1. COLEGIO COOPERATIVO COMFENALCO
Asignatura: Estadística
GRADO
11
Fecha de elaboración :18/02/2012
Fecha de ejecución :
Guía N° 1 NOMBRE:
INDICADOR DE LOGRO: Calculalaprobabilidadsimpledeunevento a partir delnúmerodeelementosdelespaciomuestral y
el evento.
Conoceyaplicalaspropiedadesdelaprobabilidad.
CONTEXTUALIZACION
Las técnicas de conteo permite hallar el valor de la probabilidad de algunos eventos sin
necesidad de construir el espacio muestral o escribir los elementos de cada uno.
En muchoscontextosdenuestras vidas hemos estado familiarizados con el concepto de
probabilidad. Es frecuente escuchar frases como: “es muy probable que Juan Pablo
Montoya gane la carrera el fin de semana”, “es poco probable que hoytengamos un día
lluvioso”, “¿Qué tan probable será que apueste a la lotería ygane?”
La probabilidadesunamedidadeincertidumbrequeaportaelementos a la hora de tomar
unadecisión.Así, si es pocoprobablequeel día este lluvioso entonces usamos una ropa
adecuada para este pronóstico del clima. Si por el contrario la probabilidad de lluvia es
alta entonces usamos un abrigo yuna sombrilla.
PROBABILIDAD SIMPLE
La probabilidad es una medida que se calcula sobre la ocurrencia de los eventos, luego, en cada caso debe existir un
experimento aleatorio yun espacio muestral correspondiente.
La probabilidaddeocurrenciadeuneventoes el cocienteentre elnúmerode elementosdel evento y el número de elementos del
espacio muestral.
Sea A un evento de un experimento aleatorio, la probabilidad de ocurrencia de A, P(A) es.
)
(
#
)
(
#
)
(
S
A
A
P
Para un nuevo cargo en una importante empresa se han presentado tres hombres y dos mujeres pero el departamento de
recursoshumanosdecideentrevistarsoloa tres delos cinco.Todoslosaspirantescuentanconlamismaformación ylas mismas
capacidades para desempeñar dicho cargo. Si decide escoger los tres de forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que se
escoja a las dos mujeres?
TRABAJO INDIVIDUAL:
1. Juan, Martin yJuliana disputan el cargo de monitor de la clase de matemáticas
a. Construir el espacio muestral del experimento que consiste en elegir al monitor
b. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan sea elegido monitor?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el monitor sea una mujer?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que el monitor sea hombre?
2. Un empleado de una tienda de comidas rápidas ofrece a sus clientes la posibilidad de armas su hamburguesa. Para ello
pone a disposición del cliente tocineta, queso ylechuga. El cliente decide si incorpora o no cada ingrediente.
a. Escribir las diferentes posibilidades de armar una hamburguesa. Por ejemplo: con tocineta, sin queso ysin lechuga
b. ¿Cuál es la probabilidad de que no añada tocineta a su hamburguesa?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no añada ninguno de los ingredientes?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que añada al menos uno de los ingredientes disponibles?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo añada un ingrediente?
3. Para la final de los 100 metros planos se han clasificado 5 atletas: Carlos, Lina, Laura, Mario yCarolina.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer gane la competencia?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que Mario gane la carrera?
c. Si Lauratuvo una lesióny no se presentoa la prueba,¿Cuálesla probabilidaddeque
gane una mujer?
Si se entregan premios a los dos primeros atletas en llegar a la meta
d. Escribir el espacio muestral de este experimento aleatorio
e. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros puestos los ocupe una mujer?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea una mujer yel segundo lugar sea un
hombre?
g. ¿Cuál es la probabilidad de que Lina ocupe alguno de los dos primeros lugares?
h. ¿Cuál es la probabilidad de que Lina Gane yMario ocupe el segundo lugar?
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad de ocurrencia de un evento tiene algunas propiedades que se deben tener en cuenta en el momento de
calcularla.
1. Sea A cualquiereventode un experimento aleatorio,entonces: 1
)
(
0
A
P .Es decir,la probabilidadde ocurrencia de un
evento siempre debe ser un número que está entre 0 y1. Se puede ver que el número de elementos del evento siempre es
menor o igual que el número de elementos del espacio muestral. Teniendo en cuenta lo anterior:
a. La probabilidad de un evento imposible es 0
b. La probabilidad de un evento seguro es 1.
2. Para tener en
cuenta
Dos eventosA yB se llaman
disjuntossi se cumple que
)
( B
A
P
2. Sea B un evento simple, entonces:
)
(
#
1
)
(
S
B
P
Además, si se considerantodosloseventos simplesdeun experimento aleatorio,la
suma de sus probabilidades es 1.
3. SeanA y B doseventos disjuntos,entonces: )
(
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P
4. SeanA y B eventos intersecantes,entonces:
)
(
)
(
)
(
)
( B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
)
(
)
(
)
(
)
( B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
TRABAJO INDIVIDUAL:
Usando la propiedad de la unión yla intersección de eventos, resolver cada una de las siguientes situaciones:
1. El empleadodelatiendade comidasdeunasalade cinereportaa su directorque,de las 280personas que han ingresado a
la premier de la última película, 130 compraron boleto para clase preferencial, 200 personas compraron el combo de
hamburguesa y 78 personas compraron el boleto para primera clase y el combo de hamburguesa. Si se selecciona una
persona en la sala de cine aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga boleto preferencial o haya comprado el
combo de hamburguesa?
2. El caminohaciaelcolegioconstadedoscruces con semáforo cada uno. Se sabe por experiencia que el 60% de los carros
se detiene en el primer semáforo, el 80% lo hace en el segundo semáforo y el 45% se detiene en alguno de los dos
semáforos. Si en la mañana el rector se dirige hacia el colegio, ¿cuál es la probabilidad de que se detenga en los dos
semáforos?
TRABAJO GRUPAL:
1. Luis Eduardo yTulio, deciden jugar en su playstation. Cuentan con cuatro juegos disponibles: de estrategias, de carreras,
de aventura y de futbol. Decidenlanzarundado para escoger el juego. Si el dado cae en 1 ó 2, se vuelve a lanzar. Si cae en
3, jugaran el de estrategia; si sale 4, jugaran el de carreras, yasí sucesivamente.
a. Escribir el espacio muestral de este experimento aleatorio
b. Explicar por qué razón este experimento es infinito
c. Si se cambia el dado por una moneda, ¿tiene sentido el cambio? Justificar la respuesta
2. Unaencuestarealizadapor unaempresa telefónica encontró que: el 60% de los habitantes de la ciudad tiene el servicio de
internetpor la líneatelefónica.El 75%tienesu líneatelefónicacon un paquete ilimitado de llamadas locales yel 40% de los
habitantes tienen el servicio de internet por la línea telefónica yel paquete de llamadas locales ilimitadas.
a. Construir un diagrama de Venn de esta situación ydeterminar los dos eventos involucrados.
Si se selecciona un habitante de la ciudad al azar, calcular la probabilidad de ocurrencia en cada caso:
b. Que no tenga servicio de internet
c. Que tenga alguno de los dos servicios
d. Que tenga uno de los dos servicios pero no los dos.
e. Que no tenga un paquete ilimitado de llamadas locales
f. Que no tenga un paquete ilimitado de llamadas locales
g. Que no tenga ninguno de los dos servicios
h. Que no tenga servicio de internet, pero si el de llamadas locales ilimitadas
i. Que no tenga ninguno de los dos servicios
j. Que no tenga servicio de internet, pero si el llamadas locales ilimitadas
APLICACION:
1. Si se sabe que 05
,
0
)
(
,
1
,
0
)
(
,
9
,
0
)
(
,
2
,
0
)
(
,
5
,
0
)
(
,
7
,
0
)
(
C
A
P
C
B
P
B
A
P
C
P
B
P
A
P
Calcular el valor de las siguientes probabilidades
a. )
( B
A
P
b. )
( C
B
P
c. )
( C
A
P
d. C
A
2. Encontrar los valores de las probabilidades en cada uno de los siguientes casos
a. Se sabe que la probabilidad de ocurrencia de los eventos A y B es la misma y, además, que la probabilidad de su
intersección es 0,3 yla de su unión es 0,9. Hallar P (A) yP (B).
b. Se sabe quela probabilidaddeuniónde dos eventos C yD es el doble de la de su intersección. Además que P (C)=0,6
y P (D)=0,5. Hallar la probabilidad de la unión yde la intersección de C yD.
c. ¿esposibleencontrardoseventos en los cualeslaprobabilidaddelaintersecciónseaiguala la de la unión? Justificar la
respuesta
d. ¿En algún caso la probabilidad de la intersección de dos eventos es mayor a la probabilidad de su unión? Justificar la
respuesta.
AUTOEVALUACION
Después de trabajar la guía:
1. ¿La información presentada en la guía le fue útil para el desarrollo de la misma? ¿Por qué?
2. ¿Considera que el desarrollo de la guía contribuyo a mejorar su análisis sobre probabilidad? ¿Por qué?
3. COLEGIO COOPERATIVO COMFENALCO
Asignatura: Estadística
GRADO
11
Fecha de elaboración :18/02/2012
Fecha de ejecución :
Guía N° 2 NOMBRE:
INDICADORDELOGRO: Conoceyaplicalaspropiedadesdelaprobabilidad.
CONTEXTUALIZACION
Hablarde probabilidadenlacotidianidadsehavuelto casiunrequisitoen ellenguaje,quién no ha hecho preguntas como: ¿Q ué
tan probable es que haga sol mañana dado que hoy es un día soleado?, o ¿Qué tan probable es ganar la lotería dado que se
compra todos los días?
Estas y otras cuestiones hacen de la probabilidad la base de muchas decisiones de la ciencia, la industria yel comercio, etc.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
En algunos experimentos aleatorios en necesario establecer si existen eventos que son condiciones sobre otro evento.
Generalmente se asocia el evento condición como el evento que sucede primero, temporalmente hablando.
Dadosdos eventosA y B de un experimentoaleatorio,siA es un evento condición sobreB, la probabilidadcondicional de B dado
A corresponde a la probabilidad de B cuando ha sucedido A y se simboliza P(B/A). Además,
)
(
)
(
)
/
(
A
P
B
A
P
A
B
P
En los casosenlos cualesseanecesariousarla probabilidad condicional es importante identificar los dos eventos involucrados
en el experimento aleatorio.
El departamentode control de calidad de una empresa que fabrica morrales cuenta con un inspector que revisa los lotes de 50
morralesy determinasi pueden ser llevados a los puntos de venta o no. El criterio que ha establecido el departamento consiste
en que:el inspectorseleccionadeformaaleatoriaunmorralylo somete a pruebas de resistencia para decidir si esta en óptimas
condiciones.
En caso afirmativo, aprueba el lote y lo envía a los puntos de venta. Si el morral no pasa las pruebas, se selecciona de forma
aleatoria otro morral yse somete al mismo proceso. En caso de superarlas el lote es aprobado yse envía a los puntos de venta.
Si el segundo morral no las supera, entonces, se devuelve todo el lote al departamento de armado para que sea revisado. Un
determinado día llega un lote de cinco morrales defectuosos. Sea A, el evento que consiste en que el lote es rechazado en la
primeraprueba.La probabilidad de ocurrencia de Aes 01
,
0
10
1
50
5
)
(
A
P . Sea B, el evento que consiste en que el lote
sea rechazado en la segunda prueba. Para calcular su probabilidad se debe tener en cuenta que:
Si se realiza una segunda prueba se debe haber dado que el primer morral no superó las pruebas de resistencia
Para escoger el segundo morral ya no se tiene la totalidad del lote, 50 morrales, se disponen de 49.
Si se considera quesedebe realizarla segundapruebaesporqueel primermorralfuedefectuoso,es decirque,enel lote se
tienen cuatro morrales defectuosos.
Por tanto para calcular la probabilidad de B se tiene una condición anterior, que para este caso es A. es decir, que para que el
lote searechazadoen lasegundapruebadebeexistir lacondiciónenlacual el primer morral no aprobó las pruebas. Por tanto, A
es condición sobre B.
TRABAJO INDIVIDUAL:
1. Se lanzan tres monedas al aire. Si la primera moneda cae cara, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda caiga cara?
2. CuatroestudiantesMateo,Hernando.Elianay Nellyse han seleccionadopara participaren la final del encuentro regional de
poesía. El estudiantequeocupeelprimerpremiorecibiráunabecaparauncursodelecturarápiday elestudiante que ocupe
el segundorecibiráunbonoparacompradelibros.SiHernando ganó el bono ¿Cuál es la probabilidad de que Nellygane la
beca?
3. La probabilidad de que, en una cierta ciudad, una familia tenga un seguro de vida es de 0,25, la probabilidad de que una
familia tenga casa propia es de 0,5, además, la probabilidad de que una familia tenga un seguro de vida o casa propia o
ambas es de 0,65. Si se selecciona una familia que tiene casa propia, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un seguro de
vida?
INDEPENDENCIA
Cuando se calcula la probabilidad condicional de dos eventos A y B, donde B es condición de A y el resultado es la misma
probabilidad de A, se dice que B no influye sobre la ocurrencia de A. En estos casos se dice que AyB son independientes.
Sean A y B eventos de un experimento aleatorio, se dice que A y B son independiente si:
P(A/B)=P(A), o, P(B/A)=P(B)
El concepto de independencia es fundamental en la construcción de modelos matemáticos de algunos experimentos aleatorios.
TRABAJO INDIVIDUAL:
1. Se lanza un dado y una moneda al aire. Sea A el evento que consiste en que la moneda caiga cara y B el evento que
consiste en que el resultado dado sea un número primo. Determinar si AyB son independientes
4. 2. Juany su esposadecidencompraruna póliza de seguro de vida. El asesor calcula la expectativa de vida para los siguientes
10 años. Parala esposaes 0,80 y para Juanes 0,75. Si se suponeque lasexpectativas devida son independientes,¿cuál es
la expectativa de vida de los dos para los siguientes 10 años?
3. Un depósito de agua tiene dos dispositivos de seguridad, P yQ, que impiden la llegada de más agua cuando ha alcanzado
ciertonivel. Ambos dispositivos funcionandeformaindependienteyse estima que ambos funcionan correctamente con una
probabilidad de 0,85.
a. Calcular la probabilidad de que el sistema funcione con los dos dispositivos
b. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de los dos dispositivos funcionen?
TRABAJO GRUPAL:
1. El 57% de los estudiantes viven en barrios cercanos al colegio, el 40% de los estudiantes del colegio utiliza bicicleta para
trasladarse. Además el 37% de los estudiantes viven en barrios cercanos al colegio yutilizan la bicicleta para trasladarse.
a. Si el rector del colegio selecciona al azar un estudiante del colegio, dentro de los que viven cerca, ¿Cuál es la
probabilidad de que utilice la bicicleta para trasladarse?
b. Si en la mañana de ayer un estudiante llego al colegio en bicicleta, ¿Cuál es la probabilidad de que viva en un barrio
cercano al colegio?
2. El 66%de los trabajadoresdeuna empresatienentarjetadebito del banco de la ciudad, el 38% tiene tarjeta de crédito en el
bancodela ciudadyel48% de losempleadosdelaempresa pertenecen al fondo. Además,
el 15% de los trabajadores tienen tarjeta debito, tarjeta de crédito ypertenecen al fondo de
empleados, el 20% tienen tarjeta debito y crédito, el 26% tienen tarjeta debito y son del
fondo y el 21% son del fondo ytienen tarjeta de crédito.
a. Si el bancodela ciudad decide premiar a una persona que seleccionara entre los que
tienentarjeta debito,¿Cuáles la probabilidaddequepertenezcaalfondo deempleados
de la empresa?
b. Si el bancodecideseleccionaraunapersonaparaaumentarelcupodeendeudamiento
de la tarjeta de crédito, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona pertenezca al
fondo?
c. Si se selecciona al azar una persona del fondo, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga tarjeta debito?
3. En una moneda cargada la probabilidad de que caiga cara es de 0,75. Dicha moneda se lanza al aire tres veces. Si se
supone que los lanzamientos son independientes, calcular:
a. La probabilidad de que los dos primeros lanzamientos sean cara
b. La probabilidad de que el primer lanzamiento sea cara ylos dos siguientes sea sello
c. Los tres lanzamientos sean sello.
4. Dos dados se lanzan al aire yse observa que uno cae primero
a. Si el resultado del primer dado es uno, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo sea uno?
b. Si el resultado del primer dado es un número par, ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo dado sea impar?
c. Si el primer dado es un número impar, ¿Cuál es la probabilidad de obtener pares?
d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener pares en el lanzamiento de los dados?
APLICACIÓN:
1. Si haya una probabilidaddel10%dequela lunaestaráen la séptimacasayJúpiter se alinearáconMarte,y una probabilidad
del25% de queJúpiterse alinearáconMarte,entonces¿cuál eslaprobabilidaddequelalunaesté enla séptimacasa,dado
que Júpiter se alinee con Marte?
2. Consideremos una urna que contiene 4 bolillas rojas y 5 blancas. De las 4 bolillas rojas, 2 son lisas y2 rayadas yde las 5
bolillas blancas, 4 son lisas y una sola es rayada. Supongamos que se extrae una bolilla y, sin que la hayamos mirado,
alguien nos dice que la bolilla es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la bolilla sea rayada?
3. Observar el video encontradoenelsiguienteenlace http://www.youtube.com/watch?v=XLWrPJroI50 , escribiren el cuaderno
una breve explicación de las situaciones que allí se plantean ydar respuesta a los experimentos planteados al final.
4. Una costura de un tipo de pantalón necesita cuatro remaches para que quede segura. La costura tendrá que volverse a
realizar si uno de los cuatro remaches queda defectuoso. Se supone que los remaches están construidos de forma
independiente. Un remache tiene una probabilidad de 0,05 de estar defectuoso, y los cuatro remaches tienen la misma
probabilidad de defectos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una costura deba realizarse nuevamente?
b. Si el 10% de las costuras deben repetirse, ¿cuál es la probabilidad de que un remache tenga defectos?
AUTOEVALUACION:
Después de desarrollada la guía:
1. ¿La información presentada en la guía le fue útil para el desarrollo de la misma? ¿Por qué?
2. ¿Considera que el desarrollo de la guía contribuyo a mejorar su análisis sobre probabilidad condicional e independencia?
¿Por qué?
5. COLEGIO COOPERATIVO COMFENALCO
Asignatura: Estadística
GRADO
11
Fecha de elaboración :18/02/2012
Fecha de ejecución :
Guía N° 3 NOMBRE:
INDICADORDELOGRO: Calculalaprobabilidaddeunevento a partir de undiagramadeVenn.
CONTEXTUALIZACION:
Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que es una teoría
que nos explica el funcionamiento de una colección de elementos cuando realizamos alguna operación con ellos. Las
representaciones graficas de los resultados de una investigación estadística son un valioso recurso para analizar y comunicar
resultados.
DIAGRAMAS DE VENN
Un diagrama de Venn ayuda a visualizar un experimento. Se representa por un diagrama rectangular representando el espacio
muestral S y que contiene los eventos simples marcados por E1, E2,……, E6. Como un evento Aes una colección de eventos
simples, los puntos muéstrales de ese evento se localizan en el interior del evento A(E2, E3, E6)
El coordinadordelcolegiopiensaqueelrendimientodeunestudianteenel áreade españolserelacionaconel rendimiento en el
área de matemáticas. Luego de revisar los resultados de los 157 estudiantes de grado decimo, encontró que 100 aprobaron
matemáticasenelprimerperiodo y94 aprobaron español y70 aprobaron ambas materias.
a. Construir un diagrama de ven para esta situación
Si se selecciona al azar un estudiante de grado decimo:
b. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado matemáticas?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado español?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado ninguna de las dos?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado matemáticas pero no español?
TRABAJO INDIVIDUAL:
1. En una encuesta realizada a un grupo de empresarios con respecto a las preferencias de las características de un nuevo
automóvil se encontró que:
El 70% prefiere que sea automático
El 80% lo prefiere con dirección hidráulica
El 75% prefiere su auto con buen radio
El 85% lo prefiere automático o con dirección hidráulica
El 90% lo prefiere automático o con radio
El 95% lo prefiere con dirección hidráulica o con radio
El 98% lo prefiere con alguna de las tres opciones
Si A es el evento queconsisteenque elempresarioprefiere el automóvil automático, B el
evento que consiste en preferir la dirección hidráulica yC el evento que consiste en preferir el auto con radio:
a. Hallar )
(
),
(
),
( C
B
P
C
A
P
B
A
P
b. Hallar )
( C
B
A
P
c. Construir un diagrama de ven para esta situación.
TRABAJO GRUPAL:
2. El departamentodebienestarestudiantilde una universidad de la ciudad ha retomado la siguiente información relacionada
conlosestudiantesque hanpertenecidoaalgunodelosgrupos artísticos.La informaciónserelaciona mediante el siguiente
diagrama de venn:
A representa a las mujeresquehanpertenecidoaalgúngrupo, B a los estudiantes que han pertenecido al grupo de danzas,
C a los estudiantes que han pertenecido al grupo musical.
Con base a esta información, responder las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántos estudiantes han pertenecido a algún grupo de la
universidad?
b. ¿Cómo se interpreta el valor 15 del diagrama?
Si se seleccionaaleatoriamenteaunestudiantequeha pertenecidoaalgún
gripo de la universidad, calcular la probabilidad de que:
c. Sea hombre
d. No haya pertenecido al grupo de danzas
e. Haya pertenecido al grupo de danzas o al grupo musical pero no a los
dos
f. No pertenezca al grupo de danzas ysea mujer
g. Sea mujer, no pertenezca al grupo de danzas ni al grupo musical.
AUTOEVALUACION
Después de desarrollada la guía:
1. ¿Siente que las situaciones planteadas le sirvieron para comprender el tema? ¿Por qué?
2. ¿La metodología usada en el desarrollo del tema fue de su interés? ¿Por qué?