Divisibilidad

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Divisibilidad

  1. 1. • Los números primos son aquellos números enteros positivos mayores que 1, que son divisibles por sí mismos, y por la unidad (1). • Es decir, estos números sólo presentan 2 divisores. • Los siguientes números son primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97...
  2. 2. • Los números compuestos son aquellos números que pueden ser divididos exactamente entre 1, él mismo y otros divisores. • Es decir, es aquel número que tiene más de 2 divisores. • Los siguientes números son compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32.
  3. 3. • El teorema fundamental de la aritmética establece que: • Todo número compuesto puede representarse como el producto de número primos; está expresión es única, independientemente del orden de los factores.
  4. 4. • Generalmente se usan dos métodos para encontrar los factores primos de cualquier número compuesto. • Uno consiste en encontrar dos factores fácilmente reconocibles y, luego, expresar nuevamente con otros productos aquellos factores que sean números compuestos.
  5. 5. 30 2 15 2 3 5 • 30 puede expresarse por el producto 2 * 15, donde 2 es número primo y 15, que es compuesto, a su vez puede expresarse como el producto 3 * 5; tanto 3 como 5 son números primos. • Por lo tanto, 30 puede expresarse como el producto 3 * 2 *5, donde todos los factores son números primos.
  6. 6. • El otro método consiste en dividir el número compuesto dado entre su menor factor o divisor primo posible. • Si el cociente obtenido es un número compuesto, se divide éste entre su menor factor primo posible. • Se continúa este procedimiento hasta obtener un cociente que sea número primo.
  7. 7. • Para expresar o descomponer 20 en factores primos, dividimos primero entre 2 que es su menor divisor primo: 20 ÷ 2= 10. • Como 10 es compuesto lo dividimos entre 2, que es su menor factor y obtenemos 5. • Como 5 es primo, finaliza el proceso así: 20= 2*2*5
  8. 8. • Para facilitar la búsqueda de factores es útil recordar los criterios de divisibilidad, ya que estos permiten reconocer si un número es divisible entre otro.
  9. 9. • Un número es divisible entre 2 si termina en cero o en cifra par. • Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de tres. • Un número es divisible entre 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras son ceros o múltiplos de cuatro.
  10. 10. • Un número es divisible entre 5 si la última cifra es cero o cinco. • Un número es divisible entre 6 si lo es entre 2 y 3. • Un número es divisible entre 7 si al separar la última cifra, multiplicándola por dos y restando este producto al número que se formo con las cifras que quedaron, repitiendo este proceso el número de veces necesario, se obtiene como diferencia cero o un múltiplo de 7.
  11. 11. • Un número es divisible entre 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de ocho. • Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de nueve. • Un número es divisible entre 10 cuando la última cifra es cero.
  12. 12. • El Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor número que los divide exactamente a todos. • Para calcular el mcd de dos o más cantidades, se descompone cada una de ellas en sus factores primos, y se multiplican los factores primos comunes tomados con el menor número de veces que aparecen.
  13. 13. • Calculemos el mcd de los números 60, 84 y 120: 60 2 84 2 120 2 30 2 42 2 60 2 15 3 21 3 30 2 5 5 7 7 15 3 1 1 5 5 1
  14. 14. • Luego observamos que los factores comunes son dos factores 2 y un factor 3. • Por último calculamos el mcd con el producto 2*2*3=12 • El resultado se escribe mcd (60, 84, 120)= 12
  15. 15. • El mínimo Común Múltiplo de dos o más números es el menor número que es múltiplo de cada uno de ellos. • Para calcular el mcm de dos o mas cantidades, se descompone cada una de ellas en sus factores primos, y se multiplican los factores primos comunes y no comunes, tomados con el mayor número de veces que aparecen.
  16. 16. • Calculemos el mcm de los números 60, 36 y 120: 60 2 36 2 120 2 30 2 18 2 60 2 15 3 9 3 30 2 5 5 3 3 15 3 1 1 5 5 1
  17. 17. • Luego observamos que los factores comunes son 2 y 3; el no común es 5. • De los comunes el mayor número de veces que el factor 2 aparece es tres; el factor 3 aparece dos veces; el factor 5 sólo aparece una vez.
  18. 18. • Por último, calculamos el mcm con el producto: 2*2*2*3*3*5= 360 • El resultado se escribe mcm (60, 36, 120)= 360

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