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Factorial

  1. 1. Función gammaSaltar a: navegación, búsquedaFunción Gamma en el eje real.Valor absoluto de la función gamma en el plano complejo.En matemáticas, la función Gamma (denotada como ) es una función que extiendeel concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integralconverge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejoexcepto a los enteros negativos y al cero.Si n es un entero positivo, entonceslo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la funciónGamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo de n.
  2. 2. La función Gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por loque es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.Contenido[ocultar] 1 Definición tradicional 2 Definiciones alternativas 3 Obtención de la ecuación funcional usando integración por partes 4 Propiedades 5 Función Pi 6 Relación con otras funciones 7 Valores de la función Gamma 8 Aproximaciones 9 Aplicaciones de la función gamma o 9.1 Cálculo fraccionario 10 Véase también 11 Referencias 12 Enlaces externos o 12.1 Sitios web o 12.2 Lecturas adicionales[editar] Definición tradicionalLa función gamma en el plano complejo.Si la parte real del número complejo z es positiva (Re(z) > 0), entonces la integralconverge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la siguientepropiedad:
  3. 3. Esta ecuación funcional generaliza la relación del factorial. Se puedeevaluar analíticamente:Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso especial de lafunción Gamma:para los números naturales n.La función Gamma es una función meromorfa de con polos simples en y residuos .1 Estaspropiedades pueden ser usadas para extender desde su definición inicial a todo elplano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuaciónanalítica.[editar] Definiciones alternativasLas siguientes definiciones de la función Gamma mediante productos infinitos, debidasa Euler y Weierstrass respectivamente, son válidas para todo complejo z que no sea unentero negativo:donde es la constante de Euler-Mascheroni.Es sencillo mostrar que la definición de Euler satisface la ecuación funcional dadaarriba como sigue. Dado
  4. 4. También puede obtenerle la siguiente representación integral:[editar] Obtención de la ecuación funcional usandointegración por partesObtener es sencillo:Ahora obtendremos una expresión para como una función de :Usamos integración por partes para resolver la integralEn el límite inferior se obtiene diréctamente .En el infinito, usando la regla de LHôpital: .Por lo que se anula el primer término, , lo que nos da el siguiente resultado:
  5. 5. La parte derecha de la ecuación es exactamente , con lo que hemos obtenidouna relación de recurrencia: .Apliquemos la fórmula a unos pocos valores:[editar] PropiedadesDe la representación integral se obtiene: .Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula dereflexión de Eulery la fórmula de duplicaciónLa fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicaciónUna propiedad básica y muy útil de la función Gamma , que puede obtenerse a partir dela definición mediante productos infinitos de Euler es:Varios límites útiles para aproximaciones asintóticas:
  6. 6. Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo esLa cual puede obtenerse haciendo en la fórmula de reflexión o en la fórmulade duplicación, usando la relación de la función Gamma con la función beta dada másabajo con o haciendo la sustitución en la definición integralde la función Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, paravalores impares de n se tiene: (n impar)donde n!! denota al doble factorial.Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma. Porejemplo:A partir de la representación integral de la función Gamma, se obtiene que su derivadan-ésima es:La función Gamma tiene un polo de orden 1 en para todo número natural y elcero. El residuo en cada polo es:El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan elfactorial de los números naturales a los reales, sólo la función Gamma es logaritmoconvexa (o log-convexa), esto es, el logaritmo natural de la función Gamma es unafunción convexa.El desarrollo en Serie de Laurent de para valores 0 < z < 1 es:
  7. 7. Donde es la función zeta de Riemann.[editar] Función PiGauss introdujo una notación alternativa de la función Gamma denominada función Pi,que en términos de la función Gamma es:Así, la relación de esta función Pi con el factorial es bastante más natural que en el casode la función Gamma:La fórmula de la reflexión toma la siguiente forma:Donde sinc es la función sinc normalizada, el teorema de la multiplicación se escribeasí:A veces se encuentra la siguiente definicióndonde es una función entera, definida para todo número complejo, pues no tienepolos. La razón de ello es que la función Gamma y, por tanto, la función Pi, no tienenceros.[editar] Relación con otras funciones En la representación integral de la función Gamma, tanto el límite superior como el inferior de la integración están fijados. La función gamma incompleta superior e inferior se obtienen modificando los límites de integración superior o inferior respectivamente.
  8. 8. La función Gamma está relacionada con la función beta por la siguiente fórmula La derivada logarítmica de la función Gamma es la función digamma . Las derivadas de mayor orden son las funciones poligamma . El análogo de la función Gamma sobre un cuerpo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial. La función gamma inversa es la inversa de la función gamma, que es una función entera. La función Gamma aparece en la definición integral de la función zeta de Riemann :Fórmula válida sólo si . También aparece en la ecuación funcional de :[editar] Valores de la función GammaArtículo principal: Valores de la función Gamma
  9. 9. [editar] AproximacionesLa función Gamma se puede calcular numéricamente con precisión arbitrariamentepequeña usando la fórmula de Stirling o la aproximación de Lanczos.Para argumentos que sean múltiplos enteros de 1/24, la función Gamma puede serevaluada rápidamente usando iteraciones de medias aritmético geométricas (véaseValores de la función Gamma).Debido a que tanto la función Gamma como el factorial crecen muy rápidamente paraargumentos moderadamente grandes, muchos programas de computación incluyenfunciones que devuelven el logaritmo de la función Gamma. Este crece más lentamente,y en cálculos combinatorios es muy útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandesvalores a sumar o restar sus logaritmos.[editar] Aplicaciones de la función gamma[editar] Cálculo fraccionarioArtículo principal: Cálculo fraccional.La n-ésima derivada de (donde n es un número natural) se puede ver de la siguientemanera:como entonces donde npuede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediantelímites.
  10. 10. De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de , de e inclusivede una constante :FactorialSaltar a: navegación, búsqueda0 11 12 23 64 245 1206 7207 5.0408 40.3209 362.88010 3.628.80015 1.307.674.368.00020 2.432.902.008.176.640.00025 15.511.210.043.330.985.984.000.00050 30.414.093.201.713.378.043 × 104570 1,19785717... × 10100450 1,73336873... × 101.0003.249 6,41233768... × 1010.00025.206 1,205703438... × 10100.000100.000 2,8242294079... × 10456.573Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el productode todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. Es decir
  11. 11. La multiplicación anterior se puede simbolizar también comoLa operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmenteen combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorial de nrepresenta el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho hasido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos indios. Lanotación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturalesmanteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas,particularmente del análisis matemáticoContenido[ocultar] 1 Cero factorial 2 Aplicaciones 3 Productos similares o 3.1 Primorial o 3.2 Doble factorial 4 Implementación en lenguajes de programación 5 Véase también 6 Enlaces externos[editar] Cero factorialLa definición davui indicada de factorial es válida para números positivos. Es posibleextender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, enespecial es posible definirla para cualquier número real excepto para los númerosenteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los númerosenteros negativos.Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdocon la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como0!=1.Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, comosigue:
  12. 12. Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad: ,válida para todo número mayor o igual que 1.Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque4!= ,y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que3!= .El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya queSi aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n=1 tendríamos que 0!corresponde aAunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que noes más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convenciónde 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada enmuchas otras ramas de las matemáticas.[editar] AplicacionesLos factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, através del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a +b)n:donde representa un coeficiente binomial:
  13. 13. Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de lasprobabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través deldesarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los realescon la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dadopor la fórmula de Stirling:La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluarn! más rápidamente cuando mayor sea n.El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma demanera que[editar] Productos similares[editar] PrimorialEl primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, perosólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.[editar] Doble factorialSe define el doble factorial de n como:Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de doblesfactoriales (sucesión A006882 en OEIS) para empieza así: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de númerosnegativos:
  14. 14. Y esta es la sucesión de dobles factoriales para :El doble factorial de un número negativo par no está definido.1233Algunas identidades de los dobles factoriales: 1. 2. 3. 4. 5. 6.[editar] Implementación en lenguajes de programaciónLa función factorial es fácilmente implementable en distintos lenguajes deprogramación. Se pueden elegir dos métodos, el iterativa, es decir, realiza un bucle en elque se multiplica una variable temporal por cada número natural entre 1 y n, o elrecursivo, por el cual la función factorial se llama a sí misma con un argumento cadavez menor hasta llegar al caso base 0!=1.

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