Your SlideShare is downloading. ×
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDASlično kao i kod prizme i ovde ćemo najpre objasniti oznake ...-   sa a obeležavamo dužinu o...
PRAVA PRAVILNA TROSTRANA PIRAMIDA                                                  s        H   h     s                   ...
h 2 = H 2 + ru2 to jest   s            H           h        s                                                             ...
s                                                  d⋅H      s       H              H       h                      h       ...
P ovog dijagonalnog preseka je :                                P ovog dijagonalnog preseka je :                 s        ...
a1                                                                a1           a1            a1                           ...
a1                         a                        -2                                a                                   ...
a1                                                           a1                                                           ...
2) Osnova prave piramide je pravougaonik, sa stranicama 12cm i 9cm. Odreditizapreminu piramide, ako je njena bočna ivica 1...
3) Osnova prizme je trougao čije su stranice 13cm, 14cm i 15cm. Bočna ivicanaspram srednje po veličini osnovne ivice norma...
4) Izračunati zapreminu pravilnog tetraedra u funkciji ivice aTetraedar je pravilna jednakoivična trostrana piramida.     ...
5) Izraziti visinu pravilnog tetraedra u funkciji zapremine V.Iskoristićemo rezultat prethodnog zadatka    a3 2V=         ...
6) Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene piramide ako su osnovneivice 7m i 5m i dijagonala 9m.           ...
7) Izračunati zapreminu pravilne šestostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice2m i 1m i bočna ivica 2m             ...
a1 3                      6          H                H                                           60 o                    ...
a 3 b 3 ( a − b) 3          x=    −   =            3     3     3             H       tgα =              x       ⇓         ...
Izvucimo ‘’na stranu’’ dijagonalni presek:                    C                                    Dobili smo 2 slična tro...
B = P + P2 + ...Pn            1          a1r a2 r         ar r       B=     +     + ... + n = (a1 + a2 + ...an ) → gde je ...
19
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Piramida i zarubljena_piramida

53,716

Published on

0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
53,716
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
246
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Piramida i zarubljena_piramida"

  1. 1. PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDASlično kao i kod prizme i ovde ćemo najpre objasniti oznake ...- sa a obeležavamo dužinu osnovne ivice- sa H obeležavamo dužinu visine piramide- sa h obeležavamo dužinu visine bočne strane ( apotema)- sa s obeležavamo dužinu bočne ivice- sa B obeležavamo površinu osnove (baze)- sa M obeležavamo površinu omotača- omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi) , naravno trostrana piramida u omotaču ima 3 takve strane, četvorostrana - 4 itd.- ako u tekstu zadatka kaže jednakoivična piramida, to nam govori da su osnovna ivica i bočna ivica jednake , to jest : a = s- ako u tekstu zadatka ima reč prava – to znači da je visina piramide normalna na ravan osnove ili ti , jednostavnije rečeno , piramida nije kriva- ako u tekstu zadatka ima reč pravilna , to nam govori da je u osnovi ( bazi ) pravilan mnogougao: jednakostraničan trougao, kvadrat, itd.Dve najvažnije formule za izračunavanje površine i zapremine su: P = B + M za površinu i 1 V= B ⋅ H za zapreminu 3 www.matematiranje.com 1
  2. 2. PRAVA PRAVILNA TROSTRANA PIRAMIDA s H h s a ru ro a a2 3Kako je u bazi jednakostraničan trougao, to će površina baze biti: B= 4 a⋅hU omotaču se nalaze tri jednakokraka trougla ( površina jednog od njih je Pbočne strane = ) , a kako ih ima 3 u 2 a⋅homotaču, to je: M =3 2 1 V = B⋅H 3 P = B+M 1 a2 3 V= ⋅H a2 3 a⋅h 3 4 P= +3 4 2 a2 3 V= ⋅H 12Dalje nam trebaju primene Pitagorine teoreme . Kod svake piramide postoje po tri trougla na kojima možemoprimeniti Pitagorinu teoremu: 2 s H h s ⎛a⎞ s 2 = h2 + ⎜ ⎟ a ⎝2⎠ a/2 a www.matematiranje.com 2
  3. 3. h 2 = H 2 + ru2 to jest s H h s 2 s H h s s 2 = H 2 + ro2 to jest ⎛a 3⎞ 2 h2 = H 2 + ⎜ ⎛a 3⎞ a ⎜ 6 ⎟ ⎟ s = H +⎜2 2 ⎝ ⎠ ⎜ 3 ⎟ ⎟ ru ru ro ro ⎝ ⎠ a a PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA PIRAMIDA s s H h a a U bazi je kvadrat, pa je površina baze B=a 2 a⋅h U omotaču se nalaze četiri jednakokraka trougla ( površina jednog od njih je Pbočne strane = ), pa je površina 2 a⋅h omotača M = 4 odnosno M = 2ah 2 1 P = B+M V = B⋅H 3 P = a 2 + 2ah 1 V = a2 ⋅ H 3Primena Pitagorine teoreme: 2 ⎛d ⎞ s s2 = H 2 +⎜ ⎟ od n os n o s s ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛a⎞ s H h 2 s H h s H h 2 ⎛a 2 ⎞ s2 = h2 + ⎜ ⎟ ⎛a⎞ s2 = H 2 +⎜ ⎟ to je s t h = H +⎜ ⎟ 2 2 ⎜ 2 ⎝ ⎟ ⎠ a/2 ⎝ 2⎠ a ⎝2⎠ a a2 a/2 s2 = H 2 + d/2 2 a a a www.matematiranje.com 3
  4. 4. s d⋅H s H H h h PDP = odnosno 2 a⋅H 2 PDP = d a 2 a dijagonalni presek PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA PIRAMIDA s H s h a a a a a2 3 a2 3U bazi je šestougao, pa je površina baze B = 6 =3 4 2 a⋅hU omotaču se nalaze šest jednakokraka trougla ( površina jednog od njih je Pbočne strane = ), pa je površina 2 ahomotača jednaka M =6 = 3ah 2 1 V = BH P = B+M 3 1 a2 3 a2 3 V = ⋅3 H P=3 + 3ah 3 2 2 a2 3 V= H 2 2 s H ⎛a⎞ s H s s H s ⎛a 3⎞ 2 s 2 = h2 + ⎜ ⎟ H s = H +a 2 2 2 h = H +⎜ 2 2 ⎜ 2 ⎟ s ⎟ h ⎝2⎠ h h ⎝ ⎠ a a a a a a 3 a 2 a a/2 a a a www.matematiranje.com 4
  5. 5. P ovog dijagonalnog preseka je : P ovog dijagonalnog preseka je : s H s H s s hpresekas a 3 ⋅ hpreseka 2a ⋅ H h Pmdp = Pvdp = to jest Pvdp = a ⋅ H 2 2a a 2 a a a3 a a a a veći dijagonalni presek manji dijagonalni presekČetvorostrana piramida (u osnovi romb): d1 d 2 ah BH d1 2 dP= B+M B= = ah M=4 =2ah V= a2=( ) + ( 2 )2 2 2 3 2 2Formulice: aha bhb chc abc1) nejednakostranicni trougao: P= = = P= s ( s − a )( s − b)( s − c) P= r s P= 2 2 2 4R a+b+cgde je s poluobim s= , r-poluprečnik upisane kruznice i R-poluprečnik opisane kružnice. 2 ab ch c a+b−c2) pravougli trougao: P= ili P= c a2+b2=c2 R= ; r = ; hc= pq ; a= pc ; b= qc c=p+q 2 2 2 23) jednakokraki trougao ah bh aP= a = b ha2+( )2= b2 2 2 2Pogledajte formulice iz oblasti mnogougao i četvorouglovi.... PRAVA PRAVILNA TROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA a1 a1 a1 h H s a s a a 2 a 2 3 a1 3 a + a1 P = B+B1+ M B= B1= M=3 h 4 4 2 H 3H 2 2 V= (B+B1+ BB1 ) ili V = ( a +a1 + aa1) 3 12 www.matematiranje.com 5
  6. 6. a1 a1 a1 a1 a1 a1 ru1 ro 1 1 a -a h 2 h H H HH s s s a a a s a a a h ru ro a a -a 2 ( a − a1 ) 3 ( a − a1 ) 3 2 ⎛ a − a1 ⎞ 2 2 2 ( )2 + H 2 = s 2 ( ) + H 2 = h2 ⎜ ⎟ +h=s 3 6 ⎝ 2 ⎠ x a a a h H s a s a B1 HVisina dopunske piramide je: x= a B − B1 PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA a1 s a1 h H s a a a + a1 P = B+B1+ M B=a2 B1= a12 M=4 h = 2(a+a1)h 2 H H 2 2 V= (B+B1+ BB1 ) V= (a +a1 + aa1) 3 3 www.matematiranje.com 6
  7. 7. a1 a -2 a -2 d s s -2 1 s a1 a1 h h H h H H s s s a -2 a a -a d 2 -2 a a a a − a1 2 a − a1 2 d − d1 2 ( ) +h = s 2 2 ( ) + H 2 = h2 ( ) + H 2 = s2 2 2 2osni presek: a1 h H h adijagonalni presek: d1 D H s d d + d1 2 B1 H a1 HAko sa x obeležimo visinu dopunske piramide , onda je x= = B − B1 a − a1 PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA a1 a1 a1 s s H h a a a 2 6a 2 3 6a1 3 a + a1 P = B+B1+ M B= B1= M=6 h =3(a+a1)h 4 4 2 H H 3 2 2 V= (B+B1+ BB1 ) ili V= ( a +a1 + aa1) 3 2 www.matematiranje.com 7
  8. 8. a1 a1 a1 a1 a1 a1 a1 3 a a1 2 a1 -2 a1 s s s s s s H H h H h h h a - a 3 a 2 a a a 2 a a a a a − a1 2 (a − a1 ) 3 2 ) +h = s (a − a1 )2 + H 2 = s 2 2 2 ( ( ) + H 2 = h2 2 2 B1 HVisina dopunske piramide je i ovde: x= B − B1 Zadaci 1) Date su osnovna ivica a = 10cm i visina H = 12cm pravilne četvorostrane piramide. Odrediti njenu površinu i zapreminu. a = 10cm H = 12cm _____________ P=? s V =? H h a/2 a a Prvo ćemo naći visinu h : 2 ⎛a⎞ h = H +⎜ ⎟ 2 2 ⎝2⎠ h = 12 + 52 2 2 BH V= h = 169 2 3 h = 13cm a2 H V= P = B+M 3 102 ⋅12 P = a 2 + 2ah V= 3 P = 102 + 2 ⋅10 ⋅13 V = 100 ⋅ 4 P = 100 + 260 V = 400cm3 P = 360cm 2 www.matematiranje.com 8
  9. 9. 2) Osnova prave piramide je pravougaonik, sa stranicama 12cm i 9cm. Odreditizapreminu piramide, ako je njena bočna ivica 12,5cm. b d/2 a = 12cm b = 9cm s = 12,5cm _______________ V =?Najpre nadjemo dijagonalu osnove (baze) d 2 = a2 + b2 d 2 = 12 2 + 9 2 d 2 = 144 + 81 d 2 = 225 d = 15cmSada ćemo naći visinu H iz trougla. ⎛d ⎞ 2 1 H = s −⎜ ⎟ 2 2 V= BH ⎝2⎠ 3 1 H = 12,52 − 7,52 2 V = abH 3 H 2 = 100 1 H = 10cm V = 12 ⋅ 9 ⋅10 3 V = 360cm 2 www.matematiranje.com 9
  10. 10. 3) Osnova prizme je trougao čije su stranice 13cm, 14cm i 15cm. Bočna ivicanaspram srednje po veličini osnovne ivice normalna je na ravan osnove i jednaka je16cm. Izračunati površinu i zapreminu piramide.Nadjimo najpre površinu baze preko Heronovog obrasca.a = 13cmb = 14cm ⇒ a + b + c 13 + 14 + 15 s= = = 21c = 15cm 2 2B = S ( S − a )( S − b)( S − c) = 21 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 6 = 84cm 2nama treba dužina srednje po veličini visine ( hb ) osnove. C b ⋅ hb 14 ⋅ hb P= ⇒ 84 = 2 2 84 = 7 hb hb hb = 12cmA BNaći ćemo dalje visinu bočne strane h . h 2 = H 2 + hb h 2 = 16 2 + 12 2H=16cm h h 2 = 256 + 144 c h 2 = 400 hb b h = 20cm aPovršina je jednaka zbiru površina ova četiri trougla!!! a ⋅ H c ⋅ H bh 1P = B+ + + V = BH 2 2 2 3 13 ⋅16 15 ⋅16 14 ⋅ 20 1P = 84 + + + V = 84 ⋅16 2 2 2 3P = 84 + 104 + 120 + 140 V = 448cm3P = 448cm 2 www.matematiranje.com 10
  11. 11. 4) Izračunati zapreminu pravilnog tetraedra u funkciji ivice aTetraedar je pravilna jednakoivična trostrana piramida. a 1 V= BH a 3 H r0 a a a HIzvucimo trougao: a 3 ro = 3 2 ⎛a 3⎞ a 2 ⋅ 3 9a 2 − 3a 2 6a 2H 2 = a2 − ⎜ ⎟ = a2 − ⎜ 3 ⎟ = = ⎝ ⎠ 9 9 9Dakle: a 6 H= 3 1 a2 3 a 6 V = ⋅ 3 4 3 3 a 18 V = 36 a3 ⋅ 3 2 PAZI: 18 = 9 ⋅ 2 = 3 2 V = 36 a ⋅ 2 3 V = 12 www.matematiranje.com 11
  12. 12. 5) Izraziti visinu pravilnog tetraedra u funkciji zapremine V.Iskoristićemo rezultat prethodnog zadatka a3 2V= i izraziti a 12 12Va3 = 2 12V 2a3 = ⋅ 2 2a = 6 2V 3a = 3 6 2Va = 3 66 23 VKako je a 6H= to je 3 3 66 23V 6 H= 3 6 6 2 ⋅ 6 63 ⋅ 6 2 ⋅ 3 V H= 3 6 65 ⋅ 2 3 V 6 25 ⋅ 35 ⋅ 2 3 V H= = 3 3 2 6 35 3 V H= 3 www.matematiranje.com 12
  13. 13. 6) Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene piramide ako su osnovneivice 7m i 5m i dijagonala 9m. a = 7m a1 a1 = 5m a1 D = 9m H ____________ D V =? a aDa bi našli visinu H moramo uočiti dijagonalni presek. a1 2 D H a 2 + a1 2 x= 2 x 7 2 +5 2 a1 2 x= 2 x = 6 2mD2 = H 2 + x2H 2 = D2 − x2 ( ) ( ) 2H 2 = 92 − 6 2 H V= B + B1 + BB1 3H 2 = 81 − 72 V = (a 2 + a12 + aa1 ) HH2 =9 3H = 3m V = (7 2 + 52 + 7 ⋅ 5) 3 3 V = 109m 3 www.matematiranje.com 13
  14. 14. 7) Izračunati zapreminu pravilne šestostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice2m i 1m i bočna ivica 2m a1 a = 2m a1 = 1m H 2 = s 2 − (a − a1 ) 2 s = 2m H 2 = 2 2 − 12 _________ H H H2 =3 H= 3 a a − a1V= H 3 ( B + B1 + BB1 ) H ⎛ 6a 2 3 6a12 3 6aa1 3 ⎞V= ⎜ + + ⎟ 3⎜ 4 ⎝ 4 4 ⎟ ⎠ 3 6 3 2 2V= 3 ⋅ 4 ( 2 + 1 + 2 ⋅1) 3V = ⋅7 2 21V= 2V = 10,5m38) Osnovne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide su 2cm i 6cm. Bočna strananagnuta je prema većoj osnovi pod uglom od 60o . Izračunati zapreminu te piramide. r1 u a a = 6cm 1 a1 = 2cm a1 H PAZI: Kad se u zadatku kaže bočna strana pod nekim uglom, to je ugao izmedju visina bočne ru a strane i visine osnove!!! aIzvucimo na stranu trapez (pravougli) www.matematiranje.com 14
  15. 15. a1 3 6 H H 60 o a 3 x 6 a 3 a1 3 6 3 2 3 4 3 2 3 x= − = − = = 6 6 6 6 6 3 H 2 3 tg 60 o = ⇒ H = x ⋅ tg 60 o = ⋅ 3 = 2cm x 3 V= 2 3 2 3 4 ( ) 6 + 22 + 6 ⋅ 2 3 V= (36 + 4 + 12) 6 3 V= ⋅ 52 6 26 3 3 V= m 39) Bočne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide nagnute su prema ravni osnove poduglom α. Osnovne ivice piramide su a i b (a > b) . Odrediti zapreminu piramide. Izvucimo obeleženi trapez, iz njega ćemo naći visinu! s H a b 3 a 3 H H α x a 3 3 www.matematiranje.com 15
  16. 16. a 3 b 3 ( a − b) 3 x= − = 3 3 3 H tgα = x ⇓ ( a − b) 3 H = xtgα = ⋅ tgα 3 H ⎛ a 2 3 b 2 3 ab 3 ⎞ V= ⎜ + + ⎟ 3⎜ 4 ⎝ 4 4 ⎟⎠ 1 ( a − b) 3 3 2 V= ⋅ tgα ⋅ (a + b 2 + ab) 3 3 4 (a − b)tgα 2 V= (a + b 2 + ab) 12Kako je (a − b)(a 2 + b 2 + ab) = a 3 − b3 (a 3 − b3 )tgα V= 1210) Data je prava pravilna četvorostrana piramida osnovne ivice a = 5 2cm i bočneivice s=13cm. Izračunati ivicu kocke koja je upisana u tu piramidu tako da se njena četirigornja temena nalaze na bočnim ivicama piramide. C a = 5 2cm s = 13cm s Nadjimo najpre visinu piramide. 2 H ⎛a 2⎞ H = s −⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ B ⎝ ⎠ 2 x ⎛5 2 2 ⎞ x a H = 13 − ⎜ 2 2 ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ x a H = 144 2A H = 12cm www.matematiranje.com 16
  17. 17. Izvucimo ‘’na stranu’’ dijagonalni presek: C Dobili smo 2 slična trougla: ΔABC ~ ΔMNC M Q N PAZI: → AB je dijagonalna osnove AB = a 2 = 5 2 2 = 10cm → MN je dijagonala stranice kvadrata MN = x 2 A B D → Visina CD=H=12cm → Visina CQ=H-x=12-xDakle: AB : MN = CD : CQ 10 : x 2 = 12 : (12 − x) 10(12 − x) = 12 ⋅ x 2 120 − 10 x = 12 2 x 12 2 x + 10 x = 120 → Podelimo sa 2 6 2 x + 5 x = 60 x(6 2 + 5) = 60 60 x= → Racionališemo 6 2 +5 60 6 2 −5 x= ⋅ 6 2 +5 6 2 −5 60(6 2 + 5) x= Ovo je tražena ivica kocke. 72 − 25 60(6 2 + 5) x= 4711) Osnova piramide je tangentni poligon sa n stranica opisan oko kruga poluprečnika r.Obim poligona je 2p, bočne stranice piramide nagnute su prema ravni osnovne poduglom ϕ . Odrediti zapreminu piramide.Baza ove piramide je sastavljena iz n-trouglova. Ako stranice poligona obeležimo sa a ⋅ra1 , a2 ....an , onda će površina svakog od tih n-trouglova biti Pi = i , odnosno 2 www.matematiranje.com 17
  18. 18. B = P + P2 + ...Pn 1 a1r a2 r ar r B= + + ... + n = (a1 + a2 + ...an ) → gde je a1 + a2 + ...an obim poligona 2 2 2 2 r B = ⋅ 2 p = rp 2Pošto kaže da su bočne stranice nagnute pod uglom ϕ , to je: H tgϕ = ⇒ H = rtgϕ H r ϕ r 1 V = BH 3 1 V = rp ⋅ rtgϕ 3 r 2 p ⋅ tgϕ V= 3 www.matematiranje.com 18
  19. 19. 19

×