• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Θεώρημα Μέσης Τιμής- Περιπτώσεις
 

Θεώρημα Μέσης Τιμής- Περιπτώσεις

on

  • 1,758 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,758
Views on SlideShare
1,349
Embed Views
409

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

3 Embeds 409

http://mathschool-online.pblogs.gr 222
http://www.mathschoolonline.org 114
http://blogs.pathfinder.gr 73

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Θεώρημα Μέσης Τιμής- Περιπτώσεις Θεώρημα Μέσης Τιμής- Περιπτώσεις Document Transcript

    • http://www.mathschool-online.gr Θ.Μ.ΤΘεώρημα Μέσης ΤιμήςΈστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και [α,β] υποσύνολοτου Δ.Αν η f είναι :1)συνεχής στο [α,β]2)Παραγωγίσιμη στο (α,β)Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (α,β) τ.ω f΄(ξ)=f(β) f(α)β α−−ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΠεριπτώσεις1)Μας ζητείται να εξετάσουμε αν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ ή μας ζητείταινα βρούμε τις παραμέτρους ώστε να εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ2) Μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει σημείο της γραφικήςπαράστασης της f όπου η εφαπτομένη της Cf στο σημείο αυτό είναιπαράλληλη προς ευθεία που διέρχεται από κάποιο σημείο1. Θεωρώ τη συνάρτηση f με τύπο( )( ]22x αx β,x [ 1,0]f xγx βx 2,x 0,1 − + ∈ −= − − ∈Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών α,β,γ έτσι ώστε να ισχύειτο Θ.Μ.ΤΛύσηΓια να ισχύει το Θ.Μ.Τ πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-1,1] καιπαραγωγίμη στο (-1,1)Η f είναι συνεχής στο [ 1,0) (0,1]− ∪ ως πολυωνυμικήΘέλω να είναι συνεχής και για x=0Αυτό σημαίνει ότι πρέπει x o x olim f(x) lim f(x)+ −→ →=
    • http://www.mathschool-online.gr Θ.Μ.ΤΙσοδύναμα 2 2x o x olim (γx βx 2) lim (x αx β) 2 β+ −→ →− −= − + ↔ −=Επομένως ο τύπος της f γίνεται ( )( ]22x αx 2,x [ 1,0]f xγx 2x 2,x 0,1 − − ∈ −= + − ∈Η f είναι παραγωγίσιμη στο [ 1,0) (0,1]− ∪Θέλω να είναι παραγωγίσιμη και για x=0Δηλαδή, θέλω f΄(0+)=f΄(0-) <->( ) ( ) ( ) ( )x 0 x 0f x f 0 f x f 0lim limx x+ −→ →− −=Όμως f(0)=-2 ,επομένως η παραπάνω σχέση γίνεται2 2x 0 x 02 2x 0 x 0 x 0 x 0γx 2x 2 2 x αx 2 2lim limx xγx 2x x αxlim lim lim (γx 2) lim (x α)x x+ −+ − + −→ →→ → → →+ − + − − += ↔+ −= ↔ += −Όμως x 0lim (γx 2) 2+→+ =και x 0lim (x α) α−→− =−Συνδιάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχω α=-2Άρα α=-2 , β=-2 και το γ R∈2. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[1,4]->R με f(1)= 5,f(4)=-1Να δειχτεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ(x0,f(x0)) της Cf όπουη εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y=-2x-1ΛύσηΗ f είναι παραγωγίσιμη στο [1,4] άρα και συνεχής στο [1,4] . Επομένωςεφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ και άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 στο [1,4] τ.ω( ) ( )0f 4 f 1 1 5f΄(x ) 24 1 3− − −= = = −−Επομένως η εφαπτομένη της Cf στο Μ(x0,f(x0)) έχει συντελεστήδιεύθυνσης f΄(x0)=-2Όμως λε =-2 .Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της Cf στο Μ(x0,f(x0))
    • http://www.mathschool-online.gr Θ.Μ.Τείναι παράλληλη στην ευθεία y=-2x-1.Απόδειξη ανισοτικών σχέσεων με τη χρήση του Θεωρήματος ΜέσηςΤιμήςΜεθοδολογίαΌταν θέλουμε να δείξουμε μια ανίσωση της μορφήςf(β) f(α)μ Μβ α−≤ ≤−αντικαθιστούμε το λόγοf(β) f(α)β α−−με f΄(ξ) από το Θ.Μ.Τεφόσον ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ για τη συνάρτηση f στοδιάστημα [α,β]ΆσκησηΔίνεται η συνάρτηση f(x)=ex,x>0 .1)Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ στο διάστημα [0,x] ,x>02)Nα δείξετε ότι x<ex-1 <xex,x>0ΛύσηH f(x)=ex,x>0 έχει π.ο το R και είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο π.οτης.Επομένως η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο υποσύνολο [0,x] ,x>0του π.ο της.Άρα : f συνεχής στο [ ]0,x R⊂f παραγωγίσιμη στο (0,x) R⊂Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο (0,x) ,x> 0, τέτοιο ώστεx 0 x 0 xξ ξf(x) f(0) e e e e e 1f΄(ξ) f΄(ξ) e ex 0 x x x− − − −= ↔ = ↔= ↔=−(2)
    • http://www.mathschool-online.gr Θ.Μ.ΤΌμως 0<ξ<x <-> e0< eξ< ex(1) (διότι η f(x)=ex,x>0 είναι γνησίωςαύξουσα)Η σχέση (1) λόγω της (2) γίνεταιxx x xe 11 e x e 1 xe ,x 0x−< < ↔ < − < >