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  1. FÓRMULASMATEMÁTICAS
  2. FÓRMULAS MATEMÁTICASIDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓNDepartamento de Creación Editorial de Lexus Editores© LEXUS EDITORES S.A.Av. Del Ejército 305 Miraflores, Lima-Perúwww.lexuseditores.comPrimera edición, febrero 2008Hecho el Depósito Legal en la BibliotecaNacional del Perú: 2008-01603ISBN: 978-9972-209-54-3 EDICIÓN 2008
  3. PRESENTACIÓNAl igual que René Descartes, gran matemático y filósofo del siglo XVII, quien hubiera pre-ferido una ciencia única o “matemática universal”, que explique el orden y la medida de lanaturaleza, sin importar si la unidad de medida son números, o ecuaciones o gráficos, elpresente “Formulario Matemático” pretende realizar una exposición de todos los métodosmatemáticos en un solo documento.Como es habitual, Editorial Lexus pone a disposición del estudiante avanzados recursos quecontribuirán a minimizar diferencias teóricas y prácticas entre el nivel secundario y la uni-versidad. Se ha pretendido crear un manual educativo para que el alumno en la etapa pre-universitaria, a través de la práctica directa de sus ejercicios, pueda auto-evaluarse y pronos-ticar sus capacidades con vistas a iniciar sus estudios superiores. Y, al mismo tiempo, servircomo obra de consulta general.La preparación de esta formidable obra ha sido posible debido a la participación de un selec-to equipo de estudiantes universitarios y calificados docentes especialistas. Este libro resu-me más de 4 mil maravillosos años de investigación matemática. Desde las antiguas aritmé-tica y álgebra, escudriñadas por babilonios y egipcios hasta las modernas técnicas y aplica-ciones, que permiten actividades cotidianas de complicado análisis, como el pronóstico deltiempo, el movimiento bancario o la telefonía móvil, imposibles sin el concurso de todas lasdisciplinas matemáticas.Este manual incluye secciones de Física y Química pues, como señalaba Von Neumann, lasmatemáticas poseen una doble naturaleza: las matemáticas como cuerpo científico propio,independientes de otros campos, y las matemáticas relacionadas con las ciencias naturales.De hecho, muchos de los mejores resultados alcanzados en las matemáticas modernas hansido motivados por las ciencias naturales y, similarmente, hay una tremenda matematización 1de las partes teóricas de dichas ciencias .El método práctico utilizado en toda la extensión de esta obra, conduce al lector de unamanera didáctica a lo largo de la asignatura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo,con numerosos ejercicios resueltos y propuestos. La resolución de problemas y el repasoteórico no dudamos que le darán al estudiante una base muy sólida para que destaque enlas aulas universitarias de pre-grado o post-grado. Los Editores1 Referencias históricas consultadas en: José M. Méndez Pérez. “Las Matemáticas: su Historia, Evolución y Aplicaciones”.Archivo online: http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/HasierakoIkasgaiak/Mendez2003-04-extendida.doc.
  4. SUMARIO Pag.Aritmética … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15Definición, Lógica matemática, Proporciones lógicas, Conectivos lógicos ………………… 15Proporciones simples, Proporciones compuestas básicas … … … … … … … … … … … … … 16Tablas de verdad de las proporciones compuestas básicas ……………………………… 16Tipo de proporciones, Tautología …………………………………………………… 16Contradicción, Contingencia … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17Leyes lógicas principales …………………………………………………………… 17Teoría de conjuntos, Conceptos básicos, Formas de expresar un conjunto … … … … … … … 19Principales símbolos ……………………………………………………………… 19Notación de los conjuntos, La recta real … … … … … … … … … … … … … … … … … … 20Características de los conjuntos, Relaciones entre conjuntos …………………………… 21Conjunto de conjunto o conjunto de partes, Potencia de un conjunto …………………… 21Diagramas de Venn, Operaciones con conjuntos ……………………………………… 22Unión de conjuntos, Intersección de conjuntos, Diferencia de conjuntos ………………… 22Complemento de un conjunto, Diferencia simétrica …………………………………… 23Producto cartesiano de dos conjuntos, Relaciones … … … … … … … … … … … … … … … 23Tipos de relaciones en un conjunto, Reflexiva, Simétrica, Transitiva … … … … … … … … … 24Funciones, Definición, Sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … 25Numeración, Definición …………………………………………………………… 25Formación de un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Convención, Cifras mínimas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Operaciones aritméticas básicas no decimales ………………………………………… 27Suma, Resta, Multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 27División, Cambios de base de un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … 28Cambios de base se un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … 28Conteo de cifras al escribir la serie natural … … … … … … … … … … … … … … … … … 29Sumatoria de primeros números de la serie natural en base 10 … … … … … … … … … … … 29Operaciones básicas sobre números reales …………………………………………… 30Suma o adición, Resta o sustracción ………………………………………………… 30La multiplicación, La división ……………………………………………………… 31Alternaciones de los términos de una división ………………………………………… 32Relaciones notables de las cuatro operaciones ………………………………………… 33Propiedades de los números, Divisibilidad (en Z), Divisor, Múltiplo … … … … … … … … … 33Propiedades de la divisibilidad, Reglas prácticas de divisibilidad ………………………… 34
  5. Números congruentes, Números primos (en )………………………………………… 35Números compuestos, Criba de Eratóstenes, Reglas para su construcción ………………… 36Fórmulas generales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 36Máximo común divisor(M.C.D.), Mínimo común múltiplo(m.c.m.) … … … … … … … … … 37Propiedades, Números racionales(fracciones) ………………………………………… 38Fracciones ordinarias, Clasificación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 38Fracciones decimales, Clasificación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 39Transformación de fracciones, Potencia y radicación de cuadrados y cubos … … … … … … … 40Cuadrado y raíz cuadrada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 40Cuadrado, Cuadrado perfecto, Raíz cuadrada ………………………………………… 40Cubo, Raíz cúbica, Sistema de medidas, Sistemas tradicionales … … … … … … … … … … … 41Sistema métrico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 41Medidas agrarias, Medidas de volumen, Medidas de capacidad, Medidas de peso … … … … … 42Sistema español, Superficie, Agraria, Volumen, Peso …………………………………… 42Sistema inglés, Longitud, Sueperficie, Agraria ………………………………………… 42Volumen, Capacidad, Sistema Avoirdupois, Densidad de algunos cuerpos ………………… 43Relaciones entre longitud y tiempo, Dimensiones geográficas …………………………… 43Sistema internacional(S.I.), Unidades de bases … … … … … … … … … … … … … … … … 43Unidades suplementarias, Razones y proporciones, Razones … … … … … … … … … … … … 44Propiedades y leyes, Proporciones, Proporción artimética ……………………………… 44Proporción geométrica, Clases de proporciones según sus términos ……………………… 44Términos notables, Promedios, Propiedades de las proporciones geométricas … … … … … … 45Magnitudes proporcionales, Regla de tres, Regla de tres simple … … … … … … … … … … … 46Regla del tanto por ciento, Regla de tres compuesta …………………………………… 46Aritmética mercantil, Interés simple, Interés o rédito … … … … … … … … … … … … … … 46Fórmulas básicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 46Descuento, Descuento comercial, Descuento racional … … … … … … … … … … … … … … 47Comparación del descuento comercial con el descuento racional … … … … … … … … … … 48Vencimiento común, Descuentos sucesivos, Aumentos sucesivos … … … … … … … … … … 48Repartimiento proporcional, Tipología … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 49Repartimiento proporcional compuesto … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50Aplicaciones, Regla de compañía o de sociedad, Regla de compañía compuesta …………… 50Regla de mezcla o aligación, Mezcla, Regla de mezcla directa …………………………… 50Regla de mezcla inversa, Aleación, Ley de aleación … … … … … … … … … … … … … … … 51Aleación directa, Aleación inversa, Cambios en la ley de una aleación …………………… 51Aumento de la ley de una aleación, Disminución de la ley de una aleación … … … … … … … 51Ley de kilates … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 52
  6. Álgebra … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53Definición, Notación usada en el álgebra … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53Operaciones fundamentales con los números relativos … … … … … … … … … … … … … 54Suma, Sustracción, Multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 54División, Potencia, Raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Expresiones algebraicas, Principales conceptos, Término algebraico … … … … … … … … … 55Expresión algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Clasificación de las expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Racionales, Irracionales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Teoría de exponentes, Operaciones de exponentes, Ley de signos … … … … … … … … … … 56Ecuaciones Exponenciales, Valor numérico … … … … … … … … … … … … … … … … … 57Grado de las expresiones algebraicas, Grados … … … … … … … … … … … … … … … … 57Grados de un monomio, Grados de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … 57Polinomios, Notación polinómica, Polinomios especiales … … … … … … … … … … … … … 58Polinomios ordenados, Polinomio completo … … … … … … … … … … … … … … … … … 58Polinomio Homogéneo, Polinomios idénticos … … … … … … … … … … … … … … … … 58Polinomio idénticamente nulo, Polinomio entero en “x” … … … … … … … … … … … … … 59Operaciones con expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 59Suma y resta de expresiones algebraicas, Supresión de signos de colección … … … … … … … 59Multiplicación de expresiones algebraicas, Propiedades de la multiplicación … … … … … … 59Casos en la multiplicación, Productos notables … … … … … … … … … … … … … … … … 60División algebraica, Propiedades de la división … … … … … … … … … … … … … … … … 61Casos en la división, División de dos monomios … … … … … … … … … … … … … … … 61División de polinomios, Método normal … … … … … … … … … … … … … … … … … … 61Método de coeficientes separados, Método de Horner … … … … … … … … … … … … … … 62Método o regla de Rufinni … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 63Teorema del resto, Divisibilidad y cocientes notables … … … … … … … … … … … … … … 65Principios de la divisibilidad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 65Cocientes notables(CN), Forma general de los cocientes notables … … … … … … … … … … 66Regla práctica para desarrollar cualquier cociente notable … … … … … … … … … … … … 66Métodos de factorización, Factor común, … … … … … … … … … … … … … … … … … … 67Método de identidades, Método del aspa … … … … … … … … … … … … … … … … … … 68Método de evaluación o de divisores binomios … … … … … … … … … … … … … … … … 69Método de artificios de cálculo, Sumas y restas, Cambio de variable … … … … … … … … … 70Factorización recíproca, Factorización simétrica alternada … … … … … … … … … … … … 71Polinomio simétrico, Polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … … … … 71Propiedades de las expresiones y los polinomios simétricos y alternos … … … … … … … … 71Factorización de un polinomio simétrico y alternado … … … … … … … … … … … … … … 72Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo … … … … … … … … … … … … … … … 72Fracciones algebraicas, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 73
  7. Cambios de signo en una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 73Simplificación de fracciones, Binomio de Newton … … … … … … … … … … … … … … … 73Análisis combinatorio, Factorial de un número … … … … … … … … … … … … … … … … 73Variaciones, Permutaciones, Combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Propiedades de las combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Desarrollo del binomio de Newton, Método inductivo … … … … … … … … … … … … … … 75Propiedades del Binomio de Newton ………………………………………………… 76Cálculo de término general t(k+1) , Término central … … … … … … … … … … … … … … 76Término de Pascal o de Tartaglia, Procedimiento ……………………………………… 77Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario ……………… 77Radicación, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 77Elemento de una raíz, Signo de las raices … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78Radicación de expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78Raíz de un monomio, Raíz cuadrada de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … 78Raíz cúbica de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 79Descomposición de radicales dobles en simples … … … … … … … … … … … … … … … … 80Operaciones con radicales, Conceptos básicos ………………………………………… 81Radicales homogéneos, Homogenización de radicales … … … … … … … … … … … … … … 81Radicales semejantes, Teorema fundamental de los radicales … … … … … … … … … … … … 81Operaciones algebraicas con radicales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 81Suma y resta de radicales, Multiplicación de radicales … … … … … … … … … … … … … … 81División de radicales, Potencia de radicales, Raíz de radicales …………………………… 82Fracción irracional, Racionalización, Factor racionalizante (F.R.) … … … … … … … … … … 82Racionalización del denominador de una fracción, Primer caso, Segundo caso … … … … … … 82Tercer caso. Cuarto caso, Verdadero valor de fracciones algebraicas ……………………… 83Verdadero valor (V.V.), Cálculo del verdadero valor … … … … … … … … … … … … … … … 84Cantidades imaginarias, Conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 85Números complejos, Representación gráfica de un complejo …………………………… 86Operaciones con complejos, Determinantes, Matriz …………………………………… 87Determinante, Orden del determinante ……………………………………………… 88Método para hallar el valor de un determinante, Regla de Sarrus ………………………… 88Forma práctica de la regla de Sarrus, Menor complementario …………………………… 89Propiedades de los determinantes, Ecuaciones y sistemas de ecuaciones … … … … … … … … 90Clases de igualdad ………………………………………………………………… 90Principios fundamentales de las igualdades para la trasformación de ecuaciones … … … … … 91Sistema de ecuaciones, Clasificación de los sistemas de ecuaciones ……………………… 91Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, Método de sustitución … … … … … … 91Método de igualación, Método de reducción, Método de los determinantes … … … … … … … 92Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadráticas … … … … … … … … … … … … … 93
  8. Ecuaciones de segundo grado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 93Discusión del valor de las raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 94Propiedades de las raíces, Ecuaciones bicuadradas … … … … … … … … … … … … … … … 94Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … 95Ecuaciones recíprocas, Ecuaciones binomias y trinomias … … … … … … … … … … … … … 95Ecuaciones que se resuelven mediante artificio, Desigualdad e inecuaciones … … … … … … 96Desigualdad, Propiedades de las desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … 96Clases de desigualdades, Inecuaciones de primer grado con una incógnita … … … … … … … 97Solución de una inecuación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 97Sistema de inecuaciones con una incógnita, Inecuaciones de segundo grado … … … … … … 98Progresiones, Definición, Progresión aritmética “P.A.” … … … … … … … … … … … … … … 99Progresión geométrica “P.G.” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 100Logaritmos, Principales conceptos, Sistema de logaritmos … … … … … … … … … … … … 101Propiedades de logaritmos, Cologaritmo, Antilogaritmo … … … … … … … … … … … … … 102Cambio de un sistema de logaritmos a otro, Logaritmos como progresiones … … … … … … 102Sistema de logaritmos neperianos, Sistema de logaritmos decimales … … … … … … … … … 103Interés compuesto y anualidades, El interés compuesto … … … … … … … … … … … … … 104Anualidad de capitalización(Ac), Anualidad de amortización(Aa) … … … … … … … … … … 105Geométria … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 106Definición, Geométria plana, Ángulos, Teoremas básicos … … … … … … … … … … … … … 106Teoremas básicos, Teoremas auxiliares … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 106Valor de los ángulos en la circunferencia … … … … … … … … … … … … … … … … … … 107Distancia de un punto a una recta, Triángulos, Líneas principales del triángulo … … … … … 108Altura, Mediana … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 108Mediatriz, Bisectriz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 109Igualdad de triángulos, Teoremas derivados de la igualdad de triángulos ………………… 110Semejanza de triángulos, Teoremas derivados de la semejanza de triángulos … … … … … … 111Teorema de Thales, Teorema de Menelao, Teorema de Ceva … … … … … … … … … … … … 111Relaciones métricas en el triángulo rectángulo … … … … … … … … … … … … … … … … 112Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo … … … … … … … … … … … … … … … 112Relación de lados con la mediana, Relación de lados de ángulos: 30º, 60º, 90º … … … … … … 113Relación de lados con segmentos determinados por la bisectriz … … … … … … … … … … 114Relación de lados con bisectriz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 114Relación de lados en desigualdad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 115Circunferencia, Posiciones relativas de dos circunferencias … … … … … … … … … … … … 115Circunferencias ortogonales, Cuadrilátero inscrito a una circunferencias ………………… 116Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, Propiedades de las tangentes … … … … … … 116Teoremas fundamentales en la circunferencia … … … … … … … … … … … … … … … … 117Líneas proporcionales en el círculo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 117Potencia de un punto, Lugar geométrico, Eje radical … … … … … … … … … … … … … … 118
  9. Posiciones del eje radical, Propiedades del eje radical … … … … … … … … … … … … … … 119Centro radical, Mediana y extrema razón de un segmento o sección aúrea … … … … … … … 119División armónica de un segmento, Haz armónico … … … … … … … … … … … … … … … 120Polígonos, Definición y conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 120Cálculo de los elementos de los polígonos irregulares … … … … … … … … … … … … … … 121Valor de los elementos de los polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … 121Conclusiones sobre los polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … … … 123Área de las regiones planas, Región … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 124Relaciones de áreas de triángulos, Propiedades de los cuadriláteros … … … … … … … … … 125Teorema de Euler, Teorema de Ptolomeo(1), Teorema de Ptolomeo(2) … … … … … … … … 125Semejanza de polígonos, Áreas de las regiones curvas … … … … … … … … … … … … … … 126Geometría del espacio, Teoremas fundamentales, Ángulo triedro, Poliedros … … … … … … … 127Teorema de Euler, Poliedro regular … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 128Prisma, Prisma regular, Cálculo de los elementos de los poliedros … … … … … … … … … … 129Tronco de prisma, Pirámide, Pirámide regular … … … … … … … … … … … … … … … … 130Pirámide irregular, Semejanza de pirámides, Tronco de pirámide … … … … … … … … … … 131El cono, Definiciones, Cono de revolución … … … … … … … … … … … … … … … … … 132Cono oblícuo, Semejanza de conos, Tronco de cono … … … … … … … … … … … … … … 132El cilindro, Cilindro recto, Cilindro oblícuo, Tronco de cilindro … … … … … … … … … … 134La esfera, Superficie y volumen de la esfera, Partes de área de esfera … … … … … … … … … 135Partes de volúmenes de una esfera, Segmento esférico, Cuña esférica … … … … … … … … 136Sector esférico, Anillo esférico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 137Sólidos de revolución, Teorema de Guldin Pappus (Áreas) … … … … … … … … … … … … 138Teorema de Guldin Pappus (volumen) … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 138Leyenda general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139Trigonometría … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 140Definición, Medida de ángulos, Sistemas de medición de ángulos … … … … … … … … … … 140Sexagesimal, Centesimal, Radial, Equivalencia entre los tres sistemas … … … … … … … … 140Longitud de un arco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 140Funciones trigonométricas en el triágulo rectángulo, Funciones básicas … … … … … … … … 140Tabla de valores de funciones trigonométricas de triángulos notables … … … … … … … … … 141Ángulos directrices … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142Signo de las funciones trigonométricas según el cuadrante … … … … … … … … … … … … 143Variación de las funciones trigonométricas según el cuadrante … … … … … … … … … … … 144Intervalo de las funciones trigonométricas … … … … … … … … … … … … … … … … … 144Dominio y rango de las funciones trigonométricas … … … … … … … … … … … … … … … 144Relación de funciones trigonométricas en términos de una sola … … … … … … … … … … 145Arcos compuestos, Funciones de la suma y diferencia de arcos … … … … … … … … … … … 146
  10. Funciones de la suma de tres arcos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 146Funciones de arcos dobles, Funciones de arco mitad, Funciones de arcos triples … … … … … 147Funciones auxiliares, Transformación a producto … … … … … … … … … … … … … … … 147Limites trigonométricos, Funciones trigonométricas inversas … … … … … … … … … … … 148Dominio y rango de las funciones inversas … … … … … … … … … … … … … … … … … 149Ecuaciones trigonométricas, Solución de las ecuaciones … … … … … … … … … … … … … 150Resolución de triángulos, Triángulos oblicuángulos … … … … … … … … … … … … … … 150Cálculo de ángulos (fórmula de Briggs), Cálculo de superficies … … … … … … … … … … 151Elementos secundarios en la solución de triángulos, Radios … … … … … … … … … … … … 152Radios circunscritos, Radio inscrito o inradio, Radio ex-inscrito … … … … … … … … … … 152Cevianas, Altura, Mediana, Bisectriz interior … … … … … … … … … … … … … … … … … 153Bisectriz exterior, Cuadriláteros convexos, Superficies … … … … … … … … … … … … … … 154Cuadrilátero inscrito o ciclíco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 154Cuadrilátero circunscrito, Polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … … 155Problema de Pothenot-Snellius … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 155Física … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 156Definiciones, Ecuaciones dimensionales, Sistema de unidades … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema absoluto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema técnico gravitacional o práctico … … … … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema internacional de medida “SI”, Unidades suplementarias … … … … … … 157Unidades derivadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157Convenciones básicas, Vectores, Magnitud, Representación gráfica de un vector … … … … … 158Suma y resta de vectores, Métodos geométricos … … … … … … … … … … … … … … … … 158Método del paralelogramo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159Métodos analíticos, Dirección de la resultante … … … … … … … … … … … … … … … … 160Mecánica, Cinemática … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 161Conceptos, Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) … … … … … … … … … … … … … … 162Movimiento variado, Aceleración … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 162Movimiento vertical, Movimiento compuesto, Movimiento parabólico … … … … … … … … 163Movimiento circunferencial uniforme (M.C.U.) … … … … … … … … … … … … … … … … 164Velocidad o rapidez angular y período … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 164Movimiento circunferencial uniformemente variado (M.C.U.V.) … … … … … … … … … … 165Estática, Fuerza, Resultantes de un sistema de fuerzas … … … … … … … … … … … … … 165Condiciones de equilibrio en un cuerpo, Teorema de Lamy … … … … … … … … … … … … 167Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) o diagrama libre … … … … … … … … … … … … … … 168Descomposición de fuerzas en sus componentes rectangulares … … … … … … … … … … … 168Máquinas simples, Tipo palanca … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169Tipo plano inclinado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 171
  11. Dinámica, Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 172Segunda ley de Newton, Unidades de fuerza … … … … … … … … … … … … … … … … … 173Rozamiento, fuerza de rozamiento o fricción … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Dinámica de rotación o rotación dinámica … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Momentos de inercia de algunos sólidos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175Centro de gravedad, Teorema de Varignon … … … … … … … … … … … … … … … … … 176Posición del centro de gravedad, Centros de gravedad de figuras grométricas … … … … … … 177Trabajo, Potencia y Energía. Trabajo, Unidades de trabajo, … … … … … … … … … … … … 180Equivalencias de unidades de trabajo, Potencia, Unidades de potencia, Energía … … … … … 180Energía potencial (Ep), Energía cinética (Ec) … … … … … … … … … … … … … … … … 181Trabajo transformado o energía trasnformada, Trabajo en las rotaciones … … … … … … … … 181Energía cinética de rotación, Impulso y cantidad de movimiento … … … … … … … … … … 182El movimiento oscilatorio y el péndulo, Péndulo simple … … … … … … … … … … … … … 182Elementos de un péndulo simple, Leyes del péndulo … … … … … … … … … … … … … … 182Péndulo que bate segundos, Fórmula general del péndulo … … … … … … … … … … … … 183Movimiento armónico simple o movimiento vibratorio armónico … … … … … … … … … … 183Resortes, Fuerzas deformadora: Ley de Hooke … … … … … … … … … … … … … … … … 184Velocidad, Aceleración, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … … … … … 184Cálculo de la velocidad “V”, Cálculo de la aceleración … … … … … … … … … … … … … 184Velocidad y aceleración máximas, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … 184Densidad y peso específico, Relación entre densidad y peso específico … … … … … … … … 185Estática de los fluídos, Conceptos y definiciones, Presión … … … … … … … … … … … … 185Principio de Pascal, Prensa hidráulica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 185Principio de la hidrostática, Presión hidrostática … … … … … … … … … … … … … … … 186Ley fundamental de la hidrostática, Principio de Arquímides … … … … … … … … … … … 186Relación entre el empuje y el peso específico de líquidos, Neumología … … … … … … … … 187El calor, Dilatación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 187Calorimetría, Unidades para medir el calor, Calor específico “Ce” … … … … … … … … … … 188Calor sensible “Q” (calor ganado o perdido) … … … … … … … … … … … … … … … … … 189Teorema fundamental de la calorimetría, Capacidad calorífica “Cc” … … … … … … … … … 189Temperatura de equlibrio de una mezcla, Temperatura final “tf” … … … … … … … … … … 189Cambios de fase, Calores latentes, Transmisión de calor … … … … … … … … … … … … … 189Transmisión del calor por conducción, Cantidad de calor trasmitido “Q” … … … … … … … 190Trabajo mecánico del calor … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 190Termodinámica, Trabajo realizado por un gas “W” … … … … … … … … … … … … … … … 190Calor absorbido por un gas “G”, Primera ley de la termodinámica … … … … … … … … … … 191Segunda ley de la termodinámica (Rudolf Clausius 1850) … … … … … … … … … … … … 191Electrostática, Primera ley de la electrostática … … … … … … … … … … … … … … … … 191Tabla triboeléctrica, Segunda ley de la electrostática:Ley de Coulomb …………………… 191Primitividad, Unidades eléctricas coulomb “C” … … … … … … … … … … … … … … … … 192Campo eléctrico, Campo de cargas iguales … … … … … … … … … … … … … … … … … 193
  12. Campo de cargas distintas, Intensidad del campo eléctrico … … … … … … … … … … … … 193Potencial eléctrico, Diferencia de potencial … … … … … … … … … … … … … … … … … 194Trabajo eléctrico, Capacidad eléctrica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 195Capacidad de los conductores aislados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 195Capacidad de uns esfera aislada, Condensadores … … … … … … … … … … … … … … … 196Capacidad de un condensador, Capacidad de un condensador plano … … … … … … … … … 196Capacidad de condensador esférico y cilíndrico, Asociación de condensadores … … … … … 197Energía de un condensador, Electrodinámica … … … … … … … … … … … … … … … … 198Corriente eléctrica, Partes de un ciruito eléctrico … … … … … … … … … … … … … … … 198Resistencia de los conductores, Ley de Pouillet, Conductancia … … … … … … … … … … … 199Asociación de resistencias, En serie … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 199En paralelo, Fuerza electromotriz y resistencia total en un circuito … … … … … … … … … 200Corrientes derivadas, Ley de Kirchoff, Puente de Wheatstone … … … … … … … … … … … 200Energía y potencia de la corriente eléctrica, Potencia de la corriente eléctrica … … … … … … 201Efecto Joule o ley de Joule, Rendimiento de la corriente eléctrica … … … … … … … … … … 202Magnetismo y electromagnetismo, Magnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … 202Líneas de fuerza de un campo magnético, Leyes magnéticas … … … … … … … … … … … … 202Intensidad “B” de un punto del campo magnético … … … … … … … … … … … … … … … 203Intensidad de campo magnético producida por un polo, Flujo magnético … … … … … … … 203Densidad magnética “B”, Electromagnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … 204Efecto Oersted, Regla de la mano derecha (de Ampere), Ley de Biot y Savart … … … … … … 204Intensidad de campo creada por un conductor circular … … … … … … … … … … … … … 204Ley de la circulación de Ampere … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 205Bobina, Solenoide anular o toroidal de Rowland … … … … … … … … … … … … … … … 205Densidad del flujo inducido “B” a través del núcleo, Efecto Faraday … … … … … … … … … 206Ley de Faraday, Óptica, Velocidad de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … 207Unidad de intensidad de la luz, Iluminación, Unidad de iluminación “E” … … … … … … … 207Flujo luminoso “f”, Intensidad luminosa “I”, Flujo de intensidad “fT” … … … … … … … … 208Reflexión de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 208Leyes de la reflexión regular, Espejos, Espejos planos, Espejos esféricos … … … … … … … … 209Elementos de un espejo esférico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 209Rayos principales, Posición del objeto y la imagen en un espejo cóncavo … … … … … … … 210Refracción de la luz, Indices de refracción, Leyes de la refracción … … … … … … … … … … 212Ángulo límite y reflexión total “L” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 212Lámina de caras paralelas, Prisma óptico, Imágenes por refracción … … … … … … … … … 213Lentes, Elementos de las lentes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 214Rayos principales en las lentes convergentes y divergentes … … … … … … … … … … … … 214Construcción y posición de imágenes de lentes convergentes … … … … … … … … … … … 215Fórmula de Descartes para las lentes, Construcción de la imagen de una lente divergente … … 215Potencia de un lente, Aumento de la lente … … … … … … … … … … … … … … … … … 215Lentes gruesas de dos caras de cobertura, Potencia de lentes de contacto … … … … … … … 216
  13. Química … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 217Definiciones, Química, Masa, Materia, Estados o fases de la materia … … … … … … … … … 217Cuerpo, Sustancia, Sistema, Fase, Energía … … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de medida, Unidades de longitud … … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de superficie, Unidades de volumen … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de masa, Unidades de tiempo … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219Equivalencias de unidades SI e inglesas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219Unidades de temperatura, Densidad y peso específico … … … … … … … … … … … … … … 220Densidad absoluta o densidad, Densidad relativa … … … … … … … … … … … … … … … 220Peso específico, Gravedad específica, Densidad de la mezcla … … … … … … … … … … … 221Relación entre densidad y peso específico, Presiones, Presión … … … … … … … … … … … 221Presión hidrostática, Presión neumática o presión de gases … … … … … … … … … … … … 222Teoría atómico molecular, Principales conceptos, Regla de Hund … … … … … … … … … … 223Tendencia a la máxima simetría, Estructura particular del átomo … … … … … … … … … … 223Croquis de un átomo, Núcleo, Isótopos, Isóbaros … … … … … … … … … … … … … … … 224Distribución electrónica de los elementos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 224Niveles de energía, Sub-niveles, Números cuánticos … … … … … … … … … … … … … … 224Conceptos adicionales, Electronegatividad, Afinidad, Valencia, Kerne … … … … … … … … 225Nomenclatura Lewis … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 225Enlace íonico, Enlace covalente, Enlace covalente puro, Enlace covalente polar … … … … … 226Tabla periódica de los elementos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 227Grupos principales de la tabla, Nomenclatura … … … … … … … … … … … … … … … … 228Nomenclatura química, Nombres de los átomos en su estado iónico … … … … … … … … … 229Aniones, Cationes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 229Nombre de los compuestos, Función química … … … … … … … … … … … … … … … … 230Nombre de los anhídridos, Nombre de los óxidos, Nombre de los peróxidos … … … … … … 231Nombre de los ácidos, Ácidos hidráticos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 231Ácidos oxácidos, Ácidos especiales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 232Radicales halogénicos, Radical halogénico hidrácido … … … … … … … … … … … … … … 234Radical halogénico oxácido, Nombre de la base o hidrócidos … … … … … … … … … … … 234Nombre de las sales, Sales hidráticas, Sales oxácidas … … … … … … … … … … … … … … 235Sales dobles, Peculiaridades de los ácidos del fósforo … … … … … … … … … … … … … … 236Óxidos dobles, Radicales cationes compuestos … … … … … … … … … … … … … … … … 236Anfoterismo del cromo, nitrógeno y manganeso … … … … … … … … … … … … … … … 237Unidades químicas de medida, Átomo-Gramo y Molécula-Gramo … … … … … … … … … … 238Átomo, Molécula, Átomo-Gramo, Molécula- Gramo o Mol, El estado gaseoso, Gas … … … … 238Ley general de los gases, Ley de Boyle y Mariotte, Ley de Charles, Ley de Gay-Lusasac … … … 239
  14. Densidad de un gas, Ley de difusión o ley de Graham, Ecuación universal de los gases … … … 240Hipótesis de Avogrado y Ampere, Mezcla de gases, Leyes de Dalton … … … … … … … … … 241Ley de Amagat, Fracción molar, Gases húmedos, Gas húmedo … … … … … … … … … … … 242Humedad relativa, Determinación de pesos atómicos, Método del calor específico … … … … 243Ley de la combinación equivalente de los elementos … … … … … … … … … … … … … … 244Leyes de las combinaciones químicas, Leyes ponderales, Leyes volumétricas … … … … … … 244El estado líquido, Soluciones, Formas de expresar la concentración, Formas físicas … … … … 245Equivalente-gramo(Eq-g)de compuestos, Mili-valente … … … … … … … … … … … … … … 246Formas químicas para medir la concentración de las soluciones, Molaridad … … … … … … 246Molaridad, Normalidad, Dilución y aumento de la concentración … … … … … … … … … … 247Determinación de pesos moleculares, Método gasométrico, Método osmótico … … … … … … 248Método ebulloscópico, Método crioscópico, Termoquímica, Definición y conceptos … … … … 249Ley de Hess, Definición de las unidades calorimétricas, Caloría … … … … … … … … … … 250Equilibrio químico, Reacciones reversibles … … … … … … … … … … … … … … … … … 250Reacciones irreversibles, Ácidos y bases, Ácidos … … … … … … … … … … … … … … … 251Bases, Constante de ionización del agua(Kw), Tipo de soluciones, Concepto de “pH” … … … 252Electro-química, Unidad de masa, Coulomb, Faraday, Electro-equivalente … … … … … … … 253Unidades de intesidad, Ampere, Electrólisis, Leyes de Faraday … … … … … … … … … … … 253Química orgánica, Breves nociones y nomenclatura … … … … … … … … … … … … … … 254División de la química orgánica, Serie acíclica, Funciones químicas … … … … … … … … … 255Función hidrocarburo, Funciones principales, Serie saturada o Alkana … … … … … … … … 256Serie no saturada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 257Funciones fundamentales, Función alcohol … … … … … … … … … … … … … … … … … 258Función aldehído, Función cetona … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 259Función ácido … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 260Radicales orgánicos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 261Funciones especiales, Función éter, Función éster, Función sal orgánica … … … … … … … 262Función amina, Función amida … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 263Función nitrilo, Función cianuro … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264Cuadro de los grupos funcionales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 265Serie cíclica, Serie alicíclica, Serie heterocíclica, Benceno … … … … … … … … … … … … … 267Radical fenilo, Derivados del benceno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 268Naftaleno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Radical naftil, Derivados del naftaleno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Antraceno, Radical antracil … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 270Derivados del antraceno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 271
  15. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O ARITMÉTICADEFINICIÓN PROPOSICIONES LÓGICASEs aquella parte de la matemática pura elemental que Una proposición lógica es el conjunto de palabrasse ocupa de la composición y descomposición de la que, encerrando un pensamiento, tiene sentido alcantidad expresada en números. AFIRMAR que es VERDADERO o al AFIRMAR que es falso.Lógica Matemática Las proposiciones se calsifican en:DEFINICIÓN 1) Simples o Atómicas 2) Compuestas o MolecularesLa lógica es la ciencia que estudia los procedimien-tos para distinguir si un razonamiento es correcto o CONECTIVOS LÓGICOSincorrecto; en este sentido, la LÓGICA MATEMÁ-TICA analiza los tipos de razonamiento utilizando Los conectivos lógicos son símbolos que sirven paramodelos matemáticos con ayuda de las PROPOSI- relacionar o juntar proposiciones simples (atómicas)CIONES LÓGICAS. y formar proposiciones compuestas (moleculares). CONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEE ~ Negación no, n es cierto que, no es el caso que, etc. ∧ ó • Conjunción y, pero, sin embargo, además, aunque, etc. ∨ Disyunción o, y/o inclusiva CONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEE ∆ Disyunción o … o… exclusiva entonces, si … entonces …, dado que … ⇒ Condiciona … siempre que …, en vista que …, implica …, etc. ⇔ Bicondicional … si y sólo si … - 15 -
  16. PROPOSICIONES SIMPLES TABLAS DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICASLas proposiciones simples o atómicas se representanpor las letras p, q, r, s, t, etc. y pueden ser verdaderas NEGACIÒN CONJUNCIÒNo falsas. p ~q pq p∧q Ejemplos: V F VV V p: Juan Estudia F V VF F FV F q: Andrés es un niño FF F r: Stéfano no juega fútbol DISYUNCIÓN DISYUNCIÓN s: Alejandra está gordita INCLUSIVA EXCLUSIVA t: Christian es rubio pq p∨q pq p∆q u: Alescia habla mucho VV V VV F VF V VF VPROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS FV V FV VSon las siguientes, formadas a partir de proposi-ciones simples: FF F FF F Negación: ~p Se lee: CONDICIONAL BICONDICIONAL “no p”, “no es pq p⇒q pq p⇔q cierto que p”, etc. VV V VV V Conjunción: p ∧ q Se lee: VF F VF F “p y q”, “p pero q”, FV V FV F “p sin embargo q”, etc. FF V FF V Disyunción: p ∨ q Se lee: TIPOS DE PROPOSICIONES “p o q” , “p y/o q” TAUTOLOGÍA Disyunción Es una proposición cuyos VALORES DE VERDAD Exclusiva: p∆q Se lee: del OPERADOR PRINCIPAL son TODOS VERDA- DEROS, cualquiera sea el valor de verdad de sus “o p o q” componentes. Ejemplo: Condicional: p ⇒ q Se lee: pq p∧q ⇒ (p ∨ q) “si p, entonces q”, “p implica q”, etc. VV V V V VF F V V Bicondicional p ⇔ q Se lee: FV F V V “p si, y sólo si q” FF F V F - 16 -
  17. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OCONTRADICCIÓN 5. DE LA IDEMPOTENCIA:Es una proposición cuyos VALORES DE VERDAD a) p ∧ p ∧ p ∧ … ∧ p ≡ pdel OPERADOR PRINCIPAL son TODOS FALSOS,cualquiera que sea el valor de verdad de sus compo- b) p ∨ p ∨ p ∨ … ∨ p ≡ pnentes. “Las variables repetidas redundantemente en una Ejemplo: cadena de conjunciones o en una cadena de disyunciones se reemplazan por la sola variable”. pq [~ p ⇒ (q ∧ ~ q)] ∧ ~ p 6. DE LA CONMUTATIVIDAD: VV F V V F F F F a) p ∧ q ≡ q ∧ p VF F V F F V F F b) p ∨ q ≡ q ∨ p FV V F V F F F V c) p ⇔ q ≡ q ⇔ p FF V F F F V F V “En una proposición, la conjunción, la dis-CONTINGENCIA yunción inclusiva y la bicondicional son con- mutativas”.No es ni tautología ni contradicción porque los VA-LORES DE VERDAD de su OPERADOR PRINCIPAL 7. DE LA ASOCIATIVIDAD:tienen por lo menos una VERDAD y/o una FALSE-DAD. a) p ∧ (q ∧ s) ≡ (p ∧ q) ∧ sLEYES LÒGICAS PRINCIPALES b) p ∨ (q ∨ s) ≡ (p ∨ q) ∨ s1. DE IDENTIDAD: c) p ⇔ (q ⇔ s) ≡ (p ⇔ q) ⇔ s p⇒p “En una proposición, la doble conjunción, la doble disyunción, o la doble bicondicional se aso- p⇔p cian indistintamente”. “Una proposición sólo es idéntica consigo misma”. 8. DE LA DISTRIBUTIVIDAD:2. DE CONTRADICCIÓN: a) p ∧ (q ∨ s) ≡ (p ∧ q)∨ (p ∧ s) ~ (p ∧ ~ p) b) p ∨ (q ∧ s) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ s) c) p ⇒ (q ∧ s) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ s) “Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez”. d) p ⇒ (q ∨ s) ≡ (p ⇒ q) ∨(p ⇒ s)3. DEL TERCIO EXCLUÍDO: “En una proposición la conjunción, la disyunción y la implicación son distributivas”. p∨~q 9. DE DE MORGAN: “Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera opción”. a) ~ (p ∧ q) ≡ ( ~ p ∨ ~ q)4. DE LA DOBLE NEGACIÒN (INVOLUCIÓN): b) ~ (p ∨ q) ≡ ( ~ p ∧ ~ q) ~ ( ~ p) ≡ p “En una proposición, la negación de una conjun- ción o de una disyunción son distributivas “La negación de la negación es una afirmación”. respecto a la disyunción o conjunción. - 17 -
  18. 10. DEL CONDICIONAL: 16. MODUS TOLLENS: a) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q [(p ⇒ q) ∧ ~ p] ⇒ ~ p b) ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q “En una proposición, si se niega el consecuente de una premisa condicional entonces se concluye “En una proposición, la condicional equivale a la en la negación del antecedente”. disyunción de la negación del antecedente con el consecuente, y la negación de una condicional 17. DEL SILOGISMO DISYUNTIVO: equivale a una conjunción del antecedente con la negación del consecuente”. [(p ∨ q) ∧ ~ p] ⇒ q “En una proposición, cuando se niega el11. DEL BICONDICIONAL: antecedente de la premisa de una disyunción, se concluye en la afirmación del consecuente”. a) (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) 18. DE LA INFERENCIA EQUIVALENTE: b) (p ⇔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) ≡ ~ (p ∆ q) [(p ⇔ q) ∧ p] ⇒ q12. DE LA ABSORCIÓN: “En una proposición, cuando se afirma que uno a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p de los miembros de una bicondicional es ver- dadera, entonces el otro miembro también es ver- b) p ∧ (~ p ∨ q) ≡ p ∧ q dadero”. c) p ∨ (p ∧ q) ≡p 19. DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO: d) p ∨ (~ p ∧ q) ≡p∨q [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (p ⇒ s)13. DE TRANSPOSICIÓN: “En una proposición, el condicional es transitivo”. 20. DE LA TRANSITIVIDAD SIMÉTRICA: a) (p ⇒ q) ≡ (~ q ⇒ ~ p) [(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ s)] ⇒ (p ⇔ s) b) (p ⇔ q) ≡ (~ p ⇔ ~ q) “En una proposición, el bicondicional es tran-14. DE EXPORTACIÓN: sitivo”. a) ( p ∧ q) ⇒ s ≡ p ⇒ (q ⇒ s) 21. DE LA SIMPLIFICACIÓN: b) (p1 ∧ p2 ∧ …∧ pn) ⇒ s (p ∧ q) ⇒ p ≡ (p1 ∧ p2 ∧ …∧ pn-1) ⇒ (Pn ⇒ s) “En una proposición, si el antecedente y conse- cuente de una conjunción son verdades, entonces15. MODUS PONENS: cualquiera de los dos términos es verdad”. 22. DE ADICIÓN: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q p ⇒ (p ∨ q ) “En una premisa condicional; si se afirma el antecedente, entonces se concluye en la afirma- “En una proposición, una disyunción está impli- ción del consecuente”. cada por cualquiera de sus dos miembros. - 18 -
  19. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OTEORÍA DE CONJUNTOS i) A = {a, b, c, d}CONCEPTOS BÁSICOS ii) = {… ; -3; -2; -1; -0; 1; 2; … } b) Por comprensión.- Cuando los elementos delDEFINICIÓN DE CONJUNTO conjunto pueden expresarse por una propiedadSe entiende por conjunto a la colección, agrupación común a todos ellos. También se le llama formao reunión de un todo único de objetos definidos, dis- simbólica.tinguiles por nuestra percepción o nuestro pen- Ejemplos:samiento y a los cuales se les llama elementos.Ejemplo: los muebles de una casa. Los muebles son i) M = {x/x = vocal }los elementos que forma el conjunto. Se lee: “M es el conjunto de las x, donde x es una vocal”.FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO ii) B = {x e / -2 < x < 3}a) Por extensión.- Cuando el conjunto indica explí- citamente los elementos del conjunto. También se Se lee: llama forma constructiva. “B es el conjunto de las x que pertenecen a los números enteros, donde x es mayor que -2 pero Ejemplos: menor que 3”. P R I N C I PA L E S S Í M B O L O S Símbolo Lectura Símbolo Lectura ∈ … pertenece… ∃ existe… ∉ … no pertenece… ∃! existe un … sólo un … φ Conjunto vacío ∃/ no existe ≡ … equivalente… η cardinal de… ≠ … diferente… ⇒ implica; entonces… ⇔ … si y sólo si… ⊂ … está incluido conjunto de partes de… ⊆ … está incluido estrictamente P potencial del … ⊄ … no está incluido… ∧ …y… ∪ … unión… ∨ …o… ∩ … intersección… o…o… / … tal que … A’ Complemento de A con Respecto ∼ … es coordinable… al conjunto Universal … no es coordinable… < … es menor que … > … es mayor que … Conjunto Universal ∆ … diferencia simétrica… ≤ … es menor o igual que … ∀ Para todo ≥ … es mayor o igual que … - 19 -
  20. NOTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS : Conjunto de los números naturales { 5 7 6 = ...; –– ; –– ; -8; +3; - –– ;... 8 2 5 } : Conjunto de números irracionales (decimales = {0; 1; 2; 3; 4;… } infinitos no periódicos) : Conjunto de los números entero = ´ = {x/x es número no racional} __ __ __ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} { = …; √30 ; √2 ; √3 ; + e ; π;... } + : Conjunto de los números enteros positivos : Conjunto de los números reales - : Conjunto de los números enteros negativos = {x/x ∈ ∨x∈ } __ __ *: Conjunto de los números enteros no nulos : Conjunto de los números racionales (deci- = …; –– 3 { 8 ; - ––– ; √5 ; 3; - –– ;... 4 13 5 4 √ } males finitos o infinitos periódicos) : Conjunto de los números complejos = { ∧~ } { b a = x/x = –– ; a ∈ ∧b∈ ∧b≠0 } { __ __ 5 = …; -8; √7 ; 3; 5i; i√3 ; - –– ;... 9 } LA RECTA REALEl conjunto de los números reales está formado por y desde cero a - ∞ . A esta recta se le llama “Rectatodos los conjuntos numéricos. Todos los números: real” o “Recta numérica”.Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales se pue- Cualquier número real se puede representar sobre unden representar sobre una recta, desde el cero a + ∞ punto de la Recta Real, porque tiene infinitos puntos. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -∞ +∞ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ __ __ 1 -π -2,8 -√2 - –– 0,5 √3 π 3 - 20 -
  21. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OCARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS M = {3} ; Q = {0} X = {y/2y = 4 }1) PERTENENCIA ∈ Y NO PERTENENCIA “∉” Sea : A = {a, b, c, d, e } 6) CONJUNTO UNIVERSAL : B = {a, b, c } Es el conjunto que contiene a todos los elemen- tos de otro conjunto. : C = {m, n, q, r, s } = {todas las vocales} Entonces: B ∈ A, se lee: A = { e; i ; o } “B pertenece a A” C ∉ A, se lee: Entonces es el conjunto universal de A. “C no pertenece a A” 7) SUBCONJUNTO2) CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS A = { m; n; p } Finitos: B = { q; m; n; r; p} Cuando los elementos del conjunto se puede contar. Se lee “ A es subconjunto de B” o “A está inclui- A = {m, n, q, r }; do en B”. Son 4 elementos. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Infinitos: CONJUNTO DE CONJUNTO O CONJUNTO DE PARTES Cuando los elementos del conjunto son tantos que no se puede contar. Es el conjunto formado por la totalidad de subcon- juntos que se puede formar a partir de un conjunto M = {estrellas del firmamento}; son infinitas dado. Sea el conjunto: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …; ∞};Infinitos números M = { m; n; p }3) CONJUNTOS IGUALES El conjunto de partes es: Dos conjuntos son iguales cuando tienen exacta- mente los mismos elementos aunque no estén en (M) = {φ ,{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, el mismo orden. {n, p}, {m, n, p}} A = {4; 5; 6; 7; 8} POTENCIA DE UN CONJUNTO Expresa el número de subconjuntos que se puede B = {5; 6; 4; 8; 7} formar con los elementos de un conjunto. En otras palabras, es el número de elementos de un conjunto Entonces: A = B de partes.4) CONJUNTO VACÍO P (M) = 2n Es el conjunto que carece de elementos. N = número de elementos del conjunto M. A=φ ; A={} ; A=0 Para el ejemplo anterior:5) CONJUNTO UNITARIO n = 3, luego: Es el conjunto que tiene un solo elemento. P (M) = 23 = 8 - 21 -
  22. DIAGRAMAS DE VENN Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 }Son gráficos, generalmente círculos, que sirven para B = { 1; 3; 5; 7 }encerrar y representar conjuntos: A B 4 .a 1 .b 3 7 2 5 .c A A = {a, b, c} A⊂B Conjunto A “A está incluído en B” A ∩ B = { 1; 3; 5 } Se lee: “A intersección B”. La intersección de varios conjuntos: A⊄B Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } “A no está incluido en B” B = { 1; 2; 4; 7}OPERACIONES CON CONJUNTOS C = { 4; 5; 9; 10 }1) UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos A A y B. B 2 7 Sean: A = { a, b, c } 1 3 4 B = { c, d, e, f } 5 10 9 A B C a b c d e f A ∩ B ∩ C = {4} Se lee “A intersección B intersección C”. 3) DIFERENCIA DE CONJUNTOS A ∪ B = { a, b, c, d, f } La diferencia de dos conjuntos, A menos B, es el Se lee: “A unión B”. conjunto formado por elementos de A que no pertenezcan a B.2) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de los conjuntos A y B, es el con- Sean: A = { a, b, c, d, e } junto que contiene elementos comunes a los con- juntos A y B. B = { d, e, f, g, h } - 22 -
  23. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O A A B B b 6 f 5 a d 2 8 7 e g 4 c h 10 9 A ∆ B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10 } A - B = { a, b, c } Se lee: “A diferencia simétrica B” Se lee: “El conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto a, b, c”. PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS4) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Dados dos conjuntos A y B, se llama producto carte- Sean los conjuntos A y universal . El comple- siano A . B, al conjunto de “pares ordenados” forma- mento del conjunto A es la parte del conjunto uni- dos por todos los elementos de A, como primeros versal que no pertenece al conjunto A. componentes, asociados a todos los elementos de B como segundos elementos. Sean: Sean: A = { vocales } A = { a, b } = { el alfabeto } M = { m, n, p } A.M (a, m) A M (a, n) a m (a, p) . = A’ A b n (b, m) p (b, n) (b, p) A . M = { (a, m), (a, n), (a, p), A’ = - A = { las consonantes } (b, m), (b, n), (b, p)} Se lee: “A’ es el complemento de A”. Simbólicamente:5) DIFERENCIA SIMÉTRICA A . M = {(x, y)/x ∈ A ∧ y ∈ M} Es el conjunto formado por la parte no común de Nota: A . M ≠ M . A (no es conmutativo) dos conjuntos. A = { 2; 4; 6; 8; 10 } RELACIONES DEFINICIÓN B = { 2; 4; 5; 7; 9 } Relación es un subconjunto de pares ordenados de dos conjuntos A y B que obedecen a una proposición A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) establecida. - 23 -
  24. Ejemplo: RANGO Sean los conjuntos: Es el conjunto formado por los segundos compo- nentes de los pares ordenados que forman la A = { a, b } relación ℜ. M = { m, n, p} Se denota: Ran (ℜ) Se denota: a ℜ m ó (a, m) ∈ ℜ En el ejemplo anterior: y se lee: Ran (ℜ) = { 3; 4} “ a está relacionada con m por ℜ”. TIPOS DE RELACIONES EN UN CONJUNTO Simbólicamente: 1) REFLEXIVA ℜ es una relación de A en M ⇔ R ⊂ A . M Cuando todos los elementos de un conjunto A están relacionados consigo mismos a través de ℜ. y se lee: ℜ es reflexiva ⇔ (a, a) ∈ ∀ ℜ a ∈ A “ℜ es una relación de A en M, si y solamente si la relación ℜ es un subconjunto de A . M”. Ejemplo: A = { a, b, c} Ejemplo: A = { 2; 4; 6; 8; 10 } Relación Reflexiva: B = { 1; 2; 3; 4 } ℜ = {(a, a); (b, b); (c, c)} Sea la propiedad: x ∈ A ∧ y ∈ B 2) SIMÉTRICA Que obedezca a la proposición P(x): x < y Cuando cada uno de los elementos de un conjunto A entonces: está relacionado con otro del mismo conjunto y éste a su vez está relacionado con el primero. 2ℜ3 ℜ es simétrica ⇔ (a, b) ∈ ℜ ⇒ (b, a) ∈ ℜ 2ℜ4 Sólo se puede escribir estas dos relaciones porque Ejemplo: son las únicas que cumplen que x < y, que es la A = {a, b, c} proposición P(x) que los relaciona. Relación simétrica:DOMINIO Y RANGO ℜ = {(a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (b, c); (c, b)}DOMINIO 3) TRANSITIVAEs el conjunto formado por los primeros compo-nentes de los pares ordenados que forman la Cuando un elemento de un conjunto A está rela-relación ℜ. cionado con otro elemento del mismo conjunto y esté a su vez está relacionado con uno tercero del Se denota: Dom (ℜ) mismo conjunto; entonces, el primero está rela- cionado con el tercero a través de la relación R. En el ejemplo anterior: ℜ es transitiva ⇔ (a, b) ∈ ℜ ∧ (b, c) ∈ ℜ Dom (ℜ) = {2} ⇒ (a, c) ∈ ℜ - 24 -
  25. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Ejemplo: En general una función de denota así: A = { a, b, c } f (x) = y Relación Transitiva: Donde “x” es un elemento de A, e “y” es un ele- ℜ = {(a, b); (b, c); (a, c)} mento de B.RELACIÓN DE EQUIVALENCIALa relación ℜ de A en A es una relación de EQUIVA- x∈A x y y ∈ B ≡ f(x) ∈ BLENCIA, cuando esta relación es reflexiva, simétricay transitiva a la vez.FUNCIONES DOMINIO Y RANGODEFINICIÓN DOMINIOUna función de A en B es una relación de par orde- Es el conjunto de todas las PRIMERAS componentesnado que asocia a TODO ELEMENTO del conjunto del par ordenado que pertenecen a una función “f”.A con UN SOLO ELEMENTO del conjunto B. RANGO Se denota: f : A ⇒ B Es el conjunto de todas las SEGUNDAS compo- Ejemplos: nentes del par ordenado que pertenecen a una función “f”. i) A B ii) A B f g Ejemplo: .a .a Sea: f = {(1, a), (2, b), (3, c)} 1. 1. .b .b Dom (f) = {1; 2; 3} 2. 2. .c .c Ran (f) = { a, b, c} 3. 3. .d .d SISTEMAS DE NUMERACIÓN f es una función g es una función NUMERACIÓN y se denota y se denota DEFINICIÓN f = {(1,a), (2,b), (3,c)} g = {(1,a), (2,a), (3,b)} Es la parte de la Aritmética que estudia las leyes, arti- iii) h iv) j ficios y convencionalismos utilizados para expresar .a .a (hablar) y representar (escribir) a los números en 1. 1. forma sistemática y lo más simple posible. .b .b 2. 2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN .c .c Se refiere a los conjuntos de reglas, leyes, artificios y 3. 3. convenios que permiten formar, expresar y represen- .d .d tar todos los números. h No es una función j NO es una función BASE DE UN SISTEMA porque No cumple: porque No cumple: “a todo elemento de “a TODO elemento de A Es aquel número que indica la cantidad de unidades A le corresponde UN de un orden cualquiera que se requiere para formar SOLO elemento de B” una unidad de un orden inmediato superior. Así, - 25 -
  26. nuestro sistema se llama DECIMAL porque con 10 elevada a un exponente igual al número de cifras queUNIDADES de un orden cualquiera, se logra formar le siguen y así sucesivamente”.una unidad de un orden inmediato superior. ____ a b c(N) ⇒ a . N2 + b . N + cFORMACIÓN DE UN SISTEMA DE _______NUMERACIÓN a b c d e(N) ⇒ a . N4 + b . N3 + c . N2PRINCIPIO BÁSICO +d.N+e _______En un sistema de base N, toda cifra escrita un lugar ab…xyz(N) ⇒ a . Nm-1 + b . Nm-2 + … x . N2 123a la izquierda de otra, representa unidades de orden +yN+zN veces mayor al orden que representa la otra, escri- “m” cifrasta a la derecha. CONVENCIÓN Ejemplo: Cuando la base es superior a 10, y los números 10; Sea el número 468 en base N = 10, el 4 es de 11; 12 y 13 sean cifras, se emplea la siguiente equiva- orden 10 veces mayor que cada unidad de 60 y lencia: cada unidad de 6 es de orden 10 veces mayor que cada unidad de 8. α = 10 ; β = 11 ; γ = 12 ; & = 13DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN CIFRAS MÍNIMASNÚMERO Son todas las cifras menores o iguales a la mitad deEs el procedimiento de cálculo que permite determi- la base del número dado.nar la cantidad de unidades simples que posee unnúmero y con ello su valor real. Ejemplos de cifras mínimas: ______ Sea el número a b c d de base N: De base 4: 0; 1; 2; _____ ___ a b c d (N) De base 7: 0; 1; 2; 3; De base 10: 0; 1; 2; 3; 4, 5 Unidades de 1° orden. De base 11: 0; 1; 2; 3, 4; 5 Unidades de 2° orden De base 12: 0; 1; 2; 3, 4; 5; 6 (N veces las u.s.) Unidades de 3° orden Ejemplo: (N2 veces las u.s.) Escribir el número 67 654(8) en cifras mínimas. Las Unidades de 4° orden cifras mínimas de este número son: 0; 1; 2; 3; 4. (N3 veces las u.s.) 4=4 Donde: u.s. = unidades simples _ _ 5-8 =3 _ _ 6+1=7 ; 7-8=1MÉTODO PRÁCTICO PARA DESCOMPONER UNNÚMERO EN SU FORMA POLINÓMICA 7+1=8 ; 8-8=0 _ _“Se toma la primera cifra de la izquierda y se multi- 6+1=7 ; 7-8= 1plica por la base del sistema elevado a un exponente 0+1=1igual al número de cifras que le siguen a la cifra _ __tomada, a este resultado se le suma el producto de la ∴ 67 654(8) = 1 1 0 1 3 4segunda cifra multiplicada por la base del sistema - 26 -
  27. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OOPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS NO Como a 3 se quitó 1 unidad, ahora es 2, pero 2 - 6DECIMALES no se puede restar, entonces:SUMA (2 + 8) - 6 = 4Tal como en el sistema decimal, si la suma parcial Como a 7 se le había quitado 1 unidad, ahora es 6:supera el valor de la base, se ecribe el valornumérico de lo que excede a la base y se lleva 6-3=3como unidades tantas veces como excede al valor Ahora no se ha quitado nada.de la base. Finalmente: Ejemplo: 4-2=2 423(7) + 566(7) + 2521(7) MULTIPLICACIÓN 423 + 566 El procedimiento es similar a la multiplicación en 2521 base 10; sólo que lo que se lleva es la unidad de la ________ base de los factores. 4 1 4 3(7) Ejemplo: lo cual se desarrolló de la siguiente manera: 326(7) . 465(7) 3 + 6 + 1 = 10 como 10 = 7 + 3; se pone 3 y se lleva 1. 326x 465 _________ 1 + 2 + 6 + 2 = 11 2302 como 11 = 7 + 4 ; se pone 4, se lleva 1. 2631 1643 ___________ 1 + 4 + 5 + 5 = 15 2 2 6 2 1 2(7) como 15 = 14 + 1; 15 = 2 . 7 + 1; se pone 1, se Desarrollo: lleva 2 2+2=4 5 . 6 = 30 = 4 . 7 + 2 pongo 2 van 4 5 . 2 + 4 = 14 = 2 . 7 + 0 pongo 0 van 2RESTA 5 . 3 + 2 = 17 = 2 . 7 + 3 pongo 3 van 2El método es similar a la resta en base 10. Cuando labase es otra, se añade como unidad el valor de la Finalmente: pongo 2.base. 6 . 6 = 36 = 5 . 7 + 1 pongo 1 van 5 Ejemplo: 4 7 3 5(8) - 2 3 6 7(8) 6 . 2 + 5 = 17 = 2 . 7 + 3 pongo 3 van 2 4735– 2 3 6 7(8) 6 . 3 + 2 = 20 = 2 . 7 + 6 pongo 6 van 2 _______ 2 3 4 6(8) Finalmente: pongo 2 Desarrollo: 4 . 6 = 24 = 3 . 7 + 3 pongo 3 van 3 5 - 7 no se puede restar, entonces, en la segunda 4 . 2 + 3 = 11 = 1 . 7 + 4 pongo 4 van 1 columna tomamos prestada 1 unidad a 3, lo que nos permite añadir a 5 el valor de la base: 4 . 3 + 1 = 13 = 1 . 7 + 6 pongo 6 van 1 (5 + 8) - 7 = 6 Finalmente: pongo 1 - 27 -
  28. Luego, se suma los productos parciales, recordan- Se descompone polinómicamente y se suma: do cómo se suma cuando los sumandos no son de base 10. 3 . 93 + 8 . 92 + 5 . 9 + 6 = 2 886 u. s.DIVISIÓN 3 856(9) = 2 886(10) = 2 886Para hacer la división es aconsejable formar una tabla Nota.-con la base dada, con todos los productos posiblesdel divisor por el cociente. Que cuando el número es de base 10 no es necesario señalar la base. Ejemplo: 4 350(6) ÷ 24(6) Las cifras del cociente, por ser de base 6, oscilan 2° UN NÚMERO DE BASE 10 PASAR A OTRO entre 0 y 5, lo cual se toma en cuenta para formar SISTEMA DE BASE “N” la tabla: Regla: Tabla de base 6 Se divide el número dado entre el valor “N” de la base deseada, lo cual arroja un cociente. Este 0 . 24 = 0 cociente se divide nuevamente entre el valor “N”, sucesivamente hasta obtener un último cociente 1 . 24 = 24 cuyo valor sea menor a la base. Luego, tomando la cifra del último cociente y las cifras de los 2 . 24 = 52 residuos en el orden del último al primero, queda 3 . 24 = 120 formado el número de base “N”. 4 . 24 = 144 Ejemplo: 5 . 24 = 212 Pasar 4 975 de base 10 a base 8. 4350 24 4975 8 24 _____ 1 4 2(6) 17 6 2 1 8 155 144 15 6 1 7 7 8 _____ 110 7 5 5 9 8 52 ______ 1 1 14 ∴ 4 975(10) = 11 557(8)CAMBIOS DE BASE DE UN SISTEMA DENUMERACIÓN 3° DE UN NÚMERO NO DECIMAL A OTRO NO DECIMAL1° UN NÚMERO DE CUALQUIER BASE PASAR A BASE 10 Regla: Regla: El primero se pasa a base 10 y luego, el nuevo número, a la base pedida. Se descompone polinómicamente el número da- do. El número que resulta de sumar las unidades Ejemplo: simples (u.s.) de este número es el número de base 10. Pasar el número 2 583(9) a base 5. Ejemplo: A base 10: Pasar 3 856(9) a base 10. 2 . 93 + 5 . 92 + 8 . 9 + 3 = 1 938 - 28 -
  29. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Ahora, 1 938 se cambia a base 5: Solución: 8 427(9) = 6 181 1938 5 43 3 8 7 5 38 3 7 7 7 5 [ 94 - 1 # de cifras = (6 181 + 1) . 4 - ––––– 9-1 ] 3 2 2 7 1 5 5 # de cifrras = 23 908 2 0 3 CÁLCULO DE LA CANTIDAD DE NÚMEROS DE “n” CIFRAS, EN BASE “A” ∴ 2 583(9) = 30 223(5) Consiste en darle a cada cifra el número de valoresCONTEO DE CIFRAS AL ESCRIBIR LA que puede asumir. El producto de estos valores nosSERIE NATURAL dá el número de combinaciones que a su vez es el número de números de “n” cifras. EN BASE 10 # de números = (base – 1)(base - 1)(n-1) # de cifras = (# mayor + 1) (# cifras del # mayor) – (número con tantos 1 Observar que: como cifras tenga el # mayor) “n” es el número de ciras, pero cuando las cifra se Ejemplos: repiten, esa cifra se toma una sola vez. ¿Cuántas cifras se emplea para escribir la serie Ejemplo: natural de los números hasta el 3 475? _____ ¿Cuántos números de la forma a b b(12) existen? Solución: _____ # de cifras = (3 475 + 1) (4) – (1 111) Solución: a b b # de cifras = 3 4 76 . 4 – 1 111 Tiene 1 cifra repetida y distinta a la primera cifra. # de cifras = 13 904 – 1 111 = 12 793 Por lo tanto: ¿Cuántas cifras se ha empleado para escribir la # de cifras = (12 - 1) (12 - 1)(2-1) = 121 serie natural de los números hasta 15 497? Solución: SUMATORIA DE PRIMEROS NÚMEROS DE LA SERIA NATURAL EN BASE 10 # de cifras = (15 497 + 1) (5) – 11 111 # de cifras = 15 498 . 5 – 11 111 1) Suma de los “n” primeros números consecutivos de la serie natural. # de cifras = 66 379 SC = 1 + 2 + 3 + … + (n - 2) + (n - 1) + n EN BASE N: n(n + 1) # de cifras = SC = ––––––– nk - 1 [ (# mayor + 1)(# cifras del # mayor) - ––––– n-1 ] 2 2) Suma de los “n” primeros números impares con- k = # de cifras del número mayor secutivos de la serie natural de los números. n = base del sistema S¡ = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 3) + (2n - 1) Ejemplo: ¿Cuántas cifras se ha empleado para escribir S¡ = n2 hasta el número 8 427(9)? - 29 -
  30. 3) Suma de los “n” primeros números pares consecu- Ejemplo: tivos de la serie natural de los números. 6=6 Sp = 2 + 4 + 6 + … + (2n - 4) + (2n - 2) + 2n 5=5 9>4 Sp = n(n + 1) 13 > 11 _______ Resultado 33 > 26OPERACIONES BÁSICAS SOBRENÚMEROS REALES b) Si se suma miembro a miembro dos o más desi- gualdades del mismo sentido, el resutlado es otraSUMA O ADICIÓN desigualdad del mismo sentido que las anteriores.1) LEY CONMUTATIVA Ejemplo: En una suma, el orden de los sumandos no altera 5<8 la suma total. Así: 6<9 18 < 60 a+b+c=c+a+b=S _______ Resultado 29 > 77 Ejemplo: 4 + 9 + 12 = 12 + 4 + 9 = 25 RESTA O SUSTRACCIÓN Forma general:2) LEY ASOCIATIVA M-S=D En una suma de varios sumandos, dos o más de ellos pueden ser sustituidos por su suma parcial y Donde, los términos son: la suma total no se altera. M = minuendo a + b + c = (a + b) + c = S S = sustraendo D = diferencia Ejemplo: VARIACIONES DE LOS TÉRMINOS DE LA 6 + 8 + 3 + 11 = 14 + 3 + 11 = 28 RESTA3) LEY DE UNIFORMIDAD 1) Si al minuendo se le suma o se le resta un número cualquiera sin alterar el sustraendo, entonces la Si se suma miembro a miembro dos o más igual- diferencia queda aumentada o disminuida, respec- dades, el resultado es otra igualdad. tivamente, en dicha cantidad. a+c =m 5+3 =8 (M ± n) - S = D ± n b+d =n 6 + 9 = 15 2) Si al sustraendo se le suma o se le resta un número r+p =h 8 + 10 = 18 cualquiera, sin alterar el minuendo entonces la _________ __________ diferencia queda disminuida o aumentada, respec- S=S 41 = 41 tivamente, en dicha cantidad.4) LEY DE MONOTONÍA M - (S ± n) = D na) Si se suma miembro a miembro igualdades con de- 3) Si al minuendo y sustraendo se le suma o se le sigualdades del mismo sentido, el resutlado es resta un mismo número, la diferencia no se altera. una desigualdad cuyo sentido es el mismo que el de las desigualdades. (M ± n) - (S ± n) = D - 30 -
  31. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OCOMPLEMENTO ARITMÉTICO “C.A.” a=b m=n ___________C.A. de un número es otro número equivalente a loque le falta al primero para ser igual a la unidad dec- a.m=b.nimal de orden inmediato superior. 5) LEY DE MONOTONÍA Ejemplo: Si se multiplica miembro a miembro igualdades con desigualdades del mismo sentido, el resulta- C.A. de 0,03 es 0,07 porque 0,1 - 0,03 es 0,07 do es otra desigualdad del mismo sentido que las anteriores. C.A. de 6 es 4 porque 10 - 6 es 4 Ejemplo: C.A. de 367 es 633 porque 1 000 - 367 es 633 3=3 5>2LA MULTIPLICACIÓN 3>1 ______1) LEY CONMUTATIVA Multiplicando 45 > 6 El orden de los factores no altera el producto. Si se multiplica miembro a miembro desigual- dades del mismo sentido, el resultado es otra a.b=b.a=P desigualdad del mismo sentido que las anteriores. Ejemplo: Ejemplo: 7 . 4 = 4 . 7 = 28 3<52) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA 8<9 2<7 El producto de un factor por la suma indicada de ________ dos o más sumandos es giual a la suma de los pro- Multiplicando 48 < 315 ductos del factor por cada sumando. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DEL NÚMERO a(n + m) = a . n + a . m = P ENTERO Ejemplo: 10n-1 ≤ N < 10n 5(8 + 3) = 5 . 8 + 5 . 3 = 55 N = número entero3)LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA RESTA n = número de cifras del número El producto de un factor por una resta indicada es LA DIVISIÓN igual a la diferencia del producto del factor por el minuendo menos el producto del factor por el Es una operación que consiste en hallar un factor lla- sustraendo. mado cociente, el cual indica el número de veces que un factor, llamado divisor, está contenido en otro lla- a(n - m) = a. n - a . m = P mado dividendo. Ejemplo: D D = d . q ⇔ –– = q 5(8 - 3) = 5 . 8 - 5 . 3 = 25 d4) LEY DE UNIFORMIDAD Donde: D = dividendo Si se multiplica miembro a miembro dos igual- d = divisor dades, el resultado es otra igualdad. q = cociente - 31 -
  32. Además, cuando la división es inexacta tiene un ALTERACIONES DE LOS TÉRMINOS DE UNA residuo. DIVISIÓN a) División inexacta por defecto: 1) Alteración del dividendo.- D=d.q+r En una división exacta, si al dividendo se le mul- Donde: tiplica o se le divide por un número cualquiera, sin alterar el divisor, entonces el cociente queda R≠0, r<d multiplicado o dividido, respectivamente, por el mismo número. b) División inexacta por exceso: Casos: D = d(q + 1) - r’ Donde: D D.n a) –– = q ; ––––– = q . n r’ ≠ 0, 0 < r’ < d d d1) LEY DE UNIFORMIDAD D D÷n b) –– = q ; ––––– = q ÷ n d d Si se divide miembro a miembro dos igualdades, el resultado es otra igualdad; si las divisiones son 2) Alteración del divisor.- exactas. En una división exacta, si al divisor se le multi- A=B y C=D plica o se le divide por un número cualquiera, sin alterar el dividendo, entonces el cociente queda A B dividido o multiplicado respectivamente, por Luego: ––– = ––– C D dicho número.2) LEY DE MONOTONÍA Casos: Si ambos miembros de una desigualdad son divi- D D didos por un mismo número que sea divisor de a) –– = q ; ––––– = q ÷ n d d.n ambos, se obtiene otra desigualdad cuyo sentido es el mismo que la desigualdad dada. D D b) –– = q ; ––––– = q . n A B d q÷n A > B; “d” divisor de ambos ⇒ ––– > ––– d d 3 ) Alteración del dividendo y divisor.-3) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA En una división exacta, si al dividendo y al divi- sor se les multiplica o divide simultáneamente El cociente de una suma indicada dividida por un por un mismo nùmero, el cociente no varía. divisor es igual a la suma de los sumandos dividi- dos cada uno por el divisor común. Casos: a+b+c+m a b c m D D.n ––––––––––– = –– + –– + –– + –– = q a) –– = q ; ––––– = q d d d d d d q.n4) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA RESTA D D÷n b) –– = q ; ––––– = q d q÷n El cociente de una resta indicada dividida por un divisor común es igual a la resta de los cocientes En una división inexacta, si al dividendo y al divi- resultantes. sor se les multiplica o se les divide por el mismo número, el cociente no se altera, pero el residuo a-b a b queda multiplicado o dividido respectivamente, ––––– = –– - –– = q d d d por el mismo número. - 32 -
  33. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O D D.n a) –– = q + r ; ––––– = q + r . n q.D D d d.n a = ––––– b = –––––– q-1 q-1 D D÷n b) –– = q + r ; ––––– = q + r ÷ n 5) Dados la diferencia “D”, el cociente “q” y el resid- d d÷n uo “r” de dos números “a” y “b”, donde a > b.PROPIEDADES DEL RESTO O RESIDUO D.q-r D-r a = ––––––– b = ––––– q-1 q-11° El resto siempre es menor que el dividendo 6) Dados el producto “P” y el cociente “q” de dos r<d números “a” y “b”, donde a > b __ __2° El resto siempre debe ser menor que la mitad del _____ p dividendo: D a = √P . q b = –– q √ r < –– 2 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS3° El resto máximo siempre será igual al divisor menos uno: DIVISIBILIDAD (en Z) Un número “A” es divisible por otro número “B” r máx = d - 1 solamente si el cociente de dividir “A” por “B” es un número entero “n”.4° La suma de los valores absolutos de los restos por defecto y por exceso siempre es igual al divisor. A –– = n ⇒ A = n . B ⇔ n ∈ B | r | + | r’ | = d DIVISORRELACIONES NOTABLES DE LAS CUATROOPERACIONES Es un número que está contenido en otro un número exacto (entero) de veces.1) Dadas la suma “S” y la diferencia “D” de dos números “a” y “b”, donde a > b: Ejemplo: { -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8} S+D S-D a = ––––– b = –––––– 2 2 son todos los divisores de 8.2) Dados la suma “S” y el cociente “q” de dos MULTIPLO números “a” y “b”, donde a > b: Múltiplo de un número es aquel número que con- q.S S tiene al primero un número (entero) exacto de veces. a = ––––– b = –––––– q+1 q+1 Se denota:3) Dados la suma “S”, el cociente “q” y el residuo “r” A=m.B de dos números “a” y “b” (a > b). o, también así: ° S . q+ r S-r A=B a = ––––––– b = –––––– q+1 q+1 Ejemplos: { -16; -8; 8; 16; 24 }4) Dados la diferencia “D” y el cociente “q” de dos números “a” y “b”, donde a > b. son algunos múltiplos de 8. - 33 -
  34. PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD REGLAS PRÁCTICAS DE DIVISIBILIDAD1º Si un número “n” divide a varios otros números, Se dice que un número es divisible: divide también a la suma o a la diferencia de dichos números. Por 2, cuando termina en cero o en cifra par. A B Por 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o ––– = q1 ; ––– = q2 n n múltiplos de 4. A±B ⇒ –––––– = q n Por 8, cuando sus tres últimas cifras son ceros o múltiplos de 8.2º Si un número “n” no divide exactamente a otros dos (A y B), dividirá exactamente a la diferencia Por 5, cuando su última cifra es cero o cinco. de ellos (A - B) si y solamente si los residuos (r1 y r2) que resultan de dividir cada número entre el Por 25, cuando sus dos últimas cifras son ceros o número “n” son iguales. un número múltiplo de 25. A = n . q1 r1 Por 125, cuando sus tres últimas cifras son ceros B = n q2 + r2 o múltiplos de 125. _______________________ Restando: A - B = n(q1 - q2) + (r1 - r2) Por 2n o 5n, cuando las “n” últimas cifras son ceros o un número múltiplo de 2n o 5n. ⇔ r1- r2 = 0 ⇒ r1 = r2 Por 3, cuando la suma de sus cifras significativas3º Si un número “n” divide exactamente a otro es 3 o múltiplo de 3. número “A”, también divide a todo múltiplo de éste. Por 9, cuando la suma de sus cifras significativas A es 9 o múltiplo de 9. Si: –– = q1 n m.A Por 11, cuando la suma de las cifras que ocupan ⇒ ––––– = q2 lugar impar menos la suma de las cifras que ocu- n pan lugar par es: 0, 11 o múltiplo de 11.4º Si un número “A” es divisible por otro “n” lo es también por los factores de éste. Ejemplo: 538 527 es m11 A Lugar par: 5 + 8 + 2 = 15 Si: –– = q n A A A ⇒ –– = q1 ; –– = q2 ; –– = q3 Lugar impar: 3 + 5 + 7 = 15 n1 n2 n3 ⇒15 - 15 = 0 donde: n = n1 . n2 . n3 Por 6, cuando los es simultáneamente por 2 y5º En una división inexacta, si un número “n” divide por 3. al dividendo “A” y al divisor “d”, también divide al residuo “r”. Por 22, cuando lo es simultáneamente por 2 y por 11. A Sea: –– = q + r d Por 7, lo es cuando se verifica el siguiente pro- cedimiento: “Se separa la última cifra significati- A d Si: –– = q1 y –– = q2 va de la derecha, esta cifra se duplica y se resta al n n número que queda a la izquierda, con el resulta- r do se hace lo mismo sucesivamente hasta llegar a Entonces : –– = q3 n un número pequeño tal, que a simple vista se - 34 -
  35. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O puede ver si es o no múltiplo de 7; si lo es, el ii) 12 635 número es divisible entre 7”. 1 263 + 2 . 5 = 1 273 Ejemplos: 127 + 2 . 3 = 133 i) 63 743 no es m7. 13 + 2 . 3 = 19 = m19 6 374 - 2 . 3 = 6 368 636 - 2 . 8 = 620 NÚMEROS CONGRUENTES 6-2.2=2 Dos números son congruentes respecto de otro número “p”, llamado módulo, si al dividir por este∴ NO es m7, porque: 2 ≠ m7 módulo originan el mismo resto. ii) 25 795 Se denota: A=p.a+r 2 579 - 2 . 5 = 2 569 B=p.b+r 256 - 2 . 9 = 238 23 - 2 . 8 = 7 En general: A ≡ B (mod. P)∴ SI es m7, porque: 7 = m7 Ejemplo: Por 12, cuando lo es simultáneamente por 3 y Verificar que los números 50 y 32 son congru- por 4. entes con el módulo 6. Por 14, cuando lo es simultáneamente por 2 y 50 por 7. ––– = 8 + 2 6 Por 15,cuando lo es simultáneamente por 3 y 32 por 5. ––– = 5 + 2 6 Por 16, cuando las 4 últimas cifra son ceros o el Notar que la condición necesaria y suficiente para número formado por esta 4 últimas cifras es que dos números sean congruentes respecto a un múltiplo de 16. Corresponde al caso de 2n, cuan- módulo, es que su diferencia sea múltipo del do n = 4. módulo. Por 17, cuando la diferencia entre sus decenas y ° A ≡ B (mod. p) ⇔ A - B = p el quíntuple de sus unidades es 17 o m17. Ejemplo: 2 975 Así, del ejemplo anterior: 297 - 5 . 5 = 272 50 - 32 = 18 ∧ 18 = m6 27 - 5 . 2 = 17∴ 2 975 = m17 ∴ 50 ≡ 32 (mod. 2) Por 19, cuando la suma de sus decenas con el NÚMEROS PRIMOS (en ) doble de sus unidades es 19 o m19. Ejemplos: CLASIFICACIÓN i) 4 835 no es m19. 1. Primos absolutos o simplemente primos.- 483 + 2 . 5 = 493 Son aquellos números primos que sólo son divisi- 49 + 2 . 3 = 55 ≠ M19 bles entre la unidad y entre sí mismos. - 35 -
  36. Ejemplos: 4° Dado que el siguiente número no tachado es el 5, se tacha los múltiplos de 5, partiendo de 25. i) 1 ii) 3 5° Así sucesivamente, hasta concluir. Los números que quedan son los primeros números primos iii) 17 absolutos. iv) 59 Ejemplo:2. Primos relativos.- Hallar los números primos en el rango de los 100 primeros números naturales. Son dos o más números que simultáneamente sólo son divisibles entre la unidad, aunque inde- pendientemente pueden ser divisibles por otro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 número diferente de 1. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ejemplo: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 5; 9; 14; 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 son primos relativos porque no son divisibles entre sí, aun cuando el 9 y el 14 son divisibles por 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 otros números y el 5 es primo absoluto. 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60NÚMERO COMPUESTOEs todo número no primo, resultado de multiplicar 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70dos o más números primos absolutos o las potenciasde estos. 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Ejemplos: 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 i) 32 = 25 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2 2 ii) 180 = 2 . 3 . 5 En conclusión: 2 iii) 12 = 2 . 3 {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, iv) 33 = 3 . 11 47, 53, 57, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}CRIBA DE ERATÓSTENES es el conjunto de los números primos en el rangoEs una tabla denominada también “Tabla de los del 1 al 100.Números Primos Absolutos” y permite obtener losprimeros números primos. FÓRMULAS GENERALESREGLAS PARA SU CONSTRUCCIÓN Todo número compuesto, como se mencionó, pue- de ser expresado como el producto de 1 por dos o1° Se escribe todos los números en desde el 1 hasta más factores primos y se pondrá calcular algunos el límite pedido. elementos asociados cuyas fórmulas se indica a con- tinuación.2° Se tacha los múltiplos de 2, partiendo de 4. Sea N número un número compuesto:3° El siguiente número no tachado es el 3; en conse- N = aα . bβ . cγ . … . wω cuencia, se tacha los múltiplos de 3 , partiendo de 9. - 36 -
  37. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Donde: 36 2 36 = 22 . 33 a, b, c, …, w = factores primos de N 18 2 sus factores son: 9 3 α, β, γ, …, ω = exponentes de los factores primos 1, 2, 4 3 3 de N 3, 6, 12 1 9, 18, 36NÚMERO DE DIVISORES1) n = (α + 1) (β + 1) (γ + 1) … (ω + 1) 48 2 48 = 24 . 3 24 2 n: número de divisores de N sus factores son: 12 2 Ejemplo: 6 2 1, 2, 4, 8, 16, 3 3 3, 6, 12, 24, 48 N = 12 = 22 . 31 1 n = (2 + 1) (1 + 1) = 6 {1, 2, 3, 4, 6, 12} 72 2 72 = 23 . 32 36 2SUMA DE DIVISORES sus factores son: 18 2 aα+1 - 1 bβ+1 - 1 cγ+1 - 1 wω+1 - 1 9 3 1, 2, 4, 8,2) S = ––––––– . ––––––– . –––––– . … . ––––––– a-1 b-1 c-1 w-1 3 3 3, 6, 12, 24, 1 9, 18, 36, 72 S: suma de los divisores de N Los “divisores comunes” a los números 36, 48 ySUMA DE INVERSAS DE DIVISORES 72 son: 1, ,2 ,3 ,4 ,6 y 12, pero el mayor de ellos es 12, éste es el MCD. S3) Si = ––– N PROPIEDADES DEL M.C.D. Si: suma de la inversa de los divisores de N. 1) El MCD de los números primos es la unidad.SUMA DE POTENCIAS DE LOS DIVISORES 2) El MCD de dos o más números primos entre si es la unidad. aq(α+1) - 1 bq(β+1) - 1 wq(ω+1) - 14) Sq = –––––––– . –––––––– … ––––––––– 3) De dos números diferentes, estando uno con- a-1 b-1 w-1 tenido en el otro, MCD de ellos es el menor. Sq: suma de las potencias “q” de los divisores de N 4) Si se divide dos números entre su MCD los cocien-PRODUCTO DE DIVISORES tes que resultan son números primos relativos. __ _5) P = √Nn MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Mínimo común múltiplo de dos o más números es el P: producto de los divisores de N menor multiplo común que contenga exactamente a los números dados.MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) REGLA PARA HALLAR EL m.c.m. DE DOS OMáximo común divisor de dos números es el mayor MÁS NÚMEROSdivisor común de ellos. Se descompone los números dados en sus factores Ejemplo: primos; el m.c.m. de los números es igual al produc- to de los factores primos comunes y no comunes con Hallar el MCD de los números 36, 48 y 72 sus mayores exponentes. - 37 -
  38. Ejemplo: A.B m.c.m. = –––––– Hallar el mcm de 180; 528; 936. MCD o: 180 2 528 2 A . B = (mcm) (MCD) 90 2 264 2 45 3 132 2 NÚMEROS RACIONALES (Fracciones) 15 3 66 2 A. FRACCIONES ORDINARIAS 5 5 33 3 1 11 11 Número fraccionario o quebrado es aquel número que está constituido por una o más partes de la 1 unidad. 180 = 22 . 32 . 5 528 = 24 . 3 . 11 NOTACIÓN Una fracción se denota por: 936 2 a –– b 468 2 donde: 234 2 a es el numerador 117 3 39 3 b es el denominador 13 13 CLASIFICACIÓN 1 1) Fracciones propias.- 936 = 23 . 32 . 13 Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. ∴ m.c.m. (180; 528; 936) = 5 Ejemplo: –– 4 2 2 . 3 . 5 . 11 . 13 = 102 960 9 2) Fracciones impropias.-PROPIEDADES Son aquellas cuyo numerador es mayor que el1° El mcm de dos o más números primos absolutos denominador. Las fracciones impropias son las es igual al producto de ellos. que dan origen a los números mixtos.2° El mcm de dos números primos entre sí es el pro- 8 2 Ejemplo: –– = 2 –– (número mixto) ducto de ellos. 3 33° El cm de dos números, de los cuales uno contiene 3) Fracciones homogéneas.- al otro es el mayor de ellos. Dos o más fracciones son homogéneas cuando tienen el mismo denominador.4° Si dos o más números son multiplicados o dividi- dos por otro, el mcm queda multiplicado o divi- 8 5 22 Ejemplo: –– , –– , ––– dido, respectivamente, por dicho número. 9 9 95° Si se divide el mcm de varios números entre cada 4) Fracciones heterogéneas.- uno de ellos, los cocientes resultantes son primos Dos o más fracciones son heterogéneas cuando entre sí. tienen distintos denominadores.6° El producto de dos núneros enteros es igual al pro- 4 2 6 Ejemplo: –– , –– , ––– ducto de MCD por el mcm. 7 5 11 - 38 -
  39. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O 5) Fracciones equivalentes.- a n c Sean las fracciones –– , –– , –– , irreductibles: Una fracción es equivalente a otra fracción si b m d la segunda resulta de multiplicar o dividir al numerador y al denominador de la primera mcm (a, n, c) m.c.m. = –––––––––––– ––– por un mismo número. MCD (b, m, d) a a.K a/K 5° El MCD de dos o más fracciones irreductibles es Ejemplo: –– < > ––––– < > –––– b b.K b/K igual al MCD de los numeradores dividido entre el m.c.m. de los denominadores. 6) Fracción irreductible.- Cuando el numerador y denominador son pri- a n c Sean las fracciones –– , –– , –– , irreductibles: mos entre sí (primos relativos). b m d 3 MCD (a, n, c) Ejemplo: –– MCD = ––––––––––––––– 7 mcm (b, m, d) 7) Fracciones iguales a la unidad.- FRACCIONES DECIMALES Cuando tienen numerador y denominador iguales. Una fracción es decimal si su denominador es 10 o multiplo de 10. 3 5 6 n Ejemplo: –– = –– = –– = … = –– = 1 3 5 6 n Las fracciones decimales pueden ser: CLASIFICACIÓNPROPIEDADES a) Fracción decimal limitada.-1° Si el numerador y el denominador son multiplica- Son las que presentan un número limitado de dos o divididos por un mismo número, el quebra- cifras. A su vez, éstas puede ser: do no varía. • Fracción decimal exacta (fde). 5 5.4 5÷8 Ejemplo: –– = –––––– = ––––– Ejemplos: 9 9.4 9÷8 0,3622° De varias fracciones homogéneas, es mayor la que 0,125 tiene mayor numerador. 3 12 6 • Fracción decimal periodica pura (fdpp). Ejemplo: ––– , ––– , ––– 17 17 17 )) ) Ejemplo: 0,31 31 … = 0,31 12 6 3 ––– > ––– > ––– 17 17 17 • Fracción decimal periódica mixta (fdpm). )) )3° De varias fracciones heterogéneas que tienen el Ejemplo: 0,25 37 37 … = 0,25 37 mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. b) Fracción decimal ilimitada.- Son las fracciones decimales que presentan un 7 7 7 número indefinido de cifras y pueden ser: Ejemplo: ––– , ––– , –– 15 31 6 • Números irracionales: __ 7 7 7 ∴ –– > ––– > ––– Ejemplo: √3 = 1,7320506 … 6 15 31 • Números trascendentes4° El mcm de dos o más fracciones irreductibles es igual al mcm de los numeradores dividido entre Ejemplos: π = 3, 14159265 … el MCD de los denominadores. e = 2,71828183 … - 39 -
  40. TRANSFORMACIÓN DE FRACCIONES 261 - 2 ii) 0,26161 … = ––––– 259 –––––– = –––– 1 21) Generatriz de una fracción decimal exacta. 10 (10 - 1) 990 Sea: 0,a1 a2 a3 … an una fde. POTENCIA Y RADICACIÓN DE Su Generatriz es: CUADRADOS Y CUBOS ___________ a1 a2 a3 … an CUADRADO Y RAÍZ CUADRADA g = ––––––––––– 10n CUADRADO Se denomina cuadrado o segunda potencia de un Ejemplos: número, al producto que resulta de multiplicar dicho 183 183 número por sí mismo. i) 0,183 = –––– = –––––– 3 10 1 000 OPERACIONES MÁS IMPORTANTES 325 325 ii) 3,25 = –––– = –––– 1) a . a = a2 102 1002) Generatriz de una fracción decimal periódi- 2) a2 + 3a2 = 4a2 ca pura. 3) (an)2 = a2n Sea: ________________________ 0,b1 b2 b3 … bn b1 b2 b3 … bn una fdpp. a2 4) a2 : a = –– = a2-1 = a1 = a a1 Su generatiz es: 5) (a . b3 . c2)2 = a2 . b3. 2 . c2 . 2 = a2 . b6 . c4 b1 b2 b3 … bn g = ––––––––––– 10n - 1 an 2 a2n )) ( ) 6) ––– = –– bm –– b2m Ejemplo: 0,31 31… 7) (a . 10n)2 = a2 . 102n 31 31 Su generatriz: g = –––––– = ––– 2 10 - 1 99 CUADRADO PERFECTO3) Generatiz de una fracción decimal periódica Un número es un cuadrado perfecto cuando al mixta. descomponerlo en el producto de sus factores pri- mos, éstos presentan exponentes múltiplos de 2. Sea: ° ° ° ° ° 0,a1 a2 a3 … amb1 b2 … bn b1 b2 … una fdpm n = a2 . b2 . c2 . d2 ; (2 = multiplo de 2) Su generatriz correspondiente es: Ejemplo: 324 = 22 . 34 (a1a2 … amb1b2 … bn) - (a1a2 … am) g = ––––––––––––––––––––––––––––––– RAÍZ CUADRADA 10m(10n - 1) Raíz cuadrada de un número, es otro número que, Ejemplos: elevado al cuadrado, reproduce el número original. __ 3 615 - 36 3 579 √N = q ⇒ q2 = N i) 0,361515 … = –––––– –– = ––––– –– –– 102(102 - 1) 9 900 La raíz cuadrada puede ser exacta o inexacta - 40 -
  41. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O __ 6) (a . 10n)3 = a3 . 103n Exacta: √N = q __ a 3 a3 Inexacta: √N = q + rRAÍZ CUADRADA CON APROXIMACIÓN EN ( ) 7) ––– = –––– 10n 103nMENOS DE UNA FRACCIÓN RAÍZ CÚBICA ––––––––– Es aquel número que, elevado al cubo, reproduce el b 2 √( ) a número original. A = –– ––– . N b a 3 __ _ N = número a extraer su raíz cuadrada √N = q ⇒ q3 = N A = raíz cuadrada con aproximación de una frac- La raíz cúbica puede ser exacta e inexacta: ción __ 3 a Exacta: = √N = q –– = fracción de aproximación b 3 __ Inexacta: = √N = q + r Ejemplo: ___ RAÍZ CÚBICA CON APROXIMACIÓN MENOR 3 Hallar √196 con una aproximación menor que –– QUE UNA FRACCIÓN 7 _________ ___________ ––––––––– 3 b 3 √( ) 7 2. 196 = –– 72 . (4 . 72) a 3 A = –– 7 √( ) –– 3 ________ 3 7 √ –––––––––– 32 A = –– b ––– . N a 3 492 . 22 = –––––––– = 14 N = número a extraer a su raíz cúbica ––––––– 3 . 49 . 2 = –– 7 √ 32 7.3 A = raíz cúbica con aproximación aCUBO Y RAÍZ CÚBICA –– = fracción de aproximación bCUBO Ejemplo:Se denomina cubo o tercera potencia de un número, ______al producto que resulta de multiplicar dicho número 3 1 Hallar √27 000 con aproximación de ––3 veces como factor. 2 __________ _____ __ _OPERACIONES MÁS IMPORTANTES 3 3 1 1 216 .103 = 6 .10 = 30 1) a . a . a = a3 A = –– 2 √ 23 . 33 . 103 = –– 2 √ –––– 2 2) (an)3 = a3n SISTEMAS DE MEDIDAS a3 SISTEMAS TRADICIONALES 3) a3 : a = ––– = a3-1 = a2 a1 SISTEMA MÉTRICO 4) (an . bm . cp)3 = a3n . b3m . c3p La definición moderna de 1 metro equivale a 1 650 736, 73 veces la longitud de onda de la luz anaranja- an 3 a3n () 5) –– = –––– bn b3n da emitida por los átomos de un isótopo puro de criptón (criptón 86) bajo una descarga eléctrica. - 41 -
  42. MEDIDAS AGRARIAS AGRARIA1 área = 100m2 1 fanegada = 28 978 m2 = 3HaHectárea = 10 000m2 = 100 áreas 1 fanegada: es el área de terreno equivalente a 144Centiárea = 1m2 varas de ancho y 288 varas de largo.MEDIDAS DE VOLUMEN VOLUMEN 31 metro cúbico = 1m 1 vara cúbica = 0,59 m3 31 decímetro cúbico = 0,001 m PESO1 centímetro cúbico = 0,000001 m3 1 tonelada = 20 quintales = 920 kg1 milímetro cúbico = 0,000000001 m3 1 quintal = 4 arrobas = 46 kgMEDIDAS DE CAPACIDAD 1 arroba = 25 libras = 11,4 kg1 Mirialitro = ML = 10 000 L 1 libra = 16 onzas = 0,454 kg1 kilolitro = kL = 1 000 L 1 onza = 8 dracmas = 28,38 g1 Decalitro = DL = 10 L 1 dracma = 2 adarmes = 2,5 g1 Litro = Lt = 1L = 1 decímetro cúbico 1 adarme = 3 tomines = 1,25 g1 decilitro = dL = 0,1 L SISTEMA INGLES1 centilitro = cL = 0,01 L LONGITUD1 militro = mL = 0,001 L 1 yarda = 3 pies = 0,914 mMEDIDAS DE PESO 1 pie = 12 pulgadas = 30,48 cm1 tonelada métrica = 1 000 kilos 1 pulgada = 2,54 cm1 quintal métrico = 100 kilos LONGITUD: ItinerariasSISTEMA ESPAÑOL 1 milla marina = 1 852 mLONGITUD 1 milla terrestre = 1 609 m1 legua = 6 666 2/3 varas = 4 827 m1 vara = 2,76 pies = 0,84 m SUPERFICIE 1 yarda cuadrada = 0,836 m21 pie = 12 pulgadas = 30,48 cm 1 pie cuadrado = 0,093 m21 pulgada = 2,54 cm 1 pulgada cuadrada = 0,000645 m2SUPERFICIE AGRARIA 21 vara cuadrada = 0,7 m 1 acre = 43 560 pies cuadrados = 4 047 m2 - 42 -
  43. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OVOLUMEN RELACIONES ENTRE LONGITUD Y TIEMPO1 yarda cúbica = 0,7646 m3 Tiempo Arco1 pie cúbico = 0,02832 m3 1 día = 360º1 pulgada cúbica = 0,000016 m3 1 hora = 15ºCAPACIDAD 1 minuto = 15’ 1 galón imperial = 4,546 L 1 segundo = 15” (1 galón U.S.A. = 3,785 L)PESO DIMENSIONES GEOGRÁFICASSe utiliza tres sistemas: Longitud: Distancia medida en arco sobre un cír- culo máximo de la tierra (el Ecuador) al meridi-Avoirdupois (más utilizado) ano de Greenwich.Troy (usado para metales nobles) Latitud: Distancia, medida en arco sobre un meridiano de cualquier punto al Ecuador.Apothecables (usado en farmacias) Longitud y Latitud del punto P:SISTEMA AVOIRDUPOIS (avdp) Longitud Merdiano de Greenwich1 tonelada larga = 2 240,0 lb = 1 016,05 = kg recorrida (0º longitud) Latitud Ecuador1 tonelada corta = 2 000,0 lb = 907,18 = kg recorrida (0º latitud)1 quintal = 100,0 lb = 45,36 = kg1 libra = 16,0 Onz. = 453,59 = g1 onza = 16,0 dracmas = 28,35 = g1 dracma = 27,3 granos = 1,77 = gDENSIDAD DE ALGUNOS CUERPOS g/cm3 agua destilada = 1 agua de mar = 1,03 aire = 0,00129 Meridiano Paralelo hielo = 0,92 SISTEMA INTERNACIONAL (SI) hierro = 7,8 Está basada en el sistema métrico. leche = 1,03 UNIDADES DE BASE Son 7 unidades de base, establecidas arbitrariamente petróleo = 0,8 y consideradas independientemente porque no guardan relación entre sí: - 43 -
  44. PROPIEDADES Y LEYES UNIDAD DE MEDIDA MAGNITUDES Con la R A es una diferencia y la R G es una división, FÍSICAS NOMBRE SÍMBOLO éstas cumple con las mismas propiedades de la resta y division, respectivamente. Longitud metro m PROPORCIONES Masa kilogramo kg Se llama “proporción” a la igualdad de dos razones, Tiempo segundo s siendo la característica principal que estas razones son iguales. Las proporciones pueden ser Aritméticas Intensidad de ampere A y Geométricas. corriente eléctrica PROPORCIÓN ARITMÉTICA Temperatura kelvin K termodinámica Sean las R A: a - b = k c-d=k Intensidad luminosa candela cd ∴ P A: a - b = c - d Cantidad de materia mol mol o, también: a . b : c . dUNIDADES SUPLEMENTARIAS Se lee: “a es a b, como c es a d” UNIDAD DE MEDIDA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA MAGNITUD FÍSICA NOMBRE SÍMBOLO Sean las RG Ángulo plano radián rad a –– = k b Ángulo sólido estereoradián sr c –– = k dRAZONES Y PROPORCIONES a cRAZONES ∴ P G: –– = –– b dSe llama “razón” a la comparación de dos cantidades.Esta comparación puede hacerse mediante una o, también: a : b : : c : dDIFERENCIA, en tal caso se llama “razón aritméti-ca”, o mediante una DIVISIÓN, en tal caso se llama Se lee: “a es a b, como c es a d”“razón geométrica”. CLASES DE PROPORCIONES SEGÚN SUS Razón Aritmética (R A) TÉRMINOS a-b=d 1) Proporción discreta.- Una proporción Aritmética o Geométrica es disc- Razón Geométrica (R G) reta si sus términos son diferentes: a Sean: –– = K b a c a - b = c - d ∨ –– = –– donde: b d a: antecedente b: consecuente ⇒ a≠b≠c≠d - 44 -
  45. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O En este caso, cualquiera de los términos se llama “Tercera Proporcional”. PROMEDIOS2) Proporción continua.- Se denomina promedio, o cantidad media, a una cantidad tal que: de varias cantidades, el Una proporción Aritmética o Geométrica es con- promedio es mayor que la inferior pero menor tinua sis sus términos medios, o sus términos que la superior. Puede ser Aritmética, Geomé- extremos son iguales así: tria o Armónica. Sean: MEDIDA ARITMÉTICA: a c a - b = c - d ∨ –– = –– b d a1 + a2 + a3 + … + an Ma = –––––––––––––––––– a1 < Ma < an n ⇒b=c ∨ a=d MEDIDA GEOMÉTRICA: En este caso cualquiera de los términos diferentes ________________ se llama “Tercera Proporcional” y al término que Mg = √a1 . a2 . a3 . … . an a1 < Mg < an se repite se le llama: MEDIDA ARMÓNICA: “media diferencial” si es P A n “media proporcional” si es P G Mh = ––––––––––––––––––– 1 + –– + –– + … + –– 1 1 1 –– a1 < Mh < an a1 a2 a3 anTÉRMINOS NOTABLESMEDIA DIFERENCIAL (m d) Además, se cumple que: 2 Sea la P A continua: a - b = b - d Ma > Mg Mg = Ma . Mh a+d y, el producto de dos cantidades es igual al b = ––––– 2 producto de su media aritmética por su media armónica.MEDIA PROPORCIONAL (m p) a . b = Ma . Mh a b Sea la P G continua: –– = –– b d PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES ____ GEOMÉTRICAS b = √a . d a c Si: –– = –– , se cumple las siguientes propiedades:MEDIA ARMÓNICA (m h) b d Sean los números a y b; con inversas: a±b a b a+b c+d –––––– = –– = –– –––––– = ––––– 1 1 c±d c d a-b c-d __ , __ a b 1 n n a+c b+d a c ∴ mh = ––––––– 1 a 1 –– + –– b ––––– = ––––– a-c b-d () () –– b = –– d - 45 -
  46. a.b ––– ––– b) Inversa: a . b = c . x ⇒ x = –––– a-c a c n a n c c –––– = –– = –– b-d b d √ √ –– = b –– d REGLA DEL TANTO POR CIENTO a c e La regla del tanto por ciento es un caso particular de Si: –– = –– = –– = k, se verifica las siguientes la regla de tres simple directa. b d f propiedades. Ejemplo: a+c+e a.c.e –––––––– = k ––––––– = k3 Calcular el 8% de 98. b+d+f b.d.f A mayor tasa, mayor interés. Son directamente proporcionales, luego:MAGNITUDES PROPORCIONALES 8 xMagnitudes proporcionales son aquellas que guardan ––– = ––– 100 98alguna relación matemática entre sí. Pueden serdirecta e inversamente proporcionales. 8 . 98 x = –––––Magnitudes directamente proporcionales.- 100Se dice que dos magnitudes “A” y “B” son directa-mente proporcionales, cuando los cocientes de cada REGLA DE TRES COMPUESTApar de sus valores son iguales: Una regla de tres compuesta está formada por una o más reglas de tres simple, que pueden ser todas A = {a1, a2, a3, … , an} directamente proporcionales o todas inversamente proporcionales o de proporción mixta. B = { b1, b2, b3, …, bn} Ejemplo: a1 a2 a3 an 5 hombres en 8 días fabrican 600 m de tela. ∴ –– = –– = –– = … = –– = k b1 b2 b3 bn 13 hombres en x días fabrican 1 300 m de tela.Magnitudes inversas proporcionales.- 5 . 13 . 1 300 ⇒ x = ––––––––––– = 17,6 días = 18 díasSe dice que dos magnitudes “A” y “B” son inversa- 8 . 600mente proporcionales, cuando los productos de cadapar de sus valores son iguales. ARITMÉTICA MERCANTIL A = {a1, a2, a3, … , an} INTERÉS SIMPLE B = { b1, b2, b3, …, bn} INTERÉS O RÉDITO ∴ a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = … = an . bn = k Se denomina Interés o Rédito a la ganancia que pro- duce una cantidad llamada Capital, prestada por unREGLA DE TRES tiempo determinado y según una tasa fijada. Hay dos clases de intereses: Simple y Compuesto. ElREGLA DE TRES SIMPLE Interés Compuesto se estudia en Algebra.Se emplea para calcular un cuarto valor cuando otrostres son conocidos. La regla de tres simple puede ser: FÓRMULAS BÁSICASdirecta e inversa. C.i.t 100 . 1 a c b.c I = –––––– C = –––––– a) Directa: –– = –– ⇒ x = –––– 100 i.t b x a - 46 -
  47. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O M= C + I Vn . i . t Vn . i . t Dc = ––––––– Dc = ––––––– 100 1 200 I = Interés o rédito ganado. t en años t en meses C = Capital impuesto a un interés. Vn . i . t i = Tasa de interés (porcentaje que gana el ca- Dc = ––––––– 36 000 pital). t en días t = Tiempo que demora el préstamo. Además se define el nuevo valor a cobrar como: Si el tiempo es en años, se usa 100; si el tiempo está en meses, se usa 1 200; si el tiempo está en Va = Vn - Dc días, se usa 36 000. Va = Valor actual M = Monto final que equivale a la suma del capi- tal más el interes. 0 Vn ––––––––––––––––––FÓRMULAS PARA CALCULAR EL MONTO EN 123123FUNCIÓN DEL CAPITAL Va Dc C(100 + i . t) C(1 200 + i + t) valor actual en función del valor nominal M = ––––––––––– M = –––––––––––––– 100 1 200 Vn(100 - i . t) t en años t en meses Va = –––––––––––– 100 C(36 000 + i . t) Vn(1 200 - i . t) M = ––––––––––––– Va = ––––––––––––– 36 000 1 200 t en días Vn(36 000 - i. t) Va = ––––––––––––––DESCUENTO 36 000Es la disminuición que se hace a una cantidad indi- DESCUENTO RACIONALcada en un documento comercial para hacer efectivosu cobro antes de la fecha fijada para su vencimien- Es el interés simple producido por el Valorto. El documento comercial, según su naturaleza se Actual” de una letra, desde el día en que se hacedenomina: el descuento hasta el día de su vencimiento. Letra de cambio, Pagaré, Cheque bancario. Hay dos clases de descuento: Va . i . t Va . i . t Dr = ––––––– Dr = ––––– ––– Comercial y Racional. 100 1 200 DESCUENTO COMERCIAL Va . i . t Dr = ––––––– Es el interés simple, Dc, que produce el “Valor 36 000 Nominal”, Vn (que es aquel escrito en el docu- mento) de una letra desde el día en que se hace el De este modo: descuento hasta el día del vencimiento; a este descuento se le conoce también como descuento interno. Vn = Va + Dr - 47 -
  48. VALOR ACTUAL EN FUNCIÓN DEL VALOR t = Número de días o plazo de vencimiento de la NOMINAL letra única. 100 . Vn 1 200 . Vn t1, t2, … ,tn = Plazo de vencimiento de cada una Va = ––––––––– Va = –––––––––– de las otras letras. 100 + i . t 1 200 + i . t V1, V2, … Vn = Valores nominales de las otras letras. 36 000 . Vn Va = –––––––––––– 36 000 + i . t DESCUENTOS SUCESIVOS Todo los descuentos sucesivos aplicables, pueden ser consolidados en un descuento único “D.U.”:COMPARACIÓN DEL DESCUENTO COMERCIALCON EL DESCUENTO RACIONAL D1 . D2 Sólo por fines comparativos, establezcamos [ D.U. = D1 + D2 - ––––––– % 100 ] Vn . i . t Vn . i . t D1 = primer descuento Dr = ––––––––– Dr = –––––––––– 100 + i . t 1 200 + i . t D2 = segundo descuento Ejemplo: Vn . i . t Dr = –––––––––––– 36 000 + i . t Un comprador logra un primer descuento de 25% y un descuento adicional, sobre el nuevo monto, del 10%. Se pregunta ¿ Cuál es el descuento final Lo que cual, nos permite deducir que: (único) que obtiene? Solución: Dc > Dr Aplicando la fórmula: 25 . 10 Dr . i . t Dc - Dr = –––––––– 100 [ D.U. = 25 + 10 - ––––––– 100 ] D.U. = 35 - 2,5 = 32,5 Dc . Dr Luego: D.U. = 32,5 % Vn = ––––––– Dc - Dr Como podrá observarse el descuento único NO es el 35 % (25 + 10).VENCIMIENTO COMÚNEs una operación comercial que consiste en realizar AUMENTOS SUCESIVOSuna pago único de dos o más letras de cambio quetienen diferentes vencimientos; la fecha en que se Porcentajes de aumento a las nuevas cantidades,realiza el pago único se denomina vencimiento resultan en un Aumento Único “A.U.”:común. A1 . A2 V1 + t1 . V2 . t2 + … + Vn . tn t = ––––––––––––––––––––––––– V1 + V2 + … + Vn [ A.U. = A1 + A2 + –––––– 100 ] - 48 -
  49. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OEjemplo: REPARTIMIENTO PROPORCIONALUn capital aumenta en dos porcentajes sucesivos TIPOLOGÍAde 18 % y 12 %. ¿Cuál es el porcentaje de aumen-to único? Consiste en repartir un número “N” en otrosSolución: números tales como x, y, z, que sean a su vez pro- porcionales a los números a, b, c.Dado que el 12% se aplica sobre el nuevo monto,la respuesta No Es 40% (18 + 12): El reparto puede ser directo o inversamente propor- cional. [ A.U. = 18 + 12 + 18 . 12 –––––– 100 ] 1) Reparto directamente proporcional.- Repartir el número “N” en partes directamente A.U. = 30 + 2,16 = 32,16 proporcionales a los números a, b, c.Luego: A.U. = 32,16 % Sean x, y, z los números buscados: x y z NREGLAS DE FALSA SUPOSICIÓN –– = –– = –– = –––––––– a b c a+b+cConsiste en un supuesto que se hace del valornumérico de la respuesta a un problema. De aqui:Puede ser SIMPLE o DOBLE. N.a N.b N.c x = –––––––– y = ––––––– z = ––––––––1) Simple.- a+b+c a+b+c a+b+c Se asigna a la incógnita un valor numérico Por principio de proporción geométrica: supuesto. Si este valor se opera y se cumple con el problema, es la respuesta; en caso x+y+z+=N contrario, se plantea la proporción: Resultado Resultado que 2) Reparto inversamente proporcional.- obtenido debe obtenerse Consiste en repartir el número “N” en 3 números –––––––––––––– = ––––––––––––– que sean inversamente proporcionales a los Número supuesto Incógnita números a, b, c.2) Doble.- Sean x, y, z los números buscados. Consiste en suponer dos valores distintos para la incóginta, con estos valores se opera x y z N –– = –– = –– = ––––––––––– y la diferencia de cada uno de estos resulta- 1 1 1 1 1 1 –– –– –– –– + –– + –– dos con el verdadero, constituyen los a b c a b c errores. De aqui: V’ . e - V” . e x = ––––––––––– e” - e’ 1 1 –– . N –– . N a b X = Incógnita x = ––––––––––– y = ––––––––––– 1 1 1 1 1 1 –– + –– + –– –– + –– + –– V’ = Primer valor supuesto a b c a b c V” = Segundo valor supuesto 1 –– . N e’ = Error que se comente con V’ c z = –––––––––– e” = Error que se comete con V” 1 1 1 –– + –– + –– a b c - 49 -
  50. Por principio, se cumple que: G N=a+b+c g = ––– (g = ganancia o pérdida) nREPARTIMIENTO PROPORCIONAL Ganancia o pérdida igual para cada socio.COMPUESTO b) Capitales diferentes y tiempos iguales:Es repartir el número N en partes directamente pro-porcionalesa los números a, b. c e inversamente pro- (t1 = t2 = … = tn)porcionales a los números a’, b’, c’. x y z N G . c1 –– = –– = –– = –––––––––– g1 = ––––––––––––––– a b c a b c c1 + c2 + … + cn –– –– –– –– + –– + –– a’ b’ c’ a’ b’ c’ c) Capitales iguales y tiempos diferentes:APLICACIONES (c1 = c2 = … =cn)REGLA DE COMPAÑIA O DE SOCIEDAD G . t1Es una aplicación de los repartos proporcionales. El g1 = ––––––––––––objetivo es repartir entre dos o más socios la ganan- t1 + t2 + … + tncia o pérdida. Puede ser simple o compuesta.REGLA DE COMPAÑIA COMPUESTA REGLA DE MEZCLA O ALIGACIÓN Se presenta dos casos: Mezcla propiamente dicha y G . c1 . t1 aleación. g1 = ––––––––––––––––––––––––– c1 . t1 + c2 . t2 + … + cn . tn A) MEZCLA Es la unión de dos o más ingredientes, conservan- do cada cuál su naturaleza. Desde un punto de G . c2 . t2 vista comercial, la mezcla se realiza con el objeto g2 = ––––––––––––––––––––––––– de establecer el precio promedio, de manera que c1 . t1 + c2 . t2 + … + cn . tn no haya pérdida ni ganancia. Puede ser Directa o Inversa. Donde: g1, g2, … = ganancias o pérdidas de cada socio REGLA DE MEZCLA DIRECTA G = ganancia o pérdida total Sirve para calcular el precio promedio: c1, c2, … = capitales aportados por cada socio p1 . c1 + p2 . c2 + … + pn . cn t1, t2, … = tiempo en que se impone cada capital Pm = –––––––––––––––––––––––– c1 + c2 + … + cn n = número de sociosREGLA DE COMPAÑIA SIMPLE Pm = Precio medioPuede presentarse los siguientes casos: p1, p2, p3, … pn = Precios unitarios de cada ingre- diente. a) Capitales iguales y tirmpos iguales: (c1 = c2 = … ; t1 = t2 = …) c1, c2, c3, … cn = cantidades de cada ingrediente. - 50 -
  51. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OREGLA DE MEZCLA INVERSA ALEACIÓN INVERSASirve para calcular las proporciones en que inter- Se trata de calcular la proporción de los pesos de losvienen los ingredientes, conocidos susprecios unitar- lingotes que intervienen en la aleación, cuyas leyes seios y su precio medio. conoce: x Pm - py x Ls - Lm –– = ––––––––– y px - Pm –– = –––––– y Lm - Li x, y = ingredientes de la mezcla (magnitudes físicas: peso, etc.) x = peso del lingote de ley superior Pm = precio medio de la mezcla y = peso del lingote de la ley inferior px, py = precios unitarios de los ingredientes Ls = ley del lingote de ley superior Li = ley del lingote de ley inferiorALEACIÓNEs el resultado que se obtiene al fundir varios met- Lm = ley mediaales, entre ellso siempre hay un metal más fino. Laaleación es una mezcla. CAMBIOS EN LA LEY DE UNA ALEACIÓNLEY DE ALEACIÓN AUMENTO DE LA LEY DE UNA ALEACIÓNEs la relación del peso del metal fino y el peso total P(LA - L)de la aleación, se expresa en milésimos. p = –––––––– LA F L = ––– P p = peso del metal fino que se tiene que agregar L = ley de aleación P = peso inicial de la aleación F = peso del metal fino LA = nueva ley del lingote P = peso de la aleación L = ley inicial del lingoteALEACIÓN DIRECTA DISMINUCIÓN DE LA LEY DE UNA ALEACIÓNSe trata de calcular la ley de una aleación resultanteal fundir lingotes de diferentes leyes. P(L - LD) p = –––––––– LD F1 + F2 + … + Fn L = ––––––––––––––– p1 + p2 + …+ pn p = peso del metal pobre que se tiene que agregar L = ley de aleación P = peso inicial de la aleación F1, F2, F3, … , Fn = peso del metal fino en cada lingote. LD = nueva ley del lingote p1, p2, p3, … , pn = peso de cada lingote. L = ley inicial del lingote - 51 -
  52. LEY DE KILATES Ejemplo:Kilate es una forma de iniciar la pureza de una ¿Que porcentaje de metal fino contiene unas jo-aleación denotando el número de partes de metal yas de oro de 18 kilates?fino en 24 partes de aleación.Por ejemplo, oro de 18 kilates quiere decir que si la 18joya pesa 24, 18 son de oro. También se puede expre- L = –––– = 0,75 24sar en porcentaje. ∴ P = 75% de oro puro. Número de kilates L = –––––––––––––––– 24 - 52 -
  53. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O ÁLGEBRADEFINICIÓN iv) : , se lee: “entre”Es la parte de la matemática elemental que estudia a a : b, se lee: “a entre b”la cantidad en su forma más general. Para su estudioemplea números y letras. v) Exponente: an, se lee: “a, a la n”. (signo de potencia)NOTACIÓN USADA EN EL ÁLGEBRA Significa “n” veces “a” como factor, así:Las cantidades conocidas son representadas por las a.a.a…apirmeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … ; las canti- 123dades desconocidas o incógnitas, por las últimas nletras: x, y, z, … __ vi) √ , se lee: “raíz”Para no repetir las letras, cuando hay alguna __relación entre ellas se escribe: √a , se lee: “raíz cuadrada de a” a’, b’, c’ …; o también : a1, b2, c3 … B) SIGNOS DE RELACIÓNLos signos empleados en el algebra, son de tresclases: de operación, de relación y de agrupación. = , se lee: “igual”A) SIGNOS DE OPERACIÓN a = b, se lee: “a igual b” __ Son seis: + ; - ; . ; : ; an ; √ > , se lee: “mayor que” Ejemplos: a > b, se lee: “a mayor que b” i) +, se lee: “más”. < , se lee: “menor que” a + b, se lee: “a más b” a < b, se lee: “a menor que b” ii) - , se lee: “menos” ≥ , se lee: “igual o mayor que” a - b, se lee: “a menos b” a ≥ b, se lee: “a igual o mayor que b” iii) . , se lee: “por” ≤ , se lee: “menor o igual que” a . b, se lee: “a por b” a ≤ b, se lee: “a igual o menor que b” - 53 -
  54. ≡ , se lee: “idénticamente igual a” VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO a ≡ b, se lee: “a identicamente igual a b” A) Valor absoluto o número absoluto, es el ≠ , se lee: “diferente de” valor que denota la fugura que representa, independiente del signo. a ≠ b, se lee: “a diferente de b” Ejemplos: , se lee: “ se lee no es menor que” | -5 | = 5 ; |3|=3 a b, se lee: “a no es menor que b” B) Valor relativo o número relativo, es el valor que depende del signo que la acompaña. , se lee: “no es mayor que” Ejemplos: a b, se lee: “a no es mayor que b” -7 ; +4 , se lee: “aproximadamente igual a” a b, se lee: “a aproximadamente a b” OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RELATIVOS <>, se lee: “equivalente a” A) SUMA a <> b, se lee: “a equivalente a b” • Suma de dos números positivos: ⇒, se lee: “a entonces b” (+5) + (+7) = +5 + 7 = +12 a ⇒ b, se lee: “a entonces a b” o • Suma de dos números negativos: “a implica a b” (-3) + (-5) = -3 - 5 = - 8 ∧, se lee: “y” • Suma de un número positivo y un número ne- gativo: a ∧ b, se lee: “a y b” (+7) + (-3)= +7 - 3 = +4 ∨, se lee: “o” (-12) + (+2) = -12 + 2 = -10 a ∨ b, se lee: “a o b” B) SUSTRACCIÓN ≅ , se lee: “es congruente con” • (+8) - (+4) = +8 - 4 = +4 b ≅ b, se lee: “b es congruente con b” • (-8) - (-13) = -8 + 13 = +5C) SIGNOS DE AGRUPACIÓN • (-12) - (-8) = -12 + 8 = -4 C) MULTIPLICACIÓN ( ) : paréntesis • (+3) (+5) = +15 [ ] : corchetes • (-2) (-3) = +6 { } : llaves • (+5) (-8) = -40 –– : vínculo o barra • (-12) (+3) = -36 - 54 -
  55. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OD) DIVISIÓN EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el conjunto de números y letras unidas entre sí • (+18) ÷ (+2) = +9 por los signos de operación: más, menos, por, entre, • (+12) ÷ (-4) = -3 exponente, radiación. Ejemplo: • (-15) ÷ (-3) = +5 • (-14) ÷ (+7) = -2 i) 4x2 + 5y2 + 7z2 ii) 4xE) POTENCIA _____ 3x5 + √1 + x (+2)2 = +4 iii) ––––––––––––– 2xy + y5 (-5)4 = 625 Las funciones exponenciales, logarítmicas y tri- gonométricas no son expresiones algebraicas, son (-3)3 = -27 funciones trascendentes.F) RAÍCES Ejemplos: ____ i) 5x par √ (+) = + y/o - (dos raíces) ii) logbx par ____ √ (-) = número imaginario iii) sen x _ ___ impar CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES √(+) = + ALGEBRAICAS impar _ ___ √ (-) = - A) RACIONALES.- Sus exponentes son enteros, la cantidad sub-radi-EXPRESIONES ALGEBRAICAS cal no tiene letras.PRINCIPALES CONCEPTOS Ejemplos:TERMINO ALGEBRAICO i) 4ax2 + 5y3 + 7z4 + 3x-5zEs la mínima expresion algebraica cuyas partes no 3 5z ii) –– x3 + –––están separadas ni por el signo más ni por el signo 4 6menos. Las partes de un término algebraico son: __ 5 __ iii) 2y + √3 x + √7 x5y coeficiente exponente B) IRRACIONALES.- Tiene exponentes fraccionarios, la cantidad sub- 4 -7x radical incluye letras. Ejemplos: i) 5x1/2 + 7y1/3 + 8z1/5 + 9y-1/2 signo parte literal ____ ii) 4x12 + 5y + 2√3xy - 55 -
  56. 2 3y 7 1 iii) –––– + ––––– + –––– __ __ __– 6) a-n = ––– 3 5 an √x √z √y a -n b n A su vez, las expresiones algebraicas irracionales pueden ser enteras o fraccionarias. ( ) ( ) 7) –– = –– b a am a m • Racional entera.- Denominadores sin letras, exponentes positivos. 8) ––– = –– bm b ( ) Ejemplos: m __ m __ m _____ 9) √ a . √ b = √ a . b i) 2x2 + 3z2y3 + 6w4 m __ _ n 9y 2 1 10) √an = am ii) 3x4 + ––– + –– z2 8 3 __ ___ m 11) √__ = m –– a a • Racional fraccionaria.- Denominadores con le- tras, exponentes negativos. –– m √b –– b √ __ n m __ Ejemplos: m 12) ( √ a ) = √ an 7x 2 i) 4x-3 + 7y-9 + –––– - ––– ____ __ mn __ 2 4yz 3y m n 13) √ √ a = √ a Obsérvese que: LEY DE LOS SIGNOS 1 x-3 = –– x3 1) MULTIPLICACIÓN 1 y-9 = –– (+) . (+) = (+) y9 (+) . (–) = (–) 4x2 + 2y + z ii) –––––––––––– (–) . (+) = (–) 5x4 + 2x + z (–) . (–) = (+)TEORÍA DE EXPONENTES 2) DIVISIÓNLa teoría de exponentes estudia todas las clases de (+) (+)exponentes que existen y las relaciones entre ellos. ––– = (+) ––– = (–) (+) (–)OPERACIÓN DE EXPONENTES (–) (–) m n m+n ––– = (–) ––– = (+) 1) a . a = a (+) (–) 2) am . bm = (a . b)m 3) POTENCIA 3) (am)n = amn (+)2n = (+) am (+)2n+1 = (+) 4) –– = am-n – an (–)2n = (+) 5) a0 = 1, a ≠ 0 (–)2n+1 = (–) - 56 -
  57. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O4) RADIACIÓN GRADOS DE UN MONOMIO 2n+1 ___ _ √ (+) = (+) MONOMIO 2n+1 ____ Es la mínima expresión algebraica formado por un √ (–) = (–) solo término algebraico. 2n ____ √ (+) = (±) GRADO ABSOLUTO (G.A) 2n ____ Es la suma de los exponentes de todas las letras del √ (–) = número imaginario monomio. Nota.- 2n = número par Ejemplo: M = x2y3z-1 2n + 1 = número impar ∴ G.A.M. = 2 + 3 - 1 = 4ECUACIONES EXPONENCIALESSon igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen GRADO RELATIVO (G.R.)como exponentes. Se llama igualdad relativa aquella Está dado por el exponente de una letra del monomio.que se verifica soló para algunos valores que se leasigna a la incógnita. Ejemplo: Así:, por ejemplo: M = 4x3y5z4w2 7x+1 = 343 ∴ G.R.M. y = 5 7x+1 = 73 G.R.M. x = 3 igualando exponentes: que se lee: “el grado relativo del monomio respec- to a la letra y es 5 y respecto a la letra x, es 3”. x+1=3 ∴ x=2 GRADOS DE UN POLINOMIO POLINOMIOVALOR NUMÉRICO Es una expresión algebraica que tiene 2 o más térmi-Es aquel valor que adquiere una expresión algebraica nos algebraicos.cuando se le asigna un valor numérico a sus letras. Por convención, se denomina: Ejemplo: Binomio: cuando tiene 2 términos Hallar el valor numérico de: Trinomio: cuando tiene 3 términos, etc. E = x5 + 3x2 - 8x + 1; para x = 1 GRADOS ABSOLUTO DE UN sustituyendo x = 1: POLINOMIO(G.A.P.) Está dado por el grado del término que tiene mayor E = 15 + 3 . 12 - 8 . 1 + 1 = -3 grado absoluto.GRADO DE LAS EXPRESIONES Ejemplo: Sea el polinomio:ALGEBRAICAS P = 4x2y3w4 + 3xy5w - 18x6y8w-7GRADO G.A. de 4x2y3w4 =2+3+4=9Es una característica de la expresión algebraica, dada G.A. de 3xy5w =1+5+1=7por el exponente de sus letras, el cual debe ser un nú-mero entero y positivo. El exponente permite además G.A. de -18x6y8w-7 =6+8-7=7determinar el número de soluciones que tiene unaecuación. El grado puede ser relativo y absoluto. Luego: G.A.P. = 9 - 57 -
  58. GRADO REALTIVO DE UN POLINOMIO(G.R.P.) B) POLINOMIO COMPLETOEstá dado por el mayor exponente de la letra referi- Con respecto a una letra, es aquel que se caracte-da en el problema. Así en el polinomio del ejemplo riza porque los exponentes de la letra considera-anterior: da existen desde el mayor hasta el cero inclusive. G.R.P. respecto a x = 6 A este último término se le denomina “término independiente”. G.R.P. respecto a y = 8 Ejemplos: G.R.P. respecto a w = 4 i) P(x, y) = 5x5 + 6x4y + 7x3y2 + 3x2 - 7x + 6y3POLINOMIOS P(x,y) es completo con respecto a “x”. El “térmi-NOTACIÓN POLINÓMICA no independiente” es 6y3.Es la representación de un polinomio, mediante sus ii) P(x) = 4x3 - 8x2 + 12x - 9variables y sus constantes. es completado con respecto a x. El término inde-VARIABLE.- Es toda magnitud que cambia de valor. pendiente es -9.CONSTANTE.- Es toda magnitud que tiene valor fijo. PROPIEDADES DE UN POLINOMIO COMPLETONOTACIÓN POLINÓMICA.- • Si el polinomio es de grado “n” el número de tér-La notación polinómica es la siguiente: minos es igual a “n + 1”. 1) P(x) se lee: “polinomio en x” • El grado del polinomio completo es igual al número de términos menos 1. 2) P(x, y) se lee: “polinomio en x, y” GP=#TP-1 3) P(x, y, z) se lee: “polinomio en x, y, z” • La diferencia de grados relativos de dos términos Ejemplos: consecutivos es igual a la unidad. i) P(x,y) = 4x2 + 5y3 + 2x2y + 7 G R (tx+1) - GR (tx) = 1 ii) P(x) = 5x8 + 3x5 - 6x3 - 8 • El “término independiente” contiene a la varia- iii) P(x, y, z) = 8x2y - 9xz + 2yz + 9z + 10y - 9 ble con exponente cero.POLINOMIOS ESPECIALES Ejemplo: -9x0 = -9Se trata de polinomios importantes con característi-cas útiles: C) POLINOMIO HOMOGENEOA) POLINOMIOS ORDENADOS Todos sus términos tienen igual grado absoluto. Son aquellos que son ordenados de manera cre- P(x, y) = 4x7y12 + 8x3y16 + 6x2y17 ciente o decreciente con respecto al grado de una letra. G.A.P. = 19 Ejemplo: D) POLINOMIOS IDENTICOS P(x,y) = 4x3y12 + 5x7y8 + 4x12y2 Son aquellos caracterizados porque los términos P(x, y) está ordenado de forma creciente con semejantes tienen coeficientes iguales. respecto a x, ordenado de forma decreciente con respecto a y. Ejemplo: 4x5 + 7y ≡ 4x5 + 7y - 58 -
  59. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OTÉRMINO SEMEJANTE 2) Cuando está precedido del signo “menos”, se elimina el signo de colección cambiando todosEs aquel que tiene igual parte literal afectada de los los signos de suma o resta que se encuentramismos exponentes, sin interesar los coeficientes. dentro de él. Ejemplo: a - (b - c) = a - b + c Son términos semejantes: 1 INTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN 4x5y2 ; -12x5y2 ; –– x5y2 4 1) Cuando tiene que ir precedido del signo “más”, seE) POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO escribe el signo de colección sin realizar ningún cambio. Son aquellos cuyos coeficientes son iguales a cero. Ejemplo: a + b - c = a + (b - c) P(x) = ax3 + bx2 + cx + d 2) Cuando tiene que ir precedido del signo “menos”, donde: a = b = c = d = 0 se escribe el signo de colección, cambiando los signos de suma y de resta de todos los términosF) POLINOMIO ENTERO EN “x” que se introduce. Sus exponentes son enteros y su única variable es “x”. a - b + c = a - (b - c) De primer grado: MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES P(x) = ax + b ALGEBRAICAS De segundo grado: Es la operación que consiste en obtener una expre- sión llamada producto, conociendo otras dos lla- P(x) = ax2 + bx + c madas multiplicando y multiplicador. De tercer grado: PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN 3 2 P(x) = ax + bx + cx + d • El grado del producto es igual a la suma de losOPERACIONES CON EXPRESIONES grados de los factores.ALGEBRAICAS • El término independiente del producto es igual alA) SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES producto de los términos independientes de los ALGEBRAICAS factores. Para sumar o restar expresiones algebraicas, se Ejemplo: suma, o se resta los coeficientes de los términos semejantes. Sea el producto: Ejemplo: (4x4 + 5x + 6) . (7x5 + 6x2 + 2) -8bx2y5 + 12bx2y5 + bx2y5 = 5bx2y5 . (3x2 + 6x - 3) . (2x - 5)SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN Grado (absoluto) del producto:1) Cuando el signo de colección está precedido del 4 + 5 + 2 + 1 = 12 signo “más”, se elimina este signo sin producir ningún cambio. Término independiente: a + (b - c) = a + b - c (6) (2) (-3) (-5) = 180 - 59 -
  60. CASOS EN LA MULTIPLICACIÓN completando el multiplicando, se escribe:1) PRODUCTO DE DOS MONOMIOS (4x3 + 7x2 + 0x - 6) (2x2 - 3x - 4) Se multiplica los signos, luego los coeficientes y, Solución: por último, las partes literales, de acuerdo a la teoria de exponentes. Se toma sólo los coeficientes:2) PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS 4 + 7 + 0 - 6 2 - 3 - 4 Se puede utilizar cualesquiera de los dos métodos ––––––––––––––––––––––––– siguientes: 8 + 14 + 0 - 12 • Método normal.- Se ordena los dos polinomios - 12 - 21 + 0 + 18 en forma descendente y se escribe uno debajo del otro. A continuación, se multiplica cada - 16 - 28 + 0 + 24 uno de los términos del multiplicador por cada ––––––––––––––––––––––––––––––––––– uno de los términos del multilplicando, sus sig- Sumando: 8 + 2 - 37 - 40 + 18 + 24 nos, sus coeficientes y sus letras; se obtiene los productos parciales, los cuales se escribe en forma ordenada uno debajo del otro del mismo Grado del producto: 3 + 2 = 5 grado y se suma ordenadamente, obteniendose El producto final es, por consiguiente: finalmente el producto total. Ejemplo: 8x5 + 2x4 - 37x3 - 40x2 + 18x + 24 (x3 + 3x2 - 5x + 1) (x + 3) PRODUCTOS NOTABLES Solución: Son denominados también “identidades algebraicas”. Su desarrollo se conoce fácilmente por una simple x3 + 3x2 - 5x + 1 observación, ya que obedecen a una ley. Lo más im- x +3 portantes son: –––––––––––––––– x4 + 3x3 - 5x2 + x 1) Cuadrado de una suma o una diferencia: 3x3 + 9x2 - 15x + 3 ––––––––––––––––––––––– x4 + 6x3 + 4x2 - 14x + 3 (a ± b)2 = a2 ± 2 . a . b + b2 2) Producto de una suma por su diferencia: • Método de coeficientes separados.- Se ordena descendentemente los coeficientes del multipli- (a + b) (a - b) = a2 - b2 cando y multiplicador, escribiendolos en línea horizontal, uno debajo del otro. Se efectúa las 3) Cuadrado de un trinomio: operaciones como en el caso anterior, corrien- do un lugar a la derecha despúes de cada pro- (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 . a . b ducto parcial; para obtener el grado del pro- ducto se aplica la propiedad respectiva. +2.a.c+2.b.c Este método es recomendable para polinomios 4) Cubo de una suma o de una diferencia: de una sola variable. En caso de faltar una potencia de la variable, se completa con el coe- (a ± b)3 = a3 ± 3 . a2 . b + 3 . a . b2 ± b3 ficiente “cero”, tanto en el multiplicando como en el multiplicador. 5) Producto de dos binomios que tienen un término común: Ejemplo: (4x3 + 7x2 - 6) (2x2 - 3x - 4) (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + a . b - 60 -
  61. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O6) Producto de un binomio por un trinomio que da una suma o diferencia de cubos: º| d | ≥ º| r | (a ± b) (a2 a . b + b2) = a3 ± b3 4º En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos uno.7) Identidades de LEGENDRE: º|r(máx)| = º| d | - 1 (a + b)2 + (a - b)2 = 2 (a2 + b2) En el caso de división de polinomios homogé- (a + b)2 - (a - b)2 = 4 . a . b neos, no se cumple esta propiedad. 5º En el caso de polinomios homogéneos, el grado8) Identidades de LAGRANGE: del resto es mayor que el grado del divisor. (ax + by)2 + (bx - ay)2 = (x2 + y2) (a2 + b2) º| r | > º| d | (ax + by + cz)2 + (bx - ay)2 CASOS EN LA DIVISIÓN + (cx - az)2 + (cy - bz)2 DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) Se procede en el siguiente orden:DIVISIÓN ALGEBRAICA Se divide los signos mediante la regla de signos.Consiste en averiguar cuántas veses una cantidad, Se divide los coeficientes.que se llama divisor (d), está contenida en otra, que Se divide los laterales aplicando “teoría de expo-se llama dividendo (D). El dividendo y el divisor son nentes”.los términos de la división y el resultado es elcociente (q). Si la división no es exacta existe un Ejemplo:resto (r). -16x4y8z5 Expresión general: ––––––––– = -4x2y3z 4x2y5z4 D=q.d+r DIVISIÓN DE POLINOMIOS Cuando la división es exacta: r = 0 Existe los siguientes métodos: entonces : D = q . d a) MÉTODO NORMALPROPIEDADES DE LA DIVISIÓN 1. Se ordenan los polinomios, generalmente en forma descendente.1º En toda división, el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. 2. Se escribe éstos en línea horizontal, uno a conti- nuación del otro y utlizando el signo de la división º| q | = º| D | - º| d | aritmética.2º En toda división el grado del dividendo es mayor 3. Se divide el primer termino del dividendo, entre el o igual que el grado del divisor. primer término del divisor, lo cual da el primer término del cociente. º| D | ≥ º| r | 4. Este primer término se multiplica por cada uno3º En toda división el grado del divisor es mayor de los términos del divisor y se resta de los que el grado del resto (excepto polinomios ho- correspondiente términos del dividendo.(se mogéneos). cambian de signo los productos). - 61 -
  62. 5. Se incorpora al residuo, el siguiente término del Procedimiento: divisor. Se divide el primer término del resto obte- nido, entre el primer término del divisor y se 6 - 20 - 13 + 25 - 12 + 7 3 - 1 + 1 obtiene el segundo término del cociente. -6 + 2 - 2 2-6-7+86. Se procede como el paso 4, y así sucesivamente, –––––––––––––––––––– - 18 - 15 + 25 hasta terminar la división. + 18 - 6 + 6 Ejemplo: –––––––––––––––––––– - 21 + 31 - 12 6x3 + 5x2y - 26xy2 + 33y3 2x2 - 3xy + y2 + 21 - 7 + 7 –––––––––––––––––––– -6x3 + 9x2y - 3xy2 3x + 7y + 24 - 5 + 7 –––––––––––––––––– - 24 + 8 - 8 14x2y - 29xy2 + 33y3 ––––––––––––––– + 3 - 1 -14x2y + 21xy2 - 7y3 ––––––––––––––––––––––– Grado del cociente: -8xy2 + 26y3 º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 2 = 3 El cociente es: 3x + 7y ∴ q = 2x3 - 6x2 - 7x + 8 El resto es: 8xy2 + 26y3 Grado del resto:b) MÉTODO DE COEFICIENTES SEPARADOS º| r | = º| d | - 1 = 2 - 1 = 1 Además de las consideraciones del método nor- mal, debe tenerse en cuenta que: ∴ r = 3x - 11. Se trabaja solamente con los coeficientes y sus sig- nos. c) MÉTODO DE HORNER2. En caso de faltar un término, se coloca en su lugar Es un caso particular del método de coeficientes cero, tanto en el dividendo como en el divisor. separados y se emplea para la división de poli- nomios de cualquier grado. Se procede así:3. Se procede a dividir estos coeficientes siguiendo los pasos del método normal, de esta manera se 1. Se escribe los coeficientes del dividendo en una obtiene los coeficientes del cociente con sus sig- fila de izquierda a derecha con su propio signo. nos. 2. Se escribe los coeficientes del divisor en una co-4. Para determinar el grado del cociente y el resto se lumna de arriba hacia abajo, a la izquierda del pri- aplica las siguientes propiedades: mer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signos º| q | = º| D | - º| d | cambiados. º| r | = º| d | - 1 3. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniendose el pri-5. Este método es recomendable para polinomios de mer término del cociente, el cual se anota en la una sola variable. última fila del cuadro. Ejemplo: 4. Se multiplica este término del cociente solamente 6x5 - 20x4 - 13x3 + 25x2 - 12x + 7 por los términos del divisor a los cuales se les cambio su signo, colocándose los resultados a par- : 3x2 - x + 1 tir de la segunda columna a la derecha. - 62 -
  63. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O5. Se reduce la siguiente columna (efectuando la d) MÉTODO O REGLA DE RUFFINI operación indicada) y se coloca este resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer Este método se utiliza para dividir polinomios coeficiente del divisor y obtener el segundo ter- cuando el divisor es un binomio de primer grado. mino del cociente.(en el ejemplo: +14 - 2 = +12). Se presenta tres casos:6. Se multiplica este cociente por los términos del 1º Cuando el divisor es de forma (x ± b) divisor a los cuales se cambio de signo, colocán- dose los resultados a partir de la tercera columna 2º Cuando el divisor es de la forma (ax ± b) a la derecha. 3º Cuando el divisor es de la forma (axn ± b)7. Se continúa este procedimiento hasta obtener un término debajo del último término del dividendo, 1er. Caso. Forma del divisor: x ± b separando inmediatamente los términos del cociente y resto. El número de términos del resto 1. Se escribe los coeficientes del dividendo en línea está dado por el número de términos que tiene el horizontal. Completando previamente, si fuese último paso. necesario.8. Se suma verticalmente obteniendose los coeficien- tes del residuo. El grado del cociente y del resto se 2. Se ecribe el término independiente del divisor, obtiene tal como se indicó en el Método de con signo cambiado, un lugar a la izquierda y un Coeficientes separados. lugar abajo del primer coeficiente del dividendo. Ejemplo: 3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente, es 8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2 : 4x2 + x + 3 igual al primer coeficiente del dividendo. Solución: 4. Para obtener los coeficientes del cociente, se sepa- Grado del cociente: ra la última columna, la cual costituye el resto. º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 2 = 3 Ejemplo: Grado del residuo: 4x4 - 5x3 + 6x2 + 7x + 8 : x + 1 º| r | = º| d | - 1 = 2 - 1 = 1 Procedimiento: Procedimiento: 12 - 4 + 8 4 - 5 + 6 + 7 + 8 4 8 + 14 + 5 + 16 + 3 + 2 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– -1 ↓ - 4 + 9 - 15 + 8 -1 - 2 -6 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– -3 - 9 4 - 9 + 15 - 8 + 16 ← resto 14444244443 + 1 +3 coeficientes del cociente - 2-6 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2+ 3 - 1+ 2 4 -4 Grado del cociente: 123 123 cociente resto º| q | = º| D | - º| d | = 4 - 1 = 3 Cociente: Q(x) = 2x3 + 3x2 - x + 2 ∴ Cociente: 4x3 - 9x2 + 15 - 8 Resto: R(x) = 4x - 4 Resto: 16 - 63 -
  64. 2do. Caso. Forma del divisor: a . x ± b 3er. Caso. Forma del divisor: a . xn ± b1. Se transforma el divisor a la primera forma, La resolución sólo es posible por el método de sacando en factor común el primer coeficiente Ruffini cuando los exponentes de la variable del div- del divisor: idendo son multiplos enteros de la variable del divi- sor. El procedimiento se explica a travéz del siguiente ( ) b ax ± b = a x ± –– a ejemplo: 6x36 + 17x27 - 16x18 + 17x9 + 12 ÷ 3x9 + 1 caso. ( )b2. Se divide entre x ± –– operando como el primer a Procedimiento: 1. Se observa que los coeficientes de la variable del3. Los coeficientes del cociente obtenido son dividi- dividendo sean múltiplos del exponente de la dos entre el coeficiente de “x” del divisor. variable del divisor.4. El resto obtenido no se altera. 2. Se factoriza el divisor: Ejemplo: 5 3 2 18x - 29x - 5x - 12x - 16 ÷ 3x + 2 ( 1 3 x9 + –– 3 ) Procedimiento: 3. Se divide como en el primer caso. Factorizando el denominador: 4. Cada uno de los coeficientes del cociente obteni- do, se divide entre coeficiente de “x” del divisor. ( ) 2 3x + 2 = 3 x + –– 3 6 + 17 - 16 + 17 + 12 18 - 0 - 29 - 5 - 12 - 16 1 2 - –– ↓ - 2 - 5 + 7 - 8 - –– ↓ - 12 + 8 + 14 - 6 + 12 3 3 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 6 + 15 - 21 + 24 + 4 ← resto 18 - 12 + 21 + 9 - 18 - 4 ← resto 144424443 1444442444443 coeficientes del cociente por 3 coeficientes del resto por 3 Grado del cociente: Grado del cociente: º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 1 = 4 º| q | = º| D | - º| d | = 36 - 9 = 27 Verdaderos coeficientes del cociente: Verdaderos coeficientes del cociente: 18 - 12 - 21 + 9 - 18 ––––––––––––––––––– = 6 - 4 - 7 + 3 - 6 3 6 + 15 - 21 + 24 –––––––––––––––– = 2 + 5 - 7 + 8 3 ∴ Cociente: q = 6x4 - 4x3 - 7x2 + 3x - 6 ∴ Cociente: 2x27 + 5x18 - 7x9 + 8 Resto: r = -4 Resto: +4 - 64 -
  65. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O DIVISIBILIDAD Y COCIENTESTEOREMA DEL RESTO NOTABLESConsiste en hallar el resto de una división sin La finalidad es determinar polinomios desconocidosrealizar la división. dadas ciertas condiciones.“El resto de dividir un polinomio en “x”, PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDADracional y entero, entre un binomio de laforma (a . x ± b), es igual al valor numérico 1º Para determinar la suma de los coeficientes de unque adquiere dicho polinomio cuando se polinomio, se iguala la variable o variables a 1.reemplaza en él x por b/a. Suma de coeficientes de:REGLA: Para hallar el resto se procede así: P(x ; y) = P(1 ; 1)1) Se iguala el divisor a cero: Ejemplo: a.x±b=0 P(x, y) = 3x3 - 2x2y - 5xy2 + y32) Se despeja “x” SP (1 ; 1) = 3(1)3 - 2(1)2(1) - 5(1)(1)2 + (1)3 b x = ––– SP (1 ; 1) = -3 a3) Se reemplaza en el polinomio dividendo la 2º El término independientemente se determina ha- variable “x” por: ciendo igual a cero la variable a la cual se refiere el polinomio. b –– a Término independiente = P(0) se efectua operaciones, el resultado es el Ejemplo: valor del resto. P(x) = 5x3 + 2x2y - 6xy2 - 8y3 r=P ( ) b –– a Desde el punto de vista de la variable x:Ejemplo: P(0) = 5(0)3 + 2(0)2y - 6(0)y2 - 8y3Hallar el resto: P(0) = -8y3 6x4 + 3x3 - 19x2 + 14x - 15 : 2x - 3 por otra parte, para la variable y:Procedimiento: P(0) = 5x3 + 2x2(0) - 6x(0)2 - 8(0)3 31º 2x - 3 = 0 ⇒ x = –– P(0) = 5x3 2 3º Si un polinomio es divisible separadamente entre2º () () () 3 2 3 2 3 r = P –– = 6 –– + –– 2 4 3 dos o más binomios será divisible entre el produc- to de ellos. () () 3 2 2 3 - 19 –– + 14 –– - 15 2 Si: P(x) : (x - a), r = 0 P(x) : (x - b), r = 0 r = -3 P(x) : (x - c), r = 0 - 65 -
  66. Luego se tendrá: REGLA PRÁCTICA PARA DESARROLLAR CUALQUIER COCIENTE NOTABLE P(x) ÷ (x - a) (x - b) (x - c), r = 0 1) El primer término del cociente es igual al cociente4º Viceversa, si un polinomio es divisible entre un entre el primer término del dividendo y el primer producto de varios factores, binomios, será divis- término del divisor. ibles separadamente por cada uno de ellos. 2) El último término del cociente es igual al cociente5º En general, si al dividendo y al divisor se le mul- entre el segundo término del dividendo y el tiplica por una misma cantidad, el resto queda segundo término del divisor. multiplicado por dicha cantidad. 3) A partir del segundo término del cociente el ex- D.m=d.m.q+r.m ponente de “x” comienza a disminuir de 1 en 1 hasta “cero”.6º Si al dividendo y divisor se divide por una misma cantidad, el resto queda dividido por dicha cantidad. 4) A partir del segundo término del cociente, aparece el segundo término “a” con exponente “1” y D d r comienza a aumentar de 1 en 1 hasta “m - 1”. –– = –– q + –– m m m 5) Los signos varián así:COCIENTES NOTABLES (CN) • Cuando el divisor es de la forma “x + a” los sig- nos de los términos del cociente son alternadosSe denomina cociente notable, aquel cociente que no (+) (-), comenzando con (+).requiere efectuar operaciones para conocer su resul-tado, porque obedece a ciertas reglas fijas. • Cuando el divisor es de la forma “x - a” los sig- nos de los términos del cociente son todos po-FORMA GENERAL DE LOS COCIENTES sitivos.NOTABLES Ejemplo: m m x ±a i) 1er. Caso: ––––––– – x±a x5 + a5 = x4 - ax3 + a2x2 - a3x + a4 –––––– Se denota en 4 casos: x+a 1er. Caso: es CN ⇔ “m” es impar. ii) 2do. Caso: x6 ––– - 6 xm + am ––– a = x5 - ax4 + a2x3 - a3x2 + a4x - a5 ––––––– – x+a x+a iii) 3er. Caso: 2do. Caso: es CN ⇔ “m” es par. x7 + a7 = No es CN –––––– xm - am x-a –– –––– –– x+a iv) 4to. Caso: 3er. Caso: no es CN para cualquier valor de “m”. x4 ––– - 4 ––– a = x3 + ax2 + a2x + a3 xm + am x-a ––––––– – x-a HALLAR UN TERMINO CUALQUIERA “K” DE 4to. Caso: es CN para cualquier valor de “m”. UN COCIENTE NOTABLE xm - am ––––––– – tK = (signo) xm-K aK-1 x-a - 66 -
  67. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OREGLA PARA EL SIGNO: m n1) Cuando el divisor es de la forma(x - a), el signo Es decir, será notable ⇔ –– = –– p q de cualquier término es positivo. es número entero2) Cuando el divisor es de la forma(x + a), los signos son alternadamente positivos y negativos, Además: empezando por positivo. m n –– = –– = número de términos Por consiguiente, los terminos de lugar par: son p q del cociente notable. negativos, y los términos de lugar impar: son po- sitivos. Ejemplo: Ejemplo: x16 + a32 ––––––– Hallar los términos t10 y t15 en el desarrollo del x2 + a4 C.N. siguiente: 16 32 x150 - a100 # de términos = ––– = ––– = 8 –––––––– 2 4 x3 + a2 Previamente, se busca darle la forma de cociente notable: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN (x3)50 - (a2)50 y50 - b50 Factorización es la operación que tiene por objeto ––––––––––– = ––––––– transformar una expresión algebraica racional y (x3) + (a2) y+b entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros. Trabajamos con la forma original de la izquierda: Los principales métodos para factorizar son los si- Término K = 10: t10 = -(x3)50-10 (a2)10-1 guientes: (par) A. FACTOR COMÚN t10 = -x120 a18 El factor común de dos o más expresiones alge- Término K = 15: t15 = +(x3)50-15 (a2)15-1 braicas es la parte numérica y/o literal que está repetida en cada una de dichas expresiones. El factor (impar) común puede ser de tres tipos: t15 = +x105 a28 • Factor común monomio CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE • Factor común polinomio xm–––– nPARA QUE EL COCIENTE –––± aq SEA NOTABLE • Factor común por agrupación xp ± a Será notable si: A.1) FACTOR COMÚN MONOMIO Cuando el factor común en todos los términos es xm ± an (xp)r ± (aq)r –––––– = -––––––––– un monomio. xp ± aq xp ± aq Ejemplo: m ésto es: p.r=m ⇒ r = ––– (a) P(,x y) = 72x2ayb + 48xa+1 yb+1 + 24xay2b p n El factor común es 24xayb, de este modo: q.r=n ⇒ r = ––– (b) q P(x, y) = 24xayb (3xa + 2xy + yb) - 67 -
  68. A.2) FACTOR COMÚN POLINOMIO B.2) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS Cuando el factor común que aparece es un poli- SUMA nomio. (a3m + b3n) = (am)3 + (bn)3 Ejemplo: se trata de un producto notable: (a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11 = (am + bn) (a2m - ambn + b2n) El factor común es: DIFERENCIA (a3m - b3n) = (am)3 - (bn)3 (a + 1)5 (a2 + 1)10 = (am - bn) (a2m + ambn + b2n) luego: B.3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (a + 1)5 (a2 + 1)10 [(a + 1)2 - (a2 + 1)] a2m ± 2ambm + b2n = (am ± bn)2 (a + 1)5 (a2 + 1)10 [a2 + 2a + 1 - a2 - 1] C. MÉTODO DEL ASPA (a + 1)5 (a2 + 1)10 (2a) C.1) ASPA SIMPLE 2a(a + 1)5 (a2 + 1)10 Se usa para factorizar trinomios de la forma:A.3) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN ax2n ± bxn ± c Sea: o, de la forma: xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n x2n ± bxn ± c Efectuando operaciones: PROCEDIMIENTO.- m n m n m m n n x x +y y +x y +xy Se descompone en dos factores al primer término, ax2n o x2n, según sea el caso. Se coloca estos factores agrupando: en las puntas de la izquierda del aspa. El término (xmxn + xmym) + (ymyn + xnyn) independiente, incluyendo el signo, también se descompone en dos factores, los que se coloca en las factoricemos cada paréntesis: puntas de la derecha del aspa. Los factores de la expresión dada son la suma horizontal de arriba y la xm(xn + ym) + yn(ym + xn) suma horizontal de abajo. El término central debe ser igual a la suma de los productos en aspa. el factor común es el paréntesis, así: Ejemplo: x4n + 7x2n + 12 (xn + ym) (xm + yn) 1) x4n en dos factores: x2n . x2nB. MÉTODO DE IDENTIDADES 2) 12 en dos factores: 4 . 3B.1) DIFERENCIA DE CUADRADOS Se coloca los factores en la punta izquierda y derecha del aspa: a2m - b2n o: x2n +4 m 2 n 2 (a ) - (b ) ∴ (am + bn) (am - bn) x2n +3 - 68 -
  69. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O 3) El término central es la suma de los productos Verificando dos términos: en aspa. 3x2n + 4x2n = 7x2n (I) 8xy (II) 45y 4) Los factores son las sumas horizontales de arri- -15xy 14y ba y abajo. ––––– ––––– -7xy +59y Luego: 123 123 2do. término 4to. término x4n + 7x2n + 12 = (x2n + 4) (x2n + 3) (III) -36xC.2) ASPA DOBLE +21x Se usa para factorizar polinomios de la forma: –––––– -15x ax2n ± bxnyn ± cy2n ± dxn ± eyn ± f 123 5to. término y también para algunos polinomios de 4to. grado. Luego, la expresión factorizada es:PROCEDIMIENTO.-Se ordena en forma decreciente para una de las vari- (4x - 5y + 7) (3x + 2y - 9)ables; luego, se traza y se ejecuta un aspa simple paralos tres primeros términos con trazo continuo. A D. MÉTODO DE EVALUACIÓN Ocontinuación y, pegada al primer aspa, se traza otro, DE DIVISIORES BINOMIOSde tal modo que el producto de los elementos delextremo derecho de este aspa multiplicados vertical- Este método se aplica a polinomios de una sola vari-mente sea el término independiente. able que se caracterizan por anularse para algunos de los divisores de su término independiente afectado1er. factor: suma de los elementos tomados horizon- de doble signo, o alguna combinación.tales de la parte superior. Ejemplo: Factorizar2do. factor: suma de los elementos tomados horizon-talmente de la parte inferior. P(x) = 2x4 + x3 - 9x2 - 4x + 4 Ejemplo: Solución: Los números de prueba son: 12x2 - 7xy - 10y2 + 59y - 15x - 63 1 Tomando los tres primeros términos: ± 1, ± 2, ± 4, ± –– 2 1) 12x2 en dos factores: 4x . 3x Los números fraccionarios tienen como numer- 2) -10y2 en dos factores: -5y . 2y ador los divisores del término independiente y como denominador los divisores del coeficiente Tomando el último término: del término de mayor grado. 3) -63 en dos factores: -9 . 7 para x = -1 P(x) = 2 + 1 - 9 - 4 + 4 ≠ 0 4x -5y +7 ∴ no es divisor (I) (III) (II) para x = 1 P(-1) = 2 - 1 - 9 + 4 + 4 = 0 3x +2y -9 ∴ Un divisor es: (x + 1) - 69 -
  70. para x = 2 1ra. Forma: Sumando y restando P(2) = 32 + 8 - 36 - 8 + 4 = 0 x3 + x2 + x: ∴ Otro divisor o factor es: (x - 2) P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 - x3 - x2 - x P(x) = x3(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) Dividiendo P(x) sucesivamente entre los factores obtenidos por el método de Ruffini: ∴ P(x) = (x2 - x + 1) (x3 + 1 - x) 2 + 1 - 9 - 4 + 4 2da. Forma: Sumando y restando x2: -1 - 2 + 1 + 8 - 4 P(x) = x5 - x2 + x4 + x2 + 1 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2 - 1 - 8 + 4 0 P(x) = x2(x3 - 1) + (x4 + x2 + 1) 2 + 4 + 6 - 4 Sumando y restando x2 al segundo paréntesis,––––––––––––––––––––––––––––––––––– factorizando y tambien factorizando el primer 2 + 3 - 2 0 paréntesis. P(x) = x2(x3 - 1) + (x2 + x + 1) (x2 - x + 1) Despues de la división se obtiene: P(x) = (x2 + x + 1) (x3 - x2 + x2 - x + 1) P(x) = (x + 1) (x - 2) (2x2 + 3x - 2) ∴ P(x) = (x2 + x + 1) (x3 - x + 1) P(x) = (x + 1) (x - 2) (2x - 1) (x + 2)E. METÓDO DE ARTIFICIOS DE CÁLCULO CAMBIO DE VARIABLE Consiste en cambiar una variable por otra, de man-E.1) REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE era que se obtenga una forma de factorización cono- CUADRADOS cida, o que tenga una forma más simple. Consiste en sumar y restar una misma cantidad a Ejemplo: Factorizar: la expresión dada para transformarla en una diferencia de cuadrados. P(x) = 1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3) Ejemplo: Factorizar: Agrupando así: E = a4 + 2a2b2 + 9b4 P(x) = 1 + [x(x + 3)][(x + 1) (x + 2)] Sumando y restando 4a2b2: Efectuando: E = a4 + 6a2b2 + 9b4 - 4a2b2 P(x) = 1 + (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) 2 2 2 2 2 E = (a + 3b ) - 4a b Haciendo x2 + 3x = y E = (a2 + 3b2)2 - (2ab)2 P(x) = 1 + y(y + 2) E = ( a2 + 3b2 + 2ab) (a2 + 3b2 - 2ab) P(x) = 1 + 2y + y2SUMAS Y RESTAS es el desarrollo de una suma al cuadrado:Consiste en sumar y restar una misma cantidad de talmanera que se forme una suma o una diferencia de P(x) = (1 + y)2cubos y se presenta al factor x2 + x + 1 o x2 - x + 1. Ejemplo: Factorizar: sustituyendo la variable: P(x) = x5 + x4 + 1 P(x) = (1 + 3x + x2)2 - 70 -
  71. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OFACTORIZACIÓN RECÍPROCAPOLINOMIO RECÍPROCO [ 3x2 + 3 - 2x P(x) = x2 –––––––––– x ][ 2x2 + 2 + 3x ––––––––––– x ]Es aquel que cuyos coeficientes equidistantes de losextremos son iguales. ∴ P(x) = (3x2 - 2x + 3) (2x2 + 3x + 2) Ax4 + Bx3 + Cx2 + Bx + A FACTORIZACIÓN SIMÉTRICA ALTERNADA Ejemplo: Factorizar el polinomio: POLINOMIO SIMÉTRICO 4 3 2 P(x) = 6x + 5x + 6x + 5x + 6 Un polinomio es simétrico, con respecto a sus vari-PROCEDIMIENTO ables, cuando su valor no se altera por el intercambio de cualquier par de ellas, y además es homogéneo. Se factoriza x2: Ejemplo: ( 5 x x2 6 P(x) = x2 6x2 + 5x + 6 + –– + –– ) A (x2 + y2 + z2) + B(xy + xz + yz) Ordenando así: Notar que las operaciones con expresiones simétricas dan como resultado también expre- [( ) ( ) ] 1 1 P(x) = x2 6 x2 + –– + 5 x + –– + 6 x2 x siones simétricas. POLINOMIO ALTERNO 1 Haciendo: x + –– = y x Un polinomio es alterno, con respecto a sus vari- ables, cuando su signo se altera, pero no su valor entonces: absoluto, al intercambiar un par cualquiera de ellas, 1 y además es homogéneo. x2 + –– = y2 - 2 x2 Ejemplo: sustituyendo: y2(z - y) + x2(y - z) + z2(x - y) P(x) = x2 [6(y2 - 2) + 5y + 6] Efectuando: PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES Y DE LOS POLINOMIOS SIMÉTRICOS Y ALTERNOS P(x) = x2 (6y2 + 5y - 6) 1º No hay expresiones alternas que contengan más Factorizando el paréntesis por el aspa simple: de 2 variables y sean de primer grado. 3y -2 2º Generalmente los polinomios alternos son circulares o cíclicos y están escritos en forma de diferencia. 2y +3 3º El producto de una expresión simetrica por una alterna da como resultado una expresión alterna. ∴ P(x) = x2(3y - 2) (2y + 3) 4º Una expresión simétrica o alterna de variables x, y, z, si es divisible entre “x”, entonces también será Reponiendo “x”: divisible entre “y” y entre “z”. 5º En una expresión simétrica o alterna, de variables, P(x) = x2 [ ( ) ][ ( ) ] 1 3 x + –– - 2 x 1 2 x + –– + 3 x x, y, z, si es divisible entre (x ± y), entonces tam- bién será divisible entre (x ± z) (y ± z). - 71 -
  72. FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO Si Q es de grado cero quiere decir que es un nú-SIMÉTRICO Y ALTERNADO mero.1) Se averigua si el polinomio es simétrico o alterno. Dando un juego de valores para x, y, z; se obtiene el valor de Q:2) Encontrar los factores de la expresión aplicando el teorema del resto y aplicando las propiedades del Para x = 1 ; y = 2 ; z = 3: polinomio simétrcio y alterno.3) Plantear el cociente, planteando la identidad de (1 - 2)3 + (2 - 3)3 + (3 - 1)3 dos polinomios y ampliarlo aplicando el criterio = Q (1 - 2) (2 - 3) (3 - 1) de los valores numéricos. Ejemplo: Factorizar: (-1) + (-1) + (8) = Q(2) P(x) = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 ∴ Q=3 PROCEDIMIENTO Luego, la expresión factorizada es: 1) Intercambiando x por y, se ve que la expresión (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 es alterna. = 3 (x - y) (y - z) (z - x) 2) Cálculo de los factores x = y MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO P(x) = (y - y)3 + (y - z)3 + (z - y)3 COMÚN MÚLTIPLO = 0 + (y - z)3 + [-(y - z)3] MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) P(x) = (y - z)3 - (y - z)3 = 0 De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de mayor grado posible, que está contenida como Luego el polinomio es divisible entre (x - y) factor un número entero de veses en dichas expresio- nes. Para determinar el M C D se factoriza las expre- Por ser polinomio alterno, también será divisible siones comunes con su menor exponente. entre los factores obtenidos en forma circular en el sentido indicado: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) x De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión { x=y de menor grado posible, que contiene un número z y Haciendo y=z entero de veces como factor dichas expresiones. z=x Para determinar el m c m se factoriza las expresiones y se forma el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Es decir entre: (y - z) ∧ (z - x) Ejemplo: El polinomio es divisible entre el producto: Hallar el MCD y el m c m de: (x - y) (y - z) (z - x) A = x2(x2 + 2y2) + (y2 + z2) (y + z) (y - z) 3) Se plantea la identidad de los polinomios: B = x4 + 2x2z2 + z4 - y4 3 3 3 (x - y) + (y - z) + (z - x) 3er. grado PROCEDIMIENTO = (x - y) (y - z) (z - x) Q Efectuando: 3er. grado grado cero A = x4 + 2x2y2 + (y2 + z2) (y2 - z2) - 72 -
  73. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O A = (x4 + 2x2y2 + y4) - z4 no; si se cambia de signo a un número impar de factores, la fracción sí cambia de signo. A = (x2 + y2)2 - (z2)2 Ejemplo: A = (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 - z2) (a - b)(c - d) Mientras que: F = ––––––––––– (e - f)(g - h) B = (x4 + 2x2y2 + z4) - y4 B = (x2 + z2)2 - (y2)2 B = (x2 + z2 + y2) (x2 + z2 - y2) -(b - a)(c - d) (a - b)(c - d) F = –––––––––– – = ––––––––––– – -(f - e)(g - h) (e - f)(g - h) } par MCD (A, B) = x2 + y2 + z2 mcm (A, B) = (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 - z2) (x2 + z2 - y2) -(b - a)(c - d) (a - b)(c - d) F = ––––––––––– ≠ ––––––––––– (f - e)(g - h) (e - f)(g - h) } impar SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESFRACCIONES ALGEBRAICAS Para simplificar fracciones se factoriza.DEFINICIÓN Ejemplo: Simplificar:Se denomina fracción algebraica a toda aquellaexpresión que tiene por lo menos una letra en el x3 + (2a + b)x2 + (a2 + 2ab)x + a2bdenominador. P(x) = –––––––––––––––––––––––––––––– x3 + ax2 + 2bx2 + b2x + 2abx + ab2 Ejemplos: 2 Ordenando y factorizando: i) ––– 3x x(x2 + 2ax + a2) + b(x2 + 2ax + a2) 2a + b P(x) = ––––––––––––––––––––––––––––– ii) –––––– x(x2 + 2bx + b2) + a(x2 + 2bx + b2) 3c + 1 x(x + a)2 + b(x + a)2 (x + a)2(x + b) iii) 2ax-2y3z-1 P(x) = ––––––––––––––––– = –––––––– ––––– x(x + b)2 + a(x + b)2 (x + b)2 (x + a)CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCIÓN x+a P(x) = –––––1) CUANDO NO HAY PRODUCTOS INDICADOS x+b Se puede cambiar dos de sus tres signos y la fracción BINOMIO DE NEWTON no se altera. Ejemplo: DEFINICIÓN +(m + 1) -(m + 1) Es el desarrollo de un binomio elevado a la potencia “n”. F = + –––––––– = - –––––––– +(n + q) +(n + q) ANÁLISIS COMBINATORIO +(m + 1) -(m + 1) = - –––––––– = + –––––––– -(n + q) -(n + q) FACTORIAL DE UN NÚMERO Factorial de un número “n” es el producto de los2) CUANDO LA FRACCIÓN TIENE PRODUCTOS número consecutivos desde “1” hasta “n”. Se denota INDICADOS así: n En toda fracción, si se cambia de signo a un nú- mero par de factores, la fracción no cambia de sig- o así: n! - 73 -
  74. Ejemplos: Se trata de hallar cuantas variaciones se puede formarse de 2 en 2. i) 5 , se lee factorial de 5 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 5 5 5 1.2.3.4.5 ii) n!, se lee el factorial de n = 1 . 2 . 3 … V2 = ––– – = ––– = ––––––––––––– = 20 –– 5-2 3 1.2.3 . (n - 1)n PERMUTACIONESPROPIEDADES DE LOS FACTORIALES Se llama permutaciones de “n” objetos a los difer-1º Si n existe, el valor de “n” es entero y positivo. entes grupos que con ellos se puede formar, de man- era que participando “n” objetos en cada grupo,2º 0 = 1 y 1=1 difieren solamnente en el orden de colocación.3º Si el factorial de un número es igual al factorial de otro, entonces los números son iguales. Pn = n Sí: a = b Ejemplo: ∴ a =b Hallar el número de permutaciones de las letras a, b, c, d.4º Debe tenerse en cuenta que: P4 = 4 = 24 a ± b ≠ a ± b COMBINACIONES a.b ≠ a . b Se llama así a los diferentes grupos que se puede for- a a mar con “n” elementos tomándolos todos a la vez o –– ≠ ––– de “r” en “r”, de manera que los grupos se diferen- b b cien por lo menos en un elemento. Para determinar el número de combinaciones de “n” elementos toma-VARIACIONES dos de “r” en “r”, se usa la siguiente fórmula:Cada una de las ordenaciones, coordinaciones oarreglos que puede formarse tomando algunos o n n Cr = ––––– –––todos de un número de objetos, se llama una r n-rvariación diferenciándose entre ellas bien en un obje-to o bien en una diferente ordenación de los objetos. Ejemplo:De este modo, las variaciones de “n” elementostomados de “r” en “r” se puede hallar con la siguiente ¿De cuántas maneras se pueden combinar lasfórmula: vocales a, e, i, o, u tomadas de 2 en 2? 5 5 1.2.3.4.5 n n C2 = –––––––– = –––––––––––– = 10 Vr = ––––– n-r 2 5-2 1.2.1.2.3 PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES Ejemplo: 1º COMBINACIONES COMPLEMENTARIAS En un campeonato deportivo, participan los equi- Se dice que 2 combinaciones son complementarias pos a, b, c, d y e. Si los partidos son realizados cuando el número de combinaciones de “n” ele- tanto en la sede de cada uno (“casa o “local”), co- mentos tomados de “r” en “r” es igual al número de mo en la sede del otro equipo (“visitante”). combinaciones de “n” elementos tomados de “n - r” ¿Cuántos partidos se jugara en total?. en “n - r”. - 74 -
  75. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O S2 = Suma de los productos de las “n” letras to- n n Cr = Cn-r madas de 2 en 2. S3 = Suma de los productos de las “n” letras toma-2º SUMA DE COMBINACIONES das de 3 en 3. Pn = Producto de todas las “n” letras. n n n+1 Cr + Cr+1 = Cr+1 Si: a = b = c = … = k ⇒3º PROPIEDAD SOBRE LOS ÍNDICES n n Si Cr existe, luego: n () S1 = C1 a = –– a = n . a 1 a) “n” y “r” son números enteros y positivos n n(n - 1) S2 = C2 a2 = ––––––– a2 1.2 b) n > r n4º DEGRADACIÓN DE ÍNDICES n(n - 1)(n - 2) S3 = C3 a3 = –––––––––––– a3 Consiste en descomponer un número conbinato- 1.2.3 rio en otro que tenga igual índice superior, pero índice inferior disminuyendo en 1. y así, sucesivamente. Además: n n - r + 1 n Pn = an Cr = ––––––– = Cr-1 r Finalmente:DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON n n (x + a)n (x + a)n = xn + C1 xn-1 a + C2 xn-2 a2 nPara exponente entero y positivo “n” + C3 xn-3 a3 +… + anMÉTODO INDUCTIVO n(n - 1) (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + a . b (x + a)n = xn + n . xn-1 . a + ––––––– a2 . xn-2 1.2 (x + a)(x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c)x2 n(n - 1)(n - 2) + –––––––––––– a3 . xn-3 + …+ an + (ab + ac + bc)x + a . b . c 1.2.3 (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = x4 + (a + b + c + d)x3 Ejemplo: + (a . b + a . c + a . d + b . c + b . d + c . d)x2 Desarrollar (x + a)4. + (a . b . c + a . b . d + b . c . d + a . c . d)x 4(4 - 1) +a.b.c .d (x + a)4 = x4 + 4x4-1 a + ––––––– a2 x4-2 1.2 Por lo tanto, para “n” factores: 4(4 - 1)(4 - 2) (x + a) (x + b) (x + c) … (x + k) = xn + –––––––––––– a3 x4-3 + a4 1.2.3 + S1xn-1 + S2xn-2 + S3xn-3 + Pn S1 = Suma de las letras: a + b + c + … + k (x + 4)4 = x4 + 4ax3 + 6a2x2 + 4a3x + a4 - 75 -
  76. PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON Ejemplo:1º Su desarrollo es un polinomio completo de (n + 1) Hallar el término 10 del desarrollo de: términos.2º Los coeficientes equidistantes de los extremos ( 1 27x5 + ––– 3x )12 son iguales. PROCEDIMIENTO:3º El exponente de “x” en cada término es igual al Nótese que: n = 12 número de términos que le siguen y el de “a” al que le preceden. 1er. término: 27x54º El coeficiente del primer término es 1 y el coefi- 1 2do. término: ––– ciente del segundo término es igual al exponente 3x del primer término. 12 95º El coeficiente de cada término es igual al anterior multiplicando por el exponente del “x’ anterior y t10 = t9+1 = C9 (27x5)12-9 ( )1 ––– 3x dividido por el del “a” anterior y aumentando en 1. 12 . 11 . 10 t10 = –––––––––– (33x5)3(3-9x-9)6º Si los términos del binomio tienen signos contra- 1.2.3 rios, los términos del desarrollo serán alternativa- mente positivos y negativos, siendo negativos los t10 = 220x6 que contengan potencias impares del término ne- gativo del binomio. Basta sustituir en el dearrollo TÉRMINO CENTRAL “a” por “-a”. Se presenta 2 casos:7º Si los dos términos del binomio son negativos, to- 1) Cuando el exponente es par, de la forma (x + a)2n, dos los términos del desarrollo serán positivos o existe un sólo término central, su lugar se calcu- negativos, según que el exponente sea par o im- la así: par. En efecto: 2n ––– + 1 = n + 1 (-x - a)n = [(-1) (x + a)]n 2 = (-1)n (x + a)n Notar que, en este caso 2n es la potencia del8º La suma de los coeficientes del desarrollo es igual binomio. a 2 elevado a la potencia del binomio. 2) Cuando el exponente es impar, de la forma: n n n n (x + a)2n+1, existen 2 términos centrales, y sus 2n = 1 + C1 + C2 + C3 + …+ Cn lugares se determinan así:9º La suma de los coeficientes de los términos de lugar impar es igual a la suma de los de lugar par. (2n + 1) + 1 1er. Término Central = –––––––––– = n + 110º Con respecto a las letras “x” y “a”, el desarrollo 2 es un polinomio homogéneo de grado “n”.CÁLCULO DE TERMINO GENERAL t(k+1) (2n + 1) + 3 k = lugar del término anterior al buscado 2do. Término Central = ––––––––––– n + 2 2 n tk+1 = Ck . xn-k . ak Notar que la potencia del binomio es (2n + 1) - 76 -
  77. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OTÉRMINO DE PASCAL O DE TARTAGLIA 4º Para extraer la raíz de un número con aproxi- mación por la serie binómica de Newton, se uti-Permite determinar los coeficientes de desarrollo del liza la siguiente relación:binomio . Se escribe en forma horizontal los coefi-cientes del desarrollo de las sucesivas potencias del 1 (1 + x)1/m = 1 + –– xbinomio, resulta un triángulo aritmético que se llama mPascal o Tartaglia. donde: 0 < x < 1 Coeficientes de: 5 _____ (x + a) 0 = 1 Ejemplo: Hallar √921,6 (x + a)1 = 1 1 Se puede escribir: 2 (x + a) = 1 2 1 ––––––––––––––––– ___ 5 (x + a) (x + a)4 3 = = 1 1 4 3 6 3 4 1 1 5 √1 024 - 102,4 = √ ( 102,4 ) 1 024 1 - –––––– 1 024 1 (x + a)5 =1 5 10 10 5 1 ___ – 1– 5 = 4 1 - –– . –– y así sucesivamente. 5 ( = √1024 1 - –– 10 ) ( 1 1– 5 10 ) Ejemplo: Desarrollar (x3 + y4)5 = 4 (1 - 0,02) = 4(0,98) = 3,92 _____ PROCEDIMIENTO ∴ √921,6 = 3,92 Utilizando el triángulo de Pascal, los coeficientes del binomio a la 5ta. son: 5º Para determinar el término general en el desar- rollo se utiliza: 1 ; 5 ; 10 ; 10 ; 5 ; 1 Luego: n(n - 1)(n - 2) … (n - k - 1) tk+1 = ––––––––––––––––––––––––––– xn-k ak k (x3 + y4)5 = (x3)5 + 5(x3)4 (y4) + 10(x3)3 (y4)2 + 10(x3)2 (y4)3 + 5(x3) (y4)4 + (y4)5 Donde: (x3 + y4)5 = x15 + 5x12y4 + 10x9y8 +10x6y12 n = exponente negativo y/o fraccionario + 5x3y16 + y20 k = lugar del término anterior al pedido Ejemplo:DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON CONEXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO Hallar el término 2 del desarrollo de (1 - x)-3PROPIEDADES: (-3) t1+1 = –––––– x3-1 (1)11º El número de términos es infinito, y al desarrollo 1 4 se le conoce con el nombre de “Serie Binómica de Newton”. t2 = -3x22º Para determinar el desarrollo de (x + a)n para un número “n” fraccionario y/o negativo, el valor de “x” debe ser uno y además x > a. Los valores de a RADIACIÓN deben estar en el rango 0 < a < 1. DEFINICIÓN3º Los términos del desarrollo con respecto a sus Es la operación que consiste en hallar una cantidad signos, no guardan ninguna relación. algebraica llamada raíz, que al ser elevada a un cier- - 77 -
  78. to índice, reproduce una cantidad llamada radicando Ejemplo:o cantidad subradical. Es la operación contraria a la 5 __________ _ 10 _ _ _ 20 -5 _ _ _potenciación. √ -32x10y20z-5 = -2x5 y5 z5 = -2x2y4z-1 __ n RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO √A=q ⇒ A = qn REGLA:ELEMENTOS DE UNA RAÍZ 1) Se ordena y completa el polinomio; luego, se agru- pa los términos de 2 en 2, empezando por la índice signo derecha. n ____ 2) Se halla la raíz cuadrada del primer término √A = q (monomio o binomio) del primer grupo de la izquierda, que sera el primer término de la raíz subradical raíz enésima cuadrada del polinomio. Se multiplica esta raíz por sí misma, se cambia de signo y se suma al poli- nomio dado, eliminándose la primera columna.SIGNO DE LAS RAÍCES 2n ___ 3) Se baja los términos que forman el siguiente √(+) = (±) grupo, se duplica la raíz hallada y se divide el 2n ___ primer término de los bajados entre este duplo. El √(-) = imaginario cociente así hallado es el segundo término de la 2n+1 ___ raíz. Este segundo término de la raíz, con su pro- √(+) = (+) pio signo, se escribe al lado derecho del duplo del ___ primer término de la raíz formándose un binomio, 2n+1 √(-) = (-) este binomio se multiplica por dicho segundo tér- mino con signo cambiado, sumándose este pro- Donde: 2n = número par ducto a los dos términos que se habia bajado. 2n + 1 = número impar 4) Se baja el siguiente grupo de términos. Se duplica la parte de la raíz ya hallada y se divide el primerRADICACIÓN DE EXPRESIONES término del resíduo entre el primero de esteALGEBRAICAS duplo, el cociente es el tercer término de la raíz.RAÍZ DE UN MONOMIO Este tercer término con su propio signo se escribe al lado del duplo de la raíz hallada y se forma unREGLA: trinomio, este trinomio se multiplica por dicho tercer término de la raíz con signo cambiado y1) Se extrae la raíz del signo, de acuerdo con la ley este producto se suma al resíduo. de signos de un radical. 5) Se continúa el procedimiento anterior, hasta2) Se extrae la raíz del coeficiente. obtener un resto, cuyo grupo sea una unidad3) Se divide los exponentes de las letras entre el menor que el grado de la raíz o un polinomio idén- índice de la raíz. ticamente nulo. Ejemplo: ______ ____________________________ _ √ 4x6 - 4x5 + 13x4 - 10x3 + 11x2 - 6x + 1 ––––––––––––––––––––––––––––– 2x3 - x2 + 3x - 1 6 3 3 -4x ________________ 2 (2x ) = 4x _____________________________ - 4x5 + 13x4 (4x3 - x2) (+x2) _____________________________ + 4x5 - x4 _______________________ 2 (2x3 - x2) = 4x3 - 2x2 _____________________________ + 12x4 - 10x3 + 11x2 (4x3 - 2x2 + 3x) (-3x) ––––––––––––––––––––––––––––– - 12x4 + 6x3 - 9x2 _______________________ 2 (2x3 - x2 + 3x) = 4x3 - 2x2 + 6x _____________________________ - 4x3 + 2x2 - 6x + 1 (4x3 - 2x2 + 6x - 1) (+1) + 4x3 - 2x2 + 6x - 1 _________________ _ - - - - - 78 -
  79. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C ORAÍZ CÚBICA DE UN POLINOMIO • El cubo del segundo término de la raíz.REGLA: Se suma los resultados obtenidos, se cambia de signo y se le suma a los tres términos del poli-1) Se ordena y completa el polinomio, se separa en nomio que se habia bajado. grupos de tres términos, emprezando por la drecha. 5) Se baja el siguiente grupo de términos, dividién- dose el primer término del residuo entre el triple2) Se extrae la raíz cúbica del primer término del del cuadrado del primer termino de la raíz, el co- primer grupo de la izquierda (puede estar formado ciente es el tercer término de la raíz. por uno, dos o tres términos), que será el primer término de la raíz, este término se eleva al cubo y Se forma 3 grupos: se resta del primer término del polinomio dado. • El triple del cuadrado de la raíz hallada (1º y 2º3) Se baja el siguiente grupo formado por los tres término) por el tercer término de la raíz. términos siguientes del polinomio y se divide el primero de ellos entre el triple del cuadrado de la • El triple de la raíz hallada por el cuadrado del raíz hallada, el cociente de esta división es el tercer término de la raíz. segundo término de la raíz. • El cubo del tercer término de la raíz.4) Se forma 3 productos: • El triple del cuadrado del primer término de la Se suma los productos obtenidos, se cambia de raíz. signo sus términos y se les suma a los términos del resíduo. Se continúa hasta obtener como • El triple del primer término de la raíz por el residuo un polinomio cuyo grado sea una unidad cuadrado del segundo término de la raíz. menor que el doble del grado de la raíz. Ejemplo: 3 _________ ________________________ √ x6 - 6x5 + 15x4 - 20x3 + 15x2 - 6x + 1 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– x2 - 2x + 1 6 2 2 4 -x 3 (x ) = 3x ––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– - 6x5 + 15x4 - 20x3 (-6x5) : (3x4) = -2x –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– + 6x5 - 12x4 + 8x3 a) 3 (x2)2 (-2x) = -6x5 ––––––––––––––––––––––––––––– + 3x4 - 12x3 + 15x2 - 6x + 1 b) 3 (x2) (-2x)2 = +12x4 - 3x4 + 12x3 - 15x2 + 6x - 1 c) (-2x)3 = -8x3 –––––––––––––––––––––– ––– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– - - - - - = 6x5 + 12x4 - 8x3 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– (3x4) : (3x4) = 1 __________________________________________ a) 3 (x2 - 2x)2 (1) = 3x4 - 12x3 + 12x2 b) 3 (x2 - 2x) (1)2 = 3x2 - 6x c) (1)3 = 1 __________________________________________ = 3x4 - 12x3 + 15x2 - 6x + 1 - 79 -
  80. DESCOPOSICIÓN DE RADICALES DOBLES Identificando las partes racionales e irracionales:EN SIMPLES x + y + z = 10 (1) ____ __A) Forma: 2√x . y = 2√6 ⇒ x.y=6 (2) _______ ______ ____ ___ ________ __ __ 2√x . z = 2√10 √A ± √ B = √ ––– K ± A+ 2 ––– √ A-K ––––– 2 ____ ___ 2√y . z = 2√15 ⇒ ⇒ x . z = 10 y . z = 15 (3) (4) _____ Donde: K = √A2 - B Multiplicando: (2) por (3) por (4): Ejemplo: Descomponer en radicales simples: x2y2z2 = (3 . 2) (5 . 2) (5 . 3) = 22 . 32 . 52 ________ __ √3 + √5 ∴ x.y.z=2.3.5 (5)PROCEDIMIENTO: Sustituyendo (2) en (5): z=5 ________ ____ ___ ______ __ _ Sustituyendo (3) en (5): y=3 √ 3 + √5 = √A+K ––– 2 ––– + √A-K ––––– 2 (I) Sustituyendo (4) en (5): __________ x=2 Cálculo de K: ______________ ___ __ ___ ____ __ __ ______ ______ __ ∴√10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = √2 + √3 + √5 K = √A2 - B = √32 - 5 = √4 = 2 C) Forma: Sustituyendo en (1): ________ _______ ______ ______________ _____ __ 3 __ ___ __ __ __ ___ √ A + √B - √C - √D = √x ± √y ± √z √ 3 + √5 = √ ––– 2 + ___ 3+ 2 ––– ___ √ 3-2 ––––– 2 Se procede igual que la forma anterior. ________ __ __ √ 3 + √5 = √ 5 –– + 2 1 –– 2√ D) Forma: 3 ____ ____ _ __ __B) Forma: √A ± √B = x ± √y ____________ ________ Llamando: __ __ __ __ __ __ ______ √A + √B + √C + √D = √x + √y + √z 3 C = √A2 - B Ejemplo: y = x2 - C Descomponer en radicales simples: Se resuelve A = 4x3 - 3xC por tanteos para “x”. _______________ _ __ ___________ __ ___ __ Ejemplo: √10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 _____ __ ____ 3PROCEDIMIENTO: √7 + 5√2 _________________________ __ __ ___ ___ __ __ PROCEDIMIENTO: √10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = √x + √y + √z 3 ________ __ __ Primero: √7 + 5√2 = x + √y Elevando al cuadrado: __ _ __ _ __ Ahora cálculo deC: 10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = x + y + z _ __ _ __ _ __ 3 ______ + 2√xy + 2√xz + 2√yz C = √72 - 50 = -1 - 80 -
  81. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Sustituyendo valores en: 60 _____ 60 ___ 60 _____ A = 4x3 - 3xC √a40b20 ; √b45 ; √c48b12 7 = 4x3 - 3x (-1) RADICALES SEMEJANTES 7 = 4x3 + 3x Son aquellos qie tienen igual índice e igual radicando. Donde por tanteo: Ejemplo: x=1 3 ___ 3 ___ 3 ___ 3x √ 3b ; 8y √ 3b ; 2 √ 3b Sustituyendo valores en: y = x2 - C TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES y = 12 - (-1) Si se multiplica o divide el índice del radical y el radi- y=2 cando por un mismo número, no varía el valor aritmé- tico, pero el número de valores algebraicos de las po- ________ __ __ 3 sibles raízes queda multiplicado o dividido por ese ∴ √7 + 5 √ 2 = 1 + √ 2 mismo número:OPERACIONES CON RADICALES Sea: __ _ n √Bm = bCONCEPTOS BÁSICOS multiplicando índice y exponente por “r”:RADICALES HOMOGÉNEOS n.r __ __Son aquellos que tienen iguales índices. √Bm.r Ejemplo: notar que: n ___ 5 ____ 5 ___ 5 __ √Bm tiene “n” raíces √x4z2 ; √y2x ; √x ____ n.r √Bm.r tiene “n . r” raícesHOMOGENIZACIÓN DE RADICALESEs la operación que se realiza para pasar radicales de OPERACIONES ALGEBRAICAS CONdistinto índice, a radicales de índice iguales. RADICALES Ejemplo: SUMA Y RESTA DE RADICALES Homogenizar: Para sumar radicales semejantes basta sacar como ___ 4 __ 5 ___ factor común el radical; si no son semejantes, se deja 3 √a2b ; √b3 ; √c4d indicado. Ejemplo:PROCEDIMIENTO: __ __ __ __ 3 3 3 3 3x √3b + 8y √3b + 2 √3b = √3b (3x + 8y + 2)1) Se halla m c m de los indices; éste será el índice común. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES mcm: 3, 4, 5 = 60 1) Cuando son homogéneos: __ __ ____2) Se afecta del índice común y se eleva cada canti- √A . √B = √A . B dad subradical a un exponente que resulta de di- vidir el índice común entre su índice original. 2) Cuando tienen índices distintos. ______ ______ _______ 60 60 60 60 __ 60 __ 60 __ Se reduce a un índice común y se opera igual que √ 2 3 √ 3 4 (a b) ; (b ) ; 4 5 (c d) √ en el caso anterior, así: __ q __ pq __ pq __ ___ _ p pq efectuando las operaciones se obtiene: √x . √y = √xq . √yp = √xqyp - 81 -
  82. DIVISIÓN DE RADICALES PROCEDIMIENTO:1) Cuando son homogéneos: Se multiplica numerador y denominador por el lite- ___ ral elevado a un exponente igual a lo que le falta al n __ √A = n –– exponente del literal para equivaler a la unidad. ––– n √B __ A B2) Cuando son homogéneos. √ De este modo: 4 __ 5 __ 1 –––––––– = ––––––– –––––– √a3 . √b2 1 – . –– . b2/5 = ––––––––– a3/4 __ __ Previamente se homogeniza y se procede como se 4 5 3 √a . √b a . b 1/4 3/5 a . b2/5 3/4 a.b indicó en el caso anterior: __ __ _ ___ p pq SEGUNDO CASO √A √Aq pq ––q A –––– = ––––– = q √B __ pq __ √Bp _ √Bp – Cuando la fracción presenta en su denominador una suma de raíces algebraicas; para racionalizar, se uti- liza el criterio denominado como la conjugada real.POTENCIAL DE RADICALES Ejemplo: n __ p n __ ( ) √B = √Bp m i) Racionalizar: –––––––– –– ––RAÍZ DE RADICALES √a + √b _____ __ __ n __ nm __ m m √a__- √__ b √ m √B = √B –––––––– = ––––––––––– . ––––––––––– __ __ __ __ √a + √b (√a + √b ) (√a - √b )FRACCIÓN IRRACIONAL __ __ m m(√a - √b )Es aquella cuyo denominador tiene raíz algebraica. –––––––– = ––––––––––––– __ __ √a + √b a-bRACIONALIZACIÓNEs una operacion que consiste en modificar un que- 1 ii) Racionalizar: ––––––––––––––– __ __ ____brado en cuyo denominador hay una raíz algebraica √a + √b - √a + b(fracción irracional) y transformarla a otra que notenga raíz en el denominador. 1 1 –––––––––––––––– = ––––––––––––––––––– __ __ ____ __ __ ____FACTOR RACIONALIZANTE (F.R.) [ √ a + √ b - √a + b (√ a + √ b ) - √a + b ]El factor racionalizante de una expresión irracional __ __ ____es también otra expresión irracional que, multiplica- (√ a + √ b + –––––––– √a + b) . –––––––––––– ____da por la primera, la convierte en una expresión __ __racional. [√ a + √ b + √a + b ] __ __ ____ _RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE √a + √b + √a + bUNA FRACCIÓN = –––––––––––––––––––– __ __ ____ _ (√ a + √ b )2- (√a + b)2PRIMER CASO __ __ ____ ____ _Cuando la fracción presenta, en el denominador, (√ a + √ b + √a + b ) √ –––– a.bradicales en forma de producto. = –––––––––––––––––––– . –– ____ _____ 2√ a . b √a . b Ejemplo: ____ __ __ _____ 1 Racionalizar: –––––––– __ __ √a . b (√ a + √ b + √ a + b ) 4 5 = –––––––––––––––––––––––– √a . √b3 2.a.b - 82 -
  83. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OTERCER CASO Previamente, debe recordarse que para todo valor de “n”:Cuando la fracción presenta en su denominador una __ n __ _ _ ___ _ ____ n n nsuma algebraica de radicales de índice superior a 2.Se procede así: ( )( √ a + √ b √an-1 + √an-2b n _____ n ___ • Si el índice es una potencia de 2, se utiliza el cri- + √an-3b2 + … + √bn-1 = a - b ) terio de la conjugada en forma sucesiva. Sin embargo, para valores impares de “n”: • Si el índice es 3, es necesario tener en cuenta las __ _ __ _ ___ _ ____ n n n n siguientes identidades: ( √a + √n ) ( √a - √an-2b n-1 __ 3 __ 3 n _____ n ___ 3 3 a + b = (√ a ) + (√ b ) ) + √an-3b2 - … + √bn-1 = a + b 3 __ 3 __ 3 __ 3 ___ 3 ___ = ( √ a + √ b ) ( √ a2 - √ ab + √ b2 ) y, para valores pares de “n”: __ 3 __ 3 n __ _ n __ _ n ___n _ ____ 3 3 a - b = (√ a ) - (√ b ) ( √a + √b ) ( √a - √an-2b n-1 __ 3 __ __ 3 ___ 3 __ _ n _____ n ___ 3 3 = ( √ a - √ b ) ( √ a2 + √ ab + √ b2 ) ) + √an-3b2 - … + √bn-1 = a - b Uno de los factores es utilizado como el F.R. Ejemplo: Ejemplo: Racionalizar: 1 Racionalizar: ––––––––– __ 6 __ N ––––––––––––––––––––––––– 6 __ __ __ __ √a - √b 4 3 4 2 4 4 √ x + √ x y + √xy2 + √ y3 Solución: __ __ 4 4 Multiplicando por la conjugada y luego aplicando Si al denominador se le multiplica por √ x - √ y, se las identidades anteriores se logra racionalizar: obtiene x - __por__ y, consiguiente el factor raciona- 4 4 6 __ 6 __ lizante es √ x - √ y. 1 1 √a +√b __ __ ––––––––– = –––––– __ . –––––– __ __ 6 __ __ ––––– 6 __ 6 –––– 4 (4 N √x - √y ) 6 √a -√b 6 6 ( √a -√b √a +√b ) E = –––––––––––– x-y __ __ __ ___ ___ 6 √a +√b ( √ a + √ ab + √ b ) 6 = ––––––––––– . –––––––––––––––––––– 3 2 3 3 2 VERDADERO VALOR DE FRACCIONES __ __ __ ___ ___ ALGEBRAICAS ( √a - √ b ) ( √a + √ ab + √b ) 3 3 3 2 3 3 2 CONCEPTOS __ 6 __ __ 3 ___ 3 ___ ( 6 3 √ a + √ b √a2 + √ ab + √b2)( = ––––––––––––––––––––––––––––––– ) FRACCIONES DETERMINADAS a-b Son la siguientes: a 0 ∞ a ∞ 0CUARTO CASO –– , –– , –– , –– , –– , –– 0 a a ∞ 0 ∞Si el índice es mayor que 3, y pertenece a una de lasformas: Estas formas determinadas son definidas como: a 1) lim –– = ∞ a 2) lim –– = 0 n __ n __ x x 1) √ a ± √ b x→ 0 x→ ∞ n ____ n _____ n ______ x x 2) √an-1 √an-2 b + √ an-3 b2 3) lim –– = ∞ 4) lim –– = 0 a a n ___ n ___ x→ ∞ a→ ∞ √ an-4 b3 + … √ bn-1 x→ 0 - 83 -
  84. x a Esta forma es indeterminada, quiere decir que en 5) lim –– = 0 6) lim –– = ∞ a x el numerador y en el denominador hay un factor x→ 0 a→ ∞ de la forma “x - a”. Hay que factorizarlo y luego x→ 0 simplificarlo. a La expresión: lim –– x 1) Factorizando: x→ 0 (2x + 1) (x - 3) a E = ––––––––––––– Se lee: “limite de la fracción –– cuando “x” tiende (x + 4) (x - 3) x a cero”. ese factor es: “x - 3”VERDADERO VALOR(V.V.) 2) Simplificando:Cuando para ciertos valores de la variable, una 2x + 1expresión adquiere muchos valores, se dice que la E = –––––– x+4expresión es de la forma indeterminada. Por estarazón, se busca su “verdadero valor”, siendo éste el 3) Para x = 3:valor de otra que sea su equivalente. A este procedi- 2(3) + 1 7miento se denomina “llevar indeterminación. E = ––––––– = –– = 1 3+4 7FORMAS INDETERMINADAS ∴ V.V.(E) = 1Matemáticamente, no son definibles: ∞ B) FORMA –– 0 ∞ ∞ –– , –– ∞ - ∞ , 0 . ∞ , 1∞ ,00 0 ∞ Para levantar la indeterminación de esta forma, se divide numerador y denominador entre la máxi-CÁLCULO DEL VERDADERO VALOR ma potencia de la variable cuya presencia provo- 0 ca la indeterminación.A) FORMA –– 0 REGLA PRÁCTICA: Para levantar esta inderminación debe tenerse en cuenta que tanto en el numerador como en el 1) Si el numerador es de mayor grado que el denominador está el factor cero, que se debe de denominador, el V.V. es ∞ ; es decir: eliminar, por lo tanto: si: º| N | > º| D | ⇒ V.V.(E) = ∞ • Se factoriza el numerador y el denominador buscando el factor cero (por ejemplo: x - a = 0, 2) Si el numerador es de menor grado que el cuado “x” tiende a “a”). denominador. el V.V. es 0, es decir: • Se simplifica en el numerador y denominador si: º| N | < º| D | ⇒ V.V.(E) = ∞ de la fracción este factor. 3) Si el numerador y el denominador son de igual • Se sustituye nuevamente x = a. Si persiste la in- grado, el V.V. es un cociente formado por los determinación, se repite hasta hallar el verda- coeficientes de los términos de máxima poten- dero valor. cia del numerador y denominador; es decir: Ejemplo: si: º| N | = º| D |, entonces: Hallar el verdadero valor de la fracción: Coeficiente de mayor grado de N V.V.(E) = –––––––––––––––––––––––––––– 2 2x - 5x - 3 Coeficiente de mayor grado de D E = –––––––––– , para x = 3 x2 + x - 12 Ejemplo: PROCEDIMIENTO: Hallar el V.V. de la fracción: 2 E = 2(3) - 5(3) - 3 = –– ––––––––––––– 0 2x3 + 3x2 + 3x + 7 2 E = –––––––––––––––– ; para x→∞ (3) + (3) - 12 0 6x3 2x2 + 5x + 1 - 84 -
  85. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Sustituyendo x por ∞: 1 3 + –– x E = –––––––––––––––––– __________ 2(∞) + 3(∞) + 3(∞) + 7 ∞ __ E = –––––––––––––––––––– = –– 3 1 6(∞) + 2(∞) + 5(∞) + 1 ∞ Para x → ∞: √ 2 + –– + –– + √2 x x2 Para levantar la indeterminación se divide de __ numerador y denominador entre la variable ele- 3 3√2 V.V. (E) = ––––– = ––––– __ vada a su mayor exponente: 2√2 4 2x3 3x2 3x 7 D) FORMA 0 . ∞ ––– + ––– + ––– + –– x3 x3 x3 x3 E = –––––––––––––––––– Cuando una expresión algebraica toma la for- 6x3 2x2 5x 1 ––– + ––– + ––– + –– ma 0 . ∞, su V.V. se obtiene efectuando primero x3 x3 x3 x3 las operaciones indicadas y, luego, simplifican- do y reemplazando x = a. Si subsiste la indeter- 3 3 7 2 + –– + –– + –– minación, se transforma a una de las formas x x2 x–– 3 = ––––––––––––– anteriores y se procede. 2 5 1 6 + –– + –– + –– Ejemplo: x x2 x3 Hallar el verdadero valor de: Para (x + ∞): 2+0+0+0 2 1 V.V.(E) = ––––––––––– = –– = –– (1 1 –– E = ––––– - –––– x + 3 3x - 1 ) (–––––6x - 16 ) 2 x + 7 –––––– 6+0+0+0 6 3 para: x = 2C) FORMA ∞ - ∞ Procedimiento: Cuando se presenta esta forma de indetermi- Para x = 2, se obtiene 0 . ∞( forma indeterminada) nación, se lleva a la forma ∞/∞ y se procede Efectuando operaciones: como tal. Ejemplo: Hallar el V.V. de: [ ––– ][ E = ––––––––––– 3 ––––––––––– 3x - 1 - x - 7 (x + 3)(3x - 1) (x + 8)(x - 2) ] ___________ __ E = √2x2 + 3x + 1 - x √2 ; cuando x→∞ Sustituyendo: [ 2(x - 2) = ––––––––––– ][ 7 ––– –––– ––––––– – (x + 3)(3x - 1) (x + 8)(x - 2) ] _____________ _ __ Simplificando (x - 2): E = √2(∞) + 3(∞) + 1 - ∞√2 = ∞ - ∞ 14 E = –––––––––––––––––– Para levantar esta indeterminación se multiplica y (x + 3)(3x - 1)(x + 8) divide por la conjugada de la expresión: para: x = 2: _________ _ __ _________ _ __ (√2x2 + 3x + 1 - x√2 )(√2x2 + 3x + 1 + x√2 ) 14 7 V.V. (E) = –––––––––– = –––– E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– __________ __ (5) (5) (10) 125 (√2x2 + 3x + 1 + x√2 ) Efectuando: CANTIDADES IMAGINARIAS CONCEPTOS 2x2 + 3x + 1 - 2x2 3x + 1 E = –––––––––––––––––– = –––––––––––––––– __________ __ __________ –– __ DEFINICIÓN √2x2 + 3x + 1 + x√2 √2x2 + 3x + 1 + x√2 Cantidades imaginarias son las raíces de índice par Dividiendo numerador y denominador entre x: de cantidades negativas: - 85 -
  86. Ejemplos: Ejemplo: __ i) √-3 z1 = a + bi 6 __ z2 = a - b i ii) √-5 8 ___ _ COMPLEJOS OPUESTOS iii) √-64 Son los que tienen iguales sus partes reales e imagi-UNIDAD IMAGINARIA narias, pero de signos contarios.Según la notación de Gauss: Ejemplo: __ z1 = a + bi √-1 = i z2 = -a - bi de donde: i2 = -1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO Ejemplo: ___ ___ __ _ 1) REPRESENTACIÓN CARTESIANA √-16 = √16 . √-1 = 4i y, eje imaginarioPOTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA __ 1) i1 = (√-1 )1 = i __ 2) i2 = (√-1 )2 = -1 y = a + bi 3) i3 = i2 . i = -i i{ 4) i4 = i2 . i2 = 1 123 1 x, eje real 5) i5 = i4 . i = i Sea: y = a + bi 6) i6 = i4 . i3 = -1 Unidad sobre el eje y: i 7) i7 = i4 . i3 = -i Unidad sobre el eje x: 1 8) i8 = i4 . i4 = 1 2) REPRESENTACIÓN POLAR O TRIGONOMÉ-NÚMEROS COMPLEJOS TRICASe llama así a un número de la forma “a + bi”, donde y“a” y “b” son números reales.COMPLEJOS IGUALESSon los que tienen iguales sus partes reales e iguales ρsus partes imaginarias. b θ Ejemplo: a + bi = c + di a x ⇔ a=c ∧ b=d ______ ρ = √a2 + b2 módulo o radio vector.COMPLEJOS CONJUGADOSSon los que tienen iguales sus partes reales; e iguales, b θ = arco tg –– argumento.pero de signos contrarios sus partes imaginarias. a - 86 -
  87. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Con apoyo en la figura, la forma polar de a + bi, z1 a + b (a + bi)(c - di) se calcula así: –– = ––––– = –––––––––––– z2 c + di (c + di)(c - di) a + bi = ρ cos θ + i ρ sen θ (ac + bd) + (bc - ad) i = ––––––––––––––––––– a + bi = ρ (cos θ + i sen θ) c2 - d2i2 Ejemplo: z1 –– = ––––––– + bc2 - ad2 . i ac + bd Expresar en forma polar: 8 + 6i z2 ( c2 + d2) ( –––––– c +d ) PROCEDIMIENTO: Forma polar: Se sabe que: z1 ρ1(cos θ1 + i sen θ1) (cos θ2 - i sen θ2) 8 + 6i = ρ (cos θ + i sen θ) –– = –––––––––––––– ––– . ––––––––––––––– z2 ρ2(cos θ2 + i sen θ2) (cos θ2 - i sen θ2) Cálculo de ρ y θ: ______ ______ ρ = √a2 + b2 = √82 + 62 = 10 z1 ρ1 b 6 3 z2 ρ2 [ –– = –– cos (θ1 - θ2) + i sen (θ1 - θ2) ] θ = arco tg –– = arco tg –– = arco tg –– = 37º a 8 4 4) POTENCIA.- Fórmula de Moivre: ∴ 8 + 6i = 10 (cos37º + i sen 37º) [ρ (cos θ + i senθ )]n = ρn (cos nθ + i sen nθ )OPERACIONES CON COMPLEJOS 5) RAÍZ1) SUMA z1 = a + bi n _______________ n __ √ρ (cos θ + i sen θ) = √ρ cos θ +n2Kπ [ (––––––– ) z2 = c + di z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i ( + i sen θ + 2Kπ ––––––– n )]2) MULTIPLICACIÓN (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 Donde K = 0, 1, 2, 3, …, (n - 1) ∴ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i DETERMINANTES En forma polar: MATRIZ z1 = a + bi = ρ1 (cos θ1 + i sen θ1) Matriz es una herramienta matemática que permite, z2 = c + di = ρ2 (cos θ2 + i sen θ2) en principio, resolver ecuaciones simultáneas de primer grado. z1 . z2 = ρ1 (cos θ1 + i sen θ1) ρ2 (cos θ2 + i sen θ2) DEFINICIÓN = ρ1 . ρ2[(cos θ1 cos θ2 - sen θ1 sen θ2) Matriz es todo arreglo rectangular de elementos del + i (sen θ1 cos θ2 + cos θ1 sen θ2) conjunto de números reales, vectoriales, tensores, números complejos, etc. colocados en filas y en z1 . z2 = ρ1 . ρ2[ cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)] columnas perfectamente definidas.3) DIVISIÓN Ejemplos: Dividir z1 : z2, sí: [ ] a b z1 = a + bi i) A = z2 = c + di c d - 87 -
  88. __ diagonal [ ] 1 2 3i √7 secundaria (-) ii) B = 4 9 5 1/3 __ a1 a2 √2 3i 7 6 ∆= = a1b2 - b1a2 b1 b2DTERMINANTEDEFINICIÓN (+) diagonalDeterminante es el desarrollo de una “matriz cuadra- principalda”; se le representa simbólicamente encerrando la Ejemplo:matriz entre dos barras verticales. -3 +5ORDEN DEL DETERMINANTE ∆= = (-3)(-7) - (+2)(+5) = 21 - 10 = 11 +2 -7El “orden” del determinante, como es una matrizcuadrada, está expresado o por el número de “filas” DETERMINANTE DE TERCER ORDENo por el número de “columas” que tiene la matriz. Es el desarrollo de una matriz cuadradade 3 filas y 3La “matriz” es “cuadrada” cuando el número de filas columnas.es igual al número de columnas. MÉTODOS PARA HALLAR EL VALOR DE UN DETERMINANTEDETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN Para determinar el valor de determinantes de 3º orden u orden superior, se utiliza la “Regla de Sarrus” a1 a2 o el método de “menores complementarios”. ∆= REGLA DE SARRUS b1 b2 1) Se repite las filas primer y segunda debajo de la tercera. ∆ = valor del determinante 2) Se toman con signo positivo la diagonal principal y sus paralelasy con signo negativo la diagonal elementos del determinante: a1, a2, b1, b2 secundaria y sus paralelas. 3) Se efectúan las operaciones con los signos con- COLUMNAS : (a1b1) y (a2b2) siderados. FILAS : (a1a2) y (b1b2) (-) DIAGONAL : (a1 b2) a1 a2 a3 PRINCIPAL (-) a1 a2 a3 b1 b2 b3 (-) DIAGONAL : (b1a2) SECUNDARIA ∆ = b1 b2 b3 = c1 c2 c3 c1 c2 c3 a1 a2 a3 (+)VALOR DEL DETERMINANTE DE SEGUNDOORDEN (+) b1 b2 b3Es igual a la diferencia de los productos de la diago-nal principal y diagonal secundaria. (+) - 88 -
  89. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O∆ = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 - c1b2a3 - a1c2b3 - b1a2c3 MENOR COMPLEMENTARIOEjemplo: Desarrollar: El menor complementario de un elemento de un (-) determinante, es otro determinante de menor orden, 1 2 3 que resulta despúes de suprimir en el determinante (-) los elementos que pertenecen a la fila y la columna de dicho elemento. 1 2 3 4 5 -6 (-) Ejemplo:∆= 4 5 -6 = 7 8 9 Escribir el menor complementario del elemento 7 8 9 1 2 3 (+) b2 en el siguiente determinante: (+) 4 5 -6 a1 a2 a3 (+) a1 a3 ∆= b1 b2 b3 ⇒ ∆1 =∆ = 1 . 5 . 9 + 4 . 8 . 3 + 7 . 2 . (-6) -7 . 5 . 3 c1 c3 c1 c2 c3 - 1 . 8 . (-6) - 4 . 2 . 9∆ = 45 + 96 - 84 - 105 + 48 - 72 ∆1 = menor complementario de ∆ del elemento b2.∆ = -72 1) Si la suma es par el elemento tiene signo (+). FORMA PRÁCTICA 2) Si la suma es impar el elemento tiene signo (-). DE LA REGLA DE SARRUS Ejemplo: a1 a2 a3 a1 a2 a3 ∆= b1 b2 b3 c1 c2 c3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 El elemento “c2” pertenece a la 3ra. fila: 3 y a la 2da. columna: 2, luego: S=3+2=5 ⇒ signo(-) con signo (+) El elemento “a3” es de la 1ra. fila: 1y de la 3ra. columna: 3, luego: a1 a2 a3 S=1+3=4 ⇒ signo(+) b1 b2 b3 DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR MENORES COMPLEMENTARIO c1 c2 c3 “ Todo determinante es igual a la suma algebraica de los productos que se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de una línea cualquiera (fila con signo (-) o columna) por sus respectivos menores comple- mentarios, colocando a cada producto el signo del elemento”. - 89 -
  90. Ejemplo: 4º Si en un determinante se multiplica o divide todos los elementos de una fila o una columna Hallar el valor del determinante. por un mismo número, el determinante queda multiplicado o dividido por este número. 1 4 2 Sea: ∆= 3 4 5 9 16 25 a1 a2 ∆= Desarrollandolo por menores complementarios, tomando la primera fila. b1 b2 4 5 3 5 3 4 ∆ = (1) - (4) + (2) Si: 16 25 9 25 9 16 na1 a2 ∆ = (1)(100 - 80) - (4) (75 - 45) + (2)(48 - 36) ∆1 = nb1 b2 ∆ = 20 - 120 + 24 = -76PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES ∴ ∆1 = n∆1º Si en un determinante se cambia las filas por co- ECUACIONES Y SISTEMAS DE lumnas y las columnas por filas, el valor de deter- ECUACIONES minante no se altera. DEFINICIÓN a1 a2 a1 b1 Ecuación es una igualdad que contiene una o más in- ∆= = cognitas. b1 b2 a2 b2 CLASES DE IGUALDAD2º Si en un determinante se intercambia entre sí dos filas o dos columnas, el determinante cambia de Hay dos clases de igualdad: absoluta y relativa. signo. a1 a2 a1 b1 A) IGUALDAD ABSOLUTA ∆= =- Llamada también identidad o igualdad incondi- b1 b2 a2 b2 cional, es aquella que se verifica para cualquier valor de sus letras. a1 a2 a2 a1 Ejemplo: ∆= =- b1 b2 b2 b1 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + a . b3º Si el determinante tiene dos filas o dos columnas B) IGUALDAD RELATIVA o ECUACIÓN iguales, el determinante es igual a cero. Llamada también igualdad condicional, es aquella a1 a2 a3 que se verifica para algunos valores particulares ∆= b1 b2 b3 =0 atribuidos a sus letras, llamadas incognitas. b1 b2 b3 Ejemplo: a1 a2 a3 3x + 6 = 0 ∆= b1 b2 b3 =0 se verifica sólo para: x = -2 b1 b2 b3 - 90 -
  91. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OPRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CONIGUALDADES PARA LA TRANSFORMACIÓN INCOGNITADE ECUACIONES1er. PRINCIPIO Son aquellas que pueden reducirse a la forma: Si a ambos miembros de una ecuación se les suma ax + b = 0 o resta un mismo valor, la ecuación no varía. b Solución: x = - –– A=B ⇔ A±n=B±n a2do. PRINCIPIO SISTEMA DE ECUACIONES Si a ambos miembros de una igualdad se le mul- tiplica o divide por un número independiente de Es un conjunto de dos o más ecuaciones verificadas “x”, distinto de cero y distinto de infinito, la para un mismo juego de valores de las incognitas. ecuación no varia. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE A=B ⇔ A.n=B.n ECUACIONES A B a) Compatibles: A=B ⇔ –– = –– n n Cuando el sistema tiene soluciones. A su vez, n ≠ 0, n ≠ ∞ puede ser: • Determinadas: Número de soluciones limitado.3er. PRINCIPIO • Indeterminadas: Muchas soluciones. Si ambos miembros de una ecuación son elevados a una misma potencia o se les extrae la misma b) Incompatibles: raíz, la ecuación que resulta parcialmente es la Cuando el sistema no tiene ninguna solución misma. Sea: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A=B Son aquellas cuyas ecuaciones son de primer grado. Si: n __ n __ Ejemplo: An = Bn ; √A = √B a1x + b1y = c1 entonces, se puede escribir: a2x + b2y = c2 An - Bn = 0 Factorizando por cocientes notables: MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (A - B) (An-1 + An-2B + An-3B2 +… 1) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: + ABn-2 + Bn-1) = 0 PARA DOS ECUACIONES De esta última igualdad se obtiene, igualando, los De una de las ecuaciones se despeja una de las factores a cero: incógnitas en función de la otra y se sustituye este valor en la otra ecuación, obteniéndose una A-B=0 A=B ecuación con una sola incógnita. An-1 + An-2B + An-3B2 + …+ ABn-2 + Bn-1 = 0 El valor de la incógnita obtenida de esta última ecuación se reemplaza en cualquiera de las dos (Ecuaciones introducida que da soluciones ecuaciones del sistema y se obtiene el valor de la extrañas) segunda incógnita. - 91 -
  92. Ejemplo: Sustituyendo en (1): 2x + 5y = 26 (1) 2x + 5 . 4 = 26 ∴x=3 3x - 4y = -7 (2) De (1): 3) MÉTODO DE REDUCCIÓN: PARA DOS ECUACIONES 26 - 5y x = –––––– Consiste en hacer que los coeficientes de la 2 incógnita que se quiere eliminar en ambas ecua- Sustituyendo en (2): ciones sean iguales, para lo cual se multiplica una de las ecuaciones por el coeficiente de la misma 26 - 5y incógnita de la otra ecuación, luego se suman o 3 . –––––– - 4y = -7 2 restan según convenga. Ejemplo: 78 - 15y - 8y = -14 2x + 5y = 26 (1) ∴ y=4 3x - 4y = -7 (2) Sustituyendo en (1): Para eliminar “x”, se multiplica (1) por 3 y (2) 2x + 5 . 4 = 26 por 2, así: ∴x =3 6x + 15y = 78 (3)2) MÉTODO DE IGUALACIÓN: 6x - 8y = -14 (4) PARA DOS ECUACIONES Restando (3) - (4): De las dos ecuaciones se despeja una misma incógnita en función de la otra y se iguala ambas, 23y = 92 obteniéndose una ecuación con una sola incógni- ∴y=4 ta; el valor obtenido de esta última ecuación se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del Sustituyendo en (1): 2x + 5 . 4 = 26 sistema y se obtiene el valor de la otra incógnita. ∴x=3 Ejemplo: 4) MÉTODO DE LOS DETERMINANTES: 2x + 5y = 26 (1) REGLA DE CRAMER 3x - 4y = -7 (2) En todo sistema de ecuciones determinadas, el De (1): valor de cada incógnita se puede calcular medi- 26 - 5y ante una fracción, cuyo denominador es el deter- x = ––––––– minante del sistema, siendo el numerador este 2 mismo determinante en el que se ha reemplazado De (2): la columna de los coeficientes de la incógnita por -7 + 4y los términos independientes. Así: x = ––––––– 3 ∆x ∆y Igualando estas últimas: x = –––– y = –––– ∆S ∆S 26 - 5y -7 + 4y Ejemplo: –––––– = –––––– 2 3 Resolver: 2x + 5y = 26 ∴y=4 3x - 4y = -7 - 92 -
  93. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O ∆S = determinante del sistema: 4x2 - 3x + 5 = 2x2 - 4x + 26 2 5 2x2 + x - 21 = 0 = -8 - 15 = -23 Factorizando por aspa: 3 -4 2x 7 ∆x = determinante de x: x -3 26 5 (2x + 7) (x - 3) = 0 = -104 - (-35) = -69 -7 -4 Igualando a cero cada factor: Si: 2x + 7 = 0 ⇒ x1 = -3,5 ∆y = determinante de y: Si: x - 3 = 0 ⇒ x2 = 3 2 26 = -14 - 78 = -92 2) APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL 3 -7 _______ -b ± √b2 - 4ac x = –––––––––––– x = ––– = -69 = 3 ∆x ––– 2a ∴ ∆s -23 Esta fórmula se recomienda aplicar cuando la fac- ∆y -92 torización no es inmediata. y = ––– = ––– = 4 ∆s -23 Ejemplo:ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y Resolver la ecuación: 4x2 - 5x = 19ECUACIONES BICUADRATICAS PROCEDIMIENTO:ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Igulando a cero:Una ecución de segundo grado o cuadrática es de la 4x2 - 5x - 19 = 0forma: donde: a = 4 ; b = -5 ; c = -19 ax2 + bx + c = 0 Aplicando la fórmula:RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE _______________ _SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA -(-5) ± √(-5)2 - 4 . 4 . (-19) x = –––––––––––––––––––––––Se resuelve de dos formas: 2(4) ____1) FACTORIZANDO MEDIANTE EL ASPA 5 ± √329 SIMPLE x = –––––––– 8 Ejemplo: Resolver la ecuación: de donde se obtiene dos raíces: ___ _ 4x2 - 3x + 5 5 + √329 –––––––––– = 2 x1 = –––––––– x2 - 2x + 13 8 PROCEDIMIENTO: ___ _ 5 - √329 Efectuando, ordenando e igualando a cero: x2 = –––––––– 8 - 93 -
  94. DISCUCIÓN DEL VALOR DE LAS RAÍCES x2 - (x1 + x2) x + (x1 . x2) = 0Las raíces de una ecuación de segundo grado depen-den de la cantidad sub-radical, llamada “discrimi- Ejemplo:nante” o “invariante” y se le representa por la letra Sean x1 = -4 y x2 = 3, escribir la correspondientegriega “delta”. ecuación de segundo grado. ∆ = b2 - 4ac PROCEDIMIENTO:1) Si ∆ > 0, se obtiene dos raíces reales y desiguales. x2 - (-4 + 3) x + (-4) (3) = 0 x2 + x - 12 = 02) Si ∆ = 0, se obtiene dos raíces reales e iguales. ECUACIONES BICUADRADAS3) Si ∆ < 0, se obtiene dos raíces complejas y conju- Son ecuaciones de 4º grado de la forma: gadas. ax4 + bx2 + c = 0PROPIEDADES DE LAS RAÍCESSea la ecuación ax2 + bx + c = 0, con raíces: Se resuelve de dos maneras: _______ a) Factorizando e igualando a cero. -b + √b2 - 4ac x1 = –––––––––––– 2a b) Haciendo x2 = y, lo que transforma a la ecuación bicuadrada a una de segundo grado de la forma: _______ -b - √b2 - 4ac ay2 + by + c = 0 x2 = –––––––––––– 2a cuyas raíces son: _______ _1º SUMA DE RAÍCES -b + √b2 - 4ac y1 = –––––––––––– b 2a x1 + x2 = –– a _______ _ -b - √b2 - 4ac y2 = ––––––––––––2º PRODUCTO DE RAÍCES 2a __ c x1 + x2 = –– a pero x2 = y, luego x = ± √y ; resultando entonces 4 raíces:3º PARA UNA ECUACIÓN CÚBICA _____________ _______ -b + √b - 4ac 2 con raíces: x3 + bx2 + cx + d = 0 √ x1 = + –––––––––––– 2a x1, x2, x3 ____________ ________ se cumple: -b + √b2 - 4ac x1 + x2 + x3 = -b x2 = - √ –––––––––––– 2a x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = c _____________ _______ x1 . x2 . x3 = -d -b - √b - 4ac 2FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE √ x3 = + –––––––––––– 2aSEGUNDO GRADO _____________ _______ x4 = + -b - √b - 4ac 2Si “x1” y “x2” son las raíces de una ecuación desegundo grado. la ecuacíon originaria se forma así: √ –––––––––––– 2a - 94 -
  95. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OPROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNAECUACIÓN BICUADRADA ( 25 6 x2 6x2 - 25x + 12 - ––– + ––– = 0 x x2 )SUMA DE RAÍCES: x1 + x2 + x3 + x4 = 0 [( 1 x2 ) ( 1 ) ] x2 6 x2 + –– - 25 x + –– + 12 = 0 (A) xPRODUCTO: hacemos: c 1 x1 . x2 . x3 . x4 = –– x + ––– = y a (1)PRODUCTOS BINARIOS: para elevarlo al cuadrado: b 1 x2 + –– = y2 - 2 (2) x1 . x2 + x3 . x4 = –– x2 aFORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN BICUADRADA Sustituyendo (1) y (2) en (A): x4 + (x1 . x2 + x3 . x4)x2 + x1 . x2 . x3 . x4 = 0 x2[6(y2 - 2) - 25y + 12] = 0 x2(6y2 - 25y) = 0 Ejemplo: x2y(6y - 25) = 0 Sean las raíces x’ = ± 4 y x” = ± 2 Reponiendo el valor de x: ¿Cuál es la ecuación bicuadrada) PROCEDIMIENTO: Sean: x1 = 4 x2 = -4 ( 1 x2 x + –– x )[ ( 1 ) ] 6 x + –– - 25 = 0 x Igualando los factores a cero, sólo el último factor x3 = 2 x4 = -2 arroja resultados válidos: Luego aplicando la fórmula de cosntrucción: x1 = 3,91098 x4 + [(4) (-4) + (2) (-2)] x2 + (4) (-4) (2) (-2) = 0 x2 = 0,25569 x4 - 20x2 + 64 = 0 ECUACIONES BINOMIAS Y TRINOMIAS 1) BINOMIASECUACIONES RECÍPROCASSon de la forma: Son de forma: Axn + b = 0 Ax4 + Bx3 + Cx2 + Bx + A = 0 Se resuelve factorizando e igualando cada factor a cero o mediante la fórmula de Moivre. Es decir, sus coeficientes equidistantes del centro son iguales. Ejemplo: 8x3 - 27 = 0 Reciben este nombre porque no varían cuando se cambia “x” por su recíproco “1/x”. la cual también se puede escribir también como: Ejemplo: (2x)3 - (3)3 = 0 Resolver: 6x4 - 25x3 + 12x2 - 25x + 6 = 0 factorizando: PROCEDIMIENTO: (2x - 3)[(2x)2 + (2x)(3) + (3)2] = 0 Se factoriza x2: (2x - 3)(4x2 + 6x + 9) = 0 - 95 -
  96. Si: 2x - 3 = 0 ⇒ 3 x1 = –– PROCEDIMIENTO: 2 Obsérvese que las cantidades subradicales son 2 Si: 4x + 6x + 9 = 0 ⇒ inversamente iguales, luego llamado a: ___________ x2 - 2x + 14 __ -3 + 3√3i x2 = ––––––––– 4 __ -3 - 3√3i x3 = ––––––––– 4 √–––––––––– = y x2 + 4x + 2 ___________ x2 + 4x + 2 12) TRINOMIAS √–––––––––– = –– x2 + 4x + 2 y Son de la forma: Ax2n + Bxn + C = 0 ∴ La expresión propuesta se escribe: 1 y + –– = 2 Se resuelve cambiando xn = y, y se transforma en y una ecuación de segundo grado. y2 - 2y + 1 = 0 Ejemplo: Resolver: x8 - 15x4 - 16 = 0 (y - 1)2 = 0 de donde: PROCEDIMIENTO: y=1 Con este valor: Llamando: x4 = y (a) ___________ x2 - Luego: y2 - 15y - 16 = 0 √ ––– 2x + 14 = 1 –––––––– x2 + 4x + 2 x2 - de donde: ––– 2x + 14 = 1 –––––––– x2 + 4x + 2 y1 = 16 ; y2 = -1 x2 - 2x + 14 = x2 + 4x + 2 Sustituyendo estos valores en (a): primero, y = 16; 6x = 12 luego, y = 1 x=2 1) x4 = 16 ⇒ (x4 - 16) = 0 ⇒ (x + 2) (x - 2) DESIGUALDADES E INECUACIONES (x + 2i)(x - 2i) = 0 DESIGUALDAD De donde: Es una relación que establece que dos cantidades tienen diferente valor. Los signos usados son: x1 = -2 ; x2 = 2 > mayor que x3 = -2i ; x4 = 2i __ < menor que 4 2) x4 = -1 ⇒ x = √-1 = i ≤ igual o mayor que ≥ igual o menor queECUACIONES QUE SE RESUELVENMEDIANTE ARTIFICIO PROPIEDADES DE LA DESIGUALDADESMediante el empleo de incógnitas auxiliares se llega 1º Si ambos miembros de una desigualdad se suma oa una ecuación de forma conocida. resta una misma cantidad, la desigualdad no cam- bia de sentido. Ejemplo: Resolver: a>b ⇔ a±m >b±m ________ ___ ___________ 2 x - 2x + 14 x2 + 4x + 2 2º Si ambos miembros de una desigualdad son mul- √ –––––– ––––– + x2 + 4x + 2 √ –––––––––– = 2 x2 - 2x + 14 tiplicados o divididos por un mismo número po- sitivo, la desigualdad no varía. - 96 -
  97. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O a>b CLASES DE DESIGUALDADES también: 1) ABSOLUTA a b a . m > b . m ∨ –– > –– ; si m > 0 m m Cuando se verifica para cualquier valor de sus letras.3º Si ambos miembros de una desigualdad se multi- plica o divide por un mismo número negativo, la Ejemplo: (x - 3)2 + 9 > 0 desigualdad cambia de sentido. 2) RELATIVA O INECUACIÓN a>b Cuando se verifica sólo para valores determina- a b dos de sus letras. si n < 0 ⇒ a . n < b . n ∨ –– < –– n n Ejemplo: 5x - 9 > 114º Si se suma miembro a miembro varias desigual- sólo se satisface para x > 4. dades del mismo sentido, el resultado es una desigualdad del mismo sentido. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA a>b Son de la forma: c>d ___________ a+c>b+d ax ± b > 05º Si se multiplica o divide miembro a miembro o: varias desigualdades del mismo sentido, cuyos ax ± b < 0 miembros son positivos, se obtiene una desigual- dad del mismo sentido: SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN a>b Es todo valor de la incógnita o conjunto de valores de c>d las incógnitas que verifican la desigualdad. –––––––––– a b a.c>b.d ∨ –– > –– c d Las soluciones se expresan en intervalos abiertos o cerrados.6º Si ambos miembros de una desigualdad son ele- vados a una misma potencia impar, el sentido de INTERVALO ABIERTO la desigualdad no varía. Es el conjunto de soluciones limitados por los a>b ⇒ a2n+1 > b2n+1 valores a y b, sin incluir estos valores: Se denota así:7º Si ambos miembros de una desigualdad se eleva a 〈 a, b 〉 una misma potencia par, siendo los dos miembros negativos, se obtiene una desigualdad de signo Ejemplo: contrario. El intervalo 〈 2, 5 〉 significa que x tiene todos los valores entre 2 y 5 pero no incluye a éstos; a>b ⇔ a2n < b2n es decir, los valores son solamente 3 y 4. ⇔ a<0 y b<0 INTERVALO CERRADO8º Si ambos miembros de una desigualdad se les Es el conjunto de soluciones limitados por val- extrae una misma raíz de índice impar se obtiene ores a y b, incluyendo a éstos. una desigualdad del mismo sentido. Se representa así: 2n+1 __ 2n+1 __ [a, b] a>b ⇔ √a > √b - 97 -
  98. Ejemplo: Solución gráfica: El intervalo [3, 8] significa que x tiene todos los valores entre 3 y 8, inclusive estos valores; es decir, los valores son 3; 4; 5; 6; 7; 8. -∞ 16 24 +∞ VALOR ABSOLUTO INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Se representa así: | x | Son de la forma: y, se define: ax2 + bx + c > 0 { x si x > 0 ax2 + bx + c < 0 |x|= -x si x < 0 Se presenta 3 casos: 1er. CASO .- Cuando la inecuación es:SISTEMA DE INECUACIONES CON UNA ax2 + bx + c > 0INCÓGNITA Se factoriza el trinomio. Suponiendo que se pue-Para resolver este sistema se sigue los siguientes de factorizar así: p(x - r1)(x - r2) > 0pasos: Para que esta desigualdad se verifique, ambos fac- tores o son positivos o son negativos, y las solu-(1) Se halla las soluciones de cada inecuación en ciones serán las siguientes: forma separada. (1) si son positivos:(2) Se compara, para establecer las soluciones comu- nes a todas las inecuaciones. x - r1 > 0 ∴ x > r1 x - r2 > 0 ∴ x > r2(3) Se grafica, las soluciones en la recta numérica (2) si son negativos: para facilitar la solución: x - r1 < 0 ∴ x < r1 Ejemplo: x - r2 < 0 ∴ x < r2 3x ––– - 5 > 7 (1) 4 Ejemplo: Resolver: x2 - 7x + 12 > 0 x –– + 3 > x - 9 (2) 2 Procedimiento: factorizando el trinomio: PROCEDIMIENTO: (x - 4)(x - 3) > 0 Con la (1): (1) si son positivos: x -4>0 ∴x>4 3x - 20 > 28 x -3>0 ∴x>3 3x > 48 (2) si son negativos: x > 16 (3) x -4<0 ∴x<4 No incluye al 16 x -3<0 ∴x<3 Con la (2): Conclusión: x + 6 > 2x - 18 La solución es: x > 4 ∨ x < 3 -x > -24 x < 24 (4) No incluye 24 -∞ 0 3 4 +∞ - 98 -
  99. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O2do. CASO.- La inecuación es: Ejemplo: Resolver: x2 + x + 1 > 0 ax2 + bx + c < 0 PROCEDIMIENTO: Se iguala a cero: Análogamente a la anterior, se factoriza, supo- niendo que se puede factorizar así: x2 + x + 1 = 0 _ __ _ __ (x - r1)(x - r2) < 0 -1 + √3 i -1 - √3 i x1 = –––––––– x2 = –––––––– Para que esta desigualdad se verifique, un factor 2 2 debe ser positivo y el otro negativo y las solu- Las raíces son complejas. Por otra parte: ciones serán las siguientes: Si: x - r1 < 0 ⇒ x < r1 () 1 x2 + 2 (x) –– + 1 > 0 2 x - r2 > 0 ⇒ x > r2 () 1 1 3 x2 + 2 (x) –– + –– + –– > 0 2 4 4 Si: x - r1 > 0 ⇒ x > r1 x - r2 < 0 ⇒ x < r2 ( ) 1 x + –– 2 2 3 + –– > 0 4 Ejemplo: expresión que verifica la desigualdad absoluta. Resolver: x2 - 9x + 18 < 0 PROGRESIONES Procedimiento: Se factoriza el trinomio: DEFINICIÓN (x - 6) (x - 3) < 0 Son sucesiones de números o términos algebraicos en las cuales cada tres términos consecutivos forma Si: x - 6 > 0 ⇒ x>6 una proporción continua, que puede ser aritmética o x-3<0 ⇒ x<3 } No hay solución común geométrica. A) PROGRESIÓN ARITMÉTICA “P.A.” o “POR DIFERENCIA” Es una sucesión de números en la cual cada uno Si: x - 6 < 0 ⇒ x<6 } de ellos se obtiene sumándole al anterior una can- Solución tidad constante que se llama “razón”. 3<x<6 x-3>0 ⇒ x>3 Sea la progresión aritmética: : t1, t2, t3, …, tn-1, tn En forma de intervalo: x ε 〈 3; 6 〉 Gráficamente: Se denota: t1 = primer término tn = término de lugar “n” r = razón n = número de términos -∞ 0 3 6 +∞ Sn = suma de “n” términos.3er. CASO.- Cuando la inecuación es ax2 + bx + c > Por definición:0 y tiene sus raíces complejas, solamente se verificapara ese sentido porque se trata de una desigualdad tn = tn-1 + r ⇒ r = tn - tn-1absoluta. - 99 -
  100. Una P.A. es creciente cuando la razón es positiva; Razón para interpolar: es decreciente, cuando la razón es negativa. ri = ––- a b–––– r > 0 : creciente m+1 r < 0 : decreciente Donde:PROPIEDADES “a” y “b” son términos dados de una proresión1º Términos cualquiera: aritmética. tn = t1 + (n - 1) r “m” es el número de términos a colocar entre “a” y “b”.2º Las sumas de términos equidistantes de los extre- Ejemplo: mos son iguales. Interpolar 4 medios aritméticos entre los Sea la P.A.: números 5 y 20. : t1, …, tp, …, tq, …, tn Razón para interpolar: t1 + tn = tp + tq b-a 20 - 5 ri = ––––– = ––––– = 3 m+1 4+1 (a) Término central: La P.A. completa será: t1 + tn : 5 : 8 : 11 : 14 : 17 : 20 tc = ––––– 2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA “P.G.” o “POR COCIENTE” (b) Un término cualquiera es media aritmética entre el anterior y el posterior: Es una sucesión de números en la cual el primero es distinto de cero y cada uno de los términos siguien- tes se obtiene multiplicando al anterior por una can- t1 + t3 t2 = ––––– tidad constante llamada “razón”. 2 Sea la progresión geométrica:3º Suma de los “n” primeros términos: : : t1 : t3 : … : tn-1 : tn (t1 + tn)n Se denota: t1 = primer término Sn = –––––– –– 2 t2 = t1 . q o: t3 = t2 . q [2t1 + (n - 1)r]n tn = término de lugar “n” Sn = –––––––––––––– 2 q = razón n = número de términosINTERPOLACIÓN Sn = suma de “n” términosEs la operación de hallar los términos de una pro-gresión aritmética entre otros dos. Por ejemplo, Pn = producto de “n” términosentre a y b. - 100 -
  101. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Ejemplos: 5º El limite de la suma de los términos de una P.G. decreciente ilimitada es: i) : : 2 : 10 : 50 : 250 Donde: q = 5 t1 lim S = –––– Es una progresión creciente porque q > 1. 1-q ii) : : 16 : 8 : 4 : 2 INTERPOLACIÓN 1 Donde: q = –– Razón para interpolar: 2 ___ m+1 b Es una progresión decreciente porque q < 1. qi = √ –– aPROPIEDADES Donde:1º Término cualquiera: m = número de términos para interpolar. “a” y “b”: números entre los cuales se interpola tn = t1 . qn-1 “m” términos.2º El producto de los términos equidistantes de los Ejemplo: extremos es igual al producto de los extremos: 1 1 Interpolar 3 términos entre ––– y –––– 16 256 : : t1 : t2 : … : tp : … : tq : … : tn-1 : tn Donde: tp . tq = t1 . tn 1 1 b = –––– ; a = ––– ; m = 3 256 16 a) Término Central: _________ ____ _____ √ / 1 1 = 4 ––– = –– 1 1 3+1 tcentral = √t1 . tn ⇒ qi = –––– ––– 256 16 16 √ 2 b) En una P.G. de tres términos el segundo es Luego, la P.G. será: media geométrica entre el primero y el tercero. 1 1 1 1 1 _____ : : ––– : ––– : ––– : –––– : –––– 16 32 64 128 256 : : t1 : t2 : t3 ⇒ t2 = √t1 . t3 LOGARITMOS3º Producto de “n” primeros términos: PRINCIPALES CONCEPTOS _______ Pn = √(t1 . tn)n DEFINICIÓN Se llama logaritmo de un número, en una base dada,4º Suma de “n” primeros términos: positiva y distinta de la unidad, al “exponente” a que debe elevarse la base para obtener el número dado. (q . tn) - t1 Sn = ––––––––– logb N = x ⇒ bx = N ⇒ blogbN = N q-1 o: SISTEMA DE LOGARITMOS qn - 1 Sn = t1 . ––––– Hay muchos sistemas de logaritmos, que se diferen- q-1 cian según la base que se elija. Los sistemas más - 101 -
  102. comunes son el Nepariano de base “e” y el vulgar, o __ nde Briggs, de base 10. logb N = logbn Nn = log n _ √N _ √b e = 2,718281… COLOGARITMOPROPIEDADES DE LOGARITMOS Cologaritmo de un número, en una base “b”, es el1º Sólo existe logaritmos de base positiva y diferente logaritmo de la inversa del número en la misma base; de 1. o también, es igual al logaritmo del mismo número b>1 en la misma base, precedido del signo menos.2º En el campo de los números reales no existe log- aritmos de números negativos. 1 () cologb N = logb –– = - logbN N3º a) Si la base es mayor que la unidad: ANTILOGARITMO logb ∞ = +∞ y logb 0 = -∞ Antilogaritmo es el número que dio origen al logaritmo. b) Si la base es menor que la unidad: Antilogb x = bx logb ∞ = -∞ y logb 0 = ∞ o:4º En todo sistema de logaritmos: Antilogb logb N = N logb b = 1 CAMBIO DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS A OTRO5º En todo sistema de logaritmos: logaN logb1 = 0 logb N = ––––– loga b6º Logaritmo de un producto: Fórmula que permite conocer al logaritmo de un logb A . B = logbA + logbB número en base “b”, conociendo el logaritmo del número en base “a”.7º Logaritmo de un cociente: LOGARITMOS COMO PROGRESIONES A logb –– = logb A - logb B Sean las progresiones geométrica, de razon “q” y pri- B mer término “1”; y aritmética, de razón “r” y primer término “0”, cuyos términos se corresponden:8º Logaritmo de una potencia: P.G. : : 1 : q : q2 : q3 : q4 : … : qn n logb A = n logb A P.A. : 0 . r . 2r . 3r . 4r . … . nr9º Logaritmo de un radical: se tiene: __ log A logb 1 = 0 n b logb √A = –– –––– n logb q = r10º En todo sistema de logaritmos, si se eleva a la logb q2 = 2r base y al número a una potencia “n” o a una raíz “n”, el resultado no varía. logb qn = nr - 102 -
  103. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OBASE DEL SISTEMA DE LOGARITMOS SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALESDEFINIDO POR UNA P.G. Y UNA P.A. Se les llama también “vulgares” o de Briggs. Son loga-De la conclución anterior: ritmos de base 10 definidos por las progresiones: logb qn = nr ⇒ qn = bnr : : …: 10-n : …: 10-3 : 10-2 : 10-1 : 1 : 10 : 102 : 103 : …: 10n : … r __ : … . -n . … . -3 . -2 . -1 . 0 . 1 . 2 . 3 . … . n . … b = √q NOTACIÓN: La base de todo sistema de logaritmos es igual a la raíz “r” de la razón “q” de la P.G., siendo “r” la El logaritmo de base 10 se representa así: razón de la P.A. cuyos términos se correspondan. log10 N Ejemplo: o simplemente: Hallar la base del sistema de logaritmos definido log N por las progresiones: Los logaritmos tienen 2 partes: 1 1 : : … : ––– : –– : 1 : 9 : 81 : … 81 9 La parte entera del logaritmo se llama “carac- terística”. : … . -8 . -4 . -0 . 4 . 8 . … La parte decimal del logaritmo se llama “mantisa”. PROCEDIMIENTO: PROPIEDADES DEL SISTEMA DE 1/9 En la P.G.: q = –––– = 9 LOGARITMOS DECIMALES 1/81 En la P.G.: r = -4 - (-8) = 4 1º Los logaritmos de los números mayores que 1 son positivos y los logaritmos de los números meno- r __ 4 __ __ res que 1 son negativos. ⇒ b = √q ⇒ b =√9 ⇒ b = √3 (log > 1) > 0 (log < 1) < 0SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOSTambién se llama logaritmos “naturales” o “hiperbó- 2º Los logaritmos de potencia de 10 son iguales allicos”. Tiene como base el número trascendente” “e”, exponente de dicha potencia.definido como: n log10n = n ( 1 ) e = lim 1 + –– = 2,718281 … n→∞ n 3º Los logaritmos de los números correspondidos en- tre dos potencias consecutivas de 10 son decimales. o: _ 1 e = lim (1 + n) n = 2,718281 … Ejemplo: n→0 log 1 000 = log 103 = 3 NOTACIÓN: log 100 = log 102 = 2 El logaritmo de un número “N” en base “e” se representa así: log 545 = 2,736397 In N o: 4º La “característica del logaritmo decimal de un Ln N número mayor que 1 es positivo e indica el o: número de cifras enteras más 1, que tiene la parte loge N entera del número. - 103 -
  104. Ejemplos: log 0,071 = (-2 + 1) - (1 - 0,851258) i) log 5 = 0 . …; 0 + 1 = cifra entera log o,071 = -1 - 0,148742 ii) log 238 = 2 . … ; 2 + 1 = 3 cifras enteras log 0,071 = -1,148742 iii) log 48,64 = 1 . … ; 1 + 1 = 2 cifras enteras CONVERSIÓN DE LOGARITMOS DECIMALES A5º La característica del logaritmo decimal de un NEPERIANOS número menor que la unidad es negativa e igual al número de ceros que preceden a la primera In N = 2,3026 log N cifra significativa, inclusive el cero de los enteros. Ejemplo: Ejemplos: _ _ Hallar logaritmo neperiano de 1000. i) log 0,0038 = 3 . … _ _ PROCEDIMIENTO: ii) log 0,516 = 1 . … In 1 000 = 2,3026 log 1 0006º Si se multipica o divide un número por la unidad seguida de ceros, no altera la mantisa de su loga- = 2,3026 log 103 ritmo pero la característica aumenta o disminuye = 2,3026 . 3 respectivamente en tantas unidades como ceros acompañan a la unidad. In 1 000 = 6,9078 Ejemplo: _ _ CONVERSIÓN DE LOGARITMOS NEPERIANOS log 0,00361 = 3 . … A DECIMALES _ _ log 0,361 = 1 . … log N = 0,4343 In NTRANSFORMAR UN LOGARITMO TOTALMENTEPOSITIVO A OTRO PARCIALMENTE NEGATIVO Ejemplo:(A) Y VICEVERSA (B) Hallar el logaritmo decimal de 16, si:El siguiente ejemplo indica el procedimiento para (A): In 4 = 1,38629 1– log –– = colog 75 = -log 75 75 PROCEDIMIENTO: = -1,875061 = -(1 + 0,875061) log 16 = 0,4343 In 16 = 0,4343 In 42 = -1 - 0,875061 + 1 - 1 = 0,4343 . 2 In 4 = (-1 - 1) + (1 - 0,875061) = 0,4343 . 2 . 1,38629 = -2 + 0,124939 log 16 = 1,2041 finalmente: _ _ INTERÉS COMPUESTO Y 1– log –– = colog 75 = 2, 124939 75 ANUALIDADES Ejemplo: para el procedimiento inverso (B): EL INTERÉS COMPUESTO __ log 0,071 = 2,851258 Es un mecanismo mediante el cual las ganancias se van sumando al capital, generalmente cada año, para for- log 0,071 = -2 + 0,851258 + 1 - 1 mar parte del capital. produciendo nuevos intereses. - 104 -
  105. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O pital (anualidad de capitalización) o para amortizar M = C (1 + r) t una deuda (anualidad de amortización). Donde: ANUALIDAD DE CAPITALIZACIÓN (AC) M = Monto = C + 1 = Capital + Interes Es la cantidad fija que se impone al principio de cada año al “r” por uno de interés compuesto para formar C = Capital inicial impuesto. un capital “C” en un tiempo “t”. R r = ––– = interés producido por 1 unidad mone- C.r 100 taria en 1 año. Ac = ––––––––– (1 + r)t - 1 R = Interés producido por 100 u.m. en 1 año. ANULADIDAD DE AMORTIZACIÓN (Aa) t = Tiempo impuesto al capital, en años. Es la cantidad fija que se impone al final de cada año al “r” por uno de interés compuesto para amortizarINTERÉS COMPUESTO: una deuda “C” y los intereses que ocasiona, a interés compuesto, en un tiempo “t”. I = C [(1 + r)t - 1] C . r (1 + r)tSe denomina ANUALIDAD a la cantidad fija que se Aa = ––––––––––– (1 + r)t - 1entrega o impone todos los años para formar un ca- - 105 -
  106. GEOMETRÍADEFINICIÓN 3) En un triángulo cualquiera, el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adya-Es la parte de la Matemática Elemental que trata de centes con él.las propiedades y medidas de la extensión. LaGeometría parte de ciertos conceptos primitivos ˆ ˆ ∆ ABC: α= A+Bdados intuitivamente, tales como: punto, recta yplano. Se divide en GEOMETRÍA PLANA YGEOMETRÍA DEL ESPACIO. BGEOMETRÍA PLANAÁNGULOS αTEOREMAS BÁSICOS A C1) La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y a un mismo lado de una TEOREMAS AUXILIARES recta es 180°. TEOREMA 1.- Punto O: α + β + δ + θ = 180° En todo cuadrilátero cóncavo, el ángulo exterior convexo, es igual a la suma de los ángulos inte- C riores convexos: B D ∆ ABCD: ˆ ˆ ˆ ˆ ADC = A + B + C β δ α θ B A E 02) En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a 180°. ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∆ A BC: A + B + C = 180° D B A C TEOREMA 2.- El ángulo formado por dos bisectrices interiores de un triángulo, es igual a noventa grados más la A C mitad del tercer ángulo: - 106 -
  107. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O ˆ B– VALOR DE LOS ÁNGULOS ∆ ABC: ˆ ADC = 90° + –– 2 EN LA CIRCUNFERENCIA Sean los ángulos “α”: B ÁNGULO CENTRAL D O ) α = AC R α R A C A C ÁNGULO INSCRITO BTEOREMA 3.- α C ) OEl ángulo formado por dos bisectrices exteriores α = AC ––– 2de un triángulo es igual a noventa grados, menosla mitad del tercer ángulo. A Aˆ ÁNGULO INTERIOR δ = 90° - ––– 2 B C ) ) α α = AD + BC –––––– –– 2 D Α D α B δ α ÁNGULO EXTERIOR B α β β AA O ) ) C C α = AD - BC –––––––– 2TEOREMA 4.- DEl ángulo formado por una bisectriz interior y ÁNGULO SEMI-INSCRITOuna bisectriz exterior de un triángulo es igual a lamitad del tercer ángulo. B ) ˆ B– AB δ = –– O α α = ––– 2 2 C A tangente D B δ ÁNGULO EXINSCRITO B parte de secante D α α β β O ) α ABDA α = ––––– C A 2 - 107 -
  108. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA B ortocentro“Es la longitud de la perpendicular trazada desde elpunto a la recta”. A h A C H TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL X X’ B Es el triángulo cuyos vértices son los pies de las AB: distancia de “A” a XX´ alturas de un triángulo dado. BTRIÁNGULOSLÍNEAS PRINCIPALES DEL TRIÁNGULO P NSon cuatro las líneas principales: Altura, Mediana, α βMediatriz y Bisectriz. O1) ALTURA δ Es la distancia de un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Las ALTURAS se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO. A C M Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior; si es obtusángulo es exterior; pero si es α , β y δ : ángulos del triángulo órtico. rectángulo, es el punto de intersección de los catetos. “O” es el incentro del triángulo órtico. B ∆ MNP: órtico o pedal Donde se cumple: E F α = 180° - 2C ortocentro β = 180° - 2A A D C δ = 180° - 2B A E NOTA.- h1 En el triángulo rectángulo no se puede formar F C el triángulo órtico. B h h2 2)MEDIANA D Es el segmento que une un vértice con el punto O ortocentro medio del lado opuesto. - 108 -
  109. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O B B B c –– a –– 2 2 2 A C O O C c –– a –– 2 2 Baricentro A O 1 B A C b –– D b –– 2 2 O: CIRCUNCENTROS A C O Las MEDIANAS se intersectan en un punto llama- do BARICENTRO o CENTRO DE GRAVEDAD del triángulo, este punto tiene la propiedad de dividir a cada una de las medianas en la relación de dos es 4) BISECTRIZ a uno. Por consiguiente, se cumple que: Es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos parciales iguales. Las BISECTRICES de un trián- OB 2 2 1 gulo se cortan en un punto “O” llamado INCEN- –––– = –– OB = –– BD OD = –– BD TRO por ser el centro de la circunferencia inscri- OD 1 3 3 ta en el triángulo. TEOREMA.- En todo triángulo rectángulo, la me- B diana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esa hipotenusa. AC h DB = ––– = –– Incentro 2 2 O B A C Mediana EXCENTRO.- Es el punto “O” de intersección de una bisectriz interior con dos bisectrices exterio- res relativas a los otros dos ángulos de un trián- A C h D h gulo. –– –– 2 2 El excentro es el centro de la circunferencia exin-3) MEDIATRIZ scrita al triángulo. Es la perpendicular trazada desde el punto medio del lado de un triángulo. Las MEDIATRICES se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO B por ser el centro de la circunferencia circunscrita Excentro al triángulo. O Cuando el triángulo es acutángulo, el CIRCUN- CENTRO es interior, si es obtusángulo es exteri- or, pero si es rectángulo, es el punto medio de la A C hipotenusa. - 109 -
  110. 1er. Caso.- Dos triángulos son iguales cuando NOTA tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido entre éstos es igual. SOBRE LA SITUACIÓN DE ALGUNOS PUNTOS. 2do. Caso.- Dos triángulos son iguales cuando tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a LA RECTA DE EULER. estos, respectivamente iguales. 1.- EL CIRCUNCENTRO equidista de los vér- 3er. Caso.- Dos triángulos son iguales cuando tices del triángulo. tienen sus tres lados respectivamente iguales. 2.- EL INCENTRO equidista de los lados del TEOREMAS DERIVADOS DE LA IGUALDAD DE triángulo. TRIÁNGULOS En virtud de la igualdad de triángulos, se demuestra 3.- El EXCENTRO equidista de los lados del los siguientes teoremas: triángulo. TEOREMA 1.- RECTA DE EULER.- Si por el punto medio del lado de un triángulo, se En todo triángulo, excepto en el equilátero, el traza una paralela a otro lado, dicha paralela “ortocentro”, el “baricentro” y el “circuncen- pasará por el punto medio del tercer lado y su tro” están situados en línea recta (recta de longitud será igual a la mitad del lado al que es Euler) y la distancia del ortocentro al baricen- paralelo. tro es el doble de la distancia del baricentro al circuncentro. Si M = punto medio de AB y MN // AC ⇒ N = punto medio de BC OBC: recta de Euler N OB = 2BC B O: Ortocentro B: Baricentro M N C: Circuncentro A C B AC MN = –––– O C 2 M TEOREMA 2.- El “baricentro” o “Centro de Gravedad” de un triángulo divide a cada una de las medianas en la P relación dos es a uno. BIGUALDAD DE TRIÁNGULOS E FPara determinar la igualdad de dos triángulos, bas- C.G.tará establecer la igualdad de tres elementos, a condi-ción de incluir en ellos, por lo menos un lado. Si esta Oúltima cláusula no se cumple, se llegará sólo a la A Csemejanza de triángulos. D - 110 -
  111. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Si: MN // AC OA OB OC 2 ∆ ABC: ––– = ––– = ––– = –– OF OD OE 1 B TEOREMA 3.- ⇒ ∆ ABC ∼ ∆ MBN En cualquier trapecio, la mediana es igual a la M N semisuma de las bases; y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las bases. A C A B Luego: AB BC AC ––– = ––– = ––– M N BM BN MN E F D C TEOREMA DE MENELAO Toda recta que corta a los tres lados de un triángulo DC + AB determina en estos, seis segmentos; siendo el pro- MN = –––––––– 2 ducto de tres de ellos no consecutivos igual al pro- ducto de los otros tres. EF = ––– - AB DC B ––––– 2 F ESEMEJANZA DE TRIÁNGULOSDos triángulos son semejantes cuando tienen sus A D Cángulos respectivamente iguales, y sus elementoshomólogos son proporcionales. ∆ ABC: AF . BE . CD = BF . CE . ADSe llama elementos homólogos a a quellos que se opo- FD: recta que corta a los tres lados.nen a ángulos iguales, comparando ambos triángulos.Los casos generales de semejanza de triángulos son: TEOREMA DE CEVA Las rectas que pasan por los vértices de un triángulo 1er. Caso.- Cuando tienen sus 3 ángulos iguales. y son concurrentes, determinan en los lados de éste, 2do. Caso.- Cuando tienen un ángulo igual, com- seis segmentos; siendo el producto de tres de ellos no prendido entre lados proporcionales. consecutivos igual al producto de los otros tres. B 3er. Caso.- Cuando tienen sus lados respectiva- mente proporcionales.TEOREMAS DERIVADOS DE LA SEMEJANZA DE D ETRIÁNGULOSTEOREMA DE THALES A C FToda recta, paralela al lado de un triángulo y quecorta a los otros dos lados, determina un triángulo ∆ ABC: AD. BE . CF = BD . CE . AFparcial, semejante al total y recíprocamente. - 111 -
  112. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO 1 1 1RECTÁNGULO –– = –– + –– h2 a2 c2En cualquier triángulo rectángulo, se cumple lassiguientes propiedades: RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO1° La altura relativa a la hipotenusa, es media pro- porcional entre los segmentos que determina 1er caso.- En todo triángulo acutángulo, el cua- sobre ésta. drado del lado que se opone a un ángulo agudo es2° Cada cateto es media proporcional entre la igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, hipotenusa y su proyección sobre ésta. menos el doble producto de uno de éstos por la proyecciòn del otro sobre el que se ha tomado.3° La suma de los cuadrados de los catetos, es igual B al cuadrado de la hipotenusa; es el teorema de Pitágoras. c a4° El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura relativa a ésta. B c a A C h p H m b A C m H n ∆ ABC: a2 = b2 + c2 - 2bp b 1° h2 = mn ∆ ABC: c2 = a2 + b2 - 2bm 2° a2 = bn 2do. Caso.- En todo triángulo obtusángulo, el 2 cuadrado del lado que se opone al ángulo obtuso c = bm es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos más el doble producto de unos de éstos por la 3° a2 + c2 = b2 proyección del otro sobre el que se ha tomado. 4º ac = bh B TEOREMA.- a En todo triángulo rectángulo, la inversa del c cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos. B H p A b C c a ∆ ABC: a2 = b2 + c2 + 2bp h TEOREMA.- Conocidos los tres lados de un triángulo: a, b y c A C H siendo “a” el lado mayor, el triángulo será rectángu- b lo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente, si: - 112 -
  113. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O B 1) a2 = b2 + c2 ∆ rectángulo 2) a2 < b2 + c2 ∆ acutángulo E F 3) a2 > b2 + c2 ∆ obtusángulo A C DRELACIÓN DE LADOS CON LA MEDIANA ∆ ABC:En un triángulo cualquiera, la suma de los cuadra-dos de los lados que concurren en el vértice de don- 3 AF2 + BD2 + CE2 = –– (AB2 + BC2 +AC2)de parte la mediana, es igual al doble del cuadrado 4de dicha mediana, más la mitad del cuadrado deltercer lado. RELACIÓN DE LADOS CON ÁNGULOS : 30º, B 60º, 45º 1.- En todo triángulo rectángulo de ángulos 30º y 60º, se cumple: c a a.- El cateto que se opone a 30º es igual a la mitad de la hipotenusa. b.- El cateto que se opone a 60º es igual a la mitad A C b __ M b __ de la hipotenusa por la raíz cuadrada de 3. 2 2 ∆ ABC: 30º - 60º - 90º ––– b2 ∆ ABC: a + c = 2BM 2 + –– 2 2 A 2 60ºTEOREMA AUXILIAR.-En un triángulo, la diferencia de los cuadrados de loslados que concurren en el vértice de donde parte lamediana, es igual al doble producto del tercer lado 30ºpor la proyección de la mediana sobre éste. B C B AC a) AB = ––– 2 c a __ AC√ 3 b) BC = –––––– 2 A C 2.- En todo triángulo rectángulo isósceles, cada cate- b HpM __ b __ to es igual a la mitad de la hipotenusa por la raíz 2 2 cuadrada de 2. A ∆ ABC: a2 – c2 = 2bp 45º TEOREMA.- En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las tres medianas es igual a tres cuartos de la suma de 45º los cuadrados de los lados. B C - 113 -
  114. ∆ ABC: 45º - 45º - 90º B __ c α α a AC √ 2 AB = BC = ––––––– 2 A C3.- En un triángulo rectángulo de ángulos 15º y 75º, m D n la altura relativa a la hipotenusa es la cuarta parte de dicha hipotenusa. c m ∆ ABC: –– = –– a n ∆ ABC: 15º - 75º - 90º B 2do. Caso: BISECTRIZ EXTERIOR c a La bisectriz exterior de un triángulo, determina en el h lado opuesto, segementos proporcionales a los lados que forman el vértice de donde parte esa bisectriz. 75º 15º A C b c m ∆ ABC: –– = –– a n b h = –– 4 B α αa c NOTA.- Cuando se tenga ángulos de 120º, 135º o 150º, A D C n es preferible trabajar con el suplemento: 60º, m 45º o 30º; de modo que éste sea el ángulo de un triángulo rectángulo convenientemente construido, al cual se le aplica los teoremas RELACIÓN DE LADOS CON BISECTRIZ vistos anteriormente, así: 1er. Caso: En un triángulo cualquiera, la bisectriz interior elevada al cuadrado, es igual al producto ∆ BEC: 30º - 60º - 90º de los lados que forman el vértice de donde parte E dicha bisectriz, menos el producto de los segmen- tos determinados por esa bisectriz en el tercer lado. B 60º 30º α α B C 120º c a A m n A C D bRELACIÓN DE LADOS CON SEGMENTOS _ 2 __DETERMINADOS POR LA BISECTRIZ ∆ ABC: BD = a . c – m . n1er. Caso: BISECTRIZ INTERIOR 2do. Caso.- En todo triángulo, la bisectriz exteri-En un triángulo cualquiera, la bisectriz interior or elevada al cuadrado, es igual al producto de losdetermina en el lado opuesto, segmentos propor- segmentos determinados por dicha bisectriz en elcionales a los lados que forman el vértice de donde lado opuesto menos el producto de los lados queparte dicha bisectriz. forman el vértice de donde parte esa bisectriz. - 114 -
  115. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O B POSICIONES RELATIVAS DE DOS α CIRCUNFERENCIAS α c a Las posiciones relativas de dos circunferencias son: Exteriores, Interiores, Tangentes (exteriores e inte-A D riores), Secantes y Concéntricas. b C n m EXTERIORES ___2 ∆ ABC: BD = m . n - a . c R r OO’ > R + r O O’RELACIÓN DE LADOS EN DESIGUALDADEn un triángulo, debe cumplirse que un lado esmenor que la suma de los otros dos lados pero mayor INTERIORESque su diferencia. B OO’ < R - r O O’ c a TANGENTES EXTERIORES A C b R r OO’ = R + r O O’ ∆ ABC: b - c < a < b + c TEOREMA.- TANGENTES INTERIORES Toda línea poligonal envuelta es menor que la línea poligonal envolvente que tiene los mismos extremos que aquella. O O’ OO’ = R - r C D SECANTES B A G F O O’ R - r < OO’ < R + r A E R r M Además: B AB = cuerda común AG + GF + FE < AB + BC + CD + DE AB ⊥ OO’ Envuelta < Envolvente AM = BM CONCENTRICASCIRCUNFERENCIACircunferencia es una curva plana, cerrada, cuyospuntos son todos equidistantes de otro que se llama OO’ r OO’ = cerocentro, situado en el mismo plano. Más formalmente,es el lugar Geométrico de todos los puntos que Requidistan de otro punto llamado centro. - 115 -
  116. CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES B CSon dos circunferencias secantes cuyos radios sonperpendiculares entre sí en los puntos de intersección. O A A D O O’ R^ r ABCD: AB + CD = BC + AD R r CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIPTIBLE A B UNA CIRCUNFERENCIA Es el cuadrilátero cuyos lados pueden ser tangentes aCUADRILÁTERO INSCRITO A UNA la circunferencia, sólo será posible si la suma de losCIRCUNFERENCIA lados opuestos son iguales.Es todo cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a la Por ejemplo: El cuadrado y el rombo son circun-circunferencia y se cumple que los ángulos opuestos scriptibles.son suplementarios. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES C TEOREMA 1.- B Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia, son iguales. O A B D O A ABCD: ˆ ˆ B + D = 180º C AB = AC ˆ ˆ A + C = 180º TEOREMA 2.-CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE A UNA Las tangentes comunes interiores a dos circunfer-CIRCUNFERENCIA encias, son iguales.Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una Acircunferencia, si y sólo si su ángulos opuestos son Dsuplementarios. O O’ Por ejemplo: El cuadrado y el rectángulo. B CCUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO A UNA AB = CDCIRCUNFERENCIA TEOREMA 3.-Es todo cuadrilátero cuyos lados son tangentes a lacircunferencia. En estos cuadriláteros se cumple que Las tangentes comunes exteriores a dos circunfer-la suma de los lados opuestos son iguales. encias, son iguales. - 116 -
  117. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O A E B B O O’ O C D A C D AB = CD ∆ ABC: 2p = 2AE = 2ADTEOREMAS FUNDAMENTALES EN LACIRCUNFERENCIA o: p = AE = AD TEOREMA 1.- donde: 2p = perímetro En todo triángulo rectángulo, la suma de los cate- tos es igual a la suma de la hipotenusa más el p = semiperímetro diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo. LÍNEAS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO B Se presentan tres propiedades o teoremas: c a TEOREMA 1.- Si dos cuerdas se cortan dentro de un círculo, el producto de los dos segmentos de una, es igual al r producto de los dos segmentos de la otra. A C B C b ∆ ABC: a + c = b + 2r O TEOREMA 2.- D En todo triángulo, el producto de dos lados es A igual al producto de la altura relativa al tercero por el diámetro de la circunferencia circunscrita. Punto E: AE . EB = CE . DE B TEOREMA 2.- c a Si desde un punto exterior a un círculo se traza a h él una secante y una tangente, la tangente es O R media proporcional entre la secante y su parte A C H externa. Punto A: AB2 = AD . AC B A ∆ ABC: a . c = h . 2R TEOREMA 3.- O El triángulo exinscrito a una circunferencia, tiene C por perímetro el doble de una de las tangentes de los lados prolongados, excepto el lado tangente. D - 117 -
  118. TEOREMA 3.- E Si desde un punto exterior a un círculo, se traza A B dos o más secantes, el producto de una de ellas y su parte externa es igual al producto de la otra y O su parte externa. C B Potencia E(0) = AE . BE A O La forma general de potencia se expresa en fun- E ción de la distancia “d” del punto al centro y del radio “r” de la circunferencia. D Punto A: AC . AB = AD . AE r O B A C dPOTENCIA DE UN PUNTOSe define potencia de un punto, con relación a unacircunferencia de centro O, a cualquiera de las sigu- Potencia A(0) = d2 - r2ientes afirmaciones:1.- Al cuadrado de la tangente trazada desde ese punto. OBSERVACIONES SOBRE LA POTENCIA DE UN PUNTO B A 1.- Cuando el punto es exterior, su potencia es positiva, ya que: d > r. O 2.- Cuando el punto es interno, su potencia es negativa, ya que: d < r. __ 2 _ 3.- Cuando el punto está en la circunferencia, Potencia A(0) = AB su potencia es nula, porque: d = r.2.- El producto de la secante (trazada desde ese punto) y su parte externa. LUGAR GEOMÉTRICO Lugar geométrico es un sistema de puntos o conjun- B tos de puntos que tienen una misma propiedad. C A La mediatriz de un segmento de recta, la bisectriz de un ángulo convexo, la circunferencia, etc., son casos O de lugares geométricos. EJE RADICAL Potencia A(0) = AC . AB Es el lugar geométrico de los puntos que tiene igual potencia con relación a dos circunferencias dadas.3.- Al producto de los segmentos en que dicho punto El eje radical es una línea recta perpendicular a la divide a una cuerda. línea que une los centros. - 118 -
  119. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Nótese que si las circunferencias son concéntri- POSICIONES DEL EJE RADICAL cas, no hay eje radical.Cuando las circunferencias son: PROPIEDADES DEL EJE RADICAL SECANTES 1º El eje radical de dos circunferencias exteriores está más cerca al centro de la menor que al de la mayor. A 2º El eje radical de dos circunferencias es el Lugar O O’ Geométrico de los puntos, desde el cual se puede trazar a las dos circunferencias, tangentes iguales. B E.R. cuerda común AB 3º El eje radical de dos circunferencias pasa por los puntos medios de las tangentes comunes. TANGENTES EXTERIORMENTE OBSERVACIÓN: E.R. En las propiedades 2º y 3º, hay que considerar las posi- T.C. ciones de las dos circunferencias, a las cuales se les puede trazar tangentes comunes inferiores o exteriores. O O’ CENTRO RADICAL E.R. tangente común Es el punto de intersección de los ejes radicales de tres circunferencias, tomadas de dos en dos. Los cen- TANGENTES INTERIORMENTE tros de las circunferencias no están en línea recta. E.R. P = Centro Radical O O’ e3 O O’ P E.R. tangente común EXTERIORES e1 e2 E.R. O” T.C. O O’ El centro radical, es el punto desde el cual se puede trazar a las tres circunferencias, tangentes iguales entre sí, y es el centro de circunferencia ortogonal a los tres. INTERIORES No se cumple si las tres son secantes, entre otras E.R. posibilidades. MEDIA Y EXTREMA RAZÓN DE UN SEGMENTO O O’ O SECCIÓN AÚREA Un segmento está dividido en media y extrema razón, por un punto, si la parte mayor es media proporcional entre la parte menor y el segmento total. Es decir: - 119 -
  120. TEOREMA.- AB2 = AC . BC Los pies de las bisectrices interior y exterior de un triángulo son los conjugados armónicos de los A B C vértices del lado respectivo. A la parte AB, se le llama sección áurea o seg- Se cumple: mento áureo, cuyo valor es: AD AE ––– = ––– __ DC CE AC (√5 - 1 ) AB = –––––––––––– 2 B α El número áureo es: β β α __ √5 - 1 n = –––––– A E 2 D C ⇒ AB = AC . n POLÍGONOSDIVISIÓN ARMÓNICA DE UN SEGMENTO DEFINICIÓN Y CONCEPTOSSe dice que un segmento “AB” está dividido armóni- Son las figuras geométricas formadas por un conjun-camente por dos puntos (C y D) tal que uno “C” le to de segmentos de recta uno a continuación de otro,pertenece y otro “D” está en su prolongación, si se en un mismo plano, llamados lados que cierran unacumple que: “región” o área. El punto común de dos segmentos consecutivos se llama vértice. AB AD ––– = ––– Los polígonos pueden ser: regulares e irregulares. BC BD Son regulares aquellos que tienen sus ángulos iguales, lados iguales y son siempre inscriptibles A B C D y circuncriptibles a una circunferencia. Los irregulares, no cumplen estas condiciones. A los puntos: A, B, C y D se les llama: “cuaterna armónica”; siendo C y D los conjugados armóni- ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS cos de A y B. REGULARESHAZ ARMÓNICO 360º αn = ––––Es todo sistema de cuatro rectas concurrentes que npasan por una cuaterna armónica. Si = 180º (n - 2) OA, OM, OB, ON: rayos del haz. OM y ON: rayos conjugados respecto de OA y OB, recíprocamente. ˆ 180º (n - 2) i = –––––––––– n O n (n - 2) ND = ––––––– 2 A N SE = 360º M B - 120 -
  121. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O VALOR DE LOS ELEMENTOS DE LOS B POLÍGONOS REGULARES Ln Ln/2 Angulos centrales, lados, apotemas y áreas de los H polígonos regulares en función del radio de la cir- R Ap cunferencia circunscrita. A C αn R R TRIÁNGULO EQUILATERO: O r B ˆ i l E D O α R O = centro de la circunferencias inscrita y cir- A P C cunscrita. αn = ángulo central α = 120º n = número de lados __ l = R√3 Si = suma de ángulos internos i = ángulos interior R Ap = –– 2 Ln = longitud del lado del polígono __ ND = número total de diagonales 3R2√3 S = –––––– 4 R = radio de la circunferencia circunscrita r = radio de la circunferencia inscrita = Ap CUADRADO: SE = suma de ángulos exteriores Ap = apotema = r A l B n-2 = número de triángulos que se pueden trazar R desde un solo vértice. O α n-3 = número de diagonales que se puede trazar Ap desde un solo vértice. D P CCÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LOSPOLÍGONOS IRREGULARES α = 90º Si = 180º (n - 2) __ l = R√2 __ SE = 360º R√2 Ap = ––––– 2 n (n - 3) S = 2R2 ND = –––––––– 2 - 121 -
  122. PENTÁGONO: OCTÁGONO B B l A CA C α α O H O D P P G E E D F α = 72º α = 45º _________ __ _______ _ __ √ R 10 - 2√5 l = –––––––––––– √ l = R 2 - √2 2 ________ __ ________ _ __ √ R 2 + √2 √ Ap = R 6 + 2√5 –––––––– –– –– Ap = –––––––––––– 2 4 __ __________ __ S = 2R2 √2 5R2 √ 10 + 2√5 S = ––––––––––––––– 8 DECÁGONO EXÁGONO B A C B C R J D O α α I EA O D P P H F G F E α = 36º α = 60º __ R (√5 - 1) l = ––––––––––– l=R 2 __ __________ __ R√3 Ap = ––––– √ R 10 + 2√5 Ap= –––––––––––– 2 4 __ __________ 3R2 √3 __ S = ––––––– √ 5R2 10 - 2√5 S = ––––––––––––––– 2 4 - 122 -
  123. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O ______ _ DODECÁGONO: ∆ ABC: l5 = √l2 + l10 2 6 B A C 3.- El área de un polígono regular se puede calcular así: L D α Sn = pn . Apn K O E R Donde: “pn”, el semiperímetro y “Apn” la J F apotema, del polígono de “n” lados. P I G H CONCLUSIONES SOBRE LOS POLÍGONOS α = 30º REGULARES _______ _ __ 1º El ángulo exterior de un polígono regular y el √ l = R 2 - √3 ángulo central son iguales. ________ __ 2º El ángulo interior de un polígono regular y el Ap = –––– √ R 2 + √3 –––––––– ángulo central son suplementarios. 2 3º De dos o más polìgonos regulares, el que tiene más lados, posee menor ángulo central. S = 3R2 4º Un triángulo isósceles puede ser el elemento de un polígono regular, siempre que su ángulo desi- LEYENDA GENERAL: gual sea un divisor de 360º; siendo el cociente ob- tenido el número de lados del polígono. α = ángulo central En ese triángulo se cumplirá: l = lado a.- El ángulo desigual es el ángulo central del polígono. Ap = Apotema = OP b.- El vértice del ángulo desigual es el centro de S = superficie = área la circunferencia circunscrita al polígono. c.- Los lados iguales son los radios de la circun- ferencia circunscrita al polígono. d.- La altura relativa a la base es el apotema delNOTAS.- polígono.1.- El lado del decágono regular, es la sección e.- La base o lado desigual es el lado del polígono áurea de un radio que se encuentra dividi- regular. do en media y extrema razón. B __ α R(√5 - 1 ) l10 = –––––––––– 2 R R Apn2.- El lado del pentágono regular es la hipote- nusa de un triángulo rectángulo, cuyos ca- tetos son el lado del exágono regular y el A H C lado del decágono regular. Ln - 123 -
  124. ÁREA DE LAS REGIONES PLANAS EN FUNCIÓN DEL RADIOREGIÓN CIRCUNSCRITO “R”:Es un espacio plano llamado “área” limitado por seg- Bmentos rectilíneos llamados “lados”. a ÁREA DE TRIÁNGULOS O R a.b.c c C S = ––––––– FÓRMULA BÁSICA 4R b B S = b .–– –––h A 2 h EN FUNCIÓN DEL RADIO EXINSCRITO “R” A C S = R (p - AC) b A O TRIÁNGULO EQUILATERO: R B __ C B l2 . √3 S = –––––– l l 4 EN FUNCIÓN DE LOS RADIOS INSCRITO “r” Y EX-INSCRITOS _______ A C B S = √rR1R2R3 l R3 R1 O EN FUNCIÓN DEL SEMIPERÍMETRO “p”: r B A C c a R2 LEYENDA: A C b S = superficie o área _________________ S = √p(p - a)(p - b)(p - c) B = base (un lado) a+b+c H = altura Donde: p = –––––––– 2 L = lado EN FUNCIÓN DE RADIO INSCRITO “r”: P = semiperímetro B S=p.r 2p = perímetro c a R = radio del círculo circunscrito r r = radio del círculo inscrito A C b a, b, c = lados del triángulo a+b+c Donde: p = –––––––– 2 - 124 -
  125. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C ORELACIÓN DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS B N y z1.- Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son entre sí como las bases respectivas. z M y x x S∆ ABC AC P ––––––––––– = ––– S∆ DEF DE A C B F PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS 1º TEOREMA DE EULER h En todo cuadrilátero, la suma de los cuadrados de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de A E C D sus diagonales, más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de las diago-2.- Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son nales. entre sí como los cuadrados de sus elementos homólogos. a2 + b2 + c2 + d2 = d1 + d2 + 4MN2 2 2 S ∆ ABC a2 b2 c2 C ––––––––– = ––– = ––– = ––– b S ∆ DEF d2 e2 f2 B c a M N B E d1 d2 f d A D d c a D F 2º TEOREMA DE PTOLOMEO (1) e En todo ccuadrilátero inscrito o inscriptible a una A C circunferencia, la suma de los productos de los lados b opuestos es igual al producto de las diagonales.3.- Si dos triángulos tienen un ángulo igual (común) o suplementario, sus áreas son entre sí como los B C productos de los lados que forman ese ángulo igual (común) o suplementario. AB . CD + BC . AD = AC . BD ––––––––– = AB . AC S ∆ ABC ––––––– S ∆ MBN BM . BN A D B C M 3º TEOREMA DE PTOLOMEO (2) M N En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible a una circunferencia, las diagonales son entre sí, como la α β suma de los productos de los lados que concurren A C A B N en los vértices que forman las respectivas diago- nales. TEOREMA.- El área del triángulo cuyos lados son medianas de B C un triángulo dado, es igual a los tres cuartos de área del triángulo dado. AC AB . AD + BC . CD ––– = ––––––––––––––––– BD AB . BC + AD . CD 3 S ∆ MNP = –– S ∆ ABC 4 A D - 125 -
  126. 4º En todo cuadrilátero, si se une consecutivamente B1 b1 C1 los puntos medios de los lados del cuadrilátero, se formará siempre un paralelogramo cuya área es β la mitad del área del cuadrilátero. a1 c1 S1 S ABCD S MNPQ = ––––––––––– α δ 2 A1 d1 D1 C N (1) Los elementos homólogos son proporcionales. B a b c d AC M P –– = –– = –– = –– = ––––– a1 b1 c1 d1 A1C1 A D Q (2) Las áreas son entre sí, como los cuadrados de los elementos homólogos.5º En todo trapecio, si se une el punto de un lado no paralelo, con los vértices del otro lado no parale- S a2 b2 c2 d2 lo, se formará un triángulo cuya área es la mitad –– = –– = –– = –– = –– S1 a2 b1 c1 d1 2 2 2 del área del trapecio. 1 S ABCD S ∆ CMD = ––––––––––– 2 ÁREAS DE LAS REGIONES CURVAS B C CÍRCULO: M S = πR2 R πD2 O A S = –––– s 4 A D D = diámetroSEMEJANZA DE POLÍGONOSPara que dos polígonos del mismo número de lados SECTOR CIRCULAR:sean semejantes, debe cumplirse dos condiciones: απR21.- Que tengan sus ángulos respectivamente iguales. A SsecAOB = –––– 360º2.- Que se les pueda descomponer en el mismo nú- O α S B α = ángulo central mero de triángulos semejantes.Satisfechas estas condiciones de semejanza, las rela-ciones métricas de dos polígonos semejantes son: SEGMENTO CIRCULAR: B b C Sseg = SsecAOB - S ∆ AOB β a c S O R R A B α δ S A d D - 126 -
  127. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O * Tres caras o planos: CORONA CIRCULAR: ASB = a ; BSC = b ; ASC = c * Tres diedros o aristas: r SA ; SB: SC ( o simplemente A; B; C) S O A S = π (R2 - r2) R * Un vértice: π (D2 - d2) S = ––––––––– B 4 El punto “S” donde concurren las tres caras o las tres aristas. D = diámetro exterior TEOREMA 1.- d = diámetro interior En todo triedro, una cara debe ser mayor que la diferencia de las otras dos, pero menor que la TRAPECIO CIRCULAR suma de las mismas. 2 2 b–c<a<b+c R S α S = πR –– - –– α –––α πr ––– 360º 360º r TEOREMA 2.- O πα(R2 - r2) S = –––––––––– En todo triedro, la suma de sus caras es mayor 360º que cero grados, pero menor que cuatro rectos LEYENDA: 0<a+b+c<2π S = superficie o área Este teorema es aplicable también para todos los ángulos poliedros distintos al triedro. S ∆ = superficie o área del triángulo TEOREMA 3.- S = superficie o área del cuadrilátero En todo driedro, la suma de los ángulos diedros es R = radio exterior mayor que dos rectos, pero menor que seis rectos. r = radio interior π<A+B+C<3π D = diámetro exterior d = diámetro interior S Ssec = superficie o área del sector circular Sseg = superficie o área del segmento circular a b A c B CGEOMETRÍA DEL ESPACIOTEOREMAS FUNDAMENTALESÁNGULO TRIEDRO POLIEDROS Poliedro es un sólido limitado por planos, que al cor-O simplemente TRIEDRO, es un ángulo poliedro de tarse y limitarse determinan sus caras, sus aristas ytres caras. Sus elementos son: sus vértices. - 127 -
  128. TEOREMA DE EULER TEOREMA 1.- En todo poliedro, el número de aristas más dos, es igual al número de vértices más el número de caras. #A+2= #V + #C TEOREMA 2.- En todo poliedro, la suma de los ángulos forma- 3) OCTAEDRO REGULAR dos en los vértices por las aristas, es igual a tan- tas veces cuatro rectos, como número de vértices Es el poliedro regular formado por ocho caras tiene el poliedro menos dos. iguales que son triángulos equiláteros unidos por los vértices de cuatro en cuatro. S = 2 π ( # V – 2)POLIEDRO REGULAREs aquel cuyas caras son polígonos regulares igualesy cuyos ángulos poliedros son todos iguales.Los poliedros regulares son sólo cinco: Tetraedroregular, Exaedro regular o cubo, Octaedro regular,Dodecaedro regular e Icosaedro regular.1) TETRAEDRO REGULAR 4) DODECAEDRO REGULAR Es el poliedro regular formado por cuatro caras iguales que son triángulos equiláteros unidos por Es el poliedro regular formado por doce caras los vértices de tres en tres. iguales que son pentágonos regulares, unidos por los vértices de tres en tres.2) EXAEDRO REGULAR O CUBO 5) ICOSAEDRO REGULAR Poliedro regular formado por seis caras iguales, Es el poliedro regular formado por veinte caras que son cuadradas, unidas por los vértices de tres iguales que son triángulos equiláteros unidos por en tres. los vértices de cinco en cinco. - 128 -
  129. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O B A C h F Sb E D PRISMA OBLICUOPRISMAEs un poliedro, dos de cuyas caras son paralelas lla- SL = 2pSR . arista lateralmadas bases (iguales) y cuyas otras caras son para-lelogramos (caras laterales). ST = SpL + 25b ALTURA DE UN PRISMA V = Sb . h Es la longitud de la perpendicular común a las bases. V = SSR . arista lateral PRISMA RECTO Es aquel cuyas aristales laterales son perpendicu- C lares a las bases. A B PRISMA OBLICUO Es aquel cuyas aristas son oblicuas a las bases. NPRISMA REGULAR M SR hUn prisma es regular cuando tienen polígonos regu- Plares por bases y sus aristas laterales son perpen-diculares a las bases. F Sb SECCIÓN RECTA (SR) E D Es la sección determinada por un plano perpen- dicular a las aristas laterales. PARALELEPIPEDO RECTÁNGULARCÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LOSPOLIEDROS Es todo paralelepípedo recto cuyas bases son rec- tángulares. PRISMA RECTO SL = 2p . h SL = 2xy + 2xz ST = SL + 2Sb ST = 2xy + 2xz + 2yz V = Sb . h V = xyz ___________ V = Sb . arista lateral d = √x2 + y2 + z2 - 129 -
  130. SL = Suma de áreas de caras laterales d ST = SL + Sb + S1 z a+b+c V = Sb . –––––––– y 3 x CUBO TRONCO DE UN PRISMA OBLICUO Es aquel cuyas aristas laterales son oblícuas a las bases, sus caras laterales son trapecios, sus bases polígonos cualesquiera y desiguales. a d C B S1 a a h1 h2 D P M SL = 4a2 F SR h3 ST = 6a2 S2 N E V = a3 A __ d = a√ 3 SL = Suma de caras lateralesTRONCO DE PRISMA ST = SL + S1 + S2Es la parte de un prisma comprendida entre una base AB + FC + EDy un plano no paralelo a las bases. V = SSR . –––––––––––– 3TRONCO DE UN PRISMA RECTO h1 + h2 + h3Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a V = S2 . ––––––––––la base principal y sus caras laterales son trapecios 3rectángulares, siendo sus bases polìgonos cua-lesquiera y desiguales. PIRÁMIDE Es un poliedro en el que una de las caras, llamada B base, es un polígono cualquiera y las otras caras (lat- C erales) son triángulos que tienen un vértice común. b ALTURA S1 a Es la distancia del vértice de la pirámide, a la base. c D F A Sb PIRÁMIDE REGULAR E Es aquella cuya base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales. - 130 -
  131. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OLa altura de una pirámide regular pasa por el centrode la circunferencia inscrita o circunscrita a la base ST = SL + Sbde la pirámide. Sb . h V = –––––APOTEMA DE LA PIRÁMIDE REGULAR 3Es la altura de los triángulos isósceles que forman suscaras laterales. SEMEJANZA DE PIRÁMIDES A Si se corta una pirámide cualquiera por un plano paralelo a la base se obtiene una pirámide pequeña, adyacente y semejante a la total, y recìprocamente, entonces: E D h Ap A Sb V1 h1 F E B C S1 h H SL = p . Ap B D Sb ST = SL + Sb Sb . h V = ––––– C 3 1.- Las áreas de sus bases son entre sí como losPIRÁMIDE IRREGULAR cuadrados de los elementos homólogos.Es una pirámide cuya base es un polígono irregulary las caras laterales son triángulos desiguales. S1 h2 AF2 AH2 FH2 ––– = ––– = –––– = –––– = –––– Sb h2 AB2 AC2 BC2 NOTA.- Si la pirámide es irregular, pero sus aristas lat- 2.- Sus volúmenes son entre sí, como los cubos de erales son iguales, la altura pasará por el cen- sus elementos homólogos. tro de la circunferencia circunscrita a la base. V1 h3 AF3 AH3 ––– = ––– = –––– = –––– V h3 AB3 AC3 A TRONCO DE PIRÁMIDE Es la parte de una pirámide comprendida entre la base y una sección determinada por un plano para- E lelo o no a la base. Esta sección y la base son denom- inadas bases del tronco; siendo las caras laterales, D trapecios. H Sb ALTURA DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE B C Es la longitud de la perpendicular trazada de una base a la otra. - 131 -
  132. Los troncos de pirámides pueden ser regulares oirregulares. ST = SL + S1 + Sb _____TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR ( h S1 + Sb + √S1 . Sb V = –––––––––––––––––– )Se llama así, cuando sus bases son polígonos regu- 3lares y paralelos, y sus caras laterales son trapeciosisósceles e iguales.APOTEMA DEL TRONCO DE PIRÁMIDEREGULAR EL CONO Se llama cono a todo sólido limitado por una super-Es la altura de los trapecios que forman las caras lat- ficie cónica y por la sección del plano que corta aerales y une los puntos medios de las bases de estos todas las generatrices de la superficie cónica, deter-trapecios. minándose la base del cono. S1 DEFINICIONES Ap ALTURA DE UN CONO h h Es la longitud de la perpendicular trazada desde el vértice del cono a su base. M Sb CONO CIRCULAR Es el que tiene por base un círculo. SL = Ap (p + p1) CONO RECTO ST = SL + S1 + Sb Llámese cono recto al cono circular cuyo eje es per- _____ pendicular al círculo de la base en su centro. El eje de ( h S1 + Sb + √S1 . Sb V = –––––––––––––––––– ) un cono recto se confunde con la altura. 3 CONO DE REVOLUCIÓN Llámase cono de revolución, o recto, al que seTRONCO DE PIRÁMIDE IRREGULAR supone engendrado por la rotación de la hipotenusa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de susSus bases son paralelas, sus caras laterales son catetos.trapecios cualesquiera. A S1 h h g h Sb R B H O Sb SL = π . R . g ST = SL + Sb - 132 -
  133. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O 2.- Los volúmenes son entre sí como los cubos de sus 1 V = –– B . h π . R2 . h V = –––––––– elementos homólogos. 3 3 2 S1 h1 r2 2 g1 ––– = ––– = ––– = –––CONO OBLICUO Sb h2 R2 g2Es aquel cuya base es una elipse y cuyo eje no es per-pendicular a la base. V1 h13 r3 3 g1 ––– = ––– = ––– = ––– V h3 R3 g3 h h1 g1 elipse h r g Sb . h S1 V = –––––– 3 o: R π.a.b.h Sb V = –––––––––– 3 ELIPSE a = radio mínimo TRONCO DE CONO b = radio máximo Es la parte de un cono comprendida entre la base y una sección paralela o no a la base. A la sección y a la S = πab base del cono se les llama bases del tronco de cono. ALTURA DE UN TRONCO DE CONO RECTO Es la distancia entre sus bases. La altura pasa por los a centros de las bases. 2a b 2b h gSEMEJANZA DE CONOSSi se corta un cono cualesquiera por un plano para-lelo a su base, se obtiene un cono pequeño o defi- Rciente semejante al total y recíprocamente, entonces: Sb1.- Las áreas de las bases son entre sí como los cuadrados de los elementos homólogos. - 133 -
  134. SL = π . g (R + r) SL = 2π . r . g ST = SL + S1 + Sb ST = SL + 2Sb ST = π . a . b . h π . h(R2 + r2 + R . r) V = ––––––––––––––––– 3 V = π . r2 . gEL CILINDRO a bLlámese cilindro a un sólido limitado por una super-ficie cilíndrica y dos superficies planas paralelas lla-madas bases. g Sr h rLos términos base, altura y área lateral son usadoscomo en los prismas. SbCILINDRO RECTOUn cilindro es recto cuando su generatriz es perpen-dicular a las bases. TRONCO DE CILINDRO Es la parte de un cilindro comprendida entre una sec- ción no paralela a la base del cilindro y una base de éste. P TRONCO DE CILINDRO RECTO Cuando sus generatrices son perpendiculares a una g=h base (principal) pero no a la otra. R S1 Sb S Elipse Eje SL = 2π . R . g g2 g1 ST = SL + 2Sb Sb R ST = 2πR(g + R) V = π . R2 . g SL = 2π . R . EJE Cilindro recto o de revolución, es el que se con- sidera generado por la rotación de un rectángulo ST = SL + S1 + Sb alrededor de unos de sus lados. V = π . R2 . EJECILINDRO OBLICUO g1 + g2 EJE = ––––––Cuando sus generatrices son oblícuas a las bases. 2Algunas veces sus bases son elipses y otras círculos. - 134 -
  135. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OTRONCO DE CILINDRO OBLICUOSi sus generatrices son oblícuas a las bases. D R O S1 PARTES DE ÁREA DE ESFERA Estas son: la zona y el huso esférico. Eje g2 R g1 1.- ZONA Sección Recta Llámase zona esférica o zona simplemente, a la parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos circunferencias paralelas llamadas S2 bases. La distancia entre las bases se llama altura de la zona. SL = 2π . R . EJE Se la considera generada por la rotación de un arco de circunferencia que gira alrededor de un ST = SL + S1 + S2 diámetro. V = π . R2 . EJE Eje g1 + g2 EJE = –––––– arco 2 R 2RLA ESFERAEs un sólido, limitado por una superficie curva, en lacual todos los puntos equidistan de un punto interi-or llamado centro. La zona puede ser de una base y de dos bases. A la de una base, se le llama también “casqueteLa mitad de una esfera se llama hemisferio o semi- esférico”.esfera. ZONA DE UNA BASE O CASQUETECÍRCULO MÁXIMO S=2π.R.hEs el círculo que se obtiene al trazar un plano por el o:centro de la esfera. _ __ S = π . AB2SUPERFICIE Y VOLUMEN DE LA ESFERA A 2 S = 4π . R h B 4π . R3 V = –––––– R 3 S = π . D2 R = radio de esfera π . D3 H = altura de la zona V = –––––– 6 AB = cuerda del arco generador - 135 -
  136. ZONA DE DOS BASES h SL = 2π . R . h r h ST = SCASQUETE + SCÍRCULO 3 2 V = π . h + –––––––– –––– π . r . h 6 22.- HUSO ESFÉRICO Llamado también “lúnula”, es la parte de la su- h = altura de la zona perficie de una esfera limitada por las semicircun- ferencias de dos círculos máximos. r = radio de la base de la zona π.R.α b.- SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES S = ––––––– 360º Es parte del volumen de la esfera comprendi- da entre dos planos paralelos. r1 O1 O α R h O2 r2 R = radio de la esfera α = ángulo del huso ST = Szona de + Scírculo1 + Scírculo2PARTES DE VOLUMENES DE UNA ESFERA dos basesEstas son: segmento esférico, cuña esférica, sectoresférico y anillo esférico ( ) 2 2 π . h3 r1 + r21.- SEGMENTO ESFÉRICO V = ––––– + π –––––– h 6 2 Es la porción de esfera limitada por una zona y por bases circulares. h = altura de la zona Hay de dos clases: r1, r2 = radios de las bases. segmento esférico de una base y segmento esféri- co de dos bases. 2. -CUÑA ESFÉRICA a. SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE Es la parte de volumen de una esfera limitada por Limitado por un casquete y un círculo por base. un huso y dos semicírculos máximos. - 136 -
  137. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O A A A’ R R R h R O B B’ B α . π . R2 ST = πR2 + –––––––– ST = Szona de + SLCONO + SLCONO 90º dos bases 1 2 α . π . R3 2 V = –––––––– V = 2π . R . h ––––––––– 270º 3 h = altura de la zona3.- SECTOR ESFÉRICO R = radio de la esfera Es la parte del volumen de esfera generado por un “sector circular” que gira alrededor de un eje que 4.- ANILLO ESFÉRICO pasa por el centro, en dos posiciones: Es el volumen generado por un segmento circular a.- Cuando el radio del sector circular coincide que gira alrededor de un eje que pasa por su cen- con el eje de giro: está limitado por un cas- tro, en tres posiciones: quete esférico y una superficie lateral cónica. a.- Cuando un extremo de la cuerda del segmen- to circular pertenece al eje; está limitada por B un casquete esférico y el área lateral de un h cono. A A’ R R B O h ST = SCASQUETE + SLCONO A C 2π . R2 . h V = ––––––––– ST = SCasquete + SLcono 3 h = altura del casquete π . AB2 . h V = –––––––––– R = radio de la esfera 6 b.- Cuando el radio no coincide con el eje de giro: AB = cuerda del segmento circular está limitado por una zona de dos bases y áreas laterales de dos conos. h = altura de la zona o casquete - 137 -
  138. b.- Cuando la cuerda del segmento circular no es SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN paralela al eje de giro: está limitado por una zona de dos bases y el área lateral de un tron- TEOREMA DE GULDIN PAPPUS (ÁREAS) co de cono. “La superficie de un sólido de revolución es igual al perímetro (2p) de la figura móvil multiplicado por la A D longitud (L) de la línea recorrida por el centro de gravedad de la citada figura”. h S = 2p . L B C 2p = a + b + c + d L = longitud de la circunferencia descrita por el centro de gravedad = 2πR ST = Szona + SLtronco __ _ π . AB2 . h V = ––––––––– 6 b AB = cuerda del segmento circular R c a G h = altura de la zona. dc.- Cuando la cuerda del segmento circular es para- lela al eje del giro: está limitado por una zona de dos bases y el área lateral de un cilindro. TEOREMA DE GULDIN PAPPUS (VOLUMEN) “El volumen de un sólido de revolución es igual al área (S) de la figura móvil, multiplicada por la longi- A D tud (L) de la línea recorrida por el centro de gravedad del cuerpo”. h V=S.L B C L = longitud de la línea descrita por el centro de gravedad = 2 πR ST = Szona + SLcilindro __ _ π . AB2 . h V = ––––––––– 6 __ _ R π . AB3 V = –––––– G 6 AB = cuerda del segmento circular h = altura de la zona - 138 -
  139. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O LEYENDA GENERAL V = volumen ST = superficie o área total S.R. = sección recta 2p = perímetro de la base principal Sb = superficie o área de la base principal p’ = semiperímetro de la base secundaria h = alturag1, g2 = generatrices SL = superficie o área lateral S2 = superficie o área de la base secundaria SS.R. = superficie o área de la base recta p = semiperímetro R, r = radios S1 = superficie o área de la base secundaria g = generatrices - 139 -
  140. TRIGONOMETRÍADEFINICIÓN EQUIVALENCIA ENTRE LOS TRESEs aquella parte de la matemática elemental que estu- SISTEMASdia la medida de los tres ángulos de un triángulo en 1 circunferencia < > 360º < > 400 < > 2π rad.relación con sus lados. 1º < > 60’ y 1’ < > 60”MEDIDA DE ÁNGULOS 1 g < > 100 min y 1 min < > 100 sSISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOSHay tres sistemas para medir los ángulos; Sexagesi- S C R –––– = –––– = –––mal, Centesimal y Radial. 180 200 πSEXAGESIMAL LONGITUD DE UN ARCO:Toma como unidad de medida un arco que es igual ala 360 ava parte de la circunferencia, y a cada parte se L=r.αle llama grado sexagesimal. Se simboliza así: º Ejemplo: 30º Se lee: 30 grados sexagesimales α : ángulo central, debe estar en radianesCENTESIMALToma como unidad de medida un arco que es igual a rla 400 ava parte de la circunferencia, y a cada parte O α Lse le llama grado centesimal. Se simboliza así: g. Ejemplo: 40 g. Se lee: 40 grados centesimalesRADIAL FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ENToma como unidad de medida un arco de una longi- EL TRIÁNGULO RECTÁNGULOtud igual a la de su radio, y a esta longitud de arco sele llama radián. Se simboliza así: rad. FUNCIONES BÁSICAS Ejemplo: 2,16 rad. Se lee: 2,16 radianes. b c sen B = –– cos B = –– a a VALOR DE π 22 b tg B = –– c ctg B = –– π = ––– (Arquímides) c b 7 355 π = –––– (Mecio) a a 113 sec B = –– cosec = –– c b - 140 -
  141. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O C VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONES DE 37º y 53º (37º = π/4,865 y 53º π/3,396) a b 3 4 sen 37º = –– sen 53º = –– B A 5 5 cTABLAS DE VALOR DE FUNCIONES 4 3 cos 37º = –– cos 53º = ––TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS 5 5NOTABLES 3 tg 37º = –– 4 tg 53º = ––VALORES DE LAS FUNCIONES 4 3TRIGONOMÉTRICAS DE 30º Y 60º(30º = π/6 Y 60º = π/3) 4 3 __ ctg 37º = –– ctg 53º = –– 3 4 1 sen 30º = –– √3 sen 60º = –––– 2 2 5 5 __ sec 37º = –– sec 53º = –– √3 1 4 3 cos 30º = –––– cos 60º = –– 2 2 __ __ 5 5 √3 cosec 37º = –– cosec 53º = –– tg 30º = –––– tg 60º = √3 3 4 3 __ __ √3 C ctg 30º = √3 ctg 60º = –––– __ 3 2√3 53º sec 30º = ––––– sec 60º = 2 5 3 __ 3 2√3 cosec 30º = 2 cosec 60º = ––––– 3 37º B A C 4 60º 2 1 VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONES DE 15º y 75º (15º = π/12 y 75º = π/2,4) 30º B __ A __ __ __ __ √3 √6 - √2 √6 + √2 sen 15º = –––––––– sen 75º = ––––––––VALORES DE LAS FUNCIONES DE 45º 4 4(45º = π/4) __ __ __ __ __ __ √2 √2 √6 + √2 √6 - √2 sen 45ª = ––– cos 45º = ––– cos 15º = –––––––– cos 75º = –––––––– 2 2 4 4 tg 45º = 1 ctg 45º = 1 __ __ __ __ tg 15º = 2 - √3 tg 75º = 2 + √3 sec 45º = √2 cosec 45º = √2 __ __ C ctg 15º = 2 + √3 ctg 75º = 2 - √3 2 45º 1 __ __ __ __ sec 15º = √6 - √2 sec 75º = √6 + √2 B 45º A __ __ __ __ 1 cosec 15º = √6 + √2 cosec 75º = √6 - √2 - 141 -
  142. __ _________ __ C √5 - 1 sen 18º = –––––– √ 10 + 2√5 sen 72º = –––––––––– 4 4 _________ __ __ 15º √ 10 + 2√5 cos 18º = –––––––––– √5 - 1 cos 72º = ––––––– __ __ __ 4 4 √6 +√2 2 + √3 __________ __ _____ __ ____ √ 25 - 10√5 tg 18º = ––––––– ––––– tg 72º = √5 + 2√5 5 _________ __ _________ __ B 75º A ctg 18º = √ 5 + 2√5 √ 25 -10√5 ctg 72º = –––––––––– 1 5 ___ ___ ___ _ _ __ __VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONES √ 50 - 10√5 sec 18º = ––––––––––– sec 72º = √5 + 1DE 16º y 74º (16º = π/11,25 y 74º π/2,43) 5 _________ __ 7 24 –– √50 - 10√5 sen 16º = ––– sen 74º = ––– cosec 18º = √5 + 1 cosec 72º = –––––––––– 25 25 5 24 7 C cos 16º = ––– cos 74º = ––– 25 25 7 24 tg 16º = ––– tg 74º = ––– 24 7 18º _________ __ 24 7 4 √10 + 2√5 ctg 16º = ––– ctg 74º = ––– 7 24 25 25 sec 16º = ––– sec 74º = ––– 24 7 72º B __ A 25 25 √5 - 1 cosec 16º = ––– cosec 74º = ––– 7 24 C ÁNGULOS DIRECTRICES Ángulo de Elevación: 16º 25 24 Objeto α Horizontal 74º B A 7VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONESDE 18º Y 72º (18º = π/10 Y 72º = π/2,5) - 142 -
  143. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OÁngulo de Depresión: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS O CIRCULARES EN EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO DE RADIO = 1 Horizontal β sen a = PM cos a = OP tg a = AT Objeto ctg a = BN sec a = OSÁngulo que Subtiende: cosec a = OQ Q Objeto A θ B N M Objeto B II I T α S A’ O P A III IV Los ángulos de elevación (α) y depresión (β) siempre están en plano vertical. El ángulo que subtiende (θ) dos objetos observados puede estar en cualquier plano. ° AM = a = α SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL CUADRANTE FUNCIÓN IC II C III C IV C seno + + - - coseno + - - + tangente + - + - cotangente + - + - secante + - - + cosecante + + - - - 143 -
  144. VARIACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL CUADRANTE FUNCIÓN IC II C III C IV C seno c: de 0 a 1 d: de 1 a 0 d: de 0 a -1 c: de -1 a 0 coseno d: de 1 a 0 d: de 0 a -1 c: de -1 a 0 c: de 0 a 1 tangente c: de 0 a ∞ c: de -∞ a 0 c: de 0 a ∞ c: de -∞ a 0 cotangente d: de ∞ a 0 d: de 0 a -∞ d: de ∞ a 0 d: de 0 a -∞ secante c: de 1 a ∞ c: de -∞ a – 1 d: de -1 a -∞ d: de ∞ a 1 cosecante d: de ∞ a 1 c: de 1 a ∞ c: de - ∞ a -1 d: de -1 a - ∞ c = crece ; d = decreceINTERVALO DE LAS FUNCIONES tg x ε 〈 -∞ ; + ∞ 〉TRIGONOMÉTRICASIntervalo es el espacio o valor dentro de dos ctg x ε 〈 -∞ ; + ∞〉extremos en el cual se encuentra el valor de la fun-ción. Se denota así: sec x ε 〈 -∞ ; -1] ∨ [+1; + ∞ 〉 [ ] intervalo cerrado cosec x ε 〈 -∞ ; -1] ∨ [+1; + ∞ 〉 〈 〉 intervalo abierto 〈 ] intervalo abierto cerrado DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS [ 〉 intervalo cerrado abierto En las funciones trigonométricas, DOMINIO es el valor del ángulo o arco; RANGO es el valor de la fun- sen x ε [-1; + 1] ción. Las funciones trigonométricas no son BIUNI- VOCAS; es decir, para un ángulo hay más de un valor cos x ε [-1; + 1] para su función, repitiéndose dentro de un período. FUNCIÓN DOMINIO RANGO PERÍODO sen x x [-1; +1] 2π cos x x [-1; +1] 2π tg x π x - { 2n + 1} –– o 〈 -∞ ; + ∞ 〉 π 2 ctg x x - {nπ} o 〈 -∞ ; + ∞ 〉 π sec x π x - { 2n + 1} –– - 〈 -1; +1〉 2π 2 cosec x x - {nπ} - 〈 -1; +1〉 2π = número real - 144 -
  145. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C ORELACIONES TRIGONOMÉTRICASFUNDAMENTALES 1 + tg2 a = sec2 a sen2a + cos2a = 1 cos a ctg a = ––––– sen a sen a sen a . cosec a = 1 tg a = ––––– cos a cos a . sec a = 1 tg a . ctg a = 1 1 + ctg2 a = co sec2 a RELACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TÉRMINOS DE UNA SOLA sen a cos a tg a ctg a sec a cosec a ________ ________ 1 1 ± √sec2a - 1 1 sen ± √1 - cos2a ––––––––––– ––––––––––– ––––––––––––– _______ ________ –––––– ± √1 + tg2a ± √1 + ctg2a sec a cosec a _________ ________ ± √cosec2a - 1 tg a ctg a 1 cos a ± √1 - sen2a ––––––––––– ––––––––––– _______ ________ ––––– –––––––––––– ± √1 + tg2a ± √1 + ctg2a cos a cosec a ________ _______ sen a ± √1 - cos2a 1 1 tg a ––––––––––– ________ ––––––––––– ––––– ± √sec2a - 1 –––––––––––– _________ ± √1 - sen2a cos a ctg a ± √cosec2a - 1 ________ ± √1 - sen2a _________ cos a 1 1 ctg a ––––––––––– ––––––––––– ________ –––– ––––––––––– ________ ± √cosec2a - 1 sen a tg a ± √1 - cos2a ± √sec2a - 1 ________ _______ ± √1 + ctg2a 1 1 cosec a sec a ––––––––––– _____ ___ –––– ± √1 + tg2a ––––––––––– ____________ _________ cos a ctg a ± √1 - sen2a ± √cosec2a - 1 _______ _______ 1 1 ± √1 + tg2a sec a cosec a –––– ––––––––––– –––––––––– ± √1 + ctg2a ––––––––––––– ______ __ –– ________ sen a tg a ± √1 - cos2a ± √sec2a - 1 - 145 -
  146. ARCOS COMPUESTOSFUNCIONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DEARCOS π 2( ) cos –– - a = sen a sen (a ± b) = sen a . cos. b ± sen b . cos a ( ) π tg –– - a = ctg a 2 cos (a ± b) = cos a . cos . b sen a . sen b Ejemplo: sen 40º = cos 50º tg a ± tg b tg (a ± b) = –––––––––––––– puesto que: 1 tg a . tg b 40º + 50º = 90º EQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONES DE LOS ctg a . ctg b 1 ARCOS SUPLEMENTARIOS ctg (a ± b) = –––––––––––––– ctg b ± ctg a Sean: (π - a) y “a” dos arcos suplementarios, entonces: (π - a) + a = πFUNCIONES DE LA SUMA DE TRES ARCOS se cumple: sen (a + b + c) = sen a . cos b . cos c - sen a sen (π - a) = sen a . sen b . sen c + sen b . cos a . cos c + sen c . cos a . cos b cos (π - a) = - cos a cos (a + b + c) = cos a . cos b . cos c - sen b tg (π - a) = - tg a . sen c . cos a - sen a . sen c . cos b - sen a . sen b . cos c Ejemplos: cos 120º = - cos 60º tag a + tg b + tg c – tg a . tg b . tg c notar que: tg (a + b + c) = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 1 - tg a . tg b - tg a . tg c - tg b . tg c 120º + 60º = 180º tg 130º = -tg 50EQUIVALENCIA DE LAS FUNCIONES DE LOSARCOS COMPLEMENTARIOS EQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ARCOS π ( )Sean: –– - a y “a” dos arcos complementarios: 2 NEGATIVOS Sean “a” y “-a” dos arcos iguales pero de signo cotra- ( )π π –– - a + a = –– 2 2 rio. Es decir, del mismo origen pero de sentido con- trario. (En el gráfico todos de origen A). se cumple: sen a = MP ; sen (-a) = M’P = -MP cos a = OP ; cos (-a) = OP = OP π 2( ) sen –– - a = cos a tg a = AT ; tg (-a) = AT’ = -AT - 146 -
  147. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O T FUNCIONES DE ARCO MITAD M a a 1 - cos a = 2 sen2 –– 2 P A –––––– –– O a 1 - cos a -a sen –– = ± 2 √–––––––– 2 M’ T’ a 1 + cos a = 2 cos2 –– 2 Luego: ________ a 1 + cos a sen (-a) = -sen a cos –– = ± 2 √–––––––– 2 cosec (-a) = -cosec a 1 - cos a a –––––––– = tg2 –– 1 + cos a 2 cos (-a) = cos a FUNCIONES DE ARCOS TRIPLES sec (-a) = sec a sen 3a = 3 sen a - 4 sen3a tg (-a) = -tg a cos 3a = 4 cos3a - 3 cos a ctg (-a) = -ctg a 3 tg a - tg3a tg 3a = –––––––––– 1 - 3 tg2aFUNCIONES DE ARCOS DOBLES FUNCIONES AUXILIARES sen 2a = 2 sen a . cos a seno verso a = 1 - cos a 2 tg a sen 2a = ––––––– 1 + tg2a cos verso a = 1 - sen a cos 2a = cos2a – sen2 a ex-sec a = sec a - 1 1 - tg2a NOTA: A la ex-secante se le llama también cos 2a = ––––––– external. 1 + tg2a TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO 2 cos 2a = 2 cos a – 1 SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS cos 2a = 1 – 2 sen2a A+B A-B sen A + sen B = 2 sen ––––– cos ––––– 2 2 2 tg a tg 2a = ––––––– A+B A-B 1 – tg2a sen A - sen B = 2 cos ––––– sen ––––– 2 2 - 147 -
  148. SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS a lim ––––– = 1 a→0 sen a A+B A-B cos A + cos B = 2 cos ––––– sen ––––– y: 2 2 a lim ––––– = 1 a→0 tg a A+B A-B cos A - cos B = -2 sen ––––– sen ––––– De donde: 2 2 sen a = a = tg a ⇔ a → 0 Ejemplo:LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS 3x ¿Cuál es el límite de –––––– , cuando x tiende x1. En el primer cuadrante se cumple que el arco es a cero? (x → 0) sen –– mayor que el seno pero menor que su tangente. 2 2x x 3 ––– 6 –– sen a < a < tg a 3x 2 2 lim –––––– = lim ––––– = lim ––––– x x → 0 sen –– x x → 0 sen –– x → 0 sen –– x o: 2 2 2 π x 0 < a < –– –– 2 2 = 6 . lim –––––– = 6 . 1 x x → 0 sen –– 22. Cuando el arco es muy pequeño; es decir, cerca- 3x ∴ lim –––––– = 6 no a cero, el seno, el arco y la tangente tienden a x x → 0 sen –– confundirse. 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASSon expresiones que dan el valor del ángulo “en forma indicada”. Sea “A” un arco ó ángulo: denotación inglesa denotación francesa sen A = m ⇒ A = arco sen m A = sen-1 m cos A = n ⇒ A = arco cos n A = cos-1 n tg A = p ⇒ A = arco tg p A = tg-1 p ctg A = q ⇒ A = arco ctg q A = ctg-1 q sec A = r ⇒ A = arco sec r A = sec-1 r cosec A = s ⇒ A = arco cosec s A = cosec-1 s De donde: sen (arco sen m) =m ⇔ arco sen (sen A) = A cos (arco cos n) =n ⇔ arco cos (cos A) = A tg (arco tg p) =p ⇔ arco tg (tg A) =A - 148 -
  149. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Ejemplo: Calcular o sea: __ ___ y = 60 + B + C √3 + arco tg –– + arco sec ––––– y = arco sen –––– 1 √10 (1) y – 60 = B + C 2 2 3 tomando tangente: Procedimiento. Llamando: tg (y - 60) = tg (B + C) __ __ √3 ⇒ sen A = –––– ⇒ A = 60º √3 tg B + tg C A = arco sen –––– tg (y – 60) = –––––––––––– 2 2 1 – tg B . tg C sustituyendo valores de tg B y tg C: 1 1 B = arco tg –– ⇒ tg B = –– 2 2 1 1 5 –– + –– –– ___ ___ 2 3 6 tg (y – 60 ) = ––––––––– = –– = 1 √10 √10 1 1 . –– –– 1 - –– 1 5 C = arco sec ––––– ⇒ sec C = ––––– ⇒ tg C = –– 3 3 3 2 3 6 tg (y – 60) = 1 Sustituyendo en (1): y – 60 = 45º y=A+B+C y = 105ºDOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES INVERSASEn las funciones inversas, como su nombre lo indica, el DOMINIO de una función es el RANGO de la inver-sa y viceversa, consideradas dentro de un INTERVALO. FUNCIÓN INVERSA DOMINIO RANGO arco sen x [- 1 ; + 1 ] [ π π - –– ; –– 2 2 ] arco cos x [- 1 ; + 1 ] [ π 0 ; –– 2 ] arco tg x o〈-∞ ; +∞〉 [ π π - –– ; –– 2 2 ] arco ctg x o〈-∞ ; +∞〉 〈 0; π 〉 arco sec x 〈 - ∞ ; -1] ∪ [ 1 ; + ∞ 〉 [ π 0 ; –– 2 〉 〈 ∪ π –– ; π 2 ] arco cosec x 〈 - ∞ ; - 1] ∪ [ 1 ; + ∞ 〉 [ π - –– ; 0 ∪ 2 〉 〈 π 0 ; –– 2 ] - 149 -
  150. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Que tiene el mismo coseno:La solución puede ser la más pequeña de todas (solu-ción principal) o puede ser una expresión algebraica X = 2Kπ ± βque incluya todos los arcos que satisfagan la ecuacióndada (solución general). β = solución principalExpresión de todos los arcos que tienen lamisma función trigonométrica. Que tienen la misma tangente: Que tienen el mismo seno: X = Kπ + θ X = Kπ + (-1)k α θ = solución principal α = solución principal SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONESPara resolver ecuaciones debe tenerse presente que: sen x =a ⇒ x = sen-1 a ∧ X = kπ + (-1)K sen-1 a cos x =b ⇒ x = cos-1 b ∧ X = 2kπ ± cos-1 b tg x =c ⇒ x= tg-1 c ∧ X = kπ + tg-1 c ctg x =d ⇒ x = ctg-1 d ∧ X = kπ + ctg-1 d sec x =e ⇒ x= sec-1 e ∧ X = 2kπ ± sec-1 e cosec x = f ⇒ x = cosec-1 f ∧ X = kπ + (-1)K cosec-1 f Donde: Kε ; x = solución principal y X = solución generalRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS a b c ––––– = ––––– = –––––Para resolver triángulos que equivale a calcular sus sen A sen B sen Clados o sus ángulos, debe conocerse las siguientesleyes o propiedades: 2. Corolario: En todo triángulo inscrito en una cir- cunferencia, la relación de la Ley de los senos esTRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.1. Ley de los senos: En todo triángulo, los lados son A directamente proporcionales a sus lados opuestos. c b A R B O a c b C B C a b c ––––– = ––––– = ––––– = 2R a sen A sen B sen C - 150 -
  151. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O3. Ley de cosenos (Carnot).- Para todo triángulo: CÁLCULO DE ÁNGULOS A (Fórmula de Briggs) Si: b a a+b+c p = ––––––––– 2 B C _______ c A p(p - a) C √ cos –– = –––––––– 2 bc b a ___________ A (p - b)(p - c) A c B sen –– = 2 √ –––––––––––– 2 a2 = b2 + c2 - 2 . b . c cos A ___________ A p(p - a) b2 = a2 + c2 - 2 . a . c cos B tg –– = 2 √ ––––––––––– (p - b)(p - c) c2 = a2 + b2 - 2. a . b cos C CÁLCULO DE SUPERFICIES4. Ley de las tangentes (Nepper).- Para todo Fórmula Trigonométricas triángulo: A C b a b a B C A B c c a.b tg A + B ––––– S = ––––– sen C 2 a + b = –––––––– ––––– 2 a-b A-B tg ––––– 2 b.c S = ––––– sen A (I) 25. Ley de las proyecciones.- Para todo triángulo: A a.c S = ––––– sen B 2 b a Fórmulas Geométricas B C a.b.c c S=p.r S = ––––––– 4R a = b . cos C + c . cos B _________________ _ b = a . cos C + c. cos A S = √p(p - a)(p - b)(p - c) (II) c = a . cos B + b . cos C S = ρa (p - a) - 151 -
  152. Donde: 1.- De: pr = S p = semiperímetro S ⇒ r = –– r = radio círculo inscrito p R = radio círculo circunscrito r A 2.- De: ––––– = tg –– ρa = radio del círculo exinscrito al lado a p-a 2ELEMENTOS SECUNDARIOS EN LA A ⇒ r = (p - a)tg ––SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 2Para calcular los elementos secundarios, lo aconse- B Cjable es despejar las fórmulas conocidas, tales comolas siguientes: 3.- De: a = r (ctg –– + ctg –– 2 2 )RADIOS a ⇒ r = –––––––––––––RADIO CIRCUNSCRITO: B C ctg –– + ctg ––Es el radio “R” de la circunferencia circunscrita al 2 2triángulo. A RADIO EX-INSCRITO: Es el radio “ρ” de la circunferencia, ex-inscrito a uno c de los lados del triángulo. b R B O a T C B O a 1.- De: 2R = ––––– A/2 a ρ sen A A/2 A b C P a ⇒ R = ––––– 2senA De la propiedad: abc AP = AT = –––– + c , se demuestra: 2.- De: –––– = S a+b 4R –––– 2 ⇒ R = –––b . c a . –––– a+b+c A 4.S 1.- –––––––– . tg –– 2 2RADIO INSCRITO O INRADIO: o:Es el radio “r” de la circunferencia inscrita en el Atriángulo. ρ = p . tg –– 2 B c a 2.- De: S = ρ (p - a) O o: r S ρ=– –––– p-a A C b - 152 -
  153. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O A (B 2 C 3.- De: a = ρ tg –– + tg –– 2 ) c b a ma ⇒ ρ = ––––––––––– tg –– + tg C B –– 2 2 B C M a/2 a/2CEVIANASSon rectas que partiendo de un vértice tocan un a2 2.- m2 = ––– + c2 – a . c . cos Bpunto del lado opuesto. Las principales son: altura, b 4mediana, bisectriz interna y bisectriz externa. a2 m2 = ––– + b2 – a . b . cos CALTURA c 4Es la perpendicular trazada de un vértice al ladoopuesto. 4m2 = b2 + c2 + 2 . b . c . cos A A a La intersección de las tres medianas se denomina c b CENTRO DE GRAVEDAD o BARICENTRO. ha B c a B C a mb T M 1.- ha = b . sen C G ma mc o: ha = c . sen B A C b N BISECTRIZ INTERIOR 2.- ha = 2 . R . sen b . sen C Es la recta que divide a un ángulo interior en dos ángulos iguales. 3.- ha = – . S 2 –––– A a ha = altura con respecto al lado “a” αα b c taMEDIANAEs la recta trazada de un vértice al punto medio del S1 S2lado opuesto. m n C B 2 2 a2 2 D 1.- De: b + c = 2 . ma + ––– a 2 Fórmulas Geométricas: 2 a b2 + c2 - ––– 2 2 b c m = ––––––––––– 1.- –– = –– a n m 2 - 153 -
  154. B 2.- t2 = b . c – m . n a a A Fórmula Trigonométrica: α b d 2.b.c A ta = ––––––– cos –– b+c 2 La intersección de las tres bisectrices interiores se D C llama INCENTRO. c SUPERFICIESBISECTRIZ EXTERIOREs la recta que divide a un ángulo exterior en dos AC . BD 1.- S = ––––––– . sen αángulos iguales. 2Fórmulas Geométricas: __________________________________ 2.- S = √ (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) – a . b . c . d . cos α b c 1.- –– = –– n m donde: p = semiperímetro 2.- t2 = m . n – b . c a ˆ A +C ˆ α = –––––– Fórmula Trigonométrica: 2 o: 2.b.c A ˆ B +D ˆ ta = ––––––– sen –– α = –––––– b-c 2 2 La intersección de las tres bisectrices interiores se CUADRILÁTERO INSCRITO O CICLÍCO llama EXCENTRO. ˆ ˆ ˆ ˆ A + C = B + D = 180º A 90 - –– A α 2 C α B ta b c S1 S2 A D C a B n m ________________________ S = √ (p - a)(p - b)(p - c)(p - d)CUADRILÁTEROS CONVEXOSSon cuadriláteros cuyos ángulos son menores que Fórmula de Brahma-Gupta180º. - 154 -
  155. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OCUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO OP = Ap b B C n = número de lados R = radio circunscrito a c S = área A D d PROBLEMA DE POTHENOT-SNELLIUS Propiedad de Pitot: Conocido también como problema de los cuatro puntos o problema de la carta (geográfica): a+b=c+d=p Dados tres puntos no colineales: A, B y C, calcu- lar sus distancias a un cuarto punto D (situado enPOLÍGONOS REGULARES el plano ABC, interno al ángulo convexo ACB),CIRCUNSCRITOS: desde el cual se vean las distancias AC y BC bajo ángulos dados. Se supone como incógnitas losValor del lado “l” y la del área “S” ángulos x e y. π π Por ley de senos en los triángulos (1) Y (2): l = 2r . tg –– S = n . r2 . tg –– n n ___ sen x = DC ––––– ––– l/2 sen α a ___ r π/n sen y DC ––––– = ––– sen β b O sen x b sen α ∴ ––––– = ––– –––– – (1) sen y a sen βINSCRITOS: x + y = 360º - (α + β + C) (2) l/2 P D π/n R β α O 1 2Cálculo del lado “l”, apotema “Ap” y área “S” x y π a b l = 2r . sen –– n C π Ap = R . cos –– ˆ n Como a, b, α, β, y C se conoce, se tiene un sis- tema de ecuaciones trigonométricas cuyas incóg- nitas son “x” e “y”. Hallando “x” e “y” el proble- R2 . n 2π S = –––––– . sen ––– ma queda resuelto, al conocer todos los ángulos y 2 n un lado de cada uno de los triángulos (1) y (2). - 155 -
  156. FÍSICAEs la ciencia que tiene por objeto el estudio de los CANTIDADcuerpos, sus leyes y propiedades mientras no cambiesu composición, así como el de los agentes naturales Todo lo que es capaz de un aumento o disminucióncon los fenómenos que en los cuerpos producen su y puede, por consiguientes, medirse o contarse.influencia. ECUACIONES DIMENSIONALESLa física puede dividirse de un modo general en dos:Física Experimental y Física Matemática. En la pri- Son expresiones de la forma algebraica que, valién-mera, la labor de investigación tiene a obtener sólo dose de las unidades fundamentales representadasdatos y axiomas de la Física matemática. Esta última por las letras M, F L, T, se usa para probar fórmulas, ,a su vez, partiendo de esos datos experimentales, es- equivalencias o para dar unidades a una respuestatablece principios de los cuales se deduce, mediante (M: masa; F: fuerza; L: longitud; T: tiempo).los recursos del cálculo, fórmulas generales. SISTEMAS DE UNIDADESDEFINICIONES UNIDADES DEL SISTEMA ABSOLUTOFENÓMENOToda apariencia o manifestación del orden material o Sub-sistema L M Tespiritual. CGS cm g sENERGÍA MKS m kg sCausa capaz de transformarse en trabajo mecánico. FPS pie lb sMAGNITUD UNIDADES DEL SISTEMA TÉCNICO,Tamaño o cantidad de un cuerpo. GRAVITACIONAL O PRÁCTICOMEDIDA Sub-sistema L F TExpresión comparativa de las dimensiones o cantidades. CGS cm g sDIMENSIÓN MKS m kg sLongitud, extensión o volumen de una línea, de unasuperficie o de un cuerpo, respectivamente. A partir FPS pie lb sde Einstein, se considera la cuarta dimensión: “eltiempo”. - 156 -
  157. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDA “SI” UNIDADES DE BASE MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO DIMENSIÓN Longitud metro m L Tiempo segundo s T Masa kilogramo kg M Intensidad de amperio A l corriente Eléctrica Temperatura kelvin K θ Intensidad candela ca J Luminosa Cantidad de mol mol N sustancia Ejemplo: UNIDADES SUMPLEMENTARIAS MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO Determinar la ecuación dimensional del peso específico. Ángulo radián rad Procedimiento: Ángulo sólido estereo radián sr W Sabiendo que: Pe = –– V UNIDADES DERIVADAS Pero:MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO d L W = F = m . a = M . –– = M –– = MLT-2 t2 T2 Área metro cuadrado m2 Volumen metro cúbico m3 y : V = L3 kilogramo por Densidad kg/m3 Sustituyendo en la primera ecuación: Metro cúbico Velocidad metro por segundo m/s MLT-2 Pe = –––––Fuerza y peso newton N L3 Presión pascal Pa Pe = ML-2T-2 - 157 -
  158. CONVENCIONES BÁSICAS Ejemplos:a) La suma o resta de unidades iguales produce la mis- i) L = 18 yardas ma unidad: ii) m = 14 lb 6T + 8T - T - 7T = T iii) t = 6 semanasb Las constantes y los coeficientes numéricos se MAGNITUD VECTORIAL reemplaza por 1: Es aquella que además de tener “un número y una especie” tiene dirección y sentido: 5M - 6,5M + 9,8M = M Ejemplos: π + 10L = 1 + L = L → i) a = 9,8m/s2c) Se escriben en forma de enteros, si hay denomina- → dos se escribe con potencia de signo negativo para ii) F = 15 newton darle la forma de entero. → iii) V = 30 km/h Ejemplo: LM = LMT-2 ––– REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN T2 VECTORd) El signo | | significa “ecuación dimensional de”. Se representa por un segmento de una recta orienta- da. Se utiliza para representar fuerzas, pesos, acelera-e) La dimensión de un ángulo o función trigono- ciones, etc. métrica es un número, como tal dimensional- mente es 1. Dirección Sentido ⏐60º⏐ = 1 Magnitud ⏐cosec 45º⏐ = 1 SUMA Y RESTA DE VECTORESf) Dimensionalmente los logaritmos valen 1. A.- MÉTODOS GEOMÉTRICOS • MÉTODO POLÍGONAL O POLÍGONO | log 8⏐ = 1 FUNICULAR | logn17⏐ = 1 SUMA.- Para sumar vectores: Se traza, en un mismo plano, los vectores uno aVECTORES continuación del otro, respetando su magnitud, dirección y sentido se une el origen del primeroVector significa “que conduce”. Los vectores sirven con el extremo del último y este trazo es la resul-para representar: fuerza, velocidad, aceleración, etc. tante con su magnitud, dirección y sentido.MAGNITUD Ejemplos: Sumar los vectores: _ _ _La magnitud expresa el tamaño de un cuerpo o la i) a , b y cdimensión de algún fenómeno. Puede ser escalar ovectorial. _ _ a cMAGNITUD ESCALAR O MODULO _Es aquella que está plenamente determinada por un bnúmero y una unidad de medida o especie. - 158 -
  159. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O _ • MÉTODO DEL PARALELOGRAMO b SUMA _ _ Se traza los dos vectores que se va a sumar, par- a c tiendo de un mismo punto, luego se completa el paralelogramo; la diagonal es la resultante. _ _ _ R=a+b+c Ejemplo: _ _ Resultante Sumar los vectores a, b _ _ _ _ii) a, b, c, d _ _ _ _ a b a c _ _ b d _ c _ _ _ a R nte d lt a _ su b Re _ a _ nte Resulta b _ _ _ _ _ _ _ R=a+b+c+d R=a+bDIFERENCIA RESTA Se traza el vector minuendo y a continuación el Se traza el vector minuendo y luego el vector sus- sustraendo pero en sentido contrario. Se une el traendo partiendo de ambos del mismo origen origen del primero con el extremo del segundo y pero el sustraendo con sentido contrario. La diag- se obtiene la resultante con su magnitud, direc- onal del paralelogramo formado es la resultante. ción y sentido. Ejemplo: _ _Ejemplo: Restar a - b _ _ Restar: a - b _ b _ _ _ a b a _ -b e _ te nt an _ lt a a s ult a su R D Re Re _ _ _ R=a-b _ -b - 159 -
  160. B.- MÉTODOS ANALITICOS DIFERENCIA: Restar a - b Consiste en calcular algebraicamente la resul- R a b tante. ––––– = ––––– = ––––– sen λ sen α sen β • MÉTODO DEL PARALELOGRAMO _ SUMA -b λ → → _ Resultante de la suma a + b α a _______________________ _ RS = √ a2 + b2 + 2 . a . b . cos α R β RS DIRECCIÓN DE LA RESULTANTE _ a Está dada por el ángulo que forma la resultante con α uno de los vectores. α _ Q b _ _ RESTA a R → → Resultante de la diferencia a - b θ α _______________________ _ O b S T RS = √ a2 + b2 - 2 . a . b . cos α a . sen α sen θ = –––––––––––––––––––––– ____________________ _ R √ a2 + b2 + 2 . a . b sen α _ 180º- α a a . sen θ tg θ = ––––––––––– α b + a . cos θ _ _ b b DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN SUS • RESULTANTE POR LEY DE SENOS ELEMENTOS RECTANGULARES _ _ _ SUMA: Sumar a + b Por el origen del vector ( a ) que se quiere descom- poner, se traza un sistema de ejes perpendiculares (eje rectangulares), sobre estos ejes . Se proyecta el R a b vector, la proyección sobre el eje “x”, se llama “com- ––––– = ––––– = ––––– sen λ sen α sen β ponente horizontal ax”, la proyección sobre el “eje y” se llama “componente vertical ay”. _ Ejemplo: b λ α y _ a _ _ a _ R ay β α _ ax x - 160 -
  161. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O _ _ ax : componente hortizontal. Para hallar Rx y Ry, se suma algebraicamente los vec- ay : componente vertical. tores que están sobre los ejes x e y: _ _ _ ax + bx = Rx Donde: ax = a cos α _ _ _ ay = a sen α ay + by = Ry Otro ejemplo: y y Rx bx x x θ _ _ R β Ry b byRESULTANTE POR DESCOMPOSICIÓN Finalmente:RECTANGULAR _ _ _ ______ _ _ _Hallar la resultante de a + b 2 2 √ Rx + Ry = R ⇒ R x + R y = R DIRECCIÓN DE LA RESULTANTESe descompone a y b en el sistema de ejes rectan-gulares. Ry tg θ = ––– Rx Rx = suma de componentes horizontales. Ry = suma de componentes verticales. MECÁNICA _______ Mecánica es la parte de la Física que trata del movi- R= R2 + R2 miento y de las fuerzas que pueden producirlo, con- √ x y sideradas con toda generalidad, así como del efecto _ _ que producen en las máquinas. Tienen tres partes: R = resultante final o suma de a + b 1.- Mecánica de sólidos: y a) Cinemática b) Estática _ _ a c) Dinámica ay _ 2.- Mecánica de los líquidos: bx _ x a) Hidrostática ax b) Hidrodinámica _ _ b by 3.- Mecánica de los gases: a) Neumostática b) Neumodinámica A. CINEMÁTICA Es el estudio del movimiento de los sólidos, inde- pendientemente de las causas que lo originan. - 161 -
  162. CONCEPTOS V1 + V2MOVIMIENTO Vm = ––––––– 2Acción o efecto del desplazamiento de un cuerpo en unlapso de tiempo con respeto a otro que se supone fijo. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTETRAYECTORIA VARIADO (M.R.U.V.)Es la línea geométrica descrita por las distintas posi-ciones que va ocupando un punto o cuerpo, que semueve en un lapso de tiempo. ∆V = Vf - ViSegún la trayectoria del movimiento puede ser: ∆V = variación de la rapidez o velocidad. a) Rectilíneo b) Curvilíneo Vf = velocidad o rapidez final. c) Circuferencial d) Parabólico Vi = velocidad o rapidez inicial.CLASES DE MOVIMIENTO a) Uniforme b) Variado ACELERACIÓN c) Uniformemente variado ∆V a = ––– tMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME(M.R.U.) o: e m Vf - Vi V = –– Unidades SI: –– a = –––––– t s t Donde: m Unidades SI: –– V = velocidad o rapidez. s2 e = distancia recorrida en el timpo “t”. RAPIDEZ FINAL CON VELOCIDAD INICIAL t = tiempo que dura el movimiento. Vf = Vi + a . tMOVIMIENTO VARIADOCuando su velocidad o rapidez varía desordenada-mente. Unidades: V = m ; a = –– ; t = s –– m s s2VELOCIDAD O RAPIDEZ MEDIA ESPACIO “e” RECORRIDO CON ACELERACIÓNEs un promedio de las rapideses de un móvil. Y VELOCIDAD INICIAL et 1 Vm = –– e = Vi . t ± –– . a . t2 tT 2 o: e1 + e2 + … 1 Vm = –––––––––– cuando Vi = 0: e = –– . a . t2 t1 + t2 + … 2 - 162 -
  163. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OVELOCIDAD FINAL “Vf” EN FUNCIÓN DEVi, a, e h = Vi . t ± gt2 V2 = V2 ± 2 . a . e f i Vf = Vi ± gtMOVIMIENTO VERTICAL V2 = V2 + 2gh f iEs el movimiento de un cuerpo que sigue la direc-cion radial de la Tierra. El movimiento es uniforme-mente variado, la aceleración es la aceleración de la Donde:gravedad (g = 9,8 m/s2). Cuando el movimiento es h: altura de subida o de caída“hacia arriba”, la aceleración “g” es negativa, cuandoel movimiento es “hacia abajo”, la aceleración “g” es g: aceleración de la gravedad (9,8 m/s2 o 32positiva. pies/s2). De subida (-), de bajada (+).MOVIMIENTO COMPUESTOEs aquel en el cual existen simultáneamente 2 o más tipos de movimiento. Por ejemplo: movimiento hori-zontal y vertical a la vez. y h D e xPRINCIPIO DE LA INDEPENDENCIA DE LOS CARACTERÍSTISTICAS DEL MOVIMIENTOMOVIMIENTOS (Principios de Galileo) PARABÓLICO“Si un cuerpo tiene movimiento compuesto, cada yuno de los movimientos se cumple como si los demásno existieran”. Vy VxMOVIMIENTO PARABÓLICO (Introducción a labalística) Vx H VxEl movimiento de un proyectil en el vacío resulta de Viyla composición de un movimiento horizontal rectilí- αneo y uniforme, y un movimiento vertical uniforme- Vix -Vymente variado por la acción de la aceleración de la D xgravedad. - 163 -
  164. a) Forma de la trayectoria: “parabola”. g) Alcance horizontal “D”b) Velocidad del movimiento horizontal Vx: V2 . sen2 α i CONSTANTE H = ––––––––––– 2g Vx = Vi . cos α El alcance horizontal es máximo cuando α = 45ºc)Velocidad vertical Vy: UNIFORMEMENTE VARIADA MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.)1) Rapidez vertical inicial: Es aquel en el cúal la trayectoria es una circunferen- Vi y = Vi . sen α cia; barre arcos y barre ángulos iguales en tiempos iguales.2)Rapidez vertical en un punto cualquiera de la PERÍODO trayectoria, de acuerdo al tiempo. Es el tiempo “t” que tarda un móvil en dar una vuelta a una revolución a la circunferencia. Vy = Vi sen α g.t Velocidad lineal “V”:d)Tiempo “t” de vuelo cuando “H” decrece hasta arco “L” cero. V = ––––––– t 1 H = Vi . sen α - –– . g . t2 2 Velocidad angular “ω”Entonces, cuando H = 0: ángulo “α” 2Vi . sen α ω = ––––––––– t = ––––––––– t ge) Tiempo para alcanzar su máxima altura “H”. Unidades SI: rad ––– s VLa altura es máxima cuando Vy = 0 ⇒ Vy = Vi . sen α - gt α Lde donde y considerando Vy = 0 Vi . sen α t = ––––––––– g VELOCIDAD O RAPIDEZ ANGULAR Y PERÍODOf ) Alcance vertical “H”: Siendo “T” el período o tiempo empleado por un móvil en dar una vuelta(2π radianes), la velocidad V2 . sen2 α i angular es: H = –––––––––– 2g 2π ω = ––– TEl alcance vertical es máximo cuando α = 90º - 164 -
  165. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C ORELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y B. ESTÁTICALA VELOCIDAD TANGENCIAL Estudia las condiciones que debe cumplirse para que un cuerpo indeformable, sobre el que actúan fuerzas V=ω.R y/o cuplas, se mantenga en equilibrio; es decir para que las fuerzas o cuplas se anulen entre sí.FRECUENCIA “f” FUERZAEs la inversa del periodo “t”. Es una magnitud vectorial que modifica la situación 1 de los cuerpos, variando su estado de reposo o f = –– movimiento, variando la velocidad de los cuerpos, T aumentando, disminuyendo o variando su dirección. TODA FUERZA APARECE COMO RESULTADO DEACELERACIÓN CENTRÍPETA, RELACIÓN CON LA INTERACCIÓN DE LOS CUERPOS.LA VELOCIDAD TANGENCIAL Y LA VELOCI-DAD ANGULAR RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS También se llama composición de fuerzas. Hay varios V2 casos: ac = –– R 1) CUANDO ESTAN EN UN MISMA LINEA DE ACCIÓN y tienen el mismo sentido, la resultante ac = ω2 . R es la diferencia de las fuerzas. _ _MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL F1 F2UNIFORMEMENTE VARIADO(M.C.U.V.)Es el movimiento circunferencial que tiene acel- _ _ _eración. Su rapidez varía con el tiempo. R = F1 + F2ACELERACIÓN ANGULAR “γ” 2) CUANDO ESTAN EN UNA MISMA LINEA DE ∆w ACCION y tienen sentido contrarios, la resul- γ = ––– tante es la diferencia de las fuerzas. t _ _ ωf - ω 1 F1 F2 γ = ––––––– t rad _ _ _ Unidades SI: ––– R = F1 - F2 s2RELACIONES DE VELOCIDAD ORAPIDEZ FINAL, ÁNGULO RECORRIDO 3) CUANDO FORMAN CUPLA con respecto a un ωf = ω1 + γ t mismo eje. Cupla es una par de fuerzas paralelas de igual módulo pero de sentidos opuestos. 1 La resultante tiene las siguientes características: α = ω1 . t ± –– γ t2 2 a) Su eje de rotación es el mismo que el de los 2 2 componentes. ωf = ω1 ± 2γ α b) Su sentido, es el de la cupla mayor. - 165 -
  166. c) Su medida, la diferencia de las cuplas. b) Método del Paralelogramo. (Paso 1) d) Su punto de aplicación es cualquiera, es un vector libre. _ F1 _ El equilibrio se consigue aplicando una cupla R1 igual y de sentido contrario. → → → _ R = F2 . d2 - F1 . d1 F2 como F1 = F2 = F entonces: , (Paso 2) → → _ R = F (d2 - d1) R1 _ _ F3 R Unidades SI: N . m d1 F _____________________ _ _2 _2 _ _ R1 = √ F1 + F2 + 2 F1 F2 cos α _____________________ d2 F _ _2 _2 _ _ R1 = √ R1 + F3 + 2 R1 F3 cos β4) CUANDO LAS FUERZAS SON CONCURREN- TES, las resultantes se halla por el “polígono de c) Método del sistema de ejes coordenados: fuerzas”, por el “paralelogramo”, o por el “siste- ma de ejes cartesianos”. y _ Ejemplo: Hallar la resultante de las fuerzas de la F1 figura: F1y _ F1 F3x F1x x _ F2x F2 _ F3y F2y F3 _ _ F3 F2 a) Por el método del polígono de fuerzas: 1) Σ Fx = F1x + F2x - F3x _ _ F1 F2 2) Σ Fy = F1y - F2y - F3y _________________ _ _ 2 _ 2 _ R _ F3 R= √( ) ( Σ Fx + Σ Fy ) - 166 -
  167. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O5) CUANDO SON PARALELAS Y DEL MISMO SEN- TIDO, las características del a resultante son: F1 F2 R ––– = ––– = ––– BO AO AB A O B CONDICIONES DE EQUILIBRIO EN UN _ CUERPO F2 • PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO O _ EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN F1 _ Cuando un cuerpo está en reposo o en movimien- R to rectilíneo uniforme, la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre él debe ser igual a cero. Su recta de acción es paralela a las fuerzas. Su sentido, el sentido de las fuerzas. ΣF=0 Su medida, la suma. Cuando la fuerzas se descomponen en sus com- Su punto de aplicación está situado en un punto ponentes rectangulares se debe tener que: que divide a la barra que une las fuerzas en seg- mentos inversamente proporcionales a las fuerzas Σ Fx = 0 (Relación de Stevin). Sea O el punto de aplicación de la resultante, Σ Fy = 0 entonces: F1 F2 R NOTA IMPORTANTE ––– = ––– = ––– BO AO AB Un cuerpo está en reposo cuando soporta las acciones de tres fuerzas concurrentes que se6) CUANDO SON PARALELAS Y DE SENTIDO anulan. CONTRARIO, las características de la resultante son: _ TEOREMA DE LAMY F1 O LEY DE LOS SENOS B O A “En un triángulo funicular. los lados que repre- _ R sentan las fuerzas son proporcionaleas a los senos de los ángulos opuestos”. _ _ F2 F3 Su recta de acción paralela a las fuerzas. β _ F1 Su sentido es el de la fuerza mayor. Su medida, la diferencia. α γ Su punto de aplicación está situado en un punto _ que divide a la barra que une las fuerzas en seg- F2 mentos inversamente proporcionales a las fuerzas (Relación de Stevin). F1 F2 F3 ––––– = ––––– = ––––– Sea O el punto de aplicación de la resultante, sen α sen β sen γ entonces: - 167 -
  168. MOMENTO DE FUERZA Diagrama del cuerpo libre: Con respecto a un punto O con respecto a un eje, se calcula así: T Mo = F . d 45º O R Unidades SI: n . m O: punto de giro( o apoyo) F: fuerza W Donde: d: distancia del punto de giro a la fuerza T = tensión del cable que “soporta” la barra. R = reacción de la pared “sobre” la barra. F W = peso de la barra,“atracción” que la Tierra ejerce sobre la barra. d O= punto de concurrencia de las fuerzas. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS EN SUS COMPONENTES RECTANGULARES O El procedimiento indica que las fuerzas de un sis- tema en equilibrio se grafique en un DIAGRAMA de• SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO O CUERPO LIBRE. El punto de concurrencia de estas EQUILIBRIO DE ROTACIÓN fuerzas se hace coincidir con el punto de intersección de un Sistema de ejes rectangulares. Cada una de las Cuando un cuerpo permanece en reposo o, cuan- fuerzas se proyecta sobre los ejes “x” e “y” del sis- do rota con velocidad uniforme, la suma de todos tema rectangular, hallando las componentes de las los momentos debe ser cero: fuerzas sobre los ejes “x” e “y”. ΣM=0 Ejemplo:DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) O DIA- CGRAMA LIBREEs un gráfico donde se indica TODAS LAS FUERZASque se actúan sobre el cuerpo. Precisamente, las car- 30º Tacterísticas del D.C.L. es que todas las fuerzas queactúan sobre el cuerpo concurren a un punto común. R T Ejemplo: Sea el sistema: A O R 30º T P B 45º O P R Sistema Diagrama libre W - 168 -
  169. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O { y Palanca Tipo palanca Poleas Tornos T R { Plano inclinado Tipo plano inclinado Cuña 60º 30º Tornillo O x A) TIPO PALANCA P PALANCA Es una barra rígida sometida a dos esfuerzos Descomposición sobre los ejes x e y (Resistencia “R” y fuerza “F”) y apoyada en un punto. T T sen 60º Según la posición de la resistencia “R”, fuerza “F” y punto de apoyo “A”, puede ser: inter-apoyantes, inter-resistentes e interpotentes. r f O F A 60º T cos 60º O Descomposición de T R f O r R sen 30º R A F 30º O R cos 30º R Descomposición de R r O fMÁQUINAS SIMPLESUna máquina simple es un mecanismo o conjunto de A Fmecanismos que mediante fuerzas mecánicas, trans-forma un trabajo motor en trabajo útil.Hay dos tipos: máquinas simple tipo palanca ymáquinas simples tipo plano inclinado. R - 169 -
  170. Donde: POLEA FIJA R = resistencia Es una palanca inter-apoyante. No ahorra fuerza. A = apoyo F = fuerza de acción R=FCONDICIONES DE EQUILIBRIO DE LAPALANCA r r A Σ Mo = 0 que es lo misom que: F R.r=F.f R Donde: r = brazo de resistencia POLEA MÓVIL Es una palanca inter-resistente. f = brazo de fuerza ATORNO O CABRESTANTE F Es una palanca inter-apoyante. R F = –– R.r=F.f 2 r r R f POLEA MÓVIL DE FUERZAS NO PARALELAS Es una palanca inter-resistente. R F1 F1 r f A F α/2 a/2 r r A F α R R F = ––––––– α 2 cos –– R 2 - 170 -
  171. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OPOLIPASTO c) APAREJO DIFERENCIAL O TECLESon de tres clases: Aparejo potencial o trocla, Consta de una polea con 2 diámetros distintosaparejo factorial o motón y aparejo diferencial o y con periferias dentadas y una polea fija tam-tecle. bién con perímetro dentado, la cual lleva la carga.a) APAREJO POTENCIAL O TROCLA Es un conjunto de poleas móviles con una fija. r F R R F = –– 23 R –– 8 W __ W __ R 2 2 –– 4 R W (R - r) –– F = –––––––– 2 2R R F = –– W R 2nb) APAREJO FACTORIAL O MOTÓN B) TIPO PLANO INCLINADO: Es un conjunto de poleas móviles y un con- junto de poleas fijas. 1. PLANO INCLINADO Como su nombre lo indica es un plano incli- R nado que forma un ángulo α con la horizontal. F = –– 6 F h –– = –– d1 P d R F = –– B n F d n = número total de poleas entre α móviles y fijas. en Ps α h P cos α P α d2 A C R - 171 -
  172. 2.- TORNILLO, GATO O CRIC b) Ventaja mecánica ideal “Vi” d P f Vi = ––– r F h –– = –––– P 2πd f = desplazamiento de la máquina en vacio. F h r = desplazamiento de la máquina en carga. c) Rendimiento mecánico.- Tu Re = ––– Tm 3.- CUÑA Es una pieza mécanica que puede tener la forma de un cono o una cuña propiamente VA Re = ––– dicha. Vi d/2 d/2 Tu = trabajo útil realizado por la máquina. Tm = trabajo motor o trabajo recibido por la máquina. C) DINÁMICA α h R cos α R cos α Parte de la mecánica que trata de las leyes del mo- R R vimiento en relación con las fuerzas que lo pro- l ducen. Se divide en Hidrodinámica, que se ocupa de la mecánica de los liquidos, Aerodinámica o dinámica de los gases y Dinámica de los puntos o de los cuerpos rígidos. PRINCIPALES CONCEPTOS 2Rd FUERZA F = ––––––––– _______ √d2 + 4h2 Es un concepto matemático, que se puede definir como todo aquello que modifica el estado de movimiento de un cuerpo. TODA FUERZAVENTAJA Y RENDIMIENTO MECÁNICO APARECE COMO RESULTADO DE LA INTERACCIÓN DE LOS CUERPOS. a) Ventaja mecánica actual o real “VA” MASA Es la cantidad de materia que hay en un cuerpo. W Un concepto más cabal: masa es la medida de la VA = ––– F inercia de un cuerpo, a mayor masa mayor inercia. W = peso o resistencia que vencer PESO Es la “fuerza” que hace la Tierra para atraer la F = fuerza real empleada para vencer “W” masa de un cuerpo hacia su centro. - 172 -
  173. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C ORELACIÓN ENTRE PESO Y MASA 1 POUNDAL: Es la fuerza que se aplica a 1 lib-masa para provo- P m = –– carle la aceleración de 1pie/s2. g pie N 1 Poundal = 1 lib - m . ––– Unidades SI: –––– = kg s2 m/s2 m = masa, en kg 1 LIBRA- FUERZA: P = peso de la masa “m”, en N Es la fuerza que se aplica a 1 slug para provocar- g = aceleración de la gravedad terrestre; en m/s2 le la aceleración del pie/s2. La unidad de masa del SI es el KILOGRAMO “kg”: pie 1lib - f = 1 slug . ––– s2 N kg = –– ⇒ m N = kg . –– m S2 1 slug = 32,2 lib - masa –– s2 RESUMEN ∴ 1 KILOGRAMO “kg”.- Es la masa que hay en El sistema oficial es SI, los demás son sólo referen- 1 dm3 de agua pura a 4 ºC. ciales:SEGUNDA LEY DE NEWTON SISTEMA MASA FUERZALa aceleración que adquiere un cuerpo de masa “m”,bajo la acción de una fuerza “F”, es directamente SI kg m N = kg . ––proporcional a la fuerza “F” e inversamente propor- s2cional a la masa “m”. cm aceptadas g dina = g . ––– por SI s2 F a = ––– m pie F.P.S. lib-m poundal = lib-m . ––– s2UNIDADES DE FUERZA pie 1 NEWTON:(unidad de fuerza del SI): Tec. Inglés slug lib-f = slug . ––– s2 Es la fuerza que se aplica a 1 kg para provocarle la aceleración de 1m/s2. EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE MEDIDA DE m 1N = 1kg . –– MASA Y FUERZA S2 1 DINA: 1 kg = 1 000 g 1N = 105 dinas Es la fuerza que se aplica a 1 g para provocarle la aceleración de 1 cm/s2. 1 slug = 32,2 lib-m 1N = 0,224 lib-f cm 1 lib-f = 32,2 poundal 1 dina = 1 g . ––– S2 - 173 -
  174. ROZAMIENTO, FUERZA DE ROZAMIENTO O DINÁMICA DE LA ROTACIÓN O ROTACIÓNFRICCIÓN DINÁMICAEs una fuerza tangencial que está presente entre dos Es el estudio de la rotación o giro de una masa mate-superficies en contacto y que se opone al movimien- rial “m” alrededor de un punto.to relativo (desplazamiento) de uno con respecto alotro. Puede ser rozamiento estático o cinético. DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL Un cuerpo en rotación siempre tiene una aceleración Fe R centrípeta “ac”. La fuerza centrípeta “Fc” ocasiona la µe = ––– o µe = ––– N N presencia de la aceleración centrípeta. La fuerza centrípeta nunca es una fuerza independi- Fc ente aplicada a un cuerpo, es la resultante de todas la µe = ––– N fuerzas radiales aplicadas al cuerpo. N 2 V– V ac = –– R ac R Fe La TENSIÓN de una cuerda que sirve de radio de giro en un movimiento circuferencial de un plano, varía con la posición del cuerpo que gira. Así: A R P E TA TE mg mg sen β µe = coeficiente de rozamiento estático (cuando mg cos β β están en reposo). TB B µc = coeficiente de rozamiento cinético (cuando mg θ están en movimiento). TD D TC mg Fe = R = fuerza mínima para romper el estado de mg cos θ reposo. mg sen θ C Fc = Fuerza necesaria para mantener un cuerpo en movimiento. mg mg N = fuerza perpendicular al plano de apoyo de En A : TA = Fc - m . g un cuerpo. En B : TB = Fc P = peso de un cuerpo, el vector que lo repre- senta siempre está dirigido al centro de la En C : TC = Fc + m . g Tierra. (Es vertical). En D : TD = Fc + m . g . cos θ NOTA: Con freceuncia se usa µ por µe En E : TE = Fc - m . g . cos β - 174 -
  175. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Donde: m = masa que rota, en kg γ = aceleración angular, en s-2 V2 Fc = FRAD - m . ac = m . ––– R R = radio rotación, en m MOMENTO DE INERCIA: “I”MOMENTO DINÁMICO DE ROTACIÓN: “M” Es la resistencia que ofrece a la rotación de un cuerpo. F I = m . R2 (II) 2 M=m.γ.R (I) R Comparando (I) con (II): m M=γ.I MOMENTOS DE INERCIA DE ALGUNOS SOLIDOS m . R2 m . 2 ––––– 2 I = –––––– I = ––– R + m . h ––– 2 4 12 Eje Eje m m R h Cilindro macizo con respecto a su eje. Cilindro macizo cos respecto a un diámetro central. 2 2 I = –– m . R2 I = –– m . R2 5 3 Eje m 2R m 2R R Eje Esfera maciza con respecto a un Cascarón esférico muy delgado con respecto a un diámetro cualquiera (eje). diámetro cualquiera (eje). m . h2 m . h2 I = –––––– I = –––––– 12 3 Eje Eje h h Varilla delgada respecto a un eje que pasa por el Varilla delgada respecto a un eje que pasa por un centro y perpendicular a la longitud. extremo perpendicular a la longitiud. - 175 -
  176. m . R2 3 I = –––––– I = –– m . R2 I = m . R2 2 2 Eje Eje Eje Aro con respecto a cualquier Aro con respecto a cualquier Aro con respecto a su eje diámetro (eje). línea tangente (eje). a2 + b2 I = m (R2 + r2) –– I = m . –––––– 2 12 c a m Eje Eje b Cilindro anular (o anillo) con respecto Paralelepípedo con respecto al eje central. al eje del cilindro.CENTRO DE GRAVEDADEs el punto donde se supone está concentrado todo el peso de un cuerpo.TEOREMA DE VARIGNON“En cualquier sistema de fuerzas se cumple que, la suma de todos los momentos producidos por las fuerzascomponentes, con respecto a un punto, es igual al momento producido por la fuerza resultante con respec-to al mismo punto”. Tomando momentos con respecto al punto “A”: x1 x x2 x3 A F3 F2 F1 R - 176 -
  177. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Expresión que sirve para calcular el punto de A1 . x1 + A2 . x2 + A3 . x3 aplicación de las resultantes. xg = ––––––––––––––– –––––––– A1 + A2 + A3 F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 = Rx A1 . y1 + A2 . y2 + A3 . y3 yg = –––––––––––––––––––––– F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 A1 + A2 + A3 ∴ x = –––––––––––––––––––––– R Sustituyendo valores numéricos: 4(-5) + 80 . 0 + 40 . 8POSICIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDAD ∴ xg = ––––––––––––––––––– = 2,42 4 + 80 + 40Se determina con respecto a un sistema de ejes coor-denados ( xg,yg ) mediante la relación: C.G. (x, y) yg = ––––––––––4 + 40 . 1,5 = 3,06 4 . 0 + 80 . –––––––––– 4 + 80 + 40 F1 . x1 + F2 . x2 + … xg = –––––––––––––––––– CENTROS DE GRAVEDAD DE FIGURAS F1 + F2 + … GEOMÉTRICAS DE PERÍMETROS: F1 . y1 + F2 . y2 + … De una línea: es el punto medio. yg = –––––––––––––––––– F1 + F2 + … C.G. Ejemplo: Del perímetro de un triángulo: es la intersección Hallar las coordenadas del centro de gravedad de de las bisectrices del triángulo formado al unir los la figura: puntos medios de los lados. y 8 A2 C.G. 10 8 A3 A1 2 5 x De un paralelogramo: es la intersección de las diagonales. Los pesos o fuerzas “F” son perpendiculares a las áreas “A”: C.G. A1 = 2 . 2 = 4 ; x1 = -5 , y1 = 0 A2 = 10 . 8 = 80 ; x2 = 0 , y2 = 4 A3 = 8 . 5 = 40 ; x3 = 8 , y3 = 1,5 - 177 -
  178. De un rectángulo: es la intersección de las dia- DE ÁREAS:gonales. De un triángulo: es la intersección de las medi- anas, a 1/3 de la base. C.G. C.G.De una circunferencia: es su centro. De un paralelogramo: rombo, rectángulo y cuadrado, es la intersección de las diagonales. C.G. C.G. C.GDe una semicircunferencia: está a 2r/π de la base. y = 2r –– π C.G. C.G C.G yDe un arco de circunferencia: Trapecio:está a r . cuerda ; del centro. –––––– arco B + 2b h y = –––––– . –– A B+b 3 r De la base mayor. C.G. O x b r C.G. h B y AB (cuerda) x = –––––––––– B ° AB (arco) - 178 -
  179. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C ODe un semicírculo: De la base 4r y = ––– 3πDe la base C.G h C.G. C.G. y y y r r Pirámide o cono, en el eje:De un cuadrante de círculo: h y = –– 4r 4 x = y = ––– 3π De la base r C.G. h C.G. y h C.G. x yDe un sector circular: 2 cuerda AB x = –––––––––– . r De una esfera, es el centro de la figura. 3 arco ABDel centro A R C.G. r x C.G. O De una semiesfera: r 3R y = ––– 8 De la base. BDE VOLUMENES: C.G.De un prisma o cilindro, en eje: y R h y = –– 2 - 179 -
  180. TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE TRABAJOA) TRABAJO 1 J = 107 erg Es lo realizado por una fuerza, aplicada sobre una masa, cuando la desplaza una distancia. El traba- jo es una magnitud escalar. B) POTENCIA Es el trabajo realizado en un tiempo determinado: T=F.d Unidades SI: N.m. T P = –– t d Donde: F P = potencia media. T = trabajo realizado por una fuerza, en J. t = intervalo de tiempo empleado, en s. En general: UNIDADES DE POTENCIA T = f . d . cos α La unidad de potencia es el watt “W” 1 WATT “W” d Es el trabajo realizado por 1 joulio en 1 segundo. F α 1J 1 W = –––– 1s 1kW . h = 3,6 . 106 JUNIDADES DE TRABAJOLa unidad SI de trabajo es el JOULE “J”. Un sub- 1 H.P. (Horse Power)múltiplo es el ERGIO “erg”. Es el trabajo realizaco por 735 N.m en 1 segundo. 1 JOULE (Unidad SI) Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 newton 735 N . m que, aplicado sobre un cuerpo lo desplaza una 1 H.P. = ––––––––– s distancia de 1 m. o: 1J=1N.1m 735 J 1 H.P. = ––– –– – 1 ERGIO “erg” (No es unidad SI) s Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 dina, que aplicada a un cuerpo lo desplaza una distancia de C) ENERGÍA 1 cm. Es la capacidad que tiene todo cuerpo para realizar un trabajo. Puede ser: Energía Potencial y 1 erg = 1 dina . 1 cm Energía Cinética. - 180 -
  181. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OENERGÍA POTENCIAL (Ep) TRABAJO TRANSFORMADO O ENERGÍAEs la capacidad almacenda para realizar un trabajo TRANSFORMADA. CONSERVACIÓN DE LAque tiene un cuerpo en reposo, en virtud a su peso y ENERGÍAa su altura, con respecto a un nivel de referencia. Es el trabajo realizado o energía desarrollada por un cuerpo en movimiento al pasar de una posición “A” Ep = P . h a una posición “B”. TA - B = Ecf – Eci TA - B = Trabajo realizado por una fuerza “F” de A hasta B. Ecf = Energía cinética final. P h Eci = Energía cinética inicial. Nivel de Referencia FENERGÍA CINÉTICA (Ec)Es la capacidad que tiene un cuerpo, en movimiento, A d Bpara realizar un trabajo en virtud a su masa “m” y asu velocidad “V”. TRABAJO EN LAS ROTACIONES 1 T=M.α Ec = –– m . V2 2 T = Trabajo, en J V M = Momento aplicado al cilindro (F.R), en N . m α = Angulo girado por el cilindro P=m.g R NOTA.- Las unidades de medida son iguales a las de trabajo. F - 181 -
  182. ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN EL MOVIMIENTO OSCILATORIO Y EL PÉNDULO 1 Ec = –– . I . ω2 2 A) PÉNDULO SIMPLE Péndulo, es un objeto cualquiera que está sus- I = momento de inercia (m . R2) pendido de un punto fijo, mediante una cuerda. ω = velocidad angular (γ . t) ELEMENTOS DE UN PÉNDULO SIMPLE UNIDADES DE TRABAJO Y ENERGÍA J erg kW . h α α 1J 1 107 2,78 . 10 -7 L h 1 erg 10-10 1 2,78 . 10 -14 1 kW . h 0,36 . 107 0,36 . 1014 1 A B UNIDADES DE POTENCIA 1) LONGITUD “L”, de la cuerda, desde el punto de W kW erg/s HP suspensión hasta el centro de gravedad del objeto suspendido, medido en m. 1W 1 0,001 107 136 . 10 -5 2) OSCILACIÖN “2AB”, es el arco recorrido en ida y 1 kW 1000 1 1010 136 vuelta por el objeto suspendido desde una de las posiciones extremas a la otra, medido en rad. 1 erg/s 10 -7 10 -10 1 136 . 10 -10 3) PERÍODO “T”, tiempo que demora en una oscila- 1 HP 735 0,735 735 . 107 1 ción, medido en s. 4) AMPLITUD “α”, ángulo barrido por la cuerda del péndulo con una de sus posiciones extremas y laIMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO vertical, medido en rad.IMPULSO es el esfuerzo “F” que se hace durante untiempo muy pequeño “∆t” sobre una masa, para 5) FRECUENCIA “f”, es el número de oscilacionesdarle un movimiento. en cada unidad de tiempo, medido en hertz; se calcula así: → → I = F . ∆t Unidades SI: N . s 1 1 f = –– Unidades SI: –– = hert T sCANTIDAD DE MOVIMIENTOEs la velocidad “V” impresa a una masa “m” con una LEYES DEL PÉNDULOfuerza determinada. 1ra. Ley: → → C =m.V El período “T” de un péndulo, es independiente de su oscilación “2AB”. - 182 -
  183. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O 2da. Ley: Q Vt = w R El período “T” de un péndulo, es independiente S M de su masa “m”. 3ra. Ley: O α V P El período “T” de un péndulo es directamente pro- porcional a la raíz cuadrada de la longitud de “L”. x T T1 –––– = –––– __ __ R R √L √L1 4ta. Ley: Los elementos son: El período “T” de un péndulo es inversamente pro- porcional a la raíz cuadrada de la gravedad “g”. → ELONGACIÓN “x”.- Es una magnitud vectorial cuyo valor se mide desde el centro de la circun- T T1 ferencia o desde el centro de vibración, hasta “P”. –––– = –––– __ __ Se calcula asi: √g1 √g x = R . cos (ω t)PÉNDULO QUE BATE SEGUNDOS 2π . tEs aquel péndulo cuyo período dura 2 segundos. x = R . cos ––––– unidades SI: m T T = 2s x = R . cos 2π . f . tFÓRMULA GENERAL DEL PÉNDULO: AMPLITUD “R”.- Es la elongación máxima. ––– L PERÍODO “T”.- Tiempo que demora el punto “P” T = 2π √ ––– g en hacer una vibración; es decir, una “ida y vuelta”. Se calcula así:MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE O Tiempo transcurridoMOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO T = –––––––––––––––––––– Número de vibracionesEs un movimiento periódico y lineal, cuya acel-eración “a” es directamente proporcional a su FRECUENCIA “f”.- Es el número de vibracionesdesplazamiento “x” pero con sentido contrario: por unidad de tiempo, se mide en ciclos por segundo (c.p.s) y se denomina “hertz”. Se calcu- a=-K.x la así:ELEMENTOS DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO Número de vibraciones f = ––––––––––––––––––––SIMPLE Tiempo transcurridoEl movimiento armónico simple es el movimientolineal que realiza la proyección “P”, sobre un o:diámetro, de un punto “M” que se desplaza sobre 1una circunferencia con velocidad circunferencial f = –– Tuniforme. - 183 -
  184. RESORTES CÁLCULO DE LA ACELERACIÓNFUERZA DEFORMADORA: LEY DE HOOKE 4π2 a = - –––– . xPara cambiar la forma de un cuerpos se requiere la T2acción de una fuerza que se llama “fuerza defor- o:madora”, la cual es proporcional a la deformación,siempre que no se pase del límite de elasticidad del a = - ω2 . xcuerpo deformado. o: a = - 4π2 . f2 . x La ley de Hooke se expresa así: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN MÁXIMAS F=K.x ______ Si V = ± 2 π . f √R2 – x2 ; V es máxima cuando x = 0 K = constante elástica, propia de cada material ∴ Vmáx = ± 2π . f . R x = deformación o elongación La aceleración máxima se obtiene en los extremos; es F decir, en la elongación máxima cuando x = ± R. x Si a = - ω2 x, aceleración es máxima cuando x = ± R ∴ amáx = ω2 . R o:FUERZA RECUPERADORA: amáx = 4π2 . f2 . R