• Like
J3009   Unit 10
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
Uploaded on

J3009 - Kajidaya Bahan 1

J3009 - Kajidaya Bahan 1

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • Boleh tak tunjukkan jalan kerja dekat soalan penilaian kediri tu? Terima kasih.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
2,236
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
158
Comments
1
Likes
2

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /1 UNIT 10 TEGASAN LENTUR OBJEKTIF Objektif am : Memahami hubungkait antara kedudukan paksi neutral dan momen luas kedua bagi keratan piawai dalam persamaan lenturan. Objektif Khusus : Di akhir unit ini, pelajar akan dapat :-  Memahami jenis-jenis keratan piawai  Mengira kedudukan paksi neutral (PN) bagi keratan piawai  Mengira momen luas kedua (I) bagi keratan piawai  Menggunakan persamaan lenturan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan kekuatan dan lenturan rasuk yang disokong mudah dan rasuk julur
  • 2. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /2 10.0 PENGENALAN Di dalam unit ini, persamaan lenturan akan digunakan bagi menentukan tegasan lentur bagi bentuk-bentuk piawai. Untuk mendapatkan tegasan lentur, kedudukan paksi neutral (P.N) dan momen luas kedua bagi bentuk-bentuk piawai (I) perlu dikira. 10.1 MOMEN LUAS KEDUA Dalam merekabentuk sebatang rasuk atau aci, dimensi dan bentuk keratan yang paling sesuai dari segi kekuatan dan ekonomi perlu diberi perhatian. Nilai tegasan yang berlaku dalam sesuatu rasuk boleh ditentukan melalui persamaan-persamaan yang diterbitkan. Salah satu elemen dalam persamaan ini ialah momen luas kedua (I) atau momen Inersia . Berikut adalah kaedah bagaimana mendapatkan momen luas kedua bagi bentuk- bentuk :- i. Keratan Segi Empat Rajah 10.1 di bawah menunjukkan satu rasuk yang mempunyai keratan rentas berbentuk segiempat tepat. Perhatikan satu rasuk julur luas dA, tebal dy, lebar b dan jarak y dari P.N. Oleh sebab keratan rentas rasuk adalah simetri, P.N. adalah terletak dipertengahan ukuran dalam rasuk. b dA A B dy y d P.N. C D Rajah 10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat
  • 3. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /3 Momen luas kedua di takrifkan sebagai I   y2 dA Oleh itu bagi keratan segiempat tepat, momen luas kedua pada P.N., ialah d/2 I P.N.   d / 2 y 2 dy d/2  b y 2 dy - d/2 d/2  y3   b   3 d / 2 Untuk Momen Luas Kedua bd 3  pada paksi P.N. 12 Dengan cara yang sama, momen luas kedua keratan segiempat tepat melalui tepi bahagian bawah keratan diperolehi dengan kamiran dari 0 hingga d. d Untuk mendapatkan Momen  y3  bd 3 Luas Kedua dari bahagian Oleh itu ICD  b    3 0 3 bawah tapak bagi sebuah segiempat atau dari paksi x - x Bentuk piawai di atas terbukti memudahkan pengiraan IP.N. bagi keratan terbentuk. Ini ialah dengan cara membahagikan keratan tersebut kepada beberapa segiempat tepat. Sebagai contoh, nilai IP.N. untuk keratan simetri seperti dalam Rajah 10.2 di bawah. B b b A C P.N. d D E F Rajah 10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I
  • 4. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /4 IP.N. = IACEF – Ib.b ; b.b = bahagian berlorek. BD3 2 (bd3 ) Untuk mendapatkan momen luas  - kedua dengan menggunakan 12 12 kaedah potong. ii. Keratan bulat Rajah 10.3 menunjukkan satu bulatan yang berjejari r. Unsur berlorek yang ditunjukkan dalam rajah tersebut mempunyai keluasan dA dan oleh itu persamaan berikut terbentuk:- dA = rd  dr dr r ro d Rajah 10.3: Rasuk Berkeratan Rentas Bulat Daripada sistem kordinat kutub y = r sin  Momen luas kedua pada P.N. untuk keratan bulat diberikan oleh :- I P.N.   y 2 dA 2π ro    0 0 r 2 sin 2 θ rd θdr r0 2π  r4    0 sinθ dθ    4 0 4 r0 2π  4 0 sin 2 θdθ πr 4  4
  • 5. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /5 10.2 TEOREM PAKSI SELARI Teorem paksi selari menyatakan momen luas kedua pada mana-mana paksi yang selari dengan P.N. ( paksi X – X ) adalah bersamaan dengan momen luas kedua keliling paksi yang melalui sentroid keratan itu ( P.N. ) campur hasil darab luas keratan dan ganda dua jarak antara paksi yang selari dengan P.N. Perhatikan keratan bagi sebuah segiempat tepat seperti Rajah 10.4 . Jika sekiranya satu unsur daripada keratan itu yang mempunyai jarak y darp paksi x – x, maka momen luas kedua keratan ini pada paksi x – x boleh didapati dari persamaan :- I xx  y 2 dA dA y’ P N y h x x Rajah 10.4: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat Jika garisan P.N. dilakarkan juga selari dengan garisan x – x , maka rumusan di atas boleh dihuraikan seperti berikut:- y  y'  h I xx   ( y'  h ) 2   (y')   2y'h  h 2 dA 2   (y') dA  2h  y' dA  h 2  dA 2 Kamiran pertama merupakan momen luas kedua keratan pada paksi yang melalui pusat bentuknya. Kamiran kedua merupakan momen luas pertama pada paksi yang melalui pusat bentuk, oleh itu  y' dA adalah bersamaan dengan sifar.
  • 6. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /6 Kamiran terakhir adalah untuk jumlah luas keratan. Seterusnya persamaan diatas boleh ditulis sebagai :- Rumus ini penting dalam mencari nilai momen luas kedua sesuatu keratan yang Ixx = IP.N. + Ah2 terdiri daripada beberapa gabungan bentuk asas. 10.3 JADUAL KERATAN PIAWAI Dari persamaan yang telah dibuat, kita boleh ringkaskannya seperti jadual dibawah:- Jadual 10.1: Ringkasan Momen Luas Kedua untuk bentuk piawai BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA b x bd 3 I P.N.  x  b/2 12 P.N. d y  d/2 bd 3 I xx  y x 3 d x  d/2 P.N.  d4  r4 I P.N.   > 64 4 y  d/2 y IP.N  0.11 r 4 c 4r r y x P.N x 3  r4 I xx  y 8
  • 7. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /7 BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA bh 3 I P.N.  36 P.N. bh 3 c y  h/3 I xx  y 12 x x hb3 I yy  48 10.4 SENTROID Seperti pusat gravity yang dianggap sebagai titik dimana semua jisim sesuatu jasad itu terpumpun, sentroid pula adalah titik dimana luasan sesuatu bentuk itu terpumpun. Berikut adalah contoh bagaimana sentroid sesuatu bentuk itu ditentukan. i. Bentuk Gabungan Bentuk gambarajah boleh dihasilkan dengan menggabungkan beberapa bentuk asas atau memotong gambarajah asal (Rajah 10.5(a)). P A D B C Rajah 10.5(a) Bentuk dalam Rajah 10.5(a) dihasilkan dengan menggabungkan segiempat tepat ABCD dengan separuh bulatan ADP.
  • 8. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /8 Tinggi Sentroid dari tapak, y Bagi Rajah 10.5(a) tinggi sentroid tiap-tiap bentuk asas dari BC tidak sama iaitu y1  y2 (Rajah 10.5(b)). p P A D A D A DD C y2 y y1  C B C B Rajah 10.5(b) Oleh yang demikian, y  Ay A (A 1 y 1  A 2 y 2 )  (A 1  A 2 ) ii. Bentuk Terpotong Dalam Rajah C10.6(a) bahagian segiempat DEFG dipotong dan ditanggalkan daripada bentuk segiempat asal ABCH. A H G F E D B C Rajah 10.6(a)
  • 9. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /9 Bagi Rajah 10.6(a) tinggi sentroid bagi setiap bentuk asas dari garisan BC adalah sama (Rajah 10.6(b)). Jadi, y  y1  y2 A H A H F G G F E y1 y2 D y E D B B C C Rajah 10.6(b) Merujuk kepada Rajah 10.7 pula bentuk L itu boleh dihasilkan dengan menggabungkan dua segiempat atau dengan kaedah memotong dan memisahkan segiempat EDGF daripada ABCG. A G F G A F y2 E D y1 y E D B C B C Rajah 10.7
  • 10. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /10 Jika menggunakan kaedah potong dan pisah, gunakan formula berikut: y  Ay A (A 1 y 1  A 2 y 2 )  (A 1  A 2 ) Contoh 10.1 Sebatang rasuk mempunyai keratan rentas berbentuk segiempat tepat, 30 mm lebar dan tebalnya 50 mm (Rajah C10.1). Tentukan momen luas kedua bagi rasuk tersebut. 30 mm Penyelesaian. P.N. 50 mm Rajah C10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat b = 30 mm d = 50 mm bd 3 Ini adalah kerana kita ingin mendapatkan momen Gunakan Formula IP.N. = luas kedua pada paksi neutral ( IP.N. ) 12
  • 11. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /11 bd 3 I P.N.  12 30 x 503  12  3.125 x 105 mm 4  3.125 x 10- 7 mm 4 Contoh 10.2 Kirakan momen luas kedua untuk keratan – I seperti Rajah C10.2 pada paksi x – x yang melalui pusat graviti keratan itu. 60 mm A B 20 mm 20 mm 100 mm 20 mm X X 120 mm Contoh C10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I Penyelesaian. Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y dari permukaan x – x. A B B1 h1 h2 P.N. y1 B2 y3 h3 y2 y B3 x x
  • 12. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /12 y dari x – x Bahagian Luas, A ( mm2 ) h (mm) ( mm ) 20 yy 20 x 60 20/2 + 120 = 1200 = 130 = 130 – 57.1 60 = 72.9 100 yy 100 x 20 100/2 + 20 = 2000 = 70 = 70 – 57.1 = 12.9 20 y-y 20 x 120 20/2 20 = 2400 = 10 = 57.1 – 10 = 47.1 120 Langkah 2 Dapatkan pusat graviti bagi keratan – I tersebut ( y ) . Katakan jarak pusat graviti keratan itu ialah y dari permukaan atas ( A – B ). Ay y  A A1y1  A 2 y 2  A 3 y3  A1  A 2  A 3 ( 60 x 20 )(130 )  ( 100 x 20 )( 70 )  ( 120 x 20 )(10 )  ( 60 x 20 )  ( 100 x 20 )  ( 120 x 20 ) y  57.1 mm
  • 13. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /13 Langkah 3 Dapatkan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian. Gunakan formula dibawah :- 3 Formula ini digunakan kerana bd IG  bentuk piawai bagi keratan ini 12 adalah segiempat tepat. Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3 3 3 3 b1d1 b1d1 b1d1 IG1  IG1  IG1  12 12 12 60 x 203 20 x 1003 120 x 203    12 12 12  40,000 mm 4  1,666,666.67 mm 4  80,000 mm 4 Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan Formula :- Nilai h di perolehi setelah y keseluruhan I PN   ( IG  A h 2 ) di tolak dengan y untuk setiap bahagian  IG1  A1 h1  IG2  A 2 h 2  IG3  A 3 h 3 2 2 2  40,000  ( 1200 x 72.9 2)  1,666,666.67  ( 2000 x 12.92 )  80,000  ( 2400 x 47.12 ) = 13,820962.67 mm4 = 13.8 x 10-6 m4
  • 14. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /14 10.5 PERSAMAAN LENTURAN Persamaan lenturan membolehkan kita menentukan nilai tegasan yang berlaku di jarak y daripada paksi neutral. Anggapan momen lentur ini malar biasanya tidak dapat di penuhi kerana momen lentur berubah dari keratan ke keratan di keseluruhan panjang rasuk. Dalam merekabentuk rasuk, tujuan kita adalah untuk menentukan nilai tegasan lentur maksimum yang berlaku. Oleh itu amalan biasa ialah untuk menggunakan nilai momen lentur maksimum yang didapati daripada gambarajah momen lentur bagi rsuk tersebut. Jadi tegasan yang ditentukan dengan menggunakan nilai ini adalah yang maksimum dan jika kita merekabentuk sebatang rasuk berdasarkan kepada nilai ini, maka sudah tentu ia akan dapat menentang momen lentur yang dikenakan. 10.6 MODULUS KERATAN Kita telah pun melihat bahawa tegasan lentur berkadar terus dengan jarak daripada paksi neutral PN dan nilai tegasan ini boleh ditentukan dengan menggunakan persamaan: M  y I Jika m ialah tegasan lentur maksimum yang berlaku dan ym ialah jarak maksimum daripada paksi neutral, maka: M m  I ym I  M m x ym Persamaan ini memberi hubungan terus di antara momen lentur (M) dengan tegasan lentur () dan momen luas kedua (I). σ M E Persamaan lenturan, dari   unit 9 y I R
  • 15. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /15 Contoh 10.3 60 mm 20 mm 16 kN 16 kN 15 mm 80 mm 1m 1m 6m Rajah C10.3 (a): Rasuk Disokong Mudah Dan Rajah C10.3 (b): Rasuk Berkeratan Dikenakan Beban Tumpu Rentas T Sebatang bar – T yang panjangnya 6 meter menanggung beban terpumpun. Tiap-tiap satu beban itu ialah 16 kN pada jarak 1 m dari kedua-dua hujung rasuk tersebut. Bar itu disangga mudah pada kedua-dua hujungnya, Rajah C10.3(a). Keratan rentas bar ditunjukkan pada Rajah C10.3 (b). Kirakan yang berikut :- i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah rasuk. ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral. iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk. iv. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk. Diberi: E bagi rasuk = 200 GN / m2
  • 16. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /16 Penyelesaian. Bahagikan keratan tersebut kepada dua bahagian. Kirakan luas dan jarak sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan. Bahagian Luas ( mm2 ) y ( mm ) 60 20 1 60 x 20 = 1200 80 + 20/2 = 90 15 2 80 x 15 = 1200 80/2 = 40 80 i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas. A1y1  A 2 y 2 Oleh kerana kita menggunakan y  kaedah keratan terpotong, gunakan A1  A 2 Formula ini. (1200 x 90 )  (1200 x 40 )  (1200  1200)  65 mm
  • 17. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /17 ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral. Kirakan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h (mm ) bd3 60 x 203 1   40,000 mm 4 y - y = 90 – 65 = 25 mm 12 12 bd 3 15 x 803 2   640,000 mm 4 y - y = 65 – 40 = 25 mm 12 12 Momen luas kedua pada paksi neutral ialah IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h22 ) = ( 40,000 + ( 1200 x 252 ) ) + ( 640,000 + ( 1200 x 252 ) ) = 2.18 x 106 mm4 = 2.18 x 10-6 m4 iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk. M  E EI Gunakan formula    R  I y R M Dari pembebanan yang ditunjukkan, 16 kN 16 kN kita dapati bahawa susunan 1m 1m pembebanan itu adalah simetri, oleh itu tindakbalas :- 6m R1 R2 R1 = R2 = 16 kN (+) (-) Dari G.M.L. pula, momen lentur G.D.R dipertengahan rentang :- (+) G.M.L.
  • 18. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /18 M = 16 kNm ( meleding ) iv. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk. 200 x 109 x 2.18 x 10-6  R  16 x 103 EI R  nilai E telah diberi iaitu 200 GN/m2  27.25 m M v. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk. Merujuk kepada rajah keratan rasuk, kita dapati :- ybawah > yatas  maksimum terhasil pada permukaan bawah iaitu, ymax = 65 mm = 0.065 m M maks y maks 16 x 103 x 0.065 σ   I 2.18 x 10- 6  477 x 106 N/mm 2 ( tegangan )  maksimum terhasil pada permukaan atas iaitu, ymaks = 35 mm = 0.035 m M maks y maks 16 x 103 x 0.035 σ   I 2.18 x 10- 6  256.8 x 106 N/m 2 ( mampatan )
  • 19. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /19 Contoh 10.4 120 mm 20 kN/m E E 40 mm 1m 60 mm 80 mm y Rajah C10.4: Rasuk JulurBerkeratan Rentas T Yang Dikenakan Beban Teragih Seragam Satu rasuk julur sepanjang 10 m menanggung beban teragih seragam disepanjang rentang rasuk itu. Keratan rentas rasuk adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah C10.4. dimana EE adalah permukaan atas bagi rasuk. Tentukan yang berikut :- i. kedudukan paksi neutral bagi keratan rentas. ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral. iii. Tegasan tegangan maksimum dan tegasan mampatan maksimum didalam rasuk hasil dari lendutan. Penyelesaian. Bahagikan keratan tersebut kepada 2 bahagian. Dapatkan luas dan jarak sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan. Bahagian Luas ( mm2 ) y ( mm ) 120 40 1 120 x 40 = 4800 80 + 40/2 = 100 60 80 2 80 x 60 = 4800 80/2 = 40
  • 20. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /20 i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas. A1 y1  A 2 y2 Oleh kerana kita menggunakan y  kaedah keratan terpotong, gunakan A1  A2 Formula ini. (4800 x 100 )  ( 4800 x 40 )  (4800  4800)  70 mm ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral. Dapatkan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h ( mm) bd 3 120 x 403 1   640 x 103 mm 4 y  y = 100 – 70 = 30 12 12 bd 3 60 x 803 2   2560 x 103 mm 4 y - y = 70 – 40 = 30 12 12 Momen luas kedua pada paksi neutral ialah IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h22 ) = ( 640 x 103 + ( 4800 x 302 ) ) + ( 2560 x 103 + ( 4800 x 302 ) ) = 11.84 x 106 mm4 = 1.184 x 10-5 m4 iii. Momen lentur maksimum berlaku pada bahagian bar yang bertemu tembok iaitu : Mmaks = ( - 20 x 103)( 1 )(0.5) = 10,000 Nm = 10 kNm Oleh kerana rasuk ini meleding, permukaan atas akan mengalami tegangan dan permukaan bawah mengalami mampatan.
  • 21. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /21 ybawah maksimum = 70 mm yatas maksimum = 120 – 70 = 50 mm M σ M maks y maks   σ maks  I y I 10,000 x 50 x 10 -3 σ maks tegangan   42.23 M N/m2 1.184 x 10 -5 10,000 x 70 x 10 -3 σ maks mampatan   59.12 M N/m2 1.184 x 10 -5 10.7 AGIHAN TEGASAN Jika nilai  bagi tiap-tiap lapisan dari permukaan atas ke permukaan sebelah bawah rasuk ditentukan, nilai-nilai itu boleh diplotkan pada satu graf seperti dibawah. Graf menunjukkan agihan tegasan lentur. Perhatikan yang nilai  tidak bergantung kepada lebar keratan rentas sesuatu jalur. Pada lapisan P.N.,  = 0. + 42.23 MN/m2 5 cm P.N. =0 7 cm - 59.12 MN/m2 Rajah 10.8: Agihan Tegasan Bagi Rasuk Berkeratan Rentas T
  • 22. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /22 Contoh 10.5 Rajah C10.5 menunjukkan keratan rentas bagi sebatang rasuk. a) Kirakan :- i) jarak y ii) momen luas kedua keliling paksi neutral. b) Jika rasuk itu yang disokong mudah pada kedua-dua hujungnya membawa beban teragih seragam 30 kN/m pada keseluruhan rentangnya yang panjangnya 3m, kirakan tegasan lentur dalam rasuk itu pada:- i) permukaan atas ii) permukaan bawah 80 mm 20 mm 10 mm 20 mm P.N. 100 mm 100 mm 10 mm 40 mm Rajah C10.5
  • 23. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /23 Penyelesaian a) Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian 2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat tepat (bahagian 3). 1 P.N. 3 2 Rajah C10.5 (a) Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :- Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2 Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2 Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2 Kirakan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut. y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm i) Dapatkan nilai y dengan menggunaka n formula y   Ay A A1 y1  A 2 y 2 - A 3 y3 y  A1  A 2  A 3 (1600 x 110)  (4000 x 50) - (2000 x 60)  (1600  4000 - 2000)  71.1 mm
  • 24. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /24 ii) Dapatkan momen luas kedua keliling paksi neutral. h1 = y1 - y = 110 – 65.3 = 44.7 mm h2 = y - y2 = 65.3 – 50 = 15.3 mm h3 = y - y3 = 65.3 – 60 = 5.3 mm Dapatkan nilai Ah2 bagi setiap bahagian. A1h12 = 1600 x ( 44.7 )2 = 3.2 x 106 mm4 A2h22 = 4000 x ( 15.3 )2 = 936 x 103 mm4 A3h32 = 2000 x ( 5.30 )2 = 56 x 103 mm4 bd 3 Gunakan formula Ic = untuk mendapatkan momen luas kedua bagi setiap 12 bahagian. 80 x 203 IC1 =  53 x 103 mm 4 12 40 x 1003 IC2 =  3.33 x 103 mm 4 12 20 x 1003 IC3 =  1.67 x 106 mm 4 12 IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h22 ) - ( IC3 + A3h32 ) = 5.8 x 106 mm4 = 5.8 x 10-6 m4
  • 25. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /25 b) Dapatkan daya yang bertindak balas pada kedua-dua hujung A dan B. 30 kN/m 3m RA RB Rajah C10.5 (b) Kita tahu bahawa rasuk tersebut dibebankan teragih seragam. Oleh yang demikian, dapatkan dahulu jumlah daya yang terlibat. Jumlah daya pada A = Jumlah daya pada B RA = R B 30  3 Oleh yang demikian, RA = RB = kN  45 kN 2 Mmaks akan berlaku dipertengahan rentang, oleh itu, Mmaks = (+45 ) x 1.5 + (- 30 x 1.5) x 0.75 = 33.75 kNm ybawah = 65.3 mm Oleh itu, yatas = 120 – 65.3 = 54.7 mm M σ M maks y maks   σ maks  I y I 33.75 x 10 3 x 0.0547 σ atas  -6  318 MN/m2 5.8 x10 33.75 x 10 3 x 0.0653 σ bawah   380 MN/m2 5.8 x10 -6
  • 26. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /26 AKTIVITI 10 UJI KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA. SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DIHALAMAN BERIKUTNYA. Kirakan momen luas kedua bagi keratan rentas rasuk dibawah:- Semua ukuran dalam mm 10.1 200 90 90 A B P.N. 260 300 C D 10.2 200 100 200 300 ø 120
  • 27. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /27 10.3 80 20 10 20 P.N. 100 100 10 40 10.4 Sebatang aci bulat padu ABCD disokong mudah dan dibebankan seperti Rajah 10.4 di bawah. Kirakan diameter aci jika tegasan lentur maksimum yang dibenarkan ialah 100 MN/m2. 50 kN 0.1 m 0.2 m 0.2 m 0.1 m A B C D E RA 20 kN 10 kN RE Rajah 10.4 d
  • 28. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /28 10.5 Bentuk keratan rentas sebatang rasuk yang disokong mudah dikedua-dua hujungnya ditunjukkan dalam Rajah 10.5. Rasuk itu menanggung beban teragih seragam sebanyak 6 kN/m disepanjang rasuk. Jika tegasan lentur maksimum dalam rasuk itu tidak boleh melebihi 35 MN/m2, tentukan, a) Panjang rasuk b) Tegasan tegangan maksimum 150 mm 25 mm 25 mm 250 mm 25 mm 200 mm Rajah 10.5
  • 29. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /29 MAKLUM BALAS 10 TAHNIAH KERANA ANDA TELAH MENCUBA.!!!!!!!!! Jawapan :- 10.1 B A B b d P.N. D C D Oleh kerana keratan ini adalah simetri, maka pusat bentuk adalah berada di tengah- tengah keratan. BD3  bd 3  Gunakan persamaan I P.N.  - 2  12  12   200 x 3003   90 x 2603  I P.N.     - 2      12   12  = 1.86 x 108 mm4 = 1.86 x 10-4 m4
  • 30. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /30 10.2 Sebelum nilai momen luas kedua ini diperolehi, kedudukan pusat bentuknya perlu ditentukan dahulu. Bentuk keratan ini terdiri daripada dua komponen iaitu segiempat tepat dan bulatan. Sufiks 1 dipilih untuk segiempat tepat dan sufiks 2 untuk bulatan. Sekiranya tapak segiempat tepat dipilih sebagai paksi rujukan, maka persamaan berikut digunakan:- 2 1 x x A y i i y  i A i i A1 y1 - A 2 y2  A1 - A 2  (120) 2 200 (300)(150) - (200)  4  (120) 2 (200)(300) - 4  138.4 mm Setelah kedudukan P.N. diketahui, maka nilai momen luas kedua untuk keseluruhan keratan dapat dicari. Ini dilakukan dengan menggunakan teorem paksi selari.
  • 31. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /31 I P. N .  (I1  A1h1 ) - ( I 2  A 2 h2 ) 2 2  (200 )(300)3   (120) 4  (120) 2     (200)(300)(150  138.4)    (200  138.4)  12   64 4   405 x 106 mm 4 10.3 Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian 2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat tepat (bahagian 3). 1 P.N. 3 2 Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :- Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2 Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2 Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2 Dapatkan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut. y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm Dapatkan nilai y dengan menggunaka n formula y   Ay A
  • 32. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /32 A1 y1  A 2 y 2 - A 3 y3 y  A1  A 2  A 3 (1600 x 110)  (4000 x 50) - (2000 x 60)  (1600  4000 - 2000)  71.1 mm Kirakan nilai momen luas kedua h1  y1 - y  110 - 65.3  44.7 mm h 2  y - y2  65.3 - 50  15.3 mm h 3  y - y3  65.3 - 60  5.3 mm bd 3 80 x 203 IC1    53 x 103 mm 4 ; A1h1  3.2 x 106 mm 4 2 12 12 bd 3 40 x 1003 IC2    3.33 x 103 mm 4 ; A 2 h 2  936 x 103 mm 4 2 12 12 bd 3 20 x 1003 IC3    1.67 x 106 mm 4 ; A 3h 3  56 x 103 mm 4 2 12 12 I P. N.  (IC1  A1 h1 )  (IC2  A 2 h 2 )  (IC3  A 3 h 3 ) 2 2 2  5.3 x 106 mm 4  5.3 x 10- 6 m 4 10.4 Dengan mengambil momen pada A, kita akan dapat: Momen ikut jam = Momen lawan jam MA = 0 0.1 x 50 – 0.3 x 20 – 0.5 x 10 – 0.6 x RE = 0 5 – 6 – 5 – 0.6RE = 0
  • 33. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /33  RE = - 10 kN (menunjukkan arah sebenar RE adalah ke bawah) Dengan mengambil momen pada E, ia akan memberikan, Momen ikut jam = Momen lawan jam ME = 0 0.6 x RA – 0.5 x 50 + 0.3 x 20 + 0.1 x 10 = 0 0.6RA – 25 + 6 + 1 = 0  RA = 30 kN Semakan, Jumlah daya keatas = Jumlah daya ke bawah RA + RE + 20 kN + 10 kN = 50 kN  (30 – 10 + 20 + 10) kN = 50 kN (kiraan adalah betul) Jika jumlah daya ke atas tidak sama dengan jumlah daya kebawah, ini menunjukkan pengiraan tersebut tidak tepat. Gambarajah momen lentur ditunjukkan seperti di bawah: 50 kN RE = 10 kN 0.1 m 0.2 m 0.2 m 0.1 m RA = 30 kN 20 kN 10 kN 3 kNm G.M.L 1 kNm
  • 34. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /34 Dari G.M.L, momen lentur maksimum berlaku pada x = 0.1 m, dalam persamaan M = 30x, iaitu: Mm = 30 x 0.1 = 3 kNm  M Menggunakan  dengan y I m = 100 x 106 N/m2 d ym = 2 Mm = 3 kNm d 4 I = 64 Kita dapati, 100 x 106 3 x 103  d  x d4 2 64 100 x 106 x 2 3 x 103 x 64  d  x d4 3 x 103 x 64 d3   x 100 x 106 x 2 dan d  67.36 mm 10.5 Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y dari tapak B1 h1 P.N. h2 y1 B2 y3 y y2 h3 B3 x x Rajah 10.5(a)
  • 35. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /35 Bahagian Luas ( mm2 ) y ( mm ) 25 25 x 150 = 3750 300 – 25/2 = 387.5 150 250 25 x 250 = 6250 25 + 125 = 150 mm 25 25 200 x 25 = 5000 12.5 mm 200 Langkah 2 Kirakan pusat graviti bagi keratan – I tersebut ( y ) . Katakan jarak pusat graviti keratan itu ialah y dari tapak. Ay y  A A 1 y1  A 2 y 2  A 3 y 3  A1  A 2  A 3 ( 3750 )(287.5 )  ( 6250 )( 150 )  ( 5000 )(12.5 )  ( 3750)  ( 6250)  ( 5000 ) y  138.5 mm Langkah 3 Kirakan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian. Gunakan formula dibawah :- 3 Formula ini digunakan kerana bd IG  bentuk piawai bagi keratan ini 12 adalah segiempat tepat.
  • 36. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /36 Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3 3 3 3 b1d1 b1d1 b1d1 IG1  IG1  IG1  12 12 12 150 x 253 25 x 2503 200 x 253    12 12 12  195 x 103 mm 4  32.55 x 106 mm 4  260.4 x 103 mm 4 Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan Formula :- Nilai h di perolehi setelah y keseluruhan I xx   ( I G  A h 2 ) di tolak dengan y untuk setiap bahagian  I G1  A 1 h 1  I G2  A 2 h 2  I G3  A 3 h 3 2 2 2  195 x 10 3  ( 3750 x 287.5 2 )  32.55 x 10 6  ( 6250 x 150 2 )  260.4 x 10 3  ( 5000 x 12.5 2 ) = 196.5 x 106 mm4 = 196.5 x 10-6 m4 a) ybawah = 138.5 mm  yatas = 300 – 138.5 mm = 161.5 mm yatas  ybawah  max terhasil pada permukaan atas.
  • 37. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /37 M  σ max I    max  I y y atas 35 x 106 x 196.5 x 10- 6  Nm 0.01615  425.85 kNm 6 kN/m 6L Tindakbalas, R = 2 Lm = 3L R R Mmax berlaku pada pertengahan rentang, iaitu: L  L  L  Mmaks = 3L   (-6)   kNm = 0.75L2 kNm = 750 Nm 2  2  4   750L2 = 425.85 x 103  L = 23.8 m b) Oleh kerana rasuk itu melendut, maka permukaan bawah mengalami tegasan lentur tegangan. - 35 MN/m2 161.5 mm P.N. =0 138.5 mm + bawah Keratan rentas Agihan tegasan Rajah 10.5(b)
  • 38. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /38 y bawah tegangan = x σ maks y atas 138.5 = x 35 MN/m2 161.5 = 30 MN/m2
  • 39. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /39 PENILAIAN KENDIRI Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan dari pensyarah modul anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya !!!!!!!!!!!!! 1. 150 mm A B 25 mm 25 mm 250 mm 25 mm 200 mm 2. 90 mm 20 mm 40 mm 30 mm
  • 40. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /40 3. 20 cm 1 cm 1 cm 4 cm 5 cm 20 cm 1 cm 1 cm 4. 70 mm 30 mm 100 mm 5. Sebatang rasuk berbentuk keratan ‘T’ dibebankan seperti Rajah 5. Kirakan tegasan-tegasan lentur maksimum yang berlaku dalam rasuk ini. 120 mm 20 kN 750 mm 20 mm A B 160 mm 20 mm 3m Rajah 5: Rasuk Keratan T Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban Tumpu
  • 41. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /41 6. Sebatang rasuk dibebankan seperti Rajah 6. Jika tegasan lentur maksimum dihadkan kepada 35 kN/m2, kirakan nilai b. 5 kN 1m 3b A B 2m b Rajah 6: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban Tumpu 7. Sebatang rasuk berkeratan rentas bulat dibebankan seperti Rajah 7. Kirakan tegasan lentur maksimum yang berlaku. 600 kN 100 kN 250 mm 50 mm A B 600 mm 200 mm Rajah 7: Rasuk Disokong Mudah Keratan Bulat Yang Dikenakan Beban Tumpu 8. Tentukan nilai b bagi sebatang rasuk disokong secara mudah seoerti Rajah 8 dibawah dengan syarat tegasan lentur maksimum tidak melebihi 150 MN/m2. 2 kN/m 100 mm 5m RA RB b b Rajah 8: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban Teragih Seragam
  • 42. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /42 9. Sebatang rasuk julur dibebankan seperti Rajah 9. Jika tegasan lentur tidak boleh melebihi 60 MN/m2, tentukan W W 40 mm 10 mm 100 mm 240 mm Rajah 9: Rasuk Julur Bergeronggang Yang Dikenakan Beban Tumpu
  • 43. TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /43 MAKLUMBALAS KENDIRI Adakah anda telah mencuba ? Jika “Ya”, sila semak jawapan anda. Jawapan 1. 196.5 x 10-6 m4 2. 868 x 10-9 m4 3. 5742.7 cm4 4. 5.2 x 10-6 m4 5. Tegasan lentur maksimum = 38.35 MN/m2, 74.02 MN/m2 6. b = 47.6 mm 7. Tegasan lentur maksimum = 114.06 MN/m2 8. b = 25 mm 9. W = 17.39 kN