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Algebra de Boole - Circuitos Digitais

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Contém técnicas de ensino da Algebra Booleana, para ser aplicada em circuitos digitais.

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Algebra de Boole - Circuitos Digitais

  1. 1. 11/12/13   1   Aula  2  –  Álgebra  Booleana     Disciplina:  Circuitos  Digitais   Prof.  Kelson  R.  T.  Aires   Fonte:  Transparências  do  Prof.  Ivan  S.  Silva   •  Uma  álgebra  definida  por:   – Um  conjunto  de  operações  válidas   – Um   conjunto   de   valores   admissíveis   para   cada   variável   Álgebra  Booleana   Operações  Válidas   •  Complemento  (NOT)  ou  Negação  ou  Inversão   – É  uma  operação  unária  que  tem  como  resultado  o   valor  oposto  ao  valor  da  variável  a  qual  é  aplicada   SÍMBOLO   A S EXPRESSÃO   S = A A   S   0   1   1   0   COMPORTAMENTO   EM  VHDL   S <= NOT A; Operações  Válidas   •  Operação  (AND)  ou  “E”  ou  “mulbplicação   lógica”   – Resulta  em  ‘1’  se  e  somente  se  todas  as  variáveis   de  entrada  são  ‘1’   SÍMBOLO   A B S EXPRESSÃO   S = A . B A   B   S   0   0   0   0   1   0   1   0   0   1   1   1   COMPORTAMENTO   EM  VHDL   S <= A AND B; Operações  Válidas   •  Operação  (OR)  ou  “OU”  ou  “adição  lógica”   – Resulta  em  ‘1’  se  pelo  menos  uma  das  variáveis  de   entrada  é  ‘1’   SÍMBOLO   A B S EXPRESSÃO   S = A + B A   B   S   0   0   0   0   1   1   1   0   1   1   1   1   COMPORTAMENTO   EM  VHDL   S <= A OR B; Operações  Válidas   •  Operações  NAND   – O  complemento  de  um  AND   SÍMBOLO   A B S EXPRESSÃO   S= A . B A   B   S   0   0   1   0   1   1   1   0   1   1   1   0   COMPORTAMENTO   EM  VHDL   S <= A NAND B;
  2. 2. 11/12/13   2   Operações  Válidas   •  Operações  NOR   – O  complemento  de  um  OR   SÍMBOLO  EXPRESSÃO   COMPORTAMENTO   A BS = A + B A   B   S   0   0   1   0   1   0   1   0   0   1   1   0   EM  VHDL   S <= A NOR B; Operações  Válidas   •  Operações  NAND  e  NOR   – Por   razões   tecnológicas   é   mais   fácil   fazer   o   complemento  de  um  AND  ou  o  complemento  de   um  OR  que  estas  operações   A S B A B S=1 A B A B NAND   AND   Operações  Válidas   •  Operações  XOR,  ou  “OU  Exclusivo”  ou   “Disjunção  Exclusiva”   – Resulta  em  ‘1’  se  e  somente  se  exatamente  uma   das  variáveis  de  entrada  tem  o  valor  ‘1’   – EXPRESSÃO  GERAL:  (A.B)  +  (A.B)  =  A  ⊕  B   •  Veja:  hmp://pt.wikipedia.org/wiki/XOR   Operações  Válidas   •  Operações  XOR,  “OU  Exclusivo”  ou  “Disjunção   Exclusiva”     SÍMBOLO   A B S EXPRESSÃO   S = A ⊕ B A   B   S   0   0   0   0   1   1   1   0   1   1   1   0   COMPORTAMENTO   EM  VHDL   S <= A XOR B; Operações  Válidas   •  Operações  XNOR,  ou  “Coincidência”   – Resulta  em  ‘1’  se  e  somente  se  os  valores  de  todas   as  variáveis  de  entrada  são  idênbcos   – EXPRESSÃO  GERAL:  (A.B)  +  (A.B)  =  A  ¤  B   •  Veja:  hmp://pt.wikipedia.org/wiki/Porta_XNOR   Operações  Válidas   •  Operações  XNOR,  ou  “Coincidência”     SÍMBOLO   A B S EXPRESSÃO   SS = A ¤ B A   B   S   0   0   1   0   1   0   1   0   0   1   1   1   COMPORTAMENTO   EM  VHDL   S <= A XNOR B;
  3. 3. 11/12/13   3   Circuitos  Digitais  -­‐  UFPI   13   Porta   Símbolo   Expressão  de  saída   NOT  ou  Não   S=A   AND  ou  E   S=A.B   NAND  ou  Não  E   S=A.B   OR  ou  OU   S=A+B   NOR  ou  NOU   S = A + B   XOR  ou  OU  Exclusivo   S = A ⊕ B   Coincidência   S = A ¤ B A B S A S A B S A B S A B S A B S A B S A ¤ B  =  A ⊕ B   Fonte:  Transparências  do  prof.  Ricardo  Brimo  (DIE/UFPI)   Postulados  e  Idenbdades   •  Complementação   A  =  A   A  =  0  à  A  =  1   A=    1  à  A  =  0     •  Adição   A  +  0  =  A   A  +  1  =  1   A  +  A  =  A   A  +  A  =  1   •  Mulbplicação   A.0  =  0   A.1  =  A   A.A  =  A   A.A  =  0   Elemento  Neutro   Elemento  Neutro   Aritmébca  Booleana   •  Adição   0  +  0  =  0   0  +  1  =  1   1  +  0  =  1   1  +  1  =  1     •  Mulbplicação   0.0  =  0   0.1  =  0   1.0  =  0   1.1  =  1   Propriedades  da  Álgebra  de  Boole   •  Comutabva   •  Distribubva   A  .    B  =  B  .    A   A  +  B  =  B  +  A   A  ⊕  B  =  B  ⊕  A   A  .  (B  +  C  )  =  A  .  B  +  A  .  C   A  +  B  .  C  =  (A  +  B)  .  (A  +  C)   Propriedades  da  Álgebra  de  Boole   •  Associabva   (  A  .  B  )  .  C  =  A  .  (  B  .  C  )  =  A  .  B  .  C   (  A  +  B  )  +  C  =  A  +  (  B  +  C  )  =  A  +  B  +  C   (  A  ⊕  B  )  ⊕  C  =  A  ⊕  (  B  ⊕  C  )  =  A  ⊕  B  ⊕  C   Teoremas  de  De  Morgan   •  1º  Teorema  :  A  .  B  =  A  +  B   A   B   A  .  B     A  +  B   0   0   1   1   0   1   1   1   1   0   1   1   1   1   0   0  
  4. 4. 11/12/13   4   Teoremas  de  De  Morgan   •  2º  Teorema  :  A  .  B  =  A  +  B   A.B=  A  +  B   A.B=  A  +  B   Façamos  =      A    =  X    e    B  =  Y   X  .  Y  =  (X  +  Y)   Reescrevendo  em  termos  de  A  e  B   A  .  B  =  (A  +  B)   Do  1º  Teorema   2º  Teorema   Leis  da  Absorção   •  A  +  A.B  =  A   Demonstração     A  +  A.B  =  A   A  (1  +  B)  =  A   A  (1)  =  A   A  =  A       •  A  +A.B  =  A  +  B   Demonstração     A  +A.B  =  A  +  B     A  +A.B  =  A  +  B     A  .(A.B)  =  A  +  B     A  .(A+B)  =  A  +  B     A.B  =  A  +  B     A  +  B  =  A  +  B         Leis  da  Absorção   •  (A  +  B).B  =  A.B   Demonstração   (A  +  B).B  =  A.B   A.B  +  B.B  =  A.B   A.B  +  0  =  A.B   A.B  =  A.B       Idenbdades  Auxiliares   A.B  +  A.B  =  A   A.(A  +  B)  =  A   (A  +  B)  .  (A  +  B)  =  A   (A  +  B)  .  (A  +  C)  =  A  +  B.C   Idenbdades  Auxiliares   A.B  +  A.B  =  A   A(B  +  B)  =  A   A    =  A   AA  +  AB  +  BA  +  BB  =  A   A  +  AB  +  BA  +  0  =  A   A  (B+1+B)=  A   A    =  A   (A  +  B)  .  (A  +  B)  =  A   A.(A  +  B)  =  A   A.A  +  AB  =  A   A  +  AB  =  A   A(  1  +  B)  =  A   A  =  A   (A  +  B)  .  (A  +  C)  =  A  +  B.C   (A.  A  +  A.  C  +  B.A  +  B.C)  =  A  ...   (A  +  A.  C  +  B.A  +  B.C)  =  A  +B.C   A(1  +  B  +  C)  +  B.C=  A  +B.C   A  +  B.C=  A  +B.C   Avaliação  de  Expressões  Booleanas     •  Criar  uma  tabela  verdade  para  a  expressão   •  Uma  tabela  verdade  é  uma  tabela  que  para  cada   combinação  possível  de  valores  das  variáveis  de   entrada  mostra  o  resultado  da  expressão   – Idenbficar  as  variáveis  de  entrada   – Para  cada  variável  de  entrada,  desbnar  uma   coluna  mais  à  esquerda,  na  tabela-­‐verdade   – Criar  colunas  à  direita,  conforme  a  ordem  de   precedência  das  operações  conbdas  na  equação   que  se  está  avaliando    
  5. 5. 11/12/13   5   Avaliação  de  Expressões  Booleanas   •  Ordem  de  Avaliação  de  Expressões  Booleanas  (Ordem   Precedência  dos  Operadores)     –  Do  nível  de  parêntesis  mais  interno  para  o  nível  mais  externo    1.  Complemento  de  variável  individual    2.  Operação  “E”    3.  Operação  “OU”     •  OBS:  complemento  de  expressão  deve  ser  analisado  assim   que  a  expressão  a  ser  complementada  for  avaliada.   Exemplo:    A  +  B  .  C       Avaliação  de  Expressões  Booleanas   •  Construção  de  uma  Tabela-­‐Verdade   – Com  n  entradas  uma  função  tem  2n  combinações   de  valores  possíveis.   •  Avaliação  da  função   –   Atribuir  valores  as  variáveis  na  tabela   –   Avaliar  AND,  OR,  complemento  na  ordem   estabelecida   – Exemplo  -­‐  DeMorgan:    X  +  Y    =      X  .  Y   X      Y                X      Y                X  .  Y   0        0              1        1                  1     0        1              1        0                  0   1        0              0        1                  0   1        1              0        0                  0   Funções  Booleanas  e  Circuitos  Lógicos   •  Dada  uma  função  Booleana,  é  possível   representá-­‐la  graficamente,  por  meio  de  uma   associação  de  portas  lógicas   •  Esta  associação  chama-­‐se  circuito  lógico  ou   digital   •  Com  o  circuito  lógico  é  possível  implementar   fisicamente  funções  booleanas   Funções  Booleanas  e  Circuitos  Lógicos   •  Pode-­‐se  obter  um  circuito  da  seguinte   maneira:   – cada  termo  é  uma  porta   – cada  literal  é  uma  entrada  para  uma  porta   – portas  adicionais  :  inversores  na  entrada   – composição  dos  termos  (AND  ou  1  OR)   X  .  Y  .  Z    +  X  .  Y  .  Z  +  X  .  Z   Cada  ocorrência  de  variável   (complementada  ou  não)   literais   termo   Funções  Booleanas  e  Circuitos  Lógicos          F   Z   X   Y   X  .  Y  .  Z    +  X  .  Y  .  Z  +  X  .  Z   Cada  ocorrência  de  variável   (complementada  ou  não)   literais   termo   O   número   de   termos   e   literais   dá  uma  medida  aproximada  da   complexidade  do  circuito.     Funções  Booleanas  e  Circuitos  Lógicos   •  Exercício   – Faça  a  tabela  verdade  correspondente  da  função   booleana  a  seguir  e  desenhe  o  circuito  lógico  que   a  representa   S  =  A  •  C  +  (B  •  C  +  A  •  B)  
  6. 6. 11/12/13   6   Manipulações  Algébricas   •  Tem  por  objebvo  simplificar  a  função   booleana  e  seu  circuito  lógico:   – Exemplo:   F  =  X  Y  Z  +  X  Y  Z  +  X  Z    lei  distribubva   F  =  X  Y  (  Z  +Z)    +  X  Z   complemento   F  =  X  Y  .  1    +  X  Z   elemento  neutro   F  =  X  Y  +  X  Z   2  termos   4  literais   Manipulações  Algébricas   •  Não  existe  nenhuma  técnica  para  indicar  a   manipulação  algébrica  a  ser  usada   – Método  de  tentabvas   – Familiaridade  com  axiomas  e  teoremas  da  álgebra   booleana   Complemento  de  uma  função   •  Usando  De  Morgan   exemplo:    F  =  X(YZ  +  YZ)   F  =  X(YZ  +  YZ)     F  =  X  +  (YZ  .YZ)     F  =  X  +  (Y  +  Z)  .  (Y  +  Z)     F  =  X  +  YY  +  YZ  +  ZY  +  ZZ     F  =  X  +  YZ  +  ZY   Complemento  de  uma  função   •  Usando  a  tabela  verdade   X        Y            Z     0          0            0     0          0            1   0          1            0     0          1            1   1          0            0   1          0            1   1          1            0   1          1            1     YZ            YZ     1                        0   0                        0   0                        0   0                        1   1                        0   0                        0   0                        0   0                        1   YZ  +  YZ                  1                  0                  0                1                1                0                0                1     F     0   0   0   0   1   0   0   1   F     1   1   1   1   0   1   1   0   Resta   saber   como   obter   a   função   e   o   circuito   a   parNr   da   tabela     Equivalência  entre  portas  lógicas   •  Inversor  a  parbr  das  portas  NOR  e  NAND   E   S   0   1   1   0   E S E   S   0   1   1   0   E S Equivalência  entre  portas  lógicas   •  Porta  OR  a  parbr  da  porta  NAND  e  inversores   A B S A B A   B   0   0   0   0   0   1   1   1   1   0   1   1   1   1   1   1   BA+ BA*
  7. 7. 11/12/13   7   Equivalência  entre  portas  lógicas   •  Porta  AND  a  parbr  da  porta  NOR  e  inversores   A B S A B S A   B   0   0   0   0   0   1   0   0   1   0   0   0   1   1   1   1   BA. BA+ Equivalência  entre  portas  lógicas   Porta  Lógica   Porta  Equivalente       Fonte:  Transparências  do  prof.  Ricardo  Brimo  (DIE/UFPI)  

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