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Factorización
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  • 1. Factorización
    • Factor común
    • 2. Agrupación de términos
    • 3. Diferencia de cuadrados
    • 4. Trinomio cuadrado perfecto
    • 5. Trinomio de la forma x2 + bx +c
    • 6. Trinomio de la forma ax2 + bx + c
    • 7. Suma y diferencia de cubos
  • Factorización
    Cuando se habla de factorizar una expresión algebraica, consiste en hallar dos o más factores, cuyo producto sea igual a la expresión propuesta. Por ejemplo:
    15= (3)(5)
    14ab= (2)(7)(a)(b)
    5x + 5y= (5)(x + y)
  • 8. Factor común
    Al factor que aparece en todos los términos de una expresión se le llama factor común.
    Si en una expresión todos sus términos tienen factor común, este será uno de los factores de factorización.
    Por lo cual lo primero que se tiene que hacer es determinar en la expresión el factor común, y luego dividir todo el binomio o polinomio dado entre dicho factor, indicando la factorización como el producto del factor común por el cociente obtenido.
  • 9. Por ejemplo:
    4ab + 10ac=
    El factor común es a, por lo tanto la expresión quedaría de la siguiente manera:
    a(4b + 10c) ó
    2a(2b + 5c), ya que en la expresión anterior todavía se puede seguir factorizando.
  • 10. Agrupación de términos
    Algunos polinomios no tienen un factor común a todos los términos; pero puede ocurrir que grupos de términos tengan cierto factor común.
    Agrupándolos y factorizando cada grupo puede resultar un factor común a todos los grupos del polinomio.
    Estas factorizaciones se llaman por agrupación de términos.
  • 11. Por ejemplo:
    Factoricemos ax + 2a + bx + 2b, notemos que el polinomio no tiene un factor común a todos los términos, pero se puede agrupar tomando en cuenta los términos que tengan algún factor común.
    (ax + bx) + (2a + 2b), donde los dos primeros términos tienen a x como factor común, y los dos últimos 2.
  • 12. Factorizando cada grupo quedaría: x(a + b) + 2(a + b).
    Resulta que (a + b) es un factor común de todo el polinomio, por lo que factorizándolo se tiene: x(a + b) +2(a + b)= (x + 2)(a + b)
    Así ax + 2a + bx + 2b= (x + 2) (a + b)
  • 13. Diferencia de cuadrados
    La diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados formados por las raíces cuadradas de los términos de esta diferencia, teniendo en cuenta que los términos simétricos de los binomios conjugados deben corresponder a la raíz cuadrada del sustraendo en la diferencia de cuadrados.
  • 14. Por ejemplo:
    Factoricemos 9a2 – 16b2
    Obtengamos la raíz cuadrada de 9a2 es: 3a
    Determinamos la raíz cuadrada de 16b2 es: 4b
    Obtenemos los binomios conjugados multiplicando la suma de estas raíces (3a +4b) por su diferencia (3a – 4b) y tendremos:
    9a2 – 16b2= (3a + 4b)(3a - 4b)
  • 15. Trinomio Cuadrado Perfecto
    Una cantidad es cuadrado perfecto cuando su raíz cuadrada es racional.
    Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene un trinomio, este se denomina trinomio cuadrado perfecto, ya que se obtiene al elevar al cuadrado el binomio a + b, es decir:
    (a + b)2= a2 + 2ab +b2
  • 16. Por ejemplo:
    X2 + 14x + 49
    La raíz cuadrada del primer término x2 es: x
    La raíz cuadrada del tercer término 49 es: 7
    Por lo tanto, x2 y 49 son cuadrados perfectos y ambos términos tienen signos positivos.
    El doble del producto de las raíces es (2)(7)(x)= 14x, el segundo término
    Así x2 + 14x + 49 es cuadrado perfecto
  • 17. Trinomio de la forma x2 + bx +c
    A el resultado del producto de dos binomios con un término común se le conoce como: trinomio de la forma x2 + bx +c, cuyo primer término es cuadrado perfecto, el segundo término tiene un factor igual a la raíz cuadrada positiva del primero y el tercer término es independiente de la letra del primer término.
  • 18. Por ejemplo:
    x2 + 5x + 6
    Se debe obtener dos binomios cuyo primer término sea x, osea la raíz cuadrada del primer término del trinomio (x )(x ).
    Ahora se debe encontrarlos segundos términos, que deben ser 2 números cuyo producto debe ser igual a 6 (el término independiente), y cuya suma sea 5 (el coeficiente de x)
  • 19. El producto (+6) es positivo, lo que indica que ambos términos deben ser positivos o negativos, además la suma también es positiva (+5), por lo que ambos deben ser positivos.
    Los números buscados son 2 y 3, ya que el producto de estos da 6, y la suma de los mismos da 5.
    Por lo cual x2 + 5x + 6= (x +2)(x + 3)
  • 20. Trinomio de la forma ax2 + bx + c
    Trinomios de este tipo provienen de multiplicar dos binomios, donde los términos de un binomio son semejantes a los términos del otro binomio.
  • 21. Por ejemplo:
    Factoricemos 5x2 + 16 x +3
    Una forma de resolverlo es la siguiente: podemos convertir este trinomio en otro que tenga la forma x2 + bx + c, esto es posible multiplicándolo por el coeficiente del primer término así:
    5(5x2) +5(16x) +5(3)
    Escribiéndolo de otro modo (5x)2 + 5(16x) + 5(3)
  • 22. Los factores deben ser dos binomios cuyo primer término sea 5x y los segundos términos deben ser dos números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 16:
    (5x)2 +16(5x) +15= (5x + 15)(5x + 1)
    Factorizando: = 5(x + 3)(5x + 1)
    Debido a que al trinomio original lo multiplicamos por 5, la expresión anterior la dividiremos entre 5 para tener la factorización del trinomio original:
    5x2 +16x + 3= (x + 3)(5x + 1)
  • 23. Suma y diferencia de cubos
    Se tiene una suma o diferencia de cuboscuando en un binomio ambos términos tienen raíz cúbica racional.
    La suma de los cubos de 2 términos se factoriza como el producto de dos factores, uno de los cuales es la suma de las raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de los cuadrados de las mismas raíces, disminuida en su producto.
  • 24. La diferencia de los cubos de dos términos se factoriza como el producto de dos factores, uno de los cuales es la diferencia de las raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de los cuadrados de las mismas raíces, incrementada en su producto.
  • 25. Por ejemplo:
    Factoricemos x3 + 27
    La Raíz cúbica de x3 + 27 es: (x + 3)
    El binomio anterior (x + 3) se eleva al cuadrado
    (x + 3)[(x)2 -3(x) + 32)=
    (x + 3)(x2 - 3x + 9)
  • 26. Estrategia general para factorizar
    Cuando se te presente un expresión para factorizar, después de observarla debes analizar si tiene un factor común, en caso de que lo tenga lo factorizas.
    Si no tiene factor común pasa a contar el número de términos que tiene.
  • 27. Si es un binomio, analiza si es una diferencia de cuadrados, diferencia de cubos o suma de cubos y lo factorizas según el caso.
    • Si la expresión no es binomio puede ser un trinomio, en caso de serlo analiza si es trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2 + bx+c, o trinomio de la forma ax2 + bx + c, y lo factorizas según el caso.
  • Si la expresión no es binomio ni trinomio, puede ser un polinomio de más de 3 términos y en ese caso debes analizar si se puede factorizar por agrupación; en caso contrario ya habrás terminado la secuencia.
    Después de factorizar de alguna de las formas mencionadas debes analizar cada uno de los factores obtenidos, realizando nuevamente la secuencia, ya que es posible que alguno de los factores se pueda factorizar.