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ZENONE
e i suoi paradossi
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I filosofi ionici dell’Asia Minore avevano cercato di
individuare un “principio primo” da cui tutte le cose
sarebbero derivate.
Talete aveva insegnato che tale principio andava
trovato nell’acqua, ma altri pensatori preferivano
considerare come elemento fondamentale l’aria o il
fuoco.
I pitagorici avevano assunto un orientamento più
astratto, postulando che il numero, con tutta la sua
pluralità, costituisse la sostanza fondamentale che
stava dietro ai fenomeni.
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Questo atomismo numerico, splendidamente illustrato
nella geometria dei numeri figurati, era stato
criticato dai seguaci di Parmenide di Elea (circa 450
a.C.).
Il dogma fondamentale degli eleatici era l’unità e la
permanenza dell’essere, concezione che si
contrapponeva alle idee pitagoriche di molteplicità e
mutamento.
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Fra i discepoli di Parmenide il più noto era Zenone di
Elea che avanzò argomentazioni atte a dimostrare la
contraddittorietà insita nei concetti di molteplicità e
divisibilità.
Il metodo seguito era dialettico: nasce la dialettica,
l’arte del discorso non-contraddittorio. Il linguaggio
scientifico deve seguire il principio d’identità e quello
di non-contraddizione.
Nasce la terminologia matematica e la concezione
razionale degli enti geometrici.

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Nella sua strenua difesa della continuità, secondo
quanto ci tramanda Aristotele, Zenone sviluppa dei
paradossi di cui quattro sembrano i più importanti:
il paradosso della dicotomia
il paradosso di Achille e la tartaruga
il paradosso della freccia
il paradosso dello stadio
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Il paradosso della dicotomia
Un oggetto in movimento, prima che possa percorrere
una data distanza, deve innanzitutto percorrere metà di
tale distanza; ma prima di poter fare ciò, deve
percorrere il primo quarto della distanza; ma prima di
fare ciò deve percorrere il primo ottavo della distanza e
così via in un numero infinito di suddivisioni.
Ma è impossibile esaurire una collezione
infinita di elementi, pertanto siamo
giunti ad una condizione impossibile!!!
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Il paradosso di Achille e la tartaruga
Achille, l’eroe greco velocissimo, ed una tartaruga si
impegnano in una gara. Achille concede un certo
vantaggio alla tartaruga ma il ragionamento di Zenone
mostra che Achille, per quanto veloce possa correre,
non potrà mai raggiungere e superare la tartaruga, per
quanto lenta questa possa essere!!!
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Infatti, se chiamiamo AT il vantaggio concesso da
Achille alla tartaruga, nel tempo impiegato dall’eroe
greco a spostarsi da A a T, la tartaruga avrà compiuto un
altro spazio TT’, e così via all’infinito!!!
AT = 1 vA= 1 vt= ¼
Spazi percorsi dalla tartaruga:
1 1·1/4=1/4 1/4 ·1/4=1/16 …

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La somma (infinita) di tutti gli spazi percorsi sarà il
tragitto che deve compiere Achille per raggiungere la
tartaruga!!!
Progressione geometrica di ragione ¼, di somma 4/3!!!
Tra la partenza e il sorpasso se la tartaruga percorre
uno spazio x Achille percorre uno spazio 1+x, e poiché la
velocità di Achille è quadrupla di quella della tartaruga
si ha:
1+x=4x
da cui risolvendo x=1/3
E quindi S=4/3
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Il paradosso della freccia
La freccia che viene scoccata dall’arco è ferma!!!
Infatti un oggetto che vola occupa sempre uno spazio
uguale a se stesso, ma ciò che occupa sempre uno spazio
uguale a se stesso non è in movimento. Pertanto la
freccia che vola è in quiete in ogni istante, e quindi il
suo movimento è un’illusione.
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Il paradosso dello stadio
Siano A1, A2, A3, A4 corpi di uguale dimensione immobili e
B1, B2, B3, B4 corpi della stessa dimensione degli A ma che
si muovono verso destra in modo che ciascun B superi
ciascun A nel minimo intervallo di tempo possibile.
C1, C2, C3, C4 corpi della stessa dimensione degli A e B
che si muovono verso sinistra rispetto agli A in modo che
ciascun C superi ciascun A nel minimo intervallo di tempo.
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In un dato istante:
A4A3A2
A1
B4B3B2B1
C4C3C2C1

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Poi, trascorso un singolo istante, ossia dopo una
suddivisone di tempo “indivisibile”, le posizioni
saranno:
A4A3A2A1
B4B3B2B1
C4C3C2C1
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Allora C1 avrà superato due B, per cui l’istante non può
essere l’intervallo di tempo minimo, giacchè possiamo
assumere come nuova e più piccola unità di tempo il
tempo impiegato da C1 a superare un B.
Questi quattro paradossi hanno mostrato così
l’impossibilità del movimento nonché della infinita
suddivisibilità dello spazio e del tempo.
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A questi paradossi possiamo aggiungere:
per assurdo Zenone mostra come, ammettendo le grandezze
geometriche costituite da infiniti elementi (le monadi), queste
grandezze dovrebbero essere nello stesso tempo “piccole epiccole e
grandi: piccole fino a non aver grandezza alcuna, grandi finograndi: piccole fino a non aver grandezza alcuna, grandi fino
ad essere infinitead essere infinite”. Infatti, se una cosa è indivisibile, non ha
parti e quindi è priva di grandezza: quindi se si aggiunge ad
un’altra grandezza, non rende questa più grande, e così se si
toglie da un’altra grandezza, non rende questa più piccola.
Perciò è nullanulla. D’altra parte, se una grandezza è composta di
elementi, è necessario che anch’essi abbiano una certa
grandezza. Ma nell’ipotesi della pluralità, ciascuno degli
elementi che compongono una data grandezza deve essere
separato dagli altri mediante qualche altro elemento (il vuoto
non esiste), e così indefinitamente. Quindi ogni grandezza
sarebbe composta da un numero infinito di elementi, e cioè
dovrebbe essere infinitainfinita. Dunque l’ipotesi della pluralità è
assurda.
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Dire che una grandezza è composta di elementi,
significa ammettere implicitamente che il numero di
questi è limitatolimitato, e che due elementi qualunque sono
separati da un certo intervallo. Ma anche questo
intervallo è composto da altri elementi per cui tra due
elementi comunque vicini esistono altri elementi e così
via. Quindi la stessa grandezza sarebbe composta da un
numero infinitoinfinito di elementi.
Si deduce chiaramente che Zenone riconobbe che,
proseguendo la divisione di una grandezza, le parti che si
ottengono sono sempre più piccole e che non vi è un
termine alla diminuzione.
Possiamo affermare, in conclusione, che i paradossi di
Zenone aprono la strada all’analisi infinitesimale, ma era
troppo presto per capirlo!!