S3 algebre i (polycopie du cours)

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S3 algebre i (polycopie du cours)

  1. 1. Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et sociales RABAT ‫– اآ ال‬ ‫د‬ ‫وا‬ ‫ا‬ ‫ما‬ ‫وا‬ ‫ا‬ ‫آ‬ ‫اا ! ط‬ http://www.fsjesr.ac.ma Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre Module Matière : : : S3 M 12 (Méthodes Quantitatives III) Algèbre I Syllabus Objectif du cours Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et les applications linéaires ainsi que sur le calcul matriciel. Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation Calcul dans Notions élémentaires sur les ensembles Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Support du cours Cours magistraux (26h) Travaux dirigés (14h) Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : Espaces vectoriels réels I- Structure d’espace vectoriel réel II- Sous espaces vectoriels III- Combinaison linéaire - Système générateur IV- Système libre - système lié V- Ordre et rang d’un système de vecteurs VI- Base d’un espace vectoriel VII- Espace vectoriel de dimension fini Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition, matrices particulières) II- Matrices carrées III- Opérations sur les matrices IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan V- Matrice associée à un système de vecteurs VI- Matrice d’une application linéaire VII- Changement de base Chapitre 2 : Applications linéaires I- Définitions et généralités II- Opérations sur les applications linéaires III- Image et image réciproque IV- Noyau et image d’une application linéaire V- Applications linéaires injectives et surjectives VI- Rang d’une application linéaire Chapitre 4 : Calcul de déterminants I- Calcul d’un déterminant d’ordre n II- Propriétés des déterminants III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application linéaire Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 1
  2. 2. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL RÉEL I- Structure d’espace vectoriel réel .............................................................................................................. 2 I-1 L’espace vectoriel IRn...................................................................................................................................... 2 I-2 Espace vectoriel réel ........................................................................................................................................ 2 I-3 Propriétés ......................................................................................................................................................... 3 II- Sous espaces vectoriels ............................................................................................................................ 4 II-1 Définition et propriétés .................................................................................................................................. 4 II-1-1 Définition ......................................................................................................................................................................... 4 II-1-2 Propriétés : ....................................................................................................................................................................... 4 II-2 Intersection de sous espaces vectoriels ......................................................................................................... 4 II-3 Somme de sous espaces vectoriels ................................................................................................................. 5 III- Combinaison linéaire - système générateur ......................................................................................... 7 III-1 Combinaison linéaire.................................................................................................................................... 7 III-2 Système générateur ...................................................................................................................................... 7 IV- Système libre - système lié...................................................................................................................... 8 V- Ordre et rang d’un système de vecteurs .................................................................................................. 9 VI- Base d’un espace vectoriel ................................................................................................................... 10 VII- Espace vectoriel de dimension fini..................................................................................................... 11 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 1
  3. 3. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel I- Structure d’espace vectoriel réel I-1 L’espace vectoriel IRn Définition : Les éléments de Définition : On peut définir sur , sont des suites finies de n termes réels : , ,…, , , ,…, une loi de composition interne, l'addition, notée + par : , ,…, , ,…, , ,…, Propriétés de l'addition : Elle est associative : , , , Elle est commutative : , , Elle a un élément neutre : 0 0,0, … ,0 , Tout élément X a un opposé noté , / ,…, 0 / 0 0 Définition : On peut aussi définir sur une loi de composition externe, multiplication par un réel, noté "." ou parfois sans signe, par : , . , ,…, , ,…, Propriétés de la multiplication par un réel : 1. , , . . , , . . , , . . . L'ensemble . . , muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note ( ,+,.). I-2 Espace vectoriel réel Définition : Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne "+" (qui a deux éléments de E fait correspondre un élément de E) et d'une loi de composition externe "." (qui à un élément de et à un élément de E fait correspondre un élément de E) ayant les huit propriétés énoncées précédemment est appelé espace vectoriel réel. Ses éléments sont appelés vecteurs. On le note (E,+,.). Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2
  4. 4. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Exemples : 1) ( IR 3 ,+,.) est un e.v.r., où les lois " + " et " . " sont définies dans IR3 par : ∀x = ( x1 , x2 x3 ), ∀y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ IR 3 , ∀α ∈ IR :  x + y = x1 , x2 x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) α .x = α .( x , x , x ) = (αx ,αx , αx )  1 2 3 1 2 3 2) ( IF ( IR ),+,.) est un e.v.r., où les lois " + " et " . " sont définies dans IF (IR ) par : ∀f , g ∈ F ( IR ), ∀α ∈ IR, on a : ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )  (α . f )( x ) = αf ( x ) ∀x ∈ IR ∀x ∈ IR I-3 Propriétés Si ( E ,+ ,.) 1) 2) 3) 4) 5) 6) un espace vectoriel réel, alors ∀α , β ∈ IR , ∀x, y ∈ E , on a : α .0E = 0E 0 IR. x = 0 E α . x = 0E ⇒ α = 0 ou x = 0E ( −α ). x = −(α . x ) (α − β ). x = (α . x ) − ( β . x ) α .( x − y ) = (α . x ) − (α . y ) Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 3
  5. 5. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel II- Sous espaces vectoriels II-1 Définition et propriétés II-1-1 Définition Définition : Un sous ensemble F d’un espace vectoriel E est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de E ssi : 1) F ≠ φ 2) F est stable pour " + " : (∀x , y ∈ F x + y ∈ F) 3) F est stable pour " . " : (∀(α , x ) ∈ IR × F α.x ∈ F ) ssi : 1) F ≠ φ 2) ∀( x, y ) ∈ F 2 , ∀(α , β ) ∈ IR 2 α . x + β . y ∈ F Exemples : 1) ( P ( IR ),+,.) (l’ensemble des polynômes de degré ≤ n ) est un s.e.v. de ( F ( IR ),+,.) . 2) ( IR × {0},+,.) et ({0}× IR,+,.) sont des s.e.v. de ( IR 2 ,+,.) . II-1-2 Propriétés : Si E est un espace vectoriel, alors : 1) Tout sous espace vectoriel de E est un espace vectoriel. 2) L’intersection de n sous espaces vectoriels de E est un espace vectoriel. 3) ({0 E },+,.) est un sous espace vectoriel de E . 4) 0 E appartient à tous les sous espaces vectoriels de E . II-2 Intersection de sous espaces vectoriels Théorème : L'intersection de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous espace vectoriel de E . Remarque : La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel. Théorème : L'intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous espace vectoriel de E . Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 4
  6. 6. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel II-3 Somme de sous espaces vectoriels Définition : Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E . • • • La somme des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 + E2 , est égale à : E1 + E2 = {x ∈ E / ∃ ( x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 / x = x1 + x2 } La somme directe des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 ⊕ E2 , est égale à : E1 ⊕ E2 = {x ∈ E / ∃! ( x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 / x = x1 + x2 } Si E = E1 ⊕ E2 , alors les sous espaces vectoriels E1 et E2 sont dits sous espaces supplémentaires de E . Théorème : Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors E1 + E2 et E1 ⊕ E2 sont aussi des sous espaces vectoriels de E . Théorème : Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E , alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1) E = E1 ⊕ E2 2) E = E1 + E2 et E1 ∩ E2 = {0E } Exemple : E = F (IR ) : E = E1 ⊕ E2 , avec o E1 = { f ∈ E / f ( x ) = f ( − x ) ∀x ∈ IR} o E2 = { f ∈ E / f ( x ) = − f ( − x ) ∀x ∈ IR} (ensemble des fonctions paires) (ensemble des fonctions impaires) Pour montrer que E = E1 ⊕ E2 , il suffit de vérifier que E = E1 + E2 et E1 ∩ E2 = {0 E } . En effet : 1) E = E1 + E2 : 1   f1 ( x ) = 2 ( f ( x ) + f ( − x )) • Soit f ∈ E . On pose  1  f 2 ( x ) = ( f ( x ) − f ( − x ))  2 1  ⇒ f1 ∈ E1  f1 ( − x ) = 2 ( f ( − x ) + f ( x )) = f1 ( x )  • On a :  f ( − x ) = 1 ( f ( − x ) − f ( x )) = − f ( x ) ⇒ f ∈ E 2 2 2  2 2 et f ( x ) = f ( x ) + f ( x )  1 2 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 5
  7. 7. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel • Donc : ∀f ∈ E ∃ ( f1 , f 2 ) ∈ E1 × E2 / f = f1 + f 2 • D’où : E = E1 + E2 2) E1 ∩ E2 = {0E } : • Si f 0 ∈ E1 ∩ E2 , alors : • Donc : f 0 = OE , •  f 0 ( x ) = f 0 ( − x ) ∀x ∈ IR   f 0 ( x ) = − f 0 ( − x ) ∀x ∈ IR ( f 0 ∈ E1 ) ( f 0 ∈ E2 ) D’où : E1 ∩ E2 = {0E } ( f0 ( x) = 0 Professeure Salma DASSER ∀x ∈ IR ) Session Automne-hiver 6
  8. 8. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel III- Combinaison linéaire - système générateur III-1 Combinaison linéaire Définition : Dans un espace vectoriel E , on appelle une combinaison linéaire de n vecteurs u1 ,L, un , tout vecteur u de E qui peut s’écrire sous la forme : n u = α1u1 + L + α nun = ∑ α i ui , avec (α1 ,L, α n ) ∈ IR n i =1 Théorème : L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un sous espace vectoriel de E . III-2 Système générateur Définition : Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs {u1 , L , un } est un système générateur de E (ou que les vecteurs u1 ,L, un sont des vecteurs générateurs de E ) si tout vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des n vecteurs u1 ,L, un : (∀u ∈ E ) (∃α1 ,L, α n ∈ IR ) / u = α1u1 + L + α n un = ∑α i ui i =1 Le système {u1 , L , un } s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E . On dit aussi que le système {u1 , L , un } engendre E ou que E est engendré par le système {u1 , L , un }. On note E =< u1 , L , un > ou E = Vect {u1 ,L, un } Remarque : Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs u1 ,L, un est engendré par les vecteurs u1 ,L, un : n  En = ∑α i ui , α i ∈ IR, ui ∈ E  =< u1 ,L, un >  i=1  Exemple : IR × {0} =< u1 , u2 > , avec u1 = (1,0) et u2 = ( −1,0) : ∀( x,0) ∈ IR × {0}, ∃α , β ∈ IR /( x,0) = α .(1,0) + β .( −1,0) = (α − β ,0) il suffit de prendre par exemple α = x et β = 0 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 7
  9. 9. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel IV- Système libre - système lié Définition : n vecteurs u1 ,L, un d’un espace vectoriel E sont linéairement indépendants (le système {u1 , L , un } est un système libre) si : α1u1 + L + α n un = 0 E ⇒ α1 = L = α n = 0 n vecteurs u1 ,L, un d’un espace vectoriel E sont linéairement dépendants (ole système {u1 ,L , un } est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement indépendants : ∃ (α1 ,L, α n ) ≠ (0,L,0) / α1u1 + L + α n un = 0 E Exemples : Les vecteurs u1 = (1,0,1) , u2 = ( −1,1,1) et u3 = ( 0,1,0) de IR3 sont linéairement indépendants. Les vecteurs u1 = (1,0,1) , u2 = ( −1,1,1) et u3 = ( 0,1,2) de IR3 sont linéairement dépendants. Théorème : Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système. Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système alors tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système. Propriétés : 1) Le vecteur 0 E n’appartient à aucun système libre de E . 2) ∀u ∈ E / u ≠ 0 E , le système {u} est libre. 3) Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre. 4) Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié. Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 8
  10. 10. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel V- Ordre et rang d’un système de vecteurs Définition : L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système. Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants que l’on peut extraire de ce système. Exemples : S1 = {( 2,1), (1,1), (0,−1)} L’ordre de S1 est égal à 3 . Le rang de S1 est égal à 2 car : o Les vecteurs ( 2,1), (1,1) et (0,−1) sont linéairement dépendants (( 2,1) = 2.(1,1) + (0,−1)) , ce qui implique que rang( S1 ) < 3 . o Les vecteurs ( 2,1) et (1,1) sont linéairement indépendants, ce qui implique que rang( S1 ) = 2 . Propriétés : 1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre. 2) Dans un système lié de rang r , les vecteurs libres extraits en nombre r sont dits vecteurs principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des premiers. 3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces vecteurs. Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 9
  11. 11. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel VI- Base d’un espace vectoriel Définition : Une base d’un espace vectoriel E c’est tout système libre de vecteurs générateurs de E . Exemples : 1) {(1,0), (0,1)} est une base de IR 2 2) 3) 4) {1,0), (0,1), (1,1)} n’est pas une base de IR2 . {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} est une base de IR3 : on l'appelle la base canonique de IR3 . En général, {(1,0,L0),L, (0,L,1,L,0),L, (0,L,0,1)} est la base canonique de IR n . Théorème : Un système de vecteurs {u1 , L , un } est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs u1 ,L, un : n (∀u ∈ E ) (∃!α1 ,L, α n ∈ IR ) / u = α1u1 + L + α n un = ∑α i ui i =1 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 10
  12. 12. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel VII- Espace vectoriel de dimension fini Définition : Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un nombre fini n de vecteurs. Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note dim E = n . Exemple : IR n est un espace vectoriel réel de dimension n . Propriétés : Si E est un espace vectoriel réel de dimension n , alors : 1) 2) 3) 4) Toutes les bases de E ont le même ordre égal à n . L’ordre de tout système générateur de E est supérieur à n . L’ordre de tout système libre de E est inférieur à n . Si l’ordre d’un système libre ou générateur de E est égal à n , alors ce système est une base de E . 5) Si F est un sous espace vectoriel de E , alors F est un espace vectoriel réel de dimension fini m , avec m ≤ n . Si de plus m = n , alors F ≡ E . 6) Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels de E , alors : • dim( E1 + E2 ) = dim E1 + dim E2 − dim( E1 ∩ E2 ) • dim(E1 ⊕ E2 ) = dim E1 + dim E2 Théorème : Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E , E = E1 ⊕ E2 , alors dim E = dim E1 + dim E2 . u Si B1 = { 1 ,L, u p } et B2 = {v1 ,L, vq } sont deux bases respectives de E1 et E2 , alors B = {u1 ,L, u p , v1 ,L, vq } est une base de E . Théorème : Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Soient E1 et E2 deux sous espaces u vectoriels de E , de bases respectives B1 = { 1 ,L, u p } et B2 = {v1 ,L, vq }. Si B = {u1 ,L, u p , v1 ,L, vq } est une base de E alors E = E1 ⊕ E2 . Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 11
  13. 13. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires CHAPITRE 2 : APPLICATIONS LINÉAIRES I- Définitions et généralités ............................................................................................................... 13 I-1 Définitions ............................................................................................................................................ 13 I-2 Propriétés ............................................................................................................................................. 13 II- Opérations sur les applications linéaires ....................................................................................... 15 II-1 Addition .............................................................................................................................................. 15 II-2 Multiplication par un scalaire ............................................................................................................... 15 II-3 Composition de deux applications linéaires .......................................................................................... 15 III- Image et image réciproque par une application linéaire ............................................................... 16 IV- Noyau et image d’une application linéaire ................................................................................... 17 V- Applications linéaires injectives et surjectives ............................................................................... 18 VI- Rang d’une application linéaire ................................................................................................... 19 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 12
  14. 14. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires I- Définitions et généralités I-1 Définitions Définition : Soient E et F deux espaces vectoriels réels. On dit qu’une application f de E vers F est une application linéaire ssi : i) ∀( x, y ) ∈ E 2 : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ii) ∀(α , y ) ∈ IR × E : f (α . x ) = α . f ( x ) ssi ∀(α , β ) ∈ IR 2 , ∀( x, y ) ∈ E 2 : f (α . x + β . y ) = α . f ( x ) + β . f ( y ) Définition : Soient E et F • On dit que • On dit que • On dit que deux espaces vectoriels réels, et f une application linéaire de E vers F . f est un endomorphisme ssi E = F . f est un isomorphisme ssi f est bijective. f est un automorphisme ssi E = F et f est bijective. Exemples : 1) L’application f définie de IR 2 vers IR par f (( x , y )) = x + y est une application linéaire. 2) L’application f définie de IR 2 vers IR 2 par f (( x , y )) = ( y , x ) est un automorphisme. Définition : (égalité) Deux applications linéaires f et g définies de E vers F sont égales, f ≡ g , ssi ∀x ∈ E : f ( x ) = g ( x ) I-2 Propriétés I-2-1 Expression analytique d’une application linéaire Théorème : Soient ( E ,+ ,.) et ( F ,+,.) deux espaces vectoriels réels de dimensions finis. Toute application linéaire de ( E ,+ ,.) vers ( F ,+,.) est complètement déterminée par la donnée u de l’image d’une base B = { 1 ,L, u p } de ( E ,+ ,.) : Si x = ∑ xi ui alors f ( x ) = ∑ xi f (ui ) . p i =1 Professeure Salma DASSER p i =1 Session Automne-hiver 13
  15. 15. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Définition : Chapitre 2 : applications linéaires (expression analytique) p L’écriture f ( x ) = ∑ ai xi , où ai xi f (ui ) , s’appelle l’expression analytique de f i =1 relativement à la base B . I-2-2 Autres propriétés Soient E et F deux espaces vectoriels réels. Si f est une application linéaire de E vers F , alors : 1) f (0E ) = 0F : ∀x ∈ E , f (0 E ) = f ( x − x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 F 2) ∀x ∈ E , f ( − x ) = − f ( x ) : f ( − x ) = f (0 E − x ) = f (0 E ) − f ( x ) = 0 F − f ( x ) = − f ( x ) 3) ∀(α1 ,L, α n ) ∈ IR n , ∀( x1 ,L , xn ) ∈ E n : Professeure Salma DASSER f (α1. x1 + L + α n . xn ) = α1. f ( x1 ) + L + α n . f ( xn ) Session Automne-hiver 14
  16. 16. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires II- Opérations sur les applications linéaires Théorème : L’ensemble L( E , F ) des applications linéaires définies de E vers F , muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel réel. II-1 Addition Si f et g sont deux applications linéaires, définies de E vers F , alors l’application f + g , définie de E vers F par ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) , est une application linéaire. II-2 Multiplication par un scalaire Si f est une application linéaire définie de E vers F et α un réel, alors l’application (α . f ) définie de E vers F par (α . f )( x ) = α . f ( x ) est une application linéaire. II-3 Composition de deux applications linéaires Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels. • Si f est une application linéaire de E vers F et g une application linéaire de F vers G , alors l’application g o f est une application linéaire de E vers G . Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 15
  17. 17. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires III- Image et image réciproque par une application linéaire Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F . Définition : • Soit A un sous ensemble de E . On appelle l’image de A par f , et on note f ( A) l’ensemble : f ( A) = { f ( x ) / x ∈ A} = {y ∈ F / ∃ x ∈ A : f ( x ) = y} • Soit B un sous ensemble de F . On appelle l’image réciproque de B par f , et on note f −1 ( B ) l’ensemble : f −1 ( B ) = {x ∈ E / f ( x ) ∈ B} Théorème : Si A est un sous espace vectoriel de E , alors f ( A) est un sous espace vectoriel de F . Si B est un sous espace vectoriel de F , alors f −1 ( B ) est un sous espace vectoriel de E . Théorème : L’image d’un système générateur d’un sous espace vectoriel A de E est un système générateur du sous espace vectoriel f ( A) de F . L’image par f d’un système lié est un système lié. Si l’image par f d’un système est libre alors ce système est libre. Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 16
  18. 18. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires IV- Noyau et image d’une application linéaire Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F . Définition : • On appelle l’image de f , et on note Im( f ) , l’image de E par f : Im( f ) = f ( E ) = { f ( x ) / x ∈ E} = {y ∈ F / ∃ x ∈ E : f ( x ) = y} • On appelle le noyau de f et on note Ker ( f ) , l’image réciproque de {0F } par f : Ker ( f ) = f −1 ({0 F }) = {x ∈ E / f ( x ) = 0 F } Théorème : Im( f ) est un sous espace vectoriel de F . Ker ( f ) est un sous espace vectoriel de E . Théorème : Im( f ) est le sous espace vectoriel de F engendré par l’image d’une base quelconque de E Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 17
  19. 19. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires V- Applications linéaires injectives et surjectives E un espace vectoriel réel de dimension n et F un espace vectoriel réel de dimension p . f une application linéaire de E vers F . Théorème : ssi f est injective ssi f est surjective f est bijective, dim E = dim F ssi Ker( f ) = {0E } Im( f ) = F f est injective ssi f est surjective Corollaire : Si l’application linéaire f est injective alors dim E ≤ dim F . Si l’application linéaire f est surjective alors dim E ≥ dim F . Si l’application linéaire f est bijective alors dim E = dim F . Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 18
  20. 20. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires VI- Rang d’une application linéaire Définition : Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini et soit f une application linéaire de E vers F . On appelle le rang de l’application linéaire f , et on note rg ( f ) , la dimension de l’image de f : rg ( f ) = dim Im( f ) Théorème : Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini. Si f est une application linéaire de E vers F , alors : dim E = dim Ker ( f ) + dim Im( f ) = dim Ker ( f ) + rg ( f ) . Théorème : Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini. Si f est une application linéaire de E vers F , alors : f est injective ssi rg ( f ) = dim E f est surjective ssi rg ( f ) = dim F f est bijective ssi rg ( f ) = dim E = dim F Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 19
  21. 21. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices CHAPITRE 3 : MATRICES I- Généralités .................................................................................................................................... 21 I-1 Définition ............................................................................................................................................. 21 I-2 Matrices particulières ........................................................................................................................... 22 II- Matrices carrées ........................................................................................................................... 23 II-1 Diagonale d’une matrice carrée ............................................................................................................ 23 II-2 Matrice diagonale ................................................................................................................................ 23 II-3 Matrice triangulaire ............................................................................................................................. 24 II-4 Matrice symétrique.............................................................................................................................. 25 II-5 Matrice antisymétrique........................................................................................................................ 25 III- Opérations sur les matrices .......................................................................................................... 26 III-1 Egalité ................................................................................................................................................ 26 III-2 Addition ............................................................................................................................................. 26 III-3 Multiplication par un scalaire .............................................................................................................. 26 III-4 Produit de deux matrices .................................................................................................................... 27 III-5 Puissance d’une matrice...................................................................................................................... 29 III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices................................................................................................. 31 IV- Matrice inversible........................................................................................................................ 32 V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan ................................................................................. 33 V-1 Principe de la méthode ........................................................................................................................ 33 V-2 Exemples ............................................................................................................................................. 33 VI- Matrice associée à un système de vecteurs .................................................................................. 36 VII- Matrice d’une application linéaire .............................................................................................. 37 VIII- Changement de base ................................................................................................................. 39 VIII-1 Matrice de passage ........................................................................................................................... 39 VIII-2 Coordonnés d’un vecteur .................................................................................................................. 40 VIII-3 Application linéaire........................................................................................................................... 41 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 20
  22. 22. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices I- Généralités I-1 Définition Définition : • On appelle une matrice A , de type ( n, p ) ( n, p ∈ IN * ) à coefficients réels, un tableau de n lignes et p colonnes constituées de nombres réels, dits coefficients de la matrice A . On note par : a11 L a1 j L a1 p    M M M M  M A = ai1 L aij L aip  ← ligne i   M M M M  M a L anj L anp   n1  ↑ colonne j • On appelle le coefficient aij ,1≤i≤n ,1≤ j ≤ p de la matrice A , l’élément d’intersection de la • ligne i et la colonne j . On note aussi la matrice A par : • i désigne l' indice de la ligne   j désigne l' indice de la colonne On note M ( n, p ) l’ensemble des matrices de type ( n, p ) . A = ( aij ),1≤i≤n ,≤ j ≤ p , Exemples : 1 2 3  ♦ A=  4 5 6  ∈ M ( 2,3)    1 ♦ C =   ∈ M (2,1)  2   1 4    B =  2 5  ∈ M (3,2) 3 6   D = (1 2 ) ∈ M (1,2) Professeure Salma DASSER E = (1) ∈ M (1,1) Session Automne-hiver 21
  23. 23. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices I-2 Matrices particulières I-2-1 Matrice ligne ( A ∈ M (1, p )) C’est toute matrice A de type (1, p ) , I-2-2 Matrice colonne ( A ∈ M ( n,1)) C’est toute matrice A de type (n,1) , I-2-3 Matrice nulle C’est la matrice de M ( n, p ) dont tous les coefficients aij son nuls. On note 0n, p . I-2-4 Matrice unité ou identité aii = 1 C’est la matrice de M ( n, n ) dont les coefficients aij vérifient  . On note I n . aij = 0 si i ≠ j I-2-5 Matrice opposée La matrice opposée d’une matrice A de M ( n, p ) c’est la matrice B de M ( n, p ) dont les coefficients sont les opposés de ceux de la matrice A . On note B = ( − A) : bij = − aij , 1≤ i ≤ n 1≤ j ≤ p , B = ( − A) ssi A = (− B ) I-2-6 Matrice transposée La matrice transposée d’une matrice A de M ( n, p ) c’est la matrice B de M ( p, n ) dont les lignes sont les colonnes de la matrice A et les colonnes sont les lignes de la matrice A . On note B=t A : bij = a ji , 1≤ j ≤ n 1≤ i ≤ p , B=t A ssi A=t B Exemples ♦ D et E sont des matrices lignes ♦ C et E sont des matrices colonnes ♦ A = (1 2 3) ∈ M (1,3) : (− A) = (− 1 − 2 − 3) ∈ M (1,3) 1 2 ♦ A=  3 4  ∈ M ( 2,2) :     −1 − 2 ( − A) =   − 3 − 4  ∈ M (2,2)    t 1   A =  2  ∈ M (3,1)  3   1 A= 2  1  1 3 5   − 1 − 3 − 5 t ♦ A=  2 4 6  ∈ M ( 2,3) : ( − A) =  − 2 − 4 − 6  ∈ M ( 2,3) A =  3        5  Professeure Salma DASSER t 3  ∈ M ( 2,2) 4  2  4  ∈ M (3,2) 6  Session Automne-hiver 22
  24. 24. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices II- Matrices carrées Définition : • On appelle matrice carrée d’ordre n toute matrice de type • On note M (n ) l’ensemble des matrices de type ( n , n ) . (n, n ) . II-1 Diagonale d’une matrice carrée Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n . Les coefficients ( aii )1 ≤ i ≤ n sont dits éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A et constitue la diagonale principale de la matrice A . Exemple : 1 2 ♦ A=  3 4  . Les éléments diagonaux de la matrice A sont a11 = 1 et a22 = 4 .    II-2 Matrice diagonale Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n . On dit que la matrice A est une matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux ( aij = 0 si i ≠ j ) de la matrice sont nuls : Exemples : 1 0 ♦ A=  0 2    ♦ Matrice scalaire a 0 L 0   0 O O M  A= , ( a ∈ IR ) M O O 0  0 L 0 a     1 0 L 0   0 O O M  ♦ Matrice unité ou matrice identité (matrice scalaire avec a = 1 ) : I n =  M O O 0   0 L 0 1    Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 23
  25. 25. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices II-3 Matrice triangulaire Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n . • On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si tous ses éléments au dessus de la diagonale principale sont nuls ( aij = 0 si i < j ) :  a11   a 21 A= M  a  n1 • 0 O O L L 0   O M  , (( aij )1≤i , j≤n ∈ IR ) O 0   an ( n −1) ann   On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si tous ses éléments au dessous de la diagonale principale sont nuls ( aij = 0 si i > j ) :  a11  0 A= M  0  a12 L a1n   O O M  , (( aij )1≤i , j≤n ∈ IR ) O O a( n−1) n   L 0 a nn   Exemples :  0 0 0   1 ♦  0 − 1 0  et  3   1 0 2   1 2 0   1 ♦  0 − 1 3 et  0  0 0 2   0  sont des matrices triangulaires inférieures. 2  3  sont des matrices triangulaires supérieures. 2  Remarque : ♦ Si une matrice A est triangulaire supérieure alors sa matrice transposée t A est triangulaire inférieure et inversement. Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 24
  26. 26. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices II-4 Matrice symétrique Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n . • On dit que la matrice A est une matrice symétrique si elle est égale à sa matrice ( a ji = aij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n ) transposée : A=tA Exemples : 2 4 − 2  1   5 3  2 −3 ♦ A= 4 5 −1 2   − 2 3 2 1   1 2 0   A =  1 − 1 3 2 3 2    1 3 A=  3 2    II-5 Matrice antisymétrique Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n . • On dit que la matrice A est une matrice antisymétrique si sa matrice transposée est t ( a ji = −aij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n ) égale à sa matrice opposée : A = ( − A) Exemples : 4 2  0 −2   0 −5 3  2 ♦ A= −4 5 0 − 2   − 2 − 3 2 0   2  0 −1   A =  1 0 − 3 − 2 3 0    0 − 3 A= 3 0     Remarque : ♦ Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls : ( a ji = −aij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n ) ⇒ ( aii = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n ) Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 25
  27. 27. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices III- Opérations sur les matrices III-1 Egalité Définition : Deux matrices A et B de M ( n, p ) sont égales si elles ont les mêmes coefficients : • A ≡ B ssi aij = bij , ∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p , avec A = ( aij ) et B = (bij ) Propriété : ♦ t A≡ t B ssi A≡ B III-2 Addition Définition : • Soient A et B deux matrices de M ( n, p ) . La matrice C de M ( n, p ) définie par : cij = aij + bij (∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ) s’appelle la matrice somme des matrices A et • B. On note C = A + B . Propriétés : ♦ ∀A, B, C ∈ M ( n, p ) : ( A + B) + C = A + (B + C ) ♦ ∀A, B ∈ M ( n, p ) : A + B = B + A ♦ ∀A, B ∈ M ( n, p ) : t ( A + B ) = t A+ t B Exemple : 2 1  1 2 3  3  1 + 3 2 + 2 3 + 1  4 4 4  A=  4 5 6  et B =  − 1 − 2 − 3 ⇒ A + B =  4 − 1 5 − 2 6 − 3 =  3 3 3                III-3 Multiplication par un scalaire Définition : • Soient A une matrice de M ( n, p ) et α un réel (α ∈ IR ) . La matrice C de M ( n, p ) définie par : cij = αaij (∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ) s’appelle la matrice produit externe de • la matrice A par le scalaire α . On note C = α . A . Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 26
  28. 28. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Propriétés : ♦ ∀A ∈ M ( n, p ) , ∀α , β ∈ IR : ♦ ∀A, B ∈ M ( n, p ) , ∀α ∈ IR : (α + β ). A = α . A + β . A α .( A + B ) = α . A + α . B Exemples : ♦ A ∈ M ( n, p ) et α = 1 ♦ A ∈ M ( n, p ) et α = 0 ⇒ 1. A = A ⇒ 0. A = 0n , p  1 2 − 1 ♦ A=  2 1 − 2  et α = −3 :    ( −3) × 1 ( −3) × 2 ( −3) × ( −1)   − 3 − 6 3  ( −3). A =   ( −3) × 2 ( −3) × 1 ( −3) × ( −2)  =  − 6 − 3 6         III-4 Produit de deux matrices III-4-1 Définition et propriétés Définition : • Soient A une matrice de M ( n, m ) et B une matrice de M ( m, p ) . La matrice C de m M ( n, p ) définie par : cij = ∑ aik bkj (∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ) s’appelle la matrice k =1 • • produit de la matrice A par la matrice B . On note C = A × B . On ne peut effectuer la multiplication de deux matrices A et B que si le nombre des colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B (ici m ). Propriétés : ♦ ∀A ∈ M ( n, m ) , B ∈ M ( m, p ) , C ∈ M ( p, q ) : ( A × B ) × C = A × ( B × C ) ∈ M ( n, q ) ♦ ∀A ∈ M ( n, m ) , ∀B , C ∈ M ( m, p ) : A × ( B + C ) = ( A × B ) + ( A × C ) ∈ M (n, p ) t ♦ ∀A ∈ M ( n, m ) et ∀B ∈ M ( m, p ) : ( A × B ) = t B×t A ∈ M ( p, n ) Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 27
  29. 29. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices III-4-2 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne :  b1 j    M  Soient A = ( ai1 ,L, aik ,L, aim ) une matrice ligne ( A ∈ M (1, m )) et B =  bkj  une matrice   M  b   mj  colonne ( B ∈ M ( m,1)) . La matrice C = A × B est alors égale au scalaire défini par : C = ai1b1 j + L + aik bkj + L + aim bmj , ( A ∈ M (1,1))  − 2    0 Exemple : A = (1,2,−1,0,−2) et B =  2  :    1  − 1   A × B = 1 × ( −2) + 2 × 0 + ( −1) × 2 + 0 × 1 + ( −2) × ( −1) = −2 III-4-3 Calcul pratique du produit matriciel : Soient A une matrice de M ( n, m ) et B une matrice de M ( m, p ) : a11 M  A =  a i1  M  a n1  L a1m  M M   L aim  ← ligne Li  M M  L a nm   L a1k M M L aik M M L ank , b11  M B = bk 1  M b  m1 L b1 j M M L bkj M M L bmj L b1 p   M M  L bkp   M M  L bmp   ↑ colonne C j Pour obtenir le coefficient Pij de la matrice produit P = A × B ,on fait le produit de la ligne Li de la matrice A ( Li : matrice ligne) par la colonne C j de la matrice B ( C j : matrice colonne) :  L1C1  M P =  LiC1  M L C  n 1 L L1C j M M L Li C j M M L LnC j L L1C p   M M  L LiC p  , P ∈ M ( n, p )  M M  L LnC p   Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 28
  30. 30. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Exemples :  1 2 − 1 ♦ A=  2 1 − 2    et  1 0   B =  0 − 1 :  1 0   A ∈ M ( 2,3) et B ∈ M (3,2) ⇒ ( A × B ) ∈ M ( 2,2) et ( B × A) ∈ M (3,3)  L ×C A× B =  1 1  L ×C 1  2 L1 × C2   0 − 2  =  L2 × C2   0 − 1     L1 × C1  B × A =  L2 × C1  L ×C  3 1 L1 × C2  1 2 − 1 ♦ A=  2 1 − 2    L2 × C2 L2 × C3 et L1 × C3   1 2 − 1    L2 × C3  =  − 2 − 1 2  L3 × C3   1 2 − 1    0 1  1 0   B= 0 1 1 0  − 1 0 − 1 0   A ∈ M ( 2,3) et B ∈ M (3,4) ⇒ ( A × B ) ∈ M ( 2,4)  L × C1 A× B =  1 L ×C 1  2 L1 × C2 L2 × C2 L1 × C3 L2 × C3 L1 × C4   2 2 3 1 =  L2 × C4   4 1 3 2     On ne peut pas effectuer la multiplication B × A . III-5 Puissance d’une matrice Définition : • Soit A une matrice carrée d’ordre n ( A ∈ M ( n )) . On définit les puissances de la matrice A par : A p = 1 L4A (∀p ∈ IN * ), ∀A ∈ M ( n ) , A4 × ×2 3 avec A0 = I n p fois Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 29
  31. 31. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Théorème : Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n ( A, B ∈ M ( n )) . Si les matrices A et B commutent ( A × B = B × A) , alors : p p ( A + B ) p = ∑C p Ak .B p − k = ∑ C p A p − k .B k k k =0 k k =0 Cette formule s’appelle la formule de Newton. Exemple :  2 0 A=  1 2    et  1 0 B=  − 1 1    ♦ Les matrices A et B commutent :  2 0 A× B =   −1 2    et  2 0 B× A =   −1 2    ♦ Le calcul direct de ( A + B ) 2 :  3 0 A+ B =   0 3    et ( A + B ) 2 = ( A + B ) × ( A + B )  9 0 ⇒ ( A + B) 2 =   0 9    ♦ La formule de Newton pour le calcul de ( A + B ) 2 : ( A + B ) 2 = A2 + 2. A × B + B 2  4 0 2  1 0  2 0 A2 = A × A =  , B = B× B =   et A × B =   4 4  − 2 1  −1 2         9 0 ⇒ ( A + B) 2 =   0 9    Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 30
  32. 32. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices ♦ M (n ) est un espace vectoriel réel de dimension n 2 : La matrice nulle est l’élément neutre pour la loi " + ". Le symétrique de la matrice A pour la loi " + " est égal à sa matrice opposée. B = {Eij , 1 ≤ i, j ≤ n } est une base de M (n ) , 1 ( Eij ) mn =  0 0 M  si ( m, n ) = (i, j ) : Eij = 0 sinon  M 0  L 0 L 0 M M M M  L 1 L 0 ← ligne i  M M M M L 0 L 0  ↑ colonne j La base B s’appelle la base canonique de M (n ) . ♦ La matrice identité est l’élément neutre pour la loi " × ". 1 0   0 1  0 1 1 0   ♦ En général A × B ≠ B × A : 1 0  ×  0 1 ≠  0 1 × 1 0                  1 0  0 0  0 0  ♦ En général A × B = 0n ⇒ A = 0n ou B = 0n : /  0 0 ×  0 1 =  0 0            Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 31
  33. 33. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices IV- Matrice inversible Définition : • Une matrice carrée A d’ordre n ( A ∈ M ( n )) est dite inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre n ( B ∈ M ( n )) telle que : A × B = B × A = In • • On note B = A−1 La matrice B = A−1 s’appelle la matrice inverse de la matrice A . Exemples : 1 2   3 − 2  1 0 A× B = B × A =  B= ,  : ♦ A= 1 3   −1  0 1 = I 2  1       −1 La matrice A est alors inversible et A = B .  0 1  a b ∀B =  , ♦ A=  0 0 c d :      La matrice A est alors non inversible. c d  0 a A× B =   ≠ I2 & B × A =  0 0   0 c  ≠ I2      Théorème : Si deux matrices A et B de M ( n ) sont inversibles alors la matrice A × B est inversible et ( A × B ) −1 = B −1 × A−1 . En particulier si une matrice A de M (n ) est inversible alors la matrice ( A) p , p ∈ IN * est inversible et ( A p ) −1 = ( A−1 ) p . Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 32
  34. 34. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan V-1 Principe de la méthode La majorité des méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice font appel à la notion de déterminant qu’on étudiera au chapitre suivant. Dans ce paragraphe, on exposera une méthode ne faisant pas appel à cette notion. Cette méthode, dite méthode de Gauss-Jordan, consiste à transformer la matrice A en I n et par la même occasion la matrice I n en A−1 en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, type addition à chaque ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire ou permutation des lignes. Si au bout d’un certain nombre de transformations, on voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement nulle, il devient alors impossible de faire apparaître les coefficients de la matrice I n dans la matrice A . On en conclut que la matrice A est non inversible. V-2 Exemples V-2-1 Matrice inversible : 3 − 1  2   A =  −1 − 2 1  2 4 − 1   Exposé de la méthode : ♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice I 3 dans la colonne droite, et on effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice I 3 pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice I 3 à gauche et les coefficients de la matrice A−1 apparaîtront ainsi à droite: ♦ On écrit A à gauche et I 3 à droite : 3 − 1 1 0 0   2    1 0 1 0  −1 − 2  2 4 − 1 0 0 1    L1 → (1 / 2).L1 :  1 3 / 2 − 1 / 2  1 / 2 0 0     1  0 1 0  −1 − 2  2 4 − 1  0 0 1     ♦ On multiplie la 1ère ligne par (1 / 2 ) : Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 33
  35. 35. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices L2 → L2 + L1 ♦ On ajoute à la 2ème ligne la 1ère ligne : ♦ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (−2) : L3 → L3 − 2L1  1 3 / 2 − 1 / 2  1 / 2 0 0     1 / 2  1 / 2 1 0   0 − 1/ 2 0 1 0  − 1 0 1    ♦ On échange la 2ème ligne et la 3ème ligne : L2 ↔ L3  1 3 / 2 − 1 / 2  1 / 2 0 0     1 0  − 1 0 1 0  0 − 1/ 2 1 / 2  1 / 2 1 0     ♦ On ajoute à la 1ère ligne la 2ème ligne multipliée par (−3 / 2) : L1 → L1 − (3 / 2) L2 ♦ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (1 / 2) : L3 → L3 + (1 / 2) L2  1 0 − 1 / 2  2 0 − 3 / 2     0  − 1 0 1 0 1 0 0 1 / 2  0 1 1/ 2     ♦ On ajoute à la 1ère ligne la 3ème ligne : L1 → L1 + L3 0  2 1 − 1 1 0    0  − 1 0 1 0 1  0 0 1 / 2  0 1 1 / 2     ♦ On multiplie la 3ème ligne par ( 2) : L3 → 2.L3  1 0 0  2 1 − 1    1  0 1 0  − 1 0  0 0 1 0 2 1    ♦ On voit ainsi apparaître à la place de la matrice A la matrice identité I 3 . La matrice qui apparaît simultanément à la place de la matrice identité I 3 n’est autre que la matrice A−1 . 3 − 1  1 0 0  3 − 1 2 1 − 1  2 1 − 1 2  2         1 − 1 − 2 1 =  0 1 0  1 − 1 0 1 =  − 1 0 ♦ En effet :  − 1 − 2  2 4 − 1 0 2 1  0 2 1 2 4 − 1  0 0 1         Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 34
  36. 36. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] V-2-2 Matrice non inversible : Chapitre 3 : matrices 1 0 1   A =  0 1 0 1 1 1   Exposé de la méthode : ♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice I 3 dans la colonne droite, et on effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice I 3 pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice I 3 à gauche et les coefficients de la matrice A−1 apparaîtront ainsi à droite: ♦ On écrit A à gauche et I 3 à droite :  1 0 1 1 0 0      0 1 0  0 1 0   1 1 1 0 0 1    ♦ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (−1) : L3 → L3 − L1  1 0 1 1 0 0      0 1 0  0 1 0   0 1 0  − 1 0 1    ♦ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par ( −1) : L3 → L3 − L2  1 0 1 1 0 0     1 0  0 1 0  0  0 0 0  − 1 − 1 1    ♦ On voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement nulle ( L3 ), la matrice A est alors non inversible. Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 35
  37. 37. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices VI- Matrice associée à un système de vecteurs Définition : Soit ( E ,+ ,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base B = {e1 , L , en }. u Soit un système de p vecteurs de E , S = { 1 , L, u p }. • u On appelle la matrice du système S = { 1 , L, u p }, relativement à la base B = {e1 , L , en } , la matrice suivante : a11  M A =  ai 1  M a  n1 ↑ u1 L a1 j L a1 p  ← e1  M M M M  L aij L aip  ← ei  M M M M  L anj L anp  ← en  ↑ uj ↑ up où la colonne j de la matrice A est formée des coordonnées du vecteur u j du système S = { 1 , L, u p } dans la base B = {e1 , L , en }: u j = ∑ aij ei , j = 1, p u n i =1 • On note A = M ( S / B ) : ( A ∈ M ( n, p )) Remarque : ♦ La matrice A dépend de la base B choisie. Exemple : ♦ E = IR3 ♦ B = {e1 , e2 , e3 } la base canonique de IR3 : e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) et e3 = (0,0,1) . ♦ S = {u1 , u2 , u3 } : u1 = (2,0,−2) , u2 = (1,−2,1) et u3 = (0,−2,3) : u1 = ( 2,0,−2) = 2.(1,0,0) + 0.(0,1,0) + ( −2).(0,0,1)   u2 = (1,−2,1) = 1.(1,0,0) + ( −2).(0,1,0) + 1.(0,0,1) ⇒  u3 = (0,−2,3) = 0.(1,0,0) + ( −2).(0,1,0) + 3.(0,0,1)  1 0 ← e1  2   A =  0 − 2 − 2 ← e2 − 2 1 3 ← e3   ↑ u1 Professeure Salma DASSER ↑ u2 ↑ u3 Session Automne-hiver 36
  38. 38. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices VII- Matrice d’une application linéaire Définition : Soient ( E ,+ ,.) un espace vectoriel réel de dimension p , muni d’une base B = { 1 ,L, u p } et ( F ,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base u B ' = {v1 ,L, vn }. Soit f une application linéaire de ( E ,+,.) vers ( F ,+,.) . • La matrice de f relativement aux bases B et B ' , notée par M ( f / B, B ' ) c’est la matrice du système S = {f (u1 ),L, f (u p )}, relativement à la base B' = {v1 , L , vn }. Remarques : u ♦ Si B = { 1 ,L, u p } et B ' = {v1 ,L, vn } alors : L a1 j L a1 p  ← v1  M M M M  L aij L aip  ← vi  M M M M  ,  ← vn L anj L anp  ↑ ↑ ↑ f (u j ) f (u p ) f (u1 ) a11  M M ( f / B , B ' ) =  a i1  M a  n1 ( M ( f / B, B ' ) ∈ M ( n, p )) ♦ La colonne j de la matrice M ( f / B, B ' ) représente les coordonnées du vecteur  f (u1 ) = a11v1 + L + ai1vi + L + an1vn  M  f (u ) = a v + L + a v + L + a v j 1j 1 ij i nj n f (u j ) dans la base B ' :  M   f (u p ) = a1 p v1 + L + aip vi + L + anp vn  ♦ La matrice M ( f / B, B ' ) dépend des bases choisies B et B ' . Exemple : E = IR 2 , F = IR3 : f ( x, y ) = ( x − y , x + y , y − x ) ♦ B = {u1 ,u2 } la base canonique de IR 2 : ♦ B ' = {v1 , v2 , v3 } la base canonique de IR3 : Professeure Salma DASSER u1 = (1,0) et u2 = (0,1) . v1 = (1,0,0) , v2 = (0,1,0) et v3 = ( 0,0,1) . Session Automne-hiver 37
  39. 39. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] • Chapitre 3 : matrices  1 − 1   ⇒ M ( f / B, B ' ) =  1 1 − 1 1    f (u1 ) = (1,1,−1) = v1 + v2 − v3    f (u2 ) = ( −1,1,1) = − v1 + v2 + v3  ♦ B = {u1 , u2 } une base de IR 2 : u1 = (1,1) et u2 = ( −1,1) v1 = (1,1,1) , ♦ B ' = {v1 , v2 , v3 } une base de IR : 3 v2 = (0,1,0) et v3 = ( −1,−1,1) •  0 0   ⇒ M ( f / B , B ' ) = 2 2  0 2    f (u1 ) = (0,2,0) = 2v2    f (u2 ) = ( −2,0,2) = 2v2 + 2v3  ♦ M ( f / B , B ' ) ≠ M ( f / B, B ' ) Théorème : (matrice de la composée) Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B ' et B ' ' . Si f : E a F et g : F a G sont deux applications linéaires alors : M ( g o f / B , B " ) = M ( g / B ' , B" ) × M ( f / B , B ' ) Exemple : E = IR 3 , F = IR 2 et G = IR 2 : f ( x, y , z ) = ( x + y , y + z ) et g ( x , y ) = ( y , x ) ♦ B = {e1 , e2 , e3 } la base canonique de IR 3 : ♦ B' = B" = {ε1 , ε 2 } la base canonique de IR 2 : e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) et e3 = (0,0,1) ε1 = (1,0) et ε 2 = (0,1) .  1 1 0 f ( x , y , z ) = ( x + y , y + z ) ⇒ M ( f / B, B ' ) =   0 1 1     0 1 ♦ g ( x, y ) = ( y , x ) ⇒ M ( g / B' , B" ) =   1 0    ♦  0 1 1 ♦ ( g o f )( x, y , z ) = ( y + z, x + y ) ⇒ M ( g o f / B, B" ) =   1 1 0    ♦ M ( f o g / B , B " ) = M ( g / B ' , B" ) × M ( f / B , B ' ) :  0 1   1 1 0   0 1 1 M ( g / B' , B" ) × M ( f / B, B' ) =   1 0  ×  0 1 1 =  1 1 0  = M ( g o f / B, B" )            Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 38
  40. 40. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices VIII- Changement de base VIII-1 Matrice de passage Définition : Soient B = {u1 , L , un } et B ' = {v1 ,L, vn } deux bases d’un espace vectoriel réel E . On appelle la matrice de passage de la base B à la base B ' et on note PBB' , la matrice du système B' = {v1 , L , vn } relativement à la base B = {u1 , L , un } . Remarques : u ♦ Si B = { 1 ,L, u p } et B ' = {v1 ,L, vn } alors : PBB ' a11  M =  a i1  M a  n1 ↑ v1 L a1 j L a1n  ← u1  M M M M  L aij L ain  ← ui  M M M M  ,  ← un L a nj L ann  ↑ vj ( PBB ' ∈ M ( n )) ↑ vn ♦ La colonne j de la matrice de passage PBB' représente les coordonnées du vecteur v j dans la base B : v1 = a11u1 + L + ai1ui + L + an1un  M v = a u + L + a u + L + a u 1j 1 ij i nj n  j M  vn = a1n u1 + L + ain ui + L + annun  ♦ Si B et B ' sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors : • PBB = I n , où Id est l’application identité de E . • PBB ' = M ( Id / B' , B ) , où Id est l’application identité de E . Théorème : Si B = {u1 , L , un } et B ' = {v1 ,L, vn } sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors la matrice de passage de B à B ' , est inversible et ( PBB ' ) −1 = PB ' B . Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 39
  41. 41. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Exemple : Chapitre 3 : matrices  B = {e1 , e2 }: e1 = (1,0), e2 = (0,1)  Dans IR2 , on considère les bases B et B ' :   B' = {e'1 , e'2 }: e'1 = (1,1), e'2 = ( −1,1)  e'1 = (1,1) = e1 + e2 1 − 1  ⇒ PBB ' =    e'2 = ( −1,1) = −e1 + e2 1 1  1 1  e1 = (1,0) = 2 e'1 − 2 e' 2  1 / 2 1 / 2 ⇒ PB ' B =    1 1  − 1 / 2 1 / 2 e1 = (0,1) = e'1 + e' 2  2 2 VIII-2 Coordonnés d’un vecteur Théorème : Soient B = {u1 , L , un } et B ' = {v1 ,L, vn } sont deux bases d’un espace vectoriel réel E . Soit un x vecteur de E . n  x = x1u1 + L + xn un = ∑ xi ui   i =1 Si  alors : X = PBB ' . X ' et X ' = PB ' B . X , n  x = x '1 v1 + L + x 'n vn = ∑ x ' j v j  j =1   x1   x '1      avec X =  M  et X ' =  M  x   x'   n  n  B = {e1 , e2 }: e1 = (1,0), e2 = (0,1)  E = IR 2 et  deux bases de E = IR 2  B' = {e'1 , e'2 }: e'1 = (1,1), e'2 = ( −1,1)   x = 2e1 − e2  x'   2  ♦ x = ( 2,−1) ∈ IR 2 : ⇒ X =   et X ' =  1    − 1  x'   x = x '1 e'1 + x '2 e'2    2   x'  ♦ Calcul direct de X ' =  1  : x = x'1 e'1 + x'2 e'2 ⇒ ( 2,−1) = x'1 (1,1) + x' 2 ( −1,1)  x'   2 Exemple :  x' − x' = 2  x' = 1 / 2 ⇒ 1 2 ⇒ 1  x '1 + x '2 = −1  x '2 = −3 / 2  1/ 2  ⇒ X '=   − 3/ 2     x'  ♦ Calcul de X ' =  1  par la formule de changement de base X ' = PB ' B . X :  x'   2  1/ 2   1 / 2 1 / 2  1 / 2 1 / 2  2  PB ' B =  . − 1 ⇒ X ' =  − 3 / 2   ⇒ X ' = PB ' B . X =       − 1 / 2 1 / 2  − 1 / 2 1 / 2     Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 40
  42. 42. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices VIII-3 Application linéaire Théorème : Soient ( E ,+ ,.) et ( F ,+,.) deux espaces vectoriels réels munis respectivement des u bases B = { 1 ,L, u p } et B ' = {v1 ,L, vn }. Soient f une application linéaire de E vers F et x vecteur de E . p   x = x1u1 + L + x p u p = ∑ xi ui  i =1 Si  n  f ( x ) = y1v1 + L + yn vn = ∑ y j v j  j =1   x1   y1      où : X =  M  et Y =  M  . x  y   n  p Exemple : alors Y = M ( f / B, B ' ). X , E = IR 2 et F = IR3 : f ( x , y ) = ( x − y , x + y , y − x ) ♦ B = {u1 ,u2 } la base canonique de IR2 : u1 = (1,0) et u2 = (0,1) . ♦ B ' = {v1 , v2 , v3 } la base canonique de IR3 : v1 = (1,0,0) , v2 = (0,1,0) et v3 = ( 0,0,1) .  1 − 1   ⇒ M ( f / B, B ' ) =  1 1 − 1 1   x  x = x1u1 + x2u2 ⇒ X =  1  x   2  f (u1 ) = (1,1,−1) = v1 + v2 − v3  ♦   f (u2 ) = ( −1,1,1) = − v1 + v2 + v3  ♦ Soit x = ( x1 , x2 ) ∈ IR 2 :  1 − 1  y1   x1 − x2      x1     x1   ♦ Y = M ( f / B, B ' ). X ⇒  y2  = M ( f / B, B ' ).  =  1 1.  =  x1 + x2  x  x   2   2 x − x  y  1 1  3  2 − 1   y1   1 − 1  3     2   2   2 ♦ Si x = ( 2,−1) ∈ IR , alors X =   et  y2  =  1 1.  =  1  − 1  − 1   y       − 3 1  3  − 1   Théorème : Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers F . Si B1 et B '1 sont deux bases de E , B2 et B'2 deux bases de F alors : M ( f / B '1 , B ' 2 ) = PB '2 B2 . M ( f / B1 , B2 ). PB1B '1 = ( PB2 B '2 ) −1 . M ( f / B1 , B2 ). PB1B '1 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 41
  43. 43. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices E = IR 2 et F = IR3 : f ( x , y ) = ( x − y , x + y , y − x ) Exemple : ♦ Dans IR2 , on considère les bases o B1 = {u1 , u2 } : u1 = (1,0) et u2 = (0,1) o B1 = {u1 , u2 } : u1 = (1,1) et u2 = ( −1,1) ♦ Dans IR3 , on considère les bases o B2 = {v1 , v2 , v3 } : v1 = (1,0,0) , v2 = (0,1,0) et v3 = ( 0,0,1) o B2 = {v1 , v2 , v3 } : v1 = (1,1,1) , v2 = (0,1,0) et v3 = ( −1,−1,1)  1 − 1   1 ♦ M ( f / B1 , B2 ) =  1 − 1 1   et  1 1 v1 = v1 − v2 − v3 2 2   ♦ v 2 = v 2  1 1 v3 = v1 + v3 2 2    1 / 2 0 1 / 2 0 =  −1 1    − 1 / 2 0 1 / 2   ⇒ PB2 B2 1 − 1 PB1B1 =   1 1 ♦ M ( f / B1 , B2 ) = PB2 B2 . M ( f / B1 , B2 ). PB1 B1  0 0  1 / 2 0 1 / 2  1 − 1   1 − 1   ⇒ M ( f / B1 , B2 ) =  − 1 1 0. 1 1.  =  2 2   1 1    − 1 / 2 0 1 / 2  − 1 1     0 2 ♦ Calcul direct de M ( f / B1 , B2 ) :  f (u1 ) = f ((1,1)) = (0,2,0) = 2v2  f (u ) = f (( −1,1)) = ( −2,0,2) = 2v + 2v 2 2 3  Professeure Salma DASSER  0 0   ⇒ M ( f / B1 , B2 ) = 2 2  0 2   Session Automne-hiver 42
  44. 44. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée CHAPITRE 4 : DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE I- Calcul d’un déterminant d’ordre n .................................................................................................. 44 I-1 Déterminant d’ordre 1 .......................................................................................................................... 44 I-2 Déterminant d’ordre 2 .......................................................................................................................... 44 I-3 Déterminant d’ordre n .......................................................................................................................... 44 II- Propriétés des déterminants ......................................................................................................... 48 III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs ................................................................ 49 IV- Rang d’une matrice ..................................................................................................................... 51 IV-1 Calcul du rang d’une matrice ............................................................................................................... 51 IV-2 Rang d’une application linéaire ........................................................................................................... 53 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 43
  45. 45. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée I- Calcul d’un déterminant d’ordre n I-1 Déterminant d’ordre 1 Soit A = ( a11 ) une matrice carrée d’ordre 1 ( A ∈ M (1)) . Le déterminant d’ordre 1 de la matrice A , noté det A , est défini par : det A = a11 . I-2 Déterminant d’ordre 2  a11 a12  Soit A =   une matrice carrée d’ordre 2 ( A ∈ M ( 2)) . Le déterminant d’ordre 2 de la a21 a22  matrice A , noté det A , est défini par : det A = a11 × a22 − a12 × a21 . On note aussi det A = a11 a12 = a11 × a22 − a12 × a21 a21 a22 I-3 Déterminant d’ordre n Définition : Soit A = ( aij )1≤i , j ≤ n une matrice carrée d’ordre n ( A ∈ M ( n )) . • On appelle le mineur de l’élément aij , le déterminant de la matrice carrée Aij d’ordre • n − 1 , obtenue en supprimant dans la matrice A la ligne i et la colonne j . On note det Aij ou ∆ ij . Exemples : a12  a 1) Soit A =  11  : a21 a22   a11 a12 2) Soit A = a21 a22  a31 a32  Le mineur de a11 est égal à : det A11 = a22 a13  a23  :  a33   • Le mineur de a33 est égal à : det A33 = a11 a12 = a11 × a22 − a12 × a21 a21 a22 • Le mineur de a32 est égal à : det A32 = a11 a13 = a11 × a23 − a13 × a21 a21 a23 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 44
  46. 46. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Théorème : Si A = ( aij )1≤i , j ≤ n est une matrice carrée d’ordre n , alors : n n k =1 ∀1 ≤ i, j ≤ n : k =1 ∑ ( −1)i + k aik det Aik = ∑ ( −1)k + j akj det Akj Définition : Soit A = ( aij )1≤i , j ≤ n une matrice carrée d’ordre n . Le déterminant d’ordre n de la matrice A est défini par : • La formule du développement du déterminant de la matrice A suivant la ligne i : n det A = ∑ ( −1)i + k aik det Aik ∀1 ≤ i ≤ n : k =1 • La formule du développement du déterminant de la matrice A suivant la colonne j : ∀1 ≤ j ≤ n : n det A = ∑ ( −1) k + j akj det Akj k =1 Exemples :  1 2 1) A =   − 2 1 ♦ Développement du déterminant suivant la colonne 2 : 2 det A = ∑ (−1) k + 2 ak 2 det Ak 2 k =1 = (−1)1+ 2 a12 det A12 + (−1) 2 + 2 a22 det A22 = (−1)a12 a21 + (1)a22 a11 ⇒ det A = 5 ♦ Développement du déterminant suivant la ligne 1 : 2 det A = ∑ ( −1)1+ k a1k det A1k k =1 = ( −1)1+1 a11 det A11 + ( −1)1+ 2 a12 det A12 = (1)a11a22 + ( −1)a12 a21 ⇒ det A = 5 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 45
  47. 47. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée 1 2 3 2) A =  3 1 2    2 3 1   ♦ Développement du déterminant suivant la 1ère colonne ( j = 1) : 3 = ∑ ( −1) k +1 ak 1 det Ak 1 det A k =1 = ( −1)1+1 a11 det A11 + ( −1) 2 +1 a21 det A21 + ( −1)3+1 a31 det A31 a23 a a13 a a13 + ( −1)a21 12 + (1)a31 12 a33 a32 a33 a22 a23 1 2 2 3 2 3 ⇒ det A = (1) × (1) × + ( −1) × (3) × + (1) × (2) × = 18 3 1 3 1 1 2 = (1)a11 ♦ Développement a22 a32 du déterminant suivant la 2ème ligne i=2 : 3 = ∑ ( −1) 2 + k a2 k det A2 k det A k =1 = ( −1) 2 +1 a21 det A21 + ( −1) 2 + 2 a22 det A22 + ( −1) 2 + 3 a23 det A23 a13 a a a a + (1)a22 11 13 + ( −1)a23 11 12 a33 a31 a33 a31 a32 2 3 1 3 1 2 ⇒ det A = ( −1) × (3) × + (1) × (1) × + ( −1) × ( 2) × = 18 3 1 2 1 2 3 = ( −1)a21 a12 a32 Remarque : ♦ En pratique, pour le développement d’un déterminant, on affecte à chaque élément un signe, en commençant par le signe + et en respectant une alternance entre les deux signes, par exemple : + − • Déterminant d’ordre 2 : − + + − + • • Déterminant d’ordre 3 : Déterminant d’ordre 4 : Professeure Salma DASSER − + − + − + + − + − − + − + + − + − − + − + Session Automne-hiver 46
  48. 48. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Exemple : 3  1 −2 − 3 A= 1 2 :   3 − 1  2   ( + )3  ( + )1 ( −) − 2 ( − ) − 3 ( + )1 ( − )2   ( −)3 ( + ) − 1  ( + )2   ♦ Développé suivant la 1ère ligne, on a : 1 2 −3 2 −3 1 det A = (1) × − ( −2) × + (3) × = −42 3 −1 2 −1 2 3 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 47
  49. 49. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée II- Propriétés des déterminants 1) Un déterminant est nul si : a. L’une des colonnes ou l’une des lignes est nulle. b. Deux colonnes ou deux lignes sont égales ou proportionnelles c. Une ligne ou une colonne est une combinaison linéaire des autres lignes ou colonnes. 2) Un déterminant change de signe si l’on effectue un nombre impair de permutations (si par exemple, on permute deux lignes uniquement ou deux colonnes uniquement). 3) Un déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne et à chaque colonne (si l’on multiplie tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne par le même scalaire, le déterminant est multiplié par ce scalaire). 4) Un déterminant ne change pas si : a. On permute simultanément deux lignes et deux colonnes b. On échange les lignes et les colonnes det( t A) = det A c. On ajoute à une ligne (respectivement une colonne), une combinaison linéaire des autres lignes (respectivement colonnes). 5) Une matrice carrée est inversible ssi son déterminant est non nul. 6) Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants des deux matrices. 7) Le déterminant de l’inverse d’une matrice inversible est égal à l’inverse du déterminant de cette matrice. 8) Un système de vecteurs est libre ssi le déterminant de la matrice de ce système dans une base donnée est non nul. 9) Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ces éléments diagonaux. Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 48
  50. 50. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs Définition : Soit A = ( aij )1≤i , j ≤ n une matrice carrée d’ordre n . Soit Aij la matrice carrée d’ordre n − 1 obtenue en supprimant dans la matrice A la ligne i et la colonne j . • On appelle cofacteur du coefficient aij le nombre ( −1)i + j det( Aij ) . • On appelle comatrice ou matrice des cofacteurs de la matrice A la matrice cij = ( −1) i + j det( Aij ), 1 ≤ i, j ≤ n C ( A) = ( cij )1≤i , j ≤ n définie par : Etapes de l’inversion : 1) On vérifie si la matrice A est inversible. Pour cela, on calcule son déterminant: a. Si det A = 0 alors A n’est pas inversible. b. Si det A ≠ 0 alors A est inversible, et on passe aux étapes suivantes 2) On détermine la comatrice de la matrice A : C ( A) 3) On détermine la transposée de la comatrice de la matrice A : 4) On en déduit l’inverse de la matrice A : A−1 = t C ( A) 1 t ( C ( A)) det A 1 3 2 A = 2 1 3   3 2 1    Exemple : 1) Calcul du déterminant de la matrice A : 1 3 3 2 3 2 det A = (1) × − ( 2) × + (3) × = 18 2 1 2 1 1 3 det A ≠ 0 alors A est inversible, et on passe aux étapes suivantes 2) La comatrice de la matrice A :  1 +  2  3 C ( A) = − 2   3 + 1  3 1 2 1 2 3 − + − 2 3 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 + − + 2 3 1 3 1 2 Professeure Salma DASSER 1  2 7 1 − 5 3  = 1 −5 7  2    7 1 − 5  3  1  Session Automne-hiver 49
  51. 51. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée 3) La transposée de la comatrice de la matrice A : t 1 7 − 5  7 −5 (C ( A)) = 1   7 − 5  1   4) L’inverse de la matrice A : A−1 = 1 t ( C ( A)) det A 1 7 − 5 / 18 1 / 18 7 / 18 − 5 1   =  7 / 18 − 5 / 18 A = 7 −5 1 1 / 18     18 7 − 5  1 / 18 7 / 18 − 5 / 18  1     −1 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 50
  52. 52. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée IV- Rang d’une matrice IV-1 Calcul du rang d’une matrice Définition : Soit A une matrice de M ( n, p ) . On appelle le rang de la matrice A l’ordre de la plus grande matrice carrée inversible extraite de la matrice A . On note rg ( A) . • Le rang de la matrice nulle est égal à 0 . • Si une matrice A de M ( n, p ) est non nulle, alors 1 ≤ rg ( A) ≤ Min ( n, p ) . Etapes du calcul du rang : ♦ A ∈ M ( n, p ) , m = Min ( n, p ) : 1 ≤ rg ( A) ≤ m ♦ On cherche si rg ( A) = m Si on peut extraire de A , une matrice carrée inversible d’ordre m alors rg ( A) = m . Sinon alors 1 ≤ rg ( A) < m • On cherche si rg ( A) = m − 1 o Si on peut extraire de la matrice A , une matrice carrée inversible d’ordre m − 1 alors rg ( A) = m − 1 . o Sinon alors 1 ≤ rg ( A) < m − 1 ♦ On continue ainsi la même démarche jusqu’à obtenir une matrice carrée inversible d’ordre r extraite de la matrice A , et alors rg ( A) = r Remarques : ♦ Le rang d’une matrice A de M ( n, p ) est égal au rang du système formé des p colonnes égal au rang du système formé des n lignes de la matrice A . ♦ Le rang d’une matrice est égal au rang de sa transposée. Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 51
  53. 53. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Exemples : 3 1  1 2  0 1 2 0  ∈ M ( 4,4) 1) B =   − 2 − 1 0 − 1   1  1 0 −1 1ère méthode : "matricielle" ♦ Min ( 4,4) = 4 ⇒ 1 ≤ rg ( B ) ≤ 4 ♦ B est la seule matrice carrée d’ordre 4 extraite de B : ♦ det B = 0 ( car L1 = 2 L2 + L4 ) , d’où 1 ≤ rg ( B ) < 4 0  0 2 − 2 0 − 1 extraite de B est inversible ♦ La matrice   1  1 −1   ⇒ rg ( B ) = 3 3 − 1 2 1 −1 1   ∈ M ( 4,3) 2) C = 5 − 3 0   0 3 2 2ème méthode : " vectorielle" ♦ On note par S = {u1 , u2 , u3 } le système de vecteurs colonnes de la matrice C . ♦ u1 = {2,1,0,3}, u2 = {3,−1,5,2} et u3 = {− 1,1,−3,0} ⇒ rg (C ) = rg ( S ) • S = {u1 , u2 , u3 } est le seul système d’ordre 3 extrait de S : 3 5 • S n’est pas un système libre (car u1 = u2 + u3 ) ⇒ 1 ≤ rg (C ) < 3 2 2 ♦ {u1 ,u2 } est un système libre d’ordre 2 Professeure Salma DASSER extrait du système S ⇒ rg (C ) = 2 Session Automne-hiver 52
  54. 54. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]  1 2  0 1 3) A =  − 2 − 1  0 − 2 Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée 3 4 2 2  ∈ M ( 4,4) 0 − 2  2 0 1ère méthode : "matricielle" ♦ Min ( 4,4) = 4 ⇒ 1 ≤ rg ( A) ≤ 4 : • A est la seule matrice carrée d’ordre 4 extraite de A • det A = 0 ( car L2 = L4 − L3 ) ⇒ 1 ≤ rg ( A) < 4 ♦ Toutes les matrices carrées d’ordre 3 extraites de A sont non inversibles : 1 ≤ rg ( A) < 3  1 2 ♦   est une matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de A ⇒ rg ( A) = 2 0 1 2ème méthode : " vectorielle" ♦ On note par S = {u1 , u2 , u3 , u4 } le système de vecteurs lignes de la matrice A . u1 = { ,2,3,4}, u2 = {0,1,2,2}, u3 = {− 2,−1,0,−2} et u4 = {− 2,0,2,0} : 1 rg ( A) = rg ( S ) ♦ S = {u1 , u2 , u3 , u4 } est le seul système d’ordre 4 extrait de S : S n’est pas un système libre (car u2 = u4 − u3 ) ⇒ 1 ≤ rg ( A) < 4 ♦ On vérifie que tous les systèmes d’ordre 3 extraits de S sont liés ⇒ 1 ≤ rg ( A) < 3 ♦ Le système {u1 , u2 } est un système libre d’ordre 2 extrait du système S ⇒ rg ( A) = 2 IV-2 Rang d’une application linéaire Théorème : Le rang d’une application linéaire f , définie de E vers G , est égal au rang de sa matrice relativement à deux bases données de E et de G : rg ( f ) = rg ( M ( f / B1 , B2 ) , B1 et B2 sont deux bases respectives de E et de G , Exemple : f ( x , y , z, t ) = ( 2 x + y + 3t ,3 x − y + 5 z + 2t ,− x + y − 3z ) ♦ M ( f / B1 , B2 ) = t C , B1 et B2 sont les bases canoniques respectives de IR4 et de IR3 . ♦ Donc rg ( f ) = rg ( t C ) = rg (C ) = 2 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 53

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