4. B¨ol¨um 1
Giri¸s
1.1 Genel Bilgiler
u = u(x), x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
de˘gi¸skenlerinin skaler bir fonksi-
yonu olsun. Kısmi diferansiyel denklem (KDD), ba˘gımsız de˘gi¸skenlerin,
fonksiyonun ve sonlu sayıda t¨urevlerin
F(x, u, ux1 , . . . , uxn , ux1x1 , ux1x2 , . . .) = 0
bi¸ciminde bir ba˘gıntıdır. Burada, F de˘gi¸skenlerinin bilinen bir fonksiyo-
nudur ve kısmi t¨urevleri g¨ostermek i¸cin alt indis notasyonu kullanılmı¸stır.
¨Orne˘gin,
∂u
∂x1
= ux1,
∂2
u
∂x2
1
= ux1x1 ,
∂2
u
∂x1x2
= ux1x2 . . .
¨Ozel olarak, iki de˘gi¸skenli bir fonksiyon i¸cin n = 2 ve (x, y) ∈ R2
dir
ve kısmi diferansiyel denklem ¸su bi¸cimde yazılabilir:
F(x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy, uxxx, uxxy, . . . ) = 0.
Denklemin en y¨uksek kısmi t¨urevinin mertebesine denklemin mer-
tebesi denir. E˘ger F fonksiyonu u de˘gi¸skenine ve bunun b¨ut¨un kısmi
t¨urevlerine g¨ore lineer ise denkleme lineerdir denir. F en y¨uksek mer-
tebeden t¨urevlere g¨ore lineer, ancak katsayıları ba˘gımsız de˘gi¸skenlerin,
u’nun ve d¨u¸s¨uk mertebe t¨urevlerin fonksiyonları iseler, denklem ”kuazi-
lineer” olarak adlandırılır. B¨ut¨un t¨urevlere g¨ore lineer, katsayıları yal-
nızca ba˘gımsız de˘gi¸skenlere ba˘glı olan bir denkleme de yarı lineer denir.
3
5. 4 B¨ol¨um 1. Giri¸s
F’nin en y¨uksek t¨urevlerinden en az birisi lineer de˘gilse, o zaman denk-
leme ”lineer olmayan” denklem diyece˘giz. Lineer bir denklem i¸cin
u = 0 sıfır ¸c¨oz¨um¨u bir ¸c¨oz¨um ise, buna ”homojen” denklem, de˘gilse
”homojen olmayan” denklemdir denir. Homojen denklemin ¸c¨oz¨um¨u
bir sabitle ¸carpıldı˘gında yine ¸c¨oz¨um olur.
˙Iki de˘gi¸skenli en genel 2. mertebe homojen lineer bir KDD
a(x, y)uxx+b(x, y)uxy+c(x, y)uyy+d(x, y)ux+e(x, y)uy+f(x, y)u = g(x, y)
bi¸ciminde yazılabilir. g = 0 ise denklem homojen olur. a = b = c = 0 ise
1. mertebe genel lineer denklemi elde ederiz. Sonraki b¨ol¨umlerde lineer
denklemleri incelerken operat¨or yakla¸sımını kullanaca˘gız. Bunun i¸cin
∂x =
∂
∂x
, ∂y =
∂
∂y
, ∂2
x =
∂2
∂x2
, ∂x∂y =
∂2
∂x∂y
, ∂2
y =
∂2
∂y2
kısmi t¨urev operat¨orlerini tanımlayarak kısmi t¨urevleri bunlarla ifade
edece˘giz:
ux = ∂xu, uy = ∂yu, uxx = ∂2
xu, uxy = ∂x∂yu, uyy = ∂2
yu.
Genel lineer denklemi bir L operat¨or¨u ile
Lu = (a∂2
x + b∂x∂y + c∂2
y + d∂x + e∂y + f)u = g
bi¸ciminde ifade edebiliriz. Y¨uksek mertebeden lineer denklemler de ben-
zer bi¸cimde ifade edilebilir.
˙Iki de˘gi¸skenli bir u fonksiyonu i¸cin 2. mertebe genel kısmi denklemleri
operat¨or sembol¨u ile ifade edelim:
F(x, y, u, ∂xu, ∂yu, ∂2
x, ∂x∂yu, ∂2
yu) = 0.
¨Ornek 1.
2ux + 3uy = xy, birinci mertebe lineer homojen olmayan
ux + 2uy = u2
, birinci mertebe kuazilineer
ux
2
+ uy
2
= f(x, y), birinci mertebe lineer olmayan
uxx + uyy = 0, ikinci mertebe lineer homojen
ut − uxx = xt, ikinci mertebe lineer homojen olmayan
uxxuyy − u2
xy = f(x, y), ikinci mertebe lineer olmayan
6. 1.1. Genel Bilgiler 5
Tanım 1. u’nun ba˘gımsız de˘gi¸skenlerinin bir D ⊂ Rn
altk¨umesine kısıt-
landı˘gını varsayalım, yani u : D → R olsun. m. mertebe bir kısmi di-
feransiyel denklemin D b¨olgesi ¨uzerindeki bir ¸c¨oz¨um¨u, diferansiyel denk-
lemi D’nin b¨ut¨un i¸c noktalarında sa˘glayan Cm
sınıfından (m. t¨urevleri
var ve s¨urekli) bir fonksiyondur.
u = u(x, y, z) i¸cin uxy = 0 denkelmini d¨u¸s¨unelim. Denklemi bir kez y-
de˘gi¸skenine g¨ore integre edildi˘ginde integrasyon sabiti di˘ger de˘gi¸skenlere
ba˘glı olacaktır, yani ux = F(x, z). x’e g¨ore di˘ger bir integrasyon ile u =
f(x, z) + g(y, z) ¸c¨oz¨um¨un¨u buluruz. Burada f, F’nin ters t¨urevini (in-
tegralini) g¨ostermektedir. Ba˘gımsız iki keyfi fonksiyona ba˘glı bu ¸c¨oz¨um
genel ¸c¨oz¨umd¨ur. Sıradan denklemlerin tersine, genel ¸c¨oz¨um keyfi sabitler
yerine keyfi fonksiyonlar i¸cerir. Genel olarak, n ba˘gımsız de˘gi¸skenli m.
mertebe bir denklemin genel ¸c¨oz¨um¨u, n−1 de˘gi¸skenli m tane fonksiyonla
ifade edilir. Fakat bunun herzaman b¨oyle olması gerekmez. ¨Orne˘gin,
u ∈ C1
fonksiyonu u2
x + u2
y = 0 denklemini sa˘glayan bir fonksiyon
ux = 0, uy = 0 olmasını gerektirir. Birinciden elde edilen u = A(y),
ikincide yazılırsa A (y) = 0 ¸cıkar. u(x, y) = c = sabit olmalıdır. Yani,
genel ¸c¨oz¨um keyfi fonksiyon i¸cermez.
Buna ra˘gmen, KDD i¸cin a¸sa˘gıdaki ”genel ¸c¨oz¨um” tanımını benim-
seyece˘gız.
Tanım 2. m. mertebe bir KDD’in genel ¸c¨oz¨um¨u m tane Cm
sınıfından
keyfi fonksiyon i¸ceren bir ¸c¨oz¨umd¨ur ve bu fonksiyonların hi¸c biri genel
¸c¨oz¨um¨u kaybetmeden yok edilemez veya birle¸stirilemez. Di˘ger bir deyi¸sle,
keyfi fonksiyonların sayısını bunlardan birini yeni iki keyfi fonksiyonun
herhangi bir birle¸simi olarak de˘gi¸stirerek artıramayız.
¨Ornek 2.
yux − 2yuy + u = 0
lineer denklemini d¨u¸s¨unelim. Keyfi bir f ∈ C1
fonksiyonu i¸cin ¸c¨oz¨um¨un
u =
√
yf(2x + y) oldu˘gunu g¨osterin.
C¸ ¨oz¨um. Zincir kuralı ile ux = 2y1/2
f ve uy = 1/2y−1/2
f + y−1/2
f
t¨urevleri hesaplanırsa
yux − 2yuy = −y1/2
f = −u
oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Bu ¸c¨oz¨um¨un genel ¸c¨oz¨um oldu˘gu 2. b¨ol¨um¨un sonu¸cları
kullanılarak g¨osterilebilir.
7. 6 B¨ol¨um 1. Giri¸s
Tersine, keyfi bir fonksiyona ba˘glı verilen bir fonksiyonu genel ¸c¨oz¨um
kabul eden KDD’i t¨uretme ve yok etme yoluyla bulabilirz.
¨Ornek 3. u = xf(xy)+y2
fonksiyonu hangi denklemin genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur.
C¸ ¨oz¨um. Fonksiyon yalnızca bir keyfi fonksiyon i¸cerdi˘ginden sa˘glanması
gereken denklemin 1. mertebe olması beklenir.
ux = f(xy) + xyf (xy), uy = x2
f (xy) + 2y
kısmi t¨urevlerinden f t¨urevi yok edilirse
xux − yuy = xf − 2y2
= u − 3y2
lineer denklemi bulunur. Yukarıda f fonksiyonunu yok etmek i¸cin ¸c¨oz¨um¨u
kullandık.
NOT. ˙Ikinci b¨ol¨umde, 1. mertebe de˘gi¸sken katsayılı yine lineer
a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = d(x, y)
denkleminin uygun bir de˘gi¸sken d¨on¨u¸s¨um¨u ile herzaman 1. mertebe
sıradan bir denkleme indirgenebilece˘gini g¨osterece˘giz.
Genel ¸c¨oz¨umden keyfi fonksiyonun ¨ozel bir se¸cimi i¸cin elde edilen bir
¸c¨oz¨ume ¨ozel ¸c¨oz¨um denir. Uygulamlarda, do˘gal olarak diferansiyel denk-
leme ek olarak yan ko¸sullar (ba¸slangı¸c ve sınır ko¸sulları) eklenir. B¨oyle
kısıtlamalar altında b¨ut¨un ¸c¨oz¨umler ¨ozel ¸c¨oz¨um olarak elde edilecektir.
¨Ornek 4. Yukarıdaki denklemin u(x, 1) = 4x2
ko¸sulunu sa˘glayan ¨ozel
¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. Ko¸suldan u(x, 1) = 4x2
= f(2x + 1) sa˘glanmalıdır. Bu fonk-
siyonel ba˘gıntıdan f fonksiyonunu belirlemek i¸cin r = 2x + 1 alıp, x’i r
de˘gi¸skenine g¨ore ¸c¨ozd¨ukten sonra bu ko¸sulda yazalım. f(r) = (r − 1)2
olmalıdır. O halde aranan ¨ozel ¸c¨oz¨um, genel ¸c¨oz¨umde fnin bu de˘gerini
yazarak u =
√
y(2x + y − 1)2
olarak bulunur.
Genel ¸c¨oz¨umden keyfi fonksiyonu de˘gi¸stireek elde edilemeyen ¸c¨oz¨um-
lere ”tekil ¸c¨oz¨um” denir.
8. 1.1. Genel Bilgiler 7
¨Ornek 5. Lineer olmayan
u =
1
2
u2
x + 2xux + x2
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨un
u = u(x, y) =
1
2
[(f(y))2
− x2
] + xf(y), f ∈ C1
oldu˘gunu g¨osteriniz. Denklemin, f(y) fonksiyonunun hi¸c bir se¸cimi ile
elde edilemeyen bir ¸c¨oz¨um¨u (u = −x2
) daha vardır. Bu tekil ¸c¨oz¨umd¨ur.
Elemanter ¸c¨oz¨um y¨ontemleri
Daha ¨once kısmi diferansiyel denklemlerin genel ¸c¨oz¨umlerinin do˘grudan
integrasyon ile nasıl ¸c¨oz¨ulebildi˘gini tartı¸stık. Denklemde bilinmeyen u
fonksiyonu varsa bunu yapamayız. Yine de, e˘ger KDD yalnızca ba˘gımsız
de˘gi¸skenlerinden birine g¨ore kısmi t¨urevleri i¸ceriyorsa, b¨oyle bir denkleme
sıradan (tek de˘gi¸skenli) diferansiyel denklemler gibi bakılabilir. ˙Integras-
yon sırasında di˘ger de˘gi¸skenleri sabit tutaca˘gımızdan integrasyon sabit-
lerini, bu de˘gi¸skenlerin keyfi fonksiyonları ile yerde˘gi¸stirmeliyiz.
¨Ornek 6.
uxx − y2
u = xy2
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. KDD yalnızca x de˘gi¸skenine g¨ore t¨ureve lineer olarak ba˘glı
oldu˘gundan sıradan bir denklem olarak ¸c¨ozebiliriz. ¨Once homojen denk-
lemi ¸c¨ozelim. Karakteristik denklem λ2
− y2
= 0 dir. O halde homojen
¸c¨oz¨um
uh = C1(y)exy
+ C2(y)e−xy
dir. ˙Integrasyon sabitleri yerine y’nin keyfi fonksiyonları alınmı¸stır. ¨Ozel
¸c¨oz¨um¨u ise up = −x dir. Genel ¸c¨oz¨um u = uh + up olarak elde edilir.
¨Ornek 7.
uxy + 2uy = 4y
KDDnin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
9. 8 B¨ol¨um 1. Giri¸s
C¸ ¨oz¨um. Denklemi ∂y(ux + 2u) = 4y yazıp y’e g¨ore integre edersek
ux + 2u = 2y2
+ F(x)
sıradan denklemini elde ederiz (y sabit tutuluyor). Bu denklemi µ = e2x
¸carpanı ile ¸carparak
∂x(e2x
u) = e2x
(2y2
+ F(x))
tam denklemini ve integre ederek
u = y2
+ f(x) + e−2x
g(y) (1.1)
genel ¸c¨oz¨um¨un¨u buluruz. f(x) yeni bir keyfi fonksiyon (e2x
F(x) fonksiyo-
nunun integrali) olarak tanımlanmı¸stır. Bu ¸c¨oz¨umde y2
nin ¨ozel ¸c¨oz¨ume,
di˘ger iki terimin toplamının da homojen ¸c¨oz¨ume kar¸sı geldi˘gine dikkat
ediniz. ¨Ozel ¸c¨oz¨um keyfi fonksiyonların sıfır se¸cimi ile elde edilir. Keyfi
fonksiyonların di˘ger se¸cimleri i¸cin farklı ¨ozel ¸c¨oz¨umler ¸cıkarılabilir. ¨Or-
ne˘gin,
f(x) = e−2x
, g(y) = y
se¸cilirse ¨ozel ¸c¨oz¨um
up = y2
+ e−2x
(y + 1)
olur. Buna kar¸sılık genel ¸c¨oz¨um
u = y2
+ e−2x
(y + 1) + F(x) + e−2x
G(y) (1.2)
dir. (1.1) ve (1.2) genel ¸c¨oz¨umleri g¨or¨un¨u¸ste farklı oldu˘gu halde birbirine
denk iki ¸c¨oz¨umd¨ur.
NOT. Genel olarak
a(x, y)uxy + b(x, y)ux = c(x, y)
veya
a(x, y)uxy + b(x, y)uy = c(x, y)
denklemleri v = ux ve v = uy d¨on¨u¸s¨umleri ile 1. mertebe lineer denk-
lemlere indirgenebilir.
10. 1.1. Genel Bilgiler 9
¨Ornek 8. Sabit katsayılı
auxx + 2buxy + cuyy = 0
denkleminin katsayıları b2
− ac > 0 ko¸sulunu sa˘glasın. Denklemin u =
F(rx + sy) bi¸ciminde genel ¸c¨oz¨um¨un¨u (keyfi F i¸cin) arayınız.
C¸ ¨oz¨um. ¨Onerilen ¸c¨oz¨um denklemi sa˘glarsa, F (ar2
+ 2brs + cs2
) = 0
olmalıdır. Her F i¸cin ¸c¨oz¨um olabilmesi i¸cin r ve s, ar2
+ 2brs + cs2
= 0
denklemini sa˘glaması gerekir. r veya s den birini sabit tutup di˘gerini
k¨okleri reel olan 2. derece bir denklemin iki k¨ok¨u olarak bulabiliriz.
r = 1 i¸cin, di˘ger k¨okler s1 ve s2 ile g¨osterilirse genel ¸c¨oz¨um
u = f(x + s1y) + g(x + s2y)
bi¸ciminde elde edilmi¸s olur.
NOT. Sabit katsayılı lineer denklemlerin ¸c¨oz¨um¨u y¨onteminden esinle-
nerek u = erx+sy
bi¸ciminde ¸c¨oz¨um aranırsa r, s sabitlerinin yine aynı
2. derece denklemi sa˘glaması gerekti˘gini g¨or¨un¨uz. Bu durumda genel
¸c¨oz¨um¨u kaybetmi¸s oluruz ve ¨ozel ¸c¨oz¨um¨un¨u elde ederiz..
Alı¸stırmalar 2.1
1. A¸sa˘gıdaki denklemleri sınıflandırınız.
a) ux + uy + sin u = 0
b) u2
xx + u2
yy = 0
c) ux + eu
uy = y2
d) x2
uxx − y2
uyy − ux + uy = xy
2. A¸sa˘gıdaki denklemlerin do˘grudan do˘gruya integrasyonu ile genel
¸c¨oz¨umlerini elde ediniz.
a) uxyz = 0, u = u(x, y, z)
b) uxy = x2
− y2
, u = u(x, y)
11. 10 B¨ol¨um 1. Giri¸s
c) uxyy = sin(x − y), u = u(x, y)
d) uyy = ex
, u = u(x, y)
3. A¸sa˘gıdaki denklemleri sıradan diferansiyel denklem olarak ¸c¨oz¨un¨uz.
a) xux − u = 1
b) uyy + 4u = 0
c) yuxy + 2ux = x
4.
uxx − 3uxy + 2uyy = 0
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u yazınız.
5. A¸sa˘gıdaki fonksiyonları ¸c¨oz¨um kabul eden KDD leri ¸cıkarınız.
a) u = f(x2
+ y2
)
b) u = xk
f(y/x)
c) u = f(x + y) + g(x − y)
12. B¨ol¨um 2
Birinci Mertebe denklemler
2.1 Lineer denklemler
a, b, c katsayıları s¨urekli olan
a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f(x, y), u = u(x, y) (2.1)
lineer denklemini d¨u¸s¨unelim. a = 0 veya b = 0 oldu˘gunda bu denk-
lemi sıradan bir denklem gibi integre edebilece˘gimizi g¨ord¨uk. S¸imdi,
a2
+ b2
> 0 oldu˘gunu varsayaca˘gız. Bu durumda, tersi alınabilir bir
koordinat d¨on¨u¸s¨um¨u ile denklemdeki t¨urevlerden birinin katsayısını sıfır
yapan bir d¨on¨u¸s¨um aramayı deneyelim. Koordinat d¨on¨u¸s¨um¨u ve tersi
ξ = ξ(x, y)
η = η(x, y)
x = x(ξ, η)
y = y(ξ, η)
J(x, y) =
∂(ξ, η)
∂(x, y)
= 0 (2.2)
olsun. D¨on¨u¸sm¨u¸s ba˘gımlı de˘gi¸skeni
w(ξ, η) = u(x, y) ≡ u(ξ(x, y), η(x, y))
ile g¨osterelim. Zincir kuralı ile
ux = uξξx + uηηx, uy = uξξy + uηηy
t¨urevlerini denklemde yazıp d¨uzenlersek yine aynı bi¸cimde fakat kat-
sayıları de˘gi¸smi¸s
A(ξ, η)wξ + B(ξ, η)wη + C(ξ, η)w = F(ξ, η)
11
13. 12 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
denklemini buluruz. Yeni A, B katsayıları
A = aξx + bξy, B = aηx + bηy
olur. C, F katsayıları ise c, f katsayılarının yeni koordinatlarla ifade
edilmi¸s bi¸cimidir. S¸imdi, A veya B katsayısını sıfır yapan bir ξ veya
η fonksiyonu arıyoruz.
Tanım 3. ¨Uzerindeki her noktada te˘geti V = (a, b) vekt¨or alanı ile
¸cakı¸san bir d¨uzlem e˘griye kısmi denklemin bir karakteristik e˘grisi denir.
Karakteristik e˘griler
y =
b(x, y)
a(x, y)
, a = 0 (2.3)
denkleminin (karakterisitik denklem) bir parametreli
φ(x, y) = c = sabit
bi¸ciminde ¸c¨oz¨umleri (denklem genel olarak analitik ¸c¨oz¨ulemez!) olarak
bulunur. Karakteristiklerin grafi˘gi (x, y(x, c)) noktalar k¨umesi ile verilir.
ξ = φ(x, y) olarak se¸cilirse karakteristikler boyunca A = 0 olur. O
halde uygun bir d¨on¨u¸s¨um
ξ = φ(x, y), η = η(x, y)
olabilir. Burada, η, J = 0 ko¸sulu ile tamamen keyfi se¸cilebilir. B¨oylece,
(2.2) KDDini
B(ξ, η)wη + C(ξ, η)w = F(ξ, η)
bi¸ciminde sıradan bir denkleme indirgemi¸s oluruz. Bu denklemin ¸c¨oz¨um¨u
(ξ de˘gi¸skenini sabit tutarak integre ediyoruz) α1 ve α2 belirli fonsiyonları
ile
w = f(ξ)α1(ξ, η) + α2(ξ, η)
olur. Ters d¨on¨u¸s¨um ile (x, y) koordinatlarına d¨onerek ¸c¨oz¨um¨un
u(x, y) = β1(x, y)f(ξ(x, y)) + β2(x, y)
bi¸ciminde ifadesini elde ederiz.
14. 2.1. Lineer denklemler 13
NOT. E˘ger c = f = 0 ise denklem aux + buy = 0 olur. Bu ise u’nun
V = (a, b) vekt¨or¨u boyunca t¨urevinin sıfır oldu˘gunu s¨oyler. Yani genel
¸c¨oz¨um φ(x, y) = c karakteristik e˘grileri ¨uzerinde sabit kalır. Genel ¸c¨oz¨um,
keyfi f ∈ C1
fonksiyonu i¸cin u = f(φ(x, y)) olur.
c veya f sıfır de˘gilse, ¸c¨oz¨um karakteristikler ¨uzerinde sabit kalmaz ve
u’nun V y¨on¨undeki t¨urevi, η y¨on¨undeki t¨urevi ile orantılı olur.
¨Ornek 9.
yux + xuy − u = (x + y)2
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. y = b/a = x/y karakteristik denklemini xdx−ydy = 0 yazarak
de˘gi¸skenlere ayırıp integre edersek x2
− y2
= c buluruz. D¨on¨u¸s¨um¨u
ξ = x2
− y2
, η = x + y
se¸celim. η’nın se¸ciminde denklemin sa˘g yanındaki terimi dikkate aldık.
ux = 2xwξ + wη, uy = −2ywξ + wη
t¨urevleri denklemde konursa
ηwη − w = η2
sıradan denklemi bulunur. denklemi η2
ile b¨ol¨up integre edelim
∂
∂η
w
η
= 1 ⇒ w = η2
+ ηf(ξ).
(x, y) de˘gi¸skenleri ile ¸c¨oz¨um
u = (x + y)2
+ (x + y)f(x2
− y2
)
olur.
Cauchy ba¸slangı¸c de˘ger problemi
D¨uzlemde bir γ = {(x, y) : y = y0(x)} ⊂ R2
e˘grisi verilsin. (2.1) denk-
leminin bu e˘gri ¨uzerinde verilen u|γ = u0(x) de˘gerlerini alan ¸c¨oz¨um¨un¨un
bulunması problemi bir ba¸slangı¸c de˘ger (veya Cauchy) problemidir. u0(x)
15. 14 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
fonksiyonuna Cauchy veya ba¸slangı¸c-de˘ger datası (verisi) denir. S¸imdi
bu problemin ¸c¨oz¨ulebilirli˘gini inceleyelim. Aranan problemin ¸c¨oz¨um¨u
S : u = ϕ(x, y) y¨uzeyi ile verilsin. Ba¸slangı¸c ko¸sul geometrik olarak,
Γ = γ ×{u0(x)} ⊂ R3
uzay e˘grisinin u = ϕ(x, y) y¨uzeyi ¨uzerinde kalması
demektir. γ ba¸slangı¸c e˘grisi Γ e˘grisinin u = 0 xy-d¨uzlemine izd¨u¸s¨um¨ud¨ur.
Cauchy problemi, Γ e˘grisini i¸ceren y¨uzeyin bulunmasına denk olur.
ux ve uy kısmi t¨urevlerinin γ ¨uzerindeki ux|γ, uy|γ de˘gerlerini belir-
lemeye ¸calı¸salım. Bunun i¸cin verilen KDD ile Ba¸slangı¸c ko¸sulu γ e˘grisi
boyunca t¨uretilirse
d
dx
u|γ =
d
dx
u(x, y0(x)) = ux|γ + uy|γ.y0(x) = u0(x)
bulunur. Verilen denklemin γ ¨uzerinde de˘gerlendirilmesinden
a(γ)ux|γ + b(γ)uy|γ + c(γ)u|γ = f(γ)
ba˘gıntısı yazılabilir. Bu iki ba˘gıntıdan ux|γ ve uy|γ de˘gerlerinin tek olarak
belirlenebilmesi i¸cin
∆ =
a(γ) b(γ)
1 y0(x)
= 0
determinant ko¸sulunun sa˘glanması gerekir. Bu ko¸sul
y0(x) =
b(x, y0(x))
a(x, y0(x))
(2.4)
olarak yazıldı˘gında, geometrik olarak γ ba¸slangı¸c e˘grisinin hi¸c bir yerde
karakteristiklere te˘get olmaması gerekti˘gini ifade eder. Cauchy problemi-
nin ¸c¨oz¨ulebilmesi i¸cin ba¸slangı¸c e˘grisi karakteristik e˘grilerle ¸cakı¸smaması
gerekir. (2.4) ko¸suluna karakteristik olmama ko¸sulu denir.
E˘ger γ karakteristik bir e˘gri ise Cauchy probleminin ¸c¨oz¨um¨un¨un olup
olmadı˘gını merak ediyor olabilirsiniz. Bu durumda, u0(x) ba¸slangı¸c datası
keyfi olarak verilemez. u0(x)’in ancak ¨ozel se¸cimi i¸cin ¸c¨oz¨um m¨umk¨un
olabilir. u0(x), Γ e˘grisi karakteristik ailenin bir ¨uyesi olacak se¸cilirse
¸c¨oz¨um vardır ancak tek olamaz. Problemin sonsuz ¸c¨oz¨um¨u vardır.
S¸imdi bu tartı¸stıklarımızı ¨orneklerle a¸cıklayalım.
¨Ornek 10. Bir ¨onceki ¨ornekteki denklemin y = 0 do˘grusu ¨uzerinde u =
2x2
de˘gerlerini alan ¸c¨oz¨um¨un¨u belirleyiniz.
16. 2.1. Lineer denklemler 15
C¸ ¨oz¨um. γ = {(x, y) : y = 0} e˘grisi (x-ekseni) bir karakteristik ol-
madı˘gından yalnızca bir ¸c¨oz¨um vardır. Verilen ko¸sullardan
u(x, 0) = u0(x) = 2x2
= x2
+ xf(x2
)
veya f(x2
) = x ba˘gıntısı elde edilir. f(x) =
√
x olmalıdır. Sonu¸c olarak
¨ozel ¸c¨oz¨um
u = (x + y)2
+ (x + y) x2 − y2
dir.
¨Ornek 11. Aynı KDD’in u|x=y = u0(x) yan ko¸sulunu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨un¨u
irdeleyiniz.
C¸ ¨oz¨um. C¸¨oz¨ulebilirlik (sonsuz sayıda ¸c¨oz¨um) i¸cin
u0(x) = 4x2
+ 2f(0)x
ba¸slangı¸c ko¸sulundan belirli bir K sabiti i¸cin Cauchy datasının
u0(x) = 2Kx + 4x2
olarak se¸cilmesi gerekir. Di˘ger bir deyi¸sle u0’ın bir karakteristik ¨uzerindeki
de˘geri verilmelidir. K = f(0) ko¸sulunu sa˘glayan b¨ut¨un f keyfi fonksi-
yonları denklemin ¸c¨oz¨umlerini ¨uretecektir. ¨Orne˘gin, u0(x) = 4x2
ise,
f(0) = 0 sa˘glayan fonksiyonlardan bir ka¸cı f1(x) = sin x, f2(x) = x,
f3(x) = 1 − ex
alınabilir. Bunlara kar¸sı gelen ¸c¨oz¨umler
u1(x, y) = (x + y)2
+ (x + y) sin(x2
− y2
),
u2(x, y) = (x + y)2
+ (x + y)(x2
− y2
),
u3(x, y) = (x + y)2
+ (x + y)[1 − exp (x2
− y2
)].
¨Onceki ¨ornekte se¸cilen u0(x) = 2x2
i¸cin hi¸c bir ¸c¨oz¨um olmadı˘gı a¸cıktır.
¨Ornek 12.
a(x, y)ux + b(x, y)by = 0
denkleminde katsayılar ax + by = a ko¸sulunu sa˘gladı˘gına g¨ore genel
¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
17. 16 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
Karakteristik denklem
dx
a
=
dy
b
, bdx − ady = 0
bi¸ciminde yazılabilir. Bu denklemin x’e ba˘glı bir µ(x) integrasyon ¸carpanı
vardır. Ger¸cekten, verilen ko¸suldan
µ (x)
µ(x)
=
by + ax
−a
= −1,
integre edilirse µ(x) = e−x
¸carpanı bulunur. O halde, bir φ(x, y) i¸cin
dφ(x, y) = e−x
(bdx − ady) = 0
olmalıdır.
φx = be−x
, φy = −ae−x
e¸sitliklerinden integrasyonla, ¨orne˘gin birinciden ba¸slayarak
φ = be−x
dx + C(y),
ikincide kullanarak
φy = bye−x
dx + C (y) = − (ax − a)e−x
dx + C (y)
= − (ae−x
)xdx + C (y) = −ae−x
den C (y) = 0 bulunur. Yani,
φ = be−x
dx = c1
birinci integrali bulunur, genel ¸c¨oz¨um de keyfi bir F i¸cin u = F(φ) ol-
malıdır.
NOT. µ(x, y) fonksiyonu P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 denkleminin bir
integrasyonu ¸carpanı ise
(µP)y = (µQ)x
18. 2.1. Lineer denklemler 17
tamlık ko¸sulu sa˘glanmalıdır. Bu ko¸sul a¸cık olarak yazıldı˘gında 1. mer-
tebeden lineer
Qµx − Pµy = µ(Py − Qx)
KDDinin bir ¸c¨oz¨um¨un¨u (genel ¸c¨oz¨um gereksiz) bulmaya indirgenir. Bunun
i¸cin
dx
Q
=
dy
−P
=
dµ
µ(Py − Qx)
karakteristik denklemlerinin µ fonksiyonuna ba˘glı bir integralini bulmak
yeterli olacaktır.
¨Ornek 13.
(y3
− 2x2
y)dx + (2xy2
− x3
)dy = 0
denkleminin bir integrasyon ¸carpanını bulunuz.
C¸ ¨oz¨um.
dx
2xy2 − x3
=
−dy
y3 − 2x2y
=
dµ
µ(x2 + y2)
denklemlerinden ilk ikisinden elde edilebilecek integre edilebilen bir oran
sonuncuya e¸sitlenirse
ydx + xdy
xy(x2 + y2)
=
dµ
µ(x2 + y2)
veya
d(xy)
xy
=
dµ
µ
ve integre edilirse µ1(x, y) = xy (integrasyon sabitine gerek yok) ¸carpanı
bulunur. Di˘ger ba˘gımsız bir ¸carpan
xdx − ydy
x4 − y4
= −
dµ
µ(x2 + y2)
⇒
d(x2
− y2
)
x2 − y2
+ 2
dµ
µ
tam denkleminden
µ2(x, y) = (x2
− y2
)−1/2
olarak bulunur. Genel ¸c¨oz¨um denklemi integre etmeden Euler teoremini
kullanarak yazılabilir:
µ1
µ2
= sabit ⇒ x2
y2
(x2
− y2
) = C.
19. 18 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
Parametrik bi¸cimde ¸c¨oz¨umler
Cauchy probleminin ba¸slangı¸c ko¸sulunun parametrik olarak verildi˘gini
varsayalım ve a¸sa˘gıdaki problemi d¨u¸s¨unelim:
(I)
aux + buy + cu = f,
u|γ = u0(s), γ = (x0(s), y0(s)).
(2.5)
(2.3) karakteristik denklemini t ile parametreleyip
dx
a
=
dy
b
= dt (2.6)
bi¸ciminde yazabiliriz. Karakteristik denklemi a¸sa˘gıdaki denklem sistemi
olarak yazalım:
dx
dt
= ˙x(t) = a(x(t), y(t)),
dy
dt
= ˙y(t) = a(x(t), y(t)). (2.7)
Bu sistemin en azından bir t = 0 kom¸sulu˘gunda ¸c¨oz¨um¨u vardır. Karak-
teristik e˘grileri verecek olan bu e˘grileri (V = (a, b) vekt¨or alanının integ-
ral e˘grileri)
χ0 = (x(t), y(t)) (2.8)
ile g¨osterelim. Parametrik ba¸slangı¸c ko¸sulu u(x0(s), y0(s)) = u0(s) yazıla-
bilir. S¸imdi u ¸c¨oz¨um (integral) y¨uzeyinin χ0 = (x(t), y(t)) karakteristik
e˘grileri boyunca u(t) = u(x(t), y(t)) de˘gerinin t de˘gi¸skenine g¨ore (zaman)
de˘gi¸simine bakalım:
d
dt
u(x(t), y(t)) = ˙u(t) = ux(χ0) ˙x(t) + uy(χ0) ˙y(t) = aux + buy.
Yukarıda karakteristik denklemleri kullandık. Ayrıca KDDden
˙u(t) = f(x(t), y(t)) − c(x(t), y(t))u(t) (2.9)
yazılabilir. χ0 ¨uzerinde u(x, y) ¸c¨oz¨um y¨uzeyinin de˘gerleri sıradan 1. mer-
tebe lineer bir diferansiyel denklem ¸c¨oz¨ulerek u(0) de˘geri biliniyorken
belirlenebilir.
Buradan ¸cıkarılabilecek sonu¸c, (2.7) ve (2.9) sisteminin ¸c¨oz¨um¨u olan
χ = (x(t), y(t), u(t)) e˘grilerinin (xy-d¨uzlemi ¨uzerine izd¨u¸s¨um¨u (x(t), y(t))
karakteristik e˘grileri verir) integral y¨uzeyi ¨uzerinde kaldı˘gıdır. Bu ger¸ce˘ge
20. 2.1. Lineer denklemler 19
dayanarak Γ = (x0(s), y0(s), u0(s)) uzay e˘grisinden ge¸cen karakteristik
e˘grilerin d¨uzg¨un bir birle¸simi ile y¨uzeyin iki (s, t) parametrelerine ba˘glı
¸c¨oz¨um¨un¨u parametrik olarak in¸saa edebiliriz. Bunu yapmak i¸cin, s’nin
her de˘geri i¸cin Γ’e˘grisini en ¸cok bir noktada kesen ve kesi¸sim noktasında
te˘getleri birbirine paralel olmayan χ : (x(s, t), y(s, t), u(s, t)) e˘grileri bu-
lunmalıdır. Bu e˘grileri ((2.7) ve (2.9)) sıradan denklem sisteminin
x(s, 0) = x0(s), y(s, 0) = y0(s), u(s, 0) = u0(s)
ba¸slangı¸c ko¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨umleri olarak alabiliriz. Bu ise ¸c¨oz¨um
y¨uzeyinin parametrik denklemleridir. (s, t) parametreleri de˘gi¸sirken bu
noktalar xyu-uzayının y¨uzey ¨uzerinde kalan noktalarını ¨uretecektir. C¸¨o-
z¨um¨un parametrik olmayan bi¸cimi x = x(s, t), y = y(s, t) denklemlerin-
den t ve s nin de˘gerlerini x ve y t¨ur¨unden ¸c¨ozebilmemiz gerekir. Bunun
m¨umk¨un olabilmesi i¸cin ters fonksiyon teoremine g¨ore
J(s, t) =
∂(x, y)
∂(s, t)
= xsyt − xtys = 0
olması gerekir. γ = (x0(s), y0(s)) ba¸slangı¸c e˘grisi ¨uzerinde
J|γ = J(s, 0) = x0(s)a(x(s), y(s)) − y0(s)a(x(s), y(s)) = 0
veya
x0(s)
b(s)
=
y0(s)
b(s)
ko¸sulu sa˘glanır. Bu ise, ba¸slangı¸c e˘grisinin karakteristik olmaması ko¸su-
luna denktir.
Katsayıların ve ba¸slangı¸c de˘gerlerinin s¨ureklili˘ginden yeterince k¨u¸c¨uk
t de˘gerleri i¸cin (yani, en azından γ e˘grisinin yakın bir kom¸sulu˘gunda)
J(s, t) = 0 varsayabiliriz.
Yukarıdaki ko¸sul altında ¸c¨oz¨ulebildi˘gi (en azından ilke olarak) varsa-
yılan s = S(x, y), t = T(x, y) fonksiyonları u = u(s, t) de konursa ¸c¨oz¨um¨u
(integral y¨uzeyi) a¸cık olarak u = u(T(x, y), S(x, y)) = ϕ(x, y) bi¸ciminde
bulmu¸s oluruz.
Bu yakla¸sım lineer denklemin Cauchy problemi i¸cin ”karakteristik-
ler” y¨ontemi olarak bilinir. Bu y¨onteminin olduk¸ca genel oldu˘gu kuazili-
neer ve hatta lineer olmayan denklemler i¸cin tanımlanmı¸s ba¸slangı¸c de˘ger
problemlerinin ¸c¨oz¨um¨une geni¸sletilebilece˘gini birazdan g¨orece˘giz.
21. 20 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
¨Ornek 14.
yux + xuy − u = (x + y)2
,
u(s, 0) = 2s2
(2.10)
Cauchy problemini karakteristikler y¨ontemi ile bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. χ karakteristiklerinin denklem sistemi
˙x = y, ˙y = x, ˙u = u + (x + y)2
.
˙Ilk iki deneklem u(t) den ba˘gımsız oldu˘gundan ¨once (x(t), y(t)) e˘grilerini
buluruz. Denklem sistemini
˙x
˙y
=
0 1
1 0
x
y
bi¸ciminde sabit katsayılı lineer denklem sistemi olarak ¸c¨ozebiliriz. Di˘ger
bir yol 1. denklemi t’ye g¨ore t¨uretip ˙y t¨urevini yok ederek ¨x(t)−x(t) = 0
skaler denkleminin ¸c¨oz¨um¨unden sabit s i¸cin
x(s, t) = C1(s) cosh t + C2(s) sinh t
elde ederiz. 2. denklemi kullanarak
y(s, t) = C1(s) sinh t + C2(s) cosh t
buluruz. Karakteristiklerin ba¸slangı¸c e˘grisinden ge¸cmesi gerekti˘gi ko¸sulundan
C1 ve C2 integrasyon sabitlerini belirleyebiliriz.
x(s, 0) = x0(s) = s, y(s, 0) = 0
ko¸sullarından
C1(s) = s, C2(s) = 0
olmalıdır. χ karakteristiklerinin
(x(s, t), y(s, t)) = (s cosh t, s sinh t)
izd¨u¸s¨umlerini 3. denklemde yazarak
˙u(t) − u(t) = (x + y)2
= (x(s, t) + y(s, t))2
= s2
e2t
22. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 21
buluruz ki ¸c¨oz¨um¨u (sabit s i¸cin)
u(s, t) = s2
e2t
+ C3(s)et
dir. u0(s) = u(s, 0) = 2s2
ko¸sulundan C3(s) = s2
¸cıkar. Parametrik
¸c¨oz¨um
((x(s, t), y(s, t), u(s, t)) = (s cosh t, s sinh t, s2
(et
+ e2t
))
olarak yazılabilir. (x+y)2
= s2
e2t
ve x2
−y2
= s2
oldu˘gu dikkate alınırsa
u(s, t) den (s, t) parametrelerini x, y t¨ur¨unden ifade ederek
u(x, y) = (x + y)2
+ (x + y) x2 − y2
a¸cık ¸c¨oz¨um¨un¨u bulmu¸s oluruz.
2.2 Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler
F(x, y, z) fonksiyonu i¸cin
a(x, y, z)Fx + b(x, y, z)Fy + c(x, y, z)Fz + d(x, y, z)F = h(x, y, z) (2.11)
denklemini d¨u¸s¨unelim. a, b, c, d, h, C1
sınıfından fonksiyonlardır. Denk-
lemin (x, y(x), z(x)) karakteristik e˘grileri
y (x) =
b(x, y, z)
a(x, y, z)
, z (x) =
c(x, y, z)
a(x, y, z)
, a(x, y, z) = 0 (2.12)
karakteristik denklem sisteminin ¸c¨oz¨um¨u olarak tanımlanır. Geometrik
olarak, bu uzay e˘grilerinin her noktada V = (a, b, c) vekt¨or alanınına
te˘get oldu˘gu anla¸sılır. Sistemin ¸c¨oz¨um¨u iki integrasyon sabitine (c1, c2)
ba˘glı olan genel ¸c¨oz¨um¨u y = y(x, c1, c2), z = z(x, c1, c2) bi¸cimindedir. Bu
e˘grilerin c1, c2 sabitlerine g¨ore tek olarak ¸c¨oz¨ulebildi˘gi varsayımı ile
u(x, y, z) = c1, v(x, y, z) = c2
yazılabilsin. Karakteristik e˘griler iki parametreli u = c1 ve v = c2 y¨uzey
ailelerinin arakesit e˘grileri olarak elde edilir. Karakteristikler bu fonksi-
yonlar ¨uzerinde sabit de˘gerler alır.
23. 22 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
S¸imdi, a¸sa˘gıdaki tersinir d¨on¨u¸s¨um ile KDDin sıradan bir lineer denk-
leme d¨on¨u¸st¨u˘g¨un¨u g¨orelim
ξ = u(x, y, z), η = v(x, y, z), ζ = z.
Bu d¨on¨u¸s¨um altında yeni ba˘gımlı de˘gi¸sken G(ξ, η, ζ) = F(x, y, z) olsun.
Zincir kuralı ile
aFx + bFy + cFz = (aux + buy + cuz)Gξ + (avx + bvy + cvz)Gη + cGζ
elde edilir.
u(x, y, z) = c1 y¨uzeyi ¨uzerinde bir (x0, y0, z0) noktasından ge¸cen karak-
teristik boyunca
0 =
d
dx
u(x, y, z) = ux + uyy + uzz =
1
a
(aux + buy + cuz)
ve benzer bi¸cimde avx + bvy + cvz = 0 oldu˘gundan aFx + bFy + cFz
teriminin yeni koordinatlarda ifadesi C(ξ, η, ζ)Gζ olacaktır. ˙Ilk denklem
ise
C(ξ, η, ζ)Gζ + D(ξ, η, ζ)G = H(ξ, η, ζ)
sıradan denklemine d¨on¨u¸s¨ur. Bir ba¸ska deyi¸sle, ξ ve η sabit tutuldu˘gunda
ve ζ de˘gi¸sirken, karakteristik koordinatlar elde edilecek bi¸cimde koor-
dinatları de˘gi¸stirsek, ilk KDD ζ ba˘gımsız de˘gi¸skenine g¨ore sıradan bir
denkleme indirgenir.
Bu lineer denklemin ξ, η de˘gi¸skenleri sabit tutularak integrasyonun-
dan elde edilecek ¸c¨oz¨um
G = α(ξ, η, ζ)f(ξ, η) + β(ξ, η, ζ)
bi¸ciminde olur. Burada, α ve β belirli fonksiyonlar, f ∈ C1
keyfi in-
tegrasyon fonksiyonudur. (x, y, z) de˘gi¸skenlerine geri d¨onerek aranan
¸c¨oz¨um¨u F = α(x, y, z)f(ξ(x, y, z), η(x, y, z)) + β(x, y, z) bi¸ciminde elde
ederiz.
d = h = 0 ¨ozel durumunda Gζ = 0 denkleminin integrasyonundan
genel ¸c¨oz¨um F = f(ξ(x, y, z), η(x, y, z)) olarak yazılabilir ve karakteris-
tikler ¨uzerinde sabit de˘gerler alır.
Yukarıda verilen y¨onteminde uygulanabilirli˘ginde bazı teknik g¨u¸cl¨uk-
ler ¸cıkabilir. Bunlardan biri karakteristik sistemin genel olarak (y(x), z(x))
24. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 23
¸c¨oz¨um¨un¨un bulanamayaca˘gı ger¸ce˘gidir. Bu ¸c¨oz¨um bulunsa bile ters d¨o-
n¨u¸s¨um¨u iyi tanımlı olmayabilir veya bu d¨on¨u¸s¨um¨u bulmak ¸cok g¨u¸c ola-
bilir. Yine de, ¸c¨oz¨um¨un bulunması i¸cin karakteristiklerin a¸cık ifadesin-
den ¸cok, d¨on¨u¸s¨um¨u verecek olan karakteristikler ¨uzerinde sabit kalan
y¨uzeylerin bulunması ¨onem ta¸sır. Bu ama¸cla, ¸co˘gunlukla, karakteristik
sistemi
dx
a
=
dy
b
=
dz
c
(2.13)
bi¸ciminde yazıp, sistemin bazı tekniklerle birbirinden ba˘gımsız iki (ϕ, ψ)
integralini (integral tabanı) arayaca˘gız. Bunun i¸cin rank( ϕ, ψ) = 2
ko¸sulu sa˘glanmalıdır.
Tanım 4. (2.13) sisteminin bir ¸c¨oz¨um¨u ¨uzerinde sabit kalan bir I(x, y, z)
fonksiyonuna sistemin bir ilk integrali (veya hareket sabiti) adı verilir.
˙Ilk integral tanımından
0 =
d
dx
I = I · (a, b, c) = (aIx + bIy + cIz)
elde edilir. Yani I, aux +buy +cuz = 0 homojen lineer denklemini sa˘glar.
Bu g¨ozlem, karakteristik sistemin ¸c¨oz¨umleri ile kar¸sı gelen homohen KD-
Din ¸c¨oz¨umlerinin yakından ili¸skili oldu˘gunu g¨ostermektedir.
I1 ve I2 iki ba˘gımsız ilk integral, yani I1 ve I2 vekt¨orleri paralel
de˘gilse, keyfi F C1
-fonksiyonu i¸cin F(I1, I2) fonsiyonu da bir ilk integ-
raldir. Bunun i¸cin
F = FI1 I1 + FI1 I1
ba˘gıntısından
F.(a, b, c) = FI1 I1.(a, b, c) + FI2 I2.(a, b, c) ≡ 0
oldu˘gunu g¨ormek yeterlidir. Yukarıda, I1 ve I2 fonksiyonlarının ilk integ-
raller oldu˘gu ger¸ce˘gini kullandık. Buna g¨ore, u = F(I1, I2) fonksiyonu
a(x, y, z)ux + b(x, y, z)uy + c(x, y, z)uz = 0
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨u olur.
Bir integrali bulmak i¸cin uygulanabilecek bir yol sistemdeki oran-
lara e¸sit yeni oranlara e¸sitleyerek integre edilebilen birle¸simler aramaktır.
Daha kesin bir deyi¸sle, belirli P, Q, R fonksiyonları i¸cin
Pdx + Qdy + Rdz
aP + bQ + cR
=
dx
a
=
dy
b
=
dz
c
25. 24 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
yazılabilir (neden?). S¸imdi P1, Q1, R1, P2, Q2, R2 fonksiyonlarını ¨oyle be-
lirleyelim ki
P1dx + Q1dy + R1dz = dϕ, P2dx + Q2dy + R2dz = dψ
olsun ve bilinen µ1, µ2 sabitleri i¸cin
aP1 + bQ1 + cR1 = µ1ϕ, aP2 + bQ2 + cR2 = µ2ψ
yazılabilsin. Bu durumda
dϕ
µ1ϕ
=
dψ
µ2ψ
integre edilebilir (tam) bir denklemin integrasyonu ile birinci integral
bulunabilir.
E˘ger ¨ozel olarak aP1 + bQ1 + cR1 = 0 veya aP2 + bQ2 + cR2 = 0 ise
dϕ(x, y, z) = 0 veya dψ = 0 olur ve bir ilk integral ϕ(x, y, z) = sabit ya
da ψ(x, y, z) = sabit olarak hemen elde edilmi¸s olur.
¨Ornek 15.
Fx + Fy + Fz + F = 0
denkleminin z = 0 d¨uzlemi ¨uzerinde F(x, y, 0) = x2
+ y2
yan ko¸sulunu
sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um. Denklem sabit katsayılı oldu˘gu i¸cin
dx
1
=
dy
1
=
dz
1
karakteristik denklemlerinin integrasyonu kolayca yapılabilir ve iki ba˘gımsız
integral:
u = x − z = c1, v = y − z = c2.
ξ = x − z, η = y − z, ζ = z d¨on¨u¸s¨um¨u denklemi
Gζ + G = 0
denklemine indirger. C¸¨oz¨um¨u
G = e−ζ
f(ξ, η)
26. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 25
veya ilk de˘gi¸skenlerle yazıldı˘gında
F = e−z
f(x − z, y − z)
genel ¸c¨oz¨um¨un¨u verir. Yan ko¸sulu kullanarak F(x, y, 0) = x2
+ y2
=
f(x, y) buluruz. Aranan ¸c¨oz¨um
F = e−z
[(x − z)2
+ (y − z)2
]
olarak elde edilir.
¨Ornek 16.
(y − x)Fx + (z − x)Fy + (x − y)Fz = 0, F(x, y, 0) = xy
problemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um.
dx
y − z
=
dy
z − z
=
dz
x − y
karakteristik denklemlerinin iki ba˘gımsız ilk integrali
dx + dy + dz
0
=
dx
y − z
,
xdx + ydy + zdz
0
=
dx
y − z
e¸sitliklerinden elde edilen
d(x + y + z) = 0, d(x2
+ y2
+ z2
) = 0
tam denklemlerinin integrasyonundan
u = x + y + z = c1, v = x2
+ y2
+ z2
= c2
olarak elde edilir.
ξ = x + y + z, η = x2
+ y2
+ z2
, ζ = z
d¨on¨u¸s¨um¨uyle KDD, Gζ = 0 sıradan denklemine ve integrali G = f(ξ, η)
veya F(x, y, z) = f(x + y + z, x2
+ y2
+ z2
) genel ¸c¨oz¨um¨une g¨ot¨ur¨ur.
˙Iki de˘gi¸skenli f keyfi fonksiyonunu belirlemek i¸cin verilen yan ko¸sulu
kullanırız:
F(x, y, 0) = xy = f(x + y, x2
+ y2
).
27. 26 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
f’i belirleyecek olan bu fonksiyonel ba˘gıntıyı ¸c¨ozmek i¸cin r = x + y, s =
x2
+ y2
yazıp, x, y de˘gi¸skenlerini r, s de˘gi¸skenlerine g¨ore ifade ederiz.
(x + y)2
= r2
= s + 2xy
den f(r, s) = xy = (r2
− s)/2 bulunmu¸s olur. C¸¨oz¨um,
F =
1
2
[(x + y + z)2
− (x2
+ y2
+ z2
)] = xy + yz + xz
olur.
¨Ornek 17.
xFx + yFy + zFz − 2F = 0, F(x, y, y) = y2
problemini ¸c¨oz¨un¨uz.
C¸ ¨oz¨um. Genel ¸c¨oz¨um
dx
x
=
dy
y
=
dz
z
karakteristik sistemiin integrasyonundan bulunacak olan
y
x
= c1,
z
x
= c2
integralleri kullanarak
ξ = y/x, η = z/x, ζ = z
d¨on¨u¸s¨um¨unden sonra
Gζ − 2G = 0
indirgenmi¸s denklemi bulunur. Bunun ¸c¨oz¨um¨u ilk koordinatlarda verilen
KDDin
F = z2
f(
y
x
,
z
x
)
bi¸ciminde ¸c¨oz¨um¨un¨u verir. Yan ko¸suldan
F(x, y, y) = y2
= y2
f(
y
x
,
y
x
), ⇒ f(r, r) = 1
elde edilir. Bu ko¸sul dı¸sında f keyfi kalır. Yani, denklemin sonsuz sayıda
¸c¨oz¨um¨u vardır. Yan ko¸sul z = y d¨uzlemi ¨uzerinde verilmi¸stir ve c1 =
28. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 27
c2 = 1 i¸cin elde edilen (t, t, t) karakteristik do˘grusu bu d¨uzlem ¨uzerinde
kalmaktadır. Dahası, bu d¨uzlem bir parametreli (c1 = c2) karakteristik
do˘gruların birle¸simidir.
f1(r, s) = cos(r−s), f2(r, s) = 2(r/s)2
−1 se¸cimleri (di˘gerleri arasından)
f(r, r) = 1 ko¸sulunu sa˘glar ve kar¸sı gelen ¸c¨oz¨umler
F1 = z2
cos
y − z
x
, F2 = 2y2
− z2
olur.
¨Ornek 18.
(y + x)Fx + (y − x)Fy + Fz = 0
denkleminin karakteristiklerini bulun ve genel ¸c¨oz¨um¨un¨u elde edin.
C¸ ¨oz¨um.
dx
y + x
=
dy
y − x
=
dz
1
karakteristik sisteminde z de˘gi¸skenine bir parametre olarak bakıp
x (z) = x(z) + y(z), y (z) = y(z) − x(z)
sistemini ¸c¨ozelim. Lineer sistemler i¸cin bilinen y¨ontemler kullanılabilir.
Burada farklı bir yol izleyece˘giz. Birinci denklemi t¨uretip, her iki denk-
lemi de kullanarak yalnızca x(z) de˘gi¸skenine g¨ore
x (z) − 2x (z) + 2x(z) = 0
denklemini ¸cıkarabiliriz. y(z)’nin de aynı denklemi sa˘gladı˘gı g¨or¨ulebilir.
Sabit katsayılı lineer denklemin karakteristik denklemi λ2
− 2λ + 2 =
(λ − 1)2
+ 1 = 0 olur. K¨okleri λ1,2 = 1 ± i, kar¸sı gelen ¸c¨oz¨um
x(z) = ez
(c1 cos z + c2 sin z)
dir. Birinci denklemden t¨urev alarak
y(z) = x (z) − x(z) = ez
(−c1 sin z + c2 cos z)
buluruz. Basitle¸stirmek i¸cin
c1 = α sin β, c2 = α cos β
29. 28 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
tanımlanırsa
x(z) = αez
sin(z + β), y(z) = αez
cos(z + β)
karakteristikleri bulunur. Uygun bir d¨on¨u¸s¨um bulabilmek i¸cin bu iki
ba˘gıntıdan α, β parametrelerine g¨ore ¸c¨ozelim. Kareleri alınır toplanırsa
ve oranlanırsa
ξ = e−z
x2 + y2 = α, η = arctan(x/y) − z = β
ilk integralleri bulunur. ˙Ikinci integralin η = z + arctan(y/x) yazılabile-
ce˘gine dikkat edin. Genel ¸c¨oz¨um bu y¨uzeyler ¨uzerinde sabit kalır ve keyfi
f ∈ C1
fonksiyonu ile F = f(ξ, η) bi¸ciminde yazılabilir.
2. yol: Denklemi (r, θ) kutupsal koordinatlarına d¨on¨u¸st¨ur¨urelim.
xFx + yFy = rFr, yFx − xFy = −Fθ
d¨on¨u¸s¨um form¨ulleri ile denklem yeni F(r, θ, z) fonksiyonuna g¨ore
rFr − Fθ + Fz = 0
olarak yazılabilir. Karakteristik sistem
dr
r
=
dθ
−1
=
dz
1
.
Bu sistemin iki ba˘gımsız integrali
re−z
= α, θ + z = β
olarak alınabilir. Genel ¸c¨oz¨um,
F = f(re−z
, θ + z)
olacaktır. (x, y) koordinatlarına geri d¨on¨u¸s¨um bu ¸c¨oz¨um¨un (sabit farkıyla)
yukarıda bulunan ¸c¨oz¨ume denk oldu˘gunu g¨ostermektedir.
Alı¸stırmalar
A¸sa˘gıdaki problemleri ¸c¨oz¨un¨uz.
6. a) x(y − x)Fx + y(z − x)Fy + z(x − y)Fz = 0, F(x, y, 1) = x + y
b) xFx + yFy + (x2
+ y2
)Fz = 0, F(x, y, 0) = x + y
c) 2xzFx + xyzFy + Fz = 0, F(x, y, 0) = cos(x + y)
30. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 29
2.2.1 Kuazilineeer denklemler ve Lagrange Y¨ontemi
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u) (2.14)
kuazilineer denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨u kar¸sı gelen karakateristik sistemin
iki ba˘gımsız ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) ilk integralinden ( ϕ ve ψ hi¸cbir
yerde paralel de˘gil) genel ¸c¨oz¨um elde edilebilir.
a ve b katsayıları u’ya ba˘glı de˘gilse bu denklem yarı lineer olur. Yarı
lineer bir denklemin bir integrali u’dan ba˘gımsız olaca˘gı i¸cin b¨oyle den-
klemlerin genel ¸c¨oz¨umlerini tipik olarak (her zaman olmasa bile) a¸cık
bi¸cimde elde etmek m¨umk¨un olacaktır.
Teorem 1. ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) karakateristik sistemin iki ba˘gımsız
integrali ve F = F(h, k) bir C1
fonksiyonu olsun. E˘ger,
Fhϕu + Fkψu = 0,
ise
F(φ(x, y, u), ψ(x, y, u)) = 0
ba˘gıntısı (2.14) denkleminin kapalı bi¸cimde genel ¸c¨oz¨um¨un¨u tanımlar.
Kanıt: Biliyoruz ki, ϕ(x, y, u) ve ψ(x, y, u) ilk integraller ise
w = w(x, y, u) = F(φ(x, y, u), ψ(x, y, u))
fonksiyonu da bir ilk integraldir ve hipotezden wu = 0 oldu˘gundan, ¨u¸c
boyutlu lineer homojen
a(x, y, u)wx + b(x, y, u)wy + c(x, y, u)wu = 0 (2.15)
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨ud¨ur. Ayrıca,
w(x, y, u) = 0
denklemi kapalı olarak (2.14) denkleminin u = u(x, y) integarl y¨uzeyini
tanımlar. Bunu i¸cin, kapalı fonksiyon teoreminden
ux = −
wx
wu
, uy = −
wy
wu
t¨urevlerini (2.14) denkleminde yazarak (2.15) denklemine varıldı˘gını g¨o-
rebiliriz.
31. 30 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
Kuazilineer bir denklemle verilmi¸s bir Cauchy datasını sa˘glayan prob-
lemin ¸c¨oz¨um¨u i¸cin ((tek olmayan) ¸c¨oz¨um varsa) Lagrange y¨ontemiyle elde
edilen genel ¸c¨oz¨um kullanılabilir. Bu t¨ur Cauchy problemini ¸c¨ozmek i¸cin
karakteristikler y¨ontemini (geometrik yorumu var) kullanmak ¸co˘gu za-
man daha elveri¸sli olabilir. Ancak bu y¨ontemle ¸c¨oz¨um parametrik olarak
kapalı bi¸cimde bulunur ve yalnızca bazı ¨ozel durumlarda parametreler
yok edilerek ¸c¨oz¨um¨un a¸cık formda bir ifadesi yazılabilir.
Verilen bir e˘gri ¨uzerinde kalan ¸c¨oz¨um¨u genel ¸c¨oz¨umden ¸s¨oyle ¸cıkara-
biliriz.
Γ = {u(x, y, u) = 0, v(x, y, u) = 0}
e˘grisi (u = 0 ve v = 0 y¨uzeylerinin arakesiti) verilsin. Γ e˘grisinin
(x(s), y(s), u(s)) ile parametrelendi˘gini varsaylım. Γ e˘grisi w(x, y, u) = 0
integral y¨uzeyi ¨uzerinde kalıyorsa her s i¸cin w(x(s), y(s), u(s)) ≡ 0 sa˘g-
lanmalıdır. Bu y¨uzeyi belirlemek i¸cin Γ ¨uzerinde yazılan
ϕ(x(s), y(s), u(s)) = c1, ψ(x(s), y(s), u(s)) = c2
ilk integralleri arasında s yok edilerek F(c1, c2) = belirlenir.
Parametrizasyon kullanmadan da do˘grudan
ϕ(x, y, u) = c1, ψ(x, y, u) = c2, u(x, y, u) = 0, v(x, y, u) = 0
d¨ort denklem arasından (x, y, u) de˘gi¸skenleri yok edilerek de yukarıdaki
ba˘gıntı bulunabilirdi.
¨Ornek 19.
yuux + xuuy = xy
denkleminin
u|x2+y2=1 = 2xy
ko¸sulunu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
C¸ ¨oz¨um.
dx
yu
=
dy
xu
=
du
xy
karakteristik denklem sisteminden ilk iki orandan x2
−y2
= c1 integralini
buluruz. Di˘ger integral
xdx + ydy
2xyu
=
du
xy
⇒
1
2
d(x2
+ y2
) = 2udu
32. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 31
denkleminden x2
+ y2
− 2u2
= c2 dir. Genel ¸c¨oz¨um
F(x2
− y2
, x2
+ y2
− 2u2
) = 0
ba˘gıntısı ile verilir. ˙Integrallerden biri u’dan ba˘gımsız oldu˘gu i¸cin, is-
tenirse u ¸c¨oz¨um¨u a¸cık olarak x, y de˘gi¸skenlerinin fonksiyonu olarak her
C1
keyfi f fonksiyonu i¸cin
2u2
= x2
+ y2
+ f(x2
− y2
)
ile ifade edilebilir. Verilen ko¸sulu sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨u bulmak i¸cin F keyfi
fonksiyonunu belirlememiz gerekir. Bunu yapmak i¸cin ¸c¨oz¨um¨u yeni bir
g(r2
) = f(r) keyfi fonksiyonu kullanarak
2u2
= x2
+ y2
+ g((x2
− y2
)2
)
bi¸ciminde yazarak ba¸slayalım ve (x2
−y2
)2
= (x2
+y2
)2
−4x2
y2
¨ozde¸sli˘gini
dikkate alarak verilen ko¸sulu uygulayalım:
2u2
= 1 + g(1 − u2
).
Bu ba˘gıntıdan, g’yi belirlemek i¸cin r = 1 − u2
yazılırsa g(r) = 1 − 2r ve
f(r) = 1 − 2r2
bulunur. Buna g¨ore ¸c¨oz¨um
2u2
= x2
+ y2
− 2(x2
− y2
)2
+ 1
olur.
S¸imdi parametrik ¸c¨oz¨um:
Ba¸slangı¸c ko¸sulunun bir s parametresi ile bir g¨osterilimini
Γ : x(s) = cos s, y(s) = sin s, u(s) = 2x(s)y(s) = sin 2s
yazalım. Γ e˘grisinden ge¸cen y¨uzeyi bulmak istiyoruz. Γ’nın bile¸senlerini
x2
− y2
= c1, x2
+ y2
− 2u2
= c2
integrallerininde yazıp, s’yi yok edersek belirlinmi¸s F(c1, c2) = 0 ba˘gıntısını
buluruz ki bu aranan ¸c¨oz¨um¨u verir. Burada
x2
− y2
= cos 2s = c1, x2
+ y2
− 2u2
= 1 − 2 sin2
2s = c2
33. 32 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
ba˘gıntılarından parametreyi kolayca yok edebiliriz ve
c2 = 1 − 2(1 − cos2
2s) = 2c2
1 − 1
buluruz. ¨Ozetlersek, iki de˘gi¸skenli keyfi fonksiyon F(c1, c2) = c2 − 2c2
1 +
1 = 0 olmalıdır, ¸c¨oz¨um ise
x2
+ y2
− 2u2
= 2(x2
− y2
)2
− 1
ya da u2
’ye g¨ore ¸c¨ozerek
u2
=
1
2
[(x2
+ y2
)(1 − 2(x2
+ y2
)) + 8x2
y2
+ 1]
bi¸ciminde yazılabilir. Bu ¸c¨oz¨umde x2
+ y2
= 1 yazıldı˘gında u2
= 4x2
y2
oldu˘gu, yani yan ko¸sulun sa˘glandı˘gı hemen g¨or¨ul¨uyor.
Di˘ger ¨u¸c¨unc¨u bir yol,
x2
+ y2
= 1, u = 2xy, x2
− y2
= c1, x2
+ y2
− 2u2
= c2
ba˘gıntıları arasında x, y, u yok edilerek F(c1, c2) = 0 ba˘gıntısını bul-
maktır. Birinci ve d¨ord¨unc¨u e¸sitliklerden 1 − u2
= c2
1 ve ilk ¨u¸c¨unden
c2
1 = (x2
− y2
)2
= (x2
+ y2
)2
− 4x2
y2
= 1 − u2
bulunur. Son olarak bu
ikisinden u’yu yok ederek yine aynı F(c1, c2) = 0 ba˘gıntısı bulunur.
¨Ornek 20. A¸sa˘gıdaki ba¸slangı¸c-de˘ger probleminin ¸c¨oz¨ulebilirli˘gini ince-
leyiniz:
uux + yuy = x
y = ax, u = bx.
C¸ ¨oz¨um.
dx
u
=
dy
y
=
du
x
karakteristik denklemlerinden elde edilen
d(x + u)
x + u
=
−d(x − u)
x − u
=
dy
y
, udu − xdx = 0
tam denklemlerden integre ederek bir integral tabanı (ba˘gımsız inte-
graller)
x + u
y
= c1, u2
− x2
= c2
34. 2.2. Y¨uksek Boyutlu Lineer Denklemler 33
veya
x + u
y
= c1, (u − x)y = c2
olarak bulunur. Genel ¸c¨oz¨um s¨urekli t¨uretilebilir keyfi bir F fonksiyonu
i¸cin
F y(u − x),
x + u
y
= 0
bi¸ciminde yazılabilir. Ba¸slangı¸c ko¸sulundan, x’i parametre alarak
F a(b − 1)x2
,
b + 1
a
= 0
veya birinci de˘gi¸skene g¨ore ¸c¨ozerek keyfi bir h i¸cin a(b−1)x2
= h((b+1)/a)
sa˘glanması gerekir. Bu ba˘gıntının her x i¸cin sa˘glanması ancak b = 1
i¸cin m¨umk¨un olur. Buna kar¸sılık, ¸c¨oz¨um h(2/a) = 0 ko¸sulu altında tek
olamaz. ¨Orne˘gin, a = 1 olsun ve h(x) = x − 2 (h(2) = 0 ko¸sulunu
sa˘glayan sa˘glayan bir se¸cim) i¸cin bir ¸c¨oz¨um
y(u − x) =
x + u
y
− 2
ba˘gıntısından u i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse
u =
xy2
+ x − 2y
y2 − 1
olarak bulunur. Siz di˘ger bir ka¸c ¸c¨oz¨um¨u yazınız.
Kuazi lineer denklemler ¨ozel olarak lineer denkemleri de i¸cerir. S¸imdi
bu y¨ontemi a¸sa˘gıdaki lineer denklemi ¸c¨ozmek i¸cin uygulayalım.
¨Ornek 21.
yux + xuy − u = (x + y)2
denkleminin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.
dx
y
=
dy
x
=
du
u + (x + y)2
35. 34 B¨ol¨um 2. Birinci Mertebe denklemler
karakteristik sistemin iki ba˘gımsız ilk integralini bulaca˘gız. Birinci inte-
gral φ(x, y) = x2
−y2
= c1 olarak hemen bulunur. ˙Ikinci integrali bulmak
i¸cin
d(x + y)
x + y
=
du
u + (x + y)2
denklemini integre edelim. x + y = z olsun.
du
dz
=
1
z
(u + z2
)
lineer denkleminin ¸c¨oz¨um¨unden
u
z
=
u
x + y
= (x + y) + c2
bulunur. Yani ikinci ba˘gımsız integral
ψ(x, y, u) =
u
x + y
− (x + y)
olur. Genel ¸c¨oz¨um ise φ = f(φ), a¸cık olarak
u(x, y) = (x + y)2
+ (x + y)f(x2
− y2
)
bi¸ciminde olmalıdır.
Aynı denklemin genel ¸c¨oz¨um¨un¨u karakteristik koordinatlara ge¸cerek
daha ¨once bulmu¸stuk.