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Guías Estadística 11 II Periodo

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  • 1. COLEGIO COOPERATIVO COMFENALCO GRADO Asignatura: Estadística Fecha de elaboración :18/02/2012 Guía N° 1 NOMBRE: 11 Fecha de ejecución :INDICADOR DE LOGRO: Calcula la probabilidad simple de un evento a partir del número de elementos del espacio muestral yel evento.Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad.CONTEXTUALIZACION Las técnicas de conteo permite hallar el valor de la probabilidad de algunos eventos sin necesidad de construir el espacio muestral o escribir los elementos de cada uno. En muchos contextos de nuestras vidas hemos estado familiarizados con el concepto de probabilidad. Es frecuente escuchar frases como: “es muy probable que Juan Pablo Montoya gane la carrera el fin de semana”, “es poco probable que hoy tengamos un día lluvioso”, “¿Qué tan probable será que apueste a la lotería y gane?” La probabilidad es una medida de incertidumbre que aporta elementos a la hora de tomar una decisión. Así, si es poco probable que el día este lluvioso entonces usamos una ropa adecuada para este pronóstico del clima. Si por el contrario la probabilidad de lluvia es alta entonces usamos un abrigo y una sombrilla. PROBABILIDAD SIMPLELa probabilidad es una medida que se calcula sobre la ocurrencia de los eventos, luego, en cada caso debe existir unexperimento aleatorio y un espacio muestral correspondiente.La probabilidad de ocurrencia de un evento es el cociente entre el número de elementos del evento y el número de elementos delespacio muestral.Sea A un evento de un experimento aleatorio, la probabilidad de ocurrencia de A, P(A) es. # ( A) P( A) # (S )Para un nuevo cargo en una importante empresa se han presentado tres hombres y dos mujeres pero el departamento derecursos humanos decide entrevistar solo a tres de los cinco. Todos los aspirantes cuentan con la misma formación y las mismascapacidades para desempeñar dicho cargo. Si decide escoger los tres de forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que seescoja a las dos mujeres?TRABAJO INDIVIDUAL:1. Juan, Martin y Juliana disputan el cargo de monitor de la clase de matemáticas a. Construir el espacio muestral del experimento que consiste en elegir al monitor b. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan sea elegido monitor? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el monitor sea una mujer? d. ¿Cuál es la probabilidad de que el monitor sea hombre?2. Un empleado de una tienda de comidas rápidas ofrece a sus clientes la posibilidad de armas su hamburguesa. Para ello pone a disposición del cliente tocineta, queso y lechuga. El cliente decide si incorpora o no cada ingrediente. a. Escribir las diferentes posibilidades de armar una hamburguesa. Por ejemplo: con tocineta, sin queso y sin lechuga b. ¿Cuál es la probabilidad de que no añada tocineta a su hamburguesa? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no añada ninguno de los ingredientes? d. ¿Cuál es la probabilidad de que añada al menos uno de los ingredientes disponibles? e. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo añada un ingrediente?3. Para la final de los 100 metros planos se han clasificado 5 atletas: Carlos, Lina, Laura, Mario y Carolina. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer gane la competencia? b. ¿Cuál es la probabilidad de que Mario gane la carrera? c. Si Laura tuvo una lesión y no se presento a la prueba, ¿Cuál es la probabilidad de que gane una mujer? Si se entregan premios a los dos primeros atletas en llegar a la meta d. Escribir el espacio muestral de este experimento aleatorio e. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros puestos los ocupe una mujer? f. ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea una mujer y el segundo lugar sea un hombre? g. ¿Cuál es la probabilidad de que Lina ocupe alguno de los dos primeros lugares? h. ¿Cuál es la probabilidad de que Lina Gane y Mario ocupe el segundo lugar? PROPIEDADES DE LA PROBABILIDADLa probabilidad de ocurrencia de un evento tiene algunas propiedades que se deben tener en cuenta en el momento decalcularla.1. Sea A cualquier evento de un experimento aleatorio, entonces: 0 P( A) 1.Es decir, la probabilidad de ocurrencia de un evento siempre debe ser un número que está entre 0 y 1. Se puede ver que el número de elementos del evento siempre es menor o igual que el número de elementos del espacio muestral. Teniendo en cuenta lo anterior: a. La probabilidad de un evento imposible es 0 b. La probabilidad de un evento seguro es 1.
  • 2. 12. Sea B un evento simple, entonces: P( B) # (S ) Para tener en Además, si se consideran todos los eventos simples de un experimento aleatorio, la cuenta suma de sus probabilidades es 1.3. Sean A y B dos eventos disjuntos, entonces: P( A B) P( A) P( B) Dos eventos A y B se llaman4. Sean A y B eventos intersecantes, entonces: disjuntos si se cumple que P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A B)TRABAJO INDIVIDUAL:Usando la propiedad de la unión y la intersección de eventos, resolver cada una de las siguientes situaciones:1. El empleado de la tienda de comidas de una sala de cine reporta a su director que, de las 280 personas que han ingresado a la premier de la última película, 130 compraron boleto para clase preferencial, 200 personas compraron el combo de hamburguesa y 78 personas compraron el boleto para primera clase y el combo de hamburguesa. Si se selecciona una persona en la sala de cine aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga boleto preferencial o haya comprado el combo de hamburguesa?2. El camino hacia el colegio consta de dos cruces con semáforo cada uno. Se sabe por experiencia que el 60% de los carros se detiene en el primer semáforo, el 80% lo hace en el segundo semáforo y el 45% se detiene en alguno de los dos semáforos. Si en la mañana el rector se dirige hacia el colegio, ¿cuál es la probabilidad de que se detenga en los dos semáforos?TRABAJO GRUPAL:1. Luis Eduardo y Tulio, deciden jugar en su play station. Cuentan con cuatro juegos disponibles: de estrategias, de carreras, de aventura y de futbol. Deciden lanzar un dado para escoger el juego. Si el dado cae en 1 ó 2, se vuelve a lanzar. Si cae en 3, jugaran el de estrategia; si sale 4, jugaran el de carreras, y así sucesivamente. a. Escribir el espacio muestral de este experimento aleatorio b. Explicar por qué razón este experimento es infinito c. Si se cambia el dado por una moneda, ¿tiene sentido el cambio? Justificar la respuesta2. Una encuesta realizada por una empresa telefónica encontró que: el 60% de los habitantes de la ciudad tiene el servicio de internet por la línea telefónica. El 75% tiene su línea telefónica con un paquete ilimitado de llamadas locales y el 40% de los habitantes tienen el servicio de internet por la línea telefónica y el paquete de llamadas locales ilimitadas. a. Construir un diagrama de Venn de esta situación y determinar los dos eventos involucrados. Si se selecciona un habitante de la ciudad al azar, calcular la probabilidad de ocurrencia en cada caso: b. Que no tenga servicio de internet c. Que tenga alguno de los dos servicios d. Que tenga uno de los dos servicios pero no los dos. e. Que no tenga un paquete ilimitado de llamadas locales f. Que no tenga un paquete ilimitado de llamadas locales g. Que no tenga ninguno de los dos servicios h. Que no tenga servicio de internet, pero si el de llamadas locales ilimitadas i. Que no tenga ninguno de los dos servicios j. Que no tenga servicio de internet, pero si el llamadas locales ilimitadasAPLICACION:1. Si se sabe que P( A) 0,7, P( B) 0,5, P(C ) 0,2, P( A B) 0,9, P( B C) 0,1, P( A C) 0,05 Calcular el valor de las siguientes probabilidades a. P( A B) b. P( B C ) c. P( A C ) d. AC2. Encontrar los valores de las probabilidades en cada uno de los siguientes casos a. Se sabe que la probabilidad de ocurrencia de los eventos A y B es la misma y, además, que la probabilidad de su intersección es 0,3 y la de su unión es 0,9. Hallar P (A) y P (B). b. Se sabe que la probabilidad de unión de dos eventos C y D es el doble de la de su intersección. Además que P (C)=0,6 y P (D)=0,5. Hallar la probabilidad de la unión y de la intersección de C y D. c. ¿es posible encontrar dos eventos en los cuales la probabilidad de la intersección sea igual a la de la unión? Justificar la respuesta d. ¿En algún caso la probabilidad de la intersección de dos eventos es mayor a la probabilidad de su unión? Justificar la respuesta.AUTOEVALUACIONDespués de trabajar la guía:1. ¿La información presentada en la guía le fue útil para el desarrollo de la misma? ¿Por qué?2. ¿Considera que el desarrollo de la guía contribuyo a mejorar su análisis sobre probabilidad? ¿Por qué?
  • 3. COLEGIO COOPERATIVO COMFENALCO GRADO Asignatura: Estadística Fecha de elaboración :18/02/2012 Guía N° 2 NOMBRE: 11 Fecha de ejecución :INDICADOR DE LOGRO: Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad.CONTEXTUALIZACIONHablar de probabilidad en la cotidianidad se ha vuelto casi un requisito en el lenguaje, quién no ha hecho preguntas como: ¿Quétan probable es que haga sol mañana dado que hoy es un día soleado?, o ¿Qué tan probable es ganar la lotería dado que secompra todos los días?Estas y otras cuestiones hacen de la probabilidad la base de muchas decisiones de la ciencia, la industria y el comercio, etc. PROBABILIDAD CONDICIONALEn algunos experimentos aleatorios en necesario establecer si existen eventos que son condiciones sobre otro evento. General-mente se asocia el evento condición como el evento que sucede primero, temporalmente hablando.Dados dos eventos A y B de un experimento aleatorio, si A es un evento condición sobre B, la probabilidad condicional de B dadoA corresponde a la probabilidad de B cuando ha sucedido A y se simboliza P(B/A). Además, P( A B) P( B / A) P( A)En los casos en los cuales sea necesario usar la probabilidad condicional es importante identificar los dos eventos involucradosen el experimento aleatorio.El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica morrales cuenta con un inspector que revisa los lotes de 50morrales y determina si pueden ser llevados a los puntos de venta o no. El criterio que ha establecido el departamento consisteen que: el inspector selecciona de forma aleatoria un morral y lo somete a pruebas de resistencia para decidir si esta en óptimascondiciones.En caso afirmativo, aprueba el lote y lo envía a los puntos de venta. Si el morral no pasa las pruebas, se selecciona de formaaleatoria otro morral y se somete al mismo proceso. En caso de superarlas el lote es aprobado y se envía a los puntos de venta.Si el segundo morral no las supera, entonces, se devuelve todo el lote al departamento de armado para que sea revisado. Undeterminado día llega un lote de cinco morrales defectuosos. Sea A, el evento que consiste en que el lote es rechazado en la 5 1primera prueba. La probabilidad de ocurrencia de A es P ( A) 0,01 . Sea B, el evento que consiste en que el lote 50 10sea rechazado en la segunda prueba. Para calcular su probabilidad se debe tener en cuenta que: Si se realiza una segunda prueba se debe haber dado que el primer morral no superó las pruebas de resistencia Para escoger el segundo morral ya no se tiene la totalidad del lote, 50 morrales, se disponen de 49. Si se considera que se debe realizar la segunda prueba es porque el primer morral fue defectuoso, es decir que, en el lote se tienen cuatro morrales defectuosos.Por tanto para calcular la probabilidad de B se tiene una condición anterior, que para este caso es A. es decir, que para que ellote sea rechazado en la segunda prueba debe existir la condición en la cual el primer morral no aprobó las pruebas. Por tanto, Aes condición sobre B.TRABAJO INDIVIDUAL:1. Se lanzan tres monedas al aire. Si la primera moneda cae cara, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda caiga cara?2. Cuatro estudiantes Mateo, Hernando. Eliana y Nelly se han seleccionado para participar en la final del encuentro regional de poesía. El estudiante que ocupe el primer premio recibirá una beca para un curso de lectura rápida y el estudiante que ocupe el segundo recibirá un bono para compra de libros. Si Hernando ganó el bono ¿Cuál es la probabilidad de que Nelly gane la beca?3. La probabilidad de que, en una cierta ciudad, una familia tenga un seguro de vida es de 0,25, la probabilidad de que una familia tenga casa propia es de 0,5, además, la probabilidad de que una familia tenga un seguro de vida o casa propia o ambas es de 0,65. Si se selecciona una familia que tiene casa propia, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un seguro de vida? INDEPENDENCIACuando se calcula la probabilidad condicional de dos eventos A y B, donde B es condición de A y el resultado es la misma proba-bilidad de A, se dice que B no influye sobre la ocurrencia de A. En estos casos se dice que A y B son independientes. Sean A y B eventos de un experimento aleatorio, se dice que A y B son independiente si: P(A/B)=P(A), o, P(B/A)=P(B)El concepto de independencia es fundamental en la construcción de modelos matemáticos de algunos experimentos aleatorios.TRABAJO INDIVIDUAL:1. Se lanza un dado y una moneda al aire. Sea A el evento que consiste en que la moneda caiga cara y B el evento que consis- te en que el resultado dado sea un número primo. Determinar si A y B son independientes
  • 4. 2. Juan y su esposa deciden comprar una póliza de seguro de vida. El asesor calcula la expectativa de vida para los siguientes 10 años. Para la esposa es 0,80 y para Juan es 0,75. Si se supone que las expectativas de vida son independientes, ¿cuál es la expectativa de vida de los dos para los siguientes 10 años?3. Un depósito de agua tiene dos dispositivos de seguridad, P y Q, que impiden la llegada de más agua cuando ha alcanzado cierto nivel. Ambos dispositivos funcionan de forma independiente y se estima que ambos funcionan correctamente con una probabilidad de 0,85. a. Calcular la probabilidad de que el sistema funcione con los dos dispositivos b. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de los dos dispositivos funcionen?TRABAJO GRUPAL:1. El 57% de los estudiantes viven en barrios cercanos al colegio, el 40% de los estudiantes del colegio utiliza bicicleta para trasladarse. Además el 37% de los estudiantes viven en barrios cercanos al colegio y utilizan la bicicleta para trasladarse. a. Si el rector del colegio selecciona al azar un estudiante del colegio, dentro de los que viven cerca, ¿Cuál es la probabilidad de que utilice la bicicleta para trasladarse? b. Si en la mañana de ayer un estudiante llego al colegio en bicicleta, ¿Cuál es la probabilidad de que viva en un barrio cercano al colegio?2. El 66% de los trabajadores de una empresa tienen tarjeta debito del banco de la ciudad, el 38% tiene tarjeta de crédito en el banco de la ciudad y el 48% de los empleados de la empresa pertenecen al fondo. Además, el 15% de los trabajadores tienen tarjeta debito, tarjeta de crédito y pertenecen al fondo de empleados, el 20% tienen tarjeta debito y crédito, el 26% tienen tarjeta debito y son del fondo y el 21% son del fondo y tienen tarjeta de crédito. a. Si el banco de la ciudad decide premiar a una persona que seleccionara entre los que tienen tarjeta debito, ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al fondo de empleados de la empresa? b. Si el banco decide seleccionar a una persona para aumentar el cupo de endeudamiento de la tarjeta de crédito, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona pertenezca al fondo? c. Si se selecciona al azar una persona del fondo, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga tarjeta debito?3. En una moneda cargada la probabilidad de que caiga cara es de 0,75. Dicha moneda se lanza al aire tres veces. Si se supone que los lanzamientos son independientes, calcular: a. La probabilidad de que los dos primeros lanzamientos sean cara b. La probabilidad de que el primer lanzamiento sea cara y los dos siguientes sea sello c. Los tres lanzamientos sean sello.4. Dos dados se lanzan al aire y se observa que uno cae primero a. Si el resultado del primer dado es uno, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo sea uno? b. Si el resultado del primer dado es un número par, ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo dado sea impar? c. Si el primer dado es un número impar, ¿Cuál es la probabilidad de obtener pares? d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener pares en el lanzamiento de los dados?APLICACIÓN:1. Si haya una probabilidad del 10% de que la luna estará en la séptima casa y Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 25% de que Júpiter se alineará con Marte, entonces ¿cuál es la probabilidad de que la luna esté en la séptima casa, dado que Júpiter se alinee con Marte?2. Consideremos una urna que contiene 4 bolillas rojas y 5 blancas. De las 4 bolillas rojas, 2 son lisas y 2 rayadas y de las 5 bolillas blancas, 4 son lisas y una sola es rayada. Supongamos que se extrae una bolilla y, sin que la hayamos mirado, alguien nos dice que la bolilla es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la bolilla sea rayada?3. Observar el video encontrado en el siguiente enlace http://www.youtube.com/watch?v=XLWrPJroI50 , escribir en el cuaderno una breve explicación de las situaciones que allí se plantean y dar respuesta a los experimentos planteados al final.4. Una costura de un tipo de pantalón necesita cuatro remaches para que quede segura. La costura tendrá que volverse a realizar si uno de los cuatro remaches queda defectuoso. Se supone que los remaches están construidos de forma independiente. Un remache tiene una probabilidad de 0,05 de estar defectuoso, y los cuatro remaches tienen la misma probabilidad de defectos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una costura deba realizarse nuevamente? b. Si el 10% de las costuras deben repetirse, ¿cuál es la probabilidad de que un remache tenga defectos?AUTOEVALUACION:Después de desarrollada la guía:1. ¿La información presentada en la guía le fue útil para el desarrollo de la misma? ¿Por qué?2. ¿Considera que el desarrollo de la guía contribuyo a mejorar su análisis sobre probabilidad condicional e independencia? ¿Por qué?
  • 5. COLEGIO COOPERATIVO COMFENALCO GRADO Asignatura: Estadística Fecha de elaboración :18/02/2012 Guía N° 3 NOMBRE: 11 Fecha de ejecución :INDICADOR DE LOGRO: Calcula la probabilidad de un evento a partir de un diagrama de Venn.CONTEXTUALIZACION:Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que es una teoríaque nos explica el funcionamiento de una colección de elementos cuando realizamos alguna operación con ellos. Lasrepresentaciones graficas de los resultados de una investigación estadística son un valioso recurso para analizar y comunicarresultados. DIAGRAMAS DE VENNUn diagrama de Venn ayuda a visualizar un experimento. Se representa por un diagrama rectangular representando el espaciomuestral S y que contiene los eventos simples marcados por E1, E2,……, E6. Como un evento A es una colección de eventossimples, los puntos muéstrales de ese evento se localizan en el interior del evento A (E2, E3, E6)El coordinador del colegio piensa que el rendimiento de un estudiante en el área de español se relaciona con el rendimiento en elárea de matemáticas. Luego de revisar los resultados de los 157 estudiantes de grado decimo, encontró que 100 aprobaronmatemáticas en el primer periodo y 94 aprobaron español y 70 aprobaron ambas materias. a. Construir un diagrama de ven para esta situación Si se selecciona al azar un estudiante de grado decimo: b. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado matemáticas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado español? d. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado ninguna de las dos? e. ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado matemáticas pero no español?TRABAJO INDIVIDUAL:1. En una encuesta realizada a un grupo de empresarios con respecto a las preferencias de las características de un nuevo automóvil se encontró que:  El 70% prefiere que sea automático  El 80% lo prefiere con dirección hidráulica  El 75% prefiere su auto con buen radio  El 85% lo prefiere automático o con dirección hidráulica  El 90% lo prefiere automático o con radio  El 95% lo prefiere con dirección hidráulica o con radio  El 98% lo prefiere con alguna de las tres opciones Si A es el evento que consiste en que el empresario prefiere el automóvil automático, B el evento que consiste en preferir la dirección hidráulica y C el evento que consiste en preferir el auto con radio: a. Hallar P( A B), P( A C ), P( B C ) b. Hallar P( A B C ) c. Construir un diagrama de ven para esta situación.TRABAJO GRUPAL:2. El departamento de bienestar estudiantil de una universidad de la ciudad ha retomado la siguiente información relacionada con los estudiantes que han pertenecido a alguno de los grupos artísticos. La información se relaciona mediante el siguiente diagrama de venn: A representa a las mujeres que han pertenecido a algún grupo, B a los estudiantes que han pertenecido al grupo de danzas, C a los estudiantes que han pertenecido al grupo musical. Con base a esta información, responder las siguientes preguntas: a. ¿Cuántos estudiantes han pertenecido a algún grupo de la universidad? b. ¿Cómo se interpreta el valor 15 del diagrama? Si se selecciona aleatoriamente a un estudiante que ha pertenecido a algún gripo de la universidad, calcular la probabilidad de que: c. Sea hombre d. No haya pertenecido al grupo de danzas e. Haya pertenecido al grupo de danzas o al grupo musical pero no a los dos f. No pertenezca al grupo de danzas y sea mujer g. Sea mujer, no pertenezca al grupo de danzas ni al grupo musical.AUTOEVALUACIONDespués de desarrollada la guía:1. ¿Siente que las situaciones planteadas le sirvieron para comprender el tema? ¿Por qué?2. ¿La metodología usada en el desarrollo del tema fue de su interés? ¿Por qué?

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