Líneas de espera (1) ejercicio

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Líneas de espera (1) ejercicio

  1. 1. Líneas de Espera: Teoría de Colas Curso Métodos Cuantitativos Prof. Lic. Gabriel Leandrohttp://www.auladeeconomia.com
  2. 2. Las colas…• Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana: – En un banco – En un restaurante de comidas rápidas – Al matricular en la universidad – Los autos en un lavacar http://www.auladeeconomia.com
  3. 3. Las colas…• En general, a nadie le gusta esperar• Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar• Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado• Es necesario encontrar un balance adecuado http://www.auladeeconomia.com
  4. 4. Teoría de colas• Una cola es una línea de espera• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares• El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada http://www.auladeeconomia.com
  5. 5. Teoría de colas• Existen muchos sistemas de colas distintos• Algunos modelos son muy especiales• Otros se ajustan a modelos más generales• Se estudiarán ahora algunos modelos comunes• Otros se pueden tratar a través de la simulación http://www.auladeeconomia.com
  6. 6. Sistemas de colas: modelo básico• Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: – La cola – La instalación del servicio• Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio http://www.auladeeconomia.com
  7. 7. Sistemas de colas: modelo básico• Los clientes o llegadas pueden ser: – Personas – Automóviles – Máquinas que requieren reparación – Documentos – Entre muchos otros tipos de artículos http://www.auladeeconomia.com
  8. 8. Sistemas de colas: modelo básico• Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio• Si no, se une a la cola• Es importante señalar que la cola no incluye a quien está recibiendo el servicio http://www.auladeeconomia.com
  9. 9. Sistemas de colas: modelo básico• Las llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola• Generalmente ésta es primero en llegar, primero en ser servido• Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades http://www.auladeeconomia.com
  10. 10. Sistemas de colas: modelo básico Sistema de colasLlegadas Disciplina Instalación Salidas Cola de la cola del servicio http://www.auladeeconomia.com
  11. 11. Estructuras típicas de sistemasde colas: una línea, un servidor Sistema de colasLlegadas Salidas Cola Servidor http://www.auladeeconomia.com
  12. 12. Estructuras típicas de sistemas decolas: una línea, múltiples servidores Sistema de colas Salidas Servidor Llegadas Salidas Cola Servidor Salidas Servidor http://www.auladeeconomia.com
  13. 13. Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores Sistema de colas Salidas Cola ServidorLlegadas Salidas Cola Servidor Salidas Cola Servidor http://www.auladeeconomia.com
  14. 14. Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales Sistema de colas Llegadas Cola Servidor Cola Salidas Servidor http://www.auladeeconomia.com
  15. 15. Costos de un sistema de colas1. Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar• Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido• Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad http://www.auladeeconomia.com
  16. 16. Costos de un sistema de colas1. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado• Es más fácil de estimar – El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo http://www.auladeeconomia.com
  17. 17. Sistemas de colas: Las llegadas• El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas• El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable• El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas (λ) http://www.auladeeconomia.com
  18. 18. Sistemas de colas: Las llegadas• El tiempo esperado entre llegadas es 1/λ• Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es λ = 20 clientes por hora• Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/λ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos http://www.auladeeconomia.com
  19. 19. Sistemas de colas: Las llegadas• Además es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas• Generalmente se supone una distribución exponencial• Esto depende del comportamiento de las llegadas http://www.auladeeconomia.com
  20. 20. Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial• La forma algebraica de la distribución exponencial es: ???? − µt P (tiempo de servicio ≤ t ) = 1 − e• Donde t representa una cantidad expresada en de tiempo unidades de tiempo (horas, minutos, etc.) http://www.auladeeconomia.com
  21. 21. Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial P(t) 0 Media Tiempo http://www.auladeeconomia.com
  22. 22. Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial• La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños• En general, se considera que las llegadas son aleatorias• La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente http://www.auladeeconomia.com
  23. 23. Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson• Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas• Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas http://www.auladeeconomia.com
  24. 24. Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson• Su forma algebraica es: k −λ λe P (k ) = k!• Donde: – P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo λ : tasa media de llegadas – e = 2,7182818… http://www.auladeeconomia.com
  25. 25. Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson P 0 Llegadas por unidad de tiempo http://www.auladeeconomia.com
  26. 26. Sistemas de colas: La cola• El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio• El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio http://www.auladeeconomia.com
  27. 27. Sistemas de colas: La cola• La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola• Generalmente se supone que la cola es infinita• Aunque también la cola puede ser finita http://www.auladeeconomia.com
  28. 28. Sistemas de colas: La cola• La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicio• La más común es PEPS: primero en llegar, primero en servicio• Puede darse: selección aleatoria, prioridades, UEPS, entre otras. http://www.auladeeconomia.com
  29. 29. Sistemas de colas: El servicio• El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples• El tiempo de servicio varía de cliente a cliente• El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio (µ) http://www.auladeeconomia.com
  30. 30. Sistemas de colas: El servicio• El tiempo esperado de servicio equivale a 1/µ• Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora• Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/µ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos http://www.auladeeconomia.com
  31. 31. Sistemas de colas: El servicio• Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio• Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos: – La distribución exponencial (σ=media) – Tiempos de servicio constantes (σ=0) http://www.auladeeconomia.com
  32. 32. Sistemas de colas: El servicio• Una distribución intermedia es la distribución Erlang• Esta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar: 1 σ= media k http://www.auladeeconomia.com
  33. 33. Sistemas de colas: El servicio• Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial• Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes• La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k http://www.auladeeconomia.com
  34. 34. Sistemas de colas: El servicio P(t) k=∞ k=8 k=2 k=1 0 Media Tiempo http://www.auladeeconomia.com
  35. 35. Sistemas de colas: Distribución ErlangDistribución Desviación estándarConstante 0Erlang, k = 1 mediaErlang, k = 2 1 / 2 mediaErlang, k = 4 1/2 mediaErlang, k = 8 1 / 8 mediaErlang, k = 16 1/4 mediaErlang, cualquier k 1 / k media http://www.auladeeconomia.com
  36. 36. Sistemas de colas: Etiquetas para distintos modelos Notación de Kendall: A/B/c• A: Distribución de tiempos entre llegadas• B: Distribución de tiempos de servicio – M: distribución exponencial – D: distribución degenerada – Ek: distribución Erlang• c: Número de servidores http://www.auladeeconomia.com
  37. 37. Estado del sistema de colas• En principio el sistema está en un estado inicial• Se supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable (nivel normal de operación)• Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.)• Lo que interesa es el estado estable http://www.auladeeconomia.com
  38. 38. Desempeño del sistema de colas• Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales: 1. El número de clientes que esperan en la cola 2. El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema http://www.auladeeconomia.com
  39. 39. Medidas del desempeño del sistema de colas• Número esperado de clientes en la cola Lq• Número esperado de clientes en el sistema Ls• Tiempo esperado de espera en la cola Wq• Tiempo esperado de espera en el sistema Wshttp://www.auladeeconomia.com
  40. 40. Medidas del desempeño del sistema de colas: fórmulas generales 1 Ws = Wq + µ Ls = λWs Lq = λWq λ Ls = Lq + µ http://www.auladeeconomia.com
  41. 41. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo• Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora• Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora• Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola http://www.auladeeconomia.com
  42. 42. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo• La tasa media de llegadas λ es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto• La tasa media de servicio µ es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto http://www.auladeeconomia.com
  43. 43. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo Wq = 3 min 1 1 Ws = Wq + = 3 + = 4 min µ 1 Ls = λWs = 0.75 × 4 = 3 clientesLq = λWq = 0.75 × 3 = 2.25 clientes http://www.auladeeconomia.com
  44. 44. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejercicio• Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora• Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora• Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola• Calcule las medidas de desempeño del sistemahttp://www.auladeeconomia.com
  45. 45. Probabilidades como medidas del desempeño• Beneficios: – Permiten evaluar escenarios – Permite establecer metas• Notación: – Pn : probabilidad de tener n clientes en el sistema – P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema más de t horas http://www.auladeeconomia.com
  46. 46. Factor de utilización del sistema• Dada la tasa media de llegadas λ y la tasa media de servicio µ, se define el factor de utilización del sistema ρ.• Generalmente se requiere que ρ < 1• Su fórmula, con un servidor y con s servidores, respectivamente, es: λ λ ρ= ρ= µ sµ http://www.auladeeconomia.com
  47. 47. Factor de utilización del sistema - ejemplo• Con base en los datos del ejemplo anterior, λ = 0.75, µ = 1• El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es ρ = λ/µ = 0.75/1 = 0.75 = 75%• Con dos servidores (s = 2): ρ = λ/sµ = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5% http://www.auladeeconomia.com
  48. 48. Modelos de una cola y un servidor• M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales• M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio• M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio• M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución http://www.auladeeconomia.com Erlang de tiempos de servicio
  49. 49. Modelo M/M/1 λ λ 2 Ls = Lq = λ−µ µ (µ − λ ) 1 λ Ws = Wq = µ −λ µ (µ − λ ) Pn = (1 − ρ ) ρ n P ( Ls > n) = ρ n +1 − µ (1− ρ ) t − µ (1− ρ ) tP(Ws > t ) = e P (Wq > t ) = ρe t ≥ 0, ρ < 1 http://www.auladeeconomia.com
  50. 50. Modelo M/M/1: ejemplo• Un lavacar puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema http://www.auladeeconomia.com
  51. 51. Modelo M/M/1: ejemplo 9λ = 9, µ = 12, ρ = = 0.75 12 λ λ2Ls = = 3 clientes Lq = = 2.25 clientes λ−µ µ (µ − λ ) 1Ws = = 0.33 hrs = 20 min µ −λ λWq = = 0.25 hrs = 15 min µ (µ − λ )P0 = (1 − ρ ) ρ 0 = 0.25 P( Ls > 3) = ρ 3+1 = 0.32P (Ws > 30 / 60) = e − µ (1− ρ )t = 0.22P (Wq > 30 / 60) = ρe − µ (1− ρ )t = 0.17 http://www.auladeeconomia.com
  52. 52. Modelo M/M/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1• Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola http://www.auladeeconomia.com
  53. 53. Modelo M/G/1 λσ +ρ 2 2 2Ls = Lq + ρ Lq = 2(1 − ρ ) 1 Lq Ws = Wq + Wq = µ λ P0 = 1 − ρ Pw = ρ ρ <1 http://www.auladeeconomia.com
  54. 54. Modelo M/G/1: ejemplo• Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, σ = 2 min.• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar http://www.auladeeconomia.com
  55. 55. Modelo M/G/1: ejemploLs = Lq + ρ = 1.31 + .75 = 2.06 clientes λ2σ 2 + ρ 2Lq = = 1.31clientes 2(1 − ρ ) 1Ws = Wq + = 0.228 hrs = 13.7 min µ LqWq = = 0.145 hrs = 8.7 min λP0 = 1 − ρ = 0.25 Pw = ρ = 0.75 http://www.auladeeconomia.com
  56. 56. Modelo M/G/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga σ = 5 min• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio http://www.auladeeconomia.com
  57. 57. Modelo M/D/1 ρ 2Ls = λWs Lq = 2(1 − ρ ) 1 LqWs = Wq + Wq = µ λ ρ <1 http://www.auladeeconomia.com
  58. 58. Modelo M/D/1: ejemplo• Un lavacar puede atender un auto cada 5 min.• La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1 http://www.auladeeconomia.com
  59. 59. Modelo M/D/1: ejemploLs = λWs = 1.875 clientes ρ2Lq = = 1.125 clientes 2(1 − ρ ) 1Ws = Wq + = 0.21 hrs = 12.5 min µ LqWq = = 0.125 hrs = 7.5 min λ http://www.auladeeconomia.com
  60. 60. Modelo M/D/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1 http://www.auladeeconomia.com
  61. 61. Modelo M/Ek/1 ρ (k + 1) 2Ls = λWs Lq = 2k (1 − ρ ) 1 Lq Ws = Wq + Wq = µ λ ρ <1 http://www.auladeeconomia.com
  62. 62. Modelo M/Ek/1: ejemplo• Un lavacar puede atender un auto cada 5 min.• La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga σ = 3.5 min (aprox.)• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1 http://www.auladeeconomia.com
  63. 63. Modelo M/Ek/1: ejemploLs = λWs = 2.437 clientes ρ (k + 1) 2Lq = = 1.6875 clientes 2k (1 − ρ ) 1Ws = Wq + = 0.2708 hrs = 16.25 min µ LqWq = = 0.1875 hrs = 11.25 min λ http://www.auladeeconomia.com
  64. 64. Modelo M/Ek/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1 http://www.auladeeconomia.com
  65. 65. Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el cuadro ejemplo lavacarModelo Ls Ws Lq WqM/M/1M/G/1M/D/1M/Ek/1 http://www.auladeeconomia.com
  66. 66. Modelos de varios servidores• M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales• M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio• M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio http://www.auladeeconomia.com
  67. 67. M/M/s, una línea de espera 1 P0 = ρ s  sµ  ρ s −1 n s!  sµ − λ  + ∑ n!     n=0 ρ λµ s λ LqLq = P 2 0 Ls = Lq + Wq = ( s − 1)!( sµ − λ ) µ λ 1 ρn Ws = Wq + Pn = P0 , si n ≤ k µ n! ρ n 1 s  sµ  Pn = n − s P0 , si n > k Pw = ρ   sµ − λ  P0  s! s http://www.auladeeconomia.com s!  
  68. 68. M/M/s, una línea de espera Si s = 2 ρ 3 Lq = 4−ρ 2 Si s = 3 ρ 4 Lq = (3 − ρ )(6 − 4 ρ + ρ ) 2 http://www.auladeeconomia.com
  69. 69. Análisis económico de líneas de esperaCostos Costo total Costo del servicio Costo de espera Tasa óptima Tasa de servicio http://www.auladeeconomia.com de servicio
  70. 70. Si desea más información visite www.auladeeconomia.com Le invitamos a leer nuestros artículos y matricular nuestros cursos

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