2 Fundamentos de la Lógica Difusa

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MÓDULO II: Fundamentos de la Lógica
Difusa

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2 Fundamentos de la Lógica Difusa

  1. 1. MÓDULO II: Fundamentos de la Lógica Difusa Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos 2. Conjuntos difusos 1. Definición 2. Tipos de funciones de pertenencia 3. Resumen 3. Relaciones difusas 1. De las relaciones clásicas a las difusas 2. Definición 4. Propiedades de los conjuntos difusos 5. Operaciones con conjuntos difusos 6. De las reglas difusas a las relaciones difusas Índice
  2. 2. Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa Objetivos: Comprender el conjunto de conjunto difuso, relación difusa y propiedades básicas asociadas: núcleo, soporte, alfa-corte, normalidad, convexidad y altura. Comprender el significado de las funciones de pertenencia y cómo determinar el tipo de función de pertenencia en base al tipo de descripción difusa asociada. Conocer y saber utilizar las operaciones teóricas sobre conjuntos difusos: complemento, intersección y unión, y propiedades básicas de las mismas. Índice 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos ¿Por qué es útil la Lógica Difusa en control? Muchos aspectos del diseño de un sistema de control presentan incertidumbre Control de aparcado de un coche Control de un ascensor que minimice el tiempo de espera Control de un metro Control del frenado de un coche Control de temperatura y grado de humedad Compensación de vibraciones en una cámara Características comunes: Procesos complejos y dinámicos Algunos se caracterizan fácilmente de forma lingüística 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
  3. 3. 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos Sistemas verdadero / falso frente a sistemas graduales Incertidumbre: - Con información completa - Por falta de incertidumbre - Por ambigüedad Lógica Difusa (Zadeh, 1965) Fue diseñada para representar y razonar sobre conocimiento expresado de forma lingüística o verbal Conocimientos “vagos”, “borrosos” 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos Conjuntos clásicos X: Universo de discurso A: Un conjunto definido en ese universo de discurso Formas de definir el conjunto A: Enumerando elementos Especificando una propiedad Definiendo la función característica 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos { }1,0: →XSµ
  4. 4. 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos Ejemplo: Conjunto de números reales en el intervalo [0,10] comprendidos entre 5 y 8 A = [5,8], X = [0,10] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤< ≤≤ <≤ = 108,0 85,1 50,0 )(1 x x x xA 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos 2. Conjuntos difusos 2.1. Definición Función característica Conjunto nítido Función de pertenencia Conjunto difuso Para cada elemento x, es el grado de pertenencia al conjunto difuso A 2. Conjuntos difusos 2.1. Definición { }1,0: →XSµ [ ]1,0: →XAµ )(xAµ
  5. 5. 2.1. Definición Ejemplo: Conjunto de gente joven B = {gente joven} B = [0,20] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ − ≤≤ = 10030,0 3020, 10 30 200,1 )( x x x x xBµ ⇒ 2.1. Definición Ejemplos: Conjunto de coches de fabricación española Conjunto de números naturales cercanos a 6 Conjunto de personas mayores Conjunto de números cercanos a cero 2. Conjuntos difusos 2.1. Definición
  6. 6. 2.2. Tipos de funciones de pertenencia Funciones triangulares 2. Conjuntos difusos 2.2. Tipos de funciones de pertenencia a b c ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤≤ − − ≤≤ − − < = cx cxb bc xc bxa ab ax ax cbaxf ,1 , , ,0 ),,;( 2.2. Tipos de funciones de pertenencia Funciones trapezoidales 2. Conjuntos difusos 2.2. Tipos de funciones de pertenencia a b c ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤≤ − − ≤≤ ≤≤ − − < = dx dxc cd xd cxb bxa ab ax ax cbaxf ,0 , ,1 , ,0 ),,;( d
  7. 7. 2.2. Tipos de funciones de pertenencia Funciones gaussianas Otras: campana, S, Z, etc. Funciones descritas mediante polígonos Generalizan cualquier otro tipo de representación Nivel de aproximación ajustable 2. Conjuntos difusos 2.2. Tipos de funciones de pertenencia 2.3. Conjuntos Difusos: Resumen Aspectos importantes de los conjuntos difusos: Representan propiedades difusas pero una vez definida la función de pertenencia, nada es difuso. La representación de un conjunto difuso depende del concepto a representar y del contexto en el que se va a utilizar. ¿Cómo determinar las funciones de pertenencia? A través de conocimiento experto A través de conjuntos de datos y procesos de aprendizaje Se pueden utilizar distintas funciones de pertenencia para caracterizar la misma descripción. 2. Conjuntos difusos 2.3. Conjuntos difusos: Resumen
  8. 8. 3. Relaciones Difusas 3.1. De las Relaciones Clásicas a las Difusas Las relaciones determinan interacciones entre conjuntos y se especifican de igual forma que los conjuntos nítidos Una relación (clásica) se puede considerar como un conjunto de tuplas que cumplen una determinada condición. Por ejemplo: La relación binaria “menor o igual” Se pueden describir mediante funciones características 3. Relaciones Difusas 3.1. De las Relaciones Clásicas a las Relaciones Difusas { }nmyBnAmquetalnmR ≤∈∈=≤ ,),( ⎩ ⎨ ⎧ ≤ =≤ casootroen nmsi nmf ,0 ,1 ),(}1,0{:),( →×≤ NNnmf 3.2. Definición Una relación difusa que relaciona dos conjuntos difusos A y B (cada uno de ellos incluido en su universo de discurso U y V respectivamente) es un subconjunto difuso del producto cartesiano U*V, caracterizado: Por una enumeración O por su función de pertenencia Caso contínuo Caso discreto ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ×∈∈ = α αα gradoenPcondiciónlacumpleyx quetalVUyxyx R ),( ),(],1,0[),,/( 3. Relaciones Difusas 3.2. Definición ∫= VU R vuvuR * ),/(),(µ ∑= VU R yxyxR * ),/(),(µ
  9. 9. 3.3. Ejemplo de relación difusa igualmenteaproximadaR = }3,2,1{=U )1,3/(3.0)3,1/(3.0 )2,3/(8.0)1,2/(8.0)3,2/(8.0)2,1/(8.0 )3,3/(1)2,2/(1)1,1/(1 + +++ +++=R ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =− =− = = 2||3,0 1||8,0 1 ),( yx yx yx yxRµ 10,80,33 0,810,82 0,30,811 X 321 R y ]1,0[: →×UUR 3. Relaciones Difusas 3.3. Ejemplo de relación difusa 4. Propiedades de los Conjuntos Difusos Soporte: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es distinto de cero Altura: Es el grado de pertenencia más grande de los elementos del conjunto Núcleo: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es igual a 1 4. Propiedades de los Conjuntos Difusos { }XxxxASop A ∈>= ,0)()( µ { }XxxhhAAltura A ∈== ),(max)( µ { }1)(/)( =∈= xXxANúcleo Aµ
  10. 10. 4. Propiedades de los Conjuntos Difusos Conjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso cuya altura es igual a 1. Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un conjunto difuso creciente, decreciente o con forma de campana 4. Propiedades de los Conjuntos Difusos 1)( =AAltura ))(),(min())1(( yxyx AAA µµλλµ ≥⋅−+⋅ [ ]1,0,, ∈∀∈∀ λXyx 4. Propiedades de los Conjuntos Difusos Conjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso cuya altura es igual a 1. Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un conjunto difuso creciente, decreciente o con forma de campana Convexo No convexo 4. Propiedades de los Conjuntos Difusos 1)( =AAltura ))(),(min())1(( yxyx AAA µµλλµ ≥⋅−+⋅ [ ]1,0,, ∈∀∈∀ λXyx
  11. 11. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos Extienden las operaciones con conjuntos clásicos Igualdad Inclusión Unión Intersección 5. Operaciones con Conjuntos Difusos XxxxBA BA ∈∀=⇔= )()( µµ XxxxBA BA ∈∀≤⇔⊆ )()( µµ )}(),(max{)( xxx BABA µµµ =U )}(),(min{)( xxx BABA µµµ =I 5. Operaciones con Conjuntos Difusos Complemento Alfa-corte Existen generalizaciones de estas operaciones, ya que tanto las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos como sus operaciones dependen del contexto. T-normas T-conormas 5. Operaciones con Conjuntos Difusos )(1)( xx AA µµ −= },)({ XxxxA A ∈>= αµα
  12. 12. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos T-norma: Generaliza el concepto de intersección Conmutativa T(a,b) = T(b,a) Asociativa T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c) Monotonía T(a,b)>=T(c,d), si a>=c y b>=d Condiciones frontera T(a,1) = a 5. Operaciones con Conjuntos Difusos ]1,0[]1,0[]1,0[: →×T )](),([)( xxTx BABA µµµ =I 5. Operaciones con Conjuntos Difusos Ejemplos de t-normas: Intersección estándar: T(a,b) = min (a,b) Producto algebraico: T(a,b) = a · b Diferencia acotada: T(a,b) = max (0, a+b-1) Intersección drástica: T(a,b) = a, si b=1 = b, si a=1 = 0, e.o.c. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos
  13. 13. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos T-conorma: Generaliza el concepto de unión Conmutativa: S(a,b) = S(b,a) Asociativa: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c) Monotonía: S(a,b)>=S(c,d), si a>=c y b>=d Condiciones frontera: S(a,0) = a 5. Operaciones con Conjuntos Difusos ]1,0[]1,0[]1,0[: →×S )](),([)( xxSx BABA µµµ =U 5. Operaciones con Conjuntos Difusos Ejemplos de t-conormas: Unión estándar S(a,b) = max(a,b) Suma algebraica S(a,b) = a+b-a·b Suma acotada S(a,b) = min (1, a+b) Unión drástica S(a,b) = a, si b=0 = b, si a=0 = 1, e.o.c. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos
  14. 14. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos Complemento difuso: C(0) = 1, C(1)=0 Si a<=b, C(a)>=C(b) C(C(a))=a Sugeno 5. Operaciones con Conjuntos Difusos ]1,0[]1,0[: →C )]([)( xCx AA µµ = ),1(, 1 1 )( ∞−∈ ⋅+ − = λ λ λ a a aC 6. De las reglas difusas a las relaciones difusas La regla difusa de la forma SI X es A y Y es B ENTONCES Z es C nos indica una dependencia del conjunto difuso de salida C respecto a los conjuntos difusos A y B Por tanto, esta dependencia la podemos representar mediante una relación difusa (se ha considerado la t-norma mínimo como operador de conjunción e implicación) ∫ ×× = WVU CBA zyxzyxR ),,/())(),(),(min( µµµ 6. De las reglas difusas a las relaciones difusas
  15. 15. Bibliografía Básica: [kli95] G. Klir y B. Yuan. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Theory and Applications. Prentice Hall PTR, 1995. [wan97] L.X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice-Hall, 1997. Complementaria: [zad65] L.A. Zadeh. Fuzzy Sets. Information Control 8 (1965), págs. 338-353. Bibliografía

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