Este documento presenta un trabajo grupal sobre coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas y funciones integrales en 3 dimensiones. El trabajo analiza cada tema y tiene como objetivos entender cómo resolver ejercicios y explicar los temas a otros compañeros de clase. Incluye ejemplos y ecuaciones para transformar entre los diferentes sistemas de coordenadas.

1. TRABAJO GRUPAL:
Nombres:
 JOHNNY ORTIZ (342)
 MAX PALACIOS (279)
 CRISTIAN MOSQUERA (192)
Curso: 3ro ¨1¨
Tema:
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
Funciones integrales en 3 dimensiones
OBJETIVO GENERAL:
Analizar cada uno de los temas propuestos y entender la manera de resolver sus
ejercicios.
OBJETIVO ESPECIFICO:
Comprender con claridad los temas propuestos y hacer entender con facilidad a
los compañeros de clase.

2. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas
polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el
eje ), perpendicular al plano , como sigue:
 La coordenada radial, , es la distancia (en valor absoluto) del punto al
eje .
 La coordenada acimutal, , es el ángulo que la proyección del vector de
posición sobre el plano forma con el eje .
 La coordenada vertical, , es la distancia (con signo) al plano
.
Los rangos de variación de estas coordenadas son:
El ángulo también puede variar en el intervalo [0,2π).
1.1 ρ es siempre una cantidad positiva
A diferencia de las distancias en cartesianas, que tienen un signo indicando a qué
lado del plano se encuentran, la coordenada radial cilíndrica es siempre positiva.
Si nos encontramos en un punto y, sin cambiar ni , vamos reduciendo ρ lo que
hacemos es acercarnos al eje en línea recta. ¿Qué ocurre cuando atravesamos
el eje? Que a partir de ahí vuelve a aumentar, pero cambia a o a

3. Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares
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Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje,
en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría
Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas
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Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas
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El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría
alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.
Ejemplo1:
Hallar ecuacionesencoordenadascilíndricasparalassuperficiescuyasecuacionesrectangulares
se especificanacontinuación:

4. a) x2
+ y2
=4z2
b) y2
= x
Solucióna)
Por la secciónprocedente sabemosque lagraficade x2
+y2
=4z2
es un cono<<de dos hojas>>
con su eje enel eje z.si sustituimosx2
+y2
por r2
, obtenemossuecuaciónencilíndricas.
x2
+y2
=4z2
ecuaciónencoordenadasrectangulares.
r2
= 4z2
ecuaciónencoordenadascilíndricas.
Soluciónb)
La superficie y2
=x esun cilindroparabólicocongeneratricesparalelasal eje z.Sustituyendoy2
por r2
sen2
ө y x por r cos ө,obtenemos:
y2
= x ecuaciónrectangular.
r2
sen2
ө = r cos ө sustituiryporsen ө, x por r cos ө.
r(r sen2
ө –cos ө) = 0 agrupar terminosyfactorizar
r sen2
ө –cos ө = 0 dividirlosdosmienbrosporr
r =cos ө / sen2
ө despejarr
r cosec ө ctg ө ecuaciónencilíndricas.
Nótese que estaecuaciónincluye unpuntoconr = 0, así que no se ha perdidonadaal dividir
ambosmiembrosporel factor r.
COORDENADAS ESFERICAS
Es ensistemade coordenadasde sistemasesféricasunpunto p del espaciovienerepresentado
por un trío ordenado(p,ө,ǿ).
1.- p esla distancia de P al origen, p >< 0.

5. 2.- ө esel mismoAnguloutilizadoencoordenadascilíndricasparar> 0.
3.- ǿ esel Anguloentre el semieje zpositivoyel segmentorectoOP,0 > ǿ < π.
Nótese que las coordenadasprimerasytercerassonsiempre nonegativas.
La relaciónentre lascoordenadasrectangularesylasesféricas.Parasepararunoa otro deben
usarse lasformas siguientes:
Esféricasa rectangulares:
X =p senФ cos ө, y= p senФ senө, z = p cos Ф.
Rectangularesa esféricas:
P2
= x2
+ y2
+ z2
, tg ө=y/x, Ф= arcos (z/√ x2
+ y2
+z2
).
Para cambiar de coordenadasesféricasacilíndricas,oviceversa,debenaplicarse lasformulas
siguientes:
Esféricasa cilíndricas(r > 0):
r2
=p2
sen2
Ф, ө = ө, z = p cosФ.
Cilíndricasa esféricas(r> 0):
P= √r2
+ z2
, ө = ө, Ф = arcos (z/ √r2
+ z2
).
Las coordenadasesféricassonespecialmente apropiadasparaestudiarsuperficiesque tengaun
centrode simetría.

6. Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares
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Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas
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Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas
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Ejemplo1:
Hallaruna ecuaciónencoordenadasesféricaspararlassuperficiescuyasecuacionesen
coordenadasrectangularesse indican.
a).- cono: x2
+ y2
= z2
b).- esfera:-4z= 0

7. Solución:
a).-haciendolassustitucionesadecuadasparax,y, z enla ecuación dadase obtiene:
x2
+ y2
= z2
p2
sen2
Ф cos2
ө+ p2
sen2
Фsen2
ө=p2
cos2
Ф
p2
sen2
Ф (cos2
ө+ sen2
ө) =p2
cos2
Ф
p2
sen2
Ф = p2
cos2
Ф
sen2
Ф/ cos2
Ф = 1 p> 0
tg2
Ф = 1 Ф = π /4 o Ф = 3π/4
La ecuación Ф = π/4 representalamitadsuperiordel conoyla ecuación Ф = 3π/4 sumitad
inferior.
b).-comop2
= x2
+y2
+ z2
y z = p cos Ф, la ecuacióndadaadopta lasiguiente formaencoordenadas
esféricas.
P2
– 4 p cos Ф = 0 → p (p -4 cos Ф) = 0
Descartandopor el momentolaposibilidadde que p= 0, obtenemoslaecuaciónenesféricas.
P -4 cos Ф = 0 o p = 4cos Ф
Funciones integrales en 3 dimensiones
Consideraciones para primitivas de integrales de tres dimensiones:
1) La base en la integración 3D (a diferencia de 2D) debe escogerse de entre un sinnúmero
de formas. Aquí consideraremos dos: base triangular y base circular-elíptica.

8. 2) El Diferencial dxy que usamos como notación no representa un rectángulo infinitesimal,
como en la integral doble de 2D, más bien representa una porción del área de la base
independiente del sistema de coordenadas.
3) Los Límites de integración para evaluar la primitiva, son las distintas ecuaciones de las
superficies que delimitan el volumen a calcular.
4) La Constante de integración C puede ser una función y será omitida en el procedimiento.
5) Esta teoría no pretende sustituir las integrales múltiples.
6) Las aplicaciones físicas requieren redefinir los conceptos y principios de las leyes de la
física en el campo n dimensional donde se define la integral de simetría. Por ejemplo
¿cómo definimos la distancia en una integral de simetría de 3D? Obviamente tendríamos
que definirla como una función de dos variables independientes (velocidad y tiempo
independientes una del otro), y su interpretación geométrica ya no sería un área sino un
volumen. Sin embargo parece muy conveniente para aplicaciones en relatividad.
Integral de Base Triangular
Como su nombre indica consiste en tomar como base de integración un triángulo, que para
simplificar, elegimos rectángulo, cuyos catetos valen la unidad y coinciden con los ejes x, y
(como muestra la figura 2 en rojo). Sobre ella graficamos (en azul) la función "identidad",
apropiada para esta base f(x,y) = x + y. La figura patrón sobre la cual se define la simetría
es un paralelepípedo. El resultado es un prisma inscrito en un cubo con simetría 3, dentro
del mismo.

9. Aplicamos ahora el algoritmo de integración simétrica, anteriormente descrito, para obtener
la primitiva de la función identidad I(x,y) = f(x,y) = x + y, como lo hicimos para f(x) = x en
2D. Tomando en cuenta que la base b, es ahora el área de la base del cubo, b = x.y, con su
altura h = f(x,y). La primitiva F(x,y), es el volumen del cubo entre la simetría de la función
identidad que es 3:
De esta manera obtenemos la primera primitiva de una función escalar de 3D.
Aplicando ahora la hipótesis de la integración simétrica, tenemos la primitiva para
cualquier potencia de la función identidad (x + y)n:
Generalizando para un binomio con coeficientes a y b, resulta:
Ejemplo:
Hallar el volumen bajo la superficie de la función ,
comprendida entre los planos 2x + 3y = 3, 2x + 3y = 2. En la figura 3 graficamos lo que
queremos hallar

10. Aplicando la fórmula 1) la primitiva es
Los límites de integración para evaluar esta primitiva, son las distintas ecuaciones de
superficie, las cuales agrupamos a manera de parámetros b) y a) como en la integral
tradicional:
b) x = 3/2, y = 1, 2x + 3y = 3 a) x = 1, y = 2/3, 2x + 3y = 2
Introducimos estos parámetros en la primitiva hallada en la forma F(b) - F(a):
Este mismo resultado puede verificarse por el método tradicional de la integral múltiple,
originándose integrales nada fáciles de resolver, además de que se hace necesario dividir la
región en dos partes:
Ejemplo: Ilustremos también el poder de esta integral para calcular el volumen de una
semiesfera de radio a, y ecuación
, interceptada con un cilindro de radio r, x2 + y2 = r2 ver Fig. 5
Para hallar la primitiva de f(x,y) procedemos como estamos acostumbrados en el cálculo
tradicional, por cambio de variable d(a2 - x2 - y2) = - dxy, y aplicando la fórmula 2).

11. Ahora insertamos en esta primitiva obtenida, los límites de integración de las superficies
cilíndricas
Y el resultado es finalmente
Conclusiones