Probabilidad basica

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Probabilidad basica

  1. 1. UNIVERSIDAD VERACRUZANAFACULTAD DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICAESPECIALIZACIÓN EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS NOMBRE DEL CURSO: PROBABILIDAD BÁSICA E INFERENCIA ESTADÍSTICA FERNANDO VELASCO LUNA MARIO MIGUEL OJEDA RAMÍREZ XALAPA, VERACRUZ, MÉXICO AGOSTO 2010
  2. 2. 1 CONTENIDO Pag.UNIDAD IConceptos básicos y álgebra de eventos…………………. 3 I.1 Ensayos aleatorios, espacio muestral y eventos aleatorios……………….. 3 I.2 Álgebra de eventos en espacios muestrales………………..……………... 12 I.3 Probabilidad, reglas de probabilidad………………..……………………. 16 I.4 Probabilidad condicional………………..………………..………………. 23 I.5 Independencia………………..………………..………………..………… 26UNIDAD IIVariables aleatorias y distribución de probabilidad… 28 II.1 Variable aleatoria y distribución de probabilidades……………………... 28 II.2 Variables aleatorias discretas y continuas………………..……………… 32 II.3. Momentos de variables aleatorias………………..……………………... 36 II.4. Propiedades de la esperanza y la varianza………………..…………….. 39UNIDAD IIIAlgunas distribuciones discretas…………………………... 41 III.1. Distribución Bernoulli………………..………………..……………….. 41 III.2. Distribución Binomial………………..………………..……………….. 45 III.3. Distribución Geométrica………………..………………..…………….. 51 III.4. Distribución Poisson………………..………………..………………… 55 III.5. Distribución Hipergeometrica………………..………………..……….. 61 Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  3. 3. 2 Pag.UNIDAD IVAlgunas distribuciones continuas…………………………. 66 IV.1.1 Distribución Uniforme………………..………………..……………... 66 IV.1.1 Distribución Uniforme Discreta………………..………………….. 66 IV.1.2 Distribución Uniforme Continua………………..………………… 69 IV.2 Distribución Normal………………..………………..…………………. 72 IV.3 Distribución Beta………………..………………..…………………….. 80 IV.4 Distribución Exponencial………………..………………..……………. 85UNIDAD VDistribuciones muestrales…………………………………… 90 V.1 Muestras Aleatorias………………..………………..…………………… 90 V.2 Teorema Central del Limite………………..……………………………. 92 V.3 Distribución Ji-Cuadrada………………..………………..……………... 96 V.4 Distribución F de Fisher………………..………………..………………. 101 V.5 Distribución t de Student………………..………………..……………… 107Referencias 112 Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  4. 4. 3I. Conceptos básicos y álgebra de eventosObjetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los conceptosrelacionados con eventos y probabilidad.IntroducciónEl objetivo de estudio de la estadística es explicar el comportamiento de unfenómeno aleatorio, para lo cual hace uso de herramientas, entre las cualesse encuentra la probabilidad. El concepto de probabilidad es de sumaimportancia. En esta unidad se tratan los conceptos básicos relacionadoscon el concepto de probabilidad y la forma de trabajar ésta.I.1. Ensayos aleatorios, espacio muestral y eventos aleatoriosObjetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los conceptosbásicos de ensayo aleatorio, de espacio muestral, tipos de espacio muestraly eventos. La primera pregunta que se tiene que formular es ¿qué estudia laestadística? lejournaldepaula.blogspot.com digitalmediadesign2009.comProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  5. 5. 4 albertorayo.wordpress.com jardinplantas.com nosoyelmismo.wordpress.com clubbycooosmos.com elcinegratis.com zuzo.blogspot.com dermocosmetica.umh.es nosoyelmismo.wordpress.com La estadística la mayoría de las veces se define como la ciencia quetiene que ver con la obtención, tabulación, análisis e interpretación dedatos. Basándose en la definición anterior se tiene que la estadística para suexistencia necesita datos. Para la obtención de datos es necesario llevar acabo un experimento o ensayo, es decir, un proceso mediante el cual seobtiene una observación. La estadística tratar de explicar las variaciones que se presentan endiversos problemas, tales variaciones son debidas a influencias que ocurrenProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  6. 6. 5cuando se realiza un ensayo o experimento. La estadística estudia elcomportamiento de la variable de interés cuando se realiza el ensayo. Alrealizar un ensayo no se sabe con exactitud cual va a ser el resultado que seobtenga, por ejemplo, un grupo de los más capacitados científicos nopodrían decir exactamente cual va a ser el resultado de su experimento, auncuando todo bajo control. lacomunidad.elpais.com En la Física se tiene la siguiente relación entre la velocidad de unobjeto, la distancia que a recorrido y el tiempo que tarda en recorre dicha ddistancia v  , tal relación aunque no es de todo exacta se podría tconsiderar como tal, a esta clase de ensayos se les conocer como ensayosdeterministas. Por el otro lado fenómenos en los cuales existeincertidumbre debida a la variabilidad de los datos se les denomina ensayosaleatorios. Lo anterior da pie a la siguiente definiciónDefinición 1.1.1 Experimento o ensayo aleatorio es aquel que puede darlugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certezacuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.Ejemplos. 1.1.1 Diversos ejemplos de experimentos y de experimentosaleatorios.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  7. 7. 6Ejemplo (Biología) D. El color de una margarita A. Número de hojas en una planta mojatexchile.ning.comEjemplo (Economía) D. Habrá fluctuación en el tipo de cambio durante un año. A. Tipo de cambio del respecto al dólar en el mes próximo. mercado-divisas.comEjemplo (Educación) safa.edu.uy D. Habrá alumnos de primer grado el próximo año. A. El número de alumnos que aprobaran el cursoProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  8. 8. 7Ejemplo (Medicina) D. Número de hombres que resultaran embarazados mañana. A. Número de huesos rotos durante una fractura de pie. el-nacional.comEjercicio 1.1.1 Qué el participante de 2 ejemplos de experimentos y 2 deexperimentos aleatorios. Cuando se realiza un ensayo aleatorio se obtiene un conjunto deposibles resultados. Lo anterior nos lleva a la siguiente definición:Definición 1.1.2 El espacio muestral de un experimento aleatorio es elconjunto formado por todos los posibles resultados del experimentoaleatorio. El espacio muestral es denotado por S.Ejemplos. 1.1.2  Lanzar una moneda, posibles resultados Cara, Cruz, cienciainfinita.com así S  Cara, Cruz.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  9. 9. 8  Lanzar un dado, posibles resultados, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, parchis.wordpress.com así S   1,2,3,4,5,6.  Presentar un examen, posibles resultados, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Urse.edu.mx así S  5,6,7,8,9,10.  Presentar un examen, posibles resultados, 5,10 , así S  5, 10 .  Mujeres que compran determinada marca de crema de belleza wiki.biensimple.com Así S  0,1,2,..., 1000Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  10. 10. 9  Número de dedos rotos al fracturarse las dos manos, el-nacional.com así S  0,1,2,...,10  Número alumnos de primer grado el próximo año, así S  1,...,1000 ,.. . Ejercicio 1.1.2  Que el participante de 4 ejemplos de espacio muestral relacionados con su área de trabajo.Tipos de espacios muestralesEjemplos 1.1.3  Lanzamiento de un dado, los posibles resultados son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, así S   1,2,3,4,5,6.  Un agrónomo desea contar el número de bacterias de determinada plaga en una planta, así el espacio muestral será S  0, 1, 2, ...50,....  Se desea estudiar el tiempo de vida de un foco de 100 watts, el espacio muestral será S   t t  0 .Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  11. 11. 10Definición 1.1.3 Un espacio muestral se denomina numerable finito si elespacio muestral tiene un número finito de elementos, es decir, si elnúmero de resultados de mi experimento aleatorio es finito.Definición 1.1.4 Un espacio muestral se denomina numerable infinito siel espacio muestral tiene un número infinito de elementos pero se puedecontar, y más aún, se puede poner en relación a los números naturales.Definición1.1.5 Un espacio muestral se denomina no numerable si elespacio muestral tiene un número infinito de elementos los cuales no sepueden poner en relación con los naturales.Ejercicio 1.1.3 Que el participante de 3 ejemplos de cada tipo de espaciomuestral. Cuando el investigador realiza un experimento aleatorio por logeneral no es de su interés el conjunto total de resultados, sino solamenteun subconjunto de éstos. Al ser el espacio muestral de un experimentoaleatorio un conjunto se pueden formar a partir de este subconjuntos deresultados, tales subconjuntos nos llevan a la siguiente definición.Definición 1.1.6 Dado un experimento aleatorio, un evento aleatorio es unsubconjunto del espacio muestral. El evento es denotado por las letras A, B,etc. Si el evento esta formado por sólo un resultado diremos que es unevento simple, si por el contrario el evento consta de dos o mas resultados,definiremos el evento como evento compuesto.Ejemplos 1.1.4  Lanzamiento de una moneda, S  Cara, Cruz. A  Cara, B  Cruz, C  Cara, Cruz, D   Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  12. 12. 11  Lanzar un dado, S   1,2,3,4,5,6. A  , B  2,4,6, C   1 1,3,5 , D   , etc.  Presentar un examen, S  5,6,7,8,9,10. A  7, B  8,9, C  9,10, D   , etc.  Presentar un examen, S  5, 10. A  7, B  7,9.4, etc.Ejercicio 1.1.4.  El participante elabora un escrito de 3 imágenes de las imágenes siguientes donde describa: la característica de interés, el experimento, el espacio destral y 5 posibles eventos. Además dará dos ejemplos relacionados con su área de trabajo. . star110.lacoctelera.net gentedigital.es . . es.fordesigner.com ptobal.wordpress.comProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  13. 13. 12 El evento A ocurre si cuando se realiza el experimento el resultadoque ocurre es un elemento del evento. Así en el ejemplo del lanzamiento deun dado se definen los eventos como B  2,4,6, C    y si al llevarse 1,3,5acabo el experimento el resultado es un 3, entonces, ocurre el evento C, yno ocurre el evento B.Definición 1.1.7 Dado un experimento aleatorio, el evento imposible es elevento que no tiene elementos, mientras que el evento seguro es elconjunto de todos los posibles resultados, es decir, el espacio muestral S .I.2. Álgebra de eventos en espacios muestrales finitosObjetivo: Que el participante conozca y sea capaz de realizar operacionesrelacionadas con el álgebra de eventos.Definición 1.2.1 Sean A y B dos eventos, se dice que estos eventos soneventos excluyentes si ellos no pueden ocurrir en forma simultanea. Loseventos A1 , A 2 , ..., A n se denominan eventos mutuamente excluyentes sicualquier par de estos son eventos excluyentes.Ejemplo 1.2.1i) Mujeres que compran determinada marca de crema de bellezaLos eventos A  0,1,2,3,4, 5 y B  50,...,200  son excluyentesProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  14. 14. 13ii) Se tienen los eventos relacionados al número de hamburguesas que secome un adulto todanoticia.comSean los eventos A   , B  3,4,5, C  6,7, entonces 1,2,3  A y B no son excluyentes,  A y C son excluyentes,  B y C son excluyentes,  A , B y C son mutuamente excluyentes, ya que aunque A y B no lo son, C si lo es con A, además de B con C. Cuando se tienen dos o más eventos aleatorios, a partir de éstos sepueden formar otros eventos, tal como se muestra a continuación.Definición 1.2.2 Sean A y B dos eventos, el evento unión de los eventosA y B es el evento formado por la unión de los subconjuntos A y B , esdecir, por la unión de los resultados del evento A o del evento B . Elevento unión se denota por A  B . El evento A  B ocurre si ocurre el evento A o el evento B . El evento A  B no ocurre cuando ni ocurre el evento A ni ocurre elevento B .Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  15. 15. 14Ejemplo 1.2.2 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo5 goles, así S  0, 1,2,3,4,5. Sean los eventos:  A  anota a lo más 3 goles  0,1,2,3  B  anota por lo menos 3 goles  3,4,5  C  anota 4 goles  4,entonces se tiene que los eventos A  B , B  C y A  C están formados por  A  B  anota a lo más 3 goles o por lo menos 3 goles  0,1,2,3, 4, 5  B  C  anota por lo menos 3 goles o anota 4 goles  3,4,5  A  C  anota a lo más 3 goles o anota 4 goles  0,1,2,3, 4 colchonero.comEjercicio 1.2.1 Dar ejemplos.Definición 1.2.3 Sean A y B dos eventos, el evento intersección de loseventos A y B es el evento formado por la intersección de los subconjuntosA y B , es decir, por la intersección de los resultados del evento A y delevento B . El evento intersección se denota por A  B . El evento intersección ocurre si ocurre el evento A y ocurre elevento B . El evento A  B no ocurre cuando  No ocurre el evento A aunque ocurre el evento B ,  Ocurre el evento A pero no ocurre el evento B ,  No ocurre el evento A ni ocurre el evento B .  Es decir, con un evento de los dos que no ocurra, ya no ocurre el evento intersección.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  16. 16. 15Ejemplo 1.2.3 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo5 goles, así S  0, 1,2,3,4,5. Sean los eventos:  A  anota a lo más 3 goles  0,1,2,3  B  anota por lo menos 3 goles  3,4,5  C  anota 4 goles  4,entonces se tiene que los eventos A  B , B  C y A  C están formados dela siguiente manera A  B  anota a lo más 3 goles y por lo menos 3 goles  3 B  C  anota por lo menos 3 goles y anota 4 goles  4 A  C  anota a lo más 3 goles y anota 4 goles   Definición 1.2.4 Sea el evento A , el evento complemento del evento A esel evento formado por todos los resultados del espacio muestral que noforman al evento A. El evento complemento del evento A se denota porA C . el evento complemento de A ocurre cuando no ocurre el evento A. Elevento A C no ocurre cuando ocurre el evento A.Ejemplo 1.2.4 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo5 goles, así S  0, 1,2,3,4,5. Sean los eventos:  A  anota a lo más 3 goles  0,1,2,3  B  anota por lo menos 3 goles  3,4,5  C  anota 4 goles  4,entonces se tiene que los eventos A C , B C y C C están formados de lasiguiente manera A C  no anota a lo más 3 goles (anota más de 3, es decir, 4 o 5)  4,5 B C  no anota por lo menos 3 goles (anota menos de 3, es decir, 0, 1 o 2)  0,1,2, C C  no anota 4 goles  0,1,2,3,5Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  17. 17. 16Ejercicio 1.2.2. Dar ejemplos.I.3. Probabilidad, reglas de probabilidadObjetivo: Que el participante conozca y comprenda el concepto deprobabilidad y las principales reglas en su aplicación. Se puede definir la probabilidad desde un punto de vista muy formaly elegante (ver Ash, Royden), pero para los fines que se persiguen en estecurso es algo completamente innecesario. Aquí el interés es conocer qué esla probabilidad, conocer su aplicación y de suma importancia adquirir lacapacidad para la interpretación. Lo primero que se debe de conocer es a que se le aplica laprobabilidad. Para responder la pregunta se trata el siguiente ejemplo: Esmuy común preguntar ¿En el lanzamiento de un dado cuál es laprobabilidad de que el resultado del lanzamiento sea un seis? Aunque nose dice explícitamente ya se sabe por las secciones anteriores que la frase“resultado del lanzamiento sea un seis” es un evento. Del ejemplo anterior se puede ver que se habla de obtener laprobabilidad de un evento. Si se denota el evento “resultado dellanzamiento sea un seis” por medio de A , se tiene que se desea obtener laProbabilidad de A . Ahora bien en vez de estar escribiendo la“ Probabilidad de A ” se tiene una notación para expresar lo anterior la cual es:PA  , la P es una abreviatura de probabilidad, la A representa al evento delcual se desea obtener su probabilidad de ocurrencia. Cuando se aplica laProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  18. 18. 17probabilidad al evento se obtiene un valor numérico el cual es un númeroque siempre toma el valor entre cero y uno. En el ejemplo anterior se tiene que PA   , el porqué de este valor 1 6se basa en la regularidad estadística¿Qué es la regularidad estadística? Si observamos un experimento aleatorioun gran número de veces, bajo las mismas condiciones y se calcula elporcentaje de veces que ocurre un resultado de todos los resultados posiblesesta proporción es prácticamente constante. La probabilidad se basa en laregularidad estadística. A continuación se dará la idea de probabilidad. Es una forma matemática de representar la regularidad estadística. es.fordesigner.com Un agrónomo desea contar el número de bichos de determinadaplaga en una planta, se sabe de estudios anteriores que a lo mas hay 4bichos por planta, así el espacio muestral será S  0, 1, 2, 3, 4. Si laprobabilidad del resultado “existen 2 bichos” se evalúa como 0.12, lo quese hace es medir el resultado “existen 2 bichos” y el valor 0.12 o 12 porciento, indica que si se realiza, bajo las mismas condiciones, elexperimento, se tiene que el resultado “existen 2 bichos” ocurreProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  19. 19. 18aproximadamente el 12% de las veces, es decir, si se realiza 100 veces elexperimento en 12 ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la planta. Siel agrónomo observa una planta determinada y cuenta el número de bichosen la planta, no se puede predecir si este será de 2 bichos, sólo se puededecir que el porcentaje de plantas con dos bichos es del 12%. Se debe hacer notar que podría haberse dado la interpretaciónanterior de la siguiente manera: si se realiza 50 veces el experimento en 6ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la planta. o, si se realiza 25veces el experimento en 3 ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en laplanta. De lo anterior se tiene que la probabilidad de un evento aleatoriotiene por objeto evaluar la proporción indicada por la regularidadestadística, los valores que esta probabilidad puede asumir siempre seráncantidades entre cero y uno. Se tienen entonces que la probabilidad es una representaciónmatemática de la regularidad estadística, para lo cual es necesario llevar acabo el experimento aleatorio un número de veces y por cada vez que serepita el experimento observar el resultado, lo cual lleva a la definición dela probabilidad desde el punto de vista frecuentista o de frecuencia relativa,la cual es la definición frecuencial y se expresa formalmente por medio de: nA P A   Lim n  n nA P A   Lim n  ndonde A es el evento aleatorio de interés n es el numero de veces que se realiza el experiment o, n A es el número de veces que ocurre el evento AProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  20. 20. 19 La definición de mayor uso en la práctica es la definición clásica deprobabilidad la cual es: P A   Número casos favorables Número casos posibles Existe la forma de modelos probabilísticos, la cual se basa en larepresentación a través de ecuaciones de un fenómeno aleatorio. Ademásexiste la idea de probabilidad subjetiva la cual se basa en el grado decreencia del individuo respecto a la ocurrencia del evento aleatorio deinterés. (Estadística bayesiana) Sea S  r1 , r2 ,...rt  el espacio muestral del experimento aleatorio, talque la probabilidad del resultado ri es pi , es decir, Pri   pi , y sea Acualquier evento aleatorio, entonces la probabilidad del evento aleatorio Aes definida por PA   Pri    pi ri  AEjemplo 1.3.1 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo5 goles, así S  0, 1,2,3,4,5. Sean los eventos:  A  anota a lo más 3 goles  0,1,2,3  B  anota por lo menos 3 goles  3,4,5  C  anota 4 goles  4,Para obtener la probabilidad del evento A  0,1,2,3 de acuerdo a ladefinición anterior PA   Pri    pi ri  ASe tieneProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  21. 21. 20 S  r1  0, r2  1, r3  2, r4  3, r5  4, r6  5y A  anota a lo más 3 goles  0,1,2,3, así PA    Pri   Pr1   Pr2   Pr3   Pr4  1 1 1 1     6 6 6 6 4  6Ejercicio 1.3.1 Dar ejemplos.Ejemplo 1.3.2 Dos agrónomos observan el número de bichos en dosplantas, una cada agrónomo, y se anota la suma de los dos conteos, se sabede ejemplos anteriores que en cada planta hay a lo más 4 bichos, en estecaso el espacio muestral es S   , y se tiene la siguienterelación ri 0 1 2 3 4 5 6 7 8 pi ri 0 1 2 3 4 5 6 7 8 pi 1 2 3 4 5 4 3 2 1 25 25 25 25 25 25 25 25 25Sea A  a lo más 3 bichos en las dos plantas  0,1,2,3 entonces PA    Pri   P0  P1  P2  P3 1 2 3 4     25 25 25 25 10   0.4, 25Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  22. 22. 21Interpretación la cual tiene una interpretación de la forma siguiente, si losagrónomos observarán 200 plantas de dos en dos y sumaran el número debichos en las dos plantas, entonces, en 40 casos la suma de los bichos en lasdos plantas sería de a lo más 3.Reglas de probabilidadSea A un evento, la probabilidad del evento A cumple las siguientespropiedades:  La probabilidad de cualquier evento es un valor entre cero y uno, 0  PA  1  La probabilidad del evento seguro es uno, PS  1 .  La probabilidad del evento imposible es cero, P   0 .  La suma de las probabilidades de todos los elementos del espacio muestral o de todos los eventos simples es uno,  Pr    p i i  1.Sean A y B dos eventos, entonces  La probabilidad del evento unión es igual a la probabilidad del evento A mas la probabilidad del evento B , menos la probabilidad del evento intersección PA  B  PA  PB  PA  B .  La probabilidad del evento complemento es igual a uno menos la probabilidad del evento, PA c   1  PA .Ejemplo 1.3.3 Un maestro desea conocer el número de faltas de ortografíaen una hoja de redacción, se sabe que a lo más hay 6 faltas, asíS  0, 1,2,3,4,5,6.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  23. 23. 22 vivapy.wordpress.comSean los eventos:  A  hay a lo más 3 faltas de ortografía  0,1,2,3  B  hay entre 3 y 5 faltas de ortografía  3,4,5  C  hay 4 o 5 faltas de ortograíia  4,5,Para obtener las probabilidades de los eventos, en primer lugar se debentener la probabilidad de cada uno de los posibles resultados delexperimento aleatorio, lo cual se tiene en la siguiente tabla ri 0 1 2 3 4 5 6 pi 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7 7 7 PA   PB  PC   4 3 2 , , 7 7 7El interés del maestro es obtener la probabilidad del evento A  B , para locual es necesario obtener la probabilidad del evento A  B , en este caso setiene A  B es el evento que existan exactamente 3 faltas de ortografía en laredacción, así PA  B  , de lo anterior se tiene 1 7Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  24. 24. 23 PA  B PA   PB  PA  B 4 3 1 6      0.8571 7 7 7 7InterpretaciónSi se revisaran 100 hojas de redacción, entonces en aproximadamente 86hojas se tendrían a lo mas 5 faltas de ortografía o en otras palabras enaproximadamente 14 hojas se tendrían exactamente 6 faltas de ortografía.Ejercicio 1.3.2  Obtener probabilidad de A  C y C  B e interpretar.  Obtener probabilidad de PA  Cc  e interpretar1.4 Probabilidad condicionalObjetivo: Que el participante conozca y comprenda el concepto deprobabilidad condicional.Probabilidad condicional Un doctor desea conocer cual es la probabilidad de que una personaadulta mejore con un medicamento, si de estudios anteriores se conoce lasiguiente información Edad Mejora Joven Adulta Total SI 70 10 80 NO 80 40 120 Total 150 50 200Este es un problema de restricción ya que se pide la probabilidad de queuna persona que se sabe con anticipación que es adulta mejore en su salud,Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  25. 25. 24que es muy distinto a pedir la probabilidad de que una persona noimportando si es adulta o joven muestre mejora después de administrarle elmedicamento.En el caso de que no importe la edad el espacio muestral esta formado portodos los posibles resultados, pero en el caso de que se conoce conanticipación que la persona es adulta el espacio muestral esta formado porlos resultados solamente de las personas adultas.En general en ocasiones se desea obtener la probabilidad de algún evento Adado que a ocurrido un evento B, este tipo de probabilidad se denominaprobabilidad condicional (probabilidad condicionada) y se obtiene de lasiguiente maneraSean A y B dos eventos aleatorios, tal que PB  0 se define laprobabilidad condicional de A dado B como PA y B PA B   P BEjemplo 1.4.1. Un doctor desea conocer cual es la probabilidad de que unapersona adulta que sufre de depresión, mejore con el medicamento, si deestudios anteriores se conoce la siguiente información hoypadres.comProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  26. 26. 25 Edad Mejora Joven Adulta Total SI 70 10 80 NO 80 40 120 Total 150 50 200En este ejemplo se tienen los eventos A  Mejore, B  Persona adulta y laprobabilidad de interés es la del evento la persona mejora dado que esadulta, es decir, se desea obtener la probabilidad del evento A condicionadoal B, tal probabilidad se obtiene a partir de P A y B PA B  P Bpara obtener la probabilidad anterior es necesario conocer P A y B yP B. Al hacer uso de la definición de probabilidad frecuencial, se tiene losiguiente P A y B   0.05 y P B  10 50  0.25 , ahora sustituyendo se 200 200 P A y B 0.05obtiene: PA B    0.2 P B 0.25la cual tiene la siguiente interpretación: si se administra el medicamento a100 personas adultas en promedio 20 de éstas van a mejorar en su salud.Ahora si se desea obtener la probabilidad de que la persona sea adulta dado P B y A  0.05que se conoce que mejoró: PB A     0.125 P A  0.4la cual tiene la siguiente interpretación: de cada 1000 personas que se sabemejoraron en su salud al tomar el medicamento, se tiene que en promedio125 de éstas son adultas.Ejercicio 1.4.1 LIBROProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  27. 27. 26I.5. Independencia.Objetivo: Que el alumno conozca y maneje el concepto de eventosindependientes.El doctor del ejemplo anterior desea conocer cual es la probabilidad de queuna persona adulta mejore con un medicamento DISTINTO al anterior, side estudios anteriores se conoce que la mejora del paciente tomando o nodel nuevo medicamento no presenta relación con la edad del paciente.Así la ocurrencia del evento “persona es adulta” no altera para nada laocurrencia del evento ”mejore” así la probabilidad condicional dePA B  PA Definición 1.5.1 El evento A se dice independiente del evento B si PA B   P A Observación 1.5.1 Al ser el evento A independiente del evento B tambiénse tiene que el evento B es independiente del evento A, por lo anterior sedice que los eventos A y B son independientes.En ocasiones la definición de independencia está dada por lo siguiente:Definición 1.5.2 El evento A es independiente del evento B si PA  B  PA P BEjemplo 1.5.1 El INEGI desea hacer un estudio sobre familias con doshijos, niño y niña, así el espacio muestral es S  MM,MH,HM, HH.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  28. 28. 27 ahorrodiario.comSean los eventos A  Primer hijo mujer , B  Segundo hijo mujer . ¿Son estoseventos independientes?Ejercicio 1.5.1  Resolver el problema anterior.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  29. 29. 28II. Variables aleatorias y distribución de probabilidadObjetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los conceptosrelacionados con las variables aleatorias y las distribuciones deprobabilidad.IntroducciónCuando el investigador lleva acabo un experimento aleatorio es posibleobtener más de un espacio muestral, dependiendo de la característica deinterés bajo estudio. Por ejemplo, dos compañeros de la facultad deEconomía presentan su examen de Inglés, entonces el espacio muestralasociado con observar el resultado del examen será S  AA, AR, RA, RR ,mientras que si el interés es conocer el número de aprobados el espaciomuestral será S  0,1,2. La asignación de valores numéricos a loselementos del espacio muestral puede pensarse como una función delespacio muestral a un conjunto de números reales, tales funciones sonconocidas como variables aleatorias. En esta unidad estudiaremos losconceptos relacionados con las variables aleatorias.II.1. Variable aleatoria y distribución de probabilidadesDefinición 2.1.1 Una variable aleatoria es una función, del espaciomuestral a los números reales. Es decir, una variable aleatoria asocia a cadaelemento del espacio muestral un número real. Ya que el valor que tome lavariable depende del resultado del experimento aleatorio es por lo cual delnombre variable aleatoria.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  30. 30. 29Ejemplo 2.1.1 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Setiene que el espacio muestral es S   A, A,  A, C , C, A, C, C . Defínase a Xcomo el número de cruces observadas. Los valores que toma la variablealeatoria son 0, 1, 2 , los puntos muestrales asociados a cada valor de lavariable aleatoria sonValor de X 0 1 2Elementos del espacio muestral  A, A C, A, A, C  C, C Ejemplo 2.1.2 En un laboratorio clínico trabajan tres biólogos y tresquímicos. Se desea formar un grupo de tres científicos para una laborespecial y se decide que la elección sea al azar para no introducir algúnsesgo. El espacio muestral es S  B, B, B, B, B, Q, B, Q, B, Q, B, B, B, Q, Q, Q, B, Q, Q, Q, B, Q, Q, QSea X el número de biólogos en el grupo. Los valores que toma la variablealeatoria son 0, 1, 2 y 3 , los puntos muestrales asociados a cada valor de lavariable aleatoria sonValor de X 0 1 2 3Elementos del B, Q, Q B, B, Qespacio Q, Q, Q Q, B, Q Q, B, B  B, B, Bmuestral Q, Q, B  B, Q, B Ejercicio 2.1.1. Dar 2 ejemplos de variables aleatorias. Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral se puededefinir una variable aleatoria. Esta variable aleatoria por definición tomaProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  31. 31. 30valores los cuales son números reales. Para cada uno de estos valores quetoma la variable aleatoria se puede obtener la probabilidad de ocurrencia.Esta probabilidad se obtiene a partir de los elementos muestrales asociadosal valor particular que toma la variable aleatoria.Notación. Por lo que respecta a la notación, se utilizarán mayúsculas comoX, para denotar variables aleatorias, y minúsculas como x, para denotarvalores particulares que pueda tomar una variable aleatoria.Notación. Sea X una variable aleatoria cuyos valores son x1, x2 ,..., xn ,... laprobabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor particular xi esdenotado por PX  xi Ejemplo 2.1.3 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Setiene que el espacio muestral es S   A, A,  A, C , C, A, C, C . Defínase a Xcomo el número de cruces observadas. Los valores que toma la variablealeatoria son 0, 1, 2 , los puntos muestrales asociados a cada valor de lavariable aleatoria sonValor de X 0 1 2Elementos del espacio muestral  A, A C , A,  A, C  C, C La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 1 está dada dela siguiente manera. De la tabla anterior se tiene que los elementosmuestrales asociados al valor de 1 son C , A,  A, C  , además se tiene que estees el evento E  Se observa exactament e una cruz  C, A,  A, C  y de la unidad Ise tiene PE   , así se tiene que PX  1  . 1 1 2 2Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  32. 32. 31Ejercicio 2.1.2 Dar ejemplos. El objetivo de la Estadística es explicar el comportamiento de lavariable aleatoria bajo estudio, se puede dar una idea de talcomportamiento a partir del comportamiento de la muestra que se tiene. Elcomportamiento de la muestra se da en términos de los valores de variablesaleatorias, y por eso es imperativo que conozcamos las probabilidades deestos valores, lo cual nos lleva a obtener probabilidades de eventos. Dadoque ciertos tipos de variables aleatorias ocurren con mucha frecuencia en lapráctica, es útil disponer de la probabilidad para cada valor de una variablealeatoria. Este conjunto de probabilidades se llama distribución deprobabilidades.Definición 2.1.2 La función de distribución de probabilidad de lavariable aleatoria X es aquella función que va acumulando lasprobabilidades hasta un valor especificado, también se conoce comofunción de distribución acumulativa o función de distribución. Lafunción de distribución de probabilidad se denota por medio de FX x  y sedefine como FX x   PX  x  .Nota. La función de distribución de probabilidades es una probabilidad, asíque debe tomar valores entre cero y uno.Ejemplo 2.1.4 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Setiene que el espacio muestral es S   A, A,  A, C , C, A, C, C . Defínase a Xcomo el número de cruces observadas. Los valores que toma la variablealeatoria son 0, 1, 2 , los puntos muestrales asociados a cada valor de lavariable aleatoria sonProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  33. 33. 32Valor de X 0 1 2Elementos del espacio muestral  A, A C , A,  A, C  C, C La distribución de probabilidades para este caso es FX 0  PX  0  PX  0  1 , 4 FX 1  PX  1  PX  0  PX  1  1 2 3   , 4 4 4 FX 2  PX  2  PX  0  PX  1  PX  2  1 2 1    1. 4 4 4Se tiene que FX 1.74  PX  1.74  PX  0  PX  1  1 2 3   , 4 4 4 FX 23  PX  23  PX  0  PX  1  PX  2  1 2 1    1, 4 4 4 FX - 6  PX  -6  0 .Nota 2.1.1 La grafica de la función de distribución de probabilidades tieneuna forma escalonada.II.2. Variables aleatorias discretas y continuasObjetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los tipos devariables aleatorias: discretas y continuas. Sea X una variable aleatoria cuyos valores son x1, x2 ,..., xn ,... , elconjunto x1, x2 ,..., xn ,... puede ser numerable finito, numerable infinito o nonumerable. Dependiendo del tipo de conjunto que sea x1, x2 ,..., xn ,... es eltipo en el cual se etiqueta la variable aleatoria.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  34. 34. 33Definición 2.2.1 Una variable aleatoria, se denomina variable aleatoriadiscreta si solamente puede tomar un número finito o numerable infinitode valores distintos. Es decir, si el conjunto x1 , x2 ,..., xn ,... es ya seanumerable finito o numerable infinito. La probabilidad inducida por la variable aleatoria discreta se obtienesumando las probabilidades correspondientes a los elementos del espaciomuestral.Ejemplo 2.2.1 En el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas sea X elnúmero de cruces observadas, la probabilidad de que la variable aleatoriadiscreta X tome el valor 1 está dada de la siguiente manera. Los elementosmuestrales asociados al valor de 1 son C , A,  A, C  , además se tiene que estees el evento E  Se observa exactament e una cruz  C, A,  A, C  y de la unidad Ise tiene PE   , así PX  1  . 1 1 2 2 Aunque las variables aleatorias no son eventos se puede hablar de laprobabilidad de ocurrencia de determinado valor de la variable aleatoria. Cuando se tiene una variable aleatoria discreta la función relacionadacon la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los valores de la variablealeatoria se denomina función de probabilidad, esto es, la función deprobabilidad de la variable aleatoria discreta se define como PX  xi  y sedenota por medio de f x i  , así f xi   PX  xi  La función de distribución de probabilidad y la función deprobabilidad de una variable aleatoria discreta están relacionadas de lasiguiente maneraProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  35. 35. 34 FX x    f x i  xi  xPropiedad. La función de probabilidad cumple las condiciones  f x   0   f x   1Ejemplo 2.2.2 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Setiene que el espacio muestral es S   A, A,  A, C , C, A, C, C . Defínase a Xcomo el número de cruces observadas. Los valores que toma la variablealeatoria son 0, 1, 2 , los puntos muestrales asociados a cada valor de lavariable aleatoria sonValor de X 0 1 2Elementos del espacio muestral  A, A C , A,  A, C  C, C La función de probabilidad para este caso es f 0  PX  0  1 , 4 f 1  PX  1  2 , 4 f 2  PX  2  1 . 4 GráficaProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  36. 36. 35Ejercicio 2.2.1. Dar un ejemploDefinición 2.2.2 Una variable aleatoria, se denomina variable aleatoriacontinua si el conjunto x1, x2 ,..., xn ,... es un conjunto no numerable. Esdecir si su rango de valores que la variable puede tomar es continuo. GráficaDefinición 2.2.3 Sea X una variable aleatoria continua, la función f x cuya gráfica produce la curva anterior se denomina función de densidadde la variable aleatoria continua. La función de distribución de probabilidad y la función de densidadde una variable aleatoria continua están relacionadas de la siguiente manera a FX a    f x dx -Nota 2.2.1. Si X una variable aleatoria continua, entonces b Pa  X  b    f x dx aNota 2.2.2. Si X una variable aleatoria continua, entonces PX  a   0Propiedad. La función de densidad cumple las condiciones  f x   0    f x dx  1 -Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  37. 37. 36II.3. Momentos de variables aleatoriasValor Esperado El objetivo principal de la función de densidad o función deprobabilidad de una variable aleatoria es la de proporcionar informaciónrespecto al comportamiento de tal variable aleatoria. Pensemos en lacalificación de la asignatura de Historia de los alumnos de tercero debachillerato en la escuela “López Obrador”. Si el director del planteldeseara saber cual es el comportamiento de la calificación en forma rápidano seria aconsejable que se le preguntara a cada estudiante su calificaciónen tal asignatura. Una forma rápida y más que otra cosaREPRESENTATIVA de la variable calificación es la calificación promedioen Historia de los alumnos de tercer semestre. El ejemplo anterior nos llevaa la siguiente definición.Definición 2.3.1 Sea X una variable aleatoria, el valor esperado de lavariable aleatoria X se define como  x f x  si X es discreta  EX     x f x  si X es continua donde la sumatoria se hace para todos los posibles valores de la variablealeatoria y la integral se hace sobre todos los posibles valores para loscuales f x   0 .Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  38. 38. 37Ejemplo 2.3.1 Sea la variable aleatoria discreta X con función deprobabilidad dada de la siguiente manera 0.05 si X  1 0.25 si X  2   f x   0.30 si X  3 0.20 si X  4  0.20  si X  5Se tiene que X es una variable aleatoria discreta así su valor esperado estádado por medio de  x f x  . Para este caso en particular. EX   x f x  1* 0.05  2 * 0.25  3* 0.30  4 * 0.2  5 * 0.2  0.05  0.50  0.90  0.80  0.80  3.05Así si se quisiera predecir el próximo valor de la variable aleatoria el valormás apropiado sería 3.Ejemplo 2.3.2 Sea la variable aleatoria continua X con función dedensidad f x   x 0  x2 2entonces 2 EX    x f x dx   x dx x 0 2 2 2 x2 x3 8   dx   0 2 6 0 6Así si se quisiera predecir el próximo valor de la variable aleatoria el valor 8más apropiado sería . 6Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  39. 39. 38Varianza El director la escuela “López Obrador” tiene conocimiento de que lacalificación promedio en la asignatura de Historia de los alumnos delplantel es de 8.5, pero que también la calificación promedio en Historia delos alumnos del plantel “Calderón” es de 8.5 ¿Es el comportamiento elmismo en las dos escuelas respecto a la calificación en la asignatura deHistoria? ddicrociodiaz.blogspot.com Para responder se necesita la siguiente definición.Definición 2.3.2 Sea X una variable aleatoria, la varianza de la variablealeatoria X se define como  X- EX  2 f x  si X es discreta  Var X      X- EX  f x  si X es continua 2donde la sumatoria se hace para todos los posibles valores de la variablealeatoria y la integral se hace sobre todos los posibles valores para loscuales f x   0 .Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  40. 40. 39 La varianza de una variable aleatoria nos da información respecto ala dispersión de los valores de la variable aleatoria. El concepto de varianzade la variable aleatoria es el mismo para variables discretas o continuas.Observación. De la definición de varianza y de valor esperado de unavariable aleatoria se tiene que  Var X  E X- EX 2 II.4. Propiedades de la esperanza y la varianzaPropiedades de la esperanza La esperanza tiene las siguientespropiedades. Sea X una variable aleatoria y c , c1 y c 2 números, entonces  Ec  c  Ec X  cEX  Ec1  c2 X  c1  c2 EXPropiedades de la varianza La varianza tiene las siguientes propiedades.Sea X una variable aleatoria y c un número, entonces  Var c   0    Var X  E X 2  EX 2  Var c X  c 2 Var XEjemplo 2.4.1 Obtener la varianza de la siguiente variable aleatoriadiscreta la cual tiene función de probabilidad 0.05 si X  1 0.25 si X  2   f x   0.30 si X  3 0.20 si X  4  0.20  si X  5Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  41. 41. 40Se tiene en primer lugar que obtener el valor esperado. Para este casoEX  3.05 , ahora se puede hacer uso de la propiedad   Var X  E X 2  EX 2para la cual se necesita EX 2  la cual toma el valor ¿?   Var X  E X 2  3.05  2  9.3025 Así tenemos que la varianza de la variable aleatoria es y su desviaciónestándar toma el valor .Ejercicio 2.4.1 Por parte de los participantes.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  42. 42. 41III Algunas distribuciones discretasObjetivo: Que el participante conozca y maneje algunas de las variablesaleatorias discretas, así como la función de probabilidad de cada una deéstas.Introducción Como se estableció en la Unidad II cuando se tiene una variablealeatoria discreta, información acerca de su comportamiento se puedeobtener a partir de su función de probabilidad. Tal función de probabilidadpuede estar dada en forma de una expresión algebraica. En esta unidad setratan las principales variables aleatorias de tipo discreto, así como lacorrespondiente función de probabilidad.III.1. Distribución Bernoulli La señora López está indecisa si comprar o no la crema antiacné saludmedicina.com Su decisión la basara en si tiene menos de 2 infecciones o no.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  43. 43. 42 Una industria fármaco bióloga desea sacar al mercado un nuevomedicamento, para lo cual realiza un experimento y la decisión de sacarloal mercado dependerá si el paciente muestra o no mejora respecto a laenfermedad que presenta. dermocosmetica.umh.es El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerablefinito, ya que solamente se tienen dos posibles resultados para elexperimento S  SM, NM. Sea la variable aleatoria definida de la siguientemanera 1 si M ejora  X :  0 si No M ejora así se tiene que el conjunto de valores de la variable aleatoria es 0,1 por locual la variable aleatoria es una variable aleatoria discreta. En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es discreto,por lo cual es una variable aleatoria discreta, pero además, la variablealeatoria solamente puede tomar dos valores. En general existen variablesaleatorias en las cuales sólo existen dos valores en su rango. Lo anteriornos lleva a la siguiente definición.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  44. 44. 43Definición 3.1.1 Un experimento se denomina Bernoulli si los posiblesresultados del experimento son solamente dos. Comúnmente a uno de losdos resultados se le denomina éxito (E) y al otro fracaso (F). safa.edu.uy gentedigital.es elianayjenniferdesnutriObservación 3.1.1 Posibles resultados del experimento dos.Observación 3.1.2 Éxito (EVENTO DE INTERÉS) y fracasoNota 3.1.1 Ya sea que se trate como probabilidad de la variable aleatoria ola probabilidad del evento éxito, ésta se denota por medio de p y alprobabilidad de fracaso por q , la cual por las propiedades de probabilidades 1 - p ¿Porqué?Nota 3.1.2 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cualtiene una distribución Bernoulli están dados por medio de:Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  45. 45. 44 EX  p y Var X  1  p .Ejemplo 3.1.1 Un alumno de la facultad de Estadística presenta un examende la asignatura de técnicas básicas de muestreo, su interés, como es deesperarse, es aprobar la asignatura, así que los posibles resultados delexperimento son APROBAR o REPROBAR. S  A, R. Lo cual entérminos de la variable aleatoria sería 1 si Aprueba  X :  0 si Reprueba con alguna probabilidad de éxito p .Ejemplo 3.1.2 El maestro de la asignatura técnicas básicas de muestreo,quien le imparte clases al alumno del ejemplo anterior tiene el interés deconocer cuál fue la calificación del alumno en el examen, así que losposibles resultados del experimento son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. el cualya no sería un experimento Bernoulli.Ejemplo 3.1.3 Un alumno de la facultad de Estadística presenta un examende la asignatura de técnicas básicas de muestreo Valor de X 0 1 Probabilidad asociada 1- p pLa distribución de probabilidades para este caso es FX 0  PX  0  PX  0  1  p , FX 1  PX  1  PX  0  PX  1  1 , FX 0.74  PX  0.74  PX  0  1  p , FX 2  PX  2  PX  0  PX  1  1.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  46. 46. 45Grafica de la función de distribución. Para una variable aleatoria Bernoulli su función de probabilidad estádada por medio de f x   PX  x   p x 1 - p1-x , con x  0,1 . Así f 0  PX  0  p 0 1 - p   1 p 1-0 f 1  PX  1  p1 1 - p  p 1-1Grafica de la función de probabilidadEjercicio. Dar 2 ejemplos de variables aleatorias Bernoulli con valores dep, con graficas.III.2. Distribución Binomial Una industria fármaco bióloga desea sacar al mercado un nuevomedicamento, para lo cual realiza un experimento. El nuevo medicamentoes probado en 50 pacientes los cuales presentan la enfermedad bajoexactamente las mismas condiciones. El interés es conocer cuantospacientes de los 50 muestran mejora respecto a la enfermedad.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  47. 47. 46 El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerablefinito. La cantidad de pacientes que mostraron mejora puede tomar 51posibles valores, así la variable aleatoria toma los valores 0,1,2,…,50. En el ejemplo de la industria fármaco bióloga el rango de la variablealeatoria es discreto, por lo cual es una variable aleatoria discreta, peroademás, el experimento consta de experimentos Bernoulli, cada uno deellos con la misma probabilidad de mejora (E), digamos p .Definición 3.2.1 Un experimento se denomina Binomial si éste estácompuesto por n experimentos Berrnoulli, y el interés es el número X deéxitos en estos n experimentos Bernoulli, los cuales se suponen que sonindependientes nartube.com drgrowonline.com lila2.blogspot.com cancunforos.comProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  48. 48. 47Supuestos  Se realizan n experimentos Bernoulli,  Probabilidad de éxito p ,  Los experimentos son independientes La variable aleatoria de interés es el número de éxitos en los nexperimentos, por lo cual X puede tomar los valores 0,1,2,...,n .La función de probabilidad está dada por n f x   PX  x    p x 1 - p  n -x x   n n!donde     x  x!n  x ! , y n! es el factorial.  Ejemplo 3.2.1 El grupo 302 de la facultad de Estadística el cual tiene 15alumnos presenta un examen de la asignatura de técnicas básicas demuestreo, su interés de cada alumno, como es de esperarse, es aprobar laasignatura, así que los posibles resultados del experimento son APROBARo REPROBAR. S  A, R. Pero al profesor le interesa conocer la cantidadde alumnos que aprobaron el examen, así que los posibles valores de lavariable aleatoria son 0, 1, 2,.., 15. Así se tiene 15  f x   PX  x    p x 1 - p  15- x x   Si la probabilidad de aprobar el examen es 0.8, se tiene que la probabilidadde que exactamente seis alumnos aprueben el examen es 15  f 6  PX  6    p 6 1 - p  15-6 6    15!  0.86 0.29 6! 9! 15 * 14 * 13 * 12 * 11* 10  0.86 0.29 6 * 5 * 4 * 3* 2 * 1  0.0006717Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  49. 49. 48Interpretación. Se tiene que si se tuvieran 100,000 grupos de 15 alumnoscada uno de éstos y se presentaran un examen de muestreo que tiene unaprobabilidad de ser aprobado de 0.8, entonces en aproximadamente 67 deestos grupos aprobarían exactamente 6 alumnos.La Probabilidad de que aprueben a lo más 5 alumnos es 15  15  FX 5  PX  5   p 0 1 - p    p1 1 - p   15-0 15-1 0  1      15  15    p 2 1 - p    p 3 1 - p   15-2 15-3 2  3      15  15    p 4 1 - p    p 5 1 - p  . 15-4 15-5 4  5     Nota 3.2.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cualtiene una distribución Binomial están dados por medio de: EX  np y Var X  np(1  p) .Ejercicio 3.2.1 Dar 2 ejemplos de variables aleatorias Binomial.Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad deuna variable aleatoria discreta con distribución Binomial son:1. Entrar a Excel a la pestaña de Insertar, en la parte marcada con funciónProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  50. 50. 492. Aparece la siguiente ventana3. Irse a la pestaña de seleccionar una categoría y elegir Estadística4. Elegir BINOM y aceptarProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  51. 51. 505. Aparece la ventana de la Binomial6a. Calcular la probabilidad f 6ResultadoProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  52. 52. 516b. Calcular FX 5ResultadoIII.3. Distribución Geométrica La industria fármaco bióloga anterior desea sacar al mercado otromedicamento, para lo cual realiza un experimento. El nuevo medicamentoes probado en pacientes los cuales presentan la enfermedad bajoexactamente las mismas condiciones, pero se desea conocer en cuantospacientes se debe probar hasta que ocurra un éxito, estos es hasta que unode los pacientes muestre mejora.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  53. 53. 52 El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable.La cantidad de pacientes necesarios hasta que ocurra la primera mejora esnumerable tomando los valores 1,2,…,20,…, así que la variable aleatorianúmero de experimentos necesarios hasta que ocurra el primer éxito es unavariable aleatoria discreta, se tiene que el experimento consta deexperimentos Bernoulli, cada uno de ellos con la misma probabilidad demejora (E), digamos p .Definición 3.3.1 Una variable aleatoria se denomina geométrica si elinterés es el número de experimentos necesarios hasta que ocurra elprimer éxito, cada uno de estos experimentos es un ensayo Bernoulli, loscuales se suponen que son independientes.Supuestos  Se realizan experimentos Bernoulli hasta obtener un éxito,  Probabilidad de éxito p ,  Los experimentos son independientes. La variable aleatoria de interés es el número de experimentos necesarioshasta obtener el primer éxito por lo cual X puede tomar los valores 1,2,... . f x   PX  x   p1 1 - p x -1La función de probabilidad está dada pordonde p denota la probabilidad de éxito y x  1,2,... .Nota 3.3.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cualtiene una distribución Geométrica están dados por medio de: 1 p EX   y Var X  2 . 1 p pProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  54. 54. 53Ejemplo 3.3.1 El Biólogo Rivas va a analizar cultivos de bacterias hastadetectar bacterias tipo B1. Se sabe de estudios anteriores que en promediose analizan 8 cultivos antes de encontrar bacterias tipo B1. ¿Cuál es laprobabilidad de que el biólogo Rivas analice 3 cultivos para encontrar labacteria tipo B1? digitalmediadesign2009.comSe tiene a una variable aleatoria geométrica ya que se desea conocer elnúmero de experimentos necesarios “analizar cultivos” antes de obtener unéxito “bacterias tipo B1”. El biólogo Rivas cuenta con la información deque EX  8 , de lo cual se obtiene que 1  8 , así p  0.125 . Se desea obtener pla probabilidad de analizar 3 cultivos para encontrar bacterias tipo B1.Si es necesario analizar 3 cultivos para encontrar bacterias tipo B1, se tieneque en los 2 primeros cultivos no se encontraron bacterias tipo B1, así PX  3  p1 1 - p   p1 1 - p   0.1250.875 3-1 2 2  0.096Interpretación. Así se tiene que si en 1000 ocasiones el biólogo Rivas sepusiera a analizar cultivos de bacterias hasta encontrar un cultivo debacterias tipo B1 en 96 de estas 1000 ocasiones necesitaría analizar 3cultivos hasta detectar bacterias tipo B1.Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad deuna variable aleatoria discreta con distribución Geométrica son:Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  55. 55. 541, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial4. Elegir NEGBINOMDIST y aceptar5. Aparece la ventana de la Binomial NegativaProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  56. 56. 556. Calcular la probabilidad de que sea al tercer ensayo el exitoResultadoIII.4 Distribución Poisson Una maestra de escuela secundaria desea conocer el númeropromedio de faltas de ortografía que existe en cada página del libro de textode la asignatura de español. Un agente de transito desea conocer el númeropromedio de accidentes automovilísticos que ocurren en la avenida ÁvilaCamacho en un día. Un biólogo desea conocer el número promedio deplagas en una planta.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  57. 57. 56 taringa.net mexicotop.com La maestra no se pondría a escribirle faltas de ortografía a laspáginas del libro. El agente de transito no se pondría a producir accidentesde autos. El biólogo no se pondría a poner plagas en las plantas. Todosestos hechos no ocurren como resultado de llevar a cabo un experimento,sino al azar. No es de interés conocer el número de no faltas de ortografía,no es de interés conocer el número de no accidentes automovilísticos, asícomo tampoco el número de no plagas en una planta. Ahora se tiene que ha mayor número de palabras en la pagina elnúmero de faltas de ortografía es mayor. A mayor lapso de tiempo elnúmero de accidentes es mayor, y a mayor tamaño del la planta el númerode plagas es mayor. O viceversa. En todos los casos la variable aleatoria es X  número de veces que ocurre el resultado de interés en una unidad . Los posibles valores que puede tomar la variable son 0,1,2,3,4,…, elcual es un conjunto numerable, así que se trata de una variable aleatoriadiscreta.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  58. 58. 57La función de densidad está dada por e x f x   P X  x   x  0,1,2,... x!Definición 3.4.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoria poissonsi tiene la siguiente función de probabilidad e   x f x   P X  x   x  0,1,2,... x!Supuestos.  La probabilidad de que ocurra más de una vez el resultado de interés en una unidad muy pequeña es cero.  El número de ocurrencias del resultado de interés es proporcional al tamaño de la unidad.  El número de ocurrencias del resultado de interés en cada unidad, es independiente del número de ocurrencias en cualquiera otra unidad.Nota 3.4.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cualtiene una distribución Poisson están dados por medio de: EX   y Var X   .Ejemplo 3.4.1 Una maquina despachadora de café, tiene, en promedio, tresfallas a la semana. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina despachecafé sin fallas durante una semana? chicadelatele.comProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  59. 59. 58Se tienen los siguientes componentes del experimento:  X : Número de fallas en la semana  Unidad Una semana   3  Evento No hay falla durante la semanaLa función de probabilidad toma la forma e 3 3 x f x   P X  x   x  0,1,2,... x!y para el caso de interés se tiene X  0 , así e 3 30 f 0  PX  0   e 3  0.05 0!Interpretación. Si durante 100 semanas se contaran el número de fallas enla maquina de café, se tendría que en 5 de estas semanas no ocurriríaninguna falla en la maquina.Ejemplo 3.4.2 Una maquina despachadora de café, tiene, en promedio, tresfallas a la semana. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina despachecafé sin fallas durante la mitad de la semana? Los componentes delexperimento son los mismos que los del ejemplo 3.4.1 únicamente con laexcepción que el numero promedio para este caso particular es de 1.5, esdecir,   1.5 , así la probabilidad de interés es e 1.5 1.5 0 f 0  PX  0   e 1.5  0.22 0!Interpretación. Si durante 100 medias semanas se contaran el número defallas en la maquina de café, se tendría que en 22 de estas medias semanasno ocurriría ninguna falla en la maquina.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  60. 60. 59Ejercicio 3.4.1 En la Florida, USA, hay en promedio 6 huracanes cadaocho meses. fgarcia.diariolibre.com  ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos ocho meses se presenten 5 huracanes?  ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos cuatro meses se presenten 5 huracanes?Ejercicio 3.4.2 Dar ejemplos por parte de los participantes de variablesaleatorias Poisson.Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad deuna variable aleatoria discreta con distribución Poisson son:1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial4. Elegir POISSON y aceptarProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  61. 61. 605. Aparece la ventana de la Poisson6. Calcular la probabilidad de que no falla durante la semanaResultadoProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  62. 62. 61III.5 Distribución Hipergeométrica En una bolsa hay 3 bolas blancas y 2 negras, se extraen dos bolas dela urna, lo cual puede ser con reemplazo o sin reemplazo. Cuando se haceCON reemplazo se extrae la bola y se regresa a la urna, por lo cual cadaextracción de bolas sería un evento Bernoulli, con X número de bolasnegras extraídas, lo cual seria un experimento Binomial. Si el experimentose hace SIN reemplazo la variable aleatoria ya no se distribuye como unaBinomial, sino que es una distribución Hipergeométrica, la cual se basa enla siguiente definición acertijosymascosas.comDefinición 3.5.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoriahipergeométrica si tiene la siguiente función de probabilidad  D  N  D     x  n  x   f x   PX  x      x  0,1,2,..., n  N   n   Supuestos.  En el experimento hay N elementos, de los cuales D tienen la característica de interés y el resto, N-D, no la tienen.  El experimento es SIN reemplazo  Se extrae una muestra de tamaño n.  La variable aleatoria es el número de elementos con la características que hay entre los n seleccionados.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  63. 63. 62Nota 3.5.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X lacual tiene una distribución Hipergeométrica están dados por medio de: Nn EX   n y Var X  np1 - p  D  . N  N 1 Ejemplo 3.5.1 En un laboratorio hay 4 químicos y 3 biólogos, se forma uncomité de dos personas. larioja.com¿Cuál es la probabilidad de que el comité este formado por dos químicos?Los datos del experimento son:  X : Número de químicos en el comité  N  7, D  4, n  2 .  Evento: los dos miembros son químicosde lo anterior se tiene que la función de probabilidad toma la forma  4  7  4     x  2  x   f x   PX  x      x  0,1,2.  7    2  y para el caso de interés se tiene X  2 , asíProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  64. 64. 63  4  7  4   4  3     2  2  2   2  0      f 2   PX  2          7 7    2    2     4! 4 * 3 * 2 *1 *1 *1  2!2!  2 *1 * 2 *1 7! 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1 5!2! 5 * 4 * 3 * 2 *1 * 2 *1 6 2    0.29 21 7Interpretación. Si hubiera 100 laboratorios cada uno con 4 químicos y 3biólogos y se formará en cada laboratorio un comité de dos personas de las7 disponibles, entonces, en promedio en 29 comités los dos miembros queforman tal comité serían dos químicos.Ejercicio 3.5.1 Un comité de 3 personas se forma de un grupo de 2abogados y 4 contadores. Encontrar la función de probabilidad para elnúmero de abogados en el comité. abogadosdeempresa.com.mxEjercicio 3.5.2 Dar ejemplos por parte de los participantes de variablesaleatorias Hipergeométrica.Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  65. 65. 64Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad deuna variable aleatoria discreta con distribución Hipergeométrica son:1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial4. Elegir DIST.HIPERGEOM y aceptar5. Aparece la ventana de la HipergeométricaProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  66. 66. 656. Calcular la probabilidad de que en un laboratorio hay 4 químicos y 3biólogos, se forma un comité de dos personas.¿Cuál es la probabilidad de que el comité este formado por dos químicos?Los datos del experimento son:  X : Número de químicos en el comité  N  7, D  4, n  2 .  Evento: los dos miembros son químicosEn excelResultadoProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  67. 67. 66UNIDAD IV. Algunas distribuciones continuasObjetivo: Que el participante conozca, identifique y maneje las variablesaleatorias continuas más comunes, así como la función de densidad de cadauna de éstas.Introducción Como se estableció en la Unidad II cuando se tiene una variablealeatoria continua, información acerca de su comportamiento se puedeobtener a partir de su función de densidad. Tal función de densidad puedeestar dada en forma de una expresión algebraica. En esta unidad se tratanlas principales variables aleatorias de tipo continuo, así como sucorrespondiente función de densidad.IV.1. Distribución Uniforme IV.1.1 Distribución Uniforme Discreta liceorosenthal.edu.co lasescapadas.com Un alumno del tercer semestre de la licenciatura en Estadística estáinteresado en conocer cual es su promedio que lleva de las 15 asignaturasque ha cursado hasta ese momento, para lo cual anota las 15 calificacionesProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  68. 68. 67obtenidas, las suma, y esta suma la divide entre 15, el número total deasignaturas. ¿Por qué las divide entre 15? En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es discreto,por lo cual es una variable aleatoria discreta, y le damos la mismaimportancia a cada una de las asignaturas, esto lo podemos expresardiciendo que tratamos en forma uniforme a cada uno de los posiblesvalores que puede tomar la variable aleatoria. Lo anterior nos lleva a lasiguiente definición.Definición 4.1.1.1 Una variable aleatoria X se distribuye en formauniforme (caso discreto) si su función de probabilidad está dada por f x   si x es uno de los valores x1 , x2 ,..., xn  1 nNotación. X ~ UDn  .Nota 4.1.1.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoriadiscreta la cual se distribuye en forma uniforme es x  E x   xi y Var X   i 2 EX   n nEjemplo 4.1.1.1 Un alumno de la especialidad en métodos estadísticospresenta el segundo examen de la asignatura de probabilidad básica. Laescala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5 ¿Cuál esla probabilidad de que obtenga un 7.5 de calificación?, ¿Cuál es laprobabilidad de que obtenga una calificación entre 7.5 y 9?Sea X definida como la calificación obtenida por el alumno en el examen,entonces X ~ UDn  . Para responder la primera pregunta basta con obtenerProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.
  69. 69. 68en primer lugar la función de probabilidad de la variable aleatoria, la cuales en este caso f x   si x es uno de los valores 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5 1 8así la probabilidad de que la variable aleatoria tome exactamente el valorde 7.5 es PX  7.5  f 7.5   0.125. 1 8Interpretación: Si se les aplicara el segundo examen a 1000 alumnos,donde la escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5,en promedio 125 de éstos obtendrían una calificación de 7.5.Ahora la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor de entre7.5 y 9 es obtenida de la siguiente manera P7.5  X  9  f 7.5  f 8  f 8.5  f 9 1 1 1 1 4 1       8 8 8 8 8 2Interpretación: Si se les aplicara el segundo examen a 1000 alumnos,donde la escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5,en promedio 500 de éstos obtendrían una calificación de entre 7.5 y 9. 0.15 0.14 0.13 f(x) 0.12 0.11 0.10 Calificación Grafica de la función de probabilidadProbabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.

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