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# Apostila processos estocásticos

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### Transcript

• 1. Universidade Federal Fluminense Mestrado em Engenharia de Telecomunica&#xB8;&#x2DC;es co Processos Estoc&#xB4;sticos I a apostila usada no curso Prof. Edson Cataldo
• 2. Contents 1 Modelos 1.1 Introdu&#xB8;&#x2DC;o . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2 Modelos matem&#xB4;ticos . . . . . . . . . . . a 1.3 Simula&#xB8;&#x2DC;o computacional . . . . . . . . . ca 1.4 Modelos determin&#xB4; &#x131;sticos . . . . . . . . . 1.5 Modelos probabil&#xB4; &#x131;sticos . . . . . . . . . . 1.6 Regularidade estat&#xB4; &#x131;stica . . . . . . . . . 1.7 Propriedades de freq&#xA8;&#x2C6;ncia relativa . . . ue 1.8 Constru&#xB8;&#x2DC;o de um modelo probabil&#xB4; ca &#x131;stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 4 4 5 5 6 2 Conceitos b&#xB4;sicos da Teoria de Probabilidade a 2.1 Especi&#xFB01;ca&#xB8;&#x2DC;o de experimentos aleat&#xB4;rios . . . ca o 2.2 O espa&#xB8;o amostral . . . . . . . . . . . . . . . c 2.3 Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Axiomas de probabilidade . . . . . . . . . . . 2.5 Espa&#xB8;os amostrais discretos e cont&#xB4; c &#x131;nuos . . . . 2.6 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . 2.6.1 De&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.6.2 Teorema da Probabilidade total . . . . 2.6.3 Regra de Bayes . . . . . . . . . . . . . 2.7 Eventos independentes . . . . . . . . . . . . . 2.8 A lei de probabilidade binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 9 10 10 10 12 12 14 14 3 Vari&#xB4;veis Aleat&#xB4;rias a o 3.1 De&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3.2 Fun&#xB8;&#x2DC;o distribui&#xB8;&#x2DC;o de probabilidade ca ca 3.3 Tipos de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias . . . . . a o 3.3.1 Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria discreta . . a o 3.3.2 Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria cont&#xB4; a o &#x131;nua . . 3.3.3 Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria mista . . . a o 3.4 Fun&#xB8;&#x2DC;o densidade de probabilidade . ca 3.5 Exemplos de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias . . . a o 3.5.1 Vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias discretas . a o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 16 19 19 19 20 21 23 23 . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• 4. 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 Especi&#xFB01;ca&#xB8;&#x2DC;o conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Momentos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Processos estoc&#xB4;sticos conjuntamente estacion&#xB4;rios . . . . . . . . . . . . a a Propriedades da fun&#xB8;&#x2DC;o correla&#xB8;&#x2DC;o cruzada de dois processos estoc&#xB4;sticos ca ca a conjuntamente estacion&#xB4;rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7.6.5 Independ&#x2C6;ncia, n&#x2DC;o-correla&#xB8;&#x2DC;o e ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . e a ca 7.6.6 Processos Erg&#xB4;dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7.7 Processos estoc&#xB4;sticos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 8 Revis&#x2DC;o de an&#xB4;lise de Fourier a a 8.1 Introdu&#xB8;&#x2DC;o . . . . . . . . . . ca 8.2 S&#xB4;rie de Fourier . . . . . . . e 8.3 Transformada de Fourier . . 8.4 Convolu&#xB8;&#x2DC;o . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 An&#xB4;lise e processamento de sinais aleat&#xB4;rios a o 9.1 Introdu&#xB8;&#x2DC;o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 9.2 Alguns conceitos sobre sinais determin&#xB4; &#x131;sticos . . . . . . . . . . 9.2.1 Energia e Pot&#x2C6;ncia de um sinal . . . . . . . . . . . . . e 9.2.2 Algumas f&#xB4;rmulas relacionadas a sinais determin&#xB4; o &#x131;sticos 9.2.3 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Densidade espectral de energia e de pot&#x2C6;ncia . . . . . . e 9.3 Correla&#xB8;&#x2DC;o cruzada e autocorrela&#xB8;&#x2DC;o . . . . . . . . . . . . . . . ca ca 9.3.1 Introdu&#xB8;&#x2DC;o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 9.3.2 De&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 9.4 Densidade espectral de pot&#x2C6;ncia para sinais aleat&#xB4;rios . . . . . e o 9.5 Teorema - Sx (&#x3C9;) = F {Rx (&#x3C4; )} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Resposta de sistemas lineares a sinais aleat&#xB4;rios . . . . . . . . o 10 Refer&#x2C6;ncias e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 54 54 54 55 55 . . . . 57 57 57 63 68 . . . . . . . . . . . . 70 70 70 70 71 71 72 72 72 73 73 74 77 80 3
• 7. 1.8 Constru&#xB8;&#x2DC;o de um modelo probabil&#xB4; ca &#x131;stico Podemos, portanto, dizer que para a constru&#xB8;&#x2DC;o de um modelo probabil&#xB4; ca &#x131;stico devemos: (i) de&#xFB01;nir o experimento aleat&#xB4;rio correspondente; o (ii) especi&#xFB01;car o conjunto S de todos os poss&#xB4; &#x131;veis resultados. Chamaremos esse conjunto de espa&#xB8;o amostral; c (iii) especi&#xFB01;car uma associa&#xB8;&#x2DC;o de probabilidades para todos os casos de interesse. De&#xFB01;niremos ca mais adiante esses casos atrav&#xB4;s do que chamaremos de eventos. e H&#xB4; uma in&#xFB01;nidade de aplica&#xB8;&#x2DC;es de modelos probabil&#xB4; a co &#x131;sticos. Em Telecomunica&#xB8;&#x2DC;es, podemos co citar, sistemas de transmiss&#x2DC;o de voz, tr&#xB4;fego telef&#x2C6;nico, desvanecimento de sinais radioel&#xB4;tricos. a a o e 6
• 10. 2.4 Axiomas de probabilidade Probabilidades s&#x2DC;o n&#xB4; meros associados a eventos que indicam qu&#x2DC;o &#x201C;prov&#xB4;vel&#x201D; &#xB4; a ocorr&#x2C6;ncia a u a a e e de um evento quando um experimento &#xB4; realizado e uma &#x201C;lei&#x201D; de probabilidade &#xB4; uma fun&#xB8;&#x2DC;o e e ca que associa um n&#xB4; mero a um evento. u Seja E um experimento aleat&#xB4;rio com espa&#xB8;o amostral S. Uma lei de probabilidade para o c o experimento E &#xB4; uma &#x201C;regra&#x201D; que associa a cada evento A um n&#xB4; mero P [A], chamado de e u probabilidade de A. A lei de probabilidade deve satisfazer os seguintes axiomas: (i) P [A] &#x2265; 0 (ii) P [S] = 1 (iii) Se A &#x2229; B = &#x2205; &#x21D2; P [A &#x222A; B] = P [A] + P [B] (iii)&#x2019; Se A1 , A2 , . . . &#xB4; uma sequ&#x2C6;ncia de eventos tais que Ai &#x2229; Aj = &#x2205;, para todos i = j, ent&#x2DC;o e e a P [&#x222A;&#x221E; Ak ] = k=1 &#x221E; P [Ak ] k=1 Corol&#xB4;rios: a (i) P [Ac ] = 1 &#x2212; P [A] (ii) P [A] &#x2264; 1 (iii) P [&#x2205;] = 0 (iv) Se A1 , A2 , . . . , An s&#x2DC;o mutuamente exclusivos 2 a 2 ent&#x2DC;o a a n P [&#x222A;n Ak ] k=1 = k=1 P [Ak ] , n &#x2265; 2 (v) P [A &#x222A; B] = P [A] + P [B] &#x2212; P [A &#x2229; B] (vi) P [A &#x222A; B &#x222A; C] = P [A] + P [B] + P [C] &#x2212; P [A &#x2229; B] &#x2212; P [A &#x2229; C] &#x2212; P [B &#x2229; C] + P [A &#x2229; B &#x2229; C] n (vii) P [&#x222A;n Ak ] = k=1 j=1 P [Aj ] &#x2212; j&lt;k P [Aj &#x2229; Ak ] + . . . + (&#x2212;1)n+1 P [A1 &#x2229; . . . &#x2229; An ] (viii) P [A &#x222A; B] &#x2264; P [A] + P [B] (ix) Se A &#x2282; B &#x21D2; P [A] &#x2264; P [B] 9
• 12. Exemplos: (a) Uma urna cont&#xB4;m duas bolas pretas numeradas (1 e 2) e duas bolas brancas, tamb&#xB4;m e e numeradas (3 e 4). Retira-se uma bola da urna e anota-se seu n&#xB4;mero e sua cor. Assim, O u espa&#xB8;o amostral desse experimento &#xB4; S = {(1, p), (2, p), (3, b), (4, b)}. Considere que os quatro c e resultados s&#x2DC;o igualmente prov&#xB4;veis e os seguintes eventos: a a A = {(1, p), (2, p)} - bola preta selecionada B = {(2, p), (4, b)} - bola com n&#xB4; mero par selecionada u C = {(3, b), (4, b)} - n&#xB4; mero da bola &#xB4; maior que 2 u e Determine: (i) P [A|B] Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca P [A|B] = P [A &#x2229; B] 1/4 1 = = = P [A] P [B] 2/4 2 (ii) P [A|C] Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca P [A|C] = P [A &#x2229; C] 0/4 = = 0 = P [A] P [C] 2/4 Observe que em (i) o conhecimento de B n&#x2DC;o alterou a probabilidade de A P [A] = a 2 1 = . 4 2 Por&#xB4;m, no segundo caso, o conhecimento de C implicou que A n&#x2DC;o tinha ocorrido. e a OBS: Em alguns problemas &#xB4; conveniente usar a f&#xB4;rmula P [A &#x2229; B] = P [B|A]P [A] ou e o P [A &#x2229; B] = P [A|B]P [B]. (b) Uma urna cont&#xB4;m duas bolas pretas e tr&#x2C6;s bolas brancas. Duas bolas s&#x2DC;o selecionadas e e a ao acaso, sem reposi&#xB8;&#x2DC;o, e a sequ&#x2C6;ncia das bolas &#xB4; anotada. Encontre a probabilidade de as ca e e duas bolas selecionadas serem pretas. Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca Considere os eventos: B1 - a primeira bola &#xB4; preta e preta. Queremos calcular P [B1 &#x2229; B2 ]. e B2 - a segunda bola &#xB4; e 2 1 Temos que, P [B1 &#x2229; B2 ] = P [B2 |B1 ]P [B1 ]. Mas, P [B2 |B1 ] = e P [B1 ] = . 4 5 2 1 1 Logo, P [B1 &#x2229; B2 ] = &#xD7; = . 5 4 10 11
• 13. 2.6.2 Teorema da Probabilidade total Sejam B1 , B2 , . . . , Bn eventos mutuamente exclusivos cuja uni&#x2DC;o &#xB4; igual ao espa&#xB8;o amostral a e c S. Nos referimos a esses conjuntos como uma parti&#xB8;&#x2DC;o do conjunto S. ca Qualquer evento A pode ser representado como a uni&#x2DC;o de eventos mutuamente exclusivos. a Temos, A = A &#x2229; S = A &#x2229; (B1 &#x222A; B2 &#x222A; &#xB7; &#xB7; &#xB7; &#x222A; Bn ) = (A &#x2229; B1 ) &#x222A; (A &#x2229; B2 ) &#x222A; . . . &#x222A; (A &#x2229; Bn ). E, P [A] = P [A &#x2229; B1 ] + P [A &#x2229; B2 ] + . . . + P [A &#x2229; Bn ] ou P [A] = P [A|B1 ]P [B1 ] + P [A|B2 ]P [B2 ] + . . . + P [A|Bn ]P [Bn ]. Exemplo: Considere uma urna contendo duas bolas pretas e tr&#x2C6;s bolas brancas. Encontre a probabie lidade de ao retirarmos duas bolas, ao acaso, sem reposi&#xB8;&#x2DC;o, a segunda ser branca. ca Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca Para usar o Teorema da Probabilidade Total, devemos encontrar uma parti&#xB8;&#x2DC;o do espa&#xB8;o ca c amostral S. Consideremos os dois seguintes eventos: A1 - a primeira bola &#xB4; preta e e B1 - a primeira bola &#xB4; branca. e Observamos que S = A1 &#x222A; B1 . Consideremos, ent&#x2DC;o, o seguinte evento: C - a segunda bola &#xB4; branca. a e Queremos calcular P [C]. Assim, P [C] = P [C|A1 ]P [A1 ] + P [C|B1 ]P [B1 ]. Portanto, P [C] = 2.6.3 3 3 2 2 3 &#xD7; + &#xD7; = . 4 5 4 5 5 Regra de Bayes Considere B1 , B2 , . . . , Bn a parti&#xB8;&#x2DC;o de um espa&#xB8;o amostral S. Queremos calcular a probaca c bilidade do evento Bj , dado que o evento A ocorreu, sendo A um evento qualquer. Pela de&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o de probabilidade condicional temos: ca 12
• 14. P [Bj |A] = P [A &#x2229; Bj ] P [A] Mas, P [A|Bj ] = P [A &#x2229; Bj ] &#x21D2; P [A &#x2229; Bj ] = P [A|Bj ]P [Bj ] P [Bj ] Assim, P [Bj |A] = P [A|Bj ]P [Bj ] P [A &#x2229; Bj ] = = P [A] P [A] P [A|Bj ]P [Bj ] n P [A|Bj ]P [Bj ] j=1 conhecida como Regra de Bayes. Exemplo: Considere quatro caixas contendo componentes eletr&#x2C6;nicos. A caixa 1 cont&#xB4;m 2000 compoo e nentes, sendo 5% defeituosos. A caixa 2 cont&#xB4;m 500 componentes, sendo 40% defeituosos. As e caixas 3 e 4 cont&#x2C6;m 1000 componentes cada, com 10% defeituosos. e Selecionamos uma caixa, ao acaso, e retiramos um componente, tamb&#xB4;m ao acaso. e (a) Qual &#xB4; a probabilidade de o componente retirado ser defeituoso? e Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca Seja D o evento &#x201C;componente defeituoso&#x201D; e seja Bi o evento &#x201C;componente da i-&#xB4;sima e caixa&#x201D;. Queremos P [D]. Assim, P [D] = P [D|B1 ]P [B1 ] + P [D|B2 ]P [B2 ] + P [D|B3]P [B3 ] + P [D|B4]P [B4 ]. 100 1 200 1 100 1 100 1 E, P [D] = &#xD7; + &#xD7; + &#xD7; + &#xD7; = 0, 1625. 2000 4 500 4 1000 4 1000 4 (b) Examinamos o componente selecionado e comprovamos que &#xB4; defeituoso. Qual &#xB4; a probe e abilidade de ser da caixa 2? Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca 200 1 &#xD7; P [D|B2 ]P [B2 ] = 500 4 = 0, 615. P [B2 |D] = P [D] 0, 1625 13
• 16. Teorema: A probabilidade de k sucessos em n tentativas (independentes) de Bernouilli &#xB4; dada pela lei e de probabilidade binomial k pn (k) = Cn pk (1 &#x2212; p)n&#x2212;k , k = 0, . . . , n sendo p a probabilidade de um sucesso e pn (k) a probabilidade de k sucessos em n tentativas n! k e Cn = &#xB4; o coe&#xFB01;ciente binomial. e k!(n &#x2212; k)! Exemplo: Suponha que uma moeda seja lan&#xB8;ada tr&#x2C6;s vezes. Se admitirmos que os lan&#xB8;amentos s&#x2DC;o inc e c a dependentes e a probabilidade de se obter cara, em um lan&#xB8;amento, &#xB4; p, ent&#x2DC;o as probabilidades c e a da sequ&#x2C6;ncia de caras e coroas &#xB4;: e e 3 P [tr&#x2C6;s caras] = C3 p3 (1 &#x2212; p)0 = p3 e 2 P [duas caras e uma coroa] = C3 p2 (1 &#x2212; p)1 = 3p2 (1 &#x2212; p) 1 P [duas coroas e uma cara] = C3 p1 (1 &#x2212; p)2 = 3p(1 &#x2212; p)2 0 P [tr&#x2C6;s coroas] = C3 p0 (1 &#x2212; p)3 = (1 &#x2212; p)3 e 15
• 17. Chapter 3 Vari&#xB4;veis Aleat&#xB4;rias a o 3.1 De&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o ca Uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X &#xB4; uma fun&#xB8;&#x2DC;o que associa um n&#xB4; mero real X(&#x3BE;) a cada resultado a o e ca u &#x3BE; do espa&#xB8;o amostral de um experimento aleat&#xB4;rio. c o O espa&#xB8;o amostral S &#xB4; o dom&#xB4; c e &#x131;nio da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria e o conjunto SX de todos os valores a o obtidos para X &#xB4; a imagem da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria (SX &#x2282; R). e a o Assim, X : S &#x2212;&#x2192; R &#x3BE; &#x2212;&#x2192; X(&#x3BE;) . Exemplo: Considere o seguinte experimento: &#x201C;lan&#xB8;amento de uma moeda tr&#x2C6;s vezes e anotar a seq&#xA8;&#x2C6;ncia de caras e coroas obtida&#x201D;. c e ue Temos, S = {ccc, cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk}. Seja X o n&#xB4; mero de caras obtidas nos tr&#x2C6;s lan&#xB8;amentos. u e c Temos, &#x3BE; : ccc cck ckc ckk kcc kck kkc kkk X: 3 2 2 1 2 1 1 0 Portanto, X &#xB4; uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria com valores em SX = {0, 1, 2, 3}. e a o 3.2 Fun&#xB8;&#x2DC;o distribui&#xB8;&#x2DC;o de probabilidade ca ca A fun&#xB8;&#x2DC;o distribui&#xB8;&#x2DC;o de probabilidade (F.D.P.), tamb&#xB4;m chamada de fun&#xB8;&#x2DC;o distribui&#xB8;&#x2DC;o ca ca e ca ca cumulativa, de uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X, &#xB4; de&#xFB01;nida como a probabilidade do evento {X &#x2264; x}. a o e Assim, FX (x) = P [X &#x2264; x] , x &#x2208; R. 16
• 18. Propriedades: (i) 0 &#x2264; FX (x) &#x2264; 1 (ii) lim FX (x) = 1 x&#x2192;+&#x221E; (iii) lim FX (x) = 0 x&#x2192;&#x2212;&#x221E; (iv) FX &#xB4; n&#x2DC;o-decrescente e a (v) FX &#xB4; cont&#xB4; e &#x131;nua ` direita a (vi) P [a &lt; X &#x2264; b] = FX (b) &#x2212; FX (a). OBS: {X &#x2264; a} &#x222A; {a &lt; X &#x2264; b} = {X &#x2264; b}. Logo, FX (a) + P [a &lt; X &#x2264; b] = FX (b) e P [a &lt; X &#x2264; b] = FX (b) &#x2212; FX (a). (vii) P [X = b] = FX (b) &#x2212; FX (b&#x2212; ) (viii) P [a &#x2264; X &#x2264; b] = FX (b) &#x2212; FX (a&#x2212; ) OBS: Se FX &#xB4; cont&#xB4; e &#x131;nua ent&#x2DC;o a P [a &#x2264; X &#x2264; b] = P [a &lt; X &lt; b] = P [a &#x2264; X &lt; b] = P [a &lt; X &#x2264; b]. (ix) P [X &gt; x] = 1 &#x2212; FX (x) OBS: De&#xFB01;nimos fun&#xB8;&#x2DC;o de massa de probabilidade (FMP) de X, pX , por pX (xk ) = P [X = xk ]. ca Exemplos: (a) Considere o lan&#xB8;amento de uma moeda tr&#x2C6;s vezes. Seja X a vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria que c e a o associa o resultado com o n&#xB4; mero de caras obtido. Encontre a express&#x2DC;o da fun&#xB8;&#x2DC;o distribui&#xB8;&#x2DC;o u a ca ca de probabilidade FX . Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca A de&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X &#xB4; dada por: ca a o e &#x3BE; &#x2212;&#x2192; X(&#x3BE;) ccc &#x2212;&#x2192; 3 cck &#x2212;&#x2192; 2 ckc &#x2212;&#x2192; 2 ckk &#x2212;&#x2192; 1 kcc &#x2212;&#x2192; 2 kck &#x2212;&#x2192; 1 kkc &#x2212;&#x2192; 1 kkk &#x2212;&#x2192; 0 17
• 19. 3 3 1 1 Portanto, P [X = 0] = ; P [X = 1] = ; P [X = 2] = ; P [X = 3] = . 8 8 8 8 Assim, a fun&#xB8;&#x2DC;o distribui&#xB8;&#x2DC;o de probabilidade FX &#xB4; de&#xFB01;nida por: ca ca e &#xF8F1; &#xF8F4; 0, x&lt;0 &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; 1 &#xF8F4; &#xF8F4; , 0&#x2264;x&lt;1 &#xF8F4; &#xF8F4; 8 &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F2; 4 1 FX (x) = = , 1&#x2264;x&lt;2 &#xF8F4; 8 2 &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; 7 &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; , 2&#x2264;x&lt;3 &#xF8F4; &#xF8F4; 8 &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F3; 1, x&#x2265;3 Podemos escrever 3 3 1 1 FX (x) = 0 + u(x) + u(x &#x2212; 1) + u(x &#x2212; 2) + u(x &#x2212; 3) 8 8 8 8 ou FX (x) = pX (0)u(x) + pX (1)u(x &#x2212; 1) + pX (2)u(x &#x2212; 2) + pX (3)u(x &#x2212; 3). sendo u a fun&#xB8;&#x2DC;o degrau unit&#xB4;rio de&#xFB01;nida por u(x) = ca a 0, x&lt;0 1, x&#x2265;0 (b) Seja T o tempo de transmiss&#x2DC;o de uma mensagem atrav&#xB4;s de um sistema de comua e nica&#xB8;&#x2DC;o. Considere que T obedece ` seguinte lei de probabilidade: ca a P [T &gt; t] = e&#x2212;&#x3BB;t , &#x3BB; &gt; 0 , t &#x2265; 0. Tamb&#xB4;m, P [T &#x2264; t] = 0 , t &lt; 0. e (a) Encontre FT (t). (b) Encontre P 1 2 &lt;T &#x2264; . &#x3BB; &#x3BB; Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca (a) FT (t) = P [T &#x2264; t] = (b) P 1 2 &lt;T &#x2264; = FT &#x3BB; &#x3BB; 0, t&lt;0 1 &#x2212; P [T &gt; t] = 1 &#x2212; e&#x2212;&#x3BB;t , t &#x2265; 0 . 2 &#x3BB; &#x2212; FT 1 &#x3BB; = (1 &#x2212; e&#x2212;2 ) &#x2212; (1 &#x2212; e&#x2212;1 ) &#x2243; 0, 233. 18
• 20. 3.3 Tipos de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias a o 3.3.1 Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria discreta a o A F.D.P. de uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria discreta pode ser escrita na forma a o K FX (x) = k=0 P [X = xk ]u(x &#x2212; xk ) sendo K &#x2208; N. Exemplo: Uma fonte produz dois tipos de mensagens: M1 , com probabilidade p de ocorrer e M2 , com probabilidade 1 &#x2212; p. Seja X a vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria de&#xFB01;nida por a o X(&#x3BE;) = 0 , &#x3BE; = M1 1 , &#x3BE; = M2 . Encontre a express&#x2DC;o de FX (x). a Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca &#xF8F1; &#xF8F2; 0, x&lt;0 p, 0&#x2264;x&lt;1 FX (x) = &#xF8F3; 1, x&#x2265;1 Assim, FX (x) = P [X = 0]u(x) + P [X = 1]u(x &#x2212; 1) = pu(x) + (1 &#x2212; p)u(x &#x2212; 1) . 3.3.2 Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria cont&#xB4; a o &#x131;nua Uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria cont&#xB4; a o &#x131;nua X tem F.D.P. (FX ) cont&#xB4; &#x131;nua. OBS: P [X = x] = 0 , &#x2200;x. Exemplo: Seja X a medida de tens&#x2DC;o de ru&#xB4; em um determinado ponto de um circuito com as a &#x131;do seguintes probabilidades: P [| X |&#x2264; V ] = 1 e P [| X |&gt; V ] = 0. Encontre a express&#x2DC;o da F.D.P. FX da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X, considerando que as probabilia a o dades das vari&#xB4;vel X s&#x2DC;o uniformemente distribu&#xB4; a a &#x131;das no intervalo [&#x2212;V, V ]. Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca 19
• 21. Se x &lt; &#x2212;V &#x21D2; P [X &#x2264; x] = 0 x Se &#x2212;V &#x2264; x &#x2264; V &#x21D2; P [X &#x2264; x] = V &#x2212;V 1 x+V dt = 2V 2V 1 Se x &gt; V &#x21D2; P [X &#x2264; x] = dt = 1 &#x2212;V 2V Assim, &#xF8F1; &#xF8F4; 0 , x &lt; &#x2212;V &#xF8F2; x+V FX (x) = , &#x2212;V &#x2264; x &#x2264; V &#xF8F4; 2V &#xF8F3; 1, x&gt;V . 3.3.3 Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria mista a o Uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria mista tem F.D.P. descont&#xB4; a o &#x131;nua em um conjunto &#xFB01;nito de pontos e cresce continuamente em pelo menos um intervalo. Exemplo: Seja X a medida de tens&#x2DC;o de ru&#xB4; em um determinado ponto de um circuito, com as a &#x131;do seguintes probabilidades: 1 3 P [X = &#x2212;V ] = P [X = V ] = , P [| X |&lt; V ] = e P [| X |&gt; V ] = 0. 8 4 Escreva a express&#x2DC;o da F.D.P. (FX ) da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X, considerando que a vari&#xB4;vel a a o a aleat&#xB4;ria X &#xB4; distribu&#xB4; uniformemente em (&#x2212;V, V ). o e &#x131;da Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca Se x &lt; &#x2212;V &#x21D2; FX (x) = 0. 1 Se x = &#x2212;V &#x21D2; FX (x) = P [X &#x2264; x] = . 8 x 1 3 3 1 dt = (x + V ) + . Se &#x2212;V &lt; x &lt; V &#x21D2; FX (x) = + 8 8V 8 &#x2212;V 8V 7 Se x = V &#x21D2; FX (x) = . 8 Se x &gt; V &#x21D2; FX (x) = 1. Assim, &#xF8F1; &#xF8F4; 0 , x &lt; &#x2212;V &#xF8F4; &#xF8F4; 3 &#xF8F4; 1 &#xF8F4; &#xF8F2; x + , &#x2212;V &#x2264; x &lt; V 8V 2 FX (x) = &#xF8F4; 7 , x=V &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; 8 &#xF8F4; &#xF8F3; 1, x&#x2265;V 20
• 23. Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca Se x &lt; a &#x21D2; FX (x) = 0 . x Se a &#x2264; x &#x2264; b &#x21D2; FX (x) = Se x &gt; b &#x21D2; FX (x) = 1 . a 1 x&#x2212;a dt = . b&#x2212;a b&#x2212;a Assim, &#xF8F1; &#xF8F4; 0, x&lt;a &#xF8F2; x&#x2212;a , a&#x2264;x&#x2264;b FX (x) = &#xF8F4; b&#x2212;a &#xF8F3; 1 , x &gt; b. (b) Seja X uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria com fun&#xB8;&#x2DC;o densidade de probabilidade fX de&#xFB01;nida por: a o ca &#xF8F1; &#xF8F2; A(x + 5) , &#x2212;5 &#x2264; x &#x2264; &#x2212;4 A , &#x2212;4 &lt; x &lt; 4 fX (x) = &#xF8F3; &#x2212;A(x &#x2212; 5) , 4 &#x2264; x &#x2264; 5 Sendo A uma constante. (i) Fa&#xB8;a um esbo&#xB8;o do gr&#xB4;&#xFB01;co de fX . c c a (ii) Determine o valor da constante A. (iii) Determine a express&#x2DC;o da Fun&#xB8;&#x2DC;o Distribui&#xB8;&#x2DC;o de Probabilidade da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X. a ca ca a o (iv) Fa&#xB8;a um esbo&#xB8;o do gr&#xB4;&#xFB01;co de FX . c c a (v) Determine a probabilidade P [X &gt; 4]. OBS: Quando FX n&#x2DC;o &#xB4; cont&#xB4; a e &#x131;nua, podemos estender a de&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o de f.d.p. usando a distribui&#xB8;&#x2DC;o ca ca delta de Dirac, denotada por &#x3B4;. d Usamos o fato de que, no sentido das distribui&#xB8;&#x2DC;es, co [u(x)] = &#x3B4;(x), sendo u a distribui&#xB8;&#x2DC;o ca dx degrau unit&#xB4;rio e &#x3B4; a distribui&#xB8;&#x2DC;o delta de Dirac. a ca Assim, se X &#xB4; uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria discreta, temos e a o FX (x) = k P [X = xk ]u(x &#x2212; xk ) e fX (x) = k P [X = xk ]&#x3B4;(x &#x2212; xk ). 22
• 24. 3.5 3.5.1 Exemplos de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias a o Vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias discretas a o Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria de Bernouilli a o Seja A um evento relacionado aos resultados de algum experimento aleat&#xB4;rio. A fun&#xB8;&#x2DC;o o ca indicatriz do evento A, denotada por IA , &#xB4; de&#xFB01;nida por: e 0 , se &#x3BE; &#x2208; A / 1 , se &#x3BE; &#x2208; A . IA (&#x3BE;) = De&#xFB01;nimos uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X = IA e chamamos essa vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria de vari&#xB4;vel a o a o a aleat&#xB4;ria de Bernouilli. Observamos que SX = {0, 1}. o Escolhendo, por exemplo P [X = 0] = p e P [X = 1] = 1 &#x2212; p. temos FX (x) = pu(x) + (1 &#x2212; p)u(x &#x2212; 1) &#x21D2; fX (x) = p&#x3B4;(x) + (1 &#x2212; p)&#x3B4;(x &#x2212; 1). Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria binomial a o Considere que um experimento aleat&#xB4;rio seja repetido n vezes. Considere A um evento, &#x3BE;j o o resultado para cada repeti&#xB8;&#x2DC;o do experimento; isto &#xB4;, j = 1, . . . , n. SEja X o n&#xB4; mero de vezes ca e u que &#x3BE;k &#x2208; A. Portanto, X &#xB4; uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria com SX = {0, 1, . . . , n}. e a o Considerando Ij a fun&#xB8;&#x2DC;o indicatriz para o evento A na j-&#xB4;sima tentativa, temos X = ca e I1 + I2 + . . . + In . A vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X &#xB4; chamada de vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria binomial. a o e a o n pk (1 &#x2212; p)n&#x2212;k , k = 0, . . . , n., k sendo P [X = k] a probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas. Pelo Teorema Binominal, sabemos que P [X = k] = Temos, n FX (x) = k=0 e n fX (x) = k=0 n k pk (1 &#x2212; p)n&#x2212;k u(x &#x2212; k) n k pk (1 &#x2212; p)n&#x2212;k &#x3B4;(x &#x2212; k). Essa vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria surge em aplica&#xB8;&#x2DC;es onde h&#xB4; apenas dois tipos de resultados para a o co a cada experimento, por exemplo, cara/coroa, certo/errado, bom/defeituoso, etc. 23
• 25. Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria geom&#xB4;trica a o e Seja X a vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria correspondente ao n&#xB4; mero de tentativas de um experimento at&#xB4; a o u e a ocorr&#x2C6;ncia de um sucesso. A vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X &#xB4; chamada vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria geom&#xB4;trica e e a o e a o e SX = {1, 2, . . .}. Temos, P [X = k] = (1 &#x2212; p)k&#x2212;1 p , k = 1, 2, . . . sendo p a probabilidade de sucesso em cada tentativa (chamada de tentativa de Bernouilli). Temos, +&#x221E; FX (x) = k=1 (1 &#x2212; p)k&#x2212;1pu(x &#x2212; k) e +&#x221E; fX (x) = k=1 (1 &#x2212; p)k&#x2212;1 p&#x3B4;(x &#x2212; k). Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria de Poisson a o A vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria de Poisson X &#xB4; de&#xFB01;nida por a o e P [X = k] = &#x3B1;k &#x2212;&#x3B1; e , k = 0, 1, 2, . . . , sendo &#x3B1; uma constante. k! Temos, +&#x221E; FX (x) = k=0 &#x3B1;k &#x2212;&#x3B1; e u(x &#x2212; k) &#x21D2; fX (x) = k! +&#x221E; k=0 &#x3B1;k &#x2212;&#x3B1; e &#x3B4;(x &#x2212; k). k! OBS: Se n &#xB4; grande, p pequeno e &#x3B1; = np, podemos usar a aproxima&#xB8;&#x2DC;o e ca n k 3.5.2 pk (1 &#x2212; p)n&#x2212;k &#x2243; &#x3B1;k &#x2212;&#x3B1; e . k! Vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias cont&#xB4; a o &#x131;nuas Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria uniforme a o A f.d.p. de uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria uniforme &#xB4; dada por a o e fX (x) = 1 , a&#x2264;x&#x2264;b b&#x2212;a 0 , x &lt; a ou x &gt; b sendo a, b &#x2208; R e 24
• 26. &#xF8F1; &#xF8F4; 0, x&lt;a &#xF8F2; x&#x2212;a , a&#x2264;x&#x2264;b FX (x) = &#xF8F4; b&#x2212;a &#xF8F3; 1 , x &gt; b. Essa vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria aparece quanto todos os valores na reta real, no intervalo [a, b], s&#x2DC;o a o a igualmente prov&#xB4;veis. a Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria exponencial a o A f.d.p. da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria exponencial &#xB4; de&#xFB01;nida por a o e fX (x) = 0, x&lt;0 &#x21D2; FX (x) = &#x3BB;e&#x2212;&#x3BB;x , x &#x2265; 0 0, x&lt;0 1 &#x2212; e&#x2212;&#x3BB;x , x &#x2265; 0 . Sendo &#x3BB; um n&#xB4; mero real. u Essa vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria aparecena modelagem do intervalo de tempo entre a ocorr&#x2C6;ncia de a o e eventos como, por exemplo, a demanda para conex&#x2DC;o de chamadas telef&#x2C6;nicas. a o Vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria gaussiana a o A f.d.p. de uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria gaussiana &#xB4; de&#xFB01;nida por a o e fX (x) = &#x221A; (x&#x2212;m)2 1 e&#x2212; 2&#x3C3;2 , x &#x2208; R , 2&#x3C0;&#x3C3; Sendo m e &#x3C3; n&#xB4; meros reais. u Para calcular a F.D.P. da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria gaussiana X, consideremos a fun&#xB8;&#x2DC;o &#x3A6; de&#xFB01;nida a o ca por: x t2 1 &#x3A6;(x) = &#x221A; e&#x2212; 2 dt . 2&#x3C0; &#x2212;&#x221E; Observamos que a fun&#xB8;&#x2DC;o &#x3A6; &#xB4; a F.D.P. da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria gaussiana para m = 0 e &#x3C3; = 1. ca e a o Temos, ent&#x2DC;o, que a F.D.P. da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria gaussiana &#xB4; dada por a a o e FX (x) = &#x3A6; x&#x2212;m &#x3C3; . De&#xFB01;nindo, ainda, a fun&#xB8;&#x2DC;o erf por ca 1 erf (x) = &#x221A; 2&#x3C0; Podemos escrever 0 1 1 t2 &#x3A6;(x) = &#x221A; e&#x2212; 2 dt + &#x221A; 2&#x3C0; &#x2212;&#x221E; 2&#x3C0; x t2 e&#x2212; 2 dt = 0 25 x t2 e&#x2212; 2 dt 0 1 1 +&#x221A; 2 2&#x3C0; x t2 e&#x2212; 2 dt = 0 1 + erf (x). 2
• 27. Logo, &#x3A6; x&#x2212;m &#x3C3; = 1 + erf 2 x&#x2212;m &#x3C3; . +&#x221E; t2 1 e&#x2212; 2 dt. Ou usamos, Q(x) = 1 &#x2212; &#x3A6;(x) = &#x221A; 2&#x3C0; x Resumindo, se X &#xB4; a vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria gaussiana de f.d.p. fX de&#xFB01;nida por e a o fX (x) = &#x221A; (x&#x2212;m)2 1 e&#x2212; 2&#x3C3;2 , x &#x2208; R , 2&#x3C0;&#x3C3; ent&#x2DC;o sua F.D.P. FX &#xB4; de&#xFB01;nida por a e FX (x) = 1 + erf 2 x&#x2212;m &#x3C3; . OBS.: (a) Alguns autores de&#xFB01;nem ainda a fun&#xB8;&#x2DC;o Q por Q(x) = 1 &#x2212; &#x3A6;(x) ca (b) A fun&#xB8;&#x2DC;o erf &#xB4; &#xB4; ca e &#x131;mpar; isto &#xB4;, erf (&#x2212;x) = &#x2212;erf (x). Devemos observar tamb&#xB4;m que h&#xB4; e e a outras de&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;es, dadas por outros autores, para a fun&#xB8;ao erf . co c&#x2DC; Exerc&#xB4; &#x131;cio: Esboce o gr&#xB4;&#xFB01;co da fun&#xB8;&#x2DC;o erf . a ca H&#xB4; v&#xB4;rias outras vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias igualmente importantes, dependendo da &#xB4;rea de aplica&#xB8;&#x2DC;o, a a a o a ca como, por exemplo, as vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias de Rayleigh, RICE, Nakagami, Gamma e outras. E, a o ainda, vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias provenientes de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias conhecidas, como a lognormal e a o a o a logRayleigh. Discutiremos algumas dessas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias nos exerc&#xB4; a o &#x131;cios e nos cap&#xB4; &#x131;tulos seguintes. 26
• 28. Chapter 4 Vetores de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias a o 4.1 De&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o ca Um vetor de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias (ou um vetor aleat&#xB4;rio) X &#xB4; uma fun&#xB8;&#x2DC;o (vetorial) que a o o e ca associa a cada resultado &#x3BE; do espa&#xB8;o amostral S um vetor X(&#x3BE;). c Exemplos: (a) Considere o experimento de selecionar o nome de um estudante de uma urna. Seja &#x3BE; o resultado deste experimento. De&#xFB01;nimos: A(&#x3BE;) = altura do estudante; P (&#x3BE;) = peso do estudante; I(&#x3BE;) = idade do estudante . O vetor X = (A(&#x3BE;), P (&#x3BE;), I(&#x3BE;)) &#xB4; um vetor de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias e, portanto, um vetor e a o aleat&#xB4;rio. o (b) Considere &#x3BE; o registro de tens&#x2DC;o de ru&#xB4; em um ponto de um circuito, durante um a &#x131;do determinado intervalo de tempo. Portanto, &#x3BE; = f&#x3BE; (t). Consideremos a vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria Xk = f&#x3BE; (kT ), sendo k = 1, 2, . . . , N. a o O vetor X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) &#xB4;, portanto, um vetor aleat&#xB4;rio. e o 4.2 Eventos associados a vetores aleat&#xB4;rios o O conjunto {X &#x2264; x} representa, de forma compacta, o conjunto {X1 &#x2264; x1 , X2 &#x2264; x2 , . . . , Xn &#x2264; xn } . Esse conjunto &#xB4; um evento para todo x = (x1 , x2 , . . . , xn ) &#x2208; Rn . e 27
• 30. P [Y = 1|X = 1] = p Lembremos que, pela regra de Bayes, P [A &#x2229; B] = P [A|B]P [B]. Assim, P [Y = 0 e X = 0] = P [Y = 0|X = 0]P [X = 0] = p 2 P [Y = 1 e X = 0] = P [Y = 1|X = 0]P [X = 0] = 1&#x2212;p 2 1&#x2212;p 2 p P [Y = 1 e X = 1] = P [Y = 1|X = 1]P [X = 1] = 2 P [X = 1 e Y = 0] = P [Y = 0|X = 1]P [X = 1] = A F.D.P. FXY ser&#xB4;, ent&#x2DC;o, de&#xFB01;nida por: a a Se x &gt; 1 e y &gt; 1 =&#x21D2; FXY (x, y) = 1. Se x &lt; 0 e y &#x2208; R =&#x21D2; FXY (x, y) = 0. Se y &lt; 0 e y &#x2208; R =&#x21D2; FXY (x, y) = 0. Se x &gt; 1 e y &lt; 1 =&#x21D2; FXY (x, y) = P [X = 1 &#x2229; Y = 0] + P [X = 0 &#x2229; Y = 0] = 1&#x2212;p p 1 + = . 2 2 2 Se x &gt; 1 e y &#x2265; 1 =&#x21D2; FXY (x, y) = 1. 1 Se x &lt; 1 e y &#x2265; 1 =&#x21D2; FXY (x, y) = . 2 p Se x &lt; 1 e y &lt; 1 =&#x21D2; FXY (x, y) = . 2 4.4.2 Propriedades da F.D.P. conjunta Consideremos o caso particular para a F.D.P. conjunta de duas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias, digamos a o X e Y . Temos, (a) FXY &#xB4; n&#x2DC;o-decrescente; isto &#xB4;, se x1 &#x2265; x2 e y1 &#x2265; y2 &#x21D2; FXY (x1 , y1 ) &#x2265; FXY (x2 , y2 ). e a e (b) FXY (&#x2212;&#x221E;, y1) = FXY (x1 , &#x2212;&#x221E;) = 0 (c) FXY (+&#x221E;, +&#x221E;) = 1 (d) FX (x) = FXY (x, +&#x221E;) = P [X &#x2264; x, y &lt; +&#x221E;] = P [X &#x2264; x] (e) FY (y) = FXY (+&#x221E;, y) = P [Y &#x2264; y] 29
• 31. 4.5 Fun&#xB8;&#x2DC;o densidade de probabilidade conjunta ca 4.5.1 De&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o ca Seja X um vetor aleat&#xB4;rio de dimens&#x2DC;o n com F.D.P. FX diferenci&#xB4;vel. De&#xFB01;nimos a f.d.p. o a a conjunta fX do vetor aleat&#xB4;rio X por o fX (x) = fX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) = 4.5.2 &#x2202;n FX ...X (x1 , . . . , xn ) . &#x2202;x1 . . . &#x2202;xn 1 n Propriedades da f.d.p. conjunta Consideremos, primeiro, o caso particular em que X &#xB4; um vetor aleat&#xB4;rio bidimensional, e o digamos de coordenadas X e Y . Temos, ent&#x2DC;o, os seguintes resultados: a +&#x221E; +&#x221E; (i) fXY (x, y)dxdy = 1 &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; (ii) P [(X, Y ) &#x2208; &#x2126;] = fXY (x, y)dxdy &#x2126; x y &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; (iii) FXY (x, y) = (iv) fXY (x, y) = fXY (u, v)dvdu &#x2202; 2 FXY (x, y) &#x2202;x&#x2202;y +&#x221E; (v) fX (x) = fXY (x, v)dv &#x2212;&#x221E; +&#x221E; (vi) fY (y) = fXY (u, y)du &#x2212;&#x221E; OBS: fX e fY s&#x2DC;o chamadas, nesse caso, de fun&#xB8;&#x2DC;es densidade de probabilidade marginais. a co Generalizando, para um vetor com n coordenadas, temos: +&#x221E; (i) +&#x221E; ... &#x2212;&#x221E; fX1 ...Xn (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = 1 &#x2212;&#x221E; (ii) P [X &#x2208; &#x2126;] = &#x2126; fX (x)dx x1 (iii) FX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) = xn ... &#x2212;&#x221E; +&#x221E; (iv) +&#x221E; xi +&#x221E; ... &#x2212;&#x221E; fX1 ...Xn (u1 , . . . , un )dun . . . du1 &#x2212;&#x221E; +&#x221E; ... &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; xi fX1 ...Xn (u1 , . . . , un )du1 . . . dun = FXi (xi ) = &#x2212;&#x221E; fXi (ui )dui &#x2212;&#x221E; 30
• 32. +&#x221E; (v) fXi (xi ) = +&#x221E; ... &#x2212;&#x221E; fX1 ...Xn (u1 , . . . , ui&#x2212;1, xi , ui+1, . . . , un )du1 . . . dui&#x2212;1dui+1 . . . dun &#x2212;&#x221E; *consideramos n &#x2212; 1 integrais. Caso de vetor aleat&#xB4;rio discreto o Consideremos um vetor aleat&#xB4;rio discreto bidimensional X = (X, Y ). Temos, o (i) P [X &#x2208; &#x2126;] = fXY (xj , yk ) , (xj , yk ) &#x2208; &#x2126; +&#x221E; +&#x221E; (ii) fXY (xj , yk ) = 1 j=1 k=1 +&#x221E; (iii) fX (xj ) = fXY (xj , yk ) k=1 +&#x221E; (iv) fY (yk ) = fXY (xj , yk ) j=1 Exemplo: (a) Um trem chega a uma esta&#xB8;&#x2DC;o e p&#xB4;ra por cinco minutos antes de prosseguir. O instante ca a de chegada do trem, contado a partir das 9 h, em minuto, pode ser modelado pela v.a. T , com f.d.p. fT (t) = 0, 15e&#x2212;0,15t u(t). (i) Calcule a probabilidade de o trem chegar na esta&#xB8;&#x2DC;o at&#xB4; as 9 : 20h. ca e Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca 20 20 P [T &lt; 20] = fT (t)dt = &#x2212;&#x221E; 0 0, 15e&#x2212;0,15t dt &#x2243; 0, 95 (ii) Determine o maior atraso que um usu&#xB4;rio pode ter de modo que a probabilidade de a ele pegar o trem seja maior que 0, 5. Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca +&#x221E; P [T &gt; a &#x2212; 5] = fT (t)dt &gt; 0, 5 =&#x21D2; a &lt; 9, 621 a&#x2212;5 (iii) Considere que o instante de chegada de um estudante ` esta&#xB8;&#x2DC;o (contado a partir a ca das 9h, em minuto) &#xB4; uma v.a. X e que a f.d.p. conjunta de X e T &#xB4;: e e fXT (x, t) = 0, 06e&#x2212;(0,15t+0,4x) u(t)u(x) Calcule a probabilidade de o estudante pegar o trem. 31
• 33. Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca P [T &gt; X &#x2212; 5] = P [X &lt; T + 5] = P [(X, T ) &#x2208; A] = +&#x221E; 0 fXY (x, y)dxdy = A t+5 0 0, 06e&#x2212;(0,15t+0,4x) dxdt &#x2243; 0, 946. (b) O sinal recebido em uma transmiss&#x2DC;o via r&#xB4;dio pode ser modelado por a a r(t) = Acos(&#x3C9;0 t + &#x398;) , A &gt; 0 ou r(t) = Xcos&#x3C9;0 t + Y sen&#x3C9;0 t sendo X e Y vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias com f.d.p. conjunta fXY de&#xFB01;nida por fXY (x, y) = a o 1 &#x2212; (x2 +y2) e 2&#x3C3;2 . 2&#x3C0;&#x3C3; 2 (i) Determine a probabilidade de a amplitude A ser maior que 1. Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca &#x221A; P [A &gt; 1] = P [ X 2 + Y 2 &gt; 1] = P [X 2+Y 2 &gt; 1] = 2&#x3C0; 0 1 +&#x221E; 1 1 &#x2212; r22 e 2&#x3C3; rdrd&#x3B8; = 2&#x3C0;&#x3C3; 2 . . . = e&#x2212; 2&#x3C3;2 (ii) Encontre a express&#x2DC;o de fX (x). a Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca +&#x221E; fX (x) = &#x2212;&#x221E; 4.6 4.6.1 +&#x221E; fXY (x, v)dv = &#x2212;&#x221E; x2 1 &#x2212; x2 +v2 1 e 2&#x3C3;2 dy = . . . = &#x221A; e&#x2212; 2&#x3C3;2 2&#x3C0;&#x3C3; 2 2&#x3C0;&#x3C3; Fun&#xB8;&#x2DC;es distribui&#xB8;&#x2DC;o e densidade condicionais co ca De&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o ca A fun&#xB8;&#x2DC;o distribui&#xB8;&#x2DC;o de probabilidade de uma v.a. X, condicionada ` ocorr&#x2C6;ncia de um ca ca a e evento M &#xB4; de&#xFB01;nida por e FX|M (x) = P [X &#x2264; x|M] = P [X &#x2264; x &#x2229; M] ; P [M] = 0 P [M] d Se FX|M &#xB4; diferenci&#xB4;vel =&#x21D2; fX|M (x) = e a FX|M (x). dx O evento M tamb&#xB4;m poderia ser descrito em termos da v.a. Y . e Assim, M = {Y &#x2264; y} = {&#x3BE; &#x2208; &#x2126;|Y (&#x3BE;) &#x2264; y}. FXY (x, y) E, FX|Y &#x2264;y (x) = . Pois, FY (y) P [X &#x2264; x &#x2229; Y &#x2264; y] FX|Y &#x2264;y (x) = P [X &#x2264; x|Y &#x2264; y] = . P [Y &#x2264; y] d FXY (x, y) Tamb&#xB4;m, fX|Y &#x2264;y (x) = dx e . FY (y) 32
• 34. Poder&#xB4; &#x131;amos tentar de&#xFB01;nir FX|Y =y (x) = P [X &#x2264; x &#x2229; Y = y] . P [Y = y] Por&#xB4;m, P [Y = y] = 0. e Dessa forma, de&#xFB01;nimos FX|Y =y por um processo de limite. Com isso, chegamos ao resultado: x fXY (u, y)du &#x2212;&#x221E; FX|Y =y (x) = fY (y) e fX|Y (x) = fx|Y =y (x) = Analogamente, fY |X (y) = fY |X=x (y) = fXY (x, y) fY (y) fXY (x, y) . fX (x) Resumo: &#x2022; FX|Y &#x2264;y (x) = FXY (x, y) FY (y) x fXY (u, y) du &#x2022; FX|Y (x) = FX|Y =y (x) = &#x2022; fX|Y (x) = fX|Y =y (x) = &#x2212;&#x221E; fY (y) fXY (x, y) fY (y) y fXY (x, v) dv &#x2022; FY |X (y) = FY |X=x (y) = &#x2022; fY |X (x) = fY |X=x (y) = 4.6.2 &#x2212;&#x221E; fX (x) fXY (x, y) fX (x) Independ&#x2C6;ncia entre duas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias e a o Duas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X e Y s&#x2DC;o independentes se qualquer evento A1 de&#xFB01;nido em termos a o a de X &#xB4; independente de qualquer evento A2 de&#xFB01;nido em termos de Y . e Isto &#xB4;, P [X &#x2208; A1 , Y &#x2208; A2 ] = P [X &#x2208; A1 ]P [Y &#x2208; A2 ]. e Podemos mostrar que as vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X e Y s&#x2DC;o independentes se, e s&#xB4; se, a o a o FXY (x, y) = FX (x)FY (y) para todos x e y. Se FX e FY s&#x2DC;o diferenci&#xB4;veis, ent&#x2DC;o fXY (x, y) = fX (x)fY (y). a a a Observemos que, neste caso, fX|Y (x) = fX (x) e fY |X (x) = fY (y). 33
• 35. Prova: Os eventos A e B s&#x2DC;o independentes se P [AB] = P [A]P [B]. a Temos, FXY (x, y) = FX (x)FY (y) ou P [{X &#x2264; x} &#x2229; {Y &#x2264; y}] = P [{X &#x2264; x}]P [Y &#x2264; y]. E, &#x2202; 2 FXY (x, y) &#x2202; 2 [FX (x)FY (y)] &#x2202; &#x2202; fXY (x, y) = = = FX (x) FY (y) = fX (x)fY (y). &#x2202;x&#x2202;y &#x2202;x&#x2202;y &#x2202;x &#x2202;y Tamb&#xB4;m, e FXY (x, y) FX (X|Y &#x2264; y) = = FX (x). FY (y) Conseq&#xA8; entemente, fX (x|Y &#x2264; y) = fX (x) e fY (y|X &#x2264; x) = fY (y). u Generalizando, as vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X1 , . . . , Xn s&#x2DC;o independentes quando a o a n FX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) = FXi (xi ). i=1 E, no caso das fun&#xB8;&#x2DC;es FXi serem diferenci&#xB4;veis, temos co a n fX1 ...Xn (x1 , . . . , xn ) = fXi (xi ). i=1 34
• 37. 0,5 (b) P [Z = 0] = P [X &lt; T, Y &lt; T ] = P [Z = 2] = P [X &gt; T, Y &gt; T ] = 0,5 fXY (x, y)dxdy &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; +&#x221E; +&#x221E; &#x2212;2x &#x2212;5y 2e 0,5 5e &#x2243; 0, 58. dxdy = 0, 03 0,5 P [Z = 1] = 1 &#x2212; P [Z = 0] &#x2212; P [Z = 2] = 0, 39 FZ (z) = 0, 58u(z) + 0, 39u(z &#x2212; 1) + 0, 03u(z &#x2212; 2) fZ (z) = 0, 58&#x3B4;(z) + 0, 39&#x3B4;(z &#x2212; 1) + 0, 03&#x3B4;(z &#x2212; 2) P [X &gt; 0, 5 e Y &lt; 0, 5] P [X &gt; 0, 5 e Z = 1] (c) P [X &gt; 0, 5|Z = 1] = = = 0, 87 P [Z = 1] P [Z = 1] P [Y &gt; 1 e Z = 2] P [Y &gt; 1 e X &gt; 0, 5] (d) P [Y &gt; 1|Z = 2] = = = 0, 37 P [Z = 2] P [Z = 2] 36
• 38. Chapter 5 Fun&#xB8;&#x2DC;es de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias co a o 5.1 Introdu&#xB8;&#x2DC;o ca Seja X uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria e seja g uma fun&#xB8;&#x2DC;o real de vari&#xB4;vel real. A fun&#xB8;&#x2DC;o de&#xFB01;nida a o ca a ca por Y = g(X) &#xB4; tamb&#xB4;m uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria. e e a o 5.2 Fun&#xB8;&#x2DC;o densidade de probabilidade de Y = g(X) ca Temos, fY (y) = d d FY (y) = P [Y &#x2264; y]. dy dy Exemplos: (a) Seja Y uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria de&#xFB01;nida por Y = aX + b sendo a , b &#x2208; R, a = 0 e suponha a o que X tenha F.D.P. FX . Encontre express&#x2DC;es para FY e para fY . o Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca Temos, FY (y) = P [Y &#x2264; y] = P [aX + b &#x2264; y] = P [aX &#x2264; y &#x2212; b]. Se a &gt; 0 &#x21D2; FY (y) = P [X &#x2264; y&#x2212;b ] = FX a Se a &lt; 0 &#x21D2; FY (y) = P [X &#x2265; b&#x2212;y y&#x2212;b ]=P X&#x2265; = 1 &#x2212; FX &#x2212;a a Assim, &#xF8F1; &#xF8F4; &#xF8F4; FX &#xF8F2; y&#x2212;b a Y &#x2212;b , a&gt;0 a FY (y) = &#xF8F4; &#xF8F4; 1 &#x2212; FX Y &#x2212; b , a &lt; 0 &#xF8F3; a 37 y&#x2212;b a
• 39. dF du y&#x2212;b dF = sendo u = . dy du dy a 1 y&#x2212;b Logo, fY (y) = fX , a&gt;0e a a E, fY = fY (y) = 1 fX &#x2212;a Assim, fY (y) = y&#x2212;b a , a &lt; 0. 1 fX |a| y&#x2212;b . a (b) Considere a vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria Y = X 2 sendo X uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria cont&#xB4; a o a o &#x131;nua. Ache a f.d.p. e a F.D.P. de Y , em termos da f.d.p. e da F.D.P. de X. Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca Temos, &#x221A; &#x221A; FY (y) = P [Y &#x2264; y] = P [X 2 &#x2264; y] = P [&#x2212; y &#x2264; X &#x2264; y] . FY (y) = Assim, fY (y) = dFY dF du = . dy du dy &#xF8F1; &#xF8F2; 0 , y&lt;0 &#xF8F3; &#x221A; &#x221A; FX ( y) &#x2212; FX (&#x2212; y) y &#x2265; 0 E, &#xF8F1; &#xF8F2; 0, y&lt;0 &#x221A; &#x221A; fX ( y) fX (&#x2212; y) fY (y) = + , y&gt;0 &#x221A; &#x221A; &#xF8F3; 2 y 2 y 38
• 40. (c) Seja Y = cosX sendo X uma v.a. uniforme no intervalo [0, 2&#x3C0;]. Ache a f.d.p. e a F.D.P. de Y . Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca FY (y) = P [Y &#x2264; y] = P [cosX &#x2264; y] Se cosX &#x2264; y &#x21D2; arccos y &#x2264; X &#x2264; 2&#x3C0; &#x2212; arccosy. Assim, P [cosX &#x2264; y] = P [X &#x2264; 2&#x3C0; &#x2212; arccosy] &#x2212; P [X &#x2264; arccosy]. Tamb&#xB4;m, e fY (y) = fX (2&#x3C0;&#x2212;arccosy) 1 &#x3C0; e 1 &#x2212; y2 , &#x2212;1 &lt; y &lt; 1 1 1&#x2212; y2 &#x2212;fX (arccosy) &#x2212;1 1&#x2212; y2 = 1 2&#x3C0; 1 1&#x2212; y2 + &#xF8F1; &#xF8F4; 0 , y &lt; &#x2212;1 &#xF8F2; 1 arcseny FY (y) = + , &#x2212;1 &#x2264; y &#x2264; 1 &#xF8F4; 2 &#x3C0; &#xF8F3; 1, y&gt;1 1 2&#x3C0; 1 1 &#x2212; y2 = (d) Considere X uma v.a. uniformemente distribu&#xB4; no intervalo [&#x2212;c, c]. Seja Y uma v.a. &#x131;da &#x2212;2 de&#xFB01;nida por Y = X . Determine fY (y). Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca FY (y) = P [Y &#x2264; y] = P 1 &#x2264;y . X2 Se y &#x2264; 0 &#x21D2; P 1 &#x2264; y = 0. X2 Se y &gt; 0 &#x21D2; P 1 1 1 1 &#x2264; y = P X2 &#x2265; = P X &#x2265; &#x221A; + P X &#x2264; &#x2212;&#x221A; 2 X y y y Mas, &#xF8F1; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F2; E, c 1 dx = 1 P X&#x2265;&#x221A; = 1 &#xF8F4; y &#xF8F4; 0, &#x221A; &#x2265;c &#xF8F3; y &#x221A; 1/ y 2c 39 1 1 1 &#x2212; &#x221A; , &#x221A; &lt;c 2 2c y y
• 41. &#xF8F1; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F2; &#x221A; &#x2212;1/ y &#xF8F1; 1 1 &#xF8F4; &#x2212; 1 + 1 , &#x2212; 1 &gt; &#x2212;c &#xF8F4; &#x221A; &#x221A; &#xF8F2; dx , &#x2212; &#x221A; &gt; &#x2212;c 1 2c y 2 y 2c y &#x2212;c P X &#x2264; &#x2212;&#x221A; = = 1 1 &#xF8F4; &#xF8F4; 0 , &#x2212; &#x221A; &#x2264; &#x2212;c y &#xF8F4; 0 , &#x2212; &#x221A; &#x2264; &#x2212;c &#xF8F4; &#xF8F3; &#xF8F3; y y Assim, E, &#xF8F1; 1 &#xF8F4; 1&#x2212; &#x221A; , y &#x2265; 1 &#xF8F2; 1 1 c y c2 FY (y) = P X &#x2264; &#x2212; &#x221A; + P X &#x2265; &#x221A; = &#xF8F4; y y &#xF8F3; 0, y&lt; 1 c2 fY (y) = &#xF8F1; &#xF8F4; &#xF8F2; 1 &#x221A; 2c( y)3 , y&gt; &#xF8F4; &#xF8F3; 0, y&lt; 1 c2 40 1 c2
• 42. Chapter 6 Valor esperado, vari&#x2C6;ncia e desvio a padr&#x2DC;o de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias a a o 6.1 Valor esperado (ou m&#xB4;dia) de um v.a e Seja X uma v.a. discreta. Consideremos que X assume os valores {x1 , x2 , . . . , xk }. Suponha que a experi&#x2C6;ncia associada a esta v.a. tenha sido realizada N vezes e que n(xi ) e represente o n&#xB4; mero de vezes em que o evento {X = xi } ocorreu. u De acordo com o conceito de freq&#xA8;&#x2C6;ncia relativa, temos ue n(xi ) , i = 1, . . . , k . N Assim, a m&#xB4;dia aritm&#xB4;tica dos N resultados da experi&#x2C6;ncia &#xB4; dada por e e e e P [X = xi ] = k n(xi ) mX = xi = N i=1 k xi P [X = xi ] . i=1 No caso de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias cont&#xB4; a o &#x131;nuas, temos +&#x221E; mX = xfX (x)dx . &#x2212;&#x221E; Exemplo: (a) Seja X uma v.a. distribu&#xB4; uniformemente no intervalo [a, b]. Calcule mX . &#x131;da Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca b mX = x a 1 a+b dx = . b&#x2212;a 2 41
• 43. (b) Seja X uma v.a. com f.d.p. gaussiana fX (x) = &#x221A; 2 1 (x&#x2212;m) 1 e&#x2212; 2 &#x3C3;2 2&#x3C0;&#x3C3; Calcume mX . Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca +&#x221E; mX = &#x2212;&#x221E; 6.2 x&#x221A; 2 1 (x&#x2212;m) 1 e&#x2212; 2 &#x3C3;2 dx = . . . = m 2&#x3C0;&#x3C3; Vari&#x2C6;ncia a Consideremos X uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria discreta. Suponha que X assuma os valores {x1 , x2 , . . . , xk }. a o Considere que a experi&#x2C6;ncia associada a esta v.a. tenha sido realizada N vezes e que n(xi ) e represente o n&#xB4; mero de vezes em que o evento {X = xi } ocorreu. u Assim, de&#xFB01;nimos a vari&#x2C6;ncia de X por a P [X=xi ] k 2 &#x3C3;X = i=1 (xi &#x2212; mX )2 n(xi ) N Observamos que a vari&#x2C6;ncia de uma v.a. nada mais &#xB4; do que a m&#xB4;dia aritm&#xB4;tica dos a e e e quadrados dos desvios (xi &#x2212; mX ), em rela&#xB8;&#x2DC;o ` m&#xB4;dia, dos N resultados da experi&#x2C6;ncia. Isto ca a e e mostra que a vari&#x2C6;ncia de uma v.a. mede sua dispers&#x2DC;o em torno da m&#xB4;dia. a a e No caso de X ser uma v.a. cont&#xB4; &#x131;nua, temos +&#x221E; 2 &#x3C3;X = &#x2212;&#x221E; (x &#x2212; mX )2 fX (x)dx Exemplos: (a) Calcule a vari&#x2C6;ncia de uma v.a. X uniformemente distribu&#xB4; no intervalo [a, b]. a &#x131;da Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca b 2 &#x3C3;X = a x&#x2212; b+a 2 2 1 (b &#x2212; a)2 dx = b&#x2212;a 12 Obs: Se considerarmos duas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias uniformes, a de menor vari&#x2C6;ncia tem sua a o a f.d.p. mais concentrada em torno de sua m&#xB4;dia. e 42
• 44. (b) Calcule a vari&#x2C6;ncia de uma v.a. gaussiana a fX (x) = &#x221A; (x&#x2212;m)2 1 e&#x2212; 2&#x3C3;2 2&#x3C0;&#x3C3; Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca 2 &#x3C3;X = &#x221A; 6.3 6.3.1 1 2&#x3C0;&#x3C3; +&#x221E; &#x2212;&#x221E; (x &#x2212; m)2 e&#x2212; (x&#x2212;m)2 2&#x3C3; 2 dx = &#x3C3; 2 Momentos Momentos de ordem k De&#xFB01;nimos o momento de ordem k de uma v.a. cont&#xB4; &#x131;nua X por +&#x221E; E[X k ] = xk fX (x)dx . &#x2212;&#x221E; N e X &#xB4; uma v.a. discreta ent&#x2DC;o E[X k ] = e a xk P [X = xi ]. i i=1 OBS: Se k = 0 &#x21D2; E[X o ] = 1 e se k = 1 &#x21D2; E[X] = mX . 6.3.2 Momento central de ordem k Chama-se momento central de ordem k, de uma v.a. X, o valor esperado +&#x221E; E[(X &#x2212; mX )k ] = 6.3.3 (x &#x2212; mX )k fX (x)dx . &#x2212;&#x221E; Valor esperado de um vetor aleat&#xB4;rio o +&#x221E; E[X] = mX = +&#x221E; ... &#x2212;&#x221E; 43 &#x2212;&#x221E; xfX (x)dx .
• 45. Exemplo: Considere o vetor aleat&#xB4;rio X &#x2208; R2 com f.d.p. fX de&#xFB01;nida por o fX (x) = fX1 X2 (x1 , x2 ) = abe&#x2212;(ax1 +bx2 ) u(x1 )u(x2 ) . Calcule E[X]. Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca +&#x221E; mX = 6.4 +&#x221E; (x1 , x2 )abe&#x2212;(ax1 +bx2 ) dx1 dx2 = 0 0 1 1 , a b . Matriz Covari&#x2C6;ncia a Em analogia ` vari&#x2C6;ncia de uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria real, de&#xFB01;nimos, para vetores aleat&#xB4;rios, a a a o o a matriz covari&#x2C6;ncia: a +&#x221E; &#x2206;X = OBS: +&#x221E; ... &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; (x &#x2212; mX )t (x &#x2212; mX ) fX (x)dx &#x2206;X = E[(X &#x2212; mX )t (X &#x2212; mX )] Exemplo: Seja X o vetor aleat&#xB4;rio bidimensional com f.d.p. o fX (x) = fX1 X2 (x1 , x2 ) = 1 &#x2212; 1 (5x2 +5x2 &#x2212;8x1 x2 ) e 18 1 2 6&#x3C0; (i) Calcule mX (ii) Encontre &#x2206;X . Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca (i) mX = 0 . (ii) Temos xt x = x2 x1 x2 1 . Assim, &#x2206;X = x2 x1 x2 2 44 5 4 4 5 .
• 46. 6.5 6.5.1 Momentos conjuntos De&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;es co k k k (i) Os momentos conjuntos das vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X1 , X2 , . . . , Xn s&#x2DC;o de&#xFB01;nidos por E[X1 1 X2 2 . . . Xnn ] a o a e a ordem do momento conjunto &#xB4; dada por k1 + k2 + . . . + kn . e (ii) Os momentos conjuntos de segunda ordem E[Xi Xj ] recebem o nome de correla&#xB8;&#x2DC;o das ca vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias Xi e Xj . a o (iii) Os momentos conjuntos centrais das vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X1 , X2 , . . . , Xn s&#x2DC;o de&#xFB01;nidos a o a por E[(X1 &#x2212; mX1 )k1 (X2 &#x2212; mX2 )k2 . . . (Xn &#x2212; mXn )kn ]. A soma k1 + k2 + . . . + kn &#xB4; chamada ordem e do momento conjunto central. (iv) Os momentos conjuntos centrais de segunda ordem E[(Xi &#x2212; mXi )(Xj &#x2212; mXj )] recebem o nome de covari&#x2C6;ncia quando i = j e vari&#x2C6;ncia quando i = j. a a (v) A matriz Covari&#x2C6;ncia de um vetor aleat&#xB4;rio cont&#xB4;m todos os momentos conjuntos cena o e trais de segunda ordem das componentes do vetor. Ela cont&#xB4;m na sua diagonal principal as e vari&#x2C6;ncias e os elementos fora da diagonal principal s&#x2DC;o as covari&#x2C6;ncias. a a a Resumindo, temos, +&#x221E; +&#x221E; (i) Correla&#xB8;&#x2DC;o: E[X1 X2 ] = ca (ii) Momentos conjuntos: x1 x2 fX1 X2 (x1 , x2 )dx1 dx2 &#x2212;&#x221E; k k De ordem k1 + k2 : E[X1 1 X2 2 ] = De ordem k1 + k2 + . . . + kn : k k k E[X1 1 X2 2 . . . Xnn ] = +&#x221E; +&#x221E; ... &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; +&#x221E; &#x2212;&#x221E; +&#x221E; &#x2212;&#x221E; xk1 xk2 fX1 X2 (x1 , x2 )dx1 dx2 1 2 xk1 xk2 . . . xkn fX1 X2 ...Xn (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 . . . dxn 1 2 n (iii) Covari&#x2C6;ncia: E[(Xi &#x2212; mXi )(Xj &#x2212; mXj )] a Se m = 0 &#x21D2; covari&#x2C6;ncia = correla&#xB8;&#x2DC;o. a ca (iv) Vari&#x2C6;ncia: E[(X &#x2212; mX )2 ] a 6.5.2 Coe&#xFB01;ciente de correla&#xB8;&#x2DC;o ca De&#xFB01;ne-se coe&#xFB01;ciente de correla&#xB8;&#x2DC;o entre as vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X e Y por ca a o &#x3C1;XY = E[(X &#x2212; mX )(Y &#x2212; mY )] E[(X &#x2212; mX )2 ]E[(Y &#x2212; mY )2 ] Podemos mostrar que &#x2212;1 &#x2264; &#x3C1;XY &#x2264; 1. Vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias n&#x2DC;o correlatas a o a Duas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X e Y s&#x2DC;o ditas n&#x2DC;o correlatas quando ocorre uma das seguintes a o a a condi&#xB8;&#x2DC;es (equivalentes): co 45
• 47. (i) &#x3C1;XY = 0 (ii) E[XY ] = E[X]E[Y ] (iii) E[(X &#x2212; mX )(Y &#x2212; mY )] = 0 Obs: Se duas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias s&#x2DC;o independentes ent&#x2DC;o elas s&#x2DC;o n&#x2DC;o-correlatas, mas a a o a a a a rec&#xB4; &#x131;proca n&#x2DC;o &#xB4; verdadeira. a e Vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias ortogonais a o Duas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X e Y s&#x2DC;o ortogonais quando E[XY ] = 0. a o a Exemplos: (a) Seja Y = acos(&#x3C9;t + &#x398;), sendo a, &#x3C9; e t constantes e &#x398; uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria uniforme em a o [0, 2&#x3C0;]. (i) Calcule E[Y ] (ii) Calcule E[Y 2 ] Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca 2&#x3C0; (i) E[Y ] = E[acos(&#x3C9;t + &#x398;)] = acos(&#x3C9;t + &#x3B8;) 0 d&#x3B8; =0 2&#x3C0; 2 (ii) E[Y 2 ] = . . . = a 2 (b) Sejam X e Y duas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias de&#xFB01;nidas por X = cos&#x398; e Y = sen&#x398;, sendo &#x398; uma a o vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria uniformemente distribu&#xB4; em [0, &#x3C0;]. a o &#x131;da Determine E[X], E[Y ], E[XY ], E[X 2 ], E[Y 2 ] e E[X 2 Y 2 ]. 46
• 48. Chapter 7 Processos Estoc&#xB4;sticos a 7.1 Introdu&#xB8;&#x2DC;o ca Considere um experimento aleat&#xB4;rio especi&#xFB01;cado pelos resultados &#x3BE; de algum espa&#xB8;o amostral o c S, pelos eventos de&#xFB01;nidos em S e pelas probabilidades desses eventos. Suponha que para todo resultado &#x3BE; &#x2208; S, exista uma fun&#xB8;&#x2DC;o X dada por X(t, &#x3BE;) para todo ca t pertencente a um intervalo I e &#x3BE; &#x2208; S. Para &#x3BE; &#xFB01;xo, X(t, &#x3BE;) &#xB4; chamada de fun&#xB8;&#x2DC;o amostra. Por outro lado, para cada t &#xFB01;xo, X(t, &#x3BE;) e ca &#xB4; uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria. e a o Dessa forma, criamos uma fam&#xB4; indexada de vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias {X(t, &#x3BE;) , t &#x2208; I}. &#x131;lia a o Esta fam&#xB4; recebe o nome de Processo Estoc&#xB4;stico (ou processo aleat&#xB4;rio). Normal&#x131;lia a o mente, denotamos o processo estoc&#xB4;stico por X(t), omitindo o argumento &#x3BE;. a Um processo estoc&#xB4;stico &#xB4; dito discreto se o conjunto I dos &#xB4; a e &#x131;ndices for cont&#xB4;vel. Quando a tratamos de processos estoc&#xB4;sticos discretos usamos, normalmente, n para denotar o &#xB4; a &#x131;ndice e Xn para denotar o processo estoc&#xB4;stico. a Se o conjunto I dos &#xB4; &#x131;ndices for cont&#xB4; &#x131;nuo ent&#x2DC;o o processo estoc&#xB4;stico &#xB4; dito cont&#xB4; a a e &#x131;nuo. Processos estoc&#xB4;sticos aparecem em sistemas de reconhecimento de fala, sistemas de proa cessamento de imagens, sistemas de &#xFB01;las, ru&#xB4; t&#xB4;rmico nos terminais de um resistor e outros. &#x131;do e Exemplos: (a) Seq&#xA8;&#x2C6;ncia bin&#xB4;ria aleat&#xB4;ria ue a o Seja &#x3BE; um n&#xB4; mero selecionado, ao acaso, do intervalo S = [0, 1] e seja b1 b2 . . . a expans&#x2DC;o u a bin&#xB4;ria de &#x3BE;. a +&#x221E; Assim, &#x3BE; = i=1 bi 2&#x2212;i , bi &#x2208; {0, 1}. De&#xFB01;na o processo estoc&#xB4;stico Xn = X(n, &#x3BE;) por Xn = bn , n = 1, 2, . . ., onde bn &#xB4; o n-&#xB4;simo a e e n&#xB4; mero da expans&#x2DC;o bin&#xB4;ria de &#x3BE;. u a a 47
• 50. Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca X(1, &#x3BE;) = b1 . Logo, P [b1 = 0] = P [0 &#x2264; &#x3BE; &lt; 1/2] = 1/2. (ii) P [X(1, &#x3BE;) = 0 e X(2, &#x3BE;) = 1] Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca P [b1 = 0 e b2 = 1] = P [1/4 &#x2264; &#x3BE; &lt; 1/2] = 1/4. (b) Seja &#x3BE; um n&#xB4; mero escolhido no intervalo [&#x2212;1, 1] e seja X(t) o processo estoc&#xB4;stico u a de&#xFB01;nido por X(t, &#x3BE;) = &#x3BE;cos(2&#x3C0;t) , t &#x2208; R Ache a f.d.p. de X0 = X(t0 , &#x3BE;). Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca Temos que X0 = X(t0 , &#x3BE;) = &#x3BE;cos(2&#x3C0;t0 ). Como &#x3BE; &#xB4; uniformemente distribu&#xB4; em [&#x2212;1, 1], temos que X0 ser&#xB4; uniformemente dise &#x131;da a tribu&#xB4; em [&#x2212;cos(2&#x3C0;t0 ), cos(2&#x3C0;t0 )] com t0 sendo tal que cos2&#x3C0;t0 = 0. &#x131;da Assim, fX0 (x) = &#xF8F1; &#xF8F4; &#xF8F2; &#xF8F4; &#xF8F3; 1 , &#x2212;cos2&#x3C0;t0 &lt; x &lt; cos2&#x3C0;t0 2cos2&#x3C0;t0 0 , caso contr&#xB4;rio a Por&#xB4;m, se t0 for tal que cos2&#x3C0;t0 = 0, ent&#x2DC;o fX0 (t) = &#x3B4;(t). e a Ao &#xFB01;xarmos um valor para o par&#x2C6;metro t de um processo estoc&#xB4;stico X(t, &#x3BE;), obtemos a a uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X com F.D.P. FX(t) (x) = P [X(t) &#x2264; x]. A f.d.p. correspondente &#xB4; a o e &#x2202; FX(t) (x). fX(t) (x) = &#x2202;x Para cada t teremos uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria X(t) distinta. a o Quando, para qualquer t , conhecemos fX(t) (x) ou FX(t) (x), dizemos que o processo estoc&#xB4;stico X(t, &#x3BE;) est&#xB4; especi&#xFB01;cado at&#xB4; a primeira ordem. a a e Um processo estoc&#xB4;stico X(t) &#xFB01;ca especi&#xFB01;cado at&#xB4; a segunda ordem se, para qualquer par de a e instantes (t1 , t2 ), a f.d.p. fX(t1 )X(t2 ) (x1 , x2 ) das vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X(t1 ) e X(t2 ) &#xB4; conhecida. a o e Um processo estoc&#xB4;stico X(t) est&#xB4; especi&#xFB01;cado at&#xB4; a ordem m, quando &#xB4; conhecida a f.d.p. a a e e conjunta das m vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X(ti ) para qualquer conjunto de valores {ti , i = 1, . . . , m}. a o Em outras palavras, quando se conhece fX(t1 )X(t2 )...X(tm ) (x1 , x2 , . . . , xm ). Dizemos que um processo estoc&#xB4;stico est&#xB4; especi&#xFB01;cado completamente se ele est&#xB4; especi&#xFB01;a a a cado at&#xB4; a ordem m para qualquer valor de m. e 49
• 51. 7.3 Momentos Os momentos (ou estat&#xB4; &#x131;sticas) de um processo estoc&#xB4;stico s&#x2DC;o os momentos das vari&#xB4;veis a a a aleat&#xB4;rias de&#xFB01;nidas em quaisquer instantes do processo. o 7.3.1 M&#xB4;dia e +&#x221E; mX (t) = E[X(t)] = xfX(t) (x)dx &#x2212;&#x221E; 7.3.2 Autocorrela&#xB8;&#x2DC;o ca Uma das caracter&#xB4; &#x131;sticas mais importantes de um processo estoc&#xB4;stico &#xB4;, sem d&#xB4; vida, sua a e u fun&#xB8;&#x2DC;o autocorrela&#xB8;&#x2DC;o, que nos levar&#xB4; a conhecer a sua densidade espectral. O conte&#xB4; do de ca ca a u freq&#xA8;&#x2C6;ncias de um processo depende da velocidade com que a amplitude muda com o tempo. ue Isso pode ser medido pela correla&#xB8;&#x2DC;o entre as amplitudes em t1 e em t1 + &#x3C4; . ca Se as amplitudes de um processo X(t) (das amostras de X(t)) s&#x2DC;o similares nos instantes t1 a e t1 + &#x3C4; ; dizemos que as respectivas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias t&#x2C6;m forte correla&#xB8;&#x2DC;o. Por outro lado, se a o e ca as amplitudes em t1 e em t1 + &#x3C4; forem diferentes, dizemos que as respectivas vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias a o t&#x2C6;m fraca correla&#xB8;&#x2DC;o. e ca A autocorrela&#xB8;&#x2DC;o &#xB4; o momento conjunto das vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X(t1 ) e X(t2 ) de&#xFB01;nidas ca e a o para todo par (t1 , t2 ); isto &#xB4;, e +&#x221E; +&#x221E; RX (t1 , t2 ) = E[X(t1 )X(t2 )] = xyfX(t1 )X(t2 ) dxdy &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; sendo fX(t1 )X(t2 ) (x, y) a f.d.p. de segunda ordem de X(t). 7.3.3 Autocovari&#x2C6;ncia a A (fun&#xB8;&#x2DC;o) autocovari&#x2C6;ncia de um processo X(t) &#xB4; o momento conjunto central das vari&#xB4;veis ca a e a aleat&#xB4;rias X(t1 ) e X(t2 ) para quaiquer (t1 , t2 ); isto &#xB4;, o e CX (t1 , t2 ) = E[(X(t1 ) &#x2212; mX (t1 ))(X(t2 ) &#x2212; mX (t2 ))] , &#x2200;(t1 , t2 ) Podemos mostrar que: (i) CX (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) &#x2212; mX (t1 )mX (t2 ) 2 (ii) &#x3C3;X (t) = RX (t, t) &#x2212; m2 (t) X 2 Observe que &#x3C3;X (t) = CX (t, t) e que E[(X &#x2212; mX )(Y &#x2212; mY )] = E[XY ] &#x2212; E[X]E[Y ]. 50
• 52. O coe&#xFB01;ciente de correla&#xB8;&#x2DC;o de X(t) &#xB4; de&#xFB01;nido como o coe&#xFB01;ciente de correla&#xB8;&#x2DC;o de X(t1 ) e ca e ca X(t2 ): &#x3C1;X (t1 , t2 ) = CX (t1 , t2 ) CX (t1 , t1 ) CX (t2 , t2 ) com | &#x3C1;X (t1 , t2 ) |&#x2264; 1. Exemplos: (a) Seja A uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria e seja X(t) = Acos2&#x3C0;t um processo estoc&#xB4;stico. a o a (i) Determine a m&#xB4;dia de X(t), em fun&#xB8;&#x2DC;o da m&#xB4;dia da vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria A. e ca e a o Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca mX (t) = E[X(t)] = E[Acos2&#x3C0;t] = cos2&#x3C0;tE[A]. (ii) Determine RX (t1 , t2 ). Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca RX (t1 , t2 ) = E[X(t1 )X(t2 )] = E[A2 ]cos2&#x3C0;t1 cos2&#x3C0;t2 . (b) Seja X(t) = cos(&#x3C9;t + &#x398;) um processo estoc&#xB4;stico onde &#x398; &#xB4; uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria unia e a o formemente distribu&#xB4; no intervalo (&#x2212;&#x3C0;, &#x3C0;). &#x131;da Determine: (i) A m&#xB4;dia de X(t) e Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca +&#x221E; mX = cos(&#x3C9;t + &#x3B8;)f&#x398; (&#x3B8;)d&#x3B8; = 0. &#x2212;&#x221E; (ii) A autocorrela&#xB8;&#x2DC;o de X(t) ca Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca RX (t1 , t2 ) = E[X(t1 )X(t2 )] = E[cos(&#x3C9;t1 + &#x398;)cos(&#x3C9;t2 + &#x398;)] 1 1 = E[cos(&#x3C9;(t1 + t2 ) + 2&#x3B8;) + cos(&#x3C9;(t1 &#x2212; t2 )] = cos(&#x3C9;(t1 &#x2212; t2 )). 2 2 51
• 53. 7.4 Processos estoc&#xB4;sticos (estritamente) estacion&#xB4;rios a a Seja X(t) um processo estoc&#xB4;stico. Se, para qualquer inteiro n, a f.d.p. conjunta de ordem a n n&#x2DC;o varia com um deslocamento no tempo; isto &#xB4;, a e fX(t1 )X(t2 )...X(tn ) (x1 , x2 , . . . , xn ) = fX(t1 +&#x3C4; )X(t2 +&#x3C4; )...X(tn +&#x3C4; ) (x1 , x2 , . . . , xn ) , &#x2200;&#x3C4; ent&#x2DC;o o processo estoc&#xB4;stico &#xB4; dito estritamente estacion&#xB4;rio at&#xB4; a ordem n. a a e a e Obs: (i) A mesma de&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o vale se considerarmos a F.D.P. conjunta ca (ii) mX (t) = E[X(t)] = m 2 (iii) &#x3C3;X(t) = E[(X(t) &#x2212; m)2 ] = &#x3C3; 2 (iv) Um processo estoc&#xB4;stico &#xB4; estacion&#xB4;rio at&#xB4; a primeira ordem se, e s&#xB4; se, a e a e o fX(t) (x) = fX(t+&#x3C4; ) (x) , &#x2200;t, &#x3C4; (v) Um processo estoc&#xB4;stico &#xB4; estacion&#xB4;rio at&#xB4; a segunda ordem se, e s&#xB4; se, a e a e o fX(t1 )X(t2 ) (x1 , x2 ) = fX(t1 +&#x3C4; )X(t2 +&#x3C4; ) (x1 , x2 ) , &#x2200;&#x3C4; (vi) Se X(t) &#xB4; estacion&#xB4;rio at&#xB4; a n-&#xB4;sima ordem ent&#x2DC;o tamb&#xB4;m ser&#xB4; at&#xB4; a ordem k, k &lt; n. e a e e a e a e (vii) A veri&#xFB01;ca&#xB8;&#x2DC;o de estacionariedade estrita &#xB4; uma tarefa dif&#xB4; motivando a veri&#xFB01;ca&#xB8;&#x2DC;o de ca e &#x131;cil, ca formas mais fracas de estacionariedade. 7.5 7.5.1 Processos estoc&#xB4;sticos estacion&#xB4;rios no sentido ama a plo ou fracamente estacion&#xB4;rios a De&#xFB01;ni&#xB8;&#x2DC;o ca Um processo estoc&#xB4;stico X(t) &#xB4; dito estacion&#xB4;rio no sentido amplo se sua m&#xB4;dia for a e a e constante; isto &#xB4;, mX (t) = m, &#x2200;t e se a sua autocorrela&#xB8;&#x2DC;o &#xB4; fun&#xB8;&#x2DC;o, apenas, da diferen&#xB8;a e ca e ca c entre dois instantes; isto &#xB4;, e RX (t1 , t2 ) = RX (&#x3C4; ) , &#x3C4; = t1 &#x2212; t2 , &#x2200;t1 , t2 OBS: Se um processo estoc&#xB4;stico &#xB4; estritamente estacion&#xB4;rio at&#xB4; a segunda ordem ent&#x2DC;o ele a e a e a &#xB4; estacion&#xB4;rio no sentido amplo. Por&#xB4;m, a rec&#xB4; e a e &#x131;proca n&#x2DC;o &#xB4; verdadeira. a e Exemplo: 52
• 54. Considere o processo estoc&#xB4;stico X(t) = Asen(&#x3C9;t + &#x398;) sendo &#x398; uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria a a o uniformemente distribu&#xB4; em [0, 2&#x3C0;]. Veri&#xFB01;que se este processo &#xB4; estacion&#xB4;rio no sentido amplo. &#x131;da e a Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca 2&#x3C0; mX (t) = Asen(&#x3C9;t + &#x3B8;) 0 1 d&#x3B8; = 0 2&#x3C0; e RX (t1 , t2 ) = . . . = 7.5.2 A2 cos[&#x3C9;(t1 &#x2212; t2 )] 2 Propriedades (i) RX (&#x3C4; ) = RX (&#x2212;&#x3C4; ) (ii) RX (0) = E[X 2 (t)] (iii) Se X(t) = X(t + nT ) , n &#x2208; Z ent&#x2DC;o RX (&#x3C4; ) = RX (&#x3C4; + nT ) a (iv) | RX (&#x3C4; ) |&#x2264; RX (0) , &#x2200;&#x3C4; 7.6 7.6.1 Estat&#xB4; &#x131;sticas conjuntas de processos estoc&#xB4;sticos a Especi&#xFB01;ca&#xB8;&#x2DC;o conjunta ca Dois processos estoc&#xB4;sticos, digamos X(t) e Y (t), est&#x2DC;o conjuntamente especi&#xFB01;cados at&#xB4; a a a e ordem m+n, quando &#xB4; conhecida a f.d.p. conjunta das m+n vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias {X(ti ), Y (tj )} e a o para quaisquer conjuntos de valores. Isto &#xB4;, e fX(t1 )X(t2 )...X(tm )Y (t&#x2032;1 )Y (t&#x2032;2 )...Y (t&#x2032;n ) (x1 , x2 , . . . , xm , y1 , y2, . . . , yn ) para todos t1 , t2 , . . . , tm , t&#x2032;1 , t&#x2032;2 , . . . , t&#x2032;n . 7.6.2 Momentos conjuntos Correla&#xB8;&#x2DC;o cruzada ca A fun&#xB8;&#x2DC;o correla&#xB8;&#x2DC;o cruzada de dois processos estoc&#xB4;sticos X(t) e Y (t), representada por ca ca a RXY (t1 , t2 ), &#xB4; o momento conjunto das vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X(t1 ) e Y (t2 ) de&#xFB01;nidas para quaise a o quer pares (t1 , t2 ); isto &#xB4;, e +&#x221E; +&#x221E; RXY (t1 , t2 ) = E[X(t1 )Y (t2 )] = Covari&#x2C6;ncia cruzada a &#x2212;&#x221E; &#x2212;&#x221E; 53 xyfX(t1 )Y (t2 ) (x, y)dxdy , &#x2200;t1 , t2
• 55. A fun&#xB8;&#x2DC;o covari&#x2C6;ncia cruzada de dois processos estoc&#xB4;sticos X(t) e Y (t), representada por ca a a CXY (t1 , t2 ), &#xB4; o momento conjunto central das vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias X(t1 ) e Y (t2 ) de&#xFB01;nidas para e a o qualquer par (t1 , t2 ); isto &#xB4;, e CXY (t1 , t2 ) = E{[X(t1 ) &#x2212; mX (t1 )][Y (t2 ) &#x2212; mY (t2 )] Podemos mostrar que CXY (t1 , t2 ) = RXY (t1 , t2 ) &#x2212; mX (t1 )mY (t2 ). 7.6.3 Processos estoc&#xB4;sticos conjuntamente estacion&#xB4;rios a a Dois processos estoc&#xB4;sticos X(t) e Y (t) s&#x2DC;o ditos conjuntamente estacion&#xB4;rios at&#xB4; a ordem a a a e k + &#x2113; se a f.d.p. conjunta das k + &#x2113; vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias {X(ti ), Y (t&#x2032;j ) , i = 1, 2, . . . , k; j = a o 1, 2, . . . , &#x2113;} n&#x2DC;o varia com um deslocamento no tempo; isto &#xB4;, a e fX(t1 )...X(tk )Y (t&#x2032;1 )...Y (t&#x2032;&#x2113; ) = fX(t1 +&#x3C4; )...X(tk +&#x3C4; )Y (t&#x2032;1 +&#x3C4; )...Y (t&#x2032;&#x2113; +&#x3C4; ) Dois processos estoc&#xB4;sticos X(t) e Y (t) s&#x2DC;o ditos conjuntamente estacion&#xB4;rios no sentido a a a amplo quando cada um deles &#xB4; estacion&#xB4;rio no sentido amplo e RXY (t1 , t2 ) s&#xB4; depende da e a o diferen&#xB8;a (t1 &#x2212; t2 ); isto &#xB4;, c e RXY (t1 , t2 ) = RXY (t1 &#x2212; t2 ) = RXY (&#x3C4; ) , &#x3C4; = t1 &#x2212; t2 7.6.4 Propriedades da fun&#xB8;&#x2DC;o correla&#xB8;&#x2DC;o cruzada de dois processos ca ca estoc&#xB4;sticos conjuntamente estacion&#xB4;rios a a (i) RXY (&#x3C4; ) = RY X (&#x2212;&#x3C4; ) 2 (ii) RXY (&#x3C4; ) &#x2264; RX (0)RY (0) (iii) 2 | RXY (&#x3C4; ) |&#x2264; RX (0) + RY (0) 7.6.5 Independ&#x2C6;ncia, n&#x2DC;o-correla&#xB8;&#x2DC;o e ortogonalidade e a ca Dois processos estoc&#xB4;sticos X(t) e Y (t) s&#x2DC;o estatisticamente independentes quando para a a quaisquer m e n a f.d.p. conjunta de ordem m + n pode ser escrita como o produto da f.d.p. de ordem m do processo X(t) pela f.d.p. de ordem n do processo Y (t); isto &#xB4;, e fX(t1 )...X(tm )Y (t&#x2032;1 )...Y (t&#x2032;n ) (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) = fX(t1 )...X(tm ) (x1 , . . . , xm )fY (t&#x2032;1 )...Y (t&#x2032;n ) (y1 , . . . , yn ) Dois processos estoc&#xB4;sticos X(t) e Y (t), conjuntamente estacion&#xB4;rios no sentido amplo s&#x2DC;o a a a ditos n&#x2DC;o-correlatos quando CXY (&#x3C4; ) = 0. a CXY (&#x3C4; ) = 0 &#x21D2; RXY (&#x3C4; ) = mX mY . Dois processos estoc&#xB4;sticos X(t) e Y (t), conjuntamente estacion&#xB4;rios no sentido amplo s&#x2DC;o a a a ortogonais quando RXY (&#x3C4; ) = 0. 54
• 56. Exemplos: (a) Sejam X(t) e Y (t) processos estoc&#xB4;sticos dados por X(t) = cos(&#x3C9;t + &#x398;) e Y (t) = a sen(&#x3C9;t+&#x398;), sendo &#x398; uma v.a. uniformemente distribu&#xB4; no intervalo [&#x2212;&#x3C0;, &#x3C0;]. Ache CXY (t1 , t2 ). &#x131;da Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca CXY (t1 , t2 ) = RXY (t1 , t2 ) &#x2212; mX (t1 )mY (t2 ) Mas, mX (t1 ) = mY (t2 ) = 0. 1 E, RXY (t1 , t2 ) = &#x2212; sen(&#x3C9;(t1 &#x2212; t2 )). 2 Logo, 1 CXY (t1 , t2 ) = &#x2212; sen(&#x3C9;(t1 &#x2212; t2 )). 2 (b) Seja Y (t) = X(t) + N(t), onde X(t) &#xB4; um sinal desejado e N(t) um ru&#xB4; e &#x131;do. Ache RXY (t1 , t2 ) supondo que X(t) e N(t) s&#x2DC;o processos estoc&#xB4;sticos independentes. a a Solu&#xB8;&#x2DC;o: ca RXY (t1 , t2 ) = E[X(t1 )Y (t2 )] = E[X(t1 )X(t2 )]+E[X(t1 )N(t2 )] = RX (t1 , t2 )+mX (t1 )mN (t2 ). 7.6.6 Processos Erg&#xB4;dicos o Vimos que a caracteriza&#xB8;&#x2DC;o completa de um processo estoc&#xB4;stico exige o conhecimento ca a de todas as suas fun&#xB8;&#x2DC;es amostra. Esta caracteriza&#xB8;&#x2DC;o permitiu a determina&#xB8;&#x2DC;o de diversas co ca ca estat&#xB4; &#x131;sticas de processos como, por exemplo, sua m&#xB4;dia e sua fun&#xB8;&#x2DC;o autocorrela&#xB8;&#x2DC;o. Para e ca ca alguns processos estoc&#xB4;sticos, entretanto, estas estat&#xB4; a &#x131;sticas podem ser determinadas a partir de apenas uma fun&#xB8;&#x2DC;o amostra do processo. Esses processos estoc&#xB4;sticos s&#x2DC;o determinados ca a a erg&#xB4;dicos. o Para processos erg&#xB4;dicos, os valores m&#xB4;dios e os momentos podem ser determinados atrav&#xB4;s o e e de m&#xB4;dias temporais. e 1 T Assim, E[X n (t)] = lim [X(t)]n dt T &#x2192;+&#x221E; 2T &#x2212;T onde X(t) &#xB4; uma fun&#xB8;&#x2DC;o amostra t&#xB4; e ca &#x131;pica do processo. A autocorrela&#xB8;&#x2DC;o ser&#xB4; dada por ca a 1 T &#x2192;+&#x221E; 2T T RX (&#x3C4; ) = E[X(t)X(t + &#x3C4; )] = lim 7.7 X(t)X(t + &#x3C4; ) dt &#x2212;T Processos estoc&#xB4;sticos gaussianos a Um processo X(t) &#xB4; um processo estoc&#xB4;stico gaussiano se as amostras X1 = X(t1 ), X2 = e a X(t2 ), . . . , Xk = X(tk ) s&#x2DC;o vari&#xB4;veis aleat&#xB4;rias conjuntamente gaussianas para todo k e todas a a o as escolhas de t1 , . . . , tk . Assim, a f.d.p. tem a forma 55
• 57. 1 T &#x2212;1 e&#x2212; 2 (x&#x2212;m) K (x&#x2212;m) fX1 X2 ...Xk (x1 , x2 , . . . , xk ) = (2&#x3C0;)k/2 | K |1/2 onde &#xF8EE; &#xF8F9; mX (t1 ) &#xF8EF; m (t ) &#xF8FA; m=&#xF8EF; X 2 &#xF8FA; &#xF8F0; ... &#xF8FB; mX (tk ) e &#xF8EE; CX (t1 , t1 ) &#xF8EF; CX (t2 , t1 ) K=&#xF8EF; &#xF8F0; ... CX (tk , t1 ) CX (t1 , t2 ) CX (t2 , t2 ) ... CX (tk , t2 ) ... ... ... ... &#xF8F9; CX (t1 , tk ) CX (t2 , tk ) &#xF8FA; &#xF8FA; &#xF8FB; ... CX (tk , tk ) Observamos que processos estoc&#xB4;sticos gaussianos t&#x2C6;m a propriedade que suas f.d.p.&#x2019;s cona e junas s&#x2DC;o completamente especi&#xFB01;cadas pela m&#xB4;dia do processo mX (t) e pela fun&#xB8;&#x2DC;o covari&#x2C6;ncia a e ca a CX (t1 , t2 ). Se um processo gaussiano &#xB4; estacion&#xB4;rio no sentido amplo ent&#x2DC;o sua m&#xB4;dia &#xB4; constante e e a a e e sua autocovari&#x2C6;ncia s&#xB4; depende da diferen&#xB8;a entre dois instante. Al&#xB4;m disso, ele ser&#xB4; tamb&#xB4;m a o c e a e estritamente estacion&#xB4;rio. a Exemplo: Seja X(t) um processo gaussiano com fun&#xB8;&#x2DC;o m&#xB4;dia e fun&#xB8;&#x2DC;o autocorrela&#xB8;&#x2DC;o dadas por ca e ca ca &#x2212;|t1 &#x2212;t2 | mX (t) = 1 e RX (&#x3C4; = t1 &#x2212; t2 ) = 2 + 1. Determine P [1 &lt; X(4) &lt; 3]. Sol.: 2 2 X(4) = X4 &#xB4; uma vari&#xB4;vel aleat&#xB4;ria gaussiana com E[X4 ] = 1 e &#x3C3;X4 = E[X4 ] &#x2212; [E(X4 )]2 = e a o 2 RX (0) &#x2212; mX (4) = 2 &#x2212; 1 = 1. 3 (X4 &#x2212;1)2 1 &#x221A; e&#x2212; 2 dX4 &#x2243; 0.477. Assim, P [1 &lt; X2 &lt; 3] = 2&#x3C0; 1 56
• 58. Chapter 8 Revis&#x2DC;o de an&#xB4;lise de Fourier a a 8.1 Introdu&#xB8;&#x2DC;o ca Este cap&#xB4; &#x131;tulo &#xB4; devotado a uma revis&#x2DC;o da an&#xB4;lise de Fourier e a estudar como um sinal no e a a dom&#xB4; &#x131;nio do tempo pode ser representado no dom&#xB4; &#x131;nio da freq&#xA8;&#x2C6;ncia. ue 8.2 S&#xB4;rie de Fourier e Consideremos f : I &#x2192; I uma fun&#xB8;&#x2DC;o que satisfaz as seguintes condi&#xB8;&#x2DC;es: R R ca co (i) f &#xB4; peri&#xB4;dica de per&#xB4; e o &#x131;odo T; (ii) f &#xB4; de classe C 2 por partes em (t0 , t0 + T ). e Em todo ponto de continuidade de f , podemos escrever: f (t) = onde &#x221E; ao [an cos + 2 n=1 &#xF8F1; &#xF8F4; &#xF8F4; a = 2 &#xF8F4; o &#xF8F4; &#xF8F4; T &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F2; 2 an = &#xF8F4; T &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; &#xF8F4; b = 2 &#xF8F4; n &#xF8F3; T 2n&#x3C0;t T + bn sen 2n&#x3C0;t ] T (8.1) to +T f (t)dt , to to +T f (t)cos 2n&#x3C0;t T dt e f (t)sen 2n&#x3C0;t T dt. to to +T to (8.2) Num ponto de descontinuidade o lado esquerdo de 8.1 &#xB4; substitu&#xB4; por : e &#x131;do 1 lim [f (t + &#x3B5;) + f (t &#x2212; &#x3B5;)]. &#x3B5;&#x2192;o+ 2 57 (8.3)
• 59. A s&#xB4;rie 8.1 com coe&#xFB01;cientes dados por 8.2 &#xB4; chamada de s&#xB4;rie de Fourier de f na forma e e e trigonom&#xB4;trica. e As condi&#xB8;&#x2DC;es (i) e (ii) s&#x2DC;o muitas vezes chamadas condi&#xB8;&#x2DC;es de Dirichlet e s&#x2DC;o su&#xFB01;cientes co a co a (mas n&#x2DC;o necess&#xB4;rias) para a converg&#x2C6;ncia da s&#xB4;rie de Fourier. a a e e Em nota&#xB8;&#x2DC;o exponencial (ou complexa) a s&#xB4;rie de Fourier de f pode ser escrita como ca e +&#x221E; Fn ej f (t) = 2n&#x3C0;t T (8.4) n=&#x2212;&#x221E; onde Fazendo &#x3C9;o = 1 Fn = T to +T f (t)e&#x2212;j 2n&#x3C0;t T dt. (8.5) f (t)e&#x2212;jn&#x3C9;o t dt. (8.6) to 2&#x3C0; , temos T Fn = 1 T to +T to Observamos que, conhecido f , os coe&#xFB01;cientes de 8.4 podem ser calculados e, reciprocamente, conhecidos os coe&#xFB01;cientes {Fn }n&#x2208;Z , f pode ser sintetizada por 8.4. Dessa forma, f e {Fn }n&#x2208;Z Z Z fornecem a mesma informa&#xB8;&#x2DC;o. Muda s&#xB4; o ponto de vista : um temporal, outro freq&#xA8; encial. ca o u Exemplo Consideremos a fun&#xB8;&#x2DC;o f : I &#x2192; I peri&#xB4;dica de per&#xB4; ca R R, o &#x131;odo 2, dada por f (t) = t , 0 &#x2264; t &lt; 2. O gr&#xB4;&#xFB01;co dessa fun&#xB8;&#x2DC;o &#xB4; mostrado na &#xFB01;gura 8.1. a ca e Figure 8.1: Exemplo de uma fun&#xB8;&#x2DC;o peri&#xB4;dica. ca o 58 (8.7)
• 60. S&#xB4;rie de Fourier de f na forma trigonom&#xB4;trica e e C&#xB4;lculo dos coe&#xFB01;cientes a 2 T 2 an = T 2 bn = T 2 ao = 2 f (t)dt = 0 tdt = 2. 0 2 2 2n&#x3C0;t f (t)cos( )dt = T 0 2 2n&#x3C0;t f (t)sen( )dt = T 0 2n&#x3C0;t tcos( )dt = T 0 2 2n&#x3C0;t tsen( )dt = T 0 2 tcos(n&#x3C0;t)dt = 0. 0 2 tsen(n&#x3C0;t)dt = 0 &#x2212;2 . n&#x3C0; Assim, +&#x221E; f (t) = 1 + n=1 &#x2212;2 sen(n&#x3C0;t). n&#x3C0; S&#xB4;rie de Fourier de f na forma exponencial e C&#xB4;lculo dos coe&#xFB01;cientes a Fn = e 1 T 2 f (t)e&#x2212;j 2n&#x3C0;t T dt = 0 1 Fo = T 2 0 1 2 2 te&#x2212;jn&#x3C0;t dt = 0 1 f (t)dt = 2 1 j n&#x3C0; ,n = 0 2 tdt = 1. 0 Assim, Fn = 1, n=0 1 j , n = 0. n&#x3C0; Temos, +&#x221E; f (t) = 1 + 1 jn&#x3C0;t je , n = 0. n&#x3C0; n=&#x2212;&#x221E; O espectro complexo de Fourier A expans&#x2DC;o em s&#xB4;rie de Fourier de uma fun&#xB8;&#x2DC;o peri&#xB4;dica &#xB4; a decomposi&#xB8;&#x2DC;o da fun&#xB8;&#x2DC;o em a e ca o e ca ca termos das suas componentes de v&#xB4;rias freq&#xA8;&#x2C6;ncias. Uma fun&#xB8;&#x2DC;o peri&#xB4;dica de per&#xB4; a ue ca o &#x131;odo T tem 1 componentes de freq&#xA8;&#x2C6;ncias dadas por n&#x3BD;, onde &#x3BD; = T e n &#x2208; Z Em termos das freq&#xA8;&#x2C6;ncias ue Z. ue 2&#x3C0; angulares (ou pulsa&#xB8;&#x2DC;es), as componentes s&#x2DC;o dadas por n&#x3C9;o onde &#x3C9;o = T = 2&#x3C0;&#x3BD; e n &#x2208; Z co a Z. Chamamos de espectro da fun&#xB8;&#x2DC;o f o conjunto de todos os coe&#xFB01;cientes de Fourier Fn , n &#x2208; ca Z Se especi&#xFB01;carmos f podemos encontrar seu espectro. Reciprocamente, se o espectro for Z. conhecido podemos encontrar a fun&#xB8;&#x2DC;o f correspondente. ca 59
• 61. Portanto, podemos especi&#xFB01;car f de duas formas: a representa&#xB8;&#x2DC;o no dom&#xB4; ca &#x131;nio do tempo, onde f &#xB4; expressa como fun&#xB8;&#x2DC;o do tempo e a representa&#xB8;&#x2DC;o no dom&#xB4; e ca ca &#x131;nio da freq&#xA8;&#x2C6;ncia, onde o ue espectro &#xB4; especi&#xFB01;cado. e Observamos que o espectro de uma fun&#xB8;&#x2DC;o peri&#xB4;dica n&#x2DC;o &#xB4; uma curva cont&#xB4; ca o a e &#x131;nua, mas existe 2&#x3C0; apenas para valores discretos de &#x3C9;, m&#xB4; ltiplos de uma freq&#xA8;&#x2C6;ncia b&#xB4;sica &#x3C9;o = T ( &#x3C9; = n&#x3C9;o , n &#x2208; u ue a Z Os coe&#xFB01;cientes Fn s&#x2DC;o complexos e, s&#x2DC;o descritos por uma magnitude e uma fase. Z). a a Consideremos a fun&#xB8;&#x2DC;o dada por 8.7. Temos que ca Fn = 1, n=0 1 j , n = 0. n&#x3C0; Assim, &#xF8F1; &#xF8F2; 1 ,n = 0 1 | Fn |= ,n = 0 &#xF8F3; | n&#x3C0; | Fazendo &#x3C9; = n&#x3C9;0 = n &#xF8F1; n=0 &#xF8F4; 0, &#xF8F4; &#x3C0; &#xF8F2; , n positivo &#x2220;Fn = 2 &#xF8F4; &#x2212;&#x3C0; &#xF8F4; &#xF8F3; , n negativo. 2 e 2&#x3C0; = n&#x3C0;, temos : T &#xF8F1; &#xF8F2; 1 ,&#x3C9; = 0 1 | Fn |= ,&#x3C9; = 0 &#xF8F3; |&#x3C9;| &#xF8F1; &#xF8F4; 0 ,&#x3C9; = 0 &#xF8F4; &#x3C0; &#xF8F2; , &#x3C9; positivo &#x2220;Fn = 2 &#xF8F4; &#x2212;&#x3C0; &#xF8F4; &#xF8F3; , &#x3C9; negativo. 2 e Constru&#xB4; &#x131;mos os gr&#xB4;&#xFB01;cos de | Fn | e &#x2220;Fn , em termos da freq&#xA8;&#x2C6;ncia &#x3C9;, apresentando-os na a ue &#xFB01;gura 8.2. Figure 8.2: Amplitude e fase dos coe&#xFB01;cientes da s&#xB4;rie de Fourier. e 60
• 62. Consideremos, agora, a fun&#xB8;&#x2DC;o f : I &#x2192; I peri&#xB4;dica de per&#xB4; ca R R, o &#x131;odo T , dada por : f (t) = 1, &#x2212; &#x3C4; &#x2264; t &#x2264; &#x3C4; 2 2 0, &#x3C4; &lt; t &lt; T &#x2212; &#x3C4; . 2 2 (8.8) Essa fun&#xB8;&#x2DC;o &#xB4; conhecida como porta (gate) peri&#xB4;dica. Mostramos o seu gr&#xB4;&#xFB01;co na &#xFB01;gura 8.3. ca e o a Figure 8.3: Fun&#xB8;&#x2DC;o porta peri&#xB4;dica. ca o Os coe&#xFB01;cientes Fn da s&#xB4;rie de Fourier na forma exponencial s&#x2DC;o dados por: e a 2n&#x3C0;t 1 T &#x2212;&#x3C4; /2 1 f (t)e&#x2212;j T dt = T &#x2212;&#x3C4; /2 T &#x3C4; sen(n&#x3C9;o &#x3C4; /2) [ ] , n = 0, = T n&#x3C9;o &#x3C4; /2 &#x3C4; /2 e&#x2212;jn&#x3C9;o t dt Fn = e 1 Fo = T Dessa forma, T&#x2212;&#x3C4; 2 &#x2212;&#x3C4; 2 1 f (t)dt = T &#x3C4; 2 &#x2212;&#x3C4; 2 &#x2212;&#x3C4; /2 dt = (8.9) &#x3C4; . T &#xF8F1; &#x3C4; &#xF8F4; , n=0 &#xF8F2; T Fn = &#xF8F4; &#x3C4; sen(n&#x3C9;0 &#x3C4; /2) , n = 0. &#xF8F3; T n&#x3C9;0 &#x3C4; /2 (8.10) (8.11) De&#xFB01;nindo a fun&#xB8;&#x2DC;o Sa, conhecida como fun&#xB8;&#x2DC;o de amostragem, por ca ca Sa : I &#x2192; I R R 1, t=0 sent t&#x2192; , t=0 t e fazendo &#x3C9; = 2&#x3C0; , temos, T Fn = &#x3C4; n&#x3C0;&#x3C4; Sa ( ). T T 61 (8.12) (8.13)
• 63. A freq&#xA8;&#x2C6;ncia fundamental &#xB4; &#x3C9;o = ue e 2&#x3C0; . Se &#x3C9; = n&#x3C9;o , ent&#x2DC;o a T Fn = &#x3C4; &#x3C9;&#x3C4; Sa( ). T 2 (8.14) Mostramos o gr&#xB4;&#xFB01;co de Fn em termos da freq&#xA8;&#x2C6;ncia &#x3C9; na &#xFB01;gura 8.4. a ue Figure 8.4: Representa&#xB8;&#x2DC;o do espectro da fun&#xB8;&#x2DC;o porta peri&#xB4;dica. ca ca o Podemos observar que ` medida que T aumenta, a freq&#xA8;&#x2C6;ncia fundamental 2&#x3C0; se torna a ue T menor e o espectro torna-se, ent&#x2DC;o, mais denso. Intuitivamente, somos levados a pensar que a quando T tende ao in&#xFB01;nito temos, no dom&#xB4; do tempo, um unico pulso retangular de largura &#x131;nio &#xB4; &#x3C4; e no dom&#xB4; &#x131;nio da freq&#xA8;&#x2C6;ncia um espectro cont&#xB4; ue &#x131;nuo com componentes em todas as freq&#xA8;&#x2C6;ncias. ue Isso pode ser provador rigorosamente. 62
• 64. 8.3 Transformada de Fourier Quando o sinal com o qual estamos trabalhando for n&#x2DC;o-peri&#xB4;dico ele pode ser expresso a o como uma soma cont&#xB4; &#x131;nua (integral) de sinais exponenciais, em contraste com sinais peri&#xB4;dicos, o que podem ser representados por uma soma discreta de sinais exponenciais (s&#xB4;rie de Fourier e como j&#xB4; visto). Vejamos uma motiva&#xB8;&#x2DC;o para essa a&#xFB01;rma&#xB8;ao. a ca c&#x2DC; Consideremos uma fun&#xB8;&#x2DC;o f como mostra a &#xFB01;gura 8.5 . ca Figure 8.5: Gr&#xB4;&#xFB01;co da fun&#xB8;&#x2DC;o f . a ca Constru&#xB4; &#x131;mos uma nova fun&#xB8;&#x2DC;o, peri&#xB4;dica, fT com per&#xB4; ca o &#x131;odo T, de acordo com a &#xFB01;gura 8.6. Figure 8.6: Constru&#xB8;&#x2DC;o de uma fun&#xB8;&#x2DC;o peri&#xB4;dica a partir da fun&#xB8;&#x2DC;o f dada. ca ca o ca Tornamos o per&#xB4; &#x131;odo T grande o su&#xFB01;ciente para que n&#x2DC;o haja superposi&#xB8;&#x2DC;o entre os pulsos a ca da forma de f . Essa nova fun&#xB8;&#x2DC;o fT &#xB4; uma fun&#xB8;&#x2DC;o peri&#xB4;dica e pode ser representada por uma ca e ca o s&#xB4;rie exponencial de Fourier. e Numa topologia adequada, quando T &#x2192; &#x221E;, fT &#x2192; f . Desse modo, a s&#xB4;rie de Fourier que e representa fT tamb&#xB4;m representar&#xB4; f . e a A s&#xB4;rie de Fourier de fT &#xB4; dada por e e +&#x221E; Fn ejn&#x3C9;o t fT (t) = n=&#x2212;&#x221E; 63 (8.15)
• 65. onde &#x3C9;o = 2&#x3C0; T e Fn = T /2 1 T fT (t)e&#x2212;jn&#x3C9;o t dt. (8.16) &#x2212;T /2 Fa&#xB8;amos n&#x3C9;o = &#x3C9;n . Assim, Fn = Fn (&#x3C9;n ). c Consideremos T Fn (&#x3C9;n ) = F (&#x3C9;n ), que &#xB4; obviamente limitado (por constru&#xB8;&#x2DC;o). Temos, e ca 1 fT (t) = T Substituindo T = +&#x221E; F (&#x3C9;n )ej&#x3C9;n t . (8.17) F (&#x3C9;n )ej&#x3C9;n t &#x3C9;o . (8.18) n=&#x2212;&#x221E; 2&#x3C0; em 8.17 temos &#x3C9;o +&#x221E; 1 fT (t) = 2&#x3C0; n=&#x2212;&#x221E; Quando T &#x2192; &#x221E; , fT &#x2192; f e obtemos : f (t) = +&#x221E; 1 2&#x3C0; F (&#x3C9;)ej&#x3C9;t d&#x3C9; (8.19) &#x2212;&#x221E; e +&#x221E; f (t)e&#x2212;j&#x3C9;t dt. F (&#x3C9;) = (8.20) &#x2212;&#x221E; O espectro de f ser&#xB4; cont&#xB4; a &#x131;nuo e representado pela fun&#xB8;&#x2DC;o F . ca A equa&#xB8;&#x2DC;o 8.20 &#xB4; conhecida como transformada (direta) de Fourier de f e a equa&#xB8;&#x2DC;o 8.19 ca e ca como transformada inversa de Fourier de F . Simbolicamente podemos escrever F (&#x3C9;) = F [f (t)] (8.21) f (t) = F &#x2212;1 [F (&#x3C9;)]. (8.22) e Fazendo &#x3C9; = 2&#x3C0;&#x3BD; em 8.19 e 8.20 chegamos a uma formula&#xB8;&#x2DC;o sim&#xB4;trica, o fator 2&#x3C0; n&#x2DC;o aparece. ca e a +&#x221E; &#x2C6; F(&#x3BD;)ej2&#x3C0;&#x3BD;t d&#x3BD; (8.23) f (t)e&#x2212;j2&#x3C0;&#x3BD;t dt. f (t) = (8.24) &#x2212;&#x221E; e +&#x221E; &#x2C6; F(&#x3BD;) = &#x2212;&#x221E; Exist&#x2C6;ncia da transformada de Fourier e O espa&#xB8;o L1 (R) c O espa&#xB8;o L1 (R) &#xB4; o espa&#xB8;o de todas as fun&#xB8;&#x2DC;es f : I &#x2192; C tais que c e c co R R f dt &lt; &#x221E;. 64 (8.25)
• 66. O espa&#xB8;o L2 (R) c O espa&#xB8;o L2 (R) &#xB4; o espa&#xB8;o de todas as fun&#xB8;&#x2DC;es f : I &#x2192; C, tais que c e c co R R f 2dt &lt; &#x221E;. (8.26) Teorema: Se a fun&#xB8;&#x2DC;o f pertence ao espa&#xB8;o L1 (R) ent&#x2DC;o a transformada de f existe. ca c a Teorema: Se a fun&#xB8;&#x2DC;o f pertence ao espa&#xB8;o L2 (R) ent&#x2DC;o a transformada F, de f , existe e F &#x2208; L2 (R). ca c a Exemplos 1. Consideremos a fun&#xB8;&#x2DC;o G&#x3C4; (conhecida como fun&#xB8;&#x2DC;o porta) de&#xFB01;nida por ca ca 1, | t |&#x2264; &#x3C4; 2 0, | t |&gt; &#x3C4; . 2 G&#x3C4; (t) = (8.27) Figure 8.7: fun&#xB8;&#x2DC;o porta. ca Calculando a transformada de Fourier dessa fun&#xB8;&#x2DC;o, temos : ca &#x3C4; /2 F (&#x3C9;) = F {G&#x3C4; (t)} = &#x2212;j&#x3C9;t e dt = &#x3C4; Sen( &#x3C9;&#x3C4; ) 2 &#x2212;&#x3C4; /2 Para &#x3C9; = 0 temos : &#x3C9;&#x3C4; 2 , &#x3C9; = 0. (8.28) &#x3C4; /2 F {G&#x3C4; (t)} |&#x3C9;=0 = dt = &#x3C4;. &#x2212;&#x3C4; /2 Logo, F {G&#x3C4; (t)} = &#x3C4; Sa( &#x3C9;&#x3C4; ). 2 A &#xFB01;gura 8.8 mostra a representa&#xB8;&#x2DC;o do espectro da fun&#xB8;&#x2DC;o porta. Neste caso F &#xB4; uma ca ca e fun&#xB8;&#x2DC;o real. ca 65
• 67. Figure 8.8: Representa&#xB8;&#x2DC;o do espectro da fun&#xB8;&#x2DC;o porta. ca ca 2. Consideremos a fun&#xB8;&#x2DC;o f : I &#x2192; I de&#xFB01;nida por ca R R f (t) = e&#x2212;|t| . Calculando sua transformada de Fourier, obtemos : +&#x221E; F {e&#x2212;|t| } = e&#x2212;|t| e&#x2212;j&#x3C9;t dt = &#x2212;&#x221E; 2 . 1 + &#x3C9;2 3. Consideremos a fun&#xB8;&#x2DC;o f : I &#x2192; I de&#xFB01;nida por ca R R e&#x2212;t , t &gt; 0 0, t &#x2264; 0. f (t) = A sua transformada de Fourier &#xB4; dada por: e +&#x221E; F {f (t)} = e&#x2212;t e&#x2212;j&#x3C9;t dt = 0 1 . 1 + j&#x3C9; 4. Consideremos a fun&#xB8;&#x2DC;o G&#x3C4; : I &#x2192; I de&#xFB01;nida por ca R R 1, | &#x3C9; |&#x2264; &#x3C4; /2 0, | &#x3C9; |&gt; &#x3C4; /2. G&#x3C4; (&#x3C9;) = Desejamos calcular sua tranformada de Fourier inversa. Assim, F &#x2212;1 {G&#x3C4; (&#x3C9;)} = 1 2&#x3C0; &#x3C4; /2 ej&#x3C9;t d&#x3C9; = &#x2212;&#x3C4; /2 Para t = 0 temos : F &#x2212;1 1 {G&#x3C4; (&#x3C9;)} |t=0 = 2&#x3C0; 66 &#x3C4; Sen( t&#x3C4; ) 2 , t = 0. t&#x3C4; 2&#x3C0; 2 &#x3C4; /2 d&#x3C9; = &#x2212;&#x3C4; /2 1 &#x3C4;. 2&#x3C0;