SlideShare a Scribd company logo
1 of 35
Download to read offline
KISM˙I D˙IFERANS˙IYEL
DENKLEMLER
DERS NOTLARI
Faruk G¨ung¨or
Do˘gu¸s ¨Universitesi
Matematik B¨ol¨um¨u
˙I¸cindekiler
1 Giri¸s 3
1.1 Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Birinci Mertebe denklemler 11
2.1 Lineer denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Kuazilineeer denklemler ve Lagrange Y¨ontemi . . 29
1
2 ˙I¸cindekiler
B¨ol¨um 1
Giri¸s
1.1 Genel Bilgiler
u = u(x), x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
de˘gi¸skenlerinin skaler bir fonksi-
yonu olsun. Kısmi diferansiyel denklem (KDD), ba˘gımsız de˘gi¸skenlerin,
fonksiyonun ve sonlu sayıda t¨urevlerin
F(x, u, ux1 , . . . , uxn , ux1x1 , ux1x2 , . . .) = 0
bi¸ciminde bir ba˘gıntıdır. Burada, F de˘gi¸skenlerinin bilinen bir fonksiyo-
nudur ve kısmi t¨urevleri g¨ostermek i¸cin alt indis notasyonu kullanılmı¸stır.
¨Orne˘gin,
∂u
∂x1
= ux1,
∂2
u
∂x2
1
= ux1x1 ,
∂2
u
∂x1x2
= ux1x2 . . .
¨Ozel olarak, iki de˘gi¸skenli bir fonksiyon i¸cin n = 2 ve (x, y) ∈ R2
dir
ve kısmi diferansiyel denklem ¸su bi¸cimde yazılabilir:
F(x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy, uxxx, uxxy, . . . ) = 0.
Denklemin en y¨uksek kısmi t¨urevinin mertebesine denklemin mer-
tebesi denir. E˘ger F fonksiyonu u de˘gi¸skenine ve bunun b¨ut¨un kısmi
t¨urevlerine g¨ore lineer ise denkleme lineerdir denir. F en y¨uksek mer-
tebeden t¨urevlere g¨ore lineer, ancak katsayıları ba˘gımsız de˘gi¸skenlerin,
u’nun ve d¨u¸s¨uk mertebe t¨urevlerin fonksiyonları iseler, denklem ”kuazi-
lineer” olarak adlandırılır. B¨ut¨un t¨urevlere g¨ore lineer, katsayıları yal-
nızca ba˘gımsız de˘gi¸skenlere ba˘glı olan bir denkleme de yarı lineer denir.
3
4 B¨ol¨um 1. Giri¸s
F’nin en y¨uksek t¨urevlerinden en az birisi lineer de˘gilse, o zaman denk-
leme ”lineer olmayan” denklem diyece˘giz. Lineer bir denklem i¸cin
u = 0 sıfır ¸c¨oz¨um¨u bir ¸c¨oz¨um ise, buna ”homojen” denklem, de˘gilse
”homojen olmayan” denklemdir denir. Homojen denklemin ¸c¨oz¨um¨u
bir sabitle ¸carpıldı˘gında yine ¸c¨oz¨um olur.
˙Iki de˘gi¸skenli en genel 2. mertebe homojen lineer bir KDD
a(x, y)uxx+b(x, y)uxy+c(x, y)uyy+d(x, y)ux+e(x, y)uy+f(x, y)u = g(x, y)
bi¸ciminde yazılabilir. g = 0 ise denklem homojen olur. a = b = c = 0 ise
1. mertebe genel lineer denklemi elde ederiz. Sonraki b¨ol¨umlerde lineer
denklemleri incelerken operat¨or yakla¸sımını kullanaca˘gız. Bunun i¸cin
∂x =
∂
∂x
, ∂y =
∂
∂y
, ∂2
x =
∂2
∂x2
, ∂x∂y =
∂2
∂x∂y
, ∂2
y =
∂2
∂y2
kısmi t¨urev operat¨orlerini tanımlayarak kısmi t¨urevleri bunlarla ifade
edece˘giz:
ux = ∂xu, uy = ∂yu, uxx = ∂2
xu, uxy = ∂x∂yu, uyy = ∂2
yu.
Genel lineer denklemi bir L operat¨or¨u ile
Lu = (a∂2
x + b∂x∂y + c∂2
y + d∂x + e∂y + f)u = g
bi¸ciminde ifade edebiliriz. Y¨uksek mertebeden lineer denklemler de ben-
zer bi¸cimde ifade edilebilir.
˙Iki de˘gi¸skenli bir u fonksiyonu i¸cin 2. mertebe genel kısmi denklemleri
operat¨or sembol¨u ile ifade edelim:
F(x, y, u, ∂xu, ∂yu, ∂2
x, ∂x∂yu, ∂2
yu) = 0.
¨Ornek 1.
2ux + 3uy = xy, birinci mertebe lineer homojen olmayan
ux + 2uy = u2
, birinci mertebe kuazilineer
ux
2
+ uy
2
= f(x, y), birinci mertebe lineer olmayan
uxx + uyy = 0, ikinci mertebe lineer homojen
ut − uxx = xt, ikinci mertebe lineer homojen olmayan
uxxuyy − u2
xy = f(x, y), ikinci mertebe lineer olmayan
1.1. Genel Bilgiler 5
Tanım 1. u’nun ba˘gımsız de˘gi¸skenlerinin bir D ⊂ Rn
altk¨umesine kısıt-
landı˘gını varsayalım, yani u : D → R olsun. m. mertebe bir kısmi di-
feransiyel denklemin D b¨olgesi ¨uzerindeki bir ¸c¨oz¨um¨u, diferansiyel denk-
lemi D’nin b¨ut¨un i¸c noktalarında sa˘glayan Cm
sınıfından (m. t¨urevleri
var ve s¨urekli) bir fonksiyondur.
u = u(x, y, z) i¸cin uxy = 0 denkelmini d¨u¸s¨unelim. Denklemi bir kez y-
de˘gi¸skenine g¨ore integre edildi˘ginde integrasyon sabiti di˘ger de˘gi¸skenlere
ba˘glı olacaktır, yani ux = F(x, z). x’e g¨ore di˘ger bir integrasyon ile u =
f(x, z) + g(y, z) ¸c¨oz¨um¨un¨u buluruz. Burada f, F’nin ters t¨urevini (in-
tegralini) g¨ostermektedir. Ba˘gımsız iki keyfi fonksiyona ba˘glı bu ¸c¨oz¨um
genel ¸c¨oz¨umd¨ur. Sıradan denklemlerin tersine, genel ¸c¨oz¨um keyfi sabitler
yerine keyfi fonksiyonlar i¸cerir. Genel olarak, n ba˘gımsız de˘gi¸skenli m.
mertebe bir denklemin genel ¸c¨oz¨um¨u, n−1 de˘gi¸skenli m tane fonksiyonla
ifade edilir. Fakat bunun herzaman b¨oyle olması gerekmez. ¨Orne˘gin,
u ∈ C1
fonksiyonu u2
x + u2
y = 0 denklemini sa˘glayan bir fonksiyon
ux = 0, uy = 0 olmasını gerektirir. Birinciden elde edilen u = A(y),
ikincide yazılırsa A (y) = 0 ¸cıkar. u(x, y) = c = sabit olmalıdır. Yani,
genel ¸c¨oz¨um keyfi fonksiyon i¸cermez.
Buna ra˘gmen, KDD i¸cin a¸sa˘gıdaki ”genel ¸c¨oz¨um” tanımını benim-
seyece˘gız.
Tanım 2. m. mertebe bir KDD’in genel ¸c¨oz¨um¨u m tane Cm
sınıfından
keyfi fonksiyon i¸ceren bir ¸c¨oz¨umd¨ur ve bu fonksiyonların hi¸c biri genel
¸c¨oz¨um¨u kaybetmeden yok edilemez veya birle¸stirilemez. Di˘ger bir deyi¸sle,
keyfi fonksiyonların sayısını bunlardan birini yeni iki keyfi fonksiyonun
herhangi bir birle¸simi olarak de˘gi¸stirerek artıramayız.
¨Ornek 2.
yux − 2yuy + u = 0
lineer denklemini d¨u¸s¨unelim. Keyfi bir f ∈ C1
fonksiyonu i¸cin ¸c¨oz¨um¨un
u =
√
yf(2x + y) oldu˘gunu g¨osterin.
C¸ ¨oz¨um. Zincir kuralı ile ux = 2y1/2
f ve uy = 1/2y−1/2
f + y−1/2
f
t¨urevleri hesaplanırsa
yux − 2yuy = −y1/2
f = −u
oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Bu ¸c¨oz¨um¨un genel ¸c¨oz¨um oldu˘gu 2. b¨ol¨um¨un sonu¸cları
kullanılarak g¨osterilebilir.
6 B¨ol¨um 1. Giri¸s
Tersine, keyfi bir fonksiyona ba˘glı verilen bir fonksiyonu genel ¸c¨oz¨um
kabul eden KDD’i t¨uretme ve yok etme yoluyla bulabilirz.
¨Ornek 3. u = xf(xy)+y2
fonksiyonu hangi denklemin genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur.
C¸ ¨oz¨um. Fonksiyon yalnızca bir keyfi fonksiyon i¸cerdi˘ginden sa˘glanması
gereken denklemin 1. mertebe olması beklenir.
ux = f(xy) + xyf (xy), uy = x2
f (xy) + 2y
kısmi t¨urevlerinden f t¨urevi yok edilirse
xux − yuy = xf − 2y2
= u − 3y2
lineer denklemi bulunur. Yukarıda f fonksiyonunu yok etmek i¸cin ¸c¨oz¨um¨u
kullandık.
NOT. ˙Ikinci b¨ol¨umde, 1. mertebe de˘gi¸sken katsayılı yine lineer
a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = d(x, y)
denkleminin uygun bir de˘gi¸sken d¨on¨u¸s¨um¨u ile herzaman 1. mertebe
sıradan bir denkleme indirgenebilece˘gini g¨osterece˘giz.
Genel ¸c¨oz¨umden keyfi fonksiyonun ¨ozel bir se¸cimi i¸cin elde edilen bir
¸c¨oz¨ume ¨ozel ¸c¨oz¨um denir. Uygulamlarda, do˘gal olarak diferansiyel denk-
leme ek olarak yan ko¸sullar (ba¸slangı¸c ve sınır ko¸sulları) eklenir. B¨oyle
kısıtlamalar altında b¨ut¨un ¸c¨oz¨umler ¨ozel ¸c¨oz¨um olarak elde edilecektir.
¨Ornek 4. Yukarıdaki denklemin u(x, 1) = 4x2
ko¸sulunu sa˘glayan ¨ozel
¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. Ko¸suldan u(x, 1) = 4x2
= f(2x + 1) sa˘glanmalıdır. Bu fonk-
siyonel ba˘gıntıdan f fonksiyonunu belirlemek i¸cin r = 2x + 1 alıp, x’i r
de˘gi¸skenine g¨ore ¸c¨ozd¨ukten sonra bu ko¸sulda yazalım. f(r) = (r − 1)2
olmalıdır. O halde aranan ¨ozel ¸c¨oz¨um, genel ¸c¨oz¨umde fnin bu de˘gerini
yazarak u =
√
y(2x + y − 1)2
olarak bulunur.
Genel ¸c¨oz¨umden keyfi fonksiyonu de˘gi¸stireek elde edilemeyen ¸c¨oz¨um-
lere ”tekil ¸c¨oz¨um” denir.
1.1. Genel Bilgiler 7
¨Ornek 5. Lineer olmayan
u =
1
2
u2
x + 2xux + x2
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨un
u = u(x, y) =
1
2
[(f(y))2
− x2
] + xf(y), f ∈ C1
oldu˘gunu g¨osteriniz. Denklemin, f(y) fonksiyonunun hi¸c bir se¸cimi ile
elde edilemeyen bir ¸c¨oz¨um¨u (u = −x2
) daha vardır. Bu tekil ¸c¨oz¨umd¨ur.
Elemanter ¸c¨oz¨um y¨ontemleri
Daha ¨once kısmi diferansiyel denklemlerin genel ¸c¨oz¨umlerinin do˘grudan
integrasyon ile nasıl ¸c¨oz¨ulebildi˘gini tartı¸stık. Denklemde bilinmeyen u
fonksiyonu varsa bunu yapamayız. Yine de, e˘ger KDD yalnızca ba˘gımsız
de˘gi¸skenlerinden birine g¨ore kısmi t¨urevleri i¸ceriyorsa, b¨oyle bir denkleme
sıradan (tek de˘gi¸skenli) diferansiyel denklemler gibi bakılabilir. ˙Integras-
yon sırasında di˘ger de˘gi¸skenleri sabit tutaca˘gımızdan integrasyon sabit-
lerini, bu de˘gi¸skenlerin keyfi fonksiyonları ile yerde˘gi¸stirmeliyiz.
¨Ornek 6.
uxx − y2
u = xy2
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. KDD yalnızca x de˘gi¸skenine g¨ore t¨ureve lineer olarak ba˘glı
oldu˘gundan sıradan bir denklem olarak ¸c¨ozebiliriz. ¨Once homojen denk-
lemi ¸c¨ozelim. Karakteristik denklem λ2
− y2
= 0 dir. O halde homojen
¸c¨oz¨um
uh = C1(y)exy
+ C2(y)e−xy
dir. ˙Integrasyon sabitleri yerine y’nin keyfi fonksiyonları alınmı¸stır. ¨Ozel
¸c¨oz¨um¨u ise up = −x dir. Genel ¸c¨oz¨um u = uh + up olarak elde edilir.
¨Ornek 7.
uxy + 2uy = 4y
KDDnin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
8 B¨ol¨um 1. Giri¸s
C¸ ¨oz¨um. Denklemi ∂y(ux + 2u) = 4y yazıp y’e g¨ore integre edersek
ux + 2u = 2y2
+ F(x)
sıradan denklemini elde ederiz (y sabit tutuluyor). Bu denklemi µ = e2x
¸carpanı ile ¸carparak
∂x(e2x
u) = e2x
(2y2
+ F(x))
tam denklemini ve integre ederek
u = y2
+ f(x) + e−2x
g(y) (1.1)
genel ¸c¨oz¨um¨un¨u buluruz. f(x) yeni bir keyfi fonksiyon (e2x
F(x) fonksiyo-
nunun integrali) olarak tanımlanmı¸stır. Bu ¸c¨oz¨umde y2
nin ¨ozel ¸c¨oz¨ume,
di˘ger iki terimin toplamının da homojen ¸c¨oz¨ume kar¸sı geldi˘gine dikkat
ediniz. ¨Ozel ¸c¨oz¨um keyfi fonksiyonların sıfır se¸cimi ile elde edilir. Keyfi
fonksiyonların di˘ger se¸cimleri i¸cin farklı ¨ozel ¸c¨oz¨umler ¸cıkarılabilir. ¨Or-
ne˘gin,
f(x) = e−2x
, g(y) = y
se¸cilirse ¨ozel ¸c¨oz¨um
up = y2
+ e−2x
(y + 1)
olur. Buna kar¸sılık genel ¸c¨oz¨um
u = y2
+ e−2x
(y + 1) + F(x) + e−2x
G(y) (1.2)
dir. (1.1) ve (1.2) genel ¸c¨oz¨umleri g¨or¨un¨u¸ste farklı oldu˘gu halde birbirine
denk iki ¸c¨oz¨umd¨ur.
NOT. Genel olarak
a(x, y)uxy + b(x, y)ux = c(x, y)
veya
a(x, y)uxy + b(x, y)uy = c(x, y)
denklemleri v = ux ve v = uy d¨on¨u¸s¨umleri ile 1. mertebe lineer denk-
lemlere indirgenebilir.
1.1. Genel Bilgiler 9
¨Ornek 8. Sabit katsayılı
auxx + 2buxy + cuyy = 0
denkleminin katsayıları b2
− ac > 0 ko¸sulunu sa˘glasın. Denklemin u =
F(rx + sy) bi¸ciminde genel ¸c¨oz¨um¨un¨u (keyfi F i¸cin) arayınız.
C¸ ¨oz¨um. ¨Onerilen ¸c¨oz¨um denklemi sa˘glarsa, F (ar2
+ 2brs + cs2
) = 0
olmalıdır. Her F i¸cin ¸c¨oz¨um olabilmesi i¸cin r ve s, ar2
+ 2brs + cs2
= 0
denklemini sa˘glaması gerekir. r veya s den birini sabit tutup di˘gerini
k¨okleri reel olan 2. derece bir denklemin iki k¨ok¨u olarak bulabiliriz.
r = 1 i¸cin, di˘ger k¨okler s1 ve s2 ile g¨osterilirse genel ¸c¨oz¨um
u = f(x + s1y) + g(x + s2y)
bi¸ciminde elde edilmi¸s olur.
NOT. Sabit katsayılı lineer denklemlerin ¸c¨oz¨um¨u y¨onteminden esinle-
nerek u = erx+sy
bi¸ciminde ¸c¨oz¨um aranırsa r, s sabitlerinin yine aynı
2. derece denklemi sa˘glaması gerekti˘gini g¨or¨un¨uz. Bu durumda genel
¸c¨oz¨um¨u kaybetmi¸s oluruz ve ¨ozel ¸c¨oz¨um¨un¨u elde ederiz..
Alı¸stırmalar 2.1
1. A¸sa˘gıdaki denklemleri sınıflandırınız.
a) ux + uy + sin u = 0
b) u2
xx + u2
yy = 0
c) ux + eu
uy = y2
d) x2
uxx − y2
uyy − ux + uy = xy
2. A¸sa˘gıdaki denklemlerin do˘grudan do˘gruya integrasyonu ile genel
¸c¨oz¨umlerini elde ediniz.
a) uxyz = 0, u = u(x, y, z)
b) uxy = x2
− y2
, u = u(x, y)
10 B¨ol¨um 1. Giri¸s
c) uxyy = sin(x − y), u = u(x, y)
d) uyy = ex
, u = u(x, y)
3. A¸sa˘gıdaki denklemleri sıradan diferansiyel denklem olarak ¸c¨oz¨un¨uz.
a) xux − u = 1
b) uyy + 4u = 0
c) yuxy + 2ux = x
4.
uxx − 3uxy + 2uyy = 0
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u yazınız.
5. A¸sa˘gıdaki fonksiyonları ¸c¨oz¨um kabul eden KDD leri ¸cıkarınız.
a) u = f(x2
+ y2
)
b) u = xk
f(y/x)
c) u = f(x + y) + g(x − y)
B¨ol¨um 2
Birinci Mertebe denklemler
2.1 Lineer denklemler
a, b, c katsayıları s¨urekli olan
a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f(x, y), u = u(x, y) (2.1)
lineer denklemini d¨u¸s¨unelim. a = 0 veya b = 0 oldu˘gunda bu denk-
lemi sıradan bir denklem gibi integre edebilece˘gimizi g¨ord¨uk. S¸imdi,
a2
+ b2
> 0 oldu˘gunu varsayaca˘gız. Bu durumda, tersi alınabilir bir
koordinat d¨on¨u¸s¨um¨u ile denklemdeki t¨urevlerden birinin katsayısını sıfır
yapan bir d¨on¨u¸s¨um aramayı deneyelim. Koordinat d¨on¨u¸s¨um¨u ve tersi
ξ = ξ(x, y)
η = η(x, y)
x = x(ξ, η)
y = y(ξ, η)
J(x, y) =
∂(ξ, η)
∂(x, y)
= 0 (2.2)
olsun. D¨on¨u¸sm¨u¸s ba˘gımlı de˘gi¸skeni
w(ξ, η) = u(x, y) ≡ u(ξ(x, y), η(x, y))
ile g¨osterelim. Zincir kuralı ile
ux = uξξx + uηηx, uy = uξξy + uηηy
t¨urevlerini denklemde yazıp d¨uzenlersek yine aynı bi¸cimde fakat kat-
sayıları de˘gi¸smi¸s
A(ξ, η)wξ + B(ξ, η)wη + C(ξ, η)w = F(ξ, η)
11
12 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
denklemini buluruz. Yeni A, B katsayıları
A = aξx + bξy, B = aηx + bηy
olur. C, F katsayıları ise c, f katsayılarının yeni koordinatlarla ifade
edilmi¸s bi¸cimidir. S¸imdi, A veya B katsayısını sıfır yapan bir ξ veya
η fonksiyonu arıyoruz.
Tanım 3. ¨Uzerindeki her noktada te˘geti V = (a, b) vekt¨or alanı ile
¸cakı¸san bir d¨uzlem e˘griye kısmi denklemin bir karakteristik e˘grisi denir.
Karakteristik e˘griler
y =
b(x, y)
a(x, y)
, a = 0 (2.3)
denkleminin (karakterisitik denklem) bir parametreli
φ(x, y) = c = sabit
bi¸ciminde ¸c¨oz¨umleri (denklem genel olarak analitik ¸c¨oz¨ulemez!) olarak
bulunur. Karakteristiklerin grafi˘gi (x, y(x, c)) noktalar k¨umesi ile verilir.
ξ = φ(x, y) olarak se¸cilirse karakteristikler boyunca A = 0 olur. O
halde uygun bir d¨on¨u¸s¨um
ξ = φ(x, y), η = η(x, y)
olabilir. Burada, η, J = 0 ko¸sulu ile tamamen keyfi se¸cilebilir. B¨oylece,
(2.2) KDDini
B(ξ, η)wη + C(ξ, η)w = F(ξ, η)
bi¸ciminde sıradan bir denkleme indirgemi¸s oluruz. Bu denklemin ¸c¨oz¨um¨u
(ξ de˘gi¸skenini sabit tutarak integre ediyoruz) α1 ve α2 belirli fonsiyonları
ile
w = f(ξ)α1(ξ, η) + α2(ξ, η)
olur. Ters d¨on¨u¸s¨um ile (x, y) koordinatlarına d¨onerek ¸c¨oz¨um¨un
u(x, y) = β1(x, y)f(ξ(x, y)) + β2(x, y)
bi¸ciminde ifadesini elde ederiz.
2.1. Lineer denklemler 13
NOT. E˘ger c = f = 0 ise denklem aux + buy = 0 olur. Bu ise u’nun
V = (a, b) vekt¨or¨u boyunca t¨urevinin sıfır oldu˘gunu s¨oyler. Yani genel
¸c¨oz¨um φ(x, y) = c karakteristik e˘grileri ¨uzerinde sabit kalır. Genel ¸c¨oz¨um,
keyfi f ∈ C1
fonksiyonu i¸cin u = f(φ(x, y)) olur.
c veya f sıfır de˘gilse, ¸c¨oz¨um karakteristikler ¨uzerinde sabit kalmaz ve
u’nun V y¨on¨undeki t¨urevi, η y¨on¨undeki t¨urevi ile orantılı olur.
¨Ornek 9.
yux + xuy − u = (x + y)2
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. y = b/a = x/y karakteristik denklemini xdx−ydy = 0 yazarak
de˘gi¸skenlere ayırıp integre edersek x2
− y2
= c buluruz. D¨on¨u¸s¨um¨u
ξ = x2
− y2
, η = x + y
se¸celim. η’nın se¸ciminde denklemin sa˘g yanındaki terimi dikkate aldık.
ux = 2xwξ + wη, uy = −2ywξ + wη
t¨urevleri denklemde konursa
ηwη − w = η2
sıradan denklemi bulunur. denklemi η2
ile b¨ol¨up integre edelim
∂
∂η
w
η
= 1 ⇒ w = η2
+ ηf(ξ).
(x, y) de˘gi¸skenleri ile ¸c¨oz¨um
u = (x + y)2
+ (x + y)f(x2
− y2
)
olur.
Cauchy ba¸slangı¸c de˘ger problemi
D¨uzlemde bir γ = {(x, y) : y = y0(x)} ⊂ R2
e˘grisi verilsin. (2.1) denk-
leminin bu e˘gri ¨uzerinde verilen u|γ = u0(x) de˘gerlerini alan ¸c¨oz¨um¨un¨un
bulunması problemi bir ba¸slangı¸c de˘ger (veya Cauchy) problemidir. u0(x)
14 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
fonksiyonuna Cauchy veya ba¸slangı¸c-de˘ger datası (verisi) denir. S¸imdi
bu problemin ¸c¨oz¨ulebilirli˘gini inceleyelim. Aranan problemin ¸c¨oz¨um¨u
S : u = ϕ(x, y) y¨uzeyi ile verilsin. Ba¸slangı¸c ko¸sul geometrik olarak,
Γ = γ ×{u0(x)} ⊂ R3
uzay e˘grisinin u = ϕ(x, y) y¨uzeyi ¨uzerinde kalması
demektir. γ ba¸slangı¸c e˘grisi Γ e˘grisinin u = 0 xy-d¨uzlemine izd¨u¸s¨um¨ud¨ur.
Cauchy problemi, Γ e˘grisini i¸ceren y¨uzeyin bulunmasına denk olur.
ux ve uy kısmi t¨urevlerinin γ ¨uzerindeki ux|γ, uy|γ de˘gerlerini belir-
lemeye ¸calı¸salım. Bunun i¸cin verilen KDD ile Ba¸slangı¸c ko¸sulu γ e˘grisi
boyunca t¨uretilirse
d
dx
u|γ =
d
dx
u(x, y0(x)) = ux|γ + uy|γ.y0(x) = u0(x)
bulunur. Verilen denklemin γ ¨uzerinde de˘gerlendirilmesinden
a(γ)ux|γ + b(γ)uy|γ + c(γ)u|γ = f(γ)
ba˘gıntısı yazılabilir. Bu iki ba˘gıntıdan ux|γ ve uy|γ de˘gerlerinin tek olarak
belirlenebilmesi i¸cin
∆ =
a(γ) b(γ)
1 y0(x)
= 0
determinant ko¸sulunun sa˘glanması gerekir. Bu ko¸sul
y0(x) =
b(x, y0(x))
a(x, y0(x))
(2.4)
olarak yazıldı˘gında, geometrik olarak γ ba¸slangı¸c e˘grisinin hi¸c bir yerde
karakteristiklere te˘get olmaması gerekti˘gini ifade eder. Cauchy problemi-
nin ¸c¨oz¨ulebilmesi i¸cin ba¸slangı¸c e˘grisi karakteristik e˘grilerle ¸cakı¸smaması
gerekir. (2.4) ko¸suluna karakteristik olmama ko¸sulu denir.
E˘ger γ karakteristik bir e˘gri ise Cauchy probleminin ¸c¨oz¨um¨un¨un olup
olmadı˘gını merak ediyor olabilirsiniz. Bu durumda, u0(x) ba¸slangı¸c datası
keyfi olarak verilemez. u0(x)’in ancak ¨ozel se¸cimi i¸cin ¸c¨oz¨um m¨umk¨un
olabilir. u0(x), Γ e˘grisi karakteristik ailenin bir ¨uyesi olacak se¸cilirse
¸c¨oz¨um vardır ancak tek olamaz. Problemin sonsuz ¸c¨oz¨um¨u vardır.
S¸imdi bu tartı¸stıklarımızı ¨orneklerle a¸cıklayalım.
¨Ornek 10. Bir ¨onceki ¨ornekteki denklemin y = 0 do˘grusu ¨uzerinde u =
2x2
de˘gerlerini alan ¸c¨oz¨um¨un¨u belirleyiniz.
2.1. Lineer denklemler 15
C¸ ¨oz¨um. γ = {(x, y) : y = 0} e˘grisi (x-ekseni) bir karakteristik ol-
madı˘gından yalnızca bir ¸c¨oz¨um vardır. Verilen ko¸sullardan
u(x, 0) = u0(x) = 2x2
= x2
+ xf(x2
)
veya f(x2
) = x ba˘gıntısı elde edilir. f(x) =
√
x olmalıdır. Sonu¸c olarak
¨ozel ¸c¨oz¨um
u = (x + y)2
+ (x + y) x2 − y2
dir.
¨Ornek 11. Aynı KDD’in u|x=y = u0(x) yan ko¸sulunu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨un¨u
irdeleyiniz.
C¸ ¨oz¨um. C¸¨oz¨ulebilirlik (sonsuz sayıda ¸c¨oz¨um) i¸cin
u0(x) = 4x2
+ 2f(0)x
ba¸slangı¸c ko¸sulundan belirli bir K sabiti i¸cin Cauchy datasının
u0(x) = 2Kx + 4x2
olarak se¸cilmesi gerekir. Di˘ger bir deyi¸sle u0’ın bir karakteristik ¨uzerindeki
de˘geri verilmelidir. K = f(0) ko¸sulunu sa˘glayan b¨ut¨un f keyfi fonksi-
yonları denklemin ¸c¨oz¨umlerini ¨uretecektir. ¨Orne˘gin, u0(x) = 4x2
ise,
f(0) = 0 sa˘glayan fonksiyonlardan bir ka¸cı f1(x) = sin x, f2(x) = x,
f3(x) = 1 − ex
alınabilir. Bunlara kar¸sı gelen ¸c¨oz¨umler
u1(x, y) = (x + y)2
+ (x + y) sin(x2
− y2
),
u2(x, y) = (x + y)2
+ (x + y)(x2
− y2
),
u3(x, y) = (x + y)2
+ (x + y)[1 − exp (x2
− y2
)].
¨Onceki ¨ornekte se¸cilen u0(x) = 2x2
i¸cin hi¸c bir ¸c¨oz¨um olmadı˘gı a¸cıktır.
¨Ornek 12.
a(x, y)ux + b(x, y)by = 0
denkleminde katsayılar ax + by = a ko¸sulunu sa˘gladı˘gına g¨ore genel
¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
16 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
Karakteristik denklem
dx
a
=
dy
b
, bdx − ady = 0
bi¸ciminde yazılabilir. Bu denklemin x’e ba˘glı bir µ(x) integrasyon ¸carpanı
vardır. Ger¸cekten, verilen ko¸suldan
µ (x)
µ(x)
=
by + ax
−a
= −1,
integre edilirse µ(x) = e−x
¸carpanı bulunur. O halde, bir φ(x, y) i¸cin
dφ(x, y) = e−x
(bdx − ady) = 0
olmalıdır.
φx = be−x
, φy = −ae−x
e¸sitliklerinden integrasyonla, ¨orne˘gin birinciden ba¸slayarak
φ = be−x
dx + C(y),
ikincide kullanarak
φy = bye−x
dx + C (y) = − (ax − a)e−x
dx + C (y)
= − (ae−x
)xdx + C (y) = −ae−x
den C (y) = 0 bulunur. Yani,
φ = be−x
dx = c1
birinci integrali bulunur, genel ¸c¨oz¨um de keyfi bir F i¸cin u = F(φ) ol-
malıdır.
NOT. µ(x, y) fonksiyonu P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 denkleminin bir
integrasyonu ¸carpanı ise
(µP)y = (µQ)x
2.1. Lineer denklemler 17
tamlık ko¸sulu sa˘glanmalıdır. Bu ko¸sul a¸cık olarak yazıldı˘gında 1. mer-
tebeden lineer
Qµx − Pµy = µ(Py − Qx)
KDDinin bir ¸c¨oz¨um¨un¨u (genel ¸c¨oz¨um gereksiz) bulmaya indirgenir. Bunun
i¸cin
dx
Q
=
dy
−P
=
dµ
µ(Py − Qx)
karakteristik denklemlerinin µ fonksiyonuna ba˘glı bir integralini bulmak
yeterli olacaktır.
¨Ornek 13.
(y3
− 2x2
y)dx + (2xy2
− x3
)dy = 0
denkleminin bir integrasyon ¸carpanını bulunuz.
C¸ ¨oz¨um.
dx
2xy2 − x3
=
−dy
y3 − 2x2y
=
dµ
µ(x2 + y2)
denklemlerinden ilk ikisinden elde edilebilecek integre edilebilen bir oran
sonuncuya e¸sitlenirse
ydx + xdy
xy(x2 + y2)
=
dµ
µ(x2 + y2)
veya
d(xy)
xy
=
dµ
µ
ve integre edilirse µ1(x, y) = xy (integrasyon sabitine gerek yok) ¸carpanı
bulunur. Di˘ger ba˘gımsız bir ¸carpan
xdx − ydy
x4 − y4
= −
dµ
µ(x2 + y2)
⇒
d(x2
− y2
)
x2 − y2
+ 2
dµ
µ
tam denkleminden
µ2(x, y) = (x2
− y2
)−1/2
olarak bulunur. Genel ¸c¨oz¨um denklemi integre etmeden Euler teoremini
kullanarak yazılabilir:
µ1
µ2
= sabit ⇒ x2
y2
(x2
− y2
) = C.
18 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
Parametrik bi¸cimde ¸c¨oz¨umler
Cauchy probleminin ba¸slangı¸c ko¸sulunun parametrik olarak verildi˘gini
varsayalım ve a¸sa˘gıdaki problemi d¨u¸s¨unelim:
(I)
aux + buy + cu = f,
u|γ = u0(s), γ = (x0(s), y0(s)).
(2.5)
(2.3) karakteristik denklemini t ile parametreleyip
dx
a
=
dy
b
= dt (2.6)
bi¸ciminde yazabiliriz. Karakteristik denklemi a¸sa˘gıdaki denklem sistemi
olarak yazalım:
dx
dt
= ˙x(t) = a(x(t), y(t)),
dy
dt
= ˙y(t) = a(x(t), y(t)). (2.7)
Bu sistemin en azından bir t = 0 kom¸sulu˘gunda ¸c¨oz¨um¨u vardır. Karak-
teristik e˘grileri verecek olan bu e˘grileri (V = (a, b) vekt¨or alanının integ-
ral e˘grileri)
χ0 = (x(t), y(t)) (2.8)
ile g¨osterelim. Parametrik ba¸slangı¸c ko¸sulu u(x0(s), y0(s)) = u0(s) yazıla-
bilir. S¸imdi u ¸c¨oz¨um (integral) y¨uzeyinin χ0 = (x(t), y(t)) karakteristik
e˘grileri boyunca u(t) = u(x(t), y(t)) de˘gerinin t de˘gi¸skenine g¨ore (zaman)
de˘gi¸simine bakalım:
d
dt
u(x(t), y(t)) = ˙u(t) = ux(χ0) ˙x(t) + uy(χ0) ˙y(t) = aux + buy.
Yukarıda karakteristik denklemleri kullandık. Ayrıca KDDden
˙u(t) = f(x(t), y(t)) − c(x(t), y(t))u(t) (2.9)
yazılabilir. χ0 ¨uzerinde u(x, y) ¸c¨oz¨um y¨uzeyinin de˘gerleri sıradan 1. mer-
tebe lineer bir diferansiyel denklem ¸c¨oz¨ulerek u(0) de˘geri biliniyorken
belirlenebilir.
Buradan ¸cıkarılabilecek sonu¸c, (2.7) ve (2.9) sisteminin ¸c¨oz¨um¨u olan
χ = (x(t), y(t), u(t)) e˘grilerinin (xy-d¨uzlemi ¨uzerine izd¨u¸s¨um¨u (x(t), y(t))
karakteristik e˘grileri verir) integral y¨uzeyi ¨uzerinde kaldı˘gıdır. Bu ger¸ce˘ge
2.1. Lineer denklemler 19
dayanarak Γ = (x0(s), y0(s), u0(s)) uzay e˘grisinden ge¸cen karakteristik
e˘grilerin d¨uzg¨un bir birle¸simi ile y¨uzeyin iki (s, t) parametrelerine ba˘glı
¸c¨oz¨um¨un¨u parametrik olarak in¸saa edebiliriz. Bunu yapmak i¸cin, s’nin
her de˘geri i¸cin Γ’e˘grisini en ¸cok bir noktada kesen ve kesi¸sim noktasında
te˘getleri birbirine paralel olmayan χ : (x(s, t), y(s, t), u(s, t)) e˘grileri bu-
lunmalıdır. Bu e˘grileri ((2.7) ve (2.9)) sıradan denklem sisteminin
x(s, 0) = x0(s), y(s, 0) = y0(s), u(s, 0) = u0(s)
ba¸slangı¸c ko¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨umleri olarak alabiliriz. Bu ise ¸c¨oz¨um
y¨uzeyinin parametrik denklemleridir. (s, t) parametreleri de˘gi¸sirken bu
noktalar xyu-uzayının y¨uzey ¨uzerinde kalan noktalarını ¨uretecektir. C¸¨o-
z¨um¨un parametrik olmayan bi¸cimi x = x(s, t), y = y(s, t) denklemlerin-
den t ve s nin de˘gerlerini x ve y t¨ur¨unden ¸c¨ozebilmemiz gerekir. Bunun
m¨umk¨un olabilmesi i¸cin ters fonksiyon teoremine g¨ore
J(s, t) =
∂(x, y)
∂(s, t)
= xsyt − xtys = 0
olması gerekir. γ = (x0(s), y0(s)) ba¸slangı¸c e˘grisi ¨uzerinde
J|γ = J(s, 0) = x0(s)a(x(s), y(s)) − y0(s)a(x(s), y(s)) = 0
veya
x0(s)
b(s)
=
y0(s)
b(s)
ko¸sulu sa˘glanır. Bu ise, ba¸slangı¸c e˘grisinin karakteristik olmaması ko¸su-
luna denktir.
Katsayıların ve ba¸slangı¸c de˘gerlerinin s¨ureklili˘ginden yeterince k¨u¸c¨uk
t de˘gerleri i¸cin (yani, en azından γ e˘grisinin yakın bir kom¸sulu˘gunda)
J(s, t) = 0 varsayabiliriz.
Yukarıdaki ko¸sul altında ¸c¨oz¨ulebildi˘gi (en azından ilke olarak) varsa-
yılan s = S(x, y), t = T(x, y) fonksiyonları u = u(s, t) de konursa ¸c¨oz¨um¨u
(integral y¨uzeyi) a¸cık olarak u = u(T(x, y), S(x, y)) = ϕ(x, y) bi¸ciminde
bulmu¸s oluruz.
Bu yakla¸sım lineer denklemin Cauchy problemi i¸cin ”karakteristik-
ler” y¨ontemi olarak bilinir. Bu y¨onteminin olduk¸ca genel oldu˘gu kuazili-
neer ve hatta lineer olmayan denklemler i¸cin tanımlanmı¸s ba¸slangı¸c de˘ger
problemlerinin ¸c¨oz¨um¨une geni¸sletilebilece˘gini birazdan g¨orece˘giz.
20 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
¨Ornek 14.
yux + xuy − u = (x + y)2
,
u(s, 0) = 2s2
(2.10)
Cauchy problemini karakteristikler y¨ontemi ile bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. χ karakteristiklerinin denklem sistemi
˙x = y, ˙y = x, ˙u = u + (x + y)2
.
˙Ilk iki deneklem u(t) den ba˘gımsız oldu˘gundan ¨once (x(t), y(t)) e˘grilerini
buluruz. Denklem sistemini
˙x
˙y
=
0 1
1 0
x
y
bi¸ciminde sabit katsayılı lineer denklem sistemi olarak ¸c¨ozebiliriz. Di˘ger
bir yol 1. denklemi t’ye g¨ore t¨uretip ˙y t¨urevini yok ederek ¨x(t)−x(t) = 0
skaler denkleminin ¸c¨oz¨um¨unden sabit s i¸cin
x(s, t) = C1(s) cosh t + C2(s) sinh t
elde ederiz. 2. denklemi kullanarak
y(s, t) = C1(s) sinh t + C2(s) cosh t
buluruz. Karakteristiklerin ba¸slangı¸c e˘grisinden ge¸cmesi gerekti˘gi ko¸sulundan
C1 ve C2 integrasyon sabitlerini belirleyebiliriz.
x(s, 0) = x0(s) = s, y(s, 0) = 0
ko¸sullarından
C1(s) = s, C2(s) = 0
olmalıdır. χ karakteristiklerinin
(x(s, t), y(s, t)) = (s cosh t, s sinh t)
izd¨u¸s¨umlerini 3. denklemde yazarak
˙u(t) − u(t) = (x + y)2
= (x(s, t) + y(s, t))2
= s2
e2t
2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 21
buluruz ki ¸c¨oz¨um¨u (sabit s i¸cin)
u(s, t) = s2
e2t
+ C3(s)et
dir. u0(s) = u(s, 0) = 2s2
ko¸sulundan C3(s) = s2
¸cıkar. Parametrik
¸c¨oz¨um
((x(s, t), y(s, t), u(s, t)) = (s cosh t, s sinh t, s2
(et
+ e2t
))
olarak yazılabilir. (x+y)2
= s2
e2t
ve x2
−y2
= s2
oldu˘gu dikkate alınırsa
u(s, t) den (s, t) parametrelerini x, y t¨ur¨unden ifade ederek
u(x, y) = (x + y)2
+ (x + y) x2 − y2
a¸cık ¸c¨oz¨um¨un¨u bulmu¸s oluruz.
2.2 Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler
F(x, y, z) fonksiyonu i¸cin
a(x, y, z)Fx + b(x, y, z)Fy + c(x, y, z)Fz + d(x, y, z)F = h(x, y, z) (2.11)
denklemini d¨u¸s¨unelim. a, b, c, d, h, C1
sınıfından fonksiyonlardır. Denk-
lemin (x, y(x), z(x)) karakteristik e˘grileri
y (x) =
b(x, y, z)
a(x, y, z)
, z (x) =
c(x, y, z)
a(x, y, z)
, a(x, y, z) = 0 (2.12)
karakteristik denklem sisteminin ¸c¨oz¨um¨u olarak tanımlanır. Geometrik
olarak, bu uzay e˘grilerinin her noktada V = (a, b, c) vekt¨or alanınına
te˘get oldu˘gu anla¸sılır. Sistemin ¸c¨oz¨um¨u iki integrasyon sabitine (c1, c2)
ba˘glı olan genel ¸c¨oz¨um¨u y = y(x, c1, c2), z = z(x, c1, c2) bi¸cimindedir. Bu
e˘grilerin c1, c2 sabitlerine g¨ore tek olarak ¸c¨oz¨ulebildi˘gi varsayımı ile
u(x, y, z) = c1, v(x, y, z) = c2
yazılabilsin. Karakteristik e˘griler iki parametreli u = c1 ve v = c2 y¨uzey
ailelerinin arakesit e˘grileri olarak elde edilir. Karakteristikler bu fonksi-
yonlar ¨uzerinde sabit de˘gerler alır.
22 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
S¸imdi, a¸sa˘gıdaki tersinir d¨on¨u¸s¨um ile KDDin sıradan bir lineer denk-
leme d¨on¨u¸st¨u˘g¨un¨u g¨orelim
ξ = u(x, y, z), η = v(x, y, z), ζ = z.
Bu d¨on¨u¸s¨um altında yeni ba˘gımlı de˘gi¸sken G(ξ, η, ζ) = F(x, y, z) olsun.
Zincir kuralı ile
aFx + bFy + cFz = (aux + buy + cuz)Gξ + (avx + bvy + cvz)Gη + cGζ
elde edilir.
u(x, y, z) = c1 y¨uzeyi ¨uzerinde bir (x0, y0, z0) noktasından ge¸cen karak-
teristik boyunca
0 =
d
dx
u(x, y, z) = ux + uyy + uzz =
1
a
(aux + buy + cuz)
ve benzer bi¸cimde avx + bvy + cvz = 0 oldu˘gundan aFx + bFy + cFz
teriminin yeni koordinatlarda ifadesi C(ξ, η, ζ)Gζ olacaktır. ˙Ilk denklem
ise
C(ξ, η, ζ)Gζ + D(ξ, η, ζ)G = H(ξ, η, ζ)
sıradan denklemine d¨on¨u¸s¨ur. Bir ba¸ska deyi¸sle, ξ ve η sabit tutuldu˘gunda
ve ζ de˘gi¸sirken, karakteristik koordinatlar elde edilecek bi¸cimde koor-
dinatları de˘gi¸stirsek, ilk KDD ζ ba˘gımsız de˘gi¸skenine g¨ore sıradan bir
denkleme indirgenir.
Bu lineer denklemin ξ, η de˘gi¸skenleri sabit tutularak integrasyonun-
dan elde edilecek ¸c¨oz¨um
G = α(ξ, η, ζ)f(ξ, η) + β(ξ, η, ζ)
bi¸ciminde olur. Burada, α ve β belirli fonksiyonlar, f ∈ C1
keyfi in-
tegrasyon fonksiyonudur. (x, y, z) de˘gi¸skenlerine geri d¨onerek aranan
¸c¨oz¨um¨u F = α(x, y, z)f(ξ(x, y, z), η(x, y, z)) + β(x, y, z) bi¸ciminde elde
ederiz.
d = h = 0 ¨ozel durumunda Gζ = 0 denkleminin integrasyonundan
genel ¸c¨oz¨um F = f(ξ(x, y, z), η(x, y, z)) olarak yazılabilir ve karakteris-
tikler ¨uzerinde sabit de˘gerler alır.
Yukarıda verilen y¨onteminde uygulanabilirli˘ginde bazı teknik g¨u¸cl¨uk-
ler ¸cıkabilir. Bunlardan biri karakteristik sistemin genel olarak (y(x), z(x))
2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 23
¸c¨oz¨um¨un¨un bulanamayaca˘gı ger¸ce˘gidir. Bu ¸c¨oz¨um bulunsa bile ters d¨o-
n¨u¸s¨um¨u iyi tanımlı olmayabilir veya bu d¨on¨u¸s¨um¨u bulmak ¸cok g¨u¸c ola-
bilir. Yine de, ¸c¨oz¨um¨un bulunması i¸cin karakteristiklerin a¸cık ifadesin-
den ¸cok, d¨on¨u¸s¨um¨u verecek olan karakteristikler ¨uzerinde sabit kalan
y¨uzeylerin bulunması ¨onem ta¸sır. Bu ama¸cla, ¸co˘gunlukla, karakteristik
sistemi
dx
a
=
dy
b
=
dz
c
(2.13)
bi¸ciminde yazıp, sistemin bazı tekniklerle birbirinden ba˘gımsız iki (ϕ, ψ)
integralini (integral tabanı) arayaca˘gız. Bunun i¸cin rank( ϕ, ψ) = 2
ko¸sulu sa˘glanmalıdır.
Tanım 4. (2.13) sisteminin bir ¸c¨oz¨um¨u ¨uzerinde sabit kalan bir I(x, y, z)
fonksiyonuna sistemin bir ilk integrali (veya hareket sabiti) adı verilir.
˙Ilk integral tanımından
0 =
d
dx
I = I · (a, b, c) = (aIx + bIy + cIz)
elde edilir. Yani I, aux +buy +cuz = 0 homojen lineer denklemini sa˘glar.
Bu g¨ozlem, karakteristik sistemin ¸c¨oz¨umleri ile kar¸sı gelen homohen KD-
Din ¸c¨oz¨umlerinin yakından ili¸skili oldu˘gunu g¨ostermektedir.
I1 ve I2 iki ba˘gımsız ilk integral, yani I1 ve I2 vekt¨orleri paralel
de˘gilse, keyfi F C1
-fonksiyonu i¸cin F(I1, I2) fonsiyonu da bir ilk integ-
raldir. Bunun i¸cin
F = FI1 I1 + FI1 I1
ba˘gıntısından
F.(a, b, c) = FI1 I1.(a, b, c) + FI2 I2.(a, b, c) ≡ 0
oldu˘gunu g¨ormek yeterlidir. Yukarıda, I1 ve I2 fonksiyonlarının ilk integ-
raller oldu˘gu ger¸ce˘gini kullandık. Buna g¨ore, u = F(I1, I2) fonksiyonu
a(x, y, z)ux + b(x, y, z)uy + c(x, y, z)uz = 0
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨u olur.
Bir integrali bulmak i¸cin uygulanabilecek bir yol sistemdeki oran-
lara e¸sit yeni oranlara e¸sitleyerek integre edilebilen birle¸simler aramaktır.
Daha kesin bir deyi¸sle, belirli P, Q, R fonksiyonları i¸cin
Pdx + Qdy + Rdz
aP + bQ + cR
=
dx
a
=
dy
b
=
dz
c
24 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
yazılabilir (neden?). S¸imdi P1, Q1, R1, P2, Q2, R2 fonksiyonlarını ¨oyle be-
lirleyelim ki
P1dx + Q1dy + R1dz = dϕ, P2dx + Q2dy + R2dz = dψ
olsun ve bilinen µ1, µ2 sabitleri i¸cin
aP1 + bQ1 + cR1 = µ1ϕ, aP2 + bQ2 + cR2 = µ2ψ
yazılabilsin. Bu durumda
dϕ
µ1ϕ
=
dψ
µ2ψ
integre edilebilir (tam) bir denklemin integrasyonu ile birinci integral
bulunabilir.
E˘ger ¨ozel olarak aP1 + bQ1 + cR1 = 0 veya aP2 + bQ2 + cR2 = 0 ise
dϕ(x, y, z) = 0 veya dψ = 0 olur ve bir ilk integral ϕ(x, y, z) = sabit ya
da ψ(x, y, z) = sabit olarak hemen elde edilmi¸s olur.
¨Ornek 15.
Fx + Fy + Fz + F = 0
denkleminin z = 0 d¨uzlemi ¨uzerinde F(x, y, 0) = x2
+ y2
yan ko¸sulunu
sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. Denklem sabit katsayılı oldu˘gu i¸cin
dx
1
=
dy
1
=
dz
1
karakteristik denklemlerinin integrasyonu kolayca yapılabilir ve iki ba˘gımsız
integral:
u = x − z = c1, v = y − z = c2.
ξ = x − z, η = y − z, ζ = z d¨on¨u¸s¨um¨u denklemi
Gζ + G = 0
denklemine indirger. C¸¨oz¨um¨u
G = e−ζ
f(ξ, η)
2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 25
veya ilk de˘gi¸skenlerle yazıldı˘gında
F = e−z
f(x − z, y − z)
genel ¸c¨oz¨um¨un¨u verir. Yan ko¸sulu kullanarak F(x, y, 0) = x2
+ y2
=
f(x, y) buluruz. Aranan ¸c¨oz¨um
F = e−z
[(x − z)2
+ (y − z)2
]
olarak elde edilir.
¨Ornek 16.
(y − x)Fx + (z − x)Fy + (x − y)Fz = 0, F(x, y, 0) = xy
problemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um.
dx
y − z
=
dy
z − z
=
dz
x − y
karakteristik denklemlerinin iki ba˘gımsız ilk integrali
dx + dy + dz
0
=
dx
y − z
,
xdx + ydy + zdz
0
=
dx
y − z
e¸sitliklerinden elde edilen
d(x + y + z) = 0, d(x2
+ y2
+ z2
) = 0
tam denklemlerinin integrasyonundan
u = x + y + z = c1, v = x2
+ y2
+ z2
= c2
olarak elde edilir.
ξ = x + y + z, η = x2
+ y2
+ z2
, ζ = z
d¨on¨u¸s¨um¨uyle KDD, Gζ = 0 sıradan denklemine ve integrali G = f(ξ, η)
veya F(x, y, z) = f(x + y + z, x2
+ y2
+ z2
) genel ¸c¨oz¨um¨une g¨ot¨ur¨ur.
˙Iki de˘gi¸skenli f keyfi fonksiyonunu belirlemek i¸cin verilen yan ko¸sulu
kullanırız:
F(x, y, 0) = xy = f(x + y, x2
+ y2
).
26 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
f’i belirleyecek olan bu fonksiyonel ba˘gıntıyı ¸c¨ozmek i¸cin r = x + y, s =
x2
+ y2
yazıp, x, y de˘gi¸skenlerini r, s de˘gi¸skenlerine g¨ore ifade ederiz.
(x + y)2
= r2
= s + 2xy
den f(r, s) = xy = (r2
− s)/2 bulunmu¸s olur. C¸¨oz¨um,
F =
1
2
[(x + y + z)2
− (x2
+ y2
+ z2
)] = xy + yz + xz
olur.
¨Ornek 17.
xFx + yFy + zFz − 2F = 0, F(x, y, y) = y2
problemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um. Genel ¸c¨oz¨um
dx
x
=
dy
y
=
dz
z
karakteristik sistemiin integrasyonundan bulunacak olan
y
x
= c1,
z
x
= c2
integralleri kullanarak
ξ = y/x, η = z/x, ζ = z
d¨on¨u¸s¨um¨unden sonra
Gζ − 2G = 0
indirgenmi¸s denklemi bulunur. Bunun ¸c¨oz¨um¨u ilk koordinatlarda verilen
KDDin
F = z2
f(
y
x
,
z
x
)
bi¸ciminde ¸c¨oz¨um¨un¨u verir. Yan ko¸suldan
F(x, y, y) = y2
= y2
f(
y
x
,
y
x
), ⇒ f(r, r) = 1
elde edilir. Bu ko¸sul dı¸sında f keyfi kalır. Yani, denklemin sonsuz sayıda
¸c¨oz¨um¨u vardır. Yan ko¸sul z = y d¨uzlemi ¨uzerinde verilmi¸stir ve c1 =
2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 27
c2 = 1 i¸cin elde edilen (t, t, t) karakteristik do˘grusu bu d¨uzlem ¨uzerinde
kalmaktadır. Dahası, bu d¨uzlem bir parametreli (c1 = c2) karakteristik
do˘gruların birle¸simidir.
f1(r, s) = cos(r−s), f2(r, s) = 2(r/s)2
−1 se¸cimleri (di˘gerleri arasından)
f(r, r) = 1 ko¸sulunu sa˘glar ve kar¸sı gelen ¸c¨oz¨umler
F1 = z2
cos
y − z
x
, F2 = 2y2
− z2
olur.
¨Ornek 18.
(y + x)Fx + (y − x)Fy + Fz = 0
denkleminin karakteristiklerini bulun ve genel ¸c¨oz¨um¨un¨u elde edin.
C¸ ¨oz¨um.
dx
y + x
=
dy
y − x
=
dz
1
karakteristik sisteminde z de˘gi¸skenine bir parametre olarak bakıp
x (z) = x(z) + y(z), y (z) = y(z) − x(z)
sistemini ¸c¨ozelim. Lineer sistemler i¸cin bilinen y¨ontemler kullanılabilir.
Burada farklı bir yol izleyece˘giz. Birinci denklemi t¨uretip, her iki denk-
lemi de kullanarak yalnızca x(z) de˘gi¸skenine g¨ore
x (z) − 2x (z) + 2x(z) = 0
denklemini ¸cıkarabiliriz. y(z)’nin de aynı denklemi sa˘gladı˘gı g¨or¨ulebilir.
Sabit katsayılı lineer denklemin karakteristik denklemi λ2
− 2λ + 2 =
(λ − 1)2
+ 1 = 0 olur. K¨okleri λ1,2 = 1 ± i, kar¸sı gelen ¸c¨oz¨um
x(z) = ez
(c1 cos z + c2 sin z)
dir. Birinci denklemden t¨urev alarak
y(z) = x (z) − x(z) = ez
(−c1 sin z + c2 cos z)
buluruz. Basitle¸stirmek i¸cin
c1 = α sin β, c2 = α cos β
28 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
tanımlanırsa
x(z) = αez
sin(z + β), y(z) = αez
cos(z + β)
karakteristikleri bulunur. Uygun bir d¨on¨u¸s¨um bulabilmek i¸cin bu iki
ba˘gıntıdan α, β parametrelerine g¨ore ¸c¨ozelim. Kareleri alınır toplanırsa
ve oranlanırsa
ξ = e−z
x2 + y2 = α, η = arctan(x/y) − z = β
ilk integralleri bulunur. ˙Ikinci integralin η = z + arctan(y/x) yazılabile-
ce˘gine dikkat edin. Genel ¸c¨oz¨um bu y¨uzeyler ¨uzerinde sabit kalır ve keyfi
f ∈ C1
fonksiyonu ile F = f(ξ, η) bi¸ciminde yazılabilir.
2. yol: Denklemi (r, θ) kutupsal koordinatlarına d¨on¨u¸st¨ur¨urelim.
xFx + yFy = rFr, yFx − xFy = −Fθ
d¨on¨u¸s¨um form¨ulleri ile denklem yeni F(r, θ, z) fonksiyonuna g¨ore
rFr − Fθ + Fz = 0
olarak yazılabilir. Karakteristik sistem
dr
r
=
dθ
−1
=
dz
1
.
Bu sistemin iki ba˘gımsız integrali
re−z
= α, θ + z = β
olarak alınabilir. Genel ¸c¨oz¨um,
F = f(re−z
, θ + z)
olacaktır. (x, y) koordinatlarına geri d¨on¨u¸s¨um bu ¸c¨oz¨um¨un (sabit farkıyla)
yukarıda bulunan ¸c¨oz¨ume denk oldu˘gunu g¨ostermektedir.
Alı¸stırmalar
A¸sa˘gıdaki problemleri ¸c¨oz¨un¨uz.
6. a) x(y − x)Fx + y(z − x)Fy + z(x − y)Fz = 0, F(x, y, 1) = x + y
b) xFx + yFy + (x2
+ y2
)Fz = 0, F(x, y, 0) = x + y
c) 2xzFx + xyzFy + Fz = 0, F(x, y, 0) = cos(x + y)
2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 29
2.2.1 Kuazilineeer denklemler ve Lagrange Y¨ontemi
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u) (2.14)
kuazilineer denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨u kar¸sı gelen karakateristik sistemin
iki ba˘gımsız ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) ilk integralinden ( ϕ ve ψ hi¸cbir
yerde paralel de˘gil) genel ¸c¨oz¨um elde edilebilir.
a ve b katsayıları u’ya ba˘glı de˘gilse bu denklem yarı lineer olur. Yarı
lineer bir denklemin bir integrali u’dan ba˘gımsız olaca˘gı i¸cin b¨oyle den-
klemlerin genel ¸c¨oz¨umlerini tipik olarak (her zaman olmasa bile) a¸cık
bi¸cimde elde etmek m¨umk¨un olacaktır.
Teorem 1. ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) karakateristik sistemin iki ba˘gımsız
integrali ve F = F(h, k) bir C1
fonksiyonu olsun. E˘ger,
Fhϕu + Fkψu = 0,
ise
F(φ(x, y, u), ψ(x, y, u)) = 0
ba˘gıntısı (2.14) denkleminin kapalı bi¸cimde genel ¸c¨oz¨um¨un¨u tanımlar.
Kanıt: Biliyoruz ki, ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) ilk integraller ise
w = w(x, y, u) = F(φ(x, y, u), ψ(x, y, u))
fonksiyonu da bir ilk integraldir ve hipotezden wu = 0 oldu˘gundan, ¨u¸c
boyutlu lineer homojen
a(x, y, u)wx + b(x, y, u)wy + c(x, y, u)wu = 0 (2.15)
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur. Ayrıca,
w(x, y, u) = 0
denklemi kapalı olarak (2.14) denkleminin u = u(x, y) integarl y¨uzeyini
tanımlar. Bunu i¸cin, kapalı fonksiyon teoreminden
ux = −
wx
wu
, uy = −
wy
wu
t¨urevlerini (2.14) denkleminde yazarak (2.15) denklemine varıldı˘gını g¨o-
rebiliriz.
30 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
Kuazilineer bir denklemle verilmi¸s bir Cauchy datasını sa˘glayan prob-
lemin ¸c¨oz¨um¨u i¸cin ((tek olmayan) ¸c¨oz¨um varsa) Lagrange y¨ontemiyle elde
edilen genel ¸c¨oz¨um kullanılabilir. Bu t¨ur Cauchy problemini ¸c¨ozmek i¸cin
karakteristikler y¨ontemini (geometrik yorumu var) kullanmak ¸co˘gu za-
man daha elveri¸sli olabilir. Ancak bu y¨ontemle ¸c¨oz¨um parametrik olarak
kapalı bi¸cimde bulunur ve yalnızca bazı ¨ozel durumlarda parametreler
yok edilerek ¸c¨oz¨um¨un a¸cık formda bir ifadesi yazılabilir.
Verilen bir e˘gri ¨uzerinde kalan ¸c¨oz¨um¨u genel ¸c¨oz¨umden ¸s¨oyle ¸cıkara-
biliriz.
Γ = {u(x, y, u) = 0, v(x, y, u) = 0}
e˘grisi (u = 0 ve v = 0 y¨uzeylerinin arakesiti) verilsin. Γ e˘grisinin
(x(s), y(s), u(s)) ile parametrelendi˘gini varsaylım. Γ e˘grisi w(x, y, u) = 0
integral y¨uzeyi ¨uzerinde kalıyorsa her s i¸cin w(x(s), y(s), u(s)) ≡ 0 sa˘g-
lanmalıdır. Bu y¨uzeyi belirlemek i¸cin Γ ¨uzerinde yazılan
ϕ(x(s), y(s), u(s)) = c1, ψ(x(s), y(s), u(s)) = c2
ilk integralleri arasında s yok edilerek F(c1, c2) = belirlenir.
Parametrizasyon kullanmadan da do˘grudan
ϕ(x, y, u) = c1, ψ(x, y, u) = c2, u(x, y, u) = 0, v(x, y, u) = 0
d¨ort denklem arasından (x, y, u) de˘gi¸skenleri yok edilerek de yukarıdaki
ba˘gıntı bulunabilirdi.
¨Ornek 19.
yuux + xuuy = xy
denkleminin
u|x2+y2=1 = 2xy
ko¸sulunu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um.
dx
yu
=
dy
xu
=
du
xy
karakteristik denklem sisteminden ilk iki orandan x2
−y2
= c1 integralini
buluruz. Di˘ger integral
xdx + ydy
2xyu
=
du
xy
⇒
1
2
d(x2
+ y2
) = 2udu
2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 31
denkleminden x2
+ y2
− 2u2
= c2 dir. Genel ¸c¨oz¨um
F(x2
− y2
, x2
+ y2
− 2u2
) = 0
ba˘gıntısı ile verilir. ˙Integrallerden biri u’dan ba˘gımsız oldu˘gu i¸cin, is-
tenirse u ¸c¨oz¨um¨u a¸cık olarak x, y de˘gi¸skenlerinin fonksiyonu olarak her
C1
keyfi f fonksiyonu i¸cin
2u2
= x2
+ y2
+ f(x2
− y2
)
ile ifade edilebilir. Verilen ko¸sulu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨u bulmak i¸cin F keyfi
fonksiyonunu belirlememiz gerekir. Bunu yapmak i¸cin ¸c¨oz¨um¨u yeni bir
g(r2
) = f(r) keyfi fonksiyonu kullanarak
2u2
= x2
+ y2
+ g((x2
− y2
)2
)
bi¸ciminde yazarak ba¸slayalım ve (x2
−y2
)2
= (x2
+y2
)2
−4x2
y2
¨ozde¸sli˘gini
dikkate alarak verilen ko¸sulu uygulayalım:
2u2
= 1 + g(1 − u2
).
Bu ba˘gıntıdan, g’yi belirlemek i¸cin r = 1 − u2
yazılırsa g(r) = 1 − 2r ve
f(r) = 1 − 2r2
bulunur. Buna g¨ore ¸c¨oz¨um
2u2
= x2
+ y2
− 2(x2
− y2
)2
+ 1
olur.
S¸imdi parametrik ¸c¨oz¨um:
Ba¸slangı¸c ko¸sulunun bir s parametresi ile bir g¨osterilimini
Γ : x(s) = cos s, y(s) = sin s, u(s) = 2x(s)y(s) = sin 2s
yazalım. Γ e˘grisinden ge¸cen y¨uzeyi bulmak istiyoruz. Γ’nın bile¸senlerini
x2
− y2
= c1, x2
+ y2
− 2u2
= c2
integrallerininde yazıp, s’yi yok edersek belirlinmi¸s F(c1, c2) = 0 ba˘gıntısını
buluruz ki bu aranan ¸c¨oz¨um¨u verir. Burada
x2
− y2
= cos 2s = c1, x2
+ y2
− 2u2
= 1 − 2 sin2
2s = c2
32 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
ba˘gıntılarından parametreyi kolayca yok edebiliriz ve
c2 = 1 − 2(1 − cos2
2s) = 2c2
1 − 1
buluruz. ¨Ozetlersek, iki de˘gi¸skenli keyfi fonksiyon F(c1, c2) = c2 − 2c2
1 +
1 = 0 olmalıdır, ¸c¨oz¨um ise
x2
+ y2
− 2u2
= 2(x2
− y2
)2
− 1
ya da u2
’ye g¨ore ¸c¨ozerek
u2
=
1
2
[(x2
+ y2
)(1 − 2(x2
+ y2
)) + 8x2
y2
+ 1]
bi¸ciminde yazılabilir. Bu ¸c¨oz¨umde x2
+ y2
= 1 yazıldı˘gında u2
= 4x2
y2
oldu˘gu, yani yan ko¸sulun sa˘glandı˘gı hemen g¨or¨ul¨uyor.
Di˘ger ¨u¸c¨unc¨u bir yol,
x2
+ y2
= 1, u = 2xy, x2
− y2
= c1, x2
+ y2
− 2u2
= c2
ba˘gıntıları arasında x, y, u yok edilerek F(c1, c2) = 0 ba˘gıntısını bul-
maktır. Birinci ve d¨ord¨unc¨u e¸sitliklerden 1 − u2
= c2
1 ve ilk ¨u¸c¨unden
c2
1 = (x2
− y2
)2
= (x2
+ y2
)2
− 4x2
y2
= 1 − u2
bulunur. Son olarak bu
ikisinden u’yu yok ederek yine aynı F(c1, c2) = 0 ba˘gıntısı bulunur.
¨Ornek 20. A¸sa˘gıdaki ba¸slangı¸c-de˘ger probleminin ¸c¨oz¨ulebilirli˘gini ince-
leyiniz:
uux + yuy = x
y = ax, u = bx.
C¸ ¨oz¨um.
dx
u
=
dy
y
=
du
x
karakteristik denklemlerinden elde edilen
d(x + u)
x + u
=
−d(x − u)
x − u
=
dy
y
, udu − xdx = 0
tam denklemlerden integre ederek bir integral tabanı (ba˘gımsız inte-
graller)
x + u
y
= c1, u2
− x2
= c2
2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 33
veya
x + u
y
= c1, (u − x)y = c2
olarak bulunur. Genel ¸c¨oz¨um s¨urekli t¨uretilebilir keyfi bir F fonksiyonu
i¸cin
F y(u − x),
x + u
y
= 0
bi¸ciminde yazılabilir. Ba¸slangı¸c ko¸sulundan, x’i parametre alarak
F a(b − 1)x2
,
b + 1
a
= 0
veya birinci de˘gi¸skene g¨ore ¸c¨ozerek keyfi bir h i¸cin a(b−1)x2
= h((b+1)/a)
sa˘glanması gerekir. Bu ba˘gıntının her x i¸cin sa˘glanması ancak b = 1
i¸cin m¨umk¨un olur. Buna kar¸sılık, ¸c¨oz¨um h(2/a) = 0 ko¸sulu altında tek
olamaz. ¨Orne˘gin, a = 1 olsun ve h(x) = x − 2 (h(2) = 0 ko¸sulunu
sa˘glayan sa˘glayan bir se¸cim) i¸cin bir ¸c¨oz¨um
y(u − x) =
x + u
y
− 2
ba˘gıntısından u i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse
u =
xy2
+ x − 2y
y2 − 1
olarak bulunur. Siz di˘ger bir ka¸c ¸c¨oz¨um¨u yazınız.
Kuazi lineer denklemler ¨ozel olarak lineer denkemleri de i¸cerir. S¸imdi
bu y¨ontemi a¸sa˘gıdaki lineer denklemi ¸c¨ozmek i¸cin uygulayalım.
¨Ornek 21.
yux + xuy − u = (x + y)2
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
dx
y
=
dy
x
=
du
u + (x + y)2
34 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
karakteristik sistemin iki ba˘gımsız ilk integralini bulaca˘gız. Birinci inte-
gral φ(x, y) = x2
−y2
= c1 olarak hemen bulunur. ˙Ikinci integrali bulmak
i¸cin
d(x + y)
x + y
=
du
u + (x + y)2
denklemini integre edelim. x + y = z olsun.
du
dz
=
1
z
(u + z2
)
lineer denkleminin ¸c¨oz¨um¨unden
u
z
=
u
x + y
= (x + y) + c2
bulunur. Yani ikinci ba˘gımsız integral
ψ(x, y, u) =
u
x + y
− (x + y)
olur. Genel ¸c¨oz¨um ise φ = f(φ), a¸cık olarak
u(x, y) = (x + y)2
+ (x + y)f(x2
− y2
)
bi¸ciminde olmalıdır.
Aynı denklemin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u karakteristik koordinatlara ge¸cerek
daha ¨once bulmu¸stuk.

More Related Content

What's hot (20)

Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 02
Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 02Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 02
Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 02
 
Halil Arıkan
Halil  ArıkanHalil  Arıkan
Halil Arıkan
 
KARMAŞIK SAYILAR 2
KARMAŞIK SAYILAR 2KARMAŞIK SAYILAR 2
KARMAŞIK SAYILAR 2
 
Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 01
Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 01Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 01
Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 01
 
Fonksi̇yonlarin li̇mi̇ti̇ 01
Fonksi̇yonlarin li̇mi̇ti̇ 01Fonksi̇yonlarin li̇mi̇ti̇ 01
Fonksi̇yonlarin li̇mi̇ti̇ 01
 
KARMAŞIK SAYILAR 1
KARMAŞIK SAYILAR 1KARMAŞIK SAYILAR 1
KARMAŞIK SAYILAR 1
 
BELİRLİ İNTEGRAL 1
BELİRLİ İNTEGRAL 1BELİRLİ İNTEGRAL 1
BELİRLİ İNTEGRAL 1
 
Halil Arıkan
Halil ArıkanHalil Arıkan
Halil Arıkan
 
İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 2
İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 2İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 2
İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 2
 
İşlem ve modüler ari̇tmeti̇k
İşlem ve modüler ari̇tmeti̇kİşlem ve modüler ari̇tmeti̇k
İşlem ve modüler ari̇tmeti̇k
 
İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 3
İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 3İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 3
İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 3
 
TÜREVİN UYGULAMALARI 03
TÜREVİN UYGULAMALARI 03TÜREVİN UYGULAMALARI 03
TÜREVİN UYGULAMALARI 03
 
TÜREVİN UYGULAMALARI 01
TÜREVİN UYGULAMALARI 01TÜREVİN UYGULAMALARI 01
TÜREVİN UYGULAMALARI 01
 
D belirli integralin-uygulamalari
D belirli integralin-uygulamalariD belirli integralin-uygulamalari
D belirli integralin-uygulamalari
 
Türev Sorulari
Türev SorulariTürev Sorulari
Türev Sorulari
 
Türev 02
Türev 02Türev 02
Türev 02
 
Türev 07
Türev 07Türev 07
Türev 07
 
TÜREVİN UYGULAMALARI 06
TÜREVİN UYGULAMALARI 06TÜREVİN UYGULAMALARI 06
TÜREVİN UYGULAMALARI 06
 
BELİRLİ İNTEGRAL 2
BELİRLİ İNTEGRAL 2BELİRLİ İNTEGRAL 2
BELİRLİ İNTEGRAL 2
 
İntegral 04
İntegral 04İntegral 04
İntegral 04
 

Viewers also liked

Trabajo info4
Trabajo info4Trabajo info4
Trabajo info4iamzurc
 
Trabajo info2
Trabajo info2Trabajo info2
Trabajo info2iamzurc
 
Flat plan of nme magazine analysis
Flat plan of nme magazine analysisFlat plan of nme magazine analysis
Flat plan of nme magazine analysisafapeq
 
Trabajo info10
Trabajo info10Trabajo info10
Trabajo info10iamzurc
 
La planificacion educativa
La planificacion educativaLa planificacion educativa
La planificacion educativalorenaomarly
 
Trabajo info
Trabajo infoTrabajo info
Trabajo infoiamzurc
 
República bolivariana de venezuela circuito atomos
República bolivariana de venezuela circuito atomosRepública bolivariana de venezuela circuito atomos
República bolivariana de venezuela circuito atomostrompetapiano
 
Trabajo info3
Trabajo info3Trabajo info3
Trabajo info3iamzurc
 
Trabajo info1
Trabajo info1Trabajo info1
Trabajo info1iamzurc
 
Henry David Thoreau
Henry David ThoreauHenry David Thoreau
Henry David Thoreauezgokid
 
Réinventer ses outils de vente à l'aube du cross-canal
Réinventer ses outils de vente à l'aube du cross-canalRéinventer ses outils de vente à l'aube du cross-canal
Réinventer ses outils de vente à l'aube du cross-canalTiphaine Beguinot
 

Viewers also liked (11)

Trabajo info4
Trabajo info4Trabajo info4
Trabajo info4
 
Trabajo info2
Trabajo info2Trabajo info2
Trabajo info2
 
Flat plan of nme magazine analysis
Flat plan of nme magazine analysisFlat plan of nme magazine analysis
Flat plan of nme magazine analysis
 
Trabajo info10
Trabajo info10Trabajo info10
Trabajo info10
 
La planificacion educativa
La planificacion educativaLa planificacion educativa
La planificacion educativa
 
Trabajo info
Trabajo infoTrabajo info
Trabajo info
 
República bolivariana de venezuela circuito atomos
República bolivariana de venezuela circuito atomosRepública bolivariana de venezuela circuito atomos
República bolivariana de venezuela circuito atomos
 
Trabajo info3
Trabajo info3Trabajo info3
Trabajo info3
 
Trabajo info1
Trabajo info1Trabajo info1
Trabajo info1
 
Henry David Thoreau
Henry David ThoreauHenry David Thoreau
Henry David Thoreau
 
Réinventer ses outils de vente à l'aube du cross-canal
Réinventer ses outils de vente à l'aube du cross-canalRéinventer ses outils de vente à l'aube du cross-canal
Réinventer ses outils de vente à l'aube du cross-canal
 

More from http://sinavbankasi.org/

Fem i̇lk adım fi̇zi̇ği̇n doğasi vektorler kuvvetler
Fem i̇lk adım  fi̇zi̇ği̇n doğasi vektorler kuvvetlerFem i̇lk adım  fi̇zi̇ği̇n doğasi vektorler kuvvetler
Fem i̇lk adım fi̇zi̇ği̇n doğasi vektorler kuvvetlerhttp://sinavbankasi.org/
 

More from http://sinavbankasi.org/ (20)

Toplamcarpimcikmis
ToplamcarpimcikmisToplamcarpimcikmis
Toplamcarpimcikmis
 
Toplamcarpimozet
ToplamcarpimozetToplamcarpimozet
Toplamcarpimozet
 
Fem i̇lk adım ağirlik merkezi̇..
Fem i̇lk adım ağirlik merkezi̇..Fem i̇lk adım ağirlik merkezi̇..
Fem i̇lk adım ağirlik merkezi̇..
 
02.kuvvet ve denge
02.kuvvet ve denge02.kuvvet ve denge
02.kuvvet ve denge
 
01.fiziğin doğası
01.fiziğin doğası01.fiziğin doğası
01.fiziğin doğası
 
Zambak12fizikyt
Zambak12fizikytZambak12fizikyt
Zambak12fizikyt
 
Ypt çoşku 9.sinif
Ypt çoşku 9.sinifYpt çoşku 9.sinif
Ypt çoşku 9.sinif
 
Fem i̇lk adım fi̇zi̇ği̇n doğasi vektorler kuvvetler
Fem i̇lk adım  fi̇zi̇ği̇n doğasi vektorler kuvvetlerFem i̇lk adım  fi̇zi̇ği̇n doğasi vektorler kuvvetler
Fem i̇lk adım fi̇zi̇ği̇n doğasi vektorler kuvvetler
 
Maddeve özellikleri
Maddeve özellikleriMaddeve özellikleri
Maddeve özellikleri
 
Birey10ka 2derdenklemler
Birey10ka 2derdenklemlerBirey10ka 2derdenklemler
Birey10ka 2derdenklemler
 
Uzayda dogru ve_duzlem_denklemleri_fbm
Uzayda dogru ve_duzlem_denklemleri_fbmUzayda dogru ve_duzlem_denklemleri_fbm
Uzayda dogru ve_duzlem_denklemleri_fbm
 
Koniklerin analitik incelenmesi_fbm
Koniklerin analitik incelenmesi_fbmKoniklerin analitik incelenmesi_fbm
Koniklerin analitik incelenmesi_fbm
 
Duzlemde vektorler fbm
Duzlemde vektorler fbmDuzlemde vektorler fbm
Duzlemde vektorler fbm
 
Cemberin analitik incelenmesi_fbm
Cemberin analitik incelenmesi_fbmCemberin analitik incelenmesi_fbm
Cemberin analitik incelenmesi_fbm
 
Dogrunun analitik incelenmesi_fbm
Dogrunun analitik incelenmesi_fbmDogrunun analitik incelenmesi_fbm
Dogrunun analitik incelenmesi_fbm
 
Turev teoremleri
Turev teoremleriTurev teoremleri
Turev teoremleri
 
Birey10ka polinomlar carpanlara ayirma
Birey10ka polinomlar carpanlara ayirmaBirey10ka polinomlar carpanlara ayirma
Birey10ka polinomlar carpanlara ayirma
 
Karekok turev max min
Karekok turev max minKarekok turev max min
Karekok turev max min
 
Temel Aci
Temel AciTemel Aci
Temel Aci
 
ALTIN ORAN
ALTIN ORANALTIN ORAN
ALTIN ORAN
 

Ktdd fg

  • 1. KISM˙I D˙IFERANS˙IYEL DENKLEMLER DERS NOTLARI Faruk G¨ung¨or Do˘gu¸s ¨Universitesi Matematik B¨ol¨um¨u
  • 2. ˙I¸cindekiler 1 Giri¸s 3 1.1 Genel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Birinci Mertebe denklemler 11 2.1 Lineer denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Kuazilineeer denklemler ve Lagrange Y¨ontemi . . 29 1
  • 4. B¨ol¨um 1 Giri¸s 1.1 Genel Bilgiler u = u(x), x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn de˘gi¸skenlerinin skaler bir fonksi- yonu olsun. Kısmi diferansiyel denklem (KDD), ba˘gımsız de˘gi¸skenlerin, fonksiyonun ve sonlu sayıda t¨urevlerin F(x, u, ux1 , . . . , uxn , ux1x1 , ux1x2 , . . .) = 0 bi¸ciminde bir ba˘gıntıdır. Burada, F de˘gi¸skenlerinin bilinen bir fonksiyo- nudur ve kısmi t¨urevleri g¨ostermek i¸cin alt indis notasyonu kullanılmı¸stır. ¨Orne˘gin, ∂u ∂x1 = ux1, ∂2 u ∂x2 1 = ux1x1 , ∂2 u ∂x1x2 = ux1x2 . . . ¨Ozel olarak, iki de˘gi¸skenli bir fonksiyon i¸cin n = 2 ve (x, y) ∈ R2 dir ve kısmi diferansiyel denklem ¸su bi¸cimde yazılabilir: F(x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy, uxxx, uxxy, . . . ) = 0. Denklemin en y¨uksek kısmi t¨urevinin mertebesine denklemin mer- tebesi denir. E˘ger F fonksiyonu u de˘gi¸skenine ve bunun b¨ut¨un kısmi t¨urevlerine g¨ore lineer ise denkleme lineerdir denir. F en y¨uksek mer- tebeden t¨urevlere g¨ore lineer, ancak katsayıları ba˘gımsız de˘gi¸skenlerin, u’nun ve d¨u¸s¨uk mertebe t¨urevlerin fonksiyonları iseler, denklem ”kuazi- lineer” olarak adlandırılır. B¨ut¨un t¨urevlere g¨ore lineer, katsayıları yal- nızca ba˘gımsız de˘gi¸skenlere ba˘glı olan bir denkleme de yarı lineer denir. 3
  • 5. 4 B¨ol¨um 1. Giri¸s F’nin en y¨uksek t¨urevlerinden en az birisi lineer de˘gilse, o zaman denk- leme ”lineer olmayan” denklem diyece˘giz. Lineer bir denklem i¸cin u = 0 sıfır ¸c¨oz¨um¨u bir ¸c¨oz¨um ise, buna ”homojen” denklem, de˘gilse ”homojen olmayan” denklemdir denir. Homojen denklemin ¸c¨oz¨um¨u bir sabitle ¸carpıldı˘gında yine ¸c¨oz¨um olur. ˙Iki de˘gi¸skenli en genel 2. mertebe homojen lineer bir KDD a(x, y)uxx+b(x, y)uxy+c(x, y)uyy+d(x, y)ux+e(x, y)uy+f(x, y)u = g(x, y) bi¸ciminde yazılabilir. g = 0 ise denklem homojen olur. a = b = c = 0 ise 1. mertebe genel lineer denklemi elde ederiz. Sonraki b¨ol¨umlerde lineer denklemleri incelerken operat¨or yakla¸sımını kullanaca˘gız. Bunun i¸cin ∂x = ∂ ∂x , ∂y = ∂ ∂y , ∂2 x = ∂2 ∂x2 , ∂x∂y = ∂2 ∂x∂y , ∂2 y = ∂2 ∂y2 kısmi t¨urev operat¨orlerini tanımlayarak kısmi t¨urevleri bunlarla ifade edece˘giz: ux = ∂xu, uy = ∂yu, uxx = ∂2 xu, uxy = ∂x∂yu, uyy = ∂2 yu. Genel lineer denklemi bir L operat¨or¨u ile Lu = (a∂2 x + b∂x∂y + c∂2 y + d∂x + e∂y + f)u = g bi¸ciminde ifade edebiliriz. Y¨uksek mertebeden lineer denklemler de ben- zer bi¸cimde ifade edilebilir. ˙Iki de˘gi¸skenli bir u fonksiyonu i¸cin 2. mertebe genel kısmi denklemleri operat¨or sembol¨u ile ifade edelim: F(x, y, u, ∂xu, ∂yu, ∂2 x, ∂x∂yu, ∂2 yu) = 0. ¨Ornek 1. 2ux + 3uy = xy, birinci mertebe lineer homojen olmayan ux + 2uy = u2 , birinci mertebe kuazilineer ux 2 + uy 2 = f(x, y), birinci mertebe lineer olmayan uxx + uyy = 0, ikinci mertebe lineer homojen ut − uxx = xt, ikinci mertebe lineer homojen olmayan uxxuyy − u2 xy = f(x, y), ikinci mertebe lineer olmayan
  • 6. 1.1. Genel Bilgiler 5 Tanım 1. u’nun ba˘gımsız de˘gi¸skenlerinin bir D ⊂ Rn altk¨umesine kısıt- landı˘gını varsayalım, yani u : D → R olsun. m. mertebe bir kısmi di- feransiyel denklemin D b¨olgesi ¨uzerindeki bir ¸c¨oz¨um¨u, diferansiyel denk- lemi D’nin b¨ut¨un i¸c noktalarında sa˘glayan Cm sınıfından (m. t¨urevleri var ve s¨urekli) bir fonksiyondur. u = u(x, y, z) i¸cin uxy = 0 denkelmini d¨u¸s¨unelim. Denklemi bir kez y- de˘gi¸skenine g¨ore integre edildi˘ginde integrasyon sabiti di˘ger de˘gi¸skenlere ba˘glı olacaktır, yani ux = F(x, z). x’e g¨ore di˘ger bir integrasyon ile u = f(x, z) + g(y, z) ¸c¨oz¨um¨un¨u buluruz. Burada f, F’nin ters t¨urevini (in- tegralini) g¨ostermektedir. Ba˘gımsız iki keyfi fonksiyona ba˘glı bu ¸c¨oz¨um genel ¸c¨oz¨umd¨ur. Sıradan denklemlerin tersine, genel ¸c¨oz¨um keyfi sabitler yerine keyfi fonksiyonlar i¸cerir. Genel olarak, n ba˘gımsız de˘gi¸skenli m. mertebe bir denklemin genel ¸c¨oz¨um¨u, n−1 de˘gi¸skenli m tane fonksiyonla ifade edilir. Fakat bunun herzaman b¨oyle olması gerekmez. ¨Orne˘gin, u ∈ C1 fonksiyonu u2 x + u2 y = 0 denklemini sa˘glayan bir fonksiyon ux = 0, uy = 0 olmasını gerektirir. Birinciden elde edilen u = A(y), ikincide yazılırsa A (y) = 0 ¸cıkar. u(x, y) = c = sabit olmalıdır. Yani, genel ¸c¨oz¨um keyfi fonksiyon i¸cermez. Buna ra˘gmen, KDD i¸cin a¸sa˘gıdaki ”genel ¸c¨oz¨um” tanımını benim- seyece˘gız. Tanım 2. m. mertebe bir KDD’in genel ¸c¨oz¨um¨u m tane Cm sınıfından keyfi fonksiyon i¸ceren bir ¸c¨oz¨umd¨ur ve bu fonksiyonların hi¸c biri genel ¸c¨oz¨um¨u kaybetmeden yok edilemez veya birle¸stirilemez. Di˘ger bir deyi¸sle, keyfi fonksiyonların sayısını bunlardan birini yeni iki keyfi fonksiyonun herhangi bir birle¸simi olarak de˘gi¸stirerek artıramayız. ¨Ornek 2. yux − 2yuy + u = 0 lineer denklemini d¨u¸s¨unelim. Keyfi bir f ∈ C1 fonksiyonu i¸cin ¸c¨oz¨um¨un u = √ yf(2x + y) oldu˘gunu g¨osterin. C¸ ¨oz¨um. Zincir kuralı ile ux = 2y1/2 f ve uy = 1/2y−1/2 f + y−1/2 f t¨urevleri hesaplanırsa yux − 2yuy = −y1/2 f = −u oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Bu ¸c¨oz¨um¨un genel ¸c¨oz¨um oldu˘gu 2. b¨ol¨um¨un sonu¸cları kullanılarak g¨osterilebilir.
  • 7. 6 B¨ol¨um 1. Giri¸s Tersine, keyfi bir fonksiyona ba˘glı verilen bir fonksiyonu genel ¸c¨oz¨um kabul eden KDD’i t¨uretme ve yok etme yoluyla bulabilirz. ¨Ornek 3. u = xf(xy)+y2 fonksiyonu hangi denklemin genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur. C¸ ¨oz¨um. Fonksiyon yalnızca bir keyfi fonksiyon i¸cerdi˘ginden sa˘glanması gereken denklemin 1. mertebe olması beklenir. ux = f(xy) + xyf (xy), uy = x2 f (xy) + 2y kısmi t¨urevlerinden f t¨urevi yok edilirse xux − yuy = xf − 2y2 = u − 3y2 lineer denklemi bulunur. Yukarıda f fonksiyonunu yok etmek i¸cin ¸c¨oz¨um¨u kullandık. NOT. ˙Ikinci b¨ol¨umde, 1. mertebe de˘gi¸sken katsayılı yine lineer a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = d(x, y) denkleminin uygun bir de˘gi¸sken d¨on¨u¸s¨um¨u ile herzaman 1. mertebe sıradan bir denkleme indirgenebilece˘gini g¨osterece˘giz. Genel ¸c¨oz¨umden keyfi fonksiyonun ¨ozel bir se¸cimi i¸cin elde edilen bir ¸c¨oz¨ume ¨ozel ¸c¨oz¨um denir. Uygulamlarda, do˘gal olarak diferansiyel denk- leme ek olarak yan ko¸sullar (ba¸slangı¸c ve sınır ko¸sulları) eklenir. B¨oyle kısıtlamalar altında b¨ut¨un ¸c¨oz¨umler ¨ozel ¸c¨oz¨um olarak elde edilecektir. ¨Ornek 4. Yukarıdaki denklemin u(x, 1) = 4x2 ko¸sulunu sa˘glayan ¨ozel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz. C¸ ¨oz¨um. Ko¸suldan u(x, 1) = 4x2 = f(2x + 1) sa˘glanmalıdır. Bu fonk- siyonel ba˘gıntıdan f fonksiyonunu belirlemek i¸cin r = 2x + 1 alıp, x’i r de˘gi¸skenine g¨ore ¸c¨ozd¨ukten sonra bu ko¸sulda yazalım. f(r) = (r − 1)2 olmalıdır. O halde aranan ¨ozel ¸c¨oz¨um, genel ¸c¨oz¨umde fnin bu de˘gerini yazarak u = √ y(2x + y − 1)2 olarak bulunur. Genel ¸c¨oz¨umden keyfi fonksiyonu de˘gi¸stireek elde edilemeyen ¸c¨oz¨um- lere ”tekil ¸c¨oz¨um” denir.
  • 8. 1.1. Genel Bilgiler 7 ¨Ornek 5. Lineer olmayan u = 1 2 u2 x + 2xux + x2 denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨un u = u(x, y) = 1 2 [(f(y))2 − x2 ] + xf(y), f ∈ C1 oldu˘gunu g¨osteriniz. Denklemin, f(y) fonksiyonunun hi¸c bir se¸cimi ile elde edilemeyen bir ¸c¨oz¨um¨u (u = −x2 ) daha vardır. Bu tekil ¸c¨oz¨umd¨ur. Elemanter ¸c¨oz¨um y¨ontemleri Daha ¨once kısmi diferansiyel denklemlerin genel ¸c¨oz¨umlerinin do˘grudan integrasyon ile nasıl ¸c¨oz¨ulebildi˘gini tartı¸stık. Denklemde bilinmeyen u fonksiyonu varsa bunu yapamayız. Yine de, e˘ger KDD yalnızca ba˘gımsız de˘gi¸skenlerinden birine g¨ore kısmi t¨urevleri i¸ceriyorsa, b¨oyle bir denkleme sıradan (tek de˘gi¸skenli) diferansiyel denklemler gibi bakılabilir. ˙Integras- yon sırasında di˘ger de˘gi¸skenleri sabit tutaca˘gımızdan integrasyon sabit- lerini, bu de˘gi¸skenlerin keyfi fonksiyonları ile yerde˘gi¸stirmeliyiz. ¨Ornek 6. uxx − y2 u = xy2 denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz. C¸ ¨oz¨um. KDD yalnızca x de˘gi¸skenine g¨ore t¨ureve lineer olarak ba˘glı oldu˘gundan sıradan bir denklem olarak ¸c¨ozebiliriz. ¨Once homojen denk- lemi ¸c¨ozelim. Karakteristik denklem λ2 − y2 = 0 dir. O halde homojen ¸c¨oz¨um uh = C1(y)exy + C2(y)e−xy dir. ˙Integrasyon sabitleri yerine y’nin keyfi fonksiyonları alınmı¸stır. ¨Ozel ¸c¨oz¨um¨u ise up = −x dir. Genel ¸c¨oz¨um u = uh + up olarak elde edilir. ¨Ornek 7. uxy + 2uy = 4y KDDnin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
  • 9. 8 B¨ol¨um 1. Giri¸s C¸ ¨oz¨um. Denklemi ∂y(ux + 2u) = 4y yazıp y’e g¨ore integre edersek ux + 2u = 2y2 + F(x) sıradan denklemini elde ederiz (y sabit tutuluyor). Bu denklemi µ = e2x ¸carpanı ile ¸carparak ∂x(e2x u) = e2x (2y2 + F(x)) tam denklemini ve integre ederek u = y2 + f(x) + e−2x g(y) (1.1) genel ¸c¨oz¨um¨un¨u buluruz. f(x) yeni bir keyfi fonksiyon (e2x F(x) fonksiyo- nunun integrali) olarak tanımlanmı¸stır. Bu ¸c¨oz¨umde y2 nin ¨ozel ¸c¨oz¨ume, di˘ger iki terimin toplamının da homojen ¸c¨oz¨ume kar¸sı geldi˘gine dikkat ediniz. ¨Ozel ¸c¨oz¨um keyfi fonksiyonların sıfır se¸cimi ile elde edilir. Keyfi fonksiyonların di˘ger se¸cimleri i¸cin farklı ¨ozel ¸c¨oz¨umler ¸cıkarılabilir. ¨Or- ne˘gin, f(x) = e−2x , g(y) = y se¸cilirse ¨ozel ¸c¨oz¨um up = y2 + e−2x (y + 1) olur. Buna kar¸sılık genel ¸c¨oz¨um u = y2 + e−2x (y + 1) + F(x) + e−2x G(y) (1.2) dir. (1.1) ve (1.2) genel ¸c¨oz¨umleri g¨or¨un¨u¸ste farklı oldu˘gu halde birbirine denk iki ¸c¨oz¨umd¨ur. NOT. Genel olarak a(x, y)uxy + b(x, y)ux = c(x, y) veya a(x, y)uxy + b(x, y)uy = c(x, y) denklemleri v = ux ve v = uy d¨on¨u¸s¨umleri ile 1. mertebe lineer denk- lemlere indirgenebilir.
  • 10. 1.1. Genel Bilgiler 9 ¨Ornek 8. Sabit katsayılı auxx + 2buxy + cuyy = 0 denkleminin katsayıları b2 − ac > 0 ko¸sulunu sa˘glasın. Denklemin u = F(rx + sy) bi¸ciminde genel ¸c¨oz¨um¨un¨u (keyfi F i¸cin) arayınız. C¸ ¨oz¨um. ¨Onerilen ¸c¨oz¨um denklemi sa˘glarsa, F (ar2 + 2brs + cs2 ) = 0 olmalıdır. Her F i¸cin ¸c¨oz¨um olabilmesi i¸cin r ve s, ar2 + 2brs + cs2 = 0 denklemini sa˘glaması gerekir. r veya s den birini sabit tutup di˘gerini k¨okleri reel olan 2. derece bir denklemin iki k¨ok¨u olarak bulabiliriz. r = 1 i¸cin, di˘ger k¨okler s1 ve s2 ile g¨osterilirse genel ¸c¨oz¨um u = f(x + s1y) + g(x + s2y) bi¸ciminde elde edilmi¸s olur. NOT. Sabit katsayılı lineer denklemlerin ¸c¨oz¨um¨u y¨onteminden esinle- nerek u = erx+sy bi¸ciminde ¸c¨oz¨um aranırsa r, s sabitlerinin yine aynı 2. derece denklemi sa˘glaması gerekti˘gini g¨or¨un¨uz. Bu durumda genel ¸c¨oz¨um¨u kaybetmi¸s oluruz ve ¨ozel ¸c¨oz¨um¨un¨u elde ederiz.. Alı¸stırmalar 2.1 1. A¸sa˘gıdaki denklemleri sınıflandırınız. a) ux + uy + sin u = 0 b) u2 xx + u2 yy = 0 c) ux + eu uy = y2 d) x2 uxx − y2 uyy − ux + uy = xy 2. A¸sa˘gıdaki denklemlerin do˘grudan do˘gruya integrasyonu ile genel ¸c¨oz¨umlerini elde ediniz. a) uxyz = 0, u = u(x, y, z) b) uxy = x2 − y2 , u = u(x, y)
  • 11. 10 B¨ol¨um 1. Giri¸s c) uxyy = sin(x − y), u = u(x, y) d) uyy = ex , u = u(x, y) 3. A¸sa˘gıdaki denklemleri sıradan diferansiyel denklem olarak ¸c¨oz¨un¨uz. a) xux − u = 1 b) uyy + 4u = 0 c) yuxy + 2ux = x 4. uxx − 3uxy + 2uyy = 0 denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u yazınız. 5. A¸sa˘gıdaki fonksiyonları ¸c¨oz¨um kabul eden KDD leri ¸cıkarınız. a) u = f(x2 + y2 ) b) u = xk f(y/x) c) u = f(x + y) + g(x − y)
  • 12. B¨ol¨um 2 Birinci Mertebe denklemler 2.1 Lineer denklemler a, b, c katsayıları s¨urekli olan a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f(x, y), u = u(x, y) (2.1) lineer denklemini d¨u¸s¨unelim. a = 0 veya b = 0 oldu˘gunda bu denk- lemi sıradan bir denklem gibi integre edebilece˘gimizi g¨ord¨uk. S¸imdi, a2 + b2 > 0 oldu˘gunu varsayaca˘gız. Bu durumda, tersi alınabilir bir koordinat d¨on¨u¸s¨um¨u ile denklemdeki t¨urevlerden birinin katsayısını sıfır yapan bir d¨on¨u¸s¨um aramayı deneyelim. Koordinat d¨on¨u¸s¨um¨u ve tersi ξ = ξ(x, y) η = η(x, y) x = x(ξ, η) y = y(ξ, η) J(x, y) = ∂(ξ, η) ∂(x, y) = 0 (2.2) olsun. D¨on¨u¸sm¨u¸s ba˘gımlı de˘gi¸skeni w(ξ, η) = u(x, y) ≡ u(ξ(x, y), η(x, y)) ile g¨osterelim. Zincir kuralı ile ux = uξξx + uηηx, uy = uξξy + uηηy t¨urevlerini denklemde yazıp d¨uzenlersek yine aynı bi¸cimde fakat kat- sayıları de˘gi¸smi¸s A(ξ, η)wξ + B(ξ, η)wη + C(ξ, η)w = F(ξ, η) 11
  • 13. 12 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler denklemini buluruz. Yeni A, B katsayıları A = aξx + bξy, B = aηx + bηy olur. C, F katsayıları ise c, f katsayılarının yeni koordinatlarla ifade edilmi¸s bi¸cimidir. S¸imdi, A veya B katsayısını sıfır yapan bir ξ veya η fonksiyonu arıyoruz. Tanım 3. ¨Uzerindeki her noktada te˘geti V = (a, b) vekt¨or alanı ile ¸cakı¸san bir d¨uzlem e˘griye kısmi denklemin bir karakteristik e˘grisi denir. Karakteristik e˘griler y = b(x, y) a(x, y) , a = 0 (2.3) denkleminin (karakterisitik denklem) bir parametreli φ(x, y) = c = sabit bi¸ciminde ¸c¨oz¨umleri (denklem genel olarak analitik ¸c¨oz¨ulemez!) olarak bulunur. Karakteristiklerin grafi˘gi (x, y(x, c)) noktalar k¨umesi ile verilir. ξ = φ(x, y) olarak se¸cilirse karakteristikler boyunca A = 0 olur. O halde uygun bir d¨on¨u¸s¨um ξ = φ(x, y), η = η(x, y) olabilir. Burada, η, J = 0 ko¸sulu ile tamamen keyfi se¸cilebilir. B¨oylece, (2.2) KDDini B(ξ, η)wη + C(ξ, η)w = F(ξ, η) bi¸ciminde sıradan bir denkleme indirgemi¸s oluruz. Bu denklemin ¸c¨oz¨um¨u (ξ de˘gi¸skenini sabit tutarak integre ediyoruz) α1 ve α2 belirli fonsiyonları ile w = f(ξ)α1(ξ, η) + α2(ξ, η) olur. Ters d¨on¨u¸s¨um ile (x, y) koordinatlarına d¨onerek ¸c¨oz¨um¨un u(x, y) = β1(x, y)f(ξ(x, y)) + β2(x, y) bi¸ciminde ifadesini elde ederiz.
  • 14. 2.1. Lineer denklemler 13 NOT. E˘ger c = f = 0 ise denklem aux + buy = 0 olur. Bu ise u’nun V = (a, b) vekt¨or¨u boyunca t¨urevinin sıfır oldu˘gunu s¨oyler. Yani genel ¸c¨oz¨um φ(x, y) = c karakteristik e˘grileri ¨uzerinde sabit kalır. Genel ¸c¨oz¨um, keyfi f ∈ C1 fonksiyonu i¸cin u = f(φ(x, y)) olur. c veya f sıfır de˘gilse, ¸c¨oz¨um karakteristikler ¨uzerinde sabit kalmaz ve u’nun V y¨on¨undeki t¨urevi, η y¨on¨undeki t¨urevi ile orantılı olur. ¨Ornek 9. yux + xuy − u = (x + y)2 denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz. C¸ ¨oz¨um. y = b/a = x/y karakteristik denklemini xdx−ydy = 0 yazarak de˘gi¸skenlere ayırıp integre edersek x2 − y2 = c buluruz. D¨on¨u¸s¨um¨u ξ = x2 − y2 , η = x + y se¸celim. η’nın se¸ciminde denklemin sa˘g yanındaki terimi dikkate aldık. ux = 2xwξ + wη, uy = −2ywξ + wη t¨urevleri denklemde konursa ηwη − w = η2 sıradan denklemi bulunur. denklemi η2 ile b¨ol¨up integre edelim ∂ ∂η w η = 1 ⇒ w = η2 + ηf(ξ). (x, y) de˘gi¸skenleri ile ¸c¨oz¨um u = (x + y)2 + (x + y)f(x2 − y2 ) olur. Cauchy ba¸slangı¸c de˘ger problemi D¨uzlemde bir γ = {(x, y) : y = y0(x)} ⊂ R2 e˘grisi verilsin. (2.1) denk- leminin bu e˘gri ¨uzerinde verilen u|γ = u0(x) de˘gerlerini alan ¸c¨oz¨um¨un¨un bulunması problemi bir ba¸slangı¸c de˘ger (veya Cauchy) problemidir. u0(x)
  • 15. 14 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler fonksiyonuna Cauchy veya ba¸slangı¸c-de˘ger datası (verisi) denir. S¸imdi bu problemin ¸c¨oz¨ulebilirli˘gini inceleyelim. Aranan problemin ¸c¨oz¨um¨u S : u = ϕ(x, y) y¨uzeyi ile verilsin. Ba¸slangı¸c ko¸sul geometrik olarak, Γ = γ ×{u0(x)} ⊂ R3 uzay e˘grisinin u = ϕ(x, y) y¨uzeyi ¨uzerinde kalması demektir. γ ba¸slangı¸c e˘grisi Γ e˘grisinin u = 0 xy-d¨uzlemine izd¨u¸s¨um¨ud¨ur. Cauchy problemi, Γ e˘grisini i¸ceren y¨uzeyin bulunmasına denk olur. ux ve uy kısmi t¨urevlerinin γ ¨uzerindeki ux|γ, uy|γ de˘gerlerini belir- lemeye ¸calı¸salım. Bunun i¸cin verilen KDD ile Ba¸slangı¸c ko¸sulu γ e˘grisi boyunca t¨uretilirse d dx u|γ = d dx u(x, y0(x)) = ux|γ + uy|γ.y0(x) = u0(x) bulunur. Verilen denklemin γ ¨uzerinde de˘gerlendirilmesinden a(γ)ux|γ + b(γ)uy|γ + c(γ)u|γ = f(γ) ba˘gıntısı yazılabilir. Bu iki ba˘gıntıdan ux|γ ve uy|γ de˘gerlerinin tek olarak belirlenebilmesi i¸cin ∆ = a(γ) b(γ) 1 y0(x) = 0 determinant ko¸sulunun sa˘glanması gerekir. Bu ko¸sul y0(x) = b(x, y0(x)) a(x, y0(x)) (2.4) olarak yazıldı˘gında, geometrik olarak γ ba¸slangı¸c e˘grisinin hi¸c bir yerde karakteristiklere te˘get olmaması gerekti˘gini ifade eder. Cauchy problemi- nin ¸c¨oz¨ulebilmesi i¸cin ba¸slangı¸c e˘grisi karakteristik e˘grilerle ¸cakı¸smaması gerekir. (2.4) ko¸suluna karakteristik olmama ko¸sulu denir. E˘ger γ karakteristik bir e˘gri ise Cauchy probleminin ¸c¨oz¨um¨un¨un olup olmadı˘gını merak ediyor olabilirsiniz. Bu durumda, u0(x) ba¸slangı¸c datası keyfi olarak verilemez. u0(x)’in ancak ¨ozel se¸cimi i¸cin ¸c¨oz¨um m¨umk¨un olabilir. u0(x), Γ e˘grisi karakteristik ailenin bir ¨uyesi olacak se¸cilirse ¸c¨oz¨um vardır ancak tek olamaz. Problemin sonsuz ¸c¨oz¨um¨u vardır. S¸imdi bu tartı¸stıklarımızı ¨orneklerle a¸cıklayalım. ¨Ornek 10. Bir ¨onceki ¨ornekteki denklemin y = 0 do˘grusu ¨uzerinde u = 2x2 de˘gerlerini alan ¸c¨oz¨um¨un¨u belirleyiniz.
  • 16. 2.1. Lineer denklemler 15 C¸ ¨oz¨um. γ = {(x, y) : y = 0} e˘grisi (x-ekseni) bir karakteristik ol- madı˘gından yalnızca bir ¸c¨oz¨um vardır. Verilen ko¸sullardan u(x, 0) = u0(x) = 2x2 = x2 + xf(x2 ) veya f(x2 ) = x ba˘gıntısı elde edilir. f(x) = √ x olmalıdır. Sonu¸c olarak ¨ozel ¸c¨oz¨um u = (x + y)2 + (x + y) x2 − y2 dir. ¨Ornek 11. Aynı KDD’in u|x=y = u0(x) yan ko¸sulunu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨un¨u irdeleyiniz. C¸ ¨oz¨um. C¸¨oz¨ulebilirlik (sonsuz sayıda ¸c¨oz¨um) i¸cin u0(x) = 4x2 + 2f(0)x ba¸slangı¸c ko¸sulundan belirli bir K sabiti i¸cin Cauchy datasının u0(x) = 2Kx + 4x2 olarak se¸cilmesi gerekir. Di˘ger bir deyi¸sle u0’ın bir karakteristik ¨uzerindeki de˘geri verilmelidir. K = f(0) ko¸sulunu sa˘glayan b¨ut¨un f keyfi fonksi- yonları denklemin ¸c¨oz¨umlerini ¨uretecektir. ¨Orne˘gin, u0(x) = 4x2 ise, f(0) = 0 sa˘glayan fonksiyonlardan bir ka¸cı f1(x) = sin x, f2(x) = x, f3(x) = 1 − ex alınabilir. Bunlara kar¸sı gelen ¸c¨oz¨umler u1(x, y) = (x + y)2 + (x + y) sin(x2 − y2 ), u2(x, y) = (x + y)2 + (x + y)(x2 − y2 ), u3(x, y) = (x + y)2 + (x + y)[1 − exp (x2 − y2 )]. ¨Onceki ¨ornekte se¸cilen u0(x) = 2x2 i¸cin hi¸c bir ¸c¨oz¨um olmadı˘gı a¸cıktır. ¨Ornek 12. a(x, y)ux + b(x, y)by = 0 denkleminde katsayılar ax + by = a ko¸sulunu sa˘gladı˘gına g¨ore genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
  • 17. 16 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler Karakteristik denklem dx a = dy b , bdx − ady = 0 bi¸ciminde yazılabilir. Bu denklemin x’e ba˘glı bir µ(x) integrasyon ¸carpanı vardır. Ger¸cekten, verilen ko¸suldan µ (x) µ(x) = by + ax −a = −1, integre edilirse µ(x) = e−x ¸carpanı bulunur. O halde, bir φ(x, y) i¸cin dφ(x, y) = e−x (bdx − ady) = 0 olmalıdır. φx = be−x , φy = −ae−x e¸sitliklerinden integrasyonla, ¨orne˘gin birinciden ba¸slayarak φ = be−x dx + C(y), ikincide kullanarak φy = bye−x dx + C (y) = − (ax − a)e−x dx + C (y) = − (ae−x )xdx + C (y) = −ae−x den C (y) = 0 bulunur. Yani, φ = be−x dx = c1 birinci integrali bulunur, genel ¸c¨oz¨um de keyfi bir F i¸cin u = F(φ) ol- malıdır. NOT. µ(x, y) fonksiyonu P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 denkleminin bir integrasyonu ¸carpanı ise (µP)y = (µQ)x
  • 18. 2.1. Lineer denklemler 17 tamlık ko¸sulu sa˘glanmalıdır. Bu ko¸sul a¸cık olarak yazıldı˘gında 1. mer- tebeden lineer Qµx − Pµy = µ(Py − Qx) KDDinin bir ¸c¨oz¨um¨un¨u (genel ¸c¨oz¨um gereksiz) bulmaya indirgenir. Bunun i¸cin dx Q = dy −P = dµ µ(Py − Qx) karakteristik denklemlerinin µ fonksiyonuna ba˘glı bir integralini bulmak yeterli olacaktır. ¨Ornek 13. (y3 − 2x2 y)dx + (2xy2 − x3 )dy = 0 denkleminin bir integrasyon ¸carpanını bulunuz. C¸ ¨oz¨um. dx 2xy2 − x3 = −dy y3 − 2x2y = dµ µ(x2 + y2) denklemlerinden ilk ikisinden elde edilebilecek integre edilebilen bir oran sonuncuya e¸sitlenirse ydx + xdy xy(x2 + y2) = dµ µ(x2 + y2) veya d(xy) xy = dµ µ ve integre edilirse µ1(x, y) = xy (integrasyon sabitine gerek yok) ¸carpanı bulunur. Di˘ger ba˘gımsız bir ¸carpan xdx − ydy x4 − y4 = − dµ µ(x2 + y2) ⇒ d(x2 − y2 ) x2 − y2 + 2 dµ µ tam denkleminden µ2(x, y) = (x2 − y2 )−1/2 olarak bulunur. Genel ¸c¨oz¨um denklemi integre etmeden Euler teoremini kullanarak yazılabilir: µ1 µ2 = sabit ⇒ x2 y2 (x2 − y2 ) = C.
  • 19. 18 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler Parametrik bi¸cimde ¸c¨oz¨umler Cauchy probleminin ba¸slangı¸c ko¸sulunun parametrik olarak verildi˘gini varsayalım ve a¸sa˘gıdaki problemi d¨u¸s¨unelim: (I) aux + buy + cu = f, u|γ = u0(s), γ = (x0(s), y0(s)). (2.5) (2.3) karakteristik denklemini t ile parametreleyip dx a = dy b = dt (2.6) bi¸ciminde yazabiliriz. Karakteristik denklemi a¸sa˘gıdaki denklem sistemi olarak yazalım: dx dt = ˙x(t) = a(x(t), y(t)), dy dt = ˙y(t) = a(x(t), y(t)). (2.7) Bu sistemin en azından bir t = 0 kom¸sulu˘gunda ¸c¨oz¨um¨u vardır. Karak- teristik e˘grileri verecek olan bu e˘grileri (V = (a, b) vekt¨or alanının integ- ral e˘grileri) χ0 = (x(t), y(t)) (2.8) ile g¨osterelim. Parametrik ba¸slangı¸c ko¸sulu u(x0(s), y0(s)) = u0(s) yazıla- bilir. S¸imdi u ¸c¨oz¨um (integral) y¨uzeyinin χ0 = (x(t), y(t)) karakteristik e˘grileri boyunca u(t) = u(x(t), y(t)) de˘gerinin t de˘gi¸skenine g¨ore (zaman) de˘gi¸simine bakalım: d dt u(x(t), y(t)) = ˙u(t) = ux(χ0) ˙x(t) + uy(χ0) ˙y(t) = aux + buy. Yukarıda karakteristik denklemleri kullandık. Ayrıca KDDden ˙u(t) = f(x(t), y(t)) − c(x(t), y(t))u(t) (2.9) yazılabilir. χ0 ¨uzerinde u(x, y) ¸c¨oz¨um y¨uzeyinin de˘gerleri sıradan 1. mer- tebe lineer bir diferansiyel denklem ¸c¨oz¨ulerek u(0) de˘geri biliniyorken belirlenebilir. Buradan ¸cıkarılabilecek sonu¸c, (2.7) ve (2.9) sisteminin ¸c¨oz¨um¨u olan χ = (x(t), y(t), u(t)) e˘grilerinin (xy-d¨uzlemi ¨uzerine izd¨u¸s¨um¨u (x(t), y(t)) karakteristik e˘grileri verir) integral y¨uzeyi ¨uzerinde kaldı˘gıdır. Bu ger¸ce˘ge
  • 20. 2.1. Lineer denklemler 19 dayanarak Γ = (x0(s), y0(s), u0(s)) uzay e˘grisinden ge¸cen karakteristik e˘grilerin d¨uzg¨un bir birle¸simi ile y¨uzeyin iki (s, t) parametrelerine ba˘glı ¸c¨oz¨um¨un¨u parametrik olarak in¸saa edebiliriz. Bunu yapmak i¸cin, s’nin her de˘geri i¸cin Γ’e˘grisini en ¸cok bir noktada kesen ve kesi¸sim noktasında te˘getleri birbirine paralel olmayan χ : (x(s, t), y(s, t), u(s, t)) e˘grileri bu- lunmalıdır. Bu e˘grileri ((2.7) ve (2.9)) sıradan denklem sisteminin x(s, 0) = x0(s), y(s, 0) = y0(s), u(s, 0) = u0(s) ba¸slangı¸c ko¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨umleri olarak alabiliriz. Bu ise ¸c¨oz¨um y¨uzeyinin parametrik denklemleridir. (s, t) parametreleri de˘gi¸sirken bu noktalar xyu-uzayının y¨uzey ¨uzerinde kalan noktalarını ¨uretecektir. C¸¨o- z¨um¨un parametrik olmayan bi¸cimi x = x(s, t), y = y(s, t) denklemlerin- den t ve s nin de˘gerlerini x ve y t¨ur¨unden ¸c¨ozebilmemiz gerekir. Bunun m¨umk¨un olabilmesi i¸cin ters fonksiyon teoremine g¨ore J(s, t) = ∂(x, y) ∂(s, t) = xsyt − xtys = 0 olması gerekir. γ = (x0(s), y0(s)) ba¸slangı¸c e˘grisi ¨uzerinde J|γ = J(s, 0) = x0(s)a(x(s), y(s)) − y0(s)a(x(s), y(s)) = 0 veya x0(s) b(s) = y0(s) b(s) ko¸sulu sa˘glanır. Bu ise, ba¸slangı¸c e˘grisinin karakteristik olmaması ko¸su- luna denktir. Katsayıların ve ba¸slangı¸c de˘gerlerinin s¨ureklili˘ginden yeterince k¨u¸c¨uk t de˘gerleri i¸cin (yani, en azından γ e˘grisinin yakın bir kom¸sulu˘gunda) J(s, t) = 0 varsayabiliriz. Yukarıdaki ko¸sul altında ¸c¨oz¨ulebildi˘gi (en azından ilke olarak) varsa- yılan s = S(x, y), t = T(x, y) fonksiyonları u = u(s, t) de konursa ¸c¨oz¨um¨u (integral y¨uzeyi) a¸cık olarak u = u(T(x, y), S(x, y)) = ϕ(x, y) bi¸ciminde bulmu¸s oluruz. Bu yakla¸sım lineer denklemin Cauchy problemi i¸cin ”karakteristik- ler” y¨ontemi olarak bilinir. Bu y¨onteminin olduk¸ca genel oldu˘gu kuazili- neer ve hatta lineer olmayan denklemler i¸cin tanımlanmı¸s ba¸slangı¸c de˘ger problemlerinin ¸c¨oz¨um¨une geni¸sletilebilece˘gini birazdan g¨orece˘giz.
  • 21. 20 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler ¨Ornek 14. yux + xuy − u = (x + y)2 , u(s, 0) = 2s2 (2.10) Cauchy problemini karakteristikler y¨ontemi ile bulunuz. C¸ ¨oz¨um. χ karakteristiklerinin denklem sistemi ˙x = y, ˙y = x, ˙u = u + (x + y)2 . ˙Ilk iki deneklem u(t) den ba˘gımsız oldu˘gundan ¨once (x(t), y(t)) e˘grilerini buluruz. Denklem sistemini ˙x ˙y = 0 1 1 0 x y bi¸ciminde sabit katsayılı lineer denklem sistemi olarak ¸c¨ozebiliriz. Di˘ger bir yol 1. denklemi t’ye g¨ore t¨uretip ˙y t¨urevini yok ederek ¨x(t)−x(t) = 0 skaler denkleminin ¸c¨oz¨um¨unden sabit s i¸cin x(s, t) = C1(s) cosh t + C2(s) sinh t elde ederiz. 2. denklemi kullanarak y(s, t) = C1(s) sinh t + C2(s) cosh t buluruz. Karakteristiklerin ba¸slangı¸c e˘grisinden ge¸cmesi gerekti˘gi ko¸sulundan C1 ve C2 integrasyon sabitlerini belirleyebiliriz. x(s, 0) = x0(s) = s, y(s, 0) = 0 ko¸sullarından C1(s) = s, C2(s) = 0 olmalıdır. χ karakteristiklerinin (x(s, t), y(s, t)) = (s cosh t, s sinh t) izd¨u¸s¨umlerini 3. denklemde yazarak ˙u(t) − u(t) = (x + y)2 = (x(s, t) + y(s, t))2 = s2 e2t
  • 22. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 21 buluruz ki ¸c¨oz¨um¨u (sabit s i¸cin) u(s, t) = s2 e2t + C3(s)et dir. u0(s) = u(s, 0) = 2s2 ko¸sulundan C3(s) = s2 ¸cıkar. Parametrik ¸c¨oz¨um ((x(s, t), y(s, t), u(s, t)) = (s cosh t, s sinh t, s2 (et + e2t )) olarak yazılabilir. (x+y)2 = s2 e2t ve x2 −y2 = s2 oldu˘gu dikkate alınırsa u(s, t) den (s, t) parametrelerini x, y t¨ur¨unden ifade ederek u(x, y) = (x + y)2 + (x + y) x2 − y2 a¸cık ¸c¨oz¨um¨un¨u bulmu¸s oluruz. 2.2 Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler F(x, y, z) fonksiyonu i¸cin a(x, y, z)Fx + b(x, y, z)Fy + c(x, y, z)Fz + d(x, y, z)F = h(x, y, z) (2.11) denklemini d¨u¸s¨unelim. a, b, c, d, h, C1 sınıfından fonksiyonlardır. Denk- lemin (x, y(x), z(x)) karakteristik e˘grileri y (x) = b(x, y, z) a(x, y, z) , z (x) = c(x, y, z) a(x, y, z) , a(x, y, z) = 0 (2.12) karakteristik denklem sisteminin ¸c¨oz¨um¨u olarak tanımlanır. Geometrik olarak, bu uzay e˘grilerinin her noktada V = (a, b, c) vekt¨or alanınına te˘get oldu˘gu anla¸sılır. Sistemin ¸c¨oz¨um¨u iki integrasyon sabitine (c1, c2) ba˘glı olan genel ¸c¨oz¨um¨u y = y(x, c1, c2), z = z(x, c1, c2) bi¸cimindedir. Bu e˘grilerin c1, c2 sabitlerine g¨ore tek olarak ¸c¨oz¨ulebildi˘gi varsayımı ile u(x, y, z) = c1, v(x, y, z) = c2 yazılabilsin. Karakteristik e˘griler iki parametreli u = c1 ve v = c2 y¨uzey ailelerinin arakesit e˘grileri olarak elde edilir. Karakteristikler bu fonksi- yonlar ¨uzerinde sabit de˘gerler alır.
  • 23. 22 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler S¸imdi, a¸sa˘gıdaki tersinir d¨on¨u¸s¨um ile KDDin sıradan bir lineer denk- leme d¨on¨u¸st¨u˘g¨un¨u g¨orelim ξ = u(x, y, z), η = v(x, y, z), ζ = z. Bu d¨on¨u¸s¨um altında yeni ba˘gımlı de˘gi¸sken G(ξ, η, ζ) = F(x, y, z) olsun. Zincir kuralı ile aFx + bFy + cFz = (aux + buy + cuz)Gξ + (avx + bvy + cvz)Gη + cGζ elde edilir. u(x, y, z) = c1 y¨uzeyi ¨uzerinde bir (x0, y0, z0) noktasından ge¸cen karak- teristik boyunca 0 = d dx u(x, y, z) = ux + uyy + uzz = 1 a (aux + buy + cuz) ve benzer bi¸cimde avx + bvy + cvz = 0 oldu˘gundan aFx + bFy + cFz teriminin yeni koordinatlarda ifadesi C(ξ, η, ζ)Gζ olacaktır. ˙Ilk denklem ise C(ξ, η, ζ)Gζ + D(ξ, η, ζ)G = H(ξ, η, ζ) sıradan denklemine d¨on¨u¸s¨ur. Bir ba¸ska deyi¸sle, ξ ve η sabit tutuldu˘gunda ve ζ de˘gi¸sirken, karakteristik koordinatlar elde edilecek bi¸cimde koor- dinatları de˘gi¸stirsek, ilk KDD ζ ba˘gımsız de˘gi¸skenine g¨ore sıradan bir denkleme indirgenir. Bu lineer denklemin ξ, η de˘gi¸skenleri sabit tutularak integrasyonun- dan elde edilecek ¸c¨oz¨um G = α(ξ, η, ζ)f(ξ, η) + β(ξ, η, ζ) bi¸ciminde olur. Burada, α ve β belirli fonksiyonlar, f ∈ C1 keyfi in- tegrasyon fonksiyonudur. (x, y, z) de˘gi¸skenlerine geri d¨onerek aranan ¸c¨oz¨um¨u F = α(x, y, z)f(ξ(x, y, z), η(x, y, z)) + β(x, y, z) bi¸ciminde elde ederiz. d = h = 0 ¨ozel durumunda Gζ = 0 denkleminin integrasyonundan genel ¸c¨oz¨um F = f(ξ(x, y, z), η(x, y, z)) olarak yazılabilir ve karakteris- tikler ¨uzerinde sabit de˘gerler alır. Yukarıda verilen y¨onteminde uygulanabilirli˘ginde bazı teknik g¨u¸cl¨uk- ler ¸cıkabilir. Bunlardan biri karakteristik sistemin genel olarak (y(x), z(x))
  • 24. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 23 ¸c¨oz¨um¨un¨un bulanamayaca˘gı ger¸ce˘gidir. Bu ¸c¨oz¨um bulunsa bile ters d¨o- n¨u¸s¨um¨u iyi tanımlı olmayabilir veya bu d¨on¨u¸s¨um¨u bulmak ¸cok g¨u¸c ola- bilir. Yine de, ¸c¨oz¨um¨un bulunması i¸cin karakteristiklerin a¸cık ifadesin- den ¸cok, d¨on¨u¸s¨um¨u verecek olan karakteristikler ¨uzerinde sabit kalan y¨uzeylerin bulunması ¨onem ta¸sır. Bu ama¸cla, ¸co˘gunlukla, karakteristik sistemi dx a = dy b = dz c (2.13) bi¸ciminde yazıp, sistemin bazı tekniklerle birbirinden ba˘gımsız iki (ϕ, ψ) integralini (integral tabanı) arayaca˘gız. Bunun i¸cin rank( ϕ, ψ) = 2 ko¸sulu sa˘glanmalıdır. Tanım 4. (2.13) sisteminin bir ¸c¨oz¨um¨u ¨uzerinde sabit kalan bir I(x, y, z) fonksiyonuna sistemin bir ilk integrali (veya hareket sabiti) adı verilir. ˙Ilk integral tanımından 0 = d dx I = I · (a, b, c) = (aIx + bIy + cIz) elde edilir. Yani I, aux +buy +cuz = 0 homojen lineer denklemini sa˘glar. Bu g¨ozlem, karakteristik sistemin ¸c¨oz¨umleri ile kar¸sı gelen homohen KD- Din ¸c¨oz¨umlerinin yakından ili¸skili oldu˘gunu g¨ostermektedir. I1 ve I2 iki ba˘gımsız ilk integral, yani I1 ve I2 vekt¨orleri paralel de˘gilse, keyfi F C1 -fonksiyonu i¸cin F(I1, I2) fonsiyonu da bir ilk integ- raldir. Bunun i¸cin F = FI1 I1 + FI1 I1 ba˘gıntısından F.(a, b, c) = FI1 I1.(a, b, c) + FI2 I2.(a, b, c) ≡ 0 oldu˘gunu g¨ormek yeterlidir. Yukarıda, I1 ve I2 fonksiyonlarının ilk integ- raller oldu˘gu ger¸ce˘gini kullandık. Buna g¨ore, u = F(I1, I2) fonksiyonu a(x, y, z)ux + b(x, y, z)uy + c(x, y, z)uz = 0 denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨u olur. Bir integrali bulmak i¸cin uygulanabilecek bir yol sistemdeki oran- lara e¸sit yeni oranlara e¸sitleyerek integre edilebilen birle¸simler aramaktır. Daha kesin bir deyi¸sle, belirli P, Q, R fonksiyonları i¸cin Pdx + Qdy + Rdz aP + bQ + cR = dx a = dy b = dz c
  • 25. 24 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler yazılabilir (neden?). S¸imdi P1, Q1, R1, P2, Q2, R2 fonksiyonlarını ¨oyle be- lirleyelim ki P1dx + Q1dy + R1dz = dϕ, P2dx + Q2dy + R2dz = dψ olsun ve bilinen µ1, µ2 sabitleri i¸cin aP1 + bQ1 + cR1 = µ1ϕ, aP2 + bQ2 + cR2 = µ2ψ yazılabilsin. Bu durumda dϕ µ1ϕ = dψ µ2ψ integre edilebilir (tam) bir denklemin integrasyonu ile birinci integral bulunabilir. E˘ger ¨ozel olarak aP1 + bQ1 + cR1 = 0 veya aP2 + bQ2 + cR2 = 0 ise dϕ(x, y, z) = 0 veya dψ = 0 olur ve bir ilk integral ϕ(x, y, z) = sabit ya da ψ(x, y, z) = sabit olarak hemen elde edilmi¸s olur. ¨Ornek 15. Fx + Fy + Fz + F = 0 denkleminin z = 0 d¨uzlemi ¨uzerinde F(x, y, 0) = x2 + y2 yan ko¸sulunu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz. C¸ ¨oz¨um. Denklem sabit katsayılı oldu˘gu i¸cin dx 1 = dy 1 = dz 1 karakteristik denklemlerinin integrasyonu kolayca yapılabilir ve iki ba˘gımsız integral: u = x − z = c1, v = y − z = c2. ξ = x − z, η = y − z, ζ = z d¨on¨u¸s¨um¨u denklemi Gζ + G = 0 denklemine indirger. C¸¨oz¨um¨u G = e−ζ f(ξ, η)
  • 26. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 25 veya ilk de˘gi¸skenlerle yazıldı˘gında F = e−z f(x − z, y − z) genel ¸c¨oz¨um¨un¨u verir. Yan ko¸sulu kullanarak F(x, y, 0) = x2 + y2 = f(x, y) buluruz. Aranan ¸c¨oz¨um F = e−z [(x − z)2 + (y − z)2 ] olarak elde edilir. ¨Ornek 16. (y − x)Fx + (z − x)Fy + (x − y)Fz = 0, F(x, y, 0) = xy problemini ¸c¨oz¨un¨uz. C¸ ¨oz¨um. dx y − z = dy z − z = dz x − y karakteristik denklemlerinin iki ba˘gımsız ilk integrali dx + dy + dz 0 = dx y − z , xdx + ydy + zdz 0 = dx y − z e¸sitliklerinden elde edilen d(x + y + z) = 0, d(x2 + y2 + z2 ) = 0 tam denklemlerinin integrasyonundan u = x + y + z = c1, v = x2 + y2 + z2 = c2 olarak elde edilir. ξ = x + y + z, η = x2 + y2 + z2 , ζ = z d¨on¨u¸s¨um¨uyle KDD, Gζ = 0 sıradan denklemine ve integrali G = f(ξ, η) veya F(x, y, z) = f(x + y + z, x2 + y2 + z2 ) genel ¸c¨oz¨um¨une g¨ot¨ur¨ur. ˙Iki de˘gi¸skenli f keyfi fonksiyonunu belirlemek i¸cin verilen yan ko¸sulu kullanırız: F(x, y, 0) = xy = f(x + y, x2 + y2 ).
  • 27. 26 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler f’i belirleyecek olan bu fonksiyonel ba˘gıntıyı ¸c¨ozmek i¸cin r = x + y, s = x2 + y2 yazıp, x, y de˘gi¸skenlerini r, s de˘gi¸skenlerine g¨ore ifade ederiz. (x + y)2 = r2 = s + 2xy den f(r, s) = xy = (r2 − s)/2 bulunmu¸s olur. C¸¨oz¨um, F = 1 2 [(x + y + z)2 − (x2 + y2 + z2 )] = xy + yz + xz olur. ¨Ornek 17. xFx + yFy + zFz − 2F = 0, F(x, y, y) = y2 problemini ¸c¨oz¨un¨uz. C¸ ¨oz¨um. Genel ¸c¨oz¨um dx x = dy y = dz z karakteristik sistemiin integrasyonundan bulunacak olan y x = c1, z x = c2 integralleri kullanarak ξ = y/x, η = z/x, ζ = z d¨on¨u¸s¨um¨unden sonra Gζ − 2G = 0 indirgenmi¸s denklemi bulunur. Bunun ¸c¨oz¨um¨u ilk koordinatlarda verilen KDDin F = z2 f( y x , z x ) bi¸ciminde ¸c¨oz¨um¨un¨u verir. Yan ko¸suldan F(x, y, y) = y2 = y2 f( y x , y x ), ⇒ f(r, r) = 1 elde edilir. Bu ko¸sul dı¸sında f keyfi kalır. Yani, denklemin sonsuz sayıda ¸c¨oz¨um¨u vardır. Yan ko¸sul z = y d¨uzlemi ¨uzerinde verilmi¸stir ve c1 =
  • 28. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 27 c2 = 1 i¸cin elde edilen (t, t, t) karakteristik do˘grusu bu d¨uzlem ¨uzerinde kalmaktadır. Dahası, bu d¨uzlem bir parametreli (c1 = c2) karakteristik do˘gruların birle¸simidir. f1(r, s) = cos(r−s), f2(r, s) = 2(r/s)2 −1 se¸cimleri (di˘gerleri arasından) f(r, r) = 1 ko¸sulunu sa˘glar ve kar¸sı gelen ¸c¨oz¨umler F1 = z2 cos y − z x , F2 = 2y2 − z2 olur. ¨Ornek 18. (y + x)Fx + (y − x)Fy + Fz = 0 denkleminin karakteristiklerini bulun ve genel ¸c¨oz¨um¨un¨u elde edin. C¸ ¨oz¨um. dx y + x = dy y − x = dz 1 karakteristik sisteminde z de˘gi¸skenine bir parametre olarak bakıp x (z) = x(z) + y(z), y (z) = y(z) − x(z) sistemini ¸c¨ozelim. Lineer sistemler i¸cin bilinen y¨ontemler kullanılabilir. Burada farklı bir yol izleyece˘giz. Birinci denklemi t¨uretip, her iki denk- lemi de kullanarak yalnızca x(z) de˘gi¸skenine g¨ore x (z) − 2x (z) + 2x(z) = 0 denklemini ¸cıkarabiliriz. y(z)’nin de aynı denklemi sa˘gladı˘gı g¨or¨ulebilir. Sabit katsayılı lineer denklemin karakteristik denklemi λ2 − 2λ + 2 = (λ − 1)2 + 1 = 0 olur. K¨okleri λ1,2 = 1 ± i, kar¸sı gelen ¸c¨oz¨um x(z) = ez (c1 cos z + c2 sin z) dir. Birinci denklemden t¨urev alarak y(z) = x (z) − x(z) = ez (−c1 sin z + c2 cos z) buluruz. Basitle¸stirmek i¸cin c1 = α sin β, c2 = α cos β
  • 29. 28 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler tanımlanırsa x(z) = αez sin(z + β), y(z) = αez cos(z + β) karakteristikleri bulunur. Uygun bir d¨on¨u¸s¨um bulabilmek i¸cin bu iki ba˘gıntıdan α, β parametrelerine g¨ore ¸c¨ozelim. Kareleri alınır toplanırsa ve oranlanırsa ξ = e−z x2 + y2 = α, η = arctan(x/y) − z = β ilk integralleri bulunur. ˙Ikinci integralin η = z + arctan(y/x) yazılabile- ce˘gine dikkat edin. Genel ¸c¨oz¨um bu y¨uzeyler ¨uzerinde sabit kalır ve keyfi f ∈ C1 fonksiyonu ile F = f(ξ, η) bi¸ciminde yazılabilir. 2. yol: Denklemi (r, θ) kutupsal koordinatlarına d¨on¨u¸st¨ur¨urelim. xFx + yFy = rFr, yFx − xFy = −Fθ d¨on¨u¸s¨um form¨ulleri ile denklem yeni F(r, θ, z) fonksiyonuna g¨ore rFr − Fθ + Fz = 0 olarak yazılabilir. Karakteristik sistem dr r = dθ −1 = dz 1 . Bu sistemin iki ba˘gımsız integrali re−z = α, θ + z = β olarak alınabilir. Genel ¸c¨oz¨um, F = f(re−z , θ + z) olacaktır. (x, y) koordinatlarına geri d¨on¨u¸s¨um bu ¸c¨oz¨um¨un (sabit farkıyla) yukarıda bulunan ¸c¨oz¨ume denk oldu˘gunu g¨ostermektedir. Alı¸stırmalar A¸sa˘gıdaki problemleri ¸c¨oz¨un¨uz. 6. a) x(y − x)Fx + y(z − x)Fy + z(x − y)Fz = 0, F(x, y, 1) = x + y b) xFx + yFy + (x2 + y2 )Fz = 0, F(x, y, 0) = x + y c) 2xzFx + xyzFy + Fz = 0, F(x, y, 0) = cos(x + y)
  • 30. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 29 2.2.1 Kuazilineeer denklemler ve Lagrange Y¨ontemi a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u) (2.14) kuazilineer denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨u kar¸sı gelen karakateristik sistemin iki ba˘gımsız ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) ilk integralinden ( ϕ ve ψ hi¸cbir yerde paralel de˘gil) genel ¸c¨oz¨um elde edilebilir. a ve b katsayıları u’ya ba˘glı de˘gilse bu denklem yarı lineer olur. Yarı lineer bir denklemin bir integrali u’dan ba˘gımsız olaca˘gı i¸cin b¨oyle den- klemlerin genel ¸c¨oz¨umlerini tipik olarak (her zaman olmasa bile) a¸cık bi¸cimde elde etmek m¨umk¨un olacaktır. Teorem 1. ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) karakateristik sistemin iki ba˘gımsız integrali ve F = F(h, k) bir C1 fonksiyonu olsun. E˘ger, Fhϕu + Fkψu = 0, ise F(φ(x, y, u), ψ(x, y, u)) = 0 ba˘gıntısı (2.14) denkleminin kapalı bi¸cimde genel ¸c¨oz¨um¨un¨u tanımlar. Kanıt: Biliyoruz ki, ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) ilk integraller ise w = w(x, y, u) = F(φ(x, y, u), ψ(x, y, u)) fonksiyonu da bir ilk integraldir ve hipotezden wu = 0 oldu˘gundan, ¨u¸c boyutlu lineer homojen a(x, y, u)wx + b(x, y, u)wy + c(x, y, u)wu = 0 (2.15) denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur. Ayrıca, w(x, y, u) = 0 denklemi kapalı olarak (2.14) denkleminin u = u(x, y) integarl y¨uzeyini tanımlar. Bunu i¸cin, kapalı fonksiyon teoreminden ux = − wx wu , uy = − wy wu t¨urevlerini (2.14) denkleminde yazarak (2.15) denklemine varıldı˘gını g¨o- rebiliriz.
  • 31. 30 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler Kuazilineer bir denklemle verilmi¸s bir Cauchy datasını sa˘glayan prob- lemin ¸c¨oz¨um¨u i¸cin ((tek olmayan) ¸c¨oz¨um varsa) Lagrange y¨ontemiyle elde edilen genel ¸c¨oz¨um kullanılabilir. Bu t¨ur Cauchy problemini ¸c¨ozmek i¸cin karakteristikler y¨ontemini (geometrik yorumu var) kullanmak ¸co˘gu za- man daha elveri¸sli olabilir. Ancak bu y¨ontemle ¸c¨oz¨um parametrik olarak kapalı bi¸cimde bulunur ve yalnızca bazı ¨ozel durumlarda parametreler yok edilerek ¸c¨oz¨um¨un a¸cık formda bir ifadesi yazılabilir. Verilen bir e˘gri ¨uzerinde kalan ¸c¨oz¨um¨u genel ¸c¨oz¨umden ¸s¨oyle ¸cıkara- biliriz. Γ = {u(x, y, u) = 0, v(x, y, u) = 0} e˘grisi (u = 0 ve v = 0 y¨uzeylerinin arakesiti) verilsin. Γ e˘grisinin (x(s), y(s), u(s)) ile parametrelendi˘gini varsaylım. Γ e˘grisi w(x, y, u) = 0 integral y¨uzeyi ¨uzerinde kalıyorsa her s i¸cin w(x(s), y(s), u(s)) ≡ 0 sa˘g- lanmalıdır. Bu y¨uzeyi belirlemek i¸cin Γ ¨uzerinde yazılan ϕ(x(s), y(s), u(s)) = c1, ψ(x(s), y(s), u(s)) = c2 ilk integralleri arasında s yok edilerek F(c1, c2) = belirlenir. Parametrizasyon kullanmadan da do˘grudan ϕ(x, y, u) = c1, ψ(x, y, u) = c2, u(x, y, u) = 0, v(x, y, u) = 0 d¨ort denklem arasından (x, y, u) de˘gi¸skenleri yok edilerek de yukarıdaki ba˘gıntı bulunabilirdi. ¨Ornek 19. yuux + xuuy = xy denkleminin u|x2+y2=1 = 2xy ko¸sulunu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz. C¸ ¨oz¨um. dx yu = dy xu = du xy karakteristik denklem sisteminden ilk iki orandan x2 −y2 = c1 integralini buluruz. Di˘ger integral xdx + ydy 2xyu = du xy ⇒ 1 2 d(x2 + y2 ) = 2udu
  • 32. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 31 denkleminden x2 + y2 − 2u2 = c2 dir. Genel ¸c¨oz¨um F(x2 − y2 , x2 + y2 − 2u2 ) = 0 ba˘gıntısı ile verilir. ˙Integrallerden biri u’dan ba˘gımsız oldu˘gu i¸cin, is- tenirse u ¸c¨oz¨um¨u a¸cık olarak x, y de˘gi¸skenlerinin fonksiyonu olarak her C1 keyfi f fonksiyonu i¸cin 2u2 = x2 + y2 + f(x2 − y2 ) ile ifade edilebilir. Verilen ko¸sulu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨u bulmak i¸cin F keyfi fonksiyonunu belirlememiz gerekir. Bunu yapmak i¸cin ¸c¨oz¨um¨u yeni bir g(r2 ) = f(r) keyfi fonksiyonu kullanarak 2u2 = x2 + y2 + g((x2 − y2 )2 ) bi¸ciminde yazarak ba¸slayalım ve (x2 −y2 )2 = (x2 +y2 )2 −4x2 y2 ¨ozde¸sli˘gini dikkate alarak verilen ko¸sulu uygulayalım: 2u2 = 1 + g(1 − u2 ). Bu ba˘gıntıdan, g’yi belirlemek i¸cin r = 1 − u2 yazılırsa g(r) = 1 − 2r ve f(r) = 1 − 2r2 bulunur. Buna g¨ore ¸c¨oz¨um 2u2 = x2 + y2 − 2(x2 − y2 )2 + 1 olur. S¸imdi parametrik ¸c¨oz¨um: Ba¸slangı¸c ko¸sulunun bir s parametresi ile bir g¨osterilimini Γ : x(s) = cos s, y(s) = sin s, u(s) = 2x(s)y(s) = sin 2s yazalım. Γ e˘grisinden ge¸cen y¨uzeyi bulmak istiyoruz. Γ’nın bile¸senlerini x2 − y2 = c1, x2 + y2 − 2u2 = c2 integrallerininde yazıp, s’yi yok edersek belirlinmi¸s F(c1, c2) = 0 ba˘gıntısını buluruz ki bu aranan ¸c¨oz¨um¨u verir. Burada x2 − y2 = cos 2s = c1, x2 + y2 − 2u2 = 1 − 2 sin2 2s = c2
  • 33. 32 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler ba˘gıntılarından parametreyi kolayca yok edebiliriz ve c2 = 1 − 2(1 − cos2 2s) = 2c2 1 − 1 buluruz. ¨Ozetlersek, iki de˘gi¸skenli keyfi fonksiyon F(c1, c2) = c2 − 2c2 1 + 1 = 0 olmalıdır, ¸c¨oz¨um ise x2 + y2 − 2u2 = 2(x2 − y2 )2 − 1 ya da u2 ’ye g¨ore ¸c¨ozerek u2 = 1 2 [(x2 + y2 )(1 − 2(x2 + y2 )) + 8x2 y2 + 1] bi¸ciminde yazılabilir. Bu ¸c¨oz¨umde x2 + y2 = 1 yazıldı˘gında u2 = 4x2 y2 oldu˘gu, yani yan ko¸sulun sa˘glandı˘gı hemen g¨or¨ul¨uyor. Di˘ger ¨u¸c¨unc¨u bir yol, x2 + y2 = 1, u = 2xy, x2 − y2 = c1, x2 + y2 − 2u2 = c2 ba˘gıntıları arasında x, y, u yok edilerek F(c1, c2) = 0 ba˘gıntısını bul- maktır. Birinci ve d¨ord¨unc¨u e¸sitliklerden 1 − u2 = c2 1 ve ilk ¨u¸c¨unden c2 1 = (x2 − y2 )2 = (x2 + y2 )2 − 4x2 y2 = 1 − u2 bulunur. Son olarak bu ikisinden u’yu yok ederek yine aynı F(c1, c2) = 0 ba˘gıntısı bulunur. ¨Ornek 20. A¸sa˘gıdaki ba¸slangı¸c-de˘ger probleminin ¸c¨oz¨ulebilirli˘gini ince- leyiniz: uux + yuy = x y = ax, u = bx. C¸ ¨oz¨um. dx u = dy y = du x karakteristik denklemlerinden elde edilen d(x + u) x + u = −d(x − u) x − u = dy y , udu − xdx = 0 tam denklemlerden integre ederek bir integral tabanı (ba˘gımsız inte- graller) x + u y = c1, u2 − x2 = c2
  • 34. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 33 veya x + u y = c1, (u − x)y = c2 olarak bulunur. Genel ¸c¨oz¨um s¨urekli t¨uretilebilir keyfi bir F fonksiyonu i¸cin F y(u − x), x + u y = 0 bi¸ciminde yazılabilir. Ba¸slangı¸c ko¸sulundan, x’i parametre alarak F a(b − 1)x2 , b + 1 a = 0 veya birinci de˘gi¸skene g¨ore ¸c¨ozerek keyfi bir h i¸cin a(b−1)x2 = h((b+1)/a) sa˘glanması gerekir. Bu ba˘gıntının her x i¸cin sa˘glanması ancak b = 1 i¸cin m¨umk¨un olur. Buna kar¸sılık, ¸c¨oz¨um h(2/a) = 0 ko¸sulu altında tek olamaz. ¨Orne˘gin, a = 1 olsun ve h(x) = x − 2 (h(2) = 0 ko¸sulunu sa˘glayan sa˘glayan bir se¸cim) i¸cin bir ¸c¨oz¨um y(u − x) = x + u y − 2 ba˘gıntısından u i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse u = xy2 + x − 2y y2 − 1 olarak bulunur. Siz di˘ger bir ka¸c ¸c¨oz¨um¨u yazınız. Kuazi lineer denklemler ¨ozel olarak lineer denkemleri de i¸cerir. S¸imdi bu y¨ontemi a¸sa˘gıdaki lineer denklemi ¸c¨ozmek i¸cin uygulayalım. ¨Ornek 21. yux + xuy − u = (x + y)2 denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz. dx y = dy x = du u + (x + y)2
  • 35. 34 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler karakteristik sistemin iki ba˘gımsız ilk integralini bulaca˘gız. Birinci inte- gral φ(x, y) = x2 −y2 = c1 olarak hemen bulunur. ˙Ikinci integrali bulmak i¸cin d(x + y) x + y = du u + (x + y)2 denklemini integre edelim. x + y = z olsun. du dz = 1 z (u + z2 ) lineer denkleminin ¸c¨oz¨um¨unden u z = u x + y = (x + y) + c2 bulunur. Yani ikinci ba˘gımsız integral ψ(x, y, u) = u x + y − (x + y) olur. Genel ¸c¨oz¨um ise φ = f(φ), a¸cık olarak u(x, y) = (x + y)2 + (x + y)f(x2 − y2 ) bi¸ciminde olmalıdır. Aynı denklemin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u karakteristik koordinatlara ge¸cerek daha ¨once bulmu¸stuk.