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3 Variables LingüíSticas, Variables Difusas Y Reglas Difusas

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Variables Lingüísticas, Variables
Difusas y Reglas Difusas

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  • 1. MÓDULO II: Fundamentos de la Lógica Difusa Tema 3: Variables Lingüísticas, Variables Difusas y Reglas Difusas Tema 3: Variables Lingüísticas, Variables Difusas y Reglas Difusas 1. Variables lingüísticas. 1.1. Definición. 1.2. Modificadores lingüísticos. 1.3. Consideraciones generales. 2. Variables difusas. 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. Índice
  • 2. Tema 3: Variables Lingüísticas, Variables Difusas y Reglas Difusas. Objetivos: Comprender el concepto de variable lingüística, modificadores lingüísticos, variable difusa y su uso para manejar conceptos expresados lingüísticamente. Conocer el concepto de regla difusa, distintas interpretaciones de la misma, junto con sus propiedades y fórmulas de cálculo. Repasar las reglas de inferencia básicas y comprender su generalización a proposiciones difusas. Índice 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición Son variables cuyos valores se representan mediante términos lingüísticos. El significado de estos términos lingüísticos se determina mediante conjuntos difusos. MB B M A MA Edad MB B M A MA 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición
  • 3. 1.1. Definición Proporcionan una transición gradual de estados Tienen capacidad para expresar y trabajar con observaciones y medidas de incertidumbre Por capturar medidas de incertidumbre son más ajustadas a la realidad que las variables nítidas Albert Einstein (1921): “Tan cerca como se refieran las leyes matemáticas a la realidad no son ciertas, y tan lejos como sean ciertas no se refieren a la realidad” 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición 1.1. Definición Una variable lingüística se caracteriza mediante (v, T, X, g, m) v es el nombre de la variable T es el conjunto de términos lingüísticos de v X es el universo de discurso de la variable v g es una regla sintáctica para generar términos lingüísticos, y m es una regla semántica que asigna a cada término lingüístico t su significado m(t) que es un conjunto difuso en X 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición
  • 4. 1.1. Definición Ejemplo: Rendimiento Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto v 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición 1.1. Definición Ejemplo: Rendimiento Variable lingüística Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto v 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición
  • 5. 1.1. Definición Ejemplo: Rendimiento Variable lingüística Lingüísticos Términos Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto v 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición 1.1. Definición Ejemplo: Rendimiento Variable lingüística Lingüísticos Términos Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto Regla semántica v 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición
  • 6. 1.1. Definición Ejemplo: Rendimiento Variable lingüística Lingüísticos Términos Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto Regla semántica Restricciones Difusas v 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición 1.1. Definición Ejemplo: Rendimiento Variable lingüística Lingüísticos Términos Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto Regla semántica Restricciones Difusas v Variable Base 1. Variables lingüísticas 1.1. Definición
  • 7. 1.2. Modificadores lingüísticos Son operadores unarios que se aplican a conjuntos difusos. Un modificador lingüístico es un operación unaria h: [0,1] [0,1] Ejemplos: “Muy”, “más o menos”, “bastante”, “extremadamente”, etc. No son aplicables a conjuntos nítidos. 1. Variables lingüísticas 1.2. Modificadores lingüísticos 1.2. Modificadores lingüísticos Definiciones comunes de algunos modificadores lingüísticos: “Muy”: h(a ) = a 2 , a ∈ [0,1] “Más o menos”: h( a ) = a , a ∈ [0,1] 1. Variables lingüísticas 1.2. Modificadores lingüísticos
  • 8. 1.2. Modificadores lingüísticos Si h(a) < a, el modificador h se denomina modificador fuerte. Si h(a) > a, el modificador h se denomina modificador débil. Propiedades de los modificadores: 1. h(0) = 0 y h(1) = 1 2. h es una función continua 3. Si h es fuerte, h-1 es débil 4. Dado otro modificador g, cualquier composición de h con g y viceversa, es un modificador 1. Variables lingüísticas 1.2. Modificadores lingüísticos 1.2. Modificadores lingüísticos Si h(a) < a, el modificador h se denomina modificador fuerte. Si h(a) > a, el modificador h se denomina modificador débil. hα (a ) = aα , α ∈ ℜ + , a ∈ [0,1] Propiedades de los modificadores: 1. h(0) = 0 y h(1) = 1 Si α continua 2. h es una función < 1 el modificador es débil Si α 1 débil 3. Si h es fuerte, h-1>esel modificador es fuerte 4. Dado otro modificador g, cualquier composición de h con g y viceversa, es un modificador 1. Variables lingüísticas 1.2. Modificadores lingüísticos
  • 9. 1.3. Consideraciones generales Con el uso de modificadores lingüísticos se debe evitar la ambigüedad. Los modificadores lingüísticos y los conectivos permiten obtener un amplio conjunto de términos compuestos que amplían la potencia descriptiva de la variable lingüística. Si el nº de términos de una variable aumenta indefinidamente se llegará a la indistinguibilidad semántica de alguno de ellos. Granularidad (Lofti Zadeh): Nivel de distinción entre los distintos niveles de incertidumbre contenida en las variables lingüísticas de forma que se pueda representar correctamente la distinción que desea el usuario. 1. Variables lingüísticas 1.3. Consideraciones generales 2. Variables difusas Concepto análogo al de variable lingüística Toman como valores conjuntos difusos aunque éstos no tienen asociada una descripción lingüística. Útiles en situaciones en las que sea más importante la precisión que la descripción lingüística. Se caracteriza mediante (U , X, R(U,x)) U es el nombre de la variable X es el universo de discurso x es un nombre genérico para los elementos de X R(U,x) es un conjunto difuso en X que representa una restricción en los valores de X impuesta por x. 2. Variables difusas
  • 10. 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. El conocimiento humano se expresa en términos de reglas difusas SI_ENTONCES SI <proposición difusa> ENTONCES <proposición difusa> Tipos de proposiciones difusas: Atómicas: x es A, donde x es una variable lingüística y A es un valor lingüístico Compuestas: Composición de proposiciones difusas atómicas con las conectivas “y”, “o” o “no”, representando intersección, unión y complemento difuso, respectivamente 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. Ejemplos: El error es Negativo-Grande La interpretación o significado de una proposición difusa atómica se define mediante la función de pertenencia del conjunto difuso Negativo-Grande El grado de pertenencia de un error concreto al conjunto difuso Negativo-Grande determinará el grado con que se verifica la proposición difusa 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación.
  • 11. 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. Ejemplos de proposiciones difusas compuestas: X es A o X no es B X es A y X es B X no es A y X no es B (X es A y X no es B) o X es C X es A y Y es D En una proposición difusa compuesta pueden estar implicadas variables distintas Las proposiciones difusas compuestas se pueden considerar relaciones difusas 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. ¿Cómo determinamos la interpretación de estas relaciones difusas? ¿Cómo determinamos la función de pertenencia? Para las conectivas “y” se deben utilizar intersecciones difusas X es A y Y es B µ A∩ B ( x, y ) = T [ µ A ( x), µ B ( y )] Para las conectivas “o” se deben utilizar uniones difusas X es A o Y es B µ A∪ B ( x, y ) = S[ µ A ( x), µ B ( y )] Para las conectivas “no” se deben utilizar complementos difusos 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación.
  • 12. 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. Proposiciones difusas condicionales (Reglas Difusas) Ejemplo: SI el error es Negativo-Grande ENTONCES u es Negativo-pequeño El significado se representa mediante una relación difusa entre el error y la variable de salida U La función de pertenencia de esta relación difusa se determina mediante un operador de implicación difuso 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. Algunos operadores de implicación difusos: Larsen µ R ( x, y ) = µ A ( x ) ⋅ µ B ( y ) Mamdani µ R ( x, y ) = min{µ A ( x), µ B ( y )} Dienes-Rescher µ R ( x, y ) = max{1 − µ A ( x), µ B ( y )} Lukasiewicz µ R ( x, y ) = min{1, 1 − µ A ( x) + µ B ( y )} Zadeh µ R ( x, y ) = max{min{µ A ( x), µ B ( y )}, 1 − µ A ( x)} ⎧ 1, si µ A ( x) ≤ µ B ( y ) Gödel µ R ( x, y ) = ⎨ ⎩µ B ( y ), e.o.c. 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación.
  • 13. Bibliografía Básica: [kli95] G. Klir y B. Yuan. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Theory and Applications. Prentice Hall PTR, 1995. [wan97] L.X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice-Hall, 1997. Complementaria: [bat00] I. Baturone, A. Barriga, S. Sánchez-Serrano, C.J. Jiménez- Fernández y D.R. López. Microelectronic Design of Fuzzy Logic- Based Systems. CRC Press, 2000. [yag94] R.R. Yager y D.P. Filev. Essentials of Fuzzy Modeling and Control. John Wiley, 1994. [zad75a,zad75b,zad75c] L.A. Zadeh. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning I, II y III. Information Sciences (1975), vol. 8 págs. 199-251, 301-357, vol. 9 págs. 43-80. [zad73] L.A. Zadeh. Outline of a New Approach to the Analysis of Complex Systems and Decision Processes. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 3(1) (1973) págs. 28-44. Bibliografía

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