Your SlideShare is downloading. ×
Sistem Persamaan Linear dua variable
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Sistem Persamaan Linear dua variable

48,075

Published on

3 Comments
12 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
48,075
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
11
Actions
Shares
0
Downloads
948
Comments
3
Likes
12
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA DAN TIGA VARIABEL
  • 2. Pangestika S. S. (4101412004) Batul Fatin H. Heni Kholiqowati
  • 3. Standar Kompetensi: • Memahami sistem persamaan linier dua variabel dan tiga variabel serta menggunakannya dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar: • 2.1. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel • 2.2. Mengidentifikasi langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linier dua dan tiga variabel. • 2.3. Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel • 2.4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel dan penafsirannya SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA DAN TIGA VARIABEL
  • 4. Indikator : • Menyebutkan perbedaan PLDV dan SPLDV • Mengenal SPLDV dalam berbagai bentuk dan variabel • Menentukan akar SPLDV dengan substitusi dan eliminasi • Membuat model matematika dari masalah sehari- hari yang berkaitan dengan SPLDV dan SPLTV • Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua dan tiga variabel dan penafsirannya
  • 5. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
  • 6. • Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = c, dengan a,b,c R dan a  0 • Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah ax + by = c, dengan a,b,c R dan a  0, b  0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR
  • 7. Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)
  • 8. A. Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV) 1. Pengertian PLDV Perhatikan persamaan 2x+3y=5. Persamaan ini memiliki 2 variabel yaitu x dan y dan variabel tersebut berpangkat satu. Persamaan seperti 2x+3y=5 ini termasuk persamaan linier dua variabel. Contoh lain Persamaan linier dua variabel adalah: • x+2y = 0 • 3a+2b = 7 • y = 3x+5 • p 2 + q 3 = 4
  • 9. Perhatikan persamaan 2x + y = 6. Bagaimana cara menyelesaikan? Persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusi satu nilai pada x seperti berikut ini. Untuk x=1 maka 2x + y = 6 2(1) + y = 6 2 + y = 6 2 + y-2 = 6-2 y = 4 Jika x diganti 1 dan y diganti 4 maka 2x + y = 6 2(1)+ 4 = 6 6 = 6 (benar) Jadi x = 1 dan y = 4 merupakan penyelesaian dari 2x + y = 6 2. Penyelesaian PLDV
  • 10. Untuk x = -1 maka 2x + y = 6 2(-1) + y = 6 - 2 + y = 6 -2 + y + 2 = 6 + 2 y = 8 Jika x diganti 1 dan y diganti 4 maka 2x + y = 6 2(-1) + 8 = 6 -2 + 8 = 6 6 = 6 (benar) Jadi x=-1 dan y=8 merupakan penyelesaian dari 2x + y = 6
  • 11. Kesimpulan • Banyaknya penyelesaian PLDV adalah tidak berhingga • Pada PLDV jika penyelesaiannya dipilih bilangan bulat bentuk grafiknya adalah berupa titik-titik • Pada PLDV jika penyelesaiannya dipilih bilangan real bentuk grafiknya adalah berupa garis lurus
  • 12. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
  • 13. 1. Bentuk Umum Pasangan dua persamaan linear dua veriabel (atau lebih) yang ekuivalen dengan bentuk umum : a, b, c, d, p, qR a, c = koefisien dari x b, d = koefisien dari y p, q = konstanta x, y = variabel dengan penyelesaian, simultan atau serentak terpenuhi oleh pasangan terurut (x0, y0) dinamakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
  • 14. Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, antara lain : a. Metode Grafik Adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya. Langkah-langkahnya sebagai berikut : – Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat. – Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari system persamaan yang dimaksud. 2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
  • 15. Perhatikan sistem persamaan dua variable berikut : – Solusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan terurut yang merupakan solusi dari kedua persamaan. – Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem. – Solusi dari sistem adalah 2,3
  • 16. Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit.
  • 17. Sistem Kemiringan Grafik Penyelesaian Konsisten (mempunyai penyelesaian) dan bebas Berbeda Garis berpotongan di satu titik Satu Inkonsistent dan bebas atau berlawanan Sama Garis sejajar Tidak ada Konsisten dan bergantungan Sama Garis berimpit Tak terhingga Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan pada table berikut. Dengan a,b,c,d,p,q, R dan a,b,c,d ≠0
  • 18. 1022 1935   yx yx Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkahnya sebagai berikut : • Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara mengalikan dengan bilangan selain nol. • Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang bersesuaian dari kedua persamaan linear yang baru tersebut. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara eliminasi ! b. Metode Eliminasi
  • 19. Jawab: Eliminir y 4x = 8 x = 2 Eliminir x -4y = -12 y = 3 Jadi HP = {(2,3)} 1022 1935   yx yx 2 2 x x 3066 38610   yx yx 1022 1935   yx yx 5 2 x x 501010 38610   yx yx
  • 20.      9 1224 yx yx c. Metode Substitusi Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut : • Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain dari salah satu persamaan. • Substitusikan hasil dari langkah 1) ke persamaan yang lain. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara substitusi !
  • 21. Jawab: 4x-2y = 12 …………… (1) x + y = 9  x = 9 – y ….. (2) (2) substitusi ke (1) 4(9-y) – 2y = 12  36 – 4y – 2y = 12  -6y = 12 - 36  -6y = -24  y = 4 ………………… (3) (3) substitusi ke (2) x = 9 – 4 x = 5 Jadi HP = {(5,4)}
  • 22.      102 53 yx yx d. Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi) Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode substitusi. Metode eliminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama, dan hasilnya disubstitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !
  • 23. Jawab: Eliminir y 3x – y = 5 2x + y = 10 + 5x = 15 x = 3 x = 3 substitusi ke 3x – y = 5  3(3) – y = 5  9 – y = 5  -y = 5 - 9  -y = -4 y = 4 Jadi HP = {(3,4)}
  • 24. e. Cara Determinan Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan : ax + by = c px + qy = r diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy. Dengan : D = = aq – bp Dx = = cq – br Dy = = ar – cp Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan : x = dan y = qp ba qr bc rp ca D Dx D Dy
  • 25. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara determinan ! Jawab: D = = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7 Dx = = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14 Dy = = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7 x = = = 2 y = = = -1 Jadi HP = {(2, -1)}      53 132 yx yx 13 32 15 31 53 12 D Dx 7 14   D Dy 7 7 
  • 26. Contoh : Dua tahun yang lalu umur ayah 6 kali umur Adi, 18 tahun kemudian umur ayah menjadi 2 kali umur Adi. Tentukan persamaan linear dari permasalahan tersebut! Penyelesaian : •Permasalahan tersebut dapat dibuat dalam model matematika sebagai berikut : sekarang 2 tahun yg lalu 18 th kemudian Umur ayah x x - 2 x + 18 Umur adi y y - 2 y + 18 Perbandingan x – 2 = 6 (y – 2) x + 18 = 2 (y + 18) Penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier
  • 27. Perbedaan PLDV dan SPLDV
  • 28. • Sebuah PLDV mempunyai penyelesaian yang tidak berhingga banyaknya, sedangkan SPLDV pada umumnya hanya mempunyai satu pasangan nilai sebagai penyelesaiannya. • PLDV adalah sebuah persamaan yang mandiri, artinya penyelesaian satu PLDV tidak terkait dengan PLDV yang lain. Sedangkan SPLDV terdiri dari dua PLDV yang saling terkait dalam arti penyelesaian dari PLDV harus sekaligus memenuhi kedua PLDV pembentuknya. Perbedaan PLDV dan SPLDV
  • 29. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
  • 30. ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r C. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 1. Bentuk Umum a, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q, r R a, d, g = koefisien dari x b, e, h = koefisien dari y c, f, i = koefisien dari z p, q, r = konstanta x, y, z = variabel
  • 31. 122 112 1    zyx zyx zyx 2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, antara lain : a. Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi) Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !
  • 32. Dari (4) dan (5) eliminir y 5x = 10 x = 2 x = 2 substitusi ke (5) x – y = -1 2 – y = -1 -y = -1 – 2 y = 3 x = 2, y = 3 substitusi ke (1) x + y – z = 1 2 + 3– z = 1 -z = 1 – 5 z = 4 Jadi HP = {(2, 3, 4)} 1-y-x 122y3x   2 1 x x 222 1223   yx yx
  • 33. Jawab : Dari (1) dan (2) eliminir z x + y – z = 1 2x + y +z = 11 _ 3x + 2y = 12 ….. (4) Dari (2) dan (3) eliminir z 2x + y +z = 11 x + 2y +z = 12 _ x - y = -1 ….. (5) 122 112 1    zyx zyx zyx )3.....( )2.....( )1.....(
  • 34. b. Cara Determinan Sistem persamaan : diubah menjadi bentuk susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy, dan Dz. D = Dx = Dy = Dz= x = y = z = ihg fed cba irg fqd cpa D Dx D Dy D Dz ihr feq cbp rhg qed pba
  • 35. 1) Determinan cara sarrus - - - D = = aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb + + + 2) Determinan cara cramer D = = a - b + c = a(ei-fh) – b(di-fg) + c(dh-eg) = aie – afh – bdi + bfg + cdh – ceg Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : dengan cara determinan ! hg ed ba hg ed ihg fed cba ih fe ig fd ihg fed cba         03 932 52 zyx zyx zyx
  • 36. Jawab: - - - D = + + + = -4 + (-3) + 3 – (-2) – 18 - (-1) = -4 – 3 + 3 + 2 – 18 + 1 = -19 - - - Dx = + + + = (-10) + 0 + 27 – 0 – 45 - (-9) = -10 + 0 + 27 – 0 – 45 + 9 = -19 131 321 112   31 21 12   130 329 115   30 29 15  
  • 37. - - - Dy = = 18 + 15 + 0 – 9 – 0 - 5 = 19 + + + - - - Dz = + + + = 0 + (-9) + 15 – (-10) – 54 - 0 = 0 - 9 + 15 +10 – 54 - 0 = -38 x = = = 1 y = = = -1 z = = = 2 Jadi HP ={(1, -1, 2)} 101 391 152 01 91 52 031 921 512   31 21 12   D Dx 19 19   D Dy 19 19  D Dz 19 38  
  • 38. Sistem Persamaan Dua Variabel, Satu Linear Dan Satu Kuadrat
  • 39. y = ax + b y = px2 + qx + r D. Sistem Persamaan Dua Variabel, Satu Linear Dan Satu Kuadrat Bentuk umum: dengan a, b, p, q, r R Secara umum, langkah-langkah penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas sebagai berikut : 1. Substitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh: ax + b = px2 + qx + r px2 + qx – ax + r – b = 0 px2 + (q – a)x + (r – b = 0 (merupakan persamaan dalam x) 2. Nilai-nilai x pada langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan y = ax + b.
  • 40. Contoh: Selesaikan sistem persamaan : Jawab: Dari x – y = 2  x = y + 2 x = y + 2 substitusikan ke  (y + 2)2 + y2 = 20  y2 + 4y + 4 + y2 = 20  2y2 + 4y + 4 – 20 = 0  2y2 + 4y – 16 = 0  y2 + 2y – 8 = 0  (y + 4)(y – 2) = 0  y + 4 = 0 atau y - 2 = 0 y = -4 atau y = 2 Untuk y = -4  x = -4 + 2 = -2 y = 2  x = 2 + 2 = 4 Jadi HP = {(-2, -4),(4,2)} 2 2022   yx yx 222  yx
  • 41. LATIHAN SOAL !
  • 42. Latihan Soal 1. Gunakan metode grafik untuk mencari penyelesaikan SPLDV berikut : x-y = 1 dan 3x-y = 6 x + 2y = 8 dan 2x – y = 6 2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut a. Dengan substitusi 2x + y = 5 . . . . . . . ( i ) x + 3y = 10 . . . . . . . ( ii ) b. Dengan eliminasi 2x + y = 0 . . . . . . . ( i ) x + 3y = 15 . . . . . . . ( ii ) 3. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,- Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk ?
  • 43. 5. Adik berusia 13 tahun lebih muda dari kakak. Sembilan tahun kemudian, umur kakak dua kali lipat dari usia adik. Berapa jumlah umur adik dan kakak saat ini? 6. Tiga tahun yang lalu jumlah umur ayah dan ibu adalah 58 tahun. Lima tahun yang akan datang, umur ayah ditambah dua kali umur ibu adalah 110 tahun. Tentukan umur ayah dan ibu saat ini ! 7. Dengan metode subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut ! 2x + y- z = 3 ....(1) x + y + z = 1 ....(2) x - 2y -3z = 4 ....(3)

×