Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
Θεματα πανελλαδικων 2012 Μαθημ.Κατεύθυνσης
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Θεματα πανελλαδικων 2012 Μαθημ.Κατεύθυνσης

  • 1,851 views
Published

 

Published in Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
1,851
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3

Actions

Shares
Downloads
1
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ∆Α Β΄) ∆ΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ∆ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)ΘΕΜΑ ΑA1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆. Αν f′(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆ Μονάδες 7A2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 4A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x 0 œA τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x γ) Αν είναι lim f (x) = +∞, τότε f(x)<0 κοντά στο x 0 x→ x 0 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
  • 2. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ 1 δ) (σφx)′ = , xœ−{x|ημx=0} ημ 2 x β β ε) ∫ f(x)g′(x)dx = α [f(x)g(x)]β α ∫ + f′(x)g(x)dx, όπου f′, g′ είναι α συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] Μονάδες 10ΘΕΜΑ ΒΘεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τουςοποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z_1 + z + 1 = 4 2 2 (1) w_5 w = 12 (2)B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 1 Μονάδες 6B2. Αν z 1 , z 2 είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z1 _z2 = 2 τότε, να βρείτε το z1 + z2 . Μονάδες 7B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη x2 y2 με εξίσωση + = 1 και στη συνέχεια να βρείτε τη 9 4 μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w Μονάδες 6B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w που επαληθεύουν τις σχέσεις (1) και (2) να αποδείξετε ότι: 1§ z − w §4 Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
  • 3. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝΘΕΜΑ Γ ∆ίνεται η συνάρτηση f(x)=(x−1) ln x−1, x>0Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ∆ 1 =(0,1] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ∆ 2 =[1,+ ∞ ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f Μονάδες 6Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xx-1 = e 2013 , x>0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Μονάδες 6Γ3. Αν x 1 , x 2 με x 1 <x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ2, να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 œ (x 1 ,x 2 ) τέτοιο, ώστε f′(x0 ) + f(x0 ) = 2012 Μονάδες 6Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=f(x)+1 με x>0, τον άξονα x′x και την ευθεία x=e Μονάδες 7ΘΕΜΑ ∆Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+ ∞ )→  , η οποία για κάθεx>0 ικανοποιεί τις σχέσεις: • f(x) ∫ 0 x 2 − x +1 x − x2 • ∫1 f(t)dt ≥ e x ⎛ lnt − t ⎞ • ln x−x = − ⎜ ⎜ ⎝ ∫ 1 f(t) dt + e ⎟ ⋅ f(x) ⎟ ⎠∆1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
  • 4. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Αν είναι f(x) = e − x ( ln x−x), x>0, τότε: ⎡ 1 ⎤∆2. Να υπολογίσετε το όριο: lim ⎢(f (x))2 ημ − f (x)⎥ x→ 0 ⎣ + f (x) ⎦ Μονάδες 5∆3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln x≤x−1, που ισχύει για κάθε x>0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση x F(x) = ∫ f(t) dt, x>0, α όπου α>0, είναι κυρτή (μονάδες 2). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F(x) + F(3x) > 2F(2x), για κάθε x>0 (μονάδες 4). Μονάδες 6∆4. ∆ίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ œ (β,2β) τέτοιο ώστε: F(β) + F(3β) = 2F(ξ) Μονάδες 4 Ο∆ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία , εξεταζόμ ενο μάθημα ). Να μ η ν α ντ ιγ ρ ά ψ ε τ ε τα θέματα στο τετράδιο.2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. ∆εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μα ζί με το τ ετ ράδιο και τα φωτοαντίγραφα .3. Να απαντήσετε σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ιό σ α ς σε όλα τα θέματα .4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μ ό ν ο με μπ λε ή μ ό ν ο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια , διαγράμματα και πίνακες .5. Να μη χρησιμοποι ήσετε χαρτί μιλιμετρέ .6. Κάθε απάντηση επι στημονικά τεκμηριωμένη εί ν αι αποδεκτή.7. ∆ιάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων .8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 10.30 π.μ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ