Your SlideShare is downloading. ×
Θεματα πανελλαδικων 2012 Μαθημ.Κατεύθυνσης
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Saving this for later?

Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime - even offline.

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Θεματα πανελλαδικων 2012 Μαθημ.Κατεύθυνσης

1,886
views

Published on

Published in: Education

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,886
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ∆Α Β΄) ∆ΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ∆ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)ΘΕΜΑ ΑA1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆. Αν f′(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆ Μονάδες 7A2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 4A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x 0 œA τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x γ) Αν είναι lim f (x) = +∞, τότε f(x)<0 κοντά στο x 0 x→ x 0 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
  • 2. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ 1 δ) (σφx)′ = , xœ−{x|ημx=0} ημ 2 x β β ε) ∫ f(x)g′(x)dx = α [f(x)g(x)]β α ∫ + f′(x)g(x)dx, όπου f′, g′ είναι α συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] Μονάδες 10ΘΕΜΑ ΒΘεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τουςοποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z_1 + z + 1 = 4 2 2 (1) w_5 w = 12 (2)B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 1 Μονάδες 6B2. Αν z 1 , z 2 είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z1 _z2 = 2 τότε, να βρείτε το z1 + z2 . Μονάδες 7B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη x2 y2 με εξίσωση + = 1 και στη συνέχεια να βρείτε τη 9 4 μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w Μονάδες 6B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w που επαληθεύουν τις σχέσεις (1) και (2) να αποδείξετε ότι: 1§ z − w §4 Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
  • 3. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝΘΕΜΑ Γ ∆ίνεται η συνάρτηση f(x)=(x−1) ln x−1, x>0Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ∆ 1 =(0,1] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ∆ 2 =[1,+ ∞ ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f Μονάδες 6Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xx-1 = e 2013 , x>0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Μονάδες 6Γ3. Αν x 1 , x 2 με x 1 <x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ2, να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 œ (x 1 ,x 2 ) τέτοιο, ώστε f′(x0 ) + f(x0 ) = 2012 Μονάδες 6Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=f(x)+1 με x>0, τον άξονα x′x και την ευθεία x=e Μονάδες 7ΘΕΜΑ ∆Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+ ∞ )→  , η οποία για κάθεx>0 ικανοποιεί τις σχέσεις: • f(x) ∫ 0 x 2 − x +1 x − x2 • ∫1 f(t)dt ≥ e x ⎛ lnt − t ⎞ • ln x−x = − ⎜ ⎜ ⎝ ∫ 1 f(t) dt + e ⎟ ⋅ f(x) ⎟ ⎠∆1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
  • 4. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Αν είναι f(x) = e − x ( ln x−x), x>0, τότε: ⎡ 1 ⎤∆2. Να υπολογίσετε το όριο: lim ⎢(f (x))2 ημ − f (x)⎥ x→ 0 ⎣ + f (x) ⎦ Μονάδες 5∆3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln x≤x−1, που ισχύει για κάθε x>0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση x F(x) = ∫ f(t) dt, x>0, α όπου α>0, είναι κυρτή (μονάδες 2). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F(x) + F(3x) > 2F(2x), για κάθε x>0 (μονάδες 4). Μονάδες 6∆4. ∆ίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ œ (β,2β) τέτοιο ώστε: F(β) + F(3β) = 2F(ξ) Μονάδες 4 Ο∆ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία , εξεταζόμ ενο μάθημα ). Να μ η ν α ντ ιγ ρ ά ψ ε τ ε τα θέματα στο τετράδιο.2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. ∆εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση . Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μα ζί με το τ ετ ράδιο και τα φωτοαντίγραφα .3. Να απαντήσετε σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ιό σ α ς σε όλα τα θέματα .4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μ ό ν ο με μπ λε ή μ ό ν ο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια , διαγράμματα και πίνακες .5. Να μη χρησιμοποι ήσετε χαρτί μιλιμετρέ .6. Κάθε απάντηση επι στημονικά τεκμηριωμένη εί ν αι αποδεκτή.7. ∆ιάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων .8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 10.30 π.μ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ