Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
LİSE - FONKSİYONLAR
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

LİSE - FONKSİYONLAR

  • 7,742 views
Published

LİSE - FONKSİYONLAR

LİSE - FONKSİYONLAR

Published in Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
7,742
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
19

Actions

Shares
Downloads
150
Comments
0
Likes
5

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Derse giriş için tıklayın...
  • 2. Fonksiyonun TarihiA. TanımB. Fonksiyonun GösterimiC. Görüntü KümesiA. Fonksiyon Çeşitleri1. Bire Bir Fonksiyon2. Örten Fonksiyon3. İçine Fonksiyon4. Birim (Özdeş) Fonksiyon5. Sabit Fonksiyon ve Sıfır FonksiyonuB. Eşit FonksiyonC. Fonksiyon SayısıD. Ters FonksiyonE. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon )F. Bileşke İşleminin Özellikleri
  • 3. A. TanımA ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir elemanını B de yalnız bir elemanlaeşleyen f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir.A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de fonksiyonun değer kümesi denir.∀x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu f : A → B veya x → f(x) = ybiçiminde gösterilir.Örnek ...1 Örneği görmek için tıklayınA = {1,2,3} ve B = {1,3,4,5,9} kümeleri verilsin. A dan B ye bir f bağıntısı, f = {(x,y) : y = x2 } biçiminde tanımlanıyor.y = f(x) = x2 ⇒ f(1) = 12 = 1 ⇒ f(2) = 22 = 4 ⇒ f(3) = 32 = 9olduğuna göreTanım kümesi : A = {1,2,3}Değer kümesi : B = {1,3,4,5,6}f bağıntısı : f = {(1,1), (2,4), (3,9)} olur. Ana Menü İleri
  • 4. f bağıntısında tanım kümesinin bütün elemanları değer kümesinin en az bir elemanıyla eşleştirildiği için vetanım kümesinin elemanları değer kümesinin en çok bir elemanıyla eşleştirildiği için, f bağıntısı fonksiyondur. Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı bir fonksiyon olmayabilir.Örnek ...2 Örneği görmek için tıklayınAşağıdaki bağıntıları inceleyelim. f g h A B C D E F 1. .2 1. .2 1. .2 2. .3 2. .3 .3 .4 3. 2. .4 f = {(1,2) , (2,3)} g = {(1,2) , (2,3)} h = {(1,2) , (1,3) , (2,4)} f : A → B ye g : C → D ye h : E → F ye fonksiyondur. fonksiyon değildir. fonksiyon değildir. Sonuç için tıklayın f : A → B ye fonksiyon ise 1) Tanım kümesinde açıkta eleman kalmaz ancak değer kümesinde açıkta eleman kalabilir. 2) Tanım kümesinde bir eleman değer kümesindeki birden fazla elemanla eşleşemez. Fakat tanım kümesindeki birden fazla eleman değer kümesindeki bir elemanla eşlenebilir. Geri Ana Menü
  • 5. B. Fonksiyonun GösterimiFonksiyonlar dört biçimde gösterilebilir.1) Bağıntı ile2) Liste yöntemi ile3) Venn şeması ile4) Grafik ileÖrnek ...3 Örneği görmek için tıklayın A= {-2,1,2} B= {0,1,2,3,4} f(x)= x2-1bağıntısı, tanım kümesi A ve değer kümesi B olan bir fonksiyondur. Fonksiyonunyukarıdaki gibi gösterimine bağıntı ile gösterim adı verilir.f(x)= x2-1⇒ f(-2)=(-2)2-1=3 ⇒ f(1)=12-1=0 ⇒ f(2)=22-1=3olduğuna göre;f={(-2,3), (1,0), (2,3)} gösterimine fonksiyonun liste yöntemi ile gösterimi adı verilir. Ana Menü İleri
  • 6. Bu fonksiyonun Venn şeması ve grafik ile gösterimi aşağıdaki gibidir. A B B 4 -2 . 0. . 3 . f 1. 1. 2 2. 2. 1 3. 4. . -2 0 1 2 A Fonksiyonun Fonksiyonun grafiği üç Venn Şeması noktadan oluşmaktadır. Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı bir fonksiyondur. Geri Ana Menü
  • 7. C. Görüntü Kümesif : A →B ye fonksiyon olsun.(x,y) ∈f ise y = f(x)’e x in f fonksiyonu altındaki görüntüsü veya f nin x için değeri denir. Örnek ...4 A B Örneği görmek için tıklayın f(1) = a Tanım kümesi: A = {1,2,3} 1. a. f(2) = a Değer kümesi: B = {a,b,c,d} 2. b. f(3) = c dir Görüntü kümesi= f(A) = {a,c} c. f fonksiyonu: f = {(1,a), (2,a), (3,c)} dir. 3. d. Sonuç için tıklayın Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. f: A → B ⇒ f(A) ⊂ B dir. Ana Menü İleri
  • 8. Örnek ...5 Örneği görmek için tıklayın y A ⊂ IR olmak üzere, f: A → IR fonksiyonunun 7 . grafiği yanda verilmiştir. Buna göre, -1 x √ Grafikte, -1 ≤ x ≤ 5 olduğundan tanım kümesi A = [-1,5] tir. 0 4 5 √ Grafikte, -9 ≤ y ≤ 7 olduğundan görüntü kümesi f(A) = [-9,7] dir. √ x = -1 için y = -5 olduğundan -1 in f fonksiyonuna göre görüntüsü -5 tir. . -5 Yani f (-1) = -5 tir. -9 . √ f fonksiyonuna göre görüntüsü 7 olan sayı 5 tir. Yani f(5) = 7 dir. Geri Ana Menü
  • 9. A. Fonksiyon Çeşitleri1. Bire Bir Fonksiyonf, A dan B ye bir fonksiyon olsun.f nin tanım kümesindeki her farklı elemanının görüntüsü farklı ise, f fonksiyonunabire bir ( 1-1 ) fonksiyon denir. A B 1. .1 Yandaki Venn şeması ile gösterilen f fonksiyonu yukarıdaki tanıma uygun .4 olduğundan bire bir fonksiyondur. 2. .9 3. .16 ∀x1,x2 ∈ A için, f (x1) = f (x2) iken x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Ya da f (x1) ≠ f (x2) iken x1 ≠ x2 ise, f fonksiyonu bire birdir. Ana Menü İleri
  • 10. Örnek ...1 f g A B C D Örneği görmek için tıklayın .a .1 .a .1 .2 .b .2 .b .3 .c .3 .cf fonksiyonu g fonksiyonu 1-1 dir. 1-1 değildir.Örnek ...2 f : IR → IR f(x) = x + 3 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını Örneği görmek için tıklayın araştıralım.Çözüm Çözümü görmek için tıklayın f (x1) = f (x2) x1 + 3 = x2 + 3 x1 + 3 - 3 = x2 + 3 - 3 x1 = x2 ... (*) f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 olduğundan f fonksiyonu bire birdir. Geri Ana Menü İleri
  • 11. Örnek ...3 y Örneği görmek için tıklayın Yandaki şekilde f : IR → R, y=x -1 2 f (x) = x2 - 1 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını x araştıralım. -1 0 1 -1Çözüm Çözümü görmek için tıklayın y Şekilde tanım kümesindeki x1 ve x2 elemanları değer y1 y = x - 1 2 kümesindeki y1 elemanıyla eşlenmiştir. x Yani f(x1) = f(x2) ve x1 ≠ x2 ‘dir. x1 0 x2 -1 Buna göre f : IR → IR, f(x) = x2 - 1 fonksiyonu bire bir değildir. Sonuç için tıklayınGrafiği verilen bir fonksiyonun bire bir olup olmadığını anlamak için Ox eksenine paralel doğruçizilir. Bu paralel doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir. Birden fazla noktadakesiyorsa fonksiyon bire bir değildir. Geri Ana Menü
  • 12. 2. Örten FonksiyonGörüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. f : A → B’ ye f(x) = y ile tanımlı olan f örten ⇔ f(A) = B dir.Örnek ...4 Örneği görmek için tıklayın f g h R Ç M F B E a. .1 a. .1 a. .1 b. .2 b. .2 b. .2 c. .3 c. c. .3 f , bire bir ve g, bire bir değil h, bire bir değil ve örtendir. fakat örtendir. örten de değildir. Sonuç için tıklayınÖrten fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman bulunmaz. Ana Menü
  • 13. 3. İçine FonksiyonGörüntü kümesi değer kümesinin özalt kümesi olan fonksiyonlara içine fonksiyon denir.Kısaca, örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir.Örnek ...5 Örneği görmek için tıklayınA = {-1,0,1} ve B = {0,1,2}olmak üzere, Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için değer kümesi üzerinden Ox eksenine paraleller çizilir. Bu paraleller f:A→B eğriyi daima kesiyorsa fonksiyon örtendir. Eğer çizilen paralellerden f(x) = x2 bazıları eğriyi kesmiyorsa fonksiyon içinedir.Fonksiyonunu inceleyelim.Çözüm A f B Çözümü görmek için tıklayın f(x) = x2 ⇒ f(-1) = (-1)2 = 1 -1 . .0 ⇒ f(0) = 02 = 0 ⇒ f(1) = 12 = 1 olduğuna göre, 0. .1 f(A) = {0,1} dir. 1. .2Değer kümesinde eşlenmemiş en az bir eleman olduğuna göre,f içinedir. Venn şemasından dagörüldüğü gibi f, bire bir değil fakat içinedir. Ana Menü İleri
  • 14. Örnek ...6 Örneği görmek için tıklayınAşağıdaki grafikleri inceleyelim. y y y = f1(x) y = f2(x) x x -1 0 1 -1 0 1 -1 -1 f1 : IR → IR f2 : IR → [-1, sonsuz) f1 , içinedir. f2 , örtendir. Geri Ana Menü
  • 15. 4. Birim (Özdeş) FonksiyonTanım kümesindeki her elemanın görüntüsü yine aynı ise bu tip fonksiyona birim fonksiyon denir ve Ιile gösterilir. f A B a. .a f:A→B b. .b f(a) = a, f(b) = b, f(c) = c dir. Buna göre, f birim fonksiyondur. c. .c Ι : A → A, Ι(x) = x veya f(x) fonksiyonu birim fonksiyondur.Örnek ...7 Örneği görmek için tıklayın Çözüm Çözümü görmek için tıklayın f : IN+ → IN+ f, birim fonksiyon ise, f(x) = x tir. f(x) = (2m - 4)x2 + (2n - 5)x + m + n + k Buna göre, f(x) = (2m - 4)x2 + (2n - 5)x + m + n + k dır.    f, birim fonksiyon olduğuna göre, m . n . k kaçtır? 0 1 0 2m - 4 = 0 ⇒ m = 2 ... (1) 2n - 5 = 1 ⇒ n = 3 ... (2) Birim fonksiyon bire birdir. m + n + k = 0 ⇒ k = - m -n = -2 - 3 = -5 ... (3) m . n . n = 2 . 3 .(-5) = -30 dur. Ana Menü
  • 16. 5. Sabit Fonksiyon ve Sıfır FonksiyonuTanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir tek elemana eşleyen fonksiyonasabit fonksiyon denir.Yani, ∀x ∈ A ve c ∈ B için,f(x) = c oluyorsa f, Adan B ye sabit fonksiyondur.c = 0 ve ∀x ∈ A için,f(x) = 0 ise f fonksiyonu sıfır fonksiyonudur.Örnek ...8 Örneği görmek için tıklayın f f A B C D . -1 . -1 1. 1. .0 .0 2. 2. 3. .1 3. .1 .2 .2 f(x) = 1 fonksiyonu h(x) = 0 fonksiyonu sabit fonksiyondur. sıfır fonksiyonudur. Ana Menü İleri
  • 17. Örnek ...9 Örneği görmek için tıklayın f : IR → IR f(x) = (m -1)x + 4 + mFonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(8) kaçtır?Çözüm Çözümü görmek için tıklayınVerilen f(x) fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, x in katsayısı 0 olmalıdır.Buna göre, m - 1 = 0 ⇒ m = 1 dir.Bu değer yerine yazılırsa,f(x) = (m - 1)x + 4 + mf(x) = (1 - 1)x + 4 + 1f(x) = 0 . X + 5f(x) = 5f(8) = 5 tir. Geri Ana Menü
  • 18. B. Eşit Fonksiyon f : A → B ve g : A → B iki fonksiyon olsun. f ve g fonksiyonları A’nın her elemanı için aynı değeri alıyorsa f ve g’ye eşit fonksiyonlar denir ve f = g biçiminde gösterilir. Buna göre, f = g ⇔ ∀x ∈ A için f(x) = g(x) tir.Örnek ...10 Örneği görmek için tıklayın A = { -1, 0, 1 } B = { 0, 1, 2 } f : A → B, f(x) = x + 1 g : A → B, g(x) = x3 + 1biçiminde tanımlandığına göre, f = g olduğunu gösterelim.Çözüm Çözümü görmek için tıklayın (x) = x + 1 ⇒ f(-1) = -1 + 1 = 0 ⇒ f(0) = 0 + 1 = 1 ⇒ f(1) = 1 + 1 = 2 g(x) = x3 + 1 ⇒ g(-1) = (-1)3 + 1 = 0 ⇒ g(0) = 03 + 1 = 1 ⇒ g(1) = 13 + 1 =2 dir. ∀x ∈ A için f(x) = g(x) olduğundan f = g dir. Ana Menü
  • 19. C. Fonksiyon Sayısı s(A) = m s(B) = n olsun. 1. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyonların sayısı : nm ‘dir. 2. B’den A’ya tanımlanabilen fonksiyonların sayısı : mn ‘dir. 3. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı : 2m .n - nm ‘dir. 4. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı : n! 1.2.3. ... .n = dir. (n≥m) (n-m)! 1.2.3. ... .(n-m) 5. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı : m! = 1.2.3. ... .m dir. 6. A’dan A’ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı : mm -m! dir. 7. A’dan B’ye tanımlanabilen sabit fonksiyonların sayısı : n dir. Ana Menü İleri
  • 20. Örnek ...11 Örneği görmek için tıklayın A = { 1, 2 } B = { a, b, c } kümeleri veriliyor. s(A) = 2 ve s(B) = 3 olduğuna göre, 1. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyonların sayısı : 32 = 3.3 = 9 dur. 2. B’den A’ya tanımlanabilen fonksiyonların sayısı : 23 = 2.2.2 = 8 dir. 3. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı : 22 .3 - 32 = 26 - 9 = 55 tir. 4. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı : 3! 1.2.3 = = 6 dır. (3-2)! 1 5. A’dan A’ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı : 22 -2! = 4 - 1.2 = 4 - 2 = 2 dir. 7. A’dan B’ye 3 tane sabit fonksiyon tanımlanabilir. Geri Ana Menü
  • 21. D. Ters Fonksiyonf : A → B ye bire bir ve örten bir fonksiyon olsun.f-1 : B → A ya f nin ters fonksiyonu denir. f A B f:A→B f(x) = y x. .y f -1(y) = x f -1Örnek ...12 Örneği görmek için tıklayın A = { 1, 2, 3 } f:A→B B = { 3, 6, 11 } f : x → x2 + 2 fonksiyonunun tersini liste yöntemiyle yazalım.Çözüm Çözümü görmek için tıklayınf(x) = x2 +2 ⇒ f(1) = 12 + 2 = 3 f = {(1, 3), (2, 6), (3, 11)} ⇒ f(2) = 22 + 2 = 6 f -1 = {(3, 1), (6, 2), (11, 3)} olur. ⇒ f(3) = 32 + 2 = 11 Ana Menü İleri
  • 22. Örnek ...13 Örneği görmek için tıklayın f:A→B A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} f1 = {(a, 2), (b, 1), (c, 3)} ⇔ f1-1 = {(2, a), (1, b), (3, c)} f2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} ⇔ f2-1 = {(1, a), (1, b), (1, c)} Burada f1 in tersi olan f1-1 fonksiyondur. f2 nin tersi olan f2-1 bağıntısı fonksiyon değildir. Sonuç için tıklayın Her fonksiyonun tersi, bir fonksiyon olmayabilir. f bire bir ve örten değilse f -1 bağıntısı fonksiyon değildir. y = f(x) biçimindeki bir f fonksiyonunun tersini bulmak için x yalnız bırakılır. Tanım ve değer kümeleri yer değiştirdiğinden x ile y nin değerleri değiştirilir. Geri Ana Menü İleri
  • 23. Örnek ...14 Örneği görmek için tıklayın f : [ - 1, ∞) → [4, ∞) f(x) = x2 + 2x + 5 olduğuna göre f -1(5) kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2Çözüm Çözümü görmek için tıklayınf -1(5) = k ⇔ f(k) = 5 k değeri f nin tanım kümesindeki bir değerdir. f nin tanım ⇒ k2 + 2k + 5 = 5 kümesi [ - 1, ∞) olduğunda bu aralıkta -2 yoktur. ⇒ k2 + 2k = 0 O halde f -1(5) = 0 dır. ⇒ k(k + 2) = 0 Cevap C ⇒ k = 0 veya k + 2 = 0 ⇒ k = 0 veya k = -2 dir. Sonuç için tıklayın x-b 1.) f : IR → IR, f(x) = ax + b ⇒ f -1(x) = a d a { 2.) f : IR - c }→ IR - c{ } ax + b -dx + b f(x) = ⇒ f -1(x) = dır. cx + d cx - a Geri Ana Menü İleri
  • 24. Örnek ...15 Örneği görmek için tıklayın Çözüm Çözümü görmek için tıklayın f : IR → IR f(x) = y ⇒ f -1(y) = x ... (*) f(x) = 4x - 8 f(x) = 4x - 8 fonksiyonunun tersini bulalım. y = 4x - 8 y+8 =x 4 y+8 y+8 x= ⇒ f -1(y) = 4 4 x+8 olur. ⇒ f -1(x) = 4 Sonuç için tıklayın ax + b -d f(x) = ifadesinin fonksiyon olabilmesi için f nin paydasını sıfır yapan cx + d c tanım kümesinde olmamalıdır. ax + b -dx + b f(x) = ⇒ f -1(x) = cx + d cx - a olduğuna göre, f nin bire bir ve örten olması için f nin değer kümesinde f -1 in paydasını sıfır yapan değeri olmalıdır. ax + b -d O halde, f(x) = cx + d nin en geniş tanım kümesi IR - c { } ve en geniş değer a kümesi IR - { c }olursa f nin tersi de fonksiyon olur. Geri Ana Menü İleri
  • 25. 1) (f -1)-1 = f dir.2) (f -1(x))-1 ≠ f(x) dir.3) y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f -1(x) in belirttiği eğri y = xdoğrusuna göre simetriktir. y y= x+2 y=x f(x) = x + 2 ise, 2 . y= x-2 f -1(x) = x - 2 . -2 .2 x olup grafikleri yukarıdaki gibidir. .-2 Geri Ana Menü
  • 26. E. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon )A, B, C birer küme olsun. f : A → B, f(x) = z g : B → C, f(z) = y isegof : A → C, (gof)(x) = g [f(x)] = y kuralı ile tanımlı fonksiyona f ile g ninbileşke fonksiyonu denir. f B g A C x. .z .y gof Ana Menü İleri
  • 27. Örnek ...16 Örneği görmek için tıklayın A = { 0, 1, 2 } f : A → B, f(x) = 2x + 3 B = { 3, 5, 7 } g : B → C, g(x) = 2x + 1 C = { 7, 11, 15 } fonksiyonları verilsin. kümeleri veriliyor. f B g A C Şemada görüldüğü gibi f ve g fonksiyonları A kümesinin 0. .3 .7 elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşlemiştir. Verilen şemayı kısaca aşağıdaki biçimde gösterelim. 1. .5 . 11 2. .7 . 15 h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x+3);(g(x) = 2x+1) A h B = 2(2x+3) + 1 0. .7 = 4x + 6 + 1 = 4x + 7 ise 1. . 11 h(0) = 4. 0 + 7 = 7 2. . 15 h(1) = 4. 1 + 7 = 11 Geri Ana Menü İleri h(2) = 4. 2 + 7 = 15
  • 28. Örnek ...17 Örneği görmek için tıklayın f : IR → IR, f(x) = 4x + 5 fonksiyonları tanımlanıyor. g : IR → IR, g(x) = 3x - 2 Buna göre, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulalım.Çözüm Çözümü görmek için tıklayın (fog)(x) = f(g(x)) (gof)(x) = g(f(x)) = f(3x - 2) = g(4x + 5) = 4(3x - 2) + 5 = 3(4x + 5) - 2 = 4. 3x - 4. 2 + 5 = 3. 4x + 3. 5 - 2 = 12x - 3 ... (*) = 12x + 13 ... (*) Geri Ana Menü
  • 29. F. Bileşke İşleminin Özellikleri 1. Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. fog ≠ gof 2. Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır. fo(goh) = (fog)oh = fogoh 3. I(x) = x olmak üzere, foI = Iof = f olduğu için, I(x) = x fonksiyonuna bileşke işleminin birim ( etkisiz ) elemanı denir. 4. fof -1 = f -1of = I dır. Buna göre, f nin bileşke işlemine göre tersi f -1 dir. 5. (fog) -1 = g -1of -1 dir.Örnek ...18 Örneği görmek için tıklayın Çözüm Çözümü görmek için tıklayın (fog)(x) = x2 - 2x + 1 (fog)(x) = x2 - 2x + 1 f(x) = x + 4 f(g(x)) = x2 - 2x + 1 ve f(x) = x + 4 ise, olduğuna göre g(x) fonksiyonunu bulalım. g(x) + 4 = x2 - 2x + 1 g(x) = x2 - 2x + 1 - 4 g(x) = x2 - 2x - 3 olur. Ana Menü İleri
  • 30. Örnek ...19 Örneği görmek için tıklayın (fof)(x) = 4x + 3 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulalım.Çözüm Çözümü görmek için tıklayın (fof)(x) = 4x + 3 ... (℘) olduğuna göre, f(x) fonksiyonu ax + b biçimindedir. f(x) = ax + b olsun. a = 2 için, ab + b = 3(fof)(x) = f(f(x)) 2b + b = 3 = f(ax + b) 3b = 3 = a(ax + b) + b b = 1 dir. = a x + ab + b ... ( ℵ ) 2 a = -2 için, ab+ b = 3(℘) ve ( ℵ ) eşitliğinden, -2b + b = 34x + 3 = a2x + ab + b ⇒ ( 4 = a2 ve 3 = ab + b ) -b = 3a2 = 4 ⇒ ( a = 2 veya a = -2 ) dir. b = -3 tür. Buna göre, f(x) = ax + b fonksiyonu f(x) = 2x + 1 veya f(x) = -2x - 3 olur. Geri Ana Menü İleri
  • 31. Örnek ...20 Örneği görmek için tıklayın Çözüm Çözümü görmek için tıklayın f(x) = 2x - 4 f(x) = 2x - 4 ⇒ f -1(x) = x+4 ... (*) 2 (fog -1) -1(x) = 3x + 6 olduğuna göre, g(3) kaçtır? (fog -1) -1 = (g -1) -1of -1 = gof -1 ... (*) A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 2Buna göre, (fog -1) -1(x) = 3x + 6 ( gof -1)(x) = 3x + 6 g(f -1(x)) = 3x + 6 g ( x+4 2 ) = 3x + 6 olur. x+4g(3) ün bulunabilmesi için yi 3 e eşitleyen x değeri bulunmalıdır. 2 x+4 = 3 ⇒ x + 4 = 6 ⇒ x = 2 dir. 2 O halde, g ( x+4 ) = 3x + 6 g ( )= 6 + 6 6 2 2 g(3) = 12 olur. g( 2+4 2 ) = 3. 2 + 6 Cevap A Geri Ana Menü İleri
  • 32. Örnek ...21 y = g(x) Örneği görmek için tıklayın Şekilde f doğrusal fonksiyonu ile g .10 fonksiyonunun grafikleri verilmiştir. 3 . Buna göre, (f -1og)(1) + (fog -1)(3) kaçtır? -2 . 0 . 1 . 5 A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 y = f(x)Çözüm Çözümü görmek için tıklayın Şekildeki grafiğe göre, g(1) in sonucu m ise, f(1) in sonucu da m dir. Buna göre, f(1) = m ⇔ f -1(m) = 1 dir. (f -1og)(1) = f -1(g(1)) = f -1(m) = 1 g fonksiyonu (0, 3) noktasından geçtiğine göre, g(0) = 3 ⇒ g-1(3) = 0 f fonksiyonu (0, 10) noktasından geçtiğine göre, Cevap C f(0) = 10 O halde, (f -1og)(1) + (fog -1)(3) = f -1(g(1)) + f(g-1(3)) = 1 + f(0) = 1 + 10 = 11 dir. Geri Ana Menü İleri
  • 33. f fonksiyonu ile g fonksiyonu (a, b) noktasında kesişiyorlarsa (f -1og)(a) = a ve (f og -1)(b) = b olur.Örnek ...22 Örneği görmek için tıklayın f(x) = x2 - 2x + 3 olduğuna göre, f(1 - x) - f(x - 1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?A) -2x + 3 B)2x - 3 C) 4x + 4 D) 0 E) 4x - 4Çözüm f(x) = x2 - 2x + 3 Çözümü görmek için tıklayın f(1-x) = (1-x)2 - 2(1-x) + 3 = 1 - 2x + x2 - 2 + 2x + 3 = x2 + 2 ...() f(x-1) = (x-1)2 - 2(x-1) + 3 = x2 - 2x + 1 - 2x + 2 + 3 = x2 - 4x + 6 ...() () ve () den f(1-x) - f(x-1) = x2 + 2 - (x2 - 4x + 6) = x2 + 2 - x2 + 4x - 6 = 4x + 2 - 6 Geri Ana Menü İleri = 4x - 4 olur. Cevap E
  • 34. Örnek ...23 Örneği görmek için tıklayın f : IR → IR f(x) = (x+2). f(x+3) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1 f(7) = 6 olduğuna göre, f(1) kaçtır?Çözüm Çözümü görmek için tıklayın 1 f(x) = (x+2). f(x+3) ve f(7) = ise, 6 x = 4 için, f(4) = (4+2). f(4+3) f(4) = 6. f(7) f(4) 1 = 6. 6 f(4) =1 x= 1 için, f(1) = (1+2). f(1+3) f(1) = 3. f(4) f(1) = 3. 1 f(1) = 3 tür. Cevap C Geri İleri
  • 35. Fonksiyonun Tarihi Fonksiyon; bir cümlenin (kümenin) her elemanını ikinci bir cümlenin yalnız birelemanıyla eşleyen bir bağıntı. Birinci cümleye tanım cümlesi, ikinci cümleye değer cümlesidenir. Genellikle bu elemanlar sayılardan ibarettir. Pekçok fonksiyon, çeşitli bilimkonularından ortaya çıkar. Fonksiyon 17.yüzyıldan beri matematiğin bir ana kavramı olmuştur. Hareketlerinaraştırılmasında Galile, Kepler ve Newton, zamanla mesafe arasında münasebetleri ortayakoymuşlardır. Gazların sıcaklık, basınç ve hacimleri arasındaki münasebet Robert Boyletarafından 17. yüzyılda ve A.C. Charles tarafından 18.yüzyılda keşfedilmiştir. 19. Yüzyılda iseakım, voltaj ve direnç arasındaki münasebet ile elektrik anlaşılır hale gelmiştir. Daha sonrabiyoloji ve sosyal ilimlerde de sayılar ile ilgili bilgiler ve bununla fonksiyon kavramı önemkazanmıştır. Bilimde en önemli kavramın değişkenler arasındaki ilişkiler olduğu söylenebilir. Ana Menü