İşlem ve modüler ari̇tmeti̇k 1

5,032 views

Published on

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
5,032
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
651
Actions
Shares
0
Downloads
18
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

İşlem ve modüler ari̇tmeti̇k 1

  1. 1. İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK İŞLEM : 5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğuhalde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisibiçiminde yazalım.Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur.Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeişlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reelsayılar kümesine birer fonksiyondur.Tanım : Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun AxB nin bir alt kümesindenC ye tanımlı her fonksiyona işlem denir.AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlemdenir. İşlemi göstermek için*, +, -, ,⊕,⊗,∆ ... gibi işaretler kullanılır.
  2. 2. Örnek : A={ -1,0, 1}AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) }f:AxA A fonksiyonu;f(x,y)= x.y olsun.Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi ⊕ ile gösterirsek,x ⊕y =x.y dir. Tablodan -1⊕-1 = 1, 0 ⊕1= 0, 0 ⊕0=0 olduğunu bulunuz.
  3. 3. Örnek :Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemitanımlanıyor.a. (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir?b. (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir?Çözüm :a. 2#3= 4-3.3 +2.3 =1 olduğundan; ( 2 #3 ) #4= 1 #4= 2-12+4= -6b. 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan; (2 #x) #2= (4-x) #2 =2(4-x)-6+( 4-x) #2 =8-2x-6+8-2x =-4x+10 -4x+10=16 -4x=6 x=-6/4 bulunur.
  4. 4. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ :A boş olmayan bir küme ve ⊗, A’ da tanımlı bir işlem olsun; ∀x, y ∈ A için x ⊗ y ∈A ise A kümesi ⊗ işlemine göre kapalıdır. ∀x,y ∈ A için x ⊗ y= y ⊗ x ise işlemin değişme özelliği vardır. ∀x,y,z ∈ A için (x ⊗ y) ⊗ z=x ⊗(y ⊗ z) ise işlemin birleşme özelliğivardır. ∀x ∈ A için x ⊗ e= e ⊗ x=x olacak şekilde bir e ∈ A varsa e’ ye etkisizeleman denir. A kümesinin ⊗ işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. ∀x ∈ A içinx ⊗ x-1= x-1 ⊗x=e olacak şekilde bir x-1∈A varsa x-1 ‘e x’in ⊗ işlemine göretersi denir. * A da tanımlı bir işlem olsun.∀x,y,z ∈ A için, x ⊗(y*z)= (x ⊗y)*(z ⊗x) eşitlikleri sağlanıyorsa ⊗ işlemini* işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.
  5. 5. Örnek :Z ‘ de ⊗ işlemi ∀x,y,z ∈ A için ;x ⊗y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor. ⊗ işlemine göre Z kümesikapalımıdır.Çözüm :∀x,y,z ∈ A için, x ∀x,y,z ∈ A için y∉ Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayılarınikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiyebölümü tam sayı değildir. Mesela;2,7 ∈z için 2 ⊗7= (2+7) /2= 9 / 2 ∉Z dir.
  6. 6. Örnek : ⊗ a b c d e a d e a b c b e a b c d c a b c d e d b c d e a e c d e a b KÖŞEGENA= { a,b,c,d,e} kümesinde ⊗ işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor. A kümesi ⊗ işlemine göre kapalı mıdır? ⊗ işlemi değişme özelliğine sahip midir? ⊗ işlemine göre etkisiz eleman nedir? b’ nin tersi nedir?
  7. 7. Çözüm : ⊗ işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine Akümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır. ∀ x,y ∈A için x ⊗y=y ⊗x olduğundan ⊗ işlemi değişmelidir. ∀ x ∈A için x ⊗c=c ⊗x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçektena ⊗c=a, b ⊗c=b, c ⊗c=c, d ⊗c=d, e ⊗c=e dir. b’nin tersi olsun.b ⊗x=c olmalıdır.x=d olduğu tabloda görülür.
  8. 8. Örnek:∀x,y∈R için x ⊗y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor.1. ⊗ işlemi değişmeli midir?2. ⊗ işlemine göre etkisiz eleman nedir?3. ⊗ işlemine göre a∈R olmak şartıyla a’nın tersi nedir?Çözüm: x ⊗y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y ⊗xO halde ⊗ değişmelidir. Etkisiz eleman e olsun. x ⊗e = x olmalıdır.x+e+2xe = x e+2xe =0e(1+2x) =01+2x≠0 ise e=0 dır. Bu durumda etkisiz eleman 0’dır.
  9. 9.  a’nın tersi a-1 olsun. a ⊗a-1=0 olmalıdır. a+a-1 + 2a.a-1=0 a-1(1+2a)=-a a-1 =-a/(1+2a) bulunur.Örnek :♥ işlemi R+ da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m ♥ n2 = m.n ise4♥ 9 neye eşittir?Çözüm :4 ♥9= 1/ (1/4) ♥ 32 =1/4. 3 = 3/4‘ tür.
  10. 10. Örnek :R2 de tanımlanan (a,b)Ω (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanınedir?Çözüm :Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için;(a,b) Ω(x,y)=(a,b) olmalıdır.(a+x,b+y)= (a,b) isea+x=a ve b+x= bx=0 , y=0 bulunur.Demek ki etkisiz eleman (0,0) ‘dır.
  11. 11. MODÜLER ARİTMETİK :Z ‘ de β ={ x,y} : m(x-y)}, m≠1 ve m ∈Z+ bağıntısı denklik bağıntısıdır.O halde ∀(x ,y)∈ β için x ≡y (mod m)Örnek :Z de β={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim.Çözüm : β, farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6), (74, 69) ...β denklik bağıntısı olduğu için ∀x(x,y) ∈ β için x≡y (mod 5)Mesela;(1,6)∈ β olduğu için 1≡6 (mod 5)(74, 69) ∈ β olduğu için 74 ≡69 (mod 5).....
  12. 12. Z’ de m=5 modülüne göre β ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları)oluşturalım.0={....., -10 , -5, 0, 5,10,.....}1={....., -9 , -4, 1, 6, 11,.....}2={....., -8 , -3 , 2, 7,12.....}3={....., -7, -2 , 3, 8, 13,......}4={....., -6 , -1, 4, 9, 14,......}5 modülüne göre kalan sınıflarıdır.Z/m={ 0,1 ,2, 3........... (m-1)} dir. ÖZELLİKLER : x≡y ( mod m) ve u= v olsun.  x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir.  x-y , (u-v) m2 ye tam olarak bölünür.
  13. 13.  x+ u ≡ y+v (mod m)  x-u ≡y-v (mod m)  x.u ≡y. v ( mod m)  c.x ≡c.y (mod m) , c ∈Z  xn ≡y-n ( mod m ) , n ∈Z+Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma : ∀ x ,y ∈Z/m için1. x +y = x+y2. x . y = x.y
  14. 14. Örnek :Z/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin sonucu nedir?Çözüm :4. ( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3 =4. 6+ 3 =4. 1+ 3 =4+3 =7 = 2
  15. 15. Örnek :71962 ≡x ( mod 11) ise x nedir?Çözüm :710= 1 dir. Buna göre ,71964 ≡(710)196 . 72 ≡ 11196 . 72 ≡ 5 (mod 11)MATEMATİK SİSTEMLER :Tanım: A boş olmayan bir küme olmak şartıyla ⊗ A ‘ da tanımlı bir işlemolsun . ( A, ⊗) ikilisine bir matematik sistem denir. * ‘ da A ‘ datanımlı bir işlem ise ( A, ⊗,*) üçlüsüne de bir matematik sistem denir.
  16. 16. Tanım :G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla ⊗ A da tanımlı bir işlem olsun.(G, ⊗) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır. • Kapalılık özelliği; • Birleşme özelliği; • Etkisiz eleman özelliği ; • Ters eleman özelliği ;Tanım :(G, ⊗) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır. Örneğin(Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z, .)(Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.
  17. 17. Tanım :(H, ⊗, &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halkaadını alır.1. (H, ⊗) değişmeli gruptur.2. H kümesi & işlemine göre kapalıdır.3. & işlemine göre birleşme özelliği vardır.4. & işleminin ⊗ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.Tanım :(H, ⊗,&) halka olmak şartıyla;1. & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ⊗,&) değişmeli halkaadını alır.2. & işleminde etkisiz eleman özelliği varsa (H, ⊗,&) birimli halka adını alır.
  18. 18. Örnek :(Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır.Tanım :(C, ⊗,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adınıalır.1. (C, ⊗) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir.2. (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur.3. & işleminin ⊗ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.Tanım :( C, ⊗,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ⊗,&)Sistemi değişmeli cisim adını alır.

×