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Operaciones matemáticas con arrays y aplicaciones
 

Operaciones matemáticas con arrays y aplicaciones

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    Operaciones matemáticas con arrays y aplicaciones Operaciones matemáticas con arrays y aplicaciones Presentation Transcript

    • Instituto Tecnológico de San Juan del Río Matlab
    • Operaciones matemáticas con arrays.(Funciones predefinidas y ejemplos de aplicaciones).
    • Suma y resta.Las operaciones suma y resta se pueden utilizar con arrays de tamaños idénticos, es decir, aquellos que tiene el mismo número de filas y de columnas.La suma, así como la resta, de dos arrays se lleva a cabo sumando o restando sus elementos.
    • Ejemplo: A=[5 2 8;3 4 1] Así se introduce una array en Matlab. B=[9 7 1;4 2 5]
    • Se define una matriz C que es C=A+B igual al resultado de la suma de A + B. Lo que nos da como resultado:
    • Se define una D=A-B matriz D que es igual al resultado de la resta de A - B. Lo que nos da como resultado:
    • Si queremos C-5 restar 5 a la matriz C. Se pone como se muestra. Lo que nos da como resultado:
    •  VectA=[8 5 4]; Por ejemplo, se definen dos vectores (VectA y VectB). VectB=[10 2 7]; Se define un VectC=VectA+VectB vector VectC que es igual a la suma de VectA + VectB. Lo que nos da como resultado:
    • Multiplicación de arrays.Como ya se dieron cuenta Matlab sigue las reglas propias del algebra lineal. Esto significa que si A y B son dos matrices, la operación A*B se ejecuta solamente si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. El resultado es una matriz que tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B.
    • Ejemplo: A=[5 8 1; 7 3 9; 4 3 5; 1 2 3] Se define una matriz A de 4x3. B=[4 9; 2 7; 1 3] Se define una matriz B de 3x2.
    •  C=A*B Se multiplica lamatriz A por la B, y se asigna el Lo que nos da resultado a la como resultado: variable C.
    •  D=B*A Si se intenta multiplicar lamatriz B por la matriz A. Laoperación retorna un error, ya que el número de columnas de B es 2, y el Lo que nos danúmero de filas de A es 4. como resultado:
    • Se define un vector columna Bv de tres elementos. Bv=[2;5;1] Se define un vector fila Av de tres elementos. Av=[9 3 5]
    • Se multiplica Av por Bv. El Av*Bv resultado es un escalar (producto escalar de dos vectores). Se multiplica Bv por Bv*Av Av. El resultado es una matriz de 3x3.
    • Cuando se multiplica un array por un número, cada elemento del array es multiplicado por dicho número. Por ejemplo, se define una matriz A de 4x4. A=[5 8 1 3; 7 3 9 1; 4 3 5 7; 1 2 3 4]
    •  b=4 Se asigna el número 4 a la variable b. b*A Se multiplica la matriz A por b. Esto se puede hacer tecleando b*A o bien A*b. Lo que nos da como resultado:
    • Matriz identidad.La matriz identidad es una matriz cuadrada en donde la diagonal son unos y el resto de los elementos son ceros. Por ejemplo, una matriz identidad de 4x4, se realiza usando el comando eye. eye(4)
    • Inversa de una matriz.Se dice que una matriz B es la inversa de una matriz A si al multiplicar ambas matrices el producto es la matriz identidad.
    •  A=[5 8 1; 4 3 5; 7 6 9] Por ejemplo, se define la matriz A. B=inv(A) Se utiliza la función inv para calcular la inversa de A. El resultado se asigna a B.
    • El resultado de A*B multiplicar A*b nos da la matriz identidad.
    • División izquierda .La división izquierda ese utiliza para resolver ecuaciones matriciales AX=B. En esta ecuación X y B son vectores columna. La ecuación en sí puede ser resuelta multiplicando en la parte izquierda de ambos miembros de la igualdad por el inverso de A:A-1 AX= A-1B
    • El primer miembro de la ecuación es X, ya que:A-1 AX= IX=XPor lo tanto, la solución a AX=B es:X= A-1BEn Matlab, esta última ecuación se puede escribir utilizando el carácter de la división izquierda, lo cual se muestra a continuación.
    •  A=[3 4 9; 5 1 7; 6 2 8] Se define A y B. B=[2;5;1]
    • Resolución de X=AB X=AB, mediante la división izquierda.
    • División derecha /.La división derecha se utiliza para resolver ecuaciones matriciales XC=D. En esta ecuación X y D son vectores fila. La ecuación anterior se puede resolver multiplicando la parte derecha de ambos miembros de la igualdad por la inversa de C:XC C-1= D C-1
    • Que resulta en:X= D C-1En Matlab, esta última ecuación se puede escribir utilizando el carácter de división derecha, lo cual se muestra a continuación.
    •  C=[5 1 7; 6 9 1; 1 4 2] D=[5 1 9] Se define C y D.
    • Resolución de X=D/C X=D/C, mediante la división derecha.
    • Funciones predefinidas para trabajar con arrays. Función: mean(A) Descripción: Si A es un vector, retorna el valor medio de los elementos. Ejemplo:
    •  Función: C = max(A) Descripción: Si A es un vector, C contendrá el elemento mayor de A. Si A es una matriz, C contendrá un vector fila que representa el elemento mayor de cada columna A. Ejemplo:
    •  Función: [d,n]=max(A) Descripción: Si A es un vector, d contendrá el elemento mayor de A, y n la posición del elemento (la posición de la primera aparición, si el valor mayor se repite varias veces en el vector). Ejemplo:
    •  Función: min(A) Descripción: Lo mismo que max(A), pero para el elemento menor. Ejemplo:
    •  Función: [d,n]=min(A) Descripción: Lo mismo que [d,n]=max(A), pero para el elemento menor. Ejemplo:
    •  Función: sum(A) Descripción: Si A es un vector, calcula la suma de sus elementos. Ejemplo:
    •  Función: sort(A) Descripción: Si A es un vector, devuelve el mismo vector ordenado en orden ascendente. Ejemplo:
    •  Función: median(A) Descripción: Si A es un vector, devuelve el valor de la mediana de los elementos del vector. Ejemplo:
    •  Función: std(A) Descripción: Si A es un vector, devuelve la desviación estándar de los elementos del vector. Ejemplo:
    •  Función: det(A) Descripción: Devuelve el valor del determinante de la matriz cuadrada A. Ejemplo:
    •  Función: rank(A) Descripción: Calcula el rango de una matriz A. Ejemplo:
    •  Función: diag(A) Descripción: Saca la diagonal de la matriz A en forma de vector. Ejemplo:
    •  Función: dot(a,b) Descripción: Calcula el producto escalar de dos vectores a y b. Los vectores pueden ser de tipo fila o columna. Ejemplo:
    •  Función: cross(a,b) Descripción: Calcula el producto cruzado de dos vectores a y b, (axb). Ambos vectores deben tener tres elementos. Ejemplo:
    •  Función: inv(A) Descripción: Devuelve la inversa de una matriz cuadrada A. Ejemplo:
    •  Función: rand Descripción: Genera un número aleatorio entre 0 y 1. Ejemplo:
    •  Función: rand(1,n) Descripción: Genera un vector fila de n números aleatorios entre 0 y 1. Ejemplo:
    •  Función: rand(n) Descripción: Genera una matriz nxn de números aleatorios entre 0 y 1. Ejemplo:
    •  Función: rand(m,n) Descripción: Genera una matriz mxn de números aleatorios entre 0 y 1. Ejemplo:
    •  Función: randperm(n) Descripción: Genera un vector fila con n elementos que son permutaciones aleatorias de enteros entre 1 y n. Ejemplo:
    • Ejemplos de aplicación.Experimento de fricción.El coeficiente de fricción µ se puede calcular experimentalmente midiendo la fuerza F requerida para mover una masa m. A partir de estos parámetros, el coeficiente de fricción se puede calcular de la forma:
    •  µ=F/(mg) (g = 9.81 m/s2)En la tabla siguiente se presentan los resultados de seis experimentos en los cuales se midió F. Determinar el coeficiente de fricción en cada experimento, así como el valor medio de todos los experimentos realizados.Experimento 1 2 3 4 5 6Masa m (Kg) 2 4 5 10 20 50Fuerza F(N) 12.5 23.5 30 61 118 294
    •  Solución: Se crea un vector m y F con los valores de las masas y fuerzas respectivamente. Para que las operaciones de multiplicación, exponenciación y división de arrays se realicen elemento a elemento, en Matlab hay que teclear un punto delante del operador aritmético correspondiente. Se calcula el valor de µ para cada experimento, utilizando operaciones elemento a elemento sobre los vectores anteriores.
    • Se calcula la media de µ para cada uno de losexperimentos, almacenados dentro del propio vector mu. Se utiliza para ello la función mean.
    • Análisis de circuitos resistivos (resolución de un sistema de ecuaciones lineales).El circuito eléctrico anexo está formado por distintas resistencias y fuentes de alimentación. Determinar la intensidad de corriente que pasa por cada resistencia utilizando para ello las leyes de Kirchhoff para la resolución de circuitos resistivos. Los datos conocidos del circuito son los
    • V1= 20 V, V2= 12 V V3= 40 V,R1= 18 Ω, R2= 10 Ω, R3= 16 Ω, R4= 6 Ω, R5= 15 Ω, R6= 8 Ω, R7=12 Ω, R8= 14 Ω
    • Solución:Las ecuaciones para las cuatro mallas que dan la solución a este problema son las siguientes: V1 - R1 I1 - R3(I1 - I3) - R2(I1 - I2) = 0 - R5 I2 - R2(I1 - I2) - R4(I2 - I3) - R7(I2 - I4) = 0 - V2 - R6(I3 - I4) - R4(I3 – I2) - R3(I3 - I1) = 0 V3 - R8I4 - R7(I4 - I2) - R6(I4 - I3) = 0Estas cuatro ecuaciones pueden ser representadas en la forma matricial [A][x]=[B].
    • Se definen los voltajes,resistencias y se crea la matriz A.
    • Se crea el vector columna y se resuelve el sistema de ecuaciones utilizando división izquierda, lo que nos da el valorde (I1, I2, I3 e I4) respectivamente.
    • Las corrientes que pasan por las resistencias R1, R5 y R8 son I1 = 0.8411 A, I2 = 0.7206 A, e I4 = 1.5750 A, respectivamente. Respecto a las otras resistencias, estas pertenecen a dos mallas a la vez, y por tanto sus corrientes son la suma de las corrientes en las mallas.La corriente que pasa por la resistencia:R2= 0.1205 A. R3= 0.2284 A. R4= 0.1079 A.R6= 0.9623 A. R7= 0.8544 A.
    • Bibliografía. Matlab (Una introducción con ejemplos prácticos) Autor: Amos Gilat Editorial: Reverté
    • Control IIProf. Soto Osornio Juan Emigdio Alumno: Mel A G San Juan del Río, Qro., a 27 de Mayo del 2011