QUISIERA QUE ANALIZARAN ESTA PRESENTACIÓN Y COMPRENDIERAN QUÉ ES EL MOMENTO DE INERCIA...

1. Semana 2 Sesión 1
Dinámica del cuerpo rígido
Posición, velocidad y aceleración angular. Aceleración
tangencial y centrípeta. Energía rotacional. Momento de
inercia.
Física 1

2. Cuerpo rígido
• Es un sistema de partículas que
interactúan entre sí, pero cuyas
posiciones relativas permanecen
constantes en el tiempo.
• Todo cuerpo rígido posee un centro de →
masas, el cual describe un movimiento
de traslación debido a la acción de las
F1 →
F2
fuerzas externas que actúan sobre él.
• Dicho movimiento se rige por las leyes
de Newton.
→
d P CM →
= ∑Fi →
F3
dt

3. Rotación de cuerpos rígidos
• Un cuerpo rígido se define como aquel
que no es deformable . O sea, en el que
las distancias entre todos sus pares de
partículas permanecen constantes. Posición
final
• Al rotar, el cuerpo rígido realiza un
movimiento circular que puede ser θ (t )
descrito usando el concepto de
velocidad angular, ω. Posición
inicial
∆θ (t )
ωmed =
∆t
dθ (t )
ω=
dt
rad
[ ω] =
s

4. Ejemplo 9.1 Cálculo de la velocidad angular
• El volante del un motor de automóvil
sometido a prueba recorre una posición
angular que está dada por:
θ ( t ) = 2, 0t 3
θ (t ) = 2, 0t 3
• El diámetro del volante es de 0,36 m. a)
Calcule el ángulo θ, en radianes y grados, en
t1=2,0 s y t2 = 5,0 s. b) Calcule la distancia que
una partícula en el borde se mueve durante
ese intervalo. c) Calcule la velocidad angular
media, en rad/s y en rpm, entre t1=2,0 s y t2 =
5,0 s. d) Calcule la velocidad angular
instantánea a los t = t2 = 5,0 s.
θ1 = 16 rad = 920°
θ1 = 250 rad = 14 000° dθ
ω= = 6, 0t 2
s = rθ = ( 0,18 ) ( 250 − 16 ) m = 42 m dt
∆θ ω = 150 rad/s
ω= = 78 rad / s = 740 rev / min
∆t

5. Dirección de la velocidad angular

6. Aceleración angular constante
• La aceleración angular es la rapidez de
cambio de la velocidad angular.
dω
α=
dt
• En el caso de que la aceleración angular
es constante, antiderivando, se puede
hallar la expresión de la velocidad
angular.
ω (t ) = ω0 + α t
• Antiderivando la expresión de la
velocidad angular se tiene la expresión
de la posición angular.
1
θ (t ) = θ 0 + ω0t + α t 2
2

7. Ejemplo 9.3 Rotación con aceleración angular constante
• El disco de una película de DVD se
está deteniendo. La velocidad angular
del disco en t = 0 es de 27,5 rad/s y su
aceleración angular constante es de
-10,0 rad/s2. Una línea PQ en la ω = 27 ,5 + ( −10 ,0)( 0 ,300 ) = 24 ,5 rad/s
superficie del disco está a lo largo del
eje +x en t = 0. a) ¿Qué velocidad
angular tiene el disco en t = 0,300 s? b)
¿Qué ángulo forma la línea PQ con el
eje +x en ese instante?
ω = 27, 5 + ( −10, 0 ) ( 0, 300 ) = 24, 5 rad/s
1
θ = 0 + ( 27, 5 ) ( 0, 300 ) + ( −10, 0 ) ( 0, 300 )
2
2
θ = 7,80 rad = 447° = 1, 24 rev

8. Aceleraciones tangencial y centrípeta
• Como la velocidad tangencial se • Por otro lado, la aceleración centrípeta
relaciona con la velocidad angular. o radial también se puede expresar a
través de la velocidad angular.
v = rω
v2
ac = ac = r ω 2
r
• La aceleración tangencial también se • El módulo de la aceleración de la
relaciona con la aceleración angular.
partícula se calcula por:
a = a t2 + a c2
at = rα

9. Ejemplo 9.4
• Un lanzador de disco gira el disco un
a t = r α = 40,0 m/s 2
círculo de radio 80,0 cm. En cierto
instante, el lanzador gira con una a c = ωr 2 = 80,0 m/s 2
rapidez angular de 10,0 rad/s y la
rapidez angular está aumentando a
razón de 50 rad/s2. Calcule las a = a t2 + a c2 = 89, 4 m/s 2
componentes de la aceleración
tangencial y centrípeta del disco y la
magnitud de la aceleración.

10. Energía del movimiento rotacional
• Si suponemos que un cuerpo rígido es 1
un conjunto de partículas, cada una K i = mi vi2
girando con velocidad angular ω 2
alrededor del eje fijo en z, entonces la
energía cinética de una de las partículas
será:
1
K = ∑ K i = ∑ mi vi2
• La energía cinética total será la suma de 2
las energías cinéticas de las partículas; y
1
como todas giran con la misma rapidez K = ( ∑ mi ri2 ) ω 2
angular, la expresión final será: 2

11. Momento de inercia
• La cantidad entre paréntesis se conoce • Si un cuerpo tiene un gran momento de
como momento de inercia para un inercia, es difícil ponerlo a girar si está
conjunto discreto de partículas, I: en reposo o es difícil frenarlo si está en
movimiento. Por esta razón, I también
I = ∑ mi ri 2 se denomina inercia rotacional.
• ¿En qué caso es mas fácil girar el
aparato?
• Para un cuerpo con un eje de rotación
dado y una masa total dada, cuanto
mayor sea la distancia del eje a las
partículas que constituyen el cuerpo,
mayor será el momento de inercia.
• El momento de inercia es una medida
de la resistencia que presentan
todos los cuerpos a cambiar su
• En función de I, la energía K total de
estado de rotación. Así pues, un
cuerpo que tenga un mayor momento un cuerpo rígido será.
1 2
de inercia presentará una mayor K= Iω
resistencia a cambiar su estado de 2
rotación.

12. Ejemplo 9.7
• Un ingeniero está diseñando una pieza
mecánica formada por tres conectores
gruesos unidos por puntales ligeros
moldeados. a) ¿Qué momento de
inercia tiene este cuerpo alrededor de
un eje que pasa por el punto A y es
perpendicular al plano del diagrama? b)
¿Y alrededor de un eje coincidente con
la varilla BC? c) Si el cuerpo gira sobre
el eje que pasa por A y es perpendicular
al plano del diagrama, con rapidez I =  ( 0,30 ) ( 0 ) 2 + ( 0,10 ) ( 0, 50 ) 2 + ( 0, 20 ) ( 0, 40 ) 2  kg ×m 2
angular ω = 4,0 rad/s, ¿qué energía  
cinética tiene? I = 0,057 kg ×m 2
I =  ( 0,30 ) ( 0,40 ) + ( 0,10 ) ( 0 ) + ( 0, 20 ) ( 0 )  kg ×m 2
2 2 2
 
I = 0,048 kg ×m 2
1
K = ( 0,057 ) ( 4,0 ) J = 0,46 J
2
2

13. Ejercicio
• Considere una molécula agua que gira
en el plano xy alrededor del eje z. El eje
pasa por ese centro de la molécula de
oxígeno. Si d = 9,57 x 10-11 m y cada
átomo de hidrógeno tiene una masa de
1,0 u y el de oxígeno 16,0 u, determine
la energía cinética de la molécula si se
sabe que el conjunto rota con una
velocidad angular de 4,60 x 1012 rad/s.
Considere que los átomos son puntos
materiales.
• 1 u = 1,66 × 10-27 kg
I = ( mO ) ( 0 ) + 2 ( m H ) ( d )
2 2
1
K= ( 2m H d ) ω 2 = m H d ω 2 = 3, 36 ×10 −12 J
2

14. Fin de la presentación