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  • 1. Sistema Binario Historia del sistema binario El antiguo matemático hindú Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero. Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental. Sistema Binario El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en los ordenadores, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0). - ejemplo: el número 10101101 representa, empezando por la derecha, (1 × 20) + (0 × 21) + (1 × 22) + (1 × 23) + (0 × 24) + (1 × 25) + (0 × 26) + (1 × 27) = 173. Conversión entre binario y decimal Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, este será el número binario que buscamos. Ejemplo Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple: 131 dividido por 2 da 65 y el resto es igual a 1 65 dividido por 2 da 32 y el resto es igual a 1 32 dividido por 2 da 16 y el resto es igual a 0 16 dividido por 2 da 8 y el resto es igual a 0 8 dividido por 2 da 4 y el resto es igual a 0 4 dividido por 2 da 2 y el resto es igual a 0 2 dividido por 2 da 1 y el resto es igual a 0 1 dividido por 2 da 0 y el resto es igual a 1 -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011
  • 2. en sistema binario, 131 se escribe 10000011 Ejemplo Transformar el número decimal 100 en binario: 100 |_2 0 50 |_2 0 25 |_2 1 12 |_2 0 6 |_2 0 3 |_2 1 1 |_2 1 0 -> (100)10 = (1100100)2 Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente: 1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0). 2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2 Suma , resta , división de números Binarios 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 10 al sumar 1+1 siempre nos llevamos 1 a la siguiente operación Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes: 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)
  • 3. La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1. - La división en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Ejemplo Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13): 100010010 |1101 —————— - 0000 010101 ——————— 10001 - 1101 ——————— 01000 - 0000 ——————— 10000 - 1101 ——————— 00111 - 0000 ——————— 01110 - 1101 ——————— 00001 Conversión entre binario y octal 1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111 Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7 3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha. 110111 (binario) = 67 (octal). Proceso: 111 = 7 110 = 6
  • 4. Agrupe de izquierda a derecha: 67 Conversión entre binario y hexadecimal 1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Núme ro en 00 00 00 00 01 01 01 01 10 10 10 10 11 11 11 11 binari 00 01 10 11 00 01 10 11 00 01 10 11 00 01 10 11 o Núme ro en hexad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ecima l 3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda. 110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso: 1010 = A 1011 = B 1 entonces agregue 0001 = 1 Agrupe de derecha a izquierda: 1BA Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Código Gray o Reflejado Exceso Gray o Decimal Binario Hexadecimal Octal BCD 3 Reflejado 0 0000 0 0 0000 0011 0000 1 0001 1 1 0001 0100 0001 2 0010 2 2 0010 0101 0011 3 0011 3 3 0011 0110 0010
  • 5. 4 0100 4 4 0100 0111 0110 5 0101 5 5 0101 1000 0111 6 0110 6 6 0110 1001 0101 7 0111 7 7 0111 1010 0100 8 1000 8 10 1000 1011 1100 9 1001 9 11 1001 1100 1101 0001 10 1010 A 12 1111 0000 0001 11 1011 B 13 1110 0001 0001 12 1100 C 14 1010 0010 0001 13 1101 D 15 1011 0011 0001 14 1110 E 16 1001 0100 0001 15 1111 F 17 1000 0101 Sistema Números Enteros El conjunto de números enteros, es también infinito. Son parejas de números naturales (x,y), cuya resta x-y define un número entero. Por ejemplo: la pareja (7,3) define el entero positivo 4 ya que 7 - 3 = 4.
  • 6. la pareja (2,4) define el entero negativo -2 ya que 2 - 4 = -2. Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de los números enteros y el de los números naturales; ya que el conjunto de los naturales es el de los enteros positivos. Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; etc. Sistema decimal El sistema decimal es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes. los números decimales son lo que no tienen coma (,). El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así: Los números decimales se pueden representar en rectas numéricas. Sistema octal El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112. ejemplo: ¿Qué numero decimal representa el número octal 4 701 utilizando el TFN? 4*83 + 7*82 +1*80= 2048+ 448+ 0+ 1= 2497. Sistema hexadecimal El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, es el sistema de numeración posicional de base 16 empleando por tanto 16 símbolos.
  • 7. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa 28 valores posibles, y esto puede representarse como , que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 10016, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de enteros— a un byte.

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