Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

  • 1,541 views
Published

Ringkasan materi dari bukunya Howard Anton

Ringkasan materi dari bukunya Howard Anton

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
1,541
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
100
Comments
0
Likes
2

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. ALJABAR LINEAR ELEMENTEROLEHMELSIM IMELDA LALUS1101031030PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS NUSA CENDANAKUPANG2013
  • 2. KATA PENGANTARPuji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dantuntunan-Nya, penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “ Aljabar LinearElementer” ini dengan baik. Makalah ini merupakan rangkuman dari buku “Aljabar LinearElementer” karya Howard Anton.Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantusehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Makalah ini masih jauhdari sempurna. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifatmembangun demi kesempurnaan makalah ini.Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untukpengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua.Kupang, 19 Mei 2013Penulis
  • 3. DAFTAR ISIKATA PENGANTAR..................................................................................DAFTAR ISI...............................................................................................BAB I – PENDAHULUAN1.1 LATAR BELAKANG..................................................................................1.2 TUJUAN .....................................................................................................1.3 METODE PENULISAN...................................................................BAB II – SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS2.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR ..............................................................2.2 ELIMINASI GAUSS..................................................................................2.3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN..........................................2.4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS......................................................2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS .....................................2.6 MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1..........2.7 HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAAN DANKETERBALIKAN.....................................................................................BAB III – DETERMINAN3.1 FUNGSI DETERMINAN...........................................................................3.2 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS ................3.3 SIFAT-SIFAT FUNGSI DETERMINAN....................................................3.4 EKSPANSI KOFAKTOR; ATURAN CRAMER ........................................BAB VI – PENUTUP..............................................................................DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................
  • 4. BAB IPENDAHULUAN1.1 LATAR BELAKANGBanyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulahbanyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalamkehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karenaitu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agarmereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.1.2 TUJUANMakalah ini dibuat dengan tujuan sebagai sumber informasi yang diharapkan dapatbermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.1.3 METODE PENULISANPenulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan. Cara yang digunakan dalampenulisan adalah Studi pustaka. Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yangberkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dariinternet.
  • 5. BAB IISISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS2.1 SISTEM PERSAMAAN LINIERmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.........22112222212111212111SPL mempunyai m persamaan dan n variable.Matriks yang diperbesar (augmented matrix)mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211......Contoh :5434322121xxxxSolusi ( Pemecahan ) SPL, di bagi menjadi 2, yaitu :1. Konsisten Solusi Tunggal Solusi Banyak2. Tidak KonsistenDefinisi : Suatu sistem yang memiliki m persamaan dan n variabel.( Bilangan yang tidak diketahui ).
  • 6. Contoh : Solusi TunggalContoh : Solusi Banyakg1 = 2x - 3y = 6g2 = 2x – 3y =6m < nContoh : Tidak Konsisten0 = Konstanta2.2 ELIMINASI GAUSSPada bagian ini kita akan memberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkansistem-sistem persamaan linear; prosedur tersebut didasarkan kepada gagasan untukmereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistempersamaan tersebut dapat dipecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.Matriks di atas adalah contoh matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baristerreduksi (reduced row-echelon form). Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebutharus mempunyai sifat-sifat berikut.1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baristersebut adalah 1. (Kita namakan 1 utama).
  • 7. 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itudikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utamadalam baris yang lebih tinggi.4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.Matriks yang memiliki sifat-sifar 1,2 dan 3 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris(row-echelon form).Berikut ini adalah beberapa contoh matriks dalam bentuk seselon baris terreduksi.Matriks-matriks berikut adalah matriks dalam bentuk eselon baris.Prosedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi dinamakaneliminasi Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon barisdinamakan eliminasi Gauss.Contoh 1:Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 02x1 + 6x2 – 5x3 – 2x4 + 4x5 – 3x6 = –15x3 + 10x4 + 15x6 = 52x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6Tidak sukar untuk memantau apabila matriks dalam bentuk eselon baris harus mempunyainol di bawah setiap 1 utama. Bertentangan dengan hal ini, matriks dalam bentuk eselonbaris terreduksi harus mempunyai nol di atas dan di bawah masing-masing 1 utama.
  • 8. Maka matriks yang diperbesar dari sistem tersebut adalahDengan menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan keempat maka akanmendapatkanDengan mengalikan dengan -1 dan kemudian menambahkan -5 kali baris kedua kepada barisketiga dan -4 kali baris kedua kepada baris keempat maka akan memberikanDengan mempertukarkan baris ketiga dengan baris keempat dan kemudian mengalikan barisketiga dari matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon barisDengan menambahkan -3 kali baris ketiga pada baris kedua dan kemudian menambahkan 2kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan pada baris pertama maka akan menghasilkanbentuk eselon baris terreduksiSistem persamaan-persamaan yang bersesuaian adalahx1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0x3 + 2x4 = 0
  • 9. x6 =Dengan memecahkannya untuk peubah peubah utama, maka kita dapatkanx1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5x3 = – 2x4x6 =Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, makahimpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumusx1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 =Terkadang lebih mudah memecahkan sistem persamaan linear dengan menggunakaneliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk eselonbaris tanpa meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, makasistem persamaan-persamaan yang bersesuaian dapat dipecahkan dengan sebuah cara yangdinamakan substitusi balik (back-substitution). Kita akan melukiskan metode ini denganmenggunakan sistem persamaan-persamaan pada contoh 1.Dari perhitungan dalam contoh 1, bentuk eselon baris dari matriks yang diperbesar tersebutadalahUntuk memecahkan sistem persamaan-persamaan yang bersesuaianx1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0x3 + 2x4 + 3x6 = 1x6 =maka kita memprosesnya sebagai berikut :Langkah 1.Pecahkanlah persamaan-persamaan tersebut untuk peubah-peubah utama.
  • 10. x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5x3 = 1 – 2x4 – 3x6x6 =Dengan mensubstitusikan x6 = ke dalam persamaan kedua maka akan menghasilkanx1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5x3 = – 2x4x6 =Dengan mensubstitusikan x3 = – 2x4 ke dalam persamaan pertama maka akan menghasilkanx1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5x3 = – 2x4x6 =Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, makahimpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumusx1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 =Ini sesuai dengan pemecahan yang diperoleh pada contoh 1.2.3 SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGENSebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua sukukonstan sama dengan nol; yakni sistem tersebut mempunyai bentukLangkah 2.Mulailah dengan persamaan bawah dan bekerjalah ke arah atas, substitusikan secarakeseluruhan masing-masing persamaan ke dalam semua persamaan yang di atasnya.Langkah 3.Tetapkanlah nilai-nilai sebarang pada setiap peubah tak utama.
  • 11. a11x1 + a12x2 + ……+ a1nxn = 0a21x2 + a22x2 + ……+ a2nxn = 0: : : :am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn = 0Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 =0, x2 = 0,….., xn = 0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan terebut, dinamakanpemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebutdinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution).Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satupemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu di antara pemecahanini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut.Untuk sistem persamaan-persamaan linier homogeny, maka persis salah satu di antarapernyataan berikut benar.1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivialsebagai tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut.Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan taktrivial ; yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui daribanyaknya persamaan. Untuk melihat mengapa hanya demikian, tinjaulah contoh berikut dariempat persamaan dengan lima bilangan tak diketahui.Contoh :Pecahkanlah sistem persamaan-persamaan linier homogeny berikut denganmenggunakan eliminasi Gauss-Jordan.2X + 2X2 – X3 + X5 = 0-X1 – X2 + 2X3 – X4 + X5 = 0X1 + X2 – 2X3 - 5X5 = 0X3 + X4 + X5 = 0Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah
  • 12. Dengan mereduksi matriks ii menjadi bentuk eselon baris tereduksi, maka kita dapatkanSistem persamaan yang bersesuaian adalahX1 + X2 + X5 = 0X3 + X5 = 0X4 = 0Dengan memecahkannya untuk peubah-peubah utama maka akan menghasilkanX1 = -X2 – X5X3 = -X5X4 = 0Maka himpunan pemecahan akan di berikan olehX1 = -s – t, X2 = s, X3 = -t , X4 = 0, X5 = tPerhatikan bahwa pemecahan trivial kita dapatkan bila s = t = 0.2.4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKSMatriksMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangandalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.A =Operasi Matriks1. Penjumlahan :Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, makajumlah A + B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama
  • 13. entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannyaberbeda tidak dapat di tambahkan.A = , B =A + B = + =Contoh : A = , B = , C =A + B =Sedangkan A + C dan B + C tidak di definisikan.2. Perkalian dengan konstantaDefinisi : Jka A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalahmatriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c.c =Contoh : A = , maka 2A =3. Perkalian, dengan syarat Am x n Bn x o = Cm x oDefinisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalahmatriks m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entridalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j darimatriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebutbersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.A = , B =AB = =Contoh : A = , B =AB =TransposeDefinisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh Atdan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A,kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah barisketiga dari A, dan seterusnya.
  • 14. A =  At=Contoh : A =  At=2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKSWalaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untukmatriks, namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpentingterjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyaiab = bayang sering dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama.ContohTinjaulah matriks-matriksDengan mengalikannya maka akan memberikan3201A0321B 41121AB0363BATeorema 2. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikiansehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan-aturanilmu hitung matriks berikut akan shahih.(a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penambahan)(b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penambahan)(c) A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)(d) A(B + C) = AB + AC (Hukum distributif)(e) (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif)(f) A(B - C) = AB – AC(g) (B - C)A = BA – CA(h) a(B + C) = aB+ aC(i) a(B - C) = aB – aC(j) (a + b)C = aC + bC(k) (a - b)C = aC – bC(l) (ab)C = a(bC)(m) a(BC) = (aB)C = B(aC)
  • 15. Jadi, AB ≠ BAContohSebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulahKemudianSehinggaSebaliknyaMakaJadi, (AB)C = A(BC), seperti yang dijamin oleh Teorema 2(c).104321A1234B3201C104321AB123412132058)( CAB 320134394615181234BC 320134910104321)(BCA349103439461518Teorema 3. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalahsedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dikabulkan,maka aturan-aturan ilmu hitung matriks yang berikut akan shahih.(a) A + 0 = 0 + A = A(b) A – A = 0(c) 0 – A = -A(d) A0 = 0; 0A = 0Teorema 4. Setiap sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan, persissatu pemecahan, atau tak terhingga banyaknya pemecahan.12132058
  • 16. Bukti. Jika AX = B adalah sistem persamaan linear, maka persis satu dari antara berikut akanbenar: (a) sistem tersebut tidak mempunyai pemecahan, (b) sistem tersebut mempunyai persissatu pemecahan, atau (c) sistem tersebut mempunyai lebih dari satu pemecahan. Buktitersebut akan lengkap jika kita dapat memperlihatkan bahwa sistem tersebut mempunyaitakhingga banyaknya pemecahan dalam kasus (c).ContohTinjaulah matriksMakaDanContohMatriksadalah invers darikarenadan322212312111aaaaaaA10012 AI 322212312111aaaaaaAaaaaaa3222123121113222123121113aaaaaaAI100010001Aaaaaaa322212312111Definisi. Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks Bsehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan Bdinamakan invers (inverse) dari A.2153B 3152A3152AB 2153I10012153BA 3152I1001Teorema 5. Jika baik B maupun C adalah invers matriks A, maka B = C
  • 17. Bukti. Karena B adalah invers A, maka BA = I. Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelahkanan dengan C maka akan memberikan (BA)C = IC = I. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B,sehingga B = C.ContohTinjaulah matriks 2x2Jika ad – bc ≠ 0, makaBukti. Jika kita dapat memperlihatkan bahwa (AB)(A 1B 1) = (B 1A 1)(AB)=I, maka kitatelah secara serempak membuktikan bahwa AB dapat dibalik dan bahwa (AB) 1= B 1A 1.Tetapi (AB)(B 1A 1) = AIA 1= AA 1= I. Demikian juga (B 1A 1)(AB) = I.ContohTinjaulah matriks-matriksDengan menerapkan rumus yang diberikan dalam contoh 25, kita dapatkanMaka, (AB)-1= B-1A -1seperti yang dijamin oleh Teorema 6.dcbaAacbdbcadA11bcadabcadcbcadbbcaddTeorema 6. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yangukurannya sama, maka(a) AB dapat dibalik(b) (AB) 1= B 1A 1Sebuah hasil kali matriks yang dapat dibalik selalu dapat dibalik, dan invers hasilkali tersebut adalah hasil kali invers dalam urutan yang terbalik3121A 2223B 8967AB11231A231111B2729341AB
  • 18. Teorema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwa hukum-hukum yangsudah dikenal dari eksponen adalah sah.Teorema selanjutnya menetapkan beberapa sifat tambahan yang berguna dari eksponenmatriks tersebut.Bukti.a. Karena AA-1= A-1A = I, maka A-1dapat dibalik dan (A-1)-1= A.b. –c. Jika k adalah sebarang scalar yang taksama dengan nol, maka hasil (l) dan (m) dariTeorema 2 akan memungkinkan kita untuk menuliskan(kA)  11Ak=     IIAAkkAkAk 111 11Demikian juga  11Ak(kA) = I sehingga kA dapat dibalik dan (kA)-1= 11 Ak.Definisi. Jika A adalah sebuah matriks kuadrat, maka kita mendefinisikanpangkat-pangkat bilangan bulat tak negative A menjadiA0= 1 An= AA….A (n > 0)Akan tetapi, jika A dapat dibalik, maka kita mendefinisikan pangkat bilanganbulat negative menjadiA-1= (A-1)n= A-1A-1….. A-1Factor nFactor nTeorema 7. Jika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, makaArAs= Ar+s(Ar)s= ArsTeorema 8. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka:a) A-1dapat dibalik dan (A-1)-1= Ab) Andapat dibalik dan (An)-1= (A-1)nuntuk n = 0,1,2,…..c) Untuk setiap skalar k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalikdan (kA)-1=k1A-1
  • 19. Kita simpulkan bagian ini dengan sebuah Teorema yang menyenaraikan sifat-sifat utama darioperasi transpose.2.6 MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1Dibawah ini kita daftarkan matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya.(i)  3001(ii)0010010010000001(iii)100010301(iv)100010001Operasi baris pada I yang menghasilkan E Operasi baris pada E yang menghasilkan IKalikanlah baris I dengan c ≠ 0. Kalikanlah baris I denganPertukarkan baris I dan baris j. Pertukarkan baris i dan baris j.Tambahkan c kali baris I ke baris j. Tambahkan – c kali baris i ke baris j.Operasi-operasi d ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari operasi-operasiyang bersesuaian di ruas kiri.Teorema 9. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapatdilakukan, makaa. (At)t= Ab. (A+B)t= At+ Btc. (kA)t= kAt, dimana k adalah sebarang scalar.d. (AB)t= BtAtTranspose sebuah hasil kali matriks sama dengan hasil kali transposnyadalam urutan kebalikannya.Ketika bariskedua I2dengan -3Pertukarkan bariskedua dan bariskeempat dari I4Tambahkan tiga kalibaris ketiga dari I3pada baris pertamaKalikan barispertama dari I3dengan ITeorema 10 : Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasibaris tertentu pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalahmatriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.
  • 20. Bukti. Jika E adalah matriks elementer, maka E dihasilkan dari peragaan operasi baris pada I.Misalnya Eo adalah matriks yang dihasilkan bila invers operasi ini diterapkan pada I. Barisinvers akan saling meniadakan efek satu sama lain, maka diperolehEoE = I dan EEo = IJadi, matriks elementer Eo adalah invers dari E.A I = I A-1Contoh :A =814312201A-1= . . . ?Jawab :A I =====I A-1Teorema 11 : Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah jugamatriks elementer.Baris ke 2 dikurang 2 kali baris pertama dan baris ke3 dikurang 4 kali baris pertama untuk mendapatkannol.Baris ke 2 ditukar bariske3.Baris ke 3 dikalikan – baris ke 3, untukmendapatkan 1 utama.Baris ke 3 dikurangi baris ke 2 untukmendapatkan nol.
  • 21. 2.7 HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAN DANKETERBALIKANAX = B → X = → I . B = BA . = BA . X = BX = A-1. BX . A = BX . . . ?Jawab:B . I = B. A = BX . A = BX = B . A-1Teorema 13 : Jika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik,maka untuk setiap matriks Byang berukuran n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pecahan, yakni, X= A-1B.
  • 22. BAB IIIDETERMINAN3.1 FUNGSI DETERMINANDalam bagian ini kita memulai pengkajian fungsi bernilai rill dari sebuah peubahmatriks, yakni fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan riil dengan sebuah matriks. Sebelum kita mampu mendefinisikan fungsi determinan, maka kita perlu menetapkanbeberapa hasil yang menyangkut permutasi.Contoh :Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat .Permutasi-permutasi ini adalah(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)Salah satu metode yang mudah secara sistematis mendaftarkan permutasi-permutasiadalah dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree).Contoh :Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan , maka kita akanmenuliskan . Disini, adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian,adalah bilangan bulat kedua, dan seterusnya. Sebuah invers (inversion) dikatakan terjadidalam permutasi jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuahDefinisi : Permutasi bilangan-bilangan bulat adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghasilkan atau mengulangibilangan-bilangan tersebut.12 33 221 33 131 22 1
  • 23. bilangan bulat yang lebih kecil. Jumlah invers seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapatdiperoleh sebagai berikut:1) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari dan yang membawadalam mutasi tersebut.2) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari dan yang membawadalam mutasi tersebut.Teruskanlah proses penghitungan ini untuk . Jumlah bilangan-bilangan iniakan sama dengan jumlah invers seluruhnya dalam permutasi tersebut.Contoh :Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi-permutasi berikuta) (3, 4, 1, 5, 2)b) (4, 2, 5, 3, 1)Jawab:a) Banyaknya invers adalah 2 + 2 + 0 + 1 = 5b) Banyaknya invers adalah 3 + 1 + 2 + 1 = 7Contoh :Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari sebagai genap atau ganjil.PermutasiBanyaknyaInversKlasifikasi(1, 2, 3) 0 Genap(1, 3, 2) 1 Ganjil(2, 1, 3) 1 Ganjil(2, 3, 1) 2 Genap(3, 1, 2) 2 Genap(3, 2, 1) 3 GanjilDefinisi : sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah invers seluruhnyaadalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlahinvers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil.
  • 24. Fungsi DeterminanDefinisi : misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det,dan kita definiskan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlahdet(A) kita namakan determinan A.Contoh 5det =det =Caranya sebagai berikut :Dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasilkali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.Contoh 6Hitunglah determinan-determinan dari :A. =B. =Dengan menggunakan cara dari contoh 5 maka :det(A) = (3)(-2) – (1)(4) = -10dengan mnggunakan cara dari contoh 5 maka :det(A) = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240*Perhatian bahwa metode/cara yang digunakan pada contoh 5 dan 6 tidak berlakudeterminan matriks 4 x 4 atau untuk matriks yang lebih tinggi.
  • 25. 3.2 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARISMatriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri dibawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah(lower triangular), jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baikyang merupakan segitiga atas maupun segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).Contoh:Sebuah matriks segitiga atas 4 4 yang umum mempunyai bentukSebuah matriks segitiga bawah 4 4 yang umum mempunyai bentukContoh:= 1 . 1 . 7 = 7Teorema 1 : jika A adalah sembarang matriks kuadrat yang mengandung sebarisbilangan nol, maka det (A) = 0Teorema 2 : jika A adalah matriks segitiga , maka det (A) adalah hasil kalientri-entri pada diagonal utama; yakni det (A) = .Teorema 3: Misalkan A adalah sembarang matriks .a) Jika adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k,maka det = k det(A).b) Jika adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det = -det(A).c) Jika adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada barislain, maka det = det(A).
  • 26. Contoh :A = = - 2= = 4= 4 . (-2)= -8= == - (-2)= 2= == -2Contoh :A =Det (A) =Kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena dari Teorema 1 kita peroleh bahwadet (A) = 0. Dari contoh ini seharusnya sudah jelas bahwa bila matriks kuadrat mempunyaidua baris yang terdiri dari bilangan nol dengan menambahkan kelipatan yang sesuai darisalah satu baris ini pada baris yang satu lagi. Jadi, jika matriks kuadrat mempunyai duabaris yang sebanding, maka determinannya sama dengan nol.¼ Karena operasi perkalian makakebalikannya dikaliditukar Karena pertukaran antar barismaka dikali .Karena pertambahan antar barismaka tidak berpengaruh.
  • 27. Contoh :Karena baris pertama dan kedua sebanding yaitu 1 : 2 maka det (A) = 0.3.3 SIFAT-SIFAT FUNGSI DETEREMINANPernyataan. Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yangmengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan “kolom”disubstitusikan untuk “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlumentranspos (memindahkan) matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan kolomtersebut pada pernyataan baris, dan kemudian menerapkan hasil yang bersesuaian yang sudahkita ketahui untuk baris.ContohHitunglah determinan dariA =Determinan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan operasi bariselementer untuk mereduksi A pada bentuk eelon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh Apada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -3 kali kolom pertamapada kolom keempat untuk mendapatkanDet (A) = det =(1)(7)(3)(-26)= -546Contoh ini menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikanoperasi kolom yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut.Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n dan k adalah sebarang skalar. Kita karangmeninjau hubungan yang mungkin di antara det(A), det(B), dandet(kA), det(A + B), dan det(AB)Teorema 4. Jika A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).
  • 28. karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tandadet, dan karena setiap baris n baris dalam kA mempunyai factor bersama sebesr k, maka kitadapatkandet(kA) = kndet(A)ContohDengan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwadet )1(71401302571=741302571det +110302571detContohTinjaulah matriks-matriks1213A 8531B 143172ABKita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Sebaliknya dengan perhitungan langsung makadet(AB) = -23, sehingga det(AB) = det(A) det(B).ContohKarena baris pertama dan baris ketiga dariTeorema 5. Misalkan A, A’, dan A” adalah matiks n x n yang hanya berbeda dalamgaris tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapatdiperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari Adan dalam baris ke r dari A’. Makadet(A”) = det (A) + det (A’)Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.Teorema 6. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, makadet(AB) = det(A)det(B)Teorema 7. Sebuah matriks A kuadrat dapat di balik jika dan hanya jika det(A) 0
  • 29. 642101321ASebanding, maka det(A) = 0, jadi A tidak dapat dibalik3.4 EKSPANSI KOFAKTOR; ATURAN CRAMERPada bagian ini kita meninjau sebuah metode untuk mengitung determinan yangberguna untuk perhitungan yang menggunakan tangan dan secara teoritis pentingpenggunaannya. Sebagai konsekuensi dari kerja kita di sini, kita akan mendapatkan rumusuntuk invers dari matriks yang dapat dibalik dan juga akan mendapatkan rumus untukpemecahan sistem-sistem persamaan linear tertentu yang dinyatakan dalam determinan.Contoh :MisalkanMinor entri a11 adalahKofaktor a11 adalahC11 = (-1)1 + 1M11 = M11 = 16Demikian juga, minor entri a32 adalahKofaktor a32 adalahDefinisi : Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dandidefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke jdicoret dari A. Bilangan (-1)i+ jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.
  • 30. C32 = (-1)3 + 2M32 = M32 = – 26Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen aij hanya berbeda dalam tandanya, yakni, Cij =± Mij. Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakankenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke idan kolom ke j dari susunanMisalnya, C11 = M11, C21 = – M21, C12 = – M12, C22 = M22, dan seterusnya.Tinjaulah matriks 3 x 3 umumdapat kita tuliskan kembali menjadiKarena pernyataan-pernyataan dalam kurung tidak lain adalah kofaktor-kofaktor C11, C21 danC31, maka kita perolehPersamaan di atas memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikanentri-entri pada kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasilkalinya. Metode menghitung det(A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolompertama A.Contoh :Hitunglah det(A) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.
  • 31. Pemecahan.Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri dan kofaktor berasal dari baris ataukolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor det(A).Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks 3 x 3 membentuk kasus khusus dariteorema umum berikut, yang kita nyatakan tanpa memberikan buktinya.Maka, ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke jdan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke iJika matriks A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriksTeorema 8.Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entridalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasilkali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n
  • 32. Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakandengan adj(A).Teorema 9.Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, makaTeorema 10 (Aturan Cramer)Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangantakdiketahui sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yan unik.Pemecahan ini adalahdimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan mengganti entri-entri dalam kolom ke jdari A dengan entri-entri dalam matriks
  • 33. BAB IIIPENUTUPSaranAlangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itusulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematikaitu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.
  • 34. DAFTAR PUSTAKA Anton Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. www.google.com www.wikipedia.com