S, es:

Se tienen dos relaciones difusas R 1 y R 2
Obtener la composición max-min de dichas relaciones.
Ejercicio (m) : Obtención de la composición de dos relaciones difusas (m) Ver el archivo MASTER.

La composición max-min de dichas relaciones en su forma matricial es:
La solución es:
R0 = 1.0000 1.0000 0.9000 1.0000 0.3000 0.5000 0.9000 0.9000 0.9000 1.0000 0.3000 0.5000

2.3 Relaciones Difusas, Graficas Difusas y Aritmética Difusa (principio de extensión) ANEXO 1: Anexo a los temas 2.3.1 y 2.3.2 Ecuaciones de Relaciones Difusas y ejemplos.

Relaciones Difusas
Una relación difusa representa la asociación, interacción o ínter conectividad entre los elementos de dos o más conjuntos difusos.
Considerando a dos conjuntos universales U y V. Entonces, una relación difusa R de U a V es un conjunto difuso del U x V, caracterizado por una función de membresía:

La Composición en los conjuntos difusos
Las relaciones difusas pueden ser compuestas.
Por ejemplo: Considérese a A como un conjunto difuso de U y a B como un conjunto difuso de V, la composición sup-min de una relación y un conjunto A , es a su vez,

un conjunto difuso B de V, expresada como:
Una composición denotada por, , que involucra la composición de dos relaciones difusas
y que es una relación difusa de U a W,

se define como:
En las definiciones anteriores se utilizó el siguiente símbolo: sup para representar el elemento máximo con relación a alguna variable x.

Ejemplo 1.1: Aplicación de los conceptos básicos de los Conjuntos Difusos
Considérense los siguientes conjuntos difusos:
S = Un conjunto de síntomas
D = Un conjunto de diagnósticos
P = Un conjunto de pacientes
Definiendo una relación R 1 (S -> D) llamada, "conocimiento médico", la cual exprese la asociación existente entre un determinado cuadro de síntomas (S) y sus posibles diagnósticos (D), bajo el criterio del médico y definiendo un conjunto difuso A  S, entonces, R 1 ◦A , describirá el estado del paciente en términos de diagnóstico como un conjunto difuso B de D, expresado como:

Si ahora se consideran muchos pacientes (p  P), se define una relación, R 2 (P -> S), entonces la ecuación (1a) se convierte en R 1  R 2 y se representa como:
( 1a ) ( 1b )

La Ec. (1a) representa el diagnóstico de un determinado paciente como un conjunto difuso dado un conjunto de síntomas. La Ec. (1b) representa los diagnósticos de un conjunto de pacientes dado un conjunto de síntomas.
La Solución al presente ejercicio y considerando que se cuenta con una relación difusa R 1 , expresada como se muestra en la tabla 1.

Tabla 1.1: Matriz Conocimiento Médico 0.60 0.60 0.61 0.60 Piel Caliente y Roja 0 0 0 1 Afectación Válvular 0.80 0.80 0.51 0 Edad Avanzada 0.70 0.65 0.50 0.20 Rigidez Articular 0.61 0.81 0.60 0.10 Deformación Articular 0.50 0.50 0.50 0.20 Inflamación Sinovial 0.69 0.70 0.72 0.40 Dolor Articular Osteoartritis Artritis Reumatoide Gota Fiebre Reumática R 1 (S  D)

Según la ecuación (1a), se puede encontrar un diagnóstico diferencial basado en la relación difusa R 1 (S  D) y el conjunto difuso de síntomas s  S, presentado por algún paciente que podría estar estructurado como:

traduciendo cada etiqueta difusa en un valor numérico, entonces:
Evaluando con la ecuación (1a) y considerando que min(a, b) = a Λ b , se tienen las siguientes expresiones:

Así, se obtiene finalmente un resultado o diagnóstico difuso que se puede estructurar de la siguiente manera:

Este resultado indica, entonces una mayor predisposición hacia una Osteoartritis en comparación con los demás diagnósticos.

Relaciones Difusas y sus ecuaciones
Las relaciones difusas proyectan elementos de un universo, X, a los elementos de otro universo, Y, a través del producto cartesiano de los 2 universos.
Una relación difusa R es un mapeo entre el espacio cartesiano X x Y y el intervalo [0,1], donde la fuerza del mapeo es expresada por la función de membresía de la relación para pares ordenados desde los dos universos, o µ R (x, y)

La Cardinalidad en Relaciones Difusas.- Si la cardinalidad de conjuntos difusos es infinita, la cardinalidad de una relación difusa entre 2 o más universos también es infinita.
Operaciones en Relaciones Difusas.- Tomando en cuenta que R y S son relaciones difusas en el espacio cartesiano X x Y, las operaciones básicas se expresarán de la siguiente manera:

Propiedades de las Relaciones Difusas.- Las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva, involución e idemponencia se cumplen en las relaciones difusas. Además, las leyes De Morgan, la relación nula, O , y la relación completa, E , son análogas al conjunto vacío y al conjunto completo o entero.

Las propiedades que NO se cumplen en las relaciones difusas son las leyes de la media excluida. Debido a que una relación difusa R también es un conjunto difuso, existe un traslape entre una relación y su complemento, por lo tanto:
Obsérvese que en estas expresiones, la ley de media excluida para las relaciones difusas NO resulta en la relación nula, O , o la relación completa, E .

Producto Cartesiano y Composición Difusa.-
Ya que en general las relaciones difusas son conjuntos difusos, se puede definir al Producto Cartesiano como una relación entre dos o más conjuntos difusos. Si A y B son conjuntos difusos de dos universos de discursos respectivamente; entonces el Producto Cartesiano entre los conjuntos difusos A y B resultará en una relación difusa R, la cual está contenida dentro del espacio completo del producto cartesiano, o sea que se tendrá:

donde la relación difusa R tiene la función de membresía:
El producto cartesiano definido AxB se implementa de la misma manera que el producto cruz de dos vectores.
En el caso de dos relaciones dimensionales (r=2), éstas emplean la idea de pares de elementos entre conjuntos. Cada uno de los conjuntos difusos se puede visualizar como un vector de valores de membresía; donde cada valor está asociado con un elemento en particular en cada conjunto.

Ejemplo 1.2:
Suponiendo que se tienen dos conjuntos A y B definidos en X={x 1, , x 2 , x 3 } y Y = {y 1 , y 2 } respectivamente.
Encuentre el Producto Cartesiano entre ellos. Los conjuntos difusos A y B pueden representar la temperatura "ambiente" y la presión "optima cercana", respectivamente, de una caldera, y el producto Cartesiano podría representar las condiciones (pares temperatura - presión) de una caldera que están asociados con las operaciones "eficientes". Por ejemplo, sí

El conjunto A puede ser representado como la columna de un vector de tamaño 3 x 1 y el conjunto B por la fila del vector de 1 x 2. Entonces el producto Cartesiano, usando la ecuación :
dará una relación difusa R (de tamaño 3 x 2) representando las condiciones “eficientes”, esto es:

Relaciones Difusas y sus ecuaciones
Supóngase que R es una relación difusa en el espacio cartesiano, X x Y , S es una relación difusa en Y x Z , y T es una relación difusa en X x Z ; entonces la composición difusa max-min estará definida en términos de la notación teórica de los conjuntos y en términos de la notación teórica de las funciones de membresía de la siguiente manera:

otra composición difusa es la max-producto la cual se define en términos de la notación teórica de funciones de membresía como:
Se debe de puntualizar que ni las composiciones certeras ni las difusas cumplen con la propiedad conmutativa en lo general, esto es:
La ecuación anterior es general para cualquier operación matricial, ya sea difusa u otras.

Ejemplo 1.3:
Suponiendo que se tienen las relaciones para XxY (denotada por la relación difusa R) y YxZ (denotada por la relación difusa S). En este caso se tiene:
Considere las siguientes relaciones difusas:

Entonces la relación resultante, T, la cual relaciona los elementos del universo X a los elementos del universo Z, definido en el espacio Cartesiano se puede encontrar al usar la siguiente composición (max-min):

por ejemplo,
y así para el resto, resultando lo siguiente:

Ahora bien si se utilizará la composición (max-producto) se tendría:
por ejemplo,
y el resto

Observación
La ingeniería de control siempre se interesa en la relación entre las entradas del sistema y las salidas del sistema. Para obtener la relación entre una variable de entrada difusa A y una variable de salida difusa B de un determinado sistema de control se realiza una declaración condicional difusa .

Implicación lingüística (1)
Para relacionar los conjuntos difusos A y B de universos de discurso desiguales U y V, se introducirá el concepto de declaración condicional difusa (implicación lingüística) (*) :
donde
A es el antecedente y
B es el consecuente.
(1) R. Sutton &D. R. Towill, “An introduction to the use of fuzzy sets in the implementacion of control algorithms”, Journal of the Institution of Electronic and Radio Engineers, Vol. 55, No. 10, pp. 357-367, October 1985.

Esta relación implícita, R, es expresada en términos del Producto Cartesiano de los conjuntos A y B, y es denotada por:
Para conjuntos finitos, su función de membresía se define por

Alternativamente, para conjuntos continuos,
Generalmente, la ecuación anterior está en forma de matriz, por lo tanto
*

Ó
Donde
**

Ejemplo 1.4:
Para ilustrar el significado de las ecuaciones anteriores (Ec. *, Ec. **) se tomará en cuenta la siguiente declaración condicional difusa :
SI A es pequeña ENTONCES B es grande.
Donde: Los universos de discurso distintos U y V con sus correspondientes conjuntos difusos A y B están dados por:
pequeño = A = 1/1 + 0.7/2 + 0.3/3 + 0/4 + 0/5
grande = B = 0/1 + 0/2 + 0.3/3 + 0.7/4 + 1/5
Respectivamente.

Así es que, usando la Ec. (**)

Se puede observar que la matriz de la relación de la ecuación anterior fue derivada usando el producto Cartesiano de A x B .
Esta relación se puede representar gráficamente (ver Fig. 1.1) por una superficie. Donde las filas de la matriz de dicha ecuación corresponderían a las secciones de la superficie.

Figura 1.1 Relación Difusa de dos-dimensiones entre conjuntos difusos “ If A es pequeño y B es grande ”.
1 2 3 4 5 U 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0  (U),  (V) V B A Producto Cartesiano 1 2 3 4 5 U 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0  (U),  (V) V Matriz de Relación Difusa representada por una superficie.

Una declaración condicional difusa puede consistir de conjuntos difusos de más de un universo de discurso distinto. Considere los universos de discurso distintos U, V, y W, con sus correspondientes conjuntos difusos A, B, y C respectivamente, los cuales forman:
IF A THEN B THEN C
Así es que la relación difusa esta dada por:

La cual puede ser expresada como una matriz relación de tres-dimensiones, por:
Cuando se formula una estrategia de control, con frecuencia es necesario formar una combinación de varias declaraciones condicionales difusas, cada una de las cuales tendrá un conjunto difuso asociado R (i) . Si este es el caso, las R (i) s individuales serán combinadas para obtener una R Total por medio de calcular la unión de todas ellas. Por lo tanto se tendrá:

2.3 Relaciones Difusas, Graficas Difusas y Aritmética Difusa (principio de extensión) 2.3.3 Gráficas Difusas. 2.3.4 Números Difusos. 2.3.5 Funciones con Argumentos Difusos 2.3.6 Operaciones Aritméticas en Números Difusos

2.3.3 Gráficas Difusas
Una relación difusa no debe tener un significado de etiqueta lingüística tal como la relación petite tiene. De hecho, la mayoría de las relaciones difusas utilizadas en aplicaciones del mundo real NO representan un concepto, en vez de eso ellas representan una proyección funcional de un conjunto de variables de entrada a una o más variables de salida. Frecuentemente, un conjunto de reglas difusas utilizadas en un controlador lógico difuso describen una relación difusa desde las variables de estado observadas a una decisión de control.

En otras palabras, una relación difusa subraya que un controlador lógico difuso puede ser construido por un conjunto de reglas difusas if-then .
¿Cómo se logra esto? Para responder a ésta pregunta, se necesita introducir el concepto de graficas difusas .

Gráfica difusa de Zadeh
El término “gráfica difusa” ha sido utilizado para dos conceptos diferentes en la literatura, uno intruducido por Zadeh, y el otro introducido por Rosenfeld. La gráfica difusa de Rosenfeld es una generalización de la teoría de gráficas convencional. Mientras que, la gráfica difusa de Zadeh es mucho más relevante para el control lógico difuso y las aplicaciones industriales

Una gráfica difusa describe una proyección funcional entre un conjunto de variables lingüísticas de entrada y una variable lingüística de salida.
Si se asume que una función f : U  V, X  U, Y  V , es aproximada por la siguientes reglas difusas IF-THEN:
f : IF X es pequeña THEN Y es pequeña.
IF X es mediana THEN Y es grande.
IF X es grande THEN Y es pequeña.
La cual forma una gráfica difusa f* (ver la Fig. 2),
donde:
f* = pequeña x pequeña + mediana x grande + grande x pequeña

Figura 2. Aproximación de una gráfica difusa por medio de una Disyunción de productos cartesianos.
Pequeño mediano grande grande pequeño f (función crisp) f* (gráfica difusa) y x 1 0 1

En f* , + y x denota, respectivamente, la disyunción y producto cartesiano. Una expresión de la forma AxB donde A y B son palabras (conjuntos difusos) es referido como un gránulo (granule) Cartesiano (2) .
Supóngase que x y y son variables con universos de discurso X y Y respectivamente, y A y B son dos subconjuntos difusos de X y Y .
(2) L. A. Zadeh. Fuzzy Logic = computing with words. IEEE Trans. On Fuzzy Systems, Vol. 4 No. 2, 1996.

El producto cartesiano de A y B , denotado por AxB , es definido como:
La Fig. 3 muestra una relación difusa formada por un producto Cartesiano utilizando el min como el operador de conjunción difusa. Una gráfica difusa f* de X a Y es así una unión de productos Cartesianos que involucra asociaciones lingüísticas de entrada-salida (p. ejemplo, los pares de “ x es A i ” y “ y es B i ”), como:

Figura 3. Relación Difusa formada por
un Producto Cartesiano.

La gráfica difusa resultante básicamente es una relación difusa. Las gráficas difusas y las relaciones difusas se utilizan en el contexto del razonamiento difuso basado-en reglas.
También, se debería de puntualizar que los productos Cartesiano no son la única manera para formar una relación difusa. Por ejemplo, se puede ver como las implicaciones difusas pueden ser utilizadas para formar otro tipo de relaciones difusas (como por ejemplo: las relaciones de implicación).

2.3.4 Números Difusos
Un número difuso es un subconjunto difuso del universo de un número numérico. Por ejemplo, un número real difuso es un subconjunto difuso del dominio de números reales. Un entero difuso es un subconjunto difuso del dominio de enteros. Un ejemplo de un número real difuso, About-10, se muestra en la Fig. 4
5 10 About-10 1 Figura 4 Número Difuso

2.3.5 Funciones con Argumentos Difusos
Si se tiene una función precisa y se quiere aplicar la función a números difusos, se necesita utilizar una técnica de la lógica difusa llamada el principio de extensión .
Un argumento difuso describe una distribución de posibilidad del argumento.

En calculo la imagen funcional de un argumento difuso, no solo requiere encontrar la imagen funcional para cada valor posible, sino que también la posibilidad de esta imagen.
Además, debido a que diferentes valores de entrada puede proyectase al mismo valor de salida, se necesita determinar la posibilidad de tal valor de salida al combinar el grado de posibilidad de todas las entradas que se proyectan al mismo valor de salida.

Aplicando una función a los argumentos difusos se generaliza la notación de la aplicación de una función a los intervalos. Por lo tanto, primero se revisará como calcular la imagen funcional de un intervalo.
Se puede aplicar una función f a un intervalo I al proyectar todos los elementos en el intervalo a su imagen:

Si f es una función continua, también f(I) es un intervalo, como se ilustra en la Fig. 5.
y x I f(I) f Figura 5. Ejemplo de la aplicación de una Función a un Intervalo.

Un intervalo es un tipo especial de distribución de posibilidad cuyo grado de posibilidad es 1 para puntos dentro de un intervalo, y 0 para puntos fuera del intervalo.
Para generalizar la proyección de un intervalo a través de una función a la proyección de cualquier distribución de posibilidad, se necesita de algún modo de “proyectar” el grado de posibilidad a través de la función. Se mostrará esto primeramente al considerar funciones monótonas, y despues el caso general de funciones no monótonas.

Suponiendo que f es una función continua monótona, la situación es simple. Para cada punto que es proyectado, el grado de posibilidad correspondiente es proyectado junto con ésta, como se muestra en la Fig. 6
Figura 6 Proyección de una distribución de posibilidad a una función Monótona. y x  1 f 0 x 1 y µ 0

Si la función no es monótona, varios puntos en su dominio posiblemente se proyecten a el mismo punto en su rango.
Por ejemplo, si A es un número difuso de la variable x , y f es una función polinomial de segundo-orden mostrada en la Fig. 7. Los puntos a y b se proyectan al mismo punto c como se muestra en la figura.
Ya que f(x) = c si x=a o x=b , el grado de posibilidad para f(A) a ser c es el grado de posibilidad para x=a o x=b , por ejemplo:

Figura 7 Proyección de una distribución de posibilidad a una función no monótona.
y x π 1 c 0 x 1 y π 0 0 A a b f(A)

Si se utiliza el operador de conjunción max, se puede construir la distribución de posibilidad de f(A) , la cual es mostrada por la curva gruesa en la Fig. 7.
A través del ejemplo anterior se han introducido los dos principales conceptos del principio de extensión, estos son:
1. La posibilidad de que un valor de entrada sea directamente propagada a la posibilidad de su imagen.
2. Cuando varias combinaciones de entradas se proyectan a la misma salida, la posibilidad de la salida es obtenida al combinar la posibilidad de dichas entradas a través de la disyunción difusa.

Ejemplo 2.3.5_1:
Si se tiene la siguiente función:
y = f(x) = (x-3) 2 + 2 = x 2 – 6x + 11 (16)
Y un número difuso entero Around-4 para x como se muestra en la Fig. 8:
Around-4 = 0.3/2 + 0.6/3 + 1/4 + 0.6/5 + 0.3/6 (17)
Donde + denota unión. Aplicando el principio de extensión, se obtiene:
f(Around-4) = 0.3/f(2) + 0.6/f(3) + 1/f(4) + 0.6/f(5) + 0.3/f(6)
= 0.3/3 + 0.6/2 + 1/3 + 0.6/6 + 0.3/11 (18)
Nótese que f(2) = f(4) = 3 . La posibilidad de la imagen y=3 es así una disyunción difusa de la posibilidad de x=2 y x = 4. Por lo tanto, se obtiene:
f(Around-4) = 0.6/2 + (0.3  1)/3 + 0.6/6 + 0.3/11 (19)

Si se selecciona el operador de disyunción difusa “max”, se obtiene el siguiente resultado final:
f(Around-4) = 0.6/2 + 1/3 + 0.6/6 +0.3/11 (20)
Figura 8 Ejemplo del Principio de Extensión
y x  1 0.6 0.3 0 X 1 0.6 0.3 y  0 0 2 3 4 5 6 f(Around-4) f(x) 11 6 3 2 8

Definición Formal del Principio de Extensión
Si f es una función con n argumentos que proyectan un punto en U 1 x U 2 x…x U n a un punto en V . Y si A es un subconjunto difuso de U 1 x U 2 x…x U n . El principio de extensión establece que la imagen de A bajo f es un subconjunto difuso de V con la función de membresía siguiente ( por ejemplo, distribución de posibilidad ):

En la anterior definición, se asumió que se tiene un conjunto difuso único para describir la distribución de posibilidad de todos los argumentos. Sin embargo los argumentos difusos para una función pueden ser cada uno una distribución de posibilidad (p. ejem.: x 1 =A 1 , x 2 =A 2 ,…, x n =A n ). Bajo tal circunstancia, la Ec. (21) en la definición necesita ser modificada tal que  A (x 1 , x 2 , …,x n ) en el lado derecho de la ecuación sea remplazada por una conjunción difusa de  A1 (x 1 ),  A2 (x 2 ),…,  An (x n ).

La Ec. (21) se convierte en:
En el ejemplo 2.3.5_1 el argumento difuso para la función es un entero difuso.
¿Cómo se manejará o manipulará un número real difuso?, Esto es ilustrado utilizando el ejemplo 2.3.5_2.

Ejemplo 2.3.5_2

2.3.6 Operaciones Aritméticas en Números Difusos
Aplicando el principio de extensión a las operaciones aritméticas (adición, substracción, multiplicación, y división), se tienen las siguientes operaciones aritméticas, donde x y y son los operandos, z es el resultado, y A y B denotan los valores difusos para x y y , respectivamente.

Adición Difusa:
Substracción Difusa:

Multiplicación Difusa:
División Difusa:

Ejemplo 2.3.6_1
Si A y B son dos enteros difusos definidos por:
A= 0.3/1 + 0.6/2 + 1/3 + 0.7/4 + 0.2/5
B= 0.5/10 + 1/11 + 0.5/12
Si se quiere calcular la suma de estos enteros difusos. Se aplica la Ec. (23) y se obtiene:
f(A+B)= 0.3/11 + 0.5/12 + 0.5/13 + 0.5/14 + 0.2/15 +
0.3/12 + 0.6/13 + 1/14 + 0.7/15+ 0.2/16 + 0.3/13 +
0.5/14 + 0.5/15 + 0.5/16 + 0.2/17

Ahora se obtiene el max de los duplicados, así es que se obtiene:
f(A+B)= (0.3/11) + 0.5/12 + 0.6/13 + 1/14 + 0.7/15 +
0.5/16 + 0.2/17

3.1 Variable Lingüística y Reglas Difusas If-Then 3.1.1 De variables numéricas a variables lingüísticas. 3.1.2 Hedges lingüísticos. UNIDAD III SISTEMAS DIFUSOS Y SUS PROPIEDADES

EL PRINCIPIO DE EXTENSIÓN Y SUS APLICACIONES 2.3.5 Funciones con argumentos difusos ANEXO 2: Anexo al tema 2.3.5

Introducción
El principio de Extensión basado en la regla composicional inferencia difusa , fue presentado por Lotfi A. Zadeh en 1978 y más tarde probado por Yager en el 1986.

Introducción
El principio de extensión es un concepto básico de la teoría de conjunto difusos, éste provee un procedimiento general para extender los conceptos matemáticos clásicos a conjuntos difusos.

Introducción
Dicho principio provee una forma para que cualquier función f que proyecta una n-tupla (x 1 , x 2 , ..., x n ) en el conjunto U a un punto en el conjunto V sea generalizada para proyectar n subconjuntos difuso en U a un subconjunto difuso en V .

Introducción
Cualquier relación matemática entre elementos no difusos puede ser extendida para tratar con entidades difusas. Además, el principio de extensión es muy útil para tratar con operaciones de conjuntos-teóricos a conjuntos difusos de orden mayor.

Principio De Extensión
Primero se establecerá el principio de extensión y después sus aplicaciones.
Dada una función y un conjunto difuso A en U, donde.
El principio de extensión establece que:

Si más de un elemento de U es proyectado al mismo elemento y en V por la función f (ej: proyección de muchos a uno), entonces se tomará el máximo entre los grados de membresía. Esto es:

Donde x i corresponde a los elementos que son proyectados al mismo y . Frecuentemente, la función f proyecta n-tuplas en U para un punto en V .

Demostración
Si U es el producto Cartesiano de los universos y son n conjuntos difusos en , respectivamente . La función f proyectará una n-tupla ( x 1 , x 2 ,...,x n ) en el conjunto universal U para un punto, y , en el conjunto V . Lo cual significa que, y = f ( x 1 ,x 2 ,...,x n ).

El principio de extensión permite que la función f ( x 1 ,x 2 ,...x n ) sea extendida para actuar sobre los n subconjuntos difusos de U, A 1 ,A 2 ,...,A n , por lo que:
B = f (A),
Donde B es una imagen difusa (conjunto difuso) de A 1 , A 2 ,...,A n a través de f( . ). El conjunto difuso B está definido por:

Donde:
Con una condición adicional que si no existe ( x 1 ,x 2 ,...,x n )  U tal que y = f(x 1 ,x 2 ,...,x n ).

Ejemplo 1
Si el universo de discurso es igual a U =  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, y un conjunto difuso A = “Largo” esta definido como:
A =”Largo”=0.5/6+0.7/7+0.8/8 + 0.9/9 + 1/10

Si una función f es una operación cuadrática dada por la expresión y=f(x)=x 2 , entonces por el principio de extensión, el conjunto difuso B =”Large” 2 puede ser calculado facilmente como:
B =”Largo” 2 = 0.5/36 + 0.7/49 + 0.8/64 + 0.9/81 + 1/100.

Ejemplo 2
Si el universo de discurso es:
U ={-2,-1,0,1,2} y el conjunto difuso A =  (-1,0.5), (0,0.8), (1,1), (2,.04)}. La función f es una operación cuadrática y está indicada por y=f(x)=x 2 . Lo cual es mas fácil de ver si se construye una tabla con toda la información relevante y sus cálculos:

max(0.4)=0.4 4 0.4 2 max(0.5,1.0)=1.0 1 1.0 1 max(0.8)=0.8 0 0.8 0 max(0.5,1.0)=1.0 1 0.5 -1 y=f(x)=x 2 x

De estos cálculos es obvio que tenemos dos puntos (-1 y 1) en U proyectados dentro de un solo punto y=1 . El grado de membresía de y =1 se tomará como el grado de membresía máximo de x = -1 y x=1, lo cual da como resultado 1. Por lo tanto, la imagen difusa B es:
B =1/1+0.8/0+0.4/4

Ejemplo 3
Supongamos que f es una función de pares ordenados que es proyectada desde:
U 1 =(-1,0,1) y U 2 =(-2,2) a V =(-2,-1,2,3), y que f(x 1 ,x 2 )=x 1 2 +x 2 . Si A 1 y A 2 son conjuntos difusos definidos en U 1 y U 2 , respectivamente, donde:
A 1 =0.5/-1+0.1/0+0.9/1 y A 2 =0.4/-2+1.0/2. Usar el principio de extensión para derivar f(A 1 ,A 2 ) . El proceso de cálculo puede ser ilustrado en la siguiente tabla:

3 min(0.9,1.0) 1.0 2 0.9 1 -1 min(0.9,0.4) 0.4 -2 0.9 1 2 min(0.1,1.0) 1.0 2 0.1 0 -2 min(0.1,0.4) 0.4 -2 0.1 0 3 min(0.5,1.0) 1.0 2 0.5 -1 -1 min(0.5,0.4) 0.4 -2 0.5 -1 X 2 x 1

De la tabla anterior, es claro que tenemos dos pares ordenados (-1, -2) y (1,-2) los cuales proyectan al mismo punto y=-1 ; y (-1,2) y (1,2) que son proyectados al mismo punto y=3 . Así, sus respectivos grados de membresía máximos debe ser:

Grados de Membresía

Grados de membresía
El conjunto difuso B obtenido del principio de extensión es: B =0.1/-2 + 0.4/-1 + 0.1/2 + 0.9/3.

EL PRINCIPIO DE EXTENSIÓN Y SUS APLICACIONES 2.3.5 Funciones con argumentos difusos ANEXO 2: FIN DEL ANEXO

Grado de consistencia de dos conjuntos difusos
Aplicando el principio de extensión a la igualdad de dos conjuntos difusos, podemos definir el grado de consistencia de dos conjuntos difusos A y B como:

Ejemplo
Supongamos que Juan y maría hicieron una cita para encontrarse a las 6:00 p.m. Digamos que el concepto de Juan de las seis en punto está denotado por el conjunto difuso “6 juan ” lo cual se muestra en la figura siguiente.

Ejemplo
También, digamos que el concepto de María de las seis en punto esta denotado por “6 maria ” lo cual se muestra en la figura 2.
Entonces la posibilidad de que Juan y María se vean puede estar determinado por el grado de consistencia de “6 juan ” y “6 maria ” lo cual se muestra en la figura:

Si el conjunto difuso A (B) denota el grado de membresía del conjunto difuso B en el conjunto difuso A. Usando el principio de extensión, se tendría que:
 1 Tiempo  6J  6M 

Operaciones entre 2-Tipo de C onjuntos Difusos
El principio de extensión puede ser usado para definir las operaciones de intersección (Ej. Un producto algebraico), unión (Ej. Una suma algebraica), y complemento de conjuntos difusos de 2-tipos.
Si y son los grados de pertenencia difusa para los conjuntos difusos A y B.

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Relaciones Difusas, Graficas Difusas y Aritmética Difusa

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