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REDES FISICAS Y GRAFOS                         REALIDAD:                         Red física,                         Clien...
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El Problema de ruteo de vehículos  El VRP (Vehicle Routing Problem) es el m-TSP en el  cual se ha asociado una demanda a c...
El Problema de ruteo de vehículos  El Problema de Rutas de Vehículos o VRP puede ser descrito de  la forma siguiente: Cons...
El Problema de ruteo de vehículos   Figura 1: Solución para el VRP (4 rutas).   representa un depósito                    ...
El Problema de ruteo de vehículosExisten muchos algoritmos de solución para el VRP.En los últimos años han tomado importan...
Clases de problemas VRP  Entrega o recolección pura.  El anterior pero con backhauling (primero entrega los  productos y d...
Clases de problemas VRP  Flota homogénea (un solo tipo de vehículo)  Flota heterogénea (múltiples tipos de vehículos)  Cli...
Clases de problemas VRP  Por ejemplo el VRP con ventanas de tiempo (VRPTW)  sería:  Si al VRP agregamos una ventana de tie...
Clases de problemas VRP  El Problema de los m Agentes Viajeros (m-TSP), m  es fijado de antemano                          ...
Clases de problemas VRP  El VRP capacitado (o simplemente VRP)                                          34
Clases de problemas VRP  El VRP con flota heterogénea                                 35
Clases de problemas VRP  El VRPTW                          36
MÉTODOS HEURÍSTICOS PARA EL VRP  El VRP y todas sus variante es un problema de  optimización combinatoria duro, y puede  r...
MÉTODOS HEURÍSTICOS PARA EL VRP                                              (cont...) Atributos de buenas heurísticas par...
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHTHEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT  Es La heurística clásica más significativas para el VRP.  Esta heu...
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT  Si en una solución dos rutas diferentes (1, . . . , i, 1) y (1, j, . . .  ,1) pueden ser comb...
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT  Paso 1 (inicialización). Para cada cliente i construir la ruta (1, i,  1).  Paso 2 (cálculo d...
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT  Se ha observado que utilizando la definición original de ahorro  suele generarse algunas ruta...
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT                                 11                                      17                  12...
HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHTPor último, se puede efectuar un proceso de post-optimización decada ruta individual creada con...
Conclusiones …  Este tipo de métodos y su implementación en la  computadora pueden servir de núcleo para la  generación de...
Conclusiones …  En el mercado existen algunos productos comerciales para  computadoras personales que construyen rutas, su...
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Sandoya fernando métodos exactos y heurísticos para el vrp jornadas

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  1. 1. “Métodos Exactos y Heurísticos para resolver el Problema del Agente Viajero (TSP)y el Problema de Ruteo de Vehículos (VRP) ” Fernando Sandoya SánchezESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL Guayaquil, Ecuador Octubre 2007 1
  2. 2. IndiceIntroducciónRedes fisicas y grafosEl T.S.P.El problema de ruteo de vehículos.Clases de problemas VRP.Métodos heurísticos para el VRP.Heurística de Clarke Wright 2
  3. 3. IntroducciónLa distribución de bienesEl problema de distribuir productos desde ciertos depósitos asus usuarios finales juega un papel central en la gestión desistemas logísticos y su adecuada planificación puedesignificar considerables ahorros. Esos potenciales ahorrosjustifican en gran medida la utilización de técnicas deInvestigación Operativa como facilitadoras de la planificación,dado que se estima que el inadecuado manejo de la logística yel transporte incide en el 40% y hasta el 80% del costo final delos bienes (Foro intenacional Logística y facilitación delComercio y el transporte, Quito: Octubre 2007) 3
  4. 4. IntroducciónLa distribución de bienesLa efectiva administración de la distribución presenta unavariedad de problemas de toma de decisiones a los tres niveles dedecisión (estratégico, táctico y operativo).-Decisiones relativas a la localización de instalaciones (plantas,almacenes o depósitos) son estratégicas,-Los problemas de determinar el tamaño de la flota y sucomposición, son identificadas como tácticas.-Finalmente, las decisiones operativas incluyen las relativas a ladefinición de las rutas y la programación de los vehículos. 4
  5. 5. Introducción Pero el interés que reviste el área no es puramente práctico. Los Problemas de Ruteo de Vehículos son Problemas de Optimización Combinatoria y pertenecen, en su mayoría, a la clase NP-Hard. La motivación académica por resolverlos radica en que no es posible construir algoritmos que en tiempo polinomial resuelvan cualquier instancia del problema (a no ser que P = NP) 5
  6. 6. IntroducciónEn ese sentido, las últimas cuatro décadas han visto un enormeesfuerzo por resolver estos problemas.•En 1959, Dantzig realizó por primera vez una formulacióndel problema para una aplicación de distribución decombustible.•Luego, Clarke y Wright propusieron el primer algoritmo queresultó efectivo para su resolución: el popular Algoritmo deAhorros.Por último metaheurísticas: Recocido Simulado, Genéticos,Búsqueda tabú, Genéticos, Colonia de hormigas 6
  7. 7. IntroducciónEstos modelos y algoritmos deben su éxito, en buena parte, ala evolución de los sistemas informáticos. El crecimiento en elpoder de cómputo y la baja en sus costos, ha permitidodisminuir los tiempos de ejecución de los algoritmos.Por otro lado, el desarrollo de los Sistemas de InformaciónGeográfica resulta fundamental para lograr una adecuadainteracción de los modelos y algoritmos con los encargados derealizar la planificación. 7
  8. 8. REDES FISICAS Y GRAFOS REALIDAD: Red física, Clientes, depósitos Vías de comunicación: carreteras, etc. 8
  9. 9. REDES FISICAS Y GRAFOS ABSTRACCION: j Red matemática: Grafo Cij pesado (orientado) i Nodos: Depósito y Clientes Arcos (Aristas) El peso asignado a cada arco cij = distancia más corta entre los nodos i, j en la red física (Dijkstra) Ver: floyd-Warshal.nb 9
  10. 10. El T.S.P.Un problema que es base de gran parte de los problemas dedistribución física de bienes es el problema del agente viajero(TSP por sus siglas en inglés).El TSP se describe como sigue: un agente viajero deseaprogramar visitas a sus clientes, por lo que desea viajar lomínimo posible. Así, se encuentra en el problema de determinaruna ruta que minimice la distancia total (o bien tiempo o costo)necesaria para visitar todas las ciudades en su zona. 10
  11. 11. El T.S.P.•El T.S.P. sería equivalente a encontrar el ciclo Hamiltoniano decosto mínimo: Partiendo de un depósito se debe recorrer todos losvértices y regresar al depósito con la menor distancia totalrecorrida. 11
  12. 12. El T.S.P.Formulación en PROGRAMACION ENTERA del TSP:Datos:n: Número de ciudades a visitarcij: distancia (costo) de la ciudad i a la ciudad j n n Min z = ∑∑ cij xij i =1 j =1 ⎧1 si el arco (i, j ) está en el TOUR n xij = ⎨ s.t. ∑x ij = 1; i = 1, 2,..., n ⎩0 si no j =1 n ∑x i =1 ij = 1; j = 1, 2,..., n xij ∈ {0,1} Pueden generarse subtours, no es n la formulación para el TSP ∑ i∈S , j∈S xij ≤ S − 1; ∀S ⊂ V , S > 1 Restricción de eliminación de subtoures 12
  13. 13. El T.S.P.Formulación en PROGRAMACION ENTERA del TSP:PROBLEMA: Complejidad NP de este problema, fenómeno deexplosión combinatoriaMuy difícil aplicar técnicas exactas para encontrar la soluciónóptima, en su lugar se han desarrollado heurísticas paradeterminar “buenas soluciones” 13
  14. 14. El T.S.P.Complejidad NP de este problema, fenómeno de explosión combinatoria:Por ejemplo, por exploración exhaustiva del conjunto de soluciones: Cada solución (Un Tour o ciclo hamiltoniano) es una permutación del conjunto de vértices V={1, 2, …, n} En total se tendrían n! soluciones factibles posibles Con n = 20 ciudades por visitar se requiere evaluar 20! Posibles tours, imposible de realizar en un tiempo razonable. n Tiempo 5 1.2 ×10-6 segundos 10 0.036288 segundos 15 3.63243 horas 18 741.015 días 20 771.468 años Ver: TSP exhaustivo.nb 14
  15. 15. El T.S.P.HEURÍSTICAS PARA RESOLVER EL TSP Las más sencillas están basadas en el sentido común, las principales son las heurísticas glotonas: - Heurística del vecino más cercano - Intercambio de aristas Or-opt Heurística del vecino más cercano: Se va construyendo el tour secuencialmente, a partir del depósito, eligiendo en cada paso como el nodo siguiente al nodo más cercano al nodo actual. 15
  16. 16. El T.S.P. Heurística del vecino más cercano: Paso 1. Seleccionar un nodo inicial Paso 2. Identificar al nodo más cercano al último agregado, siempre que no haya sido agregado. Paso 3. Repetir el paso 2 hasta incluir todos los nodos La cota superior garantiza que la solución del TSP aplicando este algoritmo es a lo más ┌½(log2 n) ┐+1/2 16
  17. 17. El T.S.P. Problema del Agente Viajero (Traveling Salesman Problem TSP): Ejemplodatos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 250 0 15 18 22 25 21 11 21 26 32 25 34 15 11 32 30 29 30 16 32 32 18 27 36 30 341 15 0 33 15 32 32 25 21 32 18 16 26 17 26 47 45 42 41 23 28 16 29 39 46 28 382 18 33 0 34 20 24 16 36 36 47 43 50 23 9 21 13 25 33 27 47 49 10 12 23 35 303 22 15 34 0 25 43 34 35 45 15 29 40 11 32 53 47 51 52 35 43 22 27 36 40 14 274 25 32 20 25 0 41 32 46 51 40 47 57 16 25 41 29 45 51 40 57 46 10 14 15 18 105 21 32 24 43 41 0 10 21 14 50 34 35 35 16 20 29 11 10 11 30 46 32 36 47 50 516 11 25 16 34 32 10 0 21 20 42 30 35 25 7 22 25 18 20 11 32 40 22 28 39 40 417 21 21 36 35 46 21 21 0 12 36 14 15 34 27 40 46 32 25 10 11 29 39 47 57 47 548 26 32 36 45 51 14 20 12 0 48 26 24 41 27 33 43 23 14 10 18 41 42 48 59 56 609 32 18 47 15 40 50 42 36 48 0 25 35 25 43 64 60 60 58 40 40 11 41 51 55 27 4110 25 16 43 29 47 34 30 14 26 25 0 11 32 35 52 55 45 39 22 15 16 43 52 60 43 5311 34 26 50 40 57 35 35 15 24 35 11 0 42 41 55 61 46 38 25 7 25 51 60 69 54 6412 15 17 23 11 16 35 25 34 41 25 32 42 0 22 43 36 43 45 30 43 30 16 25 30 15 2113 11 26 9 32 25 16 7 27 27 43 35 41 22 0 21 20 21 25 18 38 43 16 21 32 36 3514 32 47 21 53 41 20 22 40 33 64 52 55 43 21 0 16 11 22 30 50 63 32 30 40 56 5115 30 45 13 47 29 29 25 46 43 60 55 61 36 20 16 0 25 35 36 57 62 21 16 25 46 3816 29 42 25 51 45 11 18 32 23 60 45 46 43 21 11 25 0 11 22 40 57 35 36 47 57 5517 30 41 33 52 51 10 20 25 14 58 39 38 45 25 22 35 11 0 18 32 53 41 45 56 60 6118 16 23 27 35 40 11 11 10 10 40 22 25 30 18 30 36 22 18 0 21 35 32 39 49 45 4919 32 28 47 43 57 30 32 11 18 40 15 7 43 38 50 57 40 32 21 0 30 50 58 68 56 6420 32 16 49 22 46 46 40 29 41 11 16 25 30 43 63 62 57 53 35 30 0 45 55 61 36 4921 18 29 10 27 10 32 22 39 42 41 43 51 16 16 32 21 35 41 32 50 45 0 10 18 25 2022 27 39 12 36 14 36 28 47 48 51 52 60 25 21 30 16 36 45 39 58 55 10 0 11 32 2223 36 46 23 40 15 47 39 57 59 55 60 69 30 32 40 25 47 56 49 68 61 18 11 0 32 1824 30 28 35 14 18 50 40 47 56 27 43 54 15 36 56 46 57 60 45 56 36 25 32 32 0 1525 34 38 30 27 10 51 41 54 60 41 53 64 21 35 51 38 55 61 49 64 49 20 22 18 15 0 TABLA DE DISTANCIAS Cij 17
  18. 18. El T.S.P.Problema del Agente Viajero (Traveling Salesman Problem TSP): Ejemplo 11 20 19 10 9 7 1 3 8 18 0 12 24 17 5 6 13 16 21 4 25 2 14 22 15 23 Ubicación de los clientes a visitar 18
  19. 19. El T.S.P. Problema del Agente Viajero (Traveling Salesman Problem TSP): Ejemplo 11 20 19 10 9 7 1 3 8 18 0 12 24 17 5 6 13 16 21 4 25 2 14 22 15 23 Solución por la heurística del vecino mas cercano: costo total = 369.7 TOUR obtenido:0, 6, 13, 2, 21, 4, 25, 24, 3, 12, 1, 10, 11, 19, 7, 18, 8, 5, 17, 16, 14, 15, 22, 23, 9, 20, 0 19
  20. 20. El T.S.P.Problema del Agente Viajero (Traveling Salesman Problem TSP): Ejemplo 11 20 19 10 9 7 1 3 8 18 0 12 24 17 5 6 13 16 21 4 25 2 14 22 15 23 Solución obtenida con una metaheurística: costo total = 316.9 20
  21. 21. El T.S.P. Otro ejemplo 11 50 33 4532 38 17 12 9 29 23 13 3721 30 31 8 1 41 34 0 4 40 16 22 2 28 6 42 49 14 24 546 47 48 26 20 343 39 27 35 36 15 10 718 25 44 19 21
  22. 22. El T.S.P. 11 50 33 4538 32 17 912 23 13 37 29 21 30 31 8 1 41 4 34 0 40 22 16 2 28 6 42 49 14 24 5 46 47 48 2620 343 39 27 35 36 15 10 7 18 25 44 19 H∗−−−− HEURISTICA DEL VECINO MAS CERCANO−−−−−−∗L 22 COSTO TOTAL DEL RUTEO POR EL VECINO MAS CERCANO = 675.736
  23. 23. El T.S.P.HEURÍSTICAS DE INTERCAMBIO DE ARISTAS La efectividad de esta heurística está determinada por que permite disminuir la formación de “cruces” entre aristas en el tour. Heurística 2-opt: Una ruta es mejorada borrando dos arcos, dando la “vuelta” a uno de los caminos resultantes y luego reconectándolos hasta que no pueda obtenerse ninguna mejora adicional. Heurística 3-opt: similar a 2-opt pero con 3 aristas 23
  24. 24. El T.S.P.EJEMPLO DE LA APLICACIÓN DE 2-OPT 1 9 8 7 6 5 10 2 3 4 11 RUTA Original: RUTA 2-opt: ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1) (1 9 8 7 6 5 4 3 2 10 11 1) F. O.: 135.63 F. O.: 118.203 24
  25. 25. El T.S.P.EJEMPLO DE LA APLICACIÓN DE LA HEURISTICA DELVECINO MAS CERCANO E INTERCAMBIOS 2-OPT:Recorriendo óptimamente el Ecuador:En el notebook de MATHEMATICA: TSPecuador.nb, sevisualiza la aplicación de las heurísticas del vecino más cercano yde intercambio de aristas 2-opt al caso ecuatoriano (33 ciudades),las distancias vienen dadas en km., tomadas de las distancias encarretera. Ver: TSPecuador.nb 25
  26. 26. El Problema de ruteo de vehículos El VRP (Vehicle Routing Problem) es el m-TSP en el cual se ha asociado una demanda a cada ciudad, y cada vehículo tiene una cierta capacidad, y donde m generalmente es desconocido y se determina como una solución del problema. 26
  27. 27. El Problema de ruteo de vehículos El Problema de Rutas de Vehículos o VRP puede ser descrito de la forma siguiente: Considérese un conjunto de puntos {2, 3, ..., n} en los que hay que entregar unas determinadas cantidades de mercancía q(i), i = 2, ..., n, desde un origen “1”. Para cumplir estos requerimientos se dispone de una flota de vehículos de capacidad Q. Se ha de diseñar un conjunto de rutas, de distancia total mínima, de forma que cada ruta comience y finalice en el punto “1”; la carga que en cada momento ha de llevar cada vehículo no debe de superar su capacidad; Cada punto i, i = 2, ..., n, ha de ser visitado exactamente una vez. 27
  28. 28. El Problema de ruteo de vehículos Figura 1: Solución para el VRP (4 rutas). representa un depósito 28
  29. 29. El Problema de ruteo de vehículosExisten muchos algoritmos de solución para el VRP.En los últimos años han tomado importancia el desarrollo dealgoritmos basados en procesos denominados Metaheurísticos:-Recocido Simulado-Genéticos-Búsqueda tabú-Meméticos-Colonia de hormigasGendreu y otros (1.991), Osman, (1.993), Campos y Mota (1.995),Kantoravdis (1.995), Laguna (2000) 29
  30. 30. Clases de problemas VRP Entrega o recolección pura. El anterior pero con backhauling (primero entrega los productos y después efectúa la recolección). Combinación de recolección y entrega. Uno o varios depósitos Carga partida (varios vehículos pueden atender a un cliente) Con ventanas de tiempo (duras o suaves) Los clientes son fijos con demanda conocida La demanda de clientes es aleatoria Los tiempos de viaje son estocásticos El conjunto de clientes no es conocido con certeza. (Cada cliente tiene una probabilidad pi de estar presente. 30
  31. 31. Clases de problemas VRP Flota homogénea (un solo tipo de vehículo) Flota heterogénea (múltiples tipos de vehículos) Clientes con prioridad. Se permite la satisfacción parcial de la demanda. Ubicación de la demanda (en los nodos, en los arcos, mixtas) Etc. Combinaciones de ellos, por ejemplo: El Problema de Ruteo de Vehículos con Ventanas de tiempo y con Carga y Descarga Simultánea con flota heterogénea 31
  32. 32. Clases de problemas VRP Por ejemplo el VRP con ventanas de tiempo (VRPTW) sería: Si al VRP agregamos una ventana de tiempo para cada cliente, durante la cual el cliente debe ser servido por un vehículo, se tiene el Problema de Ruteo de Vehículos con Ventanas de Tiempo (VRPTW). Además de las restricciones de capacidad, ahora un vehículo tiene que visitar a un cliente dentro de cierto intervalo de tiempo. El vehículo puede llegar antes del inicio de la ventana de tiempo del cliente, y en ese caso deberá esperar para realizar su servicio, pero ningún cliente puede ser servido luego del fin de su ventana de tiempo. 32
  33. 33. Clases de problemas VRP El Problema de los m Agentes Viajeros (m-TSP), m es fijado de antemano 33
  34. 34. Clases de problemas VRP El VRP capacitado (o simplemente VRP) 34
  35. 35. Clases de problemas VRP El VRP con flota heterogénea 35
  36. 36. Clases de problemas VRP El VRPTW 36
  37. 37. MÉTODOS HEURÍSTICOS PARA EL VRP El VRP y todas sus variante es un problema de optimización combinatoria duro, y puede resolverse con técnicas exactas, en un tiempo prudencial, sólo en casos relativamente pequeños. Puesto que los enfoques exactos son en general inadecuados, en la práctica se usan comúnmente las heurísticas. 37
  38. 38. MÉTODOS HEURÍSTICOS PARA EL VRP (cont...) Atributos de buenas heurísticas para el VRP Precisión, Velocidad, Simplicidad, Flexibilidad Heurísticas Clásicas: Clarke & Wright, Jaikumar, de barrido Meta-heurísticas: Genéticos, colonia de hormigas, Simulated annealing, tabú, GRASP 38
  39. 39. HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHTHEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT Es La heurística clásica más significativas para el VRP. Esta heurística es un procedimiento simple que realiza una exploración limitada del espacio de búsqueda y da una solución de calidad mas o menos aceptable en tiempo de cálculo moderado. Las soluciones luego pueden ser mejoradas con los algoritmos de mejora del TSP (como 2-opt) 39
  40. 40. HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT Si en una solución dos rutas diferentes (1, . . . , i, 1) y (1, j, . . . ,1) pueden ser combinadas formando una nueva ruta (1, . . . , i, j, . . . , 1) como se muestra en la Figura, el ahorro (en distancia) obtenido por dicha unión es: sij= ci1+ c1j – cij Pues en la nueva solución los arcos (i, 0) y (0, j) no serían utilizados y se agregaría el arco (i, j). Se parte de una solución inicial en la cual todos los clientes son servidos por un solo vehículo 40
  41. 41. HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT Paso 1 (inicialización). Para cada cliente i construir la ruta (1, i, 1). Paso 2 (cálculo de ahorros). Calcular sij para cada par de clientes i y j. Paso 3 (mejor unión). Sea si∗j∗ = max sij , donde el máximo se toma entre los ahorros que no han sido considerados aún. Sean ri∗ y rj∗ las rutas que contienen a los clientes i∗ y j∗ respectivamente. Si i∗ es el último cliente de ri∗ y j∗ es el primer cliente de rj∗ y la combinación de ri∗ y rj∗ es factible, combinarlas. Paso 4 Eliminar si∗j∗ de futuras consideraciones. Si quedan ahorros por examinar ir a 3, si no terminar. 41
  42. 42. HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT Se ha observado que utilizando la definición original de ahorro suele generarse algunas rutas circulares (ver Figura) lo cual puede ser negativo. Para solucionar este problema algunos autores proponen redefinir el ahorro como: sij= ci1+ c1j – λcij Donde λ es el parámetro de forma. Ver: VRP_ClarkeWright distacia restringida.nb 42
  43. 43. HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHT 11 17 12 9 29 23 13 21 30 8 1 0 4 16 22 2 28 6 14 24 520 26 3 27 15 10 718 25 19 Ruteo inicial Ruteo generado por Clarke Wright 43
  44. 44. HEURÍSTICA DE CLARKE WRIGHTPor último, se puede efectuar un proceso de post-optimización decada ruta individual creada con Clarke Wright con los algoritmos deTSP, por ejemplo con 2-OPT. Solución inicial: 19794.74 Solución final: 1307.06 44
  45. 45. Conclusiones … Este tipo de métodos y su implementación en la computadora pueden servir de núcleo para la generación de software de interés comercial Se puede enriquecer el procedimiento planteado haciendo modificaciones para bajar el tiempo de computación, específicamente en la forma de generación de la solución inicial, lo cual permitiría efectuar más iteraciones del método tabú. El modelo no considera otras restricciones posibles que pueden aparecer en aplicaciones reales, se puede enriquecer el modelo considerando otro tipo de restricciones o condiciones del problema 45
  46. 46. Conclusiones … En el mercado existen algunos productos comerciales para computadoras personales que construyen rutas, su costo es muchas veces elevado. El número y capacidad de esos productos cada vez es mayor conforme los nuevos equipos de cómputo reducen su precio y aumentan de capacidad. Algunos avances recientes en bases de datos geográficas hacen que el diseño de rutas sea un área de aplicación de un gran impacto real. Son sistemas de navegación y mapas digitalizados. Un auto o camión utiliza un terminal instalado en el vehículo para accesar un mapa. El usuario teclea la localización de sus destinos y el monitor flashea las localizaciones. Dispositivos electrónicos que usan GPS ubican al vehículo a medida que se mueve, por lo que es muy simple elegir una ruta. Las bases de datos geográficas ubican la localización de calles y carreteras por lo que es simple la selección de rutas más 46 cortas.
  47. 47. GRACIAS
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