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Tema 7   geometría
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  • 1. TEMA 7 - GEOMETRÍA1. Polígonos2. Vectores en el plano3. Transformaciones en el plano4. Poliedros5. Perímetro, área y volumen ÍNDICE
  • 2. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Polígono: figura plana que está limitada por segmentos rectos
  • 3. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Ángulos interiores de un polígonoLa suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º·(n-2)
  • 4. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Ángulos interiores de un polígonoLa suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º·(n-2) POLIGONO LADOS SUMA DE TODOS LOS ANGULOS INTERIORES 3 A+B+C = 180·(3-2) = 180·1 = 180º 4 A+B+C+D = 180·(4-2) = 180·2 = 360º 5 A+B+C+D+E = 180·(5-2) = 180·3 = 540º 6 A+B+C+D+E+F =180·(6-2) = 180·4 = 720º
  • 5. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Ángulos interiores de un polígonoEjercicio:Calcula el valor del ángulo A.
  • 6. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Ángulos interiores de un polígonoEjercicio:Calcula el valor del ángulo A. Solución: La suma de todos los ángulos es 180(5-2)=180·3=540º
  • 7. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Ángulos interiores de un polígonoEjercicio:Calcula el valor del ángulo A. Solución: La suma de todos los ángulos es 180(5-2)=180·3=540º Por lo tanto 90+135+90+117+A = 540 432+A=540 A=540-432 A=108º
  • 8. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Ángulos interiores de un polígonoEjercicio:Calcula cuanto mide cada ángulo de un heptágono regular.
  • 9. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Ángulos interiores de un polígonoEjercicio:Calcula cuanto mide cada ángulo de un heptágono regular.Solución:
  • 10. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Ángulos interiores de un polígonoEjercicio:Calcula cuanto mide cada ángulo de un heptágono regular.Solución: Todos los ángulos interiores miden 180(7-2)=180·5=900º
  • 11. 1. Polígonos. Elementos de un polígono Ángulos interiores de un polígonoEjercicio:Calcula cuanto mide cada ángulo de un heptágono regular.Solución: Todos los ángulos interiores miden 180(7-2)=180·5=900º Por lo tanto: 7A=900 900 A 128.57º 7
  • 12. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMediatriz de un segmento: línea perpendicular al segmento y pasa porsu centro
  • 13. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMediatriz de un segmento: línea perpendicular al segmento y pasa porsu centro
  • 14. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMediatriz de un segmento: línea perpendicular al segmento y pasa porsu centro
  • 15. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMediatriz de un segmento: línea perpendicular al segmento y pasa porsu centro
  • 16. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMediatriz de un segmento: línea perpendicular al segmento y pasa porsu centro
  • 17. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMediatriz de un segmento: línea perpendicular al segmento y pasa porsu centro Mediatrices Circuncentr o
  • 18. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloBisectriz de un ángulo: línea que divide al ángulo en dos ángulos iguales
  • 19. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloBisectriz de un ángulo: línea que divide al ángulo en dos ángulos iguales
  • 20. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloBisectriz de un ángulo: línea que divide al ángulo en dos ángulos iguales
  • 21. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloBisectriz de un ángulo: línea que divide al ángulo en dos ángulos iguales
  • 22. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloBisectriz de un ángulo: línea que divide al ángulo en dos ángulos iguales
  • 23. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloBisectriz de un ángulo: línea que divide al ángulo en dos ángulos iguales Bisectrices Incentro
  • 24. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMedianas de un triángulo: rectas que pasan por cada vértice y por elpunto medio del lado opuesto
  • 25. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMedianas de un triángulo: rectas que pasan por cada vértice y por elpunto medio del lado opuesto
  • 26. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMedianas de un triángulo: rectas que pasan por cada vértice y por elpunto medio del lado opuesto
  • 27. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMedianas de un triángulo: rectas que pasan por cada vértice y por elpunto medio del lado opuesto
  • 28. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloMedianas de un triángulo: rectas que pasan por cada vértice y por elpunto medio del lado opuesto Medianas Baricentro
  • 29. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloAlturas de un triángulo: rectas que pasan por cada vértice y sonperpendiculares al lado opuesto
  • 30. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloAlturas de un triángulo: rectas que pasan por cada vértice y sonperpendiculares al lado opuesto
  • 31. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloAlturas de un triángulo: rectas que pasan por cada vértice y sonperpendiculares al lado opuesto
  • 32. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloAlturas de un triángulo: rectas que pasan por cada vértice y sonperpendiculares al lado opuesto Alturas Ortocentro
  • 33. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triángulo Mediatrices Medianas Circuncentro Baricentro Bisectrices Alturas Incentro Ortocentro
  • 34. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triángulo
  • 35. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triángulo
  • 36. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triángulo
  • 37. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triángulo
  • 38. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triángulo
  • 39. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triángulo
  • 40. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triángulo
  • 41. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triángulo
  • 42. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloEjercicio: Dibuja tres puntos no alineados y traza una circunferencia quepase por ellos.
  • 43. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloEjercicio: Dibuja tres puntos no alineados y traza una circunferencia quepase por ellos.Solución:
  • 44. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloEjercicio: Dibuja tres puntos no alineados y traza una circunferencia quepase por ellos.Solución:
  • 45. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloEjercicio: Dibuja tres puntos no alineados y traza una circunferencia quepase por ellos.Solución:
  • 46. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloEjercicio: Dibuja tres puntos no alineados y traza una circunferencia quepase por ellos.Solución:
  • 47. 1. Polígonos. Triángulos Rectas y puntos notables de un triánguloEjercicio: Dibuja tres puntos no alineados y traza una circunferencia quepase por ellos.Solución:
  • 48. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Figuras semejantesDos figuras son semejantes si sus ángulos son iguales y sus ladosproporcionales.
  • 49. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Figuras semejantesDos figuras son semejantes si sus ángulos son iguales y sus ladosproporcionales. A = A1 B = B1 C = C1 D = D1 E = E1
  • 50. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Figuras semejantesDos figuras son semejantes si sus ángulos son iguales y sus ladosproporcionales. a b c d e k a1 b1 c1 d1 e1 k razónde semejanza
  • 51. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Figuras semejantesLa proporción se mantiene para los perímetros de las figuras: a b c d e k a1 b1 c1 d1 e1 k razónde semejanza
  • 52. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Figuras semejantesEjercicio: Averigua qué parejas de figuras son semejantes.
  • 53. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Figuras semejantesEjercicio: Averigua qué parejas de figuras son semejantes.Solución:
  • 54. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi rectas paralelas cortan a otras dos rectas, los segmentos queaparecen son proporcionales:
  • 55. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi rectas paralelas cortan a otras dos rectas, los segmentos queaparecen son proporcionales:
  • 56. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi rectas paralelas cortan a otras dos rectas, los segmentos queaparecen son proporcionales:
  • 57. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi rectas paralelas cortan a otras dos rectas, los segmentos queaparecen son proporcionales:
  • 58. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi rectas paralelas cortan a otras dos rectas, los segmentos queaparecen son proporcionales: a b c a1 b1 c1
  • 59. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi rectas paralelas cortan a otras dos rectas, los segmentos queaparecen son proporcionales: a b c a1 b1 c1 AB BC CD EF FG GH
  • 60. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi tenemos la siguiente figura, aparecen más relaciones entre lossegmentos que se forman:
  • 61. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi tenemos la siguiente figura, aparecen más relaciones entre lossegmentos que se forman:
  • 62. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi tenemos la siguiente figura, aparecen más relaciones entre lossegmentos que se forman: Teorema Tales de a b a1 b1
  • 63. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi tenemos la siguiente figura, aparecen más relaciones entre lossegmentos que se forman: Teorema Tales de a b a1 b1
  • 64. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi tenemos la siguiente figura, aparecen más relaciones entre lossegmentos que se forman: Teorema Tales de a b a1 b1
  • 65. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi tenemos la siguiente figura, aparecen más relaciones entre lossegmentos que se forman: Teorema Tales de a b a1 b1 Semejanza Triángulos semejante BO BD DO s AO AC CO
  • 66. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesSi tenemos la siguiente figura, aparecen más relaciones entre lossegmentos que se forman: Teorema Tales de a b a1 b1 Semejanza BO BD DO AO AC CO
  • 67. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesEjercicio. Calcula el valor de los lados desconocidos:
  • 68. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesEjercicio. Calcula el valor de los lados desconocidos: Solución: Por Tales:9 = x y 10 Una ecuación con dos incógnitas que no nos da la solución.
  • 69. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de TalesEjercicio. Calcula el valor de los lados desconocidos: Solución: Por Tales:9 = x y 10 Una ecuación con dos incógnitas que no nos da la solución. Por semejanza: 35 9 + x 35 10 + y = = 15 x 15 10 27 40 x= y= 4 3
  • 70. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos esigual a la hipotenusa al cuadrado: a2 b2 c2 a b2 c2 b a2 c 2 c a2 b2
  • 71. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de PitágorasEjercicio. Halla el lado desconocido en los siguientes triángulos:
  • 72. 1. Polígonos. Semejanza de polígonos Teorema de PitágorasEjercicio. Halla el lado desconocido en los siguientes triángulos:Solución: b = 222 - 102 = = 384 = 19,59 d = 352 - 152 = = 1000 = 31,62 c = 102 + 402 = = 1700 = 41,23 a = 92 + 152 = = 306 = 17 ,49
  • 73. 1. Polígonos Elementos de un polígono Triángulos: rectas y puntos notables Semejanza de polígonos2. Vectores en el plano3. Transformaciones en el plano4. Poliedros5. Perímetro, área y volumenTEMA 7.Geometría.
  • 74. 2. Vectores en el plano. Vector fijo. Vector fijo : es un segmento orientado.
  • 75. 2. Vectores en el plano. Vector fijo. Vector fijo : es un segmento orientado. Elementos de un vector Módulo: la longitud del segmento Dirección: viene dada por la recta que pasa por A y B Sentido: es la orientación del vector en la recta, de A a B
  • 76. 2. Vectores en el plano. Vector fijo. Vectores equipolentes. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
  • 77. 2. Vectores en el plano. Vector fijo. Componentes de un vector. AB =(1,2) Origen: A(2,2) Extremo: B(3,4) Componentes: Extremo - Origen AB = B - A AB= (3,4) – (2,2) = =(3-2, 4-2)= =(1,2)
  • 78. 2. Vectores en el plano. Vector fijo. Componentes de un vector.Ejercicio: Halla las componentes de los siguientes vectores: Solución: c = ( -3 , 0 ) w = ( -3 , -3 ) u = ( 3 , -5 ) z = ( -2 , 2 ) b=(0,1)
  • 79. 2. Vectores en el plano. Vector fijo. Componentes de un vector.Ejercicio: Halla las componentes de los vectores AB, AC y BC si A( 2, 8) , B( -1, 0 ) y C( -3, 7). Solución: AB = B-A = (-1, 0)-(2, 8) = (-1-2, 0-8) = (-3, -8) AC = C-A = (-3, 7)-(2, 8) = (-3-2, 7-8) = (-5, -1) BC = C-B = (-3, 7)-(-1, 0) = (-3+1, 7-0) = (-2, 7)
  • 80. 2. Vectores en el plano. Vector fijo.  Suma de vectores.Método gráfico Colocamos uno a continuación de otro. El resultado es el vector que va desde el origen del primero hasta el extremo del último.
  • 81. 2. Vectores en el plano. Vector fijo.  Suma de vectores.Método Sumamos las componentes de cada eje:analítico Si u=(-3, 5) v=(2, 9) u+v=(-3, 5)+(2, 9)=(-3+2, 5+9)=(-1, 14) u+v=(-1, 14) Para restar vectores: Si u=(-3, 5) v=(2, 9) u-v=(-3, 5)-(2, 9)=(-3-2, 5-9)=(-5, -4) u-v=(-5, -4)
  • 82. 2. Vectores en el plano. Vector fijo.  Suma de vectores.Ejercicio: Calcula gráficamente u+v, v+w y u+v+w Solución:
  • 83. 2. Vectores en el plano. Vector fijo.  Suma de vectores.Ejercicio: Calcula gráficamente u+v, v+w y u+v+w Solución:
  • 84. 2. Vectores en el plano. Vector fijo.  Suma de vectores.Ejercicio: Calcula gráficamente u+v, v+w y u+v+w Solución:
  • 85. 2. Vectores en el plano. Vector fijo.  Suma de vectores.Ejercicio: Calcula gráficamente u+v, v+w y u+v+w Solución:
  • 86. 2. Vectores en el plano. Vector fijo.  Suma de vectores.Ejercicio: Calcula gráficamente u+v, v+w y u+v+w Solución:
  • 87. 2. Vectores en el plano. Vector fijo.  Suma de vectores.Ejercicio: Calcula gráficamente u+v, v+w y u+v+w Solución:
  • 88. 1. Polígonos Elementos de un polígono Triángulos: rectas y puntos notables Semejanza de polígonos2. Vectores en el plano Elementos de un vector Componentes de un vector Suma de vectores3. Transformaciones en el plano4. Poliedros5. Perímetro, área y volumenTEMA 7.Geometría.
  • 89. 3. Transformaciones en el plano. Traslación: Mover un elemento según un vector de traslación.
  • 90. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación: Mover un elemento según un vector de traslación.Método gráfico u Trasladar la figura ABC según el vector director .
  • 91. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación: Mover un elemento según un vector de traslación.Método gráfico u Trasladar la figura ABC según el vector director .
  • 92. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación: Mover un elemento según un vector de traslación.Método gráfico u Trasladar la figura ABC según el vector director .
  • 93. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación: Mover un elemento según un vector de traslación.Método gráfico u Trasladar la figura ABC según el vector director .
  • 94. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación sucesiva.Método gráfico u v Trasladar la figura ABC según los vectores directores y .
  • 95. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación sucesiva.Método gráfico u v Trasladar la figura ABC según los vectores directores y .
  • 96. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación sucesiva.Método gráfico u v Trasladar la figura ABC según los vectores directores y .
  • 97. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación sucesiva.Método gráfico u v Trasladar la figura ABC según los vectores directores y .
  • 98. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación.Ejercicio: Traslada la figura según el vector vdirector .
  • 99. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación.Ejercicio: Traslada la figura según el vector vdirector . Solución:
  • 100. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación.Ejercicio: Traslada la figura según el vector vdirector . Solución:
  • 101. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación.Ejercicio: Traslada la figura según el vector vdirector . Solución:
  • 102. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación: Mover un elemento según un vector de traslación.Método u Trasladar la figura MNP según el vector director .analítico M(-2, 5) N(0, 3) P(4,6) u(2, 6)
  • 103. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación: Mover un elemento según un vector de traslación.Método u Trasladar la figura MNP según el vector director .analítico M(-2, 5) N(0, 3) P(4,6) u(2, 6) M’= M+u = (-2, 5)+(2, 6)=(-2+2, 5+6) = (0, 11) N’ = N+u = (0, 3)+(2, 6)=(0+2, 3+6) = (2, 9) P’ = P+u = (4,6)+(2, 6)=(4+2, 6+6) = (6, 12)
  • 104. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación. vEjercicio: Calcula las coordenadas del polígono FGH desplazado según elvector . F(0, -5) G(-1, 1) H(6,0) v(-2, -5)
  • 105. 3. Transformaciones en el plano.  Traslación. vEjercicio: Calcula las coordenadas del polígono FGH desplazado según elvector . F(0, -5) G(-1, 1) H(6,0) v(-2, -5)Solución: F’ = F+v = (0, -5)+(-2, -5) = (0-2, -5-5) = (-2, -10) G’ = G+v = (-1, 1)+(-2, -5) = (-1-2, 1-5) = (-3, -4) H’ = H+v = (6, 0)+(-2, -5) = (6-2, 0-5) = (4, -5)
  • 106. 3. Transformaciones en el plano.  Giro: Rotación de un elemento con respecto a unPara definir el fijo.de cualquier elemento necesitamos un centro de giro y un punto giroángulo de giro.
  • 107. 3. Transformaciones en el plano.  Giro.Para definir el giro de cualquier elemento necesitamos un centro de giro y unángulo de giro.
  • 108. 3. Transformaciones en el plano.  Giro.Para definir el giro de cualquier elemento necesitamos un centro de giro y unángulo de giro.
  • 109. 3. Transformaciones en el plano.  Giro.Para definir el giro de cualquier elemento necesitamos un centro de giro y unángulo de giro.
  • 110. 3. Transformaciones en el plano. Giros sucesivos.
  • 111. 3. Transformaciones en el plano.  Giros sucesivos.Para definir giros sucesivos necesitamos dos centros de giro y dos ángulo degiro.
  • 112. 3. Transformaciones en el plano.  Giros sucesivos.Para definir giros sucesivos necesitamos dos centros de giro y dos ángulo degiro.
  • 113. 3. Transformaciones en el plano.  Giros sucesivos.Para definir giros sucesivos necesitamos dos centros de giro y dos ángulo degiro.
  • 114. 3. Transformaciones en el plano.  Giros sucesivos.Ejercicio: Gira la figura ABCDEF -90º con respecto al punto O.
  • 115. 3. Transformaciones en el plano.  Giros sucesivos.Ejercicio: Gira la figura ABCDEF -90º con respecto al punto O.Solución:
  • 116. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia del ejede simetría
  • 117. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia del ejede simetría
  • 118. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia del ejede simetría
  • 119. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia del ejede simetría
  • 120. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia del ejede simetría
  • 121. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia del ejede simetría
  • 122. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia del ejede simetría
  • 123. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia del ejede simetría
  • 124. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia del ejede simetría
  • 125. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial.Ejercicio: Dibuja la figura simétrica respecto del eje dibujado.
  • 126. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría axial.Ejercicio: Dibuja la figura simétrica respecto del eje dibujado.Solución:
  • 127. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia delcentro de simetría y sobre la misma recta.
  • 128. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia delcentro de simetría y sobre la misma recta.
  • 129. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia delcentro de simetría y sobre la misma recta.
  • 130. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia delcentro de simetría y sobre la misma recta.
  • 131. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia delcentro de simetría y sobre la misma recta.
  • 132. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia delcentro de simetría y sobre la misma recta.
  • 133. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia delcentro de simetría y sobre la misma recta.
  • 134. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia delcentro de simetría y sobre la misma recta.
  • 135. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central: Cada punto de la nueva figura está a la misma distancia delcentro de simetría y sobre la misma recta.
  • 136. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central.Ejercicio: Dibuja la figura simétrica respecto al punto O.
  • 137. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Simetría central.Ejercicio: Dibuja la figura simétrica respecto al punto O.Solución:
  • 138. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 139. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 140. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 141. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 142. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 143. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 144. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 145. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 146. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 147. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 148. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Ejes de simetría en figuras.
  • 149. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Centro de simetría en figuras.
  • 150. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Centro de simetría en figuras.
  • 151. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Centro de simetría en figuras.
  • 152. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Centro de simetría en figuras.
  • 153. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Centro de simetría en figuras.
  • 154. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Centro de simetría en figuras.
  • 155. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Centro de simetría en figuras.
  • 156. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Centro de simetría en figuras.
  • 157. 3. Transformaciones en el plano.  Simetría.Centro de simetría en figuras.
  • 158. 1. Polígonos Elementos de un polígono Triángulos: rectas y puntos notables Semejanza de polígonos2. Vectores en el plano Elementos de un vector Componentes de un vector Suma de vectores3. Transformaciones en el plano Traslación, giro y simetría4. Poliedros5. Perímetro, área y volumenTEMA 7.Geometría.
  • 159. 4. Poliedros. Poliedro: Cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos planos.
  • 160. 4. Poliedros. Elementos de un poliedro. vértice cara
  • 161. 4. Poliedros. Poliedros regulares (sólidos platónicos).
  • 162. 4. Poliedros. Cóncavo y convexo Convexo Cóncavo Ninguna cara, al Alguna cara, al prolongarla, prolongarla, corta al poliedro. corta al poliedro. Se puede apoyar sobre un Tiene alguna cara que no se plano por cualquiera de sus puede apoyar sobre un plano. caras.
  • 163. 4. Poliedros. Fórmula de Euler C + V = A +2 CARAS + VÉRTICES = ARISTAS + 2
  • 164. 4. Poliedros. Fórmula de Euler C + V = A +2 CARAS + VÉRTICES = ARISTAS + 2 2 2 1 3 Caras = 4 1 1 Vértices = 4 3 4 Aristas = 6 3 2 5 Fórmula de Euler 4+4=6+2 4 6 4
  • 165. 4. Poliedros. Prismas y pirámides PRISMA PIRÁMIDE Apotema lateral Apotemade la base Apotema de la base Poliedro cuyas bases son Poliedro cuya base es un polígonos iguales y polígono y cuyas caras son paralelos triángulos
  • 166. 4. Poliedros. Prismas y pirámides PRISMA OBLICUO PIRÁMIDE OBLICUA Alguna de sus caras no es Alguna de sus caras no es un un rectángulo triángulo isósceles
  • 167. 4. Poliedros.  Teorema de Pitágoras en el espacio D = a2 + b2 + c2 da d = a2 + c2 c
  • 168. 4. Poliedros. Teorema de Pitágoras en el espacioEjercicio: Halla las diagonales D y d. a=5cm b=4cm c=10cm
  • 169. 4. Poliedros. Teorema de Pitágoras en el espacioEjercicio: Halla las diagonales D y d. a=5cm b=4cm c=10cmSolución:d= a2 + c2 = 52 + 102 = 25 + 100 = 125 = 1118cm ,D= a2 + b2 + c2 = 52 + 42 + 102 = 25 + 16 + 100 = 141= 1187cm ,
  • 170. 4. Poliedros. Teorema de Pitágoras en el espacioEjercicio: Halla la apotema de la pirámide ap. h=12cm B=5cm ap B
  • 171. 4. Poliedros. Teorema de Pitágoras en el espacioEjercicio: Halla la apotema de la pirámide ap. h=12cm B=5cm ap ap 12cm 2.5cm ap = 122 + 2,52 = 144 + 6,25 B = 150,25 = 12,25cm
  • 172. 4. Poliedros. Cuerpos redondos CILINDRO ESFERA CONO TRONCO DE CONO
  • 173. 1. Polígonos Elementos de un polígono Triángulos: rectas y puntos notables Semejanza de polígonos2. Vectores en el plano Elementos de un vector Componentes de un vector Suma de vectores3. Transformaciones en el plano Traslación, giro y simetría4. Poliedros y cuerpos redondos5. Perímetro, área y volumenTEMA 7.Geometría.
  • 174. 5. Perímetro, área y volumen. Fórmulas de área y perímetro de figuras planas.
  • 175. 5. Perímetro, área y volumen. Polígonos. Perímetro de un polígono: Suma de la longitud de todos sus lados P = 4+1,5+2+3+0,5 = 11cm
  • 176. 5. Perímetro, área y volumen. Polígonos. Área de un polígono: Superficie que encierra el polígono A = Arectángulo + Atriángulo = = 12·4 + (12·5/2) = = 48 + 30 = 78 m2
  • 177. 5. Perímetro, área y volumen. Polígonos. Ejercicio: Halla el perímetro y el área de la siguiente figura. 10cm
  • 178. 5. Perímetro, área y volumen. Polígonos. Ejercicio: Halla el perímetro y el área de la siguiente figura. 10cm Solución: Perímetro P = 10+20+10+(2π10)/2 = = 40+31,4 = 71,4 cm20cm Área A = Arectángulo+Asemicircunferencia = = 10·20 + (π102)/2 = 10cm = 200 + 157,08 = 357,08 cm2
  • 179. 5. Perímetro, área y volumen. Fórmulas de área de cuerpos geométricos.
  • 180. 5. Perímetro, área y volumen. Fórmulas de volumen de cuerpos geométricos.
  • 181. 5. Perímetro, área y volumen. Fórmulas de volumen y área de cuerpos geométricos.Ejercicio: Halla el área y el volumen de la siguiente figura.
  • 182. 5. Perímetro, área y volumen. Fórmulas de volumen y área de cuerpos geométricos.Ejercicio: Halla el área y el volumen de la siguiente figura. Solución:Área AL (Lateral) p=6·10=60cm Apotema Pitágoras A= 252 - 52 = A = 625 - 25 = = 600 = 24,5cm 60·24,5 2 AL = = 735cm 2
  • 183. 5. Perímetro, área y volumen. Fórmulas de volumen y área de cuerpos geométricos.Ejercicio: Halla el área y el volumen de la siguiente figura. Solución:Área ABase 10 Pitágoras p·a a= 2 10 - 5 = 2 ABase = = 2 2 60·8,66 AL = 735 cm = 100 - 25 = = = 2 = 75 = 8,66cm 2 = 259,8 cm
  • 184. 5. Perímetro, área y volumen. Fórmulas de volumen y área de cuerpos geométricos.Ejercicio: Halla el área y el volumen de la siguiente figura. Solución:Área 2 AL = 735cm ABase = 259,8 2 cm 2 AT = AL + ABase = 735+ 259,8= 994,8 cm
  • 185. 5. Perímetro, área y volumen. Fórmulas de volumen y área de cuerpos geométricos.Ejercicio: Halla el área y el volumen de la siguiente figura. Solución:Volumen h - altura Pitágoras h= 252 - 102 = 25 h = 625- 100 = = 525 = 22,91cm 10 ABase·h 259,8·22,9 1 3 V= = = 1983,14 cm 3 3