2. Tema 4: Grafos
Contenido
• Definición de grafo.
• Operaciones sobre grafos.
• Representación matricial de grafos en un lenguaje
de programación.
• Grafos (representación enlazada)
• Operaciones sobre grafos representados de
manera enlazada.
• Representación enlazada de grafos en un
lenguaje de programación
3. Objetivos
Conozcan las estructuras de datos arbóreas y las
formas de trabajar con ellas en la solución de
problemas de mediana complejidad
4. Introducción
En ocasiones, incluso, se requiere tener acceso a un
nodo determinado a partir de más de un nodo de la
estructura. Existen varios caminos entre un nodo y
otro.
Ejemplo:
• Una red hidráulica,
• Caminos entre ciudades,
• Afinidad entre miembros de un colectivo, entre
otros.
6. Definición de Árbol
Un árbol (tree) es un T.D.A. que consta de un
conjunto finito T de nodos y una relación R
(paternidad) entre los nodos tal que:
• Hay un nodo, especialmente designado, llamado la
raíz del árbol T.
A
D E F G
CB
A
D E F G
CB
7. Definición de Árbol
• Los nodos restantes, excluyendo la raíz, son
particionados en m (m 0) conjuntos disjuntos T1,
T2, ..., Tm, cada uno de los cuales es, a su vez, un
árbol, llamado subárbol de la raíz del árbol T.
A
D E F G
CB
8. Definición de Árbol
• A los nodos que no son raíces de otros subárboles
se les denomina hojas del árbol T, o sea, no tienen
sucesores o hijos.
A
D E F G
CB
9. Grafos
Un grafo (en inglés graph) es un T.D.A. que
representa un conjunto finito N de nodos, llamados
vértices, relacionados entre sí por un conjunto R de
arcos.
A
B
D
C
E
Grafo con 5 vértices y 6 arcos.
• Vértices del Grafo
N ={ A, B, C, D, E }
• Arcos del Grafo
R={(A, A), (A, B), (A, D), (A, C), (D, C), (C, E)}
10. Grafos: Aclaraciones
•Si el conjunto N es vacío, el grafo será vacío.
• Cada arco de un grafo establece una única relación
entre dos vértices.
• No existe restricción en la relación que establece
un arco, o sea, un vértice puede estar relacionado
consigo mismo o con otro vértice.
• Cada arco se representa a través de un par, donde
cada elemento determina uno de los vértices.
11. Observación
Dado que no hay restricciones en cuanto a los arcos
de un grafo, todas las estructuras vistas con
anterioridad pueden ser consideradas como un
grafo.
Ejemplo, una lista lineal puede ser vista como un
grafo donde cada nodo está relacionado con
exactamente un nodo distinto de él.
12. Clasificación de los Grafos
Un grafo es no orientado o no dirigido (en inglés
not directed o not oriented graph) si el hecho de
que el arco (Nj, Nk) pertenezca a R implica que el
arco (Nk, Nj) pertenece a R, para todo j y k.
• Es irrelevante el sentido de las saetas en los arcos
• Al representarlos, los arcos se grafican sin saeta.
• El arco que los relaciona aparece una sola vez en
el conjunto R de arcos del grafo.
Si el grafo es no orientado, al arco se le llama arista.
13. Clasificación de los Grafos
Un grafo es orientado o dirigido (en inglés:
oriented graph o directed graph) si el hecho de
que el arco (Nj, Nk) pertenezca a R no implica que el
arco (Nk, Nj) pertenece también a R, para todo j y k.
• El sentido de las saetas en los arcos es importante.
• Es importante la dirección del arco, o sea, el vértice
origen del arco y el vértice destino.
• El hecho que exista un arco de Nj a Nk no implica
que exista de Nk a Nj.
Se conocen como digrafos (en inglés: digraph).
15. Adyacencia
El vértice n es adyacente al m, si existe un arco o
arista de m a n.
A
B
D
C
E
Adyacencia:
• B es adyacente a A
• D es adyacente a A
• C es adyacente a A
• A es adyacente a A
• C es adyacente a D
• E es adyacente a C
16. Incidencia
A
B
D
C
E
Incidencia:
• B es incidente al arco (A,B)
• (A,B) es incidente a B
El vértice n es incidente al arco o arista x, si n es
uno de los vértices relacionados con el arco o arista
x. Del mismo modo, se dice que el arco o arista x es
incidente al vértice n.
Así, todos los arcos que llegan o salen de un nodo
son incidentes a él
.
17. Sobre el Vértice D:
• Grado de Entrada: 3
• Grado de Salida: 2
• Grado del Nodo: 5
A
B
D
C
E
F
Grado de un Vértice
18. Grado de un Vértice
El grado de un vértice n es el número de arcos
incidentes a él.
En el caso de los grafos orientados, el grado de
entrada de un vértice n es el número de arcos que
llegan a él y el grado de salida de un vértice n es el
número de arcos que salen de él.
Por lo tanto, el grado de un vértice es la suma de
los grados de entrada y de salida del vértice.
19. Ponderando arcos y vértices
En muchas aplicaciones resulta de interés asignar
valores de ponderación, también llamados pesos,
a los arcos o a los vértices, obteniéndose así:
• Grafos ponderados por los arcos
• Grafos ponderados por los vértices
20. Ejemplo: Grafo ponderado por los arcos
Problema del agente viajero
Un agente necesita repartir paquetes en diferentes
ciudades. Se sabe en qué ciudades el agente debe
repartir los paquetes, así como la distancia entre
cada ciudad y las otras.
El problema consiste en saber cuál es la mejor ruta a
seguir por el agente para repartir todos los paquetes.
21. Ejemplo: Grafo ponderado por los arcos
El problema se puede modelar con un grafo, donde:
• Las ciudades son vértices.
• Los caminos entre las ciudades son arcos.
Si para todas las ciudades se cumple que la
distancia entre una ciudad origen y una ciudad
destino y la distancia de la ciudad destino a la ciudad
origen es la misma, entonces, se puede utilizar un
grafo no orientado.
Podemos ponderar los arcos con la distancia que
existe entre las ciudades.
22. Ejemplo: Grafo ponderado por los arcos
El agente debe visitar tres ciudades A, B y C,
partiendo de la ciudad A. Entre las ciudades A y B
hay 50 km, entre las ciudades B y C hay 20 km y
entre las ciudades A y C hay 15 km.
El camino más corto es de A a C y de C a B.
A B
C
50 Km
Caminos:
A-B-C: 70 Km
A-C-B: 35 Km
23. Ejemplo: Grafo ponderado por los vértices
Se tiene una secuencia de actividades, de las que se
conoce su duración y se quiere saber, en un
momento dado, en qué orden debieran realizarse, de
forma tal que se realicen primero las de menor
duración.
• Las actividades se pueden representar por los
vértices de un grafo no orientado.
• En cada vértice se puede almacenar la duración de
la actividad como factor de ponderación.
24. Ejemplo: Grafo ponderado por los vértices
Resulta más conveniente realizar la actividad A,
luego la C y, por último, la B.
A
10
B
25
C
20
25. Camino entre vértices
Existe un camino de longitud k desde el vértice A
al B, si existe una secuencia de k+1 vértices n1, n2,
..., nk+1, donde n1 = A, nk+1 = B y (ni, ni+1) son
adyacentes para todo i entre 1 y k.
En un grafo no orientado, al camino se le llama
cadena.
A
B
D
C
E
Caminos entre los vértices A y C:
Camino de longitud 1: (A,C)
Camino de longitud 2: (A,D,C)
Camino de longitud 2: (A,A,C)
Camino de longitud 3: (A,A,D,C)
26. Ejemplo: Camino entre nodos
¿Existe un camino de longitud mayor que 1 entre los
vértices C y B?
• Camino de longitud 3: (C, B, A, B)
• Camino de longitud 4: (C, B, A, C, B)
A
B
D
C
27. Camino simple
Entre dos vértices existe un camino simple si todos
los vértices, excepto posiblemente el primero y el
último, son distintos dos a dos.
O sea, un camino simple es aquel en el que no se
repiten los arcos.
Ejemplo:
(A, B, D)
(A, B, A, C)
A
B
D
C
28. Camino simple
Un ciclo, o también circuito, es un camino simple
de cualquier longitud de un vértice a sí mismo. Si el
ciclo es de longitud 1, entonces se denomina bucle o
lazo.
Ejemplo:
Ciclo: A,D,C,A
Bucle: A,A
A
B
D
C
E
29. Grafo cíclico y acíclico
Si un grafo contiene al menos un ciclo se llama
cíclico.
Un grafo acíclico es aquel que no tiene ningún
circuito o ciclo.
A
B
D
C
E
A
B
D
C
Grafo cíclico Grafo acíclico
30. Operaciones sobre Grafos
• Construir un grafo dada la información de sus
vértices. (Convenio: se crea inicialmente vacío).
• Verificar si un grafo está vacío o no.
• Insertar vértices y arcos.
• Eliminar vértices y arcos.
• Dados dos vértices, determinar si son adyacentes.
• Dado un vértice, determinar cuáles vértices son
adyacentes a él.
31. Operaciones sobre Grafos
• Dados dos vértices, determinar un camino de
longitud k entre ellos.
• Dado un arco, determinar vértices incidentes a él.
• Determinar si el grafo es cíclico.
32. Representación matricial de Grafos
• La representación matricial permite establecer si
hay relación entre cada vértice del grafo y los
demás.
• Para ello, se utiliza una matriz cuadrada.
• Se utiliza un arreglo bidimensional.
• Esto significa que la representación matricial es
una representación secuencial.
33. Representación matricial de Grafos
A partir de un grafo, siempre es posible definir un
orden arbitrario de los vértices.
A B C D E
0 1 2 3 4
AB
D
C
E
34. Matriz de Adyacencia
La matriz de adyacencia representa para cada
nodo cuáles son sus vértices adyacentes.
• Cada fila y cada columna de la matriz se
corresponde con un vértice en particular.
• Los elementos de la matriz son booleanos
• Si el elemento (i, j) es verdadero, existe un arco
que va del vértice i al vértice j y, si el elemento (i, j)
es falso, no existe arco del vértice i al vértice j.
• Si el grafo es no orientado, si existe el arco del
vértice i al vértice j existe el arco del vértice j al
vértice i.
35. Representación matricial de Grafos
A B C D E
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
01000
10000
11000
00100
011000
1
2
3
4
AB
D
C
E
Vértices
Matriz de Adyacencia
36. Implementación en C++
class TVertex
{
private:
void* aInfo;
public:
TVertex(void* pInfo) : aInfo(pInfo){}
void* Info(){return aInfo;}
};
37. Implementación en C++
class TSeqGraph
{
private:
bool** aAdjacent;
bool aDirected;
int aOrder;
TGSeqList* aVertexList;
public:
TSeqGraph(int, bool);
~TSeqGraph();
TGSeqList* Adjacents(int);
bool AreAdjacents(int, int);
bool Cyclic();
int Degree(int);
… };
39. Problemas
La representación de la matriz de adyacencia de
un grafo exige conocer por adelantado la cantidad
de vértices del grafo.
Esta representación no es suficientemente flexible
cuando la cantidad de vértices varía con relativa
frecuencia o cuando la estructura del grafo cambia
durante la ejecución de la aplicación que lo usa.
Esto implica crear la matriz cada vez que se inserte
o elimine un nuevo vértice.
Problema: Solución costosa en tiempo y recursos.
40. Representación enlazada de Grafos
AB
D
C
E
Variante 1:
A
B
C
D
E
C D
C
D E
E
D
Una lista de vértices y cada uno tiene
una lista de los vértices adyacentes a él.
Problemas
• Es difícil saber cuántos arcos
llegan a un vértice.
• Se repite la información del
vértice
• Las listas pueden ser
indistintamente secuenciales o
enlazadas o una combinación.
• El grafo está vacío si no
existen vértices.
41. Representación enlazada de Grafos
Variante 2: Representación multienlazada
• Cada vértice se representa a través de un nodo que
contiene:
• Apuntador a su información,
• Apuntador a una lista de arcos
• Apuntador al siguiente vértice en la lista
•Cada arco se representa por un nodo que contiene:
• Apuntador al próximo arco de su vértice origen
• Apuntador al nodo de su vértice destino
42. Representación enlazada de Grafos
Variante 2: Representación multienlazada
AB
D
C
E
• El grafo está vacío si no hay
vértices.
A B C D E
c
D
C D
E
E
43. Representación enlazada de Grafos
Contador de referencia formar parte de la
información de los vértices y mantiene actualizado
la cantidad de arcos llegan a él.
• Los contadores de referencia facilitan algunas
operaciones del grafo:
• Al eliminar un vértice se deben decrementar los
contadores de referencia de los vértices adyacentes.
Si el contador del vértice adyacente se hace cero, se
puede eliminar ese vértice si la lista de arcos está
vacía.
44. Implementación en C++
La representación multienlazada de grafos debe
considerar si el grafo es ponderado por los
vértices o por los arcos.
En estos casos habría que agregar a los nodos de
vértices y arcos respectivamente el peso o factor
de ponderación.
46. Implementación en C++
class TEdge
{
private:
TVertex* aVertex;
public:
TEdge(TVertex* pVertex){aVertex =
pVertex;}
TVertex* Vertex(){return aVertex;}
void Vertex(TVertex* pVertex)
{aVertex = pVertex;}
};
47. Implementación en C++
class TLinkedGraph
{
private:
bool aDirected;
TGLinkedList* aVerticesList;
public:
TLinkedGraph(bool pDirected);
~TLinkedGraph();
TGLinkedList* Adjacents(int);
bool AreAdjacents(int, int);
bool Cyclic();
int Degree(int);
…
};
48. Implementación en C++
class TLinkedGraph
{
…
bool DeleteEdge(int, int);
TVertex* DeleteVertex(int);
bool Directed (){return aDirected;}
bool Empty(){return aVertexList-
>Empty();}
int InDegree(int);
bool InsertEdge(int, int);
bool InsertVertex(void*);
TSEdge* IsEdge (int, int);
int OutDegree(int);
bool Path(int, int, int);
bool PathWithLength (int, int, int);
TGLinkedList* VerticesList();
49. Inserción en grafos multienlazados
Inserción un arco de V1 a V2:
1-Verificar la existencia de los vértices V1 y V2
2-Hay dos posibilidades:
2.1 De no existir uno o ninguno, no se
puede insertar el arco.
2.2 Insertarlos.
• Insertar un arco en la lista de arcos de V1 y
poner su apuntador al vértice adyacente
apuntando al nodo que contiene a V2 en la lista
de vértices.
• Si tiene contador de referencia incrementar en 1,
el contador de referencia del vértice V2.
50. Eliminación en grafos multienlazados
Eliminar el vértice V:
1-Verificar la existencia del vértice V.
2-Para cada arco de V:
-Si en el vértice apuntado por ese arco hay
contador de referencia, decrementarlo en uno y
si éste toma el valor cero, verificar si la lista de
arcos está vacía, para eliminarlo.
-Eliminar el arco.
51. Eliminación en grafos multienlazados
Eliminar el vértice V:
3-Para cada Vértice excepto V
-Buscar si existe algún arco que apunte a V
-i existe eliminarlo y si la lista queda vacía,
verificar el contador de referencia y si es cero,
analizar de acuerdo a la política si se elimina o
no.
4-Eliminar el vértice V.
5-Devolver la información del vértice V.
