Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 03

8,442 views
7,885 views

Published on

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
8,442
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
164
Actions
Shares
0
Downloads
34
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Fonksi̇yonlarin grafi̇kleri̇ 03

  1. 1. Fonksiyonların AsimptotlarınıbulmaAsimptot nedir? Kaç çeşit Asimptot vardır?
  2. 2. Asimptot nedir?Bir (d) doğrusu veya bir (c) eğrisi ile bir y=f(x)fonksiyonun sonsuza giden uçları arasındakiuzaklık sıfıra yaklaşıyorsa, bu doğru veyaeğriye, fonksiyonun bir ASİMPTOT ’ u denir.
  3. 3. y=f(x) y Fonksiyon, +∞’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. 0 x (d) y y=b (d) 0 x Fonksiyon, +∞’ a (d) doğrusunu takip edereky=f(x) uzanmaktadır.
  4. 4. y y=f(x) Fonksiyon, +∞’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. 0 x (d) y(c) y=f(x) 0 x Fonksiyon, +∞’ a (c) eğrisini takip ederek uzanmaktadır.
  5. 5. x=a y Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak- Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak- laşırken gösterdiği durumu, limit laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? 0 a xy=f(x) lim f ( x ) = ∞ − x →a x=a y y=f(x) Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak- Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak- laşırken gösterdiği durumu, limit laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? 0 a x lim f ( x ) = −∞ − lim f ( x ) = −∞ + x →a x →a lim f ( x ) = −∞ x →a
  6. 6. a∈R olmak üzere, y=f(x) fonksiyonu için, lim− f ( x ) =  ∞ veya lim+ f ( x ) =  ∞ x →a x →a oluyorsa, x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyo-nunun DÜŞEY ASİMPTOT ’ u denir.Bir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenineBir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenineparalel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyuparalel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesemez.
  7. 7. ÖRNEK: x 2 + 5x − 4 eğrisinin düşey asimptotunun olup olma-y= x −1 dığını araştıralım. x’ in hangi değeri için, lim f ( x ) = ∞ olur? x →? x 2 + 5x − 4 2 x 2 + 5x − 4 2lim = − = −∞ ve lim = + = +∞x →1− x −1 0 x →1 + x −1 0 x=1 doğrusu DÜŞEY ASİMPTOT’tur.
  8. 8. Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir?Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir? P( x ) Düşey asimptot, y= Q( x) biçimindeki rasyonel fonksiyonlarda bulunur. Paydanın kökü ( veya kökleri) fonksiyonun düşey asimptotlarıdır.
  9. 9. ÖRNEK: −8 y= 2 eğrisinin, düşey asimptotlarını araştıralım: x −4 Paydanın kökleri: x2-4=0 ⇒ x=-2 ve x=2 x=-2 x=2
  10. 10. ÖRNEK: x 4 + 2x 3 + x 2 − 1 eğrisinin, varsa, düşeyy= asimptot-larını araştıralım: x − x3 İfadenin paydasını sıfır yapan değerler x-x 3 = 0 ⇒ x(1-x 2 )=0 ⇒ x 1 =0 x 2 =-1 x 3 =1 x 1 =0 x 2 =-1 x 3 =1 doğrularıdır.
  11. 11. ÖRNEK: x3 + x2 − x + 1 eğrisinin, varsa, düşeyy= ( x + 2) 2 asimptot-larını araştıralım: İfadenin paydasını sıfır yapan değerler(x+2) 2 = 0 ⇒ x 1 =x 2 =-2 (Çift katlı kök) x=-2 doğrusu x=-2 doğrusu
  12. 12. x 2 + 5x − 4 y= ⇒ Düşey asimptotu Düşey asimptotu x−1 x=1 doğrusu 2 lim− f ( x ) = ? ⇒ = −∞ x →1 0 − 2 lim+ f ( x ) = ? ⇒ =∞ x →1 0 +Fonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğininFonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğinin şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz? şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz?
  13. 13. y x=1 lim+ f ( x ) = ∞ x →1 0 1 xlim− f ( x ) = −∞x →1
  14. 14. x3 + x2 − x + 1 y= ( x + 2) 2 x=-2 doğrusu düşey asimptot x=-2 doğrusu düşey asimptot −∞ y −1lim − f ( x ) = − 2 (0 ) =x → −2lim + f ( x ) =x → −2 −1 ( 0 +) 2 = −∞ 0 x Fonksiyon, asimptotun her ikiFonksiyon, asimptotun her iki tarafındatarafında da, da, uzanmaktadır.uzanmaktadır. -∞’ -∞’ aa −∞
  15. 15. x=a, paydanın tek kat kökü ise, eğri,sağ dan ve soldan, bu asimptotun farklıuçları na yaklaşır.x=a, paydanın çift kat kökü ise, eğri,sağ dan ve soldan, bu asimptotun aynıucuna yaklaşır.
  16. 16. y y y= b b y=b b 0 x 0 x y=f(x) y=f(x)lim f ( x ) = b lim f ( x ) = bx →−∞ x →+∞ y b lim f ( x ) = b x → ∞ 0 x
  17. 17. y=f(x) fonksiyonu için, lim f ( x ) = b ∈ R veya lim f ( x ) = b ∈ R x →−∞ x →+∞ oluyorsa, y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyo-nunun YATAY ASİMPTOT ’ u denir. Bir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenineBir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenineparalel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyuparalel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesebilir. kesebilir.
  18. 18. y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabiliry=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilirmi?mi? y= a x fonksiyonu y a lim a x = 0 1 x →−∞ 0 1 x
  19. 19. ÖRNEK: x +1y = fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: 1−x lim f ( x ) = ? x →−∞ −1 lim f ( x ) = ? x →+∞ −1 y=-1 doğrusu, eğrinin yatay y=-1 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur. asimptotudur.
  20. 20. ÖRNEK: 2 + 5x 2 fonksiyonunun yatay y= 3x 2 − x + 1 asimptotunu bulalım: lim f ( x ) = ? 5 x →−∞ 3 lim f ( x ) = ? 5 x →+∞ 3 y=5/3 doğrusu, eğrinin yatay y=5/3 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur. asimptotudur.
  21. 21. ÖRNEK: x 2 − 3x fonksiyonunun yatay asimptotunuy = 1 − x4 bulalım: lim f ( x ) = ? x →−∞ 0 lim f ( x ) = ? x →+∞ 0 y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur. y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.
  22. 22. Payın Payın derecesi, derecesi, paydanın paydanın derecesin-den küçük veya eşit derecesin-den küçük veya eşit iken, yatay asimptot vardır. iken, yatay asimptot vardır. x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz? gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz? PAYIN DERECESİ, PAYDANIN PAYIN DERECESİ, PAYDANINDERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR.DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR.
  23. 23. ÖRNEK: y=3 X fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: lim f ( x ) = ? x→−∞ 0 lim f ( x ) = ? x→+∞ ∞ y=0 doğrusu, eğrinin x →−∞ için yatay y=0 doğrusu, eğrinin x →−∞ için yatay asimptotudur. asimptotudur.
  24. 24. (c): y=ax 2 +bx+c y y=f(x) y y=f(x) 0 x 0 x(d): y=ax+b Bir y=f(x) eğrisi ve bir y=g(x) doğrusu için, lim [ f ( x ) − g ( x ) ] = 0 ise, x → ∞ y=g(x) fonksiyonuna, EĞİK ASİMPTOT denir. Eğer, y=g(x) bir eğri ise, EĞRİ ASİMPTOT adını
  25. 25. ÖRNEK: x 2 + 3x + 5 fonksiyonunun eğik asimptotunuy = x +2 bulalım: x 2 + 3x + 5 y = ⇒ Payı paydaya bölersek; x +2 x 2 + 3x + 5 3 y = = x +1 + x +2 x +2 3 lim [ f ( x ) − ( x + 1 ) ] = lim x →∞ x + 2 =0 x →∞
  26. 26. Bu durumda; Bu durumda;y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur.y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur.EĞİK ASİMPTOTU BULMAK İÇİN, NASIL BİREĞİK ASİMPTOTU BULMAK İÇİN, NASIL BİR GENELLEME YAPILABİLİR? GENELLEME YAPILABİLİR? PAY, PAYDA BÖLÜNÜR; BÖLÜM, EĞİK PAY, PAYDA BÖLÜNÜR; BÖLÜM, EĞİK ASİMPTOT OLARAK ALINIR. ASİMPTOT OLARAK ALINIR.
  27. 27. ŞİMDİ ŞİMDİ DE; DE; x 3 − 2x + 2 fonksiyonunun eğik asimptotunuy = x +1 araştıralım: x 3 − 2x + 2 y = ⇒ Payı paydaya bölersek; x +1 x 3 − 2x + 2 3 y = 2 = x − x −1 + x +1 x +1 y=x -x-1, EĞRİ ASİMPTOT’ y=x22-x-1, EĞRİ ASİMPTOT’ tur.
  28. 28. P( x ) biçimindeki bir rasyonel fonksiyonda, Q( x ) payınderecesi, paydanın derecesinden iki veya dahafazla derece küçük ise, fonksiyonun EĞRİASİMPTOT’ u vardır.
  29. 29. lim f ( x ) =  ∞ oluyorsa, fonksiyonun, EĞİKx → ∞ yada EĞRİ ASİMPTOT ’uvardır.y=f(x) eğrisinin, y=mx+n biçiminde bireğik asimptotu varsa; f(x) m = lim ⇒ n = lim [ f ( x ) − mx ] x →∞ x x →∞ f(x) m = lim ⇒ n = lim [ f ( x ) − mx ] x → −∞ x x → −∞
  30. 30. Bir fonksiyonun,aynı anda hem eğik, hemBir fonksiyonun,aynı anda hem eğik, hem de eğri asimptotu olabilir mi? de eğri asimptotu olabilir mi?BİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADABİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADA EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR. EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR.
  31. 31. ÖRNEK: − x3y = fonksiyonunun eğik asimptotunu 1 − x bulalım: − x3 y = ⇒ Payı paydaya bölersek; 1−x − x3 8 y = = x 2 + 2x + 5 + 1−x x −2 y= x 2 +2x+5 EĞRİ ASİMPTOT’ y= x 2 +2x+5 EĞRİ ASİMPTOT’ tur. tur.
  32. 32. ÖRNEK: f(x) = x 2 − 4x + 2 fonksiyonunun, varsa, eğik totunu bulalım: asimp- 4 2 4 0 2 0 2 x 1− + 2 − x. 1 − + 2 x − 4x + 2 x x x xm = lim = lim = lim = -1 x→ −∞ x x →−∞ x x → −∞ x n = lim x → −∞ [ ] x 2 − 4 x + 2 − ( −1 ). x = 2 x→-∞ için, eğik y= -x+2 y= -x+2 asimptot;
  33. 33. Şimdi de, x→+∞ için, eğik asimptotu Şimdi de, x→+∞ için, eğik asimptotu arayalım: arayalım: 4 2 4 0 2 0 2 x 1− + 2 x. 1 − + 2 x − 4x + 2 x x x xm = lim = lim = lim = 1 x→ +∞ x x →+∞ x x → −∞ x n = lim x → +∞ [ ] x 2 − 4 x + 2 − ( 1 ). x = -2 x→+∞ için, eğik y= x-2 y= x-2 asimptot;
  34. 34. y = ax 2 + bx + ca>0 için eğik a<0 için eğikasimptot vardır. asimptot yoktur. by = a. x + 2a
  35. 35. Bir fonksiyonun grafiğini çizebilmek için TANIM ARALIĞINI BİLMELİYİZA⊂R ve f: A→R’ ye tanımlı y=f(x) fonksiyonunda,∀x∈A için, f(x)∈R olacak şekilde oluşan en geniş A⊂R kümesine, f fonksiyonunun EN GENİŞTANIM KÜMESİ denir ve D ile gösterilir.
  36. 36. ÖRNEKLER1. f(x)=x 3 +2x 2 -3x+1 fonksiyonunun tanım küme- sini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir POLİNOM fonksiyon olduğundan, tüm reel sayılar için tanımlıdır. Yani; ∀x∈R için, f(x) D=R ∈R’dir.
  37. 37. 2x + 12. f(x)= x 2 − 3x fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir RASYONEL fonksiyon olduğundan, paydayı sıfır yapan x değerleri için tanımsızdır.x 2 -3x=0⇒ x 1 =0 veya x 2 =3 D=R-{0,3}
  38. 38. x+13. f(x)= 3 fonksiyonunun en geniş x2 − 4 tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi tek sayı olduğundan, kökün içinin tanımlı olduğu yerlerde tanımlıdır.x 2 -4=0⇒ x 1 =-2 veya x 2 =2 D=R-{-2,2}
  39. 39. 4. f(x)= x 2 − x − 2 fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi çift sayı olduğundan, kökün içinin pozitif olduğu yerlerde tanımlıdır.x 2 -x-2 ≥0 ⇒(x 2 -x-2)’in işaretiniincelemeliyiz.
  40. 40. x 2 -x-2 =0 ⇒(x-2).(x+1)=0 ⇒ x 1 =-1 ve x 2 =2 -∞ -1 2 +∞ x 2 -x-2 + O - O + f(x) O O D= (-∞,-1]∪[2, ∞)
  41. 41. 5. f(x)= log x + 1 (2 − x ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımlı olması için gerekli şartlar? “Taban”, (x+1)≠1 ve (x+1)>0; olmalıdır. “Sayı” , (2-x)>0 x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0 -1 0 2 O O O x+1>0 ⇒ x>-1 2-x>0 ⇒ x<2 (-1,0) ∪ (0,2)
  42. 42. HATIRLATM APolinom tüm REEL sayılardafonksiyonlar, tanımlıdır f( x ) şeklindeki rasyonel g( x ) fonksiyonlar,Paydayı SIFIR yapan değerlerdeTANIMSIZDIR.Bu değerlerin, Reel sayılardan çıkarılmasıgerekir.
  43. 43. KÖKLÜ KÖKLÜ FONKSİYONLARDA FONKSİYONLARDA n∈Ν + olmak üzereKökün derecesiKökün derecesi Kökün derecesi Kökün derecesi tek iken tek iken çift iken çift ikenf( x ) = 2n + 1 g( x ) f( x ) = 2n g( x )‘in tanım fonksiyonukümesi g(x)’ in tanım g(x)≥0 için kümesidir. tanımlıdır.
  44. 44. Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Periyodik olup olmadığına bakılır!!!!Eğer periyodik ise, grafik, belli bir aralıktaçizi lir, çizilen grafik, diğer periyotaralıklarında aynen tekrarlanır.
  45. 45. Hangi özelliği taşıyan fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir?f:A→B’ ye tanımlı bir fonksiyon olsun. A’nın her elemanı için, f(x+T)=f(x)eşitliğini sağlayan, en az bir pozitif Tsayısı varsa, bu T reel sayısına, f’ inperiyodu denir.
  46. 46. ÖRNEKLER1. f(x)=2x+1 fonksiyonunun periyodik olup olma- dığını bulalım: f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T reel sayısını arayacağız: f(x)=2x+1⇒ f(x+T)= 2(x+T)+1 2(x+T)+1=2x+1 ⇒ 2x+2T+1=2x+1 ⇒ T=0 0 ∉R + olduğundan, f(x) periyodik
  47. 47. 2. f(x)=2cos(3x+1) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını bulalım: f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1] f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1] f(x+T)=f(x) f(x+T)=f(x) 2cos[3(x+T)+1]= 2cos(3x+1) 3(x+T)+1=(3x+1)+k.2 π 3x+3T+1=(3x+1)+k.2 π (k∈Z) 2π 2π T = k. ⇒ k=1 için; T = bulunur. 3 3
  48. 48. Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Tek veya çift fonksiyon olup olmadığına bakılır!!!!Bir fonksiyonun tek veya çift olduğu nasılanlaşılır ve bu kavram bu özellikleri taşıyanfonksiyonların grafiklerini çizerken nasıl birkolaylık sağlar?
  49. 49. A⊂R ve f:A→R bir fonksiyon olsun.∀x∈R için: * f(-x)=f(x) ise, f, çift fonksiyondur. * f(-x)=-f(x) ise, f, tek fonksiyondur.
  50. 50. f(-x)=f(x) (Çift fonksiyon olma durumu) -x ile x’ in görüntüleri aynıdır. Grafik, y-eksenine göre simetriktir.Çift fonksiyonlarda, grafik, y-eksenininÇift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin bir tarafında çizilir; y-eksenine göre bir tarafında çizilir; y-eksenine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur. çizilmiş olur.
  51. 51. y y=f(x) f(x)A’(-x,f(x)) A(x,f(x)) -x O x x f, çift fonksiyondur.
  52. 52. f(-x)=-f(x) (Tek fonksiyon olma durumu) x → -x x → -x iken iken f(x) → f(x) → -f(x) -f(x)Fonksiyonun bir noktası A(x,f(x)) iken, diğer noktası, A’(-x,-f(x)) olmaktadır. Grafik, orijine göre simetriktir.
  53. 53. Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, x ∈R +Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, x ∈R + için çizilir; daha sonra orijine göre için çizilir; daha sonra orijine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur. çizilmiş olur. y y=f(x) f(x) A(x,f(x)) -x 0 x x A’(-x,-f(x)) -f(x) f, tek fonksiyondur.
  54. 54. ÖRNEKLER1. f(x)=x 2 +cosx fonksiyonunun tek veya çift fonk-siyon olup olmadığını bulalım: f(-x)= (-x) 2 + cos(-x) = x 2 + cosx = f(x) f(-x)=f(x) olduğundan, ÇİFT fonksiyondur.

×