Razones, proporciones y porcentajes

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8vos años Liceo Bicentenario

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  • 1. RAZONES YPROPORCIONES
  • 2. RAZÓN PROPORCIÓNDIRECTA INVERSA COMPUESTA PORCENTAJE
  • 3. ¿Qué son las razones yproporciones? Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen Por ejemplo La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de pescado irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de pescado a comprar
  • 4. RAZÓN Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidadespor medio del cuociente entre ellas. Se puede escribir como a:b a ó =k Se lee " a es a b b a Antecedente b Consecuente
  • 5. APLICACIONES DE RAZONESEn lenguaje decartografía la razónse conoce comoescala.Si un mapa está aescala 1:1000,¿Qué significa?Cualquier distancia(digamos 1cm) en elmapa, representa1000 cm en la vidareal es decir 10m.
  • 6. APLICACIONES DE RAZONESLos demógrafos, que son losque estudian la evolución delas poblaciones establecen quela razón de natalidad anual esde 13 1000 Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 13 bebés.
  • 7. APLICACIONESLa razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos,como densidad poblacional. Por ejemplo, se sabe que la población de Antofagasta es de 285.255 personas, y también se sabe que la superficie es de 30.718,1 kilómetros cuadrados. Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de 285255 habitantes por kilómetro cuadrado = 9,3 30718,1 ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 9 personas!
  • 8. RAZONES EQUIVALENTESDos razones son equivalentes si el valor de larazón es el mismo.Ejemplo la razón 3:4 es equivalente a la razón 6:8,ya que 3:4 = 6:83:4= 0,75 y 6:8=0,75•2:4 es equivalente a 4:82:4= 0,5 y 4:8= 0,5•5:2 es equivalente a 10:45:2 = 2,5 y 10:4 = 2,5
  • 9. AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR• Dado que una razón es una fracción, podemos amplificarla y simplificarla para obtener razones equivalentes, así:Simplificar DivisiónAmplificar Multiplicación
  • 10. PROPORCIONESSe llama proporción a la equivalencia entre dos razones Se escribe a c = o a:b=c:d Se lee “a es a b como c es a d” b dEn toda proporción: a c = Medios b dExtremos
  • 11. OBSERVACIÓNEl producto de los medios es igual al producto de los extremos. Dada la proporción: a c = b d Se cumple: a⋅d = b⋅c
  • 12. PROPORCIONALIDAD DIRECTADos o más cantidades a y b son directamenteproporcionales cuando su cociente es constante (k)
  • 13. PORCENTAJE
  • 14. INTRODUCCIÓN Para calcular un porcentaje, se divide elentero en 100 partes iguales y se toma de ella lacantidad requerida. Si una cantidad se divide en100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se estáconsiderando el 25 % de la cantidad.
  • 15. EJEMPLO Si se dice que el10% de los alumnos deeste curso son niñas, seestá diciendo que decada 100 alumnos 10son niñas.
  • 16. CÁLCULO DE PORCENTAJE Para trabajar con tantos por cientos, seprocede como una proporción directa.
  • 17. EJEMPLO Calcular el 32 % de 459. La proporción que se debe formar es:
  • 18. EJEMPLO ¿Qué porcentaje es 142 de 568?Solución: La proporción que se debe formar es:
  • 19. EJEMPLO De qué cantidad es 96 el 12%?Solución: La proporción que se debe formar es:
  • 20. OBSERVACIÓN• Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta.• Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye. Ejemplo: Mas horas de trabajo mas producción
  • 21. EJEMPLO En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas? Se tiene:Huevos Personas Formando la proporción 3 12 3 12 = x 20 x 20Multiplicando cruzado 3 ⋅ 20 = 12 ⋅ x Resolviendo para x, se tiene que: 5= x Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas
  • 22. EJEMPLOUn vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía suvelocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minutoy medio?
  • 23. EJERCICIOS• Para tejer 2 chalecos de niño se utilizarán 240 gramos de lana. Si queremos tejer 5 chalecos, ¿cuántos gramos de lana necesitaremos?• Con 6 litros de pintura, se puede pintar 40 m2 de pared. ¿cuántos litros de pintura se necesitan para pintar 96 m2?• Una llave que arroja 40 litros de agua por minuto, llena un estanque en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo demora en llenar el mismo estanque una llave que arroja 60 litros por minuto?
  • 24. PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos o más cantidades son inversamenteproporcionales si los productos que se obtienen almultiplicar los términos de cada una de las razones sonconstantes.
  • 25. OBSERVACIÓN Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye. Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.Ejemplo: El número de obreros y el tiempo para realizar una obra
  • 26. EJEMPLO En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? Se tiene: Formando la Se invierte laGallinas Días proporción 300 20 segunda razón 300 x 300 20 = = 400 20 400 x 400 xMultiplicando cruzado 300 ⋅ 20 = 400 ⋅ x Resolviendo para x, se tiene que: x = 15 tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos Por lo
  • 27. EJEMPLOUn depósito de agua sellena en 2.25 horasempleando cinco llaves deagua de igual diámetro.¿En cuánto tiempo sellenará, si se utilizan tresllaves?
  • 28. EJEMPLO DE PROPORCIONALIDAD1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar es una proporción...2. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es...3. La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es...4. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es...5. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es...