Analisis numericos

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Analisis numericos

  1. 1. ANALISIS NUMERICOSConceptos En Que Se Basan Los Métodos Numéricos, Importancia DeUtilizar Métodos Numéricos:Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemasnuméricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería ycientíficos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos,escribir programas y resolverlos en una computadora y usarcorrectamente el software existente para dichos métodos y no soloaumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino quetambién amplia la pericia matemática y la comprensi6n de losprincipios científicos básicos.Éstos métodos son adecuados para la solución de problemas comunesde ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoraselectrónicas. Los métodos numéricos pueden ser aplicados pararesolver procedimientos matemáticos en:• Cálculo de derivadas• Integrales• cuaciones diferenciales• Operaciones con matrices• Interpolaciones• Ajuste de curvas• Polinomios
  2. 2. Definición de Análisis NuméricoEl análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que seencarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticassimples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesosdel mundo real.El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de losordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticosextremadamente complejos, pero en última instancia operan con númerosbinarios y operaciones matemáticas simples.Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todoel andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientosmatemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose enalgoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillosempleando números.Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al conceptode estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticaspueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de númerosque a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona unpoder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida queva completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre endeterminar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamosalejando de la solución del problema.Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el dela representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticoscomo los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación enordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante quedista mucho del empleado por la matemática convencional.En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numéricocomo solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o"analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales,métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido aello, son procedimientos de uso frecuente por físicos .
  3. 3. Números de Máquinas DecimalesMarvin Minsky define de los números que se van a calcular más o menos comolo hizo allá por 1936 Alan Turing, como "una secuencia de dígitos interpretadacomo fracciones decimales" entre 0 y 1: "Un número computable [es] aquél para el que hay una máquina de Turing que, dado n en su cinta inicial, termina con el n-ésimo digito de ese número [codificado en esa cinta]." (Minsky 1967:159) Las claves de esta definición son: (1) se especifica n al principio, y (2) el cálculo tiene un número finito de pasos para cualquier n, después del cual la máquina produce el resultado deseado y termina. Una forma diferente de decir (2) podría ser que la máquina escribe sucesivamente todos los dígitos en la cinta y para con el n-ésimo dígito, y esta definición enfatiza la observación de Minsky: (3) utilizando una Máquina de Turing se da una definición finita de lo que es potencialmente una cadena infinita de dígitos decimales. Aun así, esta no es la definición formal y moderna, que únicamente requiere que el resultadeo sea preciso dado cualquier grado de precisión. La definición informal está sujeta a un problema de redondeo mientras que la moderna no. Definición formal Un número real a es computable si se puede dar una aproximación de él mediante una función computable de la siguiente forma: dado cualquier número entero , la función produce un número entero k tal que: Hay dos definiciones similares que son equivalentes:  Existe una función computable que, dado cualquier márgen de error , produce un número racional r tal que
  4. 4.  Existe una secuencia computable de números racionales que convergen en tal que para cada i. Existe aún otra definición de números computables mediante cortaduras de Dedekind. Una cortadura de Dadekind computable es una función computable que, proporcionado un número racional como entrada, devuelve ó , y cumplen las siguientes condiciones: Un ejemplo puede ser un programa D que define la raíz cúbica de 3. Asumiendo se define:Definición de Número Máquina Decimal "Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguienteforma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k"; De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes)tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.
  5. 5. Errores Absolutos y RelativosError AbsolutoError que se determina al dividir el error absoluto entre el valorverdadero. Se puede expresar en porcentaje, partes por mil o partespor millón.Error RelativoErrores que afectan la precisión de una medición. Ocasiona que losdatos se distribuyan más o menos con simetrías alrededor de unvalor promedio. (Se refleja por su grado de precisión).Cota de Errores Absolutos y Relativos Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el errorabsoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretendeencontrar cotas superiores de esos errores. Cuanto más pequeñas sean esascotas superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la soluciónexacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f ’(x)| ³m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces: Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la soluciónexacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada. Algunasveces, en la práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se estima enfunción de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)| es pequeño,se considera entonces Pn una buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| esgrande, entonces Pn no se considera como una buena aproximación de lasolución exacta P.
  6. 6. Fuentes Básicas de ErroresEn general, para cualquier tipo de error, la relación entre el númeroexacta y el obtenido por aproximación se define como:El Error de TruncamientoEl Error de RedondeoError = Valor real -valor estimadoEn ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, quedenotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado.Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en elcálculo el error detectado, podemos normalizar su valor :Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdaderoErrores De Una Suma Y Una RestaEn esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números enla computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon dela máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso.El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productosinteriores. En la práctica muchas computadoras realizarán operacionesaritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinasusuales.Estabilidad e InestabilidadEn el subcampo matemático del análisis numérico, la estabilidad numérica esuna propiedad de los algoritmos numéricos. Describe cómo los errores en losdatos de entrada se propagan a través del algoritmo. En un método estable, loserrores debidos a las aproximaciones se atenúan a medida que la computaciónprocede. En un método inestable, cualquier error en el procesamiento se
  7. 7. magnifica conforme el cálculo procede. Métodos inestables generanrápidamente basura y son inútiles para el procesamiento numérico.La estabilidad numérica de un método junto con el númerocondición (en:condition number) define cuán buen resultado podemos obtenerusando métodos aproximados para calcular cierto problema matemático.Condicionamiento Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal paraindicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeñoscambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionadosi pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en lasrespuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número decondición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de loserrores relativos". Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema malcondicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece unnúmero de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia unnúmero condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales seestablece otro tipo de número de condición; el número condicionadoproporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.De:Mauricio varela

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