Distribuzioni di Probabilita

Variabili casuali e Distribuzioni di Probabilità

Variabili Casuali (v.c.) Una variabile casuale X e’ una funzione definita sullo spazio campionario Ω che associa ad ogni evento E ⊂ Ω un unico numero reale. X Ω x6 E2 E3 x5 E1 x4 E6 E5 E4 E7 x3 x2 E9 E8 x1

Variabili casuali discrete e continue • Una variabile casuale discreta può assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali. • Una variabile casuale continua può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale. Ω discreto V.C. discreta Ω continuo V.C. discreta o continua

Variabili casuali discrete P(X=xi) Probabilità che la v.c. X assuma il valore xi La funzione di probabilità di una variabile casuale discreta X associa ad ognuno dei valori xi la corrispondente probabilità P(X=xi) Proprietà ∑ i P ( xi ) = 1 P ( xi ) ≥ 0

Esempio Corrispondenza tra eventi e valori della variabile casuale X “somma dei punteggi”, nella prova “lancio di due dadi”

Funzione di Ripartizione Data una v.c discreta X, la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate P(X ≤ x) viene detta funzione di ripartizione ed indicata con F (x ) = P ( X ≤ x ) = ∑P(X = w) w ≤x

Esempio X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(x) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 F(x) 136 3 36 6 36 1036 1536 2136 2636 3036 3336 3536 1 1 F(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x

Funzione di Ripartizione: proprietà • è non decrescente, ossia: x1 < x 2 ⇒ F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) • Inoltre lim F ( x ) = 0 lim F ( x ) = 1 x →−∞ x →∞ • è continua a destra, ossia lim F (x ) = F ( x0 ) + x → x0

Variabili casuali continue Chiameremo Funzione di densità, la funzione matematica f(x) per cui l’area sottesa alla funzione, corrispondente ad un certo intervallo, è uguale alla probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo.

Proprietà delle funzioni di densità ≥ • f(x)≥0 sempre • L’area totale sottesa alla funzione =1, ossia +∞ ∫ f ( x ) dx = 1 −∞ • La probabilità che la v.c. assuma un particolare valore dell’intervallo è zero.

Funzione di Ripartizione Data una v.c. continua X, la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate ≤ P(X≤ x) viene detta funzione di ripartizione. x F ( x ) = P( X ≤ x ) = ∫ f ( w )dw −∞

Variabili casuali continue Esempio: 2,0 f x X ~ f ( x) 1,5 f ( x) = 12x(1 − x)2 1,0 x ∈ [0;1] 0,5 0,229 0, 7 0,0 ∫ f (x)dx = 0,229 0,0 0,5 0,7 1,0 X 0, 5 +∞ 1 ∫ f (x)dx =∫ f (x)dx =1 −∞ 0 P(0,5<X<0,7)

Esempio Funzioni di densità e corrispondenti funzioni di ripartizione f (x ) F (x ) x x 2,00 1,0 f (x ) F (x ) 0,8 1,50 0,6 1,00 0,4 0,50 0,2 0,00 0,0 0,0 1,5 x 3,0 0,0 1,5 x 3,0

Valore atteso di una v.c. Il valore medio di una v.c. X, è definito come E ( X ) = ∑ x i P ( x i ) Se la v.c. è discreta i +∞ E(X ) = ∫ x f (x ) dx Se la v.c. è continua −∞

Esempio: v.c. discreta X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(x) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 F(x) 136 3 36 6 36 1036 1536 2136 2636 3036 3336 3536 1 1 2 3 4 5 6 5 4 E(X ) = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 36 36 36 36 36 36 36 36 3 2 1 + 10 + 11 + 12 =7 36 36 36

Esempio: v.c. continua − λx Consideriamo la v.c. X ~ λe con lambda una costante positiva e x ≥0 (Esponenziale). Il valore atteso è dato da 2,0 1,6 +∞ −λx 1 E(X ) = ∫ xλe dx = 1,2 −∞ λ 0,8 0,4 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

La varianza di una v.c. La varianza V(X) di una variabile casuale X è definita da V ( X ) = ∑ ( x i − E ( X ))2 P ( x i ) Se la v.c. è discreta i +∞ V (X ) = ∫ (x − E ( X ))2 f (x )dx Se la v.c. è continua −∞

Varianza di una v.c. Notazioni alternative: V ( X ) = E {[ X − E ( X )] 2 } oppure, dopo alcuni passaggi ( )− [E ( X )] V (X ) = E X 2 2 La deviazione standard è definita SD ( X ) = V ( X )

V.c. Standardizzate I valori standardizzati esprimono la distanza tra i valori osservati e la media in termini di deviazione standard. Se X è una v.c. con valore E(X) e SD(X) allora: X − E( X ) Y = SD( X ) È una v.c. standardizzata con E(Y)=0 e V(Y)=1

Teorema di Chebyshev Sia X una variabile casuale e k un valore reale positivo, allora vale la seguente disuguaglianza: P ( X − E ( X ) ≥ k ⋅ SD ( X )) ≤ 2 1 k Indipendentemente dalla distribuzione della v.c. , la probabilità che X assuma valori distanti dalla media più di k deviazioni standard è al più 1/k2

Distribuzioni di probabilità • Sono una estensione delle distribuzioni di frequenza • Il caso più semplice da trattare è relativo a distribuzioni di probabilità di variabili discrete – Variabili discrete: • Fenomeni di conteggio • Esperimenti con modalità limitate – Variabili continue: • Misurazioni • Esperimenti con modalità nel continuo

Metodi di sintesi delle distribuzioni • In analogia con quanto detto circa le distribuzioni di frequenze, anche per le distribuzioni di probabilità abbiamo la necessità di sintetizzare i dati • In particolare ci interessa una sintesi di centralità – Valore atteso • Ed una sintesi della variabilità – Varianza – Scarto quadratico medio – Coefficiente di variazione

Modelli probabilistici • Per modello si intende una legge di probabilità in grado di misurare l’incertezza circa il fenomeno reale sotto studio Fenomeno reale: reale Modello matematico: matematico Numero di figli Distribuzione di per famiglia probabilità da associare al fenomeno di interesse Risultati dal per analizzarlo lancio di un dado

• In funzione del fenomeno reale sotto studio, si cerca di associare un modello opportuno a descriverne la variabilità • I modelli si dividono in: – Modelli discreti, alcuni dei quali sono: • Modello uniforme discreto • Modello binomiale • Modello poisson – Modelli continui • Modello normale • Modello esponenziale

Modello uniforme (1) • Si tratta della distribuzione più semplice • Consente di valutare la probabilità di un fenomeno per il quale ognuno degli k possibili risultati sia equamente probabile. • Ad esempio, la probabilità che un numero sia estratto al lotto è descritta dal modello Uniforme, perché ciascuno dei 90 numeri ha una probabilità pari a 1/90 di essere estratto.

Modello bernoulliano (1) • Questo particolare modello è adatto a descrive la probabilità associata a variabili dicotomiche, cioè fenomeni che assumono soltanto uno tra due possibili valori: x = 1 (si verifica un certo evento di interesse E, ed x = 0 se non si verifica l’evento E). • Esempio: (morto vs vivo, maschio vs femmina; presenza di un evento di interesse contrapposto a tutti gli altri) • P ( X = 1) = p P ( X = 0) = 1 − p E(X ) = p var( X ) = p (1 − p )

Distribuzione di Bernoulli Una v.c. di Bernoulli può assumere il valore 1 con probabilità π e il valore 0 con probabilità 1-π π La sua funzione di probabilità può essere espressa come P ( X = x ) = π x (1 − π )1− x per x = 0,1 Tutte le prove che producono solo due possibili risultati generano v.c. di Bernoulli: il lancio di una moneta, il sesso di un nascituro, il superamento o meno di un certo livello di inflazione….

Modello Binomiale • Il modello binomiale, descrive la probabilità il numero x di successi ottenuti in un campione di n prove (osservazioni): n! Pr( X = x | p ) = p x (1 − p ) n − x x!(n − x)!  n x n− x =   p (1 − p )  x   E ( X ) = np var( X ) = np (1 − p )

Modello Binomiale (2) • La formulazione Pr(X = x) indica che su n osservazioni si sono verificati esattamente x successi e, di conseguenza, n – x insuccessi • Poiché le prove sono indipendenti e la probabilità di successo è costante pari a p per ogni prova, osserveremo su n tentativi: – x con probabilità p – n – x con probabilità 1 – p • Rimane da considerare il fatto che l’ordine in cui le prove sono osservate è variabile e noi siamo interessati solo al totale dei successi-insuccessi, non all’ordine

Modello Binomiale (3) • Infatti, si potrebbero verificare: – tutti i successi e poi tutti gli insuccessi – oppure un successo e un insuccesso in sequenza – oppure tutti gli insuccessi e poi tutti i successi … • Per tenere conto di queste possibilità, le probabilità sono moltiplicate per il numero di possibili combinazioni di k  n n!  =  x  x!(n − x)! con n!= n × (n − 1) × ... × 2 × 1  

N=10 p=0.4

Calcolo delle probabilità nel modello binomiale • Calcolare Pr(X = 3|n = 4, p = 0.1) 4! Pr( X = 3) = 0.13 (1 − 0.1) 4 − 3 3!(4 − 3)! 4 × 3× 2×1 = × 0.13 × 0.9 1 3 × 2 × 1× 1 = 4 × 0.001 × 0.9 = 0.0036

• Calcolare Pr(X ≥ 3) con n = 4 prove e p = 0.1 Poiché le prove sono Pr( X ≥ 3) = Pr( X = 3 ∪ X = 4 ) indipendenti per Hp 4! 4 −3 4! = 0.1 (1 − 0.1) + 3 0.14 (1 − 0.1) 4 − 4 3!(4 − 3)! 4!(4 − 4 )! 4 × 3× 2×1 4 × 3× 2×1 = × 0 .1 × 0 .9 + 3 1 × 0.1 × 0.9 4 0 3 × 2 × 1× 1 4 × 3 × 2 × 1× 1 = 4 × 0.001 × 0.9 + 1 × 0.0001 × 1 = 0.0036 + 0.0001 = 0.0037 Perché 0! = 1 per definizione

• Calcolare Pr(X < 3) con n = 4 prove e p = 0.1 Pr( X < 3) = Pr( X = 0 ∪ X = 1 ∪ X = 2) = Pr( X = 0 ) + Pr( X = 1) + Pr( X = 2) 2 = ∑ Pr( X = i) i =0 4! Pr( X = 0 ) = 0.10 (1 − 0.1) 4 −0 = 0.6561 0!(4 − 0 )! 4! 4 −1 Pr( X = 1) = 0.1 (1 − 0.1) = 0.2916 1 1!(4 − 1)! 4! Pr( X = 2) = 0.12 (1 − 0.1) 4 − 2 = 0.0486 2!(4 − 2)!

N=4 p=0.1

Esempi di Binomiale 0,300 Binomiale(7;0,5) 0,250 0,200 Binomiale(20;0,5) 0,150 0,100 0,050 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Modello Poisson (1) • Il modello Poisson si adatta a rappresentare esperimenti aleatori che danno luogo ad un numero discreto di eventi in un intervallo continuo (es. arrivi in un aeroporto in un’ora di tempo, ) • Le realizzazioni degli eventi devono avere le seguenti caratteristiche: – L’intervallo (di tempo o di spazio) è suddivisibile in n sottointervalli all’interno dei quali la probabilità di manifestarsi di un evento è piccola e la probabilità di manifestarsi di più eventi tende a zero – La probabilità di manifestarsi degli eventi nei sottointervalli è costante – Eventi relativi a sotto intervalli differenti sono stocasticamente indipendenti (processo senza memoria)

Modello Poisson (2) • In termini matematici il modello è specificato come: −λ e λ x Pr( X = x | λ ) = x! • Il parametro λ rappresenta il numero medio di eventi che si verificano nell’intervallo (numero atteso di successi)

Distribuzione di Poisson Una v.c. di Poisson, è una v.c. discreta che può assumere qualsiasi valore intero non-negativo. La distribuzione di probabilità della Poisson è data da λx −λ P( x ) = e x = 0, 1, 2, K 0<λ<∞ x! 0,40 0,35 Poisson(1) E(X ) = λ 0,30 0,25 Poisson(3) V (X ) = λ 0,20 0,15 Poisson(7) 0,10 0,05 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Modello Poisson (3) • L’esperimento aleatorio di interesse è il “numero di arrivi di clienti presso una banca” • Supponiamo che mediamente arrivino 3 clienti ogni minuto • Ci interessa calcolare: – la probabilità che nello stesso intervallo arrivino esattamente 2 clienti – la probabilità che nello stesso intervallo arrivino più di 2 clienti

Modello Poisson (4) • Utilizzando la funzione della distribuzione Poisson, si ha che: −3 −3 e 3 2 9 × (2.71828 ) Pr( X = 2) = = 2! (2 × 1) = 0.224

Modello Poisson (5) • Invece, per determinare ∞ Pr( X > 2) = ∑ Pr( X = i) i =3 è più comodo notare che: Pr( X > 2) = 1 − Pr( X ≤ 2) = Pr( X = 0 ) + Pr( X = 1) + Pr( X = 2) dove queste tre probabilità sono “semplici” da calcolare

Modello Poisson (6) e −3 3 0 1 × (2.71828 ) −3 Pr( X = 0 ) = = 0! 1 = 0.0498 e −3 3 1 3 × (2.71828 ) −3 Pr( X = 1) = = 1! 1 Pr( X > 2) = 0.577 = 0.1494 e −3 3 2 9 × (2.71828 ) −3 Pr( X = 2) = = 2! (2 × 1) = 0.224

Modello Poisson (7) • NB nel modello Poisson, il parametro λ rappresenta anche la varianza oltre che il numero atteso di eventi • Dunque, all’aumentare della media, aumenta anche la varianza della distribuzione • Questo fa sì che nella pratica si possa ricorrere a formulazioni alternative del modello Poisson, che permettono di “modellare” in modo indipendente il termine di variabilità

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