FÓRMULASMATEMÁTICAS
FÓRMULAS MATEMÁTICASIDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓNDepartamento de Creación Editorial de Lexus Editores© LEXUS EDITORES S.A.Av....
PRESENTACIÓNAl igual que René Descartes, gran matemático y filósofo del siglo XVII, quien hubiera pre-ferido una ciencia ú...
SUMARIO                                                                                         Pag.Aritmética … … … … … …...
Números congruentes, Números primos (en          )…………………………………………                       35Números compuestos, Criba de Er...
Álgebra … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …                                     53Definición, Notación usada en ...
Cambios de signo en una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …                   73Simplificación de fracciones,...
Ecuaciones de segundo grado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …                      93Discusión del valor de las ...
Posiciones del eje radical, Propiedades del eje radical … … … … … … … … … … … … … …        119Centro radical, Mediana y ex...
Funciones de la suma de tres arcos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 146Funciones de arcos dobles, Funciones de arco...
Dinámica, Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …                 172Segunda ley de Newton, Unidad...
Campo de cargas distintas, Intensidad del campo eléctrico … … … … … … … … … … … …              193Potencial eléctrico, Dif...
Química         … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 217Definiciones, Química, Masa, Materia, Estados o fases de la...
Densidad de un gas, Ley de difusión o ley de Graham, Ecuación universal de los gases … … … 240Hipótesis de Avogrado y Ampe...
F O R M U L A R I O                       M A T E M Á T I C O                                   ARITMÉTICADEFINICIÓN      ...
PROPOSICIONES SIMPLES                                        TABLAS DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES                        ...
F O R M U L A R I O                     M A T E M Á T I C OCONTRADICCIÓN                                          5. DE LA...
10. DEL CONDICIONAL:                                  16. MODUS TOLLENS:            a) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q                    ...
F O R M U L A R I O                     M A T E M Á T I C OTEORÍA DE CONJUNTOS                                            ...
NOTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS     : Conjunto de los números naturales                                               ...
F O R M U L A R I O                     M A T E M Á T I C OCARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS                               ...
DIAGRAMAS DE VENN                                              Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 }Son gráficos, generalmente círcu...
F O R M U L A R I O                      M A T E M Á T I C O                                                              ...
Ejemplo:                                                 RANGO  Sean los conjuntos:                                      E...
F O R M U L A R I O                       M A T E M Á T I C O   Ejemplo:                                                  ...
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  1. 1. FÓRMULASMATEMÁTICAS
  2. 2. FÓRMULAS MATEMÁTICASIDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓNDepartamento de Creación Editorial de Lexus Editores© LEXUS EDITORES S.A.Av. Del Ejército 305 Miraflores, Lima-Perúwww.lexuseditores.comPrimera edición, febrero 2008Hecho el Depósito Legal en la BibliotecaNacional del Perú: 2008-01603ISBN: 978-9972-209-54-3 EDICIÓN 2008
  3. 3. PRESENTACIÓNAl igual que René Descartes, gran matemático y filósofo del siglo XVII, quien hubiera pre-ferido una ciencia única o “matemática universal”, que explique el orden y la medida de lanaturaleza, sin importar si la unidad de medida son números, o ecuaciones o gráficos, elpresente “Formulario Matemático” pretende realizar una exposición de todos los métodosmatemáticos en un solo documento.Como es habitual, Editorial Lexus pone a disposición del estudiante avanzados recursos quecontribuirán a minimizar diferencias teóricas y prácticas entre el nivel secundario y la uni-versidad. Se ha pretendido crear un manual educativo para que el alumno en la etapa pre-universitaria, a través de la práctica directa de sus ejercicios, pueda auto-evaluarse y pronos-ticar sus capacidades con vistas a iniciar sus estudios superiores. Y, al mismo tiempo, servircomo obra de consulta general.La preparación de esta formidable obra ha sido posible debido a la participación de un selec-to equipo de estudiantes universitarios y calificados docentes especialistas. Este libro resu-me más de 4 mil maravillosos años de investigación matemática. Desde las antiguas aritmé-tica y álgebra, escudriñadas por babilonios y egipcios hasta las modernas técnicas y aplica-ciones, que permiten actividades cotidianas de complicado análisis, como el pronóstico deltiempo, el movimiento bancario o la telefonía móvil, imposibles sin el concurso de todas lasdisciplinas matemáticas.Este manual incluye secciones de Física y Química pues, como señalaba Von Neumann, lasmatemáticas poseen una doble naturaleza: las matemáticas como cuerpo científico propio,independientes de otros campos, y las matemáticas relacionadas con las ciencias naturales.De hecho, muchos de los mejores resultados alcanzados en las matemáticas modernas hansido motivados por las ciencias naturales y, similarmente, hay una tremenda matematización 1de las partes teóricas de dichas ciencias .El método práctico utilizado en toda la extensión de esta obra, conduce al lector de unamanera didáctica a lo largo de la asignatura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo,con numerosos ejercicios resueltos y propuestos. La resolución de problemas y el repasoteórico no dudamos que le darán al estudiante una base muy sólida para que destaque enlas aulas universitarias de pre-grado o post-grado. Los Editores1 Referencias históricas consultadas en: José M. Méndez Pérez. “Las Matemáticas: su Historia, Evolución y Aplicaciones”.Archivo online: http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/HasierakoIkasgaiak/Mendez2003-04-extendida.doc.
  4. 4. SUMARIO Pag.Aritmética … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15Definición, Lógica matemática, Proporciones lógicas, Conectivos lógicos ………………… 15Proporciones simples, Proporciones compuestas básicas … … … … … … … … … … … … … 16Tablas de verdad de las proporciones compuestas básicas ……………………………… 16Tipo de proporciones, Tautología …………………………………………………… 16Contradicción, Contingencia … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17Leyes lógicas principales …………………………………………………………… 17Teoría de conjuntos, Conceptos básicos, Formas de expresar un conjunto … … … … … … … 19Principales símbolos ……………………………………………………………… 19Notación de los conjuntos, La recta real … … … … … … … … … … … … … … … … … … 20Características de los conjuntos, Relaciones entre conjuntos …………………………… 21Conjunto de conjunto o conjunto de partes, Potencia de un conjunto …………………… 21Diagramas de Venn, Operaciones con conjuntos ……………………………………… 22Unión de conjuntos, Intersección de conjuntos, Diferencia de conjuntos ………………… 22Complemento de un conjunto, Diferencia simétrica …………………………………… 23Producto cartesiano de dos conjuntos, Relaciones … … … … … … … … … … … … … … … 23Tipos de relaciones en un conjunto, Reflexiva, Simétrica, Transitiva … … … … … … … … … 24Funciones, Definición, Sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … 25Numeración, Definición …………………………………………………………… 25Formación de un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Convención, Cifras mínimas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Operaciones aritméticas básicas no decimales ………………………………………… 27Suma, Resta, Multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 27División, Cambios de base de un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … 28Cambios de base se un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … 28Conteo de cifras al escribir la serie natural … … … … … … … … … … … … … … … … … 29Sumatoria de primeros números de la serie natural en base 10 … … … … … … … … … … … 29Operaciones básicas sobre números reales …………………………………………… 30Suma o adición, Resta o sustracción ………………………………………………… 30La multiplicación, La división ……………………………………………………… 31Alternaciones de los términos de una división ………………………………………… 32Relaciones notables de las cuatro operaciones ………………………………………… 33Propiedades de los números, Divisibilidad (en Z), Divisor, Múltiplo … … … … … … … … … 33Propiedades de la divisibilidad, Reglas prácticas de divisibilidad ………………………… 34
  5. 5. Números congruentes, Números primos (en )………………………………………… 35Números compuestos, Criba de Eratóstenes, Reglas para su construcción ………………… 36Fórmulas generales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 36Máximo común divisor(M.C.D.), Mínimo común múltiplo(m.c.m.) … … … … … … … … … 37Propiedades, Números racionales(fracciones) ………………………………………… 38Fracciones ordinarias, Clasificación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 38Fracciones decimales, Clasificación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 39Transformación de fracciones, Potencia y radicación de cuadrados y cubos … … … … … … … 40Cuadrado y raíz cuadrada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 40Cuadrado, Cuadrado perfecto, Raíz cuadrada ………………………………………… 40Cubo, Raíz cúbica, Sistema de medidas, Sistemas tradicionales … … … … … … … … … … … 41Sistema métrico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 41Medidas agrarias, Medidas de volumen, Medidas de capacidad, Medidas de peso … … … … … 42Sistema español, Superficie, Agraria, Volumen, Peso …………………………………… 42Sistema inglés, Longitud, Sueperficie, Agraria ………………………………………… 42Volumen, Capacidad, Sistema Avoirdupois, Densidad de algunos cuerpos ………………… 43Relaciones entre longitud y tiempo, Dimensiones geográficas …………………………… 43Sistema internacional(S.I.), Unidades de bases … … … … … … … … … … … … … … … … 43Unidades suplementarias, Razones y proporciones, Razones … … … … … … … … … … … … 44Propiedades y leyes, Proporciones, Proporción artimética ……………………………… 44Proporción geométrica, Clases de proporciones según sus términos ……………………… 44Términos notables, Promedios, Propiedades de las proporciones geométricas … … … … … … 45Magnitudes proporcionales, Regla de tres, Regla de tres simple … … … … … … … … … … … 46Regla del tanto por ciento, Regla de tres compuesta …………………………………… 46Aritmética mercantil, Interés simple, Interés o rédito … … … … … … … … … … … … … … 46Fórmulas básicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 46Descuento, Descuento comercial, Descuento racional … … … … … … … … … … … … … … 47Comparación del descuento comercial con el descuento racional … … … … … … … … … … 48Vencimiento común, Descuentos sucesivos, Aumentos sucesivos … … … … … … … … … … 48Repartimiento proporcional, Tipología … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 49Repartimiento proporcional compuesto … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50Aplicaciones, Regla de compañía o de sociedad, Regla de compañía compuesta …………… 50Regla de mezcla o aligación, Mezcla, Regla de mezcla directa …………………………… 50Regla de mezcla inversa, Aleación, Ley de aleación … … … … … … … … … … … … … … … 51Aleación directa, Aleación inversa, Cambios en la ley de una aleación …………………… 51Aumento de la ley de una aleación, Disminución de la ley de una aleación … … … … … … … 51Ley de kilates … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 52
  6. 6. Álgebra … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53Definición, Notación usada en el álgebra … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53Operaciones fundamentales con los números relativos … … … … … … … … … … … … … 54Suma, Sustracción, Multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 54División, Potencia, Raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Expresiones algebraicas, Principales conceptos, Término algebraico … … … … … … … … … 55Expresión algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Clasificación de las expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Racionales, Irracionales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Teoría de exponentes, Operaciones de exponentes, Ley de signos … … … … … … … … … … 56Ecuaciones Exponenciales, Valor numérico … … … … … … … … … … … … … … … … … 57Grado de las expresiones algebraicas, Grados … … … … … … … … … … … … … … … … 57Grados de un monomio, Grados de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … 57Polinomios, Notación polinómica, Polinomios especiales … … … … … … … … … … … … … 58Polinomios ordenados, Polinomio completo … … … … … … … … … … … … … … … … … 58Polinomio Homogéneo, Polinomios idénticos … … … … … … … … … … … … … … … … 58Polinomio idénticamente nulo, Polinomio entero en “x” … … … … … … … … … … … … … 59Operaciones con expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 59Suma y resta de expresiones algebraicas, Supresión de signos de colección … … … … … … … 59Multiplicación de expresiones algebraicas, Propiedades de la multiplicación … … … … … … 59Casos en la multiplicación, Productos notables … … … … … … … … … … … … … … … … 60División algebraica, Propiedades de la división … … … … … … … … … … … … … … … … 61Casos en la división, División de dos monomios … … … … … … … … … … … … … … … 61División de polinomios, Método normal … … … … … … … … … … … … … … … … … … 61Método de coeficientes separados, Método de Horner … … … … … … … … … … … … … … 62Método o regla de Rufinni … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 63Teorema del resto, Divisibilidad y cocientes notables … … … … … … … … … … … … … … 65Principios de la divisibilidad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 65Cocientes notables(CN), Forma general de los cocientes notables … … … … … … … … … … 66Regla práctica para desarrollar cualquier cociente notable … … … … … … … … … … … … 66Métodos de factorización, Factor común, … … … … … … … … … … … … … … … … … … 67Método de identidades, Método del aspa … … … … … … … … … … … … … … … … … … 68Método de evaluación o de divisores binomios … … … … … … … … … … … … … … … … 69Método de artificios de cálculo, Sumas y restas, Cambio de variable … … … … … … … … … 70Factorización recíproca, Factorización simétrica alternada … … … … … … … … … … … … 71Polinomio simétrico, Polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … … … … 71Propiedades de las expresiones y los polinomios simétricos y alternos … … … … … … … … 71Factorización de un polinomio simétrico y alternado … … … … … … … … … … … … … … 72Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo … … … … … … … … … … … … … … … 72Fracciones algebraicas, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 73
  7. 7. Cambios de signo en una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 73Simplificación de fracciones, Binomio de Newton … … … … … … … … … … … … … … … 73Análisis combinatorio, Factorial de un número … … … … … … … … … … … … … … … … 73Variaciones, Permutaciones, Combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Propiedades de las combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Desarrollo del binomio de Newton, Método inductivo … … … … … … … … … … … … … … 75Propiedades del Binomio de Newton ………………………………………………… 76Cálculo de término general t(k+1) , Término central … … … … … … … … … … … … … … 76Término de Pascal o de Tartaglia, Procedimiento ……………………………………… 77Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario ……………… 77Radicación, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 77Elemento de una raíz, Signo de las raices … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78Radicación de expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78Raíz de un monomio, Raíz cuadrada de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … 78Raíz cúbica de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 79Descomposición de radicales dobles en simples … … … … … … … … … … … … … … … … 80Operaciones con radicales, Conceptos básicos ………………………………………… 81Radicales homogéneos, Homogenización de radicales … … … … … … … … … … … … … … 81Radicales semejantes, Teorema fundamental de los radicales … … … … … … … … … … … … 81Operaciones algebraicas con radicales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 81Suma y resta de radicales, Multiplicación de radicales … … … … … … … … … … … … … … 81División de radicales, Potencia de radicales, Raíz de radicales …………………………… 82Fracción irracional, Racionalización, Factor racionalizante (F.R.) … … … … … … … … … … 82Racionalización del denominador de una fracción, Primer caso, Segundo caso … … … … … … 82Tercer caso. Cuarto caso, Verdadero valor de fracciones algebraicas ……………………… 83Verdadero valor (V.V.), Cálculo del verdadero valor … … … … … … … … … … … … … … … 84Cantidades imaginarias, Conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 85Números complejos, Representación gráfica de un complejo …………………………… 86Operaciones con complejos, Determinantes, Matriz …………………………………… 87Determinante, Orden del determinante ……………………………………………… 88Método para hallar el valor de un determinante, Regla de Sarrus ………………………… 88Forma práctica de la regla de Sarrus, Menor complementario …………………………… 89Propiedades de los determinantes, Ecuaciones y sistemas de ecuaciones … … … … … … … … 90Clases de igualdad ………………………………………………………………… 90Principios fundamentales de las igualdades para la trasformación de ecuaciones … … … … … 91Sistema de ecuaciones, Clasificación de los sistemas de ecuaciones ……………………… 91Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, Método de sustitución … … … … … … 91Método de igualación, Método de reducción, Método de los determinantes … … … … … … … 92Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadráticas … … … … … … … … … … … … … 93
  8. 8. Ecuaciones de segundo grado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 93Discusión del valor de las raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 94Propiedades de las raíces, Ecuaciones bicuadradas … … … … … … … … … … … … … … … 94Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … 95Ecuaciones recíprocas, Ecuaciones binomias y trinomias … … … … … … … … … … … … … 95Ecuaciones que se resuelven mediante artificio, Desigualdad e inecuaciones … … … … … … 96Desigualdad, Propiedades de las desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … 96Clases de desigualdades, Inecuaciones de primer grado con una incógnita … … … … … … … 97Solución de una inecuación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 97Sistema de inecuaciones con una incógnita, Inecuaciones de segundo grado … … … … … … 98Progresiones, Definición, Progresión aritmética “P.A.” … … … … … … … … … … … … … … 99Progresión geométrica “P.G.” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 100Logaritmos, Principales conceptos, Sistema de logaritmos … … … … … … … … … … … … 101Propiedades de logaritmos, Cologaritmo, Antilogaritmo … … … … … … … … … … … … … 102Cambio de un sistema de logaritmos a otro, Logaritmos como progresiones … … … … … … 102Sistema de logaritmos neperianos, Sistema de logaritmos decimales … … … … … … … … … 103Interés compuesto y anualidades, El interés compuesto … … … … … … … … … … … … … 104Anualidad de capitalización(Ac), Anualidad de amortización(Aa) … … … … … … … … … … 105Geométria … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 106Definición, Geométria plana, Ángulos, Teoremas básicos … … … … … … … … … … … … … 106Teoremas básicos, Teoremas auxiliares … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 106Valor de los ángulos en la circunferencia … … … … … … … … … … … … … … … … … … 107Distancia de un punto a una recta, Triángulos, Líneas principales del triángulo … … … … … 108Altura, Mediana … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 108Mediatriz, Bisectriz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 109Igualdad de triángulos, Teoremas derivados de la igualdad de triángulos ………………… 110Semejanza de triángulos, Teoremas derivados de la semejanza de triángulos … … … … … … 111Teorema de Thales, Teorema de Menelao, Teorema de Ceva … … … … … … … … … … … … 111Relaciones métricas en el triángulo rectángulo … … … … … … … … … … … … … … … … 112Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo … … … … … … … … … … … … … … … 112Relación de lados con la mediana, Relación de lados de ángulos: 30º, 60º, 90º … … … … … … 113Relación de lados con segmentos determinados por la bisectriz … … … … … … … … … … 114Relación de lados con bisectriz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 114Relación de lados en desigualdad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 115Circunferencia, Posiciones relativas de dos circunferencias … … … … … … … … … … … … 115Circunferencias ortogonales, Cuadrilátero inscrito a una circunferencias ………………… 116Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, Propiedades de las tangentes … … … … … … 116Teoremas fundamentales en la circunferencia … … … … … … … … … … … … … … … … 117Líneas proporcionales en el círculo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 117Potencia de un punto, Lugar geométrico, Eje radical … … … … … … … … … … … … … … 118
  9. 9. Posiciones del eje radical, Propiedades del eje radical … … … … … … … … … … … … … … 119Centro radical, Mediana y extrema razón de un segmento o sección aúrea … … … … … … … 119División armónica de un segmento, Haz armónico … … … … … … … … … … … … … … … 120Polígonos, Definición y conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 120Cálculo de los elementos de los polígonos irregulares … … … … … … … … … … … … … … 121Valor de los elementos de los polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … 121Conclusiones sobre los polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … … … 123Área de las regiones planas, Región … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 124Relaciones de áreas de triángulos, Propiedades de los cuadriláteros … … … … … … … … … 125Teorema de Euler, Teorema de Ptolomeo(1), Teorema de Ptolomeo(2) … … … … … … … … 125Semejanza de polígonos, Áreas de las regiones curvas … … … … … … … … … … … … … … 126Geometría del espacio, Teoremas fundamentales, Ángulo triedro, Poliedros … … … … … … … 127Teorema de Euler, Poliedro regular … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 128Prisma, Prisma regular, Cálculo de los elementos de los poliedros … … … … … … … … … … 129Tronco de prisma, Pirámide, Pirámide regular … … … … … … … … … … … … … … … … 130Pirámide irregular, Semejanza de pirámides, Tronco de pirámide … … … … … … … … … … 131El cono, Definiciones, Cono de revolución … … … … … … … … … … … … … … … … … 132Cono oblícuo, Semejanza de conos, Tronco de cono … … … … … … … … … … … … … … 132El cilindro, Cilindro recto, Cilindro oblícuo, Tronco de cilindro … … … … … … … … … … 134La esfera, Superficie y volumen de la esfera, Partes de área de esfera … … … … … … … … … 135Partes de volúmenes de una esfera, Segmento esférico, Cuña esférica … … … … … … … … 136Sector esférico, Anillo esférico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 137Sólidos de revolución, Teorema de Guldin Pappus (Áreas) … … … … … … … … … … … … 138Teorema de Guldin Pappus (volumen) … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 138Leyenda general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139Trigonometría … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 140Definición, Medida de ángulos, Sistemas de medición de ángulos … … … … … … … … … … 140Sexagesimal, Centesimal, Radial, Equivalencia entre los tres sistemas … … … … … … … … 140Longitud de un arco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 140Funciones trigonométricas en el triágulo rectángulo, Funciones básicas … … … … … … … … 140Tabla de valores de funciones trigonométricas de triángulos notables … … … … … … … … … 141Ángulos directrices … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142Signo de las funciones trigonométricas según el cuadrante … … … … … … … … … … … … 143Variación de las funciones trigonométricas según el cuadrante … … … … … … … … … … … 144Intervalo de las funciones trigonométricas … … … … … … … … … … … … … … … … … 144Dominio y rango de las funciones trigonométricas … … … … … … … … … … … … … … … 144Relación de funciones trigonométricas en términos de una sola … … … … … … … … … … 145Arcos compuestos, Funciones de la suma y diferencia de arcos … … … … … … … … … … … 146
  10. 10. Funciones de la suma de tres arcos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 146Funciones de arcos dobles, Funciones de arco mitad, Funciones de arcos triples … … … … … 147Funciones auxiliares, Transformación a producto … … … … … … … … … … … … … … … 147Limites trigonométricos, Funciones trigonométricas inversas … … … … … … … … … … … 148Dominio y rango de las funciones inversas … … … … … … … … … … … … … … … … … 149Ecuaciones trigonométricas, Solución de las ecuaciones … … … … … … … … … … … … … 150Resolución de triángulos, Triángulos oblicuángulos … … … … … … … … … … … … … … 150Cálculo de ángulos (fórmula de Briggs), Cálculo de superficies … … … … … … … … … … 151Elementos secundarios en la solución de triángulos, Radios … … … … … … … … … … … … 152Radios circunscritos, Radio inscrito o inradio, Radio ex-inscrito … … … … … … … … … … 152Cevianas, Altura, Mediana, Bisectriz interior … … … … … … … … … … … … … … … … … 153Bisectriz exterior, Cuadriláteros convexos, Superficies … … … … … … … … … … … … … … 154Cuadrilátero inscrito o ciclíco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 154Cuadrilátero circunscrito, Polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … … 155Problema de Pothenot-Snellius … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 155Física … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 156Definiciones, Ecuaciones dimensionales, Sistema de unidades … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema absoluto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema técnico gravitacional o práctico … … … … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema internacional de medida “SI”, Unidades suplementarias … … … … … … 157Unidades derivadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157Convenciones básicas, Vectores, Magnitud, Representación gráfica de un vector … … … … … 158Suma y resta de vectores, Métodos geométricos … … … … … … … … … … … … … … … … 158Método del paralelogramo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159Métodos analíticos, Dirección de la resultante … … … … … … … … … … … … … … … … 160Mecánica, Cinemática … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 161Conceptos, Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) … … … … … … … … … … … … … … 162Movimiento variado, Aceleración … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 162Movimiento vertical, Movimiento compuesto, Movimiento parabólico … … … … … … … … 163Movimiento circunferencial uniforme (M.C.U.) … … … … … … … … … … … … … … … … 164Velocidad o rapidez angular y período … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 164Movimiento circunferencial uniformemente variado (M.C.U.V.) … … … … … … … … … … 165Estática, Fuerza, Resultantes de un sistema de fuerzas … … … … … … … … … … … … … 165Condiciones de equilibrio en un cuerpo, Teorema de Lamy … … … … … … … … … … … … 167Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) o diagrama libre … … … … … … … … … … … … … … 168Descomposición de fuerzas en sus componentes rectangulares … … … … … … … … … … … 168Máquinas simples, Tipo palanca … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169Tipo plano inclinado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 171
  11. 11. Dinámica, Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 172Segunda ley de Newton, Unidades de fuerza … … … … … … … … … … … … … … … … … 173Rozamiento, fuerza de rozamiento o fricción … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Dinámica de rotación o rotación dinámica … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Momentos de inercia de algunos sólidos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175Centro de gravedad, Teorema de Varignon … … … … … … … … … … … … … … … … … 176Posición del centro de gravedad, Centros de gravedad de figuras grométricas … … … … … … 177Trabajo, Potencia y Energía. Trabajo, Unidades de trabajo, … … … … … … … … … … … … 180Equivalencias de unidades de trabajo, Potencia, Unidades de potencia, Energía … … … … … 180Energía potencial (Ep), Energía cinética (Ec) … … … … … … … … … … … … … … … … 181Trabajo transformado o energía trasnformada, Trabajo en las rotaciones … … … … … … … … 181Energía cinética de rotación, Impulso y cantidad de movimiento … … … … … … … … … … 182El movimiento oscilatorio y el péndulo, Péndulo simple … … … … … … … … … … … … … 182Elementos de un péndulo simple, Leyes del péndulo … … … … … … … … … … … … … … 182Péndulo que bate segundos, Fórmula general del péndulo … … … … … … … … … … … … 183Movimiento armónico simple o movimiento vibratorio armónico … … … … … … … … … … 183Resortes, Fuerzas deformadora: Ley de Hooke … … … … … … … … … … … … … … … … 184Velocidad, Aceleración, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … … … … … 184Cálculo de la velocidad “V”, Cálculo de la aceleración … … … … … … … … … … … … … 184Velocidad y aceleración máximas, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … 184Densidad y peso específico, Relación entre densidad y peso específico … … … … … … … … 185Estática de los fluídos, Conceptos y definiciones, Presión … … … … … … … … … … … … 185Principio de Pascal, Prensa hidráulica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 185Principio de la hidrostática, Presión hidrostática … … … … … … … … … … … … … … … 186Ley fundamental de la hidrostática, Principio de Arquímides … … … … … … … … … … … 186Relación entre el empuje y el peso específico de líquidos, Neumología … … … … … … … … 187El calor, Dilatación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 187Calorimetría, Unidades para medir el calor, Calor específico “Ce” … … … … … … … … … … 188Calor sensible “Q” (calor ganado o perdido) … … … … … … … … … … … … … … … … … 189Teorema fundamental de la calorimetría, Capacidad calorífica “Cc” … … … … … … … … … 189Temperatura de equlibrio de una mezcla, Temperatura final “tf” … … … … … … … … … … 189Cambios de fase, Calores latentes, Transmisión de calor … … … … … … … … … … … … … 189Transmisión del calor por conducción, Cantidad de calor trasmitido “Q” … … … … … … … 190Trabajo mecánico del calor … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 190Termodinámica, Trabajo realizado por un gas “W” … … … … … … … … … … … … … … … 190Calor absorbido por un gas “G”, Primera ley de la termodinámica … … … … … … … … … … 191Segunda ley de la termodinámica (Rudolf Clausius 1850) … … … … … … … … … … … … 191Electrostática, Primera ley de la electrostática … … … … … … … … … … … … … … … … 191Tabla triboeléctrica, Segunda ley de la electrostática:Ley de Coulomb …………………… 191Primitividad, Unidades eléctricas coulomb “C” … … … … … … … … … … … … … … … … 192Campo eléctrico, Campo de cargas iguales … … … … … … … … … … … … … … … … … 193
  12. 12. Campo de cargas distintas, Intensidad del campo eléctrico … … … … … … … … … … … … 193Potencial eléctrico, Diferencia de potencial … … … … … … … … … … … … … … … … … 194Trabajo eléctrico, Capacidad eléctrica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 195Capacidad de los conductores aislados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 195Capacidad de uns esfera aislada, Condensadores … … … … … … … … … … … … … … … 196Capacidad de un condensador, Capacidad de un condensador plano … … … … … … … … … 196Capacidad de condensador esférico y cilíndrico, Asociación de condensadores … … … … … 197Energía de un condensador, Electrodinámica … … … … … … … … … … … … … … … … 198Corriente eléctrica, Partes de un ciruito eléctrico … … … … … … … … … … … … … … … 198Resistencia de los conductores, Ley de Pouillet, Conductancia … … … … … … … … … … … 199Asociación de resistencias, En serie … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 199En paralelo, Fuerza electromotriz y resistencia total en un circuito … … … … … … … … … 200Corrientes derivadas, Ley de Kirchoff, Puente de Wheatstone … … … … … … … … … … … 200Energía y potencia de la corriente eléctrica, Potencia de la corriente eléctrica … … … … … … 201Efecto Joule o ley de Joule, Rendimiento de la corriente eléctrica … … … … … … … … … … 202Magnetismo y electromagnetismo, Magnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … 202Líneas de fuerza de un campo magnético, Leyes magnéticas … … … … … … … … … … … … 202Intensidad “B” de un punto del campo magnético … … … … … … … … … … … … … … … 203Intensidad de campo magnético producida por un polo, Flujo magnético … … … … … … … 203Densidad magnética “B”, Electromagnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … 204Efecto Oersted, Regla de la mano derecha (de Ampere), Ley de Biot y Savart … … … … … … 204Intensidad de campo creada por un conductor circular … … … … … … … … … … … … … 204Ley de la circulación de Ampere … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 205Bobina, Solenoide anular o toroidal de Rowland … … … … … … … … … … … … … … … 205Densidad del flujo inducido “B” a través del núcleo, Efecto Faraday … … … … … … … … … 206Ley de Faraday, Óptica, Velocidad de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … 207Unidad de intensidad de la luz, Iluminación, Unidad de iluminación “E” … … … … … … … 207Flujo luminoso “f”, Intensidad luminosa “I”, Flujo de intensidad “fT” … … … … … … … … 208Reflexión de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 208Leyes de la reflexión regular, Espejos, Espejos planos, Espejos esféricos … … … … … … … … 209Elementos de un espejo esférico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 209Rayos principales, Posición del objeto y la imagen en un espejo cóncavo … … … … … … … 210Refracción de la luz, Indices de refracción, Leyes de la refracción … … … … … … … … … … 212Ángulo límite y reflexión total “L” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 212Lámina de caras paralelas, Prisma óptico, Imágenes por refracción … … … … … … … … … 213Lentes, Elementos de las lentes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 214Rayos principales en las lentes convergentes y divergentes … … … … … … … … … … … … 214Construcción y posición de imágenes de lentes convergentes … … … … … … … … … … … 215Fórmula de Descartes para las lentes, Construcción de la imagen de una lente divergente … … 215Potencia de un lente, Aumento de la lente … … … … … … … … … … … … … … … … … 215Lentes gruesas de dos caras de cobertura, Potencia de lentes de contacto … … … … … … … 216
  13. 13. Química … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 217Definiciones, Química, Masa, Materia, Estados o fases de la materia … … … … … … … … … 217Cuerpo, Sustancia, Sistema, Fase, Energía … … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de medida, Unidades de longitud … … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de superficie, Unidades de volumen … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de masa, Unidades de tiempo … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219Equivalencias de unidades SI e inglesas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219Unidades de temperatura, Densidad y peso específico … … … … … … … … … … … … … … 220Densidad absoluta o densidad, Densidad relativa … … … … … … … … … … … … … … … 220Peso específico, Gravedad específica, Densidad de la mezcla … … … … … … … … … … … 221Relación entre densidad y peso específico, Presiones, Presión … … … … … … … … … … … 221Presión hidrostática, Presión neumática o presión de gases … … … … … … … … … … … … 222Teoría atómico molecular, Principales conceptos, Regla de Hund … … … … … … … … … … 223Tendencia a la máxima simetría, Estructura particular del átomo … … … … … … … … … … 223Croquis de un átomo, Núcleo, Isótopos, Isóbaros … … … … … … … … … … … … … … … 224Distribución electrónica de los elementos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 224Niveles de energía, Sub-niveles, Números cuánticos … … … … … … … … … … … … … … 224Conceptos adicionales, Electronegatividad, Afinidad, Valencia, Kerne … … … … … … … … 225Nomenclatura Lewis … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 225Enlace íonico, Enlace covalente, Enlace covalente puro, Enlace covalente polar … … … … … 226Tabla periódica de los elementos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 227Grupos principales de la tabla, Nomenclatura … … … … … … … … … … … … … … … … 228Nomenclatura química, Nombres de los átomos en su estado iónico … … … … … … … … … 229Aniones, Cationes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 229Nombre de los compuestos, Función química … … … … … … … … … … … … … … … … 230Nombre de los anhídridos, Nombre de los óxidos, Nombre de los peróxidos … … … … … … 231Nombre de los ácidos, Ácidos hidráticos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 231Ácidos oxácidos, Ácidos especiales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 232Radicales halogénicos, Radical halogénico hidrácido … … … … … … … … … … … … … … 234Radical halogénico oxácido, Nombre de la base o hidrócidos … … … … … … … … … … … 234Nombre de las sales, Sales hidráticas, Sales oxácidas … … … … … … … … … … … … … … 235Sales dobles, Peculiaridades de los ácidos del fósforo … … … … … … … … … … … … … … 236Óxidos dobles, Radicales cationes compuestos … … … … … … … … … … … … … … … … 236Anfoterismo del cromo, nitrógeno y manganeso … … … … … … … … … … … … … … … 237Unidades químicas de medida, Átomo-Gramo y Molécula-Gramo … … … … … … … … … … 238Átomo, Molécula, Átomo-Gramo, Molécula- Gramo o Mol, El estado gaseoso, Gas … … … … 238Ley general de los gases, Ley de Boyle y Mariotte, Ley de Charles, Ley de Gay-Lusasac … … … 239
  14. 14. Densidad de un gas, Ley de difusión o ley de Graham, Ecuación universal de los gases … … … 240Hipótesis de Avogrado y Ampere, Mezcla de gases, Leyes de Dalton … … … … … … … … … 241Ley de Amagat, Fracción molar, Gases húmedos, Gas húmedo … … … … … … … … … … … 242Humedad relativa, Determinación de pesos atómicos, Método del calor específico … … … … 243Ley de la combinación equivalente de los elementos … … … … … … … … … … … … … … 244Leyes de las combinaciones químicas, Leyes ponderales, Leyes volumétricas … … … … … … 244El estado líquido, Soluciones, Formas de expresar la concentración, Formas físicas … … … … 245Equivalente-gramo(Eq-g)de compuestos, Mili-valente … … … … … … … … … … … … … … 246Formas químicas para medir la concentración de las soluciones, Molaridad … … … … … … 246Molaridad, Normalidad, Dilución y aumento de la concentración … … … … … … … … … … 247Determinación de pesos moleculares, Método gasométrico, Método osmótico … … … … … … 248Método ebulloscópico, Método crioscópico, Termoquímica, Definición y conceptos … … … … 249Ley de Hess, Definición de las unidades calorimétricas, Caloría … … … … … … … … … … 250Equilibrio químico, Reacciones reversibles … … … … … … … … … … … … … … … … … 250Reacciones irreversibles, Ácidos y bases, Ácidos … … … … … … … … … … … … … … … 251Bases, Constante de ionización del agua(Kw), Tipo de soluciones, Concepto de “pH” … … … 252Electro-química, Unidad de masa, Coulomb, Faraday, Electro-equivalente … … … … … … … 253Unidades de intesidad, Ampere, Electrólisis, Leyes de Faraday … … … … … … … … … … … 253Química orgánica, Breves nociones y nomenclatura … … … … … … … … … … … … … … 254División de la química orgánica, Serie acíclica, Funciones químicas … … … … … … … … … 255Función hidrocarburo, Funciones principales, Serie saturada o Alkana … … … … … … … … 256Serie no saturada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 257Funciones fundamentales, Función alcohol … … … … … … … … … … … … … … … … … 258Función aldehído, Función cetona … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 259Función ácido … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 260Radicales orgánicos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 261Funciones especiales, Función éter, Función éster, Función sal orgánica … … … … … … … 262Función amina, Función amida … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 263Función nitrilo, Función cianuro … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264Cuadro de los grupos funcionales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 265Serie cíclica, Serie alicíclica, Serie heterocíclica, Benceno … … … … … … … … … … … … … 267Radical fenilo, Derivados del benceno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 268Naftaleno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Radical naftil, Derivados del naftaleno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Antraceno, Radical antracil … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 270Derivados del antraceno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 271
  15. 15. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O ARITMÉTICADEFINICIÓN PROPOSICIONES LÓGICASEs aquella parte de la matemática pura elemental que Una proposición lógica es el conjunto de palabrasse ocupa de la composición y descomposición de la que, encerrando un pensamiento, tiene sentido alcantidad expresada en números. AFIRMAR que es VERDADERO o al AFIRMAR que es falso.Lógica Matemática Las proposiciones se calsifican en:DEFINICIÓN 1) Simples o Atómicas 2) Compuestas o MolecularesLa lógica es la ciencia que estudia los procedimien-tos para distinguir si un razonamiento es correcto o CONECTIVOS LÓGICOSincorrecto; en este sentido, la LÓGICA MATEMÁ-TICA analiza los tipos de razonamiento utilizando Los conectivos lógicos son símbolos que sirven paramodelos matemáticos con ayuda de las PROPOSI- relacionar o juntar proposiciones simples (atómicas)CIONES LÓGICAS. y formar proposiciones compuestas (moleculares). CONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEE ~ Negación no, n es cierto que, no es el caso que, etc. ∧ ó • Conjunción y, pero, sin embargo, además, aunque, etc. ∨ Disyunción o, y/o inclusiva CONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEE ∆ Disyunción o … o… exclusiva entonces, si … entonces …, dado que … ⇒ Condiciona … siempre que …, en vista que …, implica …, etc. ⇔ Bicondicional … si y sólo si … - 15 -
  16. 16. PROPOSICIONES SIMPLES TABLAS DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICASLas proposiciones simples o atómicas se representanpor las letras p, q, r, s, t, etc. y pueden ser verdaderas NEGACIÒN CONJUNCIÒNo falsas. p ~q pq p∧q Ejemplos: V F VV V p: Juan Estudia F V VF F FV F q: Andrés es un niño FF F r: Stéfano no juega fútbol DISYUNCIÓN DISYUNCIÓN s: Alejandra está gordita INCLUSIVA EXCLUSIVA t: Christian es rubio pq p∨q pq p∆q u: Alescia habla mucho VV V VV F VF V VF VPROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS FV V FV VSon las siguientes, formadas a partir de proposi-ciones simples: FF F FF F Negación: ~p Se lee: CONDICIONAL BICONDICIONAL “no p”, “no es pq p⇒q pq p⇔q cierto que p”, etc. VV V VV V Conjunción: p ∧ q Se lee: VF F VF F “p y q”, “p pero q”, FV V FV F “p sin embargo q”, etc. FF V FF V Disyunción: p ∨ q Se lee: TIPOS DE PROPOSICIONES “p o q” , “p y/o q” TAUTOLOGÍA Disyunción Es una proposición cuyos VALORES DE VERDAD Exclusiva: p∆q Se lee: del OPERADOR PRINCIPAL son TODOS VERDA- DEROS, cualquiera sea el valor de verdad de sus “o p o q” componentes. Ejemplo: Condicional: p ⇒ q Se lee: pq p∧q ⇒ (p ∨ q) “si p, entonces q”, “p implica q”, etc. VV V V V VF F V V Bicondicional p ⇔ q Se lee: FV F V V “p si, y sólo si q” FF F V F - 16 -
  17. 17. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OCONTRADICCIÓN 5. DE LA IDEMPOTENCIA:Es una proposición cuyos VALORES DE VERDAD a) p ∧ p ∧ p ∧ … ∧ p ≡ pdel OPERADOR PRINCIPAL son TODOS FALSOS,cualquiera que sea el valor de verdad de sus compo- b) p ∨ p ∨ p ∨ … ∨ p ≡ pnentes. “Las variables repetidas redundantemente en una Ejemplo: cadena de conjunciones o en una cadena de disyunciones se reemplazan por la sola variable”. pq [~ p ⇒ (q ∧ ~ q)] ∧ ~ p 6. DE LA CONMUTATIVIDAD: VV F V V F F F F a) p ∧ q ≡ q ∧ p VF F V F F V F F b) p ∨ q ≡ q ∨ p FV V F V F F F V c) p ⇔ q ≡ q ⇔ p FF V F F F V F V “En una proposición, la conjunción, la dis-CONTINGENCIA yunción inclusiva y la bicondicional son con- mutativas”.No es ni tautología ni contradicción porque los VA-LORES DE VERDAD de su OPERADOR PRINCIPAL 7. DE LA ASOCIATIVIDAD:tienen por lo menos una VERDAD y/o una FALSE-DAD. a) p ∧ (q ∧ s) ≡ (p ∧ q) ∧ sLEYES LÒGICAS PRINCIPALES b) p ∨ (q ∨ s) ≡ (p ∨ q) ∨ s1. DE IDENTIDAD: c) p ⇔ (q ⇔ s) ≡ (p ⇔ q) ⇔ s p⇒p “En una proposición, la doble conjunción, la doble disyunción, o la doble bicondicional se aso- p⇔p cian indistintamente”. “Una proposición sólo es idéntica consigo misma”. 8. DE LA DISTRIBUTIVIDAD:2. DE CONTRADICCIÓN: a) p ∧ (q ∨ s) ≡ (p ∧ q)∨ (p ∧ s) ~ (p ∧ ~ p) b) p ∨ (q ∧ s) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ s) c) p ⇒ (q ∧ s) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ s) “Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez”. d) p ⇒ (q ∨ s) ≡ (p ⇒ q) ∨(p ⇒ s)3. DEL TERCIO EXCLUÍDO: “En una proposición la conjunción, la disyunción y la implicación son distributivas”. p∨~q 9. DE DE MORGAN: “Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera opción”. a) ~ (p ∧ q) ≡ ( ~ p ∨ ~ q)4. DE LA DOBLE NEGACIÒN (INVOLUCIÓN): b) ~ (p ∨ q) ≡ ( ~ p ∧ ~ q) ~ ( ~ p) ≡ p “En una proposición, la negación de una conjun- ción o de una disyunción son distributivas “La negación de la negación es una afirmación”. respecto a la disyunción o conjunción. - 17 -
  18. 18. 10. DEL CONDICIONAL: 16. MODUS TOLLENS: a) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q [(p ⇒ q) ∧ ~ p] ⇒ ~ p b) ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q “En una proposición, si se niega el consecuente de una premisa condicional entonces se concluye “En una proposición, la condicional equivale a la en la negación del antecedente”. disyunción de la negación del antecedente con el consecuente, y la negación de una condicional 17. DEL SILOGISMO DISYUNTIVO: equivale a una conjunción del antecedente con la negación del consecuente”. [(p ∨ q) ∧ ~ p] ⇒ q “En una proposición, cuando se niega el11. DEL BICONDICIONAL: antecedente de la premisa de una disyunción, se concluye en la afirmación del consecuente”. a) (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) 18. DE LA INFERENCIA EQUIVALENTE: b) (p ⇔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) ≡ ~ (p ∆ q) [(p ⇔ q) ∧ p] ⇒ q12. DE LA ABSORCIÓN: “En una proposición, cuando se afirma que uno a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p de los miembros de una bicondicional es ver- dadera, entonces el otro miembro también es ver- b) p ∧ (~ p ∨ q) ≡ p ∧ q dadero”. c) p ∨ (p ∧ q) ≡p 19. DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO: d) p ∨ (~ p ∧ q) ≡p∨q [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (p ⇒ s)13. DE TRANSPOSICIÓN: “En una proposición, el condicional es transitivo”. 20. DE LA TRANSITIVIDAD SIMÉTRICA: a) (p ⇒ q) ≡ (~ q ⇒ ~ p) [(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ s)] ⇒ (p ⇔ s) b) (p ⇔ q) ≡ (~ p ⇔ ~ q) “En una proposición, el bicondicional es tran-14. DE EXPORTACIÓN: sitivo”. a) ( p ∧ q) ⇒ s ≡ p ⇒ (q ⇒ s) 21. DE LA SIMPLIFICACIÓN: b) (p1 ∧ p2 ∧ …∧ pn) ⇒ s (p ∧ q) ⇒ p ≡ (p1 ∧ p2 ∧ …∧ pn-1) ⇒ (Pn ⇒ s) “En una proposición, si el antecedente y conse- cuente de una conjunción son verdades, entonces15. MODUS PONENS: cualquiera de los dos términos es verdad”. 22. DE ADICIÓN: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q p ⇒ (p ∨ q ) “En una premisa condicional; si se afirma el antecedente, entonces se concluye en la afirma- “En una proposición, una disyunción está impli- ción del consecuente”. cada por cualquiera de sus dos miembros. - 18 -
  19. 19. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OTEORÍA DE CONJUNTOS i) A = {a, b, c, d}CONCEPTOS BÁSICOS ii) = {… ; -3; -2; -1; -0; 1; 2; … } b) Por comprensión.- Cuando los elementos delDEFINICIÓN DE CONJUNTO conjunto pueden expresarse por una propiedadSe entiende por conjunto a la colección, agrupación común a todos ellos. También se le llama formao reunión de un todo único de objetos definidos, dis- simbólica.tinguiles por nuestra percepción o nuestro pen- Ejemplos:samiento y a los cuales se les llama elementos.Ejemplo: los muebles de una casa. Los muebles son i) M = {x/x = vocal }los elementos que forma el conjunto. Se lee: “M es el conjunto de las x, donde x es una vocal”.FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO ii) B = {x e / -2 < x < 3}a) Por extensión.- Cuando el conjunto indica explí- citamente los elementos del conjunto. También se Se lee: llama forma constructiva. “B es el conjunto de las x que pertenecen a los números enteros, donde x es mayor que -2 pero Ejemplos: menor que 3”. P R I N C I PA L E S S Í M B O L O S Símbolo Lectura Símbolo Lectura ∈ … pertenece… ∃ existe… ∉ … no pertenece… ∃! existe un … sólo un … φ Conjunto vacío ∃/ no existe ≡ … equivalente… η cardinal de… ≠ … diferente… ⇒ implica; entonces… ⇔ … si y sólo si… ⊂ … está incluido conjunto de partes de… ⊆ … está incluido estrictamente P potencial del … ⊄ … no está incluido… ∧ …y… ∪ … unión… ∨ …o… ∩ … intersección… o…o… / … tal que … A’ Complemento de A con Respecto ∼ … es coordinable… al conjunto Universal … no es coordinable… < … es menor que … > … es mayor que … Conjunto Universal ∆ … diferencia simétrica… ≤ … es menor o igual que … ∀ Para todo ≥ … es mayor o igual que … - 19 -
  20. 20. NOTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS : Conjunto de los números naturales { 5 7 6 = ...; –– ; –– ; -8; +3; - –– ;... 8 2 5 } : Conjunto de números irracionales (decimales = {0; 1; 2; 3; 4;… } infinitos no periódicos) : Conjunto de los números entero = ´ = {x/x es número no racional} __ __ __ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} { = …; √30 ; √2 ; √3 ; + e ; π;... } + : Conjunto de los números enteros positivos : Conjunto de los números reales - : Conjunto de los números enteros negativos = {x/x ∈ ∨x∈ } __ __ *: Conjunto de los números enteros no nulos : Conjunto de los números racionales (deci- = …; –– 3 { 8 ; - ––– ; √5 ; 3; - –– ;... 4 13 5 4 √ } males finitos o infinitos periódicos) : Conjunto de los números complejos = { ∧~ } { b a = x/x = –– ; a ∈ ∧b∈ ∧b≠0 } { __ __ 5 = …; -8; √7 ; 3; 5i; i√3 ; - –– ;... 9 } LA RECTA REALEl conjunto de los números reales está formado por y desde cero a - ∞ . A esta recta se le llama “Rectatodos los conjuntos numéricos. Todos los números: real” o “Recta numérica”.Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales se pue- Cualquier número real se puede representar sobre unden representar sobre una recta, desde el cero a + ∞ punto de la Recta Real, porque tiene infinitos puntos. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -∞ +∞ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ __ __ 1 -π -2,8 -√2 - –– 0,5 √3 π 3 - 20 -
  21. 21. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C OCARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS M = {3} ; Q = {0} X = {y/2y = 4 }1) PERTENENCIA ∈ Y NO PERTENENCIA “∉” Sea : A = {a, b, c, d, e } 6) CONJUNTO UNIVERSAL : B = {a, b, c } Es el conjunto que contiene a todos los elemen- tos de otro conjunto. : C = {m, n, q, r, s } = {todas las vocales} Entonces: B ∈ A, se lee: A = { e; i ; o } “B pertenece a A” C ∉ A, se lee: Entonces es el conjunto universal de A. “C no pertenece a A” 7) SUBCONJUNTO2) CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS A = { m; n; p } Finitos: B = { q; m; n; r; p} Cuando los elementos del conjunto se puede contar. Se lee “ A es subconjunto de B” o “A está inclui- A = {m, n, q, r }; do en B”. Son 4 elementos. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Infinitos: CONJUNTO DE CONJUNTO O CONJUNTO DE PARTES Cuando los elementos del conjunto son tantos que no se puede contar. Es el conjunto formado por la totalidad de subcon- juntos que se puede formar a partir de un conjunto M = {estrellas del firmamento}; son infinitas dado. Sea el conjunto: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …; ∞};Infinitos números M = { m; n; p }3) CONJUNTOS IGUALES El conjunto de partes es: Dos conjuntos son iguales cuando tienen exacta- mente los mismos elementos aunque no estén en (M) = {φ ,{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, el mismo orden. {n, p}, {m, n, p}} A = {4; 5; 6; 7; 8} POTENCIA DE UN CONJUNTO Expresa el número de subconjuntos que se puede B = {5; 6; 4; 8; 7} formar con los elementos de un conjunto. En otras palabras, es el número de elementos de un conjunto Entonces: A = B de partes.4) CONJUNTO VACÍO P (M) = 2n Es el conjunto que carece de elementos. N = número de elementos del conjunto M. A=φ ; A={} ; A=0 Para el ejemplo anterior:5) CONJUNTO UNITARIO n = 3, luego: Es el conjunto que tiene un solo elemento. P (M) = 23 = 8 - 21 -
  22. 22. DIAGRAMAS DE VENN Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 }Son gráficos, generalmente círculos, que sirven para B = { 1; 3; 5; 7 }encerrar y representar conjuntos: A B 4 .a 1 .b 3 7 2 5 .c A A = {a, b, c} A⊂B Conjunto A “A está incluído en B” A ∩ B = { 1; 3; 5 } Se lee: “A intersección B”. La intersección de varios conjuntos: A⊄B Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } “A no está incluido en B” B = { 1; 2; 4; 7}OPERACIONES CON CONJUNTOS C = { 4; 5; 9; 10 }1) UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos A A y B. B 2 7 Sean: A = { a, b, c } 1 3 4 B = { c, d, e, f } 5 10 9 A B C a b c d e f A ∩ B ∩ C = {4} Se lee “A intersección B intersección C”. 3) DIFERENCIA DE CONJUNTOS A ∪ B = { a, b, c, d, f } La diferencia de dos conjuntos, A menos B, es el Se lee: “A unión B”. conjunto formado por elementos de A que no pertenezcan a B.2) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de los conjuntos A y B, es el con- Sean: A = { a, b, c, d, e } junto que contiene elementos comunes a los con- juntos A y B. B = { d, e, f, g, h } - 22 -
  23. 23. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O A A B B b 6 f 5 a d 2 8 7 e g 4 c h 10 9 A ∆ B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10 } A - B = { a, b, c } Se lee: “A diferencia simétrica B” Se lee: “El conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto a, b, c”. PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS4) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Dados dos conjuntos A y B, se llama producto carte- Sean los conjuntos A y universal . El comple- siano A . B, al conjunto de “pares ordenados” forma- mento del conjunto A es la parte del conjunto uni- dos por todos los elementos de A, como primeros versal que no pertenece al conjunto A. componentes, asociados a todos los elementos de B como segundos elementos. Sean: Sean: A = { vocales } A = { a, b } = { el alfabeto } M = { m, n, p } A.M (a, m) A M (a, n) a m (a, p) . = A’ A b n (b, m) p (b, n) (b, p) A . M = { (a, m), (a, n), (a, p), A’ = - A = { las consonantes } (b, m), (b, n), (b, p)} Se lee: “A’ es el complemento de A”. Simbólicamente:5) DIFERENCIA SIMÉTRICA A . M = {(x, y)/x ∈ A ∧ y ∈ M} Es el conjunto formado por la parte no común de Nota: A . M ≠ M . A (no es conmutativo) dos conjuntos. A = { 2; 4; 6; 8; 10 } RELACIONES DEFINICIÓN B = { 2; 4; 5; 7; 9 } Relación es un subconjunto de pares ordenados de dos conjuntos A y B que obedecen a una proposición A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) establecida. - 23 -
  24. 24. Ejemplo: RANGO Sean los conjuntos: Es el conjunto formado por los segundos compo- nentes de los pares ordenados que forman la A = { a, b } relación ℜ. M = { m, n, p} Se denota: Ran (ℜ) Se denota: a ℜ m ó (a, m) ∈ ℜ En el ejemplo anterior: y se lee: Ran (ℜ) = { 3; 4} “ a está relacionada con m por ℜ”. TIPOS DE RELACIONES EN UN CONJUNTO Simbólicamente: 1) REFLEXIVA ℜ es una relación de A en M ⇔ R ⊂ A . M Cuando todos los elementos de un conjunto A están relacionados consigo mismos a través de ℜ. y se lee: ℜ es reflexiva ⇔ (a, a) ∈ ∀ ℜ a ∈ A “ℜ es una relación de A en M, si y solamente si la relación ℜ es un subconjunto de A . M”. Ejemplo: A = { a, b, c} Ejemplo: A = { 2; 4; 6; 8; 10 } Relación Reflexiva: B = { 1; 2; 3; 4 } ℜ = {(a, a); (b, b); (c, c)} Sea la propiedad: x ∈ A ∧ y ∈ B 2) SIMÉTRICA Que obedezca a la proposición P(x): x < y Cuando cada uno de los elementos de un conjunto A entonces: está relacionado con otro del mismo conjunto y éste a su vez está relacionado con el primero. 2ℜ3 ℜ es simétrica ⇔ (a, b) ∈ ℜ ⇒ (b, a) ∈ ℜ 2ℜ4 Sólo se puede escribir estas dos relaciones porque Ejemplo: son las únicas que cumplen que x < y, que es la A = {a, b, c} proposición P(x) que los relaciona. Relación simétrica:DOMINIO Y RANGO ℜ = {(a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (b, c); (c, b)}DOMINIO 3) TRANSITIVAEs el conjunto formado por los primeros compo-nentes de los pares ordenados que forman la Cuando un elemento de un conjunto A está rela-relación ℜ. cionado con otro elemento del mismo conjunto y esté a su vez está relacionado con uno tercero del Se denota: Dom (ℜ) mismo conjunto; entonces, el primero está rela- cionado con el tercero a través de la relación R. En el ejemplo anterior: ℜ es transitiva ⇔ (a, b) ∈ ℜ ∧ (b, c) ∈ ℜ Dom (ℜ) = {2} ⇒ (a, c) ∈ ℜ - 24 -
  25. 25. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O Ejemplo: En general una función de denota así: A = { a, b, c } f (x) = y Relación Transitiva: Donde “x” es un elemento de A, e “y” es un ele- ℜ = {(a, b); (b, c); (a, c)} mento de B.RELACIÓN DE EQUIVALENCIALa relación ℜ de A en A es una relación de EQUIVA- x∈A x y y ∈ B ≡ f(x) ∈ BLENCIA, cuando esta relación es reflexiva, simétricay transitiva a la vez.FUNCIONES DOMINIO Y RANGODEFINICIÓN DOMINIOUna función de A en B es una relación de par orde- Es el conjunto de todas las PRIMERAS componentesnado que asocia a TODO ELEMENTO del conjunto del par ordenado que pertenecen a una función “f”.A con UN SOLO ELEMENTO del conjunto B. RANGO Se denota: f : A ⇒ B Es el conjunto de todas las SEGUNDAS compo- Ejemplos: nentes del par ordenado que pertenecen a una función “f”. i) A B ii) A B f g Ejemplo: .a .a Sea: f = {(1, a), (2, b), (3, c)} 1. 1. .b .b Dom (f) = {1; 2; 3} 2. 2. .c .c Ran (f) = { a, b, c} 3. 3. .d .d SISTEMAS DE NUMERACIÓN f es una función g es una función NUMERACIÓN y se denota y se denota DEFINICIÓN f = {(1,a), (2,b), (3,c)} g = {(1,a), (2,a), (3,b)} Es la parte de la Aritmética que estudia las leyes, arti- iii) h iv) j ficios y convencionalismos utilizados para expresar .a .a (hablar) y representar (escribir) a los números en 1. 1. forma sistemática y lo más simple posible. .b .b 2. 2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN .c .c Se refiere a los conjuntos de reglas, leyes, artificios y 3. 3. convenios que permiten formar, expresar y represen- .d .d tar todos los números. h No es una función j NO es una función BASE DE UN SISTEMA porque No cumple: porque No cumple: “a todo elemento de “a TODO elemento de A Es aquel número que indica la cantidad de unidades A le corresponde UN de un orden cualquiera que se requiere para formar SOLO elemento de B” una unidad de un orden inmediato superior. Así, - 25 -

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