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Fonction quadratique TS-4

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Résumé du chapitre sur la fonction quadratique en technico-sciences de secondaire 4.

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  1. 1. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Cette section contient les notions essentielles pour comprendre les fonctions quadratiques. En cliquant sur le bouton «théorie», il vous sera possible de choisir le sujet de votre choix.Théorie Veuillez noter qu’en tout temps, vous pourrez retourner au début de la section en cliquant sur le bouton . Exercices
  2. 2. UQTR Automne 2010La fonction quadratique Rappel des notions sur les fonctions. Secondaire 4 : technico-sciences. Références y x
  3. 3. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueRappel des notions sur les fonctionsQu’est-ce qu’une fonction?Une fonction est une relation entre deux ensembles qui associe àtout élément du premier ensemble un élément unique biendéterminé du deuxième ensemble.Pour vérifier si c’est véritablement une fonction dans le plan, onpeut faire le test de la droite verticale, expliqué à la prochaine page.
  4. 4. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueRappel des notions sur les fonctionsTest de la droite verticaleSi une droite verticale passant par tout point de l’axe des « x » coupele graphique en au plus un point, alors c’est une fonction. y y=x x
  5. 5. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueRappel des notions sur les fonctionsPour tracer une fonction à partir de son équation, on peut créerune table de valeurs afin de repérer facilement les coordonnéesdans le plan. f(x) = -3x + 6 y Pour x = 0 Pour x = 3 y = -3(0) + 6 y = -3(3) + 6 (0,6) y=6 y = -3 x x 0 1 2 3 f(x) 6 3 0 -3 (3,-3)
  6. 6. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueRappel des notions sur les fonctionsDans une fonction de la forme : y = ax + b, «b» est l’endroit où ladroite croise l’axe des y et «a» représente l’inclinaison de la droite.Si «a» est un nombre négatif, l’inclinaison de la droite sera vers lebas (de gauche à droite). y y = 2x y = 0,5x (0,-3) x y = -x - 3
  7. 7. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueLa fonction quadratique, aussi appelée « fonction pôlinomiale dedegré 2 », est une fonction dont la règle est un polynôme de degré 2 àune variable. La représentation graphique d’une fonction quadratiquedont la règle est de f(x) = a(bx)², où a et b n’égalent pas 0, est uneparabole dont le sommet se situe à l’origine du plan cartésien. f(x) = 3(2x)² y x -2 -1 0 1 2f(x) 48 12 0 12 48 x (-2,48) (2,48)
  8. 8. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueAfin de s’assurer que le modèle mathématique qui correspond à cettetable des valeurs est une fonction quadratique, il suffit de vérifier que lesaccroissements des accroissements de la variable dépendante sontconstants pour des accroissements constants de la variable indépendante.Dans l’exemple ci-dessous, pour des accroissements de +1 de la variableindépendante «x», les accroissements des accroissements de la variabledépendante sont constants (+24). +1 +1 +1 +1 x -2 -1 0 1 2 f(x) 48 12 0 12 48 -36 -12 +12 +36 +24 +24 +24
  9. 9. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueIl existe une autre forme de la règle de la fonction quadratique de laforme f(x) = a(bx)². Il suffit d’appliquer la loi des exposants pour enarriver à une équation équivalente de la forme f(x) = ax². f(x) = 5(3x)² f(x) = 5(3²)(x²) f(x) = 5(9)(x²) f(x) = 45x²
  10. 10. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueLe rôle des paramètres de la fonction quadratique• Lorsque a < 0, la parabole est ouverte vers le bas.• Lorsque a > 0, la parabole est ouverte vers le haut. a<0 a>0 y y x x
  11. 11. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueLe rôle des paramètres de la fonction quadratique• Lorsque |a| > 1, la parabole est moins ouverte que lorsque a = 1. f g h y Si a < 0, les paraboles auront la même ouverture, mais elles seront x orientées vers le f(x) = x² bas. g(x) = 2x² h(x) = 4x²
  12. 12. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueLe rôle des paramètres de la fonction quadratique• Lorsque |a| < 1, la parabole est plus ouverte que lorsque a = 1. g f y h Si a < 0, les paraboles auront la même ouverture, mais f(x) = x² x elles seront g(x) = 0,5x² orientées vers le h(x) = 0,25x² bas.
  13. 13. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueComment trouver la règle d’une fonction quadratique?Il est possible de déterminer la règle d’une fonction quadratique dela forme f(x) = ax² à partir de sa table de valeurs. Voici les étapes :1) Substituer les coordonnées d’un point de la table de valeurs à x et à f(x) dans la règle f(x) = ax².2) Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 afin de déterminer la valeur de a.3) Écrire la règle sous la forme f(x) = ax² avec la valeur de a déterminée à l’étape 2.
  14. 14. UQTR Automne 2010La fonction quadratiqueComment trouver la règle d’une fonction quadratique? x -2 -1 0 1 2 * Il est possible de faire les mêmes étapes f(x) 48 12 0 12 48 à partir d’un f(x) = ax² graphique étape 1: 48 = a(-2)² dont on connaît un étape 2: 48 = 4a point autre que le a = 12 sommet.* étape 3: f(x) = 12x² Exercices
  15. 15. UQTR Automne 2010Exercices#1 Voici la règle d’une fonction quadratique : f(x) = 4(2x)². Complète la table de valeurs suivante. x -2 -1 0 1 2 f(x)
  16. 16. UQTR Automne 2010Exercices#2 Écris les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme f(x) = ax². a) f(x) = 4(5x)² b) f(x) = -6(2x)² c) f(x) = 0,5(-4x)²
  17. 17. UQTR Automne 2010Exercices#3 Détermine la règle des fonctions quadratiques suivantes. a) x 0 1 2 3 4 f(x) 0 4 16 36 64 b) x -2 -1 0 1 2 f(x) -10 -2,5 0 -2,5 -10
  18. 18. UQTR Automne 2010Exercices#4 Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une fonction. x -5 2 6 10 f(x) 0 6 54 Reproduis et complète la table de valeurs en considérant que f est une fonction: a) affine (une droite de la forme f(x) = ax+b); b) quadratique de la forme f(x) = ax².
  19. 19. UQTR Automne 2010Corrigé des exercices#1 Voici la règle d’une fonction quadratique : f(x) = 4(2x)². Complète la table de valeurs suivante. x -2 -1 0 1 2 f(x) 64 16 0 16 64
  20. 20. UQTR Automne 2010Corrigé des exercices#2 Écris les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme f(x) = ax². a) f(x) = 4(5x)² f(x) =100x² b) f(x) = -6(2x)² f(x) = -24x² c) f(x) = 0,5(-4x)² f(x) = 8x²
  21. 21. UQTR Automne 2010Corrigé des exercices#3 Détermine la règle des fonctions quadratiques suivantes. a) x 0 1 2 3 4 f(x) = 4x² f(x) 0 4 16 36 64 b) x -2 -1 0 1 2 f(x) = -2,5x² f(x) -10 -2,5 0 -2,5 -10
  22. 22. UQTR Automne 2010Corrigé des exercices#4 Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une fonction. a) Il faut trouver la règle de la fonction affine de la forme f(x) = ax + b. Ensuite, on peut déterminer les valeurs manquantes algébriquement. La règle de la fonction affine est f(x) = 12x – 18. x -5 1,5 2 6 10 f(x) -78 0 6 54 102
  23. 23. UQTR Automne 2010Corrigé des exercices#4 Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une fonction. b) Il faut trouver la règle de la fonction quadratique de forme f(x) = ax². Ensuite, on peut déterminer les valeurs manquantes algébriquement. La règle de la fonction quadratique est f(x) = 1,5x². x -5 0 2 6 10 f(x) -37,5 0 6 54 150
  24. 24. UQTR Automne 2010Références• Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M., Marotte, L. & Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2ème cycle du secondaire, 2ème année, manuel de l’élève B. Technico- sciences. Montréal: Chenelière Éducation inc.• Desraps, R., Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M., Marotte, L. & Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2ème cycle du secondaire, 2ème année, guide d’accompagnement pédagogique. Technico-sciences. Montréal: Chenelière Éducation inc.
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